MÉTODO SIMPLEX DUAL

En el Método de dos fases utilizamos variables artificiales para resolver problemas de P.L. que no tienen una solución factible básica inicial con sólo holguras.

Existe una clase de problemas de P.L. que no tienen una solución factible básica inicial con solo holguras, pero que pueden resolverse sin utilizar variables artificiales.

El procedimiento para resolver esta clase de problemas se llama Método Simplex Dual.

En el algoritmo símplex primal, el problema se inicia en una solución básica factible. Las iteraciones sucesivas siguen siendo básicas y factibles, pero avanzan hacia la optimalidad, hasta llegar al óptimo en la última iteración.

En cambio, en el símplex dual, la programación lineal se inicia en una solución básica que es mejor que la óptima, pero no es factible, y las iteraciones sucesivas siguen siendo básicas y mejores que la óptima, a medida que se acercan a la factibilidad. En la última iteración se encuentra la solución factible óptima.

En otras palabras, en el método simplex dual la solución comienza siendo infactible y óptima (en comparación con el simplex primal que comienza siendo factible, pero no óptima).

Es decir este método nos sirve para resolver problemas de P.L. con restricciones de tipo >=.

Como en el método símplex primal, la base del método símplex dual es que cada iteración siempre esté asociada a una solución básica.

Las condiciones de optimalidad y factibilidad se establecen para preservar la optimalidad de las soluciones básicas y al mismo tiempo mover las iteraciones de la solución hacia la factibilidad.

Metodología1. Se debe expresar el modelo en forma

estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.

2. Las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se deben multiplicar por (-1) en ambos lados , para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso, (se requiere que todas las restricciones sean del tipo ≤ ), esto hace que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea infactible.

3. La variable que sale, es la variable básica más negativa de entre todas las posibles. Un empate se rompe arbitrariamente.

4. Para determinar la variable que entra, se encuentran las razones entre los coeficientes del primer miembro de la ecuación Z y los coeficientes correspondientes en la ecuación de la variable saliente. Se descartan razones con denominadores positivos o cero.

Obs: Los denominadores solo pueden ser negativos, sino no hay solución factible.

 

“La variable que entra es la que tenga la razón más pequeña cuando es una minimización”.“Si el problema fuese de maximización se selecciona la variable que entra, a la que tiene el valor absoluto más pequeño de las razones”.Obs: Un empate se rompe arbitrariamente.

 3. El proceso termina cuando todas las

variables básicas son no negativas (positivas o cero).

Si en la programación lineal hay restricciones (=) se puede reemplazar la ecuación con dos inecuaciones.

Por ejemplox1 + x2 = 1

equivale a x1 + x2 ≤ 1, x1 + x2 > 1o bien x1 + x2 ≤ 1, -x1 - x2 ≤ -1

Observaciones

Después de convertir todas las restricciones en (≤), la programación lineal tendrá una solución de inicio no factible si y sólo si al menos uno de los lados derechos de las inecuaciones es estrictamente negativo.

En caso contrario, si z es óptima y ninguno de los lados derechos es negativo no habrá necesidad de aplicar el método símplex dual, porque la solución de inicio ya es óptima y factible.

EjemploMin Z = 3X1 + 2X2

Sujeto a:

3X1 + X2 ≥ 3

4X1 + 3X2 ≥ 6

  X1 + X2 ≤ 3

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Estandarizando el modelo tenemos:

Min Z = 3X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

Sujeto a:

3X1 + X2 - S1 = 3

4X1 + 3X2 - S2 = 6

  X1 + X2 +S3 =3

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0

Recordemos que, en este modelo se requiere que todas las variables de exceso tengan coeficiente +1, por lo tanto las ecuaciones que contengan las variables de exceso se multiplican por -1.

Min Z - 3X1 - 2X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0Sujeto a:

-3X1 - X2 + S1 = -3

-4X1 - 3X2 + S2 = -6

  X1 + X2 +S3 =3

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0

Básica x1 x2 S1 S2 S3Soluci

ón

Z -3 -2 0 0 0 0

S1 -3 -1 1 0 0 -3

S2-4 -3 0 1 0 -6

S3 1 1 0 0 1 3

En el ejemplo las variables S1=-3, S2=-6, S3=3, entonces se elige a S2 como la variable que sale por ser las más negativa.

Básica x1 x2 S1 S2 S3Solució

n

Z -3 -2 0 0 0 0

S1 -3 -1 1 0 0 -3

S2-4 -3 0 1 0 -6 sale

S2

S3 1 1 0 0 1 3

¾=0,75 2/3=0,67Entra x2

Básica x1 x2 S1 S2 S3Solució

n

Z -3 -2 0 0 0 0

S1 -3 -1 1 0 0 -3

x24/3 1 0 -1/3 0 2

S3 1 1 0 0 1 3

Básica x1 x2 S1 S2 S3Soluci

ón

Z -1/3 0 0 -2/3 0 4

S1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1

x2 4/3 1 0 -1/3 0 2

S3 -1/3 0 0 1/3 1 1

Ahora sale la variable más negativa S1 por el valor (-1).

Básica x1 x2 S1 S2 S3

Solución

Z -1/3 0 0 -2/3 0 4

S1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1sale S1

x2 4/3 1 0 -1/3 0 2

S3 -1/3 0 0 1/3 1 1

(-1/3)/(-5/3)=(1/5)

=0,20

(-2/3)/(-1/3)=

2

Entra x1

Básica x1 x2 S1 S2 S3Solució

n

Z -1/3 0 0 -2/3 0 4

X1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5

x2 4/3 1 0 -1/3 0 2

S3 -1/3 0 0 1/3 1 1

Básica x1 x2 S1 S2 S3Solució

n

Z 0 0 -1/5 -3/5 0 21/5

X1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5

x2 0 1 4/5 -3/5 0 6/5

S3 0 0 -1/5 2/5 1 6/5

Como los valores en la columna solución son no negativos (todos son positivos), hemos llegado al óptimo.Por consiguiente, la solución es:X1=3/5 x2=6/5 y el valor óptimo z=21/5

TALLER Resolver usando el método simplex

dual

Min z = 20x1 + 28x2 s.a. 4x1 + 3x2 1 9x2 1 x1 , x2 0

DeberResuelva los problemas de

programación lineal usando el Método Simplex Dual