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演示教師:陳炯輝老師

與H213全班同學

三等分角問題三等分角問題三等分角問題三等分角問題

三等分角問題（trisection of an angle）是二千四百年前，古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一，即 用圓規與直尺把一任意角三等分。問題的難處在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺 （沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。這問題曾吸引著許多人去研究，但都無一成功。１８３７年凡齊爾（ １８１４－１８４８）運用代數方法證明了，這是一個尺規作圖的不可能問題。

• 希臘人會試著去三等分任意角，可能是角的平分之後的延伸。許多希臘數學家在這個問題上，發明了許多的「程序」去三等分一個角，其中包括阿基米德 (Archimedes,

287-212 B.C)及尼可門笛斯 (Nicomedes,

約240 B.C)。

•在研究「三等分角」的過程中發現了如蚌線、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。人們還發現，只要放棄「尺 規作圖」的戒律，三等分角並不是一個很難的問題。古希臘數學家阿基米德（前２８７－前２１２）發現只要 在直尺上固定一點，問題就可解決了。

阿基米德在他的《引理集》(Book of Lemmas)的命題8寫道：如果AB是以O為圓心上的任意弦，AB延長到C，使得BC等於圓的半徑；如果CO交圓於D並延長到交圓於第二點E，則弧AE等於3倍的弧BD。

• 證明：作弦EF平行AB，連接OB，OF

• 因為角OEF＝角OFE，

所以，角COF＝2角OEF＝2角BCO（由平行）＝

2角BOD（因為BC＝BO）

• 所以，，弧BF是弧BD的3

倍。而弧AE等於弧BF，所以，弧AE是弧BD的3倍。

問題是~~~????

若AE為給定的弧，延長CO時不見得會交於E

點，所以，我們無法用尺規作圖解決。

• 現簡介其法如下：在直尺邊緣上添加一點Ｐ，命尺端為Ｏ。

• 設所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ為圓心，ＯＰ為半

徑作半圓交角邊於Ａ，Ｂ；使Ｏ點在ＣＡ延線上移動，

• Ｐ點在圓周上移動，當尺通過Ｂ時，聯ＯＰＢ（見圖）。

• 由於ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣＢ／３。

• 這裡使用的工具已不限於尺規，而且作圖方法也與公設不合。

三等分任一角的另一解決途徑，為尼可門笛斯的方法

• 如圖，角AOB為給定之角，

• (1)過B作AO的垂線交AO於C，

• (2)作直線BD平行AO。

• (3)在直線BD上找一點Q，連OQ，並交BC於P，使得PQ

＝2OB，則

• 3角AOQ=角AOB