mechanika wykłady ii semestr

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”

Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin

1

Materiały dydaktyczne

Mechanika

Semestr II

Wykład




2

13. Przedmiot: MECHANIKA Kierunek: Mechatronika

Specjalność: elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów – Studia pierwszego stopnia

Semestr Liczba tygodni w semestrze

Liczba godzin w tygodniu

Liczba godzin w semestrze Punkty

kredytowe A Ć L S Σ A Ć L S

I 15 2 2 – – 60 30 30 – – 4 II 15 1E – 1 – 30 15 – 15 – 4

Razem w czasie studiów 90 45 30 15 – 8

Związki z innymi przedmiotami

– matematyka, – fizyka, – grafika inżynierska, – wytrzymałość materiałów, – podstawy konstrukcji maszyn, – automatyka i robotyka, – siłownie okrętowe, – budowa okrętu i wyposażenie pokładowe.

Zakres wiedzy do opanowania

Po wysłuchaniu wykładów przewidzianych programem oraz wykonaniu ćwiczeń

laboratoryjnych student powinien:

Znać →→→→

1) Podstawy teoretyczne mechaniki klasycznej tzn. statyki, kinematyki i dynamiki układów mechanicznych traktowanych jako ciała doskonale sztywne.

2) Podstawy teoretyczne dotyczące drgań i dynamiki maszyn, tzn. podstawowe zagadnienia modelowania i analizy drgań układów mechanicznych liniowych o skończonej liczbie stopni swobody.

Umieć →→→→

1) Analizować układy sił działających na rzeczywiste układy mechaniczne znajdujące się w

równowadze statycznej. 2) Analizować ruch rzeczywistych obiektów mechanicznych traktowanych jako ciała

doskonale sztywne. 3) Tworzyć i rozwiązywać równania dynamiczne ruchu prostych układów mechanicznych.




3

4) Zestawić układ pomiarowy, zarejestrować i dokonać analizy drgań mechanicznych występujących w urządzeniach mechanicznych.

5) Dokonać podstawowych pomiarów akustycznych, w szczególności hałasu emitowanego przez urządzenia mechaniczne.

6) Wyważać statycznie i dynamicznie wirniki urządzeń mechanicznych. 7) Przeprowadzić badania własności dynamicznych układów mechanicznych o jednym i o

wielu stopniach swobody. 8) Zarejestrować i przeprowadzić analizę drgań skrętnych linii wałów układu napędowego.

Treść zajęć dydaktycznych

Nr tematu

Tematy i ich rozwinięcie Liczba godzin

Razem W Ć L S Semestr II

15. Przedmiot, zakres i cel zajęć z Podstaw teorii drgań i dynamiki maszyn.

1

1

– – –

16. Cechy ogólne układów mechanicznych oraz charakterystyki ich własności dynamicznych.

1 1 – – –

17. Modelowanie układów mechanicznych: − Istota, cel i etapy modelowania; − Modelowanie fenomenologiczne i fizyczne; − Modelowanie matematyczne układów mechanicznych: • Więzy. Liczba stopni swobody układu; • Równania różniczkowe ruchu liniowego modelu układu mechanicznego.

2 2 – – –

18. Analiza drgań układów o skończonej liczbie swobody: − drgania układu o jednym stopniu swobody: • drgania swobodne układu zachowawczego i niezachowawczego; • drgania wymuszone harmoniczne układu zachowaw-czego i niezachowawczego: ∗ podatność i sztywność dynamiczna; − drgania układów liniowych o wielu stopniach swobody: • drgania swobodne układu zachowawczego; ∗ drgania główne, ∗ częstości i postacie drgań głównych, ∗ zasada ortogonalności drgań głównych;

8 8 – – –

19. Minimalizacja drgań i hałasu oraz ich skutków: − zmniejszenie amplitud drgań układów; − minimalizacja drgań na drodze ich propagacji – wibroizolacja; − minimalizacja hałasu.

3 3 – – –




4

I. Metody dydaktyczne

Przedmiot jest realizowany w formie wykładów i ćwiczeń laboratoryjnych na I roku studiów. Pomoce dydaktyczne stanowią:

- literatura podstawowa i uzupełniająca do wykładów, - skrypt do ćwiczeń laboratoryjnych, - instrukcje stanowiskowe i zestawy programowych ćwiczeń laboratoryjnych, - dzienniczki laboratoryjne studentów, - regulamin pracy i instrukcja BHP obowiązujące w laboratorium.

II. Forma i warunki zaliczenia przedmiotu

II-1. Forma i warunki zaliczenia wykładów - obecność studenta na wykładach, - uzyskanie pozytywnych ocen z 2 sprawdzianów pisemnych w ciągu semestru

przeprowadzonych w terminach uzgodnionych ze studentami, - egzamin.

III. Wykaz literatury podstawowej i uzupełniaj ącej

Wykaz literatury

1. Leyko J.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 1997. 2. Misiak J.: Mechanika techniczna. WNT, Warszawa 1985. 3. Szmelter J. i inni: Zbiór zadań z mechaniki. PWN, Warszawa 1972. 4. Misiak J.: Zadania z mechaniki ogólnej. WNT, Warszawa (cz.1. Statyka – 2005; cz.2.

Kinematyka – 2005; cz.3. Dynamika – 1997). 5. Kaczmarek J.: Podstawy teorii drgań i dynamiki maszyn. WSM Szczecin 2000. 6. Kruszewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w ujęciu komputerowym.

Zagadnienia liniowe. WNT, Warszawa 1992. 7. Adamczyk E., Jucha J., Miller S. : Teoria mechanizmów i maszyn. Analiza układów

mechanicznych. Politechnika Wrocławska, Wrocław 1978.




5

Temat 1. Przedmiot, zakres i cel zajęć. Własności dynamiczne układów mechanicznych. Przedmiot, zakres i cel zajęć.

Większość współczesnych urządzeń technicznych to złożone systemy mechaniczne złożone z ciał materialnych stałych, płynnych lub gazowych. Są nimi statki morskie i powietrzne, urządzenia transportowe jak pojazdy lądowe, dźwignice, przenośniki, roboty itp. W tych złożonych systemach można wyróżnić podsystemy, którymi są m.in. maszyny służące do przetwarzania energii lub wykonywania pracy mechanicznej oraz mechanizmy, tj. zespoły współpracujących ze sobą części mechanicznych, spełniających określone zadania, np. układ korbowo-tłokowy silnika spalinowego zamienia ruch posuwisto zwrotny tłoka na ruch obrotowy wału korbowego. Ogół zagadnień związanych z ruchem mechanizmów i maszyn stanowi teorię mechanizmów i maszyn. Obejmuje ona m.in. zagadnienia technicznej realizacji ruchu mechanizmów i maszyn, sterowania ich ruchem a także zagadnienia dynamiczne w ruchu zamierzonym i niezamierzonym tj. drgania elementów mechanizmów, maszyn, konstrukcji (np. drgania poszycia kadłuba statku, drgania układu napędowego statku lub innych środków transportowych itp.). Niniejsze rozważania stanowią wstęp do teorii drgań i dynamiki maszyn, uwzględ-niający specyficzne zagadnienia związane z eksploatacją statków morskich. Należą do nich intensywne i ciągłe zjawiska wibroakustyczne tj. drgania elementów i urządzeń oraz hałas oddziałujący szkodliwie na ludzi. Stąd niezbędne elementy wykształcenia eksploatatorów statków i innych urządzeń transportowych: - wiedza o istnieniu, źródłach drgań i ich skutkach dla ludzi i maszyn; - wiedza o możliwościach ograniczenia drgań i ich skutków. Niniejsza część teoretyczna, wykładowa stanowi przygotowanie do części laborato-ryjnej składającej się z sześciu ćwiczeń.

Część wykładowa omawia: - cechy ogólne elementów układów mechanicznych; - ich własności dynamiczne oraz sposoby badania tych własności; - zagadnienia modelowania; - analizę drgań własnych i wymuszonych; - sposoby minimalizacji drgań i ich skutków.




6

Cechy ogólne elementów układów mechanicznych. Geometryczne:

• skończoność ich wymiarów; w ogólności wszystkie elementy są trójwymiarowe, jednak niekiedy elementy o wyraźnej przewadze dwóch wymiarów nad trzecim traktuje się jako powierzchniowe, lub o wyraźnej przewadze jednego wymiaru nad dwoma pozostałymi – jako liniowe.

• skończoność zmienności wymiarów i kształtu, oznacza możliwość obciążania tych elementów siłami do pewnych granicznych wartości, po przekroczeniu których następuje zniszczenie elementu; w mechanice ogólnej zakładano całkowitą nieodkształcalność i nieograniczoną wytrzymałość ciał.

Odkształcalność:

• statyczna

• dynamiczna Bezwładność:

• miarą bezwładności jest masa, niezależna od prędkości ruchu, niewielkich tutaj względem prędkości światła.

Rozpraszalność energii mechanicznej gromadzonej w elementach sprężystych:

• jest spowodowane głównie tarciem wewnętrznym oraz tarciem konstrukcyjnym.

Własności dynamiczne układów mechanicznych

Cechy ogólne, a szczególnie bezwładność, odkształcalność i rozpraszalność energii decydują o własnościach dynamicznych układów mechanicznych. Przedstawiają one zachowanie się układów pod wpływem pewnych charakterystycznych zmian obciążeń. Najczęściej stosowane obecnie charakterystyki własności dynamicznych:

• częstości i postacie drgań własnych układów; • charakterystyka częstościowa zwana podatnością dynamiczną, przedstawiająca

zależność amplitudy i fazy drgań punktu układu od częstości jednostkowej siły harmonicznie zmiennej przyłożonej w wybranym punkcie układu i działającej wzdłuż wybranego kierunku;

• charakterystyki czasowe przedstawiające ruch układu pobudzonego do drgań siłą o przebiegu skoku jednostkowego, zwaną funkcj ą Heaviside’a (rys. a) lub o charakterze impulsowym, zwaną deltą Diraca (rys. b).




7

Poniżej przedstawiono schematycznie algorytm badania i modyfikacji własności dynamicz-nych układów mechanicznych.

Literatura: [2] rozdz. 1, str.11÷12; rozdz. 2, str.13÷16 Temat 2. Modelowanie układów mechanicznych 2.1. Istota, cel i etapy modelowania.

Modelowaniem nazywa się praktyczną działalność wykorzystującą określone podobieństwo między obiektem rzeczywistym (np. układem napędowym statku) a jego obrazem tj. modelem, w celu otrzymania określonych charakterystyk modelu (w naszym przypadku charakterystyk dynamicznych).




8

Cechy modelu: • jest pewnym uproszczeniem obiektu rzeczywistego;

• jest zgodny, w naszym przypadku według kryterium własności dynamicznych, z obiektem rzeczywistym;

• jest możliwie prosty, tzn. poddaje się analizie za pomocą dostępnych metod obliczeniowych.

Etapy modelowania: • budowa modelu nominalnego inaczej fenomenologicznego (zjawiskowego);

• budowa modelu fizycznego;

• budowa modelu matematycznego (analitycznego). Najczęściej dwa pierwsze etapy łączy się w jeden etap modelowania fenomenologiczno-fizycznego.

2.2. Modelowanie fenomenologiczno-fizyczne.

• pomija się mało istotne zjawiska;

• wyodrębnia się obiekt z otoczenia, zastępując go oddziaływaniami wejściowymi i wyjściowymi; tutaj zakłada się zdeterminowany charakter tych oddziaływań, np. dla układu napędowego statku będą to wymuszenia silnikowe (sygnał wejściowy) i prędkość obrotowa śruby (sygnał wyjściowy);

• elementom układu przypisuje się parametry skupione: elementom masowym masę m lub masowy moment bezwładności J, elementom sprężystym współczynnik sztywności podłużnej, giętnej lub skrętnej c oraz elementom tłumiącym współczynnik tłumienia b.

Otrzymuje się w ten sposób modele fizyczne układów mechanicznych. Przykłady modeli pokazano na rysunku poniżej:

a) model drgań podłużnych, np. ciężaru o masie m zawieszonego na linie żurawia portowego o współczynniku sztywności c i współczynniku tłumienia b;

b) model drgań skrętnych, np. układu napędowego statku; c) model drgań giętych, np. wału przekładni z dwoma dyskretnymi masami m1 i m2 kół

zębatych.




9

Współczynnik sztywności Rozumie się pod tym pojęciem wielkość określona stosunkiem siły F (lub momentu M pary sił) do wartości odkształcenia ∆x (lub ∆φ) elementu w kierunku działania siły F (lub momentu M)

� = �∆��N m⁄ �lub� = �∆� �Nm rad�⁄

Zakłada się tutaj elementy liniowo-sprężyste, tzn. niezależność współczynnika sztywności od wielkości odkształceń; zależność siły od odkształcenia jest liniowa. W rzeczywistości na ogół elementy są nieliniowe. Energia sprężysta zgromadzona w elemencie liniowo-sprężystym jest kwadratową funkcją odkształcenia elementu

�� = 12 ��∆��lub�� = 12 ��∆��

Współczynnik tłumienia Wskutek tarcia wewnętrznego lub konstrukcyjnego energia mechaniczna ulega rozproszeniu. Istnieją różne modele tarcia. Tarcie ślizgowe suche wywołuje siłę tarcia zależną od nacisku wzajemnego trących się ciał a niezależną od prędkości wzajemnej ciał. Siła oporu działająca na ciało poruszające się w płynie lub w gazie z dużą prędkością, jest w przybliżeniu kwadratową lub sześcienną funkcją prędkości ciała. W niniejszych rozważaniach przyjmuje się model tarcia lepkiego liniowego, tzn. wartość siły oporu wiskotycznego elementu tłumiącego jest liniową funkcją prędkości odkształcania elementu ∆�� = ��∆�� ⁄

lub prędkości ruchu elementu w środowisku �� = �� ⁄




10

�� = �∆�� N�lub�� = �� N� gdzie b jest współczynnikiem oporu wiskotycznego, rozumianym jako wartość siły oporu tłumienia działającej na element przy jednostkowej wartości prędkości jego odkształcania lub prędkości jego ruchu. Można wykazać, że suma elementarnych zmian mocy rozproszonej w układzie, zwana

funkcj ą Rayleigha, jest kwadratową funkcją prędkości odkształcania elementu ∆�� lub

prędkości ruchu elementu �� = 12 �∆��lub = 12 ��

Literatura: [1], rozdz. 3.1, str. 17÷22.

2.3. Modelowanie matematyczne.

Otrzymany model fizyczny układu mechanicznego, jest modelem dyskretnym, liniowym oraz stacjonarnym tzn. skupione parametry modelu: masy, współczynniki sztywności i tłumienia są niezależne od czasu. Równania dynamiczne ruchu są dla takiego modelu

równaniami różniczkowymi zwyczajnymi, liniowymi o stałych współczynnikach. Więzy. Liczba stopni swobody układu.

Więzy to ograniczenia nałożone na ruch ciała. Pojedyncze sztywne ciało swobodne ma sześć stopni swobody. Wskutek nałożonych więzów, niektóre z ruchów ciała stają się zależne i liczba stopni swobody maleje. Liczbą stopni swobody układu mechanicznego w sensie intuicyjnym nazywa się liczbę niezależnych ruchów prostych wykonywanych przez ciała układu. W ścisłym ujęciu jest to liczba niezależnych współrzędnych, zwanych współrzędnymi uogólnionymi, opisujących jednoznacznie położenie układu w przestrzeni. Równania więzów dla wahadeł pokazanych na rysunkach poniżej, są następujące !"� − �� − $� = 0�!" + '�� − �� − $� = 0




11

Równanie więzów a) nie zawiera czasu t w postaci jawnej. Więzy takie nazywa się skleronomicznymi, stwardniałymi, zamrożonymi. Równanie więzów b) zawiera czas t w postaci jawnej. Więzy takie zwane są reonomicznymi, płynnymi. W obu równaniach więzów nie występują ponadto pochodne współrzędnych. Więzy takie nazywa się holonomicznymi. Przeciwieństwem takich więzów są więzy anholonomiczne, których równania zawierają pochodne współrzędnych czyli prędkości. Więzy ponadto dzieli się na idealne (bez tarcia) oraz nieidealne (z tarciem). Praktycznie wszystkie więzy rzeczywiste są nieidealne, jednak często ze względu na niewielkie wartości sił stycznych tarcia w stosunku do wartości sił normalnych, przyjmuje się model więzów idealnych.

Sposoby wyznaczania równań ruchu. Energia mechaniczna układu. Dla układów o co najwyżej kilku stopniach swobody wykorzystuje się do napisania równań dynamicznych ruchu układu II prawo Newtona lub zasadę d’Alemberta. Dla układów złożonych o wielu stopniach swobody wykorzystuje się równania Lagrange’a II rodzaju �� ()�*)+,� - − )�*)+. + )��)+. + ) )+,� = �./ = 1,2,3, … , 3 gdzie: s – liczba stopni swobody układu; Ek, Ep, R – energia kinetyczna, potencjalna i Rayleigha układu; +., +�. - i-ta współrzędna i prędkość uogólniona, czyli pochodna współrzędnej po czasie;

Fi – i-ta siła uogólniona tj. niepotencjalna, czyli nie spełniająca warunku �. = −)�� )+.⁄ .

W rozważanych w dalszej części układach energia kinetyczna nie jest jawną funkcją współrzędnych uogólnionych, stąd równania Lagrange’a II rodzaju dla rozważanych układów są następujące




12

�� ()�*)+,� - + )��)+. + ) )+,� = �./ = 1,2,3, …, 3

Można dowieść, że dla układów mechanicznych dyskretnych, liniowych, o więzach holonomicznych, skleronomicznych wykonujących małe drgania w otoczeniu położenia równowagi

• energia kinetyczna Ek jest jednorodną kwadratową funkcją prędkości uogólnionych 4� 5

�* = 12677+�7+�7 + 1267�+�7+�� +⋯+ 12679+�7+�9 = 12::6.;+�.+�;9;<7

9.<7

• energia potencjalna Ep jest jednorodną kwadratową funkcją współrzędnych uogólnionych qi

�� = 12 �77+7+7 + 12 �7�+7+� +⋯+ 12 �79+7+9 = 12::�.;+.+;9;<7

9.<7

• funkcja Rayleigha R jest jednorodną kwadratową funkcją prędkości uogólnionych 4� 5

= 12�77+�7+�7 + 12�7�+�7+�� +⋯+ 12�79+�7+�9 = 12::�.;+�.+�;9;<7

9.<7

gdzie współczynniki bezwładności aij , współczynniki sztywności cij i współczynniki tłumienia bij , zwane parametrami strukturalnymi modelu, sa symetryczne 6.; = 6;. �.; = �;. �.; = �;. i określone następującymi wyrażeniami

6.; = )��*)+�.)+�; ; �.; = )��)+.)+; ; �.; = )� )+�.)+�; Parametry strukturalne tworzą odpowiednio symetryczne macierze bezwładności A, sztywności C i tłumienia B układu mechanicznego o s stopniach swobody

> = ?677 67� ⋯ 6796�7 6�� ⋯ 6�9⋮697 ⋮69� ⋮ ⋮⋯ 699A B = ?�77 �7� ⋯ �79��7 �� ⋯ ��9⋮�97 ⋮�9� ⋮ ⋮⋯ �99A C = ?�77 �7� ⋯ �79��7 �� ⋯ ��9⋮�97 ⋮�9� ⋮ ⋮⋯ �99A




13

2.4. Wyznaczanie parametrów strukturalnych modelu układu mechanicznego.

Ścisłe metody wyznaczania parametrów strukturalnych modelu układu mechanicznego aij, bij i cij oparte na pomiarze charakterystyk częstościowych lub na metodzie modalnej są dość złożone i przekraczają ramy niniejszego opracowania. Przedstawiona zostanie tutaj natomiast metoda analityczna. Składa się z następujących etapów: - dokonuje się myślowej dyskretyzacji rzeczywistego układu; - łączy się sąsiadujące elementy w grupy elementów o zbliżonych cechach dominujących, np. masowych, sprężystych lub tłumiących; - grupy elementów zastępuje się jednym tylko elementem zwanym zastępczym, dla którego wyznacza się parametr zredukowany, zastępczy na podstawie kryterium równoważności dynamicznej układu rzeczywistego i zastępczego; równoważność dynamiczna oznacza równoważność energii kinetycznej Ek lub potencjalnej Ep, lub funkcji dyssypacji energii Rayleigha R.

Wyznaczanie mas zastępczych Kryterium równoważności układu rzeczywistego i zastępczego jest równość energii kinetycznych tych układów

Ekrz = Ekz

przy czym na podstawie tw. Koeniga energia kinetyczna i-tego elementu jest określona wyrażeniem

�*DE. = 12F.GH.� + 12 IH. J.� gdzie: F., IH. - masa i masowy moment bezwładności i-tego elementu względem osi przechodzącej

przez środek masy S; GH. , J. - prędkość liniowa środka masy S i prędkość kątowa elementu względem chwilowej osi obrotu.

Przykład 1. Należy dokonać redukcji korbowodu mechanizmu korbowo-tłokowego do modelu dwupunktowego lub trójpunktowego. Dane: masa, długość i moment bezwładności

korbowodu - F*, !*, IH.




14

Przy założeniu również równoważności statycznej, czyli równości momentów statycznych względem środka masy, otrzymuje się model trójparametrowy: trójpunktowy lub punktowo-pierścieniowy, stosowany np. dla dużych korbowodów silników okrętowych. Rozwiązanie przedstawiono w literaturze ([2], rozdz. 3.2.4.1, str. 29÷31).

Przykład 2. Należy wyznaczyć masy zastępcze układu napędowego kutra, o zadanych parametrach pokazanych na schemacie układu.

Na podstawie analizy sztywności elementów układu napędowego, przyjęto model zastępczy trójmasowy, zredukowany na linię wałów pędnika. Na podstawie równań równoważności

energii kinetycznej układów rzeczywistych i mas zastępczych I7, I�/IK

FL = IH −F*��6� − �� kg� FO = IH −F*6�� − 6� �kg�

Na podstawie kryterium równoważności energii w szczególnych przypadkach ruchu korbowodu – w ruchu postępowym i obrotowym, otrzymano masy zastępcze w punktach A i B




15

�*DE7 = 12 �F� +FO�GO� + 12 �IP +FLQ��J9� + 12 I*EJ9� = �*E7 = 12 I7J�� *DE� = 12 IE7J9� +12 IE�J�� + 12 I9�7J�� = �*E� = 12 I�J��

�*DEK = 12 I9��J�� + 12 I�J�� = �*EK = 12 IKJ��

otrzymano po przekształceniach wyrażenia określające masy zastępcze I7, I�/IK �IP +FLQ� + I*E� (R�R7-� ≤ I7 ≤ ��F� +FO�Q� + �IP +FLQ� + I*E�� (R�R7-�

I� = IE7 (R�R7-� + IE� + I9�7 IK = I9�� + I�

Masy te są pewną kombinacją liniową rzeczywistych mas układu. Otrzymano w ten sposób model drgań skrętnych układu o trzech stopniach swobody, pokazany na rysunku poniżej.

Wyznaczanie zastępczych współczynników sztywności Kryterium równoważności układu rzeczywistego i zastępczego jest równość energii potencjalnych tych układów

Eprz=Epz

przy czym energia potencjalna i-tego elementu liniowo-sprężystego jest kwadratową funkcją wielkości ich odkształcenia

��. = 12 �.∆�.�lub��; = 12 �;∆�;� Współczynniki sztywności niektórych prostych pojedynczych elementów (elementu

rozciąganego siłą �T, elementu skręcanego momentem �UUT i dwóch elementów zginanych siłą �T) podano na rysunku poniżej.

I7, I�/IK - masy zastępcze układu wyznaczone powyżej; �7, �� - sztywności zastępcze; zostaną wyznaczone w następnym przykładzie 3; �7, ��i�K - współrzędne uogólnione kątowe mas zastępczych układu




16

Zastępcze współczynniki sztywności c grupy elementów pojedynczych połączonych szeregowo lub równolegle (rys. b) i c) poniżej) wyznacza się według wzorów: −przypołączeniuszeregowym 1c = 1c7 + 1c� +⋯ 1cb −przypołączeniurównoległym� = �7 + �� +⋯+ �d

Współczynnik sztywności sprężyny śrubowej przedstawia rysunek a).

Przykład 3. Należy wyznaczyć współczynniki sztywności �7i�� zastępczych elementów bezmasowych trójmasowego modelu układu napędowego kutra z przykładu 2.




17

Na podstawie kryterium równoważności energii potencjalnych układów rzeczywistych i zastępczych

��DE7 = 12 �e7∆�e7� = ��E7 = 12 �7∆�7�� = 12 �7�� − �7�� DE� = 12 �e�∆�e�� = ��E� = 12 ��∆��K� = 12 ��K − ��

otrzymuje się zastępcze współczynniki sztywności modelu trójmasowego

�7 = �e7 (R�R7-� ; �� = �e�

Przykład 4. Należy określić dla trójmasowego modelu układu napędowego kutra z przykładów 2. i 3. postacie energii kinetycznej i potencjalnej oraz parametry strukturalne modelu, tzn. jego macierze bezwładności A i sztywności C. Model fizyczny układu

Postacie energii kinetycznej i potencjalnej układu

�* = 12 I7��7� + 12 I�� + 12 IK�� K� �� = 12 �7�� − �7�� + 12 ��K − ��

Parametry strukturalne modelu czyli elementy 6.; macierzy bezwładności oraz elementy �.; macierzy sztywności wyznacza się według wzorów

6.; = )��*)�� .)��; �.; = )��)�.)�; stąd macierze bezwładności i sztywności

> = fI7 0 00 I� 00 0 IKg B = f c7 −c7 0−c7 c7 + c� −c�0 −c� cK g




18

Macierz bezwładności A jest macierzą diagonalną, natomiast macierz sztywności C jest macierzą trójdiagonalną.

2.5. Równania ruchu liniowego modelu układu mechanicznego

Przy założeniu liniowej sprężystości i liniowego tłumienia wiskotycznego, małe drgania układu o s stopniach swobody w otoczeniu położenia równowagi można, na podstawie równań Lagrange’a II rodzaju, przedstawić w postaci następującego układu s równań różniczkowych zwyczajnych liniowych drugiego rzędu 677+h7 + 67�+h� +⋯+ 679+h9 + �77+�7 + �7�+�� +⋯+ �79+�9 + �77+7 +⋯+ �79+9 = �7�� 6�7+h7 + 6��+h� +⋯+ 6�9+h9 + ��7+�7 + ��+�� +⋯+ ��9+�9 + ��7+7 +⋯+ ��9+9 = ��

…………………………………………………………………………………………. 697+h7 + 69�+h� +⋯+ 699+h9 + �97+�7 + �9�+�� +⋯+ �99+�9 + �97+7 +⋯+ �99+9 = �9�� lub krótko w postaci macierzowej >ih �� + Ci� �� + Bi�� = j�� gdzie: ih ��,i� ��, i�� - jednokolumnowe macierze przyspieszeń, prędkości i przemieszczeń

uogólnionych

ih �� = ?+h7��+h��⋮+h9��Ai� �� = ?+�7��+��⋮+�9��A i�� = ?+7��+��⋮+9��A F(t) - jednokolumnowa macierz sił zewnętrznych niepotencjalnych �.�� działających na

kierunku i-tej współrzędnej uogólnionej

j�� = ?�7��⋮�9��A Literatura: [2] rozdz. 3.2, str. 22÷41; [4] rozdz. 4.1, str. 153÷161; [5] rozdz. 1.1, str. 7÷27.




19

Temat 3. Drgania swobodne układów liniowych o jednym stopniu swobody.

Równania różniczkowe modelu - w ruchu prostoliniowym (dla drgań podłużnych) F�h�� + �� + �� = �� - w ruchu obrotowym (dla drgań skrętnych) I�h �� + �� + �� = �� Ze względu na identyczną postać równań ruchu, w dalszym ciągu rozważa się tylko drgania podłużne.

Drgania swobodne układu zachowawczego

Zakłada się brak wymuszenia i brak tłumienia w układzie �� = 0i� = 0

wówczas równanie drgań swobodnych nietłumionych ma postać F�h�� + �� = 0

a po podzieleniu przez m �h �� + J"�� = 0

gdzie:

kl = mn o⁄ [rad/s2] - częstość drgań swobodnych nietłumionych, zależna jedynie od masy m i współczynnika sztywności c modelu.

Rozwiązanie ogólne równania ruchu

Modele fizyczne układów o jednym stopniu swobody; a) dla drgań podłużnych; b) dla drgań skrętnych; x, φ – współrzędna liniowa i kątowa masy m lub momentu bezwładności J modelu; c, b - współczynnik sztywności i oporu wiskotycznego; F(t), M(t) – siła lub moment wymuszenia zewnętrznego




20

- w postaci analitycznej �� = p7 cosJ"� + p� sinJ"� - lub w równoważnej postaci amplitudowej �� = 6" sin�J"� + �"� przy czym stałe całkowania wynikają z warunków początkowych ruchu �� = 0� = �"�� = 0� = ��" tzn. p7 = �"p� = ��"J" oraz

6" = q�"� + ��"�J"� �" = arctg x"ω"x�"

Przykładowy przebieg drgań swobodnych układu zachowawczego o jednym stopniu swobo-dy. Drgania maja charakter drgań sinusoidalnych o okresie T0. Energia mechaniczna układu pozostaje niezmienna.

Drgania swobodne układu niezachowawczego

Zakłada się brak sił wymuszających zewnętrznych: �� = 0. Wówczas równanie dyna-miczne ruchu swobodnego tłumionego wiskotycznie liniowo jest następujące F�h�� + �� + �� = 0 a po podzieleniu przez masę m




21

�h�� + 2ℎ�� + J"�� = 0

gdzie:

J" = m� F⁄ - [rad/s] częstość drgań własnych nietłumionych;

2h=b/m - [N/(m/s)=kg/s] stała tłumienia wiskotycznego liniowego.

Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego przewiduje się w postaci funkcji Eulera �� = pvD� gdzie C jest pewną stałą a r parametrem. Po kilku przekształceniach otrzymuje się rozwią-

zania:

- w > kl tłumienie jest nadkrytyczne �� = p7vDy� + p�vDz� - w = kl tłumienie ma wartość krytyczną; {|} = ~okl �� = v��p7 + p�� W obu powyższych przypadkach ruch układu jest aperiodyczny gasnący. W dalszych

rozważaniach te przypadki zostaną pominięte, ze względu na mniejsze praktyczne znaczenie.

Dla w < kl tłumienie jest podkrytyczne i wówczas rozwiązanie czyli ruch układu opisany

jest równaniem w postaci analitycznej �� = v��p7cosJ� + p�sinJ�� lub w równoważnej postaci amplitudowej �� = 6"v��sin�J� + �"� gdzie:

J = mJ"� − ℎ� [rad/s] częstość drgań własnych tłumionych;

p7, p�/6", �" - stałe całkowania, wyznacza się z warunków początkowych ruchu.

Drgania układu nie mają ściśle charakteru drgań okresowych, bo amplituda drgań gaśnie,

jednak są drganiami pseudookresowymi, gdyż przejście ciała przez położenie równowagi

odbywa się w ściśle określonych odstępach czasu T, zwanych okresem drgań tłumionych.




22

Intensywność tłumienia amplitudy drgań określa tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia

� = ln �� + �� = ⋯ = ℎ� = 2�ℎmJ"� − ℎ� przy czym dla małej wartości tłumienia h logarytmiczny dekrement należy wyznaczać według

wzoru

� = 1� ln �� + �� Na podstawie równania różniczkowego ruchu, można udowodnić, że szybkość zmiany

energii mechanicznej układu jest równa podwojonej i wziętej ze znakiem minus funkcji

Rayleigha układu

�� * + �� = −2

Przykład 5.

Model dźwigni zaworowej, pokazany na schemacie poniżej, składa się z nieodkształcalnego

pręta jednorodnego o masie m3 i długości l, punktowych mas m1 i m2 popychacza i grzybka

zaworu oraz sprężyn o współczynnikach sztywności c1 i c2. W chwili początkowej dźwignia

była wychylona z położenia równowagi o kąt �" = 5° i puszczona swobodnie, Po N=20

wahnięciach amplituda drgań zmalała e-krotnie. Należy wyznaczyć między innymi

- model fizyczny układu jednomasowy, tłumiony wiskotycznie liniowo;

- częstość drgań własnych swobodnych nietłumionych i tłumionych.




23

Na podstawie równań równoważności energii kinetycznej i potencjalnej układu rzeczywistego (a) i modelu dźwigni (b)

�*DE = 12F7��7� + 12F�� + 12 IKP�� = �*E = 12F�� DE = 12 �7�7� + 12 �� = ��E = 12 ��

przy założeniu, że dokonuje się redukcji układu na oś X1, tzn. że x = x1, otrzymuje się parametry modelu F = F7 + 4F� +FK [kg] � = �7 + 4�� [N/m]

Logarytmiczny dekrement tłumienia wynosi

� = 1� ln �"��"�� + �� = 120 lnv = 120

stąd wartość h stałej tłumienia wiskotycznego

ℎ = �J"√4�� + �� ≅ �J"2� = �2�� F = 140�q �7 + 4��F7 + 4F� +FK ��3 � Częstości drgań własnych nietłumionych i tłumionych

J" = q �7 + 4��F7 + 4F� +FK �Q6�3 � J = �J"� − ℎ� �Q6�3 �

Literatura: [2] rozdz. 4, str. 42÷52; [5] rozdz. 2, str. 49÷65.




24

Temat 4. Drgania wymuszone harmonicznie układów liniowych o jednym stopniu swobody.

Równania ruchu układu

Zakłada się zewnętrzne wymuszenie siłą F(t) harmonicznie zmienną z częstością ν F�h�� + �� + �� = �� = ��sin'� przy czym amplituda siły wymuszającej może być stała lub zmienna z kwadratem częstości siły wymuszającej (przypadek wymuszenia od niewyważenia wirnika) �� = const!�� = FdQ'� Rozwiązanie ogólne powyższego równania różniczkowego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (rozważanego w poprzednim punkcie) oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego przy zerowych warunkach początkowych. Rozwiązanie pierwsze, z powodu występującego w rzeczywistych układach tłumienia, wygasa po pewnym czasie i trwałym składnikiem rozwiązania pozostaje tylko składnik drugi, tj. ruch wymuszony ustalony o przewidywanej postaci �9�� = �9�sin�'� − �� Można dowieść, że amplituda �9� i faza drgań φ są opisane wyrażeniami

- dla układu niezachowawczego, gdy ℎ ≠ 0

�9� = ��F 1m�J"� − '�� + 4ℎ�'� � = arctg 2ℎ'J"� − '� - dla układu zachowawczego, gdy h = 0 oraz gdy ' ≠ J" czyli, gdy nie ma rezonansu

�9� = ��F 1J"� − '� � = 0°lub� = 180° W przypadku, gdy częstość wymuszenia jest równa częstości własnej, tzn. ' = J", i gdy tłumienie jest równe zero h = 0 zachodzi rezonans. Wówczas rozwiązanie szczególne ma postać �9�� = p�sin�'� − �� gdzie p = ��F �2J" � = �2




25

czyli amplituda drgań rośnie nieograniczenie, i dochodzi najczęściej do zniszczenia układu po niezbyt długim czasie. W technicznych rozwiązaniach występuje zazwyczaj niewielkie chociażby tłumienie, dlatego amplitudy drgań osiągają skończone jednak na ogół bardzo duże wartości. Należy więc za wszelką cenę unikać zjawiska rezonansu.

Charakterystyki częstościowe układu Dla oceny zależności amplitudy xsa i fazy φ drgań wymuszonych ustalonych od częstości ν siły wymuszającej wprowadzono bezwymiarowe wielkości: - współczynnik wzmocnienia amplitudy drgań układu pod wpływem sily o amplitudzie Fa = const

� = �9��' ≠ 0��9��' = 0� = ��F 1m�J"� − '�� + 4ℎ�'�F�� J"� = 1m�1 − �� + 4�� oraz pod wpływem siły o amplitudzie �� = FdQ'� zależnej od kwadratu częstości ν wymuszenia

� = �9��0 < ' < ∞��9��' → ∞� = FdQ'�Fm�J"� − '�� + 4ℎ�'� �FdQF ��7 = ��m�1 − �� + 4�� - kąt opóźnienia fazy drgań wymuszonych ustalonych względem fazy siły wymuszającej

� = arctg 2��1 − �� gdzie: −� = 'J" względnaczęstośćwymuszenia −� = ℎJ" = ℎℎ*D względnawartośćstałejtłumieniawiskotycznego. Poniżej pokazano charakterystyki częstościowe układu o jednym stopniu swobody:

a) amplitudowo-częstościową przy stałej amplitudzie siły wymuszającej Fa = const; b) amplitudowo-częstościową przy zmiennej z kwadratem częstości amplitudzie siły

wymuszającej �� = FdQ'�; c) fazowo-częstościową.




26

Podatność i sztywność dynamiczna układu o jednym stopniu swobody

Do oceny wielkości amplitudy i fazy drgań ustalonych wymuszonych, spowodowanych siłą

harmoniczną o jednostkowej amplitudzie, wprowadzono pojecie modułu podatności £�'� oraz

fazy podatności �¤�'�. Moduł podatności dynamicznej ¥�¦� określony jest stosunkiem amplitudy drgań ustalonych wymuszonych xsa do amplitudy Fa siły wymuszającej

£�'� = �9�� = 1F 1m�J"� − '�� + 4ℎ�'� = 1� 1m�1 − �� + 4��




27

Natomiast argument (faza) §¥�¦� jest odwróconą, tj. wziętą ze znakiem minus charaktery-

tyką fazowo-częstościową układu

�¤�'� = −arctg 2ℎ'J"� − '� = −arctg 2��1 − �� Analiza modułu podatności pozwala określić wpływ parametrów układu na podatność

£�' → 0� ≅ 1FJ"� = 1� ; £�' = J"� ≅ 12�� ; £�' → ∞� ≅ 1F'�

Odwrotność modułu podatności dynamicznej jest tzw. sztywnością dynamiczną ��'� ��'� = 1£�'� = ��9� = �m�1 − �� + 4��

Określa ona wartość amplitudy �� siły wymuszającej, przy której amplituda �9� drgań ustalonych wymuszonych, przy danej częstości ν siły wymuszającej, jest jednostkowa.

Przykład 6. W celu zbadania własności dynamicznych mechanizmu dźwigni zaworowej silnika spalinowego oddziaływano na mechanizm wymuszeniem typu kinematycznego, tzn. koniec sprężyny c1 przemieszczano wzbudnikiem harmonicznie z częstością ν i ze stałą amplitudą e = 0.1 mm. Parametry mechanizmu: m1= 0.1 kg, m2= 0.15 kg, m3= 0.3 kg, c1= 2·106 N/m,

c2= 0.5·106 N/m, l = 0.3 m. Należy zbadać zależność modułu £�'� i fazy �¤�'� podatności

dynamicznej układu od częstości ν wymuszenia.




28

Funkcje energii mechanicznej układu wyznacza się z uwzględnieniem założeń z przykładu 5.

�*DE = 12F7��7� + 12F�� + 12 IPK�� = �*E = 12F7�� + 12F��4�� + 12FK!�9 9!� �� =

= 12 �F7 + 4F� +FK�� DE = 12 �7�$ − �7�� + 12 �� = ��E = 12 �7�$ − �� + 12 ��4�� = 12�� stąd na podstawie równania Lagrange’a II rodzaju (bowiem s = 1) �� ()�*)�� - + )��)� + ) )�� = 0

otrzymuje się równanie różniczkowe ruchu wymuszonego dźwigni �F7 + 4F� +FK��h + �� + ��7 + 4�� = �7$ = �7vsinνt czyli F�h + �� + �� = �� sin νt lub �h + �2ℎ + J"�� = ��F sin νt gdzie:

F = F7 + 4F� +FK = 1�kg� � = �7 + 4�� = 4 ∙ 10«�N m⁄ � J" = ��F = m4 ∙ 10« = 2 ∙ 10K�rad s⁄ �




29

ℎ ≅ �J"2� = 2 ∙ 10K20 ∙ 2 ∙ � = 50� �13� J = �J"� − ℎ� = 1999.94 ≅ 2000�rad s⁄ � �� = �7v = 2 ∙ 10« ∙ 0.0001 = 200�N� � = ℎJ" = 502� ∙ 10K = 140�

Zauważmy, że przy stałej wartości amplitudy e wymuszenia typu kinematycznego można je

zastąpić wymuszeniem typu siłowego � = �� sin νt o stałe amplitudzie �� = �7v.

Charakterystyczne punkty modułu podatności dynamicznej £�� = ' J"⁄ � £�� = 0� = 1� = 14 ∙ 10« mN = 0.25 ∙ 10�« mN

Maksimum funkcji £�� jest dla

� = m1 − 2�� ≅ 0.99987 ≈ 1

i wynosi £®�¯ = £�� ≅ 1� ≅ 12�� = 2000�2 ∙ 50 ∙ 4 ∙ 10« = 15.7 ∙ 10�«�m N⁄ �

Literatura: [2] rozdz. 4, str. 52÷60; [5] rozdz. 2, str. 65÷123.

Duża stromość charakterystyki w obszarze rezonansu wynika z bardzo małej wartości tłumienia. Zmniejszenie podatności dynamicznej w tym obszarze można osiągnąć jedynie przez zwiększenie tłumienia w układzie.




30

Temat 5. Drgania układów liniowych o wielu stopniach swobody. Większość układów mechanicznych nie może być zastąpiona w sposób adekwatny modelem o jednym stopniu swobody. Konieczne jest budowanie dla takich układów modeli o wielu stopniach swobody. Rozważania niniejsze dotyczą takich właśnie modeli.

Drgania swobodne liniowego układu zachowawczego

Jeżeli w ogólnym modelu matematycznym liniowego układu mechanicznego

>ih �� + Ci� �� + Bi�� = j�� założy się brak sił tłumiących i brak zewnętrznych wymuszeń

C = lij�� = 0

to otrzyma się model matematyczny drgań swobodnych liniowego układu zachowawczego

>ih �� + Bi�� = l

Zakłada się znajomość warunków początkowych ruchu układu

i�� = 0� = ?+7�� = 0�+�� = 0�⋮+9�� = 0�A = ?+7"+�"⋮+9"A = i"; i� �� = 0� = i� " jednak drgania swobodne układu o wielu stopniach swobody nie zawsze są harmoniczne niezależnie od warunków początkowych, tak jak jest to w przypadku układów o jednym stopniu swobody. Istnieje jednak możliwość doboru takich warunków początkowych, że drgania swobodne układu o wielu stopniach swobody są harmoniczne. Nazywa się je drganiami głównymi lub własnymi.

Drgania główne (własne) układu.

Zakłada się, że wszystkie masy układu drgają harmonicznie z jednakowa częstością ω i jednakowa fazą φ, tzn. przewiduje się rozwiązanie równania różniczkowego ruchu >ih �� + Bi�� = l




31

w postaci

i�� = ?°7 sin�J� + ��°� sin�J� + ��⋮°9 sin�J� + ��A = ?°7°�⋮°9A sin�J� + �� = ±sin�J� + �� gdzie: s – liczba stopni swobody układu,

°. - amplituda i-tej współrzędnej uogólnionej, φ - faza ruchu układu, jednakowa dla wszystkich mas,

Ψ – jednokolumnowa macierz amplitud °. ² = �°7 °� ⋯ °9�³

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu przewidywanego rozwiązania i podstawieniu do równania ruchu otrzymuje się fundamentalny warunek matematyczny istnienia drgań głównych (własnych) �B − J�>�² = 0

Jest to układ s równań algebraicznych jednorodnych liniowych względem amplitud °.. Roz-

wiązania niezerowe istnieją, jeżeli wyznacznik główny macierzy B − J�> jest równy 0

´́�77 − J�677 �7� − J�67� … �79 − J�679��7 − J�6�7 �� − J�6�� … ��9 − J�6�9⋮�97 − J�697 ⋮�9� − J�69� ⋮… ⋮�99 − J�699 ´́ = 0

Po rozwinięciu powyższego wyznacznika, otrzymuje się równanie algebraiczne s-tego stopnia

względem J�. Dowodzi się, że wszystkie pierwiastki równania J7�, J��, … , J9� są rzeczy-

wiste dodatnie. Liczby kµ, k~, … , k¶ nazywa się częstościami drgań głównych lub częstościami drgań własnych układu. Każda z częstości J. podstawiona do warunku istnienia drgań głównych �B − J.�>�²· = 0

pozwala wyznaczyć i-tą postać drgań głównych

²· = ¸°7�.� °��.� … °9�.�¹º

Zauważmy, że wyznacza się nie bezwzględne wartości amplitud °;�.�, lecz jedynie stosunek

amplitud




32

°7�.�: °��.�: … ∶ °9�.� czyli inaczej mówiąc, wyznacza się amplitudy z dokładnością do stałego czynnika.

Macierz X utworzona z jednokolumnowych macierzy postaci własnych ²· tworzy tzw. macierz modalną ½ = �²�µ� ⋯ ²�¾�� Opierając się na warunku matematycznym istnienia drgań głównych, można dowieść tzw.

zasady A- i C-ortogonalności głównych postaci drgań Ψ�À�Á>Ψ�*� = 0przy! ≠ � Ψ�À�ÁBΨ�*� = 0przy! ≠ �

Literatura: [2] rozdz. 4.2., str. 60÷65; [5] rozdz. 3, str. 125÷188.

Temat 6. Minimalizacja drgań i ich skutków, poprzez zmniejszanie amplitud drgań

układów.

Drgania mechaniczne oddziałują szkodliwie przede wszystkim na organizm człowieka,

ale również na maszyny, mechanizmy lub ich elementy.

Rozróżnia się oddziaływanie bezpośrednie występujące przy kontakcie ciała ludzkiego

z drgającym układem mechanicznym oraz oddziaływanie pośrednie poprzez fale sprężyste

wywołane drganiami układu mechanicznego, np. fale akustyczne w postaci hałasu.

Percepcja drgań przez człowieka, a tym samym ich szkodliwość, zależy od wielu czyn-

ników:

− od charakteru drgań; drgania mogą działać lokalnie lub globalnie; mogą działać

wzdłuż kr ęgosłupa lub poprzecznie do niego; drgania mogą być impulsowe,

uderzeniowe lub ciągłe; drgania mogą być harmoniczne lub złożone

(poliharmoniczne);

− od częstotliwości drgań;

− od czasu ekspozycji organizmu na drgania;

− od mocy emitowanej i absorbowanej przez organizm człowieka.




33

Zmniejszenie skutków oddziaływania drgań można osiągnąć poprzez:

− minimalizację drgań w źródle tj. zmniejszenie amplitud drgań układów;

− minimalizację drgań na drodze ich propagacji, czyli tzw. wibroizolację;

− minimalizację skutków drgań tzn. minimalizację hałasu.

Możliwe są trzy sposoby obniżania amplitud drgań wymuszonych ustalonych układu

mechanicznego:

− przez zmianę parametrów układu;

− przez zmianę wymuszeń;

− przez zmianę struktury układu, tj. głównie przez dołączenie układu dodatkowego.

Zmiana parametrów układu

Zasady modyfikacji podatności układu o jednym stopniu swobody wynikają z analizy wpływu

poszczególnych parametrów układu na moduł podatności, przeprowadzonej w punkcie 4.1. i

pokazanej ponownie na rysunku.

Istnieją trzy strefy wpływu parametrów układu na jego podatność. W obszarze przedrezo-nansowym zmniejszenie podatności osiąga się przez wzrost sztywności układu. W obszarze rezonansu zmniejszenie podatności osiąga się jedynie przez wzrost tłumienia, a w obszarze nadrezonansowym należy zwiększyć masę układu. W przypadku układów o wielu stopniach swobody zmniejszenie podatności w obszarach rezonansowych osiąga się podobnie tzn. przez zwiększenie tłumienia. W obszarze bardzo niskich częstości tj. przed pierwszym rezonansem oraz w obszarze bardzo wysokich częstości, zmniejszenie podatności osiąga się podobnie jak dla układu o jednym stopniu swobody, tzn. odpowiednio przez wzrost sztywności elementów układu oraz wzrost mas układu. W obsza-




34

rach międzyrezonansowych należy przeprowadzić pełną analizę wpływu poszczególnych parametrów strukturalnych na podatność układu.

Zmiana parametrów wymuszenia

Parametrami wektora wymuszeń rzeczywistych są: liczba sił wymuszających, moduły i

fazy sił wymuszających oraz częstości sił wymuszających. Ograniczenie liczby sił wymuszających, prowadzi w ogólności do obniżenia amplitud

drgań układu. Przykładem jest chociażby eliminacja niektórych harmonicznych sił masowych, działających na elementy układu korbowo-tłokowego silników spalinowych przez wyrównoważenie dynamiczne poszczególnych układów oraz odpowiednie rozmieszczenie wykorbień wału korbowego względem siebie.

Zmniejszenie amplitud sił wymuszających jest najskuteczniejszym sposobem zmniejszania drgań. Osiąga się to np. przez wyrównoważenie elementów obrotowych lub będących w ruchu posuwisto-zwrotnym, np. układów korbowo-tłokowych, śrub napędowych okrętowych, wirników silników i prądnic elektrycznych itp.

Bardzo efektywnym sposobem, choć nie zawsze możliwym do zrealizowania, jest zmiana częstości sil wymuszających i wyjście poza obszar rezonansowy wysokiej podatności układu. Przykładem jest tutaj chociażby zmiana obrotów silnika głównego statku w celu wyjścia z obszaru obrotów zabronionych dla pracy ciągłej układu silnik-linia wałów-śruba napędowa.

Niekiedy stosuje się również zmianę faz amplitud sil wymuszających. W silnikach spalinowych wielocylindrowych kolejność zapłonów w cylindrach jest tak ustawiana, aby uzyskać możliwie najmniejsze odchylenia momentu chwilowego na wale od jego wartości średniej.

Zmiana struktury układu przez dołączenie układu dodatkowego – – eliminatory i tłumiki drga ń




35

Nietłumiony eliminator drgań Przy niedużym tłumieniu w układzie, amplitudy drgań układu dążą wówczas do bardzo dużych wartości, co grozi zniszczeniem lub co najmniej poważnym uszkodzeniem układu. Okazuje się, że można tego uniknąć przez zmianę struktury układu, tzn. dołączenie układu dodatkowego tzw. nietłumionego eliminatora drgań. Na wolnym końcu wału instaluje się za pomocą elementu sprężystego o współczynniku sztywności ce element masowy o momencie

bezwładności IÂ. Parametry eliminatora IÂ, ce są tak dobrane, aby częstość własna eliminatora JÂ była równa częstości wymuszenia '. JÂ = q�ÂIÂ = '.

Masa eliminatora drga w przeciwfazie w stosunku do momentu wymuszenia i moment

wymuszający �.�� jest równoważony momentem sił bezwładności masy eliminatora −IÂ�hÂ +�.� sin '.� = 0

J7 = 0;J� = q� I7 + I�I7I�

Rozważa się model dwumasowy pewnego układu napędowego statku. Częstości drgań własnych są określone następująco:

Załóżmy, że i-ta składowa harmoniczna �.�� momentu napędowego silnika ma częstość '. równą lub bardzo bliską częstości J� drgań własnych układu. Zacho-dzi wówczas rezonans układu napędowego




36

Masa główna układu I7 pozostaje nieruchoma kosztem drgań masy eliminatora IÂ. Poniżej

przedstawiono wykres modułu podatności masy I7 modelu układu napędowego statku bez eliminatora – 1 i z eliminatorem – 2.

Kryteria doboru eliminatora:

IÂ ≥ �.�'.��Â�ÄÅ� �kgm��; �Â = IÂ'.� ≥ �.��Â�ÄÅ� �Nm rad⁄ �

Tłumiki drga ń (Houde’a, Holseta)

Istotną wadą eliminatorów drgań jest ograniczona wytrzymałość elementu sprężystego oraz skuteczność eliminatorów jedynie w punkcie optymalnego dostrojenia. Stąd w układach napędowych o wymaganej dużej niezawodności, jak np. w układach napędowych statków, stosuje się tłumiki drgań pozbawione elementu sprężystego. Obecnie stosuje się przede wszystkim tłumiki Houde’a (Holseta), wykorzystujące do tłumie-nia drgań tarcie wiskotyczne. Energia drgań skrętnych jest zamieniana wskutek tarcia lepkiego w energie cieplną i wypromieniowywana do otoczenia.




37

Skuteczność tłumików jest oczywiście znacznie mniejsza od eliminatorów optymalnie dostrojonych, jednak są one niemal niezawodne, stąd są powszechnie stosowane w odpowiedzialnych układach. Literatura: [2] rozdz. 5.1, str. 91÷100; [3] rozdz. 3.1, str.62÷126.

Temat 7. Wibroizolacja – minimalizacja drgań na drodze ich propagacji.

W przypadku niemożności minimalizacji drgań w źródle ich powstawania, istnieje możliwość obniżania amplitud drgań na drodze ich propagacji, czyli tzw. wibroizolacja źródeł drgań i elementów uczestniczących w przekazywaniu drgań, tj. konstrukcji wsporczych, rurociągów itp.

Rozróżnia się, ze względu na zastosowane środki, tzw. wibroizolację bierną (pasywną) i wibroizolację czynną, aktywną, a ze względu na założony cel – wibroizolację przemieszczeniową, polegającą na izolowaniu maszyn, urządzeń od drgań podłoża, na którym są posadowione, oraz wibroizolację siłową, polegającą na izolowaniu podłoża od sil wzbudzanych w urządzeniach, maszynach, silnikach itp.

Poniżej pokazano schematy rzeczywistych układów wibroizolacji biernej (pasywnej) oraz ich modele o jednym stopniu swobody: a) wibroizolacja przemieszczeniowa stanowiska operatora; b) wibroizolacja siłowa silnika np. okrętowego.

Schemat tłumika Houde’a (Holseta); 1 – wał, 2 – piasta osadzona nieruchomo na wale, 3 – tuleja ślizgowa, 4 – obudowa przymocowana do piasty wału, 5 – tarcza bezwładnościowa, 6 – przestrzeń wypełniona olejem (np. silikonem) o lepkości niezbyt silnie zależnej od temperatury oleju




38

Na podstawie równania różniczkowego ruchu drgającego modelu wibroizolacji

przemieszczeniowej (rys. a)

F�h�� = −�� − $� �� − �� − $�� przy założeniu harmonicznego ruchu podłoża

$�� = $� sin '� otrzymuje się amplitudę xa ruchu wymuszonego ustalonego modelu

�� = $� ∙ q J"Æ + 4ℎ�'��J"� − '�� + 4ℎ�'� a stąd współczynnik wzmocnienia amplitudy drgań modelu




39

� = ��$� = q J"Æ + 4ℎ�'��J"� − '�� + 4ℎ�'� Analogiczne rozumowanie dla układu wibroizolacji siłowej (rys. b) prowadzi do identycznej

postaci współczynnika wzmocnienia amplitudy siły Fa przenoszonej na podłoże z drgającego

obiektu

�Ç = �� = q J"Æ + 4ℎ�'��J"� − '�� + 4ℎ�'� Poniżej przedstawiono zależność współczynników wzmocnienia amplitudy drgań µ oraz

amplitudy siły µR modelu wibroizolacji przemieszczeniowej i siłowej od stosunku β częstości

wymuszenia ν do częstości drgań własnych nietłumionych ω0. Zakreskowano obszar

praktycznie skutecznej wibroizolacji ¦ > �3 ÷ 5�kl, gdzie współczynnik wzmocnienia

jest dużo mniejszy od jedności.

Zauważmy pewien pozorny paradoks. W obszarze skutecznej wibroizolacji mniejszym

wartościom tłumienia � = ℎ J"⁄ , odpowiadają mniejsze wartości współczynników




40

przenoszenia µ lub µR. Można to wytłumaczyć tym, że wzrostowi współczynnika tłumienia � towarzyszy wzrost amplitudy siły przekazywanej przez sprężysto-tłumiący wibroizolator.

Dla uzyskania jak największej skuteczności wibroizolacji należy więc dobrać wibriozolator o możliwie małym tłumieniu É oraz możliwie mało sprężysty spełniający warunek ¦ > �3 ÷ 5�kl. Literatura: [2] rozdz. 5.2, str. 100÷106; [3] rozdz. 3.2, str. 126÷161; [1] rozdz. 8.5, str. 316÷332.

Temat 8. Minimalizacja hałasu.

Hałas jako niepożądany dźwięk jest zależny m.in. od liczby i rodzaju źródeł drgań oraz środowiska, w jakim się one znajdują (gaz, ciecz, ciało stałe). Obniżenie poziomu hałasu jest więc możliwe przez obniżenie poziomu hałasu samego źródła oraz przez utrudnienie rozprzestrzeniania się hałasu w środowisku.

Obniżenie poziomu hałasu w źródle

Wyróżnia się hałas pochodzenia mechanicznego spowodowany pracą silników elektrycznych, spalinowych, kruszarek itp. oraz hałas pochodzenia aerodynamicznego spowodowany przepływem strug cieczy, gazów w rurociągach, w rejonie śruby okrętowej itp.

Dowodzi się, że moc �E promieniowana przez źródło dźwięku mechanicznego jest proporcjonalna do iloczynu uśrednionego w czasie i na powierzchni drgającej struktury

kwadratu prędkości G̅L� punktu A reprezentatywnego dla danej struktury, wartości S pola powierzchni drgającej struktury oraz tzw. impedancji lub inaczej oporności falowej ośrodka Z

�E~ÌG̅L�Í�W� gdzie:

Ì = Ï��G��ÐNs mKÑ Ò dlaośrodkówgazowych, Ï��, G�� − ciśnienieiprędkośćcząstekośrodka, Ì = Ô�� ÐNs mKÑ Ò dlaośrodkówstałych,




41

Ô��, �� − naprężenieiprzemieszczeniecząstekośrodka,wszczególności Ì = Ö"G"dlafalipłaskiej, gdzieÖ"jestgęstościaośrodkawkg/mK,

a G"jest prędkością propagacji fali w ośrodku w m/s.

Zmniejszenie mocy emitowanej przez źródła dźwięku mechanicznego można więc uzyskać przez:

− obniżenie podatności drgającej struktury,

− minimalizację liczby i wartości sil działających na drgającą strukturę,

− zastąpienie obudów pełnych siatkowymi, ażurowymi, przez co zmniejsza się powierzchnia drgającej struktury.

Wykazano, że promieniowana moc hałasu aerodynamicznego jest proporcjonalna do czwartej, szóstej a nawet ósmej potęgi prędkości strumienia gazu, cieczy lub ciała poruszającego się w nieruchomym ośrodku. Najbardziej efektywnym sposobem obniżania hałasu aerodynamicznego jest:

− zmniejszenie do możliwie najmniejszych prędkości płynu lub ciała w ośrodku,

− możliwie łagodne kształtowanie zmian kierunku przepływu lub przekroju strugi. Stwierdzono, że w przypadku śrub okrętowych poziom hałasu przez nie emitowanych gwałtownie wzrasta po przekroczeniu pewnych prędkości obrotowych. Rozróżnia się ogólnie trzy rodzaje szumów emitowanych przez śrubę okrętową: kawitacyjne, obrotowe i turbulen-cyjne.

W celu zmniejszenia szumów pochodzących od śruby: − zmniejsza się obroty śruby i zwiększa jej zanurzenie,

− odpowiednio kształtuje się część rufową statku,

− stosuje się opływki, dysze.

Obniżenie poziomu hałasu na drodze jego propagacji

W przypadku niemożności obniżenia poziomu hałasu w źródle można obniżyć jego poziom na drodze rozprzestrzeniania, poprzez:

− izolowanie akustyczne częściowe lub całkowite źródła hałasu; izolowanie całkowite polega na umieszczeniu źródła dźwięku w oddzielnym pomieszczeniu, np. instalowa-nie pomp w stacjach pomp, umieszczanie silników spalinowych podczas badań w całkowicie oddzielonych od obsługi pomieszczeniach;




42

− stosowanie szczelnych warstw pasty wibrotłumiącej na instalacjach przemysłowych gazowych;

− stosowanie tłumików hałasowych typu rezonansowego lub absorpcyjnego na prze-wodach wylotowych gazów (np. spalinowych z silnika);

− umieszczanie dużych obiektów przemysłowych, tras komunikacyjnych w znacznej odległości od skupisk ludzkich lub oddzielanie ich pasami zieleni, wałami ziemnymi lub sztucznymi ekranami;

− oddzielanie na statkach części mieszkalnej od pomieszczeń siłowni i przewodu kominowego; izolowanie pomieszczeń CMK;

− poprawianie własności dźwiękochłonnych pomieszczeń;

− stosowanie środków ochrony osobistej, np. hełmów, nauszników lub wkładek przeciwhałasowych.

Literatura: [1] rozdz. 9, str. 336÷427; [3] rozdz. 4, str.163÷197.

Spis literatury 1. Engel Z.: Ochrona środowiska przed drganiami i hałasem. PWN, Warszawa 2001. 2. Kaczmarek J.: Podstawy teorii drgań i dynamiki maszyn. WSM, Szczecin 2000. 3. Kaczmarek J.: Zwalczanie drgań i hałasu. WSM, Szczecin 2002. 4. Kruszewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w ujęciu

komputerowym. Zagadnienia wybrane. WNT, Warszawa 1993. 5. Marchelek K., Berczyński S.: Drgania mechaniczne. Zbiór zadań z rozwiązaniami.

Politechnika Szczecińska, Szczecin 2005.

mechanika wykłady ii semestr

Documents