mfs 的雙層勢能問題

MFS雙層勢能問題MFS雙層勢能問題 11

MFS MFS 的雙層勢能問題的雙層勢能問題

河工系河工系碩一碩一 AA

許哲瑋許哲瑋M95520079M95520079

22 MFS雙層勢能問題MFS雙層勢能問題

大綱大綱前言前言數值方法概述數值方法概述method of fundamental solutions (MFS)method of fundamental solutions (MFS)

算例算例結論結論參考文獻參考文獻


前言前言在一般實際的工程問題中，其定義域的幾何形狀較為複雜，在一般實際的工程問題中，其定義域的幾何形狀較為複雜，

解析解通常較不易求得，因此必須藉由數值方法來求解，解析解通常較不易求得，因此必須藉由數值方法來求解，而比較常用的數值方法則有以下三種：而比較常用的數值方法則有以下三種：

有限元素法有限元素法 (FEM)(FEM)

邊界元素法邊界元素法 (BEM)(BEM)

有限差分法有限差分法 (FDM)(FDM)


數值方法概述數值方法概述邊界元素法邊界元素法

邊界元素法是以基本解和勢能理論邊界元素法是以基本解和勢能理論為基礎，並配合相關的奇異積分或為基礎，並配合相關的奇異積分或超奇異積分，去對邊界做離散而得超奇異積分，去對邊界做離散而得到聯立方程式，進而求解。到聯立方程式，進而求解。

而邊界元素法，又可概分為而邊界元素法，又可概分為直接法直接法與與間接法間接法等兩類主軸。等兩類主軸。

U( s, x) T( s ,x)

L( s ,x) M( s ,x)


Method of Fundamental Solutions (MFS)Method of Fundamental Solutions (MFS)

MFSMFS 介紹介紹MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 單極單極 ))

MFSMFS 雙層勢能問題雙層勢能問題 (( 單極單極 ))

MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 偶極偶極 ))

MFSMFS 雙層勢能問題雙層勢能問題 (( 偶極偶極 ))

混合方法混合方法



基本解法基本解法 (MFS)(MFS) 介紹介紹

基本解法基本解法 (MFS)(MFS) 是以積分化黎曼和的觀念，以離散及疊加的技巧去處是以積分化黎曼和的觀念，以離散及疊加的技巧去處理邊界値問題的一種方法，而其近似解可由符合理邊界値問題的一種方法，而其近似解可由符合 PDEPDE 問題的基底，問題的基底，以線性組合來表示以線性組合來表示 (( 例如例如 cos t + sin t) cos t + sin t) 。而其通常被歸類為是邊界方。而其通常被歸類為是邊界方法的一種。法的一種。



MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 單極單極 )) 勢能函數勢能函數 u u 在場點若具有齊性等向性則滿足在場點若具有齊性等向性則滿足 Laplace eLaplace e

quation quation

其式子為：其式子為：

Xj



MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 單極單極 )) 任意一源點對場內ㄧ點所造成的勢位場，可由二維的任意一源點對場內ㄧ點所造成的勢位場，可由二維的

勢能問題基本解表示式來表示：勢能問題基本解表示式來表示：

其中為源點和場點間的距離其中為源點和場點間的距離

uXj, i 12

lnrXj, iXjrXj, i



MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 單極單極 ))

而對所有在場內源點勢能加總的表示式可表示為而對所有在場內源點勢能加總的表示式可表示為：：

其中為在點感受到的強度，為一虛擬的單層密其中為在點感受到的強度，為一虛擬的單層密度函數。度函數。

uXji1

nuXj, iii



MFSMFS 雙層勢能問題雙層勢能問題 (( 單極單極 ))若為過的通量，其勢流場核函數若為過的通量，其勢流場核函數



MFSMFS 雙層勢能問題雙層勢能問題 (( 單極單極 ))

其系統方程矩陣可表示為：其系統方程矩陣可表示為：



MFSMFS 勢能問題勢能問題 (( 偶極偶極 ))

基本上與單極勢能問題並無太基本上與單極勢能問題並無太大出入，主要的差異在於偶極大出入，主要的差異在於偶極勢能問題是在領域外用勢能問題是在領域外用兩個極兩個極點點去處理問題。並也可進而推去處理問題。並也可進而推廣到多個極點。廣到多個極點。



MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 偶極偶極 ))根據單極的勢能公式，根據單極的勢能公式，單層勢能單層勢能 (( 偶極偶極 )) 的公式可改寫成的公式可改寫成

令令

令令 hh 趨近趨近 00 取極限且取極限且

可得可得

uXji1

nuXj, i.ii1

nuXj, i'.i'

i i'

i1

nuXj, i uXj, i'

h

hihi i



MFSMFS 單層勢能問題單層勢能問題 (( 偶極偶極 ))

又又

代入整理可得代入整理可得

其中其中



MFSMFS 雙層勢能問題雙層勢能問題 (( 偶極偶極 )) 其勢流場的表示式為其勢流場的表示式為

當當



MFSMFS 雙層勢能問題雙層勢能問題 (( 偶極偶極 ))以系統矩陣形式表達為以系統矩陣形式表達為

其中其中



混合方法混合方法混合的方法可用不同的邊混合的方法可用不同的邊

界點排列得到，其系統方界點排列得到，其系統方程與上述相同。其源點可程與上述相同。其源點可沿著放大區域的邊界任意沿著放大區域的邊界任意安置。安置。

根據經驗，為了得到較好根據經驗，為了得到較好的效果的效果，，放大區域的比例放大區域的比例大約介於大約介於 1.5~10001.5~1000 之間之間。。


算例算例一塊方形區域，其邊界位移條件一塊方形區域，其邊界位移條件 (Dirichlet conditions)(Dirichlet conditions) 給給定如圖所示：定如圖所示：


算例算例 (( 續續 ))

通常在其放大區域的倍率介於通常在其放大區域的倍率介於 22到到 10001000 之間的表面，使用一些之間的表面，使用一些組合去佈組合去佈 4~404~40 個邊界點。在這個邊界點。在這裡分裡分 1212 個邊界點及個邊界點及 2424 個邊界個邊界點點，，在放大倍率在放大倍率 55 的區域表面的區域表面上去討論。上去討論。

而由圖形可觀察其平均誤差值而由圖形可觀察其平均誤差值之比較。之比較。


算例算例 (( 續續 ))

而在使用雙極點，或是雙而在使用雙極點，或是雙極點與單極點組合的方法極點與單極點組合的方法下，也可發現振盪的強度下，也可發現振盪的強度很有效的減少。很有效的減少。


結論結論此方法在驗證後可得到以下結論：此方法在驗證後可得到以下結論：

用用 (D)(D) 或或 (MDD)(MDD) 或或 (MDS)(MDS) 的極點排列方法，可以發現其誤差值較小，的極點排列方法，可以發現其誤差值較小，比用比用 (M) (M) 好。好。用用 (D)(MDD)(D)(MDD) 或或 (MDS)(MDS) 的方法，可以減少源點振盪的強度。的方法，可以減少源點振盪的強度。用用 (D)(MDD)(D)(MDD) 或或 (MDS)(MDS) 可以減少在圖形上源點安置的數目，因此特別可以減少在圖形上源點安置的數目，因此特別在一個狹小圖形卻需要安置大量源點時，可用此降低源點數。在一個狹小圖形卻需要安置大量源點時，可用此降低源點數。


參考文獻參考文獻Dipoles formulation for the method of fundamental solutions~applied to potential problems~George S.A. Fam Youssef F. Rashed~The British University in Egypt (BUE), P.O. Box 43, El-Sherouk City 11837, EgyptTHE METHOD OF FUNDAMENTAL SOLUTIONS: A WEIGHTED LEAST{SQUARES APPROACH~YIORGOS{SOKRATIS SMYRLIShttp://www2.nsysu.edu.tw/csmlab/fem/project/ansysprj.htmhttp://www2.nsysu.edu.tw/csmlab/fem/project/ansysprj.htm

邊界元素法邊界元素法 ~~ 陳正宗陳正宗、、洪宏基教授洪宏基教授

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報告結束報告結束謝謝各位謝謝各位

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