mikroekonomska analiza

Mikroekonomska analiza

Doktorski studij: Generacija 2009

Ekonomski fakultet Zagreb

Uvod

I. Što je ekonomija?

II. Kako funkcionira tržišni

mehanizam?

III. Koji su učinci promjena u tržišnoj

ravnoteži?

I. Što je ekonomija? Društvena znanost Predmet: proučavanje ljudskog

ponašanja kao odnosa između ciljeva i ograničenih sredstava koja imaju alternativne upotrebe

Konceptualni okvir: teorija izbora Glavni postulat: individualni izbori ili

odluke karakteriziraju ponašanje pojedinca

Što je ekonomija? Rijetkost – drugi postulat teorije

izbora Izbori (odluke) posljedice su

rijetkosti dobara i usluga Bez rijetkosti društvena znanost bi

izgledala drugačije

Što je ekonomija? Rijetkost ovisi o postulatima o

individualnim preferencijama (“više je bolje”)

Bez toga dobra koja su raspoloživa u ograničenim količinama ne bi nužno bila i rijetka

Što je ekonomija? Determinante izbora na kojima se

zasniva neoklasična (marginalistička) paradigma interakcija između ukusa ili preferencija i prilika ili ograničenja

Što je ekonomija? Obje skupine variraju između

pojedinaca i u vremenu Izazov: kako uspostaviti temelje

sistematičnoj analizi izbora u takvim uvjetima

Odgovor na ovo pitanje uglavnom definira polje ekonomije

Što je ekonomija? Ekonomija kao metoda za razumijevanje

ljudskog ponašanja Principi:

Individualni sudionici imaju preferencije oko alokacija resursa

Okruženje stavlja ograničenja na izbore Sudionici su u svojim izborima konzistentni Opažene promjene u ponašanju posljedice

su promjena u ograničenjima

Što je ekonomija? Razumijevanje ljudskog ponašanja

omogućuje: Predviđanja Identifikaciju potrebnih mjera

ekonomske politike

Ekonomija

Pozitivna ekonomija: Zašto je svijet takav kakav jest i zašto

tako izgleda

Normativna ekonomija: Kako se svijet može poboljšati

II. Kako funkcionira tržišni mehanizam?

Razumijevanje i opis pojave omogućuju

Ekonomski modeli Endogene varijable Parametri Pretpostavke ponašanja

Matematika

Matematičke metode

Izgraditi matematički okvir za ekonomsku analizu

Aksiom – teorem – dokaz Svaki rezultat može se trasirati

nazad do aksioma Rezultat je istinit ako je aksiom

istinit

Matematičke metode

Rigoroznost logičke discipline koju nameće matematička analiza omogućuje spoznaje koje idu dalje od intuicije i iskustva

Cilj: razumjeti teoriju na “njen” način Kritika: što se gubi a što dobiva

apstrakcijama koje se koriste?

Matematičke metode

Mogućnost generalizacije na n – dimenzija

Neki pojmovi: skup, Kartezijev koordinatni sustav, vektor, funkcija ....

Kartezijeve koordinate 3D

P=(3,0,5)

Q=(-5,-5,7)

III. Učinci promjena u tržišnoj ravnoteži

Kada smo pojavu razumjeli i opisali modelom, možemo promatrati kako se izbori mijenjaju kada se mijenja situacija u okruženju

Glavna područja analize:

Pozitivna: Individualno odlučivanje Potrošači Proizvođači Analiza tržišnih struktura (potpuna

konkurencija, tržišna moć)

Normativna: Analiza blagostanja

Metode analize

Optimizacija uz ograničenja Ravnotežna analiza Komparativna statika

Optimizacija

Problem: pronaći najbolju alternativu u skupu mogućih izbora

Struktura optimizacijskog problema: Endogene varijable Funkcija cilja Ograničenja

Optimizacija

Endogene varijable: pojava koju promatramo (količina

dobra, input faktora) data kao realni broj tražimo njihove optimalne vrijednosti

Optimizacija

Funkcija cilja: funkcija endogenih varijabli u modelu

(npr. funkcija korisnosti, troškova, profita)

vrijednosti funkcije mogu se izraziti kao realni brojevi

traži se maksimalna/minimalna vrijednost funkcije

Optimizacija

Ograničenja: skup dostupnih alternativa treba egzaktno

definirati nabrajanjem elemenata pomoću jedne ili više nejednakosti

(npr ) pomoću jedne ili više funkcija ili jednadžbi

(budžetsko ograničenje, proizvodna funkcija) podskup cijelog prostora

0x

Optimizacija uz ograničenja: primjer Model: Kako postaviti ogradu?

Kako maksimizirati pravokutnu površinu ako je data duljina ogradnog materijala?

duljina ogradnog materijala = F duljina pravokutne površine = L širina pravokutne površine = W

Optimizacija uz ograničenja

Funkcija cilja = ?

Površina LW

Ograničenje = ?

2L + 2W = F


Egzogene varijable = ?

F Endogene varijable = ?

L , W


Postavljanje problema:

Max L W

t.d. 2 L + 2 W F


Problem: pronaći najbolju alternativu u skupu mogućih izbora

Tehnički problem: pronaći maksimum ili minimum funkcije cilja s obzirom na endogene varijable a unutar datih ograničenja


Rješenje: vektor vrijednosti endogenih varijabli x* iz skupa mogućih izbora koje daju max ili min funkcije cilja definirane na skupu mogućih izbora


• Funkcija cilja .......

(1)• Endogene varijable

• Pretpostavka ponašanja max f• Skup mogućih izbora: S neprazan

1 2( , ,... ) ( )nf x x x f x

ix 1,2,...i n

Rješenje optimizacijskog problema

Traži se x* Praktični problemi – eksplicitno

numeričko rješenje Teoretski kontekst - opis osnovnih

karakteristika rješenja na analitički primjereni način

Lokalna i globalna rješenja

Ako promatramo samo jednu endogenu varijablu, vektor x postaje skalar x

skup mogućih izbora

.... [2]

(globalni maksimum)

0: : 0S x x x * *( ) ( ) ,f x f x za svaki x x S


• SLIKA 1: Postojanje globalnog rješenja

f(x)

f(x*)

f(x**)

0 x** x’ x* x0 x

a

N** N*

S


Uzmimo okolinu točke x** i nazovimo ga N** tako da je N** S

za svaki x N** S (lokalni maksimum) ] .... 3[

Unutar kojih uvjeta je svaki lokalni maksimum ujedno i globalni maksimum?

To ovisi o obliku funkcije cilja.

**( ) ( )f x f x

Jedinstvenost rješenja

Treba istražiti uvjete pod kojima je rješenje jedinstveno

Unutarnje i rubno rješenje

Na slici 1, je unutarnje rješenje. Kad bi funkcija na toj slici nastavila rasti,

formiralo bi se rubno rješenje

u Značaj ove razlike: kako promjena

ograničenja utječe na optimalno rješenje?

0x

*x


SLIKA 2: Unutarnje i rubno rješenje

f(x)

f(x0)

f(x**)

0 x** x’ x0 x

a

S

Unutarnje i rubno rješenje

Unutarnje rješenje – ograničenje ne obvezuje (non-binding constraint). Mala promjena ograničenja ne mijenja unutarnje rješenje.

Rubno rješenje – ograničenje obvezuje (binding constraint). Rubno rješenje se mijenja sa promjenom ograničenja.

Lokacija rješenja

“Locirati” rješenje = opisati njegove opće karakteristike (bez traženja njegovog numeričkog rješenja)

To se radi pomoću nužnih i dovoljnih uvjeta

Lokacija rješenja

Nužni uvjeti: SVA optimalna rješenja ih zadovoljavaju (ali mogu ih zadovoljavati i druga, neoptimalna rješenja)

Dovoljni uvjeti: Svako rješenje koje pored nužnih zadovoljava i dovoljne uvjete, MORA BITI optimalno rješenje

Postojanje rješenja

Ključno pitanje: da li rješenje našeg ekonomskog problema postoji?

Značaj ovog pitanja: ako naša ekonomska teorija posjeduje karakteristike unutar kojih se rigorozno matematički može dokazati postojanje rješenja kojeg tražimo, onda je ona logički konzistentna


Teorem o postojanju rješenja precizira UVJETE u kojima optimizacijski problem ima rješenje

Uvjeti se svode na SVOJSTVA koja moraju posjedovati ekonomska funkcija cilja i skup mogućih izbora

Poželjna svojstva ekonomske funkcije cilja i skupa mogućih izbora Funkcija cilja:

neprekidna konkavna kvazikonkavna

Skup mogućih izbora: neprazan zatvoren ograničen konveksan

Neprekidnost (funkcije cilja)

Funkcija ili je neprekidna ako nema skokova ili

prekida u njenom grafu Isto vrijedi i ako je riječ o vektorskoj

funkciji ili realnoj funkciji više varijabli (samo je ovo nemoguće ilustrirati)

( )y f x:f

Neprekidnost (funkcije cilja)

Ideja: kada su vrijednosti argumenata blizu tada i funkcijske vrijednosti moraju biti blizu.

f je neprekidna u c ako vrijedi

t.d.

0, 0,

( ) ( )x c f x f c

Neprekidnost (primjeri)

SLIKA 3: (a) neprekidnay = f(x)

0 x3 x2 x1 x

Funkcija u 3D koja nije neprekidna

Funkcija koja nije neprekidna

SLIKA 3: (b) funkcija nije definirana u

0x

y = f(x)

0 x2 x0 x1 x

Funkcija koja nije neprekidna

SLIKA 3: (c) prekid – skok iz y1 u y2 za x0

y = f(x)

0 x2 x0 x3 x1 x

y1

y2

Konkavnost I

Pomoću tangente:Tangente koje vučemo na svaku

točku krivulje sukcesivno imaju sve manji pozitivni nagib a zatim sve oštriji negativni nagib, to jest, druga derivacija koja pokazuje promjenu nagiba tangente je

Tangenta leži IZNAD grafa funkcije( ) 0f x

Konkavnost II

Pomoću spojnice (ako funkcija nije derivabilna u nekoj točki): Ako spojnica povezuje dvije točke na

grafu funkcije, npr. i Graf funkcije između ove dvije

vrijednosti leži iznad spojnice

0( , ( ))x f x 1( , ( ))x f x

Konkavnost II

• SLIKA 4: a) konkavna

0 x0x 1x

0

1

xf

f

xf

xf

xf

x

Konkavnost II

• SLIKA 4: b) linearna

02x0x 1x

0

2

1

xf

xf

xf

xf

x

Konkavnost II

• SLIKA 4: c) konveksna

0 x0x 1x

01

xf

xf

f

xf

xf

x

Konkavnost II

• SLIKA 4: d) konkavna pa konveksna

02x0x 1x

xf

x

Konkavnost II

Algebarski: Uzmemo bilo koju točku između

npr. i prikažemo ju kao konveksnu kombinaciju ovih dviju točaka

... [4] Zatim promatramo konveksnu

kombinaciju vrijednosti funkcije i koristeći iste vrijednosti za k ... [5]

x0 1x i x

0 1(1 )x kx k x

0( )f x 1( )f x

0 1( ) (1 ) ( )f kf x k f x

Konkavnost II

je koordinata točke na spojnici točno iznad

Za konkavnu funkciju vrijedi

za svaki ...[6]

fx

( )f x f 0 1x x x

Konkavnost II

“Obična” konkavna funkcija: može biti linearna ili imati linearni segment za

Strogo konkavna funkcija: zadovoljava [6] za

Također možemo reći da strogo konkavna funkcija zadovoljava [6] kao strogu nejednakost

0,1k

0,1k

Konkavnost III

Kvadratna matrica M čiji elementi su druge derivacije konkavne funkcije je negativno semidefinitna,

Algebarski:

Funkcija je konkavna ako i samo ako je negativno semidefinitna za svaki

0Tz Mz

:f A 2 ( )D f x

x A

Konture funkcije

Definiramo konture funkcije cilja kao skupove vrijednosti vektora x koje daju istu vrijednost c funkcije f(x), tj. kao nivo skup ... [7]

Funkcija cilja: Zanimaju nas svojstva kontura funkcije cilja

1 2( , ,..., ) ( )ny f x x x f x

( )f cx

Funkcija dvije varijable i njena kontura

1 2( , )c f x x

c

Funkcija dvije varijable i njene konture

1c

1c

2c

3c

2c3c

Konture funkcije

Slučaj dvije varijable ... [8]

Sve točke na konturnoj liniji c su vektori x koji zadovoljavaju gornji uvjet

Važno svojstvo konture funkcije: neprekidnost!

Neprekidnost funkcije (cilja) implicira neprekidnost njenih kontura

1 2( , )f x x c

Konture funkcije

Pretpostavimo da je kontura i diferencijabilna (neprekidna + diferencijabilna = glatka)

Totalni diferencijal ... [9]( i moraju držati vrijednost

funkcije konstantnom u c) ... [10]

1 1 2 2 0df f dx f dx 1dx 2dx

2 12

1 2

0dx f

fdx f

Konture funkcije

Omjer parcijalnih derivacija

= NAGIB konture u toj točki

(MRS i MRTS sa dodiplomskog studija!!)

Konture funkcije mogu izgledati i ovako

SLIKA 5: Konture funkcije

x1

x2

x’

0 x1

x2

x’

0

(a) negativnog nagiba (b) pozitivnog nagiba

Nivo skupovi

Gornji nivo skup definiramo kao skup elemenata za koje vrijedi

Ako je gornji nivo skup strogo konveksan, sve konveksne kombinacije

nalaze se u skupu na kojem su vrijednosti funkcije veće od c. Takvi su strogo konveksni skupovi.

Ako sadrži linearni segment, skup je samo konveksan.

1 2x i x

f c

Nivo skupovi

• SLIKA 6:

x1

x2

x’

0 x1

x2

0

(a) strogo konveksni gornji nivo skup (b) konveksni gornji nivo

skup

cxx 1'

cxx 1'

x’

x

x’

xx

cc

Kvazikonkavnost

Funkcija definirana na konveksnom skupu je

kvazikonkavna ako su njeni gornji nivo skupovi konveksni

i

:f S nS

: ( )x S f x c ( )f x c ( ') ( (1 ) ')f x c f x x c

, , ' 0,1c x x S

Kvazikonkavnost

Napomena: ako vrijedi stroga nejednakost pri i

, kažemo da je

strogo kvazikonkavna.

'x x0,1 ( )f

Kvazikonkavnost

Svaka konkavna funkcija je kvazikonkavna. Obrnuto ne vrijedi.

Primjer: rastuća konveksna funkcija može imati nivo skupove koji se “lijepo ponašaju”

Konveksnost i kvazikonkavnost

Kvazikonkavnost

Konkavnost je KARDINALNO svojstvo Neće se očuvati pri rastućim monotonim

transformacijama funkcije Kvazikonkavnost je ORDINALNO svojstvo Svaka rastuća funkcija jedne varijable je

kvazikonkavna

( )f

Kvazikonkavnost

Dva puta diferencijabilna funkcija je kvazikonkavna ako je

za svaki Hesse-ova matrica derivacija drugog reda negativno semidefinitna

Ako je Hesse-ova matrica negativno definitna, funkcija je strogo kvazikonkavna

:f S Sx

2 ( )D f x

Optimizacijski problem

Što višu konturu postignemo, to je veća vrijednost funkcije cilja

Cilj maksimizacije funkcije cilja ekvivalentan je cilju da se dostigne što viša kontura (nivo skup)

Skup mogućih izbora: svojstva

Nepraznost: Ako se ograničenje može zadovoljiti za barem jednu točku, skup je neprazan.

Zatvorenost: Skup je zatvoren ako su sve točke na njegovim rubovima (granicama) elementi skupa

(uočiti odnos između slabih nejednakosti u ograničenjima i zatvorenosti skupa)


Ograničenost: Uvijek je moguće naći kuglu radijusa koja u potpunosti sadrži dati (ograničeni) skup

Kompaktnost: Skup je kompaktan ako je zatvoren i ograničen.

r


Konveksnost: Skup je konveksan ako se bilo koji par točaka može povezati spojnicom koja u potpunosti leži u skupu

Ako se bilo koje dvije točke na rubovima mogu povezati spojnicom koja u potpunosti ali bez te dvije krajnje točke leži u skupu, tada je skup strogo konveksan.

Teorem o postojanju rješenja Teorem maksimalne vrijednosti: Neka je

funkcija neprekidna i neka je njena domena kompaktni podskup S u

Tada postoje točke u S takve da vrijedi za sve

To znači da je točka globalnog minimuma a je točka globalnog maksimuma funkcije f

u S.

:f S L

m Mix x( ) ( ) ( )m Mf f f x x x

Sxmx

Mx

Teorem o postojanju rješenja Dakle, optimizacijski problem uvijek

ima rješenje ako je funkcija cilja neprekidna a skup mogućih izbora neprazan, zatvoren i ograničen.

Skup vrijednosti funkcije f(x) je također neprazan, zatvoren i ograničen (skup realnih brojeva koji sadrži maksimum i minimum)


Značaj uvjeta: neprekidnost funkcije cilja

Bitno je da vrijednost funkcije cilja nije moguće beskonačno povećavati na skupu mogućih izbora

Treba postojati limes funkcije

( )y f x


Na Slici 7a, rubno rješenje, max u x’ Na Slici 7b, optimizacijski problem nema

rješenja jer

SLIKA 7a: SLIKA 7b:

0

limx x

f

f(x)

ymax

ymin

f(x)

0 x’ x

f(x)

0 x0 x’ x

f(x)


Značaj uvjeta: zatvorenost skupa mogućih rješenja

Pretpostavimo da je skup otvoren odozgo (gornja granica x’ nije

sadržana u skupu S) Na Slici 7a vrijednost funkcije tada bi mogli

povećavati u beskonačnost Optimizacijski problem nema rješenja

: 0 'S x x x


Značaj uvjeta: ograničenost skupa mogućih rješenja

Pretpostavimo: i f je monotono rastuća Na Slici 7a vrijednost funkcije tada možemo

povećavati u beskonačnost Optimizacijski problem nema rješenja

: 0S x x


Nepraznost skupa mogućih izbora: nužni uvjet postojanja rješenja

Neprekidnost funkcije cilja te zatvorenost i ograničenost skupa mogućih izbora: dovoljni uvjeti postojanja rješenja


Istovremeno zadovoljenje svih nužnih i dovoljnih uvjeta garantira postojanje rješenja

Rješenje može (ali ne mora) postojati ako neki dovoljni uvjeti nisu zadovoljeni kao što prethodni primjeri pokazuju

Lokalni i globalni optimum

Točka maksimuma funkcije nad skupom mogućih izbora = točka unutar tog skupa koja se preslikava na najvišu moguću konturu funkcije

neprekidna S neprazan, zatvoren i ograničen Pitanje: pod kojim uvjetima je lokalni

maksimum ove funkcije ujedno i globalni maksimum?

:f S


Dovoljni uvjeti da lokalni optimum bude i globalni: Funkcija cilja je kvazikonkavna (važne

su konture !) Skup mogućih izbora je konveksan

(važan je oblik skupa !)


Situacija 1, Skup mogućih izbora je konveksan ali funkcija cilja nije kvazikonkavna:

Slika 8

x’,x* - lokalni maximumi

samo x* - globalni

maximum

x’

x*

c2c1

x1

x2

0


Situacija 2, funkcija cilja je strogo kvazikonkavna ali skup mogućih izbora nije konveksan:

Slika 9

x’,x* - lokalni maximumi

samo x* - globalni

maximum

x*

c2

c1

x1

x2

0

x’


Situacija 3, skup mogućih izbora je konveksan i funkcija cilja sa konturom c je kvazikonkavna (dakle, skup B je konveksan):

Slika 10 Rješenje su sve točke na

segmentu ab (točke u S koje

su na najvišoj konturi od f).

Svaka točka na ab je i

lokalni i globalni maximum.

x1

x2

0

a

b

B

ST


S je konveksni skup Segment ab leži u njegovom

gornjem rubu (granici) Pravac T sadrži sve točke u

segmentu ab Ni jedna točka iz S ne leži s druge

strane T, dakle cijeli skup S mora ležati ispod T


B je također konveksni skup (uslijed kvazikonkavnosti funkcije cilja);

Segment ab leži u njegovom donjem rubu (granici)

Pravac T sadrži sve točke u segmentu ab

Dakle, cijeli skup B mora ležati iznad T


Ako postoji presjek skupova B i S koji sadrži više od segmenta ab, tada lokalni optimum nije i globalni

Ovo je moguće kada S nije konveksan i funkcija nije kvazikonkavna

Separirajući pravac (hiperravnina) Kada su skupovi B i S konveksni,

uvijek se može naći pravac T koji ih razdvaja

T = separirajući pravac (u dvije dimenzije)

T = separirajuća hiperravnina za više od dvije dimenzije


Za donosioca odluka važno je da li postoji samo jedno optimalno rješenje ili više njih

Bitno je utvrditi kako se odluke mijenjaju u odnosu na promjene ograničenja koja definiraju skup mogućih izbora


Kada imamo jedinstveno optimalno rješenje, za svaki skup mogućih izbora možemo definirati funkcije koje za parametre u ograničenjima daju optimalne vrijednosti endogenih varijabli

Takve su, na primjer, funkcije potražnje ili ponude


Ako optimalno rješenje nije jedinstveno, onda se formira odnos između parametara u ograničenjima i SKUPOVA vrijednosti endogenih varijabli koje nazivamo višeznačna preslikavanja (correspondences)

Takav je slučaj na Slici 10 gdje ima beskonačno mnogo optimalnih rješenja i sva su na segmentu ab

mikroekonomska analiza

Documents