MTODO SIMPLEX

Investigacin Operativa ISesin 20MTODO SIMPLEX. Problema Dual.http://sites.google.com/site/willianfloressotelo/1El concepto de dualidad tiene un rol muy importante, no solo en Programacin lineal, sino en la teora de optimizacin en general.Mas an, la teora de la dualidad es mas amplia que la teora de Programacin matemtica, nos interesa el concepto de dualidad restringido a la teora de optimizacin.A todo PRIMAL le corresponde un DUAL.El problema PRIMAL tiene n variables (de X1, X2 ,... Xn). El problema DUAL tiene n restricciones. Por consiguiente a cada variable del PRIMAL le corresponde una restriccin del DUAL.2Como B es un vector de m componentes, entonces el PRIMAL tiene m restricciones mientras que el DUAL tiene m variables.En el PRIMAL el objetivo es maximizar la funcin Z, mientras que en el DUAL es minimizar la funcin W.El rol del vector C en el PRIMAL, corresponde al rol de B en el problema DUAL.El programa PRIMAL utiliza la matriz y en el DUAL utiliza la matriz transpuesta.31. MAXIMIZAR:Z 40,000 X1 + 30,000 X2

2. SSR.X1 + 3X2 15,0002X1 + X2 10,0002X1 + 2X2 12,000 X1 + X2 10,000

3. Condicin de no negatividad:XJ 0.PRIMALTenemos que transponer los coeficientes, para que el DUAL tenga 4 variables y 2 restricciones.Los coeficientes Bi del PRIMAL pasan a ser los coeficientes de la funcin objetivo del DUAL. 2 VARIABLES4 RESTRICCIONES1. MINIMIZAR:W 15,000 Y1 + 10,000 Y2 + 12,000 Y3 + 10,000 Y4

Para obtener la restriccin 1, se toman los coeficientes de la variable X1 de todas las restricciones multiplicados por las nuevas variables de decisin y sumadas, que van a ser mayor igual a C1 de la funcin objetivo del PRIMAL.2. SSR.Y1 + 2Y2 + 2Y3 + Y4 40,0003Y1 + Y2 + 2Y3 + Y4 30,0003. Condicin de no negatividad:YJ 0.4Presentamos el modelo en forma cannica:

1. MAXIMIZAR:Z 40,000 X1 + 30,000 X2

2. SSR.X1 + 3X2 15,0002X1 + X2 10,0002X1 + 2X2 12,000 X1 + X2 10,000

3. Condicin de no negatividad:XJ 0.

Transformndolo a la forma Estndar tenemos:

1. MAXIMIZAR:Z 40,000 X1 + 30,000 X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6

2. SSR.X1 + 3X2 + X3 = 15,0002X1 + X2 + X4 = 10,0002X1 + 2X2 + X5 = 12,000 X1 + X2 + X6 = 10,000

3. Condicin de no negatividad:XJ 0.5

X1X240,00030,000CJX3X4X5X60000131000CKXKBi15,0000X321010010,0000X422001012,0000X511000110,0000X6ZJCJ - ZJ000000040,00030,000000015,0005,0006,00010,0000X340,000X10X50X65,00011/201/20010,00005/21-1/2002,000010-1105,00001/20-1/201ZJCJ - ZJ200000,00040,00020,000020,00000010,0000-20,000004,00010,0002,00010,0000X340,000X130,000X20X62,000010-1105,0000012-5/204,0001001-1/204,0000000-1/21ZJZJ - CJ220000,00040,00030,000010,00010,0000000-10,000-10,00006

X1X240,00030,000CJX3X4X5X60000131000CKXKBi15,0000X321010010,0000X422001012,0000X511000110,0000X6ZJCJ - ZJ000000040,00030,000000015,0005,0006,00010,0007

X1X240,00030,000CJX3X4X5X60000131000CKXKBi15,0000X321010010,0000X422001012,0000X511000110,0000X6ZJCJ - ZJ000000040,00030,000000015,0005,0006,00010,0000X340,000X10X50X65,00011/201/20010,00005/21-1/2002,000010-1105,00001/20-1/201ZJCJ - ZJ200000,00040,00020,000020,00000010,0000- 20,000004,00010,0002,00010,0008

X1X240,00030,000CJX3X4X5X60000CKXKBi0X340,000X10X50X65,00011/201/20010,00005/21-1/2002,000010-1105,00001/20-1/201ZJCJ - ZJ200000,00040,00020,000020,00000010,0000- 20,000004,00010,0002,00010,0000X340,000X130,000X20X62,000010-1105,0000012-5/204,0001001-1/204,0000000-1/21ZJZJ - CJ220000,00040,00030,000010,00010,0000000-10,000-10,000091. MINIMIZAR:W 15,000 Y1 + 10,000 Y2 + 12,000 Y3 + 10,000 Y4

2. SSR.Y1 + 2Y2 + 2Y3 + Y4 40,0003Y1 + Y2 + 2Y3 + Y4 30,000

3. Condicin de no negatividad:YJ 0.

Estandarizamos el problema:

1. MINIMIZAR:W 15,000 Y1 + 10,000 Y2 + 12,000 Y3 + 10,000 Y4 0 Y5 0 Y6 + M 7 + M 8

2. SSR.Y1 + 2Y2 + 2Y3 + Y4 0 Y5 + M 7 = 40,0003Y1 + Y2 + 2Y3 + Y4 0 Y6 + M 8 = 30,000

3. Condicin de no negatividad:YJ 0.

10

Y1Y2Y3Y4CJ15,00010,00012,00010,000Y5Y67800MMCKXKBi1221-101040,000M731210-10130,000M8ZJCJ - ZJ70,000 M4M3M4M2M-M-MMM15,000-4M10,000-3M12,000-4M10,000-2MMM0020,00015,00015,000 - 4M = 15,000 4 (100,000) = -385,00010,000 - 3M = 10,000 3 (100,000) = -290,00012,000 - 4M = 12,000 4 (100,000) = -388,00010,000 - 2M = 10,000 2 (100,000) = -190,000

11

Y1Y2Y3Y4CJ15,00010,00012,00010,000Y5Y67800MMCKXKBi1221-101040,000M731210-10130,000M8ZJCJ - ZJ70,000 M4M3M4M2M-M-MMM15,000 - 4M10,000 - 3M12,000 - 4M10,000 - 2MMM0020,0005,000M712,000Y315,0001.50.510.50-0.500.510,000-2100-111-1ZJCJ - ZJ10,000M+180000,00018,000-2M6,000+M12,0006,000-M- 6,000+MM6,000-M-3,000+2M4,000-M04,000M6,000 - M0-6,000+2M10,00030,000-3,000 + 2M = -3,000 + 2 (100,000) = 197,0004,000 - M = 4,000 (100,000) = -96,0006,000 - M = 6,000 (100,000) = -94,000

12

Y1Y2Y3Y4CJ15,00010,00012,00010,000Y5Y67800MMCKXKBi1221-101040,000M731210-10130,000M8ZJCJ - ZJ70,000 M4M3M4M2M-M-MMM15,000-4M10,000-3M12,000-4M10,000-2MMM0040,00010,000M712,000Y315,0001.50.510.50-0.500.510,000-2100-111-1ZJCJ - ZJ10,000M+180000,00018,000-2M6,000+M12,0006,000-M-6,000+MM6,000-M3,000+2M4,000-M04,000M6,000-M0-6,000+2M10,00030,00010,000Y212,000Y310,000-2100-111-110,0002.5010.50.5-1-0.51ZJ220000,00010,00010,00012,0006,000-4,000-2,0004,0002,000CJ - ZJ5,000004,0004,0002,000M-4,000M-2,000

13Hoja1

Hoja2

Hoja3

Hoja1

Hoja2

Hoja3

Hoja1

Hoja2

Hoja3

Hoja1

Hoja2

Hoja3

Hoja11000021010012000220010100001100010000000500011/201/2002000010-110500001/20-1/201000000040001001-1/202000010-11040000000-1/21400001221-10103000031210-1013000001 2/31 1/32/3-11/31-1/31000011/32/31/30-1/301/3

Hoja2

Hoja3

Hoja11000021010012000220010100001100010000000500011/201/2002000010-110500001/20-1/201000000040001001-1/202000010-11040000000-1/21400001221-10103000031210-1013000001 2/31 1/32/3-11/31-1/31000011/32/31/30-1/301/3

Hoja2

Hoja3

Hoja11000021010012000220010100001100010000000500011/201/2002000010-110500001/20-1/201000000040001001-1/202000010-11040000000-1/21400001221-10103000031210-1013000001 2/31 1/32/3-11/31-1/31000011/32/31/30-1/301/3

Hoja2

Hoja3