MODELO MATEMÁTICO DE UN DOBLE PÉNDULO INVERTIDO ROTACIONAL

1. INTRODUCCIÓN

Cuando nos acercamos a la solución de un problema de control, el modelamiento matemático es la base de muchas estrategias de control moderno. Entre más se conoce sobre la dinámica de un sistema, más preciso el modelo matemático será. Modelos precisos permiten el diseño de controladores más efectivos. En nuestro caso, el modelo ayudará al diseño, prueba y desarrollo de controladores de manera rápida usando Matlab® incluso sin la construcción de un prototipo físico.

El péndulo de Furuta o péndulo rotacional invertido, es un sistema encontrado en muchos sistemas de control. Este provee una compacta, aunque impresionante, plataforma para las demostraciones de control y llama la atención de la comunidad académica por la posibilidad de desarrollar en él, estrategias de control no-lineal.

2. MODELOS MATEMÁTICOS

La Figura 1.1 muestra la configuración básica del sistema de doble péndulo invertido que fue modelado.

Figura 1.1 Esquemático del doble péndulo invertido.

Las flechas en los arcos denotan la dirección positiva para las variables de estado de la planta. Las líneas discontinuas denotan la posición cero para los desplazamientos. Por ejemplo, cuando el brazo horizontal está centrado y los brazos verticales están "abajo", todas las variables de posición son cero.

Las variables de estado del brazo 1 son:

θ1

θ2

θ3

θ1 :Ángulo del brazo1enel plano horizontalθ̇1 :Velocidad delbrazo 1enel plano horizontalθ̈1 :Ángulo del brazo1

Las variables de estado del brazo 2 son:

θ2 :Ángulo del brazo2enel plano verticalθ̇2 :Velocidad delbrazo 2enel plano verticalθ̈2 :Ángulo del brazo2

Las variables de estado del brazo 3 son:

θ3 : Ángulodel brazo3enel plano verticalθ̇3 :Velocidad del brazo3enel plano verticalθ̈3 : Ángulodel brazo3

J1 , J 2 , J 3 representan los momentos de inercia de los respectivos brazos en sus centros de masa, l1 ,l2 son las distancias desde el centro de rotación del brazo al centro de masa del respectivo brazo, y m1 ,m2 ,m3 son las masas de los brazos. El símbolo g es la gravedad, L1L2 , L3 son las longitudes de los brazos. Las variables b1 , b2 , b3 son los coeficientes de amortiguamiento viscoso de los rodamientos en los que los brazos rotan.

Para obtener las ecuaciones de movimiento sistema de péndulo invertido sencillo se consideran los diagramas de cuerpo libre de los subsistemas que los conforman. Para el sistema de péndulo invertido sencillo se usa el enfoque Newtoniano de aplicar las leyes de Newton del movimiento para deducir las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan. Sin embargo, este enfoque llega a ser altamente complicado para el doble péndulo invertido y por tanto, se aplica el método Euler-Lagrange para el sistema completo.

Modelo matemático de un péndulo invertido sencillo.

Para se considera el diagrama de cuerpo libre del brazo orientado horizontalmente, Figura 1.2. La suma de los momentos en el centro de rotación es,

M=J θ̈

J1 θ̈1=τ−n L1−b1 θ̇1

Donde las variables están definidas de la siguiente forma:

M :Momento positivo encontra de lasmanecillasJ :Momentode inerciaθ̈ : Aceleraciónangularθ̇ :Velocidad angularθ :Desplazamientoangular

Ecuación 1.1

b : Amortiguamiento viscoso del pivote o rodamienton :Fuerzacomo semuestra de la Figura1.2

Figura 1.2. Diagrama de cuerpo libre del brazo orientado horizontalmente.

Ahora consideraremos el diagrama de cuerpo libre del brazo orientado verticalmente, Figura 1.3. Sumando fuerzas en la dirección horizontal obtenemos,

F=ma

n=L1 θ̈1m2+m2 l2 θ̈2cosθ2−m2l2 θ̇2sin θ2

Donde las variables están definidas como,

F :Fuerzan :Fuerzacomo semuestra en la Figura1.3p :Fuerzacomo semuestraen la Figura 1.3m :Masaa : AceleraciónL :Longitud del brazol :Longitud desde el centrode rotacióndel brazo hasta sucentro demasa

n

p

Ecuación 1.2

Figura 1.3. Diagrama de cuerpo libre del brazo orientado verticalmente.

Ahora, si las fuerzas son sumadas perpendicularmente al brazo vertical el resultado es,

ncosθ2−p sinθ2−m2g sinθ2=m2l2 θ̈2+m2 L1 θ̈1 cosθ2

Sumando momentos en centro de masa del péndulo (brazo orientado verticalmente) tenemos,

J2 θ̈2=p l2sinθ2−nl2 cosθ2−b2 θ̇2

Si la Ecuación 1.3 es multiplicada por l2 y el resultado sumado a la Ecuación 1.4, el resultado puede ser simplificado a,

θ̈2 (m2l22+J2 )=−m2l2g sinθ2−b2 θ̇2−m2 l2L1 θ̈1cosθ2

Si la ecuación 1.2 es substituida en la Ecuación 1.1 el resultado simplificado es,

θ̈1 (J1+L12m2 )=τ−m2l2L1 (θ̈2 cosθ2−θ̇2sin θ2)−b1 θ̇1

Las ecuaciones 1.5 y 1.6 son las ecuaciones acopladas no-lineales para el sistema de péndulo invertido simple.

np

Ecuación 1.3

Ecuación 1.4

Ecuación 1.5

Ecuación 1.6

Modelo matemático de un doble péndulo invertido de Furuta.

La obtención de las ecuaciones matemáticas que describen la dinámica del sistema para el doble péndulo rotatorio toma un enfoque diferente. El enfoque de Euler-Lagrange es usado debido a sus simplificaciones matemáticas. El Lagrangiano es definido como la diferencia entre la energía potencial y cinética y es usado con la ecuación de Euler-Lagrange como sigue,

L=K−P

ddt ( ∂ L∂ q̇ )−∂ L

∂q=Qq

Donde,

K :Energía cinética del sistemaP :Energía potencial del sistemaQq :Fuerzas generalizadasq :Coordenadas generalizadas

Para el doble péndulo rotacional invertido,

q=[θ1 θ2 θ3 ]T

Qq=[τ−b1 −b2 −b3 ]T

K=12J1 θ̇1

2+ 12J 2 θ̇2

2+ 12J3 θ̇3

2+ 12m2 [ (L1 θ̇1+L2 θ̇2 cosθ2 )2+(l2 θ̇2 sinθ2 )

2 ]+ 12m3 [ (L1 θ̇1+L2 θ̇2cos θ2+l3 θ̇3cosθ3 )2+ (L2 θ̇2sin θ2+l3 θ̇3 sinθ3 )2 ]

P=−gm2 l2cosθ2−gm3 (l2 cosθ2+l3 cosθ3 )

Donde,

mi:Masa del brazoig :Aceleración debidaa la gravedadLi:Longitud del brazoili :Distancia desde elcentro derotación del brazoi hasta sucentro demasaJ i :Momentode inercia enel centro derotación del brazoiθi :Coordenadaangular del brazoi .τ :Torque decontrolb1:Fricciónviscosaen el pivoteo junturarotacionaldel brazo i

Lagrangiano - Ecuación 1.7

Euler-Lagrange - Ecuación 1.8

Ecuación 1.9

Ecuación 1.10

Ecuación 1.11

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange resulta en tres ecuaciones acopladas no-lineales sustituyendo la Ecuación 1.7 en la Ecuación 1.8. Para θ1 tenemos,

ddt ( ∂L∂ θ̇1 )−

∂ L∂θ1

=τ−b1 θ̇1

τ−b1 θ̇1=θ̈1 (J 1+L12 (m2+m3 ) )+L1 (m2l2+m3L2 ) θ̈2 cosθ2+m3l3 L1θ̈3 cosθ3−L1 (m2 l2+m3 L2 )θ̇22sin θ2−m3 L1l3 θ̇3

2 sin θ3

Para θ2,

ddt ( ∂L∂ θ̇2 )−

∂ L∂θ2

=−b2θ̇2

−b2 θ̇2= (m2l2+m3L2 ) L1 θ̈1 cosθ2+θ̈2 (J 2+m2 l22+m3 L22 )+( θ̈3 cos (θ3−θ2 )−θ̇32 sin (θ3−θ2 ))m3 l3L2+g (m2l2+m3L2 ) sin θ2

Para θ3,

ddt ( ∂L∂ θ̇3 )−

∂ L∂θ3

=−b3θ̇3

−b3 θ̇3=m3l3L1 θ̈1 cosθ3+m3 l3 L2 ( θ̈2 cos (θ3−θ2 )−θ̇22sin (θ3−θ2 ))+θ̈3 (J3+m3l3

2 )+g m3 l3sin θ3

Si las ecuaciones son parametrizadas las reduciremos a una forma más manejable. Definimos h1 , h2 , h3 , h4 , h5 , h6 , h7 , h8 como

h1=J 1+L12 (m2+m3 )

h2=L1 (m2l2+m3 L2)h3=L1m3l3h4=J2+L2

2m3+l22m2

h5=L2m3l3h6=J 3+l3

2m3h7=g (m2l2+m3L2 )h8=gm3 l3

Las ecuaciones de la dinámica se reducen a,τ−b1 θ̇1=h1 θ̈1+h2 θ̈2 cosθ2+h3 θ̈3 cosθ3−h2 θ̇2

2sinθ2−h3 θ̇32 sinθ3

−b2 θ̇2=h2 θ̈1cosθ2+h4 θ̈2+h5 θ̈3 cos (θ3−θ2 )−h5 θ̇32sin (θ3−θ2 )+h7sin θ2

Ecuación 1.12

Ecuación 1.13

Ecuación 1.14

−b3 θ̇3=h3 θ̈1cos θ3+h5 θ̈2 cos (θ3−θ2 )−h5 θ̇22 sin (θ3−θ2 )+h6 θ̈3+h8sin θ3

Las cuales son tres ecuaciones de movimiento no-lineales, acopladas, de segundo orden que describen la dinámica del sistema de doble péndulo invertido rotacional.

REFERENCIASNoguchi, K. Izutsu, M. Kamamichi, N. Shiotsuki, T. Ishikawa, J. Furuta, K. , "Swinging up and stabilization control of double Furuta pendulums by safe manual contro,l" in Intelligent Robots and Systems, IEEE/RSJ International Conference, pp. 4232 - 4237, 2009.B. S. Cazzolato y Z. Prime, "On the Dynamics of the Furuta Pendulum," in Journal of Control Science and Engineering, vol. 2011, Article ID 528341.Matsuda, N. and Izutsu, M. and Furuta, K., "Simultaneous swinging-up and stabilization of double furuta pendulums," in SICE, Annual Conference, pp. 110-115, 2007.Craig, K. and Awtar, S., “Inverted pendulum systems: rotary and arm-driven a mechatronic system design case study”, Proceedings of the 7th Mechatronics Forum International Conference, Atlanta, 2005.Awtar, S., King, N., Allen, T., Bang, I., Hagan, M., Skidmore, D. and Craig, K., “Inverted pendulum systems: Rotary and arm-driven – A mechatronic system design case study”, Mechatronics, vol. 12, pp. 357-370, 2002.

Ecuación 1.15