métodos cuantitativos para la gerencia ii (láminas...

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTADURIA PÚBLICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Prof. Dr. Francisco Antonio García

Métodos Cuantitativos para la Gerencia II (láminas ilustrativas de clases)

Métodos Cuantitativos para la Gerencia II Bibliografía Básica

• Investigación de Operaciones Hillier y Lieberman. • Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. F. J. Gould y otros. • Investigación de Operaciones. Wayne Winston.

• Investigación de Operaciones. Handy Taha. • Métodos Cuantitativos para los Negocios. Barry Render y otros (libro texto) • Métodos Cuantitativos para Administración. Frederick Hiller y otros. (libro texto)

Métodos Cuantitativos para la Gerencia II Estrategias Metodológicas de Evaluación

• Se realizarán tres (3) pruebas presénciales que aportarán un tercio del total necesario para la aprobación de la asignatura.

• Al final se realizará un examen diferido-recuperativo con toda la materia pero la cual eliminaría la peor nota obtenida en uno de los parciales.

• Igualmente se asignaran tareas computacionales en el transcurso del curso (bien resueltas), las cuales si bien no presentan carga aprobatoria, servirán para verificar el grado de responsabilidad estudiante y complementarán su escolaridad, es decir el estudiante que asista invictamente ganará un punto adicional sobre el promedio obtenido en su calificación definitiva condicionado a la entrega oportuna de sus tareas y la puntualidad. Del mismo modo, tendrá derecho a presentar diferido-recuperativo, sólo los estudiantes que hayan sido responsables con la entrega oportuna de este tipo de labores.

• La asistencia a clases es estrictamente obligatoria según las condiciones de escolaridad exigidos en la norma de nuestra universidad. Pero la persona que asista al 100% de sus clases y sea puntual, tendrá la oportunidad de obtener un punto adicional sobre su promedio final.

• Para obtener el punto de asistencia es menester asistir a todas las clases y no hay justificación por enfermedad o algún tipo de inconveniente (a menos que sea por disturbios). Al fin y al cabo es un beneficio que se otorga a los que lo puedan lograr.

Métodos Cuantitativos para la Gerencia II LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES

Un administrador puede incrementar la toma de decisiones aprendiendo más sobre metodología cuantitativa y comprendiendo mejor su contribución al proceso de toma de decisiones. Aquel administrador que se familiarice con los procedimientos cuantitativos de toma de decisiones estará en mucha mejor posición para comparar y evaluar las fuentes cualitativas y cuantitativas, y finalmente de combinar ambas, a fin de tomar la mejor decisión posible.


La revolución de la Administración Científica que inició Frederick W. Taylor, a principios del siglo pasado, puso las bases para el uso del los métodos cuantitativos en la administración, pero se considera que el uso de los métodos cuantitativos se originó a mediados de los cuarenta, cuando se formaron grupos para resolver problemas mediante métodos científicos. Años más tarde, gran parte de estos equipos multidisciplinarios continuaron investigando procedimientos cuantitativos para la TOMA DE DECISIONES. Tres hechos llevaron al desarrollo y uso de los métodos cuantitativos: • Descubrimiento por parte de George Dantzing en 1947 del método simplex para

la resolución de problemas de programación lineal. • Publicación del primer libro sobre Investigación de Operaciones en el año 1957

por parte de Churchman, Ackoff, y Arnoff. • Desarrollo del procesador electrónico.

METODOS CUANTITATIVOS PARA LA GERENCIA II Rol del Análisis Cuantitativo y Cualitativo

ESTRUCTURA DEL PROBLEMA

Definir el Problema

Identificar Alternativas

Determinar los Criterios

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Análisis Cualitativo

Análisis Cuantitativo

Resumen y Evaluación

Toma de Decisión


El análisis cualitativo se basa principalmente en el juicio del administrador; incluye la “intuición” del administrador en relación con el problema. Si el administrador ha tenido experiencia en problemas similares, o si el problema es relativamente simple, se puede poner mucho énfasis en el análisis cualitativo. Sin embargo, si el administrador ha tenido poco experiencia en problemas similares, o si el problema es lo suficientemente complejo, entonces un análisis cuantitativo puede resultar de especial importancia en la decisión final del administrador. Las habilidades en el procedimiento cuantitativo sólo pueden aprenderse mediante el estudio y el uso de los métodos cuantitativos. El analista se concentra en los hechos o los datos cuantitativos asociados con el problema y desarrollará expresiones matemáticas que describan los objetivos, los límites y otras relaciones que existen dentro del problema, para así recomendar un curso de acción

Métodos Cuantitativos para la Gerencia II Métodos Cuantitativos más usados

1.Programación Lineal

2.Programación Lineal Entera

3.Gerencia de Proyectos (PERT-CPM)

4.Modelos de Inventarios

5.Modelos de Líneas de Espera (colas)

6.Simulación por Computadora

7.Análisis de Decisiones

8.Pronósticos

9.Teoría de Juegos

Tema I Programación con enteros

En una solución óptima para programación lineal a veces las variables de decisión tendrán un valor entero, esto es un número entero (0, 1, 2, …). Sin embargo, algunas veces tendrán un valor fraccionario (por ejemplo, 2¾o 4,11353). Ninguna de las restricciones de un modelo de programación lineal prohíbe valores fraccionarios.

En algunas aplicaciones, las variables de decisión tendrán sentido si y sólo si tienen valores enteros. Por ejemplo, puede ser necesario asignar personas, máquinas, o vehículos a actividades en cantidades enteras. Este es el tipo de situación que estudia la programación entera.

Tipos de problemas de programación entera

•Programación entera pura Pueden ser con variables binarias

•Programación entera mixta (es decir valores de 0 o 1)

Programación con enteros Ejemplo-Problema

TBA Airlines es una compañía regional pequeña que se especializa en vuelos cortos en aviones pequeños. La compañía ha tenido un buen desempeño y la administración decidió ampliar sus operaciones. El asunto básico que ahora enfrenta la administración es si comprar más aviones pequeños para agregar algunos vuelos o comenzar a desplazarse al mercado nacional, comprando algunos aviones grandes para nuevos vuelos a través de todo EEUU (o ambos). Entraran muchos factores en la decisión final de la administración, pero el más importante es cual estrategia es probable que sea más redituable. La información pertinente se encuentra en la siguiente tabla: ¿Cuántos aviones de cada tipo se deben comprar para maximizar la ganancia anual neta total?

Avión pequeño Avión grande Capital disponible

Ingreso neto anual por avión $1 millón $5 millones

Costo de compra por avión $5 millones $50 millones $100 millones

Número máximo de compra 2 Sin máximo

Programación con enteros PL vs. PE

Suposiciones Básicas de un PL

Suposición de divisibilidad de Programación Lineal (PL):las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluso valores fraccionarios, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se puede suponer que las actividades pueden realizarse a niveles fraccionarios. Si se viola esta suposición porque el problema real requiere que las variables de decisión tengan valores enteros, entonces, debe emplearse la Programación Entera (PE) en lugar de la Programación Lineal (PL). Para el problema de TBA Airlines, las actividades son las compras de aviones de tipos diferentes, de modo que el nivel de cada actividad es el número de aviones de ese tipo comprados. Dado que el número comprado tiene que tener un valor entero, es necesario violar el supuesto de divisibilidad.

Programación con enteros PL vs. PE

Solución de TBA Airlines por PE

La formulación de Programación Entera de este problema es exactamente la misma que la de Programación Lineal, salvo por una diferencia crucial: se agregan restricciones que requieren que las variables de decisión tengan valores enteros. Por lo tanto, la forma algebraica del modelo de programación entera es: F. O. Max. U = x + 5y S. S. R. 1) 5x + 50y ≤100 2) x ≤2 3) x, y ≥0 X, y son enteros Las únicas soluciones factibles para este problema entero son las soluciones enteras que se encuentran en la región sombreada, es decir (0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1, 1), (2, 1) y (0,2).

Programación con enteros Solución de TBA Airlines por PE

Método de RAMIFICAR Y ACOTAR

En la práctica, la mayoría de los problemas de Programación Entera se resuelven mediante el uso de la técnica de ramificar y acotar. Los métodos de ramificar y acotar encuentran la solución óptima para una PE mediante la enumeración eficiente de los puntos en la región factible de un subproblema. Antes de explicar como funciona la ramificación y el acotamiento es necesario hacer la siguiente observación elemental, pero importante: si resuelve la relajación PL

de una PE pura y obtiene una solución en la cual las variables son

números enteros, entonces la solución óptima de la relajación PL

será también la solución óptima del PE.



Pasos: * La solución óptima para el problema relajado es: U = 11, x = 2, y y = 1,8. Esto significa que el valor óptimo de U para el PE no puede ser mayor que 11. * Luego procedemos a dividir la región factible del problema relajado en un intento de buscar más información que me ayude a optimizar el problema. Para ello escogemos arbitrariamente cualquier variable fraccionaria de los valores que nos haya otorgado la función objetivo, en este caso seleccionamos y (además es la única variable fraccionada). Ahora obsérvese que cada punto en la región factible para el PE tiene que ser y≤1, o bien y≥2. (¿Por qué no puede tener una solución factible para PE, 1 < y< 2). Con esto en mente, ramificamos respecto a la variable y

y creamos los siguientes dos subproblemas: Subproblema 2:Subproblema 1 + la Restricción y≥2

Subproblema 3:Subproblema 1 + la Restricción y≤1



Obsérvese que ni el subproblema 2, ni el subproblema 3 incluyen puntos con y = 1.8. Esto significa que la solución óptima para la relajación PL no puede volver a aparecer cuando resolvamos el subproblema 2 o el subproblema 3. Procedemos entonces a acotar el problema. • En este problema relativamente sencillo resulta que la solución al PE se obtuvo

al desarrollar el subproblema 2. Encontramos la solución final en el Método de Ramificar y Acotar, cuando los subproblemas otorguen resultados enteros y en donde se optimice z.

• Si los resultados de los subproblemas fuesen fraccionados, se continua ramificando y acotando hasta encontrar una solución final.



Max U = x+ 5y S.S.R. 1) 5x + 50y ≤ 100 2) x ≤ 2 3) x, y ≥ 0

U = 11, x = 2, y = 1,8

Max U = x+ 5y S.S.R. 1) 5x + 50y ≤ 100 2) x ≤ 2 3) y ≤ 1 4) x, y ≥ 0

U = 7, x = 2, y = 1

Max U = x+ 5y S.S.R. 1) 5x + 50y ≤ 100 2) x ≤ 2 3) y ≥ 2 4) x, y ≥ 0

U = 10, x = 0, y = 2

y ≤ 1

Subproblema 1

y ≥ 2

Subproblema 2 Subproblema 3

Solución candidato

Solución candidato,

óptima y final

Programación con enteros Problema Tarea


Max U = x + 1,2y S.S.R. 1) x + 5y ≤ 25 2) 9x + 6y ≤ 49,5 3) x, y ≥ 0

x, y son enteros

Programación con enteros Tipos de problemas de PE

Los problemas de Programación Lineal Pura son aquellos donde todas las variables de decisión tienen que ser enteros. Los problemas de Programación Entera Mixta sólo requieren que algunas variables tengan valores enteros (de modo que el supuesto de divisibilidad se cumple para el resto). Muchas aplicaciones de Programación Entera (ya sea pura o mixta) restringen aun más las variables enteras a sólo dos valores, 0 o 1. Las variables binarias son variables cuyos únicos valores posibles son 0 y 1. Los problemas de Programación Entera Binaria son aquellos donde las variables de decisión restringidas a valores enteros, están además restringidas a ser variables binarias. También estos problemas pueden ser puros y mixtos. Importarte: de manera análoga al algoritmo simplex, se podría esperar resolver un PE mediante un algoritmo que pasara una solución entera factible a una solución entera mejor. Por desgracia no se conoce tal algoritmo. Normalmente en más difícil resolver un PE que resolver la relajación PL de un PE.

Programación con enteros Programación Entera Binaria

Ejemplo-problema

Cierta empresa considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16000 dólares; la inversión 2 un VAN de 22000 dólares; la inversión 3 un VAN de 12000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual: la inversión 1, 5000 dólares; la inversión 2, 7000 dólares; la inversión 3, 4000 dólares; y la inversión 4, 3000 dólares respectivamente. Se dispone de 14000 dólares para la inversión. Formule un PE cuya solución dirá a esta empresa como maximizar el VAN global obtenido de las inversiones 1-4.


Ejemplo-problema

Como en las formulaciones de los PL, empezamos con la definición de una variable para cada decisión que esta empresa debe tomar. Esto conduce a definir una variable 0-1: 1 si se realiza la inversión xj ( j = 1, 2, 3, 4 ) = 0 de otra manera Por ejemplo, x2 = 1 si se realiza la inversión 2, y x2= 0 si no se realiza. Planteamiento formal: Max = 16x1 + 22x2 + 12x3+ 8x4

s.s.r. 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤14 xj = 0 o 1 (j = 1, 2, 3, 4)


Solución al PEB →Continuación

Cualquier PE, tal como el ejemplo anterior, que tiene solamente una restricción, se llama problema de la mochila. Max z = c1x1+ c2x2+ …+ cnxn

S.S.R. a1x1+ a2x2+ …+ anxn ≤ b Xi= 0 o 1 (i= 1, 2, …, n) Cuando se resuelven problemas de mochila mediante el método de ramificar y acotar, se simplifican enormemente dos aspectos del enfoque de ramificar y acotar. Ya que cada variable debe ser igual a 0 y 1, la ramificación con respecto xi, proporcionará una rama xi= 0, y otra rama con xi= 1. También se puede resolver la relajación PL (y otros subproblemas) mediante inspección. Para darse cuenta de ello, observe que se puede interpretar ci / ai como el beneficio que obtiene el artículo i por cada unidad del recurso que usa el artículo i. Así, los mejores artículos tienen mayores valores ci / ai y los peores artículos tienen valores mas pequeños de ci / ai. Para resolver cualquier subproblema que se presenta en un problema de mochila, calcule todas las razones ci /ai. Luego


Solución al PEB →Continuación

coloque el mejor artículo en la mochila. Después coloque el artículo que quedo en el segundo lugar en la mochila. Siga así de esta manera hasta que el mejor artículo que quede rebose la mochila. Entonces llene la mochila con la mayor cantidad posible de este artículo. Ramifique y acote de acuerdo a los artículos más rentables hasta obtener la solución candidato aceptable. Problema Tarea: Max = 40x1 + 80x2+ 10x3+ 10x4+ 4x5 +20x6+60x7 s.s.r. 40x1 + 50x2+ 30x3+ 10x4+ 10x5 +40x6+30x7 ≤ 100 xj= 0 o 1 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria

Método de Enumeración Implícita

El método de la enumeración implícita se usa frecuentemente para resolver PE 0-1. En la enumeración implícita se aplica el hecho de que cada variable debe ser igual a 0 o 1 para simplificar las componentes de ramificar y de acotar a fin de determinar eficazmente cuándo un nodo no es factible. El árbol que se utiliza en la enumeración implícita es similar a los árboles que se utilizaron para resolver problemas 0-1 tipo mochila. Cada rama de árbol se especificará, para alguna variable xi, tal que xi = 0 o xi = 1. De tal manera que para llegar a cada nodo, se deben especificar algunas de las variables. En la medida en que se va ramificando el árbol, en esa misma medida se van descartando variables por ser tomadas en cuenta en el desarrollo de dicha ramificación, a estas variables se les llama variables fijas, y las restantes que queden por fijar se les denomina variables libres.



La idea de este método en general, es la verificación de si un nodo tiene una integración factible (para cualquier nodo, una especificación o asignación de valores 0 o 1 de todas las variables libres se denomina integración) al observar cada restricción y al asignar el mejor valor a variable libre. Para la asignación de estos valores (0-1) resulta de gran utilidad a la siguiente tabla: Si la asignación de una determinada integración a un nodo no satisface alguna restricción, sabemos que el nodo no tiene un completamiento factible. En este caso, el nodo no puede proporcionar la solución óptima para la PE original.

TIPO DE RESTRICCIÓN SIGNO DEL COEFICIENTE DE LA VARIABLE LIBRE EN LA

RESTRICCIÓN

VALOR ASIGNADO A LA VARIABLE LIBRE EN LA VERIFICACIÓN DE

FACTIBILIDAD

≤ + 0

≤ - 1

≥ + 1

≥ - 0



Ejemplo: Utilice la enumeración implícita para resolver el siguiente PE 0-1:

Max z = – 7x1 –3x2 –2x3 –4x4 –2x5

SSR: 1) -4x1 –2x2 + x3 –2x4 – x5 ≤ -3 2) -4x1 –2x2 +4x3 + x4 –2x5 ≤ -7 3) xi= 0 o 1 (i = 1, 2, 3, 4, 5)

Pasos para la solución:

a) Al inicio (el nodo 1), todas las variables son libres. Primero verificamos si la mejor integración del nodo 1 es factible. La mejor integración del nodo 1 es x1= 0, x2= 0, x3= 0, x4= 0, x5= 0, ya que siendo todas las variables igual cero se maximiza la función, si existiera una variable cuyo coeficiente fuese positivo, entonces se le asigna uno. Pero con todas las variables igual a cero, al sustituir en las restricciones, no es una solución factible (viola ambas restricciones). b) Ahora verificamos si el nodo 1 tiene una integración factible, aplicando y verificando los valores de las variables libres de acuerdo a la tabla suministrada anteriormente en cada restricción.



c) Si en realidad el nodo 1 tiene una integración factible, procedemos a ramificar con respecto a una variable libre: seleccionamos cualquiera arbitrariamente. d) Se sigue el mismo procedimiento para cada nodo restante. e) Importante: en la ramificación y resolución de los nodos se le debe dar prioridad a la resolución del último nodo graficado (esto también es aplicable a los métodos de ramificación explicados anteriormente). La regla LIFO (del inglés last-in-first-out) señala esta conveniencia, que luego señalará de manera práctica.

La respuesta final al problema planteado es x1 = x2 = x5= 1, x3= 4x4= 0, z = -12. Ver solución gráfica en la web.

Problema-Tarea: Max z = 2x1 - x2 + x3

SSR: 1) x1 + 2x2 - x3 ≤ 1 2) x1 + x2 - x3 ≤ 2 3) xi = 0 o 1

PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Modelado de casos especiales de restricciones en un PEB

1) Caso cuando se presentan costos fijos

Consideremos el caso en que debemos decidir si realizar o no una actividad cuyo costo tiene tanto una componente fija como una variable, es decir el costo de realizar la actividad al nivel xi viene dado por si se incluye o no el CF, dependiendo si se realiza o no xi:

1 si se realiza la actividad i yi = con i=1,…,n 0 en caso contrario La función objetivo deberá incluir una variable entera binaria multiplicando al coeficiente que representa los costos fijos:

Z = a1 x1 + ..... ai xi + CF yi + ....an Xn

Entre otras restricciones propias de un determinado problema en particular, no debe faltar:

xi ≤ M yi

De esta forma si xi es mayor que cero se activa yi adoptando el valor 1 y el coeficiente CF aparecerá en la función objetivo. En caso contrario si xi = 0 la variable entera yi = 0 y el coeficiente CF no aparecerá afectando la función objetivo. M es una constante suficientemente grande que debe servir como cota superior.


Caso cuando se presentan costos fijos

Problema 1. Tres empresas pidieron que me suscribiera a su servicio de larga distancia dentro del país. MaBell cobra $16 fijos por mes, más $0,25 por minuto. PaBell cobra $25 por mes, pero el costo por minuto se reduce a $0,21. Y con BabyBell, la tarifa fija es de $18 mensual, y la proporcional es de $0,22 por minuto. Suelo hacer un promedio de 200 minutos de llamadas de larga distancia al mes. Suponiendo que no pague el cargo fijo si no hago llamadas, y que puedo repartir a mi voluntad mis llamadas entre las tres empresas, ¿cómo debo repartir las llamadas entre las tres empresas para minimizar mi recibo telefónico mensual? Este problema se puede resolver con facilidad sin plantearlo como entero. Sin embargo, es ilustrativo formularlo como sigue: x1: Minutos de larga distancia por mes con MaBell. x2: Minutos de larga distancia por mes con PaBell. x3: Minutos de larga distancia por mes con BabyBell. y1 = 1 si x1 > 0 y 0 si x1 = 0 y2 = 1 si x2 > 0 y 0 si x2 = 0 y3 = 1 si x3 > 0 y 0 si x3 = 0


Modelado de casos especiales de restricciones en un PEB

Se puede asegurar que yi sea igual a 1 si xi es positiva usando la siguiente restricción

xi ≤ Myi , i = 1, 2, 3.

Se debe seleccionar el valor M lo suficiente grande como para no restringir en forma artificial a las variables xi. Como se hacen aproximadamente 200 minutos de llamadas por mes, entonces xi ≤ 200 para toda i, y puede seleccionar M = 200 con seguridad. El modelo completo sería el siguiente: Min z = 0,25x1 + 0,21x2 + 0,22x3 + 16y1 + 25y2 + 18 y3

SSR: x1 + x2 + x3 ≥ 200 x1 ≤ 200y1

x2 ≤ 200y2

x3 ≤ 200y3

x1 , x2 , x3 ≥ 0 y1, y2, y3 enteros y binarios


Caso cuando se presentan costos fijos

Problema 2. Cierta empresa puede fabricar tres tipos de ropa: camisas, interiores, y pantalones. Para poder fabricar cada tipo de ropa, ellos tienen que disponer de lo recursos adecuados. Hay que rentar la máquina requerida para fabricar cada tipo de ropa, a la siguiente tarifa: para camisas $200 por semana, para interiores $150 por semana, para pantalones $100 por semana. La fabricación de cada tipo de ropa también requiere las cantidades de tela y de trabajo descriptos posteriormente. Casa semana se dispone de 150 horas de trabajo y 160 yardas cuadradas de tela. A continuación se dan los costos unitarios variables y los precios de venta de cada tipo de ropa. Formule un PE cuya solución maximice la ganancia semanala. Requerimientos de recursos Información monetaria

Trabajo Tela Ingresos Costos

Camisas 3 4 12 6

Interiores 2 3 8 4

Pantalones 6 4 15 8



Definimos las variables de decisión siguientes: 1 si se fabrican camisas y1 = con i=1,…,n 0 en caso contrario 1 si se fabrican interiores y2 = con i=1,…,n 0 en caso contrario 1 si se fabrican pantalones y2 = con i=1,…,n 0 en caso contrario



El modelo para este tipo de problema, quedaría reflejado de la siguiente manera:

Max z = 6x1 + 4x2 + 7x3 - 200y1 - 150y2 + 100 y3

SSR: 1) 3x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 150 2) 4x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160 3) x1 ≤ 10 y1

4) x2 ≤ 53 y2

5) x3 ≤ 25 y3

6) x1 , x2 , x3 ≥ 0 y enteros 7) y1, y2, y3 enteros y binarios Nota importante: es significativo incorporar el artificio matemático de la gran M para que la solución del problema tenga sentido. Por eso a M1, M2, y M3 se les asignó valores de 10, 53, y 25 a fin de garantizar que las variables y1, y2, y3 suministren valores factibles de cero o uno.

Respuesta:

x3 = 25 y3 = 1 Lo que nos da un z óptimo de $75.



2) Caso de problemas de asignación Definimos las variables de decisión siguientes: 1 si al asignado i realiza la tarea j xij = con i=1,…,n y j=1,…,n 0 en caso contrario La modelización queda como sigue: Optimizar (maximizar o minimizar) z = 𝑛=1 𝑐 𝑥𝑛=1 SSR 𝑥𝑛=1 = 1 para i=1,…,n 𝑥𝑛=1 = 1 para j=1,…,n Xij ≥ 0, para toda i y j Xij binarias , para toda i y j


Caso de asignaciones

Problema 1: Una universidad está programando las clases para el próximo semestre académico y requiere buscar la mejor asignación posible de profesores a los distintos cursos que se deben dictar. Considere que existen 5 profesores: A, B, C, D, E y 5 cursos (asignaturas): C1, C2, C3, C4, C5. Adicionalmente, los profesores han manifestado sus preferencias por dictar los distintos cursos en una escala de 1 a 10, donde 10 es la máxima puntuación y 1 la mínima puntuación o preferencia. Se asume que cada profesor es apto para dictar cualquier curso, independiente del puntaje de su preferencia. La siguiente tabla resume las puntuaciones que asigna cada profesor a cada curso: Se ha establecido como criterio que cada profesor debe dictar sólo un curso y a la vez que cada curso obviamente debe tener un profesor. En base a lo anterior se desea encontrar la asignación de profesores que maximice el total de las preferencias.

PROFESORES CURSOS A B C D E

C1 5 8 5 9 7 C2 7 2 3 6 8 C3 9 10 8 9 8 C4 8 7 9 7 8 C5 6 9 9 10 5



Solución: Definimos las variables de decisión siguientes: 1 si al profesor i se le asigna el curso j xij = con i=1,…,5 y j=1,…,5 0 en caso contrario La modelización queda como sigue: Max z = 5x11 + 8x21 + 5x31 + 9x41 + 7x51 + 7x12 + 2x22 + 3x32 + 6x42 + 8x52 + 9x13 + 10x23 + 8x33 + 9x43 + 8x53 + 8x14 + 7x24 + 9x34 + 7x44 + 8x54 + 5x15 + 8x25 + 5x35 + 9x45 + 7x55 SSR 1) x1j + x2j + x3j + x4j + x5j = 1 2) xi1 + xi2 + xi3 + xi4 + xi5 = 1 3) xij = 0 o 1 con i=1,…,5 y j=1,…,5

Respuesta: Al profesor D se le asigna la clase 1. Al profesor E se le asigna la clase 2. Al profesor A se le asigna la clase 5. Al profesor B se le asigna la clase 3 Al profesor C se le asigna la clase 4.

Lo que nos da un z óptimo de 40.



Problema 1: La directora de un centro educativo debe asignar la docencia de 5 asignaturas, A1, A2, A3, A4 y A5 a 4 profesores, P1, P2, P3 y P4 teniendo en cuenta las valoraciones de las encuestas hechas por los alumnos y unas restricciones impuestas por un nuevo reglamento. En base a las encuestas de años anteriores, se tienen las siguientes valoraciones promedios (escala: 0 mala, 5 excelente):

El nuevo reglamento dice que el profesor P3 no puede impartir las asignaturas A1 y A2. Las asignaturas no se pueden compartir y se han de impartir todas. Ningún profesor puede quedar sin asignaturas. Al profesor P1 solamente se le debe asignar una asignatura.

PROFESORES ASIGNATURAS P1 P2 P3 P4

A1 2,7 2,0 3,2 2,6 A2 2,2 3,6 3,8 2,5 A3 3,4 3,4 2,3 1,8 A4 2,8 2,8 1,9 4,2 A5 3,6 3,6 2,6 3,5



Solución: Definimos las variables de decisión siguientes: 1 si al profesor i se le asigna la asignatura j xij = con i=1,…,4 y j=1,…,5 0 en caso contrario La modelización queda como sigue: x31 + x32 = 0

Max z = 2,7x11 + 2,0x21 + 3,2x31 + 2,6x41 + 2,2x12 + 3,6x22 + 3,8x32 + 2,5x42 + 3,4x13 + 3,4x23 + 2,3x33 + 1,8x43 + 2,8x14 + 2,8x24 + 1,9x34 + 4,2x44 + 3,6x15 + 3,6x25 + 2,6x35 + 3,545

SSR 1) x31 = 0 2) x32 = 0 3) 1 ≤ xi1 + xi2 + xi3 + xi4 + xi5 ≤ 2 4) x1j + x2j + x3j + x4j = 1 5) x1j = 1 6) xij = 0 o 1 con i=1,…,4 y j=1,…,5

Respuesta: Resolver este modelo en Lindo, Solver, o cualquier programa que trabaje con Programación Lineal Entera Binaria.

Tema II TEORÍA DE COLAS

2.1 Introducción. 2.2 Estructura del sistema. 2.3 Modelo de colas con un servicio único. 2.4 Modelo de colas con servicio múltiple. Introducción: Las colas (líneas de espera) son parte de nuestra vida cotidiana. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, efectuar un depósito bancario, pagar víveres, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería, comenzar un recorrido en un parque de diversiones, etcétera. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera, pero aún nos molestamos con las esperas prolongadas. Sin embargo, tener que esperar no es sólo una pequeña molestia personal. La cantidad de tiempo que la población de un país desperdicia esperando en las colas es un factor primordial tanto de la calidad de vida como de la eficiencia de un país.


Estructura del sistema: a) Insumo. Son dos los elementos que constituyen los insumos del sistema: la población

y la tasa de llegadas. La población que deberá atenderse puede venir de una porción de la población indefinida, por ejemplo la población de una región dada, o de una porción de una población determinada, por ejemplo el conjunto de camiones que deberán cargarse en una empresa. La tasa de llegada del insumo puede ser constante (las piezas que se desplazan por una línea de montaje) o variable (la llegada de pacientes a una clínica de emergencias). Por tanto, el número de llegadas puede definirse por una distribución aleatoria.

b) Sistema de servicio. En éste se distinguen dos zonas: la zona de espera y la zona de servicio. Los dos elementos que definen la zona de espera son la estructura de la línea y la regla de prioridad. La línea de espera o “cola” se caracteriza por la longitud (infinita o limitada) y por su número (una sola línea o varias). La regla de prioridad puede ser: la primera llegada es la que se atiende primero; las llegadas anteriores ceden su lugar a los casos de urgencia; los pedidos de duración más corta son los primeros en atenderse, etc.


Estructura del sistema: c) Producto. En cuanto al producto se distinguen dos categorías: la que volverá al

sistema y reconstituirá así parte de la población que deberá atenderse (clientes de sucursales bancarias, de salas de emergencia y de estaciones de servicio, etc.), y la

que no volverá(productos terminados no defectuosos).

a) Línea única y canal único de servicio

b) Línea única y canales múltiples de servicios

c) Varias líneas y canales múltiples de servicios

d) Línea única y canal único con etapas múltiples

TEORÍA DE COLAS Elementos de un sistema de colas

Los actores principales en una línea de espera o cola son el cliente y el servidor. Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la instalación pueden recibir servicio de inmediato, o esperar en una cola, si la instalación está ocupada. Cuando en una instalación se termina un servicio, en forma automática se “atrae” a un cliente en espera, si lo hay, de la cola. Si la cola está vacía, la instalación se vuelve inactiva hasta la llegada de un nuevo cliente.

Desde el punto de vista del análisis de las colas, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente. Por lo general, los tiempos entre llegadas y servicio pueden ser probabilísticos, como el funcionamiento de una oficina de correos, o determinísticos, como en la llegada de solicitudes a las entrevistas de trabajo.

El tamaño de la cola desempeña un papel en el análisis de las colas, y puede ser finito, como en el área de reserva entre dos máquinas consecutivas, o puede se infinito, como en las instalaciones de pedidos por correo.

TEORÍA DE COLAS Elementos de un sistema de colas

La disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el análisis de los modelos de colas. La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en servirse. Entre otras disciplinas están último en llegar, primero en servirse, y de dar servicio en orden aleatorio. También, los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales.

El comportamiento de los clientes en espera juegan un papel en el análisis de las líneas de espera. Los clientes humanos se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. También pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado.

La fuente en donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que lleguen al servicio (por ejemplo, las máquinas que piden el servicio de mantenimiento). También, una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo, las llamadas que llegan a una central telefónica).

TEORÍA DE COLAS Modelo Generalizado de Cola de Poisson

La siguiente teoría y fórmulas se derivan del modelo general de cola en donde se combinan llegadas y salidas, basándose en la hipótesis de Poisson: los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribución exponencial. El modelo es la base para deducir modelos especializado de Poisson que se verán más adelante.

El desarrollo de este modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el sistema ha funcionado durante un tiempo suficientemente largo. Esta clase de análisis contrasta con el comportamiento transitorio (de calentamiento) que prevalece durante el inicio del funcionamiento del sistema. Una razón para no describir el comportamiento transitorio en esta parte del programa es su complejidad analítica. Otra es que el estudio de la mayor parte de los casos de líneas de espera sucede bajo condiciones de estado estable.

El modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegadas como de salidas dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio.

TEORÍA DE COLAS Modelo Generalizado de Cola de Poisson

a) ¿Cuántos clientes suelen esperar en el sistema de colas? b) ¿Cuánto suelen esperar estos clientes?

Estas dos medidas expresadas en forma de interrogantes, por lo común se expresan en

términos de sus valores esperados (en el sentido estadístico). Para hacer esto, es necesario

aclarar si sólo se están contando con clientes mientras esperan en la cola (previo al iniciar el

servicio) o mientras se encuentran en cualquier punto en el sistema de colas (ya sea en la cola

o en servicio). Estas dos formas de definir los dos tipos de medidas proporcionan cuatro

medidas de desempeño. Se presentan estas cuatro medidas y su símbolos.

L = número esperado de clientes en el sistema, incluye a quienes están en el servicio (el

símbolo L proviene de longitud) Lq = número esperado de clientes en la cola, que excluye a los clientes que están en el

servicio. W = tiempo de espera esperado en el sistema (incluye el tiempo de servicio) para un cliente individual (el símbolo W proviene de tiempo de espera) Wq = tiempo de espera esperado en la cola (excluye el tiempo de servicio) para un cliente

individual.

métodos cuantitativos para la gerencia ii (láminas...

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