metodiČki priruČnik iz matematike - zuns.me prirucnik 7.pdf · metodi8 čki priručnik iz...

Metodički priručnik iz matematike za VII razred devetogodišnje osnovne škole 1

Izedin Krnić Marko Jokić Ljiljana Kruška

METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE

(ZA VII RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE)

Podgorica, 2007. godine

2 Metodički priručnik iz matematike za VII razred devetogodišnje osnovne škole

METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE (ZA VII RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE)

Autori: dr Izedin Krnić, Marko Jokić, Ljiljana Kruška Izdavač: Zavod za udžbenike i nastavna sredstva – Podgorica Glavna i odgovorna urednica: Nataša Živković Urednik: Lazo Leković Recenzenti: dr Žana Kovijanić, mr Goran Šuković, Mira Bošković, Nataša Gazivoda, Zorica Minić Lektura i korektura: Sonja Stanišić Ilustracija i dizajn: Rajko Jelovac Tehnički urednik: Rajko Radulović Prepress: Studio MOUSE – Podgorica Za izdavača: Nebojša Dragović Štampa: Štamparija „OSTOJIĆ” – Podgorica Tiraž: 1000 ISBN: 978-86-303-1146-8

Savjet za opšte obrazovanje, rješenjem br. 01-141/1 od 25. 08. 2006. godine, odobrio je ovaj udžbenički komplet za upotrebu u devetogodišnjim osnovnim školama.


Sadržaj 1. Uvod ........................................................................................................................................... 5

2. Nastavani ciljevi

2.1. Cijeli brojevi........................................................................................................................ 7

2.2. Racionalni brojevi ............................................................................................................. 12

2.3. Elementarni kombinatorni zadaci ..................................................................................... 19

2.4. Trougao ............................................................................................................................. 19

2.5. Četvorougao ...................................................................................................................... 21

2.6. Obim i površina trougla i četvorougla .............................................................................. 25

3. Nastavni sadržaji

3.1. Cijeli borjevi...................................................................................................................... 26

3.2. Racionalni brojevi ............................................................................................................. 42

3.3. Elementarni kombinatorni zadaci ..................................................................................... 52

3.4. Trougao i četvorougao ...................................................................................................... 53

3.5. Obim trougla i četvorougla ............................................................................................... 67

3.6. Površina trougla i četvorougla .......................................................................................... 70


Uvod

Pisanje udžbeničkog kompleta za osnovne i srednje škole, predviđa i prihvatanje obaveze koja se sastoji u dosljednoj primjeni metodologije po kojoj je napravljen predmetni program.

Predmetni programi su iz razumljivih razloga koncipirani tako da se u njima ukratko i na vrlo opštem nivou nabrajaju i opisuju:

• nastavni ciljevi, u kojima se govori o znanjima, sposobnostima i vrijednostima koje učenik usvaja i razvija učeći konkretni predmet,

• aktivnosti, u kojima se govori o metodama učenja, ili preciznije o oblicima učenja koji obezbjeđuju realizaciju postavljenih ciljeva,

• didaktička uputstva koja se odnose na norme i opšta pravila kojih se nastavnik pridržava pri organizovanju i izvođenju nastave.

Ovaj priručnik je pisan sa idejom da je njegov osnovni cilj pomoći nastavniku u uspostavljanju sadržajne veze između ciljeva učenja i aktivnosti učenja na času. Dakle, priručnik treba da na konkretan način, kroz razrađene primjere aktivnosti učenika na času, pokaže kako se mogu ostvariti ciljevi dati u predmetnom programu.

U sedmom razredu učenici će usvajati i produbljivati znanja iz dvije oblasti: A - Aritmetike i algebre, (orijentaciono 62 časa), G - Geometrije, (orijentaciono 73 časa). Oblast Aritmetika i algebra čine tri teme:

1A − Cijeli brojevi (orijentaciono 22 časa),

2A − Racionalni brojevi (orijentaciono 32 časa) i

3A − Elementarni kombinatorni zadaci, (orijentaciono 8 časova). Oblast Geometrija je takođe podijeljena na tri teme:

1G − Trougao, (orijentaciono 35 časova),

2G − Četvorougao, (orijentaciono 25 časova) i

3G − Površina i obim trougla i četvorougla, (orijentaciono 13 časova). Predmetnim programom predviđeno je 4,5 časova nedjeljno ili 162 časa u toku školske

godine. Od predviđenih 162 časa, raspoređeno je 135 časova. Ostalih 27 časova je neraspoređeno.

Priručnik se svojim sadržajem i redosljedom obrade oblasti i pojedinačnih tema u potpunosti oslanja na Udžbenik i Zbirku.

Priručnik ima dva dijela.

Nastavni ciljevi Navodi se detaljan spisak ciljeva koji se mogu ostvariti u pojedinačnim temama. Riječ je o

ciljevima koji su usaglašeni sa operativnim ciljevima datim u predmetnom programu. Da pojasnimo o kakvoj je usaglašenosti riječ.

Kada se u predmetnom programu, u rubrici za operativne ciljeve, govori o jednačini ,x a b+ = , ,a b Z∈ kaže se da

- učenik/ca rješava jednačine ,x a b+ = , .a b Z∈ S druge strane u udžbeniku postoji tema sa naslovom Jednačine u vezi sa sabiranjem u skupu cijelih brojeva. Obrađujući ovu temu, pored globalnog cilja koji se sastoji u tome da učenici nauče

rješavati jednačinu ,x a b+ = , ,a b Z∈ treba ostvariti i niz ciljeva čiji ih sadržaji, zbog svoje


opštosti i primjenljivosti na druge tipove jednačina, čine ne manje važnim od globalnog cilja o kojemu je bilo riječi. Tako na primjer obrađujući navedenu temu, učenik usvaja opšte zaključke koji govore o tome da se skup rješenja bilo koje jednačine ne mijenja,

• ako izrazima sa lijeve i desne strane znaka jednakosti dodamo isti cijeli broj, ili ako • prebacimo poznati ili nepoznati cijeli broj sa jedne na drugu stranu znaka jednakosti,

mijenjajući znak tom broju.

Nastavni sadržaji Govori se o načinima na koje se mogu postići ciljevi naznačeni u određenim oblastima i

pojedinačnim temama. Naravno riječ je samo o idejama i predlozima koji će, po mišljenju autora, pomoći nastavnicima da postavljene ciljeve ostvare na efikasan i zanimljiv način i svakako na način koji će učenicima biti razumljiv.

Za oblasti Aritmetika i algebra i Površina trougla i četvorougla data su didaktička uputstva za svaku temu pojedinačno, dok su oblasti Trougao i Četvorougao zastupljene sa 11 teorema.


Nastavni ciljevi

Cijeli brojevi 1. Skup cijelih brojeva Učenik/ca: • usvaja primjere iz svakodnevnog života u kojima se koriste cijeli negativni brojevi

–1,–2, –3, –4, –5… (gol razlika, nadmorska visina, mjerenje temperature, dug i slično), • usvaja cijele negativne brojeve

–1,–2, –3, –4, –5… • usvaja da prirodne brojeve

1,2,3,4,5,... ponekad označavamo sa

+1, +2, +3, +4, +5… i nazivamo cijelim pozitivnim brojevima ili cijelim brojevima sa pozitivnim znakom, • usvaja skup cijelih brojeva kao skup čiji su elementi svi negativni cijeli brojevi, broj

nula i svi pozitivni cijeli brojevi, • usvaja oznake Z − − za skup negativnih cijelih brojeva, Z + − za skup pozitivnih cijelih brojeva, Z − za skup cijelih brojeva, • razumije jednakost { }0Z Z Z− += ∪ ∪ i zna da je .N Z Z+= ⊂ 2. Prikazivanje cijelih brojeva na brojnoj pravoj Učenik/ca: • zna da svaka tačka O prave p dijeli tu pravu na dvije poluprave + i ,p p− kojima je O

zajednička početna tačka, • zna pomoću lenjira ili šestara na polupravoj p+ odrediti tačke koje poistovjećuje sa

cijelim pozitivnim brojevima (koje dodjeljuje cijelim pozitivnim brojevima), a na polupravoj ,p− tačke koje poistovjećuje sa cijelim negativnim brojevima (koje dodjeljuje cijelim

negativnim brojevima), • zna da pravu p na kojoj su istaknute tačke dodijeljene cijelim brojevima nazivamo

brojnom pravom skupa cijelih brojeva, • zna da elementi brojne prave, tačka O i jedinična duž ,e nijesu unaprijed zadati i usvaja

da te elemente sami biramo, • usvaja oznake (1), (2), (3),M M M … za tačke dodijeljene cijelim pozitivnim brojevima

i oznake ( 1), ( 2), ( 3),M M M− − − … za tačke dodijeljene cijelim negativnim brojevima, • usvaja pojam koordinate cjelobrojne tačke, • usvaja pojmove pozitivnog i negativnog smjera na brojnoj pravoj, • usvaja da se tačke ( ) i ( ),M n M n− ,n N∈ dobijaju pomjeranjem od tačke O za n

jediničnih duži u negativnom, odnosno pozitivnom smjeru, • zna da kada govorimo o dužinama duži čiji su krajevi cjelobrojne tačke, imamo u vidu

da je jedinična duž uzeta u svojstvu jedinice za mjerenje dužine,


• zna da je dužina duži pozitivan broj i ne pravi grešku govoreći da je, na primjer, dužina duži ( 3)OM − jednaka 3,−

• usvaja da su duži ( ) i ( )OM n OM n− jednake i da njihova dužina iznosi n jediničnih duži.

3. Suprotni brojevi. Apsolutna vrijednost cijelog broja Učenik/ca: • zna kada su dvije tačke simetrične u odnosu na zadatu tačku ,O • zna nacrtati odgovarajuću sliku i uočava da su tačke koje obrazuju parove

( ( 1), (1)), ( ( 2), (2)), ( ( 3), (3)M M M M M M− − − … simetrične u odnosu na tačku ,O • usvaja da su za svaki pozitivni cijeli broj ,n tačke ( ) i ( )M n M n− simetrične u odnosu

na tačku ,O • usvaja definiciju suprotnih cijelih brojeva, • zna da osim parova

( 1,1), ( 2, 2), ( 3,3)− − − … nema drugih parova čiji su elementi suprotni cijeli brojevi, • zna odrediti suprotne brojeve zadatih cijelih brojeva, • razumije smisao jednakosti

( 1) 1, ( 2) 2, ( 3) 3− − = − − = − − = … • usvaja definiciju apsolutne vrijednosti cijelog broja, • zna odrediti apsolutnu vrijednost zadatih pozitivnih i negativnih cijelih brojeva, • usvaja da je apsolutna vrijednost cijelog broja pozitivan broj ili nula i da je broj 0 jedini

cijeli broj čija je apsolutna vrijednost jednaka nuli, • zna da suprotni cijeli brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti, • zna odrediti cijele brojeve koji zadovoljavaju uslov:

) 1,i a = ) 2,ii a = ) 3iii a = … • zna da uslov

, ,a m m Z += ∈ zadovoljavaju tačno dva cijela broja i zna da su to brojevi i .m m− 4. Uređenost skupa cijelih brojeva Učenik/ca: • razumije konkretne primjere na modelu termometra i gol razlike koji sugerišu kako treba

definisati uređenost na skupu cijelih brojeva, • zna kada se za cijeli broj a kaže da je manji od cijelog broja ,b • koristeći brojnu pravu zna uporediti dva zadata cijela broja, • na osnovu položaja cjelobrojnih tačaka na brojnoj pravoj usvaja tvrđenja: - svaki negativni cijeli broj je manji od nule, - svaki negativni cijeli broj je manji od bilo kojeg pozitivnog cijelog broja, - od dva negativna cijela broja, manji je onaj čija je apsolutna vrijednost veća, • je u stanju da primjenom navedenih tvrđenja uporedi bilo koja dva cijela broja, ne

koristeći brojnu pravu, • na osnovu položaja cjelobrojnih tačaka na brojnoj pravoj usvaja da za proizvoljne cijele

brojeve i a b važi ili ili ,a b a b a b< = >


• razumije smisao relacija i .a b a b≤ ≥ • zna da za proizvoljne cijele brojeve , i a b c važi: - ako je i tada je ,a b b c a c≤ ≤ ≤ - ako je i tada je a b b a a b≤ ≤ = i razumije geometrijski smisao tih relacija, • zna odrediti i na brojnoj pravoj skicirati skup cijelih brojeva čiji elementi zadovoljavaju

uslov ) 2,i a ≤ − ) 3,ii a ≥ − ) 4 5,iii a− ≤ ≤ ...

5. Sabiranje i oduzimanje u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • zna pravila računanja zbira a n+ i razlike ,a n− cijelog broja a i cijelog pozitivnog

broja n na brojnoj pravoj, • koristeći brojnu pravu zna izračunati zbirove i razlike

a n+ i ,a n− za zadate vrijednosti cijelog broja a i cijelog pozitivnog broja ,n • na osnovu pogodno odabranih primjera prihvata da je računanje navedenog zbira i

razlike korišćenjem brojne prave nepraktično, • usvaja da pravila računanja u skupu 0N omogućavaju da se izračuna )i zbir m n+ i )ii razlika ,m n− u slučaju kada je ,m n>

• na osnovu konkretnih primjera ilustrovanih na brojnoj pravoj usvaja da se razlika ,m n− u slučaju kada je ,n m> računa po pravilu

( ),m n n m− = − − • usvaja prvo pravilo izostavljanja zagrada i zbir ( )m n− + zapisuje bez zagrade u obliku ,m n− +

• usvaja pravilo računanja zbira :m n− + ,m n n m− + = −

• koristeći prvo pravilo izostavljanja zagrada, razliku ( )m n− − zapisuje bez zagrade u obliku ,m n− −

• usvaja pravilo računanja razlike :m n− − ( ),m n m n− − = − +

• na osnovu konkretnih primjera usvaja i primjenjuje pravila računanja zbira ( )a n+ − i razlike ( ) :a n− −

( )a n a n+ − = − i ( ) ,a n a n− − = + gdje je a cijeli broj i n cijeli pozitivni broj, • usvaja navedena pravila kao drugo i treće pravilo izostavljanja zagrada, • na osnovu konkretnih primjera usvaja svojstva sabiranja u skupu cijelih brojeva. 6. Brojni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem cijelih brojeva Učenik/ca: • zna što je brojni izraz i zna koju ulogu imaju zagrade u njemu, • zna izračunati vrijednosti jednostavnih brojnih izraza sa sabiranjem i oduzimanjem, • zna što je brojni izraz sa promjenljivim, • zna izračunati vrijednost takvih izraza, za zadate vrijednosti promjenljivih,


• usvaja pravila izostavljanja zagrada i u slučaju kada je u njima zapisan brojni izraz, • računa vrijednosti izraza sa zagradama na dva načina, primjenom pravila izostavljanja

zagrada i računanjem vrijednosti izraza u zagradama. 7. Jednačine u vezi sa sabiranjem u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • usvaja pojam brojne jednakosti, • razlikuje tačne i netačne brojne jednakosti, • usvaja pojam jednačine, zna što su njena rješenja i što znači riješiti jednačinu, • usvaja tvrđenje da se skup rješenja jednačine ne mijenja ako izrazima sa lijeve i desne

strane znaka jednakosti dodamo isti cijeli broj, • primjenom navedenog tvrđenja rješava jednačine x a b+ = i ,a x b− = • usvaja tvrđenje da se skup rješenja jednačine ne mijenja, kada u jednačini prebacimo

poznati ili nepoznati cijeli broj sa jedne na drugu stranu znaka jednakosti, mijenjajući znak tom broju,

• usvaja postupke rješavanja jednačina x a b+ = i ,a x b− = zasnovane na prethodnom tvrđenju,

• rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju navedene jednačine. 8. Nejednačine u vezi sa sabiranjem u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • usvaja pojam brojne nejednakosti, • razlikuje tačne i netačne brojne nejednakosti, • usvaja pojam nejednačine, zna što je njen skup rješenja i što znači riješiti nejednačinu, • usvaja tvrđenje da se skup rješenja nejednačine ne mijenja ako izrazima sa lijeve i desne

strane znaka nejednakosti dodamo isti cijeli broj, • primjenom navedenog tvrđenja rješava nejednačine x + a○b i a – x○b (umjesto ○ može

da stoji bilo koji znak nejednakosti), • usvaja tvrđenje da se skup rješenja nejednačine ne mijenja, kada u nejednačini

prebacimo poznati ili nepoznati broj sa jedne na drugu stranu znaka jednakosti, mijenjajući znak tom broju,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina x + a○b i a – x○b zasnovane na prethodnom tvrđenju,

• usvaja tvrđenje da se skup rješenja nejednačine ne mijenja, kada u nejednačini prebacimo poznati ili nepoznati cijeli broj sa jedne na drugu stranu znaka nejednakosti, mijenjajući znak tom broju,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina x + a○b i a – x○b zasnovane na prethodnom tvrđenju,

• rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju navedene nejednačine. 9. Množenje u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • usvaja da se cijeli pozitivni brojevi množe kao prirodni brojevi, • na osnovu konkretnih primjera usvaja pravilo množenja cijelih brojeva različitog znaka, • usvaja i primjenjuje pravilo množenja cijelih negativnih brojeva, • na osnovu konkretnih primjera usvaja svojstva množenja u skupu cijelih brojeva.


10. Izvlačenje zajedničkog činioca Učenik/ca: • usvaja i primjenjuje distributivnost množenja prema sabiranju u oba smjera, tj. prelazi sa

izraza ab ac+ na izraz ( )a b c+ i obrnuto, • usvaja i primjenjuje distributivnost množenja prema oduzimanju u oba smjera, tj. prelazi

sa izraza ab ac− na izraz ( )a b c− i obrnuto, • usvaja da se isti postupak može primijeniti i na složenije izraze, na primjer:

( )( ),

ab ac ad a b c dab ac ad ae af a b c d e f

− + = − ++ − − + = + − − +

( ) ( ) ,ax ay bz bu c a x y b z u c+ + + + = + + + + • uspješno rješava zadatke u kojima se zahtijeva da se primjenom navedenih pravila i

pravila izostavljanja zagrada pojednostave zadati brojni izrazi ili izračuna njihova brojna vrijednost.

11. Djeljivost u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • usvaja definiciju djeljivosti u skupu cijelih brojeva, • usvaja i primjenjuje pravila ) ( ) : : ( ) ( : ),) ( ) : ( ) : ,

i m n m n m nii m n m n

− = − = −− − =

gdje su i m n pozitivni cijeli brojevi, • zna da se nulom ne može dijeliti. 12. Brojni izrazi sa cijelim brojevima Učenik/ca: • zna da u izrazima bez zagrada, operacije množenja i dijeljenja imaju prednost u odnosu

na operacije sabiranja i oduzimanja, • uspješno računa vrijednosti jednostavnih brojnih izraza bez zagrada, • zna kako se izrazi koji nemaju drugih zagrada osim zagrada u kojima je upisan jedan

broj, svode na izraze bez zagrada, • zna da u izrazima sa zagradama razlikuje spoljašnje i unutrašnje zagrade, • zna kako se računa vrijednost brojnog izraza čije su sve zagrade spoljašnje, • zna kako se računa vrijednost brojnog izraza koji ima unutrašnjih zagrada. 13. Jednačine u vezi sa množenjem i dijeljenjem u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • zna da je množenje u skupu cijelih brojeva definisano tako da je činilac jednak količniku

proizvoda i drugog činioca, • usvaja da je u jednačini ax b= poznat proizvod b ax= i činilac a i da je nepoznati

činilac x jednak količniku proizvoda i poznatog činioca: : ,x b a= ,0≠a

• usvaja da se rješenje jednačine ax b= može dobiti dijeljenjem lijeve i desne strane te jednačine brojem a i primjenjuje postupak

/ :

: .

ax b a

x b a

=

⇓=


• zna da je dijeljenje u skupu cijelih brojeva definisano tako da je djeljenik jednak proizvodu količnika i djelioca,

• usvaja da je u jednačini :x a b= poznat količnik :b x a= i djelilac a i da je nepoznati djeljenik x jednak proizvodu količnika b i djelioca a :

,x b a= ⋅ • usvaja da se rješenje jednačine :x a b= može dobiti množenjem lijeve i desne strane te

jednačine brojem a i primjenjuje postupak : /

,

x a b a

x b a

= ⋅

⇓= ⋅

• uspješno rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju jednačine ax b= i : .x a b=

14. Nejednačine u vezi sa množenjem u skupu cijelih brojeva Učenik/ca: • usvaja da se množenjem i dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne (netačne)

brojne nejednakosti pozitivnim cijelim brojem dobija tačna (netačna) brojna nejednakost, • na osnovu prethodnog tvrđenja usvaja da se skup rješenja nejednačine ne mijenja ako se

izrazi sa desne i lijeve strane znaka nejednakosti pomnože ili podijele istim cijelim pozitivnim brojem,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina ax○b 0,a >

zasnovane na navedenom tvrđenju, (umjesto znaka ○ može da stoji bilo koji znak nejednakosti),

• usvaja da se množenjem i dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne (netačne) brojne nejednakosti negativnim cijelim brojem i promjenom smjera znaka nejednakosti dobija tačna (netačna) brojna nejednakost,

• na osnovu prethodnog tvrđenja usvaja da se skup rješenja nejednačine ne mijenja ako se izrazi sa desne i lijeve strane znaka nejednakosti pomnože ili podijele istim cijelim negativnim brojem i ako se promijeni smjer znaka nejednakosti,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina ax○b, 0,a <

zasnovane na navedenom tvrđenju, • uspješno rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju nejednačine

ax○b.

Racionalni brojevi 1. Skup racionalnih brojeva Učenik/ca: • zna da je zbir i proizvod prirodnih brojeva prirodni broj i zna da operacije oduzimanja i

dijeljenja nijesu uvijek izvodljive u skupu ,N • zna da je zbir, razlika i proizvod cijelih brojeva cijeli broj i zna da operacija dijeljenja

nije uvijek izvodljiva u skupu ,Z


• usvaja primjere iz svakodnevnog života koji nameću potrebu uvođenja brojeva kojima se izražavaju dijelovi cjeline,

• usvaja negativne i pozitivne razlomke

i , , ,m m m n Nn n

− ∈

kao brojeve dodijeljene tačkama brojne prave, dobijenim pomjeranjem od tačke ,O za m tihn − dijelova ne jedinične duži e u negativnom, odnosno pozitivnom smjeru,

• usvaja da tako dobijene tačke označava sa ( ) i ( ),m mM Mn n

−

• usvaja geometrijsko značenje razlomaka i ,m mn n

− kao brojeva koji pokazuju da su

duži ( ) i ( )OM m OM m− podijeljene na n duži jednakih duži ( ),mOMn

− odnosno ( ),mOMn

• usvaja da je

( ) : i : ,m mm n m nn n

− = − =

u slučaju kada je broj m djeljiv brojem ,n • usvaja oznake Q− − za skup negativnih razlomaka, Q+ − za skup pozitivnih razlomaka, • usvaja skup racionalnih brojeva, kao skup čiji su elementi svi negativni razlomci, broj 0 i

svi pozitivni razlomci, • usvaja oznakuQ za skup racionalnih brojeva, • razumije jednakost { }0Q Q Q− += ∪ ∪ i zna da je N Z Q⊂ ⊂ , • usvaja zapisivanje racionalnih brojeva u nestandardnom obliku

m m mn n n

−− = =

− i m m

n n−

=−

• usvaja da se u skladu sa dogovorom o nestandardnom označavanju racionalnih brojeva, skup racionalnih brojeva može zapisati u obliku

: , , 0 ,aQ a b Z bb

⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

• usvaja da je racionalni broj ; , , 0,a a b Z bb

∈ ≠ pozitivan, ako su mu brojilac i imenilac

cijeli brojevi istog znaka, odnosno negativan, ako su mu brojilac i imenilac različitog znaka. 2. Prikazivanje racionalnih brojeva na brojnoj pravoj Učenik/ca: • usvaja postupak dijeljenja jedinične duži na

dva, tri, četiri, pet... jednakih duži, • primjenjuje taj postupak i zna odrediti tačku na brojnoj pravoj koja odgovara zadatom

racionalnom broju, • uspješno rješava jednostavne zadatka u kojima se zahtijeva da se odredi jedna ili više

tačaka na brojnoj pravoj, koje zadovoljavaju određene uslove.


3. Uređenost skupa racionalnih brojeva Učenik/ca:

• zna kada se za racionalni broj ab

kaže da je jednak racionalnom broju ,cd

• zna kada se za racionalni broj ab

kaže da je manji od racionalnog broja ,cd

• koristeći brojnu pravu zna uporediti dva konkretno zadata racionalna broja, • na osnovu pogodno odabranih primjera prihvata da je upoređivanje racionalnih brojeva

korišćenjem brojne prave nepraktično, • na osnovu skice brojne prave na kojoj su prikazane tačke

… 3 2 1( ), ( ), ( ),M M Mn n n

− − −1 2 3( ), ( ), ( )M M Mn n n

…

usvaja tvrđenja: - dva racionalna broja jednakih imenilaca su jednaka, samo u slučaju kada su im i brojioci

jednaki, - od dva racionalna broja jednakih imenilaca, manji je onaj čiji je brojilac manji, - racionalni broj je jednak nuli jedino u slučaju kada je njegov brojilac jednak nuli, • zna što znači proširiti razlomak i zna da je prošireni razlomak jednak polaznom

razlomku, • zna što znači skratiti razlomak i zna da je skraćeni razlomak jednak polaznom razlomku, • zna što je nesvodljivi razlomak i zna da se svaki razlomak skraćivanjem može svesti na

nesvodljivi razlomak, • usvaja postupak svođenja razlomaka na razlomke jednakih imenilaca, • usvaja pravilo upoređivanja racionalnih brojeva bez njihovog prikazivanja na brojnoj

pravoj. 4. Decimalni zapis racionalnog broja Učenik/ca: • usvaja postupak zapisivanja razlomaka u obliku decimalnog broja, (dijeljenjem brojioca

imeniocem), • na osnovu konkretnih primjera usvaja da se neki razlomci zapisuju u obliku konačnog

decimalnog broja, a neki u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja, • zna što je perioda beskonačnog periodičnog decimalnog broja, • usvaja skraćeni zapis beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva, • zna što je cijeli dio i što su decimale decimalnog broja, • zna da se u obliku konačnog decimalnog broja zapisuju samo oni racionalni brojevi čiji

je imenilac jedna od dekadnih jedinica, • zna da se u obliku konačnog decimalnog broja zapisuju samo oni nesvodljivi razlomci

čiji se imenioci mogu predstaviti kao proizvod -samo dvojki, ili, -samo dvojki i petica, ili, -samo petica, • je u stanju da navedeno tvrđenje primijeni na konkretne racionalne brojeve, • usvaja postupak zapisivanja konačnog decimalnog broja u obliku razlomka, • je u stanju da taj postupak primijeni na zadate konačne decimalne brojeve. 5. Suprotni brojevi. Apsolutna vrijednost racionalnog broja Učenik/ca: • umije nacrtati odgovarajuću sliku i uočava da su tačke koje obrazuju parove


1 1 3 3 4 4 ( ( ), ( )), ( ( ), ( )), ( ( ), ( )),2 2 4 4 5 5

M M M M M M− − − …

simetrične u odnosu na tačku ,O

• usvaja da su za proizvoljne cijele pozitivne brojeve m i ,n tačke ( ) i ( )m mM Mn n

−

simetrične u odnosu na tačku ,O • zna definiciju suprotnih racionalnih brojeva, • zna da za zadati racionalni broj odredi njemu suprotni broj, • zna da osim parova

( , ), , ,m m m n Nn n

− ∈

nema drugih parova čiji su elementi suprotni racionalni brojevi, • razumije smisao jednakosti

( ) , , ,m m m n Nn n

− − = ∈

• zna definiciju apsolutne vrijednosti racionalnog broja, • zna odrediti apsolutnu vrijednost konkretnih pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva, • zna da je apsolutna vrijednost racionalnog broja pozitivni broj ili nula i da je broj 0

jedini racionalni broj čija je apsolutna vrijednost jednaka nuli, • zna da suprotni racionalni brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti, • zna odrediti racionalne brojeve koji zadovoljavaju uslov:

1) ,2

i r = 3) ,4

ii r =6) 7

iii r = …

• usvaja da uslov

, , ,mr m n Nn

= ∈

zadovoljava tačno dva racionalna broja i zna da su to brojevi i .m mn n

−

6. Sabiranje i oduzimanje u skupu racionalnih brojeva Učenik/ca: • usvaja pravila sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva istih imenilaca, • usvaja sljedeća pravila izvedena iz pravila sabiranja i oduzimanja cijelih brojeva:

,

,

,

( ) .

m p m pn n nm p m pn n nm p p m p mn n n n nm p m p m pn n n n n

++ =

−− =

−− + = − =

+− − = − + = −

( ) ,a p a pn n n n

+ − = −

( ) ,a p a pn n n n

− − = +


gdje su , , i ,m n p N a Z∈ ∈ • usvaja pravila sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva različitih imenilaca, • usvaja pravila sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva u decimalnom zapisu, • usvaja pravila sabiranja i oduzimanja mješovitih brojeva, • na osnovu konkretnih primjera usvaja svojstva sabiranja u skupu racionalnih brojeva. 7. Jednačine u vezi sa sabiranjem u skupu racionalnih brojeva Učenik/ca: • usvaja da se dodavanjem istog racionalnog broja izrazima sa lijeve i desne strane tačne

(netačne) brojne jednakosti dobija tačna (netačna) brojna jednakost, • na osnovu prethodnog tvrđenja usvaja da se skup rješenja jednačine ne mijenja ako se

izrazima sa desne i lijeve strane znaka jednakosti doda isti racionalni broj, • usvaja postupke rješavanja jednačina

a cxb d

+ = i a cxb d

− = ,

zasnovane na navedenom tvrđenju, • usvaja tvrđenje da se skup rješenja jednačine ne mijenja, kada u jednačini prebacimo

poznati ili nepoznati racionalni broj sa jedne na drugu stranu znaka jednakosti, mijenjajući znak tom broju,

• usvaja postupke rješavanja jednačina a cxb d

+ = i a cxb d

− = , zasnovane na prethodnom

tvrđenju, • rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju navedene jednačine. 8. Nejednačine u vezi sa sabiranjem u skupu racionalnih brojeva Učenik/ca: • usvaja da se dodavanjem istog racionalnog broja izrazima sa lijeve i desne strane tačne

(netačne) brojne nejednakosti dobija tačna (netačna) brojna nejednakost, • na osnovu prethodnog tvrđenja usvaja da se skup rješenja nejednačine ne mijenja ako se

izrazima sa desne i lijeve strane znaka nejednakosti doda isti racionalni broj, • usvaja postupke rješavanja nejednačina

bax + ○

dc i x

ba

− ○dc ,

zasnovane na navedenom tvrđenu, (umjesto znaka ○ može da stoji bilo koji znak nejednakosti),

• usvaja tvrđenje da se skup rješenja nejednačine ne mijenja, kada u nejednačini prebacimo poznati ili nepoznati broj sa jedne na drugu stranu znaka jednakosti, mijenjajući znak tom broju,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina bax + ○

dc i x

ba

− ○dc , zasnovane na

prethodnom tvrđenju, • rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju navedene nejednačine. 9. Množenje u skupu racionalnih brojeva Učenik/ca: • usvaja pravilo množenja racionalnih brojeva, • usvaja sljedeća pravila izvedena iz pravila množenja cijelih brojeva:


,

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ) .

m p m pn q n q

m p m pn q n q

m p m pn q n q

m p m pn q n q

⋅⋅ =

⋅⋅

− ⋅ = −⋅

⋅⋅ − = −

⋅⋅

− ⋅ − =⋅

• usvaja pravilo množenja racionalnih brojeva u decimalnom zapisu, • usvaja pravilo množenja mješovitih brojeva, • usvaja pojam recipročnog broja, • na osnovu konkretnih primjera usvaja svojstva množenja u skupu racionalnih brojeva. 10. Dijeljenje u skupu racionalnih brojeva Učenik/ca: • usvaja i primjenjuje definiciju dijeljenja u skupu racionalnih brojeva, • usvaja pojam dvojnog razlomka i zna izračunati njegovu vrijednost. 11. Brojni izrazi sa racionalnim brojevima Učenik/ca: • zna da se u skupu racionalnih brojeva bez ikakvih ograničenja mogu izvoditi računske

operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja djeliocem različitim od nule, • uspješno računa vrijednosti jednostavnih brojnih izraza. 12. Jednačine u vezi sa množenjem i dijeljenjem u skupu racionalnih brojeva Učenik/ca: • zna da je množenje u skupu racionalnih brojeva definisano tako da je činilac jednak

količniku proizvoda i drugog činioca,

• usvaja da je u jednačini a cxb d

= poznat proizvod cd

=a xb

i činilac ab

i da je nepoznati

činilac x jednak količniku proizvoda i poznatog činioca:

: ,c axd b

=

• usvaja da se rješenje jednačine a cxb d

= može dobiti dijeljenjem lijeve i desne strane te

jednačine brojem ab

i primjenjuje postupak

/ :

: .

a c axb d b

c axd b

=

⇓

=

• zna da je dijeljenje u skupu racionalnih brojeva definisano tako da je djeljenik jednak proizvodu količnika i djelioca,


• usvaja da je u jednačini : ,a cxb d

= poznat količnik :c axd b

= i djelilac ab

i da je

nepoznati djeljenik x jednak proizvodu količnika cd

i djelioca ab

:

,a cxb d

= ⋅

• usvaja da se rješenje jednačine : a cxb d

= može dobiti množenjem lijeve i desne strane te

jednačine brojem ab

i primjenjuje postupak

: /

.

a c axb d b

a cxb d

= ⋅

⇓

= ⋅

• uspješno rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju

jednačine a cxb d

= i : .a cxb d

=

13. Nejednačine u vezi sa množenjem i dijeljenjem u skupu racionalnih

brojeva Učenik/ca: • usvaja da se množenjem i dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne (netačne)

brojne nejednakosti pozitivnim racionalnim brojem dobija tačna (netačna) brojna nejednakost, • na osnovu prethodnog tvrđenja usvaja da se skup rješenja nejednačine ne mijenja ako se

izrazi sa desne i lijeve strane znaka nejednakosti pomnože ili podijele istim pozitivnim racionalnim brojem,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina

xba ○

dc i

bax : ○

dc , 0,a

b>

zasnovane na navedenom tvrđenju, (umjesto znaka ○ može da stoji bilo koji znak nejednakosti),

• usvaja da se množenjem i dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne (netačne) brojne nejednakosti negativnim racionalnim brojem i promjenom smjera znaka nejednakosti dobija tačna (netačna) brojna nejednakost,

• na osnovu prethodnog tvrđenja usvaja da se skup rješenja nejednačine ne mijenja ako se izrazi sa desne i lijeve strane znaka nejednakosti pomnože ili podijele istim negativnim racionalnim brojem i ako se promijeni smjer znaka nejednakosti,

• usvaja postupke rješavanja nejednačina

xba ○

dc i

bax : ○

dc , 0,a

b<

zasnovane na navedenom tvrđenju, • uspješno rješava jednostavne tekstualne zadatke u kojima se pojavljuju nejednačine

xba ○

dc i

bax : ○

dc .


Elementarni kombinatorni zadaci Učenik/ca: • razumije zadatke iz svakodnevnog života u kojima se zahtijeva da se odredi broj svih

mogućih rasporeda ljudi, predmeta i slično, ili broj načina kojim se može izvršiti neka radnja, • na osnovu konkretnih primjera usvaja pravilo množenja, • prepoznaje situacije u kojima se prebrojavanje može obaviti primjenom pravila

množenja, • uspješno rješava jednostavne kombinatorne zadatke u kojima se koristi pravilo množenja.

Trougao 1. Tvrđenja i obrazloženja Učenik/ca: • zna što je predmet izučavanja geometrije, • zna zašto se u geometriji ne prihvataju tvrđenja o svojstvima geometrijskih figura

izvedena na osnovu slike ili na osnovu mjerenja, • zna koja se tvrđenja u geometriji prihvataju kao istinita tvrđenja. 2. Elementi trougla. Vrste trouglova Učenik/ca: • zna pojmove mnogougaone linije i mnogougla, • usvaja pojam trougla kao specijalni slučaj mnogougla, • usvaja i koristi standardnu notaciju za označavanje tjemena, stranica i uglova trougla, • zna imenovati: - stranicu naspramnu zadatom uglu ili zadatom tjemenu trougla, - naspramni ugao zadate stranice, - stranice koje obrazuju zadati ugao trougla, - nalegle uglove zadate stranice trougla, • usvaja pojmove F uglova i Z uglova, • zna tvrđenje o jednakosti F uglova i tvrđenje o jednakosti Z uglova, • uspješno rješava jednostavne zadatke u kojima se koriste navedena tvrđenja, • usvaja pojmove unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla trougla, • zna da je svaki spoljašnji ugao trougla veći od njemu nesusjednog unutrašnjeg ugla, • zna uslov paralelnosti, • usvaja podjelu trouglova u odnosu na stranice, • zna da trougao ima ili sva tri oštra, ili jedan prav i dva oštra ugla, ili jedan tup i dva oštra

ugla, • usvaja podjelu trouglova u odnosu na uglove, • usvaja pojmove visine, težišne duži i bisektrise trougla, • zna da se visina, težišna duž i bisektrisa jednakokrakog trougla povučenih iz vrha tog

trougla poklapaju, • zna da se visina, težišna duž i bisektrisa jednakostraničnog trougla povučenih iz bilo kog

tjemena tog trougla poklapaju. 3. Zbir uglova trougla Učenik/ca: • usvaja tvrđenje o zbiru unutrašnjih uglova trougla,


• usvaja tvrđenje o zbiru spoljašnjih uglova trougla, • zna da je svaki spoljašnji ugao trougla jednak zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja

ugla, • koristi ova tvrđenja i uspješno rješava zadatke u kojima treba izračunati nepoznate

uglove trougla. 4. Odnos uglova i stranica trougla Učenik/ca: • usvaja tvrđenja: -naspram jednakih uglova u trouglu nalaze se jednake stranice, a naspram jednakih stranica

u trouglu nalaze se jednaki uglovi, -naspram veće stranice u trouglu nalazi se veći ugao, a naspram većeg ugla u trouglu nalazi

se veća stranica. 5. Odnos između stranica trougla Učenik/ca: • usvaja tvrđenje da je svaka stranica trougla manja od zbira i veća od razlike ostale dvije

stranice, • zna kada postoji trougao čije su stranice jednake trima zadatim dužima, • usvaja pojam rastojanja između tačke i figure. 6. Podudarnost trouglova Učenik/ca: • usvaja pojam podudarnosti geometrijskih figura, • usvaja pravila podudarnosti trouglova, • usvaja pravila podudarnosti pravouglih trouglova, • uspješno rješava jednostavne zadatke u kojima se primjenjuju pravila podudarnosti

trouglova, • usvaja tvrđenje o jednakosti paralelnih odsječaka između paralelnih pravih, • usvaja svojstva simetrale duži, • usvaja svojstva simetrale ugla. 7. Osnovne konstrukcije Učenik/ca: • zna što su konstruktivni zadaci, • zna što se može konstruisati pomoću lenjira, • zna što se može konstruisati pomoću šestara, • zna konstruisati duž jednaku zadatoj duži, • zna konstruisati ugao jednak zadatom uglu, • zna kroz zadatu tačku povući pravu paralelnu zadatoj pravoj, • zna konstruisati simetralu duži, • zna konstruisati pravu koja prolazi kroz zadatu tačku i normalna je na zadatu pravu, • zna konstruisati simetralu ugla, • zna konstruisati uglove od 60 ,o 120 ,o 30 ,o 90 ,o 45 ,o 135 ,o 150 ,o 75o itd., • usvaja elementarne konstrukcije trougla. 8. Opisana i upisana kružnica Učenik/ca: • usvaja pojam kružnice opisane oko trougla,


• zna da se simetrale stranica trougla sijeku u jednoj tački i zna da je ta tačka centar kružnice opisane oko trougla,

• zna gdje se nalazi centar kružnice opisane oko oštrouglog, pravouglog i tupouglog trougla,

• zna konstruisati kružnicu opisanu oko trougla, • usvaja pojam kružnice upisane u trougao, • zna da se simetrale unutrašnjih uglova trougla sijeku u jednoj tački i zna da je ta tačka

centar kružnice upisane u trougao, • zna konstruisati kružnicu upisanu u trougao. 9. Srednja duž trougla Učenik/ca: • usvaja pojam srednje duži trougla, • zna da je srednja duž trougla paralelna naspramnoj stranici i jednaka njenoj polovini. 10. Ortocentar trougla Učenik/ca: • zna da se visine trougla sijeku u jednoj tački i zna da tu tačku nazivamo ortocentrom

trougla, • zna gdje se nalazi ortocentar oštrouglog, pravouglog i tupouglog trougla, • zna konstruisati ortocentar trougla. 11. Težište trougla Učenik/ca: • zna da se težišne duži trougla sijeku u jednoj tački i zna da tu tačku nazivamo težištem

trougla, • zna tvrđenje o odnosu duži na koje težište dijeli težišnu duž, • zna konstruisati težište trougla.

Četvorougao 1. Elementi četvorougla Učenik/ca: • usvaja pojam četvorougla kao specijalni slučaj mnogougla, • razlikuje konveksne i nekonveksne četvorouglove, • usvaja i koristi standardnu notaciju za označavanje tjemena, stranica i uglova

četvorougla, • zna imenovati: - susjedna i naspramna tjemena četvorougla, - susjedne i naspramne stranice četvorougla, - uzastopne i naspramne uglove četvorougla, - dijagonale četvorougla. 2. Zbir uglova četvorougla Učenik/ca: • usvaja tvrđenje o zbiru unutrašnjih uglova četvorougla, • usvaja pojam spoljašnjeg ugla četvorougla i usvaja tvrđenje o zbiru spoljašnjih uglova

četvorougla,


• koristi navedena tvrđenja i uspješno rješava zadatke u kojima treba izračunati nepoznate uglove četvorougla.

3. Podjela četvorouglova Učenik/ca: • usvaja da svaki četvorougao, ili nema parova paralelnih stranica, ili ima tačno jedan par

paralelnih stranica ili ima dva para paralelnih stranica, • usvaja podjelu četvorouglova prema međusobnom položaju njegovih naspramnih

stranica, • usvaja pojmove trapezoida, trapeza i paralelograma. 4. Konstrukcija trapezoida Učenik/ca: • usvaja da je za konstrukciju trapezoida potrebno zadati pet njegovih elemenata, • zna konstruisati trapezoid kada su zadate: - njegove stranice i jedan unutrašnji ugao, - njegove stranice i jedna dijagonala, - tri njegove stranice i dva ugla koje obrazuju zadate stranice, - tri njegove stranice i nalegli uglovi jedne od zadatih stranica, - tri njegove stranice, dijagonala i ugao naspram dijagonale, - dvije njegove stranice, dijagonala i uglovi naspram zadate dijagonale, - dvije njegove stranice i tri ugla, - jedna njegova stranica, dijagonale i dva unutrašnja ugla. 5. Paralelogram Učenik/ca: • usvaja sljedeća tvrđenja o svojstvima paralelograma: - ako je četvorougao paralelogram, onda su njegove naspramne stranice jednake, - ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi naspramni uglovi jednaki, - ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi uzastopni uglovi suplementni, - ako je četvorougao paralelogram, onda se njegove dijagonale polove, • usvaja obrnuta tvrđenja: - ako su naspramne stranice četvorougla jednake, onda je taj četvorougao paralelogram, - ako su naspramni uglovi četvorougla jednaki, onda je taj četvorougao paralelogram, - ako su uzastopni uglovi četvorougla suplementni, onda je taj četvorougao paralelogram, - ako se dijagonale četvorougla polove, onda je taj četvorougao paralelogram, • usvaja tvrđenje: - ako su dvije naspramne stranice četvorougla jednake i paralelne onda je taj četvorougao

paralelogram. 6. Vrste paralelograma i njihova svojstva Učenik/ca: • usvaja pojmove pravougaonika, romba i kvadrata, • usvaja da pravougaonici, rombovi i kvadrati imaju sva svojstva paralelograma i neka

svojstva koja nemaju svi paralelogrami, • usvaja tvrđenja: - dijagonale pravougaonika su jednake, - oko pravougaonika se može opisati kružnica čiji je centar tačka u kojoj se sijeku njegove

dijagonale,


• usvaja tvrđenje: - paralelogram čije su dijagonale jednake je pravougaonik, • usvaja tvrđenje: - dijagonale romba su međusobno normalne, - prave određene dijagonalama romba su simetrale uglova čija tjemena spajaju, - u romb se može upisati kružnica čiji je centar tačka u kojoj se sijeku njegove dijagonale, • usvaja tvrđenje: - paralelogram čije su dijagonale međusobno normalne je romb, • zna da je kvadrat istovremeno pravougaonik i romb i usvaja tvrđenja: - dijagonale kvadrata su jednake i međusobno normalne, - oko kvadrata se može opisati kružnica, - u kvadrat se može upisati kružnica, - centar upisane i opisane kružnice je tačka u kojoj se sijeku dijagonale kvadrata. 7. Konstrukcija paralelograma Učenik/ca: • usvaja da je za konstrukciju paralelograma potrebno zadati tri njegova elementa, • zna konstruisati paralelogram ako su zadate: - njegove stranice i ugao obrazovan tim stranicama, - njegove stranice i jedna dijagonala, - njegova stranica, dijagonala i ugao naspram dijagonale, - njegova stranica, dijagonala i ugao koji obrazuju zadata stranica i zadata dijagonala, - njegove dijagonale i jedna stranica, • usvaja da je za konstrukciju pravougaonika i romba potrebno zadati dva njihova

elementa, • zna konstruisati pravougaonik ako su zadati: - njegove stranice, - njegova stranica i dijagonala, - njegova stranica i zbir dijagonala, (koristi tvrđenje da su dijagonale pravougaonika

jednake), - njegova dijagonala i ugao između dijagonala, (koristi tvrđenje da su dijagonale

pravougaonika jednake i da se polove), - njegova stranica, dijagonala i ugao između stranice i dijagonale, - njegova stranica i ugao između dijagonala naspraman zadatoj stranici, • zna konstruisati romb ako su zadati: - njegova stranica i oštar ugao, - njegova stranica i tup ugao, - njegova stranica, duža dijagonala i oštar ugao, • zna konstruisati kvadrat ako je zadata: - njegova stranica, - njegova dijagonala. 8. Trapez • usvaja definiciju trapeza, • zna imenovati osnovice i krakove zadatog trapeza • usvaja definiciju pravouglog trapeza, • usvaja definiciju srednje duži trapeza, • usvaja tvrđenje:


- srednja duž trapeza je paralelna osnovicama tog trapeza i jednaka polovini njihovog zbira,

• usvaja definiciju jednakokrakog trapeza, • usvaja tvrđenja: - uglovi na osnovicama jednakokrakog trapeza su jednaki, - simetrala jedne osnovice jednakokrakog trapeza je ujedno i simetrala njegove druge

osnovice, - simetrale stranica jednakokrakog trapeza sijeku se u jednoj tački, - u jednakokraki trapez se može upisati kružnica čiji je centar tačka u kojoj se sijeku

simetrale njegovih stranica, - dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake, • zna konstruisati kružnicu upisanu u jednakokraki trapez. 9. Konstrukcija trapeza Učenik/ca: • usvaja da je za konstrukciju trapeza potrebno zadati četiri njegova elementa, • zna konstruisati trapez ako su zadate: - njegove osnovice i kraci, - njegove osnovice, krak i dijagonala, • zna konstruisati trapez ako su zadati: - njegova osnovica, krak i uglovi na zadatoj osnovici, - njegova osnovica, krak i ugao koji obrazuju zadata osnovica i zadati krak, - njegova osnovica, kraci i jedan ugao na zadatoj osnovici, - njegova osnovica, obje dijagonale i jedan krak, -njegova osnovica, jedna dijagonala i uglovi na osnovici, • usvaja da je za konstrukciju jednakokrakog i pravouglog trapeza potrebno zadati tri

njihova elementa, • zna konstruisati jednakokraki trapez ako su zadati: -njegova osnovica, krak i ugao na osnovici, - njegova osnovica, krak i dijagonala, - njegova osnovica, krak i ugao koji obrazuju zadata osnovica i zadati krak, • zna konstruisati pravougli trapez ako su zadati: - njegovi kraci i dijagonala, - njegove osnovice, dijagonala i ugao koji obrazuju krak i nepoznata osnovica, - njegova osnovica i kraci. 10 . Deltoid Učenik/ca: • usvaja definiciju deltoida, • zna da se pri označavanju deltoida tjemena navode tako da su prvo i treće tjeme u

oznaci ,ABCD naspramna tjemena i da su te tačke zajednički krajevi jednakih stranica, • usvaja tvrđenja: - dijagonale deltoida ABCD su međusobno normalne i dijagonala AC polovi dijagonalu

,BD - uglovi koje obrazuju nejednake stranice deltoida ABCD su jednaki tj. ∠ B = ∠ A - simetrale stranica deltoida sijeku se u jednoj tački, - u deltoid se može upisati kružnica, - centar kružnice upisane u deltoid je tačka u kojoj se sijeku simetrale njegovih stranica.


11. Konstrukcija deltoida Učenik/ca: • usvaja da je za konstrukciju deltoida potrebno zadati tri njegova elementa, • zna konstruisati deltoid ako su zadate: - njegove stranice i jedna dijagonala, - njegove stranice i ugao koji obrazuju jednake stranice, - njegove nejednake stranice i ugao koji one obrazuju, - njegove nejednake stranice i dijagonala koja sa tim stranicama obrazuje trougao, - njegove nejednake stranice i dijagonala koja sa tim stranicama ne obrazuje trougao, - njegova dijagonala, jedna stranica i ugao koji obrazuju stranice koje nijesu date.

Obim i površina trougla i četvorougla 1. Obim trougla i četvorougla Učenik/ca: • usvaja definiciju obima mnogougla, • usvaja obrasce za izračunavanje obima - nejednakostraničnog, jednakokrakog i jednakostraničnog trougla, - četvorougla, paralelograma, deltoida, jednakokrakog trapeza i romba, • primjenjuje navedene obrasce i na osnovu zadatih veličina izračunava nepoznate veličine elemenata trougla i četvorougla. 2. Površina trougla i četvorougla Učenik/ca: • usvaja definiciju površine mnogougla, • usvaja obrasce za izračunavanje površine: pravougaonika, trougla, paralelograma, trapeza i četvorougla sa normalnim dijagonalama, • primjenjuje navedene obrasce i na osnovu zadatih veličina izračunava nepoznate veličine elemenata trougla i četvorougla.


Nastavni sadržaji Cijeli brojevi 1. Skup cijelih brojeva • Nastava matematike je od prvog razreda osnovne škole tijesno vezana za pojam broja i za

razne skupove brojeva. Učenici su u vezi sa prebrojavanjem elemenata raznih skupova upoznali prirodne brojeve. Pozitivni razlomci se usvajaju poistovjećivanjem tih brojeva sa dijelovima cjeline. Takve neposredne identifikacije sa cijelim negativnim brojevima nema u našem okruženju. Zato se na časovima čiji je cilj usvajanje cijelih negativnih brojeva, mora posvetiti puna pažnja primjerima iz svakodnevnog života u kojima se koriste ti brojevi. Preporučujemo da se obrade primjeri u kojima se razmatra gol razlika u nekim sportovima (fudbal, rukomet, hokej i slično), nadmorska visina tačaka na kopnu, mjerenje temperature vazduha i dug. U svakom od tih primjera, cijeli brojevi se koriste na način koji sugeriše ideju prebrojavanja koja je učenicima bliska.

• Nastavnik podsjeća učenike da se u fudbalu, rukometu, hokeju i nekim drugim sportovima rezultat igre izražava odnosom broja postignutih i broja primljenih golova. Napominje da plasman tima na kraju prvenstva zavisi od broja osvojenih bodova. Od dva tima, na tabeli je bolje plasiran onaj tim koji je osvojio veći broj bodova. Međutim, često je situacija takva da dva ili više timova na kraju prvenstva imaju jednak broj bodova. Redosljed takvih timova na tabeli zavisi od njihove gol razlike, tj. razlike između broja postignutih i broja primljenih golova.

• Sada nastavnik može početi rad na primjeru 1.1 (udžbenik). Taj primjer je dobar povod da se učenici prvi put sretnu sa paralelnim korišćenjem

pozitivnih i negativnih cijelih brojeva. Osnovni cilj koji želimo postići ovim primjerom, svakako je paralelno prebrojavanje koje

se ogleda u tome da se gol razlika tima koji je postigao: nula, jedan, dva, tri, četiri, pet...

golova više nego što je primio označava sa: 0, 1, 2, 3, 4, 5+ + + + + …

a gol razlika tima koji je primio: jedan, dva, tri, četiri, pet...

golova više nego što je postigao, sa: 1, 2, 3, 4, 5− − − − − …

• Učenici posmatraju sliku 1.2 (udžbenik ) i uočavaju da tačke na kopnu mogu biti na nivou mora, iznad ili ispod nivoa mora. Nastavnik uvodi pojam nadmorske visine. Napominje da položaj tačke na kopnu u odnosu na morsku površinu nije u potpunosti određena ako se kaže da je njeno rastojanje od nivoa mora jednako, na primjer, dva metra, jer nije jasno da li se misli na tačku iznad ili ispod nivoa mora. Sada se može uvesti označavanje nadmorskih visina tako što će se naglasiti da nadmorsku visinu tačke na kopnu čije je rastojanje od nivoa mora jednako

1 metar, 2metra, 3 metra, 4 metra, 5 metara... označavamo sa:

1 , 2 , 3 , 4 , 5m m m m m+ + + + + … ili sa:

1 , 2 , 3 , 4 , 5m m m m m− − − − − … u zavisnosti od toga da li se ta tačka nalazi iznad ili ispod nivoa mora. Pored toga treba

napomenuti da je nadmorska visina tačaka na kopnu koje se nalaze na nivou mora jednaka nuli.


• Učenici posmatraju sliku 1.3 (udžbenik), uz nastavnikov komentar da je stub termometra izdijeljen na jednake razmake, od kojih svaki odgovara promjeni temperature za jedan Celzijusov stepen. Nastavnik napominje da je sa 0 Co označena tačka na stubu termometra, koja odgovara temperaturi na kojoj voda počinje da mrzne i naglašava da se temperatura koja je za:

jedan, dva, tri, četiri, pet... stepeni iznad, odnosno ispod nule označava sa:

1 ,C+ o 2 ,C+ o 3 ,C+ o 4 ,C+ o 5 C+ o ... odnosno sa:

1 ,C− o 2 ,C− o 3 ,C− o 4 ,C− o 5 ,C− o ... Model termometra je iz više razloga veoma koristan za usvajanje pojmova pozitivnih i

negativnih cijelih brojeva. Učenici ga lako prihvataju jer, omogućava lak prelaz na brojnu pravu i na njemu se na sugestivan način mogu motivisati, kako upoređivanje cijelih brojeva po veličini tako i računske operacije s tim brojevima. U zbirci su modelu termometra posvećeni zadaci 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13 i 1.14. Riječ je o lakim zadacima koji se rješavaju crtanjem ili pažljivim gledanjem slike. Učenici koji urade ove zadatke potpuno su spremni da prihvate brojnu pravu kao geometrijski model skupa cijelih brojeva.

• Nastavnik informiše učenike da korisnik bančinih usluga može pod određenim uslovima držati svoj novac u banci ili pozajmiti novac od banke i naglašava da stanje na njegovom žiro računu može biti:

0 €, +1 €, +2 €, +3 €, +4 €, +5 €… ili

+1 €, +2 €, +3 €, +4 €, +5 €… u zavisnosti od iznosa koji drži u banci, odnosno od iznosa koji je pozajmio od banke. • Poslije ovih primjera treba definisati negativne cijele brojeve i skup cijelih brojeva. 2. Prikazivanje cijelih brojeva na brojnoj pravoj • Kao što je rečeno, primjeri obrađeni u prethodnoj nastavnoj temi i ranije stečena znanja o

brojnoj pravoj skupa prirodnih brojeva, omogućavaju da učenici lako usvoje brojnu pravu skupa cijelih brojeva, kao geometrijski model tog skupa. Usvajanje takvog modela skupa cijelih brojeva je važno, jer omogućava da se definicije suprotnih brojeva, apsolutne vrijednosti cijelog broja, uređenosti skupa cijelih brojeva, operacija sabiranja i oduzimanja, uvedu na način koji se može ilustrovati slikom.

Kada to kažemo imamo u vidu da učenik suprotne brojeve identifikuje sa cjelobrojnim tačkama simetričnim u odnosu na tačku ,O . Apsolutna vrijednost cijelog broja a je dužina duži

( ),OM a cijeli broj a je manji od cijelog broja b ako je tačka ( )M a na brojnoj pravoj lijevo od tačke ( )M b , sabiranje i oduzimanje se definišu kao pomjeranja na brojnoj pravoj od jedne ka drugoj tački u pozitivnom ili negativnom smjeru.

• Učenik treba da usvoji dva načina skiciranja brojne prave. Prvi način prikazan na slici 2.3 (udžbenik) ističe da su cjelobrojna tačka i njena koordinata dva različita matematička objekta, dok kod drugog načina prikazanog na slici 2.4 (udžbenik), dolazi do poistovjećivanja tačke i njene koordinate. Jasno da su oba načina prikazivanja brojne prave važna za dalje matematičko obrazovanje učenika.

• Ovoj temi je u zbirci posvećeno 13 zadatka. I ovdje je riječ o lakim zadacima koji se uglavnom rješavaju crtanjem brojne prave i određivanjem cjelobrojnih tačaka sa određenim svojstvima. Cilj ovih zadataka je stvaranje navike kod učenika da o cijelim brojevima razmišljaju geometrijski. Mišljenja smo da se pažljivim izborom zadataka koji se mogu obraditi u razumnom vremenu, taj cilj može postići.


3. Suprotni brojevi. Apsolutna vrijednost cijelog broja • Prvi cilj. Usvajanje pojma suprotnih brojeva • Nastavnik podsjeća da se za tačke i A B kaže da su simetrične u odnosu na tačku ,O ako

je tačka O središte duži .AB • Učenici posmatraju sliku 3.1 (udžbenik) i izvode zaključak da su svake dvije tačke koje

obrazuju jedan od parova ( ( 1), (1)), ( ( 2), (2)), ( ( 3), (3))M M M M M M− − − …

simetrične u odnosu na tačku .O • Na osnovu prethodnog primjera učenici izvode opšti zaključak da su za svaki prirodni

broj ,n tačke ( )M n− i ( )M n simetrične u odnosu na tačku .O • Nastavnik definiše suprotne brojeve. • Na osnovu definicije i slike 3.1 učenici uz pomoć nastavnika izvode zaključak da su bilo

koja dva cijela broja koji obrazuju jedan od parova ( 1,1), ( 2, 2), ( 3,3)− − − …

jedan drugom suprotni i da osim navedenih parova nema drugih parova čiji su elementi međusobno suprotni cijeli brojevi.

• Na osnovu prethodnog tvrđenja učenici određuju suprotne brojeve zadatih cijelih brojeva.

• Učenici rješavaju jednačine ( za sada ne treba pominjati jednačine) 2a− = i 2a− = − kao zadatke u kojima treba odrediti brojeve kojima su zadati suprotni brojevi.

Odrediti cijeli broj a tako da važi a− = 2.− Nastavnik: Kako označavamo broj suprotan broju .a Učenici: .a− Nastavnik: Prema tome, umjesto 2,a− = − možemo pisati (broj suprotan broju ) 2.a = − Čemu je jednak broj ?a Učenici: 2.a = Nastavnik: Napišimo postupak rješavanja prethodnog zadatka.

2,a− = − (broj suprotan broju ) 2,a = −

2.a = Odrediti cijeli broj a tako da važi a− = 2. Rješenje: a− = 2. (broj suprotan broju ) 2,a = 2.a = − • Drugi cilj. Usvajanje pojma apsolutne vrijednosti • Obnavlja se dio gradiva o brojnoj pravoj tako što učenici rješavaju zadatke u kojima

treba izračunati dužine duži ( 3), (4), ( 5), ( 2)OM OM OM OM− − − … • Učenici ponekad prave grešku i na pitanje koliko iznosi dužina duži ( 3),OM −

odgovaraju da je dužina te duži jednaka 3.− Zbog toga često treba naglašavati da je dužina duži pozitivan broj.

• Nastavnik definiše apsolutnu vrijednost cijelog broja i zapisuje a = dužina duži ( ).OM a


• Učenici, koristeći brojnu pravu računaju apsolutne vrijednosti zadatih cijelih brojeva. • Treći cilj: Usvajanje svojstava apsolutne vrijednosti. • Nastavnik podsjeća da je dužina duži pozitivan broj i naglašava da apsolutna vrijednost,

kao broj jednak dužini duži, ima ova svojstva. Apsolutna vrijednost cijelog broja je pozitivan broj ili nula. Broj 0 je jedini cijeli broj čija je apsolutna vrijednost jednaka nuli. •Četvrti cilj. Utvrditi pravilo izračunavanja apsolutnih vrijednosti cijelih brojeva, bez

korišćenja brojne prave. • Nastavnik želi dokazati jednakost .n n n= − = U vezi sa tim učenici dobijaju nastavni

listić: n = dužina duži ( ) OM n = jediničnih duži,

n− = dužina duži ( )OM n− = jediničnih duži.

Učenici u prazna polja upisuju broj .n Nastavnik: S obzirom da su desne strane dobijenih jednakosti jednake moraju biti jednake

i njihove lijeve strane. Zato je .n n n= − = Drugim riječima: Suprotni cijeli brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti tj. za svaki cijeli pozitivan

broj n važi n n n= − = .

• Na osnovu prethodnog tvrđenja, učenici računaju apsolutne vrijednosti zadatih cijelih brojeva, ne koristeći brojnu pravu.

• Učenici rješavaju zadatke u kojima treba odrediti cijele brojeve koji zadovoljavaju uslove 1,a = 2,a = …

• Na osnovu gornjih primjera učenici usvajaju opšti zaključak: Ako je n cijeli pozitivan broj, tada postoje tačno dva cijela broja čija je apsolutna

vrijednost jednaka n . To su brojevi i .n n− 4. Uređenost skupa cijelih brojeva • Prvi cilj. Usvajanje relacije < na skupu cijelih brojeva. • Uvodna razmatranja treba početi pitanjem, koji od dva cijela broja 8 i 2− − proglasiti

većim. Sprovedite anketu i vidjećete da većina učenika, poučena iskustvom stečenim na prirodnim brojevima, očekuje da je 8 2.− > −

• Zato preporučujemo da pažljivo, uz učešće učenika, obradite primjere 4.1 i 4.2 iz udžbenika, a da zatim definišete uređenost na skupu cijelih brojeva.

• Učenici rješavaju zadatke iz primjera 1.3 (udžbenik). Drugi cilj. Utvrditi pravilo upoređivanja cijelih brojeva bez korišćenja brojne prave. • Učenici dobijaju nastavni listić.


1. zadatak Pitanje: Zašto je svaki negativni cijeli broj manji od nule? Odgovor: Zato što su tačke sa negativnim koordinatama na brojnoj pravoj ____________

od tačke .O 2. zadatak Pitanje: Zašto je svaki pozitivni broj veći od nule? Odgovor: Zato što je tačka O na brojnoj pravoj ____________ od tačaka čije su

koordinate pozitivni cijeli brojevi. 3. zadatak Pitanje: Zašto je svaki negativni cijeli broj manji od svakog pozitivnog cijelog broja? Odgovor: Zadatak učenika je da u zadacima 1 i 2 upišu riječ «lijevo» koja nedostaje. Prvi zadatak učenici rade uz pomoć nastavnika koji ih upućuje na definiciju uređenosti na

skupu cijelih brojeva. Drugi i treći zadatak učenici rade sami. • Nastavnik zapisuje na tabli: Svaki negativan cio broj je manji od nule. Svaki pozitivan cio broj je veći od nule. Svaki negativan cio broj je manji od svakog pozitivnog cijelog broja. • Učenici rade zadatke 4.3, 4.5, 4.6, 4.7 iz zbirke, (ne koristeći brojnu pravu). • Učenici zajedno sa nastavnikom analiziraju sliku 4.2 (zbirka) i izvode zaključak: Od dva negativna cijela broja, manji je onaj čija je apsolutna vrijednost veća. • Učenici rade zadatke 4.9-4.13, (ne koristeći brojnu pravu). • Četvrti cilj. Usvajanje svojstava relacije < na skupu cijelih brojeva. • Nastavnik crta tri slike na kojima su dati mogući položaji dvije tačaka na brojnoj pravoj: - tačka ( )M a je lijevo od tačke ( ),M b - tačka ( )M a se poklapa sa tačkom ( ),M b - tačka ( )M b je lijevo od tačke ( ).M a

• Učenici uz pomoć nastavnika izvode zaključak: Za bilo koja dva cijela broja i a b važi

a b< ili a b= ili .b a< • Na ovom mjestu treba obraditi zapise a b≤ i .a b≥ • Na sličan način, ali bez mnogo detalja o svim mogućim položajima tačaka na brojnoj

pravoj treba obraditi tvrđenja: -Ako je i a b b c≤ ≤ tada je .a c≤ -Ako je i a b b a≤ ≤ tada je .a b= • Po ugledu na primjer 4.5 (udžbenik) učenici rade zadatak 4.19 (zbirka). • Zadaci 4.14—4.17 (zbirka) mogu biti riješeni na času, u formi kratkih usmenih pitanja.


5. Sabiranje i oduzimanje u skupu cijelih brojeva • Osnovni cilj ove nastavne teme jeste da učenici savladaju sabiranje i oduzimanje cijelih

brojeva do automatizma. Nastavna praksa pokazuje da su najveće prepreke ostvarenju ovog cilja, svakako definicije sabiranja i oduzimanja date u većini udžbenika za osnovnu školu u kojima se obrađuju ove operacije u skupu cijelih brojeva. Učenik je morao da na nivou vještine usvoji sljedeća pravila:

- Znak zbira je isti kao znak sabirka koji ima veću apsolutnu vrijednost. - Ako su sabirci istog znaka, apsolutna vrijednost zbira je zbir apsolutnih vrijednosti

sabiraka. - Ako su sabirci raznih znakova, apsolutna vrijednost zbira je razlika veće i manje

apsolutne vrijednosti sabiraka. - Od broja a oduzeti broj b znači broj a sabrati sa suprotnim brojem :b−

( ).a b a b− = + − Ove rečenice djeluju odbojno i teško ih je zapamtiti. Čini nam se da učenici nauče sabirati i

oduzimati cijele brojeve tek onda kada shvate da umjesto navedenih pravila treba upamtiti njihove zapise, na primjer:

4 6 (6 4) 2, 4 2 (4 2) 6,− = − − = − − − = − + = − itd. • U udžbeniku se ne navode gornja pravila. U kratkim crtama izložićemo osnovnu ideju

kojom smo se rukovodili pri pisanju ove teme. Svaki zbir i svaka razlika cijelih brojeva se može zapisati na jedan od ovih načina

, , ( ), ( ),a n a n a n a n+ − + − − − gdje je a cijeli broj i n pozitivni cijeli broj (prirodni broj). S obzirom da je

( ) i ( ) ,a n a n a n a n+ − = − − − = + slijedi da se računanje zbira i razlike u skupu cijelih brojeva svodi na računanje zbira a n+

i razlike ,a n− gdje je, da ponovimo, a cijeli broj i n pozitivni cijeli broj. Kako za cijeli broj a postoji cijeli pozitivni broj m takav da je a m= ili ,a m= −

zaključujemo da se računanje zbira i razlika u skupu cijelih brojeva svodi na računanje ovih zbirova i razlika

, , ( ) , ( ) .m n m n m n m n+ − − + − − Učenici su u ranijim razredima naučili sabiranje i oduzimanje prirodnih brojeva, tako da

znaju izračunati zbir m n+ i razliku ,m n− u slučaju kada je .m n≥ Ta pravila treba obnoviti. Prema tome, da bi učenik u potpunosti usvojio sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva, na

način na koji je usvojio tablicu množenja, on prije svega treba dobro da nauči pravila računanja - razlike ,m n− u slučaju kada je ,m n< - zbira ( )m n− + i - razlike ( ) .m n− − • Prvi korak ka realizaciji tog cilja svakako je definicija zbira a n+ i razlike .a n− • Učenici imaju iskustvo sa prikazivanjem sabiranja i oduzimanja prirodnih brojeva na

brojnoj pravoj. Zato će sasvim lako prihvatiti da se zbir i razlika a n a n+ − definišu kao brojevi jednaki koordinatama tačaka dobijenim pomjeranjem od tačke ( )M a za n jediničnih duži u pozitivnom, odnosno negativnom smjeru. Preporučujemo da se urade zadaci 5.1 5.5− iz zbirke. Da se ne bi gubilo vrijeme na času, učenici treba da dobiju nastavne listiće na kojima su nacrtane brojne prave .

• Na osnovu konkretnih primjera urađenih na brojnoj pravoj učenici dolaze do zaključka da je u slučaju ,m n< razlika m n− negativni cijeli broj suprotan broju :n m−

( ).m n n m− = − −


Koristeći ovo pravilo treba uraditi zadatke 5.7, 5.8 i 5.9 iz zbirke. U zadatku 5.8 razmatra se slučaj ,m n< a u zadatku 5.9 oba slučaja, m n≥ i .m n<

• Prelazimo na zbir ( ) .m n− + Ovo je trenutak da učenici usvoje prvo pravilo izostavljanja zagrada i da zbir ( )m n− + zapisuju u obliku .m n− + Analizirajući uz pomoć nastavnika slike 5.12-5.14 (udžbenik) učenici izvode zaključak da je

.m n n m− + = − Učenicima treba skrenuti pažnju da se razlika na desnoj strani znaka jednakosti može

izračunati koristeći pravila utvrđena u prethodnim tačkama. Postupak ( ),m n m n− + = − − u slučaju m n> ne treba nametati. Čini nam se da je za

početnika prihvatljiviji postupak ( )m n n m m n− + = − = − −

u kojem se koristi pravilo ( )n m m n− = − − razmatrano u prethodnoj tački. U vezi sa pravilom m n n m− + = − treba uraditi zadatke 5.10 i 5.11 iz zbirke. • Sada razmotrimo razliku ( ) .m n− − Primjenom prvog pravila izostavljanja zagrada, učenik ovu razliku zapisuje u obliku .m n− − Na osnovu konkretnih primjera urađenih na

brojnoj pravoj učenik usvaja da je razlika m n− − negativni cijeli broj suprotan broju m n+ tj.: ( ).m n m n− − = − +

Treba uraditi zadatke 5.12 i 5.13 iz zbirke. • Na kraju treba usvojiti pravila računanja zbira ( )a n+ − i razlike ( ) :a n− −

( ) i ( ) .a n a n a n a n+ − = − − − = + Predlažemo da ova pravila motivišete primjerima 5.10, 5.11 i 5.14 iz udžbenika. Učenike treba privikavati da o ovim pravilima govore kao o pravilima izostavljanja

zagrada. Treba uraditi zadatke 5.14 i 5.15 iz zbirke. Zadaci su formulisani tako da su pogodni za formiranje nastavnih listića. • Prethodni zadaci su posvećeni svakom od navedenih pravila pojedinačno. Treba uraditi

jednu seriju zadataka u kojima će biti zastupljena sva pravila i zadataka u kojima na prvi pogled nije jasno koje pravilo treba primijeniti.

Zadatke 5.16-5.18 je teško prilagoditi za rad na času. Njihov cilj je usavršavanje vještine računanja. Ove zadatke učenici treba da rade kući. Napravljeni su slično ukrštenim riječima i vjerujemo da će učenicima biti zanimljivi.

Zadaci 5.19-5.24 u sebi kriju jednačine x a b+ = i ,a x b− = koje će biti razmatrane kasnije. Naravno, jednačine ne treba pominjati. Riječ je o zanimljivim zadacima u kojima se zahtijeva da se po određenim pravilima popuni zadata tabela ili da se odredi broj koji nedostaje u zadatom nizu i slično.

• Na kraju ove teme treba obraditi svojstva sabiranja u skupu cijelih brojeva. Nastavnik formira dvije grupe učenika. Jedna grupa izračunava vrijednosti izraza

a b+ i ( ) ,a b c+ + a druga vrijednosti izraza b a+ i ( ),a b c+ + za zadate cijele brojeve , i .a b c Upoređujući rezultat učenici sami dolaze do zaključka da je

a b b a+ = + i ( ) ( ).a b c a b c+ + = + + Mogu se koristiti tabele iz udžbenika i zbirke. Na sličan način, učenici treba sami da dođu do zaključaka o ostalim svojstvima sabiranja u

skupu cijelih brojeva. Svojstvo asocijativnosti na ovom nivou treba izložiti kao svojstvo koje omogućava da se

zbirovi cijelih brojeva zapisuju bez zagrada. • Mišljenja smo da će zadaci o magičnim kvadratima ( Zbirka, zadaci 5.31, 5.32 i 5.33),

učenicima biti interesantni. Pogodni su za rad po grupama. Za zadatak 5.33 možete napraviti nastavni listić ovakve sadržine:


Dati su brojevi x = i 1 .a = Izračunaj brojeve

2 1a a x= + =

3 2a a x= + =

4 3a a x= + =

5 4a a x= + =

6 5a a x= + =

7 6a a x= + =

8 7a a x= + =

9 8a a x= + = i formiraj kvadrat

8a 1a 6a

3a 5a 7a

4a 9a 2a Provjeri da li je dobijen magični kvadrat tj. da li su zbirovi brojeva u svakoj vrsti,

svakoj koloni i svakoj dijagonali jednaki. 6. Brojni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem cijelih brojeva • Prvi cilj. Usvajanje pojma brojnog izraza. • Da bi ste privukli pažnju učenika na usvajanje pojmova brojnih izraza i izraza sa

promjenljivim treba postaviti nekoliko jednostavnih i zanimljivih zadataka. Na primjer: 1. Broj 100 zapisati koristeći četiri puta cifru 9 i znakove računskih operacija. 2. Broj 89 zapisati koristeći pet puta cifru 9 i znakove računskih operacija. S obzirom da cilj nijesu sami zadaci već njihov zapis, prvi i drugi zadatak rješava

nastavnik i na tabli zapisuje rješenja 99+9:9=99+1=100 99-(9:9+9)=99-(1+9)=99-10=89.

Nastavnik naglašava da su pri rješavanju zadataka 1 i 2 korišćeni zapisi 99+9:9 i 99-(9:9+9) koji se zovu brojni izrazi.

• Nastavnik definiše brojni izraz i naglašava ulogu zagrada u njima i precizira što znači izračunati vrijednost brojnog izraza. Napominje da će za sada biti razmatrani samo izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem u skupu cijelih brojeva.

• Drugi cilj. Izračunavanje vrijednosti brojnih izraza bez zagrada. • Učenici dobijaju nastavne listiće i po grupama rješavaju zadatak 6.1 (zbirka ) u kojima

treba izračunati vrijednost brojnog izraza bez zagrada. • Treći cilj. Izračunavanje vrijednosti brojnih izraza sa zagradama u kojima je zapisan

jedan broj. • Nastavnik uspostavlja dijalog sa učenicima čiji rezultat treba da bude obnavljanje pravila

izostavljanja zagrada:


( ) , zagrada na početku izraza se izostavlja,( ) , ako ispred zagrade stoji znak , onda se zagrada i znak izostavljaju,( ) , ako ispred zagrade stoji znak , onda se zagrada i t

m n m nm n m nm n m n

− + = − ++ − = − + +− − = + − aj znak

izostavljaju, a broju u zagradi se mijenja znak.

• Učenici dobijaju nastavne listiće i po grupama rješavaju zadatak 6.2 (zbirka ) Učenicima treba skrenuti pažnju da je riječ o brojnim izrazima sa zagradama u kojima je upisan jedan broj i da se vrijednosti takvih izraza izračunavaju primjenom pravila izostavljanja zagrada.

•Četvrti cilj. Izračunavanje vrijednosti brojnih izraza sa zagradama u kojima je zapisan brojni izraz. Rad sa zagradama.

• Učenici na osnovu konkretnih brojnih izraza usvajaju da zagrade mogu biti unutrašnje i spoljašnje. Mišljenja smo da pri izračunavanju brojnih vrijednosti takvih izraza ne treba primjenjivati pravila izostavljanja zagrada, iako ih o takvoj mogućnosti treba obavijestiti kada za to dođe vrijeme. Dakle, učenicima treba reći da se vrijednosti brojnih izraza čije su sve zagrade spoljašnje, izračunava tako što se prvo računaju vrijednosti izraza u zagradama. Na taj način se dobija izraz sa zagradama u kojima je upisan jedan broj. Učenici su već naučili kako se računa vrijednost takvog izraza.

• Učenici dobijaju nastavne listiće i po grupama rješavaju zadatak 6.3 (zbirka). • Sada treba obraditi brojne izraze koji imaju unutrašnjih zagrada. Nastavnik saopštava da

se vrijednosti takvih izraza računaju tako što se prvo računaju vrijednosti izraza u onim zagradama koje nemaju svojih unutrašnjih zagrada i na konkretnom primjeru objašnjava sve faze u procesu rješavanja zadatka. Učenicima treba davati jednostavne zadatke.

• Učenici dobijaju nastavne listiće i po grupama rješavaju zadatak 6.4 (zbirka). Ako nastavnik procijeni da su ovi zadaci teški može napraviti lakše zadatke.

• Koristeći ranije usvojena znanja o svojstvu asocijativnosti sabiranja i zapise ( ) i ( ) ,a b c a b c a b c a b c+ + = + + + + = + +

učenici usvajaju da se prvo i drugo pravilo izostavljanja zagrada može primijeniti i u slučaju kada je u zagradi upisan brojni izraz.

• Treba usvojiti i treće pravilo izostavljanja zagrada u slučaju kada je u zagradi upisan brojni izraz. Prije usvajanja samog pravila može se uraditi jedan ovakav primjer.

Marko je imao 8 eura i za 6 eura je kupio knjigu. Otac, obradovan što je Marko kupio knjigu, dao mu je 4 eura. Koliko sada eura ima Marko?

Jasno, Marko sada ima 8-6+4=6 eura. Ovaj zadatak možemo riješiti i na drugi način. Naime, možemo zamisliti da je Marko

potrošio 6-4 eura, jer je stvarno potrošio 6 eura, pri čemu mu je četiri eura od ukupnog troška nadoknadio otac. Dakle, s obzirom da je Marko potrošio 6-4 eura, on sada ima 8-(6-4)=8-2=6 eura.

Na taj način je

8-(6-4)=8-6+4.

• Nastavnik na osnovu ovog primjera uvodi treće pravilo izostavljanja zagrada. • U vezi sa izračunavanjem vrijednosti brojnih izraza na dva načina, treba obraditi

primjere 6.8 i 6.9 iz udžbenika. • Svakako da treba obraditi nekoliko zadataka iz grupe 6.9-6.16. Riječ je o jednostavnim

zadacima čije rješenje podrazumijeva zapisivanje brojnog izraza i izračunavanje njegove vrijednosti.


• Peti cilj: Usvajanje pojma brojnog izraza sa promjenljivim. • Na kraju ove nastavne teme treba obraditi izraze sa promjenljivim. Kao uvod može

poslužiti sljedeći zadatak dobijen na nastavnom listiću. Zamisli bilo koji prirodni broj od 2 do 9. Pomnoži taj broj sa 2 i tom proizvodu

dodaj 4, a zatim dobijeni zbir podijeli sa 2. Koji broj je dobijen? Učenici će lako izračunati taj broj. Nastavnik se obraća učenicima i kaže da će zamišljeni broj označiti sa ? i skreće pažnju

učenika na operacije koje je trebalo sprovesti da bi se riješio ovaj zadatak. - Zamišljeni broj treba pomnožiti sa 2:

2 ?.⋅ - Proizvodu 2 ?⋅ treba dodati broj 4:

2 ? 4.⋅ + - Dobijeni zbir 2 ? 4⋅ + treba podijeliti sa 2:

(2 ? 4) : 2.⋅ + • Nastavnik pita učenika K koji je broj zamislio i na tabli zapisuje njegov odgovor, na

primjer ? 7.= Sada se u zapisu (2 ? 4) : 2,⋅ + umjesto znaka ? upisuje broj 7 i i konstatuje da je učenik K dobio rezultat

(2 7 4) : 2 (14 4) : 2 18 : 2 9⋅ + = + = = Da bi osjetili mogućnosti zapisa (2 ? 4) : 2,⋅ + nastavnik od svakog učenika zahtijeva da

umjesto znak ? zapiše broj koji je zamislio i izračuna vrijednost dobijenog brojnog izraza. • Nastavnik konstatuje da je pri rješavanju prethodnog zadatka korišćen zapis (2 ? 4) : 2⋅ +

i naglašava da je u matematici uobičajeno da se umjesto znaka ? piše neko slovo, na primjer , , . , ,a b c x y z i slično. Tako se umjesto (2 ? 4) : 2⋅ + piše (2 4) : 2,a⋅ + (2 4) : 2x⋅ + itd. S obzirom

da još nijesu učili množenje i dijeljenje u skupu cijelih brojeva, učenicima treba reći da smo prethodna razmatranja sproveli u skupu prirodnih brojeva.

• Sada nastavnik može definisati izraze sa promjenljivim i objasniti kako se od takvih izraza prave brojni izrazi.

• Primjenu pravila izostavljanja zagrada u kojima je upisan izraz, treba uvježbavati na izrazima sa promjenljivim.

• Izrazima sa promjenljivim u zbirci su posvećeni zadaci 6.6, 6.7 i 6.8 Osnovni smisao ovih zadataka jeste rad sa zagradama i izračunavanje vrijednosti izraza za zadate vrijednosti promjenljivih. Riječ je o tehnikama sa kojima će se učenici često srijetati u svom matematičkom obrazovanju.

7. Jednačine u vezi sa sabiranjem u skupu cijelih brojeva • Najprije jedna opšta napomena u vezi sa ovom temom i u vezi sa istom temom u skupu

racionalnih brojeva. Predmetnim programom za VII razred predviđena je obrada sljedećih jednačina

, i :x a b ax b x a b+ = = = u skupu cijelih i u skupu racionalnih brojeva. U predmetnom programu za VIII razred za temu Linearne jednačine i nejednačine

predviđeno je orijentaciono 22 časa. Dilema, kako obraditi ovu temu, riješena je tako što je akcenat stavljen na tehniku

rješavanja navedenih jednačina. Tačnije, cilj nam je bio da na ovim jednostavnim jednačinama učenici usvoje pojmove ekvivalentnih jednačina (ne pominjući taj pojam) i postupke koji se koriste pri rješavanju, kako ovih tako i drugih tipova jednačina. Imamo u vidu dodavanje istog broja izrazima sa lijeve i desne strane znaka jednakosti, množenje tih izraza istim cijelim brojem različitim od nule i prebacivanje poznatog ili nepoznatog broja sa jedne na drugu stranu znaka


jednakosti, uz promjenu znaka tog broja. Naravno, tada primjeni linearnih jednačina treba posvetiti punu pažnju u VIII razredu. Treba istaći da ćemo jednačine , i :x a b ax b x a b+ = = = koristiti pri obradi obima i površine trougla i četvorougla.

Što se tiče jednačine a x b− = bila je dilema da li primijeniti postupak izložen u udžbeniku, ili ovaj postupak:

,

( ).

a x bx b ax a b

− =− = −

= − −

Prevagnulo je iskustvo iz nastavne prakse koje pokazuje da se učenici teško snalaze kada se nepoznata nalazi na desnoj strani znaka jednakosti. Ovo je najlakši način da se učenici priviknu i na tu situaciju. Postupak rješavanja jednačine x a− = učenici su usvajili, shvatajući ovu jednačinu kao zadatak u kome treba odrediti broj čiji je suprotni broj zadati broj .a

• U uvodu ukratko treba obraditi tačne i netačne brojne jednakosti i učenicima omogućiti da na nastavnim listićima sami utvrde da li su zadate brojne jednakosti tačne ili netačne.

• Nastavnik na tabli zapisuje pitanje. Što je jednačina i što su njena rješenja? Prije definicije jednačine obavezno treba uraditi jedan primjer sličan primjeru datom u

udžbeniku. • Mišljenja smo da u vezi sa pojmom skupa rješenja jednačine treba obraditi primjere 7.1,

7.2, 7.3 i 7.4 iz udžbenika. Učenici te primjere treba da riješe samostalno ili kroz rad u grupama. • Primjer sa vagom je nezaobilazan. Učenicima treba omogućiti da na nastavnim listićima

riješe dva- tri takva primjera. • Sada se može formulisati tvrđenje o dodavanju istog cijelog broja izrazima sa lijeve i

desne strane znaka jednakosti. Ovo i slična tvrđenja ne treba zapisivati na tabli niti ih diktirati. Učenici ih uz pomoć nastavnika ukratko ponavljaju pri rješavanju zadataka u kojima se primjenjuju ta tvrđenja.

• Oslanjajući se na vizuelni utisak koji ostavljaju jednačina x a b+ = i njeno rješenje ,x b a= − učenici usvajaju tvrđenje o prebacivanju poznatog ili nepoznatog broja sa jedne na

drugu stranu znaka jednakosti uz promjenu znaka tog broja. Pri rješavanju konkretnih jednačina tipa x a b+ = i a x b− = treba primjenjivati gornje tvrđenje, ponavljajući njegov sadržaj u svakoj prilici koja to omogućava.

• Nekoliko riječi o zadacima u Zbirci. U zadacima 7.1, 7.2, 7.9 i 7.10 treba riješiti jednačine tipa

,,,,

,

x a ba x bb x aa x b

x a bb a x

+ =+ == +− =

− + == −

i provjeriti rezultat. Dešava se da učenik koji zna riješiti jednačinu ,x a b+ = nije u stanju riješiti jednačinu .a x b+ = Uz ove zadatke ide objašnjenje:

Ako ispred nepoznate x ne stoji znak – onda se na drugu stranu jednačine, uz promjenu znaka, prebacuje poznati broj.

Ako ispred nepoznate x stoji znak – onda se na drugu stranu jednačine, uz promjenu znaka, prebacuje broj .x−


• U zadacima 7.3-7.6 i 7.11-7.14 (zbirka) se od učenika zahtijeva da sastave jednačinu i odrede broj koji zadovoljava određene uslove.

• Jednačine u zadacima 7.8 i 7.17 se primjenom pravila izostavljanja zagrada i sređivanjem svode na jednačine x a b+ = i .a x b− =

• Zadaci 7.7, 7.15 i 7.16 se rješavaju primjenom jednačina. Očekujemo da će ovi zadaci biti interesantni učenicima, na način na koji je nekim ljudima interesantno ispunjavati ukrštene riječi. Pogodni su za rad po grupama.

8. Nejednačine u vezi sa sabiranjem u skupu cijelih brojeva • Ova tema i ista tema u skupu racionalnih brojeva nijesu predviđene predmetnim

programom. Uvrštene su sa ciljem da se ublaži razlika između starog i novog predmetnog programa. Ta razlika ima značaja jer su učenici prešli iz IV u VI razred. Iz istih razloga su u udžbeniku za VI razred obrađene nejednačine u vezi sa sabiranjem u skupu pozitivnih razlomaka.

• Učenici dobijaju nastavne listiće sa primjerima brojnih nejednakosti, za koje treba utvrditi da li su tačne ili netačne. Pored toga, učenici treba sami da navedu nekoliko primjera tačnih i nekoliko primjera netačnih brojnih nejednakosti.

• Prije nego što učenici pristupe izradi zadataka nastavnik na tabli zapisuje jednu tačnu i jednu netačnu brojnu nejednakost. Na primjer:

2 3 100+ > +1 i 121-1>-5-2, a zatim uvodi pojam brojne nejednakosti. Priča treba da teče spontano i bez diktiranja. Na

primjer nastavnik može da kaže da su na tabli napisani brojni izrazi povezani znakom nejednakosti. Takve zapise nazivamo brojnim nejednakostima. Kada dobije odgovore na pitanja:

- Da li je prva brojna nejednakost tačna ili netačna i da li je druga brojna nejednakost tačna ili netačna, zajedno sa učenicima izvodi zaključak da je svaka brojna jednakost ili tačna ili netačna. • Da bi privukao pažnju učenika nastavnik na tabli zapisuje pitanje: Što je nejednačina i što je skup njenih rješenja? S obzirom da se nejednačine x + a○b i a – x○b ( umjesto znaka ○ može da stoji bilo koji

znak nejednakosti) i jednačine x a b+ = i a x b− = rješavaju istim postupcima, treba uraditi jedan primjer koji ističe njihove bitne razlike.

Učenici dobijaju nastavni listić sa zadatkom: I pored toga što je temperatura u Beranama od ponedjeljka do subote porasla za

6 ,Co ona je i dalje bila manja od temperature u Podgorici, koja je u subotu iznosila 2 .C+ o Kolika je temperatura bila u Beranama u subotu?

Na predlog nastavnika učenici rješavaju ovaj zadatak koristeći skicu termometra. Teško je predvidjeti odgovore učenika.

Kakvi god odgovori bili nastavnik, usmjeravajući razgovor sa učenicima, treba da dođe do sljedećih zaključaka:

1. Ne možemo odgovoriti kolika je tačno temperatura u Beranama bila u ponedjeljak. 2. Temperatura u Beranama je u petak mogla biti

5 ,C− o 6 ,C− o 7 C− o ... Nastavnik u vezi sa ovim primjerom formira zapis

? 6 2,+ < a zatim zapis

6 2x + < Sada se mogu definisati nejednačine, precizirati što znači riješiti nejednačinu i obraditi

primjer 8.1 iz udžbenika. Dalje ide primjer sa vagom i priča slična priči o jednačinama.


• Kod jednačina smo govorili kako je važno provjeriti da li je broj koji smo dobili rješavajući jednačinu zaista rješenje te jednačine. Naravno da će učenike interesovati kako provjeriti tačnost rješenja kod nejednačina. Treba istaći da nejednačine nemaju jedno rješenje već skup rješenja, pa je tačnost rješenja nemoguće provjeriti, na način kako je to rađeno kod jednačina.

9. Množenje u skupu cijelih brojeva • U poređenju sa sabiranjem i oduzimanjem, veza između množenja u skupu cijelih

brojeva i množenja u skupu prirodnih brojeva je neposrednija u operativnom smislu. Zato učenici lako usvajaju pravila množenja u skupu cijelih brojeva. Sama pravila treba zasnovati na primjerima iz svakodnevnog života.

• Učenici dobijaju nastavni listić sa zadacima: 1. Temperatura vazduha se povećava dnevno po 2 .Co Ako je danas temperatura 0 ,o

koju temperaturu će termometar pokazati kroz tri dana? 2. Temperatura vazduha opada dnevno po 2 .Co Ako je danas temperatura 0 ,o koju

temperaturu će termometar pokazati kroz tri dana? 3. Temperatura vazduha se povećava dnevno po 2 .Co Ako je danas temperatura 0 ,o

koju temperaturu je termometar pokazivao prije tri dana? 4. Temperatura vazduha opada dnevno po 2 .Co Ako je danas temperatura 0 ,o koju

temperaturu je termometar pokazivao prije tri dana? • Učenici koristeći ili ne koristeći skicu termometra rješavaju prvi zadatak i nalaze rješenje

6 .C+ o Dobijeno rješenje treba zapisati na način prilagođen cilju. Nastavnik naglašava da povećanje temperature za 2 Co označavamo sa 2,+ a opadanje temperature za 2 ,Co sa 2.− Na isti način dio rečenice « kroz tri dana» označavamo sa 3,+ a dio rečenice « prije tri dana», sa

3.− Sada se rješenje prvog zadatka zapisuje u obliku ( 3) ( 2) 6.+ ⋅ + = +

• Učenici rješavaju drugi zadatak, dobijaju rješenje 6 C− o koje uz pomoć nastavnika zapisuju u obliku

( 3) ( 2) 6 (2 3).+ ⋅ − = − = − ⋅ • Učenici rješavaju treći zadatak, dobijaju rješenje 6 C− o i zapisuju ga u obliku

( 3) ( 2) 6 (2 3),− ⋅ + = − = − ⋅ • Učenici rješavaju treći zadatak, dobijaju rješenje 6 C+ o i zapisuju ga u obliku

( 3) ( 2) 6 2 3.− ⋅ − = = ⋅ • Nastavnik izvodi opšta pravila: Neka su i m n pozitivni cijeli brojevi (prirodni brojevi). )i Proizvod m n⋅ se računa kao proizvod u skupu prirodnih brojeva. )ii ( ) ( ).m n m n− = − ⋅ )iii ( ) ( ).m n m n− ⋅ = − ⋅ )iv ( ) ( ) .m n m n− ⋅ − = ⋅

• Pravilo )i se u zbirci razmatra u zadatku 9.1, pravila ) i )ii iii u zadatku 9.2, a pravilo )iv u zadatku 9.4. U zadacima 9.5 i 9.6 pravila ) )i iv− se razmatraju zajedno. Učenik mora sam

prepoznati pravilo koje će primijeniti. Zadatak 9.3 je posvećen zapisivanju zbira u obliku proizvoda. Zadaci 9.7-9.11 su teži od prethodnih. Mogu se rješavati po grupama uz pomoć nastavnika, koji učenicima pomaže da naprave prvi korak tako što zajedno

- rješavaju zadatak )a u 9.7,


- popunjavaju jedno ili dva polja u zadatku 9.8 - rješavaju zadatak )a u 9.9, - popunjavaju prvu vrstu u zadatku 9.10, - upisuju brojeve u krugovima koji pripadaju jednoj od stranica trouglova prikazanih na

slikama 9.4-9.6. • U zadacima 9.12 razmatraju se svojstva množenja u skupu cijelih brojeva

(komutativnost, asocijativnost i distributivnost, zavisnost znaka proizvoda od znakova činilaca i obrnuto, množenje sa 1 i 1,− vrijednost proizvoda ako je jedan od činilaca jednak nuli, znak proizvoda koji sadrži neparan (paran) broj negativnih činilaca i slično).

10. Izvlačenje zajedničkog činioca • Riječ je o tehnici sa kojom će se učenik srijetati na svim nivoima matematičkog

obrazovanja. Postoji samo jedan način da se ona savlada. To je vježbanje. Treba razmotriti ove slučajeve:

• svi sabirci imaju zajednički činilac ( ) ,Ax Bx Cx Dx A B C D x+ + + = + + +

(primjer 10.1 u udžbeniku i zadatak 10.1 u zbirci), • samo neki sabirci imaju zajednički činilac

( ) .Ax Bx Cx Dx E A B C D x E+ + + + = + + + + (primjer 10.2 )ii u udženiku), • zbir sadrži dvije ili više grupa sabiraka sa zajedničkim činiocem, pri čemu sabirci koji

pripadaju različitim grupama imaju različite zajedničke činioce ,

( ) ( ) ( ) .Ax Bx Cy Dy Ez Fz G

A B x C D y E F z G+ + + + + +

= + + + + + +

(primjer 10.2 )i u udžbeniku i zadatak 10.2 u zbirci). Posebno treba obratiti pažnju na slučaj kada uz zajednički činilac stoji broj 1

1 ( 1) .Ax x Ax x A x+ = + = + • Treba uraditi i nekoliko zadataka u kojima se distributivnost primjenjuje dva puta. To su

zadaci u kojima se zahtijeva da učenici pojednostave izraze sa zagradama. U prvom koraku zagrada se oslobađamo primjenom distributivnosti, tako što sa izraza ( )A x y+ prelazimo na izraz .Ax By+ Na taj način se dobija izraz bez zagrada koji treba srediti, a zatim uočiti sabirke ili grupe sabiraka sa zajedničkim činiocem. Prelazeći sa izraza pa qa+ na izraz ( ) ,p q a+ dobijamo novi pojednostavljeni izraz sa zagradama (primjer 10.3 u udžbeniku i zadaci 10.3 i 10.4 u zbirci). Takođe treba obraditi primjere 10.3 i 10.5 iz udžbenika u kojima treba izračunati vrijednost izraza sa promjenljivim, za zadate vrijednosti promjenljivih.

11. Djeljivost u skupu cijelih brojeva • Osnovni cilj ove teme jeste da učenici usvoje dijeljenje u skupu cijelih brojeva kao

operaciju koja ima isti smisao koji ima dijeljenje u skupu prirodnih brojeva. Kao motivacija za takvu definiciju djeljivosti treba da posluže primjeri 11.1 i 11.2 iz udžbenika. Primjer 11.3 ima dvostruku ulogu. S jedne strane ilustruje kako funkcioniše dijeljenje u skupu cijelih brojeva, a s druge strane taj primjer je povod da se izvede opšti zaključak prema kojem za proizvoljne pozitivne cijele brojeve m i n važi

: ( ) ( : ),m n m n− = − ( ) : ( : )m n m n− = − i ( ) : ( ) : .m n m n− − = Ima učenika koji prihvate da dijeljenje sa nulom nema smisla, ali nikada ne shvate zbog

čega. Dijalog između nastavnika i učenika posvećen ovom problemu može teći ovako.


Nastavnik: Zašto je 10 : 2 5?= Učenici: Zato što je 10 2 5.= ⋅ Nastavnik: Ako je : ,a b c= čemu je jednako ?a Učenici: .a c b= ⋅ Nastavnik: Da zapišemo: Ako je :a b c= tada je .a c b= ⋅ Uzmimo da je 5 i 0.a b= = Tada imamo: Ako je 5 : 0 c= tada je 5 0 0,c= ⋅ = što je nemoguće. Dakle ne postoji cio broj koji možemo proglasiti količnikom brojeva 5 i 0. 12. Brojni izrazi sa cijelim brojevima • Novi momenat u odnosu na već obrađene izraze sa sabiranjem i oduzimanjem je

prisustvo operacija množenja i dijeljenja. U udžbeniku je navedeno kako nastavnik može opravdati zahtjev da u izrazima bez zagrada operacije množenja i dijeljenja imaju prednost u odnosu na operacije sabiranja i oduzimanja.

• U primjerima 12.2 i 12.3 (udžbenik) i zadatku 12.1 (zbirka) treba izračunati vrijednosti brojnih izraza bez zagrada.

U primjeru 12.4 (udžbenik) i zadacima 12.2 i 12.3 (zbirka) razmatraju se izrazi u čijim je zagradama upisan jedan broj.

Primjer 12.5 (udžbenik) i zadatak 12.4 (zbirka) posvećeni su izrazima čije su sve zagrade spoljašnje.

Na kraju, u primjeru 12.6 (udžbenik) i zadatku 12.5 (zbirka) treba izračunati vrijednosti brojnih izraza koji imaju unutrašnjih zagrada.

13. Jednačine u vezi sa množenjem i dijeljenjem u skupu cijelih brojeva • Ovdje se razmatraju jednačine ax b= i : .x a b= Do njihovih rješenja se dolazi u jednom

koraku, ako se uzme u obzir da je: )i jedan od činilaca proizvoda jednak količniku proizvoda i drugog činioca, )ii djeljenik jednak proizvodu količnika i djelioca.

• Međutim, cilj ove teme nije obnavljanje svojstava množenja i dijeljenja u skupu cijelih brojeva, već usvajanje opšteg tvrđenja koje, na osnovu tih jednačina, učenici treba da usvoje. Riječ je o tvrđenju prema kojem se skup rješenja jednačine ne mijenja, ako izraze sa lijeve i desne strane znaka jednakosti pomnožimo istim cijelim brojem različitim od nule. Zato pri rješavanju jednačina ax b= i : .x a b= treba insistirati na primjeni postupaka

/ : , : /

: , ,ax b a x a b ax b a x a b

= = ⋅= = ⋅

Još jednom naglasimo da tvrđenja sa dužom formulacijom ne treba pisati na tabli niti diktirati. Međutim, učenici uz pomoć nastavnika treba da izlože sadržaje takvih tvrđenja u svakoj prilici kada ga koriste.

Dakle, kada rješavaju jednačinu ax b= učenici obavezno treba u vidu komentara da kažu kako se skup rješenja jednačine ne mijenja, ako izraze sa lijeve i desne strane znaka jednakosti pomnožimo ili podijelimo istim cijelim brojem različitim od nule.

• Primjeri 13.3, 13.4, 13.7, 13.8 (udžbenik) i zadaci 13.1-13.5 su rutinski. Zadatak 13.5 (zbirka) se rješava primjenom jednačina ,x a b+ = ax b= i : .x a b=


14. Nejednačine u vezi sa množenjem u skupu cijelih brojeva • Učenici dobijaju nastavne listiće sa ovim zadacima: 1. Da li se dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne brojne nejednakosti

2 4 8 6− − > − − brojem 2 dobija tačna ili netačna brojna nejednakost? 2. Da li se množenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne brojne nejednakosti

2 1 3 1+ < + brojem 5 dobija tačna ili netačna brojna nejednakost? Učenici odgovaraju da se u oba zadatka dobija tačna brojna nejednakost. • Slijedi opšti zaključak: Ako izraze sa lijeve i desne strane tačne, odnosno netačne, brojne nejednakosti

pomnožimo ili podijelimo istim cijelim pozitivnim brojem, dobija se tačna, odnosno netačna brojna nejednakost.

Za razliku od nejednačina sa sabiranjem gdje smo tvrđenje o ekvivalentnosti nejednačina prihvatili na osnovu primjera vage, ovdje smo u prilici da na jednom veoma jednostavnom primjeru damo kakav takav dokaz ekvivalentnosti dvije nejednačine. Na nastavniku je da odluči da li taj dokaz treba sprovesti, ili će osnovu gornjih primjera odmah formulisati tvrđenje:

Ako obije strane nejednačine podijelimo ili pomnožimo istim cijelim pozitivnim brojem, dobija se nejednačina čiji je skup rješenja jednak skupu rješenja polazne nejednačine.

• Sada učenici mogu pristupiti rješavanju nejednačina , , i ax b ax b ax b ax b≤ < ≥ >

u slučaju kada je 0.a > Takve su jednačine u primjerima 14.1 i 14.2 (udžbenik) i zadaci 14.1 i 14.2 ), ) i ),a b e 14.4 i 14.5.

• Učenici dobijaju nastavne listiće sa dva zadatka. 1. Da li se dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne brojne nejednakosti

2 4 8 6− − > − − brojem 2− dobija tačna ili netačna brojna nejednakost? 2. Da li se množenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne brojne nejednakosti

2 1 3 1+ < + brojem 5− dobija tačna ili netačna brojna nejednakost? Učenici odgovaraju da se u oba zadatka dobija netačna brojna nejednakost. • Učenici dobijaju još jedan nastavni listić sa dva zadatka. 1. Da li se dijeljenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne brojne nejednakosti

2 4 8 6− − > − − brojem 2− i promjenom smjera znaka nejednakost tj. 2 ( 2 4) 2 ( 8 6).− ⋅ − − < − ⋅ − −

dobija tačna ili netačna brojna nejednakost? 2. Da li se množenjem izraza sa lijeve i desne strane tačne brojne nejednakosti

2 1 3 1+ < + brojem 5− i promjenom smjera znaka nejednakost tj. 5 (2 1) 5 (3 1)− ⋅ + > − ⋅ +

dobija tačna ili netačna brojna nejednakost? Učenici odgovaraju da se u oba zadatka dobija tačna brojna nejednakost. • Slijedi opšti zaključak: Ako izraze sa lijeve i desne strane tačne ili netačne brojne nejednakosti pomnožimo ili

podijelimo istim cijelim negativnim brojem i ako promijenimo smjer znaka nejednakosti, dobija se tačna, odnosno netačna brojna nejednakost.

• Nastavnik naglašava da se primjenom prethodnog tvrđenja na nejednačine dobija tvrđenje:

Ako obije strane nejednačine podijelimo ili pomnožimo istim cijelim negativnim brojem i ako promijenimo smjer znaka nejednakosti, dobija se nejednačina čiji je skup rješenja jednak skupu rješenja polazne jednačine.

• Sada učenici mogu pristupiti rješavanju nejednačina


, , i ax b ax b ax b ax b≤ < ≥ > u slučaju kada je 0.a < Takve su jednačine u primjerima 14.3 i 14.4 (udžbenik) i zadaci

14.1 i 14.2 ), ) i ),c d f 14.3 i 14.6. Racionalni brojevi Nastavne teme: 2. Prikazivanje racionalnih brojeva na brojnoj pravoj; 5. Suprotni brojevi. Apsolutna vrijednost racionalnog broja; 7. Jednačine u vezi sa sabiranjem u skupu racionalnih brojeva; 8. Nejednačine u vezi sa sabiranjem u skupu racionalnih brojeva; 12. Jednačine u vezi sa množenjem i dijeljenjem u skupu racionalnih brojeva; 13. Jednačine u vezi sa množenjem i dijeljenjem u skupu racionalnih brojeva; imaju isti matematički sadržaj kao i istoimene teme u skupu cijelih brojeva. Zato ih ovdje

nećemo posebno komentarisati. 1. Skup racionalnih brojeva • Uzimajući u obzir da su u VI razredu obrađeni pozitivni razlomci, pri pisanju ove teme

bili smo u dilemi, da li negativne razlomke uvesti kao brojeve kojima se izražava: - temperatura vazduha, koju pokazuje termometar kada se živa zaustavi između podioka

označenih sa 0 , 1 , 2 , 3 ,C C C C− − −o o o o … - nadmorska visina tačaka na kopnu koje se nalaze ispod nivoa mora i čije se vertikalno

rastojanje od morske površine ne može izraziti prirodnim brojem, - dio duga i slično. Dva su razloga koji su nas naveli da odustanemo od takvog prilaza. Prvi razlog je činjenica da su učenici ovu ideju već usvojili obrađujući negativne cijele

brojeve i u tom smislu ona ne donosi ništa novo. Drugi razlog je, što prihvatajući negativne razlomke na takav način, morate detaljno

objasniti kako se na brojnoj pravoj dobijaju tačke koje dodjeljujemo racionalnim brojevima, tj. pozitivnim i negativnim razlomcima.

Zato smo se odlučili da, polazeći od ideje dijeljenja duži na jednake dijelove, prvo na brojnoj pravoj dobijemo tačke, a da zatim tim tačkama dodjeljujemo racionalne brojeve.

Najkraće rečeno, istovremeno se obrađuje skup racionalnih brojeva i prikazivanje racionalnih brojeva na brojnoj pravoj.

Dakle, osnovni cilj ove nastavne teme jeste da učenik prihvati broj ,mn

kao broj kojim se

izražava dužina duži ,OT gdje je OT duž dobijena podjelom duži ( ),OM m dužine m jediničnih

duži na n jednakih dijelova. Time broju :m m nn

= dajemo geometrijski sadržaj koji odražava

ideju dijeljenja. Sada je broj mn

lako prihvatiti kao broj kojim se izražava da je m cjelina

podijeljeno na n jednakih dijelova. Negativne razlomke uvodimo kao brojeve dodijeljene

tačkama, simetričnim tačkama ( ),mMn

, ,m n N∈ u odnosu na tačku .O Takvo uvođenje

negativnih razlomaka možemo opravdati time što učenici negativne cijele brojeve geometrijski doživljavaju kao brojeve dodijeljene tačkama, simetričnim tačkama ( ),M m ,m N∈ u odnosu na tačku .O Pri obradi ove teme učenici obavezno moraju dobiti nastavne listiće sa kopijama slika


1.5-1.8 i 1.10-1.13 (udžbenik) na kojima su izbrisani razlomci. Zadatak učenika je da uz pomoć nastavnika dopišu te razlomke.

3. Uređenost skupa racionalnih brojeva Prvi cilj. Usvajanje jednakosti na skupu racionalnih brojeva: • U prvoj fazi obrađivanja ove teme želimo da učenik usvoji relaciju jednakosti na skupu

racionalnih brojeva. Osnovni problem je naravno, kako definisati relaciju =. U udžbenicima se može naći definicija prema kojoj su dva racionalna broja jednaka, ako se jedan od njih može dobiti skraćivanjem ili proširivanjem drugog, kao i definicija prema kojoj su dva racionalna broja jednaka ako im na brojnoj pravoj odgovara ista tačka. Ako prihvatite prvu definiciju morate objasniti njen geometrijski smisao, a ako prihvatite drugu definiciju morate objasniti njen analitički smisao. Ovdje dajemo jedan predlog, kako se polazeći od geometrijske definicije relacije = na skupu racionalnih brojeva, može doći do analitičkog smisla te relacije, na način koji je prihvatljiv za učenike VII razreda.

• Nastavnik pokazujući na prvu sliku naglašava da duž 3e sadrži dvije duži 6.e

• Nastavnik skreće pažnju učenika na drugu sliku i naglašava da se tačka označena sa T

može dobiti pomjeranjem od tačke O za četiri duži 6e u negativnom smjeru, ili pomjeranjem od iste tačke za dvije duži 3e u negativnom smjeru.

• Učenici uz pomoć nastavnika izvode zaključak da se u prvom slučaju tačka T poklapa sa

tačkom 4( ),6

M − a u drugom, sa tačkom 2( ).3

M − Dakle, tačka 2( )3

M − se poklapa sa

tačkom 4( ).6

M −

• Nastavnik definiše jednakost dva racionalna broja i na osnovu gornjih razmatranja

zapisuje jednakost 2 4 .3 6

− = −

Drugi cilj. Utvrditi pravilo utvrđivanja jednakosti dva racionalna broja, ne koristeći brojnu pravu.

• Učenici komentarišu primjer 3.3 iz udžbenika i prihvataju da je ispitivanje jednakosti racionalnih brojeva pomoću brojne prave nepraktično.

• Jednakost 2 4 ,3 6

− = − nastavnik zapisuje u obliku 2 2 2 ,3 3 2

⋅− = −

⋅ uvodi pojam proširivanja

razlomaka i formuliše tvrđenje:

Prošireni razlomak je jednak polaznom razlomku tj. .a a sb b s

⋅=

⋅


• Jednakost 2 4 ,3 6

− = − nastavnik zapisuje u obliku 4 4 : 2 ,6 6 : 2

− = − uvodi pojam skraćivanja

razlomaka i formuliše tvrđenje:

Skraćeni razlomak je jednak polaznom razlomku tj. : .:

a a sb b s

=

• Nastavnik podsjeća na postavljeni cilj i zapisuje tvrđenje: Dva racionalna broja su jednaka samo u slučaju kada se jedan od njih može dobiti

skraćivanjem ili proširivanjem drugog. Treći cilj. Usvajanje pojma nesvodljivog razlomka. • U vezi sa skraćivanjem razlomaka treba uvesti pojam nesvodljivog razlomka i navesti

tvrđenje: Svaki razlomak se skraćivanjem može svesti na nesvodljivi razlomak. • Učenik radi zadatke u kojima zadate racionalne brojeve treba dovesti na oblik

nesvodljivog razlomka. Četvrti cilj: Usvajanje relacije < na skupu racionalnih brojeva. Prvo ide obnavljanje definicije relacije < na skupu cijelih brojeva. Nastavnik: Kada se za cijeli broj a kaže da je manji od cijelog broja ?b Učenici: Kada je tačka ( )M a na brojnoj pravoj lijevo od tačke ( ).M b Nastavnik: Na isti način ćemo upoređivati i racionalne brojeve. • Nastavnik usmjerava pažnju učenika na sliku 3.1 iz udžbenika i uvodi definiciju relacije

< na skupu racionalnih brojeva. • Poučeni iskustvom sa skupom cijelih brojeva učenici lako usvajaju tvrđenja: Svaki negativni racionalni broj je manji od svakog pozitivnog racionalnog broja. Svaki negativni racionalni broj je manji od nule. Nula je manja od svakog pozitivnog racionalnog broja Peti cilj: Utvrditi pravilo upoređivanja dva racionalna broja, ne koristeći brojnu pravu. • S obzirom da smo usvojili geometrijsku definiciju relacije < , moramo utvrditi njen

analitički smisao. • Učenici prihvataju da je upoređivanje racionalnih brojeva pomoću brojne prave

nepraktično. • Na osnovu slike 3.2 iz udžbenika učenici usvajaju tvrđenja: Dva racionalna broja sa jednakim imeniocima su jednaka, samo u slučaju kada su im

i brojioci jednaki. Od dva racionalna broja sa jednakim imeniocima, manji je onaj čiji je brojilac manji. Racionalni broj je jednak nuli jedino u slučaju kada je njegov brojilac jednak nuli. • Postavljeni cilj o utvrđivanju pravila koje omogućava upoređivanje racionalnih brojeva

bez korišćenja brojne prave, djelimično je dostignut. Međutim ostaje problem upoređivanja racionalnih brojeva različitih imenilaca. Nastavnik zapisuje na tabli dva racionalna broja

ab

i cd

, , ,a c Z∈ ,b d N∈

i od učenika traži da prvi razlomak proširi sa ,d a drugi sa .b Učenici na tabli izvode jednakosti

a a db b d

⋅=

⋅ i c c b

d d b⋅

=⋅

i uz pomoć nastavnika konstatuju da su zadati razlomci svedeni na razlomke jednakih imenilaca.

• Nastavnik podsjeća na tvrđenja o upoređivanju racionalnih brojeva jednakih imenilaca zapisanih u standardnom obliku i usmjerava učenike da izvedu zaključke:


Ako je ,ad cb= tada je ab

= .cd

Ako je ,ad cb< tada je ab

< .cd

Ako je ,ad cb> tada je ab

> .cd

čime je postavljeni cilj u potpunosti dostignut. Šesti cilj: Usavršiti tehniku svođenja razlomaka na razlomke sa jednakim imeniocima. • Nastavnik želi ubijediti učenike da gornja tvrđenja imaju određene slabosti u

operativnom smislu. Radi toga daje im zadatak da pet racionalnih brojeva poređaju u niz od najmanjeg ka najvećem broju. Učenici shvataju da je ovaj zadatak teško riješiti primjenom navedenog tvrđenja. Ovim primjerom nastavnik aktuelizuje pitanje svođenja dva ili više razlomaka na razlomke sa jednakim imeniocima.

• Nastavnik obrađuje pitanje svođenja razlomaka na razlomke sa jednakim imeniocima. • Učenici rješavaju ranije postavljeni zadatak i svođenjem na razlomke sa jednakim

imeniocima, pet zadatih racionalnih brojeva ređaju u niz od najmanjeg ka najvećem. 4. Decimalni zapis racionalnih brojeva Prvi cilj. Usvojiti da se svaki razlomak može zapisati, ili kao konačni decimalni broj, ili

kao beskonačni periodični decimalni broj. • Učenici rješavaju dva zadatka.

1. Izračunaj 4 4 : 5 (4 : 5)5

− = − = − =

2. Izračunaj 1 1: 3 (1: 3)3

− = − = − =

• Na tabli se zapisuju rješenja 4 4 : 5 (4 : 5) 0.85

− = − = − = − i 1 1: 3 (1: 3)3

− = − = − = − 0,3333...

• Nastavnik bez računanja zapisuje još nekoliko takvih primjera 569 (569 :1100)

1100−

= − = −–0,5172727272…

23 23 : 7 27

= = 2,285714285714285714…

7 (13:8) 1,6258

− = − = −

29 (29 :125) 0,232125

− = − = −

i napominje da se dijeljenjem brojioca a imeniocem b dobija decimalni zapis racionalnog

broja ,ab

ili zapis razlomka ab

u obliku decimalnog broja.

• Nastavnik skreće pažnju učenika na primjere u kojima je postupak dijeljenja brojioca imeniocem konačan, a zatim na primjere u kojima isti postupak nije konačan.

• Na osnovu navedenih primjera učenici usvajaju da se u slučaju kada postupak dijeljenja brojioca imeniocem nije konačan, u decimalnom broju pojavljuje jedna cifra ili grupa cifara koje se periodično ponavljaju. Time je na neki način pripremljen teren da se decimalni brojevi dobijeni na takav način sa razlogom nazovu beskonačnim periodičnim decimalnim brojevima.

• Kao zaključak gornjih razmatranja formulišite tvrđenje:


Svaki racionalni broj se može zapisati, ili kao konačni decimalni broj, ili kao beskonačni periodični decimalni broj.

Drugi cilj. Odgovoriti na pitanje, kako se bez dijeljenja brojioca imeniocem može utvrditi koji racionalni brojevi se zapisuju u obliku konačnog decimalnog broja, a koji u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja.

• Učenici su u VI razredu naučili postupak dijeljenja dekadnim jedinicama i na tabli se bez dijeljenja mogu zapisati jednakosti:

7 0,7;10

− = − 17 0,17;100

− = −127 0,1271000

− = −

• Prvi korak ka realizaciji navedenog cilja je tvrđenje: U obliku konačnog decimalnog broja zapisuju se racionalni brojevi, koji se

proširivanjem ili skraćivanjem mogu svesti na razlomke čiji je imenilac jedna od dekadnih jedinica

1, 10, 100, 1000, 10000… itd. Ostali racionalni brojevi se zapisuju u obliku beskonačnog periodičnog racionalnog

broja. • Time je postavljeni cilj djelimično riješen. Kažemo djelimično, jer na prvi pogled nije

jasno koji razlomci se proširivanjem ili skraćivanjem mogu svesti na razlomke kojima je imenilac jedna od dekadnih jedinica.

• Nastavnik skreće pažnju učenicima na jednakosti 10 2 5,= ⋅ 100 2 2 5 5,= ⋅ ⋅ ⋅ 10000 2 2 2 5 5 5= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ...

i formuliše tvrđenje: U obliku konačnog decimalnog broja zapisuju se samo oni nesvodljivi razlomci čiji se

imenioci mogu predstaviti kao proizvodi - samo dvojki, ili - samo dvojki i petica, ili - samo petica. Ostali racionalni brojevi se zapisuju u obliku beskonačnog periodičnog racionalnog

broja. Treći cilj. Usvojiti pravila zapisivanja konačnih decimalnih brojeva u obliku razlomka? • Nastavnik na konkretnim primjerima ukazuje na odgovarajuće postupke. Učenike ne treba tjerati da iz udžbenika uče napamet tvrđenja o pravilima zapisivanja

konačnog decimalnog broja u obliku razlomka. Treba im dozvoliti da koriste udžbenik. Za kratko vrijeme udžbenik im neće biti potreban, jer će odgovarajuća pravila brzo usvojiti.

• Na kraju učenicima treba ukazati na otvoreno pitanje o zapisivanju beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u obliku razlomka i reći da će ta pravila biti razmatrana u osmom razredu.

6. Sabiranje i oduzimanje u skupu racionalnih brojeva • Prvi cilj. Obnavljanje pravila sabiranja i oduzimanja pozitivnih razlomaka. • Učenici su u VI razredu učili pravila sabiranja i oduzimanja pozitivnih razlomaka. Zato

u prvoj fazi učenike treba podsjetiti na ta pravila. • Koristeći slike 6.1 i 6.2 (udžbenik) učenici izvode pravila sabiranja i oduzimanja

pozitivnih razlomaka istih imenilaca. • S obzirom da je ovdje riječ o obnavljanju gradiva iz VI razreda, do pravila sabiranja i

oduzimanja pozitivnih razlomaka različitih imenilaca treba doći na što je moguće brži način. Nastavnik: Da li se svaka dva razlomka mogu svesti na razlomke jednakih imenilaca? Učenici: Da.


Nastavnik: Da li to znači da se svaki zbir i svaka razlika pozitivnih razlomaka može zapisati kao zbir ili razlika razlomaka jednakih imenilaca?

Učenici: Da. • Sada nastavnik može formulisati pravilo sabiranja i oduzimanja pozitivnih razlomaka

različitih imenilaca. • Drugi cilj. Utvrđivanje pravila sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva. • Učenici rješavaju zadatak: Na tanjiru je bilo četiri petine torte. Marko je pojeo jednu petinu torte. Koji dio torte

je ostao na tanjiru? Jedan od učenika rješenje zapisuje na tabli:

4 1 4 1 3 .5 5 5 5

−− = =

Dakle, na tanjiru je ostalo tri petine torte. • Nastavnik na tabli zapisuje zadatak:

Koji racionalni broj proglasiti za razliku 1 4 ?5 5

−

• Učenicima treba skrenuti pažnju da su prethodnom primjeru odredili razliku 4 1 ,5 5

− a da

u ovom primjeru treba odrediti broj koji ćemo proglasiti za razliku 1 4 .5 5

− Sada ne možemo reći

da je na tanjiru bila jedna petina torte i da je Marko pojeo četiri petine, jer je 1 4 .5 5

<

Međutim, možemo postaviti pitanje, koju temperaturu će pokazati termometar ako se

temperatura sa 15

C+o

spustila za 4 .5

Co

Sa slike vidimo da će termometar pokazati temperaturu 3 .5

C−o

Rješenje prethodnog zadatka treba zapisati ovako:

1 4 1 4 (4 1) 3 3 .5 5 5 5 5 5

− − − −− = = = = −


Učenici dobijaju još jedan zadatak:

Koju temperaturu će pokazati termometar ako se temperatura sa 45

C−o

popela za

3 ?5

Co

Sa slike vidimo da će termometar pokazati temperaturu 1 .5

C−o

Rješenje ovog zadatka se na tabli zapisuje u obliku

4 3 4 3 4 3 (4 3) 1 1 .5 5 5 5 5 5 5 5

− − + − − −− + = + = = = = −

Nastavnik naglašava da prethodni primjeri pokazuju da se pravila sabiranja i oduzimanja pozitivnih razlomaka mogu proširiti i na skup racionalnih brojeva.

• Nastavnik definiše sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva istih imenilaca i sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva različitih imenilaca.

• Obavezno treba naglasiti da se sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva istih imenilaca sprovodi u skladu sa pravilima sabiranja i oduzimanja cijelih brojeva i zapisati jednakosti:

,

,

,

( ) .

m p m pn n nm p m pn n nm p p m p mn n n n nm p m p m pn n n n n

++ =

−− =

−− + = − =

+− − = − + = −

[ ][ ]np

na

np

na

−==−+ zagrada njaizostavlja pravilo drugo)( ,

[ ][ ]np

na

np

na

−==−− zagrada njaizostavlja pravilo treće)( .


• U vezi sa ovim pravilima učenici treba da urade zadatke 6.1-6.12 (zbirka). Treći cilj. Utvrđivanje pravila sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva u decimalnom

zapisu. • Učenike treba podsjetiti na pravila sabiranja i oduzimanja konačnih pozitivnih

decimalnih brojeva koja su obrađena u VI razredu. • Nastavnik podsjeća na decimalni zapis racionalnog broja i naglašava da pravila sabiranja

i oduzimanja konačnih pozitivnih decimalnih brojeva obrađena u VI razredu, omogućavaju da se izračuna zbir 1 2d d+ i razlika 1 2 ,d d− 1 2 ,d d> pozitivnih racionalnih brojeva datih u decimalnom zapisu. U ostalim slučajevima treba primijeniti jedno od pravila

1 2 2 1( ),d d d d− = − − 2 1,d d>

1 2d d− + = 2 1d d− ,

1 2d d− − = 1 2( )d d− + ,

2121 )( dddd −=−+ ,

2121 )( dddd +=−− . • Nastavnik naglašava na koje se načine može dobiti zbir i razlika dva racionalna broja, od

kojih je jedan dat u obliku decimalnog broja, a drugi u obliku razlomka. • Učenici rade zadatke 6.13, 6.14 i 6.15 iz zbirke. Četvrti cilj. Utvrđivanje pravila sabiranja i oduzimanja mješovitih brojeva. • Nastavnik podsjeća na postupak zapisivanja nepravog pozitivnog razlomka u obliku

mješovitog broja i na postupak zapisivanja mješovitog broja u obliku nepravog razlomka. Naglašava da se na isti način ti postupci sprovode sa negativnim razlomcima, ( zadaci 6.16, 6.17 i 6.18, zbirka).

• Čini nam se da je korisno kao poseban dio obraditi sljedeće zbirove i razlike

,nmp

+ ,nmp

−nmp

− + i ,nmp

− −

gdje je m prirodni broj i np

nepravi razlomak, (zadatak 6.19, zbirka).

• Učenicima treba objasniti oba načina računanja zbira i razlike mješovitih brojeva. • Učenici treba da samostalno urade nekoliko zadataka na kojima će usvojiti prednosti i

nedostatke oba načina računanja zbira i razlike mješovitih brojeva. • Učenici rade zadatak 6.20 (zbirka). • U prethodnim zadacima je svako pravilo računanja zbira i razlike razmatrano odvojeno.

Učenik unaprijed zna koje pravilo treba da primijeni. U zadatku 6.21 (zbirka) učenik sam treba da prepozna pravilo koje mu omogućava da izračuna zadati zbir ili razliku.

Peti cilj. Usvajanje svojstava sabiranja u skupu racionalnih brojeva. • Treba navesti svojstva sabiranja u skupu racionalnih brojeva i naglasiti ulogu

asocijativnosti u zapisivanju brojnih izraza. • Učenici rade zadatke koji ilustruju ta svojstva. 9. Množenje u skupu racionalnih brojeva Prvi cilj. Obnavljanje pravila množenja u skupu pozitivnih razlomaka. • Učenici rade primjer 9.1 (udžbenik) i uz pomoć nastavnika izvode zaključak da je

2 3 2 3 .5 4 5 4

⋅⋅ =

⋅

• Ovaj zadatak nastavnik koristi da učenike podsjeti na pravilo množenja pozitivnih razlomaka obrađeno u VI razredu:


Pozitivni razlomci se množe tako što se brojilac množi brojiocem, a imenilac

imeniocem tj. .m p m pn q n q

⋅⋅ =

⋅

• Nastavnik podsjeća učenike da su brojilac i imenilac pozitivnog razlomka prirodni brojevi i naglašava da se množenje pozitivnih razlomaka svodi na množenje prirodnih brojeva,

jer su brojilac i imenilac proizvoda m pn q

⋅ proizvodi prirodnih brojeva m p⋅ odnosno .n q⋅

Drugi cilj. Usvajanje pravila množenja u skupu racionalnih brojeva. • Nastavnik: Za razliku od pozitivnih razlomaka, brojilac racionalnog broja može biti bilo

koji cio broj, a imenilac bilo koji cio broj različit od nule, te u vezi sa tim možemo postaviti pitanje:

Koji racionalni broj proglasiti za proizvod 3 5 ?4 7

−⋅

−

S obzirom da smo naučili množenje cijelih brojeva, zaključujemo da se pravilo množenja pozitivnih racionalnih brojeva može primijeniti i na množenje racionalnih brojeva.

Dva racionalna broja se množe tako što se brojilac množi brojiocem, a imenilac imeniocem tj.:

,a c abb d bd

⋅ = , , ,a b c d Z∈ i 0,b ≠ 0.d ≠

Ako ovo pravilo primijenimo na proizvod 3 54 7

−⋅

− dobijamo

3 5 3 ( 5) 15 15 .4 7 ( 4) 7 28 28

− ⋅ − −⋅ = = =

− − ⋅ −

• Učenici na tabli rade nekoliko prostih zadataka. • Nastavnik naglašava da se množenje racionalnih brojeva sprovodi u skladu sa pravilom

množenja cijelih brojeva i zapisuje jednakosti:

,

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ) .

m p m pn q n q

m p m pn q n q

m p m pn q n q

m p m pn q n q

⋅⋅ =

⋅⋅

− ⋅ = −⋅

⋅⋅ − = −

⋅⋅

− ⋅ − =⋅

• Učenike kroz odabrane primjere treba uvjeriti u korisnost skraćivanja razlomaka prije množenja (primjer 9.7, udžbenik).

Treći cilj. Utvrđivanje pravila množenja racionalnih brojeva u decimalnom zapisu. • Nastavnik podsjeća na pravila množenja konačnih pozitivnih decimalnih brojeva

obrađena u VI razredu i naglašava da ta pravila omogućavaju da se izračuna proizvod 1 2d d⋅ pozitivnih racionalnih brojeva datih u decimalnom zapisu. U ostalim slučajevima treba primijeniti jedno od pravila

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ),d d d d d d− ⋅ = ⋅ − = − ⋅

1 2 1 2( ) ( ) .d d d d− ⋅ − = ⋅


• Nastavnik naglašava na koje se načine može dobiti proizvod dva racionalna broja, od kojih je jedan dat u obliku decimalnog broja, a drugi u obliku razlomka.

Četvrti cilj. Utvrđivanje pravila množenja mješovitih brojeva. • Učenici rješavaju zadatke iz primjera 9.5 (udžbenik). Peti cilj. Usvajanje svojstava množenja u skupu racionalnih brojeva. • Treba navesti svojstva množenja u skupu racionalnih brojeva i naglasiti ulogu

asocijativnost u zapisivanju brojnih izraza. • Učenici rade zadatke koji ilustruju ta svojstva. Šesti cilj. Usvajanje pojma recipročnog broja. • Učenici rade zadatke iz zbirke. 10. Dijeljenje u skupu racionalnih brojeva Prvi cilj. Usvajanje pravila dijeljenja u skupu racionalnih brojeva. • Osnovni cilj ove teme jeste da učenici usvoje dijeljenje u skupu racionalnih brojeva kao

operaciju koja ima isti smisao koji dijeljenje ima u skupu prirodnih brojeva. Drugim riječima

želimo da učenik usvoji količnik :a cb d

kao broj koji pomnožen djeliocem cd

daje djeljenik .ab

• Učenici neposredno provjeravaju da taj uslov zadovoljava broj .a db c

⋅

• Na tabli se zapisuje pravilo

:a cb d

= a db c

⋅

i naglašava da racionalne brojeve dijelimo tako što djeljenik množimo recipročnom vrijednošću djelioca.

Drugi cilj. Usvajanje pojma dvojnog razlomka. • Treba uraditi nekoliko zadataka iz zbirke.


Elementarni kombinatorni zadaci

Pravilo množenja • Učenici rješavaju zadatak: Marko u lijevom džepu ima dvije matalne novčanice, jednu od jedan i jednu od sva

eura, a u desnom, dvije papirne novčanice, jednu od pet i jednu od deset eura. On, ne gledajući, izvlači jednu novčanicu iz lijevog i jednu novčanicu iz desnog džepa. Koliko ima parova novčanica koje je mogao izvući Marko?

Nastavnik prihvata prvi valjan predlog učenika i jedan od njih na tabli zapisuje, na primjer par (1 €, 5 €). Učenici nastavljaju sa svojim predlozima i na tabli će veoma brzo biti zapisana četiri para

(1 €, 5 €), (1 €, 10 €), (2 €, 5 €), (2 €, 10 €)… Treba pustiti da učenici i dalje predlažu parove, sve dok ne dođu do zaključka da drugih

mogućnosti nema. • Na isti način možete obraditi i primjer 1.3 iz udžbenika. • Treba postaviti jedan ili dva zadatka, koje zbog velikog broja mogućnosti, učenici neće

moći riješiti prostim prebrojavanjem. Predlažemo primjer 1.6 (udžbenik). Sada možemo postaviti problem:

Kako riješiti primjer 1.6? • U ovom slučaju zanimljiv sadržaj zadataka može biti smetnja usvajanju opšteg pravila. Zato treba preći na primjer 1.1 i 1.4 (udžbenik). Na osnovu ovih primjera učenici usvajaju pravilo množenja za tabelu od dva polja i

rješavaju primjere 1.6 i 1.5 (udžbenik). • Navedite jedan primjer koji učenici neće moći riješiti prethodnim pravilom. Možete

uzeti primjer 1.9 (udžbenik) i postaviti problem : Kako riješiti primjer 1.9? • Kao u prethodnom slučaju treba se vratiti na popunjavanje tabele i rješiti primjer 1.7

(udžbenik). Na osnovu ovih primjera učenici usvajaju pravilo množenja za tabelu od tri polja i

rješavaju primjere 1.6 i 1.7 (udžbenik). • U zbirci je pravilu množenja posvećeno 17 zadataka, za koje vjerujemo da će učenicima

biti zanimljivi.


Oblast geometrija Trougao. Četvorougao • Osnovna pedagoška i metodička karakteristika geometrijskih tema predviđenih za

učenike VII razreda, svakako je činjenica da se učenici po prvi put, u eksplicitnoj formi, srijeću sa teoremama i dokazima. Ono što kod učenika izaziva najveći otpor i čemu najteže nalaze opravdanje, svakako je potreba za dokazivanjem onih odnosa između elemenata geometrijskih figura, koji se na slici jasno vide ili se mogu ustanoviti mjerenjem. Zašto obrazlagati nešto što se na slici jasno vidi? Ograničeni matematičkim sredstvima koja nam stoje na raspolaganju, često nijesmo u stanju pomoći učeniku da na makar vrlo elementarnom nivou prihvati principe geometrije kao deduktivne nauke.

Osnovni cilj nastavne jedinice Tvrđenja i obrazloženja, upravo i jeste da učenici usvoje potrebu za dokazivanjem geometrijskih tvrđenja. Kada je riječ o ciljevima, ne treba zanemariti da se usvajanjem takve potrebe, učenici na najbolji način upoznaju i sa samim predmetom izučavanja geometrije.

Sve do 60-ih godina prošlog vijeka smatralo se da geometrija dostiže svoje pedagoške i obrazovne ciljeve ako učenici uspješno reprodukuju formulacije teorema i njihove dokaze. Danas se međutim smatra da učenici moraju aktivno učestvovati u procesu traženja, otkrivanja i konstrukciji dokaza. Bez sumnje je svakom nastavniku matematike poznato sa kakvim se sve teškoćama srijeću učenici pri izučavanju geometrije. Tu prije svega imamo u vidu otkrivanje pojedinih koraka u dokazu, prelasku sa jednog na drugi korak i tome slično. Te teškoće se djelimično otklanjaju korišćenjem nastavnih listića i dijalogom između nastavnika i učenika u toku sprovođenja dokaza.

• Da bi učenici uopšte mogli da shvate smisao teoreme, oni prije svega moraju znati značenje svakog pojma koji figuriše u njenoj formulaciji. Zato je neophodno da učenici dobro znaju nazive elemenata trouglova i četvorouglova kao i opise položaja jednih elemenata tih figura u odnosu na druge. Tu imamo u vidu:

-unutrašnje i spoljašnje uglove trougla i četvorougla, - prepoznavanje parova elemenata trougla koji su jedan drugom naspramni, - visine, bisektrise i težišne duži trougla, - naspramne i susjedne stranice četvorougla, - naspramne i uzastopne uglove četvorugla i slično. Pored toga u iskazima teorema često se koriste pojmovi susjednih, uporednih, unakrsnih i

suplementnih uglova i njihova svojstva. Ove pojmove učenici su obrađivali u prethodnim razredima i obavezno ih treba obnoviti. Umjesto uobičajenih naziva za uglove koje obrazuju paralelne prave presječene trećom pravom (imamo u vidu saglasne i unutrašnje unakrsne uglove) koristimo nazive i F Z uglovi. Uvjereni smo da će ovi nazivi olakšati učenicima da saglasne i unutrašnje unakrsne uglove lakše prepoznaju na slici. Naravno, u vezi s tim treba obraditi nekoliko zadataka iz zbirke posvećenih i F Z uglovima.

• Važnu ulogu za rad po ovom udžbeniku ima tvrđenje prema kojem je svaki spoljašnji ugao trougla veći od njemu nesusjednih uglova i tvrđenje u kojem se razmatra uslov paralelnosti. Kada o nekom tvrđenju govorimo kao o važnom tvrđenju imamo u vidu da se to tvrđenje često koristi u dokazima.

• Ovdje ćemo dati nekoliko predloga koji po našem mišljenju osiguravaju aktivno učešće učenika u otkrivanju geometrijskih teorema i sprovođenju dokaza.

Cilj. Usvajanje tvrđenja: Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je 180°.


• Učenici uz pomoć nastavnika izvode eksperimente sa obilaženjem trougla i sa dijelovima unutrašnjih i spoljašnjih uglova trougla. Ovi eksperimenti su opisani u udžbeniku.

Učenici postavljaju hipotezu da je zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu jednak 180 .o • Učenici dobijaju nastavni listić.

∠ MCN = , ∠ MCN = +γ + , +γ + = .

Zaključak: Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je 180 .o Rad učenika na nastavnim listićima može da prati jedan ovakav dijalog između nastavnika

i učenika. Nastavnik: Na slici je prikazan trougao ABC kroz čije je tjeme C povučena prava

paralelna stranici .AB Možete li u trouglu ABC imenovati ugao koji sa uglom ∠ ACM obrazuje par Z uglova?

Učenici: Ugao .α Nastavnik: Kakav je odnos između Z uglova? Učenici: Z uglovi su jednaki. Nastavnik: Popunite prvo prazno polje kod tjemena .C (Učenici pišu ∠ ACM = α . Nastavnik: Može li se u trouglu ABC imenovati ugao koji sa uglom ∠ BCN obrazuje par

Z uglova. Učenici: Ugao .β Nastavnik: Popunite drugo prazno polje kod tjemena .C (Učenici pišu β = ∠ BCN).

Čemu je jednaka veličina ugla ∠ MCN? Učenici: 180 .o Nastavnik: Popunite sljedeće prazno polje. (Učenici zapisuju ∠ MCN = 180 o ). Ugao ∠ MCN prikažite kao zbir tri ugla prikazana na slici.


(Učenici zapisuju ∠ MCN = α +γ + β ). Dobili ste dvije jednakosti čije su lijeve strane jednake. Kakve moraju biti desne strane tih

jednakosti? Učenici: I desne strane moraju biti jednake. Nastavnik: Popunite prazna polja u posljednjem redu vašeg listića i pročitajte zaključak (Učenici zapisuju α +γ + β = 180 o i čitaju zaključak). • Na sličan način se mogu obraditi tvrđenja o zbiru spoljašnjih uglova trougla i odnosu

spoljašnjeg ugla i njemu nesusjednih unutrašnjih uglova. Cilj. Usvajanje tvrđenja: Ako dvije stranice trougla nijesu jednake, onda je ugao naspram veće stranice veći od

ugla naspram manje stranice. • Učenici crtaju trougao ABC čije stranice AC i BC zadovoljavaju uslov .AC BC>

Mjere i upoređuju veličine uglova naspramnih tim stranicama i postavljaju hipotezu da je ugao naspram veće stranice veći od ugla naspram manje stranice. Nastavnik na tabli zapisuje tvrđenje:

Ako dvije stranice trougla nijesu jednake, onda je ugao naspram veće stranice veći od ugla naspram manje stranice.

Nastavnik: Na slici je prikazan trougao ABC čije stranice AC i BC zadovoljavaju uslov .AC BC>

(Na početku izlaganja nacrtan je samo trougao ABC i označeni uglovi i .α β Ostali elementi na slici crtaju se u momentu kada nastavnik bude govorio o njima.)

Treba dokazati da je ugao naspram veće stranice AC veći od ugla naspram manje stranice .AB Drugim riječima treba dokazati da je .β α> Radi toga ćemo uvesti treći ugao x za koji

važi .xβ α> > Tada će slijediti da je .β α> Kako je AC BC> na stranici AC se može odrediti tačka ,D takva da je .CD CB= Kakav je trougao ?BCD

Učenici: Trougao BCD je jednakokraki. Nastavnik: Imenujte krake i osnovicu tog trougla. Učenici: Kraci su duži i ,CD CB a osnovica je duž .BD Nastavnik: Kakvi su uglovi na osnovici jednakokrakog trougla? Učenici: Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki. Nastavnik: Dakle veličinu jednakih uglova na osnovici BD trougla BCD možemo

označiti istim slovom. (Sada je slika kompletna).


Ako uzmemo u obzir da je ugao x (pokazuje rukom na ugao označen sa x čije je tjeme tačka )D spoljašnji ugao trougla ,ABD zašto možemo tvrditi da je ugao x veći od ugla ?α

Učenici: Zato što je spoljašnji ugao trougla veći od bilo kojeg njemu nesusjednog unutrašnjeg ugla.

Nastavnik: Dakle .x α> Na taj način smo dokazali da je dio ugla β (nastavnik sada pokazuje rukom na dio ugla β označen sa )x veći od ugla .α Kakav zaključak možemo izvesti o odnosu uglova i ?β α

Učenici: Ugao β je veći od ugla .α Nastavnik: To smo i htjeli da dokažemo. Cilj. Usvajanje tvrđenja: Svaka stranica trougla je manja od zbira, a veća od razlike ostale dvije stranice. • Učenici izvode eksperiment sa štapovima opisan u udžbeniku, komentarišu sliku 5.3 i

postavljaju hipotezu da je svaka stranica trougla manja od zbira ostale dvije stranice. Nastavnik na tabli zapisuje tvrđenje. Svaka stranica trougla je manja od zbira, a veća od razlike ostale dvije stranice. Nastavnik: Nacrtajmo trougao .ABC

(Na početku izlaganja nacrtan je samo trougao ABC i njegove stranice , i .a b c Ostali

elementi na slici crtaju se u momentu kada nastavnik bude govorio o njima.) Na produžetku stranice AB kroz tačku B odredimo tačku D tako da je .BC BD= Kakav je trougao BCD? Učenici: Trougao BCD je jednakokraki. Nastavnik: Što je osnovica trougla ?BCD Učenici: S obzirom da je BC BD= slijedi da je stranica CD njegova osnovica. Nastavnik: Kakvi su uglovi na osnovici jednakokrakog trougla? Učenici: Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki. Nastavnik: Dakle veličine uglova na osnovici CD trougla BCD možemo označiti istim

slovom. (Sada je slika kompletna). Uporedite po veličini ugao ∠ ACD i ugao x . Učenici: Ugao ∠ ACD je veći od ugla .x Nastavnik: Ako dva ugla nijesu jednaka, kakav je odnos naspramnih stranica tih uglova? Učenici: Stranica naspram većeg ugla veća je od stranice naspram manjeg ugla.


Nastavnik: Da vas podsjetim, dokazali smo da je u trouglu ACD ugao ∠ ACD veći od ugla .x Ako se uzme u obzir da je stranica AD a c= + naspramna većem uglu ∠ ACD i da je stranica AC b= naspramna manjem uglu ,x što se može zaključiti o odnosu tih stranica?

Učenici: Može se zaključiti da je AD a c= + > .AC b= Nastavnik: Na taj način smo dokazali da je a c+ > .b Odavde slijedi da je .a b c> − Cilj. Usvajanje tvrđenja: Zbir unutrašnjih uglova četvorougla jednak je 360 °. • Učenici dobijaju nastavni listić:

1. Zbir uglova □ ABCD = Zbir uglova Δ ABC + Zbir uglova Δ ACD. 2. Zbir uglova Δ ABC = . 3 Zbir uglova Δ ACD = . 3. Slijedi da je zbir uglova □ ABCD = + = . Zaključak: Zbir unutrašnjih uglova četvorougla jednak je 360 .o Cilj. Usvajanje tvrđenja: Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegove naspramne stranice jednake. • Učenici dobijaju nastavni listić.

2. Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Znamo da je AB || CD i AD || BC, jer je riječ o naspramnim stranicama paralelograma. Primjenom pravila USU dokazaćemo da je Δ ABC ≅Δ ACD, a zatim ćemo utvrditi da su

naspramne stranice paralelograma jednake.


• Stranica AC je zajednička. • ∠ 4 = ∠ , kao Z uglovi. • ∠ 3 = ∠ , kao Z uglovi. Na osnovu pravila USU zaključujemo da je Δ ABC ≅Δ ACD. 3. Kako kod podudarnih trouglova naspram jednakih uglova leže jednake stranice, na

osnovu jednakosti ∠ 4 = ∠ slijedi da je AB = . 4. Na isti način, na osnovu jednakosti ∠ 3 = ∠ dobijamo da je AD = . Zaključak: Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegove naspramne stranice

jednake. Nastavnik: Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Za koji četvorougao kažemo da

je paralelogram? Učenici: Četvorougao koji ima dva para paralelnih stranica nazivamo paralelogramom. Nastavnik: To je zapisano u drugom redu vašeg listića. Naš cilj je zapisan u trećem i

četvrtom redu vašeg listića. Dakle, primjenom pravila USU dokazaćemo da je Δ ABC ≅Δ ACD, a zatim ćemo utvrditi da su naspramne stranice paralelograma jednake.

Kako glasi pravilo ?USU (Nastavnik na tabli crta sliku koja prati praviloUSU ). Učenici: Ako su jedna stranica i njeni nalegli uglovi jednog trougla jednaki jednoj stranici

i njenim naleglim uglovima drugog trougla, onda su ti trouglovi podudarni. Nastavnik: Postoji li stranica trougla ABC koja je jednaka jednoj od stranica trougla

ACD? Učenici: Stranica AC je zajednička stranica tih trouglova. Nastavnik: Imenujte nalegle uglove te stranice u trouglovima ABC i .ACD Učenici: Uglovi ∠ 1 i ∠ 3, u trouglu ACD i uglovi ∠ 2 i ∠ 4 u trouglu ABC? Nastavnik: Možete li u trouglu ACD imenovati ugao koji sa uglom ∠ 4 obrazuje par

Z uglova? Učenici: Ugao ∠ 1. Nastavnik: Kakav je odnos između Z uglova? Učenici: Z uglovi su jednaki. Nastavnik: Popunite prvo prazno polje u vašem listiću. ( Učenici zapisuju ∠ 4 = ∠ 1 ). Kako se može popuniti sljedeće prazno polje u vašim listićima? Učenici: ∠ 3 = ∠ 2 , jer je riječ o Z uglovima. Nastavnik: Da li smo dokazali da su jedna stranica i njeni nalegli uglovi trougla ABC

jednaki jednoj stranici i njenim naleglim uglovima trougla ?ACD Učenici: Da. Nastavnik: Da li na osnovu pravila SUS slijedi podudarnost trouglova ABC i ?ACD Učenici: Da. Nastavnik: Ako uzmemo u obzir da naspram jednakih uglova dva podudarna trougla leže

jednake stranice, zapišite što slijedi iz jednakosti ∠ 4 = ∠ 1 i ∠ 3 = ∠ 2 , Učenici zapisuju AB = CD i AD = BC . Nastavnik: Pročitajte zaključak dat u vašim listićima.


Cilj. Usvajanje tvrđenja: Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi naspramni uglovi jednaki. • Učenici dobijaju nastavni listić.

1. Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Znamo da je AB || CD i AD || BC, jer je riječ o naspramnim stranicama paralelograma. Treba dokazati da su naspramni uglovi jednaki tj. α γ= i .β δ= • ∠ 1 = , kao F uglovi. • ∠ 1 = , kao Z uglovi. Kako su lijeve strane ovih jednakosti jednake, moraju biti jednake i njihove desne strane. Prema tome je = . 2. Na isti način • ∠ 2 = , kao F uglovi. • ∠ 2 = , kao Z uglovi. Kako su lijeve strane i ovih jednakosti jednake, moraju biti jednake i njihove desne strane. Dakle = . Zaključak: Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi naspramni uglovi

jednaki. Nastavnik: Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Za koji četvorougao kažemo da

je paralelogram? Učenici: Četvorougao koji ima dva para paralelnih stranica nazivamo paralelogramom. Nastavnik: Možete li u paralelogramu ABCD imenovati ugao koji sa uglom ∠ 1 obrazuje

par F uglova? Učenici: Ugao .α Nastavnik: Kakav je odnos između F uglova? Učenici: F uglovi su jednaki. Nastavnik: Popunite prvo prazno polje u vašem listiću. (Učenici zapisuju ∠ 1 = .α ). Možete li u četvorouglu ABCD imenovati ugao koji sa uglom ∠ 1 obrazuje par Z uglova? Učenici: Ugao .γ Nastavnik: Kakav je odnos između Z uglova?


Učenici: Z uglovi su jednaki. Nastavnik: Popunite drugo prazno polje u vašem listiću. (Učenici zapisuju ∠ 1 = γ ). Dobili ste dvije jednakosti čije su lijeve strane jednake. Što se može reći o desnim

stranama tih jednakosti? Učenici: I desne strane takvih jednakosti su jednake. Nastavnik: Popunite sljedeća prazna polja u vašim listićima. (Učenici zapisuju α γ= ). Dio listića označen sa 2. popunjavaju sami učenici. Kada završe rad nastavnik traži da

učenici pročitaju zaključak. Cilj. Usvajanje tvrđenja: Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi uzastopni uglovi suplementni. • Učenici dobijaju nastavni listić.

Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Znamo da je AB || CD i AD || CD, jer je riječ o naspramnim stranicama paralelograma. Dokazaćemo da su uzastopni uglovi paralelograma suplementni. 1. • ∠ 1 = , kao F uglovi, • ∠ 1 + β = kao uporedni uglovi. • Ako u drugoj jednakosti ugao ∠ 1 zamijenimo uglom dobijenim u prvoj jednakosti nalazimo da je 180 .β+ = o 2. • ∠ 2 = , kao F uglovi, • ∠ 2 + γ = , kao uporedni uglovi. • Ako u drugoj jednakosti umjesto ugla ∠ 2 stavimo ugao dobijen u prvoj jednakosti dobijamo da je 180 .γ+ = o Na isti način se može zaključiti da su i ostali parovi uzastopnih uglova suplementni. Zaključak: Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi uzastopni uglovi

suplementni. Nastavnik: Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Za koji četvorougao kažemo da

je paralelogram? Učenici: Četvorougao čije su naspramne stranice paralelne nazivamo paralelogramom. Nastavnik: Možete li u paralelogramu ABCD imenovati ugao koji sa uglom ∠ 1 obrazuje

par F uglova?


Učenici: Ugao .α Nastavnik: Kakav je odnos između F uglova? Učenici: F uglovi su jednaki. Nastavnik: Popunite prvo prazno polje u vašem listiću. (Učenici zapisuju ∠ 1 = α ). Kakvi su uglovi ∠ 1 i β i čemu je jednak njihov zbir? Učenici: Uglovi ∠ 1 i β su uporedni i njihov zbir je jednak 180 .o Nastavnik: Popunite drugo prazno polje u vašem listiću. (Učenici zapisuju ∠ 1 + β = 180 o ). Sada popunite treće prazno polje tako što ćete umjesto ugla ∠ 1 u drugoj jednakosti

zapisati ugao dobijen u prvoj jednakosti. (Učenici zapisuju α β+ = 180o ). Dio listića označen sa 2. popunjavaju sami učenici. Kada završe rad nastavnik traži da

učenici pročitaju zaključak. Cilj. Usvajanje tvrđenja: Ako je četvorougao paralelogram, onda se njegove dijagonale polove. • Učenici dobijaju nastavni listić.

1. Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Znamo da je AB || CD i AD || BC, jer je riječ o naspramnim stranicama paralelograma.

Osim toga je AB CD= i AD = BC, jer su naspramne stranice paralelograma jednake. 2. Primjenom pravila USU dokazaćemo da je Δ AOB ≅Δ COD, a zatim ćemo utvrditi da se

dijagonale paralelograma polove tj. da je AO OC= i .BO OD= • ,AB CD= jer je riječ o naspramnim stranicama paralelograma. • ∠ 2 = , kao Z uglovi. • ∠ 1 = , kao Z uglovi. Na osnovu pravila SUS zaključujemo da je Δ ABC ≅Δ ACD. 3. Kako kod podudarnih trouglova naspram jednakih uglova leže jednake stranice, na

osnovu jednakosti ∠ 2 = slijedi da je AO = . 4. Na isti način, na osnovu jednakosti ∠ 1 = dobijamo da je OB = . Zaključak: Ako je četvorougao paralelogram, onda se njegove dijagonale polove. Nastavnik: Četvorougao prikazan na slici je paralelogram. Za koji četvorougao kažemo da

je paralelogram? Učenici: Četvorougao koji ima dva para paralelnih stranica nazivamo paralelogramom. Nastavnik: Kakav je odnos između naspramnih stranica paralelograma?


Učenici: Naspramne stranice paralelograma su jednake. Nastavnik: To je zapisano u dijelu listića označenom sa 1. Pređimo na dio listića označen

sa 2. Primjenom pravila SUS dokazaćemo da je Δ AOB ≅Δ COD, a zatim ćemo utvrditi da se dijagonale paralelograma polove tj. da je AO OC= i .BO OD= Kako glasi pravilo ?USU

(Nastavnik na tabli crta sliku koja prati pravilo ).USU Učenici: Ako su jedna stranica i njeni nalegli uglovi jednog trougla jednaki jednoj stranici

i njenim naleglim uglovima drugog trougla, onda su ti trouglovi podudarni. Nastavnik: Postoji li stranica trougla AOB koja je jednaka jednoj od stranica trougla

DOC? Učenici: AB CD= jer su naspramne stranice paralelograma jednake. Nastavnik: Imenujte nalegle uglove stranice AB u trouglu .AOB Učenici: Uglovi ∠ 1 i ∠ 2. Nastavnik: Imenujte nalegle uglove stranice CD u trouglu DOC. Učenici: Uglovi ∠ 3 i ∠ 4. Nastavnik: Možete li na slici imenovati uglove koji sa uglovima ∠ 4 i ∠ 3 obrazuje

parove Z uglova? Učenici: ∠ 1 i ∠ 2. Nastavnik: Kakav je odnos između Z uglova? Učenici: Z uglovi su jednaki. Nastavnik: Popunite prva dva prazna polja u vašem listiću. (Učenici zapisuju ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 1 = ∠ 3 ). Nastavnik: Da li smo dokazali da su jedna stranica i njeni nalegli uglovi trougla AOC

jednaki jednoj stranici i njenim naleglim uglovima trougla ?DOC Učenici: Da. Nastavnik: Da li na osnovu pravila SUS slijedi podudarnost trouglova AOC i ?DOC Učenici: Da. Nastavnik: Ako uzmemo u obzir da naspram jednakih uglova dva podudarna trougla leže

jednake stranice, zapišite što slijedi iz jednakosti ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 1 = ∠ 3 . (Učenici zapisuju AO = OC i OB = OD . Kada završe rad nastavnik traži da učenici pročitaju zaključak. Cilj. Usvajanje tvrđenja: Dijagonale pravougaonika su jednake. Nastavnik: Za koji četvorougao kažemo da je paralelogram? Učenici: Četvorougao koji ima dva para paralelnih stranica nazivamo paralelogramom. Nastavnik: Za koji paralelogram kažemo da je pravougaonik? Učenici: Paralelogram čiji su svi uglovi pravi zove se pravougaonik. Nastavnik: Dakle, pravougaonik je paralelogram i kao takav ima sva svojstva

paralelograma. Koja svojstva paralelograma znate? Učenici: 1. Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegove naspramne stranice jednake. 2. Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi naspramni uglovi jednaki. 3. Ako je četvorougao paralelogram, onda su njegovi uzastopni uglovu suplementni. 4. Ako je četvorougao paralelogram onda se njegove dijagonale polove. Nastavnik: Nacrtajte paralelogram čije dijagonale nijesu jednake. (Jedan od učenika na tabli crta takav paralelogram) Sada nacrtajte jedan pravougaonik i uporedite njegove dijagonale. Učenici postavljaju

hipotezu da su dijagonale pravougaonika jednake. Nastavnik na tabli takođe crta pravougaonik


i zapisuje tvrđenje: Dijagonale pravougaonika su jednake. Nastavnik: Dakle, treba dokazati da su dijagonale pravougaonika jednake tj. da je

.AC BD= Možete li imenovati trouglove na slici čije su stranice dijagonale i AC BD? Učenici: Dijagonala BD je stranica trougla ,ABD a dijagonala ,AC trougla .ABC Nastavnik: Nacrtajmo posebno te trouglove.

Kakvi su trouglovi ABD i ABC i koja stranica im je zajednička? Učenici: To su pravougli trouglovi. Duž AB je njihova zajednička stranica. (Nastavnik na tabli piše AB - zajednička stranica). Nastavnik: Napomenuli smo da su naspramne stranice paralelograma jednake. S obzirom

da je pravougaonik paralelogram, možete li odgovoriti kakav je odnos između naspramnih stranica pravougaonika?

Učenici: Naspramne stranice pravougaonika su jednake. (Nastavnik na tabli zapisuje ,AD BC= kao naspramne stranice pravougaonika). Nastavnik: Kako glasi pravilo podudarnosti pravouglih trouglova koje smo nazvali kateta-

kateta? Učenici: Ako su katete jednog pravouglog trougla jednake katetama drugog pravouglog

trougla, onda su ti trouglovi podudarni. Nastavnik: Mi smo utvrdili da su katete trougla ABC jednake katetama trougla .ACD Da

li na osnovu pravila kateta-kateta slijedi da su ti trouglovi podudarni? Učenici: Da. Nastavnik na tabli zapisuje Δ ABC ≅Δ ABD. Nastavnik: S obzirom da su odgovarajuće stranice podudarnih trouglova jednake, što se

može reći o stranicama (dijagonalama) i ?AC BD Učenici: Dijagonale i AC BD su jednake. Nastavnik: To smo i htjeli da dokažemo.


Cilj. Usvajanje tvrđenja: Oko pravougaonika se može opisati kružnica. Centar kružnice je tačka u kojoj se sijeku

dijagonale pravougaonika. Nastavnik: Na prvoj slici je prikazana kružnica poluprečnika r sa centrom u tački .C

Da vas podsjetim, kružnicom poluprečnika r sa centrom u tački C nazivamo skup tačaka

u ravni čije je rastojanje od centra jednako poluprečniku. Na drugoj slici prikazana je kružnica koja sadrži tjemena četvorougla ABCD .

Zapišite: Za kružnicu koja sadrži tjemena četvorougla kažemo da je opisana oko tog

četvorougla. Nastavnik: Sada nacrtajmo paralelogram ABCD koji nije pravougaonik i dijagonalom

BD podijelimo taj paralelogram na dva oštrougla trougla, trougao ABD i trougao .BCD


Kada bi se oko paralelograma ABCD mogla opisati kružnica, onda bi ta kružnica bila kružnica opisana oko trougla ABD i oko trougla .BCD Gdje se nalazi centar kružnice opisane oko oštrouglog trougla ABD ?

Učenici: U trouglu ABD (u unutrašnjoj oblasti trougla ABD ). Nastavnik:Gdje se nalazi centar kružnice opisane oko oštrouglog trougla BCD ? Učenici: U trouglu BCD (u unutrašnjoj oblasti trougla BCD ). Nastavnik: Dakle, ako bi se oko paralelograma ,ABCD koji nije pravougaonik, mogla

opisati kružnica, onda bi centar te kružnice istovremeno pripadao kako unutrašnjoj oblasti trougla ABD , tako i unutrašnjoj oblasti trougla .BCD To nije moguće jer kružnica ima jedan centar.

Zapišite: Ako paralelogram nije pravougaonik, onda se oko tog paralelograma ne može opisati

kružnica. Nastavnik na tabli zapisuje pitanje: Da li se oko pravougaonika može upisati kružnica? Učenici dobijaju nastavni listić.

AC = ,OA= OB =

OA OB= Ako u drugom redu umjesto zareza između oznaka OA i OB stavimo znak = dobijamo: OA= = OB =

To znači da tjemena pravougaonika pripadaju kružnici sa centrom u tački O poluprečnika r OC OA= = = OB = OD Zaključak: Oko pravougaonika se može opisati kružnica. Centar kružnice je tačka u

kojoj se sijeku dijagonale pravougaonika. Nastavnik: Kako glasi tvrđenje o dijagonalama paralelograma? Učenici: Dijagonale paralelograma su jednake. Nastavnik: Da li je pravougaonik paralelogram? Učenici: Da. Nastavnik: Kakve su dijagonale pravougaonika? Učenici: Dijagonale pravougaonika su jednake. Nastavnik: Popunite prvo prazno polje u vašem listiću. (Učenici zapisuju AC BD= ).


Nastavnik: Na jednom od prethodnih časova smo naveli jedno svojstvo pravougaonika koje nemaju svi paralelogrami. Koje je to svojstvo?

Učenici: Dijagonale pravougaonika se polove. Nastavnik: Da li to znači da je tačka O središte dijagonala? Učenici: Da. Nastavnik: Popunite sljedeća dva prazna polja u vašem listiću. ( Učenici zapisuju ,OC OA= OB = OD ). Da li su polovine jednakih duži jednake? Učenici: Da. Nastavnik: Što se može zaključiti, ako se uzme u obzir da su duži i OA OB jednake

polovinama jednakih duži (dijagonala) AC i ?BD Učenici: Može se zaključiti da je .OA OB= Nastavnik: Popunite posljednji red sa praznim poljima u vašem listiću. ( Učenici zapisuju

OC OA= = OB = OD ). Što se može zaključiti na osnovu ovih jednakosti? Učenici: Na osnovu ovih jednakosti slijedi da tjemena , ,A B C i D pripadaju kružnici

poluprečnika r OA OB OC OD= = = = sa centrom u tački .O Nastavnik: Pročitajte zaključak iz vašeg listića. Cilj. Usvajanje tvrđenja: Uglovi na osnovicama jednakokrakog trapeza su jednaki. Da se ne bi gubilo vrijeme učenici dobijaju nastavne listiće na kojima je nacrtan

jednakokraki trapez. Zadatak učenika je da izmjere i uporede uglove na osnovicama tog trapeza. Učenici postavljaju hipotezu da su uglovi na osnovici jednakokrakog trapeza jednaki. Nastavnik po ko zna koji put naglašava da se u geometriji ne prihvataju tvrđenja izvedena na osnovu eksperimenta i na tabli zapisuje tvrđenje:

Uglovi na osnovicama jednakokrakog trapeza su jednaki. Nastavnik: Četvorougao ABCD prikazan na slici je jednakokraki trapez čiji su uglovi na

osnovici AB označeni sa i .α β

(Na početku izlaganja nacrtan je samo trapez ABCD i označeni uglovi i .α β Ostali

elementi na slici crtaju se u momentu kada nastavnik bude govorio o njima.) Treba dokazati da je .α β= Radi toga ćemo uvesti treći ugao x i dokazati da je x α= i .x β= Tada će slijediti da je .α β= Kroz tačku D povucimo duž DF paralelno duži CB i sa x

označimo ugao koji obrazuju duži AF i .FD Četvorougao FBCD je paralelogram, jer su njegove naspramne stranice paralelne. Ako uzmete u obzir da je FD || BC možete li reći koji ugao obrazuje sa uglom x par F uglova?


Učenici: Ugao .β Nastavnik: Zašto je ?x β= Učenici: Zato što su F uglovi jednaki. Nastavnik: Preostalo je da dokažemo jednakost .x α= Ako uzmemo u obzir da su uglovi

na osnovici jednakokrakog trougla jednaki, možete li odgovoriti kakav treba da bude trougao AFD da bi važila jednakost .x α=

Učenici: Trougao AFD mora biti jednakokrak sa osnovicom .AF Nastavnik: Koji uslov treba da bude zadovoljen da bi trougao AFD bio jednakokraki

trougao sa osnovicom ?AF Učenici: Treba da su jednaki njegovi kraci tj. treba da je .AD FD= Nastavnik: Dokažimo ovu jednakost. Ako uzmemo u obzir da je četvorougao ABCD

jednakokraki trapez, možete li odgovoriti zašto je ?BC AD= Učenici: Zato što su kraci jednakokrakog trapeza jednaki. Nastavnik: Ako uzmemo u obzir da je četvorougao FBCD paralelogram, možete li

odgovoriti zašto je ?BC FD= Učenici: Zato što su naspramne stranice paralelograma jednake. Nastavnik: Na taj način smo dokazali da je BC AD= i .BC FD= Uočite da su desne

strane ovih jednakosti jednake i recite kakav je odnos između duži i ?AD FD Učenici: .AD FD= Nastavnik: Dakle, trougao AFD je jednakokrak sa osnovicom AF i zato je .x α=

Podsjetimo, dokazali smo jednakosti x α= i .x β= Što slijedi iz ovih jednakosti? Učenici: Slijedi da je .α β= Nastavnik: Može se dokazati da su i uglovi na osnovici BC jednaki.

Obim trougla i četvorougla 1. Obim trougla i četvorougla Prvi cilj: Usvajanje pojma obima mnogougla. • Učenici rješavaju zadatak: Marko je izašao iz kuće, obišao pet mjesta i vratio se kući. Koliko je kilometara

prešao Marko obilazeći ta mjesta?

Jedan od učenika rješava zadatak na tabli. Cilj nastavnika je da uvede pojam obima

mnogougla i u vezi sa tim započinje dijalog sa učenicima. Nastavnik: Koja figura je prikazana na slici?


Učenici: Šestougao. Nastavnik: Kako smo dobili dužinu puta koji je prešao Marko? Učenici: Tako što smo sabrali dužine stranica šestougla. Nastavnik: Kako bismo dobili dužinu puta u slučaju da je Marko obišao šest mjesta kao

što je prikazano na slici?

Učenici: Tako što bismo sabrali dužine stranica sedmougla. • Nastavnik uvodi pojam obima mnogougla. Drugi cilj: Usvajanje formula za izračunavanje obima nejednakostraničnog,

jednakokrakog i jednakostraničnog trougla. • Učenici dobijaju nastavne listiće.

Napiši formulu za izračunavanje obima nejednakostraničnog trougla. .O = + + • Učenici treba da u praznim poljima zapišu ,a b i .c


Napiši formulu za izračunavanje obima jednakokrakog trougla.

2 .O = + + = + ⋅ Učenici treba da u prva tri prazna polja zapišu redom slova ,a b i ,b a zatim da dobiju

obrazac 2 .O a b= +

Napiši formulu za izračunavanje obima jednakokrakog trougla.

3 .O = + + = ⋅ Učenici treba da dobiju obrazac 3 .O a= Treći cilj: Usvajanje formula za izračunavanje obima četvorougla. • Učenici dobijaju nastavni listić:

Napiši formulu za izračunavanje obima četvorougla.

.O = + + +


Učenici treba da u prazna polja upišu ,a b , c i .d Četvrti cilj: Usvajanje formula za izračunavanje obima paralelograma, deltoida,

jednakokrakog trapeza i romba. • Učenici dobijaju nastavni listić:

1. Napiši formule za izračunavanje obima paralelograma i deltoida.

2( ).O = + + + = + 2. Napiši formulu za izračunavanje obima jednakokrakog trapeza.

2 .O = + + + = + + ⋅ Napiši formulu za izračunavanje obima romba.

4 .O = + + + = ⋅ • Učenici rješavaju zadatke u kojima treba primijeniti dobijene obrasce. Dužine stranica

trouglova i četvorouglova treba zadati tako da učenici lako mogu izračunati njihove obime. Cilj je da se usvoji pojam obima mnogougla, a ne da se vježba račun.

2. Površina trougla i četvorougla • Ako prihvatimo da je osnovni cilj ove teme naučiti djecu da, primjenjujući formule,

računaju obime i površine trouglova i četvorouglova, onda je to potpuni promašaj. Dio značaja matematike u obrazovanju djece, svakako je u tome što se u njoj često srijeću

zadaci u kojima se na jasan i učenicima razumljiv način mogu uočiti problemi koje oni prihvataju kao važne probleme i čije rješavanje izaziva njihovu pažnju.

Bez sumnje takva svojstva imaju zadaci u kojima treba doći do formula za računanje površine trougla i četvorougla. Da vidimo zbog čega.


Učenici koji već imaju iskustvo sa mjerenjem duži i uglova, lako usvajaju površinu mnogougla kao broj koji izražava sa koliko se kvadratnih jedinica i sa koliko i kojih dijelova kvadratne jedinice može prekriti mnogougao.

U svakodnevnom životu se često govori o površinama stanova, sportskih terena i slično pa učenici lako prihvataju da je određivanje njihove površine neposrednim prekrivanjem kvadratnim jedinicama i njenim dijelovima teško, a ponekad i nemoguće izvesti.

Sada imamo problem čije rješenje privlači pažnju učenika: Kako odrediti površinu mnogougla ne prekrivajući ga kvadratnim jedinicama i

njenim djelovima? Prvi cilj: Usvajanje pojma površine mnogougla. • Nastavnik skreće pažnju učenika na ranije pripremljene slike i naglašava da su na prvoj

slici prikazana dva kvadratna centimetra.

Jedan od tih kvadrata je razrezan duž dijagonale i od dobijenih dijelova napravljen je

šestougao prikazan na drugoj slici.Koliko iznosi površina tog šestougla? Učenici, navikli da je površina pravougaonika broj koji pokazuje sa koliko se kvadratnih

jedinica ( 2 ,cm 2m , 2km ...) može prekriti pravougaonik, odgovaraju da površina prikazanog šestougla iznosi 2 2.cm

• Nastavnik uvodi pojam površine mnogougla. • Učenici rješavaju primjer 1.1 iz udžbenika. • Nastavnik naglašava da je površine stanova, sportskih terena, zemljišnih parcela i slično,

teško, a često i nemoguće, odrediti neposrednim prekrivanjem kvadratnim jedinicama i njihovim dijelovima. Zato se izvodi formula za izračunavanje površine raznih geometrijskih figura.

• Drugi cilj: Usvajanje formule za izračunavanje površine pravougaonika. • Učenici rade zadatak 1.1 (zbirka). • Koristeći sliku 2.5 (udžbenik) učenici uz pomoć nastavnika izvode obrazac za

izračunavanje površine pravougaonika. • Treći cilj: Usvajanje formule za izračunavanje površine pravouglog trougla. • Učenici dobijaju nastavni listić.


( ) .P pravougaonika = 1 1( ) ( ) .2 2

P T P pravougaonika= =

Zaključak: Površina pravouglog trougla jednaka je polovini proizvoda dužine njegovih kateta.

Nastavnik: Na slici je prikazan pravougli trougaoT koji je dopunjen do pravougaonika.

Dužine kateta trougla T su označene sa a i .b Zapišite obrazac za izračunavanje površine dobijenog pravougaonika, tj. popunite prvo prazno polje u vašem listiću.

Učenici zapisuju ( ) .P pravougaonika ab=

Nastavnik: Uočite pravougle trouglove koje formira dijagonala pravougaonika i sjetite se

pravila podudarnosti pravouglih trouglova koje smo nazvali kateta-kateta. Neka učenik K kaže kako glasi to pravilo.

Učenik K: Ako su katete jednog pravouglog trougla jednake katetama drugog pravouglog trougla, onda su ti trouglovi podudarni.

Nastavnik: Da li se pravilo kateta- kateta može primijeniti na pravougle trouglove prikazane na slici?

Učenici: Da, jer su katete jednog trougla jednake katetama drugog trougla. Nastavnik: Dakle, pravougli trouglovi prikazani na slici su podudarni. Zašto podudarni

trouglovi imaju jednake površine? Učenici: Zato što se takvi trouglovi premještanjem mogu dovesti do poklapanja. Nastavnik: Da li to znači da je pravougaonik na slici podijeljen na dva pravougla trougla

jednakih površina? Učenici: Da. Nastavnik: Možemo li zaključiti da je površina pravouglog trougla T jednaka polovini

površine pravougaonika? Učenici: Da. Nastavnik: Popunite drugo prazno polje u vašem listiću. Učenici zapisuju

1 1( ) ( ) .2 2

P T P pravougaonika ab= =

• Četvrti cilj: Usvajanje formule za izračunavanje površine proizvoljnog trougla. • Analizirajući uz pomoć nastavnika sliku


učenici uočavaju da je površina trougla ABC jednaka polovini površine pravougaonika.

Učenici postavljaju hipotezu da je površina trougla jednaka polovini proizvoda dužine stranice trougla i dužine odgovarajuće visine.

Nastavnik naglašava da će dokazati formulu 12 cP ch= i da će razmatrati tri slučaja:

1. Trougao ABC je pravougli. 1. Trougao ABC je oštrougli. 1. Trougao ABC je tupougli. Prvi slučaj. Učenici dobijaju nastavni listić.

P(Δ ABC) = 1 .2

Nastavnik: Neka je H podnožje visine trougla ABC spuštena iz tjemena .C Dužinu visine CH označićemo sa .ch Ako je trougao ABC pravougli sa pravim uglom kod tjemena A onda se visina CH poklapa sa katetom .CA Čemu je jednaka površina pravouglog trougla ABC?

Učenici: Površina pravouglog trougla je jednaka polovini proizvoda dužina kateta. Nastavnik: Popunite nastavni listić. Učenici zapisuju

P(Δ ABC) 1) .2 cch=


Drugi slučaj • Učenici dobijaju nastavni listić.

P(Δ ABC) = +

1 21 1( ) i ( ) .2 2

P T P T= =

P(Δ ABC) 1 2( ) ( )P T P T= + =1 1 2 2

= + = [[ ch21 činilac zajednički se izvlači ]] =

1 ( )2 ch= + = [ ][ ]ccc =+ 21

12

1 .2c ch c ch==

Nastavnik: Ako je trougao ABC oštrougli onda visina CH pripada unutrašnjoj oblasti

trougla .ABC Visina CH dijeli trougao ABC na dva pravougla trougla 1T i 2.T Cilj nam je da površinu trougla ,ABC koju za sada ne znamo izračunati, izrazimo preko površina pravouglih trouglova 1T i 2 ,T koje znamo izračunati. Kako se površina trougla ABC može izraziti preko površina trouglova 1T i 2 ?T

Učenici: Površina trougla ABC jednaka je zbiru površina pravouglih trouglova 1T i 2.T Nastavnik: Popunite prvi red u vašem listiću. (Učenici pišu P(Δ ABC) 1 2( ) ( ) .P T P T= + Čemu je jednaka površina pravouglog trougla? Učenici: Površina pravouglog trougla je jednaka polovini proizvoda dužina kateta. Nastavnik: Navedite dužine kateta trouglova 1T i 2.T Učenici: Dužine kateta trougla 1T su 1c i ,ch a dužine kateta trougla 2 ,T 2c i .ch Nastavnik: Popuniti drugi red u vašem listiću.

(Učenici pišu 1 1 2 21 1( ) i ( ) .2 2c cP T c h P T c h= = )

Sada možete popuniti treći i četvrti red u nastavnom listiću. Učenici uz pomoć nastavnika zapisuju


P(Δ ABC) 1 2( ) ( ) .P T P T= + = 1 21 12 2c cc h c h+ = [[ ch

21 činilac zajednički se izvlači ]]

1 21 ( )2 ch c c= + = [ ][ ]ccc =+ 21

12

1 .2c ch c ch==

Treći slučaj • Učenici dobijaju nastavni listić.

P(Δ ABC) .= −

P(Δ AHC) 1 2

= i P(T1) 1 2

= .

P(ΔABC) = P(Δ AHC) – P(T1) 1 1 2 2

− = [[ ch21 činilac zajednički se izvlači ]]

1 2 ch= ⋅ = [ ][ ]012 =− cc 1 1 .

2 2c ch c ch= =

Nastavnik: Na kraju pretpostavimo da je trougao ABC tupougli. I ovdje nam je cilj da

površinu trougla ,ABC koju za sada ne znamo izračunati, izrazimo preko površina pravouglih trouglova AHC i T1, koje znamo izračunati. Kako se površina trougla ABC može izraziti preko površina trouglova AHC i T1 ?

Učenici: Površina trougla ABC jednaka razlici površine trougla AHC i površine trougla T1.

Nastavnik: Popunite prvi red u vašem listiću.

(Učenici pišu P(Δ ABC) = ( ) .P T− )

Čemu je jednaka površina pravouglog trougla? Učenici: Površina pravouglog trougla je jednaka polovini proizvoda dužina kateta. Nastavnik: Navedite dužine kateta trouglova AHC i T1. Učenici: Dužine kateta trougla AHC su 1c c+ i ,ch a dužine kateta trougla T1, 1c i .ch

P(Δ AHC) 1


Nastavnik: Popuniti drugi red u vašem listiću.

(Učenici pišu P(Δ AHC) = 11 ( )2 cc c h+ i P(T1) = 1

1 .2 cc h )

Sada možete popuniti treći i četvrti red u nastavnom listiću. Učenici uz pomoć nastavnika zapisuju

P(Δ ABC) = P(Δ AHC) – P(T1) = 1 11 1( )2 2c cc c h c h+ − = [[ ch

21 činilac zajednički se izvlači ]] =

1 112 ch c c c= =−+ [ ][ ]012 =− cc 1 1 .

2 2c ch c ch= =

• Nastavnik skreće pažnju učenika na slike 2.8 − 2.10 (udžbenik) i naglašava da je slučaj prikazan na slici 2.10 već razmotren. Učenici komentarišu obrasce za izračunavanje trougla, koji odgovaraju slučajevima prikazanim na slikama 2.8 i 2.9. Na kraju nastavnik formuliše dva tvrđenja:

1. Ako su , i a b c dužine stranica trougla T= Δ ABC i ako su , i a b ch h h dužine visina spuštenih redom na stranice BC, AC i AB, tada je

1 1 1( ) .2 2 2a b cP T ah bh ch= = =

2. Površina trougla je jednaka polovini proizvoda osnovice i odgovarajuće visine. • Peti cilj : Usvajanje formule za izračunavanje površine paralelograma. • Nastavnik uvodi pojam visine paralelograma. • Učenici dobijaju nastavni listić.

(P paralelograma )ABCD = .+

1 21 1( ) , ( ) . 2 2

P T P T= =

1 2( paralelograma ) ( ) ( )1 1 1 1 ( ) 2 .2 2 2 2a a a

P ABCD P T P T

h h ah

= + =

= + = + = ⋅ =

Zaključak: Površina paralelograma je jednaka proizvodu dužine bilo koje njegove stranice i odgovarajuće visine.

Nastavnik: Dijagonala BD dijeli paralelogram ABCD na dva trougla 1 2i .T T Površinu paralelograma ABCD za sada ne znamo izračunati. Znamo kako se računaju površine trouglova

1 2i .T T Kako se površina paralelograma ABCD može izraziti preko površina trouglova 1 2i T T ?


Učenici: Površina paralelograma ABCD jednaka zbiru površina trouglova 1 2i .T T Nastavnik: Popunite prvi red u vašem listiću. (Učenici pišu P 1 2(paralelograma ) ( ) ( ) .ABCD P T P T= + ) Čemu je jednaka površina trougla? Učenici: Površina trougla jednaka polovini proizvoda dužine stranice trougla i dužine

odgovarajuće visine. Nastavnik: Uočite stranice i odgovarajuće visine trouglova 1 2i T T i popunite drugi red u

vašem listiću.

(Učenici pišu 1 21 1( ) , ( ) . 2 2a aP T ah P T ah= =

Sada možete popuniti treći i četvrti red u nastavnom listiću. (Učenici pišu

P 1 2(paralelograma ) ( ) ( )ABCD P T P T= + =1 12 2 aaah ah+ = [[

⎣⎡

ah21 činilac zajednički se izvlači ]]

12 ch a a= =+ [ ][ ]aba 2=+ 1 1(2 ) 2 ).

2 2a a ah a ah ah= = ⋅ =

Nastavnik: Za domaći rad uzmite sljedeće zadatke: 1. Dokaži podudarnost trouglova 1 2i .T T 2. Odredi površinu paralelograma ABCD koristeći podudarnost trouglova 1 2i .T T Šesti cilj: Usvajanje formule za izračunavanje površine trapeza. • Nastavnik uvodi pojam visine trapeza. • Učenici dobijaju nastavni listić.

(P trapeza )ABCD = .+

1 21 1( ) , ( ) . 2 2

P T P T= =

1 2( trapeza ) ( ) ( )1 1 1 1 ( ) ( ) .2 2 2 2

P ABCD P T P T

h a b h

= + =

= + = + = +


Nastavnik: Dijagonala AC dijeli trapez ABCD na dva trougla 1 2i .T T Površinu trapeza ABCD za sada ne znamo izračunati. Znamo kako se računaju površine trouglova 1 2i .T T Kako se površina trapeza ABCD može izraziti preko površina trouglova 1 2i T T ?

Učenici: Površina trapeza ABCD jednaka je zbiru površina trouglova 1 2i .T T Nastavnik: Popunite prvi red u vašem listiću. (Učenici pišu P (trapeza 1 2) ( ) ( ) .ABCD P T P T= + ) Čemu je jednaka površina trougla? Učenici: Površina trougla jednaka je polovini proizvoda dužine stranice trougla i dužine


vašem listiću.

(Učenici pišu 1 21 1( ) , ( ) .) 2 2

P T ah P T bh= =


1 2( trapeza ) ( ) ( )P ABCD P T P T= + =1 12 2

ah bh+ = [[ h21 činilac zajednički se izvlači ]]

12

h a b= + =1 ( ) .2

a b h+

• Sedmi cilj: Usvajanje formule za izračunavanje površine četvorougla sa normalnim dijagonalama.

P (četvorougla )ABCD = .+

1 21 1( ) , ( ) . 2 2

P T P T= =

P (četvorougla ABCD) = P(T1) + P(T2) = 1 2

+ 1 2

=

= 121 d ( .+ ) = [ ][ ]221 dhh =+ = 212

1 dd .


Nastavnik: Na slici je prikazan četvorougao ABCD sa normalnim dijagonalama. Dijagonala AC dijeli taj četvorougao na dva trougla 1 2i .T T Površinu četvorougla ABCD

za sada ne znamo izračunati. Znamo kako se računaju površine trouglova 1 2i .T T Kako se površina četvorougla ABCD može izraziti preko površina trouglova 1 2i T T ?

Učenici: Površina četvorougla ABCD jednaka je zbiru površina trouglova 1 2i .T T Nastavnik: Popunite prvi red u vašem listiću. (Učenici pišu 1 2(četvorougla ) ( ) ( ) .P ABCD P T P T= + ) Čemu je jednaka površina trougla? Učenici: Površina trougla jednaka je polovini proizvoda dužine stranice trougla i dužine


vašem listiću.

(Učenici pišu 1 1 1 2 1 21 1( ) , ( ) . 2 2

P T d h P T d h= =


P (četvorougla )ABCD = P(T1) + P(T2) = 1 11 2

d h + 1 21 2

d h =

P (četvorougla ABCD) = P(Δ ABC) = 1 2

+ 1 2

=

= 121 d ( 1h + 2h ) = [ ][ ]221 dhh =+ = 212

1 dd .

Nastavnik predlaže jednom od učenika da na sljedećem času obrazloži kako se na drugačiji

način, korišćenjem slike 2.19 iz udžbenika, može dobiti formula za računanje površine četvorougla sa normalnim dijagonalama.


CIP – Каталогизација у публикацији Централна народна библиотека, Цетиње 371.3:51(035) КРНИЋ, Изедин Metodički priručnik iz matematike : (za VII razred devetogodišnje osnovne škole) / Izedin Krnić, Marko Jokić, Ljiljana Kruška. – 2. izd. – Podgorica : Zavod za udžbenike i nastavna sredstva , 2007. (Podgorica : Ostojić). – 80 str. : ilustr. ; 30 cm Tiraž 1000.. ISBN 978-86-303-1146-8 1. Јокић, Марко 2. Крушка, Љиљана а) Математика – Настава – Методика – Приручници COBISS.CG-ID 11683088

metodiČki priruČnik iz matematike - zuns.me prirucnik 7.pdf · metodi8 čki priručnik iz...

Documents