metodos num ericos - notas de clase - |||||||||||||||||||{prof.usb.ve/rescalante/cursos/mn.pdf ·...

———————————————————–METODOS NUMERICOS- NOTAS DE CLASE -

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Rene EscalanteDepartamento de Computo Cientıfico y Estadıstica

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

- Noviembre, 2014 -

Contenido

1 Aproximacion de funciones 11.1 El teorema de aproximacion de Weierstrass y el teorema de

Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Interpolacion polinomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 La forma de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Otras formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 El metodo de las diferencias divididas . . . . . . . . . . 61.2.4 Error del polinomio de interpolacion . . . . . . . . . . 9

1.3 Interpolacion de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Interpolacion polinomica a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Interpolacion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Funciones splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Mejores aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.1 Mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2 El enfoque de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Interpolacion trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.1 Series de Fourier y la transformada discreta de Fourier 291.6.2 La transformada rapida de Fourier . . . . . . . . . . . 33

1.7 Experimentacion numerica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 351.8 Apendice al Capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Diferenciacion e integracion numericas 412.1 Diferenciacion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.1 Formulas de Newton-Cotes y extensiones . . . . . . . . 452.2.2 Cuadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Extrapolacion de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Experimentacion numerica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 54

i

ii CONTENIDO

3 Problemas de valores iniciales 593.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 EDOs de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Metodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Metodos multi-paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Sistemas y EDOs de orden mayor . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4 Estabilidad y ecuaciones de stiff . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5 Experimentacion numerica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Problemas con valores en la frontera 934.1 Metodo del disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2 Metodo de las diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3 Metodos de proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.1 Metodo de colocacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.2 Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Referencias 217

Capıtulo 1

Aproximacion de funciones

Desarrollamos aquı el importante tema de aproximacion de funciones basadosprincipalmente en las referencias [2], [6], [29] y [34].

1.1 El teorema de aproximacion de Weier-

strass y el teorema de Taylor

A fin de justificar el uso de polinomios para aproximar funciones continuas,introducimos aquı el importante resultado que sigue.

Teorema 1.1 (Teorema de Weierstrass) Si f ∈ C[a, b] y si ϵ > 0, en-tonces existe un polinomio p que satisface |f(x)− p(x)| ≤ ϵ en [a, b].

Demostracion: Sin perdida de generalidad podemos asumir que [a, b] =[0, 1] (¿por que?). Consideremos la sucesion de polinomios {Bn} definida enel intervalo [0, 1] por

(Bnf)(x) =n∑

k=0

(n

k

)f(k/n)xk(1− x)n−k,

los cuales son los denominados polinomios de Bernstein1. Resulta impor-tante interpretar Bn como un operador lineal sobre C[0, 1]. Es facil verificarla linealidad de Bn (i.e., Bn(αf + βg) = αBnf + βBng, con α, β ∈ R y

1Propuestos por Serge Bernstein en 1912. Estos polinomios han sido utilizados tambienen el diseno asistido por computador.

1

2 CAPITULO 1. APROXIMACION DE FUNCIONES

f, g ∈ C[0, 1]). Observemos ademas que si f ≥ 0 entonces tambien Bnf ≥ 02.A partir de estas dos propiedades se puede demostrar [29, §6.1] que si tene-mos una sucesion, digamos An, de operadores lineales y positivos, definidosen C[a, b], y si ∥Anf − f∥∞ → 0 para f(x) igual a 1, x y x2 (como en efectoocurre), entonces lo mismo ocurrira para toda f ∈ C[a, b]. 2

Observacion:

• Los polinomios de Bernstein imitan muy bien el comportamiento cua-litativo de f [9, §1.3]. Por ejemplo, si f ∈ Ck[0, 1], entonces ∥f (k) −(Bnf)

(k)∥∞ → 0 cuando n→ ∞. Sin embargo, esta propiedad tiene sucosto, pues la convergencia es por lo general muy pobre [2].

El teorema de Taylor

El teorema de Taylor es util cuando trabajamos con funciones que tienenun numero importante de derivadas continuas, pero cuando tenemos datosobtenidos de un experimento o funciones con un numero pequeno de derivadas,entonces la aplicacion del teorema de Taylor no es , en general, recomendable.

Recordemos que si f ∈ Cn+1[a, b] para algun n ≥ 0 y si x, x0 ∈ [a, b],entonces

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1,

para algun ξ ≡ ξ(x) entre x0 y x. En particular, si x0 = 0, tenemos laconocida serie de Maclaurin. A partir del teorema de Taylor obtenemos lasdenominadas series de potencias de muchas funciones importantes, talescomo sen x =

∑∞i=0(−1)i x2i+1

(2i+1)!(−∞ < x < ∞), 1/x =

∑∞i=0(−1)i(x − 1)i

(0 < x < 2), etc. El siguiente resultado trata sobre su convergencia.

Teorema 1.2 Para toda serie de potencias∑∞

i=0 ai(x−x0)i existe un numeror ∈ [0,∞], denominado el radio de convergencia de la serie, tal que laserie converge para |x − x0| < r y diverge para |x − x0| > r. Mas aun,s(x) =

∑∞i=0 ai(x − x0)

i define una funcion continuamente diferenciable en(x0 − r, x0 + r) y s′(x) =

∑∞i=0 iai(x − x0)

i−1 tiene radio de convergencia r.Ademas, si |a − x0| < r y |x − x0| < r, entonces

∫ x

as(t)dt puede calcularse

integrando la serie de s termino a termino, obteniendose una serie que tienetambien radio de convergencia r.

2Es decir, los operadores Bn son positivos.

1.2. INTERPOLACION POLINOMICA 3

1.2 Interpolacion polinomica

Dado un conjunto finito de puntos, el concepto de interpolacion implica agrosso modo escoger una funcion, digamos p, de una clase dada de funciones,de forma tal que la representacion grafica de la misma contenga al conjuntofinito de puntos. Este conjunto finito de puntos o datos, pueden haberseobtenido a traves de la realizacion de un experimento o a traves de la simpleobservacion de un fenomeno fısico. Los datos tambien pueden considerarsecomo coordenadas de puntos de una funcion f . En este sentido, decimos quep interpola a la funcion f en un conjunto de puntos diferentes, o nodos, silos valores de p y f en esos puntos coinciden. La clase de funciones a la quenos referimos aquı (y a la que pertenece p) es la de los polinomios.

El proposito principal de la interpolacion es el de interpolar datos cono-cidos en puntos discretos tal que los valores funcionales entre esos puntospuedan ser estimados.

La denominada teorıa de interpolacion polinomica tiene importantesaplicaciones en la derivacion de otros metodos en diferentes areas del calculocientıfico, como por ejemplo en la teorıa de aproximacion, en integracionnumerica y en la resolucion numerica de ecuaciones diferenciales. Otra apli-cacion la encontramos cuando se desarrollan medios para trabajar con fun-ciones que son almacenadas en forma tabular. La interpolacion es una he-rramienta importante cuando no podemos evaluar rapidamente la funcion enpuntos intermedios.

Un resultado fundamental en la teorıa de interpolacion polinomica vienedado por el siguiente resultado.

Teorema 1.3 Dados n+1 puntos (numeros reales) distintos x0, x1, . . . , xn yn+1 valores arbitrarios y0, y1, . . . , yn, existe un unico polinomio pn de grado≤ n que interpola a yi en xi, para todo i = 0, 1, . . . , n (i.e., pn(xi) = yi, parai = 0, 1, . . . , n).


Demostracion: Existencia. Sigue por induccion. Para n = 0 siemprepodemos escoger una funcion constante p0 (de grado 0) tal que p0(x0) =y0. Supongamos pues que existe un polinomio de grado ≤ k − 1 tal quepk−1(xi) = yi para i = 0, 1, . . . , k − 1, y definamos el polinomio pk como

pk(x) = pk−1(x) + λk−1∏j=0

(x− xj),

el cual es un polinomio de grado ≤ k que interpola los mismos datos que pk−1,pues pk(xi) = pk−1(xi) = yi para i = 0, 1, . . . , k− 1. Ahora, como

∏k−1j=0(xk −

xj) = 0 (¿por que?), basta observar que si λ = [yk−pk−1(xk)]/∏k−1

j=0(xk−xj),entonces tambien pk(xk) = yk.Unicidad. Supongamos que hubieran dos de tales polinomios, pn y qn. En-tonces, el polinomio pn − qn, de grado ≤ n, es tal que (pn − qn)(xi) = 0 parai = 0, 1, . . . , n. Al ser este polinomio de grado ≤ n, tendra un maximo de nceros (a menos que sea el polinomio nulo). Pero como los xi’s son distintos,el polinomio pn − qn tiene n+ 1 ceros, por lo que pn = qn. 2

Observemos que de la demostracion anterior resulta claro que podemosobtener cada uno de los polinomios p0, p1, . . . , pn sumando un termino alpolinomio de grado inmediatamente anterior, de manera que pn sera unasuma de terminos. Es decir,

pk =k∑

i=0

λi

i−1∏j=0

(x− xj), (1.1)

donde asumimos que∏−1

j=0(x − xj) = 1. Los polinomios pk ası definidos sedenominan polinomios de interpolacion en la forma de Newton. Ob-servemos que los coeficientes λi se pueden estimar de la misma forma como seestimo λ en la demostracion del teorema. Notemos tambien que si anadimosmas puntos al problema de interpolacion, los coeficientes ya calculados nonecesitan ser modificados, pues en (1.1) λ0 solo depende del punto (x0, y0),λ1 depende de (x0, y0) y (x1, y1), etc. De manera que podemos facilmenteagregar puntos adicionales para interpolar.


p2(x) = p1(x) + λ(x− x0)(x− x1) = −2− 3x+ λ(x− 0)(x− 1).

Y como p2(−1) = −10, tenemos que p2(−1) = 1 + λ2 = −10, por lo queλ = −9/2. Ası que

p2(x) = −2− 3x− 9

2x(x− 1).

Por ultimo,p3(x) = p2(x) + λx(x− 1)(x+ 1)

p3(x) = −2− 3x− 9

2x(x− 1) + 6x(x− 1)(x+ 1).

Una manera practica (desde el punto de vista computacional) para ex-presar este polinomio serıa la siguiente

p3(x) = −2 + x(− 3 + (x− 1)

(− 9

2+ (x+ 1)6

)),

la cual se conoce como la forma anidada y requiere de menos operacionesal momento de evaluar un polinomio (algoritmo de Horner).

Ejercicio 2:Escribir un algoritmo en pseudocodigo que calcule los coeficientes de la formade Newton de un polinomio de interpolacion. Utilizando un software decomputo cientıfico probar el algoritmo, por ejemplo, con el polinomio p4(x) =15x4−7x3+12x2−93x−734 y valores a interpolar3 xi = 3i−12, i = 0, . . . , 4.

3Para evaluar el polinomio en los puntos dados puede usar el algoritmo de Horner (§??).

De la condición de interpolación, p3(2) = 19, sigue que λ = 6 y

Ejemplo 1.Usemos la forma de Newton para encontrar el polinomio de interpolacin demenor grado para los valores (x0, y0) = (0,−2), (x1, y1) = (1,−5), (x2, y2) =(−1,−10) y (x3, y3) = (2, 19).Observemos primero que p0(x) = −2 y que el polinomio p1(x) = p0(x) +λ(x − x0) = −2 + λ(x − 0). Ahora, como p1(1) = −5 (por la condicion deinterpolacion), λ = −3 y p1(x) = −2− 3x. Asimismo,

1.2. INTERPOLACION POLIN

1.2.1 La forma de Lagrange

Este metodo expresa el polinomio de interpolacion en la forma

pn(x) = y0ℓ0(x) + y1ℓ1(x) + . . .+ ynℓn(x), (1.2)

donde los ℓi’s (0 ≤ i ≤ n) son polinomios tales que ℓi(xj) = δij, para i, j =0, 1 . . . , n, y pn(xj) = yj. Observemos que ℓ0 debe ser de la forma

ℓ0(x) = λ(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn),

donde λ = 1/∏n

j=1(x0 − xj) (¿por que?). Por lo que

ℓ0(x) =n∏

j=1

x− xjx0 − xj

.

De la misma forma podemos obtener expresiones similares para los otros ℓi(1 ≤ i ≤ n). En general,

ℓi(x) =n∏

j=0j =i

x− xjxi − xj

(0 ≤ i ≤ n).

Estos polinomios se denominan polinomios cardinales. Ası que, el poli-nomio de interpolacion (1.2) en la forma de Lagrange es

pn(x) =n∑

i=0

pn(xi)n∏

j=0j =i

x− xjxi − xj

.

Ejercicio 3:Calcular el polinomio de interpolacion en la forma de Lagrange para los datosdel Ejercicio 2. Observemos que el polinomio obtenido tiene una aparienciadiferente a la del polinomio encontrado en el Ejercicio 2, ¿se trata del mismopolinomio?


1.2.2 Otras formas

Si expresamos el polinomio de interpolacion en la forma

pn(x) = c0 + c1x+ c2x2 + . . .+ cnx

n.

Observemos que como pn(xi) = yi, i = 0, 1, . . . , n, podemos hallar c0, c1, . . . , cnal resolver el sistema lineal de n+ 1 ecuaciones

1 x0 x20 . . . xn01 x1 x21 . . . xn11 x2 x22 . . . xn2...

......

. . ....

1 xn x2n . . . xnn

c0c1c2...cn

=

y0y1y2...yn

La matriz de coeficientes es no singular (¿por que?) y se denomina ma-triz de Vandermonde. Desafortunadamente, en la practica, la matriz deVandermonde esta mal condicionada, por lo que no se recomienda usar estaestrategia para calcular el polinomio de interpolacion.

Desde un punto de vista numerico, para calcular el polinomio de inter-polacion, es recomendable usar la forma de Newton (junto con el metodode las diferencias divididas, §1.4). Sin embargo, la forma de Lagrange serade utilidad en el capıtulo que sigue cuando deduzcamos algunas formulas decuadratura.

1.2.3 El metodo de las diferencias divididas

Sean x0, x1, . . . , xn un conjunto de puntos o nodos diferentes y que f es unafuncion cuya evaluacion en los nodos es conocida. Por el Teorema 1.3 sabemosque existe un unico poliomio pn de grado ≤ n tal que pn(xi) = f(xi), paratodo i = 0, 1, . . . , n. Definamos tambien, para j = 1, . . . , n, los polinomiosqj(x) =

∏j−1k=0(x − xk) y q0(x) = 1. De manera que la forma de Newton del

polinomio de interpolacion se puede escribir como pn(x) =∑n

j=0 λjqj(x).Observemos ademas que podemos determinar los coeficientes λj a partir

del SEL∑n

j=0 λjqj(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n, y que la matriz de coeficientesdel sistema, con entradas qj(xi) (0 ≤ i, j ≤ n), es una matriz triangular infe-rior (pues qj(xi) =

∏j−1k=0(xi − xk) = 0 cuando i ≤ j − 1). Notemos tambien

que al resolver el sistema anterior para los λj podemos ir de arriba haciaabajo, de manera que λ0 dependera solamente de f(x0), λ1 de f(x0) y f(x1),


etc., hasta llegar a λn que dependera de f(x0), f(x1), . . . , f(xn). Introducire-mos la notacion λn = f [x0, x1, . . . , xn] para indicar esta dependencia y ladenominaremos, para valores cualesquiera de n, la diferencia dividida def . De manera que podremos expresar la forma de Newton del polinomio deinterpolacion como

pn(x) =n∑

j=0

f [x0, x1, . . . , xj]

j−1∏k=0

(x− xk) (1.3)

Observemos que f [x0, x1, . . . , xn] es el coeficiente de qn(x) = (x−x0)(x−x1) . . . (x− xn−1) = xn+ terminos de menor grado, entonces f [x0, x1, . . . , xn]es el coeficiente de xn en el polinomio de interpolacion. Ası que f [x0] esel coeficiente de x0 en el polinomio de grado 0 que interpola a f en x0.Es decir, f [x0] = f(x0). Asimismo, f [x0, x1] es el coeficiente de x en elpolinomio de grado ≤ 1 que interpola a f en x0 y x1. Como este polinomioes f(x0) +

f(x1)−f(x0)x1−x0

(x− x0) (¿por que?), resulta que f [x0, x1] =f(x1)−f(x0)

x1−x0.

Mas aun, si pk es el polinomio de grado ≤ k que interpola a f enx0, x1, . . . , xk y q es el polinomio de grado ≤ n − 1 que interpola a f enx1, x2, . . . , xn, entonces

pn(x) = q(x) +x− xnxn − x0

[q(x)− pn−1(x)]. (¿por que?)

Como los coeficientes de xn en ambos lados de esta expresion deben seriguales, encontramos que

f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, x2, . . . , xn]− f [x0, x1, . . . , xn−1]

xn − x0. (1.4)

De donde sigue que

f [x0, x1] =f [x1]− f [x0]

x1 − x0, f [x0, x1, x2] =

f [x1, x2]− f [x0, x1]

x2 − x0, etc.

Dados los datos (xi, f(xi)) podemos, a partir de ellos, construir una tablacon las diferencias divididas; por ejemplo, para cinco datos tendrıamos lasiguiente tabla:

x0 f [x0] f [x0, x1] f [x0, x1, x2] f [x0, x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]x1 f [x1] f [x1, x2] f [x1, x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]


x2 f [x2] f [x2, x3] f [x2, x3, x4]x3 f [x3] f [x3, x4]x4 f [x4]

De (1.3), resulta claro que los coeficientes que necesitamos para encontrarel polinomio de interpolacion en la forma de Newton estan en la primera filade la tabla.

Ejercicio 4:A partir de (1.4) construir la tabla de las diferencias divididas para el si-guiente conjunto de datos:x : −12 − 9 − 6 − 3 0f(x) : 325246 104593 21208 1057 − 734Encontrar el polinomio de interpolacion de Newton. Comparar con el Ejer-cicio 2.

Ejercicio 5:Usando la notacion aij = f [xi, xi+1, . . . , xi+j], escribir un algoritmo en pseu-docodigo para calcular la tabla de las diferencias divididas y en el que losdatos de entrada esten dados por ai0 = f(xi), para i = 0, 1, . . . , n. Probar elalgoritmo con los datos del ejercicio anterior.

Ejercicio 6:Demostrar que si (y0, y1, . . . , yn) es una permutacion de (x0, x1, . . . , xn), en-tonces f [y0, y1, . . . , yn] = f [x0, x1, . . . , xn].

Otra importante propiedad de las diferencias divididas es la siguiente.

Teorema 1.4 Sea pn un polinomio de grado ≤ n que interpola a una funcionf en un conjunto de n + 1 puntos distintos x0, x1, . . . , xn. Si z es un puntodiferente de los nodos dados, entonces

f(z)− pn(z) = f [x0, x1 . . . , xn, z]n∏

j=0

(z − xj).

Demostracion: Sea pn+1 el polinomio de grado ≤ n+ 1 que interpola f en


los nodos x0, x1, . . . , xn, z. Por (1.3) sigue que

pn+1(x) = pn(x) + f [x0, x1, . . . , xn, z]n∏

j=0

(x− xj).

Como pn+1(z) = f(z) tenemos que

f(z) = pn(z) + f [x0, x1 . . . , xn, z]n∏

j=0

(z − xj).

2

1.2.4 Error del polinomio de interpolacion

Sea f(x) una funcion en C n+1(I), donde I es el intervalo [a, b], y seanx0, x1, . . . , xn n + 1 nodos distintos en I. Si pn es el polinomio de grado≤ n que interpola a f en x0, x1, . . . , xn, el error de interpolacion en(x) depn(x) esta dado por en(x) = f(x)− pn(x).

Por el Teorema 1.4, para todo z distinto de los nodos x0, x1, . . . , xn,en(z) = f [x0, x1 . . . , xn, z]

∏nj=0(z−xj). Observemos que no podemos evaluar

el lado derecho de esta expresion sin conocer de antemano f(z), sin embargosi conocemos la (n+ 1)-esima derivada de f(x) podremos, en algunos casos,estimar en(z).

Teorema 1.5 Para todo z ∈ I, existe ξ ≡ ξ(z) ∈ (a, b) tal que

en(z) = f(z)− pn(z) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!

n∏j=0

(z − xj). (1.5)

Demostracion: Por el Teorema 1.4 sera suficiente demostrar que si f es unafuncion en Ck(I) y si x0, x1, . . . , xk son k+ 1 puntos distintos en I, entoncesexiste ξ ∈ (a, b) tal que f [x0, x1 . . . , xk] = f (k)(ξ)/k!.

Para k = 1, el resultado sigue directamente del TVM. Para k > 1, obser-vamos que ek(x) tiene por lo menos k + 1 ceros distintos x0, x1, . . . , xk en I,y como ek(x) es una funcion en Ck(I) (¿por que?), entonces, por el teoremade Rolle, e′k(x) tiene al menos k ceros en el intervalo (a, b), e′′k(x) tiene porlo menos k − 1 ceros en (a, b), etc. Continuando de esta forma, sigue que


e(k)k (x) tiene por lo menos un cero en (a, b). Si ξ es un tal cero, entonces

0 = e(k)k (ξ) = f (k)(ξ) − p

(k)k (ξ). Y como tambien p

(k)k (ξ) = f [x0, x1, . . . , xk]k!

(¿por que?), obtenemos el resultado que querıamos demostrar. (Observemostambien que podemos suponer que el nodo ξ en (1.5) cae entre los xi’s sitomamos a = mini xi y b = maxi xi.) 2

Ejercicio 7:Encontrar una cota para el error de interpolacion lineal.

Observaciones:

• En el caso de que los nodos sean igualmente espaciados, el maximolocal de |Φn+1(x)| se incrementa cuando nos movemos de la mitad delintervalo hacia los extremos, y este incremento sera mayor en la me-dida en que incrementemos n (ver el Ejercicio 1 de la §1.7). Por estarazon es recomendable, sobretodo en este caso, usar el polinomio deinterpolacion solamente para los nodos ubicados cerca del punto mediodel intervalo. Por supuesto que este comportamiento empeorara si nosmovemos fuera de los extremos del intervalo (i.e., extrapolacion).


Dada una funcion f ∈ C[a, b] y pn polinomios de interpolacion para fcon nodos igualmente espaciados, pareciera razonable pensar que si usamospolinomios de grados cada vez mayores los mismos convergeran uniforme-mente a f en [a, b] (i.e., ∥f − pn∥∞ → 0 cuando n → ∞). Este sera el casosi, por ejemplo, f(x) = cosx en el intervalo [0, 1] (¿por que?); sin embargo,si consideramos la funcion f definida por4 f(x) = (x2 + 1)−1 en el intervalo[−5, 5], encontramos que para los polinomios de interpolacion pn, con nodosigualmente espaciados, la sucesion {∥f−pn∥∞} no esta acotada5 (ver el Ejer-cicio 1 de la §1.7, en donde el lector podra constatar la ocurrencia de grandesoscilaciones de pn).

4Ejemplo dado por Carl Runge en 1901.5En [27] se demuestra que para cualquier x tal que 3.64 < |x| < 5 y k ≥ 0,

supn≥k |f(x)− pn(x)| = ∞.

1.4. INTERPOLACION POLINOMICA A TROZOS 15

1.4 Interpolacion polinomica a trozos

Este tipo de funciones polinomicas tiene aplicaciones en teorıa de aproxi-macion, computacion grafica, ajuste de datos, diferenciacion e integracionnumericas y en la resolucion numerica de ecuaciones integrales y diferenciales.

Para una funcion polinomica a trozos p, suponemos que existe un conjuntode nodos x0, x1, . . . , xn tales que

−∞ < x0 < x1 . . . < xn <∞,

donde p sera un polinomio en cada uno de los subintervalos

(−∞, x0], [x0, x1] . . . [xn,∞). (1.7)

Muchas veces, en el tratamiento de los polinomios a trozos no se incluyen elprimero ni el ultimo de estos subintervalos.

Definicion 1.1 Diremos que p es un polinomio a trozos de orden k sien cada uno de los subintervalos (1.7) el grado de p(x) es menor que k.

Por lo general, el polinomio a trozos se define de manera conveniente paraque sea una funcion continua.

Un problema de interpolacion polinomica a trozos puede ser local oglobal. Para el tipo de problema local, el polinomio p en cada subinter-valo esta completamente definido por los datos de interpolacion en los nodosdentro del mismo subintervalo y sus puntos extremos. En el problema globalel polinomio p en cada subintervalo depende de todos los datos de interpo-lacion (e.g., las funciones splines, §1.4.2).

1.4.1 Interpolacion local

Supongamos que deseamos aproximar una funcion f en un intervalo [a, b] demanera que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Como un primer caso proponemos usar interpolacion polinomica ordinariaen cada subintervalo [xi−1, xi]. Supongamos que tenemos cuatro nodos deinterpolacion en cada subintervalo [xi−1, xi], xi−1 ≤ ti,1 < ti,2 < ti,3 < ti,4 ≤xi, i = 1, . . . , n, de manera que p(x) es el polinomio de grado ≤ 3 en (xi−1, xi)que interpola f(x) en ti,1 . . . , ti,4. Llamaremos a esta funcion de interpolacionel polinomio a trozos de Lagrange Ln(x). En el caso de que ti,1 = xi−1

y ti,4 = xi, para cada i = 1, 2, . . . , n, entonces p es continua en [a, b].


Por el Teorema 1.5 notemos que para Ln(x), con x ∈ [xi−1, xi] (i =1, . . . , n),

f(x)− Ln(x) =f (4)(ξi)

4!

4∏j=1

(x− ti,j),

donde ξi ∈ (xi−1, xi).

En el caso particular de que los nodos esten igualmente espaciados, defi-nimos µi = (xi − xi−1)/3, ti,k = xi−1 + (k − 1)µi, k = 1, . . . , 4. Claramente,para x ∈ [xi−1, xi],

|f(x)− Ln(x)| ≤µ4i

24max

z∈[xi−1,xi]|f (4)(z)|, (1.8)

para i = 1, 2, . . . , n. Para mantener un mismo nivel de error a traves de todoel intervalo [a, b], µi se podrıa escoger de acuerdo al tamano de la derivadaf (4) en [xi−1, xi]. De manera que si la funcion f tuviera un comportamientovariable en [a, b], el polinomo a trozos Ln(x) se podrıa escoger de manera talque simule este comportamiento, al ajustar a = x0 < x1 < . . . < xn = b.Esta es una razon importante para escoger y usar la interpolacion polinomicaa trozos, pues la interpolacion polinomica ordinaria en [a, b] no permite estaflexibilidad. Para aquellos casos en que usamos nodos igualmente espacia-dos (1.8) nos garantiza la convergencia cuando la interpolacion ordinariapuede fallar, como en el ejemplo de Runge (ver el Ejercicio 1, §1.7).Ejercicio 14:Para f(x) = ex en [0, 1], con nodos igualmente espaciados y un error maximo< 10−8, estimar µ ≡ µi y el numero de subintervalos n, si usamos comoestrategia de aproximacion un polinomio de interpolacion cubica a trozos.


1.4.2 Funciones splines

Una funcion spline es un polinomio a trozos bajo ciertas condiciones de con-tinuidad.

Definicion 1.2 Dados n + 1 puntos x0, x1, . . . , xn tales que a = x0 < x1 <. . . < xn = b y un entero r ≥ 0, una funcion spline de grado r con nodosx0, x1, . . . , xn es una funcion S que satisface las dos propiedades siguientes:(i) En cada subintervalo [xi−1, xi), S es un polinomio, Si−1, de grado ≤ r.(ii) S ∈ C(r−1)[a, b].

Observemos que los splines de grado 0 son funciones constantes a trozos.Es decir,

S(x) =

S0(x) = c0, x ∈ [x0, x1)S1(x) = c1, x ∈ [x1, x2)...

......

...Sn−1(x) = cn−1, x ∈ [xn−1, xn),

donde los ci’s (i = 0, 1, . . . , n − 1) son constantes y los intervalos [xi−1, xi)no se intersectan entre sı. Asimismo, una funcion spline de grado 1 se definecomo:

S(x) =

S0(x) = a0x+ b0, x ∈ [x0, x1)S1(x) = a1x+ b1, x ∈ [x1, x2)...

......

...Sn−1(x) = an−1x+ bn−1, x ∈ [xn−1, xn),

En este caso la funcion S es continua, por lo que Si(xi+1) = Si+1(xi+1),para i = 0, 1, . . . , n − 2. Tambien podemos definir la funcion spline sobre


toda la recta real, de manera que podemos usar a0x + b0 para el intervalo(−∞, x1) y an−1x+ bn−1 para [xn−1,∞).

Consideremos ahora el caso r = 3. Se trata de los splines cubicoslos cuales son muy utilizados. Supongamos que conocemos de antemanoel conjunto de datos (pares ordenados) (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn); el splinecubico S debe interpolar estos datos (i.e., S(xi) = yi, i = 0, 1, . . . , n). Encada subintervalo [xi, xi+1), i = 0, 1, . . . , n − 1, S estara definido por unpolinomio cubico Si diferente, ası

S(x) =

S0(x), x ∈ [x0, x1)S1(x), x ∈ [x1, x2)...

...Sn−1(x), x ∈ [xn−1, xn).

Si−1 y Si interpolan el mismo valor en xi, por lo que Si−1(xi) = Si(xi) =yi, i = 1, 2, . . . , n − 1, lo cual permite que S sea una funcion continua.Supondremos ademas que S ′ y S ′′ son funciones continuas.

De manera que tenemos: 4n coeficientes de los polinomios cubicos, 2ncondiciones correspondientes a dos condiciones de interpolacion, S(xi) = yi yS(xi+1) = yi+1 por cada subintervalo [xi, xi+1], n−1 condiciones derivadas dela continuidad de S ′, S ′

i−1(xi) = S ′i(xi), i = 1, 2, . . . , n−1, y n−1 condiciones

adicionales correspondientes a la continuidad de S ′′ en los nodos interiores.Por lo tanto, contamos con 4n− 2 condiciones para estimar 4n coeficientes.Observemos que la continuidad de S no nos proporciona mas condicionespues ya las tomamos en cuenta en las condiciones de interpolacion. Veamosahora como procederemos con las dos condiciones que nos faltan.

Encontremos primero los polinomios cubicos Si en [xi, xi+1] (i = 0, 1, . . . ,n − 1). Para i = 0, 1, . . . , n, sea zi ≡ S ′′(xi); como S ′′ es continua en losnodos interiores, resulta claro que para i = 1, 2, . . . , n − 1, limx→x−

iS ′′(x) =

limx→x+iS ′′(x) = zi. Observemos tambien que cada S ′′

i es una funcion lineal

tal que S ′′i (xi) = zi y S

′′i (xi+1) = zi+1, por lo que, para i = 0, 1, . . . , n− 1,

S ′′i (x) = zi+1

x− xihi

+ zixi+1 − x

hi,

donde hi = xi+1 − xi. Integrando dos veces, obtenemos que

Si(x) = zi+1(x− xi)

3

6hi+ zi

(xi+1 − x)3

6hi+ C1(x− xi) + C2(xi+1 − x),


donde C1 y C2 son las constantes de integracion, que podemos obtener apartir de las condiciones de interpolacion: Si(xi) = yi y Si(xi+1) = yi+1. Asıque

Si(x) = zi+1(x− xi)

3

6hi+zi

(xi+1 − x)3

6hi+(yi+1

hi+

zi+1hi

6

)(x−xi)+

( yihi

+zihi

6

)(xi+1−x),

(1.9)

Ahora, para determinar z1, z2, . . . , zn−1 usaremos las condiciones de con-tinuidad de S ′: S ′

i−1(xi) = S ′i(xi). Obtendremos S ′

i(x) derivando la ecuacion(1.9). La expresion obtenida, para i = 1, 2, . . . , n− 1, sera la siguiente

hi−1zi−1 + 2(hi + hi−1)zi + hizi+1 = 6yi+1 − yi

hi− 6

yi − yi−1

hi−1

(1.10)

(¡verificar!). Lo que dara lugar a un SEL de n− 1 ecuaciones para las n+ 1incognitas z0, z1, . . . , zn, por lo que podemos escoger z0 y zn arbitrarios parafinalmente obtener z1, z2, . . . , zn−1. Una eleccion que resulta ser suficiente esz0 = zn = 0 (i.e., condiciones de frontera libres)6. Este tipo de spline cubicose denomina spline cubico natural.

La representacion en forma matricial del sistema (1.10) es:

u1 h1 0 . . . . . . 0

h1 u2 h2 0 . . ....

0 h2 u3 h3. . .

.... . . . . . . . . . . . 0

. . . hn−3 un−2 hn−2

0 . . . 0 hn−2 un−1

z1z2z3......

zn−2

zn−1

=

b1b2b3......

bn−2

bn−1

,

donde hi = xi+1−xi, ui = 2(hi−hi−1), bi = vi−vi−1, con vi = 6(yi+1−yi)/hi.Notemos que este sistema es simetrico, tridiagonal y diagonal dominante.

Ejercicio 15:Dado un x ∈ R cualquiera, escribir un algoritmo en pseudocodigo que estimeel valor del spline cubico natural en x, S(x). Usando un software de computocientıfico escribir un programa para este algoritmo. Escribir un subprograma

6Se puede demostrar que estas condiciones son una “buena” eleccion en el sentido de

que∫ b

a[S′′(x)]2dx ≤

∫ b

a[f ′′(x)]2dx, donde f ∈ C2[a, b] y S es un spline cubico que interpola

a f en los xi’s para i = 0, 1, . . . , n, con a = x0 y b = xn (ver, por ejemplo, [2], [6] o [29]).


que aproveche la estructura de la matriz de coeficientes para resolver el sis-tema (1.10) de una manera eficiente. Escribir otro subprograma para de-terminar cual de los subintervalos (−∞, x1), [x1, x2), . . . , [xn−1,∞) contienea x. Una vez determinado el ındice i, usar (1.9) para evaluar el polinomioSi en x usando el algoritmo de Horner. Probar el programa con las fun-ciones f1(x) =

√x, f2(x) = ex y f3(x) = (1 + x2)−1 en 15 nodos igualmente

espaciados en el intervalo [0,3], tabulando los errores ek(x) = S(x) − fk(x)(k = 1, 2, 3) en 45 puntos.

1.7. EXPERIMENTACION NUMERICA ADICIONAL 35

1.7 Experimentacion numerica adicional

La referencia basica que seguimos aquı es el curso introductorio [15].


Ejercicio 1: Analisis del error de interpolacion para el caso de nodos igual-mente espaciados.Consideremos la formula del error de interpolacion (ver, por ejemplo, [2] o[5]). Claramente,

maxx∈[a,b]

|f(x)− pn(x)| ≤cn+1

(n+ 1)!maxx∈[a,b]

|Φn+1(x)|,

donde

cn+1 = maxt∈[a,b]

|f (n+1)(t)| y Φn+1(x) =n∏

j=0

(x− xj).

Observemos que este resultado nos da una estimacion superior del error paracualquier valor de x. El primer termino de la derecha es una constante en[a, b], por lo que la distribucion esta determinada por Φn+1(x). Usaremossolamente nodos igualmente espaciados: xj = x0 + jh, para j = 0, 1, . . . , n.

a) Para distintos valores de n (= 1, 2, 3, 6, 9), grafique, usando MATLAB,el polinomio Φn+1(x). Aquı, [a, b] = [−3, 3], x0 = a y h = b−a

n. ¿Que

observa? ¿Como convendrıa escoger los nodos cuando usamos interpo-lacion de un grado mayor?

b) Consideremos la funcion

f(x) =1

1 + x2, − 5 ≤ x ≤ 5. (1.18)

Grafique, usando MATLAB, p10(x), f(x) y |f(x) − p10(x)|. ¿Que ob-serva? ¿Podemos decir que en general

maxx∈[a,b]

|f(x)− pn(x)|n→∞−→ 0 ?

c) Consideremos la funcion

f(x) = sen(x) en 0 ≤ x ≤ π, (1.19)

y p4(x), el polinomio de interpolacion de f en los puntos (nodos igual-mente espaciados)

x = [0, π/4, π/2, 3π/4, π], y = [0, sen(π/4), sen(π/2), sen(3π/4), sen(π)].

Si e(x) = sen(x)− p4(x), graficar, usando MATLAB, sen(x) y 100e(x).¿Que observa? Explique.

1.8. APENDICE AL CAPITULO 6 37

Ejercicio 2: Uso de comandos MATLAB.Revise y adquiera experiencia en el uso de los siguientes comandos MATLAB:polyfit, polyval, interpl. Supongamos que en cada uno de los casos (1.18)y (1.19) (Ejercicio 1) se particiona el intervalo en n + 1 nodos igualmenteespaciados. Usando los comandos senalados, construya los interpoladores:polinomico, spline lineal, spline cubico; siendo n = 5, 10, 20. Grafique loscorrespondientes errores y estime las magnitudes maximas de los mismos.Justifique.

Ejercicio 3:Interpole y grafique la funcion z = f(x, y) de dos variables, definida porz = e−x2−y2 en el rectangulo −2 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3. Use interp2 y lasopciones ’linear’ y ’cubic’.

1.8 Apendice al Capıtulo 6

A1. Los polinomios de Chebyshev

Comencemos por definir estos polinomios.

Definicion 1.7 Los polinomios Tn, de grados n = 0, 1, . . ., definidos recur-sivamente por

T0(x) = 1, T1(x) = x,

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ≥ 1,

se denominan polinomios de Chebyshev18 de primera clase.

Algunos de ellos son:

T2(x) = 2x2 − 1,

T3(x) = 4x3 − 3x,

T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1,

T5(x) = 16x5 − 20x3 + 5x,

18En honor al matematico ruso Pafnuti Lvovich Chebyshev (1821-1894).

Capıtulo 2

Diferenciacion e integracionnumericas

La integracion numerica es el proceso por medio del cual se genera unvalor numerico para la integral de una funcion sobre un conjunto dado1.Asimismo, se conoce como cuadratura numerica al metodo involucradoen la aproximacion de I =

∫ b

af(x)dx, y que utiliza una expresion de la forma

n∑i=0

Kif(xi)

para aproximar I.Para el caso de muchas funciones, la integral I puede calcularse ana-

lıticamente. Sin embargo, en las aplicaciones, en general, el calculo analıticodirecto no es posible. Este es el caso, por ejemplo, de las siguientes integrales:∫ 2

0

e−x2

dx,

∫ 1

0

∫ 1

0

sen(xyex)dxdy y

∫ 1

0

∫ x

x2

tan(xy2)dydx.

Una estrategia muy poderosa para calcular el valor numerico de la integral∫ b

af(x)dx consiste en reemplazar f por otra funcion g, que aproxime a f

de alguna manera conveniente y sea facil de integrar. Ası que, a partir def ≈ g, deducimos que

∫ b

af(x)dx ≈

∫ b

ag(x)dx. Por supuesto, los polinomios

son buenos candidatos para g, y de hecho g puede ser un polinomio queinterpole a f en un cierto conjunto de nodos.

1Tambien, denominamos cuadratura a la evaluacion numerica de una integral.

41

42 CAPITULO 2. DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICAS

Dos de las tecnicas de integracion numerica (quizas para nosotros las masfamiliares) estiman f(x) utilizando, bien una serie de funciones lineales atrozos, o bien una serie de funciones cuadraticas a trozos. En el primer caso,podemos calcular las areas de los trapecios que constituyen el area bajo lasfunciones lineales consideradas (la regla de los trapecios); en el segundocaso, cuando estimamos la funcion usando funciones cuadraticas a trozos,podemos calcular y sumar las areas consideradas (la regla de Simpson).

Comparada con la integracion, la diferenciacion numerica es mucho masdifıcil. La integracion no es sensible a pequenos cambios en la “forma” de unafuncion, mientras que la diferenciacion sı lo es. Cualquier pequeno cambio enuna funcion puede facilmente crear grandes cambios en su inclinacion, en lavecindad de ese cambio. Ası que, de ser posible, la diferenciacion numericaes evitada, especialmente si los datos son obtenidos de manera experimental.En este caso, podemos usar mınimos cuadrados y obtener una curva de ajustede los datos, para luego diferenciar el polinomio resultante. De manera quecuando se aproxima la derivada de una funcion cuyos valores se conocensolamente en un conjunto discreto de puntos, un metodo recomendable serıael de ajustar alguna funcion suave a los datos discretos dados y luego dife-renciar la funcion de aproximacion, para ası aproximar las derivadas de lafuncion original. Si los datos proporcionados son suficientemente suaves, eluso de interpolacion o de splines puede ser la estrategia apropiada.

2.1 Diferenciacion numerica

Las conocidas formulas en diferencias finitas son por lo general inapro-piadas para datos discretos o con perturbaciones, pero son muy utiles paraaproximar las derivadas de una funcion suave dada, de la que conocemos unaexpresion analıtica o que podemos evaluar de manera precisa para diferentesvalores de su argumento. Veamos a continuacion algunas formulas en dife-rencias finitas que, por cierto, son tambien de especial utilidad en el estudionumerico de las ecuaciones diferenciales.

Dada una funcion f : R → R lo suficientemente suave, buscamos apro-ximar su primera y segunda derivadas en un punto x. Consideremos lossiguientes desarrollos de Taylor:

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) + h2f ′′(x)

2!+ h3

f ′′′(x)

3!+ h4

f (4)(x)

4!+ . . .

2.1. DIFERENCIACION NUMERICA 43

f(x− h) = f(x)− hf ′(x) + h2f ′′(x)

2!− h3

f ′′′(x)

3!+ h4

f (4)(x)

4!+ . . .

Despejando f ′(x) de la primera serie, obtenemos la formula en diferenciahacia adelante:

f ′(x) =f(x+ h)− f(x)

h+ h

f ′′(x)

2!+ . . . ≈ f(x+ h)− f(x)

h,

la cual aproxima la derivada de f(x) con una precision de primer orden, puesel termino dominante en el resto de la serie es de O(h). Asimismo, de lasegunda serie obtenemos la formula en diferencia hacia atras:

f ′(x) =f(x)− f(x− h)

h+ h

f ′′(x)

2!+ . . . ≈ f(x)− f(x− h)

h,

con una precision tambien de primer orden. Restando la segunda serie de laprimera obtenemos la formula en diferencia centrada:

f ′(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h− h2

f ′′′(x)

3!+ . . . ≈ f(x+ h)− f(x− h)

2h,

la cual tiene una precision de segundo orden (i.e., O(h2)). Por ultimo, sisumamos las dos series obtenemos una formula en diferencia centrada parala segunda derivada:

f ′′(x) =f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2− h2

f (4)(x)

12+ . . .

≈ f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2,

con una precision tambien de segundo orden.

Interpolacion

Dados n+1 nodos x0, x1, . . . xn en un intervalo [a, b], podemos usar la formade Lagrange (§1.2.1) de un polinomio de interpolacion para interpolar unafuncion dada f ∈ C n+1[a, b] en esos nodos. Ası que, junto con la formulapara el error de interpolacion (1.5), obtenemos que

f(x) =n∑

i=0

f(xi)ℓi(x) +f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!

n∏i=0

(x− xi),


donde ξ ≡ ξ(x) ∈ (a, b).

Ejercicio 1:Si xk es uno de los n + 1 nodos, usar la expresion anterior para demostrarque

f ′(xk) =n∑

i=0

f(xi)ℓ′i(xk) +

f (n+1)(ξ(xk))

(n+ 1)!

n∏j=0j =k

(xk − xj).

Obtener tambien la expresion para f ′(x) cuando n = 2 y k = 1. En el casode nodos igualmente espaciados, deducir la formula en diferencia centrada.

Existen varias opciones para el calculo de las derivadas de una funcion,incluyendo aproximaciones en diferencias finitas y la evaluacion a traves deluso de alguna formula, hallada a mano o usando un paquete de computocientıfico. Cada uno de estos metodos tiene sus inconvenientes. Ası, ladiferenciacion manual es tediosa y propensa a errores, la derivacion simbolicatiende a ser difıcil de manejar para el caso de funciones complicadas y, en elcaso de las aproximaciones en diferencias finitas, se requiere de una eleccioncuidadosa del tamano del paso, h, y su precision esta limitada por los erroresde redondeo.

Otra alternativa es la denominada diferenciacion automatica o AD(por sus siglas en ingles, automatic differentiation), la cual se basa en la des-composicion de la funcion en operaciones aritmeticas basicas y llamadas afunciones matematicas elementales (seno, exponencial, etc.), ası como en laaplicacion sistematica de la regla de la cadena; gracias a la cual, cada funcionpuede operarse por separado y manejar sus derivadas de forma independien-te. La AD permite obtener la derivada de una funcion definida medianteun archivo en Fortran, C/C++ o MATLAB R⃝2, independientemente de locompleja o larga que esta sea, sin perdida de precision y en un tiempo decomputo razonable. Ademas, no solo permite calcular la primera derivada,sino tambien derivadas de orden superior, gradientes, jacobianos y hessianos.La AD tiene un tiempo de CPU menor que la derivacion manual y unaprecision mayor que la numerica. Para una interesante aplicacion de la ADse puede consultar el artıculo de Callejo et al. [4].

2MATLAB es una marca registrada de The MathWorks, Inc.

2.2. INTEGRACION NUMERICA 45

2.2 Integracion numerica

En el comienzo de este Capıtulo hicimos algunos comentarios acerca de lasdificultades de calcular integrales a partir de las tecnicas aprendidas en loscursos de calculo elemental. Tambien es cierto que existen muchas fun-ciones elementales que no poseen antiderivadas sencillas, como por ejemplola funcion f(x) = ex

2(una antiderivada de ella la encontramos en la solucion

del Ejercicio 1(ii), §1.1).Si de antemano sabemos que un sistema de polinomios aproxima a una

funcion dada, podemos encontrar, a partir de ellos, una buena estimacionde la integral de esa funcion. Consideraremos primero los polinomios deinterpolacion3.

2.2.1 Formulas de Newton-Cotes y extensiones

Sean x0, x1, . . . , xn un conjunto de nodos dados en un intervalo [a, b]. Con-sideremos el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en estos nodos en laforma de Lagrange:

pn(x) =n∑

i=0

f(xi)ℓi(x), donde ℓi(x) =n∏

j=0j =i

x− xjxi − xj

(i = 0, 1, . . . , n).

Entonces, ∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

pn(x)dx =n∑

i=0

f(xi)

∫ b

a

ℓi(x)dx,

que tambien podemos expresar como∫ b

a

f(x)dx ≈n∑

i=0

Kif(xi), donde Ki =

∫ b

a

ℓi(x)dx. (2.1)

Observemos que la formula (2.1) es exacta para los elementos del espacio Pn.En el caso de que los nodos sean igualmente espaciados, denominaremos aesta expresion formula de Newton-Cotes (o formula de N-C para abre-viar).

3Tambien podrıamos usar splines para interpolar a f y luego integrar.


Ejemplo:Si n = 2 y [a, b] = [0, 1], entonces ℓ0(x) = 2(x−1/2)(x−1), ℓ1(x) = −4x(x−1)y ℓ2(x) = 2x(x− 1/2). Por lo que K0 = K2 = 1/6 y K1 = 2/3, y∫ 1

0

f(x)dx ≈ 1

6f(0) +

2

3f(12

)+

1

6f(1). (2.2)

Ejercicio 2:Encontrar las formulas de N-C cuando [a, b] = [0, 1] y n = 3, 5.

Ejercicio 3:Demostrar que la formula de cuadratura (2.1), cuando n = 1, x0 = a y x1 = b,

esta dada por∫ b

af(x)dx ≈ [(b−a)/2][f(a)+f(b)] (regla del trapecio). Ver

tambien que el error asociado a esta aproximacion es (−1/12)(b − a)3f ′′(ξ),con ξ ∈ (a, b). Observemos que esta formula da un resultado exacto en elcaso de que f ∈ P1.

Observemos que si partimos de la expresion (2.1) y suponemos que es

exacta para los elementos de Pn, entonces necesariamente Ki =∫ b

aℓi(x)dx

(pues∫ b

aℓj(x)dx =

∑ni=0Kiℓj(xi) = Kj). De esta manera podemos obtener,

para distintos valores de n, expresiones como la (2.1). Por ejemplo, si estamos

interesados en obtener una formula que aproxime la integral∫ 1

0f(x)dx por

la expresion K0f(0) +K1f(1/2) +K2f(1), exacta para los elementos de P2,entonces, de las ecuaciones∫ 1

0

dx = K0 +K1 +K2,

∫ 1

0

xdx =1

2K1 +K2 y

∫ 1

0

x2dx =1

4K1 +K2,

obtenemos que K0 = K2 = 1/6 y K1 = 2/3 como en (2.2).Si definimos sobre el intervalo [a, b] una particion a = x0 < x1 < . . . <

xn = b, con los nodos no necesariamente igualmente espaciados, podemosconsiderar una formula de cuadratura en cada uno de los sucesivos subinterva-los generados por estos nodos. Estamos hablamos entonces de una formulade cuadratura compuesta.


Ejercicio 4:Suponiendo nodos igualmente espaciados, definimos h = (b−a)/n y xi = a+

ih. Deducir la regla del trapecio compuesta:∫ b

af(x)dx ≈ (h/2)[f(a) +

2∑n−1

i=1 f(a+ih)+f(b)]. Demostrar tambien que el error asociado viene dadopor (−1/12)(b− a)h2f ′′(ξ), con ξ ∈ (a, b).

Consideremos de nuevo el caso n = 2 sobre un intervalo [a, b], con losnodos x0 = a, x1 = a+ h y x2 = b, donde h = (b− a)/2. Por lo tanto,∫ b

a

f(x)dx ≈∫ x2

x0

( 2∑i=0

ℓi(x)f(xi))dx+

1

6

∫ x2

x0

2∏i=0

(x− xi)f(3)(ξ(x))dx.

Observemos que el termino de error es de orden O(h4) y la formula es exactapara los elementos de P2, pero si seguimos una estrategia alternativa podemosobtener un termino de error de orden mayor.

Consideremos el polinomio de Taylor de f alrededor de x1. Sabemos quepara cada x ∈ [x0, x2], existe ξ ≡ ξ(x) ∈ (x0, x2) tal que

f(x) = f(x1)+f′(x1)(x−x1)+

f ′′(x1)

2(x−x1)2+

f ′′′(x1)

3!(x−x1)3+

f (4)(ξ)

4!(x−x1)4,

de donde∫ x2

x0

f(x)dx = f(x1)(x− x1) +f ′(x1)

2(x− x1)

2 +f ′′(x1)

6(x− x1)

3

+f ′′′(x1)

24(x− x1)

4

∣∣∣∣∣x2

x0

+1

24

∫ x2

x0

f (4)(ξ)(x− x1)4dx.

Como (x− x1)4 ≥ 0 en [x0, x2], por el TVM para integrales sigue que∫ x2

x0

f (4)(ξ)(x− x1)4dx =

f (4)(ξ′)

5(x− x1)

5

∣∣∣∣∣x2

x0

,

para algun ξ′ ∈ (x0, x2). Por otra parte, como h = x2−x1 = x1−x0, sigue que(x2−x1)2−(x0−x1)2 = (x2−x1)4−(x0−x1)4 = 0, (x2−x1)3−(x0−x1)3 = 2h3

y (x2 − x1)5 − (x0 − x1)

5 = 2h5. Por lo tanto,∫ x2

x0

f(x)dx = 2f(x1)h+f ′′(x1)

3h3 +

f (4)(ξ′)

60h5.


Ahora, si usamos la formula en diferencia centrada para aproximar la segundaderivada (§2.1), obtenemos∫ x2

x0

f(x)dx = 2f(x1)h+[f(x0)− 2f(x1) + f(x2)

h2− f (4)(ξ′′)

12h2]h33

+f (4)(ξ′)

60h5

= [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]h

3−[13f (4)(ξ′′)− 1

5f (4)(ξ′)

]h512.

Observemos que esta formula es exacta para los elementos de P3 contermino de error O(h5).

Definicion 2.1 La formula de cuadratura obtenida del proceso anterior, conn = 2 e intervalo [a, b], la cual esta dada por∫ b

a

f(x)dx ≈ b− a

6

[f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

],

se denomina regla de Simpson.

Ejercicio 5:Demostrar que el error de la regla de Simpson esta dado por (−1/90)h5f (4)(ξ),donde ξ ∈ (a, b) y h = (b− a)/2. (Sugerencia: observemos que F (a+ 2h) =∫ a+2h

af(x)dx ≈ (h/3)[f(a)+4f(a+h)+f(a+2h)], donde F (x) =

∫ x

af(t)dt;

el resultado sigue por aplicar el teorema de Taylor a ambos lados de la ex-presion.).

Ejercicio 6:Suponiendo nodos igualmente espaciados, definimos h = (b − a)/n y xi =a + ih para i = 0, 1, . . . , n. Para un numero par de intervalos (i.e., n par),podemos deducir la regla de Simpson compuesta:∫ b

a

f(x)dx =

n/2∑i=1

∫ x2i

x2i−2

f(x)dx

≈ h

3

n/2∑i=1

[f(x2i−2) + 4f(x2i−1) + f(x2i)]

=h

3

[f(x0) + 2

n/2∑i=2

f(x2i−2) + 4

n/2∑i=1

f(x2i−1) + f(xn)].


Demostrar que el error viene dado por (−1/180)(b − a)h4f (4)(ξ), con ξ ∈(a, b).

Podemos considerar tambien formulas de cuadratura mas generales. Porejemplo, si w es una funcion de peso ≥ 0 dada, entonces∫ b

a

w(x)f(x)dx ≈n∑

i=0

Kif(xi), (2.3)

donde Ki =∫ b

aw(x)ℓi(x)dx.

Ejercicio 7:Encontrar una formula∫ π

−π

cos2 xf(x)dx ≈ K0f(−3π/4) +K1f(−π/4) +K2f(π/4) +K3f(3π/4),

que sea exacta para todo elemento de P3.

2.2.2 Cuadratura gaussiana

En la §2.2.1 consideramos formulas de cuadatura de la forma∫ b

a

f(x)dx ≈n∑

i=0

Kif(xi), (2.4)

las cuales resultan ser exactas para los elementos de Pn. La seleccion de losnodos x0, x1, . . . , xn se hacıa de antemano, y se hallaban los coeficientes demanera unica a partir del requerimiento de que la expresion anterior fuerauna igualdad para todo f ∈ Pn. Asimismo, obtuvimos las formulas de N-C integrando los polinomios de interpolacion y utilizando los valores de lafuncion en nodos igualmente espaciados, lo cual fue util cuando dedujimos lasreglas compuestas. Sin embargo, esta restriccion no produce necesariamenteuna mejor aproximacion. Por ejemplo, en el caso de la regla del trapecio,aproximamos la integral de una funcion en un intervalo dado [a, b] cuandointegramos la recta entre los nodos a y b. Sin embargo, nos resulta intu-itivamente claro que el segmento de recta que une los puntos extremos dela grafica de la funcion, (a, f(a)) y (b, f(b)), no necesariamente es la mejor


funcion lineal, que para ese intervalo, podemos considerar a fin de obtener elmejor estimado de la integral. En este sentido, la cuadratura gaussiana nospermite escoger los puntos para la estimacion de la integral de una formaoptima.

Gauss se percato de que el grado de exactitud de (2.4) podıa ser llevado a2n+1 si consideramos los nodos xi’s como variables, en lugar de ser conocidosde antemano. Para ello, solamente necesitamos resolver el sistema de 2n+ 2ecuaciones para las 2n + 2 incognitas K0, K1, . . . , Kn, x0, x1, . . . , xn, y queobtenemos al asumir la igualdad en (2.4) cuando f(x) es igual a x0, x1, x2,hasta x2n+1. Si [a, b] = [−1, 1], estas ecuaciones son, para j = 0, 1, . . . , 2n+1,

n∑i=0

Kiξji =

∫ 1

−1

xjdx

Los ξi’s que satisfacen este sistema son los denominados nodos de Gauss-Legendre. Aquı tambien podemos determinar los correspondientes Ki’s deKi =

∫ 1

−1ℓi(x)dx. Sustituyendo estos valores en∫ 1

−1

f(x)dx ≈n∑

i=0

Kif(ξi)

obtenemos la denominada formula de cuadratura de Gauss-Legendrepara n+ 1 puntos.

Ejemplo:Encontremos K0, K1, ξ0 y ξ1 que garanticen la igualdad para elementos de P3

de∫ 1

−1f(x)dx ≈ K0f(ξ0) + K1f(ξ1) (i.e., la cuadratura de Gauss-Legendre

para 2 puntos).Para ello debemos resolver el sistema de ecuaciones:K0 +K1 =

∫ 1

−1dx = 2, K0ξ0 +K1ξ1 =

∫ 1

−1xdx = 0,

K0ξ20 +K1ξ

21 =

∫ 1

−1x2dx = 2

3, K0ξ

30 +K1ξ

31 =

∫ 1

−1x3dx = 0.

Este sistema no lineal puede resolverse mas facilmente si suponemos que losnodos ξ0 y ξ1 estan localizados simetricamente alrededor del origen, y quelos correspondientes valores de f(ξ0) y f(ξ1) tienen la misma ponderacion(i.e., K0 = K1). De manera que ξ0 = −ξ1 y K0 = K1. Estas ecuaciones,junto con las ecuaciones no homogeneas del sistema, nos permite encontrarque K0 = K1 = 1, ξ0 = −1/

√3 y ξ1 = 1/

√3 (¡verificar!). Por lo tanto, la


formula de cuadratura requerida es∫ 1

−1

f(x)dx ≈ f(−1/√3) + f(1/

√3).

Ejercicio 8:Si [a, b] = [−1, 1], encontrar las formulas de cuadratura de Gauss-Legendrepara 1 y 3 puntos.

A fin de justificar el metodo, consideremos las formulas de cuadratura(2.3). El siguiente resultado nos dice en donde debemos ubicar los nodospara que la formula de cuadratura sea exacta en P2n+1.

Teorema 2.1 Sea q un polinomio distinto de cero de grado n + 1 y w-ortogonal a Pn (i.e.,

∫ b

aw(x)q(x)p(x)dx = 0, ∀p ∈ Pn). Si x0, x1, . . . , xn

son los ceros de q, entonces la formula de cuadratura (2.3) sera exacta paratodo ϕ ∈ P2n+1.

Demostracion: Sea ϕ ∈ P2n+1. Si dividimos ϕ entre q obtendremos uncociente, digamos p, y un resto r, ambos en Pn. Es decir, ϕ = qp + r. Asıque ϕ(xi) = r(xi) (0 ≤ i ≤ n). Como la formula (2.3) es exacta para loselementos de Pn y q es w-ortogonal a Pn, sigue que∫ b

a

w(x)ϕ(x)dx =

∫ b

a

w(x)r(x)dx =n∑

i=0

Kir(xi) =n∑

i=0

Kiϕ(xi). 2

El siguiente resultado demuestra que las raıces del polinomio q del teoremaanterior son simples y se encuentra en el intervalo (a, b).

Proposicion 2.1 Sea w una funcion de peso positiva en C[a, b]. Suponga-mos que f ∈ C[a, b] es distinta de cero y w-ortogonal a Pn, entonces f cambiade signo en (a, b) por lo menos n+ 1 veces.

Demostracion: Ejercicio. 2

Ejemplo:En el caso de que w(x) = 1 y [a, b] = [−1, 1], encontramos en el ejemplo

anterior (n = 1) que∫ 1

−1f(x)dx ≈ f(−1/

√3) + f(1/

√3). Para el caso de


que n = 4 (i.e., la cuadratura de Gauss-Legendre para 5 puntos) podemosdemostrar que ∫ 1

−1

f(x)dx ≈4∑

i=0

Kif(ξi),

donde −ξ0 = ξ4 = (1/3)√5 + 2

√10/7, −ξ1 = ξ3 = (1/3)

√5− 2

√10/7 ,

ξ2 = 0, K0 = K4 = 0.3(0.7+5√0.7)/(2+5

√0.7), K2 = 128/225, K1 = K3 =

0.3(−0.7 + 5√0.7)/(−2 + 5

√0.7).

Los nodos en una formula gaussiana son las raıces de un polinomio qn+1 degrado n+1, el cual debe cumplir las propiedades de ser un polinomio monicoy w-ortogonal a Pn. Este tipo de polinomio pertenece a los denominadospolinomios ortogonales. En cuanto al calculo de los coeficientes Ki de laformula gaussiana, los podemos estimar de la misma forma que en el caso delas formulas no gaussianas.

La opcion correcta para determinar los parametros ξi (0 ≤ i ≤ n), necesa-rios para obtener una formula de aproximacion exacta para cualquier ele-mento de P2n+1, es aquella en que los parametros son las raıces de los poli-nomios de Legendre de grado n+ 1(ver Apendice A2. en §1.8), las cualesson diferentes, se encuentran en el intervalo (−1.1) y son simetricas respectoal origen.

Los nodos y los coeficientes de muchas formulas de integracion puedenconsultarse en [1], los cuales, para las funciones adecuadas, pueden usarsepara obtener una precision aceptable con un costo de tan solo algunas eva-luaciones. Para acanzar una mayor precision se pueden usar formulas de unorden mayor.

Ejercicio 9:Supongamos que ξ0, ξ1, . . . , ξn son las raıces del polinomio de Legendre qn+1.Si p ∈ P2n+1, demostrar que

∫ 1

−1p(x)dx =

∑ni=0Kip(ξi). (Sugerencia: ver el

Teorema 2.1).

Observacion:

• La integral en un intervalo dado [a, b] se puede expresar en una integralen [−1, 1] a traves de un sencillo cambio de variable. Es decir, z =

(2x − a − b)/(b − a) ∈ [−1, 1] sii x = [(b − a)z + b + a]/2 ∈ [a, b]. Demanera que,∫ b

a

f(x)dx =(b− a)

2

∫ 1

−1

f((b− a)z + b+ a

2

)dz.

Lo cual nos permite obtener la formula de cuadratura gaussiana paracualquier intervalo [a, b].

Ejercicio 10:Encontrar la formula de cuadratura gaussiana en el caso de que [a, b] = [2, 4],w(x) = 1 y n = 2.

Ejercicio 11:Demostrar que en una formula de cuadratura gaussiana con [a, b] = [−1, 1] yw(x) = 1,

∑ni=0Ki = 2.



Dado un conjunto de datos que describen una funcion, MATLAB nos permitecalcular una aproximacion a la derivada de la misma a traves del uso del


comando diff, que calcula la diferencia entre los elementos consecutivos deun arreglo.

Como la derivada de y = f(x) esta definida por

dy

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h,

que puede aproximarse por el cociente incremental

f(x+ h)− f(x)

h, donde h > 0,

podemos estimar la derivada escribiendo:

>> dy = diff(y)./diff(x);

>> dx = x(1:length(x)-1);

donde x y y son arreglos dados y dx crea un nuevo arreglo a partir de x, puesdy es mas corto que y (dx representa los valores de x que corresponden a laderivada).

Ejercicio 1: Definamos los arreglos

>> x = (0:0.1:1);

>> y = [-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 ...

7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];

Encuentre el polinomio de ajuste (con orden de ajuste n = 2) y su derivada(usando polyder). Encuentre luego la derivada usando el comando diff.Grafique ambas aproximaciones de la derivada (puede usarse el comandoplot). ¿Que observa?

Como la derivada de un polinomio es facil de expresar, MATLAB cuentacon la funcion polyder para la diferenciacion numerica de polinomios. Ası,por ejemplo, si

>> p = [2 3 7 5 3 2];

>> pp = polyder(p)

pp =

10 12 21 10 3


Siempre podemos usar mınimos cuadrados y obtener una curva de ajustede los datos (para lo que podemos usar la funcion polyfit), para luegodiferenciar el polinomio resultante usando polyder.

MATLAB tiene dos funciones de cuadratura numerica: quad y quadl.La primera usa una forma adaptable de la regla de Simpson; la segunda usala cuadratura adaptable recursiva de Lobatto de alto orden. Ambasfunciones aproximan a la integral definida de una funcion dada con un error(por defecto) del orden de 10−6 (puediendo especificarse un error menor). Lafuncion quadl es mejor para manejar funciones con cierto tipo de singulari-dades, como es el caso de

∫ 1

0

√xdx.

Ejercicio 2: Estimar la integral de la funcion raız cuadrada,∫ b

a

√xdx, us-

ando quad y quadl, para diferentes valores no negativos de los extremosde integracion (puede usar el comando input para introducir estos valores).Comparar los valores obtenidos con los valores analıticos para un intervalodado [a, b], a,b > 0 (esto es, comparar con 2

3(b3/2 − a3/2)).

Ejercicio 3:

a) Como se vio en la parte teorica, MATLAB tiene dos procedimientosde cuadratura: quad y quadl. Use el comando help de MATLABpara saber como trabajan estas funciones. Efectue algunas pruebascon algunas funciones conocidas (sen(x), cos(x), ex, polinomios, etc.)sobre algunos subintervalos de sus dominios.

b) Investigue con el help de MATLAB la funcion humps. Aplique quad yquadl a la integral de la funcion humps desde 0 hasta 1, sobre el rangode tolerancias: 10−2, 10−3, 10−4, 10−5, 10−6.

c) Algunos M-archivos de interes pueden ser hallados en la Internet4 vıaftp:

ftp://ftp.cs.cornell.edu/pub/cv

Si selecciona chapter4 encontrara los M-archivos (“M-files”) corre-spondientes al tema de cuadratura numerica, y puede descargar, porejemplo, el script ShowQuads que le resolvera el problema anterior.

4Son los M-archivos mencionados al final de cada capıtulo de [30].


Tambien puede usar el script GLvsNC a fin de comparar las reglas deNewton-Cotes y Gauss cuando las aplicamos a la integral de sen(x)desde 0 a π/2, para distintos valores de n (= 2, 3, 4, 5, 6). ¿Que pudierainferirse de esta comparacion?

Ejercicio 4: Integracion doble [26, Cap. 4].Consideramos aquı resolver numericamente la integral∫ ymax

ymin

∫ xmax

xmin

f(x, y) dxdy,

donde f(x, y) = ysen(x) + xcos(y) (recuerde que el primer paso consiste endefinir el integrando). MATLAB usa la funcion dblquad para el calculo deintegrales dobles, la cual evalua el lazo exterior usando quad; luego, en cadaiteracion, quad llama una segunda funcion que evalua el lazo interior. Vea laayuda help dblquad. Para [xmin, xmax] = [π, 2π] y [ymin, ymax] = [0, π],calcule la integral doble de la funcion dada.

Nota: La funcion MATLAB para integrales triples es triplequad. Escribahelp triplequad para obtener informacion sobre la misma.

Capıtulo 3

Problemas de valores inicialespara EDOs

Muchos sistemas fısicos y naturales dan lugar a modelos matematicos quecontienen ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Aunque pareciera sermejor resolver analıticamente estas ecuaciones, muchas de ellas tienen solu-ciones analıticas complicadas o simplemente no las conocemos. En estoscasos, requerimos del uso de una tecnica numerica para buscar una solucionaproximada de la ecuacion diferencial. La bibliografıa relacionada con estetema, al nivel que proponemos aquı, es realmente extensa1 y nosotros, sim-plemente, hacemos una adaptacion de la misma.

3.1 Preliminares

Consideraremos aquı el estudio y analisis de metodos numericos para la EDOde primer orden de la forma

y′(t) = f(t, y(t)),

donde y(t) es una funcion de valores reales (de la variable real t) y f es unafuncion conocida que toma valores reales y depende de dos variables reales.Nuestro objetivo sera el de encontrar soluciones numericas de esta ecuaciondiferencial. Sin embargo, en general, la solucion de esta ecuacion es unafamilia infinita de curvas solucion, que constituye la solucion general. Por

1Ver por ejemplo, [2], [6], [19], [22], [24], [27], [29], [34], [36].

59

60 CAPITULO 3. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES

lo que para escoger una solucion particular de esta familia necesitaremos,ademas, de una condicion inicial. Dados dos numeros reales, t0 y y0, elobjetivo de un problema de valores iniciales (PVI) consiste en encontraruna solucion y(t), para t > t0, tal que

y′(t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0, (3.1)

A fin de garantizar la existencia de una solucion unica para el PVI (3.1),debemos considerar el siguiente teorema.

Teorema 3.1 (Teorema de Picard (1856-1941)) Supongamos que la fun-cion de valores reales (t, y) 7→ f(t, y) es continua en la region R = {(t, y) ∈R2 : y ∈ [y0 − C, y0 + C] ∧ t ∈ [t0, TM ]}, que |f(t, y0)| ≤ K cuandot ∈ [t0, TM ], y que f satisface la condicion de Lipschitz, i.e. existe λ > 0 talque |f(t, u)−f(t, v)| < λ|u−v| ∀(t, u), (t, v) ∈ R. Si tambien suponemos queC ≥ (K/λ)(eλ(TM−t0) − 1), entonces existe una unica funcion y ∈ C1[t0, TM ]tal que y(t0) = y0 ∧ y′(t) = f(t, y(t)) para t ∈ [t0, TM ]; ademas, |y(t)− y0| ≤C, t ∈ [t0, TM ].

Demostracion. Ver, por ejemplo, [3]. 2

Al aplicar este teorema necesitamos escoger la constante C tal que lashipotesis sean satisfechas. Tambien, se puede demostrar que si TM − t0 es losuficientemente pequeno y si ∂f/∂y es continua en una vecindad de (t0, y0),entonces se satisfaceran las condiciones del teorema [3].

Ejemplo.Consideremos el PVI sguiente:

y′(t)− αy(t) = β, y(t0) = y0,

donde α y β son constantes. Claramente, λ = |α| (independientemente deC) y K = |αy0| + |β|. De manera que, para cualquier intervalo [t0, TM ], siescogemos C lo suficientemente grande las condiciones son satisfechas. Porlo tanto, el PVI tiene una unica solucion definida en t ∈ [t0, TM ], que escontinuamente diferenciable.

Ejercicio 1.Aplicar el Teorema 3.1 al siguiente PVI no lineal

y′(t) = y2(t), y(0) = 1,

3.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 61

¿Cual es la solucion unica de este PVI?

En estas notas siempre supondremos que la funcion f satisface las condi-ciones del Teorema de Picard. Asumimos tambien que deseamos resolver elPVI (3.1) en el intervalo [t0, TM ], el cual dividimos en N subintervalos usan-do los puntos tn = t0 + nh, n = 0, 1, . . . , N , donde h = (TM − t0)/N . Demanera que, para cada n, buscaremos estimar una aproximacion yn de y(tn).Estas aproximaciones se calculan de manera sucesiva para n = 1, 2, . . . , N .Llamaremos a h el tamano del paso.

3.2 EDOs de primer orden

Entre las tecnicas numericas mas utilizadas para resolver ecuaciones diferen-ciales ordinarias estan los denominados metodos de Runge-Kutta. Estosmetodos se basan en aproximar una funcion a partir de su desarrollo enserie de Taylor. Ası, un metodo de Runge-Kutta de primer orden2 usa undesarrollo de Taylor de primer orden, un metodo de Runge-Kutta de segundoorden usa un desarrollo de Taylor de segundo orden, etc.

En el caso del metodo de Runge-Kutta de primer orden, en cada pasoevaluamos f en el punto correspondiente a la solucion aproximada actual(tn, yn), para luego utilizar la informacion obtenida de la pendiente parahallar yn+1. Ası, la ecuacion queda

yn+1 = yn + hnf(tn, yn),

cuya aplicacion sucesiva define el algoritmo:n = 0Se repite:fn = f(tn, yn)Se define el paso hn > 0tn+1 = tn + hnyn+1 = yn + hnfnn = n+ 1

Con un error local de truncamiento O(h3), obtenemos el metodo de

2Este es el denominado metodo de Euler.


Runge-Kutta de segundo orden:

k1 = hf(tn, yn) (3.2)

k2 = hf(tn + h, yn + k1) (3.3)

yn+1 = yn +k1 + k2

2(3.4)

Observemos que por cada paso se requieren dos evaluaciones de f .El metodo de Runge-Kutta mas conocido es el siguiente metodo de cuarto

orden:

k1 = hf(tn, yn) (3.5)

k2 = hf(tn +h

2, yn +

1

2k1) (3.6)

k3 = hf(tn +h

2, yn +

1

2k2) (3.7)

k4 = hf(tn + h, yn + k3) (3.8)

yn+1 = yn +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (3.9)

El cual requiere de cuatro evaluaciones de f por paso.A continuacion estudiaremos con mayor detalle estas tecnicas.

3.2.1 Metodos de un paso

En este tipo de metodos yn+1 viene expresada en terminos del valor ynobtenido en el paso anterior. El caso mas simple de los metodos de unpaso es el denominado metodo de Euler, que definiremos a continuacion.

Sabiendo que y(t0) = y0, supondremos que ya hemos calculado yn, paraalgun n = 0, 1, . . . , N − 1 (N ≥ 1). Definimos entonces, para cada n =0, 1, . . . , N − 1, de a un paso por vez, el siguiente esquema iterativo:

yn+1 = yn + hf(tn, yn),

con el que buscaremos estimar, en la red de puntos dada, los valores aproxi-mados yn de y(tn).


Observemos que al considerar el desarrollo de Taylor, hasta los dos primerosterminos, de y(tn+1) = y(tn + h) alrededor de tn con y ′(tn) = f(tn, y(tn)),obtendremos

y(tn + h) = y(tn) + hf(tn, y(tn)) +O(h2).

Si ademas sustituimos y(tn) y y(tn+h) por sus valores aproximados yn y yn+1

respectivamente, y desechamos el termino O(h2), obtendremos el metodo deEuler.

En una forma mas general podemos expresar los metodos de un pasocomo

yn+1 = yn + hΨ(tn, yn, h), n = 0, 1, . . . , N − 1, y(t0) = y0, (3.10)

donde Ψ(tn, yn, h) es una funcion continua de sus variables. Ası, por ejemplo,en el caso del metodo de Euler, Ψ(tn, yn, h) = f(tn, yn).

Al resolver una ecuacion diferencial numericamente se presentan diferen-tes tipos de errores.

Definicion 3.1 Llamaremos error de truncamiento local el que ocurreen un paso dado cuando reemplazamos un proceso infinito por uno finito. Elerror de truncamiento global es la acumulacion de todos los errores detruncamiento local. Denominaremos tambien error de redondeo globalal que se presenta cuando acumulamos los errores de redondeo (local) de lospasos anteriores. El error total es la suma de los errores de truncamientoglobal y de redondeo global.

El error de truncamiento local esta presente en cada paso del procesode obtencion de la solucion numerica. El error de truncamiento global estaasociado con el metodo numerico particular que aplicamos y es independientedel hardware que utilicemos.

Para el caso del metodo numerico (3.10), consideraremos el error en ≡y(tn)−yn, tambien denominado error global, y el error de truncamiento

en ≡ y(tn+1)− y(tn)

h−Ψ(tn, y(tn), h). (3.11)


Metodos implıcitos de un paso

Observemos que de y(tn+1) − y(tn) =∫ tn+1

tny′(t)dt y luego aproximar la in-

tegral usando la regla del trapecio, obtenemos el siguiente metodo de unpaso:

yn+1 = yn +h

2[f(tn+1, yn+1) + f(tn, yn)], (3.14)

el cual se denominametodo de la regla del trapecio3 y tiene una precisionde segundo orden. En efecto, como el error de truncamiento en esta dadopor

en =y(tn+1)− y(tn)

h− 1

2[f(tn+1, y(tn+1)) + f(tn, y(tn))]

y como el error para la regla del trapecio viene dada por (−1/12)(tn+1 −tn)

3f ′′(ξ), con ξ ∈ (tn, tn+1) (ver §2.2.1), entonces |en| ≤ (1/12)h2M, dondeM = maxz∈[t0,tM ] f

′′(z).

Como yn+1 aparece a ambos lados de (3.14), para calcular yn+1 a partir deyn necesitamos resolver una ecuacion que, por lo general, no es lineal. Pode-mos resolver la ecuacion (3.14) para yn+1, por ejemplo, usando el metodo deNewton (siempre y cuando la derivada fy sea relativamente facil de calcular),usando como iterado inicial yn + hf(tn, yn). Este tipo de metodos, en donderequerimos resolver una ecuacion para determinar el nuevo valor de yn+1, sonde segundo orden (i.e., el error en es O(h2)), y se conocen como metodosimplıcitos.

3Tambien conocido como el metodo de Adams-Moulton de segundo orden.


Ejercicio 3.Para el mismo PVI del Ejercicio 2, aplicar el metodo de la regla del trapeciopara los tamanos de paso h = 0.4 y h/2. Graficar los resultados obtenidosy comparar con el metodo de Euler del Ejercicio 2. ¿Que efecto tiene lareduccion del tamano de paso por un factor de 2?

Metodos de Runge-Kutta

Comencemos por considerar la siguiente familia de metodos:

yn+1 = yn + hΨ(tn, yn, h), (3.15)

donde

Ψ(tn, yn, h) = αf(tn, yn) + βf(tn + µh, yn + νhf(tn, yn))

y α, β, µ y ν son parametros a ser determinados.

Observaciones.

• (3.2)-(3.4) coincide con el caso α = β = 1/2 y µ = ν = 1. Este metodose suele denominar metodo de Euler mejorado. Otro ejemplo esel metodo de Euler modificado, para el cual α = 0, β = 1 yµ = ν = 1/2. Asimismo, el metodo de Euler tambien es un miembrode esta familia (caso α = 1 y β = 0); no obstante, ahora nos interesanmetodos con un orden de precision mayor que 1.

• De acuerdo con la Definicion 3.2 (i.e., cuando Ψ(t, y, 0) = f(t, y)), unmetodo de esta familia sera consistente sii α + β = 1. Este es el casode los ejemplos anteriores.

Con el objeto de determinar el error de truncamiento (3.11) necesitaremoscalcular algunas derivadas de y. A fin de simplificar la notacion, supongamosque las funciones en el lado derecho de las siguientes expresiones estan eva-luadas en (tn, y(tn)), de manera que

y′(tn) = f,

y′′(tn) = ft + fyf,

y′′′(tn) = ftt + ftyf + (fty + fyyf)f + fy(ft + fyf),

. . . . . .


Y usando el desarrollo de Taylor en dos variables, tenemos que

Ψ(tn, y(tn), h) =

αf + β(f + µhft + νhffy +1

2(µh)2ftt + µνh2ffty +

1

2(νh)2f 2fyy +O(h3)).

Por lo que el error de truncamiento queda

en =y(tn + h)− y(tn)

h−Ψ(tn, y(tn), h)

= f +1

2h(ft + fyf) +

1

3!h2(ftt + ftyf + (fty + fyyf)f + fy(ft + fyf))

−[αf + β(f + µhft + νhffy +1

2(µh)2ftt + µνh2ffty +

1

2(νh)2f 2fyy)]

+O(h3).

Como α + β = 1, (1 − α − β)f = 0, y como el termino h[(1/2)(ft + fyf) −βµft − βνffy] se anula para toda f tal que βµ = βν = 1/2, el metodo serade segundo orden si ν = µ, β = 1/2µ y α = 1− 1/2µ, con µ = 0. De maneraque el error de truncamiento del metodo queda:

en = h2[(1

6−µ

4

)(ftt+fyyf

2)+(13−µ

2

)ffty+

1

6(ftfy+ff

2y )]+O(h3). (3.16)

Demostrando que en efecto existe una familia de metodos, dependiente deun parametro (µ = 0), que es de segundo orden.

Observemos que en (3.16) no tenemos manera de escoger, para toda f , elparametro µ para que el metodo sea de tercer orden (ver el Ejercicio 4).

Ejercicio 4.Corroborar la ultima observacion anterior para el caso del PVI: y′ = y,y(0) = 1. ¿Cual es el error de truncamiento? ¿Como depende de µ?

Ejercicio 5.Para los metodos de Euler modificado y de Euler mejorado estimar sus res-pectivos errores de truncamiento y verificar que son metodos de segundoorden.


Podemos realizar un analisis similar, aunque mas complicado, para obtenermetodos de Runge-Kutta de orden mayor, como el metodo (3.5)-(3.9), el cualse conoce como el metodo clasico de Runge-Kutta de cuarto orden.

Ejercicio 6.Para el mismo PVI del Ejercicio 2 y tamanos de paso, aplicar el metodos dela regla del trapecio y el clasico de Runge-Kutta de cuarto orden. Graficar,para cada h y en el mismo sistema coordenado, los resultados obtenidos juntocon el metodo utilizado en el Ejercicio 2. Graficar los errores en otro sistemacoordenado, indicando en el eje horizontal el numero de puntos igualmenteespaciados (N = 1.6/h), en una escala logarıtmica, y en el eje vertical ln |eN |.Interpretar y comparar las graficas que corresponden a cada uno de los tresmetodos.

3.2.2 Metodos multi-paso

Estos son los denominados metodos de k pasos, donde ahora yn+1 vieneexpresada en terminos de los k valores anteriores: yn, yn−1, . . . , yn−k+1 (k ≥2).

Si bien esta claro que cuando aplicamos los metodos de Runge-Kuttapodemos alcanzar una mayor precision, tambien es cierto que esto ocurre acosta de llevar a cabo un mayor trabajo computacional, pues se requiere deun numero mayor de evaluaciones de f . Por otra parte, si consideramos, porejemplo, los tres nodos tn−1, tn = tn−1+h y tn+1 = tn−1+2h, e integramos laecuacion diferencial y′(t) = f(t, y(t)) entre tn−1 y tn+1, entonces obtendremosque y(tn+1) − y(tn−1) =

∫ tn+1

tn−1f(t, y(t))dt. Si a continuacion aplicamos el

metodo de Simpson (ver §2.2.1) para aproximar la integral del lado derecho,conseguimos el metodo

yn+1 = yn−1 +h

3[f(tn+1, yn+1) + 4f(tn, yn) + f(tn−1, yn−1)], (3.17)

que tan solo requiere de tres evaluaciones de la funcion f por paso.

Observemos tambien que para calcular yn+1 en (3.17) necesitamos delos dos valores anteriores, yn−1 y yn, por lo que este metodo es diferente alos metodos de un paso que tan solo requieren del valor anterior, yn. Este


tipo de metodos se denomina metodos multi-paso lineales. Daremos acontinuacion una definicion mas general.

Definicion 3.4 Sea {tn} una sucesion de nodos igualmente espaciados contamano de paso h. Entonces, el metodo

k∑j=0

ajyn+j = h

k∑j=0

bjf(tn+j, yn+j), (3.18)

donde los coeficientes aj y bj (j = 0, 1, . . . , k) son constantes reales con akdistinto de cero, se denomina metodo de k pasos lineal. Es mejor suponertambien que no se da el caso de que a0 = b0 = 0. Si bk = 0 decimos que elmetodo es explıcito, y si bk = 0 entonces decimos que es implıcito.

Ası, por ejemplo, (3.17) es un metodo de 2 pasos lineal implıcito.

Observacion:

• En la definicion anterior decimos que el metodo (3.18) es “lineal”porque solo involucra combinaciones lineales de los yn+j y f(tn+j, yn+j),para j = 0, 1, . . . , k.

Ejemplos.El metodo de Euler es un metodo de un paso lineal explıcito. Asimismo, eldenominado metodo de Euler implıcito

yn+1 = yn + f(tn+1, yn+1),

es un metodo de un paso lineal implıcito. El metodo de la regla del trapecioes tambien un metodo de un paso lineal implıcito.

El denominado metodo de Adams-Bashforth

yn+4 = yn+3 +h

24(55fn+3 − 59fn+2 + 37fn+1 − 9fn), (3.19)

en donde usamos la notacion fk ≡ f(tk, yk), es un metodo de 4 pasos linealexplıcito. El denominado metodo de Adams-Moulton

yn+3 = yn+2 +h

24(9fn+3 + 19fn+2 − 5fn+1 − 9fn) (3.20)

es un metodo de 3 pasos lineal implıcito.


Como ya hemos observado, partiendo de y(tn+1) = y(tn)+∫ tn+1

tnf(t, y(t))dt,

podemos aproximar la integral usando una formula de cuadratura numerica,para obtener una formula que genera, en cada paso, una solucion aproximadadel problema 3.1. La expresion obtenida sera de la forma:

yn+1 = yn + afn + bfn−1 + cfn−2 + . . . ,

la cual se denomina formula de Adams-Bashforth. A manera de ejemplo,supongamos que deseamos aproximar, para los puntos ti = t0+ih (0 ≤ i ≤ n),la integral anterior de la siguiente manera:∫ tn+1

tn

f(t, y(t))dt ≈ h[Afn +Bfn−1 + Cfn−2 +Dfn−3 + Efn−4].

Determinaremos los coeficientes A, B, C, D y E de manera tal que estaexpresion sea exacta siempre que el integrando sea un polinomio de grado≤ 4. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que tn = 0 y h = 1(¿por que?); claramente tn+1 = 1, tn−1 = −1, tn−2 = −2, tn−3 = −3 ytn−4 = −4. Asimismo, podemos considerar convenientemente, como base deP4, los polinomios p0(t) = 1, p1(t) = t, p2 = t(t+ 1), p3(t) = t(t+ 1)(t+ 2) yp4 = t(t+ 1)(t+ 2)(t+ 3). Cuando los sustituımos en la ecuacion∫ 1

0

pn(t)dt = Apn(0) +Bpn(−1) + Cpn(−2) +Dpn(−3) + Epn(−4),

obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1 = A+B + C +D + E

12= −B − 2C − 3D − 4E

56= 2C + 6D + 12E

94= −6D − 24E

25130

= 24E,

que facilmente resolvemos por sustitucion hacia atras, obteniendo la formula

yn+1 = yn +h

720[1901fn − 2774fn−1 + 2616fn−2 − 1274fn−3 + 251fn−4],

denominada metodo de Adams-Bashforth de quinto orden.


El procedimiento ilustrado es el metodo de los coeficientes indeter-minados. De manera similar podemos obtener metodos de orden superior.

A fin de mejorar la precision, los metodos de Adams-Bashforth se suelenaplicar conjuntamente con otros metodos. Supongamos ahora que usamosun metodo de cuadratura numerica que incluya fn+1, entonces ahora

yn+1 = yn + afn+1 + bfn + cfn−1 + . . .

Ejercicio 7.Aplicar el metodo de los coeficientes indeterminados para deducir el siguientemetodo:

yn+1 = yn +h

720[251fn+1 + 646fn − 264fn−1 + 106fn−2 − 19fn−3].

Se trata del metodo de Adams-Moulton de quinto orden.

Notemos que este metodo no se puede aplicar directamente para avanzaren la solucion, ya que yn+1 aparece a ambos lados de la ecuacion. Sin em-bargo, podemos usar el metodo de Adams-Bashforth de quinto orden anteriorpara estimar un valor de yn+1, el predictor y

pn+1, para luego utilizarlo con el

metodo de Adams-Moulton de quinto orden para obtener un nuevo valor deyn+1, el corrector y

cn+1. Este algoritmo se denomina el metodo predictor-

corrector. De manera que, en la expresion anterior para el metodo deAdams-Moulton de quinto orden, fn+1 = f(tn+1, y

pn+1).

Dado que tan solo conocemos el valor inicial y0, podemos usar, por ejem-plo, el metodo de Runge-Kutta para obtener y1, y2, y3 y y4. En general, seutilizan conjuntamente metodos de un mismo orden4.

Como se desprende de (3.18), requerimos de k valores iniciales, y0, y1, . . .,yk−1, antes de aplicar el metodo de k pasos lineal al PVI (3.1). De ellos,como acabamos de observar, y0 esta dado por la condicion inicial, pero losdemas debemos estimarlos de alguna otra forma, por ejemplo, usando un

4La precision de una solucion numerica de una ecuacion diferencial esta determinada porel orden del metodo utilizado. El orden indica cuantos terminos de una solucion expresadaen serie de Taylor esta utilizando el metodo. Por ejemplo, decimos que un metodo dadoes de cuarto orden porque produce de manera aproximada la misma precision que la quese obtiene al usar una serie de Taylor con los terminos h, h2, h3 y h4. De manera que encada paso de la solucion en la que se aplica el metodo esperamos que el error sea O(h5).Mas adelante precisaremos esta idea intuitiva de orden


metodo de un paso. En cualquier caso, los valores iniciales contendran e-rrores numericos, por lo que es importante saber como este hecho afectara alas siguientes aproximaciones yn’s, para n ≥ k, que hemos calculado usando(3.18). Por lo tanto, es relevante considerar aquı la “estabilidad” del metodonumerico con respecto a “pequenas perturbaciones” en las condiciones ini-ciales.



Ejercicio 1. Usando un software de computo cientıfico, implementar losmetodos de Runge-Kutta de ordenes uno, dos y cuatro, con paso de tamanofijo. Consideremos, por ejemplo, resolver numericamente el siguiente PVI:

y′(t) = 3y(t) + e2t, y(0) = 3,

en el intervalo [0, 3] (la solucion analıtica es y = 4e3t − e2t). Graficar lasolucion.

Ejercicio 2.Aplicar el metodo de Runge-Kutta para resolver numericamente el siguienteproblema de valores iniciales:

y′′(x) + xy(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1,

y(0) = 3−2/3Γ(1/3) ≈ 1.2878993169,

y′(0) = −3−1/3Γ(2/3) ≈ −0.9388929401,

donde Γ es la funcion Gamma, la cual se define por Γ(s) =∫∞0ts−1e−tdt,

con s real > 0. Las soluciones de la ecuacion y′′(x) + xy = 1 se llaman


funciones generalizadas de Airy9 de orden 0. A fin de comprobar el resultado,la respuesta en la red de puntos t = 0, 0.1, 0.2, . . . , 0.9, 1.0, es:

0 1.28789931690000

0.10000000000000 1.19880295408549

0.20000000000000 1.11852115068333

0.30000000000000 1.04601372670662

0.40000000000000 0.98037804300430

0.50000000000000 0.92082923969703

0.60000000000000 0.86668350462695

0.70000000000000 0.81734388182298

0.80000000000000 0.77228821288660

0.90000000000000 0.73105887250618

1.00000000000000 0.69325401561206

Obtener tambien la grafica de la solucion aproximada (ası como la de suderivada).

Ejercicio 3. (Movimiento cerca de los puntos de Langrange)Consideremos dos grandes masas esfericas M1 y M2, con M1 > M2. En laausencia de otras fuerzas, estos cuerpos se moveran en orbitas elıpticas alrede-dor de su centro de masa comun (como en el caso de la Tierra y la Luna).Bajo la influencia gravitacional de los dos cuerpos grandes, consideremos

9Las soluciones de la version homogenea: y′′ + xy = 0, conocidas como funcionesde Airy, aparecen de un modo natural en muchos problemas de la Fısica-Matematica;por ejemplo, en la teorıa de difraccion de ondas de radio alrededor de la superficieterrestre; en el diseno de cascaras toroidales delgadas, sometidas a la accion de pre-siones internas y fuerzas radiales distribuidas; en el estudio de la deformacion, tanto decolumnas sujetas a fuerzas longitudinales, como en placas delgadas en las cuales actuanademas de fuerzas transversales, fuerzas centrıfugas internas. Cuando se estudia la aprox-imacion WKM (Wentzel - Kramers - Brillouin), para resolver determinados problemas dela mecanica cuantica, se usa un metodo de aproximacion, en el cual aparece la ecuacionuno-dimensional de Schrodinger,

d2y

dx2+

2m

h2(E − V (x))y = 0

(con E > V , E − V = m2 V

2, y V la velocidad clasica), la cual, despues de cierto analisis,toma la forma

d2y

dz2− zy = 0,

que es una ecuacion de Airy (para mas detalles ver [12]).


el movimiento de un tercer cuerpo, como una nave espacial (con una masainsignificante en comparacion con M1 y M2). Se producen entonces cincopuntos de equilibrio para el movimiento del cuerpo pequeno con relacion alos dos cuerpos grandes. Tres de los mismos (encontrados por Euler) estansobre la lınea que une los dos cuerpos grandes. Los otros dos (encontradospor Lagrange) son los denominados puntos de Lagrange. Cada uno de ellosforma un triangulo equilatero en el plano de movimiento con las posicionesde los dos cuerpos grandes. Y estamos interesados en el movimiento de lanave cuando pasa cerca de un punto de Lagrange.

A fin de simplificar nuestro analisis, supondremos que los dos cuerposgrandes se mueven en cırculos (por lo que mantienen una distancia constanteentre sı). Tomaremos como el origen del sistema de coordenadas el centro demasa y supondremos que el eje x siempre contiene a los dos cuerpos grandes.La distancia entre los cuerpos grandes sera la unidad de distancia, y la sumade las dos masas sera la unidad de masa (M1+M2 = 1). Por ultimo, la unidadde tiempo sera tal que una orbita completa tome 2π unidades (en nuestrocaso, 1 ano ≡ 2π unidades, lo que equivale a tomar la constante gravitacionaligual a 1). Con todas estas suposiciones, el parametro fundamental es la masarelativa del mas pequeno de los dos cuerpos: µ = M2

M1+M2=M2. Entonces, la

posicion de M1 es (−µ, 0) y la de M2 es (1− µ, 0). La posicion del punto deLagrange sera ((1− 2µ)/2,

√3/2). Si (x, y) es la posicion de la nave espacial,

entonces las distancias a M1 y M2 son:

r21 = (x+ µ)2 + y2,

r22 = (x− 1 + µ)2 + y2.

Por ultimo, las ecuaciones de Newton del movimiento aplicadas a este casoson:

..x −2

.y −x = −(1− µ)(x+ µ)

r31− µ(x− 1 + µ)

r32, (3.36)

..y +2

.x −y = −(1− µ)y

r31− µy

r32.

Encuentre el sistema de cuatro ecuaciones de primer orden equivalente alsistema (3.36) (ver Ejemplo de §6.2). Si los dos cuerpos son la Tierra yla Luna, µ = 0.0122, x = (1 − 2µ)/2 + ξ y y =

√3/2 + η. Ası, (ξ, η)

es la posicion de la nave relativa al punto de Lagrange. Comenzando concondiciones iniciales menores que 1/100 unidades de distancia del punto de


Lagrange, calcular la solucion. Para cada solucion calculada, obtener lagrafica de η vs. ξ para observar el movimiento relativo al punto de Lagrange.Graficar ademas y vs. x, que incluya las posiciones de M1 y M2, a fin deobtener una vision global del movimiento. (Nota: Tomado del texto dePolking y Arnold, 1999 [33])

Capıtulo 4

Problemas con valores en lafrontera para EDOs

En muchos problemas practicos requerimos determinar una solucion paraun sistema de ecuaciones diferenciales en un intervalo finito dado, con scondiciones complementarias conocidas en uno de los extremos del intervaloy m − s condiciones en el otro extremo. A un problema, con este tipo decondiciones, lo denominaremos un problema con valores en la frontera(PVF). Los metodos numericos que abordan esta clase de problemas sondiferentes a los considerados para los PVIs. Mas precisamente, requerimos lasolucion en un intervalo [a, b], con algunas condiciones dadas en a, y el restoen b, sin embargo pueden darse situaciones mas complicado, que involucrantres o mas puntos.

Proponemos pues el caso de un problema con valores en la frontera endos puntos para una ecuacion diferencial de segundo orden. Nos referimos alproblema

y′′ = f(t, y, y′), t ∈ (a, b), con las condiciones y(a) = α, y(b) = β, (4.1)

donde α y β son numeros reales dados.

Ejemplo.

y′′ = −y, y(0) = 3, y(π/2) = 7. (4.2)

La solucion general de la ecuacion diferencial es y(t) = C1 sen t + C2 cos t.Hallamos las constantes C1 y C2 tales que se satisfagan las condiciones defrontera. Ası, C1 = 7 y C2 = 3. De manera que la solucion de (4.2) es

93

94 CAPITULO 4. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

y(t) = 7 sen t + 3 cos t.

El procedimiento que seguimos en el ejemplo anterior deja de ser practicocuando no conocemos la solucion general de la ecuacion diferencial (4.1).De allı la necesidad de contar con metodos numericos adecuados que nospermitan abordar este tipo de problema.

Consideremos ahora el siguiente problema de apariencia similar al ante-rior:

y′′ = −y, y(0) = 3, y(π) = 7. (4.3)

Si imponemos las condiciones de frontera a la solucion general, obtenemosla contradiccion de que C2 = 7 y C2 = −7. Por lo que el problema (4.3)no tiene solucion. El asunto de la existencia de soluciones de (4.1) tiende aser mas complicado que para el caso de los PVIs. Mostremos a continuacionotro ejemplo.

Ejemplo. ([34, §12.1])Consideremos el PVF siguiente

−y′′(t) = f(t), t ∈ (0, 1), y(0) = y(1) = 0. (4.4)

Del TFC sigue que si y ∈ C2[0, 1] y satisface la ecuacion diferencial −y′′(t) =f(t), entonces

y(t) = −∫ t

0

F (s)ds+ C1t+ C2,

donde C1 y C2 son constantes abitrarias y F (s) =∫ s

0f(t)dt. Integrando por

partes tenemos que∫ t

0

F (s)ds = sF (s)∣∣∣t0−

∫ t

0

sF ′(s)ds =

∫ t

0

(t− s)f(s)ds.

Ahora, es claro que de las condiciones de frontera sigue que C2 = 0 y C1 =∫ 1

0(1− s)f(s)ds. De manera que la solucion de (4.4) se puede expresar como

y(t) = t

∫ 1

0

(1− s)f(s)ds−∫ t

0

(t− s)f(s)ds,

o bien,

y(t) =

∫ 1

0

G(t, s)f(s)ds, donde G(t, s) =

{s(1− t) si s ∈ [0, t],t(1− s) si s ∈ [t, 1],

(4.5)

95

para cualquier t fijo. La funcion G se denomina funcion de Green para elPVF (4.4). Esta es una funcion lineal a trozos de s para t fijo, y viceversa(¡verificar!). Ademas, la funcion G es continua, simetrica1, nula en los puntos

extremos del intervalo [0, 1], no negativa y∫ 1

0G(t, s)ds = t(1− t)/2. Por esta

razon podemos concluir que para toda f ∈ C[0, 1] existe una unica soluciony ∈ C2[0, 1] del PVF (4.4) que tiene la representacion (4.5).

Ejercicio 1.

(a) Demostrar que si f ∈ C[0, 1] la solucion de (4.4), dada por (4.5), tienelas propiedades de monotonicidad y del principio del maximo2.

(b) Demostrar que y(t) = −t ln(t) si f(t) = 1/t en (4.4). Esto muestra quey ∈ C2(0, 1), pero y(0) no esta definida y ademas y′, y′′ no existen ent = 0 (lo que implica que si f ∈ C(0, 1), pero no a C[0, 1], entoncesy /∈ C[0, 1]).

El siguiente teorema nos dice algo mas.

Teorema 4.1 El PVF

Ly ≡ y′′ = f(t, y) y(0) = 0, y(1) = 0, (4.6)

tiene solucion unica si fy es continua, no negativa y acotada en el conjuntoF = {(t, y) ∈ R2 : t ∈ [0, 1], y ∈ R}.

Demostracion: La demostracion se desarrolla siguiendo un procedimientosimilar, aunque mas elaborado, al mostrado en el ejemplo anterior, donde separte de la equivalencia entre una ecuacion integral definida en terminos deuna funcion de Green para el operador L y el PVF (4.6). Para los detallesver la referencia [28, §4.1]. 2

1Esto es, G(t, s) = G(s, t) ∀t, s ∈ [0, 1].2La primera propiedad dice que si f ∈ C[0, 1] es una funcion no negativa, entonces y

tambien lo es. La segunda establece que si f ∈ C[0, 1], entonces ∥y∥∞ ≤ 18∥f∥∞, donde

∥y∥∞ = maxt∈[0,1] |y(t)| es la norma del maximo.


Ejercicio 2.Aplicar el teorema anterior para demostrar que el PVF en dos puntos

y′′ = (5y + sen 3y)et y(0) = y(1) = 0

tiene una solucion unica.

Consideremos ahora el problema mas general:

y′′(t) = f(t, y) y(a) = α, y(b) = β, (4.7)

Ejercicio 3.

(a) Realizar el cambio de variable adecuado para que los problemas (4.7)y

x′′(s) = (b− a)2f(a+ (b− a)s, x(s)), x(0) = α, x(1) = β, (4.8)

sean equivalentes. Es decir, demostrar que si x es una solucion de(4.8), entonces la funcion y, definida por y(t) = x((t − a)/(b − a))(a ≤ t ≤ b), es una solucion de (4.7), y si y es una solucion de (4.7),entonces la funcion x, definida por x(s) = y(a+ (b− a)s) (0 ≤ s ≤ 1),es una solucion de (4.8).

(b) Demostrar que los siguientes PVFs{y′′(t) = sen(ty) + y2,y(1) = 3, y(5) = 7,

{x′′(t) = 16{sen[(4s+ 1)x] + x2},x(0) = 3, x(1) = 7,

son equivalentes.

Ejercicio 4.

(a) Demostrar que los siguientes PVFs{y′′(t) = f(t, y),y(0) = α, y(1) = β,

{z′′(t) = f(t, z + α + (β − α)t),z(0) = 0, z(1) = 0,

son equivalentes.

(b) Demostrar que el PVF{y′′(t) = [5y − 10t+ 35 + sen(3y − 6t+ 21)]et,y(0) = −7, y(1) = −5,

tiene una solucion unica.

4.1. METODO DEL DISPARO 97

4.1 Metodo del disparo

Elmetodo del disparo reemplaza un problema con valores en la frontera endos puntos por una sucesion de problemas de valores iniciales cuyas solucionesconvergen a la solucion del problema dado. De manera que la estrategia aseguir para abordar el PVF (4.1) es la de proponer un valor inicial y′(a) talque el PVI asociado nos permita obtener una solucion aproximada con la ex-pectativa de que y(b) = β. Si este no fuera el caso, proponemos de nuevo otrovalor para y′(a) y repetimos el proceso, el cual, por cierto, denominaremosde disparo. Estudiemos algunas estrategias para hacer esto.

Supongamos pues que el PVI asociado es

y′′γ = f(t, yγ, y′γ), yγ(a) = α, y′γ(a) = γ, (4.9)

donde γ denota el valor propuesto para y′(a). Si denotamos por yγ la solucionde este problema, claramente, nuestro objetivo es el de escoger γ de maneraque yγ(b) = β. Ahora bien, si consideramos la funcion ϕ, definida por

ϕ(γ) ≡ yγ(b)− β, (4.10)

nuestro objetivo sera entonces el de resolver para γ la ecuacion, en general,no lineal ϕ(γ) = 0. Por lo que necesitamos de algun metodo numerico adi-cional para resover esta ecuacion (e.g., un metodo tipo secante). El costocomputacional involucrado sera alto, ya que cada valor de ϕ(γ) lo obtenemosal resolver numericamente un PVI.

Supogamos que tenemos dos valores de ϕ, digamos ϕ(γ1) y ϕ(γ2), y queque ϕ es una funcion lineal. Entonces,

ϕ(γ) = ϕ(γ2) +

(ϕ(γ2)− ϕ(γ1)

γ2 − γ1

)(γ − γ2).

Si escogemos γ3 tal que ϕ(γ3) = 0 (i.e., el punto de corte con el eje de lasabscisas), entonces

γ3 = γ2 −(

γ2 − γ1ϕ(γ2)− ϕ(γ1)

)ϕ(γ2).

Podemos aplicar este mismo procedimiento a fin de obtener la sucesion{γi}∞i=1 a partir de

γn+1 = γn −(

γn − γn−1

ϕ(γn)− ϕ(γn−1)

)ϕ(γn) (n ≥ 1),


que constituye el conocido metodo de la secante para ecuaciones no li-neales (ver §??). Una estrategia adicional consiste en que despues de quehayamos obtenido algunos valores de γ para los que ϕ(γ) ≈ 0, detengamosel proceso y apliquemos interpolacion polinomial a fin de obtener una mejorestimacion ([29, §8.8]); sin embargo, el exito de esta estrategia depende deque la funcion inversa de ϕ sea diferenciable en una vecindad de la raız y deque esta sea simple.

Por supuesto que tambien podemos aplicar aquı el metodo de Newtonpara ecuaciones no lineales (§??):

γn+1 = γn −ϕ(γn)

ϕ ′(γn), n = 0, 1, . . . (4.11)

Ejercicio 5.A partir de derivar parcialmente respecto a γ las ecuaciones en (4.9), de-mostrar que obtenemos el PVI

µ′′ = fyγ (t, yγ, y′γ)µ+ fy′γ (t, yγ, y

′γ)µ

′, µ(a) = 0, µ′(a) = 1, (4.12)

donde µ = ∂yγ/∂γ. Al resolverlo, podemos determinar µ(b) = ∂yγ(b)/∂γ =ϕ ′(γ), lo que nos permitira aplicar el metodo de Newton para hallar una raızde ϕ.

Si γ0 es una primera aproximacion lo suficientemente buena, la sucesion{γn} convergera a la raız de (4.10) que buscamos. Si hacemos γ = γ0 los dosPVIs (4.9) y (4.12) se pueden resolver por alguno de los metodos, el que masconvenga, de los estudiados en el capıtulo anterior. Del PVI (4.9) obtenemosyγ0 y de (4.10), ϕ(γ0), mientras que de la solucion del PVI (4.12) obtenemosϕ ′(γ0). De manera que, de (4.11), obtenemos un nuevo estimado γ1, y elproceso se repite.

Ejercicio 6.Escribir un algoritmo para el metodo del disparo usando el metodo de New-ton. Resolver numericamente el PVF

y′′ = −y + 2(y′)2y−1, t ∈ (−1, 1), y(−1) = y(1) = (e+ e−1)−1.

La solucion de este problema es y(t) = (et + e−t)−1. Plantear y resolvernumericamente el PVI (4.9) para el metodo del disparo (cuya solucion de-notaremos por y∗γ) y el PVI (4.12) usando el metodo de Runge-Kutta de

4.1. METODO DEL DISPARO 99

segundo orden, con tamano de paso h = 2/N y valores de N = 4, 8, 16, 32 y64. Usar como iterado inicial para el metodo de Newton γ0 = 0.2 y como cri-terio de parada la condicion |γn+1 − γn| < 10−10. Tabular los resultados concolumnas para N , γ∗−γr y EN ≡ max0≤i≤N |y(ti)−y∗γr(ti)|, donde γ∗ denotala raız que buscamos, γr es la raız de la ecuacion ϕ(γ) = y∗γ− (e+e−1)−1 = 0,los ti son los nodos usados en la resolucion del PVI y y∗γr es la solucion delPVI cuando γ = γr.

El metodo del disparo puede ser, computacionalmente hablando, muycostoso. Sin embargo, en el caso de que la ecuacion diferencial sea lineal elmetodo de la secante proporciona la solucion en un paso. En este caso elPVF en dos puntos sera de la forma:

y′′(t) = p(t)y′(t) + q(t)y(t) + r(t) y(a) = α, y(b) = β, (4.13)

donde asumimos que las funciones p, q y r son continuas en [a, b]. Suponga-mos tambien que hemos resuelto los PVIs:

y′′γ1(t) = p(t)y′γ1(t) + q(t)yγ1(t) + r(t), yγ1(a) = α, y′γ1(a) = γ1,

y

y′′γ2(t) = p(t)y′γ2(t) + q(t)yγ2(t) + r(t), yγ2(a) = α, y′γ2(a) = γ2.

Observemos que la combinacion lineal de yγ1 y yγ2

y(t) = λyγ1(t) + (1− λ)yγ2(t), (4.14)

con λ ∈ R, es una solucion de la ecuacion diferencial y satisface la condiciony(a) = α. Escojamos pues λ tal que y(b) = β. Esto es,

β = λyγ1(b) + (1− λ)yγ2(b).

De donde,

λ =β − yγ2(b)

yγ1(b)− yγ2(b). (4.15)

Si usamos un software de computo cientıfico para resolver numericamenteel problema (4.13), podemos tomar γ1 = 0 y γ2 = 1 en los dos PVIs anteriores,y para obtener yγ1 y yγ2 de manera simultanea, podemos transformar estos


problemas de segundo orden en un solo sistema de primer orden. En efecto,si definimos y0 = t, y3 = y′γ1 , y4 = y′γ2 , obtendremos el siguiente sistema deecuaciones de valores iniciales:

y′0 = 1 y0(a) = a,y′γ1 = y3 yγ1(a) = α,y′γ2 = y4 yγ2(a) = α,y′3 = f(y0, yγ1 , y3) y3(a) = 0,y′4 = f(y0, yγ2 , y4) y4(a) = 1.

A continuacion, calculando λ mediante (4.15), obtenemos la solucion y encada valor de t usando (4.14).

Ejercicio 7.Aplicar el metodo del disparo para resolver numericamente el PVF siguiente:

y′′ = −(t+ 1)y′ + (cos t)y + et y(0) = 1, y(1) = 3.

Utilizar el metodo clasico de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.01.

Notemos que la solucion del problema (4.1), cuando es no lineal, no sepuede expresar como una combinacion lineal de las soluciones de dos proble-mas con valores iniciales como lo acabamos de hacer.

Ejercicio 8.Demostrar que si resolvemos un PVF lineal en dos puntos con el metodode Newton para ϕ, y calculamos ϕ ′ usando (4.12), el resultado debe ser elmismo que el que obtuvimos usando las ecuaciones (4.14) y (4.15).

Los metodos de disparo se pueden aplicar a problemas mas generalesque (4.1) [28]. Una importante dificultad con el metodo del disparo es que elPVI asociado pueda presentar situaciones de inestabilidad, debido por ejem-plo a curvas solucion que divergen en parte del dominio; un hecho que creauna dificultad adicional para dar en el blanco deseado3. Una posible soluciona este problema esta dada por la aplicacion del denominadometodo del dis-paro multiple, en el cual el intervalo [a, b] se divide en subintervalos y se

3I.e., El PVI generado por el metodo del disparo es con frecuencia inestable, en elsentido de ser muy sensible a perturbaciones en las condiciones iniciales.

4.2. METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS 101

aplica el metodo del disparo en cada uno de ellos. Se requiere ademas de lacontinuidad de y y y′ en los puntos internos del intervalo original, extremosde los subintervalos, lo que nos proporciona las condiciones de frontera nece-sarias para los subproblemas individuales. El sistema de ecuaciones que deello resulta se puede resolver numericamente usando, por ejemplo, el metodode Newton. Otra dificultad, derivada de usar el metodo de Newton, consisteen que no tenemos una estrategia general para escoger una estimacion inicialγ0 para la iteracion de Newton, y con una mala eleccion, la iteracion puedeno converger.

4.2 Metodo de las diferencias finitas

Otra estrategia para abordar numericamente un PVF en dos puntos consisteen la discretizacion del intervalo de definicion de t, para luego aplicar formulasque estiman de manera aproximada las derivadas. Por ejemplo,

y′(t) =y(t+ h)− y(t− h)

2h− 1

6h2y′′′(ξ)

y

y′′(t) =y(t+ h)− 2y(t) + y(t− h)

h2− 1

12h2y(4)(ζ)

(ver §2.1).Consideremos nuevamente el problema (4.1) y definamos una particion

del intervalo [a, b] mediante el uso de los puntos t0, t1, . . . , tn, tn+1 ∈ [a, b], nonecesariamente igualmente espaciados, de manera que a = t0 < t1 < . . . <tn < tn+1 = b. Suponemos pues que ti = a + ih, i = 0, 1, . . . , n + 1, yh = (b− a)/(n+ 1). Ası, la discretizacion de (4.1) es

yi+1−2yi+yi−1

h2 = f(ti, yi,

yi+1−yi−1

2h

), i = 1, . . . , n,

y0 = α, yn+1 = β,(4.16)

el cual representa un sistema de orden n con y1, y2, . . . , yn como incognitas.Si f depende de yi de una manera no lineal, entonces las ecuaciones seranno lineales y mas difıciles de resolver. Si f es lineal en y y y′, entonces f esde la forma f(t, y, y′) = p(t)y′(t) + q(t)y(t) + r(t). De manera que el sistema


anterior sera ahora un sistema lineal de la formaaiyi−1 + diyi + ciyi+1 = bi, i = 1, . . . , n,

y0 = α, yn+1 = β,

donde ai = −1− 12hpi, di = 2 + h2qi, ci = −1 + 1

2hpi, bi = −h2ri, pi = p(ti),

qi = q(ti) y ri = r(ti), para i = 1, 2, . . . , n (¡verificar!). En notacion matricialtenemos el sistema tridiagonal4 siguiente:

d1 c1 0 . . . 0 0

a1 d2 c2 0...

...

0. . . . . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . . . . 0. . . . 0 an−2 dn−1 cn−1

0 . . . . . . 0 an−1 dn

y1y2.......

yn−1

yn

=

b1 − a1αb2.......

bn−1

bn − cnβ

Observaciones:

• Si h es lo suficientemente pequeno, los qi > 0 y |12hpi| < 1 (1 ≤ i ≤ n),

entonces |di| > |1 + 12hpi| + |1 − 1

2hpi| = 2. Por lo que la matriz del

sistema anterior es diagonal dominante y no singular.

• Si p, q y r ∈ C[a, b] y q > 0, el PVF (4.1) con f lineal en y y y′, tienesolucion unica ([28, Cor. Th. 1.2.2]).

Para el caso lineal, demostraremos el siguiente resultado de convergencia.

Teorema 4.2 Si y ∈ C4[a, b], para i = 1, 2, . . . , n, |ei| = |y(ti)−yi| convergea 0 cuando h→ 0.

Demostracion: Como para i = 1, 2, . . . , n,

y(ti−1)− 2y(ti) + y(ti+1)

h2− 1

12h2y(4)(ζi) = ri + qiy(ti)

+ pi

[y(ti+1)− y(ti−1)

2h− 1

6h2y′′′(ξi)

].

4Por lo que podemos resolver el sistema usando, por ejemplo, un algoritmo de elimi-nacion gaussiana que aproveche la estructura particular de la matriz.

4.2. METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS 103

yyi−1 − 2yi + yi+1

h2= ri + qiyi + pi

[yi+1 − yi−1

2h

],

obtendremos, de sustraer la segunda ecuacion de la primera, que

ei−1 − 2ei + ei+1

h2= qiei + pi

[ei+1 − ei−1

2h

]+ h2ui,

donde ui =112h2y(4)(ζi)− 1

6h2y′′′(ξi). Agrupando terminos encontramos que

ai−1ei−1 + diei + ciei+1 = −h4ui (¡verificar!).

De esta expresion sigue que |di||ei| ≤ |ai−1||ei−1| + |ci||ei+1| + h4|ui|. Sea∥e∥∞ = maxi=1,...,n |ei|. De manera que ∥e∥∞(|di| − |ci| − |ai−1|) ≤ h4∥u∥∞,donde

∥u∥∞ = maxi=1,...,n

|ui| ≤∥y(4)∥∞

12+

∥y′′′∥∞6

.

De donde sigue, para h lo suficientemente pequeno, que h2qi∥e∥∞ ≤ h4∥u∥∞(¿por que?). Ası,

∥e∥∞ ≤ h2

[∥u∥∞

inft∈[a,b] q(t)

].

Por lo tanto, ∥e∥∞ es O(h2) cuando h→ 0 como querıamos ver. 2

Ejercicio 9.Aplicar el metodo de las diferencias finitas con h = 1/2 para resolver el PVFen dos puntos

y′′(t) = −2y′(t)− 10t y(0) = 1, y(1) = 2.

Calcular y1 ≈ y(1/2).

Ejercicio 10.Escribir un algoritmo para resolver numericamente PVFs lineales en dos pun-tos usando el metodo de las diferencias finitas. Usar el algoritmo con n = 10y h = 0.1 para estimar la solucion del PVF

y′′(t) = −2t−1y′(t) + 2t−2y(t) + t−2sen(ln t), t ∈ (1, 2), y(1) = 1, y(2) = 2.


Comparar los resultados con los obtenidos al aplicar el metodo del disparoal mismo problema, ası como con la solucion exacta

y(t) = −(1/10) cos(ln t)− (3/10) sen(ln t) + C2t−2 + C1t,

donde C1 = (1/70)(−4 cos(ln 2)− 12sen(ln 2) + 8) y C1 = (11/10)− C2.

Ejercicio 11.Resolver numericamente el PVF del Ejercicio 6 usando el metodo de las dife-rencias finitas (4.16). Aquı EN ≡ max0≤i≤N |y(ti)− yN(ti)|, donde yN(ti) esla solucion de (4.16) que obtenemos al resolver el sistema no lineal asociado.Resolver este sistema no lineal usando el metodo de Newton, con valor inicial(e+ e−1)−1. En cada iteracion de Newton estimar el maximo, respecto a i =1, 2, . . . , N , de la magnitud de la diferencia entre dos iteraciones consecutivasdel metodo. Terminar las iteraciones de Newton cuando este valor sea menoro igual a 10−10. Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 6.

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