Mérési pontosság Mérési pontosság (hőmérő)(hőmérő)

Pontossága:-80…+20 °C → ±(0,176-0,0028 * hőmérséklet) °C

+20…+60 °C → ±(0,064+0,0028 * hőmérséklet) °C

Analóg hőmérőAnalóg hőmérő

05

1015202530354045

0 5 10 15 20

higanyoszlop (cm)

hőm

érs

ékle

t (°

C)

Elektromos analóg Elektromos analóg hőmérőhőmérő

05

1015202530354045

0 5 10 15 20

feszültség (mV)

hőm

érs

ékle

t (°

C)

Amplitúdókvantálás Amplitúdókvantálás A/DA/D

05

1015202530354045

0 5 10 15 20

feszültség (mV)

hőm

érs

ékle

t (°

C)

Mérési hibákMérési hibák

hiszterézis hiszterézis kvantálás kvantálás kalibrációs függvény kalibrációs függvény

A statisztika feladataA statisztika feladata

Mennyire hihetők a kísérletek, Mennyire hihetők a kísérletek, megfigyelések megállapításai?megfigyelések megállapításai?

Mennyiben játszik szerepet a Mennyiben játszik szerepet a véletlen?véletlen?

Minta alapján becslés, válasz Minta alapján becslés, válasz valószínűségi állítás formájábanvalószínűségi állítás formájában

Aktív statisztika (megfigyelések, Aktív statisztika (megfigyelések, mérések tervezése, kísérlettervezés)mérések tervezése, kísérlettervezés)

Statisztikai módszerekStatisztikai módszerek

SztochasztikaSztochasztika ValószínűségszámításValószínűségszámítás Megfigyelések értékeléseMegfigyelések értékelése Bizonytalanság okainak Bizonytalanság okainak

felderítésefelderítése DöntéshozatalDöntéshozatal

ValószínűségekValószínűségek

Véletlen esemény: Véletlen esemény: előfordulása előfordulása bizonytalan (se nem bizonytalan (se nem biztos, se nem biztos, se nem lehetetlen)lehetetlen)

P(E) bekövetkezési P(E) bekövetkezési valószínűség (0,00-valószínűség (0,00-1,00)1,00)

Relatív gyakoriság (%)Relatív gyakoriság (%)

1)(0 EP

nx

FüggetlenségFüggetlenség

Komplementer (kiegészítő) Komplementer (kiegészítő) esemény esemény

Feltételes valószínűségFeltételes valószínűség

Sztochasztikus Sztochasztikus függetlenségfüggetlenség

1E

)( 12 EEP

)()()( 21212 EPEEPEEP 0)( 1 EP

Ismérv, alapsokaság, Ismérv, alapsokaság, mintaminta Kvantitatív és kvalitatív ismérvekKvantitatív és kvalitatív ismérvek Összes lehetséges előfordulás = Összes lehetséges előfordulás =

alapsokaságalapsokaság Mintavétel: olcsó, gyors, egzaktMintavétel: olcsó, gyors, egzakt

0

2000

4000

6000

8000

10000a megfigyelés minimális száma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a becslés pontossága %

Véletlen mintavétel, Véletlen mintavétel, szisztematikus hibaszisztematikus hiba Minden elem egymástól Minden elem egymástól

függetlenül és azonos függetlenül és azonos valószínűséggel kerül a mintába valószínűséggel kerül a mintába (véletlen számok)(véletlen számok)

Előnye: a belőle származtatott Előnye: a belőle származtatott statisztikai mutatók csak a statisztikai mutatók csak a véletlen eltérést mutatják az véletlen eltérést mutatják az alapsokaság mutatójához képestalapsokaság mutatójához képest

SzelekcióSzelekció ReprezentativitásReprezentativitás

ParaméterParaméter

Minta adataiból az alapsokaság Minta adataiból az alapsokaság adatira következtetünkadatira következtetünk

Az alapsokaság jellemző értékeit Az alapsokaság jellemző értékeit paraméternek paraméternek nevezzük (görög nevezzük (görög betűvel jelöljük)betűvel jelöljük)

A minta középértékből A minta középértékből alapsokaság középértékére alapsokaság középértékére következtetünkkövetkeztetünk

Megbízhatósági intervallumMegbízhatósági intervallum Statisztikai próbaStatisztikai próba

x

Véletlen minta Véletlen minta előállításaelőállítása Véletlen szám generátorVéletlen szám generátor Pszeudó véletlen szám Pszeudó véletlen szám

generátorgenerátor Rnd() függvényRnd() függvény Excel Vél() függvénye Excel Vél() függvénye VÉL()*(b-a)+a VÉL()*(b-a)+a

10 x

Mintavételi eljárásokMintavételi eljárások

N=1500 és 3000 közöttN=1500 és 3000 között Egynemű (homogén) alapsokaság Egynemű (homogén) alapsokaság

mintáimintái Nem egynemű (heterogén) Nem egynemű (heterogén)

alapsokaság mintáialapsokaság mintái– Csoportba rendezett (csomók)Csoportba rendezett (csomók)– Nem rendezett csoportba Nem rendezett csoportba

(rétegképzés)(rétegképzés) Blokk képzés (homogén csoportok Blokk képzés (homogén csoportok

kialakításakialakítása

Statisztikai becslésStatisztikai becslés

Valamely paraméter ismeretlen Valamely paraméter ismeretlen (feltételezett) tényleges értékének (feltételezett) tényleges értékének közelítő megadása egy statisztikai közelítő megadása egy statisztikai függvénnyel. Elvileg bármelyik függvénnyel. Elvileg bármelyik statisztikai függvény tekinthető statisztikai függvény tekinthető becslésnek, valójában csak azokat becslésnek, valójában csak azokat használjuk, amelyeknek megvannak használjuk, amelyeknek megvannak a jó becslés legfontosabb a jó becslés legfontosabb tulajdonságaitulajdonságai

A jó becslés A jó becslés kritériumaikritériumai Torzítatlanság (várható érték)Torzítatlanság (várható érték)

Pontosság (szórás)Pontosság (szórás)

KonzisztenciaKonzisztencia

értékigaziparmétern ,

Torzítatlan és Torzítatlan és konzisztens becsléskonzisztens becslés Olyan becslés, amelynek várható Olyan becslés, amelynek várható

értéke az igazi paraméter értéke az igazi paraméter (torzítatlan)(torzítatlan)

Olyan becslés, amely a minta Olyan becslés, amely a minta nn elemszámának növekedésével (elemszámának növekedésével (n n ) a paraméter igazi értékéhez ) a paraméter igazi értékéhez konvergál sztochasztikusan (erős konvergál sztochasztikusan (erős konzisztencia esetén 1 konzisztencia esetén 1 valószínűséggel) valószínűséggel)

Pontos és torzítatlan Pontos és torzítatlan becslésbecslés

Pontos és torzított Pontos és torzított becslésbecslés

Pontatlan és Pontatlan és torzítatlan becsléstorzítatlan becslés

Pontatlan és torzított Pontatlan és torzított becslésbecslés

Centrális mutatókCentrális mutatók

Átlag (várható érték)Átlag (várható érték)

Medián (középső adat, gyakran Medián (középső adat, gyakran helyettesíti a számtani közepet)helyettesíti a számtani közepet)

Módusz (leggyakrabban Módusz (leggyakrabban előforduló elem)előforduló elem)

Szóródási mutatókSzóródási mutatók

Helyzeti:Helyzeti:– Maximum (standardizált értéke)Maximum (standardizált értéke)– Minimum (standardizált értéke)Minimum (standardizált értéke)– Terjedelem (max.-min.)Terjedelem (max.-min.)– Kvartilisek (negyedelők)Kvartilisek (negyedelők)– Interkvartilis (QInterkvartilis (Q33-Q-Q11)/2)/2

Számított:Számított:– SzórásSzórás– VarianciaVariancia– Az átlag standard hibájaAz átlag standard hibája– A medián standard hibájaA medián standard hibája

Nem paraméteres eljárásokNem paraméteres eljárásokEloszlás egyezése egy adott eloszlással

(egymintás próba)?Medián egyezése adott értékkel?

CHI-NÉGYZET PRÓBA (RELATÍV GYAKORISÁGOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA)

ELŐJEL-PRÓBA

Két eloszlás egyezése, homogenitás vizsgálat?

Két várható érték egyezése?

CHI-NÉGYZET PRÓBA ELŐJEL-PRÓBA, MANN-WHITNEY, WILCOXON-PRÓBA

Két esemény függetlenségének tesztje? Két összetartozó minta egyezése?

FÜGGETLENSÉG VIZSGÁLAT, CHI-NÉGYZET PRÓBÁVAL

WILCOXON-TESZT, ELŐJEL-PRÓBA

Több várható érték egyezése? A mintavétel egy szempont alapján történik?

KRUSKAL-WALLIS-PRÓBA (paraméteres: egytényezős variancia-analízis)

Több várható érték egyezése? A mintavétel egy szempont alapján történik? Minta elemszámok

azonosak?

FRIEDMAN-TESZT (paraméteres: kéttényezős variancia-analízis)

Paraméteres eljárások 1.Paraméteres eljárások 1.

Várható érték?

Várható érték egyezése adott értékkel?

Szórás ismert?

Igen Nem

EGYMINTÁS U-PRÓBA EGYMINTÁS T-PRÓBA

Két várható érték egyezése? Az elméleti szórások ismertek?

Igen Nem

KÉTMINTÁS U-PRÓBA KÉTMINTÁS T-PRÓBA

Összetartozó adatpárok különbségének tesztelése? Az elméleti szórások ismertek?

Igen Nem

PÁRONKÉNTI T-TESZT

Több várható érték egyezése? A mintavétel egy szempont szerint történik? Szórások egyenlők?

EGYTÉNYEZŐS VARIANCIA-ANALÍZISWELCH, BROWN-FORSYTHE-PRÓBA

Paraméteres eljárások 2.Paraméteres eljárások 2.

Több várható érték egyezése? A mintavétel két szempont szerint történik? Szórások egyenlők?

KÉTTÉNYEZŐS VARIANCIA-ANALÍZISBROWN-FORSYTHE-PRÓBA

Több várható érték egyezése? A mintavétel több szempont szerint történik? Szórások egyenlők?

TÖBBTÉNYEZŐS VARIANCIA-ANALÍZIS

SZÓRÁS

Két szórás egyezése?Több szórás egyezése? Minták elemszáma

egyenlő?

F-PRÓBALEVENE-TESZT

LEVENE-TESZT, MAX. F-PRÓBACOCHRAN-PRÓBA

BARTLETT-PRÓBA, LEVENE-TESZT