Races de Polinomios

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFacultad de Ingeniera Elctrica y ElectrnicaEscuela Profesional de Ingeniera Electrnica

Races de polinomios (CAPITULO 7)

PROBLEMAS (pg. 198)

7.19 Considere el sistema siguiente con tres incgnitas a, u y v:

Encuentre los valores reales de las incgnitas, por medio de a) Solver de Excel, y b) algn paquete de software de manipulacin simblica.

SOLUCIN:

a) Solver de ExcelComo se muestra creamos tres celdas (B3, B4 y B5) para los valores o valores iniciales de u, v y a. Creamos otras celdas (B7, B8 y B9) para los valores de las funciones

Por ultimo una celda (B11) para la suma de los cuadrados de las funciones.

Una vez que la hoja de clculo ha sido creada, se elige la opcin Solver en el men de herramientas y lo configuramos segn nuestras celdas

En el presente caso, Solver nos dar los siguientes resultados

Los valores reales de nuestras incgnitas son:

b) Algn paquete de software de manipulacin simblica.

Para este caso hallaremos las solucin por medio del MATLAB

Por lo tanto tomando los valores reales de las incgnitas tenemos 2 posibles soluciones:

O tambin

7.20 En el anlisis de sistemas de control, se desarrollan funciones de transferencia que relacionan en forma matemtica la dinmica de la entrada de un sistema con su salida. La funcin de transferencia para un sistema de posicionamiento robotizado est dada por:

Donde G(s) = ganancia del sistema, C(s) = salida del sistema,N(s) = entrada del sistema y s = frecuencia compleja de la transformada de Laplace. Utilice una tcnica numrica para obtener las races del numerador y el denominador, y factorcelas en la forma siguiente:

Donde ai y bi son las races del numerador y el denominador, respectivamente.

SOLUCIN

Para el caso del numerador, tenemos:

Para el caso del denominador, tenemos:

Una vez obtenido nuestra funcin de transferencia reordenada lo pasamos en forma de ceros y polos

Obteniendo al final la forma requerida

7.21 Desarrolle una funcin de archivo M para el mtodo de biseccin, en forma similar a la de la figura 5.10. Pruebe la funcin por medio de repetir los clculos de los ejemplos 5.3 y 5.4.

Datos obtenidos de los ejemplos 5.3 y 5.4 hasta un error del 5%

Con ayuda del MATLAB creamos nuestros funciones de archivo M

Primer archivo M: Paracaidista

Segundo archivo M: Biseccion

Tercer archivo M: Metodo1

Ahora segn la tabla y nuestro programa verificaremos para su quinta interaccin el cual debe corresponder al valor de 14.875

7.22 Desarrolle una funcin de archivo M para el mtodo de la falsa posicin. La estructura de su funcin debe ser similar al algoritmo de la biseccin que se ilustra en la figura 5.10. Pruebe el programa por medio de repetir el ejemplo 5.5.

SOLUCIN

El ejemplo 5 est relacionado a los ejemplos 5.3 y 5.4, por lo tanto nuestros archivos M: Paracaidista es el mismo. Para este problema se modificaran un poco los otros dos archivos, teniendo de este modo

Archivo M: Metodo2

Archivo M: FalsaPosicion

Obteniendo los siguientes resultados

7.23 Desarrolle una funcin de archivo M para el mtodo de Newton-Raphson, con base en la figura 6.4 y la seccin 6.2.3. Junto con el valor inicial, introduzca como argumentos la funcin y derivada. Prubelo con la repeticin del clculo del ejemplo 6.3.

SOLUCIN

Con base en la figura 6.4 y la seccin 6.3.2 tenemos como dato la funcin:

Y como referencia al ejemplo 6.3 tenemos los siguientes resultados

Para este problema creamos el archivo M: Mtodo 3

Y una vez ejecutado e ingresado como argumentos la funcin y derivada obtenemos los siguientes resultados:

Y como observamos para las cuatro primeras interacciones nuestros valores coinciden con los valores del cuadro del ejemplo 6.3

7.24 Desarrolle una funcin de archivo M para el mtodo de la secante, con base en la figura 6.4 y la seccin 6.3.2. Junto con los dos valores iniciales, introduzca como argumento a la funcin. Prubelo con la duplicacin de los clculos del ejemplo 6.6.

SOLUCIN

Con base en la figura 6.4 y la seccin 6.3.2 tenemos como dato la funcin:

Y como referencia al ejemplo 6.6 tenemos los siguientes resultados

Primera iteracin:

Segunda iteracin:

Tercera iteracin:

Para este problema nuestro cdigo de archivo M: Mtodo 4 ser:

Y una vez ejecutado y ingresado como argumento la funcin,

Y como observamos para las tres primeras interacciones nuestros valores iniciales coinciden.7.25 Desarrolle una funcin de archivo M para el mtodo de la secante modificado, con base en la figura 6.4 y la seccin 6.3.2. Junto con el valor inicial y la fraccin de perturbacin, introduzca como argumento a la funcin. Prubelo con la duplicacin de los clculos del ejemplo 6.8.

SOLUCIN

Con base en la figura 6.4 y la seccin 6.3.2 tenemos como dato la funcin:

Y como referencia al ejemplo 6.8 tenemos los siguientes resultados

Primera iteracin

Segunda iteracin

Tercera iteracin

Para este problema nuestro cdigo de archivo M: Mtodo 5 ser:

Y una vez ejecutado y configurado con los valores deseados, tenemos los siguientes resultados

Y como se observa para las tres primeras interacciones nuestros valores iniciales coinciden con el ejemplo 6.8

TAREA 3Mtodos Numricos11