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MIDAS Technical Leader’s Group

케이블 교량의 해석과 설계

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3.현수교의 처짐이론

1)처짐이론의 기본식

현수교는 케이블, 케이블 정착부, 주탑 및 보강형으로 구성된다. 보강형은 바닥판을 지지하고 현수교에 강성을 주어 과도한

변위가 발생하지 않도록 하는 기능을 갖고 있다. 현수교에 활하중이 재하되거나 온도변화가 발생하면 케이블에는 변형이

발생한다. 즉 보강형에 활하중이 재하되면 이 활하중은 행거를 통하여 케이블에 전달되고, 그 결과 케이블은 늘어난다. 이 때

주탑에는 수평방향 변위가 발생하고 보강형에는 연직방향 처짐이 발생하며 이 결과 새로운 힘의 평형상태가 형성된다. 이

새로운 힘의 평형상태에서 케이블은 활하중 재하 전과는 상이한 형상을 형성하게 되므로 구조 해석 역시 새로운 케이블의

형상을 바탕으로 수행하여야 한다. 장경간 현수교에서는 변위가 비교적 크게 발생하기 때문에 응력에 미치는 변위의 영향을

무시하는 것은 합리적이지 않다.

일반적인 교량 구조물에서 하중에 의한 변형의 영향은 매우 작기 때문에 힘의 평형은 변형 전 형상에 대하여 고려하여

구조해석을 수행한다. 이러한 가정은 소위 미소변위이론의 기본 가정으로서 일반적인 구조물에 대해서는 적절하지만 장경간

현수교에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

현수교 변형의 주요한 원인은 앞에서 설명한 바와 같이 케이블의 신장, 보강형의 처짐 및 이 보강형의 처짐에 따른 케이블의

형상 변화이다. 현수교의 변형은 보강형 자체의 처짐 강성만이 아니고 사하중의 함수이기 때문에 현수교의 강성에 사하중이

영향을 미치는 것을 잊어서는 않된다. 소위 선형이론과 달리 여기서 설명하는 처짐이론은 사하중의 영향과 현수교 형상 변화의

영향을 함께 고려한다.

a) 기본 미분 방정식

사하중 만이 작용하는 상태에서는 현수교의 보강형에는 단면력이 작용하지 않는다고 가정한다. 활하중 p(x)에 의해 발생하는

행거의 신축을 무시하면, 현수교 보강형의 처짐은 케이블의 처짐 η 와 동일하게 된다. 현수교 보강형의 휨강성 EI 가 일정하다고

가정하면 활하중 p(x)가 작용하는 현수교 보강형의 기본 미분 방정식은 다음과 같다.

여기서 Hw와 Hp는 각각 사하중 및 활하중에 의하여 발생하는 케이블 장력의 수평성분이며 y는 그림 3.1에서와 같이 현수교

케이블의 종거를 의미하며 중앙경간의 경우 케이블의 상단에서 부터 아래로 측정한다.

그림 3.1

현수교 보강형을 단순보로 가정하였을 때, 재하된 하중에 의하여 발생하는 모멘트를M이라고 하고, 이 때 케이블의 종거를 y,

케이블 장력의 수평 성분을Hp라고 하면, 보강형의 휨 모멘트를 다음과 같이 표현할 수 있다.

M = M - Hpy

식(3.1)

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사하중 만에 의한 단순보로서의 모멘트를 Mw라고 하면 단순보 모멘트 (Mw+M)에 대한 케이블 장력의 수평성분은 (Hw+Hp),

케이블 종거는 (y+ η)로 되며 이 때 보강형의 휨 모멘트는 다음과 같이 표현된다.

M = (Mw+M) - (Hw+Hp)(y+ η)

여기서 Mw - Hwy = 0 이므로

식(3.2)에서 알 수 있는 바와 같이 현수교 보강형의 휨모멘트 M은 하중 p뿐만이 아니라 케이블 사하중 장력의 수평성분Hw에도

종속된다.

b) 케이블 방정식

기본 미분 방정식 (3.1)에는 두개의 미지수η와 Hp가 포함되어 있으므로 이 방정식의 해를 구하려면 이 두개의 미지수 사이의

관계를 정의하는 또 하나의 방정식이 필요하다. 이 추가 방정식은 케이블 변형 전후에 있어서 정착점 사이의 수평거리는

일정하다는 조건에서 유도되는데 측경간이 있는 일반적인 현수교에서는 다음과 같은 식으로 표현된다.

식(8.18)에서 ∑는 각 경간에 대한 합을 의미하며 LE 및 LT는 다음과 같이 정의된다.

식(3.4)에서 C와 C’는 현수교 케이블의 양 정착점, 즉 앵커리지를 의미하며 φ는 케이블의 기울기를 의미한다.

2) 처짐이론의 해

처짐이론에 의한 현수교의 해석은 결국 식(3.1) 및 식(3.3)을 연립하여 해를 구하는 것에 귀착되며 이렇게 구한 현수교 보강형의

처짐은 다음과 같다1.

여기서 M0는 해당 위치에서 보강형을 단순보로 가정한 경우의 휨 모멘트, y는 케이블의 종거이며c는 다음과 같이 정의된다.

1 D.B. Steinman, A Generalized Deflection Theory for Suspension Bridges, ASCE, March 1934.

식(3.2)

식(3.3)

식(3.4)

식(3.6)

식(3.7)

식(3.5)



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C1, C2는 적분 상수로서, 예를 들어 현수교의 중앙경간에 등분포 활하중 p가 만재된 경우를 고려하면 x=0, x=l에서 처짐 η=0

및 케이블 연직 종거 y=0, 보강형 모멘트M0=0 인 조건으로 부터 구할 수 있다.

a) 휨 모멘트, 전단력 및 처짐의 일반식

식(3.5)의 처짐 η를 미분하면 x점의 휨 모멘트 Mx를 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 이 위치에서의 전단력은

보강형이 실제로 부담하는 활하중의 다음과 같으며, 활하중의 크기는 일정하여도 행거의 영향으로 보강형의 위치에 따라서

일정하지 않다.

b) 케이블 장력

식(3.5)~식(3.10)으로 보강형의 단면력 및 처짐을 구하려면 우선 활하중에 의한 케이블 장력의 수평성분Hp를 구하여야 한다.

Hp는 각각의 하중 상태에 대하여, 식(7)을 식(3.3)대입하여 다음과 같이 정리할 수 있다.

식(3.11)로 Hp를 구하려면 c가 필요한데, 이 c가 다시 Hp의 함수이기 때문에Hp는 반복 계산으로 구하여야 한다.

c) 적분상수 및 기타

적분 상수 C1, C2의 일반식은 중앙경간 및 측경간 각각에 대하여 다음과 같다.

식(3.8)

식(3.9)

식(3.10)

식(3.11)

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설계 시에 일반적으로 필요한 대표적인 하중 상태에 대한 적분 상수C1, C2 및 기타 공식을 정리하면

다음과 같다. 이들 총 10가지의 하중 상태를 적절히 조합하면, 설계 시에 필요한 모든 하중 경우를 고려할 수 있다.



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3) 예제

중앙경간 808m급의 3경간 2힌지 현수교를 예로 들어서 처짐이론으로 최대 케이블 장력 및 보강형의 단면력, 처짐을 구하는

방법을 예시한다.

a) 기본 제원

그림 3.12 예제 현수교의 기본 제원



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종단구배

측경간 2% 직선 구배

중앙경간 1% 포물선 구배

보강형

I(중앙경간) = 1.65 m4/면

I(측경간) = 1.30 m4/면

탄성계수 E = 21ⅹ106 t/m2

케이블

단면적 Ac = 0.305 m2/면

케이블 탄성계수 Ec = 20ⅹ106 t/m2

열팽창계수 w = 12ⅹ10-6

앵커리지 케이블 경사각 sec α = √2

사하중

중앙경간 w = 11.99 t/m/면

측경간 w1 = 11.99 t/m/면

활하중

p = 2.4 t/m/면

온도변화의 영향

±30℃

b) 케이블 선형

현수교의 케이블 선형은 설계자가 임의로 결정하는 것이 아니고, 기본 제원으로 부터 자동적으로 결정된다. 여기서는 행거의

신축을 무시하고 행거가 일종의 강체 막과 같이 케이블과 보강형 사이에 존재하여 케이블의 연직 처짐과 보강형의 연직 처짐이

동일하다고 하는 가정을 적용하는 경우에 대하여 설명한다. 이 경우에는 케이블 자중에 비하여 보강형의 자중의 크기 때문에,

케이블을 포물선 형상으로 고려할 수 있다.

후술하는 변위법에서는 행거 하나 하나의 거동을 고려하게 되므로 케이블을 각 행거 위치에서 꺽여지는 절선들의 집합이라고

고려하여 해석하는 것이 합리적이다.

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그림3.13 케이블 선형

우선 보강형의 EL은 도로 선형에서 주어지는데 측경간은 2%의 직선구배, 중앙경간은 2%의 포물선 구배가 일반적이나 본

예제에서 중앙경간에서 1%의 포물선 구배를 가정하였다. f’는 주 케이블 래핑에 필요한 최소 공간으로서 1m~2m가 일반적이나

본 예제에서는 1.35m로 가정하였다.

f는 케이블의 새그로서 일반적으로 새그비가 f/L=1/8~1/12 범위에 있게 되는데 기본설계 단계에서 경제성을 고려하여 결정하게

된다. 새그비가 증가할수록 케이블의 장력은 감소하여 구조물이 유연하게 되고, 새그비가 감소할 수록 케이블의 장력이

증가하여 구조물의 강성이 증가하게 된다. 주경간의 새그 f가 결정되면 측경간의 새그 f1은 하중과 지간의 비로부터 자동

결정된다.

이렇게 도로의 선형이 주어지고 f’ 및 f가 결정되면 주탑에서의 케이블 경사각 φ가 결정되고, 따라서 중앙경간 측

엔드링크에서의 케이블 높이 h0가 결정된다. 중앙경간에서는 경간 중앙에서 기울기가 0이기 때문에, f와 L로 포물선이 완전히

결정되므로 주탑 부근에서의 케이블의 기울기 tanφ를 구할 수 있고 다시 a=b tanφ 로 부터 주탑의 이론 높이가 결정된다.

측경간 단부 링크 위치에서도 주형과 케이블 사이의 간격을 f’로 유지하여야 하는데 이는 측경간 케이블의 포물선 구간의 높이

h1을 가정하여 반복 계산하게 된다. 이러한 반복 계산으로 h1이 결정되면 h1, L1 및 측경간 새그 f1으로 부터 측경간 포물선이

완전히 결정되므로 측경간 좌우측에서의 케이블 경사각 φ1, φ2 및 포물선 자체의 기울기 α1을 결정할 수 있다. 앵커스판

케이블의 기울기 α는 보통 설계자가 결정하게 된다.



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예제에 대한 상세한 선형 결정 방법은 다음과 같다.

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표3.1 LT 및 LE(LS) 계산

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