MECHANICS OF MATERIALSBy

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทที่ 6Bending

วัตถุประสงค

2. เพื่อใหทราบและเขาใจถึงการเปลีย่นแปลงรูปรางเนื่องจากการดดั (bending) เนื่องจากแรงกระทําขวาง (transverse load)

4. เพื่อใหสามารถวิเคราะหการดัดแบบไมสมมาตร (unsymmetrical bending) ได

3. เพื่อใหสามารถวิเคราะหและออกแบบคานและคานประกอบ (composite beam) ที่ถูกกระทําโดยโมเมนตดัด (bending moment) ได

1. เพื่อทบทวนการเขียน shear diagram และ moment diagram โดยวิธีตัดหนาตัด (section method) และวิธีกราฟก (graphical method)

6.1 Shear and Moment Diagramsคาน (beam) เปนองคอาคารที่มีลักษณะตรง วางอยูในแนวนอน และถูกกระทาํโดย loads ที่ตั้งฉากกบัแนวแกนของคาน (transverse loads)

ขั้นตอนในการออกแบบคานคือ 1.) เขียน shear diagram และ moment diagram2.) หาคาสูงสุดของแรงเฉือน และโมเมนตดัด ที่

เกิดขึน้ภายในตัวคานและตําแหนงที่เกดิ3.) คํานวณหาขนาดหนาตัดคาน

คาน (beam) มีชื่อเรียกตามลักษณะการรองรับและลักษณะของคาน

Beam Sign Convention ขั้นตอนในการวิเคราะห 1. เขียน FBD ของคาน และหาคาแรงปฏิกริิยา2. เลือกพกิดั x โดยใหพกิดัแตละอันอยูในชวงที่อยูระหวาง F, M, หรือ distributed loads w

3. ตัดคานทีพ่ิกดั x1 หรือ x2 แลว เขียน FBD ของชิ้นสวนของคาน

4. ใชสมการสมดุลหาสมการแรงเฉือน V(x) และ moment M(x)

5. เขียน shear diagram และ moment diagram โดยที่แกน x เปนแกนนอนและ function ของ V(x) และ M(x) เปนแกนตั้ง

x1

x2x1

x2

EXAMPLE

4 m 4 m

50 kN/m

A C

4 m 4 m

50 kN/m

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏิกิริยาที่จดุรองรับ

0;yF↑ + =∑

Ay

Cx

Cy

0; = 0x xF C+

→ =∑

0;AM+ =∑-50(8)(4)+ (8)=0yC

=200 kNyC

= 200 kNyA

+200-50(8) = 0yA

50(8) kN x50 kN/m

200 kN V

M

= 0; = 200 -50( )2xM M x x ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠∑

4 m 4 m50 kN/m

200 kN 200 kN

0; 200 kN -50yF V x= =∑0 8x≤ ≤

2= 200 - 25 kN-mx x

50x

V (kN)

M (kN-m)

200 50V x= −

2200 25M x x= −

200 kN

-200 kN

4 m

400 kN-m0-2008

300-1006400043001002

02000MVx 4 m 4 m

50 kN/m

A C

ขอสังเกต

200 50V x= −

2200 25M x x= −

V (kN)

M (kN-m)

4 m

3. ตรงจุดที ่shear มีคาเทากบัศูนย moment ที่จดุดงักลาวมักจะมีคาสูงสุด (หรือต่ําสุด)

1. ( )dV w xdx

= −

2. dM Vdx

=

200 50V x= −

Example

3 m 6 m6 kN

9 kN m

3 m 6 m6 kN

9 kN m

AyDy

Dx

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏิกิริยาที่จดุรองรับ

0; 0x xF D+

← = =∑

0;

6 0y

y y

FA D

↑ + =

− + =∑

0;DM+ =∑9 6(6) (9) 0y- A+ =

5 kNyA =

1 kNyD =

3 m6 m

6 kN9 kN m

5 kN 1 kN

x1

x2

1

2

0 <33< 9

xx

≤≤

เราควรแบงพิกดัของคานออกเปนกีช่วง?

5 kN

x1 V

M 10 <3=0; =5 kNy

xF V≤

∑

3 m6 kN

V

M

5 kN

x2

3 m 6 m6 kN

5 kN 1 kN

23< 9=0 =5 kN-6 kN=-1 kNy

xF V

≤

∑

9 kN m

( ) 1 1=0; = 5 kN =5 kN-mM M x x∑

( ) ( )( )2 2=0 = 5 kN - 6 kN -3M M x x∑( )2= 18- kN-mx

1

1

0 <3; =5 kN =5 kN-m

x VM x

≤

( )2

2

3< 9; =-1 kN = 18- kN-m

x VM x

≤

9-1910.5-17.512-16

13.5-14.515-1315537.551.5050MVx

V (kN)

M (kN-m)V = -1 kN

V = 5 kN

M = 5x1 kN-mM = (18-x2) kN-m 9-19

10.5-17.512-16

13.5-14.515-1315537.551.5050MVx

1

1

0 <3; =5 kN =5 kN-m

x VM x

≤

( )2

2

3< 9; =-1 kN = 18- kN-m

x VM x

≤

ขอสังเกต

3. ตรงจุดที ่point load พุงลงกระทํา shear diagram จะมีคาลดลงเทากบัคาของ point load ดังกลาว

2. dM Vdx

=

4. ตรงจุดที ่moment ทวนเข็มฯ กระทาํ moment diagram จะมีคาลดลงเทากบัคาของ moment ดังกลาว

V

MV = -1

V = 5

M = 5x1M = (18-x2)1. ( )dV w x

dx= −

3 m 6 m6 kN

ตัวอยางจงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏิกิริยาที่จดุรองรับ

0; 0x xF A+

→ = =∑0;CM =∑

0;

2.5 2(5) 0y

y

FC

↑ + =

+ − =∑

5(10) 2(5) 5 50 02yA ⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2.5 kNyA =

7.5 kNyC =

2(5) kN2.5 m

2. หาสมการของแรงเฉือนและสมการของโมเมนต

7.5 kN

0 kN

2.5 kN

10 5 mx≤ <

0;yF+ ↑ =∑12.5 2 0x V− − =

12.5 2V x= −

0;M =∑1 1 1

12 2.5 02

M x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 12.5M x x= −

2x1

0;yF+ ↑ =∑2.5 2(5) 0V− − =

7.5V = −

( )2 22(5) 2.5 2.5 50 0M x x+ − − − =

0;M =∑

27.5 75M x= − +

25 m 10 mx≤ <2(5) kN

2.5 m

10 5 mx≤ <

12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ <

7.5V = −

27.5 75M x= − +

ขอสังเกต1. ตรงจุดที ่moment ทิศตามเข็มฯ กระทํา M-diagram จะมีคาเพิ่มขึ้น = คาของ moment ดังกลาว

2. ( )dV w xdx

= −

3. dM Vdx

=

10 5mx≤ < 12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10mx≤ < 7.5V =−

27.5 75M x=− −

6.2 Graphical Method for Constructing Shear and Moment Diagramวิธีกราฟฟกชวยทาํใหเขยีน shear diagram และ moment diagram ไดงายขึ้น เนื่องจากไมตองเขียนสมการของ shear และ moment ในแตละชวงของคาน

สรุป:1.

2..

3.

4.

5.

6. เมื่อโมเมนตแรงคูควบมีทิศทางตามเข็มนาฬิกาแลว M-diagram จะมีคาเพิ่มขึ้น = คาโมเมนตแรงคูควบ

เมื่อแรงกระทาํเปนจุดมีทิศทางพุงลง แลว V-diagram จะมีคาลดลง = คาแรงดังกลาว

การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตระหวางจุดมีคา =พื้นที่ภายใต V-diagram ระหวางจุดดังกลาว

การเปลี่ยนแปลงของแรงเฉือนระหวางจุดมีคา = คาลบของพื้นที่ภายใตแรง w ระหวางจุดดังกลาว

slope ของ M-diagram ที่จดุใดๆ มีคา = คาของแรงเฉือนที่จุดนั้น

slope ของ V-diagram ที่จดุใดๆ มีคา = คาลบของแรง w ที่จดุนั้น

ขอสังเกต:• ถาแรง w(x) อยูในรูปสมการกําลัง n แลว V(x) จะอยูในรูป

สมการกําลัง n+1 และ M(x) จะอยูในรูปสมการกําลัง n+2

• w(x) = 0 V=constant M=linear

• w(x) =constant V=linear M=quadratic

• w(x) =linear V=quadratic M=cubicn = 1 n = 2 n = 3

Example

x (m)

1000Slope = - 500

Slope = - 500

V(N)

x (m)Slope = 0

Slope = 1000-1000

M (N-m)

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

0

0

x (m)

V(N)1080

Slope = - 400Slope = 0

600 600

x (m)M (N-m)

-1588

Slope = 600

Slope = 1080

Slope = 0-100

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

Example

-580

x (m)

V (N) Slope = 03.5

M (N-m)

1.5

-1.5-3.5

x (m)

Slope = 3.57

Slope = 1.5 10Slope = -1.5

7 Slope = -3.5

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

Example

x (m)

V (N) Slope = 0100

-500 Slope = 0

x (m)

M (N-m) Slope = 1001000

Slope = -500-1500

Slope = -5002500

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

Example

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

Example

Slope = 0

Slope = -5

Slope = +5.75

Slope = -9.25

Slope = -34.25

จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

Example

CONCEPT OF CENTROIDจุด centroid เปนจุดที่ระบุถึงจุดศูนยกลางทางเรขาคณิตของวัตถ ุ

พื้นที่ประกอบ (composite area) เปนพื้นทีท่ีป่ระกอบ (บวกเขา หรือ ตัดออก) จากพื้นทีท่ี่มีรูปรางพื้นฐาน เชน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และครึ่งทรงกลม เปนตน

ขั้นตอนในการวิเคราะห

3. หาคาพิกดัโดยใชสมการของจุด centroid

2. ตั้งแกนอางอิงแลวหาคาพิกดั (x , y ) ของจุด centroid ในแตละพื้นที่ยอยและหาระยะตั้งฉากจากจุด

~ ~

xAxA

∑=∑%

yAyA

∑=∑%

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย

∑ += 21 AAA

∑+

=A

AyAyy 2211~~

22 mm 5.28036)25()200(150 =−= π

mm 755.28036

75)25(75)200(150 2

=−

=π

ตัวอยางจงหาระยะ c1

1i i

i

y Ac

A= ∑∑

16(276)12 2(40)80(12) 18.48 mm

276(12) 2(80)12c += =

+

1 1 2 2

1 2

22

y A y AA A+

=+

1 6 mmy =

2 40 mmy =6 mm

40 mm

ตัวอยางจงหาระยะ c2

2i i

i

y Ac

A= ∑∑

1 11 1 1

1 1

( )2 2

( )

h h hh b h h th

b h h th

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

− +-4

38.516(10 ) 0.124 m6.875(10 )−= =

y1y2

A1 = 0.10(0.025)A2 = 0.175(0.025)y1 = 0.175+0.025/2y2 = 0.175/2

CONCEPT ของโมเมนตความเฉื่อยของพื้นที่

พิจารณาทางเลือกของหนาตัดคาน AB ทีม่ีพื้นที่หนาตัดเทากันและมีน้ําหนักตอหนึ่งหนวยความยาวเทากันจากรูป เมื่อ P มีคาๆ หนึ่งแลว หนาตัดใดของคานจะมีคาการแอนตัวต่ําสุด?ทาํไม?หนาตัดรูป (A) มีคาการแอนตัวต่ําสุด เพราะวามีคา moment of inertia รอบแกน x สูงสุด (เนื่องจากพื้นที่โดยสวนใหญของหนาตัดอยูไกลจากแกน x)

10cm

10cm1cm

1cm

x

3cm

10cm 3cm

A B

P

(C)(B)(A)

3112xI bh=

3112yI hb=

ทฤษฏแีกนขนานของพื้นที ่(Parallel Axis Theorem)2

x x yI I Ad′ = +

2y y xI I Ad′ = +

231 ( )

12 2xhI bh bh′

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

313

b h=

x'x'

ตัวอยาง จงหาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน z

1 6 mmy =

2 40 mmy =

1 18.48 mmc =

2( )zI I Ad= +∑3 212 (12)80 80(12)(80 18.48)

12⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

3 21 (276)12 276(12)(18.48 6)12⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4 6 42.469(10 ) mm 2.469(10 ) m−= =

40

ตัวอยาง จงหาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน NA

2( )NAI I Ad= +∑3 212 (0.25)0.020 0.25(0.020)0.160

12⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

31 (0.020)0.30012⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4301.3(10 ) m−=

160 mm

160 mm

เนื่องจากหนาตัดมีความสมมาตรรอบแกนสองแกนจุด centroid จึงอยูทีก่ึ่งกลางหนาตัด

6.3 Bending Deformation of a Straight Member

คานทาํดวยวัสดุ isotropic และ homogeneous

วัสดุทาํคานมีพฤติกรรมแบบ linear elastic ภายใตแรงกระทํา

คานมีหนาตัดคงทีแ่ละสมมาตรรอบแกนตลอดความยาวของคาน

ยืดตัว

หดตัวไมยืด/หด

MM

การเปลี่ยนแปลงรูปรางของคานภายใตแรงกระทํามีลักษณะดังตอไปนี้

แกนตามยาว (longitudinal axis) ของคานที่อยูบน neutral plane ไมมีการเปลี่ยนแปลงความยาว แตจะถูกดดัใหเปนเสนโคงบนระนาบ x-y

การเปลี่ยนแปลงรูปรางของคานภายใตแรงกระทํามีลักษณะดังตอไปนี ้(ตอ)

ระนาบหนาตัดของคานยังคงรูปเปนระนาบเหมือนเดมิและยังคงตั้งฉากกบัแกนตามยาวของคาน

ไมนําคาการเปลี่ยนแปลงรูปรางในระนาบของหนาตัดคานมาพิจารณา

6.4 Flexural Formulaเมื่อคานมีพฤติกรรม linear elastic ภายใตแรงกระทําแลว การกระจายของ strain และ stress บนหนาตัดคานจะมีลักษณะดังแสดง และ flexural stress จะหาไดจาก

MyI

σ = −

I = moment of inertia ของหนาตัด

M = โมเมนตดัดบนหนาตัด

y = ระยะจาก neutral axis ถึงจุดที่ตองการหา stress

ตัวอยางที่ 6-8จงหาคาหนวยแรงดดัสูงสุดที่เกดิขึ้นในคานและเขียนการกระจายของหนวยแรงดัดบนหนาตัดดังกลาว

หาคา bending moment สูงสุด2

max

2

85(6) 22.5 kN-m

8

wLM =

= =

เกิดขึน้ที่กึ่งกลางคาน

2( )I I ad= +∑3 212 (0.25)0.020 0.25(0.020)0.160

12I ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

หาคาหนวยแรงดดัmax

maxM c

Iσ =

3

max 622.5(10 )(0.170)

301.3(10 )σ −=

วัสดุมีพฤติกรรมในชวง linear elastic ภายใตการกระทําของน้ําหนักบรรทกุmax 250 MPayσ σ< =

หาคุณสมบัตขิองหนาตัด

31 (0.020)0.30012⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4301.3(10 ) m−=

12.7 MPa=

เกิดขึน้ที่กึ่งกลางคานทีผ่ิวดานบนหรือลางของหนาตัด

Example

moment of inertia ของหนาตัด

flexural formula

หนาตัดคานถูกกระทําโดยหนวยแรงดดั ดังแสดง จงหาคาโมเมนตภายใน M ทีก่อใหเกดิหนวยแรงดังกลาว

ตัวอยาง: คานไมสักถกูกระทําโดยแรงตางๆ ดังที่แสดงในรูป( ) 24 MPa, 4.8 MPa, F.S. 2.0b ult ultσ τ= = =

จงออกแบบหาขนาดหนาตัดของคาน

( )( )F.S.

b ultb allow

σσ =

หนวยแรงทีย่อมให

F.S.ult

allowττ =

Bending moment และแรงเฉือนสูงสุด

max 6.0 kN-mM =

max 5.5 kNV =

5.5 kN 5.5 kN

24 =12 MPa2.0

=

4.8 =2.4 MPa2.0

=

maxallow

M cI

σ =3

4(2 ) 212 3

b bI b= =

64

600012(10 )2 / 3

bb

=

0.091 mb =

หาความกวาง, b, โดยใชคาโมเมนต max 6.0 kN-mM =

ตรวจสอบความสามารถรับแรงเฉือนของคาน

0.498 MPa 2.4 MPa O.K.allowτ= < =

maxmax

32

VA

τ =

3 55002 0.091[2(0.091)]

=

สําหรับคานหนาตัดสี่เหลี่ยม

ตรวจสอบการโกงตัวของคาน