métodos topológicos

7/28/2019 Mtodos Topolgicos

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Mtodos Topolgicosen el Anlisis no Lineal


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Publicaes Matemticas

Mtodos Topolgicosen el Anlisis no Lineal

2a edio

Pablo AmsterUniversidad de Buenos Aires

Consejo Nacional de Investigaciones

Cientficas y Tcnicas (CONICET)

impa


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Copyright 2009 by Pablo Amster

Direitos reservados, 2009 pela Associao Instituto

Nacional de Matemtica Pura e Aplicada - IMPA

Estrada Dona Castorina, 110

22460-320 Rio de Janeiro, RJ

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Srgio R. Vaz

Publicaes Matemticas

Introduo Anlise Funcional Csar R. de Oliveira Introduo Topologia Diferencial Elon Lages Lima Criptografia, Nmeros Primos e Algoritmos Manoel Lemos Introduo Economia Dinmica e Mercados Incompletos Alosio Arajo Conjuntos de Cantor, Dinmica e Aritmtica Carlos Gustavo Moreira Geometria Hiperblica Joo Lucas Marques Barbosa Introduo Economia Matemtica Alosio Arajo Superfcies Mnimas Manfredo Perdigo do Carmo The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction Levi Lopes de Lima Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry Ana Cannas da Silva Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)

Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau Saldanha

The Contact Process on Graphs Mrcia Salzano Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds Santiago R. Simanca Introduction to Toric Varieties Jean-Paul Brasselet Birational Geometry of Foliations Marco Brunella Introduo Teoria das Probabilidades Pedro J. Fernandez Teoria dos Corpos Otto Endler Introduo Dinmica de Aplicaes do Tipo Twist Clodoaldo G. Ragazzo, Mrio J.

Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata

Elementos de Estatstica Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto

Uma Introduo a Solues de Viscosidade para Equaes de Hamilton-Jacobi Helena J.Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

Elements of Analytic Hypoellipticity Nicholas Hanges Mtodos Clssicos em Teoria do Potencial Augusto Ponce

Variedades Diferenciveis Elon Lages Lima O Mtodo do Referencial Mvel Manfredo do Carmo A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index Paolo

Piccione e Daniel Victor Tausk

Mtodos Topolgicos en el Anlisis no Lineal Pablo Amster Tpicos em Combinatria Contempornea Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu

Kohayakawa

Uma Iniciao aos Sistemas Dinmicos Estocsticos Paulo Ruffino

Distribuio: IMPA - E-mail: [email protected] - http://www.impa.br

ISBN: 978-85-244-0285-2


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Prefacio

El presente libro constituye una introduccion elemental a la apli-cacion de metodos topologicos en el analisis no lineal. Por simplici-dad, estudiaremos unicamente problemas de contorno para ecuacionesdiferenciales ordinarias, aunque las mismas ideas se pueden empleartambien para la resolucion de ecuaciones en derivadas parciales.

En el captulo 1 se brindan algunas ideas basicas que involucrantecnicas topologicas en dimension finita, tales como el teorema deBolzano (y su generalizacion a Rn), o el teorema de punto fijo deBrouwer. En particular, se demuestra la existencia de soluciones deciertas ecuaciones por medio del denominado metodo de shooting,as como del operador de Poincare, para problemas periodicos. Enel captulo 2 se muestran algunas aplicaciones del conocido teoremade la contraccion, debido a Banach, para la obtencion de solucionesde ciertos problemas mediante un operador de punto fijo apropiado.En el captulo 3 se demuestra el teorema de Schauder, que puedepensarse como una extension del teorema de Brouwer a espacios dedimension infinita. El captulo siguiente esta dedicado a desarrollar

uno de los metodos mas conocidos para la resolucion de problemasde contorno: el metodo de super y subsoluciones. A modo de ejem-plo, se muestra su utilidad para la resolucion de ciertos problemasclasicos, como la ecuacion del pendulo forzado. En el captulo 5 sepresenta una extension elemental del teorema de Schauder, conocidacomo teorema de Schaefer, que puede verse como un caso particularde los teoremas de continuacion de Leray-Schauder. Algunas de estasideas aparecen tambien en el captulo siguiente, en donde se exponeel tradicional metodo de Newton, y se lo combina con un argumento

de continuacion. Una version mas general de los metodos de contin-

1


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uacion se introduce a partir de los captulos 7 y 8, en donde se defineel grado de Brouwer y su extension a dimension infinita, dada por

el grado de Leray-Schauder. Finalmente, en el captulo 9 veremos al-gunas aplicaciones a ciertos problemas denominados resonantes, enlos que el operador lineal asociado no es inversible y en consecuenciano pueden ser tratados, en forma directa, mediante un operador depunto fijo. El libro incluye ademas un apendice, en donde se repasanalgunos aspectos basicos de ecuaciones diferenciales ordinarias y sebrindan algunas ideas adicionales.

El texto esta basado en las notas de los cursos Analisis no lineal:metodos topologicos (Universidad de Buenos Aires, 2007) y Meto-

dos topologicos en el analisis no lineal (Instituto de Matematica Pu-ra e Aplicada, Ro de Janeiro, 2009). Quiero expresar mi profundoagradecimiento a todas aquellas personas que colaboraron con estapublicacion; en especial, a los alumnos de los cursos mencionados,que con su entusiasmo me motivaron a revisar y ampliar aquel lejanoe imperfecto manuscrito.

Pablo Amster, marzo de 2009


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Indice general

Introduccion 1

1. Metodos topologicos: ideas elementales 5

1.1. El metodo de shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Operador de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Un ejemplo en R2: el ndice de una curva . . . . . . . 10

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. Teorema de valores intermedios y metodo deshooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2. Teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3. Operador de Poincare . . . . . . . . . . . . . . 17

2. El teorema de Banach 19

2.1. Metodos de punto fijo. El teorema de Banach . . . . . 19

2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. El teorema de Schauder 27

3.1. Un ejemplo de Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. El teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. El metodo de super y subsoluciones 39

4.1. Introduccion: un caso particular . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1. Un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Super y subsoluciones - Caso general . . . . . . . . . . 45


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INDICE GENERAL

4.2.1. Acotaciones para la derivada. Condicion de Nagu-mo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2. Otras condiciones de contorno. Un ejemplo clasico 514.2.3. Pequena digresion: principio del antimaximo . 56

4.3. Intervalos no acotados - Metodo diagonal . . . . . . . 59

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.1. Metodo diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. El teorema de Leray-Schauder: un caso particular 66

5.1. El teorema de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. El metodo de Newton 73

6.1. Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2. Metodo de Newton-continuacion . . . . . . . . . . . . 83

6.3. Cuasilinealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7. El grado de Brouwer 907.1. Teora de grado topologico. Definicion y propiedades . 90

7.2. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8. El grado de Leray-Schauder 104

8.1. El grado de Leray-Schauder. Definicion . . . . . . . . . 104

8.2. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9. Problemas resonantes 1119.1. Condiciones de Landesman-Lazer . . . . . . . . . . . . 111

9.2. Generalizacion a sistemas. Condicion de Nirenberg . . 117

9.3. Una condicion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3.1. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.4. Resonancia en un autovalor de orden superior. . . . . 123

9.5. Algunos resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . 126

9.6. Teorema de Lazer-Leach generalizado . . . . . . . . . 129

9.6.1. Un ejemplo sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . 132


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INDICE GENERAL

10.Apendice 134

10.1. Repaso de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . 134

10.2. La ecuacion lineal de segundo orden . . . . . . . . . . 13610.3. La funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.4. Desigualdades de Poincare y Wirtinger . . . . . . . . . 13910.5. El teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.5.1. Una demostracion elemental . . . . . . . . . . . 14310.5.2. El teorema fundamental del algebra . . . . . . 14410.5.3. La demostracion de Milnor y Rogers . . . . . . 146


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Introduccion

En este trabajo se presentan algunas de las ideas y metodostopologicos basicos del analisis no lineal. Por simplicidad, nos li-mitaremos a considerar la aplicacion de tales metodos a problemasen ecuaciones diferenciales ordinarias, aunque las mismas ideas sepueden emplear para estudiar diversas ecuaciones no lineales en de-rivadas parciales.

Para comprender la importancia de los metodos topologicos, va-mos a comenzar describiendo una situacion que se puede estudiar me-diante los llamados metodos variacionales. Por ejemplo, elsiguiente problema para una ecuacion (no lineal) de segundo orden,con condiciones de Dirichlet:

u(t) u(t) = f(t, u)u(0) = u(1) = 0,

(1)

en donde f : [0, T] R R es continua.La idea en este caso es simple: se propone la siguiente funcional,

definida en algun conjunto apropiado,

J u =

10

u(t)2

2+

u(t)2

2+ F(t, u(t)) dt,

en donde F(t, u) =u0

f(t, s) ds. Un espacio razonable para traba-jar este problema es el espacio de Sobolev

H10 (0, 1) := {u : [0, 1] R absolutamente continua :

u L2(0, 1), u(0) = u(1) = 0 },1


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2 Introduccion

que es un espacio de Hilbert para el producto interno dado por

u, v = 10

u(t)v(t) + u(t)v(t) dt.

Resulta entonces inmediato ver que J es diferenciable, y vale:

DJ(u)() =

10

u(t)(t) + u(t)(t) + f(t, u(t))(t) dt

De esta forma, si u es un punto crtico de J (es decir, DJ(u)

0),

entonces resulta una solucion debil del problema (1).El sentido de solucion debil se hace claro, pues si u H10 (0, 1)

es un punto crtico de J que ademas tiene una segunda derivada enL2(0, 1), entonces se puede integrar por partes el primer termino deDJ(u)() para obtener:

10

[u(t) + u(t) + f(t, u(t))] (t) dt = 0.

Como esta igualdad vale para toda en H, que es denso en L2(0, 1),se deduce que u(t) + u(t) + f(t, u(t)) = 0. En otras palabras, unasolucion clasica del problema es tambien solucion debil, aunqueel enunciado recproco, si bien es cierto en este caso, no vale en uncontexto mas general.

Un caso de sencilla resolucion se da por ejemplo cuando f es unafuncion acotada (o, mas en general, sublineal): de ser as, podemospensar intuitivamente que J se comporta como una parabola, y em-

pleando argumentos usuales del analisis funcional es facil ver quealcanza un mnimo absoluto.

Sin embargo, si por ejemplo f depende tambien de u, entoncesel problema pierde su estructura variacional; esto quiere decir quesus soluciones no pueden obtenerse como puntos crticos de una fun-cional. En tal caso, una forma alternativa para probar la existenciade soluciones esta dada por los llamados metodos topologicos.

El presente trabajo esta dedicado a presentar y desarrollar algunosde dichos metodos. A fines de simplificar la exposicion, y centrar la

atencion mas en las tecnicas que en los problemas especficos, nos


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Captulo 1

Metodos topologicos:ideas elementales

1.1. El metodo de shooting

En esta seccion desarrollaremos una idea muy sencilla, que secorresponde con el origen historico de la aplicacion de herramientastopologicas al analisis no lineal. A modo de ejemplo, consideremos elproblema de Dirichlet para la ecuacion de segundo orden:

u = f(t, u)u(0) = u(1) = 0.

(1.1)

Supongamos que la funcion f : [0, 1]

R

R es continua, y local-

mente Lipschitz en la variable u, lo cual garantiza que para cualquiervalor R el problema de valores iniciales

u = f(t, u)u(0) = 0, u(0) = (1.2)

tiene una unica solucion u definida en cierto intervalo (maximal) notrivial I = [0, M), con M = M() (0, +]. En general, no sepuede garantizar que M() > 1 (es decir, que el intervalo I llegue

hasta el 1), aunque sobre el conjunto { : M() > 1} la funcion5


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6 [CAP. 1: METODOS TOPOLOGICOS: IDEAS ELEMENTALES

u(1) resulta continua. Esto se debe a la dependencia continuarespecto de los valores iniciales.

Es claro que estamos buscando un valor de para el cual u(1)este definido y valga 0; en virtud de la continuidad antes mencionada,alcanza con encontrar un intervalo = [, +] tal que u(1) existapara todo , y ademas u(1) 0 u+(1), o viceversa.

Por ejemplo, si f es acotada, entonces por el ejercicio (4b) de laseccion 10.1 las soluciones de (1.2) estan definidas en todo el intervalo[0, 1]. Ademas, integrando la ecuacion vale:

u(t) = +t0 f(s, u

(s)) ds.

Esto dice que si > f entonces

u(t) tf > 0

para t 1. De esta forma, u es creciente, y resulta u(1) > 0. Delmismo modo, para < f se obtiene que u(1) < 0, lo quepermite deducir que u(1) = 0 para algun

[

f

,

f

]

Observacion

El resultado anterior se prueba de la misma forma para el caso novariacional, con f = f(t,u,u).

A modo de ejemplo, veamos que en algunos casos es posible ase-gurar la existencia de mas de una solucion. Para ello, consideremosnuevamente el problema (1.1), y supongamos que f es continua, aco-tada y de clase C1 respecto de u. Ademas, supondremos que

f(t, 0) = 0,f

u(t, 0) (42, 2)

para todo t [0, 1]. Es facil ver que la funcion : R R dadapor () = u(1) es diferenciable, y como u 0 es solucion, sededuce que (0) = 0. Ademas, por el ejemplo anterior sabemos que() < 0 < () para > f. Vamos a probar que (0) < 0, loque garantiza que el problema tiene al menos tres soluciones (una de

ellas es la solucion trivial).


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[SEC. 1.1: EL METODO DE SHOOTING 7

En efecto, si pensamos a u como funcion de y t, entonces lafuncion w(t) :=

u (, t) satisface

w(t) =fu (t, u(t))w(t)

w(0) = 0, w(0) = 1.

Como u0 0, se deduce que (0) = w0(1), donde w0 es la unicasolucion del problema

w0 (t) =fu (t, 0)w0(t)

w0(0) = 0, w0(0) = 1.

Ahora emplearemos el siguiente principio de comparacion de Sturm:Si

u(t) = q(t)u(t)

yv(t) = q(t)v(t),

con q, q continuas tales que q > q, y a < b son dos ceros consecutivosde u, entonces v se anula en (a, b). Para probar esto, basta suponer que

u > 0 en (a, b), y si por ejemplo ocurre que v > 0 en (a, b), entoncesmultiplicando las igualdades anteriores por v y u respectivamente, yluego integrando por partes, se obtiene:

uvba

ba

u(t)v(t) dt =ba

q(t)u(t)v(t) dt,

b

a

u(t)v(t) dt = b

a

q(t)u(t)v(t) dt.

Restando ambas ecuaciones, resulta

uvba

=

ba

(q(t) q(t))u(t)v(t) dt > 0.

Por otra parte, u(a) 0 u(b), lo que es absurdo.Podemos aplicar este resultado a las funciones

v1(t) = sen(t), v2(t) = sen(2t),


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que satisfacen:

v1 = 2

v1, v2 = 42

v2.Como fu (t, 0) < 2, se deduce que w0 se anula en (0, 1). Por otraparte, como fu (t, 0) > 42, entonces w1 no puede anularse mas deuna vez en (0, 1); entonces se anula exactamente una vez, y ello ocurreen el intervalo ( 12 , 1). Como w

0(0) > 0, se deduce que w0(1) < 0, lo

que prueba que (0) < 0.

Vale la pena destacar que los resultados anteriores emplean unteorema topologico muy elemental: el teorema de Bolzano, o de los

valores intermedios. Pero resulta claro que la misma idea puede apli-carse si (1.1) es un sistema, en donde f : [0, 1] Rn Rn, o tambienpara f : [0, 1] R2n Rn, con f dependiente tambien de u, asu-miendo que es Lipschitz en (u, u). En este caso, el dato inicial de laderivada en 0 es un vector Rn. Si suponemos como antes quef es acotada, el resultado se deduce tambien en forma inmediata,pero usando ahora un teorema bastante menos trivial, el de valoresintermedios generalizado a Rn:

TeoremaSea f = (f1, . . . , f n) : [1, 1]n Rn continua tal que para todo

i = 1, . . . , n y todo x tal que xi = 0 vale:

fi(ei + x) 0 fi(ei + x).Entonces existe algun x [1, 1]n tal que f(x) = 0.

Este resultado fue enunciado por Poincare en 1884, aunque luegose conocio como teorema de Miranda, quien probo en 1940 que es

equivalente al teorema de Brouwer (y en definitiva, ambos enunciadosequivalen al axioma de completitud de los numeros reales):

Teorema (Brouwer)Sea B la bola unitaria de Rn y sea f : B B continua. Entonces

existe x B tal que f(x) = x.En el apendice se da una demostracion sencilla de este teorema,

basada en el artculo [34]. Sobre la equivalencia con el teorema dePoincare-Miranda (ver ejercicio 4, en la seccion 1.4.2) y otros resul-

tados similares, puede consultarse por ejemplo el artculo [13].


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[SEC. 1.2: OPERADOR DE POINCARE 9

Como veremos mas adelante, se extiende de manera apropiadaa espacios de Banach, cosa que nos resultara util para obtener al-

gunos resultados de existencia de soluciones para ciertas ecuaciones.Pero incluso la version en Rn sirve para resolver por ejemplo algunosproblemas periodicos, segun se muestra en la proxima seccion.

1.2. Operador de Poincare

Intentaremos resolver bajo ciertas hipotesis el problema periodico

u = f(t, u)u(0) = u(1), (1.3)

en donde f : [0, 1] Rn Rn es continua y localmente Lipschitz enu.

Como en el metodo de shooting, la idea consiste en resolver elproblema de valores iniciales para cierto dato Rn, y buscar algun adecuado para que la solucion obtenida sea solucion de (1.3). Masconcretamente, definimos u como la unica solucion del problema

u = f(t, u)u(0) = .

Luego, si u(t) existe hasta t = 1, eso nos permite a su vez definirP() = u(1). Esta funcion P, llamada operador de Poincare, esta de-finida en cierto subconjunto A Rn y toma valores en Rn. En gene-ral, no es posible determinar el conjunto A con exactitud, aunque porejemplo alcanza con saber que contiene a cierto subconjunto com-pacto y convexo K tal que P() K para todo K. En efecto, elteorema de Brouwer garantiza en este caso que P tiene un punto fijo

K, y en consecuencia u es solucion de (1.3). Veamos un ejemploen donde el teorema puede aplicarse:

Proposicion

Sea f : [0, 1] Rn Rn continua y localmente Lipschitz en u talque

f(t, u) u < 0 para |u| = R,en donde y | | denotan respectivamente el producto interno y lanorma usuales de Rn, y R es una constante positiva. Entonces el

problema (1.3) tiene al menos una solucion u tal que u R.


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Demostracion. Sea Rn tal que || R, y supongamos que uesta definida hasta cierto valor T.

Veamos que |u(t)| R para t [0, T]. En efecto, si llamamos(t) := |u(t)|2, entonces

(t) = 2u(t) u(t) = 2u(t) f(t, u(t)).

Esto dice que si |u(t)| = R (y (t) = R2), entonces (t) < 0; enotras palabras, si (0) = 2 < R2, entonces no puede crecer hastatomar el valor R2, mientras que si || = R, entonces decrece en unentorno del 0, y luego no puede volver a crecer hasta R2.

En primer lugar, esto garantiza que entonces u puede extendersehasta T = 1, pues en caso contrario (ver apendice, seccion 10.1)debera tender a infinito o explotar cuando t se aproxima a ciertovalor T < 1, lo que es absurdo.

Por otra parte, tomando T = 1 vemos que P enva a la bola(cerrada) de radio R en s misma, de donde se concluye que tieneall al menos un punto fijo.

1.3. Un ejemplo en R2: el ndice de una

curva

En esta seccion veremos una aplicacion de una herramienta topo-logica de gran utilidad para resolver ciertas ecuaciones que puedenreducirse a un problema en el plano: el ndice de una curva.

Estudiaremos el problema

u + g(u) = p(t), u(0) = u(1) = 0

en donde g satisface la siguiente condicion:

lm|u|

g(u)

u= +. (1.4)

Los problemas de este tipo se denominan superlineales; a continuacion

probaremos que existen infinitas soluciones.


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[SEC. 1.3: UN EJEMPLO EN R2: EL INDICE DE UNA CURVA 11

Para ello, en primer lugar conviene hacer una observacion basicaen relacion a las integrales curvilneas. Si : [0, 1]

C es una curva

continua que no pasa por el origen, y ademas (0), (1) R, entonces:Re

1

2i

1

zdz

1

2Z.

En efecto, si (0) = (1), la anterior integral no es otra cosa que elndice de la curva respecto del 0, cuyo valor es un numero entero. Si(1) = (0), entonces por medio de la homotopa

h(t, ) = (t) + (1 ) |(0)

||(t)| (t)se deduce que la integral vale k2 , con k entero impar. El caso generalse reduce ahora a cualquiera de estos dos, agregandole a la curva unsegmento [a, b] R {0}, sobre el cual el valor de la integral es unaconstante imaginaria.

Este simple hecho tiene una aplicacion directa a las ecuaciones desegundo orden: supongamos en primer lugar que tenemos una soluciondel problema

u = f(t,u,u), u(0) = u(1) = 0,

y consideremos la curva definida en el plano de fases (u, u), iden-tificado con el plano complejo:

(t) = u(t) + iu(t).

Por la condicion de Dirichlet, (0) y (1) son numeros reales, quecorresponden respectivamente a los valores de u en 0 y 1. En con-secuencia, si de alguna forma logramos probar que no pasa por elorigen (es decir, que u y u no se anulan simultaneamente), el valorRe

12i

1z dz

= k2 nos brinda informacion cualitativa acerca de u;

por ejemplo, proporciona una cota inferior para la cantidad de cerosde u en [0, 1]. En efecto, la curva comienza sobre el eje horizontal, ycada medio giro que efectua agrega por lo menos un cero a u; de estaforma, se tiene:

{ceros de u} |k| + 1.


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El interes de esta observacion reside en que el numero k puedeexpresarse facilmente como una integral en terminos de u, de la si-

guiente manera:

k = Re

1

i

1

zdz

=

1

Im

1

zdz

=

1

10

Im

(t)(t)

dt.

Escribiendo

=||2 , resulta claro que

k =

1

10

u(t)2

u(t)u(t)

u(t)2 + u(t)2 dt

=1

10

u(t)2 u(t)f(t, u(t), u(t))u(t)2 + u(t)2

dt.

En realidad, este resultado no debe sorprender si se piensa que el

integrando es igual a la derivada de la funcion arctanu

u

. En

efecto, al asumir que no pasa por el origen, en particular estamosdiciendo que hay solo un numero finito de ceros, y son simples. Si

a < b son dos ceros consecutivos de u, se tiene que

lmta+

u(t)u(t)

= + = lmtb

u(t)u(t)

.

En consecuencia,ba

u(t)2 u(t)u(t)u(t)2 + u(t)2

dt = arctan

u

u

a

b

= arctan(+) arctan() = .Finalmente, si 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 son todos los ceros de u,entonces

10

u(t)2 u(t)u(t)u(t)2 + u(t)2

dt =k1j=0

tj+1tj

u(t)2 u(t)u(t)u(t)2 + u(t)2

dt = k.

Pero mas alla de la posibilidad de estimar la cantidad de ceros de

una solucion ya conocida, veamos que en realidad este ndice permite,


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[SEC. 1.3: UN EJEMPLO EN R2: EL INDICE DE UNA CURVA 13

en determinados casos, probar la existencia de soluciones con ciertonumero pre-establecido de ceros.

Por simplicidad, vamos a verlo con un ejemplo concreto como

u + u3 = p(t), u(0) = u(1) = 0,

aunque se puede llegar a conclusiones similares si se reemplaza u3

por cualquier g que satisfaga (1.4). En realidad, solo vamos a dar lasideas principales; los detalles quedaran como ejercicio.

Paso 1: Sea u la unica solucion del problema de valores iniciales

u + u3 = p(t), u(0) = 0, u(0) = ,

definida en algun intervalo [0, T] con T > 0. Vamos a probar unaacotacion que es fundamental para todo el desarrollo posterior.Para ello, llamemos R a la norma de u en el sentido del espacioC1([0, T]), es decir:

R = max{u, u}.

Afirmacion: existe una constante r > 0 independiente de T,de modo tal que para R 0 y 0 t T vale:u(t)

2 + u(t)2 Rr.

Para ver esto, alcanza con integrar la ecuacion de la siguientemanera: multiplicamos por u de ambos lados, y entonces

u(t)2

2+

u(t)4

4=

2

2+

t

0

p(s)u(s) ds.

Como 2 R2, para R grande y t [0, T] resulta:u(t)

4

4

2

2+ cR R2 < R

4

4donde c := pL1 .

En consecuencia, existe t0 tal que R = |u(t0)|, y de la igualdadanterior se deduce que

R2

2 2

2 + cR.


23/161


Luego, para cierto R0 independiente de T se cumple que si

R

R0 vale por ejemplo que

2

R2

2 . Fijemos un valor r < 1,

entonces para aquellos valores de t tales que u(t)2 < Rr, seobtiene:

u(t)2 = 2+2

t0

p(s)u(s) dsu(t)

4

2 R

2 R2r2

2cR > Rr

para R grande. Esto implica que u(t)2 + u(t)

2 > Rr paratodo t [0, T].

Paso 2: u esta definida en [0, 1]: para || R0, a partir de los calculosanteriores vale que si u esta definida en [0, T] para T 1 yR := uC1([0,T]), entonces R2 22. Esto dice que al extenderu a la derecha de T, su norma no puede aumentar mas alla delvalor

2, de donde el resultado se deduce en forma inmediata.

Paso 3: Para || 0, la funcion

I() :=1

1

0

u(t)2 u(t)u(t)u(t)2 + u(t)2

dt

=1

10

u(t)2 + u(t)

4 u(t)p(t)u(t)2 + u(t)2

dt

esta bien definida, y es continua. Ademas, el integrando es po-sitivo, y usando la desigualdad obtenida en el paso 1 se verifica

que

I() + para || .

Luego, existe cierto k0 N tal que si k k0 entonces laecuacion I() = k tiene al menos dos soluciones. Notemos,ademas, que la curva u + iu gira en sentido anti-horario yno vuelve hacia atras: esto dice que existen por lo menos dossoluciones del problema que tienen exactamente k + 1 ceros en

[0, 1].


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25/161


4. Consideremos el problema

u + f(u) = 0, u(0) = u(1) = 0 (1.6)

en donde por simplicidad supondremos que f : [0, +) R escontinua y positiva. Luego, si F(u) =

u0

f(s) ds, entonces Fes estrictamente creciente en u. Una solucion u de (1.6) se dicepositiva si u > 0 en (0, 1).

a) Probar que toda solucion positiva tiene un unico puntocrtico, que resulta ser un maximo.

b) Probar que toda solucion positiva es simetrica respecto det = 12 .

c) Probar que (1.6) tiene una solucion positiva u tal queu = M si y solo si

M0

du

F(M) F(u)=

2

2.

d) Deducir un resultado de existencia y unicidad de solu-ciones positivas para f(u) = u, con > 0. Es posibleprobar esto en forma directa?

1.4.2. Teorema de Brouwer

1. a) Sea f : [a, b] R continua tal que [a, b] f([a, b]). Probarque f tiene al menos un punto fijo.

b) Mostrar con un ejemplo que el resultado anterior no valepara n > 1. Mas concretamente, encontrar R R2 rectan-gulo cerrado y f : R R2 continua sin puntos fijos talque R f(R).

2. Probar que el teorema de Brouwer es equivalente al hecho deque no existen retracciones de Rn a la esfera unitaria, es decir:no existe r : Rn

Sn1 continua tal que r(x) = x para todo

x Sn1.


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[SEC. 1.4: EJERCICIOS 17

3. a) Sea : [0, 1] R2 una curva continua cerrada simple, ysean U = int(), f : U

R2 continua con f

= 0 sobre

. Probar que si el ndice I(f , 0) de la curva f esdistinto de 0, entonces f se anula en U.

b) Probar el Teorema de Brouwer en el plano. Sugerencia:considerar g(z) = z f(z) y aplicar (3a).

c) Probar el Teorema de valores intermedios generalizado,para el caso del plano: si f = (f1, f2) : [1, 1]2 R2 escontinua, y verifica

f1(

1, y)

0

f1(1, y) para todo y

[

1, 1],

f2(x, 1) 0 f2(x, 1) para todo x [1, 1],entonces f tiene al menos un cero.

4. Probar en Rn que el teorema de Brouwer es equivalente al teo-rema de valores intermedios generalizado.

5. Probar en Rn que el teorema de Brouwer es equivalente al sigu-iente enunciado: si f : RN RN es continua y existe unaconstante M tal que |f(x) x| M para todo x, entonces ftiene al menos un cero.

6. Sea : Sn1 Rn continua con (x) = 0 para todo x Sn1,y sea : Sn1 Sn1 dada por = || . Probar que sonequivalentes:

a) Toda extension continua de a la bola unitaria se anulaen algun punto.

b) es homotopicamente no trivial (es decir, no existe unahomotopa continua h : Sn1 [0, 1] Sn1 tal queh(, 0) = y h(, 1) = constante).

1.4.3. Operador de Poincare

1. Probar que el problema periodico

x = (t) + y x3y = (t)

y5 + 4xy

x(0) = x(1), y(0) = y(1)


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con , : [0, 1] R continuas tiene al menos una solucion.

2. Sea f :R

Rn

Rn

continua y localmente Lipschitz en x.Supongamos ademas que f es T-periodica en t y sublineal enx, es decir:

f(t + T, x) = f(t, x) para todo (t, x),

lm|x|

f(t, x)

|x| = 0 uniformemente en t.

Probar que el problema

x + x = f(t, x)

tiene al menos una solucion T-periodica x : R Rn.3. Sean f, g : [0, T] R2 R continuas y localmente Lipschitz en

(x, y) R2. Supongamos ademas:a) |f(t,x,y)| M para (t,x,y) [0, T] R2 R.b) |g(t,x,y)| C(x) para (t,x,y) [0, T] R2 R, en

donde C es una funcion continua.c) Existe R > 0 tal que

f(t,x,y) 0 f(t, x, y)para todo (t,x,y) tal que x R, y

g(t,x,y) 0 g(t,x, y)para todo (t,x,y) tal que y R.

Probar que el problema

x = f(t,x,y)y = g(t,x,y)x(0) = x(T), y(0) = y(T)

tiene al menos una solucion. Verificar, ademas, que las anteri-ores desigualdades para f y g se pueden invertir (una de ellas,o las dos).


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Captulo 2

El teorema de Banach

2.1. Metodos de punto fijo. El teorema de

Banach

En el captulo previo hicimos uso del conocido teorema de exis-

tencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, que dice:

Teorema

Sean R Rn un abierto, (t0, x0) y f : Rn unafuncion continua y localmente Lipschitz en x. Entonces existe un > 0 tal que el problema de valores iniciales

x = f(t, x)x(t0) = x0

(2.1)

tiene una unica solucion definida en [t0 , t0 + ].La demostracion clasica esta dada por el llamado metodo de Pi-

card de aproximaciones sucesivas, que consiste en construir la suce-sion

x0(t) x0

xn+1

(t) = x0

+ tt0

f(s, xn

(s))ds,

19


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20 [CAP. 2: EL TEOREMA DE BANACH

y mostrar que para algun > 0, xn esta bien definida y convergeuniformemente en [t0

, t0 + ] a cierta funcion x. Luego, resulta

claro que x es una solucion de (2.1), pues vale que:

x(t) = x0 +

tt0

f(s, x(s))ds.

La unicidad se deduce facilmente a partir por ejemplo del lema deGronwall (ver ejercicio 2 de la seccion 10.1).

En su tesis doctoral de 1917, S. Banach mostro que el metodo de

Picard es en realidad un caso particular de un resultado que muchomas general: el llamado lema de la contraccion, o tambien teoremade punto fijo de Banach.

Recordemos que una funcion entre dos espacios metricos es unacontraccion cuando es (globalmente) Lipschitz con constante menorque 1. En otras palabras, T : X Y es una contraccion si existe < 1 tal que dY(T x , T y) dX(x, y) para todo par de elementosx, y X.

Teorema (Banach)

Sea X un espacio metrico completo, y sea T : X Xuna contrac-cion. Entonces T tiene un unico punto fijo x. Ademas, x puede cal-cularse en forma iterativa a partir la sucesion xn+1 = T(xn), comen-zando en cualquier x0 X.

Este sencillo resultado se prueba en forma inmediata: inductiva-mente, es claro que d(xn+1, xn)

nd(x1, x0). Entonces

d(xn+k, xn) n+k1j=n

d(xj+1, xj) n+k1j=n

jd(x1, x0),

lo que prueba que {xn} es una sucesion de Cauchy. y es facil ver quesu lmite x es punto fijo de T. La unicidad es trivial, pues si T(x) = xentonces d(x, x) = d(T(x), T(x)) d(x, x).

La cota que proporciona la serie geometrica permite calcular tam-


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[SEC. 2.1: METODOS DE PUNTO FIJO. EL TEOREMA DE BANACH 21

bien la velocidad a la cual la sucesion converge a x: en efecto,

d(xn, x) = lmk

d(xn, xn+k) lmk

n+k1

j=n

d(xj+1, xj)

n

1 d(x1, x0).

Pero vale la pena mencionar una demostracion aun mas elementaldel teorema, debida a Richard Palais [32], que no requiere conocersiquiera la suma de la serie geometrica: para x, y cualesquiera, vale

d(x, y) d(x, T(x)) + d(T(x), T(y)) + d(y, T(y)),

y en consecuencia

(1 )d(x, y) d(x, T(x)) + d(y, T(y)).

Tomando x = xn, y = xm, se deduce que

d(xn, xm)

1

1 [d(Tn(x0), T

n(x1)) + d(Tm(x0), T

m(x1))]

n + m

1 d(x0, x1).

Esto prueba que la sucesion es de Cauchy, y tambien la convergencialineal de la sucesion: es decir, la cota que obtuvimos anteriormente,d(xn, x) n1d(x1, x0).

El lema de la contraccion permite dar una demostracion directadel teorema de existencia y unicidad local. En efecto, el operador

evidente para buscar un punto fijo es

T x(t) = x0 +

t0

f(s, x(s)) ds.

Solo necesitamos encontrar un espacio metrico completo X tal queT : X X este bien definido y resulte una contraccion.

Consideremos , r > 0 tales que [t0 , t0 + ] Br(x0) .Sean M y L respectivamente el maximo y la constante de Lipschitz

de la funcion f en dicho conjunto, y tomemos como espacio X a la


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bola cerrada de radio r centrada en x0, pero ahora dentro del espacioC([t0

, t0 + ],R

n) para cierto

conveniente:

X = {x : [t0 , t0 + ] Br(x0) continua},provisto de la metrica usual

d(x, y) = maxt[t0,t0+]

|x(t) y(t)|.

Es claro que T : X C([t0 , t0 + ],Rn) esta bien definido, yademas

|T x(t)

x0

|=

t

t0

f(s, x(s))ds M .Luego, si elegimos rM entonces X resulta invariante, es decir:T(X) X. Por otro lado, para x, y X se tiene:

d(T x , T y) = maxt[t0,t0+]

tt0

(f(s, x) f(s, y))ds Ld(x, y).

De esta forma, si ademas < 1L entonces T : X X es una contrac-cion.

Observacion

Notemos que el teorema realmente garantiza que la solucion xobtenida es unica en el intervalo [t0 , t0 + ]: en efecto, si y fueraotra solucion definida en algun entorno de t0, entonces valdra, paracierto (0, ] que |y(t)| r cuando t [t0 , t0 + ]. Pero si ahoraredefinimos el espacio X con este nuevo valor , T va a resultar unacontraccion all, lo que dice que x = y en [t0 , t0 + ]. Esto permiteasegurar que x = y en cualquier intervalo que contenga a t0 en el cual

ambas soluciones esten definidas.El teorema de Banach se puede aplicar tambien a problemas de

contorno como (1.1) o, un poco mas en general, con una condicionno homogenea

u(0) = u0, u(1) = u1.

La idea es la siguiente: para v C([0, 1]) fija, consideremos el pro-blema lineal

u = f(t, v)

u(0) = u0 u(1) = u1,(2.2)


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[SEC. 2.1: METODOS DE PUNTO FIJO. EL TEOREMA DE BANACH 23

que, si pedimos f continua, tiene solucion unica u C2([0, 1]). Deesta forma, el operador T : C[0, 1]

C[0, 1] dado por

T v = unica solucion de (2.2)

esta bien definido. Mas aun, dados v1, v2 C[0, 1] y ui = T vi, setiene:

(u1 u2) = f(t, v1) f(t, v2)(u1 u2)(0) = (u1 u2)(1) = 0

Observemos tambien que (u1 u2)(t) =t0

(u1 u2)(s)ds, de donderesulta

||u1 u2|| ||u1 u2||.Ademas, por el teorema de Rolle existe t0 tal que (u1 u2)(t0) = 0,entonces podemos escribir (u1 u2)(t) =

tt0

(u1 u2)(s)ds, y enconsecuencia:

||u1 u2|| ||u1 u2 ||.Luego, ||u1 u2|| ||f(, v1) f(, v2)||. Si f es Lipschitz en

u con constante L, para todo t vale:

|f(t, v1(t))

f(t, v2(t))

| L|v1(t)

v2(t)

| L

v1

v2

.

En particular, si L < 1 entonces T resulta una contraccion. En con-secuencia, existe una (unica) solucion del problema.

Observacion

El resultado previo vale tambien para un sistema de ecuacionesde segundo orden.

Observacion

Se pueden obtener cotas mas precisas si se trabaja en el espacioL2(0, 1). En efecto, si v1, v2 L2(0, 1), y ui = T vi para i = 1, 2,resulta:

u1 u2L2 1

u1 u2L2 .

Esta es la llamada desigualdad de Poincare (ver seccion 10.4). Porotro lado,

(u1 u2)2

L2 =10 (u1 u2)(s)(u1 u2)(s)ds =


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1

0

(u1 u2)(s)(u1 u2)(s)ds (u1 u2)L2u1 u2L2 .

As tenemos que

(u1 u2)L2 1

(u1 u2)L2 ,

y

u1 u2L2 12

u1 u2L2 L

2v1 v2L2 .

Luego, basta pedir que L < 2.

El inconveniente de este enfoque es que en principio, no quedaclaro como se define T v si v es un elemento de L2. Sin embargo,eso puede hacerse apropiadamente, pues si f es Lipschitz entoncesf(, v) L2(0, 1), y entonces es posible integrarla dos veces paraobtener una solucion u del problema (2.2). Es claro que u no es nece-sariamente una funcion de clase C2, aunque resulta C1 y ademasu es absolutamente continua, con u

L2(0, 1): esta clase de fun-

ciones define un nuevo espacio de Sobolev llamado H2(0, 1), que masadelante nos sera de utilidad.

Una consecuencia del teorema de Banach es la siguiente:

Teorema

Sea X un espacio metrico completo, y supongamos que T: X Xes tal que Tn es una contraccion, en donde Tn(x) = T T T(x)(n veces). Entonces T tiene un unico punto fijo.

La demostracion es sencilla: si x es el unico punto fijo de Tn,entonces Tn(T(x)) = T(Tn(x)) = T(x). Por unicidad, resulta T(x) =x. Ademas, si y es punto fijo de T, entonces tiene que ser tambienpunto fijo de Tn, y en consecuencia y = x.

Una aplicacion tpica de este resultado es la prueba de que si f esLipschitz en u con cierta constante que no depende de u sobre ciertafranja [a, b]

Rn, entonces las soluciones del problema de valores

iniciales estan definidas en todo el intervalo [a, b]. Mas precisamente:


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Proposicion

Sea f: [a, b]

Rn

Rn una funcion continua, globalmente Lips-

chitz en x con constante L. Entonces, la unica solucion del problemax = f(t, x)x(t0) = x0

para cualquier (t0, x0) (a, b) R esta definida en todo [a, b].En realidad, este resultado puede verse como una aplicacion di-

recta del lema de Gronwall (ver ejercicio 2 de la seccion 10.1), pero sipensamos como antes en el operador T : C([a, b],Rn)

C([a, b],Rn)

dado por

T x(t) = x0 +

tt0

f(s, x(s))ds,

se tiene que

|Tn+1x(t) Tn+1y(t)| =tt0

[f(s, Tnx(s)) f(s, Tny(s))]ds

L t

a |Tn

x Tn

y|(s)ds.En particular, para n = 0 resulta

|T x(t) T y(t)| Lta

|x(s) y(s)| ds L(t a)x y.

Por induccion, se deduce que

|Tnx(t) Tny(t)| Ln (t a)n

n!x y,

y luego Tnx Tny (b a)n Lnn! x y para todo n. Por lotanto, Tn es una contraccion para n suficientemente grande.

2.2. Ejercicios

1. Probar que el teorema de Banach no vale en general para cualquieroperador T : X X tal que

d(T x , T y) < d(x, y) para todo x, y X, x = y.


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Que ocurre cuando X es compacto?

2. Probar que si f : [0, T] R2n

Rn

es continua y Lipschitzen (u, u) con constante L suficientemente pequena, entonces elsistema

u = f(t,u,u)u(0) = u0, u(T) = uT

tiene solucion unica. Especificar el valor de L.

3. Definir un esquema de aproximaciones sucesivas de Picard parael problema anterior.

4. Sea X un espacio metrico completo, y sea T : X X tal que

d(T(x), T(y)) G(d(x, y)) si d(x, y) R

en donde G : [0, R] [0, R) es continua y satisface:

G es creciente.

G(r) < r para r > 0.

a) Probar que el esquema de aproximaciones sucesivas dadopor un+1 = T(un) converge a un punto fijo de T paracualquier u0 tal que d(T(u0), u0) < R.

b) Probar que el punto fijo obtenido en (4a) es unico.

c) Encontrar un ejemplo de f = f(t, u) que no cumpla lashipotesis del ejercicio 2, pero igualmente el problema

u = f(t, u), u(0) = u0, u(T) = uT

tenga solucion unica.


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Captulo 3

El teorema de Schauder

3.1. Un ejemplo de Kakutani

El teorema de Brouwer, cuyo enunciado hemos visto en el captulo1, vale para cualquier conjunto homeomorfo a la bola unitaria B

Rn; en particular, vale para cualquier conjunto cerrado, acotado yconvexo en un espacio normado de dimension finita.

En la siguiente seccion veremos una extension de este resultadopara espacios de dimension infinita; sin embargo, el siguiente ejemplode Kakutani de 1943 muestra que es preciso pedir alguna condicionadicional para f.

Por simplicidad, consideremos el espacio H := L2(, ) provistode la base ortonormal usual

{en

}nZ en donde en(t) = e

int2

1.

Definamos ahora la aplicacion lineal

T

nZ

xnen

:=

nZ

xnen+1,

1Recordemos que toda f L2(, ) admite un (unico) desarrollo en serie deFourier dado por S(t) =

nZ xnen, en donde xn := f, en. La igualdad f = S

significa que la serie converge a f en el sentido de L2. Ademas, vale la identidad

de Parseval: f2

L2 =

nZ x2n

27


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28 [CAP. 3: EL TEOREMA DE SCHAUDER

que resulta una isometra. Luego, la funcion f : H H dada por

f(x) =1

x2 e0 + T x

es continua; ademas, si x 1 vale

f(x) 1 x2

+ x 1;

es decir, f(B1(0)) B1(0). Veremos que, sin embargo, f no tienepuntos fijos en la bola unitaria.

Supongamos que f(x) = x para cierto x

B1(0), entonces clara-mente x = 0. Ademas, x < 1, pues en caso contrario se tendra queT(x) = x, lo que es absurdo pues el unico punto fijo de T es el 0.Escribiendo x =

xnen, por ser x = f(x) resulta

x Tx = 1 x2

e0,

es decir:

nZ

(xn xn1)en = 1 x2

e0.

Por la unicidad de la serie, se deduce que

xn xn1 =

0 si n = 01x

2 si n = 0.

En consecuencia

. . . x2 = x1 = x0 = x1 = x2 . . . ,

lo que tambien es absurdo, pues

x2n = x2 < .En la siguiente seccion veremos que el teorema de Brouwer puede

extenderse para espacios de dimension infinita, si se agrega a f lacondicion de ser compacta.

3.2. El teorema de Schauder

Antes de enunciar el teorema de Schauder, veamos una motivacion

sencilla. Consideremos una vez mas el problema de valores iniciales


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[SEC. 3.2: EL TEOREMA DE SCHAUDER 29

x = f(t, x)x(t0) = x0,

(3.1)

pero ahora supongamos unicamente que f : RRn Rn es con-tinua. Un resultado conocido, debido a Peano, dice que el problema(3.1) tiene al menos una solucion definida en un entorno de t0. Estopuede demostrarse por ejemplo de la siguiente manera (los detallesquedan como ejercicio):

1. Considerar K = [t0 , t0 + ] Br(x0) y, empleando elteorema de Weierstrass, elegir pn polinomios tales que pn funiformemente en K. Extendiendo a pn adecuadamente masalla de K, podemos suponer que pn : R Rn Rn es unafuncion de clase C1, con

sup(t,x)RRn

|pn(t, x)| M

para cierto M independiente de n.

2. Para cada n resolvemos el problemaxn = pn(t, xn)xn(t0) = x0,

que tiene una unica solucion xn, definida en todo R.

3. Escribiendo

xn(t) = x0 + t

t0

pn(s, xn) ds,

para |t t0| resulta:|xn(t) x0| M.

En particular, podemos elegir rM, de modo que resulte(t, xn(t)) K. Por otra parte,

|xn(t + h)

xn(t)

| t+h

t

pn(s) ds M|h|,


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de donde se ve que el conjunto A = {xn : n N} es acotado yequicontinuo en el espacio C([t0

, t0 + ],R

n). Por el teorema

de Arzela-Ascoli, A es compacto; luego, existe una subsucesion{xnj} que converge uniformemente a cierta funcion continuax : [t0 , t0 + ] Rn. De las igualdades

xnj (t) = x0 +

tt0

pnj (s, xnj )ds

para t [t0 , t0 + ] se deduce que

x(t) = x0 +tt0

f(s, x(s))ds,

de donde x resulta una solucion del problema.

Sin embargo, el resultado anterior se demuestra en forma muchomas directa por medio del siguiente teorema:

Teorema (Schauder)Sea E un espacio normado, y sea C

E un conjunto convexo,

cerrado y acotado. Supongamos que T : C C es una funcioncontinua tal que T(C) es compacto. Entonces T tiene al menos unpunto fijo.

Demostracion. Sea k N. Por la compacidad de T(C), podemoselegir x1, x2, . . . , xn T(C) C tales que

T(C) n

j=1

B1/k(xj).

Sea Ck C la capsula convexa del conjunto {x1, x2, . . . , xn}, ydefinamos la funcion Jk : T(C) Ck, dada por

Jk(y) =

nj=1

dist(y, T(C) Bj)ni=1 dist(y, T(C) Bi)

xj ,

en donde Bj = B1/k(xj). Es claro que Jk esta bien definida, porque

si y T(C), entonces y Bj para algun j, y d(y, T(C) Bj) > 0.


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Por otro lado, si y / Bj vale d(y, T(C) Bj) = 0, de donde sededuce que para todo j resulta:

d(y, T(C) Bj)y xj 1k

d(y, T(C) Bj).

En consecuencia, Jk(y)y 1k para todo y T(C), y en particularJkT(x) T x 1k para todo x C.Ademas, por el teorema de Brouwer Jk T|Ck : Ck Ck tiene al

menos un punto fijo zk. Por compacidad, {T zk} admite una subsuce-sion {T zkj} que converge a cierto z T(C) C, y

zkj T zkj = (Jkj T)(zkj ) T zkj 1

kj 0.

Se deduce que zkj z, y por continuidad T z = lmj T zkj = z.

Observacion

La prueba anterior ademas muestra, en general, que si T : C Fes un operador continuo tal que T(C) es compacto, en donde C Ees cualquierconjunto cerrado y acotado y F es un espacio normado,entonces T puede aproximarse por operadores de rango finito. Masprecisamente: para todo > 0 existe T : C F tal que TT < y dim(Im(T)) < .

Veamos ahora como se puede aplicar el teorema de Schauder alproblema (3.1): es suficiente con tomar, para > 0 y R > 0 conve-nientes, E = C([t0, t0+],Rn), y el subconjunto (convexo, cerradoy acotado) C

E dado por

C = {x E : x x0 R}.

El operador de punto fijo va a ser, nuevamente:

T x(t) = x0 +

tt0

f(s, x(s)) ds.

Veamos que si es suficientemente pequeno, T esta bien definido en

C, y ademas T(C) C.


41/161


En efecto, si K := [t0 , t0 + ] BR(x0) , existe ciertaconstante M tal que

|f(t, x)

| M para (t, x)

K. Eligiendo

,

se cumple que si x C entonces (t, x(t)) K, y

|T x(t) x0| =tt0

f(s, x) ds

M.De esta forma, basta tomar mn{, RM}.

Como antes, la compacidad de T(C) es consecuencia inmediatadel teorema de Arzela-Ascoli, escribiendo

|T x(t + h) T x(t)| =

t+h

t

f(s, x) ds |h|M.

Hace falta probar tambien que T es una funcion continua, peroesto es muy facil por tratarse de un operador integral: por ejemplo, sixn x en C (vale decir, uniformemente), entonces f(, xn) f(, x)uniformemente, de donde

|T xn(t)T x(t)| = t

t0f(s, xn) f(s, x) ds f(, xn)f(, x).

Como el termino de la derecha tiende a cero para n , elresultado queda demostrado.

Veamos otra aplicacion, al problema de segundo orden con condi-ciones de Dirichlet

u = f(t, u)u(0) = u0, u(1) = u1

(3.2)

donde f : [0, 1] Rn Rn es continua y por ejemplo sublineal:

lm|u|

f(t, u)

u= 0 uniformemente en t.

Un poco mas en general, podemos suponer directamente que vale|f(t, u)| A|u| + B para ciertas constantes A, B > 0, con A suficien-temente pequena. Notemos que este problema se puede resolver por

el metodo de shooting, en el caso de que f sea localmente Lipschitz


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en la variable u. Sin embargo, si f es solamente continua, el metodode shooting no se puede aplicar.

Vamos a resolver el problema empleando el teorema de Schauder.Por simplicidad, trabajaremos en C([0, 1]) aunque, al igual que enel captulo anterior, es posible obtener mejores cotas para A si setrabaja en el espacio L2(0, 1).

Dada v C([0, 1]) fija, ya sabemos que el problema linealu = f(t, v)u(0) = u0, u(1) = u1

tiene una unica solucion u, lo que nos permite definir como en elcaptulo previo el operador T : C([0, 1]) C([0, 1]) dado por T v = u.

Buscamos un punto fijo de T; para ello, veamos en primer lugarque es un operador compacto:

T es una funcion continua.

T enva conjuntos acotados en conjuntos pre-compactos (es de-cir, de clausura compacta).

Para comprobar esto, recordemos las estimaciones del captulo previo:si w es una funcion en C2([0, 1]) que se anula en los extremos, entonces

w w w.Luego, si vn v uniformemente, resulta:T vn T v (T vn) (T v) = f(, vn) f(, v) 0,

lo que prueba que T es continua. Ademas, si por ejemplo considera-mos ul(t) = (u1 u0)t + u0 la funcion lineal que pasa por (0, u0) y(1, u1), entonces para v R, como T v y ul valen lo mismo en losextremos se obtiene:

T v ul (T v) ul (T v) ul = f(, v) MR,en donde MR es el maximo (que depende solo de R y los datos deDirichlet) de la funcion |f(t, u)| sobre la franja

{(t, u) R2 : 0 t 1, |u| R}.


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Por el teorema de Arzela-Ascoli, se deduce que T(BR(0)) tiene clausuracompacta: en efecto, resulta claramente un conjunto equiacotado, y

para v BR(0) por las desigualdades anteriores se ve que (T v) MR + ul = MR + |u1 u0|. Luego

|T v(t + h) T v(t)| = |(T v)().h| (MR + |u1 u0|)|h|,lo que prueba la equicontinuidad.

Esto muestra que T resulta un operador continuo y compactopara cualquier f continua, cosa que nos sera de utilidad para otrosproblemas mas generales. Pero bajo nuestras hipotesis especficas,

las acotaciones pueden precisarse aun mas: en efecto, es claro queMR AR + B, de modo que si v R obtenemosT v ul + MR max{|u0|, |u1|} + AR + B.

De esta forma, si A < 1 y

R B + max{|u0|, |u1|}1 A ,

vale que T(BR(0)) BR(0), y el teorema de Schauder asegura laexistencia de una solucion u del problema con u R.Observacion

Vale la pena observar que, si bien el operador anterior resultacompacto para cualquier f continua, la existencia de un convexo cer-rado y acotado que sea invariante por T no esta garantizada sin poneralguna hipotesis adicional sobre f. A modo de ejemplo, consideremosel problema

u + 2u = sen(t), u(0) = u(1) = 0, (3.3)

donde f(t, u) = sen(t) 2u es lineal en u, pero el problema notiene solucion. En efecto, multiplicando la ecuacion por sen(t) yluego integrando por partes el primer termino, se obtiene

0 =

0

u sen(t) dt + 20

u dt =

0

sen2(t) dt > 0,

lo que es absurdo.


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Tambien hemos mencionado el hecho de que se puede obtener unacota mejor para A si se busca un punto fijo directamente en L2(0, 1);

sin embargo, para f arbitraria no siempre es posible trabajar en esteespacio. Mas aun, para v L2(0, 1), nada permite asegurar siquieraque f(, v) sea integrable.

3.3. Ejercicios

1. Sea l2 el espacio definido por

l2 := {x := (xn)nN RN : nN

x2n < }

provisto de la norma usual dada por

x :=

nNx2n.

Definimos T : B1(0)

l2

l2 dado por

T(x) =

1 x2, x1, x2, . . .

.

Probar que T es continua, T(B1(0)) B1(0), pero T no tienepuntos fijos.

2. a) Probar usando el teorema de Schauder que la ecuacion delpendulo forzado con friccion

u + au + b sin(u) = p(t),

en donde p es una funcion continua, admite al menos unasolucion para cualquier dato de Dirichlet

u(0) = u0, u(T) = uT.

Puede decirse lo mismo para las condiciones periodicas

u(0) = u(T), u(0) = u(T)?


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Sugerencia: obtener acotaciones similares a las empleadasen este captulo, pero ahora para el operador lineal dado

por Lu = u + au.Comparar con el ejercicio 1 de la seccion 1.4.1.

b) Probar que si b es suficientemente pequeno, entonces lasolucion es unica, y se puede obtener en forma iterativacomenzando en cualquier funcion u1 C([0, T]) a partirde los problemas lineales

un+1 + au

n+1 = p(t) b sin un

u(0) = u0, u(T) = uT.

Que se puede decir acerca del orden de convergencia?

c) Mas en general, probar la existencia de soluciones parael problema del ejercicio 2 del captulo 2, pero suponiendoque en vez de ser Lipschitz la funcion f verifica: |f(t,x,y)| A|x| + B|y| + C para ciertas constantes adecuadas.

3. Sea f : [0, 1]Rn Rn continua y sublineal, y sea C([0, 1])tal que (t) 0 para todo t. Probar que el problema

u (t)u = f(t,u,u)u(0) = u0, u(1) = u1.

tiene al menos una solucion. Sugerencia: encontrar acotacionesanalogas a las empleadas en el problema (3.2) para el operadorlineal Lu := u u.

4. Condicion de Hartman-Nagumo

a) Sean f : [0, 1] Rn

Rn

continua y R > 0 tales quef(t, u) u 0 para u Rn con |u| = R. Probar que elproblema de Dirichlet

u = f(t, u)u(0) = u0, u(1) = u1

con |u0|, |u1| R tiene al menos una solucion.Sugerencia: probar que el problema

u = f(t ,Pu) u(0) = u0, u(1) = u1,


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en donde

P u = u si |u| RR.

u|u| si |u| > R,

tiene al menos una solucion u. Luego, definir r(t) = |u(t)|2y verificar que r(t) R para todo t.

b) Sea f : [0, 1] R2n Rn continua tal que

|f(t,u,v)| c 2u f(t,u,v) + |v|2 + Kpara

|u

| R y ciertas constantes c, K con 2cR < 1. Probar

que existe M > 0 tal que si u verifica u = f(t,u,u), yu R, entonces u M.Sugerencia: usando la representacion de Green (ver seccion10.3), deducir que

u(t) = u(1) u(0) +10

G

t(t, s)f(s, u(s), u(s)) ds,

con

Gt

(t, s) =

s si t > ss 1 si t < s.

Entonces

|u(t)| |u(1) u(0)|

+

t0

(1 s)(cr(s) + K) ds +1t

s(cr(s) + K) ds,

donde r es como antes. Integrando por partes, se obtienela acotacion deseada.

c) Deducir un resultado de existencia para el problemau = f(t,u,u)u(0) = u0, u(1) = u1.

5. Consideremos el problema del pendulo forzado con rozamientodel ejercicio (2a), con b = 1 y T < , y escribamos p(t) =

p0(t) + c en donde p0 : [0, T] R tiene promedio 0.


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a) Probar que el problema tiene solucion unica en C([0, T])para cualquier dato de Dirichlet. Comparar con el ejercicio

(2b). Sugerencia: emplear la acotacion para el operadorLu = u + au obtenida en (2a).

b) Para r [0, 2] y c [1, 1], definir ur,c C([0, T]) comola unica solucion del problema con ur,c(0) = ur,c(T) = r.Probar que la aplicacion (r, c) ur,c es continua.

c) Sea : [0, 2] [1, 1] R dada por

(r, c) =1

T

T

0

sen[ur,c(t)] dt

c.

Probar que para todo r existe algun c tal que (r, c) = 0.Deducir que la ecuacion tiene soluciones periodicas paraalgun c.

d) Probar que si la ecuacion no tiene soluciones periodicaspara c = c0, entonces toda solucion del problema

u + au + sen u = p0(t) + c0

que verifica u(0) = u(T) es periodica.


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Captulo 4

El metodo de super ysubsoluciones

4.1. Introduccion: un caso particular

Ademas de las aplicaciones directas del teorema de Schauder quehemos visto en el captulo previo, veremos ahora las nociones basicasde un metodo clasico de resolucion de ecuaciones conocido comometodo de super y subsoluciones, que fue introducido por Scorza-Dragoni en 1931 [35]. Se trata de una de las herramientas funda-mentales del analisis no lineal, que a grandes rasgos permite obtenersoluciones que se encuentran entre dos funciones y (respectiva-mente, una subsolucion y una supersolucion del problema). Para una

descripcion mas general del metodo aplicado a ecuaciones ordinariasde segundo orden con condiciones de Dirichlet o periodicas, puedeconsultarse por ejemplo [6].

Vamos a comenzar una vez mas con la ecuacion de segundo ordenu = f(t, u); en tal caso diremos que las funciones suaves y sonrespectivamente una subsolucion y una supersolucion de la ecuacionsi se cumple:

f(t, ), f(t, ).

Ademas, si queremos resolver el problema de Dirichlet, entonces pedi-

39


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40 [CAP. 4: EL METODO DE SUPER Y SUBSOLUCIONES

remos tambien:

(0) u0 (0), (1) u1 (1).Probaremos que si existen y una sub y una supersolucion

ordenadas, es decir, tales que , entonces el problema tiene almenos una solucion u, con u .

A fines de entender la idea del metodo, resolvamos en primerlugar una situacion simple, que se produce cuando f es decrecienterespecto de u. En tal caso, la existencia de una solucion se obtiene enforma directa del teorema de Schauder, aplicado al mismo operador

compacto T : C([0, 1]) C([0, 1]) que empleamos en los captulosprevios. Vale la pena observar que, en general, el resultado no valesin asumir la existencia de un par (, ), como lo muestra el problemalineal que vimos en (3.3),

u + 2u = sen(t), u(0) = u(1) = 0,

donde f(t, u) = sen(t) 2u es decreciente en u.En cambio, si se supone que existe un par (, ) consistente en

una sub y una supersolucion ordenadas, entonces puede considerarseel conjunto cerrado, convexo y acotado al de aquellas funciones queestan entre y , es decir:

C = {u C([0, 1]) : (t) u(t) (t) para todo t}.

Probaremos que este conjunto es invariante por T; vale decir, queT(C) C. La prueba de que C cumple las otras hipotesis requeridaspor el teorema de Schauder es la misma que hemos efectuado en el

captulo anterior.Si v C y u = T v, entonces siendo f decreciente en la segunda

coordenada vale:

u = f(t, v) f(t, ) .

En otras palabras, la funcion u es concava, por ser (u ) 0.Pero ademas (u)(0) = u0(0) 0 y (u)(1) = u1(1) 0,de donde se concluye que u

0 en todo [0, 1]. De la misma forma

se prueba que u 0, y en consecuencia u C.


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[SEC. 4.1: INTRODUCCION: UN CASO PARTICULAR 41

El caso anterior nos da una buena pista para resolver la situacionen un contexto mas general: si el termino de la derecha no es de-

creciente en u... podemos intentar buscar una forma de que lo sea.Obviamente, para eso hace falta restarle una funcion continua apropi-ada creciente en u, de modo tal que los anteriores argumentospuedan repetirse. En principio, si queremos reemplazar a f(t, u) porf(t, u) (u), el operador de punto fijo se definira a partir del pro-blema:

u (u) = f(t, v) (v), u(0) = u0, u(1) = u1.

Es facil demostrar (por ejemplo, si es globalmente Lipschitz en-tonces basta aplicar el ejercicio (3) de la seccion 1.4.1) que el oper-ador T : v u esta bien definido y es compacto. Para nuestros fines,alcanza con tomar (u) = u para algun 0.

El inconveniente es que en general no existe un valor tal quef(t, u)u sea una funcion decreciente en u para todo t; sin embargo,como nuestro objetivo es unicamente comprobar que T(C) C, en-tonces alcanzara con pedir que para cada t fijo la funcion f(t, u)usea decreciente en u cuando (t) u (t).

De este modo, si por ejemplo f es de clase C1

respecto de u, bastaelegir 0 tal que

maxK

f

u(t, u)

en donde K = {(t, u) R2 : 0 t 1, (t) u (t)}. En tal caso,para cada t fijo se tiene que

[f(t, u) u] [f(t, v) v] =

f

u(t, )

(u v) 0

si (t) v u (t).De un modo analogo al caso que vimos, con = 0, el operador T

que a cada v asigna la unica solucion u del problema

u u = f(t, v) v, u(0) = u0, u(1) = u1esta bien definido y es compacto; veamos ahora que si v entonces u . En principio, resulta

u u = f(t, v) v f(t, ) ,


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de donde(u

)

(u

)

0. (4.1)

A diferencia del caso anterior ahora no se puede argumentar que ues concava; sin embargo se puede aplicar un resultado mas general,que es un caso elemental del denominado principio del maximo:

Proposicion (Principio del maximo, caso particular):Si w es una funcion suave que satisface

w w 0, w(0), w(1) 0

para cierto 0, entonces w 0 en [0, 1].Este hecho puede demostrarse de maneras diferentes; vamos a ver

dos pruebas sencillas, que pueden resultar utiles para luego genera-lizar el principio a otros casos.

1. Supongamos que w 0; entonces existe t0 (0, 1) tal quew(t0) > 0 y ademas w(t0) es maximo.

Resulta entonces 0 w(t0) w(t0) > 0, lo que es absurdo.2. Sea I+ = {t [0, 1] : w(t) > 0}. Como w(0), w(1) 0, vale

w = 0 en I+, y ademas:

0 I+

(w(t) w(t))w(t) dt

= I+

w(t)2 dt I+

w(t)2 dt 0.

Luego I+ w

(t)2 + w(t)2 dt = 0 lo cual prueba que I+ tienemedida 0. Como w es continua, se deduce que I+ es vaco.

Observacion

Vale la pena notar que la primera demostracion no comprende enrealidad el caso = 0, aunque se la puede adaptar convenientemente.Sin embargo, esto no vale para otras condiciones de contorno comoNeumann o periodicas, pues w puede ser constante. Tampoco vale sise supone que la desigualdad w

w

0 vale unicamente en casi

todo punto: por ejemplo, si w(t) = t2+t4 t0 C(s) ds, en donde C es


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[SEC. 4.1: INTRODUCCION: UN CASO PARTICULAR 43

la funcion de Cantor, entonces w(0) = w(1) = 0 y w = 2 en casi todopunto. Esto implica que w

u en [0, 1] para > 0 suficientemente

pequeno, y sin embargo w(0) = 1, de modo que w 0.Volviendo al problema, a partir de la desigualdad (4.1) el principio

del maximo nos permite concluir que u 0, y de un modo analogose prueba tambien que u 0.Ejemplo

A modo de ejemplo, consideremos el siguiente problema con pcontinua:

u u3 = p(t)

u(0) = u0 u(1) = u1

En realidad, se trata de un caso particular de una situacion facil deresolver mediante el teorema de Schauder, en la cual la no-linealidadf(t, u) = u3 es decreciente respecto de u. Este hecho, como veremosmas adelante, garantiza la existencia y unicidad de soluciones.

Pero podemos ver ahora que la demostracion de existencia es aunmas inmediata si se emplea el metodo de super y subsoluciones: enefecto, alcanza con tomar M y M, con M una constantepositiva tal que M u0, u1 M y ademas

M3 p(t) M3 para todo t.Vale la pena destacar que si cambiamos el signo del termino no

lineal u3, la situacion es muy distinta: se trata de un caso particularde un problema superlineal que -como vimos en el captulo 1- tieneinfinitas soluciones.

4.1.1. Un metodo iterativo

Veremos ahora que en la situacion anterior, si se supone laexistencia de una subsolucion y una supersolucion del proble-ma, con , y que f es de clase C1 respecto de u, puede obtenerseuna solucion del problema entre y en forma iterativa. Como severa, los argumentos que permiten asegurar que la sucesion definidaconverge a una solucion del problema son elementales, y no requieren

hacer uso del teorema de Schauder.


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Fijemos como antes una constante 0 tal que fu (t, u) paratodo t

[0, 1] y todo u

[(t), (t)], y consideremos:

U0(t) = (t),Un+1 la unica solucion del problema lineal

Un+1 Un+1 = f(t, Un) Un, Un+1(0) = u0, Un+1(1) = u1.

En otras palabras, Un+1 = T(Un), donde T es el operador definido enla seccion previa. Un hecho sorprendente es que puede probarse queesta sucesion de aproximaciones sucesivas converge, a pesar de queT no tiene por que ser una contraccion. Mas precisamente, vamos a

probar que = U0 U1 U2 . . . .

Esto dice que {Un} converge (puntualmente) a cierta funcion u, quecomo veremos resulta ser solucion del problema.

El razonamiento es inductivo: dado que es subsolucion, alcanzacon probar que U1 es una subsolucion que verifica U1 .

En primer lugar, veamos que U1: en efecto, a partir de ladefinicion (y por ser una subsolucion) sabemos que

U1 U1 = f(t, ) .

Ademas, como U1 en los extremos del intervalo por el principiodel maximo se deduce que U1 en [0, 1]. Por otra parte, siendof(t, u) u decreciente en u, vale:

U1 U1 = f(t, ) f(t, U1) U1.

Luego, U1 es subsolucion (recordemos que U1(0) = u0 y U1(1) = u1).Finalmente,

U1 U1 = f(t, ) f(t, ) ,

y nuevamente por el principio del maximo se concluye que U1 .Resulta entonces que {Un} es una sucesion de subsoluciones que

converge en forma creciente a cierta funcion u, con

u

. Por

el teorema de Dini, resulta que en realidad Un u uniformemente,


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[SEC. 4.2: SUPER Y SUBSOLUCIONES - CASO GENERAL 45

y a partir de la definicion de Un se ve entonces que Un f(, u)

uniformemente. Mas aun, podemos escribir

Un+1(t) = u0 + an+1t +

t0

s0

(Un+1(r)Un(r)) +f(r, Un(r)) dr ds

para cierta an+1. Por la convergencia uniforme, el termino integral

converge at0

s0

f(r, u(r)) dr ds, y como el termino de la izquierdatambien converge, se deduce que an a para cierta constante a.Luego

u(t) = u0 + at + t

0

s

0

f(r, u(r)) dr ds,

lo que prueba que u es de clase C2, y u = f(t, u). La condicion deborde se cumple, por el simple hecho de que Un(t) u(t) para todot.

Vale la pena observar que si se define la misma recurrencia, perocomenzando en U0 = , se obtiene una sucesion decreciente de super-soluciones que converge a una solucion. Sin embargo, esta solucion noes necesariamente la misma que la obtenida al comenzar en .

En la proxima seccion veremos que la existencia de al menos una

solucion entre una sub y una supersolucion puede probarse sise asume unicamente que f es continua.

4.2. Super y subsoluciones - Caso general

Como hemos visto, el teorema de Schauder permite obtener solu-ciones de un problema de Dirichlet para la ecuacion de segundo orden,bajo la hipotesis de que existen una sub y una supersoluciondel problema.Sin embargo, el metodo empleado se basa en la posibilidad derestar a la no linealidad f = f(t, u) un termino lineal u, para trans-formarla, para cada t fijo, en una funcion decreciente en u cuandou [(t), (t)]. Esta propiedad vale en casos como el que vimos, conf de clase C1 respecto de u, o mas en general si f es localmente Lip-schitz, pero no siempre. A continuacion veremos que puede probarseun teorema de existencia pidiendo unicamente que f sea continua.

La idea consiste en definir un problema asociado al problema ori-

ginal, que se resuelve facilmente por medio del teorema de Schauder,


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cuyas soluciones resultan en realidad soluciones del problema originalen el conjunto

{u

C([0, 1]) :

u

}. Esto nos dara tambien

una pauta sobre como plantear el problema en un caso todava masgeneral, en el que f depende tambien de u.

Dado que buscamos soluciones entre y , resulta convenientedefinir una funcion de truncamiento P : [0, 1] R R, de lasiguiente manera:

P(t, u) =

u si (t) u (t)(t) si (t) > u(t) si u > (t).

Entonces podemos fijar una constante > 0 y resolvemos en primerlugar el problema

u u = f(t, P(t, u)) P(t, u) u(0) = u0, u(1) = u1. (4.2)

Como el termino de la derecha de la ecuacion es acotado, sabemospor el ejercicio (3) del captulo 3 que (4.2) tiene al menos una solucionu. Veremos que

u

, lo que garantiza que P(t, u(t)) = u(t), y

entonces u es solucion del problema original.Supongamos por ejemplo que u ; luego u alcanza un valor

maximo positivo en cierto t0. Por las condiciones de borde, debe sert0 (0, 1). Ademas, P(t0, u(t0)) = (t0), y entonces

u(t0) u(t0) = f(t0, (t0)) (t0) (t0) (t0).

Luego (u )(t0) > 0, lo que es absurdo. De la misma forma sededuce que u

.

4.2.1. Acotaciones para la derivada. Condicion de

Nagumo

En esta seccion aplicaremos el metodo de super y subsolucionespara resolver un problema de Dirichlet mas general:

u = f(t,u,u)u(0) = u0, u(1) = u1, (4.3)


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en donde f : [0, 1] R2 R es una funcion continua. Como antes,supondremos que

son funciones suaves que satisfacen

f(t,,), f(t ,,),(0) u0 (0), (1) u1 (1).

La dificultad reside en el hecho de que ahora no es posible, comoen el caso anterior, trabajar en el espacio de funciones continuas: siqueremos definir un operador de punto fijo apropiado -de un modosimilar al que ya vimos, fijando una funcion v en el termino no linealdado por f- necesitamos un espacio funcional en el que los elemen-

tos sean funciones derivables. Un espacio posible es C1([0, 1]), en elque la norma se define como uC1 = max{u, u} o algunaequivalente. Pero para aplicar el teorema de Schauder en este espaciodebemos encontrar una region invariante que sea convexa, cerrada yacotada para esta nueva norma. Esto requiere obtener estimacionespara la derivada: mas precisamente, lo que haremos es encontrar unasolucion del problema en la region

C =

{u

C1([0, 1]) :

u

,

u

R

}para cierto R adecuado.Si tomamos a la demostracion anterior como inspiracion, pode-

mos intentar buscar en primer lugar una solucion de un problematruncado: dado > 0, planteamos

u u = f(t, P(t, u), Q(u)) P(t, u), u(0) = u0, u(1) = u1,en donde P es como antes y

Q(v) =

v si |v| RR si v > RR si v < R

para un cierto valor R > 0 a ser establecido mas adelante. Nueva-mente, como el termino derecho de la ecuacion esta acotado, es facilver empleando el teorema de Schauder -ahora en el espacio C1([0, 1])-que este problema tiene al menos una solucion u. Vamos a mostrarque bajo ciertas hipotesis adicionales sobre f, puede asegurarse como

antes que en realidad u es solucion del problema original.


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El comienzo es exactamente igual que en el caso anterior: si porejemplo la funcion u

alcanza un valor maximo positivo en cierto

t0 (0, 1), entonces P(t0, u(t0)) = (t0). Para aplicar la definicion desupersolucion y terminar la cuenta igual que en el caso previo, hacefalta poder garantizar que Q((u(t0)) = (t0). Pero notemos que t0es punto crtico de u , de modo que u(t0) = (t0). Entoncesnuestra primera restriccion para R sera: R max{, }.De este modo, podemos asegurar que Q en realidad no trunca alvalor u(t0) = (t0), y en consecuencia u .

Pero esto no es suficiente: tambien necesitamos probar que resulta

u

R. Para ello, impondremos a f una condicion que es una

ligera variante de otra, conocida en la literatura como condicion deNagumo [25].

Vamos a pedir que sobre el conjunto

E = {(t,u,v) : t [0, 1], (t) u (t), |v| R} (4.4)

valga:

|f(t,u,v)| (|v|), (4.5)en donde es una funcion apropiada. Veamos que quiere decir apropi-ada en este caso.

Nuestra intencion es probar que la solucion u del problema an-terior verifica que |u(t)| < R para todo t; si esto no ocurriera, ytuvieramos por ejemplo que u(t) R para algun valor de t, entoncesresultara de utilidad saber que para cierta r 0 independendientede u se tiene que r < u(t) < R para t entre ciertos valores t0 < t1,con u(t0) = r y u(t1) = R o viceversa,

Ahora bien, el unico valor que podemos asegurar que la funcionu efectivamente alcanza, es el que proporciona el teorema de valormedio: u(1) u(0) = u() para algun . Entonces basta elegir r =|u(1)u(0)|, e imponer una nueva condicion: que R sea estrictamentemayor que r.

Para terminar de deducir la condicion de Nagumo, observemostambien que si s = u(t) obtenemos:

Rr

ds

(s)= t1

t0

u(t)

(u(t))dt = t1

t0

f(t,u,u)

(u(t))dt .


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Ademas, como ya probamos que u , y para t (t0, t1) valer < u(t) < R, entonces (t,u,u)

E y se cumple:

Rr

ds

(s)t1t0

(u(t))(u(t))

dt = t1 t0 < 1.

Un razonamiento analogo se puede hacer en el caso u(t) R; deesta forma, hemos encontrado una condicion apropiada para f, quese expresa en la siguiente proposicion:

Proposicion (Condicion de Nagumo):

Sean r = |u1 u0| y R > max{, , r}, y supongamosque f cumple la condicion (4.5) sobre el conjunto E definido en (4.4)para cierta tal que R

r

ds

(s) 1.

Entonces toda solucion u del problema

u = f(t,u,Q(u)), u(0) = u0, u(1) = u1

con u verifica: u < R. En particular, u = f(t,u,u).Corolario

Sean una sub y una supersolucion de (4.3), y supongamosque f cumple las hipotesis de la proposicion anterior. Entonces (4.3)tiene al menos una solucion u tal que u y u < R.

Ejemplo

Una situacion tpica en la que la condicion de Nagumo se verifica,

es aquella en la que f es subcuadratica respecto de u. En realidad,basta pedir

|f(t,u,v)| cv2 + d para (t) u (t)

en donde c es una constante suficientemente pequena. En efecto, setiene que

+r

dv

cv2 + d =

1

dc

2 arctanrc

d

> 1


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si c 1, y la condicion se cumple tomando R suficientemente grande.Vale la pena mencionar que la condicion de que c sea pequeno puede

evitarse, si se efectua una acotacion algo mas precisa (ver ejercicio 8,seccion 4.4).

Observacion

En [26], el autor observa que la presencia de un par de super ysubsoluciones ordenadas no es suficiente para garantizar la existenciade una solucion para el problema de Dirichlet. El siguiente ejemploproviene de un comentario mas general, debido a Habets y Pouso [11].

Consideremos el problemau(t)

1 + u(t)2

= u(t) + 2

con condicion de Dirichlet

u(0) = u(T) = 0.

Es claro que = 3 y = 3 son, respectivamente, una sub y unasuper solucion del problema. Sin embargo, para T >

2 no existen

soluciones. En efecto, es facil verificar que una solucion del problemadebe tener energa E constante, donde

E =1

1 + u(t)2+

(u(t) + 2)2

2.

Por la condicion de Dirichlet, en este caso resulta E > 2. Por otrolado, veamos que la solucion no puede estar definida en un intervalode longitud mayor que

2. En efecto, como E es mayor que 1, resulta

que u = 2 a lo largo del intervalo, y luego u > 2. Sea t0 el mnimoabsoluto de u; entonces para t > t0 vale (llamando s = u(t)):

t t0 =tt0

dt =

u(t)u(t0)

E (s + 2)2/21 (E (s + 2)2/2)2 ds.

Tomando w = w(s) = E (s + 2)2/2, resulta 0 < w 1, y(s + 2)2 = 2(E w) 2. Luego

t

t0 = w(u(t0))

w(u(t))

w2(E w)1 w2

dw

1

2 1

0

w

1 w2dw.


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Este ultimo termino vale 12

; de la misma forma, para t < t0 se

obtiene t0

t

12

. En consecuencia, si T > 22

=

2, entonces no

hay soluciones.

Claramente, lo que falla en este ejemplo es que la condicion deNagumo no se cumple. Notemos, en efecto, que la ecuacion equivalea

u(t) = (u(t) + 2)

1 + u(t)23/2

,

de donde se ve que la no-linealidad es cubica en u.

El operador

u(t)1+u(t)2

es bien conocido en la literatura: se

trata del operador de curvatura media, que proviene de la ecuaciongeneral para una hipersuperficie dada por el grafico de una funcionu : Rn R con curvatura media H:

div u1 + u2 = nH.

4.2.2. Otras condiciones de contorno. Un ejemploclasico

En esta seccion presentaremos una aplicacion del metodo de supery subsoluciones a un problema periodico. Es facil comprobar (verejercicio 2, seccion 4.4) que el metodo funciona igual que para el pro-blema de Dirichlet, empleando como antes funciones de truncamiento,o haciendo uso del siguiente principio del maximo asociado a estas

nuevas condiciones (la demostracion queda como ejercicio):


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Proposicion

Sean > 0 y u una funcion periodica que satisface u

u

0

en [0, T]. Entonces u 0 en [0, T]1.Como hemos mencionado, el resultado no vale si = 0 pues, entre

otras cosas, el principio del maximo implica unicidad: si un operadorL cumple el principio del maximo, el problema lineal Lu = tiene alo sumo una solucion.

Vamos a aplicar el metodo de super y subsoluciones para de-mostrar un teorema de existencia de soluciones T-periodicas de laecuacion del pendulo forzado con rozamiento:

u + au + sen u = p(t) (4.6)

Por simplicidad, vamos a suponer que p es una funcion continua,aunque el resultado vale mas en general. Por ejemplo, si p es unelemento de L2(0, T), entonces se obtienen soluciones en el espaciode Sobolev H2(0, T) mencionado en el captulo (2).

Un resultado conocido, que se demuestra por medio de argumentosvariacionales, dice que si a = 0 entonces el problema tiene solucion

cuando p = 0, donde p denota el promedio de p:

p :=1

T

T0

p(t) dt.

Por otra parte, es facil ver que si p es grande, el problema no tienesolucion: integrando la ecuacion, si u es una solucion T-periodicaresulta:

T

0

sen u(t) dt = T

0

p(t) dt,

de donde se concluye que |p| 1.Estas observaciones motivan a escribir al termino forzante p en la

forma p = p0 + c, en donde p0 = 0 y la constante c es el promedio dep; de este modo, el problema que estudiaremos es:

u + au + sen u = p0(t) + c. (4.7)

1En realidad, el resultado tambien vale si en vez de suponer que u es periodica

se pide unicamente que u(0) = u(T), u(0) u(T)


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Empleando el teorema de Schauder y el metodo de super y sub-soluciones probaremos el siguiente teorema:

Teorema [9]Sea p0 una funcion continua tal que p0 = 0. Entonces existen

numeros d(p0) y D(p0), con 1 d(p0) D(p0) 1, tales que (4.7)tiene al menos una solucion T-periodica si y solo si c [d(p0), D(p0)].

Observacion

Este resultado generaliza un resultado probado en [4] por meto-dos variacionales para a = 0. De acuerdo con lo mencionado anterior-

mente, en este caso puede probarse que existen soluciones para c = 0,es decir: d(p0) 0 D(p0). Para el problema con friccion (a = 0)el teorema asegura, en primer lugar, que el conjunto de valores de cpara los cuales hay solucion es no vaco. Para ciertos casos, esto yalo vimos en el ejercicio (5c) del captulo previo; sin embargo, aun sia = 0, hasta el momento no se sabe si existe o no alguna funci onp0 para la cual d(p0) = D(p0). Cuando esto ocurre, se dice que elproblema es singular: se demostro que el conjunto de funciones paralas que vale d(p0) < D(p0) es abierto y denso en L

2(0, T), pero el

problema general permanece irresuelto.En el ejercicio (5d) del captulo previo se ve tambien que, en cier-

tos casos particulares, si el problema es singular entonces las solu-ciones periodicas forman un continuo; esto ha sido probado en formamas general por Ortega y Tarallo. Mas concretamente, en [30] se de-muestra (para a = 0) que los siguientes enunciados son equivalentes:

(i) d(p0) = D(p0).

(ii) Para todo rR existe una unica solucion T-periodica ur para

p = p0 tal que ur(0) = r.

(iii) Existe una curva continua r ur tal quelm

rur(t) =

uniformemente en t.

Aunque el problema general es difcil, es posible dar algunas condi-

ciones concretas sobre p0 que garantizan que el intervalo de valores


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para los cuales hay solucion no se reduce a un punto. Por ejemplo, si

p0

< 1 esto es evidente: en efecto, en tal caso

p0 + c

1 para

c en algun entorno del 0, y tomando = 2 , = 32 resulta:

+ a + sen = 1 p0 + c,

+ a + sen = 1 p0 + c.Luego, el metodo de super y subsoluciones asegura que el problematiene al menos una solucion entre 2 y

32 . Otro ejemplo de condiciones

concretas para que el problema sea no singular se ve mas adelante,en el ejercicio 7, seccion 4.4.

Demostracion del Teorema:Sea I(p0) := {c R : (4.7) tiene alguna solucion T-periodica}.Por el metodo de super y subsoluciones, se ve en primer lugar que

I(p0) es un intervalo: si c1, c2 I(p0) son tales que c1 < c2, tomamosu1 y u2 soluciones respectivas para c1 y c2. Entonces para c [c1, c2]se tiene que

u1 + au1 + sen u1 p0 + c u2 + au2 + sen u2.

En consecuencia, u1 y u2 son respectivamente una super y una sub-solucion del problema. El inconveniente es que nada permite asegurarque u1 y u2 esten ordenadas; sin embargo, por la periodicidad delproblema es claro que podemos reemplazar a u1 por u1 + 2k, endonde k Z es suficientemente grande, de modo que valga u1 u2(esto es posible porque u1 y u2 son continuas).

Empleando el teorema de Schauder, veremos ahora que I(p0) esno vaco y compacto. Para ello, observemos nuevamente que si u

es una solucion T-periodica de (4.7), entonces c tiene que ser igualal promedio de la funcion sen u(t). Esto nos motiva a considerar elsiguiente problema integro-diferencial:

u + au + sen u = p0(t) + c(u),u(0) = u(T) = r

(4.8)

en donde c(u) = 1T

T

0sen u(t) dt. Como la parte no lineal de este

problema es acotada, una aplicacion del teorema de Schauder analoga

a la empleada para el problema (3.2) con f sublineal, nos dice que


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para todo r R existe al menos una solucion u de (4.8). Integrando,se ve que u satisface:T

0

(u + au + sen u) dt =T0

c(u) dt.

Por definicion de c(u) y por ser u(T) = u(0), se deduce que

u(T) u(0) =T0

u(t) dt = 0;

vale decir: u es T-periodica.

Luego, podemos pensar directamente:

I(p0) = {c(u) : u es solucion de (4.8) para algun r},de donde se prueba que I(p0) es no vaco

2. Mas aun, si u es solucionde (4.8) para algun r, entonces u + 2 es solucion para r + 2, y valec(u) = c(u + 2). De esta forma,

I(p0) = {c(u) : u es solucion de (4.8) para algun r [0, 2]}.Para ver la compacidad, supongamos que un es solucion de (4.8) paraalgun rn [0, 2]. Por medio de estimaciones a priori similares lasque ya vimos (cf. con el ejercicio (2a) del captulo previo), existe unaconstante C tal que

un rn Cun + aunL2 ,

un Cun + aunL2 .

Pero la sucesion {un + aun} esta claramente acotada; en consecuen-cia, el teorema de Arzela-Ascoli dice que existe una subsucesion {unj}que converge uniformemente a cierta funcion u. Es claro, ademas, quec(unj ) c(u). Por otra parte, tambien la sucesion {unj} esta aco-tada para la norma infinito, y nuevamente el teorema de Arzela-Ascoli nos dice que existe una subsucesion {unjk} tal que {unjk } con-verge uniformemente a cierta funcion continua v. Escribiendo un(t) =

2En particular, si I(p0) = {c0} para cierto c0, se obtiene un continuo de

soluciones periodicas para p = p0 + c0.

7/28/2019 Mt

métodos topológicos

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