Metodologie informatiche per la

chimica

Dr. Sergio Brutti

Matrici

Risultati dell’esercitazione Legenda: A = compito eccellente; B = compito buono; C = compito

sufficiente; D = compito scarso; E = compito insufficiente. Tali valutazioni

non possono essere scalate linearmente in 30esimi.

Studente Voto Commento

Calice B Mancato uso della funzione matrice.somma.prodotto

per calcolare il prodotto scalare; esr 4 corretto al 20%

Cazzetta B- Fogli non rinominati; esr 1 corretto al 67%; esr 4

corretto al 20%

Celeste B+ esr 4 corretto al 20%

Lavecchia A-- esr 4 corretto al 60%

Mastrangelo A-- esr 4 corretto al 60%

Nolè B+ Fogli non rinominati; esr 4 corretto al 40%; confusione

Pirrone B++ esr 4 corretto al 40%

Stefanile B++ Fogli non rinominati; esr 4 corretto al 60%

Commento generale: L’esercitazione non è stata completata per

mancanza di tempo. La valutazione complessiva è positiva. I fogli di

calcolo erano mediamente poco chiari (esr 4).

Matrici e determinanti

Data una matrice 2x2

Il suo determinante sarà dato dal prodotto a croce tra i suoi elementi

dc

ba

bcdadc

badet

Nel caso di una matrice 3x3 al fine di calcolarne il determinante si

può usare il cosiddetto metodo generale:

yx

yxz

zx

zxy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

det

Matrici e determinanti - esempio

Data una matrice 2x2

Il suo determinante sarà dato dal prodotto a croce tra i suoi elementi

21

32

7312221

32det

Nel caso di una matrice 3x3 al fine di calcolarne il determinante si

può usare il cosiddetto metodo generale:

1102115021

131211312011111

13

121

13

120

11

111

113

112

101

det

Matrice trasposta

Data una matrice 2x2

La sua matrice trasposta si otterrà scambiando le righe con le colonne

dc

ba

db

ca

Nel caso di una matrice 3x3 il meccanismo è lo stesso:

zzz

yyy

xxx

zyx

zyx

zyx

trasposta

Matrice trasposta - esempio

Data una matrice 2x2

La sua matrice trasposta è

43

21

42

31

Nel caso di una matrice 3x3 allo stesso modo:

221

111

100

211

210

110

trasposta

Matrice identità – definizione e proprietà

Si definisce matrice identità una matrice n x n i cui elementi sono

tutti nulli tranne quelli giacenti sulla diagonale principale. Questi

ultimi sono tutti unitari.

La matrice identità gode di alcune proprietà particolari:

10

01

0110

01det

Il suo determinante

è unitario

100

010

001

100

010

001

trasposta

100

010

001

La sua matrice trasposta è

sempre pari alla matrice identità

Prodotto vettoriale tra vettori

Dati due vettori u e v di equazione

Descritti dai seguenti vettori-colonna

Il prodotto vettoriale tra i due vettori è dato dal determinante della seguente

matrice 3x3:

zcybxav

c

b

a

v

zcybxau

c

b

a

u

cba

cba

zyx

vuw

det

Il risultato è un nuovo vettore che non appartiene allo spazio

vettoriale di partenza

Prodotto vettoriale tra vettori - esempio

Dati due vettori u e v di equazione

Descritti dai seguenti vettori-colonna

Il prodotto vettoriale tra i due vettori è dato dal determinante della seguente

matrice 3x3:

zyxv 112

1

1

2

v

zyxu 111

1

1

1

u

1

1

0

110

111

112det zyx

zyx

vuw

Prodotto vettoriale tra vettori

Dati due vettori nello spazio cartesiano

Di norma (modulo) pari a:

Il modulo del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale dei due vettori è dato da

zcybxav zcybxau

vuw

In cui a è l’angolo formato dalle due direzioni/versi di applicazione

dei due vettori.

222 cbav 222 cbau

asenvuw

Similmente a quanto accade per il prodotto scalare anche nel caso del

prodotto vettoriale le due formule che consentono di ricavarne il risultato

consentono di ottenere indirettamente l’angolo tra i 2 vettori.

Prodotto vettoriale tra vettori - esempio

Consideriamo i due vettori u e v dell’esempio precedente

Il prodotto vettoriale tra i due vettori da un nuovo vettore di modulo:

zyxv 112 zyxu 111

2110

1

1

0

110

111

112det

222

w

zyx

zyx

vuw

Il modulo del nuovo vettore è anche dato da

a

aa

senw

sensenvuw

32

111112222222

Da cui si ricava che:

1.246

6

6

6

32

2232 arcsensensenw aaa

• Calcolare il prodotto vettoriale delle due coppie di vettori precedenti

• Calcolare l’angolo compreso tra le direzioni delle due coppie di vettori

precedenti con il metodo del prodotto vettoriale

Esercizi • Calcolare i determinanti delle seguenti matrici

173

321

221

21

32

113

001

201

yxr

zyxk

zyxu

zyxv

11

111

211

122

• Calcolare la matrice trasposta

della seguente matrice

21

212

• Calcolare il determinante della

seguente matrice e della sua

trasposta

Prodotto tra matrici

Date 2 matrici 2x2

Il prodotto delle due matrici produce una nuova matrice con un numero

di righe pari al numero di righe della matrice 1 e numero di colonne pari

al numero di colonne della matrice 2.

Il prodotto tra matrici è possibile solo se il numero di colonne della

matrice 1 corrisponde al numero di righe della matrice 2.

dc

ba

hdfcgdec

hbfagbea

hg

fe

Ciò che si fa è una somma di prodotti riga-colonna

.........

......'

...''''

'''

'''

'

'

'

edbd

eaadeaad

eee

ddd

cc

bb

aa

Prodotto tra matrici - esempio

Date 2 matrici 2x2

Il prodotto delle due matrici è

32

11

53

21

3230

1110

11

10

Rango di una matrice

Data una matrice 3x4

Si definisce rango della matrice il numero massimo di colonne o

righe linearmente indipendenti della matrice stessa.

Condizioni di linearità tra colonne o righe.

cccc

bbbb

aaaa

dcba

db

ca

bedb

aeca

Il rango di una matrice può essere solo minore o uguale al minore tra il

numero di righe e colonne.

Rango di una matrice - esempio

Data una matrice 3x4

Si definisce rango della matrice il numero massimo di colonne o

righe linearmente indipendenti della matrice stessa.

Condizioni di linearità tra colonne o righe.

4338

1137

3201

13123071

1137

3201

Il rango della matrice precedente è 2

Rango di una matrice - esempio

Data una matrice 3x3

Si definisce rango della matrice il numero massimo di colonne o

righe linearmente indipendenti della matrice stessa.

Condizioni di linearità tra colonne o righe.

163

321

221

1323

3121

2121

Il rango della matrice precedente è 2

Orlati di una matrice

Data una matrice 3x4

E’ possibile calcolare il suo rango con il teorema degli “orlati” o di Kronecker

cccc

bbbb

aaaa

Il rango di una matrice è pari all’ordine della matrice quadrata (numero

di righe=numero di colonne=ordine) più grande con determinante non

nullo.

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

Quattro minori di ordine 3 della matrice 3x4 considerata

Solo due di essi si definisco orlati ovvero minori linearmente indipendenti

Orlati di una matrice - esempio

Data una matrice 3x4

E’ possibile calcolare il suo rango con il teorema degli “orlati” o di Kronecker

1111

3121

3112

111

312

311

111

311

312

111

321

312

111

121

112

Poiché esiste almeno un minore 2x2 con det≠0 il rango è almeno 2.

Considero i quattro minori di ordine 3 della matrice 3x4 considerata.

Solo due di essi si definisco orlati ovvero minori linearmente indipendenti poiché

contengono il minore 2x2 con det≠0

Se entrambi avessero determinante nullo, necessariamente anche gli altri due

sarebbero nulli

Rango di una matrice

Data una matrice 3x4

Il rango della matrice sarà 3 se almeno 1 tra i due determinanti degli orlati

3x3 considerati è non nullo.

cccc

bbbb

aaaa

0det0det

ccc

bbb

aaa

oppure

ccc

bbb

aaa

Nel caso in cui fossero entrambi nulli allora si dovrebbe verificare

l’esistenza di almeno un minor 2x2 della matrice originale il cui

determinante è non nullo.

Orlati di una matrice - esempio

Data una matrice 3x4

1111

3121

3112

3

111

321

312

det1

111

121

112

det

Dati due dei quattro minori di ordine 3 (orlati)

Entrambi gli orlati hanno determinante non sullo

Il rango della matrice è 3

Matrice inversa

Si definisce matrice inversa di una matrice quadrata n x n, una

diversa matrice quadrata di dimensioni n x n che moltiplicata per la

matrice di partenza produce come matrice risultante la matrice

identità

ac

bd

AA

dc

baA

det

11

100

010

001

'''

'''

'''

'''

'''

'''

fff

eee

ddd

ccc

bbb

aaa

In generale non esiste un algoritmo semplice che consente di calcolare

quando esiste l’inversa di una data matrice.

Esistono algoritmi non banali come quello dei “cofattori” o il “Gauss-

Jordan”.

Secondo il metodo dei cofattori per le matrici 2x2 (e solo per esse) vale:

Matrice inversa – metodo dei cofattori

Data una matrice quadrata i x j

ji,A,minordet1, , ji

jixAcof

jii

j

xx

xx

A

,1,

,11,1

La sua matrice inversa è data da:

T

jii

j

xAcofxAcof

xAcofxAcof

AA

,1,

,11,1

1

,,

,,

det

1

In cui det(A) è il determinante della matrice A, T indica l’operazione

di trasposizione e cof(A,xi,j) è definito dalla seguente relazione:

det(minor(A,i,j)) è il determinante del minore della matrice A ottenuto

cancellando la riga i e la colonna j.

Matrice inversa – esempio

Data una matrice quadrata 3x3

876

543

211

A

La sua matrice inversa è data da:

T

AA

43

11det

53

21det

54

21det

76

11det

86

21det

87

21det

76

43det

86

53det

87

54det

det

11

76

432

86

53det1

87

54det1det A

Matrice inversa – esempio

Svolgendo i prodotti

La sua matrice inversa è data da:

TT

A

113

146

363

3

1

346585

67128148

242130243532

3

11

3242123024135321det A

31311

31342

121

113

146

363

3

11

A

Esercizi

113

311

211

• Calcolare il rango delle seguenti matrici

11

11

525

314

211

1101

0121

0102

• Determina la matrice inversa delle seguenti matrici

12

12

113

011

201

113

311

211

525

314

211

• Calcolare il prodotto tra le seguenti matrici

21

32

12

12

112

011

010