遞迴關係－雪花曲線

次數段數

每段長度

全長

0 1 1 1

1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1

2 42 (1/3) 2 4 2 × (1/3) 2

3 43 (1/3) 3 4 3 × (1/3) 3

4 44 (1/3) 4 4 4 × (1/3) 4

5 45 (1/3) 5 4 5 × (1/3) 5

�

n 4n (1/3) n 4 n × (1/3) n

von Koch Curve

第 0 迴

次數段數

每段長度

全長

0 1 1 1

1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1

2 42 (1/3) 2 4 2 × (1/3) 2

3 43 (1/3) 3 4 3 × (1/3) 3

4 44 (1/3) 4 4 4 × (1/3) 4

5 45 (1/3) 5 4 5 × (1/3) 5

�

n 4n (1/3) n 4 n × (1/3) n

von Koch Curve

第 1 迴

次數段數

每段長度

全長

0 1 1 1

1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1

2 42 (1/3) 2 4 2 × (1/3) 2

3 43 (1/3) 3 4 3 × (1/3) 3

4 44 (1/3) 4 4 4 × (1/3) 4

5 45 (1/3) 5 4 5 × (1/3) 5

�

n 4n (1/3) n 4 n × (1/3) n

von Koch Curve

第 2 迴

次數段數

每段長度

全長

0 1 1 1

1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1

2 42 (1/3) 2 4 2 × (1/3) 2

3 43 (1/3) 3 4 3 × (1/3) 3

4 44 (1/3) 4 4 4 × (1/3) 4

5 45 (1/3) 5 4 5 × (1/3) 5

�

n 4n (1/3) n 4 n × (1/3) n

von Koch Curve

第 3 迴

次數段數

每段長度

全長

0 1 1 1

1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1

2 42 (1/3) 2 4 2 × (1/3) 2

3 43 (1/3) 3 4 3 × (1/3) 3

4 44 (1/3) 4 4 4 × (1/3) 4

5 45 (1/3) 5 4 5 × (1/3) 5

�

n 4n (1/3) n 4 n × (1/3) n

von Koch Curve

第 4 迴

次數段數

每段長度

全長

0 1 1 1

1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1

2 42 (1/3) 2 4 2 × (1/3) 2

3 43 (1/3) 3 4 3 × (1/3) 3

4 44 (1/3) 4 4 4 × (1/3) 4

5 45 (1/3) 5 4 5 × (1/3) 5

�

n 4n (1/3) n 4 n × (1/3) n

von Koch Curve

第 5 迴

Snow Flake

次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-

1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆第 0 迴

Snow Flake

次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆第 1 迴

Snow Flake

次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆

第 2 迴

Snow Flake

次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆

第 3 迴

Snow Flake

次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆

第 4 迴

Snow Flake

第 4 迴

Snow Flake

第 4 迴

Snow Flake次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆

第 0 迴

Snow Flake次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆

第 1 迴

Snow Flake次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆

第 2 迴

Snow Flake次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆

第 3 迴

Snow Flake次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆

第 4 迴

Snow Flake次數段數

增加面數

每面面積

增加面積

0 3 1 1 ∆ ∆

1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆

2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆

3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆

4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆

5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆

�

n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆

第 4 迴

問題 民國84年大學聯考

將邊長為1的等邊三角形之三邊分別三等分，取中間段為一邊向外側做正三角形，並且將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等分，取中間段為一邊向外做正三角形，再將中間這段擦去。仿此程序繼續做下去，得一系列的碎形。求(1)第6次之碎形的周長。(2)第n次碎形的周長。

問題

設第n次碎形的周長為an，則

a2 ＝4＝ 3×(4/3)

a3 ＝16/3＝ 3×(4/3)2

a4 ＝64/9＝ 3×(4/3)3

a5 ＝256/27＝ 3×(4/3)4

an之遞迴關係式

a1 ＝3

民國84年大學聯考

將邊長為1的等邊三角形之三邊分別三等分，取中間段為一邊向外側做正三角形，並且將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等分，取中間段為一邊向外做正三角形，再將中間這段擦去。仿此程序繼續做下去，得一系列的碎形。求(1)第6次之碎形的周長。(2)第n次碎形的周長。

a6 ＝1024/81＝ 3×(4/3)5

第n+1個碎形的周長 =

第n個碎形的周長去掉每一邊的中間段，再增加中間段的 2倍。

an

= an－1−(1/3)a

n －1+(2/3)an －1=(4/3)a

n －1

an之一般式

an

= 3×(4/3)n－1

a1 ＝3