model matematis sistem dinamis dan sistem kendali

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 1 dari 28_____________________________________________________________________________

MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN

SISTEM KENDALI

• PENDAHULUAN

• KLASIFIKASI SISTEM

• MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS

• PEMODELAN STATE SPACE



PENDAHULUAN

• Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harusdibuat model fisisnya.

• Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamissistem tsb secara memadai.

• Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistemybs.- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum

Newton.- Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum

Kirchoff, Ohm.

• Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yangmenggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.

• Model matematis dapat meningkat akurasinya denganmemodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalamanalisis yang teliti.

• Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasihasil analisis.



• Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-faktor penting saja dalam pemodelan.

- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial),akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu danparameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada padasistem.

- Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidakdapat digunakan pada frekuensi tinggi.

• Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalumenggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistemmekanis dengan sistem elektrik).

• Dua pendekatan analisis :- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)



KLASIFIKASI SISTEM

- LINEAR VS NONLINEAR

- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS

- TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE



- LINEAR VS NON-LINEAR

- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkattertentu.

- Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapatdianggap linear (piece-wise linearisation)

- Sistem linear : berlaku hukum superposisi:- respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda

merupakan kombinasi respons masing-masing input.

- Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.

- Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengajadisertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja.- Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu,

sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.

Daerah linear



TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yangkonstan, tak tergantung waktu.

- Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.

- Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yangberubah terhadap waktu.

- Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.

- Contoh Sistem Kendali Time-varying:Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurangakibat konsumsi bahan bakar.

CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyalyang kontinyu terhadap waktu.

- Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /sinyal yang diskrit terhadap waktu.



DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu inputyang dapat ditebak dan berulang / konsisten.

- Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidakselalu menghasilkan output yang sama.

LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS

- Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggapbahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkansecara terkumpul disatu titik.

- Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.

- Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan,misalnya pada sistem transmisi.

- Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.



TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

- Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear,kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik,dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih)yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantuanalisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domainwaktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi(ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal,robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifatdomain waktu.



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

Fungsi alih :

Hukum Fisis : KirchoffPersamaan dinamis sistem/ Persamaan differensial

Ldidt

Ric

idt ei+ + =∫1

1

cidt eo=∫

L R

c eoeii

)()(

)()(

)()(

)()(1

2 ssEcsI

sRsIsLIs

ssECsI

sEsIsC

i

oo

=++

=→=

)()(1

)()( sEsICs

sRIssLI i=++

1

1

)(1

)(

)(

)(2

2 ++=

++

=RCsLCssI

CRsLs

CsI

sEsE

i

o


Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 10 dari28_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)

i2(t)L2 e0(t)C

R L1

e(t)i1(t)

+-

}i i t i t

i Cd t

dt

c

ce

= −

=

1 2

0

( ) ( )

( ) i i Cddt

e1 2

0 3− = ( )

e t Ri Ldidt

e

e Ldidt

( ) ( )

( )

= + +

=

1 11

0

0 22

1

2



Transformasi Laplace :

E s sL I s I sE ssL0 2 2 20

2

2 2( ) ( ) ( ) ( )( )

( )− → =

I s I s sC E s1 2 0 3( ) ( ) ( ) ( )− =

( )E s R sL I s E s( ) ( ) ( ) ( )= + +1 1 0 1

I sE s E s

R sL10

1

1( )( ) ( )

( )=−+

( ) & ( ) ( )1 2 3→

E s E sR sL

E ssL

sC E s( ) ( ) ( )

( )−+

− =0

1

0

20

( )( )( )

SL E s sL E s R sL E s

R sL sLsC E s2 2 0 1 0

1 20

( ) ( ) ( )( )

− − +

+=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ]

( ) ( )

sL E s R s L L E s R sL s L C E s

sL E s s L C R sL s L L R E s

E sE s

sL

s L C R sL s L L R

2 1 2 0 12

0

22

1 1 2 0

0 2

22 1 1 2

2

2

− + + = +

= + + + +

=+ + + +

( )

( ) ( )

( )

( )

( )=+ + + +

sL

s L L C s L CR s L L R2

31 2

22 1 2




Persamaan Rangkaian:

Diperoleh:

-

+

R1

i1

R2

eoei

i0ex

i2Op Amp ideal :Zin = ~

Sehingga i0 = 0

ex ~0 virtual ground,sehingga

i i1 2=

e eR

e eR

eR

eR

i x x o i o−=

−⇒ =

−

1 2 1 2

eRR

eo = − 2

1

:




-

+

R1

i1

R2

eoei

ex

i3

ci2

eR

Cdedt

eR

i o o

1 2

= − −

1

1

)(

)(

sehingga

)()(

)(

21

2

21

+

−=

−−=

CsRRR

sE

sE

R

sEssCE

RsE

i

o

oo

i

223

2

11

321

~

~

)(

~

R

e

R

eei

dtde

C

dteed

Ci

Re

Ree

i

iii

oox

o

ox

i

ixi

−−=

−

−=

−=

+=



Model Matematis untuk Sistem Mekanis:Translasi(1)

Laplace :

pada t < 0 : sistem tak bergerakpada t = 0 gerobak di gerakandengankecepatan konstan

dndt

kons= tan

y = output relatif terhadapground

k

m

n input

y output

b

( )md ydt

bdydt

dndt

k y n

md ydt

bdydt

ky bdndt

kn

2

2

2

2

+ −

+ −

+ + = +

( ) ( )

kbsmskbs

sUsY

sUkbssYkbsms

+++

=

+=++

2

2

)(

)(

)()(



Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)

Hukum Newton kedua :

Laplace :

Diperoleh Fungsi Alih:

Ambil :f = d(t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1

k

m gaya luar f

b

x

ma F= ∑M = massa, (kg)A = percepatan, m / s2

F = gaya, N

md xd

bdxdt

kx f2

2++ + =

ms X s bs X s kX s F s2 ( ) ( ) ( ) ( )+ + =

X sF s ms bs k

( )

( )=

+ +1

2

X ss s s s

( )( )( )

=+ +

=+ +

1

2 1

1

1 12



Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

J = momen inersia beban kg m2

α = percepatan sudut beban rad / s2

T = torsi yang diberikan pada sistem Nm

J Tα = ∑

JT w

b

ω = kecepatan sudut rad / sθ = simpangan sudut (rad)

Tbdtd

J

Tdtd

bdtd

J

=+

=+

ωω

θθ

:atau

2

2



Model Matematis untuk Generator DC :

ο Kecepatan konstan nο Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if

KVL pada kiri/input :

Substitusi (3) -à (2):

dt

de

k

L

k

eRe g

g

f

g

gff +=

if

Rf

LfefzLea

LgRg

iaeg

nif = arus medan ia = arus jangkar

f

g

ik

nke

⋅=

⋅⋅=

2

1

φ

φ } fgg ike ⋅= (1)

Konstanta generator

e R i Ld

dtf f f f

if= + ( )2

ie

kf

g

g

= ( )3

(1) :



Dalam Laplace:

KVL pada loop kanan/ouput

Atau:

Substitusi :

[ ]

ff

g

f

g

gffg

f

sLR

k

sE

sE

sEsLRk

sE

+=

+=

)(

)(

:FungsiAlih

)(1

)(

Laa

iaggaga

ziedt

dLLRiee

⋅=

+++−=− ;

ieza

a

L

=

)()()(

1)( sEsz

sL

sz

RsE

dtde

z

Le

z

Ree

dtde

z

LR

ze

ee

aL

g

L

gg

a

L

ga

L

gatg

a

L

gg

L

aga

++=

++=

++−=−



Diperoleh:

Sehingga :

=

z sz s

E sL

La

( )

( )( )

E sE s

z sz s R L s

a

g

L

L g g

( )

( )

( )

( )=

+ +

E sE s

E s

E sx

E sE s

a

f

g

f

a

g

( )

( )

( )

( )

( )

( )=

=+ + +

R

R sLfx

z sz s R sLg

g L

L g

( )

( )



Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Jangkar

em = tegangan terinduksi

If = konstan

sehingga

ia = arus jangkar

em

LmRm

iaea

τ θo(t)

inersiaJ

simpangan sudut

B= dampingLf

If

Ef = konstanif = arus medan

rangkaian jangkar

e k nm = ⋅ ⋅1 φ n= kecepatan rotasi (putaran)motor

φ = ⋅k i f2 φ = konstan

e k n kddtm e e

o= ⋅ =θ

Ke = konstanta tegangan motor



Persamaan rangkaian :

Persamaan Beban

Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi v (yangdalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia

sehingga :

( )

e R i Lddt

e

e R i Lddt

kddt

E s R sL I s k s s

a m a mia

m

a m a mia

eo

a m m a e o

= + +

= + +

= + +

θ

θ( ) ( ) ( )

T = kT . ia

KT = konstansta torsi motor

T Jddt

Bddt

o= +2

2

θ θ

atau :

( ) )()( 2 sBJssIk osaT Θ+= -

( ) ( ) ( )Θo

a m m m m e T

sE s

kT

J L s R J L B s R B k k s

( )=

+ + + +2 2



Dengan definisi :

Diperoleh:

TLRa

m

m

= → Konstanta waktu jangkar

TJ Rk km

m

e T

= → Konstanta waktu motor

γ = →R Bk k

m

e T

Faktor redaman

( )( ) ( ) ( )[ ]

Θ s

a a m m a

sE s

k

s T T s T T s=

+ + + +

1

12 γ γ



Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Jangkar :

Fluksi oleh arus medan :

Torsi T :

Tegangan Back EMF:

Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &kecepatan sudut putaran poros motor.

ψ ψ= ⋅ →k if f Konstan untuk if konstan

T k i k i k i k ii a i a f f a= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅φk = konstanta motor - torsi

ia = arus jangkar

eb

LaRa

iaea

Τ

inersia

θ simpangan sudut pores motor rad

back emf volt

J

moren

motor + beban

b = kref gesekan motor + bebanNm / rad/s

kg m2if konstanarus medan

torsi yang dihasilkan motor, Nm

dtd

ke bb

θ⋅=



Persamaan input :

Persamaan output :

abaaa

a eeiRdtdi

L =++

dtd

bdtd

JikT a

θθ+=⋅=

2

2



Model Matematis untuk Sistem Generator-MotorWard-Leonard

Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar

Konfigurasi dasar :

Fungsi alih :

Persamaan Loop kanan :

J

Rf

Lfif

ef

RgLg Rm

Lm

eg em

ia

B

θo

If

Ef

ngenerator dc

servo motor

( )( )

E s

E s

k

R sLg

f

g

f f

=+

( ) ( )( ) ( )[ ]

e R R i L Lddt

kddt

E s R R s L L I s k s s

g g m a g min

eo

g g m g m a e o

= + + + +

= + + + +

θ

( ) ( ) ( )Θ



Persamaan Beban :

atau :

sehingga :

= ……………………..

( )( )

)()(

)()(

2

2

2

2

sk

BJssI

sBsJssIkdt

dB

dd

JT

oT

sa

oaT

oo

Θ+

=

Θ+=⋅

++

=θθ

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]Θo

gm g m g m g m g e T

sE s

kT

s J L L s R R J L L B s R R B k k

( )

( )=

+ + + + + + + +2

( ) ( )e e R R R L L L sehinggaa g m m g m m g→ ⋅ → + → +; ,

( )Θ Θo

f

o

g

g

f

se s

sE s

xE s

E s( )

( )

( )

( )

( )=



Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Medan

Torsi yang dihasilkan motor :

sehinggaT = kT . if

Pers beban :

Pers loop kiri / input :

if = arus medanif

Rf

Lfef Ea

Ia = arus jangkar konstan

B

θo(t)J

T konsa~ tanφ =~ i f

iJ

kTddt

Bddtf

o o= +2

2

θ θ

T Jddt

Bddt

o o= +2

2

θ θ



dt

diLRie f

ffff +=

Diperoleh:

( )( )sTsTs

BRk

sEs

mf

fT

f

o

++

⋅=→

11)(

)(θ

TLfRff = =

TJBm = =

Konstanta waktu rangkaian

Konstanta waktu motor

model matematis sistem dinamis dan sistem kendali

Documents