BAB 4INTERPOLASI

1. Pendahuluan

Interpolasi merupakan suatu upaya untuk menentukan nilai-nilai antara yang ada

dalam suatu kumpulan data. Hasil atau keluaran yang didapatkan dari proses interpolasi

ada 2 macam yaitu :

a). berupa suatu fungsi yang menghubungkan kesemua titik yang diinterpolasi b). berupa

suatu nilai yang dicari pada suatu nilai variabel bebas.

Metoda-metoda yang termasuk jenis pertama antara lain : Metoda Interpolasi

Polinomial, Metoda Interpolasi Trigonometri dll. Sedangkan metoda-metoda interpolasi

yang termasuk jenis kedua adalah metoda Newton Gregory, Metoda Interpolasi

Lagrange, Metoda Interpolasi Fungsi Bessel dll.

Pernyataan : y=f(x), x0, xn berarti menunjukan bahwa setiap nilai x dalam

interval x0, xn ada satu atau lebih nilai-nilai y. Dengan mengasumsikan bahwa f(x)

bernilai tunggal dan kontinyu serta diketahui secara eksplisit, maka nilai-nilai f(x) yang

bersesuaian dengan nilai x0, x 1, ..., x n, dapat dengan mudah dihitung atau ditabelkan.

Masalah pokok dalam analisa numerik merupakan kebalikan dari fakta yang ada

dalam kenyataan: “Diberikan (x0, y0,), dan (x1, y1,) . . . (xn, yn) yang memenuhi

persamaan f(x) yang secara eksplisit tidak diketahui, dan suatu fungsi yang lebih

sederhana, katakan (x), sehingga f(x) dan (x), memenuhi pada titik-titik yang telah

ditabelkan.

Bila (x) merupakan suatu polinomial, maka prosesnya disebut interpolasi dan

(x) disebut fungsi interpolasi polinomial. Banyak macam fungsi interpolasi misal Deret

Trigonometri, Deret Fungsi Bessel, dll.

Dalam hal ini kita akan membatasi fungsi polinomial interpolasi polinomial

Teori dasar (Weierstrass - 1885)

Jika f(x) kontinyu dalam x0, xn dan diberikan > 0, serta ada suatu polinomial

P(x) sehingga f(x) - P(x) untuk semua x dalam (x0, x n ), maka memungkinkan

untuk mendapatkan suatu polinomial P(x) yang mempunyai

grafik tetap dalam daerah yang dibatasi olah y = f(x) - , dan y = f(x) + , untuk semua x

antara x0, dan x n.

2. Kesalahan dalam Interpolasi Polinomial

Bila fungsi y(x) didefinisikan dalam (n+1), titik-titik (xi, x i ), I = 0, 1, 2, ..., n adalah

kontinyu dan dapat diturunkan sebanyak (n+1) kali, dan bila y(x) didekati dengan suatu

polinomial Pn(x) berderajat tidak lebih dari n maka

Pn(xi)= yi, I = 0, 1, 2, . . ., n ............................................................... (4-1)

Jika kita sekarang menggunakan Pn(x) untuk mendapatkan nilai-nilai dari y(x)

pada beberapa titik lain yang didefinisikan dalam persamaan (4-1). Berapa ketelitian

yang akan terjadi pada metode ini? Karena y(x)-Pn(x) akan habis dibagi, maka nol

nilainya untuk x = x0, xi, ... xn, kita mengambil

y(x) P (x) L (x)n

dimana (x) = (x - x x - x x - x0 1 n)( )...( )

dan L ditentukan sehingga persamaan y(x) P (x) L (x)n sepadan/sama untuk

setiap nilai antara dari x, katakan x=x’, x0, x n, secara nyata

Ly x P x

xn

( ' ) ( )

( ' )

Kita membuat fungsi F (x0) sehingga

F x y x P x L xn( ) ( ) ( ) ( )0 1

F x y x P x L xn( ) ( ) ( ) ( )1 1 dst

Maka F(x) akan habis bila diturunkan sebanyak n+2

F’(x) akan habis bila diturunkan sebanyak n+1

F’’(x) akan habis bila diturunkan sebanyak n

dst

Dalam hal khusus

F(n+1)(x) akan habis pada sekali diturunkan

Bila diberikan x = , x0 << xn, pada penurunan ke (n+1) terhadap x dan mengambil x =

kita dapatkan

0 11) y L nn( ( ) ( )!

Ly

n

n

( ( )

( )!

1)

1

Dari persamaan yang ada

Ly x P x

x

y

nn

n

( ' ) ( ' )

( ' )

( )

( )!

(

1)

1

y x P xy

nxn

n

( ' ) ( ' )( )

( )!( ' )

(

1)

1

y x P xy

nx x xn

n

n( ) ( )( )

( )!( ),

(

1)

01

Interpolasi 70

Tetapi y(x) umumnya tidak diketahui, maka kita tidak mempunyai informasi mengenai

y(n+1)(x), sehingga formulasi tidak dapat digunakan dalam praktek perhitungan. “Tetapi

rumus dasar tersebut akan digunakan untuk menentukan kesalahan dalam interpolasi

Newton yang akan diberikan kemudian”

3. Interpolasi Dengan Hasil Suatu Nilai.

3.1. Metoda Newton Gregory.

3.1.1. Pengertian Differensial Terbatas (Finite Differences)

Seandainya ada tabel nilai (xi, yi), i = 0,1,2,...,n dari suatu fungsi y = f(x) dan nilai-

nilai x mempunyai interval yang sama sehingga

xi,= x0,+ih, i = 0,1,2,...,n

dan seandainya nilai-nilai f(x) diperlukan dari beberapa nilai x, atau menurunkan f(x) dari

beberapa x dalam interval x0 x xn maka metode pemecahan ini didasarkan pada

konsep differensial dari suatu fungsi yang telah kita proses untuk mendefinisikan

A. Pengertian Differensial ke Arah Kanan

(Forward differences) = Formula Georgy - Newton. Opertaor Defferensial ke kanan

ditulis dengan simbol + dan didefinisikan sebagai

f x f x h f x( ) ( ) ( )

n nf x f x( ) ( ( ))1

Dengan melakukan beberapa kali + pada f(xj)=fj, maka akan terjadi

f f f

f f f

f f f f

f f f f

f f

f f f

f f f

f f f f f f

f

j j j

j j j

j j j j

j j j j

j j

j j j

j j j

j j j j j j

1

2

1

2 1 1

2

2 1

3 2

1 2

1 2

1 2 1 3 2

2

2

2

2

=

=

= - +

=

= j j j jf f f 3 31 2 3

Maka secara umum dapat ditulis

Cn

k n k

f C f j k

nk

nj

n k

k

n

nk

!

( ) !)

( ( ( )

1 (

1 ) 1 )0

Tabel berikut memberikan konstanta untuk 5 turunan pertama

Interpolasi 71

fj (yj) fj+1 fj+2 fj+3 fj+4 fj+5

f j-1 1

2 f j

1 -2 1

3 f j

-1 3 -3 1

4 f j

1 -4 6 -4 1

5 f j

-1 5 -10 -10 -5 1

Dasar suatu interpolasi mempunyai interval konstan

xj-xj-1=h untuk sembarang nilai j

Dasar dari formula yang digunakan, tersusun dengan :

a. Formula Newton, yang dinyatakan dengan bantuan defferensial yang tidak terbagi

b. Operator kecepatan E didefinisikan

Ef(x) = f(x+h)

dimana h adalah interval dari x, dan penggunaan E untuk n kali memberikan Enf(x) =

f(x+nh)

formula progesive dari Newton Gregory

Absis x ditentukan kedudukannya terhadap salah satu titik sembarang x j yang

merupakan dasar dari interpolasi, dan dapat dituliskan sebagai:

x = x j = r h

maka untuk f(x) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

f(x) = f(xj+rh) = Er xj = (1++)rf j

dari rumus binome, dapat ditulis

f xr r r k f

k

k

j

k( )

( )...( )

!

1 1

0

Sehingga rumus Newton-Gregory progesive (ke arah kanan) dapat ditulis sebagai

berikut:

Contoh :

1. Dari tabel berikut hitung 5 f j

j 1 2 3 4 5 6

f 2 8 4 0 -2 -6

5 f j =-f1 + 5f2 - 10f3 +10f4 + 5f5+f6

= -2 + 5(8) - 10(4) + 10 (0) - 5(-2) - 6

= -2 + 40 - 40 + 0 + 10 - 6 = 2

2. Diketahui f(x) = 3x4 + 2x3 -2x + 2

hitung 3 f j

Interpolasi 72

x 1 2 3 4 5

f(x) 5 62 293 890 2117

3 f j = -f1 + 3f2 - 3f3 +f4

= - 5 + 3(62) - 3(293) + 890 = 192

B. Differensial Kekiri (Backward Differences)

(Formula Gregory-Newton)

Operator differensial kekiri dilambangkan dengan atau dan didefinisikan oleh

f f j f jj ( ) ( )1

Formula-formula interpolasi Newton-Gregory kearah kiri ditetapkan dengan cara yang

sama seperti pada differensial ke arah kanan : Kita mengekspresikan f(xj+rh)=Erf(xj)

f x f x f x h( ) ( ) ( )

f x fn( ) ( )1

Dengan mengaplikasikan n kali operator pada fj memberikan

nj

knk

j kk

n

f C f( )10

fj fj-1 fj-2 fj-3 fj-4 fj-5

f j1 -1

2 f j

1 -2 1

3 f j

1 -3 3 -1

4 f j

1 -4 6 -4 1

5 f j

-1 -5 10 -10 5 1

f x f x E f x E( ) ( ) ( )1 11 atau

atau

E

Er r r r k

k

Er r r r k

k

r k

k

k

r

k

k

( )

( ) ( )...

!( )( )...( )

!

1

1 11 2

1 2 1

1

10

0

1

1

maka kita mendapatkan F(x)=f(xj+rh) = Er fj

f x f r fr r

fr r r

fj j j j( )( )

!

( )( )

!

1

2

1 2

32 3

C. Differensial ke Pusat

Interpolasi 73

Operator differensial ke pusat : 0 yang didefinisikan

0 2 2f x f x h f x h( )

0 0 0

1n nf x f( )

Sehingga akan didapatkan

0

12

12 E E

Dengan mengaplikasikan operator ini pada fj, kita mendapatkan

0 12

12

f f fj j j

tetapi f j 12 tidak diketahui dan kita mendefinisikannya dari indek genap (bulat)

f f f f fj j j j j j 12 1 1

21

1

2

1

2 dan f

Nilai-nilai ini dimasukkan pada persamaan memberikan

0 1 1 1

1 1

1

2

1

21

2

f f f f f

f f

j j j j j

j j

=

0

2 f j diperoleh dengan mengaplikasikan 0 pada persamaan dasar differensial ke

pusat. Untuk differensial ke - 3

0

3

0 1 1

0 1 0 1

11

2

1

2

1

21

2

1

21

1

2

2

2

2

f f f f

f f f

f f f f f f

j j j j

j j j

j j jj j

j

=

=

=

=

=1

2

=1

2

f f f f f f

f f f f

f f f f f f f f

f f f f

f

j j jj j

j

j jj

j

j j j j j j j j

j j j j

j

11

2

1

2

1

21

2

1

21

1

2

11

2

1

21

21

1

2

2 1 1 1 1 2

2 1 1 2

0

3

2 2

3 3

31

23

1

2

1

21

22 f f f fj j j j 2 1 1 22 2

Sehingga didapatkan persamaan / bentuk tabel sebagai berikut

Interpolasi 74

fj-3 fj-2 fj-1 fj fj+1 fj+2 fj+3

f j-1 0 1

2 f j

1 -2 1

3 f j

-1 2 0 -2 1

4 f j

1 -4 6 -4 1

5 f j

-1 4 -5 0 -5 -4 1

Dengan demikian persamaan umumnya dapat dituliskan sebagai berikut

on

jk

nk

j N kk

n

f C f ( ) ( @ )/1 2

0

Dan harus dibedakan dalam hal n (genap/ganjil) sehingga diperoleh

genap

n = 2p

ganjil

n = 2p + 1

0

2

20

2

0

2

2

0

2 1

2 1 10

2 1

1 1

1

21

p

j

k

p

k

j p k

k

k

p

k

p

p

k

j p k

p

j

k

p

k

j p k j p kk

p

f C f C f

f C f f

( ) ( )

( )

3.2. Bentuk Polinomial Newton

Kita mendefinisikan defferensial terbagi berorde 0, 1, 2,..., n dengan

(xi) f = f(xi) = fi orde 0

x x f

f x f x

x xi j

j i

j i

,

, (i j) orde 1

x x x f

x x f x x f

x xi j k

i k i j

k j

, ,, ,

, (j k) orde 2

x x x f

x x

x x

x x

x x

x xi j kk j

k i

k i

j i

j i

, ,

1 f f f f

x x x f

x x x x x x x x

x x x x x xi j k

j i k i k i j i

k j k i j i

, ,

f f f f

Secara umum

dimana : e = mewakili himpunan dari titik-titik x0, x1, x2, ..., xn-2

Dengan demikian kita mendapatkan, dengan cara terbalik, persamaan f(x) dengan

bantuan differensial terbagi pada orde 1

x x f f x f x x x0 0 0, ( ) ( ) /

Interpolasi 75

f x f x x x x x( ) ( ) , 0 0 0

kemudian,

x x x f x x f x x f x x0 1 0 0 1 1, , , , /

x x f x x f x x x x x f0 0 1 0 1, , , ,

f x f x x x f x x x x x x x x f( ) ( ) , , , 0 0 1 0 1 0 1

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

*

f x f x x x x x f x x x x x x x f

x x x x x x x x x x fn n

( ) ( ) , , ,

... .. , , ... , ,

0 0 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1

Dengan mendekati f(x) dan P(x); data titik-titik x0, x1, ... , xn akan dilalui oleh P(x)

x x f x x fn0 1 0, , .... , , ... , dapat ditentukan dengan rumus yang ada

Persamaan *) di atas dapat didekati dengan P(x) kecuali elemen yang terakhir. Sehingga

didapatkan persamaan berikut :

P x f x x x x x f x x x x x x x f

x x x x x x x x x fn n

( ) ( ) , , ,

... .. , , ... ,

0 0 0 1 0 1 0 1 2

0 1 1 0 1

Sehingga :

f x P x x x x x x x x x fn n( ) ( ) .... , , ... , , 0 0 1

dimana kesalahan interpolasi ditunjukan oleh :

( ) .... , , ... , ,

, , ... , ,

x x x x x x x x x f

S x x x x x

n n

n n

0 0 1

0 1 = ( ) f

dimana :

S x x x x x xn n 0 1 ....

3.2.1. Perhitungan differensial terbagi x x x xn0 1, , ... , , f

Pada dasarnya perhitungan differensial terbagi tidak memerlukan urutan / tidak

tergantung pada penomeran elemennya.

Misalnya :

**)

x x x x x x x x x

x x x x f x x x x x f x x

x x x x f x x x f x x

n n n n

n n n n n

n n n n

0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

, , ... , , , , ..., , ,

, , ... , , , , ... , , ,

, , ... , , , , ... ,

f = f =

/

/

maka dapat menulis operator berikut

ij i n jf x x x , ,... ,1 1 f

Sehingga persamaan **) dapat ditulis :/ disederhanakan

Interpolasi 76

on n n nf f f x x 1 1 0 1 0, , /

atau lebih umum dapat ditulis

ij

i j j i j

i j ix x

, ,1 1

Dengan demikian differensial terbagi dapat ditabelkan sebagai berikut :

x0 f0 01f 02f 03f ........ 0n-1f 0nf

x1 f1 11f 12f 13f 1n-1f

x2 f2 21f 22f 23f

x3 f3 31f 32f

x4 f4 41f

Sebagai contoh :

13f = (22f - 12f) / (x4 - x1)

Contoh perhitungan

Pada tabel di bawah tentukan susunan differensial terbaginya

Interpolasi 77

j 0 1 2 3 4

xj -2 -1 1 4 6

fj 96 21 -3 186 1512

susunan differensial terbagi:

1 xi i0f=fi i1f i2f i3f i4f

0 -2 96 -75 21 -1 2

1 -1 21 -12 15 15 P0(t) = 0nf

2 1 -3 63 120

3 4 186 663

4 6 1512

misal : 13f = (22f - 12f) / (x4 - x1)

15 = 120 - (+15) / (6-(-1)) = 15

Sehingga didapatkan algoritma sebagai berikut :

i = 0 ke n i0f = f(xi) = fi

i 0 ke n j

j 1 ke n

3.2.2. Penerapan dalam Perhitungan Interpolasi

Persamaan polinomial Pn(x) dapat didekati dengan persamaan :

P x f x x x x f

f x f

n jj

n

j

jj

n

j

( ) ...

0 0 11

0

01

0

=

Maka polinomial berderajat 4 dari tabel di atas dapat ditulis sebagai berikut :

P4(x) = 96 - 75( x + 2) + 21( x + 2 )( x + 1 ) – (-1)( x + 2 )( x + 1 )( x - 1 ) + 2 (x + 2 )( x +

1) ( x - 1 )( x - 4 )

Untuk menghitung P4(2) maka dapat digunakan Algoritma Horner sebagai berikut:

k t t x P t f

P t f

k n k k n k

n

1 1 0

0 0

ke n P ( ) ( )

( )

,

dari contoh di atas

P0 (2) = 2

P1 (2) = (2 - x (4-1)) P1-1 (2) + 0,4-1f

= (2 - 4) 2 - 1 = -5

P2 (2) = (2 - x (4-2)) P2-1 (2) + 0,4-2f

= (2 - 1) (-5) + 21 = 16

P3 (2) = (2 - x (4-3)) P3-1 (2) + 0,4-3f

= (2 +1) 16 - 75 = -27

Interpolasi 78

P4(2) = (2 - x (4-4) P41 (2) + 0,4-4

= (2 - 2)(-27) + 96 = -12

Dalam prakteknya, algoritma di atas sedikit digunakan, karena metode tersebut membuat

kita telah menetapkan derajat dari polinomial interpolasi Pn(x)

Satu dari keuntungan-keuntungan interpolasi Newton adalah tidak diwajibkan

menentukan derajat fungsi polinomial tersebut. “Untuk mengevaluasi f(t), kita memilih x j

yang paling dekat dengan t, dan kita menyebutnya x0, yang memberikan aproksimasi

berorde 0, sehingga :

P0(t) = f0

kemudian titik x1 dipilih sehingga x0 dan x1 mengitari t, sehingga kita mendapatkan

aproksimasi linier yang merupakan suatu nilai baru yang pada prinsipnya lebih teliti.

f(t) f0(t) ( t-x0 ) 01f

dan seterusnya

Contoh :

hitung pada t = 1.2 nilai dari fungsi yang didefinisikan oleh tabel berikut:

x 0 1 2 3 4

f 1 2.7183 7.3891 20.0855 54.5482

Penyelesaian :

kita menyusun tabel differensial terbagi dengan mengambil x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3, x3 =

0, x4 = 4.

I xi 01f=ff i1f i2f i3f i4f0 2 7.3897 4.6708 4.0128 0.8455 0.36331 1 2.7183 8.6836 2.3218 1.57202 3 20.0855 6.3618 7.03783 0 1.000 13.39964 4 54.5982

Maka didapatkan secara suksesi sebagai berikut :

P1 = 7.3891 + (1.2 - 2) 4.6708 = 3.6525

P2 = 3.6525 + (1.2 - 2) (1.2 - 2)4.0128 = 3.0105

P3 = 3.0105 + (1.2 - 2) (1.2 - 2) (1.2 - 3)0.8455 = 3.2540

P4 = 3.2540 + (1.2 - 2) (1.2 - 2) (1.2 - 3) (1.2 - 4)0.3633 = 3.3796

Kita dapat melihat bahwa pendekatan orde ke k-1 digunakan untuk mendapatkan

aproksimasi orde ke k adalah cukup dengan mendapatkan 0,k-1 untuk mendapatkan 0k.

Nilai 0,k-1 memerlukan nilai-nilai k-1-j,j untuk j = 0 ke k-1

Maka kita mempunyai algoritma sebagai berikut :

P1(t) = f0 + 0 01f

0 = (t - x0)

Interpolasi 79

kemudian untuk k 2

Pk(t) = Pk-1(t)+ k-1 (t) 0kf

k-1 = (t-xk-1) k-2(t)

0kf diberikan untuk j = 0 ke k

k j jf

k j j k j j

k k j

f

x x

,

,1, 1 1

Contoh di atas menggambarkan keterbatasan type aproksimasi ini. Ketelitian

ditingkatkan dengan mengganti f(x) dengan polinomial berderajat 0,1,2,3,...,k pada

kondisi tetap pada interval yang sama disekitar t sehingga makin banyak mengambil titik-

titik xj. Sebenarnya untuk setiap waktu, titik-titik x j berselang-seling, dan kita mengambil

keuntungan untuk menaikan derajat polinomial interpolasi.

3.3. Bentuk Polinomial Lagrange

3.3.1. Ekspresi dari polinomial interpolasinya

Dengan memperhatikan n+1 polinomial-polinomial Lj(x) berderajat n, dimana

masing-masing terdefinisi untuk derajat j = 0,1,2,...,n

L xx x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x xj

j j n

j j j j j j j n

( )... ...

... ...

0 1 2 1 1

0 1 1 1

maka Lj(x) dapat ditulis dalam bentuk lain

L xx x

x xjkk j

nk

j k

( )

0 ........................................................................................ (4-2)

Dari persamaan (4-2) jika i = 0, 1, 2, . . ., n, maka kita akan mempunyai hubungan

sebagai berikut:

Lj (xi) =

Jadi Lj (xi) adalah identik pada simbol Kronecker ij

Lj (xi) = ij

Polinomial Lj (x) disebut polinomial lagrange yang melewati n+1 titik-titik yaitu x0,x1,...,xn,

maka dapat ditulis :

P x f x L x

P x f x L x f x f x

n j jj

n

n i j j i j ij ij

n

j

n

( ) ( )

( ) ( )

0

00

Contoh:

Suatu hubungan nilai-nilai tertentu antara x dan log10x adalah seperti (300, 2.4771), (304,

2.4829),(305,2.4843),(307, 2.4871)

Hitung log10 301penyelesaian :

Interpolasi 80

P x f x L xn j jj

n

( ) ( )

0

Penggantian pendugaan nilai x dengan y dalam persamaan

P x L x fn j jj

n

( ) ( )

0

, akan menjadikan bentuk persamaannya ,menjadi

P y L y xn j jj

n

( ) ( )

0

4. Metoda Interpolasi dengan Hasil Suatu Fungsi.

4.1. Metode Pendekatan dari Fungsi Interpolasi g(x)

Metode-metode pendekatan yang dapat menentukan fungsi g(x) ada 4 tipe:

a. Metode Collocation : kita membuat fungsi g(x) berimpit dengan f(x) untuk suatu

jumlah nilai variabel x : g(xj)=f(xj), j = 0,1,2,...,n

b. Kurva Osculatris : membuat fungsi g(x) berhimpit tidak hanya dengan f(x) tetapi juga

dengan turunan-turunan sampai ke n, pada xj

c. Metode “Moindre Carres”: Metode kuadrat terkecil fungsi g(x) tidak harus mendekati

titik (xj, fj) tetapi melalui antara titik-titik tersebut, dengan kondisi jumlah kuadrat jarak

g(xj) dengan f(xj) adalah minimal

d. Metode min-max : Fungsi g(x) melalui juga titik-titik (x j, fj) dengan kondisi yang mana

jarak g(x) dari titik yang paling jauh adalah sekecil mungkin

Kita hanya akan mempelajari tipe yang pertama

4.2. Bentuk-Bentuk Polinomial

Bila diberikan f(x) yang didefinisikan oleh nilai-nilai f j, dan f(x) melalui x0, x1, x2,...,

xj, kita dapat mengganti f(x) dengan polinomial P(x) dengan derajat n, yang mana juga

Interpolasi 81

akan melewati titik (xj, fj) , j = 0,1,2,...,n. Polinomial ini unik, tetapi dapat dituliskan dalam

bentuk-bentuk yang berbeda. Salah satu polinomial tersebut diberikan sebagai berikut:

Polinomial berderajat n ditulis dalam bentuk

P x a a x a x a xn n

n( ) ... 0 1 1

2

4.3. Perhitungan Koefisien Polinomial

Koefisien adalah aj, j= 0,1,2,...,n

Kondisi dari “Collocation” P xj fn j( ) pada n+1 titik-titik xj memberikan persamaan umum

berikut:

a a x a x a x fj j n j

n

j0 1 1

2 1

0

...

( j = ke n)

Dengan matrik dapat dituliskan

1

1

1

0

20

10 0

1

21

11 1

2 1

0

1

0

1

x x x x

x x x x

x x x x

a

a

a

f

f

f

n n

n n

n nn

nn

n n n

. .

. .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. .

..

.

.

.

.

.

Contoh : Tentukan suatu polinomial berderajat 4 yang melewati titik-titik (xj, fj) berikut

j 0 1 2 3 4

xj -2 -1 1 4 6

fj 96 21 -3 186 1512

Dengan persamaan matrik dapat ditulis

Interpolasi 82

1

1

1

1

1

1 2 2 2 2

1 1 1 1 1

0 0

2

0

3

0

4

1 1

2

1

3

1

4

2 2

2

2

3

2

4

3 3

2

3

3

3

4

4 4

2

4

3

4

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

2 3 4

2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a

a

a

a

a

f

f

f

f

f

1 1 1 1 1

1 4 4 4 4

1 6 6 6 6

96

21

3

186

1512

2 3 4

2 3 4

2 3 4

0

1

2

3

4

a

a

a

a

a

Maka a0 = 6, a1 = -7, a2 = 1, a3 = -5, a4 = 2, sehingga

P4(x)=6 - 7x + x2 - 5x3 + 2x4

4.4. Interpolasi dengan Skema Horrer

Bila fungsi polinomial sudah diketahui, sekarang akan menghitung nilai x = t,

dimana t = xj. Nilai yang dihitung akan dipertimbangkan sebagai nilai yang mendekati

f(x=t). Perhitungan dari Pn ( x=t ) berawal dari penentuan setiap komponen pada

persamaan polinomial Alogaritma Horrer yang lebih ekonomis dengan menuliskan

polinomial dalam bentuk

P x ... a x a x a x a x a x an n n 1 n 2 n 3 1 0

yang memberikan algoritma sebagai berikut:

Po(x) = an, Pk(x) = x Pk-1 (x) + an-k

Pembuktian algoritma Horrer: misal n = 4

k = 0 P0 (x) = an = a4

k = 1 P1(x) = x P0 (x) + a3

k = 2 P2(x) = x P1 (x) + a2

k = 3 P3(x) = x P2 (x) + a1

k = 4 P4(x) = x P4 (x) + a0

P4(x) = x (xP3(x)+a1+a0

P4(x) = x(x(xP1(x)+a2)+a1)+a0

P4(x) = x(x(x(xP0(x)+a3)+a2)+a1)+a0

P4(x) = x(x(x(xa4+a3)+a2)+a1)+a0

misal : diketahui P4(x)= 2x4-5x3+x2-7x+6

hitung P4 (x=2) = ?

Interpolasi 83

a4 a3 a2 a1 a0

ak (susunan menurun) : 2 -5 1 -7 6

Pk (susunan menaik) : 2 -1 -1 -9 -12

P0(x) P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

Maka P4(2) =-12 (Perhitungan lebih ekonomis dalam bahasa pemrograman)

4.5. Interpolasi Dengan Pembagian Sintesa

Fungsi polinomial Pn(x)dapat ditulis sebagai

Pn(x) = (x-t) Qn-1(x) + Rn

dimana

Qn-1(x) adalah polinomial dengan derajat n-1 dan Rn suatu konstanta

Qn-1(x) = bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b0

Dengan membuat x=t maka Rn Pn (t)

yang membawa/menjadikan persamaan-persamaan berikut:

Q (x ) b x b x ... b

P (x ) a x a x a ... a x

n 1 n 1n 1

n 2n 2

0

n 0 12

2 nn

a xa x a ... a x0 1

2

2 n

n = ( b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 xn-1 ) ( x-t ) + Rn

a xa x a ... a x0 1

2

2 n

n = (x b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 xn-1 ) ( x - t ) + Rn

Sehingga didapatkan persamaan:

bn-1 = an

aj = bj-I - tbj { bj-I= aj + tbj ( 1 j n-1 )

a0 = Rn - tb0 Rn = a0 + tb0

Contoh : diberikan polinomial berderajat 4

P4(x) = 2x4 - 5x3 + x2 - 7x + 6 hitung P4(2)

J 4 3 2 1 0

P4 Aj 2 -5 1 -7 6

Q3 bj 2 -1 -1 -9 -12 = R4

maka P4 (2) = -12

Q3(x) = 2x3 - x2 - x - 9

Untuk menguji

P4 (x) = (x-2) Q3(x) +Rn

= (x-2) (2x3 - x2 - x - 9) - 12

= 2x4 - 5x3 + x2 - 7x + 6

Secara umum akan didapatkan Q2 sampai Q0 dan R3 samapi R0 sebagai berikut:

Interpolasi 84

J 4 3 2 1 0

P4 aj 2 -5 1 -7 6

Q3 bj 2 -1 -1 9 -12 = R4

Q2 cj 2 3 5 1 = R3

Q1 dj 2 7 19 = R2

Q0 ej 2 11 = R1

2 = R0

Dari tabel tersebut dapat dituliskan persamaan

P4(x) = Q3 (x) (x-2) - 12

Q3 (x) +(x-2)Q2 + 1

Q2(x) = (x-2) Q1 + 19

Q1(x) = (x-2) Q0 + 11

Q0(x) = 2

Dengan mengembalikan persamaan polinomial P4(x)

P4(x) = -12 + ( x - 2 ) ( 1+ ( x - 2 ) ( 19 + ( x - 2 ) ) ( 11 + ( x - 2 ) 2 )))

5. Keterbatasan Pendekatan dengan Polinomial

Polinomial Pn (x) mewakili pendekatan f(x) dengan memberikan

Sn(x) = (x - x0 ) ( x - x1 ) ... (x - xn )

kita dapat tunjukkan bahwa kesalahan terhadap Collocation berharga :

(x) = f(x) - P(x) = fn+1 ( ) Sn(x) / (n-1)!

Dimana :

fn+1 ( ) : adalah turunan ke n+1 dari f(x) pada x =

(x) : tergantung dari x dan terletak dalam x0 xn

Kesalahan interpolasi akan = 0 jika n

Berarti aproksimasi dengan Pn (x) akan semakin teliti bila jumlah xj, 0 jn

Interpolasi 85

Jika Pn(x) divergen artinya dapat ditunjukan dengan simpangan yang besar

(osilasi yang besar)

Sebagai konsekuensinya, maka tidak disarankan melakukan interpolasi-interpolasi oleh

polinom berderajat tinggi.

Jalan keluar : yang dapat diterima adalah membagi dengan sub-subinterval pada interval

(a,b) dan menginterpolasi f(x) pada setiap bagian dengan polinomial berderajat cukup

rendah

Interpolasi 86

Pn(x)

f(x)