Doc. dr Mirjana Landika Prof. dr uro Miki

METODI STATISTIKE ANALIZE

- primjena u oblasti zdravstvenih, sportskih i inenjerskih nauka -

Banjaluka, 2015.

METODI STATISTIKE ANALIZE - primjena u oblasti zdravstvenih, sportskih i inenjerskih nauka -

Autori:

Doc. dr MIRJANA Landika, Prof. dr URO Miki

Recenzenti: Prof. dr NEBOJA Ralevi, prof. dr IVANA Ljubanovi - Ralevi

Lektor:

BILJANA Koji, profesor srpskog jezika i knjievnosti

Izdava: Panevropski univerzitet "APEIRON", Banja Luka, 1. izdanje, godina 2015.

Odgovorno lice izdavaa:

DARKO Uremovi

Glavni i odgovorni urednik: Dr ALEKSANDRA Vidovi

DTP:

SRETKO Boji

tampa: MARKOS design&print studio, Banja Luka

Odgovorno lice tamparije:

IGOR Jakovljevi

EDICIJA: Ekonomska biblioteka knj. 107

ISBN 978-99955-91-64-9

Na osnovu lanova 241, 286. 287.Statuta i izvjetaja o publikaciji Centra za izdavaku djelatnost Panevropskog univerziteta Apeiron, Senat na sjednici odranoj 21. jula 2015. godine donosi odluku

broj: 2045-5-2/15, kojom se odobrava izdavanje ovog udbenika.

3

SADRAJ

1. UVOD ...................................................................................................................................... 9 1.1. Prikupljanje statistikih podataka, formiranje statistike serije,

tabelarno i grafiiko prikazivanje statistikih serija ....................................................... 11

2. DESKRIPTIVNA ANALIZA ............................................................................................. 34 2.1. Mjere centrlane tendencije .............................................................................................. 34

2.1.1. Aritmetika sredina prosjek ......................................................................................... 34 2.1.2. Geometrijska sredina ...................................................................................................... 42

2.2. Momenti statistike serije ............................................................................................... 52 2.3. Pozicione srednje vrijednosti .......................................................................................... 64

2.3.1. Modus ............................................................................................................................. 64 2.3.2. Medijana; Kvartili; Decili; Percentili ............................................................................. 68

2.4. Mjere varijabiliteta .......................................................................................................... 79 2.4.1. Apsolutne mjere varijabiliteta ......................................................................................... 79 2.4.2. Apsolutne mjere varijabiliteta ......................................................................................... 90 2.4.3. Mjere asimetrije, zaobljenosti i koncentracije ................................................................ 95

3. OSNOVI TEORIJE VJEROVATNOE I TEORIJSKI RASPOREDI ....................... 122 3.1. Osnovni pojmovi teorije vjerovatnoe .......................................................................... 122

3.1.1. Modeli distribucije vjerovatnoe kontinuirane sluajne promjenljive .......................... 145

4. STATISTIKO ZAKLJUIVANJE ............................................................................... 158 4.1. Statistiko ocjenjivanje nepoznatih parametara osnovnog skupa ................................. 158

4.1.1. Statistiko ocjenjivanje aritmetike sredine i totala osnovnog skupa ........................... 159 4.1.2. Statistiko ocjenjivanje procenta uea osnovnog skupa ............................................ 169 4.1.3. Statistiko ocjenjivanje varijanse (standardne devijacije) osnovnog skupa ................. 176

4.2. Testiranje statistikih hipoteza ..................................................................................... 181 4.2.1. Statistiko testiranje hipoteza o aritmetikoj sredini osnovnog skupa ......................... 183 4.2.2. Testiranje hipoteza o procentu uea osnovnog skupa ............................................... 193 4.2.3. Statistiko testiranje hipoteza o vrijednosti varijanse osnovnog skupa ........................ 200 4.2.4. Statistiko testiranje hipoteza o razlici aritmetiih sredina dvaju osnovnih skupova ... 206 4.2.5. Statistiko testiranje hipoteza o razlici procenta dvaju osnovnih skupova ................... 213 4.2.6. Statistiko testiranje hipoteza o varijansi dvaju osnovnih skupova

analiza varijanse; F test ........................................................................................... 221 4.3. Neparametraski testovi ................................................................................................. 227

4.3.1. Test predznaka (sign test) test hipoteze o vrijednosti medijane osnovnog skupa ...... 228 4.3.2. Wilcoxonov test (Wilcoxon one sample signed rank test) test pretpostavljene

vrijednosti medijane u odnosu na predznak razlike vrijednosti statistikog obiljeja i medijane ....................................................................................................... 232

4.3.3. Wilcoxonov test (Wilcoxon mached pairs signed rank test) test pretpostavljene vrijednosti na bazi ekvivalentnih parova statistikih obiljeja ..................................... 236

4.3.4. Mann Whitney Wilcoxonov test za nezavisne uzorke ............................................ 241 4.3.5. Test homogenosti statistike serije (runs test) ........................................................... 245 4.3.6. Test Kolmogorov Smirnova ...................................................................................... 265 4.3.7. Kuskal Wallisov i Friedmanov test analiza varijanse na bazi rang promjenljivih .. 268

5. REGRESIONA I KORELACINA ANALIZA ................................................................ 289 5.1. Osnovni pojmovi regresionog modela .......................................................................... 289 5.2. Modeli proste linearne regresije ................................................................................... 292

4

5.2.1. Statistiko testiranje hipoteza u modelu proste linearne regresije ................................ 297 5.2.2. Prosta linearna korelacija koeficijent korelacije ........................................................ 299 5.2.3. Ocjenjivanje i predvianje vrijednosti zavisne promjenljive ........................................ 304

5.3. Jednostavna krivolinijska regresija ............................................................................... 319 5.4. Odabrani modeli nelinearne regresije ........................................................................... 325

6. OSNOVNA ANALIZA VREMENSKIH SERIJA .......................................................... 338 6.1. Grafiko prikazivanje i komparacija vremenskih serija ............................................... 339 6.2. Pokazatelji dinamike ..................................................................................................... 346 6.3. Indeksi ........................................................................................................................... 349 6.4. Odabrani modeli vremenskih serija .............................................................................. 356

6.4.1. Modeli trenda ................................................................................................................ 357 6.4.2. Metode izravnavanja vremenske serije ......................................................................... 367

LITERATURA:......................................................................................................................... 383

5

RECENZIJA

Udbenik Metodi statistike analize - primjena u oblasti zdravstvenih, sportskih i

inenjerskih nauka autora Mirjane Landika i ure Mikia, prema kritikom miljenju i

opreznoj ocjeni recenzenata, predstavlja konsolidovani tekst statistike teorije i prakse

udbenikog profila, prevashodno namjenjen studentima zdravstvenih, sportskih i inenjerskih

disciplina.

Potrebno je naglasiti da pojedini segmenti udbenika tretiraju odgovarajua teorijska

pitanja statistike metodologije, ali istovremeno i konkretnu primjenu ove teorije u medicinskoj,

sportskoj i inenjerskoj praksi. Ako je ortodoksna statistika nauka na pogrenom putu, zablude

ne lee u nadgradnji,sainjenoj na brizi logike dosljednosti, ve u premisama kojima nedostaje

jasnoa i optost. Stoga teorijske preferencije i apstraktni dokazi, kao i empirijske provjere, uz

povremmene kontraverze, mogu ostvariti svoj cilj, tj.motivisati itaoceda, u rjeavanju odreenih

problema, kritiki preispituju potvuju ili oponiraju vlastite hipoteze, slijede upravo brojne

pokazane primjere u udbeniku.

Dakle, cilj autora je da pokae i objasni, ne samo sopstvena stanovita i njihova odstupanja

u odnosu na konvencionalni pristup ve i univerzalnu primjenu statistikih alata u pogledu

sticanja futuristikih znanja u prevazilaenju oprenih uvjerenja i savladavanju stohastike

neoreenosti. Sa druge strane, knjiga ispoljava vidljive znakove i rezultate upotrebe i djelovanja

statistike snage u obuhvatanju promjena u navedenim oblastima tako da se moe smatrati

svjedokom nastojanja autora da se rjee brojni problemi i potvrde oekivanja u nastajanju

materijalne istine vezane za otkrivanje zakonomjernosti ponaanja pojedinih pojava.

Pisanje udbenika je oigledno bio ozbiljan napor autora da izbjegne puku sistematizaciju i

organizaciju podataka ve promovie metod statistike analize u sadanjosti determinisan pod

uticajem promjenljivh verzija budunosti. Udbenik je struktuiran u est standardnih poglavlja

(Uvod, Deskriptivna analiza, Vjerovatnoa i kombinatorika, Statistiko zakljuivanje,

Regresiona i korelaciona analiza i Analiza vremenskih serija) iji su dijelovi harmonino

komponovani u metodoloku i strunu cjelinu, a za usvajanje i primjenu izloene materije

neophodna su elementarna matematika i informatika zananja.

Simbolike pseudomatematike metode, koje matematikom sintaksom formalizuju

modele sistema, esto neopravdano pretpostavljaju da su odnosni inioci i njihovi uticaji potpuno

6

nezavisni. Time se umanjuje uvjerljivost i autoritet statistikih postupaka a poetne hipoteze

(uvjerenja) ispostave nepotvrena. U uobiajenom rezonovanju moemo da imamo na umu

potrebne rezerve i ogranienja, kao i eventualne korekcije, jer pretjerano zahtjevno uee

matematike ekonomije moe da vodi u pekulaciju, toliko spornu, koliko sporne i polazne

pretpostavke.

Udbenik je u potpunosti osloboen navedenih rezervi i nepotrebnih sumnji tako da svoga

autora dovodi u korektan i odgovoran odnos u pogledu sagledavanja sloenosti i meuzavisnosti

u realnom svijetu rastereenog pretencioznim matematikim simbolima.

Autor preuzima odgovornost za eventualne nedostatke ali sa zahvalonou prim a sve

primjedbe i sugestije strune javnosti koje bi doprinijele unapreenju kvaliteta sledeeg izdanja.

Banja Luka, 12.7.2015.

7

PREDGOVOR

U pogledu kontinuiranog razvoja teorije statistikih metoda i njene doslijedne primjene

i provjere u medicinskoj, sportskoj i Inenjerskoj praksi, sainjen je udbenik: Metodi

statistie analize primjena u oblasti zdravstvenih, sportskih i inenjerskih nauka sa kojim

bi dalje iskustvo u nastavi pokazalo gdje i kada bi se moglo izvrsiti olakanje izlaganja i

usvajanja odredjenih poglavlja od posebne vaznosti. Panja autora je posebno usmjerena na

zadovoljavavanje metodolokih kriterija, ali i znatno proirena na aspekte validnosti

empiriskog mjerenja i eksperimentalnog rada, generisanja statistikih podataka u okviru

postupka statistikog istraivanja, razmatranja osnovnih pojmova matematike distribucije u

okviru teorije vjerovatnoe, provjeravanja statistikih hipoteza, utvrivanja ocjena i greaka

ocjena karakteristika pojedinih parametara, ispitivanja statistike povezanosti varijacija i

stepena kvantitativnog slaganja kao i analize vremenskih serija.

U skladu sa izloenim intencijama dodani su brojni primjeri iz prakse za navedene

oblasti kako bi se olakalo razumjevanje doprinosa statistikih metoda i odgovorilo na neka

praktina pitanja za potrebe rjeavanja raznih izazova koji ekaju svoju konkretnu

verifikaciju. Izvrena je odredjena konsolidacija gradiva koje se odnosi na deskriptivnu

statistiku kao i potrebna koncentracija preferencija kljunih pitanja ispitnog programa iz

predmeta: Statisticke metode, sastavljenog i prvenstveno namjenjenog studetima univerziteta

APEIRON za sticanje znanja neophodnih za uspjena istraivanja u zvanjima za koje se

spremaju.

Svrha ovog udbenika je dakle osposobiti medicinsku, sportsku kao i inenjersku

profesiju mogunostima istraivanja i analize na bazi dragocjene statistike indikacije kao i

pravilnoj ocjeni, selekciji, upotrebljivosti i vjerodostojnosti podataka od cijeg nivoa

kritinosti direktno zavisi i nivo naunosti izvedenog rezultata. Daljim provoenjem

statistikog postupka i obradom statistikog materijala dobijene pokazatelje i koeficijente

potrebno je razumjeti u kontekstu analize strukture i dinamike povezanosti pojava iz

navedenih podruja pa je iz takvog postavljenog zahtjeva temeljno obraeno i primjerima iz

prakse obogaeno podruje teorije vjerovatnoe, teorije uzorka, korelacione i regresione

analize kao i odjeljak analize vremenskih serija. Gotovo cjelokupna sportska, medicinska i

inenjerska obiljeja imaju kvantitativni i stohastiki karakter to ukazuje na nezaobilaznu

udbeniku pomo i solidno poznavanje moderne statistike analize u smislu i sa ciljem

8

otkrivanja zakonitosti ponaanja odreenih pojava sportskog, medicinskog ili inenjerskog

predznaka, a to je i posluilo kao polazni motiv i dodatna inspiracija u pisanju ovog

udbenika. Takoe, udbenik je velikim djelom rezultat viegodinjeg rada autora na

statistikom obrazovanju profila navedenih profesija prvog ciklusa ali moe da slui i svima

drugima koji koriste statistike metode, jer njegova primarna primjena ne ograniava

upotrebljivost i u drugim oblastima nauno istraivakog rada.

Udbenik sadri est sledeih poglavlja koja u svom prirodnom poretku ine sklad i

cjelinu udbenike grae edukativnog tipa:

- Plan i program statistikog istraivanja, gdje su obuhvaeni i primjerima

ilustrovani opti elementi i faze statistikog istraivanja.

- Deskriptivna analiza, gdje su izloene i primjerima ilustrovane mjere centralne

tendencije, mjere varijabiliteta, kao i mjere oblika rasporeda.

- Teorijski modeli i funkcije raspodjel,a gdje su obuhvaeni jednodimenzionalni i

dvodimenzionalni disketni i indiskretni teorijski rasporedi u okviru zakona vjerovatnoe.

- Analiza uzorka, gdje su dati osnovni pojmovi iz podruja reprezentativne i anlize

sa osvrtom na obim, izbor i reprezantativnost, kako bi se itaocima olakalo

savladavanje i koristenje metoda ocjenivanja i testiranja u cilju statistikog zakljuivanja

i donoenja statistikih sudova.

- Korelaciona i regesiona analiza, sa posebnom panjom na odreivanje, sa jedne

strane uzrocno-posljedicne povezanosti a sa druge stepena, smjera i intenziteta

kvantitativnog slaganja u paralelizmu varijacija i slinosti njihovih uticaja.

- Analiza vremenskih serija, gdje se posebno naglaava trend kao razvojna

vremenska komponenta odnosno kao prilagodjena i ekstrapolisana funkcija koja najbolje

ispoljava razvojnu tendenciju pojave i moe se koristiti kao vrlo efikasan metod

prognoziranja.

Objavljivanjem ovog udbenika autor je imao u vidu korisnost brojnih priloga i

miljenja studenata, kolega i druge dobronamjerne strune javnosti tako da i dalje, sa

posebnim zadovoljstvom i zahvalnou ostaje otvoren i raspoloen za konstruktivne kritike,

sugestije i primjedbe koje bi nesporno doprinjele kvalitetu sljedeeg izdanja.

9

1. UVOD

Statistika analiza primjenjuje se u oblastima strune, naune i praktine djelatnosti, kao to

su analiza optih osobina masovne pojave kao oblika kretanja varijacija, predvianje buduih

ishoda, donoenje sudova i zakljuaka. U okviru statistikog istraivanja razlikujemo sljedee

faze:

- Prikupljanje statistikih podataka;

- Formiranje i prikazivanje statistike serije;

- Statistika analiza;

- Publikacija i interpretacija rezultata statistikog istraivanja.

Osnovni pojamovi u statistikoj analizi su statistiki skup, populacija (osnovni skup) i

uzorak. Statistiki skup obuhvata elemente kojima se odreuju kvalitaitivne i kvantitativne

osobine, takav skup moe biti realan ili hipotetiki, kao i konaan ili beskonaan. Skup podataka

u odnosu na svaki pojedini element naziva se populacija, a dio populacije je uzorak.

Statistiki podaci su obiljeja odreenih elemenata statistikih skupova, a predstavljaju osnov

za razlikovanje jedinica statistikog skupa. Obiljeja jedinica statistikog skupa predstavljaju

promjenljive u statistikim analizama. Pojavni oblici odreenih osobina nazivaju se modaliteti.

Statistika graa prikuplja se planski, pri emu se koriste metode posmatranja ili statistikog

eksperimenta, uz uslov da su posmatrane osobine masovne i varijabilne. Masovnost osobina

odnosi se na pretpostavku da statistiki skup sadri veliki broj jedinica, dok varijabilnost

podrazumijeva da se jedinice statistikog skupa meusobno razlikuju u pogledu odreenih

osobina ili da odreene osobine kod posmatrane jedinice statistikog skupa iskazuju

promjenljivost vremenu ili prostoru.

Izvori iz kojih se prikuplja statistika graa mogu biti primarni i sekundarni. Primarni izvori

podtaka odnose se na dio statistike grae koji se prikuplja posmatranjem ili statistikim

eksperimentom (najee je to anketa), pri emu se njihov kvalitet i kvantitet prilagoava

zahtjevima konkretnog statistikog istraivanja. Sekundarni izvori podataka predstavljaju javne

podatke odreenih institucija ili informacionih sistema ukljuujui podatke dostupne u okviru

globalne svjetske mree (www).

Statistika serija predstavlja niz ureenih statistikih podataka, koji se formira na bazi

prikupljene statistike grae. Najprije se jedinice statistikog skupa ralane prema osobinama i

10

njihovim modalitetima, zatim se prikupljena graa grupie u odgovarajue podskupove koji

moraju zadovoljiti zahtjev nepreklapanja. Broj jedinica statistikog skupa koje imaju istu ili

slinu vrijednost posmatrane ili mjerene osobine naziva se apsolutna frekvencija ili uestalost.

Relativna frekvencija ili procent uea izraava se kao odnos apsolutne frekvencije i obima

pojave. Nakon grupisanja vri se redanje grupa prema intezitetu mjerenog obiljeja kako bi se

formirala statistika serija.

Statistika graa moe biti numerika, prostorna, vremenska i atributivna. Numerika

obiljeja u statistikoj seriji redaju se u nominalnu ili rednu skalu prema intenzitetu mjerenog

obiljeja. Prostorna obiljeja se redaju prema udaljenosti od referentne take. Vremenska

obiljeja se redaju hronoloki. Atribuivna obiljeja se redaju prema intenzitetu mjerenog

obiljeja ili prema konvencionalnom poretku prilagoeno prirodi podataka.

Prikazivanje statistike serije vri se tabelarno i grafiki. Jednostavni tabelarni prikaz

podrazumijeva prikaz statistike serije ralanjene po jednom obiljeju, a sloene tabele tabele

kontigencije koriste se za prikazivanje statistikih serija koje nastaju ralanjivanjem jedinice

statistikog skupa prema veem broju obiljeja.

Grafiko prikazivanje statistikih serija obuhavta dijagrame taaka, linijske i povrinske

dijagrame. Najpoznatiji linijski dijagrami su polarni i pravougaoni kordinatni sistem. Vaniji

povrinski dijagrami su: histogrami, poligon frekvencija i strukturni krug.

Statistika analiza obuhvata dva analitika pristupa, a to su deskriptivna i inferencijala

statistika analiza. Deskriptivna analiza obuhvata postupke kojima se ureuju, grupiu, tabelarno

i/ili grafiki prikazuju odgovarajui podaci i izraunavaju raznovrsni analitiki pokazatelji.

Sutina deskriptivne statistike analize jeste u tome da se njome dobijeni sudovi i zakljuci

projektuju na odgovarajue empirijske vrijednosti bez uoptavanja. Inferencijalna statistika

analiza polazi od uzorka, a njen osnovni zadatak odnosi se na izuavanje pojava i procesa

pomou dijelimine informacije, pri emu se zakljuci i rezultati uoptavaju, a najee se

odnose na testiranje statistikih hipoteza i procjenu nepoznatih parametara. Inferencijalna

statistika analiza obuhvata stohastike procese koji se pokoravaju zakonima vjerovatnoe i nije

ih mogue matematiki predviati. Prethodno pomenuti metodi zasnivaju se na teoriji

vjerovatnoe i upotrebi dijelimine (nepotpune) informacije o populaciji koja se analizira.

11

1.1. Prikupljanje statistikih podataka, formiranje statistike serije, tabelarno i grafiiko prikazivanje statistikih serija

Primjer 1.1. Ispitivanje stanovnika o simptomima i prevenciji gripe u zimskom periodu vri

se pomou anketnog upitnika, iji je izgled:

Molimo Vas da odvojite par minuta i iskreno

odgovorite na sljedea pitanja

1. Vaa starosna dob je:

2. Mjesto Vaeg stanovanja:

a. Centar grada

b. ire gradsko podruje

c. Prigradsko naselje

d. Ruralna sredina (selo)

3. Vaa kolska sprema:

a. Osnovna kola

b. Srednja kola

c. Via kola

d. Visoka kola

e. Magistar ili doktor nauka

4. Radni status:

a. Zaposlen(a)

b. Nezaposlen(a)

c. Penzioner(ka)

5. Da li ste bolovali od gripa:

a. Veoma esto (vie puta godinje)

b. esto (svake godine)

c. Povremeno (ne svake godine)

d. Rijetko ili nikada (ne sjeam se kada)

6. Da li ste preduzimali preventivne mjere

kako biste sprijeili grip:

a. Vakcinacija

b. Pomona ljekovita sredstva

(farmakoloka)

c. Pomona ljekovita sredstva

(prirodna ili domaa)

d. Nita od navedenog

7. Kako lijeite grip:

a. Odlazak ljekaru i pridavanje

dobijenih uputstava

b. Odlazak ljekaru i dijelimino

pridravanje uputstava

c. Samostalno uzimanje ljekova

d. Samostalno uzimanje pomonih

ljekovitih sredstava (farmakolokih)

e. Samostalno uzimanje pomonih

ljekovitih sredstava (prirodnih ili

domaih)

Hvala na iskrenosti i izdvojenom

vremenu!

Slika 1. Izgled anketnog upitnika za ispitivanje informisanosti ispitanika u pogledu prevencije i lijeenja gripa

12

Anketa je provedena na 40 ispitanika, pri emu su rezultati ankete bili sljedei:

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 25 c b b b d b 53 b a a c d d 18 a b a d c b 58 b a b c c b 46 c c a a c b 19 c c a d a d 59 a b b c b d 63 a b a b b a 54 c d a d a b 58 b c a d b d 54 b d b b a a 21 b d c d c b 49 d a a c c e 28 b c a d b d 46 a a a a c c 61 b d a d d b 49 d c b c c e 20 b b c a a b 40 a e b b d c 50 a e b c a d 61 d c b d a e 45 d d c a a c 18 c b c a b a 26 c a c c d b 21 b b b a a a 54 a e a b a d 27 d a b c d c 40 d b b b b b 26 c d a c d b 26 a c b a a c 35 c a c a a c 63 b c c d c b 34 d b a d c c 67 b b b d a b 20 b d b d a a 22 b a a c b b 56 c a b b d a

13

44 b b b c d c 60 d b a b d a 58 c d a b d b

Slika 2. Rezultati ankete odgovori ispitanika

Za potrebe prikazivanja rezultata statistikog eksperimenta, obiljeja posmatranog

statistikog skupa (statistike promjenljive) predstavljene se oznakama V1, V2,..., V7 u odnosu

na redni broj pitanja u anketnom upitniku, pri emu V1 predstavlja prvo obiljeje (prvu

promjenljivu) starosna dob ispitanika, V2 predstavlja drugo obiljeje (drugu promjenljivu)

mjesto stanovanja ispitanika, V3 predstavlja tree obiljeje (treu promjenljivu) kolska

sprema ispitanika, V4 predstavlja etvrto obiljeje (etvrtu promjenljivu) radni status

ispitanika, V5 predstavlja peto obiljeje (petu promjenljivu) uestalost obolijevanja od gripa,

V6 predstavlja esto obiljeje (estu promjenljivu) metod prevencije od gripa i V7 predstavlja

sedmo obiljeje (sedmu promjenljivu) metod lijeenja gripa. Modaliteti obiljeja oznaeni su u

u kolonama ispod naziva promjenljive.

Potrebno je:

a. Formirti statistike serije prema dobijenim odgovorima na postavljena pitanja i tako

dobijene serije prikazati tabelarno uz prikazivanje kako apsolutnih tako i relativnih

frekvencija;

b. Urediti podatke koji se odnose na pitanja kolska sprema i Metod prevencije od

gripa sa jedne strane, te Metod lijeenja gripa sa druge strane.

Rjeenje:

a. Kako bismo izvrili formiranje statistike serije potrebno je urediti prikupljenu

statistiku grau, stoga je potrebno rezultate pojedinih statistikih promjeljivih urediti na

odgovarajui nain. Kako je promjenljiva V1 numerika promjeljiva, dok su ostale

promjenljive V2 V7 atributivne, nizove modaliteta vrijednosti pojedinih obiljeja

ureujemo prema intenzitetu mjerenog svojstva, ime dobijamo:

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 18 a a a a a a 18 a a a a a a 19 a a a a a a 20 a a a a a a 20 a a a a a a 21 a a a a a a 21 a a a a a a

14

22 a a a a a b 25 b a a b a b 26 b b a b a b 26 b b a b a b 26 b b a b a b 27 b b a b a b 28 b b a b b b 34 b b a b b b 35 b b a b b b 40 b b a b b b 40 b b b c b b 44 b b b c b b 45 b b b c b b 46 b b b c c b 46 b c b c c b 49 c c b c c c 49 c c b c c c 50 c c b c c c 53 c c b c c c 54 c c b c c c 54 c c b c c c 54 c c b d c c 56 c d b d d c 58 c d b d d d 58 c d b d d d 58 d d b d d d 59 d d c d d d 60 d d c d d d 61 d d c d d d 61 d d c d d d 63 d e c d d e 63 d e c d d e 67 d e c d d e

Slika 3. Odgovori ispitanika ureeni prema intenzitetu mjerenog dejstva

a. Promjenljiva V1 je kontinuirana numerika promjenljiva, ureenja je u rastui brojni niz

koji emo grupisati u intervalnu statistiku seriju distribucija frekvencija. Za potrebe

formiranja statistike serije starosti ispitanika, modalitete promjenljive Starost ispitanika

grupisati emo u intervale, pri emu je potrebno odrediti:

- Broj intervala unutar kojih e biti uvrtene vrijednosti modaliteta u konkretnoj statistikoj

seriji (K). Zatim,

15

- Veliine formiranih intervala (i).

Pomenute veliine izraunavaju se koritenjem sljedeih obrazaca:

K =1+3,32log N gdje je N obim pojave (broj anketiranih lica)

Uvaavajui prirodu promjenljive K broj intervala mora biti prirodan broj.

gdje su:

Xmax modalitet obiljeja koji u posmatranoj statistikoj seriji ima najveu vrijednost;

Xmin modalitet obiljeja koji u posmatranoj statsistikoj seriji ima najmanju vrijednost;

K prethodno odreen broj intervala u statistikoj seriji.

U posmatranom primjeru je:

K = 1 + 3,32*log 40 = 1 + 3,32*log 40 =1 + 3,32*1,60206 = 1 + 5,32 = 6,32 | 6

Veliina intervala moe biti iskazana u obliku cjelobrojne ili racionalne vrijednost, ovdje

emo uzeti veliinu intervala 9, pri emu emo poslednji interval ostaviti otvoren. Intervalna

serija se formira tako da prvi interval za donju granicu ima vrijednost najmanjeg modaliteta u

statistikoj seriji, a gornja granica dobije se kao zbir donje granice intervala i veliine intervala,

dok je frekvencija intervala broj jedinica koje imaju vrijednost modaliteta posmatranog obiljeja

iz posmatranog intervala. U konkretnom primjeru prvi interval obuhvata ispitanike ija je starosn

dob izmeu 18 i 27 godina, broj ispitanika ija je starost izmeu 18 i 27 godina je 12. Analogno

navedenom postupak ponavljamo za sve ispitanike i dobijamo statistiku seriju kao to je

prikazano u narednoj tabeli. Relativne frekvencije dobijamo tako to frekvencije svakog

pojedinog intervala podijelimo sa 40, jer je ukupan broj jedinica u posmatranom statistikom

skupu 40, odnosno:

16

Starost ispitanika xi

Broj ispitanika Udio ispitanika % fi pi

18 27 12 30,0 27 36 4 10,0 36 45 3 7,5 45 54 7 17,5 54 63 11 27,5 63 i vie 3 7,5 Ukupno: 40 100%

Tabela 1. Tabelarni prikaz promjenljive V1 Starost ispitanika; tip promjenljive numeriki; tip statistike serije intervalna serija distribucija frekvencija

Ostale promjenljive u posmatranom statistikom modelu su atributivnog tipa pri emu

promjenljivu V2 ureujemo prema konvencionalnom poretku, a ostale promjenljive V3 V7 prema intenzitetu mjerenog svojstva, ime dobijamo statistike serije prikazane u sljedeim tabelama.

Mjesto stanovanja ispitanika

xi Broj ispitanika Udio ispitanika %

fi pi Centar grada 8 20

Gradsko podruje 14 25 Prigradsko podruje 10 35

Rurarlo podruje (selo) 8 20 Ukupno: 40 100%

Tabela 2. Tabelarni prikaz promjenljive V2 Mjesto stanovanja ispitanika; tip promjenljive atributivni; tip statistike serije serija distribucija frekvencija

kolska sprema ispitanika

xi Broj ispitanika Udio ispitanika %

fi pi Osnovna kola 9 22,5 Srednja kola 12 30,0

Via kola 8 20,0 Visoka kola 8 20,0

Magistar ili doktor nauka 3 7,5 Ukupno: 40 100%

Tabela 3. Tabelarni prikaz promjenljive V3 kolska sprema ispitanika; tip promjenljive atributivni; tip statistike serije serija distribucija frekvencija

17

Radni status ispitanika xi

Broj ispitanika Udio ispitanika % fi pi

Nezaposlen(a) 17 42,5 Zaposlen(a) 16 40,0

Penzioner(ka) 7 17,5 Ukupno: 40 100%

Tabela 4. Tabelarni prikaz promjenljive V4 Radni status ispitanika; tip promjenljive atributivni; tip statistike serije serija distribucija frekvencija

Uestalost obolijevanja od gripa xi

Broj ispitanika Udio ispitanika % fi pi

Veoma esto 8 20,0 esto 9 22,5

Povremeno 11 27,5 Rijetko ili nikad 12 30,0

Ukupno: 40 100% Tabela 5. Tabelarni prikaz promjenljive V5 Uestalost obolijevanja od gripa; tip promjenljive atributivni; tip

statistike serije serija distribucija frekvencija

Metod prevencije gripa xi

Broj ispitanika Udio ispitanika % fi pi

Vakcina 13 32,5 Pomona ljekovita sredstva (farmakoloka) 7 17,5

Pomona ljekovita sredstva (prirodna ili domaa) 9 22,5 Nita od navedenog 11 27,5

Ukupno: 40 100% Tabela 6. Tabelarni prikaz promjenljive V6 Metod prevencije gripa; tip promjenljive atributivni; tip statistike

serije serija distribucija frekvencija

Metod lijeenja gripa xi

Broj ispitanika Udio ispitanika % fi pi

Odlazak ljekaru i pridravanje dobijenih uputstava 7 17,5 Odlazak ljekaru i dijelimino pridravanje dobijenih

uputstava 15 37,5

Samostalno uzimanje ljekova 8 20,0 Samostalno uzimanje pomonih ljekovitih sredstava

(farmakolokih) 7 17,5

Samostalno uzimanje pomonih ljekovitih sredstava (prirodnih ili domaih)

3 7,5

Ukupno: 40 100% Tabela 7. Tabelarni prikaz promjenljive V7 Metod lijeenja gripa; tip promjenljive atributivnii; tip statistike

serije serija distribucija frekvencija

18

b. Prethodni tabelarni prikazi predstavljaju jednodimenzionalni prikaz statistike serije

prema modalitetima jednog obiljeja. U narednom radu prikazaemo statistiku seriju

ureenu prema modalitetima dva obiljeja. U prvom sluaju navedeno se odnosi na

obiljeja kolska sprema ispitanika i Metod prevencije gripa, u drugom sluaju to su

kolska sprema ispitanika i Metod lijeenja gripa. Navedeni prikaz zahtijeva

upotrebu tabele kontigencije, kako slijedi:

kolska sprema

ispitanika

Metod prevencije

Osnvna

kola

Srednja

kola

Via

kola

Visoka

kola

Magistar

ili doktor

nauka

Ukupno:

Vakcina 1

(2,5%)

3

(7,5%)

3

(7,5%)

4

(10,0%)

2

(5,0%)

13

(32,5%)

Pomona ljekovita

sredstava

(farmakolokih)

1

(2,5%)

4

(10,0%)

2

(5,0%)

0

(0,0%)

-

-

7

(17,5%)

Pomona ljekovita

sredstava (prirodnih

ili domaih)

3

(7,5%)

2

(5,0%)

3

(7,5%)

1

(2,5%)

-

-

9

(22,5%)

Nita od navedenog 4

(10,0%)

3

(7,5%)

-

-

3

(7,5%)

1

(2,5%)

11

(27,5%)

Ukupno: 9

(22,5%)

12

(30,0%)

8

(20,0%)

8

(20,0%)

3

(7,5%)

40

(100%) Tabela 8. Anketirani prema kolskoj spremi i Metodu prevencije gripa

U prethodnoj tabeli frekvencije pokazuju broj (procenat udio) ispitanika koji istovremeno

posjeduju modalitet dva obiljeja. Tako npr.jedan ispitanik sa zavrenom osnovnom kolom

prevenciju gripe vri putem vakcinacije, to u procentima predstavlja 2,5 % od ukupnog broja

ispitanika.

Kolona Ukupno sadri frekvencije modaliteta u zaglavlju i naziva se jo i marginalna

kolona, jednako vrijedi i za redove tabele. Zbirni red (Ukupno) sadri zbir frekvencija

modaliteta u zaglavlju i naziva se marginalni red.

19

kolska sprema

ispitanika

Metod lijeenja

Osnvna

kola

Srednja

kola

Via

kola

Visoka

kola

Magistar

ili doktor

nauka

Ukupno:

Odlazak ljekaru i

pridravanje dobijenih

uputstava

1

(2,5%)

4

(10,0%)

0

(0,0%)

2

(5,0%)

0

(0,0%)

7

(17,5%)

Odlazak ljekaru i

dijelimino

pridravanje dobijenih

uputstava

3

(7,5%)

5

(12,5%)

2

(5,0%)

5

(12,5%)

0

(0,0%)

15

(37,5%)

Samostalno uzimanje

ljekova

3

(7,5%)

2

(5,0%)

1

(2,5%)

1

(2,5%)

1

(2,5%)

8

(20,0%)

Samostalno uzimanje

pomonih ljekovitih

sredstava

(farmakolokih)

1

(2,5%)

1

(2,5%)

3

(7,5%)

0

(0,0%)

2

(5,0%)

7

(17,5%)

Samostalno uzimanje

pomonih ljekovitih

sredstava (prirodnih

ili domaih)

1

(2,5%)

0

(0,0%)

2

(5,0%)

0

(0,0%)

0

(0,0%)

3

(7,5%)

Ukupno: 9

(22,5%)

12

(30,0%)

8

(20,0%)

8

(20,0%)

3

(7,5%)

40

(100%) Tabela 9. Anketirani prema kolskoj spremi I Metodu lijeenja gripa

Primjer 1.2. Na jednom prodajnom mjestu zabiljeeni su podaci o broju prodanih jedinica

proizvoda X u toku 10 radnih dana, kako slijedi: 9 , 7, 5, 2, 6, 4, 8, 1, 0 i 3.Formirati statistiku

seriju broja prodanih proizvoda X u toku radnog dana, te tako formiranu seriju prikazati

tabelarno.

Rjeenje: Prikupljeni podaci u posmatranom primjeru su numeriki podaci, gdje je osobina

koja je predmet posmatranja i analize broj prodanih jedinica proizvoda X u toku jednog

radnog dana. Modaliteti pojavni oblici mjerene osobine (xi), u posmatranom primjeru su cijeli

20

nenegativni brojevi, pri emu se svaki modalitet pojavljuje samo jednom. Poznato je da se broj

podataka sa istim oblikom obiljeja naziva frekvencija (fi). Ordiniranim poretkom, prema

intenzitetu mjerene osobine, ureenih parova modalitet frekvencija dobijamo statistiku seriju.

Kako su sve frekvencije, u posmatranom primjeru jednake jedinici, sreivanjem podataka

dobijamo statistiku seriju koja se naziva prosta serija. Dakle, ovdje imamo:

Broj prodanih proizvoda u toku radnog dana

(xi)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Tabela 10. Tabelarni prikaz statistike serije broja prodanih proizvoda X

Primjer 1.3. Na ispitnom roku iz statistike rezultati su verifikovani sljedeim ocijenama: 5,

7, 6, 6, 5, 5, 8, 7, 6, 6, 7, 5, 5, 9, 7, 8, 7, 6, 6,10, 6, 6, 8, 5, 5, 6, 7, 6, 6, 5, 6, 7, 8, 6, i 5. Potrebno

je:

a. Formirati statistiku seriju ostvarenih rezultata na ispitu iz statistike. Seriju prikazati

tabelarno;

b. Prikazati statistiku seriju pod a) prikazom u dekartovom i polarnom koordinatnom

sistemu;

c. Prikazati statistiku seriju pod a) histogramom kvadrata i krugova, te strukturnim

krugom;

Rjeenje:

a. Prikupljeni podaci u posmatranom primjeru su numeriki podaci, gdje je osobina koja je

predmet posmatranja i analize visina ocjene na ispitu iz statistike. Modaliteti pojavni oblici

21

mjerene osobine (xi), u posmatranom primjeru su cijeli brojevi iz intervala 5 - 10, pri emu se

modaliteti pojavljuju odgovarajui broj puta. Dakle, ovdje emo izvriti poredak modaliteta

prema intenzitetu ispoljavanja, to je:

5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9 i 10.

Sada je potrebno izvriti grupisanje modaliteta sa istom vrijednou. Ovdje se modalitet 5

javlja 9 puta, modalitet 6 se javlja 13 puta, modalitet 7 se javlja 7 puta, modalitet 8 se javlja 4

puta, a modaliteti 9 i 10 se javljaju po 1 put. Dakle, sada znamo da su frekvencije modaliteta 9,

13, 7, 4, 1 i 1, respektivno te dobijene rezultate moemo unijeti u sljedeu tabelu.

Visina ocjene na ispitu iz statistike

(xi)

Broj studenata

(fi)

5 9

6 13

7 7

8 4

9 1

10 1

Ukupno (): 35 Tabela 11. Tabelarni prikaz statistike serije ostvarenih rezultata na ispitu iz statistike

Poslednji red u prethodnoj tabeli naziva se zbirni red. Zbir frekvencija fi (u posmatranoj

statistikoj seriji iznosi 35), naziva se obim pojave i oznaava broj jedinica statistikog skupa

koji je obuhvaen analizom.

b. Dekartov koordinatni sistem ine dvije prave koje se sijeku pod pravim uglom (uglom

90O), gdje se horizontalna prava naziva osa apscisa i na nju se nanose vrijednosti modaliteta

posmatranog obiljeja, dok se vertikalna osa naziva osom ordinata i na nju se nanose vrijednosti

frekvencija posmatranog obiljeja. Svakom ureenom paru (xi, fi) odgovara jedna taka u

dekartovom koordinatnom sistemu. Kada se nacrtaju sve take i spoje izlomljenom linijom

dobijamo linijski dijagram koji predstavlja grafiki prikaz statistike serije u dekartovom

koordinatnom sistemu, koji u posmatranom primjeru moemo prikazati sljedeom ilustracijom.

22

Slika 4. Grafiki prikaz statistike serije u dekartovom koordinatnom sistemu

Polarni koordinatni sistem sastoji se od odreenog broja polupravih koje polaze iz istog

ishodita i zrakasto se ire od centra ka periferiji. Broj pravih odgovara broju razliitih

modaliteta u statistikoj seriji, dok poluprenik (udaljenost od centra) odreuje frekvenciju

posmatranog modaliteta. Svakom ureenom paru (xi, fi) poluprava; poluprenik odgovara tano

jedna taka u polarnom koordinatnom sistemu. Kada se zatvorenom izlomljenom linijom spoje

sve take dobijene na opisan nain dobijamo linijski dijagram koji predstavlja grafiki prikaz

statistike serije u polarnom koordinatnom sistemu, koji u posmatranom primjeru moemo

ilustrovati sljedeim prikazom.

Slika 5. Grafiki prikaz statistike serije u polarnom koordinatnom sistemu

Dekartov i polarni koordinatni sistem su najee koriteni linijski dijagrami za prikazivanje

statistike serije.

0

2

4

6

8

10

12

14

5 6 7 8 9 10

9

13

7 4

1

1 0

5

10

155

6

7

8

9

10

23

c. Histogram kvadrata jeste povrinski dijagram kojim svaki modalitet prikazujemo

kvadratom ija povrina odgovara njegovoj frekvenciji. Poznato je da se povrina kvadrata

izraunava po sljedeoj formuli:

gdje je a stranica kvadrata;

Iz navedenog proizilazi da je:

P = fi fi = Dakle u narednoj tabeli za svaki modalitet odrediemo stranicu kvadrata ija povrina e

predstavljati svaki modalitet u skladu sa njegovom frekvencijom.

xi fi ai = 5 9 a1 = = 3,000 6 13 a2 = = 3,606 7 7 a3 = = 2,646 8 4 a4 = = 2,000 9 1 a5 = = 1,000

10 1 a6 = = 1,000 35 -

Tabela 12. Radna tabela izraunavanje stranice kvadrata za potrebe prikazivanja statistike serije histogramom kvadrata

Kada se izraunaju duine stranica za kvadrate kojima se predstavljaju pojedini modaliteti,

tada se pristupa crtanju koncentrinih kvadrata poredanih prema duini stranice, povrine tako

nacrtanih kvadrata formiraju povrinski dijagram koji se naziva histogram kvadrata, to se za

posmatrani primjer moe prikazati sljedeom

ilustracijom.

Slika 6. Grafiki prikaz statistike serije pomou

histograma kvadrata

a2 = 3,606 a1 = 3,000 a3 = 2,646 a4 = 2,000 a5 = a6 =1,000

24

Histogram krugova jeste povrinski dijagram kojim svaki modalitet prikazujemo krugom

ija povrina odgovara njegovoj frekvenciji. Poznato je da se povrina kruga izraunava po

sljedeoj formuli:

, gdje je r poluprenik kruga; ludvigov broj ija vrijednost iznosi 3,141592653; Iz navedenog proizilazi da je:

P = fi fi = Dakle u narednoj tabeli za svaki modalitet odrediemo stranicu kvadrata ija povrina e

predstavljati svaki modalitet u skladu sa njegovom frekvencijom.

xi fi ri = 5 9

r1 = = 1,693 6 13

r2 = = 2,034 7 7

r3 = = 1,493 8 4

r4 = = 1,128 9 1

r5 = = 0,564 10 1

r6 = = 0,564 35 -

Tabela 13. Radna tabela izraunavanje poluprenika kruga za potrebe prikazivanja statistike serije histogramom krugova

Kada se izraunaju duine poluprenika krugova kojima se predstavljaju pojedini modaliteti,

tada se crtanje koncentrinih krugova poredanih prema duini poluprenika, povrine tako

nacrtanih krugova formiraju povrinski dijagram koji se naziva histogram krugova, to se za

posmatrani primjer moe prikazati sljedeom ilustracijom.

25

Slika 7. Grafiki prikaz statistike serije pomou histograma krugova

Strukturni krug je povrinski dijagram statistike serije koji se dobije kada se povrina

kruga podijeli na povrinske dijelove (uglove - ) proporcionalno udjelu modaliteta u statistikoj seriji, odnosno:

Dakle u narednoj tabeli za svaki modalitet odrediemo ugao ija povrina e predstavljati

svaki modalitet u skladu sa njegovom frekvencijom.

xi fi =

5 9 = = 92,57o

6 13 = = 133,71o

7 7 = = 72,00o

8 4 = = 41,14o

9 1 = = 10,29o

10 1 = = 10,29o

35 360,00o Tabela 14. Radna tabela izraunavanje dijela kruga za potrebe prikazivanja statistike serije strukturnim

krugom

r2 = 2,034 r1 =1,693 r3 = 1,493 r4 = 1,128 r6 = r5 =0,564

26

Kada se izraunaju veliine uglova kojima se predstavljaju pojedini modaliteti, nacrta se

krug ija povrina se podijeli na uglove prema dobijenim vrijednostima, povrine tako nacrtanih

krunih lukova formiraju povrinski dijagram koji se naziva strukturni krug, to se za

posmatrani primjer moe prikazati sljedeom ilustracijom.

Slika 8. Grafiki prikaz statistike serije pomou strukturnog kruga

Primjer 1.4. Na podruju jedne regije zabiljeeni su podaci o visini ostvarene dobiti za mala i srednja

preduzea, ije se poslovanje i sjedite teritorijalno vezuju za posmatranu regiju. Analiza se odnosila na

period od jedne poslovne (kalendarske) godine, a podaci o visini ostvarene dobiti su sljedei: 8219; 4825;

1218; 1039; -454; 9773; 917;1203; 1200; -823; 7700; 3247; 6502; 7914; 5661; 7317; 1412; 2101; 3954;

1618; 3845; 3775; 4190; -7; 8865; 3759; 7766; 9997; 6925; 7870; 8972; 5935; 308; 6365; 7809; 4486; -

970; 2767; 5341; 8543; -645; 2549; 927; 4260; 7085; 3337; -983; 1398; -764 i 975. Podaci o visini

ostvarene dobiti za 50 posmatranih I istraivanjem obuhvaenih preduzea izraeni su u konvertibilnim

markama.

Potrebno je:

a. Formirati statistiku seriju ostvarene dobiti za mala i srednja preduzea u posmatranoj

regiji. Dobijenu statistiku seriju prikazati tabelarno;

b. Prikazati statistiku seriju pod a) histogramom frekvencija i poligonom frekvencija.

Rjeenje:

a. Prikupljeni podaci u posmatranom primjeru su numeriki podaci, gdje je osobina koja je

predmet posmatranja i analize visina ostvarene dobiti preduzea, koja posluju u

5

6

7

8

9

10

27

odgovarajuoj redaju, realizovan u periodu jedne kalendarske godine. Modaliteti

pojavni oblici mjerene osobine (xi), u posmatranom primjeru su realni brojevi, pri emu

ampituda kolebanja njihovih pojavnih vrijednosti visoka u odnosu na broj opservacija

(zabiljeene vrijednosti kolebaju se u intervalu od 983 do 9997; pri emu je istraivanjem

obuhvaeno 50 preduzea). Poznato je da broj podataka sa istim oblikom obiljeja se naziva

frekvencija (fi). Za potrebe formiranja statistike serije vrijednosti ostvarene dobiti

grupisaemo u intervale, pri emu je potrebno odrediti:

- Broj intervala unutar kojih e biti uvrtene vrijednosti modaliteta u konkretnoj statistikoj

seriji (K). Zatim,

- Veliine formiranih intervala (i).

Pomenute veliine izraunavaju se koritenjem sljedeih obrazaca:

K =1+3,32log N gdje je N obim pojave (broj opservacija)

Uvaavajui prirodu promjenljive K broj intervala mora biti prirodan broj.

gdje su:

Xmax modalitet koji u posmatranoj statistikoj seriji ima najveu vrijednost;

Xmin modalitet koji u posmatranoj statistikoj seriji ima najmanju vrijednost;

K broj intervala u statistikoj seriji.

U posmatranom primjeru je:

Xmax =9997

Xmin = 983

N = 50, pa dobijamo

K = 1 + 3,32log 50 = 1 + 3,321,69897=1 + 5,64058 =6,64058|7

,

Dakle, statistika serija e imati sedam intervala, pri emu e svaki od njih biti veliine 1570

jedinica. Prilikom formiranja statistke serije prvi interval poinje sa modalitetom koji u

statistikoj seriji ima najmanju vrijednost (Xmin), a zavrava sa vrijednou koju dobijemo kada

donju granicu intervala uveamo za veliinu intervala (Xmin+i).

28

Poznato je vie modela formiranja granica intervala, gdje intervali mogu biti otvoreni, to je

uobiajeno za prvi i/ili poslednji interval u statistikoj seriji, pri emu je prvi otvoren sa donju, a

zadnji sa gornju stranu. Navedeni postupak opravdan je injenicom da je, u veini konkretnih

pojava, koncentracija vrijednosti na rubovima domena niska, kao i da su ekstremne vrijednosti

iroko rasporeene.

Svaki sljedei interval nastavlja se vrijednou kojom je prethodni interval zavrio, pri emu

granice intervala mogu biti prave i vjetake. Kada imamo kontinuirane numerike pokazatelje

konvecionano se formiraju prave granice intervala vrijednosti modaliteta (sljedei interval

poinje vrijednou kojom je prethodni zavrio), dok se vjetake granice intervala vezuju za

diskontinuirane numerike pokazatelje ( pravi se razlika meu vrijednostima koje obiljeavaju

donju i gornju granicu pojedinih intervala kako bi se izbjegle greke kod formiranja statistikih

serija zbog nejasnoa oko uvrtavanja graninih vrijednosti u pojedine intervale).

Polazei od konkretnih podataka, u konkretnom primjeru, formiramo statistiku seriju

uvaavajui sljedeu proceduru:

- Formiramo rastui brojni niz zabiljeenih vrijednosti modaliteta kojima iskazujemo

visinu ostvarene dobiti srednjih i malih preduzea teritorijalno vezanih za posmatranu

regiju realizovan u periodu kalenadrske godine, to u konkretnom primjeru odgovara

sljedeem brojnom nizu podataka: -983; -970; -823; -764; -645; - 454; -7; 308; 917; 927;

975; 1039; 1200; 1203; 1218; 1398; 1412; 1618; 2101; 2549; 2767; 3247; 3337; 3759;

3775; 3845; 3954; 4190; 4260; 4486; 4825; 5341; 5661; 5935; 6365; 6502; 6925; 7085;

7317; 7700; 7766; 7809; 7870; 7914; 8219; 8543; 8872;8972; 9773; 9997.

- Ordiniranim poretkom, prema intenzitetu mjerene osobine, ureenih parova modalitet

frekvencija dobijamo statistiku seriju. Kako se vrijednosti modalteta grupiu unutar

odgovarajuih intervala, sreivanjem podataka dobijamo statistiku seriju koja se naziva

intervalna serija distribucija frekvencija. Dakle, ovdje imamo:

Visina ostvarene dobiti preduzea u toku posmatrane kalendarske godine

Xi

Broj preduzea

Fi Do 587 8

587 2157 11 2157 3727 4 3727 5297 8 5297 6867 5

29

6867 8437 9 8437 i vie 5 6 (UKUPNO): 50

Tabela 15. Tabelarni prikaz statistike serije visine ostvarene dobiti malih i srednjih preduzea u posmatranoj regiji realizovanoga u toku kalendarske godine

b. Poligon frekvencija, kao i histogram frekvencija predstavljaju povrinski dijagram, koji

predstavlja modifikovan grafiki prikaz intervalne serije distribucija frekvencija u dekartovom

koordinatnom sistemu. Poligon frekvencija je grafiki prikaz, kod koga se u dekartovom

koordinatnom sistemu nacrtaju ureeni parovi sredina intervala, frekvencija intervala. Tom

prilikom vjetaki se dodaju dva intervala i to interval koji prethodi prvom, te interval koji slijedi

nakon poslednjeg. Jasno je da su frekvencije oba vjetaka intervala jednake nuli. Kada se spoje

sve take dobijene u dekartovom koordinatnom sistemu, nacrtane na prethodno opisan nain,

dobije se zatvorena kriva linija. Povrina koju zatvara tako dobijena izlomljena linija sa osom

apscija (konvencijalno nazvana osa x) naziva se poligon frekvencija. Polazei od konkretnih

podataka u analiziranom primjeru dobijamo poligon frekvencija kao na sljedeoj slici:

Slika 9. Grafiki prikaz statistike serije pomou poligona frekvencija

Histogram frekvencija je povrinski dijagram, kod koga se intervali grafiki prikazuju pomou

pravougaonika ija irina odgovara veliini intervala i odreuje se na osi opscisa, a njegova visina

odgovara frekvenciji toga intervala i oznaava se na osi ordinata. Polazei od konkretnih podataka u

analiziranom primjeru dobijamo histogram frekvencija kao na narednoj slici.

0

2

4

6

8

10

12

do 587 587 -2157

2157 -3727

3727 -5297

5297 -6867

6867 -8437

8437 ivie

30

Slika 10. Grafiki prikaz statistike serije pomou histograma frekvencija

Zadaci:

1.5. Broj pregledanih pacijenata u toku 25 radnih dana u ambulanti hitne pomoi bio je:

1 0 4 3 4 4 4 1 0 1 2 3 5

3 1 3 2 4 5 4 0 1 1 0 1

a. Formirati seriju distribucija frekvencija broja pregledanih pacijenata; definisati statistiku

promjenljivu;

b. Formiranu statistiku seriju prikazati pomou histograma krugova i kvadrata;

c. Formiranu statistiku seriju prikazati pomou prikaza u dekartovom i polarnom koordidatnom

sistemu.

1.6. Na jednom podruju posmatrana je starosna struktura oboljelih od vodenih ospica gdje su kod

stanovnika posmatranog podruja zabiljeene sljedee vrijednosti:

20 0 2 4 22 3 23 4 1 6 34 3 2 7 5 11 5 7 0 8 46 15 9 3 2 16 6 6 5 12 3 7 0 45 2 3 5 4 15 6

Potrebno je:

a. Formirati intervalnu seriju starosne strukture oboljelih od vodenih ospica na posmatranom

podruju;

0

2

4

6

8

10

12

do 587 587 -2157

2157 -3727

3727 -5297

5297 -6867

6867 -8437

8437 ivie

Fi

31

b. Statistiku seriju grafiki prikazati pomou histograma frekvencija, polarnog dijagrama i

strukturnog kruga.

1.7. Za potrebe analize spremnosti i sposobnosti kandidata za igraa, menadment koarkakog kluba

posmatra karakteristike igraa u pogledu njihove visine, izdrljivosti i brzine. Pri tome su dobijeni

sljedei podaci:

Visina igraa cm:

217 194 199 207 191 193 189 211

203 201 196 209 207 199 211 189

186 189 186 214 202 187 194 195

185 209 190 188 190 199 190 190

197 212 185 204 194 198 190 188

202 200 187 192 200 205 194 220

Izdrljivost igraa vrijeme koliko odrazna ruka igraa moe da odri odreeno optereenje dranja

utega teine 24 kg u sekundama:

30 77 35 20 73 81 89 41

13 70 38 32 82 10 81 81

85 29 23 26 99 99 56 30

32 19 24 53 26 29 83 11

12 10 82 58 78 14 19 51

61 39 57 39 96 15 12 100

Brzina igraa iskazuje se vremenom potrebnim da igra pretri stazu duine 100 metara:

13 15 17 18 11 13 17 17

20 11 11 19 15 15 16 17

11 15 17 18 17 19 15 10

14 17 20 13 13 19 14 13

20 16 20 15 17 11 15 15

14 20 19 18 10 11 19 19

Potrebno je:

a. Formirati statistike serije distribucija igraa prema visini, izdrljivosti i brzini;

b. Dobijene statistike serije prikazati pomou poligona frekvencija, histograma kvadrata,

histograma krugova i strukturnog kruga.

32

1.8. U jednom preduzeu zaposleno je 100 radnika, podaci o duini njihovog radnog staa su:

25 1 15 20 11 30 10 17 1 34

1 4 11 5 37 18 19 18 7 37

38 37 15 7 28 9 19 16 11 4

34 33 5 3 6 9 2 13 13 29

14 19 23 8 19 11 22 22 18 10

7 6 36 36 35 5 21 21 21 36

22 10 22 1 22 10 15 13 4 8

16 26 19 24 6 6 5 17 21 20

39 11 1 20 5 39 0 35 10 25

15 36 37 9 14 4 22 1 37 32

Potrebno je:

a. Formirati statistiku seriju distribucije radnika prema visini radnog staa;

b. Dobijenu statistiku seriju prikazati pomou histograma krugova, kvadrata i frekvencije;

c. Dobijenu statistiku seriju prikazati pomou strukturnog kruga.

1.9. Na podruju jedne regije posluje 100 malih i srednjih preduzea. Podaci o posmatranim preduzeima

u pogledu visine angaovanih sredstava i ostvrenoj dobiti u odreenoj godini su:

Angaovana sredstva (000 KM):

68 28 26 74 56 62 45 87 21 39

92 63 40 96 68 58 87 31 35 37

72 12 48 62 95 61 26 99 33 82

53 60 32 86 59 94 30 85 41 62

70 42 52 59 52 87 35 53 51 60

59 28 65 24 56 36 79 68 28 78

82 10 100 25 42 44 18 27 23 99

31 23 62 30 35 5 77 98 83 58

77 20 84 14 67 89 37 100 27 83

82 64 63 53 76 34 25 29 22 9

Ostvarena dobit (KM):

33

12532 22561 21108 4111 711 -119 8819 17963 20815 1480

21700 -2640 5329 -3368 7031 8149 11206 1501 18981 22685

2991 4902 1313 8003 21350 19786 23868 11962 8604 2179

-868 19181 22823 864 18165 23114 22025 15111 2122 15318

9981 22599 7619 5045 13073 6915 2689 10174 16964 944

19469 24604 17527 17775 1217 9557 2627 17795 5353 -2957

4668 -1957 4655 14237 11595 15904 3824 16445 13762 5010

23733 15547 21780 7295 1814 13610 2158 18987 15997 -610

15403 2584 13853 16718 21888 -4747 16166 23715 4065 19879

-2166 11513 -3177 -4227 12013 20152 15604 21832 15467 14422

Potrebno je:

a. Formirati seriju distribucija preduzea prema visini angaovanih sredstava i prema visini

ostvarene dobiti;

b. Dobijene serije podataka prikazati pomou strukturnog kruga, histograma frekvencija i poligona

frekvencija.

34

2. DESKRIPTIVNA ANALIZA

2.1. Mjere centrlane tendencije

Mjere centralne tendencije obuhvataju vrijednosti kojima se predstavljaju brojni nizovi

varijabilnih podataka, meu njima razlikujemo izraunate srednje vrijednosti (sredine) i

pozicione vrijednosti. Postoje i specifine srednje vrijednosti numerikog niza oznaene kao

momenti.

Srednje vrijednosti obuhvataju aritmetiku, harmonijsku i geometrijsku sredinu, a pozicione

modus, medijanu, kvartile, decile, percentile...

2.1.1. Aritmetika sredina prosjek

Aritmetika sredina ili prosjek ( definie se kao kolinik izmeu zbira vrijednosti modaliteta i njihog broja. Aritmetika sredina odreuje se kao prosta ili ponderisana zavisno od

tipa statistike serije, i to:

- Za serije negrupisanih podataka koristi se prosta aritmetika sredina, odnosno naredni

obrazac: - Za serije distibucija frekvencija koristi se ponderisana aritmetika sredina, odnosno

naredni obrazac: - Alternativno aritmetika sredina moe se izraunati kroz vjerovatnou sluajnih

dogaaja, kada se naziva oekivana vrijednost (matematika nada; matematiko

oekivanje), kao zbir proizvoda odgovarajuih vrijednosti modaliteta i vjerovatnoe

njihovog deavanja, odnosno1: , pri emu p(xi) predstavljaju relativne frekvencije pojedinih modaliteta;

1 Obrasci za izraunavanje aritmetike sredine I matematikog oekivanja su ekvivalentni izrazi, odnosno polazei

od obrasca za izraunavanje proste aritmetike sredine

, dobili smo matematiko oekivanje sluajne promjenljive.

Analogno prethodnom polazei od obrasca za ponderisanu aritmetiku sredinu

, ponovno smo dobili matematiko oekivanje sluajne promjenljive

35

- Aritmetika sredina se moe izraunati i postupkom kodiranjem vrijednosti brojnog niza,

odnosno metodom linearne transformacije promjenljive, odnosno: , gdje su a i b konstante, dok se vrijednost promjenljive izraunava na sljedei nain: , pri emu je .

Osobine aritmetike sredine su:

- Vea je od najmanjeg, a manja od najveeg modaliteta u statistikoj seriji,

odnosno: ; - U homogenoj statistikoj seriji vrijednost aritmetike sredine jednaka je vrijednostima

modaliteta, odnosno ako je ; - Zbir odstupanja orginalnih podataka od aritmetike srdine ima vrijednost nula, odnosno:

; - Zbir kvadrata odstupanja orginalnih podataka od aritmetik sredine je minimalan,

odnosno: .

Primjer 2.1. Na proizvodnoj liniji proizvoda P zabiljeene su sljedee vrijednosti teine proizvoda:

109; 119; 97; 94; 114; 98; 97; 101; 110 i 102 g.

Potrebno je:

a) Odrediti prosjenu teinu proizvoda P kao prostu aritmetiku sredinu i kodiranjem; pri

kodiranju koristiti konstante a = 100, b = 8;

b) Dokazati da su zadovoljene osobine aritmetike sredine.

Rjeenje:

a) Ovdje je rije o seriji negrupisanih podataka, tako da se aritmetika sredina rauna kao posta

aritmetika sredina, odnosno, imamo da je:

Xi 109 119 97 94 114 98 97 101 110 102 6

1,125 2,375 -0,375 -0,75 1,75 -0,25 -0,375 0,125 1,25 0,25

5,125

Tabela 16. Radna tabela elementi za odreivanje aritmetike sredine metodom kodiranja

Sada imamo da je aritmetika sredina .

36

Prosjena teina proizvoda P je 104,1g. Koritenjem razliitih metoda odreivanja dobili smo

jednaku vrijednost aritmetike sredine, jer metoda odreivanja je samo analitiki postupak koji ne smije

uticati na izraunatu vrijednost.

b) Kada je rije o osobinama aritmetike sredine dokaze izvodimo na sljedei nain:

- - Modaliteti u statistikoj seriji su razliiti, dakle, statistika serija nije homogena;

- -

Xi 109 119 97 94 114 98 97 101 110 102 6

4,9 14,9 -7,1 -10,1 9,9 -6,1 -7,1 -3,1 5,9 -2,1 0 81 361 9 36 196 4 9 1 100 4 801 24,01 222,01 50,41 102,01 98,01 37,21 50,41 9,61 34,81 4,41 632,9

Tabela 17. Radna tabela izraunavanje elemenata za potrebe dokazivanja osobina aritmetike sredine

Primjer 2.2. Zdravstvena ustanova Z analizira uestalost posjeta pacijenata ljekaru porodine

medicine. Analiza se odnosi na 250 pacijenata registrovanih u posmatranoj zdravstvenoj ustanovi pri

emu su zabiljeeni podaci o broju posjeta svakog pacijenta u toku jednog mjeseca. Podaci su sreeni u

odgovarajuu statistiku seriju i mogu se prikazati sljedeim tabelarnim prikazom:

Broj posjeta u toku jedog mjeseca 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Broj pacijenata 15 37 34 32 21 47 19 25 14 6

Tabela 18. Distribucija broja posjete pacijenata ljekaru porodine medicine u toku godine

Potrebno je:

a. Odrediti prosjean broj pregledanih pacijenata u toku jednog mjeseca. Dokazati da vrijede

osobine aritmetike sredine;

b. Odrediti relativne frekvencije te izraunati vrijednost matematikog oekivanja;

c. Grafiki prikazati statistiku seriju pomou strukturnog kruga.

Rjeenje:

a. U posmatranom primjeru radi se o numerikoj seriji distribucija frekvenvcija, pomjenljiva u

statistikom modelu je broj posjeta porodinom ljekaru u toku jednog mjeseca, dakle rije je o prekidnoj

(diskontinuiranoj) numerikoj promjenljivoj, uestalost se izraava kao broj pacijenata koji u toku

mjeseca ostvare isti broj posjeta ljekaru porodine medicine. Broj pacijenata predstavlja vrijednost

apsolutnih frekvencija posmatrane statistike promjenljive. Kako je prikazana statistika serija serija

37

distribucija frekvencija, prosjean broj pacijenata koji u toku mjeseca posjete porodinog ljekara

izraunavamo kao ponderisanu aritmetiku sredinu:

U narednoj tabeli prikazani su elementi potrebni za izraunavanje ponderisane aritmetike sredine:

Broj posjeta u toku

jedog mjeseca

Broj

pacijenata

fixi

pi

fi(x - )

fi(x - )2

fi(x -4)2 xi fi 0 15 0 0,060 -58,5 228,15 240 1 37 37 0,148 -107,3 311,17 333 2 34 68 0,136 -64,6 122,74 136 3 32 96 0,128 -28,8 25,92 32 4 21 84 0,084 2,1 0,21 0 5 47 235 0,188 51,7 56,87 47 6 19 114 0,076 39,9 83,79 76 7 25 175 0,100 77,5 240,25 225 8 14 112 0,056 57,4 235,34 224 9 6 54 0,024 30,6 156,06 150

Ukupno (6) 250 975 1,000 0 1460,5 1463 Tabela 19. Radna tabela elementi potrebni za izraunavanje aritmetike sredine, relativnie frekvencije i

elementi za dokazivanje osobina aritmetike sredine

Koristei prethodni obrazac za izraunavanje ponderisane aritmetike sredine i rezultate u radnoj tabeli,

dobijamo:

Klijenti, odnosno pacijenti registrovani u posmatranoj zdravstvenoj ustanovi, u prosjeku 4 (3,9|4) puta mjesno posjete porodinog ljekara.

Osobine aritmetike sredine provjeravamo na sljedei nain:

- Izraunata vrijednost aritmetike sredine vea je od najmanjeg, a manja od najveeg modaliteta

osobine u posmatranoj statistikoj seriji: 0 d 3,9 d 9, gdje su: xmin = 0 i xmax = 9; - Modaliteti u statistikoj seriji su razliiti, dakle, statistika serija nije homogena;

- -

38

b. Relativne frekvencije izraunavamo kao kolinik izmeu apsolutnih frekvencija i njihovog zbira,

odnosno: , pri emu su izraunate vrijednosti prikazane u prethodnoj radnoj tabeli. Matematiko oekivanje (oekivanu vrijednost) izraunavamo na sljedei nain:

c. Izgled strukturnog kruga za posmatranu statistiku seriju moemo prikazati sljedeom

ilustracijom:

Slika 11. Distribucija broja mjesenih posjeta ljekaru porodine medicine prikazana strukturnim krugom

Primjer 2.3. U narednim tabelama predstavljene su distribucija stanovnika prema visini krvnog pritiska

(sistolnog i dijastolnog) na podruju jednog regiona zabiljeeni nakon jednodnevnog mjerenja na javnom

prostoru velikog grada.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

39

Visina sistolnog pritiska (mmHg)

Broj ispitanika

Do 80 9 80 90 22 90 100 36 100 110 62 110 120 67 120 130 43 130 140 24 140 150 22 150 i vie 15

Tabela 20. Distribucija ispitanika prema visini sistolnog pritiska

Visina dijastolnog pritiska (mmHg)

Broj ispitanika

Do 60 4 60 65 18 65 70 55 70 75 52 75 80 68 80 85 40 85 90 38 90 95 19 95 i vie 6

Tabela 21. Distribucija ispitanika prema visini dijastolnog pritiska

Potrebno je:

a. Odrediti prosjenu visinu sistolnog i dijastolnog pritiska ispitanika, kao ponderisanu aritmetiku

sredinu i kao oekivanu vrijednost;

b. Pokazati da su zadovoljene osobine aritmetike sredine;

c. Prvu statistiku seriju prikazati histogramom frekvencija, a drugu poligonom frekvencija.

Rjeenje:

a. Jedinica posmatranja je sluajni prolaznik zateen na javnoj povrni velikog grada, ispitivanjem je

obuhvaen uzorak od 300 ispitanika. Podaci o visini sistolnog i dijastolnog pritiska su numeriki, a

statistika promjenljiva je kontinuirana. Podaci su grupisani u odgovarajuu statistiku seriju, ovdje

je rije o seriji grupisanih podataka u oba sluaja rije je o intervalnoj seriji distribucija frekvencija.

Prosjenu vrijednost sistolnog i dijastolnog pritiska izraunavamo kao ponderisanu aritmetiku

sredinu. Elementi proterbni za izraunavanje aritmetike sredine prikazani su u sljedeoj tabeli.

Visina sistolnog pritiska (mmHg)

Broj ispitanika

ri

firi

fi(ri - )

fi(ri - )

fi(ri -114)

pi

pixi xi fi

Do 80 9 75 675 -354,30 13947,61 13689 0,030 2,250 80 90 22 85 1870 -646,07 18972,82 18502 0,073 6,233 90 100 36 95 3420 -697,20 13502,44 12996 0,120 11,400 100 110 62 105 6510 -580,73 5439,536 5022 0,207 21,700 110 120 67 115 7705 42,43 26,87444 67 0,223 25,683 120 130 43 125 5375 457,23 4861,914 5203 0,143 17,917 130 140 24 135 3240 495,20 10217,63 10584 0,080 10,800 140 150 22 145 3190 673,93 20644,82 21142 0,073 10,633 150 i vie 15 155 2325 609,50 24766,02 25215 0,050 7,750 Ukupno(6) 300 - 34310 0,00 112379,7 112420 1,000 114,367

Tabela 22. Radna tabela elementi za izraunavanje aritmetike sredine, dokazivanje osobina aritmetike sredine, relativnih frekvencija I oekivane vrijednosti

40

Koristei prethodno navedeni obrazac za izraunavanje ponderisane aritmetike sredine i rezultate u

radnoj tabeli, dobijamo:

Prosjena vrijednost sistolnog pritiska kod ispitanika obuhvaenih statistikim ispitivanjem iznosi

114,367 mmHg.

Relativne frekvencije izraunavamo kao kolinik izmeu apsolutnih frekvencija i njihovog zbira,

odnosno: , pri emu su izraunate vrijednosti prikazane u prethodnoj radnoj tabeli. Matematiko oekivanje (oekivanu vrijednost) izraunavamo na sljedei nain:

Vrijednosti proizvoda vjerovatnoa pojedinih vrijednosti statistike promjenljive i vrijednosti njezinih

modaliteta prikazani su u prethodnoj radnoj tabeli koja sadri elemente vezane za izraunavanje vrijednosti

vezane za sistolni pritisak.

Visina

dijastolnog

pritiska (mmHg)

Broj

ispitanika

ri

firi

fi(ri - )

fi(ri - )

fi(ri -77)

pi

pixi xi fi Do 60 4 57,5 230 -77,67 1508,028 1521 0,013 0,767 60 65 18 62,5 1125 -259,50 3741,125 3784,5 0,060 3,750 65 70 55 67,5 3712,5 -517,92 4877,049 4963,75 0,183 12,375 70 75 52 72,5 3770 -229,67 1014,361 1053 0,173 12,567 75 80 68 77,5 5270 39,67 23,13889 17 0,227 17,567 80 85 40 82,5 3300 223,33 1246,944 1210 0,133 11,000 85 90 38 87,5 3325 402,17 4256,264 4189,5 0,127 11,083 90 95 19 92,5 1757,5 296,08 4613,965 4564,75 0,063 5,858 95 i vie 6 97,5 585 123,50 2542,042 2521,5 0,020 1,950 Ukupno(6) 300 23075 0,00 23822,92 23825 1,000 76,917

Tabela 23. Radna tabela elementi za izraunavanje aritmetike sredine, dokazivanje osobina aritmetike sredine, relativnih frekvencija I oekivane vrijednosti

Koristei prethodno navedeni obrazac za izraunavanje ponderisane aritmetike sredine i rezultate u

radnoj tabeli, dobijamo:

41

Prosjena vrijednost dijastolnog pritiska kod ispitanika obuhvaenih statistikim ispitivanjem iznosi

76,917 mmHg.

Relativne frekvencije izraunavamo kao kolinik izmeu apsolutnih frekvencija i njihovog zbira,

odnosno: , pri emu su izraunate vrijednosti prikazane u prethodnoj radnoj tabeli. Matematiko oekivanje (oekivanu vrijednost) izraunavamo na sljedei nain:

Vrijednosti proizvoda pojedinih vjerovatnoa statistike promjenljive i vrijednosti njezinih modaliteta

prikazani su u radnoj tabeli sa elementima izraunavanja vrijednosti za dijastolni pritisak.

b. Osobine aritmetike sredine provjeravamo na sljedei nain:

- Izraunata vrijednost aritmetike sredine vea je od najmanjeg, a manja od najveeg modaliteta

osobine u posmatranoj statistikoj seriji:

o Kod statistike serije, kod koje je statistika promjenljiva visina sistolnog pritiska, vrijedi: 70 d 114,367 d 160, gdje su: xmin = 70; i xmax = 160;

o Kod statistike serije, kod koje je statistika promjenljiva visina dijastolnog pritiska, vrijedi: 65 d 76,917 d 100, gdje su: xmin = 65; i xmax = 100;

- Modaliteti u obe statistike seriji su razliiti, dakle, statistike serije nisu homogene;

- Ukupna ostupanja od aritmetike sredine imaju vrijednost 0:

o Kod statistike serije, kod koje je statistika promjenljiva visina sistolnog pritiska vrijedi: ;

o Kod statistike serije, kod koje je statistika promjenljiva visina dijastolnog pritiska vrijedi:

- Zbir kvadrata odstupanja vrijednosti statistike promjenljive od prosjene vrijednosti je minimalan,

odnosno za posmatrane statistike serije vrijedi:

o Kod statistike serije, kod koje je statistika promjenljiva visina sistolnog pritiska vrijedi:

o Kod statistike sreije, kod koje je statistika promjenljiva visina dijastolnog pritiska vrijedi:

c. Potrebni grafiki prikazi (povrinski dijagrami) prikazani su na narednim dijagramima:

42

Slika 12. Histogram frekvencija distribucije ispitanika prema visini sistolnog pritiska

Slika 13. Poligon frekvencija distribucije ispitanika prema visini dijastolnog pritiska

2.1.2. Geometrijska sredina

Geometrijska sredina ili geometrijski prosjek (Gdefinie se kao n ti korijen izraunat iz proizvoda vrijednosti modaliteta nekog obiljeja, pri emu je n broj modalitata u statistikoj seriji.

Geometrijska sredina, koristi se kao mjera centralne tendencije, u sluajevima izraunavanja

0

10

20

30

40

50

60

70

80

do 80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 150 i vie

0

10

20

30

40

50

60

70

80

do 60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85 85-90 90-95 95 i vie

43

omjera, indeksa i procenata promjene odgovarajue veliine u vremenu. Geometrijska sredina

odreuje se kao prosta ili ponderisana zavisno od tipa statistike serije, i to:

- Za serije negrupisanih podataka koristi se prosta geometrijska sredina, odnosno naredni

obrazac: ; - Za serije distibucija frekvencija koristi se ponderisana geometrijska sredina, odnosno

naredni obrazac:

- Geometrijska sredina se moe izraunati i prevoenjem navedenih obrazaca u njihov

matematiki ekvivalentan oblik2, koji dobijamo polazei od prethodno navedenih obrazaca

na sljedei nain:

o U sluaju proste serije polazimo od obrasca: , najprije emo izvriti logaritmovanje izraza istovremeno sa lijeve i desne strane, te dobijamo:

Sada primjenimo pravilo o logaritmu stepena3, ime dobijamo:

Nadalje primjenimo pravilo o proizvodu logaritama4, ime dobijamo:

Kako bismo dobili vrijednost geometrijske sredine potrebno je izvriti matematiku operaciju

antilogaritmovanja, ime dobijamo:

o U sluaju ponderisane geometrijske sredine polazimo od obrasca:

,

najprije izvrimo logaritmovanje navedenog izraza (i lijeve i desne strane izraza),

ime dobijamo:

2 Matematiki ekvivalentni izrazi predstavljaju izraze koji imaju razliite matetmatike forme (oblike), ali pomou kojih

dobijamo istu vrijednost. Matematiki ekvivalentni izrazi mogu se odgovarajuim matematikim transformacijama svesti na isti oblik

3 Logaritam stepena jednak je proizvodu stepena i logaritma vrijednosti, tj. log ab = b log a 4 Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama, tj. log ab = log a + log b

44

Nakon toga, primjenimo pravilo o stepenu logaritma, ime dobijamo:

Nadalje, primjenjujemo pravilo o zbiru logaritama, ime dobijamo:

Na kraju, antilogaritmovanjem prethodnog obrasca, dobijamo konaan oblik obrasca

kojim izraunavamo ponderisanu geometrijsku sredinu:

Osobine geometrijske sredine su:

- Vea je od najmanjeg, a manja od najveeg modaliteta u statistikoj seriji, odnosno: ;

- U homogenoj statistikoj seriji vrijednost geometrijske sredine jednaka je vrijednostima

modaliteta, odnosno ako je ; - Ukoliko za odreenu statistiku seriju izraunamo aritmetiku i geometrijsku sredinu

njihove vrijednosti mogu biti jednake, ukoliko nisu vea je aritmetika, dakle u svakoj

statistikoj seriji vrijedi: .

Primjer 2.4. Broj osoba koji su zatraili pregled kod ljekara porodine medicine u toku neradnih dana u

mjesecu januaru (neradni dani u januaru mjesecu posmatrane godine su: 1.1; 1.2; 6.1; 7.1; 9.1; 14.1 i etiri

nedelje 5.1; 12.1; 19.1 i 26.1) u jednoj zdravstvenoj ustanovi iznosio je:

Broj pacijenata: 89 17 43 33 52 12 54 22 45 7

Potrebno je:

a. Odrediti vrijednost geometrijske sredine posmatrane numerike promjenljive;

b. Uporediti dobijenu vrijednost geometrijske sredine sa vrijednou aritmetike sredine iste

promjenljive.

Rjeenje:

Ovdje je statistika promjenljiva broj pacijenata koji zatrae usluge ljekara porodine medicine u toku

neradnih dana januara. Dati podaci o vrijednosti numerike promjenljive tvore prostu statistiku seriju (seriju

negrupisanih podataka), kod koje se srednje vrijednosti raunaju u jednostavnom obliku, odnosno kao prosta

geometrijska, odnosno aritmetika sredina. Ovdje imamo:

45

a. Vrijednost geometrijske sredine u posmatranoj statistikoj seriji odreuje se na sljedei nain:

Ili

Lako je uoiti da je jednaka vrijednost geometrijske sredine dobijena pomou dva razliita analitika

postupka, odnosno da koriteni analitiki postupak ne utie na izraunatu vrijednost.

Prosjean broj pacijenata koji u toku neradnih dana januara zatrae pregled kod ljekara porodine

medicine iznosi 29, odreeno kao geometrijski prosjek. Drugim rijeima, prosjeno 29 pacijenata zatrai

pregled kod ljekara porodine medicine u toku neradnih dana mjeseca januara. Uoavamo da je dobijena

vrijednost geometrijske sredine vea od najmanjeg, a manja od najveeg modaliteta u statistikoj seriji,

odnosno vrijedi:

xmin d 29,513 d xmax b. Vrijednost aritmetike sredine u posmatranoj statistikoj seriji izraunava se:

Prosjean broj pacijenata koji zatrae pregled kod ljekara porodine medicine u toku neradnih dana

mjeseca januara iznosi 37. Vrijednost aritmetike sredine je vea od vrijednosti geometrijske sredine, to je

jedna od teorijskih pretpostavki, odnosno potvrda tanosti odreene vrijednosti.

Primjer 2.5. Polazei od podataka o uestalosti posjeta pacijenata ljekaru porodine medicine (primjer

2.2) odrediti geometrijsku sredinu formirane distribucije. Uporediti dobijenu vrijednost sa vrijednou

aritmetike sredine.

Rjeenje:

U analiziranom primjeru imamo seriju distribucija frekvencija kod koje vrijednost geometrijske sredine

izraunavamo kao ponderisanu sredinu pomou obrasca:

Elemente potrebne za izraunavanje geometrijske sredine posmatrane statistike serije pri emu uvidom

u empirijsku grau uoavamo da je: x1 = 0 (tabela statistike serije primjer 2.2). Navedena injenica upuuje

46

na zakljuak da geomerijsku sredinu kod posmatrne statistike serije nije mogue izraunati jer vrijednost

matematikog izraza log0 nije definisan!

Zakljuujemo da kod posmatrane statistike serija nije mogue izraunati geometrijsku sredinu.

Primjer 2.6. Polazei od serije distribucije studenata prema uspjehu postignutom na ispitu iz statistike

(primjer 1.3) odrediti geometrijsku sredinu date serije. Dobijenu vrijednost geometrijske sredine uporediti sa

aritmetikom sredinom!

Rjeenje:

Geometrijsku sredinu statistike serije predstavljene u tabeli 11, izraunavamo kao ponderisanu sredinu

pomou obrasca:

Nepraktinost primjene prethodnog obrasca proizilazi iz injenice da je potrebne matematike operacije

zahtjevno odrediti i pomou standardnih raunskih pomagala (kalkulatora). Za izraunavanje ponderisane

geometrijske sredine praktinije je koristiti drugi obrazac uz napomenu da su matematiki obrasci

ekvivalentni. Ekvivalentni matematiki obrasci imaju razliit analitiki oblik, mogu se odgovarajuim

matematikim transformacijama mogu prevesti iz jednog oblika u drugi, a omoguavaju da se razliitim

raunskim postupcima odredi ista vrijednost.

Elemente potrebne za odreivanje aritmetike i geometrijske sredine prikazujemo u narednoj radnoj

tabeli:

xi fi log xi fi log xi fixi

5 9

0,69897 6,29073 45 6 13 0,77815 10,11597 78 7 7 0,84510 5,915686 49 8 4 0,90309 3,61236 32 9 1 0,95424 0,954243 9

10 1 1,00000 1 10 Ukupno (6): 35 - 27,88899 223

Tabela 24. Radna tabela elementi za izraunavanje ponderisane geometrijske I aritmetike sredine

47

Polazei od obrazaca za izraunavanje geometrijske kao i aritmetike sredine, te od elemenata

izraunatih u prethodnoj radnoj tabeli, za vrijednost ponderisane geometrijske sredine dobijamo:

Analogno prethodnom navodu, za vrijednost ponderisane aritmetike sredine dobijamo:

Prosjeno ostvaren uspjeh na ispitu iz statistike dobijen kao geometrijski prosjek iznosi 6,26, dok je

prosjeno ostvaren uspjeh dobijen kao aritmetiki prosjek 6,37. Uavamo da se obje prosjene vrijednosti

nalaze unutar amplitude kolebanja, odnosno da im je vrijednost iznad najloijeg (xmin=5), a ispod najboljeg

uspjeha (xmax=10), pored toga, vrijednost aritmetike sredine je vea od vrijednosti geometrijske sredine

(6,37 > 6,26366).

Primjer 2.7. Odrediti geometrijsku sredinu distribucije stanovnika prema visini sistolnog pritiska iz

primjera 2.3. Uporediti vrijednost geometrijske sredine sa vrijednou aritmetike sredine.

Rjeenje:

U analiziranom primjeru imamao intervalnu seriju disribucija frekvencija kod koje se geometrijska

sredina odreuje kao ponderisana srednja vrijednost. Porebne elemente za odreivanje goeometrijske sredine

posmatrane distribucije prikazujemo u narednoj tabeli.

Visina sistolnog pritiska (mmHg)

xi

Broj ispitanika

fi ri Log xi fi log xi Do 80 9 75 1,875061 16,87555

80 90 22 85 1,929419 42,44722

90 100 36 95 1,977724 71,19805

100 110 62 105 2,021189 125,3137

110 120 67 115 2,060698 138,0668

120 130 43 125 2,09691 90,16713

130 140 24 135 2,130334 51,12801

140 150 22 145 2,161368 47,5501

150 i vie 15 155 2,190332 32,85498

Ukupno (6): 300 - - 615,6015 Tabela 25. Radna tabela elementi za odreivanje geometrijske sredine distribucije stanovnika prema visini

sistolnog pritiska

48

Polazei od obrasca za odreivanje ponderisane geometrijske sredine te vrijednosti sadranih u radnoj

tabeli dobijamo:

Dobijena vrijednost geometrijske sredine vea je od najmanjeg (xmin = 80), a manja od najveeg (xmax =

150) modaliteta u posmatranoj statistikoj seriji, odnosno vrijedi:

80 d 112,72 d 150 Prethodno odreena vrijednost aritmetike sredine iznosi 114,37 prosjena vrijednost dobijena kao

geometrijski prosjek manja je od aritmetikog prosjeka.

2.1.1. Harmonijska sredina

Harmonijska sredina ili harmonijski prosjek (Hdefinie se kao kolinik izmeu broja modaliteta i zbira njihovih recipronih vrijednosti. Harmonijska sredina, koristi se kao mjera

centralne tendencije, u sluajevima kada se veliine dva ili vie skupova elemenata nalaze u obrnuto

proporcionalnom odnosu ili ukoliko se modaliteti neke osobine izraavaju kao razlomci kojima je

brojnik iste vrijednosti. Harmonijska sredina odreuje se kao prosta ili ponderisana zavisno od tipa

statistike serije, i to:

- Za serije negrupisanih podataka koristi se prosta harmonijska sredina, odnosno naredni

obrazac: ; - Za serije distibucija frekvencija koristi se ponderisana harmonijska sredina, odnosno naredni

obrazac:

;

Osobine harmonijske sredine su:

- Vea je od najmanjeg, a manja od najveeg modaliteta u statistikoj seriji, odnosno: ;

- U homogenoj statistikoj seriji vrijednost harmonijske sredine jednaka je vrijednostima

modaliteta, odnosno ako je ; - Ukoliko za odreenu statistiku seriju izraunamo aritmetiku, geometrijsku i harmonijsku

sredinu njihove vrijednosti mogu biti jednake, ukoliko nisu najvea je aritmetika, a

najmanja harmonijska. Dakle, u svakoj statistikoj seriji vrijedi: .

49

Primjer 2.8. Jedno proizvodno preduzee za potrebe proizvodnje proizvoda P koristi 7 maina

razliite starosti I porijekla ali iste namjene. Efektivan rad maina na proizvodnim zadacima iznosi 15 sati

direktnog rada dnevno (pretpostavlja se rad u dvije smjene u trajanju od po 8 sati plus jo po pola sata

pripremno zavrnih radova u svakoj smjeni 2*8 2*0,5 =16 1 =15). Prosjeno vrijeme potrebno za

izradu jedne jedinice proizvoda P u satima na svakoj koritenoj maini moe se prikazati sljedeim

tabelarnim prikazom:

Maina I II III IV V VI VII

Prosjeno utroeno vrijeme po jedinici proizvoda

(h/kom)

0,168 0,696 0,271 0,502 0,363 0,574 0,464

Tabela 26. Prosjean dnevni utroak vremena po jedinici proizvoda kod svake proizvodne maine

Potrebno je:

a. Oderditi prosjenu produktivnost koritenih proizvodnih maina po proizvodu;

b. Kolika je prosjena dnevna proizvodnja u posmatranom preduzeu;

c. Uporediti vrijednost harmonijske sredine sa geometrijskom i aritmetikom sredinom posmatrane

statistike serije.

Rjeenje:

a. Ovdje imamo osobinu ija vrijednost predstavlja kolinik dvije veliine i to: utroeno vrijeme u

efektivan rad maina u toku radnog dana (iznosi 15 sati) i ostvarenog obima proizvodnje u toku

radnog dana na posmatranoj maini. Harmonijska sredina kod posmatrane serije izraunava se kao

prosta srednja vrijednost, odnosno kao kolinik izmeu broja modaliteta i zbira njihovih recipronih

vrijednosti. U narednoj tabeli izraunati su pojedini elementi neophodni za izraunavanje

harmonijske, geometrijske i aritmetike sredine.

Maina Prosjeno utroeno vrijeme po

jedinici proizvoda (h/kom) xi Log xi

I 0,168 5,952381 -0,77469

II 0,696 1,436782 -0,15739

III 0,271 3,690037 -0,56703

IV 0,502 1,992032 -0,2993

V 0,363 2,754821 -0,44009

VI 0,574 1,74216 -0,24109

VII 0,464 2,155172 -0,33348

Ukupno (6): 3,038 19,72338 -2,81307 Tabela 27. Radna tabela elementi za izraunavanje harmonijske, geometrijske i aritmetike sredine

50

Obrazac kojim izraunavamo prostu harmonijsku sredinu je:

Uvrtavanjem konkretnih vrijednosti u ovaj obrazac dobijamo:

Obrazac kojim izraunavamo prostu geometrijsku sredinu je:

Uvrtavajui konkretne vrijednosti u prethodni obrazac, dobijamo:

Obrazac kojim izraunavamo prostu aritmetiku sredinu je:

Uvrtavajui konkretne vrijednosti u prethodni obrazac, dobijamo:

Prosjeno utroeno vrijeme po jedinici proizvoda je 0,355 sati, odnosno 21 minuta i 18 sekundi.

Harmonijska sredina je prosjena vrijednost kojom je relevantno izraziti prosjek u posmatranoj statistikoj

seriji.

Uoavamo da je harmonijska (kao i geometrijska i aritmetika) sredina vea od najmanjeg (xmin =

0,168), a manja od najveeg (xmax = 0,696) modaliteta u statistikoj seriji. Odnosno vrijedi:

b. Prosjeno utroeno vrijeme je kolinik izmeu ukupno utroenog vremena i ostvarenog obima

proizvodnje, pri emu je ukupno utroeno vrijeme jednako proizvodu izmeu broja maina i

efektivnog dnevnog proizvodnog rada maina, odnosno 7 * 15 = 105 sati. Prosjenu vrijednost

dnevne proizvodnje (QD) izraunavamo kao kolinik izmeu ukupnog dnevno utroenog vremena u

proizvodnju i projenog utroka vremena po jedinici proizvoda:

Posmatrano preduzee u toku radnog dana u prosjeku proizvede 296 proizvoda P.

c. Uvidom u izraunate srednje vrijednosti uoavamo da harmonijska sredina ima najmanju vrijednost

meu njima, aritmetika ima najveu vrijednost, dok je geometrijska izmeu njih, dakle vea od

harmonijske, a manja od aritmetike sredine, odnosno vrijedi:

51

H = 0,355 < G = 0,39639 < =0,434 Primjer 2.8. Polazei od podataka o uestalosti posjeta pacijenata ljekaru porodine medicine (primjer

2.2) odrediti harmonijsku sredinu formirane distribucije! Uporediti dobijenu vrijednost sa vrijednou

aritmetike sredine!

Rjeenje:

U analiziranom primjeru imamo seriju distribucija frekvencija kod koje vrijednost harmonijske sredine

izraunavamo kao ponderisanu sredinu pomou obrasca:

Elemente potrebne za izraunavanje harmonijske sredine posmatrane statistike serije pri emu uvidom

u empirijsku grau uoavamo da je: x1 = 0 (tabela statistike serije primjer 2.2). Navedena injenica upuuje

na zakljuak da harmonijsku sredinu kod posmatrne statistike serije nije mogue izraunati jer vrijednost

matematikog izraza nije definisan! (Napomena kod posmatrane statistike serije f1 = 15)

Zakljuujemo da kod posmatrane statistike serija nije mogue izraunati harmonijsku sredinu.

Primjer 2.10. Odrediti harmonijsku sredinu distribucije stanovnika prema visini dijastolnog pritiska iz

primjera 2.3. Uporediti vrijednost harmonijske sredine sa vrijednosu aritmetike i geometrijske sredine.

Rjeenje:

U analiziranom primjeru imamao intervalnu seriju disribucija frekvencija kod koje se harmonijska

sredina odreuje kao ponderisana srednja vrijednost. Porebne elemente za odreivanje harmonijske sredini

posmatrane distribucije prikazujemo u narednoj tabeli.

Visina dijastolnog pritiska (mmHg)

xi

Broj ispitanika fi

ri

Log xi fi log xi Do 60 4 57,5 0,069565 1,759668 7,038671 60 65 18 62,5 0,288 1,79588 32,32584 65 70 55 67,5 0,814815 1,829304 100,6117 70 75 52 72,5 0,717241 1,860338 96,73758 75 80 68 77,5 0,877419 1,889302 128,4725 80 85 40 82,5 0,484848 1,916454 76,65816 85 90 38 87,5 0,434286 1,942008 73,79631 90 95 19 92,5 0,205405 1,966142 37,35669 95 i vie 6 97,5 0,061538 1,989005 11,93403 Ukupno (6): 300 - 3,953119 - 564,9315 Tabela 28. Radna tabela elementi za odreivanje harmonijske sredine distribucije stanovnika prema visini

dijastolnog pritiska

52

Polazei od obrasca za odreivanje ponderisane harmonijske sred