mémoire de fin d’études pour l’obtention du diplôme de...
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Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire
Universit Aboubekr Belkaid -Tlemcen
Facult de Technologie
Dpartement de Gnie-Mcanique
Mmoire de fin dtudes
Pour lobtention du diplme de MASTER en Gnie-Mcanique
Option : Maintenance Industrielle
Thme :
Etude du comportement vibratoire dun arbre
tournant sous leffet dun gradient thermique
Soutenu : Juin 2013
Ralis par : Mr. KHELADI Zakarya
Prsent devant le jury compos :
Prsident Mr : HOUMAT A. Pr U.A.B. TlemcenEncadreur Mr : HAMZA-CHERIF S.M. MCB U.A.B. TlemcenCo-Encadreur Mr : GUENIFED A. MAA U.A.B. TlemcenExaminateurs : Mr : BELALIA S.M. MCA U.A.B. Tlemcen
Mr: GUEZZEN S. MCB U.A.B. Tlemcen
Anne universitaire : 2012-2013
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Ddicace
Ddicace
Je ddie ce travail de mon mmoire de master dieu qui ma toujours illumin et ma
mis sur les bonnes voies, sans oublier videment. Le soutien de mes parents qui ou
toujours compris et accept mes dcessions mmPe si actuellement ils se trouvent
loin gographiquement.
Je ddie aussi ce travail toute ma famille et mes amis car elle ma toujours servi
dinspiration.
Zakarya .
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Remerciements
Remerciements
En premier lieu, je tiens remercier mon DIEU qui ma donn le courage, la
force et la volont pour raliser ce modeste travail.
Je prsente galement cette occasion mes chaleureux remerciements mon
encadreur Mr. HAMZA CHERIF S.M mon Co-encadreur Mr GUENIFED A pour
laide honorable et infatigable quil ma apport en acceptant de superviser et de
suivre mon travail, pour les conseils et les prcieuses orientations.
Jadresse mes profonds remerciements Mr HOUMAT. A, professeur de
l'universit de Tlemcen, Mr. BELALIA S.M maitre de confrences de l'universit
de Tlemcen, Mr .GUEZZEN .S maitre de confrences de l'universit de Tlemcen, qui
ont spontanment la volont et lhonneur dexaminer mon travail. Leurs critiques et
leurs remarques me permettre de clarifier plusieurs points importants dans ce
mmoire. Je les exprime ma trs vivre reconnaissance.
Zakarya .
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i
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" "
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. .
.
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Rsumer
ii
Rsum
Le travail prsent concerne le comportement vibratoire des arbres tournants
soumis des conditions de fonctionnement difficiles de variation de
temprature. Une tude thorique permettant ltablissement des nergies
cintique et de dformation de larbre, ncessaires ltablissement des
quations de mouvement est faite. La thorie dEuler-Bernoulli est utilise
pour modliser larbre. Les quations de mouvement transformes ainsi que les
conditions aux limites associes sont dtermines en utilisant la mthode de
transformation diffrentielle Differential Transform Method . Les frquences
propres du systme tudi sont dtermines par la suite. Une tude de
validation est faite, les rsultats trouvs sont compars aux rsultats de la
littrature. En fin, linfluence de la vitesse de rotation, les conditions aux
limites ainsi que le gradient thermique sur les frquences propres est
considre.Les rsultats obtenus ont t reprsents sous forme de graphes et de
tableaux.
-
ABSTRACT
iii
Abstract
The work presented concern the vibrational behavior of rotating Shafts subjected
to hard operating conditions of temperature variation.
A theoretical study for the establishment of kinetic energy and strain energy of
the shaft, necessary to establish the equations of motion is made.
Bernoulli-Euler's theory is used to modelise the shaft. The transformed
equations of motion and the associated boundary conditions are determined
using the differential transformation method .The natural frequencies of the
studied system are determined there after. A validation study is done, the results
are compared with the results which are found in the literature.
End, the influence of the rotational speed, the boundary conditions and the
thermal gradient on the frequencies is considered .The results were presented in
the form of graphs and tables.
-
Sommaire
iv
Sommaire
Rsum i
Sommaire iv
Liste des figures v
Liste des tableaux vi
Principales notations vii
Introduction gnrale 1
Chapitre I : Equations de mouvement dun arbre tournant soumis leffet dungradient thermique
I-1Introduction 4I-2 Lnergie de dformation de la poutre 4
I-3 Energie de dformation due a gradient thermique 7I-4 Energie cintique de la poutre 7I- 5Equations de mouvement 9
CAHPITRE II : Mthode de transformation diffrentielleII-1 Introduction 11
II-2Mthode de transformation diffrentielle 11II-2.1 Dfinition 11II-3 Proprits doprations de la transformation diffrentielle 12II-4 Application de la DTM dans le cas dun arbre tournant 12
II-5 Conditions aux limites 14CHAPITRE III : Organisation et programmation
III-1 Introduction 17III-2 Organigramme 17III-3Programme principale 17III-4 Description du programme 19
IV-7 CHAPITRE IV : Validations, comparaisons et analyse de casIV-1Inroduction 21IV-2 Validation et comparaison des rsultats dans le cas stationnaire 21IV-2.1 Arbre sans leffet du gradient de temprature section circulaire
21IV-2.2Arbre sans leffet du gradient de temprature section rectangulaire) = (100 25IV 2 Diagramme de Campbell 28IV-3 Arbre avec leffet du gradient de temprature 30
Conclusion gnrale 32Rfrences bibliographie 34
-
Liste des figures
v
Liste des figures
1.1 Poutre en rotation
1.2 Dformation de la poutre
3.1 Schma de calcul global
4.1 Diagramme de Campbell dans le cas de poutre E-L avec = 4.2 Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Appuye-Appuye
avec =
4.3 Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Encastr-Libre avec = .
4.4 Variation de la premire frquence propre en fonction de latemprature dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermiquedans le cas stationnaire .
4.5 Variation de la premire frquence propre en fonction de latemprature dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermique enmouvement de rotation .
-
Liste des figures
vi
-
Liste des tableaux
vii
Liste des tableaux
2.1 Thormes de base utiliss dans la DTM
2.2 Conditions aux limites
4.1 Convergence dans le cas dune poutre Appuye-Appuye :
= 0
4.2 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 0
4.3 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 2
4.4 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 3.5
4.5 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 4
4.6 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 8
4.7 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 1.1
4.8 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 2
4.9 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 4
4.10 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 6
4.11 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 7.1
4.12 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 8.
-
Principales notations
Principales notations
Vitesse de rotation Dformation angulaire Rotation suivant laxe z Rotation suivant laxe y Rotation suivant laxe x Frquence propre Coefficient de dilatation thermique Variation de temprature Masse volumique Dformation longitudinale du point P Contrainte normale Moment dinertie suivant laxe y Moment dinertie suivant laxe z Moment dinertie polaire Section droite de la poutre Energie cintique de larbre Energie de dformation Energie de dformation provoque par le gradient thermiqueE Module de Young Matrice de rigidit Dplacement suivant laxe y Dplacement suivant laxe z Nombre des itrationsNT Effort normal provoqu par le gradient thermique
-
Introduction gnrale
1
Introduction
Les arbres tournants sont des lments de machines trs utiliss en
mcanique, leurs rles est de transmettre de la puissance dun organe moteur
vers un organe rcepteur. Les arbres tournants sont aux curs des quipements
industriels :
Dans la fabrication mcanique : arbres tournants des machines outils.
Dans la transformation dnergie : arbres dalternateurs des centrales
lectriques.
Dans le transport : arbres de transmission des vhicules et engins ,
roulants , arbres dhlice des sous marins , des mthaniers et des
grands bateaux pour le transport de gaz et des marchandises.
Dans laronautiques : arbres des racteurs davions et arbres multi
rotor concentriques.
Dans le nuclaire ; arbres des centrifugeuses nuclaires
Le comportement vibratoire des arbres tournants a un grand intrt pratique
dans l'industrie, notamment pour les concepteurs et les ingnieurs en
maintenance qui doivent prdire exactement les paramtres vibratoires tels que
les frquences propres, modes propres, rponse dynamique, etc. En effet, les
dfauts dalignement, les dfauts d'usinage, le frottement, les fissures et le
balourd dorigine thermique sont les causes principales des vibrations dans les
machines tournantes. Lorsque les rotors ne sont pas homognes, ou lorsque la
temprature n'est pas rpartie de faon uniforme, les rotors se dforment sous
l'effet de contraintes thermiques. Sils se dforment de faon dissymtrique, les
centres de gravit se dplacent et les efforts varient. Un exemple concret est
celui des rotors d'alternateurs ou de moteurs lectriques, en raison de l'nergie
importante dissipe par effet Joule ou par hystrsis, il est ncessaire de refroidir
les rotors. Toute dissymtrie de dbit (canaux de ventilation bouchs ou pertes
de charge diffrentes) se traduira automatiquement par des vibrations.
Le comportement dynamique des arbres tournants a fait lobjet de plusieurs
tudes, beaucoup dauteurs ont contribu au dveloppement de modles
mathmatiques et numriques de ce comportement. On peut citer entre autres,
-
Introduction gnrale
2
Bauer [1] qui fut le premier tudier le comportement vibratoire dune poutre
dEuler-Bernoulli en mouvement de rotation par rapport son axe. Zu et al [2]
ont tudi leffet des conditions aux limites sur les frquences propres des arbres
tournants. Leffet gyroscopique et le couplage entre mouvements rigides et
lastiques a t tudi par Hu et al [3] en utilisant la mthode des lments finis.
Nelson et al [4] ont utilis la mthode des lments finis pour ltude dun arbre
compos de disques et de paliers. Dautres chercheurs ont tudis le
comportement dynamique en associant dautres paramtres tels que les
matriaux composites, stabilit, excitation sismique, impact, etc, voir en
particulier [5-10].
Dans cette tude la mthode de transformation diffrentielle Differential
Transform Method est utilise pour prdire les frquences propres dun arbre
tournant soumis un gradient thermique. La mthode de transformation
diffrentielle est une mthode analytique, base sur le dveloppement en srie de
Taylor utilise pour rsoudre les quations diffrentielles. Elle a t utilise pour
la premire fois par Zhou [11] pour rsoudre les problmes de circuits
lectriques. Pour plus de dtails sur la mthode le lecteur pourra consulter [12].
Chen et Ho [13] sont les premiers utiliser cette mthode aux problmes aux
valeurs propres. Beaucoup de problmes dengineering ont t rsolus par la
suite en utilisant cette mthode, pour plus de prcision, le lecteur pourra
consulter les rfrences suivantes [14-19].
Notre travail consiste tudier l'influence du gradient thermique sur les
frquences propres des arbres tournants en utilisant la mthode de
transformation diffrentielle DTM .
Le travail est prsent en quatre chapitres :
Introduction : Une revue bibliographique qui illustre les dveloppements et
les recherches actuels dans le domaine des vibrations des arbres tournants, ainsi
que la mthode de transformation diffrentielle.
Chapitre 1 : on prsente la thorie des poutres dEuler- Bernoulli, et les
expressions des nergies de dformation et cintique de l'arbre en mouvement de
rotation sous leffet dun gradient thermique. Les quations de mouvement de
l'arbre sont dtermines.
Chapitre 2 : on dtaille la formulation par la mthode de transformation
diffrentielle, les quations de mouvement ainsi que les conditions aux limites
associes transformes sont dtermines.
-
Introduction gnrale
3
Chapitre 3 : Dans ce chapitre est dcrit le programme de calcul avec ses
diffrentes tapes.
Chapitre 4 : Les rsultats obtenus sont compars avec d'autres rsultats de la
littrature, une tude de convergence est faite. L'influence de la vitesse de
rotation, des conditions aux limites et du gradient thermique sur les frquences
propres est tudie en dernier lieu.
Nous clturerons videment cette tude par un ensemble de conclusions et de
perspectives de recherche.
-
4
CHAPITRE I
Equations de mouvement dun arbre
tournant soumis un gradient
thermique
I-1.Introduction
Dans ce chapitre les quations de mouvement dun arbre tournant seront dtermines enutilisant le principe de Hamilton. Pour cela lnergie cintique et de dformation dans le casdu modle dEuler-Bernoulli sont utilises.
I-2.Energie de dformation de la poutre
Un arbre tournant est assimil une poutre de section circulaire ou rectangulaire
ayant une ligne moyenne passant par le centre de surface des sections droites,
voir (figure 1.1).
Figure 1.1 : Poutre en rotation.
y
z
x
x
L
-
Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique
5
La thorie dEuler-Bernoulli est utilisequand le rapport longueur sur diamtre
quivalent est suprieure vingt. Daprs les hypothses dEuler-Bernoulli, la
dformation due cisaillement transversale nest pas prise en compte, en plus toute
section droite reste plane et perpendiculaire la ligne moyenne aprs dformation,
voir (figure 1.2). Dans notre cas leffet de torsion est ngligeable [6]. Ces
hypothses se traduisent par la relation suivante :
=
= 0 (1.1)
Figure 1.2 :Dformation de la poutre
t
tx
Ligne moyenne
Section droite
y
V
z
Z y
X,x
PG
-
Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique
6
O est le dplacement transversal de la poutre suivant laxe z, est ladformation angulaire.
= : est la rotation de la section droite de la poutre.
Le champ de dplacement dfinissant les dplacements dun point de la poutredans le repre est(,,) donn par
(,,) = ()
+
()
(,,) = ()
(,,) = ()
(1.2)
, et reprsentent les dplacements suivant les trois axes x, y et z dunpoint quelconque de la poutre, alors que et sont les dplacements du centregomtrique G suivant les axes y et z (dans le repre de la poutre).La dformation longitudinale dun point quelconque de la poutre decoordonnes y et z dans le repre li larbre scrit
=
=
+
(1.3)
La relation liant la contrainte normale et la dformation longitudinale est donnepar la loi de Hooke. Sous lhypothse de petites dplacements et dformations ,pour un matriau homogne, linaire et isotrope, la loi de comportementsexprime par
= (1.4)o: est la contrainte normale dans la poutre et le module dYoung.
Lexpression gnrale de lnergie de dformation est donne par :
=1
2 v
(1.5)
=1
2
+
(1.6)
=1
2
+
)2
)(
)
(1.7)
-
Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique
7
Avec, les moments dinertie de la poutre suivant les axes y et z,
reprsente le produit dinertie.
= 1.8))
= 1.9))
= (1.10)
v : est llment de volume.
v = Adx (1.11)
Avec A la section de la poutre.
Lorsque la sectionde la poutre est symtrique est nul.
I-3.Energie de dformation due au gradient thermique
Lnergie de dformation due au gradient thermique est donne par lexpression
suivante [7]
=1
2 (
) + (
)
(1.12)
Avec leffort normal provoqu par le gradient thermique, et qui est donnpar
= (1.13)
est le coefficient de dilatation thermique, reprsente le gradient thermique.
I-4. Energie cintiquede la poutre
Reprsentele vecteur vitesse du point G centre de surface de la section droite
situe une distance x de lorigine du repre fixe, et est la vitesse de rotation
instantane de la section droite. La vitesse dun point P quelconque de la poutre est
donne par
-
Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique
8
= +
(1.14)
Reprsente le vecteur vitesse du point G centre de surface de la section droite
situe une distance x de lorigine du repre fixe, et est la vitesse de rotation
instantane de la section droite.
Le vecteur vitesse du point G est donn par :
=
+ (1. 15)
Ce qui nous donne
= 0
+
(1.16)
Une fois calcule, on peut par la suite dterminer la vitesse du point P
=
+
+ + +
(1.17)
Une fois la vitesse du point P dtermine, lnergie cintique peut tre calcule et
qui est donne par la relation suivante
=1
2
v (1.18)
En injectant (1.17) , dans (1.18) on obtient
=1
2 ))) + ()) + 2
+
+
(1.19)
-
Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique
9
I-5.Equations de mouvement
Les quations de mouvement sont dtermines partir du principe de la moindre
action de Hamilton, exprim par
( =( 0
(1.20)
Lintervalle [,] reprsente le temps de laction de Hamilton.
: Oprateurvariationel.
En remplaant les nergies par leurs expressions, on obtient
1
2 ))) + ()) + 2
+
+
+
+
+
)2
)(
)
1
2 (
) + (
)
dt = 0 (1.21)
Aprs intgration par partie les quations de mouvement suivantes sont
obtenues
+ 2
= 0 (1.22)
+ + 2
= 0 (1.23)
Avec =
-
Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique
10
Avec les conditions aux limites associes suivantes
0
= 0 (1.24)
0
= 0 (1.25)
0
= 0 (1.26)
0
= 0 (1.27)
On suppose que le mouvement est harmonique
(,) = () (1.28)
(,) = () (1.29)
Les quations de mouvement deviennent
+ 2 = 0 (1.30)
2 = 0 (1.31)
O le terme caractrise leffet centrifuge, le terme 2 reprsente
leffet gyroscopique et lestermes
,
reprsentant leffet de la
temprature.
-
Mthode de transformation diffrentielle (DTM)
11
Chapitre II
Mthode de transformation
diffrentielle
II-1 Introduction
Avec le dvelpopement de loutil informatique et le calcul symbolique les mthodes de
rsolution analytique sont devenues trs pratique, parmis les techniques et les approches on
trouve la mthode de la transformation dfferentielle qui permet danalyser des systmes trs
complexes.
II-2 Mthode de transformation diffrentielle
II-2.1 Dfinition
Soit () une fonction analytique dans un domaine D , soit x = x un point
quelconque du domaine D. La fonction () est reprsente par une srie de
centre x. La transformation diffrentielle de () est donne par [ 7] :
) ) =1
!
d ()
d
(2.1)
o ) ) est la fonction transforme de la fonction originale f(x).
La transformation inverse est dfinie par
() = ) x)( )
(2.2)
En injectant lquation (2.1) dans ( 2.2), on obtient
() = ) x)
1
!
d ()
d
(2.3)
-
Mthode de transformation diffrentielle (DTM)
12
Daprs cette quation on remarque que le concept de la transformation
diffrentielle est bas sur le dveloppement en srie de Taylor de la fonction
.()
Lquation (2.3) peut tre crite comme suite si on limite le nombre de sries
N sries.
() = ) x)
1
!
d ()
d
(2.4)
Le nombre N est dfini en fonction du critre de convergence de la solution.
II-3. Proprits doprations de la transformation diffrentielle
Soit () et () deux fonctions quelconques et soit F(k) et G(k) les fonctions
transformes des deux fonctions originales, les Proprits doprations de la
transformation diffrentielle sont donne par tableaux (2.1)
II-4 Application de la DTM dans le cas dun arbre tournant
En utilisant les proprits de la DTM on peut transformer les quations de
mouvement obtenues au chapitre prcdant. Noue rcrirons ces quations pour
pouvoir les transformer
Tableaux 2.1 : Thormes de base utiliss dans la DTM [12]
Fonction originale DTM
() = () () ) ) = ) ) ) )
() = () ) ) = ) )
() = ().() ) ) = ) ) ( )( )
() =()
() ) ) = [(+ )[!( + ).
() = ) ) = ) ) = 0 1 =
-
Mthode de transformation diffrentielle (DTM)
13
( + )() 2 ()
= 0 (2.5)
(+ ) () + 2()
= 0 (2.6)
En utilisant la coordonne adimensionnelle =
, o 0 1 on obtient
( + )() 2 ()
= 0 (2.7)
(+ ) () + 2()
= 0 (2.8)
Les transformes de chaque terme des quations de mouvement sont donnes
par :
() = ) ) (2.9)
() = ) ) (2.10)
O ) ) et ) ) sont les transformes de () et ,() respectivement.
De mme pour les drives de ces deux fonctions
= (+ 1)(+ +)(2 2) (2.11)
= (+ 1)(+ +)(2 2) (2.12)
= (+ 1)(+ 2)(+ )(3 + +)(4 4) (2.13)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3)(K + 4)G(k + 4) (2.14)
-
Mthode de transformation diffrentielle (DTM)
14
En remplaant les quations (2.9), (2.10) , (2.11) , (2.12) , (2.13) et (2.14) dans
les quations (2.7), (2.8) on obtient :
(+ 4)(+ 3)(+ 2)(+ +)(1 4)( ( + ))( )
2( ) +
(+ 1)(+ +)(2 2) = 0 (2.15)
(+ 4)(+ 3)(+ 2)(+ +)(1 4)( ( + ))( )
+2( ) +
(+ 1)(+ +)(2 2) = 0 (2.16)
II-5 Conditions aux limites
Les conditions aux limites dans le cas gnral sont explicites dans le tableau
suivant
Tableaux 2. : Conditions aux limites
(0)
= (2)0 = 0
(0)
= (2)0 = 0
(0)
(0)
= 0
(3) (1) = 0
(0)
(0)
= 0
(3) (1) = 0
= 0
(0) = (0)0 = 0
(0) = (0)0 = 0
()
= 0 (1) = 0
()
= 0 (1) = 0
-
Mthode de transformation diffrentielle (DTM)
15
En remplaant les conditions aux limites dans (2.15) et (2.16) le systme
dquations obtenu sera de la forme :
() +
() + () +
() = 0, = 1,2,3 (2.17)
o () ,
() sont des fonctions polynmiales correspondant au nime
terme. Le systme dquations sous forme matricielle est donn par :
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
= 0 (2.18)
O , ,, et dpendent des conditions aux limites choisies.
= 1
(1) = )0 ) = 0
(1)
(1)
= 0
[( 1)( )[(2 ) ) )
= 0
(1)
(1)
= 0
[( 1)( )[(2 ) ) ) = 0
(1) = )0 )=0
()
= 0 [( )[(1 ) =0
()
= 0 [( )[(1 ) =0
()
= 0 [( )[(1 ) =0
()
= 0 [( )[(1 ) =0
-
Mthode de transformation diffrentielle (DTM)
16
Lquation caractristique du systme est dtermine partir du dterminant du
systme dquations prcdant
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
= 0 (2.19)
La valeur de N est obtenue en fonction du critre de convergence suivant
( )
() (2.20)
o est la tolrance exige.
-
Organisation de la programmation
17
Chapitre III
Organisation de la
programmation
III-1Introduction :
Dans ce chapitre les tapes de calcul sont claires. Un programme en MATHCAD
est ralis pour dterminer les frquences propres du systme.
III-2 Organigramme :
Lorganigramme suivant montre toutes les tapes de calcul ralises de la
lecture des donnes jusqu laffichage des rsultats.
III-3 Programme principal :
Le programme principal pour la rsolution des quations de mouvement
transformes et les diffrentes tapes utilises sont dcrites dans la suite
de cette tude :
1. Lecture des donnes physiques et gomtriques de larbre
2. Introduction des la condition aux limites
3. Calcul des fonctions transformes
4. Formation du systme dquations algbrique
5. Calcul du dterminant de la matrice
6. Rsolution de lquation caractristique du systme
7. Affichage des frquences propres
-
Organisation de la programmation
18
Figure 3.1 : Schma de calcul global
STOP
DEBUT
LECTURES DES DONNES PHYSIQUES
ET GEOMETRIQUES
INTRODUCTION DES CONDITIONS AUX LIMITES
CALCUL DES FONCTIONS TRANSFORMMEES ) ),( )
FORMATION DU SYSTEME ALGEBRIQUE (EQ. (2.19))
CALCUL DU DETERMINANT DE LA MATRICE
AFFICHAGES DES
FREQUENCES PROPRES
CALCUL DES RACINES DE LEQUATION CARACTERISTIQUE
-
Organisation de la programmation
19
III-4Description du programme :
1. Fichier de donnes
Tous les paramtres les donnes physiques et gomtriques utiliss,
dcrivant larbre, sont donnes dans un fichier DONNEES.txt au dbut
du programme
Les donnes du problme sont:
Moduledlasticit:
Section: droite de larbre
Longueur: de larbre
N : Nombre de terme.
Masse: volumique
:Vitesses de rotation de larbre
:Moment dinertie de larbre suivant laxe y
: Moment dinertie de larbre suivant laxe z
: Coefficient de la dilatation thermique
:Gradient thermique
2. Sous-programme pour le calcul des fonctions transformes
3. Aprs avoir introduit les donnes ncessaires ltape suivante
consiste calculer :
) ): Le dplacement suivant laxe y
) ) : Le dplacement suivant laxe z
En introduisant les conditions aux limites. Le sous-programmedvellopp
est appel TRANSF.xmcd
4. Formation du systmealgbrique et calcul du dterminant
-
Organisation de la programmation
20
La formation de la matrice du systme est obtenue partir des conditions
aux limites et des fonctions transformes de chaque cas, finalement nous
obtenons le systme algbrique suivant :
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
= 0 (3.1)
Le calcul du dterminant de la matrice est obtenue en utilisant la
fonction dterminant de MATHCAD.
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
()
() ()
()
= 0 (3.2)
Le sous- programme dvelopp est appel DETER.xmcd
5. Rsolution de lquation caractristique du systme :
Rsolution de lquation caractristique du systme se fait
numriquement pour dterminer la fin les frquences propres du
systme, en utilisant la fonction polyroots de Mathcad . Le sous
programme est appel FREQ.xmcd . Les rsultats obtenus sont les
frquences propres du systme.
6. Affichage des frquences propres
Les rsultats obtenus sont affichs dans un fichier de sortie appell
RESULTS.txt .
-
Validation, comparaison et analyse des cas
21
Chapitre IV
Validations, comparaisons
et analyse de cas
IV-1 Introduction
Nous prsenterons dans ce chapitre une analyse dynamique dun arbre tournant
soumis un gradient de temprature provoqu par les conditions de lenvironnement.
La premire partie de ce chapitre met en vidence la validit du programme
dvelopp, ainsi une tude comparative est faite avec des travaux de diffrents
auteurs. La deuxime partie fait lobjet dune tude dun arbre tournant soumis un
gradient thermique,
IV-2 Validations et comparaisons des rsultats dans le cas
stationnaire :
Les rsultats obtenus seront valids avec des rsultats de la littrature.
Diffrentes conditions aux limites sont considres.
IV-2.1 Arbre sans leffet du gradient de temprature
section circulaire ) = = (
Cas stationnaire
Dans ce cas larbre est dans un tat stationnaire = , il nest soumis
aucun effet de temprature, les rsultats du paramtre de frquence
obtenu par calcul en utilisant la mthode de transformation diffrentielle
sont valids avec ceux obtenus par la solution exacte, pour diffrentes
conditions aux limites. Les paramtres de frquence et de vitesse utiliss
dans ce cas sont donn par
=
(4.1)
-
Validation, comparaison et analyse des cas
22
=
(4.2)
Tableau 4.1 : convergence dans le cas dune poutre Appuye-Appuye :
= 0
Nmode
1 2 3 4
10 9.672 - - -
20 9.867 39.398 - -
30 9.867 39.459 88.737 -
40 9.866 39.459 88.752 157.754
50 9.866 39.478 88.826 157.913
Solution 9.866 39.478 88.826 157.913
Exacte 9.986 39.478 88.826 157.913
Tableau 4.2 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr libre:
= 0
Nmode
1 2 3 4
10 3.507 - - -
20 3.516 22.034 - -
30 3.516 22.034 61.697
40 3.516 22.034 61.697 120.902
Solution 3.516 22.034 61.697 120.902
Exacte 3.516 22.034 61.697 120.902
Les tableaux (4.1) et (4.2) montrent que la convergence des quatre
premiers modes est assure en faisant augmenter le nombre N jusqu
40 pour une poutre Encastre-Libre et 50 termes pour une poutre
Appuye-Appuye. Les rsultats obtenus sont identiques aux rsultats
de la solution exacte.
-
Validation, comparaison et analyse des cas
23
Cas dun arbre en mouvement de rotation
Le problme trait concerne un arbre en mouvement de rotation. La
solution obtenue en faisant varier dans le cas dune poutre
Encastre Libre et compare avec la solution exacte [6].
Tableau 4.3 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr
libre : = 2
Nmode
1 2 3 4 5 6
10 1.507 5.507 - - - -
20 1 .516 5.516 - - - -
30 1.516 5.516 22.034 24.034 59.696 -
40 1.516 5.516 22.034 24.034 59.696 63.697
solution 1.516 5.516 20.034 24.034 59.697 63.697
Exacte 1.516 5.516 20.034 24.034 59.697 63.697
Tableau 4.3 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr libre :
= 3.5
Nmode
1 2 3 4 5 6
10 7.007 - - - - -
20 0.001 7.016 18.534 - - -
30 0.001 7.016 18.534 25.534 - -
40 0.001 7.016 18.534 25.534 58.697 65.697
Solution 0.000 7.016 18.534 25.534 58.697 65.697
Exacte 0 7.016 18.534 25.534 58.697 65.697
-
Validation, comparaison et analyse des cas
24
Tableau4.5 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr libre
= 4
Nmode
1 2 3 4 5 6
10 0.049 7.507 - - - -
20 0.048 7.516 18.034 26.034 - -
30 0.048 7.516 18.035 26.034 57.697 -
40 0.001 7.016 18.034 26.034 57.697 65.697
solution 0 7.016 18.034 26.034 57.697 65.697
Exacte 0 7.516 18.034 26.034 57.697 65.697
Tableau4.6 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre-libre :
= 8
Nmode
1 2 3 4 5 6
10 - 11.507 - - - -
20 - 11.516 14.034 30.034 - -
30 - 11.516 14.034 30.034 53.696 -
40 - 11.516 14.034 30.034 53.696 69.697
solution - 11.516 14.034 30.034 53.697 69.697
Exacte - 11.516 14.034 30.034 53.697 69.697
Les tableaux (4.3), (4.4), (4.5) et (4.6) montrent que la convergence est assure
en faisant augmenter le nombre des itrations, 40 itrations sont suffisantes
pour assurer la convergence des six premiers modes. Les rsultats obtenus sont
identiques aux rsultats de la solution exacte donne par [6].
-
Validation, comparaison et analyse des cas
25
IV-2.2 Arbre sans leffet du gradient de temprature
section rectangulaire ) = )
Cas dun arbre en mouvement de rotation
Le problme trait concerne un arbre en mouvement de rotation de
section rectangulaire. La solution obtenue en faisant varier dans le
cas dune poutre Encastre libre est compare avec la solution
exacte [6].
Tableau4.7 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre :
= 1.1
Nmode
1 2 3 4
10 0 - - -
20 0 6.886 - -
30 0 6.886 11.307 19.473
solution 0 6.886 11.307 19.473
Exacte 0 6.866 11.307 19.473
Tableau4.8 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre:
= 2
Nmode
1 2 3 4
10 - - - -
20 - 6.663 - -
30 - 6.663 11.632 19 .404
solution - 6.663 11.632 19 .404
Exacte - 6.663 11.632 19.404
-
Validation, comparaison et analyse des cas
26
Tableau4.9 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre :
= 4
Nmode
1 2 3 4
10 - - - -
20 - 5.667 - -
30 - 5.667 12.900 19.080
solution - 5.667 12.900 19.080
Exacte - 5.667 12.900 19.080
Tableau4.10 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre:
= 6
Nmode
1 2 3 4
10 - - - -
20 - 3.490 14.536 -
30 - 3.491 14.536 18.530
solution - 3.491 14.543 18.530
Exacte - 3.491 14.536 18.530
Tableau4.11 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre:
= 7.1
Nmode
1 2 3 4
10 - - - -
20 - 0 - -
30 - 0 15.526 -
solution - 0 15.526 18.118
Exacte - 0 15.526 18.118
-
Validation, comparaison et analyse des cas
27
Tableau4.12 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre:
= 8
Nmode
1 2 3 4
10 - - - -
20 - - - -
30 - - 16.336 -
solution - - 16.336 17.734
[6] - - 16.336 17.734
Les tableaux (4.7) ,(4.8) ,(4.9) ,(4.10) ,(4.11) ,(4.12) montrent que la
convergence est assure en faisant augmenter le nombre des itrations, 30
itrations sont suffisantes pour assurer la convergence des quatre
premiers modes. Les rsultats obtenus sont identiques aux rsultats de la
solution exacte donne par [6].
IV-2.Diagramme de Campbell :
Les graphes qui suivent donnent la variation du paramtre de frquence
en fonction de la variation de la vitesse de rotation, appels diagramme de
Campbell. Diffrentes conditions aux limites sont considres pour deux
types de sections : circulaire et rectangulaire.
Les figures (4.1), (4.2) et (4.3) montrent respectivement la variation
du paramtre de frquence * en fonction du paramtre de vitesse de
rotation * (diagramme de Campbell) dans le cas des poutres avec les
conditions aux limites E-L, et A-A en prenant en compote deux sections
diffrentes : une circulaire et lautre rectangulaire. Ces figures montrent
l'influence de la vitesse de rotation sur les frquences propres dun arbre
tournant. Dans le cas o nous avons I = I, on remarque que pour
chaque vitesse de rotation, il existe deux frquences , il y a des valeurs
croissantes en fonction de la vitesse de rotation appeles modes en
prcession directe ; et d'autres dcroissantes appeles modes rtrogrades.
-
Validation, comparaison et analyse des cas
28
Ce phnomne est provoqu par l'effet gyroscopique. En effet, on
remarque aussi quil existe une variation proportionnelle entre la vitesse
de rotation et la frquence propre provoque par la rigidification
centrifuge. On constate aussi quil existe une vitesse critique une
= 3.5 dans le cas E-L et une autre = 10.1 dans le cas A-A.
Dans le cas o nous avons I = 100I, on remarque que le
comportement est completement diffrent du premier cas. La premiere, la
deuxieme et la quatrieme frquence diminue avec la vitesse de rotation,
par contre la troisime frquence augmente avec cette dernire. Et ceci est
du au faite que les rigidits de la poutre suivant les deux axes sont
diffrentes (I est largement superieure I). On constate quil existe
deux vitesses critiques une = 1.1 et lautre = 7.1.
Figure 4.1 : Diagramme de Campbell dans le cas de poutre E-L avec
=
w1
=0,001w2
w3
w4
w5
w6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6 8 10
w1
w2
w3
w4
w5
w6
-
Validation, comparaison et analyse des cas
29
Figure 4.2 : Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Appuye-
Appuye avec =
Figure 4.3 : Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Encastr-
Libre avec = .
W1 (10)
w3
w5
w6
w2
w4
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12
w11.1
w3
w4
6,663
3,491
=7.10
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
-
Validation, comparaison et analyse des cas
30
IV-3.Arbre avec leffet du gradient de temprature
Les graphes qui suivent donnent la variation du paramtre de frquence
en fonction du gradient thermique dans le cas stationnaire et en rotation
dune poutre ayant = .
Les figures (4.4), (4.5) montrent respectivement la variation du paramtre
de frquence * en fonction du gradient thermique dune poutre E-L dans
le cas stationnaire et en rotation. On constate que la premire frquence
augmente avec le gradient thermique.
Figure 4.4 :Variation de la premire frquence en fonction de la
temprature propre dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermique
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 10 20 30 40 50 60
=0
Gradient de temprature ))
Pre
mi
refr
q
ue
nce
(Hz)
-
Validation, comparaison et analyse des cas
31
Figure 4.5:Variation de la premire frquence en fonction de la
temprature propre dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermique
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60
=10
Gradient de temprature ))
Pre
mi
refr
q
ue
nce
(Hz)
-
Conclusion gnrale
32
Conclusion
Le travail ralis est une tude sur la prdiction des frquences propres dun
arbre tournant soumis un gradient thermique. Une tude thorique a permis la
dtermination des quations de mouvement de larbre. La mthode de
transformation diffrentielle a t utilise pour dterminer les frquences
propres du systme en faisant varier la vitesse de rotation, les conditions aux
limites, ainsi que le gradient thermique.
Cette tude nous permis d'aboutir aux conclusions suivantes :
- Pour diffrentes conditions aux limites, dans le cas stationnaire et en
rotation, la convergence de la solution est assure en faisant augmenter N
le nombre de terme de la srie. Les rsultats sont en concordance avec les
solutions exactes dans le cas stationnaire et en rotation.
- L'effet gyroscopique provoque un couplage des dplacements
orthogonaux ce qui a pour consquence de sparer les frquences propres
en deux branches : mode en prcession directe et mode rtrograde.
- La variation de la vitesse de rotation provoque une rigidification de
larbre dans le cas des modes en prcession directe qui se traduit par une
croissance de la frquence avec la vitesse de rotation.
- Les arbres tournants traversent plusieurs vitesses critiques en mode
rtrograde.
- Leffet de temprature a un effet rigidifiant, la frquence propre du
systme augmente avec le gradient thermique.
Les perspectives d'tudes qui peuvent tre mene la suite de ce travail
sont: intgration dun matriau composite, prise en compte des supports
-
Conclusion gnrale
33
lastiques et leurs mouvements dans le cas d'un rotor embarqu comme le cas
des racteurs d'avion, analyse des vibrations forces, etc.
-
Rfrences bibliographies
34
References Bibliographies
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