CURRICULO GRADO OCTAVO DE BÁSICA SECUNDARIA:

ALGEBRA

ESTANDAR:

Utiliza números reales en sus diferentes representaciones y en diversos

contextos.

Resuelve problemas y simplifica cálculos usando propiedades y

relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre

ellos.

Identifica relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de

las ecuaciones algebraicas.

Construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión

algebraica dada.

Modela situaciones de variación con funciones polinómicas.

PERIODO EJE TEMATICO CONTENIDOS LOGROS INDICADORES DE

DESEMPEÑO

I -Sistemas de

números reales

-Taller diagnóstico

-Números Enteros

-Números Racionales

-Números Irracionales

-Los números Reales

-Establecer y analizar alternativas de solución a diferentes situaciones matemáticas.

-Reconocer las propiedades de las relaciones y las operaciones en cada uno de los conjuntos numéricos.

-Realizar las operaciones entre distintos conjuntos numéricos.

-CP: propone alternativas de solución a diferentes situaciones problémicas.

-CI: Utiliza adecuadamente las operaciones aritméticas básicas en el conjunto de los números Enteros.

-CA: Justifica los procesos algorítmicos para representar de distintas formas los números racionales.

-CP: Propone representaciones a través del plano cartesiano para expresar números irracionales.

-CI: Utiliza adecuadamente las operaciones aritméticas básicas en el conjunto R.

II -Ecuaciones y desigualdades.

-Ecuaciones lineales con coeficiente entero.

-Ecuaciones lineales con coeficiente fraccionario.

-Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones lineales

-Desigualdades lineales con una incógnita.

-Resolver correctamente ecuaciones lineales con coeficiente Entero y Fraccionario

-Resolver desigualdades lineales con una incógnita.

-CA: Justifica la validez o la contradicción que hay en un enunciado.

-CI: verifica que un determinado número real es solución o no lo es de una ecuación lineal con coeficiente fraccionario.

-CP: propone alternativas de solución a diferentes situaciones problémicas.

-CI: Aplica las propiedades de desigualdades para resolverlas.

III

IV

Ladi Lorena Escobar Lozano. Teorema de PitágorasDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Contenido

[ocultar] 1 Historia 2 Demostraciones

o 2.1 China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

o 2.2 Demostraciones supuestas de Pitágoras

o 2.3 Demostración de Platón: el Menón

o 2.4 Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

o 2.5 Demostración de Pappus

3 Notas

4 Referencias bibliográficas

5 Véase también

6 Enlaces externos

Historia [editar]

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Demostraciones [editar]

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu [editar]

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras [editar]

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triangulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c2) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b2 + a2), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración de Platón: el Menón [editar]

En uno de los meandros del Menón se plantea el problema de la duplicación del cuadrado –izquierda y centro-. La solución que elabora Platón encierra inesperadamente una demostración del teorema de Pitágoras –derecha-, si bien referida exclusivamente a

los triángulos rectángulos isósceles.Dinos, Sócrates, ¿cómo se adquiere la virtud? ¿Mediante la enseñanza o mediante el ejercicio?

Esta filosófica pregunta forma parte del Menón de Platón, y a su tenor no parece que la Geometría vaya a hacer acto de presencia en el Diálogo, pero el filósofo es quien maneja los hilos y unas páginas más adelante nos encontramos con cuadrados y superficies. En ese fragmento, Platón habla de que conocer es recordar. Cuando creemos estar aprendiendo, lo que sucede en realidad es que recordamos las verdades que nuestra alma pudo percibir de forma inmediata antes de encarnarse en el cuerpo.

En el texto Sócrates se lo demuestra a Menón llamando a uno de sus esclavos, que nunca ha sido educado, pero que, sin embargo, es capaz de llegar a demostrar el teorema de Pitágoras. Sócrates le plantea el problema de la duplicación del cuadrado. Sucesivas preguntas van sacando de la mente del esclavo la solución del problema, con lo que pretendidamente aquél no hizo sino "recordar" lo que ya "sabía". Ese método para sacar esos conocimientos es la mayéutica, en la cual, el individuo que conduce al otro hacia el conocimiento, como en este caso hace Sócrates, desempeña una función similar a la de una partera, donde lo que logra extraer de su interlocutor, es el conocimiento de lo verdadero.

Platón construye un cuadrado cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). Su área vale lo de cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su diagonal AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero.2 Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado

el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul (8u2) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises (4u2 cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC. Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre la hipotenusa (la diagonal del cuadrado inicial) contiene cuatro de dichos triángulos.

Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los triángulos rectángulos isósceles.

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos [editar]

La proposición I.41 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.47 de Los Elementos.

La proposición I.36 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.3 De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería

realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47 de Los Elementos:

Si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es doble de la del triángulo. Esto es tanto como decir que a igual base y altura, el área de aquél dobla a la de éste.

Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C, y construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.

Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci nos encontraremos de nuevo con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Veamos seguidamente que:

1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.47 AHJK tiene doble área que ACK.

2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendo razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que éstos últimos tienen áreas asimismo iguales. A partir de aquí, es inmediato que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

Demostración de Pappus [editar]

La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus4 parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en Elementos I.36:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Notas [editar]

1. ↑ Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.

2. ↑ En primer lugar se ha cuadruplicado el área del cuadrado inicial, que aumentó de cuatro a dieciséis unidades cuadradas, para después obtener el resultado buscado

3. ↑ Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico Hipaso de Metaponto lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.

4. ↑ Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290 de nuestra era, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.

Referencias bibliográficas [editar]

PLATÓN: Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Ediciones Ibéricas. Madrid, 1958

PAUL STRATHERN: Pitágoras y su teorema. Siglo XXI de España Editores. Madrid, 1999

LOOMIS E. S.: The Pythagorean Proposition. NCTM. Michigan, 1940

GONZÁLEZ URBANEJA, P. M.: Pitágoras. El filósofo del número. Nivola. Madrid, 2001

Véase también [editar]

Trigonometría o Triangulación

o Trigonometría esférica

o Función trigonométrica

Geometría del triángulo

o Teorema del coseno

o Teorema del seno

Pitágoras

Escuela de Kerala

Matemática en la India

Enlaces externos [editar]

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teorema de Pitágoras.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras"Categorías: Teoremas de geometría | Triángulos | Geometría elementalCategorías ocultas: Wikipedia:Artículos buenos en w:ar | Wikipedia:Artículos buenos en w:eo | Wikipedia:Artículos destacados en w:bar | Wikipedia:Artículos destacados en w:he | Wikipedia:Artículos destacados en w:sr | Wikipedia:Artículos buenos en w:en | Wikipedia:Artículos destacados en w:de | Wikipedia:Artículos destacados en w:fr

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TEOREMA DE PITÁGORAS

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un

triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)

 

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad

a2 + b2 = c2

PLATÓN.

La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

 

 

EUCLIDES.

La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.

 Elementos de Euclides. Proposición I.47.

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.

La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

 

 

BHÂSKARA

¡ Mira !

PUZZLES PITAGÓRICOS.

A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo.

Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.

 

1. Ozanam 2.- Perigal 3.-

4. Anaricio 5. Bhâskara 6.-

7.- 8.-

 

2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica.

Triangulo Rectángulo Isósceles

Triangulo rectángulo 3,4,5 Cateto mayor / cateto menor = 2

Hipotenusa /cateto menor =3Hipotenusa/cateto menor = 2

3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto.

Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el  intervalo que se indica en cada caso.

Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito.

Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60.

30 ≤ A ≤ 60;

45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45

Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha expresado anteriormente.

DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS. Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso,

se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más elegantes.

Estás son algunas de las mas populares.

PappusIbn Qurra

Leonardo de Vinci

Garfield

Vieta

  Otras demostraciones algebraicas.

 

Se ha dejado para el final una prueba  (posiblemente  desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un triángulo rectángulo.

 

 

Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis publica The Pitagoream Proposition donde aparecen 367 pruebas.

 

 

PÁGINAS  SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm La Gacetilla Matemática dedica un amplio espacio a este teorema.

http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/pitagoras/pitagoras.htm del departamento de matemáticas del IES Maria Moliner, Valladolid. Con Animaciones en Flash muy interesantes.

http://almez.pntic.mec.es/~jdec0000/geometria_dinamica_del_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm con applet Descartes.

http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm Con applet Descartes.

http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/pitagora.htm de la excelente página Bella Geometría.

http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/Pit.pdf amplio e interesante documento.

 

Los sellos postales también rinden homenaje a Pitágoras y al teorema:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

                                  

Alguna de las demostraciones  y datos  expuestos se han tomado de :

-GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid 2001. http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes

 

Pitágoras

Autor: Gerardo Javier Dillon Long Curso: 10/10 (1 opinión) |262 alumnos|Fecha publicación: 21/07/2008

Capítulos del curso

0. Presentación 1. Demostración del teorema de Pitágoras

mediante cuadrados 2. Muestras iniciales de triángulos rectos 3. Selección de triángulos rectos bases 4. Análisis de los datos

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y el area de un cuadrado

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teorema de pitagoras

Capítulo 1:

 Demostración del teorema de Pitágoras mediante cuadrados

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El teorema de Pitágoras es muy conocido por todo el mundo, uno de sus triángulos más conocido es el que tiene como catetos 3 y 4 e hipotenusa 5. Existe una demostración gráfica de dos cuadrados uno dentro de otro haciendo que las esquinas del cuadrado interior toquen los lados del cuadrado exterior, como sigue:

Demostración del teorema de Pitágoras basándose en el gráfico anterior:

El área del cuadrado exterior: (a + b) 2

El área del cuadrado interior:  c2

El área del triángulo recto: a * b / 2

El área del cuadrado exterior: área del cuadrado interior + área de los 4 triángulos rectos.

Igualando:

(a + b) 2 = c2 + 4 * (a * b / 2)

Desarrollando:

a2 + 2 * a * b + b2 = c2 + 2 * a * b

simplificando términos iguales (2 * a * b):

a2 + b2 = c2

El teorema de Pitágoras.

Manuscrito árabe del s.XIII

Euclides I, 47Euclides, en el Libro I de los Elementos proposición 47 demuestra el teorema de Pitágoras: En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los

lados que forman el ángulo recto. Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED. Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. A continuación unimos A con M y C con P. Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo determina (BP = AB y BM = BC) Se verifica:

[Área triángulo MBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´) = = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Por otra parte:

[Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) = = 1/2 [Área cuadrado BPQA]

Por tanto:

[Área triángulo MBA] = [Área triángulo BPC] = = 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´ son equivalentes. Análogamente demuestra que el rectángulo NA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED.

En la proposición 48 del Libro I de los Elementos, Euclides demuestra que Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por esos dos lados es recto es decir el recíproco de la Proposición 47.(Esta es la demostración que hace Euclides en los Elementos, aunque se han adoptado algunas notaciones actualizadas).Sea el triángulo ABC y supongamos a 2 = b 2 + c 2

Tracemos por A una perpendicular a AC y sobre ella tomamos AD igual a AB. Unamos D con C.Como DA = AB = c también lo serán sus cuadrados, es decir

DA 2 = AB 2 = c 2

Si sumamos b 2, tendremos

DA 2 + b 2 = c 2 + b 2

Pero

m 2 = DA 2 + b 2

(pues DAC es recto; p47) y

a 2 = b 2 + c 2

(por hipótesis), luego el cuadrado sobre el lado DC (es decir m 2) es equivalente al cuadrado sobre BC (es decir a 2), por lo

que el lado DC será igual al lado BC.Puesto que DA es igual a AB y AC es común DA y y AC serán iguales a BA y AC y la base DC igual a BC por lo que el ángulo DAC será igual a BAC, y como DAC es recto, el BAC también es recto.

del griego :fijar, sujetar fuertemente una cosa a

otra.

(cateto) perpendicular, línea que cae a plomo.

OTRAS DEMOSTRACIONES, COMPROBACIONES, COMENTARIOS,

etc. RELACIONADOS CON EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Apunte (#1) . Facilitada por José Carrión. Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismo aspecto y área)La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.

Apunte (#2).

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestraPartimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anteriorEl lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es

4 ( 1/2 a b) = 2 a b

y un cuadrado interior de lado c y área c 2.Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

Si las superficies S, S´ y S´´ son semejantes, entonces

Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)

Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras.Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresión c 2 =

a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros por resulta

de donde

Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área (SemicírculoS´´)

Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

El triángulo ABC es rectángulo en C.

Teorema del cateto. En el triángulo ADC

En el triángulo BCA

Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

Es decir:"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella"

Teorema de la altura. En los triángulos rectángulos ADC y DBC resulta:

h = m.tag(A) h = n.tag(B)

Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n

(puestag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).

Es decir:"En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella"

Teorema de Pitágoras. Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando resulta:

a 2 = c.nb 2 = c.m

a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2

A partir del triángulo rectángulo MPT trazamos por M una paralela a la hipotenusa

(PT) y por P y T perependicualres a dicha paralela de forma que se determinan los

triángulos rectángulos MNP y VMT. También construimos sobre la hipotenusa el triángulo

rectángulo PST.

Apunte (#5).En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/cPor otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) = a/c de donde MN = a 2/c. Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b 2/c

(A partir de estos datos podemos comprobar que

A T2 = A T3 + A T4

pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; ver Apunte (#3)).

La figura así construida podemos mirarla de dos formas: formada por el rectángulo VNPT y el triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los triángulos T3 y T4.Evidentemente:

Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) + Área (T4)

Calculando el área de cada una de estas composiciones, identificando y simplificando las expresión obtenida obtendremos el Teorema de Pitágoras.

Apunte (#6). Disección de PerigalEn Wennington (Essex) está la abandonada tumba del matemático inglés Henry Perigal (1801/1898). En ella puede adivinarse la inscripción: "[...] estudioso e ingenioso geometrista. Investigó y enunció las leyes del movimiento circular compuesto. Querido y admirado por un gran número de parientes y amigos"Se le atribuye una ingeniosa comprobación del teorema de Pitágoras. Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas paralela y perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado contruido sobre la hipotenusa.

Apunte (#7). Una demostración del teorema de Pitágoras atribuida a J. A. Garfield (vigésimo Presidente de los EEUU)Uniendo los puntos M y N obtenemos un trapecio cuya área es:

(a + b)/2 . (a + b) = a 2/2 + b 2/2 + a.b

Por otra parte, dicha área es la suma de los tres triángulos rectágulos que lo determinan. Sumado dichas áreas:

(a.b)/2 + (a.b)/2 + c 2/2 = a.b + c 2/2

Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que

a 2/2 + b 2/2 = c 2/2

y simplificando resulta el teorema de Pitágoras.

Apunte (#8).Con centro en O trazamos una semicircunferencia de radio c; consideramos un punto P y a partir de él construimos el triángulo rectángulo de lados a, b y c. (Primera figura) A continuación construimos el triángulo MNP. Dicho triángulo es rectángulo y en él la altura relativa a la hipotenusa es a.Dicha altura determina sobre la hipotenusa los segmentos c + b y c - b. Aplicando el teorema de la altura (Apunte #4) resulta:

a 2 = (c + b).(c - b) = c 2 - b 2

es decir c 2 = a 2 + b 2

Apunte (#9). El Teorema de Pitágoras en el espacio. Facilitada por José Carrión

D 2 = c 2 + d 2

d 2 = a 2 + b 2

D 2 = a 2 + b 2 + c 2

Apunte (#10). Expresión vectorial del teorema de Pitágoras(En lo que sigue designaremos en negrita las magnitudes vectoriales y las operaciones efectuadas respecto a un sistema de referencia ortonormal)Dados dos vectores x e y la condición necesaria y suficiente para que dichos vectores sean ortogonales es que

|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2

siendo la norma del vector x.De dicha definición de la norma resulta que || x || 2 = x.x (es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto escalar del vector por él mismo).Demostración

|| x + y || 2 = (x + y) (x + y) = x . x + y . y + 2 x . y = || x || 2 + || y || 2 + 2 x .y

Luego

Apunte (#11).Comparando cuadrados A partir del triángulo rectángulo inicial de hipotenusa c y catetos a y b, construimos los cuadrados de lados a + b tal como aparecen en la

figura primera.

El primer cuadrado está formado por cuatro triángulos iguales (T1, T2, T3, T4) y por un cuadrado de lado c, por lo que su área es

c 2 + 4 A(T)

siendo A(T) el área de uno cualquiera de los triángulos.

El segundo cuadrado está formado por dos cuadrados de lados a y b y los triángulos T1, T2, T3 y T4 y su área es

a 2 + b 2 + 4 A(T)

Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que

c 2 = a 2 + b 2

Esta es una de las más intuitivas demostraciones del teorema de

Pitágoras y, posiblemente, una de las que utilizaran los pitagóricos.

Apunte (#12) Rompecabezas.

Si trazamos en cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos una diagonal y una paralela a la hipotenusa c del triángulo rectángulo obtenemos ocho triángulos con los que podemos recubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa.Expresemos las áreas de cada uno de estos triángulos en función de los lados a, b y c del triángulo rectángulo.Por definición

sen (δ) = b/c; cos (δ) = a/c

Por otra parte, debido a la igualdad de los triángulos obtenidos bastará calcular las áreas de, por ejemplo, los triángulos 1, 2, 5 y 6.

Aplicando el teorema del seno al triángulo 1 resulta

de donde

Desarrollando sen (135 - δ) obtenemos

sen (135 - δ) = sen (135) cos (δ) - sen (δ) cos (135) = sen (45) cos (δ) + sen (δ) cos (45)

es decir

a = b

Sustituyendo en el valor de x obtenido anteriormente

y el área del triángulo 1 es

El área del triángulo 2 es

Anáalogamente resulta:

Puede comprobarse que

Apunte (#13) Kou ku.Uno de los primeros libros chinos dedicados a la matemática y la astronomía es el Chou Pei (aprox. 300 a.C.). En él se hece referencia al teorema de Pitágoras (kou ku) mediante una comprobación.A partir de la figura, un cuadrado de lado 7, si retiramos los cuatro triángulos de las esquinas (dos rectángulos de área total 2 ×(3 × 4) = 24 unidades cuadradas) queda un cuadrado de lado 25 unidades cuadradas. Por lo tanto su lado es 5.Entonces

(3 + 4) 2 - 2 ×(3 × 4) = 3 2 + 4 2 = 5 2

Durante el siglo III esta comprobación fué fundamentada por varios matemáticos chinos. Una de ellas es la siguiente.

Si el lado más corto (kou) es a, el más largo (ku) es b y la diagonal (shian) es c resulta:

c 2 = área(GHEF) = área(LIJK) + 2 ×(a × b) = = área(LIJK) + área(GLFD) + área(KECF) =

= área(APLG) + área(PBEK) = a 2 + b 2

Apunte (#14) Triángulos rectángulos en la proporción áureaSupongamos un triángulo rectángulo ABC y a partir de él construimos otro triángulo rectángulo tomando como hipotenusa el cateto mayor del dado y como cateto mayor el cateto menor del triángulo rectángulo considerado. Impongamos la condición de que ambos tengan los mismos ángulos.Entonces ambos triángulos rectángulos serán semejantes y se verificará

Determinando RPuesto que el triángulo 2 ha de ser rectángulo

a 2 = c 2 + p 2

y de (#1)

Mediante el cambio de variable R 2 = t resulta t 2 - t - 1 = 0 cuyas soluciones

son siendo el número áureo. Entonces

Por la naturaleza del problema consideramos

Supongamos b = k 0 > 0. De (#1) tendremos

de donde

Los triángulos de la forma

son triángulos rectángulos.Valor del águlo δEn el triángulo 1

independientemente del valor de b = k 0

Nuevamente de (#1) resulta por lo que

También los triágulos de la forma

son rectángulos, tienen los mismos ángulos que los anteriores y están con ellos en la proporción 1/R.

Si k 0 = los triángulos rectángulos y

son semejantes y están en la proporción 1/R.

Una apostilla de Fco. Javier AsencorEn el Apunte #14 se hace un estudio interesante sobre el triángulo rectángulo cuyos lados toman

los valores donde representa el número áureo. Donde aparece el número áureo siempre hay sorpresas en forma de relaciones con cierta belleza. Es un número que por sí solo puede sostener una publicación. Un ejemplo es este triángulo.

Puede agregarse alguna consideración que aumenta la fascinación de este triángulo (o sus semejantes).

Si multiplicamos los lados por , podemos escribir la terna como

Una forma en que los exponentes nos recuerdan definitivamente a la más famosa terna de los triángulos rectángulos, (3, 4, 5)Esto admite la siguiente consideración:Si nos proponemos encontrar el triángulo rectángulo cuyo cateto mayor sea la media aritmética entre la hipotenusa y el otro cateto encontramos el familiar (3, 4, 5) o semejantes.Si el propósito es idéntico, pero con la media geométrica, encontramos éste.Una aparición geométrica:

Sobre el primer cuadrante de unas coordenadas cartesianas trazamos el semicírculo de radio unidad y centro en eje Y distante la unidad del centro. Por supuesto resulta tangente al eje X. Este semicirculo admite infinitas tangentes, de las cuales las que se tracen "por arriba" es decir con pendiente negativa se cortan con ambos ejes. La longitud del segmento determinado por estos cortes dependen del punto de tangencia. Pueden tener cualquier longitud por encima de cierto valor, es decir existe una que es mínima.El triángulo formado por el origen de coordenadas y los cortes en los ejes, forman un triángulo rectángulo que se corresponde

exactamente con la terna propuesta arriba. El número aparece también en las coordenadas del punto de tangencia....

El triangulo superior, por encima de la ordenada se corresponde con la primera terna aquí

mencionada: ... y si seguimos mirando: más cosas

El matemático indio Bhaskara hizo una reconstrucción del teorema de Pitágoras a la que sólo le añadió la palabra ¡MIRA! de forma que a partir de la observación de la figura se pudiera reconstruir el teorema. Esta reconstrucción aparece en su obra VijaGanita (en la que

Apunte (#15) Bhaskara (1114-1185)

por primera vez aparece la división de un número (distinto de 0) por cero.

Su obra Lilavati contiene varios problemas relacionados con el teorema de Pitágoras como los siguientes:

El bambú rotoSi un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo a una distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura del suelo se rompió?

El pavo real y la culebraUn paco real se encuentra posado en el extremo de un poste vertical en cuya base hay un agujero de culebra; observando la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su altura, el pavo real se lanza sobre ella en linea recta mientras la culebra intenta ganar su agujero. Si el paco real captura a la culebra cuando ambos han recorrido exactamente la misma distancia, ¿a cuántos codos de distancia del agujero se produjo la captura?

  El teorema de Pitágoras    Gacetilla Matemática Actualización: 31/08/2002