metrologia ii - utfpr

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁCAMPUS PONTA GROSSA

METROLOGIA II

Professor: Me. Eng. PAULO ROBERTO CAMPOS ALCOVER JUNIOR

Curso de Tecnologia em Fabricação Mecânica – 2° Período


Fabricação Mecânica – Metrologia II

Sumário

Distribuição T-Student

Distribuição Amostral

Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Sumário

2

segunda-feira, 26 de novembro de 2018, 09:52

Distribuição T-Student;

Distribuição Amostral da Média e da Variância;

Distribuição T - Exemplo;

Análise;

Referências.

Graus de Liberdade;

Exemplos;



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


3


Intervalo de Confiança (n>30):

Intervalo de Confiança (Estimativa Intervalar) para a MédiaPopulacional µ ( com base em grandes amostras: n > 30);

Onde:

Os valores e são chamados de limites do intervalo deconfiança.

EX EX



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


4


Distribuição T-Student:

Margem de Erro ao se estimar μ quando se aplica umadistribuição t:

Onde tem n – 1 graus de liberdade;2/t

Intervalo: EXEX



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


5


Intervalo de Confiança (n ≤ 30):

Intervalo de Confiança para a Estimativa de µ ( com base em umaAmostra Pequena(n ≤ 30) e o σ desconhecido.

Onde:



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


6





Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


7



A distribuição T de Studenté uma distribuição deprobabilidade estatística,publicada por um autor quese chamou de Student,pseudônimo de WilliamSealy Gosset, que não podiausar seu nome verdadeiropara publicar trabalhosenquanto trabalhasse paraa cervejaria Guinness.



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


8



Padronizar variável aleatória normal requer que o μ e σ sejamconhecidos.

Na prática, porém, não podemos calcular z = (x -μ) / σ porque σ édesconhecido. Em vez disso, substituímos σ por s e calculamos aestatística t.

s

xt



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


9


Distribuição Amostral da Média e da Variância:

Se as discrepâncias nas observações sobre a média são aleatórias eindependentes, então a distribuição amostral da média tem μ evariância, σ²/n;

n

Onde σ²/n é a variância da média;

Sua raiz quadrada é chamada o erro padrão da média:

A estimativa do erro (desvio) padrão da média é:

n

ss



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências


10


Distribuição t:

Normalmente, a variância da população, σ² não é conhecida e nãopodemos usar a distribuição normal como a distribuição de referênciapara a média da amostra;

ns

Xt

/

Portanto, se utiliza a distribuição t;

Se a distribuição de referência é normal e a variância da população éestimada por s²:

Que é conhecido como a média padronizada ou como a estatística t,terá à distribuição com ν = n -1 graus de liberdade.



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Distr. T - Exemplo

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Distribuição t - Exemplo:

Para os dados de nitrato, a média da amostra de concentração éigual a 7,51 mg/L e encontra-se a uma distância considerável abaixodo verdadeiro valor de referência 8,00 mg/L;

ns

Xt

/

Se a verdadeira média da amostra é de 8,0 mg/L e o laboratório estámedindo precisamente, um valor tão baixo quanto 7,51 que ocorrempor acaso apenas quatro vezes em 100;

Sabe-se que o desvio padrão é 1,38 e 27 amostras. Qual será o valorde T?

“Qual a probabilidade de se obter uma amostra com média = 7,51mg/L a partir da análise das 27 amostras?"

27/38,1

851,7 t 842,1t



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Distr. T - Exemplo

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Distribuição t - Exemplo:

Grau de liberdade ν = n - 1

Como são 27 amostras, temos: v=27-1=26 graus de liberdade



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Análise

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Análise:

Se este resultado é altamente improvável, pode ser que a amostranão representa a população, provavelmente porque o processo demedição foi tendencioso para produzir concentrações abaixo do valorreal;

Poderíamos decidir que o resultado, embora improvável, deve seraceito como ocorrido devido ao acaso e não devido à uma causaatribuível (como viés nas medições);

Inferência estatística envolve fazer uma avaliação a partir de dadosexperimentais sobre um parâmetro desconhecido da população (porexemplo, uma média ou variância).



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Análise

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Análise:

A distribuição de referência é necessária, a fim de escolher se oresultado é facilmente explicada por mero acaso ou se é variaçãoexcepcional;

A distribuição t é uma relevante referência que representa oconjunto de resultados que poderiam ocorrer por acaso;

Um resultado que cai sobre a cauda da distribuição pode serconsiderado excepcional.



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Análise

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Análise:

A distribuição t é similar adistribuição Z, em que ambos sãosimétricas na média zero;

Ambas as distribuições são emforma de sino, mas a distribuiçãot é mais variável em virtude dosvalores - t dependerem dasflutuações de duas quantidades,e s², considerando que os valoresde Z dependem apenas dasmudanças de de amostra paraamostra.

XDistribuição t para curvas

v=2, v=5 e v=∞.

A distribuição t de Student tem a mesma forma geral simétrica emsino que a distribuição normal padrão, mas reflete a maior variabilidade(com distribuições maiores) que se espera com pequenas amostras.



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Análise

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Análise:

É importante ainda identificar os outliers (dados que apresentamvalores discrepantes), ou seja valores que estão muito distantes dacurva, um valor extremo;

Nem todos são provenientes de erros, porém podem afetarbruscamente os dados a serem analisados;

Pode ter efeito dramático sobre a média e o desvio padrão;

Devem ser desprezados.



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Graus de Liberdade

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Graus de Liberdade:

O número de Graus de Liberdade para uma coleção de dadosamostrais é o número de valores que podem variar depois que certasrestrições tiverem sido impostas aos dados amostrais;

Se 10 estudantes têm escores de testes com uma média de 80,podemos livremente atribuir valores aos 9 primeiros escores, e o 10°estará então determinado;

A soma dos 10 escores deve ser 800, de modo que o 10° escore deveser 800 menos a soma dos 9 primeiros. Como esses 9 podem tervalores escolhidos livremente, dizemos que há 9 graus de liverdadedisponíveis;

Portanto:

1 n



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Graus de Liberdade

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Graus de Liberdade:

A distribuição de T diferente daquela de Z na variação de T dependedo tamanho da amostra n e é sempre maior do que 1;

Somente quando o tamanho da amostra n→∞ as duas distribuiçõesse tornam iguais;

A porcentagem da distribuição t é dada por Tabelas.

Propriedades:

As condições em que t = (x -μ)/s tem a distribuição com graus deliberdade ν são:

1) X é normalmente distribuído sobre μ com variância σ²;

2) s é distribuído independentemente da média, isto é, a variância daamostra não aumenta ou diminui à medida que aumenta ou diminui asmédias;

3) A s² que tem ν graus de liberdade, é calculada a partir deobservações normalmente distribuídos e têm variânciaindependentemente de σ².



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Exercícios

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Exercícios:

Ex: 01: O valor de t assumido para v = 14 graus de liberdade que deixauma área de 0,025 para a esquerda, e, portanto, uma área de 0.975para a direita, é:



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Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

Referências

Exercícios

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Exercícios:

Ex: 02: Com um teste destrutivo, suponha que tenhamos feito o teste

de colisão em 12 carros (preço de venda: R$59.300). A análise de 12

carros danificados resulta em custos de conserto que parecem ter

distribuição em forma de sino com média amostral de R$26.227,69 e

desvio padrão s de R$ 15.873,21.

Determine:

a) A estimativa intervalar para 95% de confiança;

b) A estimativa intervalar para 90% de confiança.



Sumário



Distr. T - Exemplo

Análise

Graus de Liberdade

Exercícios

ReferênciasReferências

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NOVASKI, Olívio. Introdução à engenharia de fabricaçãomecânica. São Paulo: E. Blücher, 1994. 119 p.: ISBN 85-212-0162-1

GONZÁLEZ GONZÁLEZ, Carlos; ZELENY VÁZQUEZ, José Ramón.Metrología. 2. ed. México: McGraw-Hill, 1998. 446 p. ISBN 970-10-2076-6

ZELENY VÁZQUEZ, José Ramón; GONZÁLEZ GONZÁLEZ, Carlos.Metrología dimensional. México: Mcgraw-Hill InteramericanaEditores S/A, 1999. 510 p. ISBN 970-10-2387-0

LINK, Walter. Metrologia mecânica: expressão da incerteza demedição. 2. ed. Rio de Janeiro: [s. n.], 1999. 174 p.

LIRA, Francisco Adval de. Metrologia na indústria. São Paulo:Érica, 2001. 246 p. ISBN 857194783X

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