método de runge y estandar

7/17/2019 Método de Runge y Estandar

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MÉTODO DE RUNGE-KUTTA-SIMPSON

En el canal rectangular mostrado en la Fgura E!"#$ utl%ando el m&todo deRunge-Kutta 'ara ntegrar la ecuac(n d)erencal del r&gmen gradualmente*arado +,,.$ con un nter*alo es'acal de ntegrac(n /012m$ determne lau3cac(n de la secc(n ncal de un e*entual resalto 4dr5ulco! Ignore 'erddas deenerg6a en la transc(n

SO7U8ION

a9 8alculo d las 'ro)unddades normales$ alturas cr6tcas : energ6a m6nmas en lostramos! Determnac(n de las 'endentes 4dr5ulca

dy

dx=

So−( n∗Q

( A5

P2)3)2

1−B∗Q

2

g∗ A2

∆ Y = K 1+2 ( K 2+ K 3 )+ K 4

6

K 4=∆ x K 3=∆ x

dy

dx

K 1=∆ x dy

dx ∫

K 2=∆ x dy

dx ∫ YX

+K1/2

K 4=∆ x dy

dx ∫ YX K 3=∆ x dy

dx ∫ YXK



Tramo 2; Para calcular <c2 utl%aremos la ta3la $ 'ara cu:o )n se re=uere ladetermnac(n del 'ar5metro

7a altura crtca!

Emin = >, ? <c 1 $,@ m

Puesto =ue <c2 <c$ la 'endente 4dr5ulca del tramo 2 ser5 M

,$,

#$@@

Yb = #$B@ m

Para determnar la secuenca su3crtca$ calculamos el nCmero de Froude;

$B

,$"

A'lcamos la )ormula +canales rectangulares9

$#2

Qn

b18/3∗So1/2=

15∗0.016

1.58 /3∗0.0056

1 /2

q2

q¿¿

Yc=¿

( 15

1.5)2

9.81

¿¿

Yc=¿

E b=¿

3.06

1.37=¿

Y b=¿

Vb =

15

0.75∗3 =

F =6.67

√ 0.75∗9.81

=

Yb

√ 1+8 F 2

¿ 1

2∗¿ - 1) =

1 2$#

1 ,Y c 1

b1

Y c 1

b1

Yc1 = ,? 2!@# 1 m

1 ,$2B m



<3 1 !#2? #!B@ 1 ,$, m

Puesto =ue <3 <c,$ el resalto ocurrr5 en el tramo ,$ con la *er)cac(n 're*a de

una cur*a M$ a 'artr de la secc(n +39$ la cual se e0tender5 4asta alcan%ar unaaltura su'ercr6tca secuente a la 'ro)unddad del r&gmen normal <c, 1 2!B.m$esto es;

Fc, 1 #$B

#$@B

Yc2 = 2$#, mEn el 'er)l del agua en el canal se muestra en la )gura E!"#

39 7ocal%ac(n del resalto 4dr5ulco; ntegrando la ecuac(n con un nter*aloes'acal /0 1 2m

DISTANCIA APARTIR DE LASECCION (b) (m)

ALTURADEL AGUA(m)

# #$B@2# #$#,# #$@B# #$.2""# #$.B@"2 #$.2", #$.B

" #$..""@ 2" 2$#2"B 2$#, Secuente su'er)cal a <c,

SegCn los resultados de la ta3la anteror$ el resalto 4dr5ulco se nca a "B m de lasecc(n +39$ Fgura E!"#

Y c 2=¿

Ko /k ¿¿

¿2¿Zc / z¿¿

1−¿dy

dx=So∗¿



arado con gasto constante! Es decr$ se real%a 'rmeramente un an5lss glo3al :cualtat*o de los 'er)les del agua =ue sean com'at3les con los 'rnc'os de ladr5ulca! De esa )orma$ se antc'an los controles : 'ro)unddades del agua encertas seccones$ lo =ue a su *e%$ 'ermte la ntegrac(n de las ecuacones

descr't*as : o3tener$ en consecuenca$ la soluc(n com'leta al 'ro3lema! De3enotarse =ue$ en este caso$ esas ecuacones toman la )orma;

< 'ara su ntegrac(n 'uede utl%arse con *entaHa el :a sealado m&todo deRunge J Kutta

MÉTODO ESTNDAR

Un canal tra'ecal con anc4o de 'lantlla de " m$ coe)cente n 1 #!#2@ : taludes2;2$ conduce un gasto de ,# m >s$ 3aHo las condcones mostradas en la sguente)gura! Se desea conocer el 'er)l en los 'rmeros dos tramos$ consderando untrante al nco de 'rmer tramo de , m!

dy

dx=f ( x , y )



Soluc(n

Para determnar el 'er)l de )luHo a lo largo del canal : de3do a las 'endentes =uese 'resentan se de3er5n conocer 're*amente las condcones de )luHo normalesen cada uno de los tramos lo msmo =ue la condc(n de energ6a m6nma 'ara

'oder clas)car el 'er)l =ue se 'resentara! De gual manera de3eremos dent)car la secc(n de control$ la cual no 'ermtr5 conocer un trante a 'artr del cual sea'lcara el m&todo est5ndar!

De la )gura se determnara en 'rmera nstanca la 'endente del segundo tramo+'endente de la r5'da9 en )unc(n del desn*el : la longtud recorrda!

#$#@

Determnando la condc(n de energ6a m6nma o r&gmen crtco en am3os tramos!De3do a =ue el gasto es constante en am3os : se mantene la geometr6a delcanal$ el trante cr6tco =ue se 'resentara en los tramos es el msmo!

Determnando las condcones de )luHo un)orme en el tramo de 'endenteSo1#!####B +Tramo 29

Determnando las condcones de )luHo un)orme en el tramo de 'endente So1 #!#@+Tramo ,9

S2=

Q2

= A

3

4Yc+Yc2

<n2 1 2$,, m

<n2 1 $#@ m



De acuerdo con los trantes normales$ el trante crtco : el *alor del tranteconocdo se 'uede clas)car el 'er)l de )luHo en el tramo$ se 'uede au0lar en la)gura del ane0o ,!

Del es=uema se 'uede a'recar =ue en el cam3o de 'endentes sua*e a )uertee0str5 un cam3o de r&gmen de su3cr6tco a su'ercr6tco$ 'resent5ndose en dc4ocam3o el trante cr6tco$ el cual re'resenta una relac(n Cnca : drecta con elgasto =ue est5 crculando dentro del canal$ ra%(n 'or la cual 'uede ser consderada secc(n de control$ : a 'artr de este trante crtco se 'lanteara elm&todo est5ndar 'ara calcular el 'er)l!

<n, 1 #$@,# m



En el caso del 'rmer tramo se *er5 el cam3o del trante crtco 4asta llegar a untrante de ,!## m al nco del canal!

El sgno negat*o en las dstanca 'arcal +L09 : la dstanca acumulada +/09 ndca=ue la dstanca es medda de aguas a3aHo 4aca aguas arr3a$ es decr$ meddadesde el trante crtco en el cam3o de 'endente 4asta el trante de ,!## m alnco del canal +en sentdo contraro de la drecc(n del )luHo9!



A contnuac(n se muestra el 'er)l de )luHo en el canal$ se a'reca el r&gmensu3cr6tco en el 'rmer tramo : el r&gmen su'ercr6tco en el segundo tramo

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