modulo de matematicas 4 medio
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1. Juan tiene 24 años y la razón entre su edad y la de su hermano es 3:4. ¿Cuál es la edad de su hermano?
a) 32 b) 18 c) 28 d) 48 e) 16
2. La tercera parte de a es igual a la mitad de b. Si a + b = 15, ¿cuánto vale b? a) 6 b) 9 c) 15 d) 5 e) 3
3. La diferencia de dos números es 48 y su razón es 9:5. ¿Cuál es el número mayor? a) 108 b) 60 c) 88 d) 40 e) 102
4. Dos personas se reparten $ 25.000 en la razón 2:3. ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibe cada una de ellas?
a) $ 10.000 b) $ 15.000 c) $ 5.000 d) $ 20.000 e) $ 500
5. Calcular x, tal que (5x + 5) : 5 = (6x + 4) : 7 a) 3 b) 10 c) 11 d) -3 e) -10
6. Si A : B : C = 4 : 6 : 5 y A + B + C = 45. El valor de A + B - C es: a) 60 b) 45 c) 30 d) 15 e) 12
7. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, la razón entre mujeres y hombres es: a) 36 : 12 b) 24 : 12 c) 36 : 24 d) 2 : 3 e) 1 : 2
8. En una fiesta hay 12 hombres y la razón entre mujeres y hombres es 2 : 3. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?
a) 8 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
9. Tres kilos de papas cuestan x pesos y 6 kilos de papas cuestan (x + 30) pesos. El valor de 3 kilos de papas es:
a) $ 30 b) $ 40 c) $ 50 d) $ 60 e) $ 70
10. Con $ 400 podemos comprar a kg. de dulce. ¿Cuántos kgs. podemos comprar con $ 1.000? a) 600 b) 600a c) 25a d) 2,5a e) 2,5
11. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 5 : 9. ¿Cuál es el menor de ellos? a) 5 b) 9 c) 12 d) 60 e) 108
12. Cuatro pares de zapatos valen $ t. Entonces dos docenas de zapatos valen: a) $ 6t b) $ (t + 3) c) $ t/3 d) $ 3t/8 e) $ 3t
13. Si 3 ladrillos pesan 6 kilos, ¿cuánto pesan, en kilos, una decena de ladrillos? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26
14. Siete obreros cavan en dos horas una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo tiempo, 42 obreros?
a) 6 b) 30 c) 60 d) 69 e) 90
15. Con un jarro de jugo se alcanza a llenar 36 vasos, ¿cuántos de estos vasos se podrán servir si sólo son llenados hasta 3/4 de su capacidad?
a) 27 b) 35 c) 45 d) 48 e) 50
16. En pintar los 2/3 de una pared se ocupa 1/5 del tarro de pintura, ¿cuánta pintura se ocupará en pintar toda la pared?
a) 10/3 del tarro b) 2/15 del tarro c) 2/45 del tarro d) 3/5 del tarro e) 3/10 del tarro
17. Las edades de Juan y Pedro están en la razón 1 : 3. Si Juan tiene 10 años, ¿cuántos años suman sus edades?
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
18. ¿Cuánto cuestan 44 m2 de alfombra a $ 24.000 los 6 m
2?
a) $ 176.000 b) $ 178.000
c) $ 186.000
d) $ 196.000
e) $ 198.000
19. ¿Qué número debe sumarse a 7 y sustraerse de 3, para obtener dos números cuya razón sea 3 : 1?
a) -2 b) - 1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2
20. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3 : 8. Si su área es 600 cm2, entonces su lado mayor
mide: a) 30 cm. b) 80 cm. c) 15 cm. d) 40 cm. e) 90 cm.
21. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 lineas a doble espacio. ¿Cuántas lineas escribirá en la misma página a triple espacio?
a) 32 b) 33 c) 35 d) 36 e) 81
22. Un cordel mide 2,4 metros. Se deben hacer dos nudos de modo que los tres segmentos en que queda dividido sean ertre sí como 3 : 4 : 5. ¿Cuál es la medida que debe tener el segmento mayor?
a) 60 cm. b) 80 cm. c) 100 cm. d) 120 cm. e) 140 cm.
23. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2 : 3. Si para llenarlo se necesitan 15 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque?
a) 15 litros b) 20 litros c) 25 litros d) 30 litros e) 45 litros
24. Para hacer un alambrado se necesitan 388 postes, colocados a 1,50 metros de distancia uno del otro. ¿Cuántos postes se ocuparán si se ponen a 2 metros uno de otro?
a) 194 b) 291 c) 517 d) 582 e) Ninguna de las anteriores
25. En un corredor hay 12 hileras de baldosas de 0,20 cm. de lado ¿Cuántas corridas de baldosas de 0,15 cm. por lado podrían colocarse?
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
26. Si dos ángulos interiores de un rombo están en razón 1 : 3, entonces la medida de un ángulo agudo del rombo es:
a) 60º b) 50º c) 45º d) 30º e) 20º
27. En una granja hay patos y gallinas en razón 9 : 10, si en una fiesta se sacrifican 19 gallinas, la razón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente?
a) 10 b) 81 c) 90 d) 100 e) 119
28. Por cada $ 7 que recibe Juan, Pedro recibe $ 5. Si Juan recibe $ 70 más que Pedro. ¿Cuánto recibe Juan? a) $ 240 b) $ 175 c) $ 120 d) $ 98 e) $ 50
29. Un grifo que entrega 0,6 litros de agua por segundo, llenó un estanque en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9 litros por segundo?
a) 7 horas b) 14 horas
c) 16 horas d) 28 horas e) 31,5 horas
30. La suma de 6 enteros pares consecutivos es igual a 90. ¿En qué razón están los dos números centrales?
a) 1 : 2 b) 3 : 4 c) 6 : 7 d) 7 : 8 e) 8 : 9
31. Los pesos de dos muebles están en la razón de a : b. La suma de los pesos de estos muebles es a + b. ¿Cuál alternativa indicará siempre el peso de uno de ellos?
a) b b) a + b c) a - b d) a·b e) a/b
32. Si 3 : p = 11 : 17, entonces ¿qué parte es 3 de p? a) 1/11 b) 1/17 c) 11/17 d) 11/51 e) 17/33
33. Dado el conjunto D = {x / x es divisor positivo de 12} ¿Cuántas parejas de números que estén en la razón 1 : 2, de este conjunto se pueden formar?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
34. Una repisa con libros pesa 44 kg. Si el peso de la repisa está con el peso de los libros en la razón 1 : 10, ¿cuántos kilos pesa la repisa?
a) 4 b) 4,4 c) 6 d) 6,6 e) 8
35. La superficie de un rectángulo es x2. Si el ancho y el largo del rectángulo están en la razón 1 : 4, entonces
el ancho está representado por a) 2x
3 b) x/2 c) 2/x d) x
2/2 - x e) x
2/4
36. Las edades de un hijo y un padre están en la razón 1 : 5. Hace 5 años las edades estaban en la razón 1 : 9. ¿Qué edad tiene el hijo?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12
37. Si 1 : c = 5 : d, entonces el producto entre 0,5 y c es igual a: a) 0,1d b) 0,5d c) 1,0d d) 2,5d e) 0,25d
38. Se sabe que p y q son números enteros positivos y que q/r = 1/p. Si q = 2 y r = 10q, entonces 3p = ?
a) 88 b) 66 c) 54 d) 30 e) 10
39. Los diámetros de dos círculo tangentes interiormente, están en la razón 1 : 2. ¿En qué razón están las áreas de los círculos?
a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 1 : 4 d) 1 : 8 e) 1 : 16
40. Con $p se compran 4 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos del mismo valor se pueden comprar con $2pq?
a) q/8p b)8q
c) 8q/p d) 8p
e) 8p/q
PROPORCIONES
1) scribe la razón entre los siguientes pares de números y calcula su valor. a) 18 y 3 b) ¾ y 5 c) 1/3 y 1/6 d) 1,2 y 4/5 e) 0,91 y 0,7
2) Resuelve:
a) En una razón el antecedente es 36 y el consecuente 9. ¿Cuál es el valor de la razón? b) En una razón el antecedente es 5/9 y su valor 5/6. Calcula su consecuente. c) En una razón el consecuente es 8 y su valor 0,375. Determina el antecedente.
3) Resuelve:
a) En un curso de 43 alumnos , 17 fueron reprobados. ¿Cuál es la razón entre el número de aprobados y el número de alumnos del curso?
b) En un sitio, el área construida es de 120 m2 y el área libre es de 80 m
2. ¿Cuál es la razón entre el
área construida y el área del terreno total? c) La razón entre las velocidades de un avión y de un tren es 2:3. Si la velocidad del avión es de
600 Km/hr ¿Cuál es la velocidad del tren? d) En un curso, la razón entre el número de niños y niñas es 3:2. Si el número de niños es 18, ¿cuál
es el total de alumnos del curso? e) La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3:4. Si el lado menor mide 15 cm.,
¿cuánto mide el perímetro del rectángulo?
4) Forma una proporción cuya razón valga:
a) 3 b) 4 c) 10 d) 0,25 e) 3,0
5) Completa la proporción cuya primera razón es:
a) 36:12 b) 60:48 c) 9:8 d) 0,1:0,5
e) a:b f) 7
3:
5
2
6) Determina si cada par de las razones siguientes forman o no una proporción:
a) 5
2 y
25
10 b)
7
21 y
5
3 c)
4
3 y
32
24
d) 28
8 y
7
2
7) Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones: 8)
a) 2
5
24=x
b) 4836
27 x= c) x
2,6
55,0
11,0 =
d) x:9
4
5
3:6,0 = e)
135
35
28=x
f) 3
4
9=x g)
x
15
24
6 = h)x
3
21
7 =
i) x
15
4,1
7,0 = j) x
2,0
9,0
3,0 =
k) x
6
5
3
24
3
= l) x:38,7:6,2 =
m) x
3
1
12
56
1
= n) x
6
02,4
01,2 = ñ) 8,1:34,2: =x
o) x
2
17
5
13
8 = p) 5,0:7,3:4,7 =x
q) 2
12:
6
5:
3
2x=
9) En la proporción 6
12
18
36 = aplica cada una de las siguientes propiedades:
a) Componer respecto al antecedente b) Componer y descomponer a la vez c) Descomponer respecto al consecuente d) Descomponer respecto al antecedente
10) Resuelve:
a) La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. Calcula el valor de cada número. b) La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la razón 7 : 4. calcula el peso de
cada vehículo. c) Las edades de Ana y Julia están en la razón 3 : 2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus
edades es 80 años? d) El perímetro de un rectángulo es 128 cm. y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcula su
área. e) Dos amigos deben repartirse $ 27.000 en la razón 5 . 4. ¿Cuánto dinero recibe cada uno?
11) Resuelve:
a) Si a + b = 54 y a : 4 = b : 5, calcula los valores de a y b. b) Si x – y = 21 y x : y = 7 : 4, calcular x e y.
c) Calcula a y b si b
a=5
7 y a – b = 30.
d) Si a + b = 18 y a : 5 = b . 4, calcula a y b. e) El dinero de dos personas están en la razón 12 : 7 y una de ellas tiene $850 más que la otra,
¿cuánto dinero tiene cada una? f) Los ángulos interiores de un triángulo están en razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno? g) Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la razón 1.2:3:4. ¿Cuánto recibe cada una? h) La suma de tres números es 36 y están en la razón 2 : 3 : 4. Calcula los números.
i) Hallar x, y, z, si x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2.
j) Calcula el valor de x, y, z, si x – y + z = 10 y x : y : z = 2
1: 3 :
6
5
k) Divide el número 840 en partes inversamente proporcionales a los números 3
1,
4
1 y
5
1
l) Si a + b + c = 72 y 342
cba == , calcula a, b y c.
m) Si 237
cba == y a – b – c = 16, calcula a, b y c.
12) Calcula una cuarta proporcional entre:
a) 6; 18; 15 b) 2; 7; 12
c) 2
1;
3
1;
4
1
d) 8
3; 4;
2
1
13) Calcula una tercera proporcional entre:
a) 2
1 y
5
1
b) 0,2 y 0,08 c) 4 y 9 d) 12 y 20 e) 3,2 y 1,4
f) 2
1 y
3
1
14) Calcula la media proporcional entre:
a) 3 y 27
b) 16
26 y
25
16
c) 0,5 y 200 d) 2 y 32
e) 2
1 y 4
f) 9
7 y
7
1
g) 2 y 6 h) 3 y 6
15) Resuelve:
a) Tres metros de género valen $800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? b) Seis obreros cavan en tres horas una zanja de 20 m. de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en el
mismo tiempo, 42 obreros trabajando en las mismas condiciones? c) Si una persona de 1,75 m. de altura proyecta una sombra de 1,25 m. de longitud, calcula la altura
de un árbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m. d) Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a $20 cada uno. Si suben a $25, ¿cuántos podré comprar? e) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas hora demoran 60 telares
iguales en producir la misma cantidad de tela? f) La rapidez de un automóvil es de 70 Km/hr y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia.
¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/hr?
g) Si 30 máquinas tejen 2.000 m. de tela en 20 días, ¿cuántas máquinas iguales a las anteriores serán necesarias para producir 7.000 m. de tela en 14 días?
h) Un depósito de 500 litros es llenado por un grifo a razón de 5 litros por segundo en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse un depósito de 1.250 litros por un grifo a razón de 8 litros por segundo?
i) Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3.000 mensuales, estando encendidas 6 horas diarias, ¿qué gasto originarían 20 ampolletas durante 10 horas diarias?
j) 4 operarios producen en 10 días, 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto harán 10 operarios en 16 días?
PORCENTAJES 1. Expresa en fracción:
a) 20% b) 12% c) 60% d) 75% e) 100% f) 150% g) 1/2 % h) 3/5%
2. Expresa en porcentaje:
a) 0,12 b) 0,72 c) 0,7 d) 1,7 e) 3 f) 1/10
g) 3,0
h) 3/4 i) 0,425 j) 4,12
3. Completa la siguiente tabla:
10% 12,5% 20% 25%
3
133 % 50% 75%
12
3
30
3
120
4,8
4. Juan tiene que pagar $ 90.000. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar todavía? a) $ 450 b) $ 4.550 c) $ 85.500 d) $ 89.500 e) $ 94.550 5. Un metro de tela me cuesta $ 1.500. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% de lo que costó? a) $ 1.800 b) $ 1.200 c) $ 1.300 d) $ 1.000 e) $ 350 6. Pedro tenía $ 80.000. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le queda? a) $ 16.000 b) $ 28.000 c) $ 52.000 d) $ 54.400 e) $ 78.000 7. De los 125 alumnos de un colegio, el 36% son damas. ¿Cuántos son varones? a) 89 b) 80 c) 45 d) 36 e) 25 8. Una camisa me costó $ 10.500, con lo que gasté el 25% de mi dinero. ¿Cuánto dinero tenía? a) $ 2.625 b) $ 13.125 c) $ 32.525 d) $ 40.500 e) $ 42.000 9. De las 240 fichas que tiene un niño, 48 son rojas. ¡Cuál es el porcentaje de fichas rojas? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 10. ¿Qué porcentaje de rebaja se hace en una deuda de $ 4.500 que se reduce a $ 3.600. a) 80% b) 60% c) 40% d) 20% e) 10% 11. Habiendo salido el 84% de los alumnos de un colegio, permanecen en el mismo 20 alumnos. ¿Cuántos alumnos salieron del colegio? a) 168 b) 105 c) 100 d) 84 e) 72 12. Tenía $ 350 y pagué $ 140 que debía. Lo que me queda, ¿qué porcentaje es de lo que tenía? a) 60% b) 55% c) 50% d) 45% e) 40% 13. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $ 680 para ganar el 15% de la venta? a) $ 700 b) $ 702 c) $ 720 d) $ 750 e) $ 782 14. Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan? a) 54 b) 45 c) 36 d) 32 e) 30
15. Un hombre al morir dispone que sus ahorros consistente en 20.000 dólares, se reparta en 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a su ahijado. ¿Cuántos dólares le correspondió a este último? a) 150 b) 1500 c) 7.000 d) 7.800 e) 8.000 16. ¿Cuál es el 10% del 15% de 4.000? a) 1.000 b) 400 c) 100 d) 60 e) 6 17. El valor recíproco del 20% de x es: a) x/20 b) x/5 c) –5/x d) 5/x e) 20/x 18: ¿Cuánto minutos son el 35% de una hora? a) 2 b) 21 c) 35 d) 1/35 e) 7/12 19. Un cortador de pasto cobraba $ 20.000 por su trabajo. Ahora pedirá $ 24.000, ¿en qué porcentaje aumentó su tarifa? a) 120% b) 80% c) 60% d) 40% e) 20% 20. Una persona gastó $ 14.400, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto dinero tenía? a) $ 72.000 b) $ 57.600 c) $ 45.000 d) $ 25.600 e) $ 3.600 21. Un artículo se sube de $ 1.500 a $ 1.800. ¿Cuál es el porcentaje de alza? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 22. Si a 80 se le resta el 80% de su mitad. ¿Cuánto se obtiene? a) 80 b) 64 c) 48 d) 32 e) 16 23. Si la diferencia entre el 72% y el 57% de un número es 45. ¿Cuál es el número? a) 450 b) 300 c) 250 d) 150 e) 100 24. Si Gonzalo tuviese un 16% menos de la edad que tiene, tendría 21 años. ¿Cuál es la edad actual de Gonzalo? a) 24 años b) 25 años c) 26 años d) 27 años e) 28 años 25. Un niño repartió 40 dulces entre sus amigos. A Juan le dio 2/5 del total, a Mario el 25% del resto y a Claudio el 50% del nuevo resto. ¿Con cuántos dulces se quedó el niño? a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 26. De un paquete con 650 gramos de chocolate regional, Mónica se comió el 40% y Ximena se comió la mitad del resto. ¿Cuántos gramos de chocolate quedan? a) 350 b) 300 c) 250 d) 200 e) 195 27. ¿Cuál es el 10% del inverso multiplicativo de 0,05? a) 1/2 b) 2 c) 5 d) 1/20 e) 0,005
28. Si un trazo se divide en 4 partes. ¿Qué porcentaje es una parte, del resto? a) 40% b) 33,3...% c) 25% d) 20% e) 75% 29. ¿Qué porcentaje es 1/3 de 1/6? a) 50% b) 100% c) 150% d) 200% e) 400% 30. Si el lado de un cuadrado aumenta el doble, ¿en qué porcentaje aumentó su área?
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIONES
1) (m+3)2 21) (x +5)(x – 2) SOLUCIONES
2) (5+x)2 22) (a – 11)(a + 10) 1) m2+6m+9
2)x2+10x+25
3) (6a + b)2 23) (a
6 + 7)(a
6 – 9) 3) 36a2+12ab+b2
4) 49x2+154x+121
4) (7x + 11)2 24) (ab + 5)(ab – 6) 5) 1+6x2+9x4
6) 4x2+12xy+9y2
5) (1+ 3x2)
2 25) (x + 2)(x + 3) 7) 16m10+40m5n6+25n12
8) a2m
+2am+n
+a2n
6) (2x + 3y)2 26) (3ab – 5x
2)
2 9) a
2-6a+9
10) 4a2-12ab+9b
2
7) (4m5 + 5n
6)
2 27) (a
2 + 8)(a
2 – 7) 11) x4-2x2+1
12) x2-y
2
8) (am
+ an)
2 28) (m
2–m + n)(n+m+m
2) 13) a
2-x
2
14) 4a2-1
9) (a – 3)2 29) (x+5)(x-5)(x
2+1) 15) 4m
2-81
16) a6-b
4
10) (2a – 3b)2 30) (a+2)(a-3)(a-2)(a+3) 17) 1-64x
2y
2
18) x2+2xy+y
2-z
2
11) (x2 – 1)
2 31) (x
2-11)(x
2-2) 19) 4a
2-4ab+b
2-c
2
20) ) a2+3a+2
12) (x + y)(x – y) 32) (m2-m+n)(n+m+m
2) 21) x
2+3x-10
22) a2-a-110
13) (a –x)(x + a) 23) a12
-2a6-63
24) a2b
2-ab-30
14) (2a– 1)(1 + 2a) 25) x2+5x+6
26) 9a2b
2-30abx
2+25x
4
15) (2m + 9)(2m – 9) 27) a4+a
2-56
28) m4+2m
2n+n
2-m
2
16) (a3 + b2)(a3 – b2) 29) x4-24x
2-25
30) a4-13a
2+36
17) (1 – 8xy)(1 + 8xy) 31) x4-13x
2+22
32) m4+2m
2n+n
2-m
2
18) (x + y +z)(x + y – z)
19) (2a – b – c)(2a – b + c)
20) (a + 1)(a + 2)
CUADRADO DE UN BINOMIO 1. Completa la siguiente tabla:
a b a+b (a + b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² + 2ab + b²
2 3
6 4
2 5
4 2
2. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a (a + b)² es
____________________ 3. Construye ahora la siguiente tabla:
a b a-b (a - b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² - 2ab + b²
5 2
4 1
2 4
1 3
4. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a (a - b)² es
___________________ . Resuelve los siguientes cuadrados de binomios:
1. (x + 5)² 2. (x - 7)² 3. (a + 1)² 4. (m + 21)² 5. (x - 2)² 6.(x - 18)² 7. (p + 5q)² 8. (x - 3y)² 9. (2x + 6)² 10. (3x - 5)² 11. (6x - 8y)²
12. (0,2x - 3)² 13. (5a - 0,3)²
14. ( x4
3 - 5)²
15. 2
4
3
3
2
− ba
6. Determina el área del cuadrado cuyo lado mide:
a) x + 12 b) 2x - 1 c) 0,3x + 2
d) yx +5
2
FACTOR COMUN
====++++ 225baa
1) Me pregunto ¿qué letra tiene igual? a 2) ¿Cuál es el exponente mas pequeño de la a? 2
3) Entonces escojo el 2a
4) Coloco la 2a y abro un paréntesis
====++++ 225baa
2a (
5) Divido cada término entre 2a
====++++2
22
2
5
a
ba
a
a
2a (
6) Coloco la respuesta dentro del paréntesis restando los exponentes asi: “No se te olvide que para dividir se copia la base igual y se restan los exponentes” “No se te olvide cualquier base elevada a la cero es igual a 1.”
====++++2
22
2
5
a
ba
a
a (((( ))))222252 baaa −−−−−−−− ++++ = (((( ))))2032 baaa ++++ = (((( ))))232 baa ++++
Se copia el signo
Ejemplo guiado:
====−−−− 2446nmnm
1) Me pregunto ¿qué letras tiene igual? _________________ . 2) De las letras que escogí ¿Cuáles son los exponentes más pequeños? _____________. 3) Entonces escojo las letras con exponentes más pequeños y abro paréntesis.
====−−−− 2446nmnm _________ (
4) Divido cada término entre las letras con menor exponente:
====−−−−_________
2446nmnm
_________ (
5) Divido y coloco la respuesta dentro del paréntesis.
====−−−−_________
2446nmnm
_________ ( _____________________)
Factorización de binomios DIFERENCIA DE CUADRADOS Características:
- Tienen dos términos ( es un binomio = bi significa 2) - El signo que los separa siempre es menos - Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6… - Tiene raíz cuadrada exacta el primer término - Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término
Forma de factorizar: Primero abro paréntesis Segundo saco raíz cuadrada al número si no la se, le saco los factores primos al número
asi: Coloco la respuesta asi:
Tercero saco la raíz cuadrada de la letra asi:
a dos entre potencia la siempre divido 22
2 aa =
y la respuesta es la raíz de la letra. Coloco la respuesta asi Cuarto copio el signo.
Coloco asi
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Multiplico los
números circulados 2
2
2 x 2 = 4 y esta
es la raíz
cuadrada 16 4(
(
a4(
− 4( a
b 4( −a b) 4( −a
(
4(
a4(
− 4( a
b) 4(b) 4( +− aa
=− 22 16 ba
1)
2)
3) 4)
5)
6) 3) 7)
Por cada pareja de
2 sale un dos
Quinto saco la raíz cuadrada del segundo término siguiendo los pasos segundo y tercero. Coloco la respuesta asi Sexto cierro paréntesis. asi Séptimo copio el primer paréntesis solamente que le cambio el signo a +. Asi
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Características:
- Tienen dos términos ( es un binomio = bi significa 2) - El signo que los separa pude ser + ó - - Las potencias de letras están elevadas con números múltiplos de 3, 6, 9… - Tiene raíz cúbica exacta el primer término - Tiene raíz cúbica exacta el segundo término
Forma de factorizar:
Primero abro paréntesis ( Segundo saco raíz cúbica al número si no la se, le saco los factores primos al número asi: Coloco la respuesta asi:
Tercero saco la raíz cúbica de la letra asi:
a dos entre potencia la siempre divido 236
6 aa =
Coloco asi Cuarto copio el signo. Coloco asi Quinto saco la raíz cúbica del segundo término siguiendo los pasos segundo y tercero. Coloco asi Sexto cierro paréntesis. Coloco asi
b 4( −a
b) 4( −a
b) 4(b) 4( +− aa
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
2 Multiplico los
números circulados
2 x 2 = 4 y
esta es la
raíz cúbica
de 64
4 (
(
b 4( 2 +a
4(
1)
2) 3)
4)
5)
Por cada trío de 2
sale un dos
2
36 64 ba +
2 4 ( a
4 ( 2 +a
2 4 ( a
4 ( 2 +a
b 4( 2 +a
b) 4( 2 +a 6)
b) 4( 2 +a
EL SEGUNDO PARENTESIS SE FORMA ASI: Séptimo abro un segundo paréntesis Coloco asi Octavo: elevo al cuadrado el primer término de mi respuesta del paréntesis. Noveno: pongo el signo contrario que tengo en mi respuesta del primer paréntesis Décimo: multiplico el primer término por el segundo de mi respuesta del primer paréntesis. Onceavo: siempre pongo signo + Doceavo: elevo al cuadrado el segundo término de mi respuesta del primer paréntesis. Treceavo: cierro paréntesis.
( b) 4( 2 +a
9) −+ 42 (16a b) 4( a
8) ( )222 4a( b) 4( +a
42 (16a b) 4( +a
10) ( )( )baa 242 4(16a b) 4( −+
X
baa 242 4(16a b) 4( −+
+−+ 4(16a b) 4( 242 baa
( )2242 b 4(16a b) 4( +−+ baa
) b 4(16a b) 4( 2242 +−+ baa
b 4(16a b) 4( 2242 +−+ baa
TRINOMIOS
TRINOMIO DE LA FORMA CBXX ++2
Características:
- Tienen tres términos
- No tiene numero delante del 2X
Forma de factorizar:
Primero: ordeno el trinomio en forma descendente. Segundo: abro dos paréntesis Tercero: saco raíz cuadrada del primer término y lo coloco en cada uno de los paréntesis
La raíz cuadrada de mmm == 22
2
Cuarto: copio el primer signo del ejercicio en el primer paréntesis Quinto: multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el segundo paréntesis Sexto: Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los paréntesis y analizo los signos: Me pregunto ¿son signos iguales o diferentes? En este caso son diferentes porque tengo + y - entonces leo la opción B que viene a continuación.
A. si en los dos paréntesis tengo signos iguales necesito dos números que multiplicados me den el tercer término y sumados me den el segundo término.
mm 5142 +−
145
514
2
2
−++−mm
mm
( ) ( )
1452 −+ mm
( ) ( ) m m
1452 −+ mm
( ) ( ) m m
1452
+−+ mm
( ) ( ) - m m
1452
+−+ mm
Opero + . - = -
( ) ( ) - m m
1452
+−+ mm
B. Si en los dos paréntesis tengo signos diferentes necesito dos número que multiplicados me den el tercer término y restados me den el segundo término. Necesito dos números que multiplicados me den 14 y restados me den 5 Si no se cuales son los números hago una tabla de factores primos que forman el número y con ello encuentro todas las posibilidades para hallar el segundo término menos la posibilidad del número multiplicado por 1.
14 2 ¿ qué números podrán ser? 7 7 14 x 1 = 14 pero 14 - 1 ≠ 5
1 7 x 2 = 14 y 7 – 2 = 5 Esta es la respuesta que cumple con la regla.
Entonces 7 y 2 son los números. Séptimo: Para terminar siempre coloco el número mayor en el primer paréntesis y el menor en el segundo.
Casos especiales:
a) ( ) ( ) =++−+ 20122
baba
Cuando tenemos paréntesis como en éste caso se realiza asi:
Primero: saco raíz cuadrada del primer término ( )2ba +
Segundo: abro dos corchetes y coloco mi respuesta de la raíz cuadrada del primer término en cada uno y opero la ley de signos como el caso anterior.
( ) ( ) - m m
1452
+−+ mm
( ) ( ) 2 - m 7 m
1452
+−+ mm
( ) ( )
( )
( )ba
ba
baba
+
+
=++−+
22
22012
( ) ( )
( )
( )[ ] ( )[ ] - -
2012
22
2
baba
ba
baba
++
+
=++−+
Tercero: como tengo dos signos iguales encuentro dos números que multiplicados me den 20 y sumados me den 12 ( el número que esta fuera del paréntesis del segundo término) asi:
Si no se realizo la tabla de factores primos de un número asi:
20 2 10 2 5 5
1 Posibilidades: 4 x 5 = 20
4 + 5 = 9 como no es igual a 12 entonces no son los números
10 x 2 = 20 10 + 2 = 12 como si me da
12 que era el número que buscaba entonces estos son los números 10 y 2. Para finalizar coloco en los paréntesis siempre el número mayor en el primer paréntesis y luego el menor número en el segundo paréntesis.
b) Primero ordeno el polinomio
Segundo : observo que el signo que tiene 4y es menos (
4y− ).
Tercero: factorizo el signo menos ( no se te olvide que un signo menos delante de un paréntesis le cambia de signo a todo el trinomio al ingresarlo):
Cuarto: ahora procedes como siempre: sacas raíz cuadrada del primer término lo colocas en cada paréntesis y luego realizas la operación de signos.
( ) ( )
( )
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] 2 - 10 -
- -
2012
22
2
baba
baba
ba
baba
++++
+
=++−+
=−+ 4230 yy
=++− 3024 yy
( ) =−−−=++−
30
30
24
24
yy
yy
( )
( )( ) -
30
30
22
24
24
+−
=−−−=++−
yy
yy
yy
Quinto: buscas dos números que multiplicados te den 30 y que restados ( porque tienes signos diferentes ) te den 1. 30 2 15 3 5 5 1
TRINOMIOS
TRINOMIO DE LA FORMA CBXAX ++2
Características:
- Tienen tres términos
- Si tiene numero delante del 2X
Forma de factorizar:
Primero: ordeno el trinomio en forma descendente. Segundo: abro dos paréntesis Tercero copio el número del primer término en cada uno de los paréntesis. Cuarto: saco raíz cuadrada de la letra del primer término y lo coloco en cada uno de los paréntesis
La raíz cuadrada de xxx == 22
2
Quinto: copio el primer signo del ejercicio en el primer paréntesis
xx 726 2 ++
276
726
2
2
++++xx
xx
( ) ( )
276 2 ++ xx
( ) ( ) 6 6
276 2 ++ xx
( ) ( ) 6x x 6
276 2 ++ xx
( ) ( ) 6x x 6
276 2
+++ xx
Posibilidades: 6 x 5 = 30 6 – 5 = 1 estos son los números 6 y 5. No olvides de colocar el número mayor en el primer paréntesis y el menor en el segundo paréntesis.
( )
( )( ) 5 6 -
30
30
22
24
24
+−
=−−−=++−
yy
yy
yy
Sexto: multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el segundo paréntesis Séptimo multiplico el número del primer término por el tercero y lo cambio por el tercero término 6 x 2 = 12 Octavo: Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los paréntesis y analizo los signos: Me pregunto ¿son signos iguales o diferentes? En este caso son iguales porque tengo + y + entonces leo la opción A que viene a continuación.
A. si en los dos paréntesis tengo signos iguales necesito dos números que multiplicados me den el tercer término y sumados me den el segundo término.
B. Si en los dos paréntesis tengo signos diferentes necesito dos número que multiplicados
me den el tercer término y restados me den el segundo término. Necesito dos números que multiplicados me den 12 y sumados me den 7 Si no sé cuales son los números hago una tabla de factores primos que forman el número y con ello encuentro todas las posibilidades para hallar el segundo término mas la posibilidad del número multiplicado por 1.
12 2 ¿ qué números podrán ser? 6 2 12 x 1 = 12 pero 12 + 1 ≠ 7 no es 3 3 2 x 6 = 12 pero 2 + 6 ≠ 7
1 4 x 3 = 12 y 4 + 3 = 7 Esta es la respuesta que cumple con la regla.
Opero + . + = +
( ) ( ) 6x x 6
276 2
++++ xx
( ) ( ) 6x x 6
1276
276
2
2
++++
++
xx
xx
( ) ( ) 6x x 6
1276
276
2
2
++++
++
xx
xx
( ) ( ) 6x x 6
1276
276
2
2
++++
++
xx
xx
Entonces 4 y 3 son los números. Noveno: Coloco el número mayor en el primer paréntesis y el menor en el segundo. Décimo: Debo dividir por el número del primer término (6 ) o por sus factores primos (3 y 2 ) un paréntesis o los dos para que cumpla con la siguiente regla: al dividir cada número el residuo debe ser cero. Si utilizáramos el 6 en el primer paréntesis tenería: 6/6 = 1 residuo 0 4/6 = 0.666 queda decimal no se puede utilizar. Si utilizamos el 6 en el segundo paréntesis tendría: 6/6 = 1 residuo 0 3/6 = 1.5 si tiene decimal Observo cuidadosamente mis paréntesis y veo que el primer paréntesis son números pares y el segundo son múltiplos de 3 por lo que si divido el primer paréntesis entre 2 y el segundo entre 3 me da una a respuesta sin decimal y con residuo cero. Y esta es mi respuesta final.
TRINOMIOS TRINOMIO CUADADO PERFECTO Características:
- Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente) - El primer término y el tercero tienen raíz cuadrada exacta. - El segundo término es la multiplicación de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del
tercer término multiplicada siempre por 2, si da como resultado el segundo término entonces es un trinomio cuadrado perfecto.
Forma de factorizar: Primero: ordeno el trinomio en forma descendente
( ) ( ) 3 6x 4 x 6
1276
276
2
2
++++
++
xx
xx
( ) ( )
( )( ) 1 x 2 2 x 3
3
3 6x
2
4 x 6
1276
276
2
2
++
=++++
++
xx
xx
=++ 24 414 yy
=++=++
144
214
24
24
yy
yy
Segundo: saco raíz cuadrada del primer término tanto a al número como la letra. Tercero: saco raíz cuadrada del segundo término tanto a al número como la letra. Cuarto: realizo la prueba para ver si es un trinomio cuadrado perfecto. Multiplico el primer
término ( 22y ) de mi respuesta con el segundo ( 1 )y luego multiplico siempre por 2 para
ver si me da el segundo término ( 24y )
Quinto : opero los signos del ejercicio y lo coloco al centro
2
24
24
24
2
2
144
414
y
y
yy
yy
=++=++
1 2
1 2
144
414
2
24
24
24
y
y
yy
yy
=++=++
( ) ( ) ( ) 22
24
42 1 2
1 4 4
yy
yy
=××
=++
Siempre se
multiplica por 2
Como son iguales si
es un trinomio
cuadrado perfecto
1 2
1 2
144
2
24
24
+
=++
y
y
yy
+=+×+
Quinto : lo encierro entre paréntesis y lo elevo al cuadrado.
TRINOMIOS TRINOMIO CUADADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Características: - Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente) - El primer término la debe estar elevado a una potencia múltiplo de 4 y el número debe tener raíz cuadrada
exacta . - El tercer término el número debe tener raíz cuadrada exacta y si tiene letra debe estar elevada a un múltiplo
de 4. - Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término pero al multiplicar el primer término con el
tercero y por dos no da el tercer término.
Forma de factorizar: 4224 984 bbaa ++
1) Observo cuidadosamente el ejercicio que me da y observo lo siguiente: a) tiene tres términos 1 2 3 si b) el número del primer término tiene raíz cuadrada exacta si c) la letra del primer término esta elevado a una potencia múltiplo de 4. si d) el número del tercer término tiene raíz cuadrada exacta si e) si tiene letra el tercer término esta elevado a una potencia múltiplo de
cuatro.
si
( )22
24
24
1 2
1 2
144
+
=++
y
y
yy
4224 9b 8a 4 ++ ba
2
9b 8a 4 4224 ++ ba
4224 9b 8a 4 ++ ba
3
9b 8a 4 4224 ++ ba
4224 b 9 8a 4 ++ ba
f) ahora multiplico la raíz del primer término por la del tercero si no me da el segundo término como respuesta entonces si es un trinomio cuadrado por adición y sustracción.
2) La respuesta que me dio 2212 ba sería el centro de un trinomio cuadrado perfecto, ahora debo ver
cuanto le hace falta al 228 ba para llegar a ser
2212 ba resto
3) 222222 4812 bababa =− .
4) Esta respuesta la sumo y resto al trinomio que me dieron
5) Observo que los primeros tres términos de mi respuesta son un trinomio cuadrado perfecto y lo opero y
copio el 224 ba− .
6) Observo que mi respuesta es una diferencia de cuadrados y la opero y con esto he terminado de
factorizar.
( ) ( )( ) 2222
4224
1223b a 2
9b 8a 4
ba
ba
=++
4a - 9b 12a 4
4a- 4a
9b 8a 4
22 4224
2222
4224
bba
bb
ba
+++
++
( ) 4a - 3b 2a
4a - 9b 12a 4
4a- 4a
9b 8a 4
22222
22 4224
2222
4224
b
bba
bb
ba
+
++
+++
( )( )( ) ( )( )abab
b
bba
bb
ba
23b 2a23b 2a
4a - 3b 2a
4a - 9b 12a 4
4a- 4a
9b 8a 4
2222
22222
22 4224
2222
4224
++−++
++
+
++
POLINOMIO FACTOR COMUN POR AGRUPACION
Características: - Tienen mas de tres términos
Forma de factorizar: byaybxax +++
Primero: observa cuidadosamente y notaras que los dos primero términos tienen factor común x y los dos últimos términos tienen factor común y ahora lo operamos:
Los paréntesis me deben de quedar iguales
si no es así entonces busco otras parejas o tríos. Segundo:
Observamos que nos queda como factor común el paréntesis ( )ba +
factorizamos
Es el factor común para saber cual es el otro paréntesis tapa con tu dedo los
paréntesis ( )ba + lo que te queda es el otro paréntesis
Lo que te queda al tapar los paréntesis ( )ba + es
x + y esto lo colocas en el otro paréntesis y terminaste.
( ) ( ) =+++=+++baybax
byaybxax
( ) ( )( )ba
baybax
byaybxax
+=+++
=+++
( ) ( )
( ) ( ) =+++
=+++
baybax
baybax
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )yxba
baybax
baybax
++
=+++
=+++
FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN
Primero encuentro los que tienen FACTOR COMÚN (los iguales)
Marco todos los que tienen 2 términos BINOMIOS
DIFERENCIA DE CUADRADOS Dentro de este listado busco:
1) las letras que estén elevadas a
una cifra par 2) que el signo sea menos 3) que tenga raíz cuadrada exacta ambos términos
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Dentro de este listado busco:
1) las letras que estén elevadas a
múltiplos de tres. 2) que el signo puede ser menos o
mas.
TRINOMIOS
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a) Ordeno el trinomio
b) saco la raíz cuadrada del primer término
c) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo la siguiente flecha)
d) multiplico los resultados anteriores por 2 si me da el segundo
término es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
SI NO SIGO LA FLECHA
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a) Ordeno el trinomio
b) si la potencia esta elevada a un múltiplo de 4 ( si no continuo a la
siguiente flecha)
c) saco la raíz cuadrada del primer término
d) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo a la siguiente flecha)
e) multiplico los resultados anteriores por 2 si no me da el segundo
término es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O SUSTRACCIÓN.
ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxx ++2
Primero marco todos los que principien con 2x o x elevado a potencia par
SI NO SIGO LA FLECHA
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO f) Ordeno el trinomio
g) si la potencia esta elevada a un múltiplo de 4 ( si no continuo a la
siguiente flecha)
h) saco la raíz cuadrada del primer término
i) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo a la siguiente flecha)
j) multiplico los resultados anteriores por 2 si no me da el segundo
término es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O SUSTRACCIÓN.
ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax ++2
Primero marco todos los que principien con número delante de 2x o x elevado a potencia par
TRINOMIOS
Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO e) Ordeno el trinomio
f) saco la raíz cuadrada del primer término
g) saco la raíz cuadrada del tercer término (si no tiene sigo la siguiente flecha)
h) multiplico los resultados anteriores por 2 si me da el segundo
término es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 = 5. 14m2n + 7mn = 6. 8a3 - 6a2 = 7. b4-b3 = 8. 14a - 21b + 35 = 9. 4m2 -20 am = 10. ax + bx + cx = 11. 4a3bx - 4bx = 12. 20x - 12xy + 4xz = 13. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 = 14. 3ab + 6ac - 9ad = 15. 6x4 - 30x3 + 2x2 = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 17. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
18. =+−+ 24524332
16
1
8
1
4
1
2
1babababa
19. ====−−−−++++−−−− babaabba3322
25
16
15
8
5
12
35
4
20. =− 22
9
8
4
3xyyx
21. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 22. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
23. ====++++ aba2
24. ====++++ 3bb
25. ====−−−− 45 3mm
26. ====++++ 32 84 nn
1. a (x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 3. ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) = 4. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 5. a ( a + b ) - b ( a + b ) = 6. m (2a + b ) + p ( 2a + b ) = 7. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = 8. a (2 + x ) - ( 2 + x ) = 9. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 10. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) = 11. a (x+1) + b (x+1) = 12. x (a+1) - 3 (a+1) = 13. 2 (x-1) + y (x-1) = 14. m (a-b) + (a-b) = 15. 2x (n-1) + 3y (n-1) = 16. a (n+2) + n+2 = 17. x (a+1) –a - 1 =
18. (((( )))) ====++++−−−−++++ 11 22 aba
19. 3x ( x-2) -2y ( x-2) = 20. 1-x + 2a (1-x) =
21. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−−−−−++++−−−− 11 23 babbaa
22. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−++++−−−−++++ 22 1314 axnxam
23. (((( )))) ====−−−−−−−−−−−−++++++++ cbacbax 22
24. (((( ))))(((( )))) (((( )))) ====++++−−−−++++++++ 131 nnyx
25. (((( ))))(((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−−++++ 2321 xyxx
1. (((( ))))(((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−−++++ nmnmx 222
2. (((( )))) (((( ))))(((( )))) ====−−−−++++−−−−−−−− 131 xaxa
3. (((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++++++++++++++ 1115 222 bxbx
4. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====−−−−++++++++−−−−++++ nanmnanm
5. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++++++−−−−++++++++ bamymamy
6. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++−−−−++++−−−−−−−− 4242 aaaa
7. (((( ))))(((( )))) ====−−−−−−−−++++−−−−++++ 111 22 bbba
8. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++ 33 xacbxcba
9. (((( )))) (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−−−−−−−−−− 11213 xzxyxx
10. (((( )))) (((( )))) ====−−−−−−−−++++−−−−++++ 111 aabaa
11. (((( )))) (((( )))) ====++++++++−−−−−−−−++++ 2322 bbbx
12. (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) ====++++++++++++−−−−++++++++ 1312131 yyayb
13. (((( )))) (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−−−−−−−−−− 11312 azayam
14. (((( ))))(((( )))) ====−−−−−−−−++++++++ 113 bba
15. (((( )))) ====−−−−−−−−−−−−++++++++ srqsrqp 22
16. (((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++++++++++++++ 1115 222 rccy
17. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++−−−−++++−−−−−−−− 4232 mmmm
18. (((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++++++++++++++ 3227 222 bnnx
19. (((( )))) (((( )))) ====−−−−−−−−++++−−−−++++ rqrqbrqk
20. (((( )))) (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−−−−−−++++−−−− 111 hhwhp
1. 9a2 - 25b2 =
2. 4x2 - 1 =
3. 36m2n2 - 25 =
4. 169m2 - 196 n2 =
5. =− 22 b36
49a
25
9
6. 3x2 - 12 =
7. 8y2 - 18 =
8. 45m3n - 20mn =
9. 16x2 - 100 =
10. 9p2 - 40q2 =
11. 49x2 - 64t2 =
12. 121 x2 - 144 k2 =
13. =− 44 y16
9x
25
1
14. 5 - 180f2 =
15. 3x2 - 75y2 =
16. 2a5 - 162 a3 =
17. 22 yx −−−−
18. ====−−−− 12
b 19. 42 −−−−c 20. 14 2 −−−−b 21. ====−−−− 252d
22. ====−−−− 21 b 23. ====−−−− 164 2
n 24. ====−−−− 63625 b
1. ====−−−− 1694a
2. ====−−−− 42491 nm 3. ====−−−− 42 814 yx
4. ====−−−− 1446a
5. ====−−−− 16982
ba 6. ====−−−− 102100 yc
7. ====−−−− 1210 49na 8. ====−−−− 12125 102
zx 9. ====−−−− 224 169100 ylk
10. ====−−−− 144842
nma 11. ====−−−− 1264 225196 zyx
12. ====−−−− 8412 289256 mbd 13. ====−−−− 1064291 dcba 14. ====−−−− 1361 16
x
15. ====−−−− 694
1a
16. 136
2
−−−−a
17. ====−−−−64
4
49
68 xm
18. ====−−−−2536
82 xa
FACTOR COMUN: 1. c4-c3 = 2. 15m2n + 30mn = 3. ====−−−−++++ 3223232 22011055 ymxnmxnm
4. ====−−−−−−−− xmyxmyxm 223223 1246293
5. ====−−−−++++−−−− 432
xxxx 6. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====++++−−−−++++−−−−−−−− 4242 mmmm
7. (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−− 22 bmba
8. (((( )))) ====++++−−−−−−−− 22 ccr
9. (((( )))) (((( )))) ====−−−−−−−−−−−− 66 vxvab
10. (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++ 55 sprqsrqp
DIFERENCIA DE CUADRADOS 11. ====−−−− 12
x 12. ====−−−− 3616 6
m 13. ====−−−− 12169 m
14. ====−−−− 128
16n
m
15. ====−−−−121
1
49
6n
16. (((( )))) 361 2 −−−−++++m
17. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−−−−− 64nmnm
18. ====−−−− 1692
a
1. 64 – x3 = 2. 27m3 + 6n6 =
3. 27
8
8
1 3 +x =
4. 8a3b3 + 27 = 5. x6 – y6 =
6.64
13 −x =
7. ====−−−− 13a
8. ====++++ 13y
9. ====−−−− 13x
10. ====−−−− 18 3
m 11. ====−−−− 6427 3
x 12. ====++++ 273
x 13. ====−−−− 273
a 14. ====−−−− 3327 nm 15. ====++++ 646
x 16. ====−−−− 1253
r 17. ====−−−− 32161 m 18. ====++++ 96 278 ba 19. ====++++ 126
bv 20. ====−−−− 33 278 mn
1. ====++++ 327512 c 2. ====++++ 127291 x 3. ====++++ 93 6427 nj
4. ====−−−− 126 216343 yv
5. 1333 ++++xnm 6. ====++++ 39
dc 7. ====−−−− 11000 3
c 8. ====++++ 1212 125ba 9. ====++++ 1212 yx
10. ====−−−− 99271 ba 11. ====++++ 7298 6
x 12. ====−−−− 123 8ba 13. ====−−−− 639 1258 zyx
14. ====++++ 912 34327 nm 15. ====−−−− 12216 n
16. (((( )))) ====++++++++ 31 yx
17. (((( )))) ====++++−−−− 31 yx
18. (((( )))) ====−−−−++++ 327 nm
19. (((( )))) ====−−−−++++ 83yx
20. (((( )))) ====++++++++ 12 3yx
1. (((( )))) ====−−−−−−−− 321 ba
2. (((( )))) ====++++++++ 33 1aa
3. (((( )))) ====−−−−−−−− 33 18 ma
4. (((( )))) ====−−−−−−−− 3327 yxx
5. (((( )))) ====−−−−++++ 272 3yx
6. (((( )))) ====++++−−−− 36 2xx
7. (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++++++ 33 31 aa
8. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−−−−− 33 11 cc
9. (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++−−−− 33 32 mz
10. (((( )))) (((( ))))33 32 utut ++++++++−−−−
11. (((( )))) (((( )))) ====−−−−−−−−++++ 338 uyut
12. (((( )))) ====−−−−++++ 12564 3nm
13. (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++++++ 33 2xyx
14. (((( )))) ====−−−−−−−− 38 yx
15. (((( )))) 13 ++++++++ ba
16. (((( )))) (((( )))) ====−−−−−−−−++++ 33baba
17. ====−−−− 39
ut 18. ====−−−− 612
ur 19. ====−−−− 83
a
FACTOR COMUN 1. 3b – 6x = 2. 15x + 20y – 30= 3. 14c – 21d – 30=
4. (((( )))) (((( ))))(((( )))) ====−−−−++++−−−−−−−− 131 xaxa
5. 4g2 + 2gh = DIFERENCIA DE CUADRADOS
1. ====−−−− 12c
2. ====−−−− 12136 104zx
3. ====−−−− 126
121d
c
4. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−−−−− 64nmnm
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
1. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−−−−− 33 11 zz
2. (((( )))) ====−−−−++++ 321 hg
3. ====−−−− 11000 3p
4. ====++++ 93 6427 nj
5. ====++++ 327512 c MICELANEA
====−−−− 22 yx
====++++ 5274 xaax
====−−−− 33 yx
FACTOR COMUN 1. 4g2 + 2gh = 2. 25a – 30ab + 15ab2 = 3. 4. 25x6 – 4y4 = DIFERENCIA DE CUADRADOS
1. ====−−−− 136 2b
2. ====−−−− 16949 86zx
3. ====−−−−2
126
2516 r
mj
4. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−++++ 42tkca
5. 144 – 9x2= SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
1. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−++++ 33 3251 aa
2. (((( )))) ====++++++++ 31 gf
3. ====−−−− 164 3p
4. ====++++ 93 216343 nj
5. ====++++ 3512729 c MICELANEA
====−−−−++++ xyyxyx 1505025 3325
====−−−− 42 36mx
(((( )))) ====−−−−++++ 642 2x
(((( )))) ====++++++++ 17281 3x
1. 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 = 2. 5x – 5 = 3. 20u2 – 55u = 4. 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 = DIFERENCIA DE CUADRADOS
1. ====−−−− 4964 2b
2. ====−−−− 169121 84ba
3. ====−−−−4
64
169121 r
fn
4. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−++++ 42 132 zca
5. 169 – 81x2= SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
1. (((( )))) (((( )))) ====++++−−−−++++ 33 65 pz
2. (((( )))) ====++++++++ 327 ut
3. ====−−−− 643p
4. ====++++ 93 216343 na
5. ====++++ 3512125 a MICELANEA
====−−−−++++ yxyxyx 62464 483216
====−−−− 42 81mq
(((( )))) ====−−−−−−−− 1963 2w
(((( )))) ====−−−−++++ 273wq
FACTOR COMUN 1. 16x – 12 = 2. 6x –12y + 18= 3. 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx= 4. 20abc – 30abd – 60ab2c + 90ab2d2 = 5. 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 = DIFERENCIA DE CUADRADOS
6. =− 22 ba
7. =− 236 z
8. ( ) =−− 22mba
9. ( ) ( ) =−−+ 22qpzm
10. =− 22 12116 yx
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
11. =+ 83a
12. ( ) =−+ 113
a
13. =−1256m
14. =+ 273z
15. =− 33 64125 wx MICELANEA
16. ( ) ( )tdptsz +−+
17. =− 33 216sm
18. ( ) ( ) =+−+ 22nmqp
19. =− 4222 3624 yxxya
20. =−+ 753 xxx
1. =++ 1072 xx 2. =+− 652 xx 3. =−+ 1032 xx 4. =−+ 232 xx 5. =++ 342 aa 6. =−+ 1452 mm 7. =+− 2092 yy
8. =−− tt 62 9. =+− 892 pp
10. =−+ 2452 ww 11. =+− 232 zz 12. =++ 672 aa 13. =+− 342 yy
14. =++ 21102 xx 15. =+− 11122 mm 16. =−− 3072 ff
17. =−+ 1662 nn 18. =−+ aa 2120 2 19. =−+ 302 hh
1. =−+ qq 1128 2
2. =−− 4062 kk 3. =−− 3652 bb 4. =−− 3522 aa 5. =++ 13142 aa 6. =+− 33142 mm 7. =−+ 30132 yy
8. =−− 14132 tt 9. =++ 56152 pp
10. =+− 54152 ww 11. =−+ 6072 zz 12. =−− 60172 aa 13. =−− 300202 yy
14. =−+ 1322 xx 15. =−− 16822 mm 16. =+− 400412 ff
17. =−+ 3642 nn 18. =++ aa 42432 2 19. =−− 675302 hh
1. =++ qq 50336 2
2. =−− 52822 kk 3. =++ 432432 bb 4. =−− 32042 aa 5. =−− 100882 aa 6. =++ 424 mm 7. =−− 76 36 yy
8. =−− 802 48 yy
9. =−+ 1222 xyyx
10. ( ) ( ) =−− 1542142
ww
11. ( ) ( ) =++ 4251352
zz
12. =−+ 22 152 aaxx 13. =−− 22 214 baba 14. =−+ 20510 xx 15. =−+ 22 56nmnm 16. =− 224 607 ccff
17. ( ) ( ) =+− 32422
nn
18. ( ) ( ) 2452 −−+− nmnm
19. =−+ 24048 hh
1. =+− qq 215 2
2. =−− 992 2244 baba 3. =++ 22 2811 dcdc 4. ( ) =−− 845525 2 aa
5. =+− 22 9821 baba 6. =−+ 1322244 yxyx
7. =++− 482 24 yy
8. ( ) ( ) =++−+ 65182
dcdc
9. =+− 10421 3366 nmnm 10. =−+ 2514 nn 11. =−+ 93036 xx
12. ( ) ( ) =− 105484 222 xx
13. =−+ 2224 365 baabxx 14. =−− 4224 156bbaa 15. =−+ 22 421 xmxm 16. =−− 24488 10015 ayaxyx
17. ( ) ( ) =−−+− 1081312
aa
18. =−+ 2222 56 cbaabcmm
19. ( ) ( ) =++ 1287247 222 xx
1. =−+ 232 2 aa 2. =−− 253 2 bb 3. =++ 276 2 mm 4. =−+ 6135 2 tt 5. =−− uu 566 2 6. =−− 612 2 ww 7. =++ 9154 2 zz 8. =++ 210113 aa 9. =−− 351312 2 mm 10. =−+ 120 2 aa 11. =−− 15148 2 aa 12. =−− 35447 2 xx 13. =−+ 151615 2 mm 14. =−− 12712 2 pp
15. =++ 1109 2 aa 16. =−− 20920 2 ff
17. =−+ 21121 2 nn 18. =−+ 615 2 mm 19. =++ 4379 2 rr 20. =−+ 154420 2 qq
1. =+− 22 2 qpqp
2. =++ 22 2 baba 3. =+− 122 xx 4. =++ 24 21 yy
5. =+− 25102 uu 6. =+− 269 xx 7. =++ 42 254016 xx 8. =−+ mm 14491 2
9. =++ 421236 mm 10. =+− 6321 aa 11. =++ 81118 48 mm 12. =+− 6336 2 bbaa 13. =+− 22 9124 yxyx
14. =+− 422 25309 abab 15. =++ 242 49141 yxyx
16. =−+ 510 21 aa 17. =+− 42236 257049 nanamm 18. =+− 12865410 960100 yayxax
19. =++ 126 81198121 xx 20. =+− 44222 14424 xmxama
FACTOR COMUN 1. 6p2q + 24pq2 =
2. ( ) ( ) =+++ qmsqmr
3. ( ) =+−− nmnm
DIFERENCIA DE CUADRADOS
4. =− 22 169144 ba
5. ( ) =−− 22mwt
6. ( ) ( ) =+−− 22dcba
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
7. =+ 278 3a
8. ( ) =−+ 12523
p
9. ( ) ( ) =−+− 333 kjm
Trinomio de la forma cbxx ++2
10. =++ 1282 xx
11. =++ 2092 xx
12. =++ xx 11182
13. =−+ xx 13402
14. =++ 2092 xx
15. =+− 652 xx
Trinomio de la forma cbxAx ++2
16. =++ 132 2 xx
17. =++ 3134 2 xx
18. =++ 8143 2 xx
19. =+− 143 2 xx
20. =+− 253 2 xx
FACTOR COMUN
1. =− 332 2412 yxxy
2. ( ) ( ) =+++ babaz
3. ( ) =−−+ trtr
DIFERENCIA DE CUADRADOS
4. =− 224 ba
5. ( ) =−+ 22121kj
6. =−81
42x
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
7. =+ 493a
8. ( ) =−− 21613
w
9. ( ) ( ) =+++ 3313 yx
Trinomio de la forma cbxx ++2
10. =+− 30132 xx
11. =+− 35122 xx
12. =−+ 2142 xx
13. =−+ 4472 xx
14. =−− 22 xx
15. =−− 1662 xx
Trinomio de la forma cbxAx ++2
16. =+− 384 2 xx
17. =−+ 6112 2 xx
18. =−+ 62 2 xx
19. =−− 12163 2 xx
20. =+− 232 2 xx
1. =−+ 334 2 pp
2. =−101330 2 bb 3. =−+ 656 24 mm 4. =−+ 1245 36 tt 5. =++ 102910 48 uu 6. =−+ 2156 22 wxxw 7. =−+ 20920 22 xyyx
8. =−− 22 215 mmnn
9. =−− 210712 xx 10. =−− 22 722921 yaba
11. =−− 22 15136 aamm 12. =−− 144514 4 xx 13. =−− 22 31330 nmnm 14. =−− 10337 36 pp
15. =−+ 231330 aa 16. =−+ 84 675 xx 17. =−− 22 26 nmnm 18. =−+ 222 1574 nmmnxx 19. =−+ 22 151718 srsr 20. =−+ 42 18215 qq
1. =+− 44222 14424 xmxama 2. =+− 42 16910416 xx 3. =++ 140400 510 xx
4. =+− 22
4bab
a
5. =++93
21
2bb
6. =+−4
4224 bbaa
7. =−+336
25
25
1 24 xx
8. =−+ mm 14491 2
9. =+−16
2164
236 yyxx
10. =++ 22
929
mmnn
11. ( ) ( ) =++++ 22 2 babaaa
12. ( ) ( ) =−+−− 22 44 mnmnmm
13. ( ) ( )( ) ( ) =++++−+ 222 yxyxxaxa
14. ( ) ( )( ) ( ) =−++−−+ 2222 anmmanm
15. ( ) ( )( ) ( ) =−+−+−+ 22111414 bbaa
16. ( ) ( )( ) ( ) =+++−−− 224129 yxyxyxyx
17. =+− 22 25204 yxyx
18. =+− 422 64161 xaax
1. =++ 4224 495416 bbaa 2. =+− 4224 4910936 yyxx
3. =++ 1281 48 mm 4. =+− 10045 24 ct 5. =+− 49534 48 uu 6. =++ 497664 24 vv 7. =+− 4224 8113925 yyxx
8. =++ 8448 1007649 yyxx
9. =+− 42 1211084 xx 10. =+− 8424 36133121 yyxx
11. =++ 126 923144 nn 12. =+− 84916 cc 13. =+− 8424 8116964 bbaa 14. =++ 425225 mm 15. =+− 8422 1691261 baba 16. =++ 12121 2244 yxyx
17. =++ 44248 1967549 nmmcc 18. =+− 1684284 25629281 xxbaba 19. =−+ 22 151718 srsr 20. =−+ 42 18215 qq
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1° Simplificación de monomios :
2
3
52
42
8ab
ab
ba =
2° Simplificación de polinomios :
Ejemplo 1 ( )( )( )( ) 5
2
55
52
25
1072
2
−+=
−+++=
−++
x
x
xx
xx
x
xx
Ejemplo 2 ( )( )( ) x
x
xx
xx
xx
x
2
4
42
44
82
162
2 −=+
−+=+−
no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR
....... LUEGO SIMPLIFICAR.
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN :
1. =cba
ba53
72
60
12 2. =− 222
32
22 yxyx
yx
3. =−
−−16
202
2
a
aa 4. =−
+•
+−
yyx
yxy
x
x2
2 3
93
1
5. =++++127
862
2
xx
xx 6. =−−−+⋅
++−−⋅
−+++
145
43
209
214
32
1072
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
7. ( )( )( )( ) =
++−−⋅
−+−⋅
−++
656
565
2536
3011
25
2560362
2
2
2
ax
xa
x
aa
a
xx
ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS
EJEMPLO : 164
9
32
13 =−
+−−−
x
x
x
x se factoriza el 2º denominador
1)32(2
9
32
13 =−
+−−−
x
x
x
x / 2(2x-3)
2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3) 6x - 2 - x - 9 = 4x - 6 x = 5
EJERCICIOS.
8. 32
7
3
5
+=
+ xx 9. 1
4
1
3
1
2=+−−+ xxx
10. ( ) 4
3
12
5
8
5
1+
+=+
+ xx
x 11.
12
612
1
4
12
52 −−
+=+
++ xx
x
xx
12. ( )( )21
8
1
3
2
4
−+=
+−
− xxxx 13.
1510
16
9
7
64
83
32
5
−−−=
−−−
− x
x
x
x
x
14. 21
3
3
1 =+−+
−−
x
x
x
x 15.
( )21
26
7
43
32
1252 2 −=+−+
−− xx
x
xx
16. 255
14
44
23
33
32
22
5 =−+−
−++
−+−
− x
x
x
x
x
x
x
x 17.
54
3
2516
56
54
22 +
=−+−
− xx
x
x
18. 01
1
1
74
1
182
2
=−+−
+−−
−+
x
x
x
x
x
x 19.
64
72
94
441
32
72 +
−−−
=−−
+x
x
xx
x
20. 2=−+−a
bx
b
ax 21. 1=++
ab
cx
ac
bx
bc
ax
22. 06
11
3
5
2
7 =−−−−−c
axc
b
cxb
a
bxa 23. 2=
−++
−−
ax
bx
bx
ax
24. b
ba
a
bx
b
ax
6
133
3
3
2
−=+−− 25.
( )a
a
b
b
xba
a
bax =+−−− 22
PROBLEMAS CON ENUNCIADO.
26. ¿ De qué número hay que restar 4
15 para obtener la sexta parte de ese número?
27. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los 8
7 de su capacidad.
Reponiendo 38 litros, la parafina sólo llega a las 5
3 partes.¿Cuál es su capacidad ?
28. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. ¿ En cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez ?
29. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los
cuocientes es 6. ¿ cuáles son los números ?
30. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los 5
3 del menor con los
6
5 del mayor
exceda en 31 al número del medio.
31. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor da 2 como cuociente y 40 de resto.
32. Jorge tiene 3
2 de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene
5
3 de lo que tiene Jorge. Si juntos tienen $ 24.800. ¿
Cuánto tiene cada uno ?
33. Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los 2
5 de la edad de
Karla. Hallar las edades actuales.
34. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $ 25.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda.
35. Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo
que es lo mismo, la sexta parte más una nuez. ¿ Cuántas nueces tenía Lucho ?
36. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayó prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados. ¿ De cuántos soldados se componía la patrulla?
37. Si a un número se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7,
se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número dado. ¿ Cuál es el número ?
38. Cierto número de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $ 435. faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. ¿ A cuánto ascendía la cuenta y cuántas personas eran ?
39. Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días y otro en 15 días. ¿ En cuánto tiempo hacen el trabajo los dos
juntos ? 40. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4 horas, pero una tercera puede
vaciarlo en 6 horas. ¿ En qué tiempo se llenará el depósito abriendo las tres llaves a la vez ? 41. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años, la edad de la primera era el doble de la edad de la
segunda y que 12 años después de la edad actual, la edad de la segunda será 4
3 de la edad de la primera.
42. Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique reciba 4
3 de la parte de Luciano
más $ 180. y Luis 6
5 de la parte de Enrique más $ 120. ¿ Cuánto recibe cada uno ?
43. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿
Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en total hay 156 personas ?
44. Uno de los lados de un triángulo mide 4
5 del lado menor, mientras que el lado mayor mide 3 centímetros más
que el último. Si el perímetro del triángulo es de 45 centímetros, encuentra la magnitud de cada lado del triángulo.
45. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 65 personas. Colocando en orden
decreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 3
2 del
anterior. ¿ Cuántos viajeros de cada nacionalidad hay ? 46. La suma de dos números es 240. Si se divide el número mayor por el menor, el cuociente es 3 y el resto es 8. ¿
Cuáles son los números ?
Resuelva las siguientes ecuaciones y problemas aplicados Antes de comenzar a resolver fíjese con cuidado en las operaciones que puede realizar en cada lado de la ecuación. Una vez que haya simplificado las expresiones a ambos lados contin´ue. En los problemas plantee una ecuación y luego resuelva. 1) 2(x - 3) = 5 - (x + 1) 2) 4x - 6 = 18 3) 5x-20 = 3x- 8 4) 32 - 4x = 8 5) 2x - 5 = 11 6) x + 2 = 14 7) x - 5 = 12 8) 3x = 9 9) x4= 7 10) ax- 2 = cx- 4 11) 2x + 3 = 7 12) 3x -7 = 8 13) 4x + 1 = x- 7 14) 3 - 2x = 4x + 8 15) 6(x- 6) = a(x- a) 16) x + 3(2 -x) = 8 17) 3(x - 1) = 2(5- 2x) 18) 3(2x - 1) - (x - 1) = 0 19) 5(2 - 3x) = 5x + 1 20) 6x2 + 5x � 1 = 0 21.- . Si le resto 8 y luego multiplico esa diferencia por 3, obtengo como resultado 15. ¿Cuál es el número que pensé? 30) Un cuadrado tiene un perímetro de 32 cm. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? 31) Obtuve un 8% de aumento se sueldo, lo que me significó $20400 más al mes. ¿Cuál era mi sueldo anterior y cuánto es mi sueldo actual? 32) En una liquidación de libros quiero comprar14 libros. Algunos cuestan $300 cada uno y otros $800 cada uno. ¿Cuántos de cada uno puedo comprar con $6200? FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.- Escribe algebraicamente y luego realiza la operación indicada, tanto en forma numérica como algebraica
Numérica Algebraica
a) ¾ + 4/3 =
b) 1/3 + 1/9 =
c) 3/7 + ¾ =
d) 3/8 + 5/-2 =
e) 1 : 1/3 =
f) ¾ * 2/9 =
g) 3/7 : 4/49 =
2.-Evalúa en X=2 y en X=3 la expresión x
2 – 5X + 3 ¿Qué sucede cuando X = 5
X – 5 3.- Encuentra el valor máximo y mínimo que pueden tomar las fracciones, siendo n un número natural. a) n b) 2n c) n+ 1 . n – 1 n + 1 2n 4.- Indica las restricciones que se deben tener para las siguientes fracciones algebraicas. a) 4 – 3c b) x – 2y – 1 c) a + b c
2 – 2c x
2 – 4 a – b
d) 3b – c e) 1 f) x + y . bc a
2 + 4ab + 4b
2 ( x -1) ( y + 2)
5.- Simplifica cada una de las siguientes fracciones y restringe el denominador a) 15a
3b
2 b) 7mn
4p
5 c) 121a
4c
5d
7
2a2b
4 21m
3np 11ac
5d
8
d) 8a – 16b e) 42 f) 14x + 21y 24 18a + 24b 50x + 75y g) 27m – 36n h) x
2 – x i) a
2 + 2ab + b
2
36 m – 48n xy – y 3a + 3b j) m
2 – n
2 k) x
2 – 5x + 6 l) 3x
2 – 27x + 42
m2 + 2mn + n
2 x
2 – 2x 5x
2 -15x-140
m) 4p + 2q h) ac –ad + bc – bd ñ) 16xy – 25 y 8p
2 + 8pq + 2q 2c + 3bc – 2d – 3bd 4x
2y – 3xy -10y
o) a
2 – ab p) r – s q) 4a – 4b r) 6 – 3x .
a4 – a
2b
2 s – r 2b – 2a x
2 – x – 2
6.- Amplifique cada fracción por el factor indicado a) a – 2 por 2 b) x – y por x c) a – b por (-1) 3 x c – d d) n – 3 por ( n + 1) e) 1 por ( 2x + 3y ) n – 2 2x – 3y f) Amplifique convenientemente la fracción a + b para que el numerador de la fracción obtenida sea un cuadrado perfecto a – b g) Amplifique x – 2y para que el denominador de la fracción sea un cuadrado perfecto 2x + y h) Si x – 1 = __________ determine el numerador x + 1 x
2 + 2x + 1
i) Si 3x = 3x
2 – 6x determine el denominador
x – 2
7.- Si a y b son números naturales, completar el siguiente cuadriculado con las expresiones 1 y (a + b) de tal modo que en cada fila y en cada columna aparezca sólo una a ab una vez la expresión
¿Que condiciones debe satisfacer a y b para que el cuadriculado sea un cuadrado mágico? 8.- Demuestra que:
a) 123123123123 = 123 457457457457 457 b) a + b __ a – b = 2 b b 9.- Resuelve: a) a + b . ab . a
2 – 2ab + b
2 b) x
2 + 2xy + y
2 . 1 c) a . 2b
a2 – b
2 a + b 3ab x + y b 3a
d) x – y . x
2 e) 3x – 6 . x
2 – 9 . 1 f) 3(a – b) . -17(a – b )
x ( x – y ) 2x – 6 x2 – 4 3 2x 19x
3
g) -x
3y
4 . x
7y
8 h) x – 2 . ( x – 3 )
2
x4y
5 -x
15y
3 x – 3 x
2 – 4
10.- Realiza las siguientes divisiones a) 35 a
3 : 14 ab b) 6x
2 + 9 xy : 14x
3 + 21 x
2y
18b 9b3 a
3 a
2
c) x
2 + 10x + 24 : x
2 – 4x + 3 d) m
2 – n
2 : n
2 – 1
x2 + 3x – 18 x
2 – 6x + 9 4 2
11.- Considerar las fracciones a y a ¿Qué condiciones cumplen b y c para que a < a de ejemplos numéricos b c b c 12.- Si a y c son dos fracciones en que a < c , determine a lo menos dos b d b d fracciones que se ubiquen entre ambas, resolver la situación con algunos ejemplos numéricos 13.- ¿Para qué valores enteros positivos de n la fracción n + 9 representa un numero entero positivo? . n – 3 Elabore una tabla a partir de distintos valores para n. Analiza situaciones como ¿Qué sucede si n es un numero positivo menor que 3? ¿ Qué valor toma n para que la fracción tome el valor 3?
1/b
1/b
1/b
14.- Si a, b, c, d son dígitos distintos de 0 y distintos entre sí, a) ¿ Qué valores toman a y b para que a tome el menor valor posible? . b b) ¿Qué valores toman a, b, c, d para que el valor a + c sea el máximo . b d posible? c) ¿Qué valores toma a, b, c, d para que a + b sea igual a 1? . c d 15.- Si a y b son enteros y a < b ordena de menor a mayor las fracciones: a ; b ; - a ; - b b a b a Considerar 0 < a < b .a < 0 < b .a < b < 0
LA RECTA
1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y tiene pendiente -2/5. 2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,-5) y tiene pendiente 4. 3. Determina la pendiente y la intersección con el eje y de la recta de ecuación 3x + 2y - 8 = 0. 4. Halla la ecuación de la recta determinada por los puntos (3,-5) y (-6,4). 5. Determina las ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-4) y forma un ángulo de 60º con el eje de las abscisas. 6. Encuentra la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes x e y son respectivamente, a = 5 y b = 3. 7. Determina la distancia desde el origen hasta la recta 3x - 4y = 4. 8. Determina la distancia desde el punto (-4,6) a la recta 3x - 4y = 1 9. Halla la ecuación de la recta que está debajo, a una distancia de 3 unidades, en forma paralela a la recta x - 2y = 3 10. Determina la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas x - 1/2 y = 4 y 2x + y = 9/2. 11. Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son A(2,1), B(-2,3) y C(-3,-1). 12. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a la recta 5x + 2y + 3 = 0 y que pasa por el punto (-4,1). 13. Determina la ecuación de la recta que tiene pendiente 5/3 y pasa por la intersección de las rectas 2x - y = -1 y 2x + y = 5.
1. Dados los puntos A ( -3, 4 ), B ( 0,2 ) y C ( -3,2 ) vértices del ∆ ABC:
a) Determinar las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del ∆ ABC.
b) Verificar que el ∆ ABC es un triángulo rectángulo. c) Determinar la ecuación de la recta paralela del lado AB por el vértice C. d) Calcular el valor de la altura correspondiente al lado AB.
2. Indicar si son verdaderos o falsas las siguientes afirmaciones:
a) El punto p ( 0,0 ) pertenece a la recta R: 3x + 4y = 0. b) S: 2x – 1 = 0 es paralela al eje x. c) T: 2y + 5 = 0 , es paralela el eje y. d) El punto M ( -1, 3 ) pertenece a la recta M: 2x + 3y – 7 = 0. e) Las rectas C: x - y + 2 = 0 y D: 2x – 2y + 4 = 0 son paralelas. f) Las rectas A: 2x – 3y – 1 = 0 y B: 2x + y + 2 = 0 no son perpendiculares.
3. Sabiendo que p = (a, a+2 ) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y - 1 = 0, Calcular las coordenadas de dicho
punto. 4. ¿Cuál es la posición de la recta R de ecuación 6x + 4y = 0 en relación con recta S de ecuación 9x + 6y – 1 = 0?
5. Determinar los valores de R para que las rectas R1 y R2 de ecuaciones ( 1 – R )x – 10y + 3 = 0 y ( m + 2 )x + 4y – 11m –18 = 0 sean:
a) perpendiculares b) paralelas c) coincidentes
6. Determinar el valor de p, de forma tal que px – y – 1 = 0 y (p—1)x + py + 10 = 0 sean perpendiculares. 7. Dado el siguiente gráfico, determinar las ecuaciones de las rectas M, N y T sabiendo que T es perpendicular a M
y paralela a N.
8. Determinar la ecuación de la recta que corta el eje y en el punto A ( 0, -2) y es perpendicular a la bisectriz del II
cuadrante. 9. Dados los puntos A ( 3,5), B ( 7, -1), C (- 4, 4) y D ( 0, -2)
¿Es AB // CD?
10. Sean los puntos A ( 3,5 ), B ( 7, -1), C ( 0,0 ) y D (12, 8 ). ¿Es AB // CD? 11. Demostrar que los puntos A ( 1,-3 ) y C ( -3, 7) y D (-6, -1) son los vértices de un paralelogramo. 12. Demostrar que A (7,9), B (10,-3) y C ( 2, -5 ) son las coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo. 13. Determinar y de manera que la recta pasa por (-4, -3 ) y ( 8, y ) sean paralela a la recta que pasa por ( 4,-4 ) y ( 3,
5). 14. Determinar y de manera que la recta que pasa por ( -2, -1 ) y ( 10, y ) sea perpendicular a la recta que pasa por (
6, -2) y ( 5, 7). 15. Escribir la recta que pasa por ( 8, -2 ) y que es perpendicular a la recta 5x – 3y = 7.
Q = ( 6,0 )
P = ( 0, 3 )
0
y
N T
M
x
16. Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: ...... 1) Al matemático francés René Descartes le debemos los fundamentos de la Geometría Analítica. ....... 2) El plano cartesiano se encuentra dividido en cuatro cuadrantes. ....... 3) Los ejes coordenados de un plano cartesiano son perpendiculares. ....... 4) El eje coordenado “y” corresponde al eje de las abscisas. ....... 5) El punto A(3,8) tiene por ordenada 8. ....... 6) La abscisa y la ordenada pueden ser positivas, negativas o cero. ....... 7) La distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano no puede determinarse. ....... 8) La distancia entre los puntos (2,5) y (-4,-3) es 100 unidades. ....... 9) Para obtener la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, se restan las abscisas y esta diferencia se divide por la resta de las ordenadas. ....... 10) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (4,9) es 2. ....... 11) La ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (1,2) es y = 2x. ....... 12) La fórmula de la ecuación principal de la recta es y = mx + n. ....... 13) A “x” se le denomina variable independiente. ....... 14) La ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene pendiente 1 es y – x – 5 = 0. ....... 15) En la ecuación y = 3x + 2, su pendiente es 3.
....... 16) El coeficiente de posición de la ecuación 3
12 +−= xy
....... 17) Dos rectas son paralelas entre sí cuando sus pendientes son iguales. ....... 18) Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es 1. ....... 19) La pendiente de una recta perpendicular a la recta y = 5x + 8. ....... 20) Las rectas 2x + 3y – 3 = 0 y 3x – 2y = 0 son perpendiculares. ....... 21) A la ecuación Ax + By + C = 0 se la conoce como Ecuación General de la Recta. ....... 22) Toda ecuación general de la recta puede ser expresada en su forma principal. ....... 23) Al dibujar dos rectas en el plano cartesiano, estas siempre se interceptan. ....... 24) En la ecuación general Ax + By + C = 0, si C = 0, la recta pasa por el origen. ....... 25) En la ecuación general Ax + By + C = 0, si A = 0, la recta es paralela al eje y. ....... 26) Una recta que se “levanta” de izquierda a derecha tiene pendiente positiva. ....... 27) Una recta paralela al eje x tiene pendiente 0. ....... 28) Una recta perpendicular al eje x tiene pendiente negativa.
CONOCIENDO OTRAS FUNCIONES
Función Parte Entera
La función parte entera de x asocia a x el mayor entero que es menor o igual a x. De acuerdo a esto grafica la función parte entera y = [ x ]. Considera valores positos y negativos, así como números enteros y decimales. ¿Qué puedes decir sobre los puntos inicial y final de cada tramo? Grafica, ahora las siguientes expresiones, analizando los gráficos y constatando si hay valores para x en los que la expresión no tiene sentido. y = [2x] para -4 < x < 4 y = para el intervalo [1,6] y = x - [x] y = y =
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
� Utiliza valor absoluto para representar la distancia entre 4 y 7; -8 y 3; -9 y -4. � Calcula el incremento de temperatura entre:
una mínima de -7º y una máxima de 4º una mínima de -5º y una máxima de 11º
� Dibuja una recta y determina la distancia entre los puntos:
-5 y 2; -9 y 7; -8 y -1 � Resuelve las ecuaciones siguientes:
8=x
Grafica y analiza las siguientes expresiones, indicando los puntos en que éstos no tienen sentido.
y = x ;
y = 2+x
y = ;
y = x− ;
y = x
x;
y = x
x−;
¿Qué valores puede tomar x para que + = 0? ¿Qué valores puede toma x para que tenga sentido? Ubica a, b y c en una recta numérica para que se cumpla que
SISTEMAS DE ECUACIONES
LEER ATENTAMENTE ANTES DE PROCEDER
1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de:
a) Igualación b) Sustitución c) Reducción d) Determinantes
Graficar.
a - 3.x - 2.y = -16 5.x + 4.y = 10
f - x/5 - y = -2 4.x + y/4 = 41
k - 3.x - 4.y = 1 2.x - 3.y = 0
p - -7.x + 4.y = 3 y = x
b - 4.x - y = 12
2.x + 3.y = -5
g - 2.x - y/2 = 9/2
x - y/5 = 9/5
l - 4.x + 3.y = 27
6.x + 3.y - 3 = 0
q - y = 2
2.x + 2.y -1 = 0
c - 3.x + y = -8
2.x - 5.y = -11
h - 4.x - 8.y = 44
2.x + 4.y = 22
m - x + y = 50
x/y = 4
r - x - 2.y -1 = 0
y - 2.x + 2 = 0
d - 4.x - 3.y = 6
5.x + y = 17
i - 22.x - 3.y = 0
4.x - y/3 = 14
n - x + y = 5
-x + y = -2
s - x - 1 = 0
1 - y = 0
e - 5.x - 4.y = 2
2.x + 3.y =
17/4
j - x + 2.y = 0
5.x + 10.y = 14
o - 2.x - 3.y = 0
4.x + y = 14
t - 3.y + 8.x -1 = 0
y = 5 - 2.x
Respuestas a - P(-1;5) f - P(10;4) k - P(3;2) p - P(-1;-1)
b - P(31/14;-20/7) g - P(0;-9) l - P(-12;25) q - P(-1/2;2)
c - P(-3;1) h - P(11;0) m - P(40;10) r - P(1;0)
d - P(3;2) i - P(9;66) n - P(7/2;3/2) s - P(1;1)
e - P(1;3/4) j - Sin solución o - P(3;2) t - P(3;-1)
SISTEMAS DE ECUACIONES VERBALES Resolver los siguientes problemas: 1. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, más el segundo sea igual al doble de
este último. 2. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de las edades era igual a la edad
que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la actualidad? 3. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el doble del otro más 3', ¿cuál es la
medida de cada uno? 4. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le
corresponde a cada uno? 5. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los resultados están en la razón 3 :
2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5 : 2. 6. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la altura. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo? 7. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta que uno queda con
el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada estante? 8. Para pagar una cuenta de $3.900, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo $75 de
vuelto. Otro extranjero paga su cuenta de $4.330, con 15 libras esterlinas y 9 dólares, recibiendo $25 de vuelto. ¿A qué cambio, en pesos, se han cotizado las libras esterlinas y los dólares?
9. Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para tener cinco veces la edad actual del menor y que si el mayor tuviera seis años menos tendrían la misma edad.
10. La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5, se obtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son los números?
11. El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿Cuál es la fracción?
12. Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6. 13. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10 y de $50 tiene? 14. Las ciudades A y B están separadas por 180 km. Simultáneamente sale un auto de cada ciudad en el mismo
sentido. El que sale de B lo hace con una velocidad de 60 km[h y el que sale de A, a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo el auto que sale de A alcanza al que sale de B, y cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?
15. Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.
16. En un número la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese número le restamos 27 se obtiene otro número que resulta de invertir el orden de sus dos cifras. ¿Cuál es el número?
17. Descomponer 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor por la menor se obtenga 6 de cuociente y 6 de resto.
18. La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?
19. La edad de Eliana es 1/5 de la edad de Miguel y hace 5 años, la edad de Eliana era 1/10 de la edad de Miguel. Determinar sus edades actuales.
20. Dos números están en la razón 5:5. Si el primero se aumenta en 12 y el segundo se disminuye en 3, quedan en razón de 9:4. ¡Cuáles son los números?
21. La edad de Adolfo es 15 años menos que el doble de la edad de Teresa y la séptima parte de la edad de Adolfo es 20 años menos que la edad de Teresa. Calcula ambas edades.
22. Hace 4 años la edad de Ximena era 8 veces la edad de Matías. En cuatro años más la edad de Ximena será 4 veces la de Matías. ¿Cuál es la edad de cada uno?
23. El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Si su perímetro es de 32 m., ¿cuáles son sus dimensiones?
24. Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la mayor. 25. Encuentra una fracción que si se disminuye su numerador en 4 unidades y se aumenta su denominador en 5, es
equivalente a 1. Pero si se disminuye sólo el denominador en 7, será equivalente
26. La suma de dos números es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos números.
27. La edad de un hijo es 1/4 de la edad de su padre. En 7 años más la edad del hijo será 4/9 la del padre. Encuentra las edades actuales de ambos.
28. Un niño tiene 2 años menos que el cuádruplo de la edad de su perro. Si la diferencia entre sus edades es 4 años. Encuentra la edad de ambos.
29. Si el numerador de una fracción se aumenta en 3 y su denominador se disminuye en 1, se obtiene 5/2, pero si solamente se aumenta su numerador en 2, ésta equivale a 4/3. Determina la fracción.
30. Encuentra dos números enteros consecutivos, sabiendo que la cuarta parte y la quinta parte del primero y la suma de la tercera parte y la séptima parte del segundo son también números consecutivos
POTENCIAS
1. Escribe cada potencia como un producto de factores iguales.
a) 55 b) 2
3 c) 8
4 d) -4
8 e) 36
7 f) -100
2
g) -35 h) m
3 i) -13
6 j) 15
7 k) 4
8 1) (a + b)
2
2. Encuentra el valor de cada potencia. a) (-2)
6 b) 13
3 c) (-6)
5 d) 5
4 e) 12
2 f) 10
4
g) 302 h) 15
3 i) (-10)
4
3. Las bacterias se reproducen en forma de potencia, es decir, cada media hora hay el doble de bacterias. Se considera que un alimento está contaminado cuando la cantidad de bacterias es mayor que 100.000 por cm
3.
a) ¿Cuánto tiempo puede permanecer un alimento no contaminado si inicialmente tiene 10.000 bacterias por cm
3?
b) ¿Qué medidas puedes tomar tú para que esto no suceda? 4. Busca otros ejemplos donde se usen potencias. 5. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor. a) 13 · 13 · 13 b) (-7) · (-7) · (-7) · (-7) · (-7) c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) 10 · 10 · 10 · 10 6. Escribe cada potencia como una multiplicación de factores iguales y escribe su valor. a) 2
3 b) (-7)
2 c) 10
3 d) 10
1 e) (-2)
7 f) (-5)
3
7. Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor posible. a) 8 b) 36 c) 64 d) 121 e) 125 f) 1.000 g) 2.401 8. Completa con el número que falta para que cada igualdad sea verdadera. a) 2 = 32 b) 3 = 81 c) 3 = 243 d) 4 = 64 e) 5 = 625 f) 10 = 10.000.000 9. Escribe cada número como una multiplicación de potencias. a) 108 b) 432 c) 675 d) 900 e) 1.225 f) 1.125 10. ¿Qué número elevado a 5 es 243?
11. ¿Qué número elevado a 3 es -216?
12. ¿Cuál es el número cuyo triple de su cuadrado es 300?
13. Esscribe el valor de cada potencia. a) 5
6 = b) 2
8 = c)11
3 = d) 15
2 = e) 20
3 = f) 17
2 =
14. Indica, en cada caso, qué potencia es mayor. Verifica tus respuestas con la calculadora. a) 2
5 ____ 5
2 b) 4
6 ____ 6
4 c) 9
2 ____ 2
9 d) 3
8 ____ 8
3 d)10
3 ___ 3
10
15. Paulina y Matías practican un juego que consiste en que cada uno escribe un número de cuatro cifras con los dígitos del 1 al 9 (las cifras pueden repetirse) y cada uno trata de adivinar el número del otro, dándose pistas. Luego de jugar varias veces, deciden que el número será solo con los dígitos impares para que sea más fácil adivinarlo. ¿Cuántos números distintos puede escribir cada participante con las condiciones que acordaron? Para responder esta pregunta, observa que si el número tiene 4 cifras y los dígitos que se pueden ocupar son el 1, 3, 5, 7, 9, significa que hay 5 números posibles para cada cifra, ya que estos pueden repetirse, es decir:
¿Cuántos números distintos podían escribir inicialmente?
16. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor. a) 2
-3 b) 3
-2 c) 5
-2 d) 2
-5 e) 10
-1 f) 4
-1 g) 1
-4
17. Calcula el valor de cada potencia y luego multiplícalas para obtener el valor de cada expresión. a) 2
4 · 2
-3 b) 3
-3 · 3
1 c) 5
3 · 5
-2 d) 7
3 · 7
-3 e) 2
-4 · 2
3 f) 3
3 · 3
-1 g) 5
-3 · 5
2
18. Escribe cada expresión como una potencia con exponente negativo.
3
1 f)
7
1 e)
6
1 d)
10
1 c)
5
1 b)
3
1 a)
523424
19. Calcula el valor de cada potencia.
2
3 f)
5
1 e)
3
2 d)
3
2 c)
4
1 b)
4
1 a)
533322
−
−
−
20. Completa con los números que faltan para que la igualdad sea verdadera.
[ ] [ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
16
1
_
_ d)
8
125-
_
_ c)
81
16
_
_ b)
8
1
2
1 a)
434__
=
=
=
=
[ ] [ ] [ ]
[ ][ ][ ]
81
625-
_
_ h)
243
32
_
_ g)
25
49
5
7 f)
1.000
27-
10
3 e)
-4-5____
=
=
=
−=
−
21. Calcula el valor de cada potencia. a) (1,25)
3 b) (-0,25)
-4 c) (-0,25)
4 d) (-0,01)
-3 e) (0,5)
-3 f) (1,5)
2 g) (-0,002)
-3
4
3 n)
10
1 m)
3
1 l)
6
1 k)
11
6 j)
7
11 i)
7
3 h)
-4-5-2-3-22-1
−
22. Encuentra el número racional que hace verdadera cada igualdad.
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] 0,001 _
_ f)
125
8
_
_ e) 256
_
_ d) 64
_
_ c)
256
1
_
_ b) 49
_
_ a)
3-3-4-64-2
=
=
=
=
=
=
5 · 5 · 5 · 5 = 54
23. Encuentra el exponente de cada potencia para que se cumpla la igualdad.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0,0016
5
1 e)
125
8
5
2 d) 1.000.000
10
1 c)
125
216
6
5 b) 128
2
1 a)
__________
=
−=
−=
=
=
24. Escribe cada expresión como una potencia. a) 2
6 · 3
6 b) 2
2 · (-3)
2 · 6
2 c) 3
4 · 3
4 · 3
4 d) 4
4 · (-5)
4 e) 7
2 · 11
2
f) (-5)
3 · 5
3 · (-5)
3 g) 2
5 · 3
5 · 5
5 h) (-8)
3 · 10
3 i) (-13)
4 ·13
4 · 10
4
25. Escribe cada número como una multiplicación de potencias de distinta base y de igual exponente. a) 225 b) 1.225 c) 22.500 d) 196 e) 2.500 f) 125.000 g) 1.296 h) 4.900 i) 1.331.000 a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) Ninguna de las
anteriores
RACIONALIZACIÓN
Racionaliza las siguientes fracciones con denominador binomio o trinomio irracional:
ECUACIONES IRRACIONALES
A.- Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 735 +=++ xx b) 432 =x
c) 24323 =+x d) 14
3 =x
e) 11 =+x f) 23325 3 =x
g) 1122
1 4 3 =+x h) 133 23 +=+ xxx
i) 28563 23 +=+++ xxxx i) 33
2
2
1
2
1
xx=−
B.- Plantea la ecuación y resuelve los siguientes problemas:
a) El área de u triángulo equilátero es 39 m2. Determine el perímetro y la medida de su altura.
b) El volumen de un cubo mide 1728 m3. Calcule la medida de la diagonal de una de sus caras y la medida de la
diagonal del cubo. c) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. ¿Cuál es el número?
d) El volumen de una esfera mide 36 π m3. Calcule la medida de su radio.
e) Determine el perímetro de un rombo cuyas diagonales tienen como medida 6 m y 8 m, respectivamente. f) Las medidas de los lados de un triángulo son 26 m , 24 m y 10 m, respectivamente. Calcule su área.
g) El volumen de un cono recto mide 245 π cm3. ¿Cuánto mide su radio basal si la medida de su altura es 15
cm.?
h) El área de un triángulo equilátero es 100 3 m2. Indique la medida del área del cuadrado que tiene por
lado la altura del triángulo. i) El área de un cuadrado es 8 m
2. Calcule la medida del área del cuadrado que tiene por lado la diagonal del
cuadrado. j) Determine la medida del área del cubo que tiene como arista la diagonal de un cubo cuyo volumen mide
729 m3.
k) Calcule el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene la misma medida que el lado de un cuadrado en
que su diagonal mide 7 2 m.
LA PARÁBOLA
1. Grafica la parábola cuya ecuación es (x + 1)2 = -4(y + 2).
2. Grafica la parábola de ecuación y(y - 6) + 8x = -25. 3. Determina la ecuación de la parábola de foco (4,-2) y directriz x = 2. 4. Determina las coordenadas del vértice, del foco, la directriz y el lado recto (L.R.) de las siguientes parábolas:
a) y2 =12x
b) y
2 = -4x
c) x
2 = 8y
d) (x - 3)
2 = 16y
5. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0,0), su eje es el eje x y pasa por el punto (-4,-6). 6. Encuentra la ecuación de la parábola de foco (0,4) y directriz y + 4 = 0. 7. Determina la ecuación de la parábola de foco (0,0) y vértice (-2,0). 8. De la parábola y
2 + 4y + 4x = 0 determina las coordenadas del vértice, el foco, el L.R., la ecuación del eje y la
ecuación de la directriz. 9. Encuentra la ecuación de la parábola:
a) de vértice (1,4), eje paralelo al eje x y que pasa por el punto (5,-2) b) de eje paralelo al eje x, con vértice en (-2,-1) y de 4 unidades de L.R.
10. Escribe en forma ordinaria:
a) x2 - 6x + 6 = 0
b) y
2 + 12x = 24
c) y
2 - 4y - 12x +1 = 0
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 1. Determina la solución, en un sistema de coordenadas, de las siguientes inecuaciones:
a) x – y ≤ 2
b) x + y ≥ 3 c) 2x + y < -2 d) 2x – 3y < -1
e) y ≥ x
f) x – y ≤ 5
g) 13
2
2
1 ≤− yx
h) 25
2
4
3 >− yx
2. Determina la región solución de los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
a) x + y ≥ 2 x – y < 3
b) x – y ≤ 5
x + y ≥ 2 c) x + y < 0 2x – y > 3
d) x + y ≤ 5
x + y ≥ 1
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Determina la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas:
1. x2 – 1 ≥ 0
2. 8x2 + 5x ≥ 0
3. x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0 4. 4x
2 – 1 < 0
5. 3x
2 – 5x < 0
6. x(x – 5) – 2x(x + 3) + 6 ≤ x2 – 11x
7. x
2 – 13x + 40 < 0
8. 2x2 + 3 ≤ 7x
9. 2x
2 – 3x – 36 > x
2 +2x
10. 3x2 + 16x – 12 < 0
11. 4x(x + 3) ≥ -5 12. 3(2x
2 + 1) > 11x
13. x(3x – 4) > 7
14. 5x2 + 4x – 1 ≤ 0
15. (x – 2)2 ≤ 2(x
2 + 2)
16. x
2 – 10x + 25 < 0
17. 4x(x – 4) + 7 ≥ 0
18. 02212
2 ≤+−
−−
+x
x
x
x
19. 0)3)(12(
5
312
2 ≥++
++
−+ xxx
x
x
x
20. 1
3
12
2
1
1
−+<
+++
−+
x
x
x
x
x
x
TRIGONOMETRIA: RESOLUCION DE PROBLEMAS
1.Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.
2.Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
3. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el
perímetro del paralelogramo.
6. Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36º, si avanzamos hacia ellos en línea recta y los
volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué altura tienen los chopos?.
7. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el
ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.
8. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto
al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?.
9. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va por
su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media
hora?.
10. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C
de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º,
PBA=37º y PAC=50º
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo. 2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador? 3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo. 4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avión. 5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal. 6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado. 7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río. 8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro? 9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera? 10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada poste. 11. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol, desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel. 12. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.? 13. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife. 14. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?
15. Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos botes. 16. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C está a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del lago? 17. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º E, de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del primero. Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene que ir y cuánto tendrá que caminar? 18. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene una longitud de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados. 19. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte respecto del Oeste y viaja 42 km. adicionales hasta un punto que dista 63 km. del puerto. ¿Qué distancia hay del puerto al punto donde giró el barco? 20. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil , también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante. 21. Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205 m. hacia la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la carretera? 22. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 30 grados con el suelo, cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ángulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 m., ¿cuál es el ancho de calle? 23. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m.. halle la altura que tenía el árbol. 24. Un observador detecta un objeto volador no identificado situado estáticamente en un punto del espacio. El observador, por medio de un telémetro y un sextante, determina que el OVNI se encuentra a 4460 m. en un ángulo de elevación de 30 grados. De pronto el OVNI descendió verticalmente hasta posarse en la superficie terrestre. Determine a qué distancia del punto de observación descendió este objeto y qué distancia debió descender hasta tocar tierra. 25. El ángulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular, mide 73 grados. Si los lados, entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tiene una longitud de 175 pies y 150 pies, determine la longitud del tercer de los lados.
1. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 60º y 4π radianes. Calcule la medida del tercer ángulo
interior en grados sexagesimales y radianes. 2. Si ABCD es un cuadrado y C está unido con E, que es el punto medio de AD, calcule todas las relaciones
trigonométricas del ángulo ECD.
3. Si 727sec =α y α es un ángulo agudo, calcule el valor de las demás relaciones trigonométricas de α .
4. Si 22
2tg
qp
pq
−=α , exprese αcos y αeccos en términos de p y q.
5. Si ab =αtg , calcule el valor de αααα
cossen
cossen
ba
ba
+−
.
6. Si ααααβ
cossen
cossentg
+−= demuestre que ααβ cossensen2 −= .
7. El seno de un ángulo es a su coseno como 8 es a 15. Calcule el seno y el coseno de dicho ángulo.
8. Si cba =+ αα 22 sencos , demuestre que cbac
−−=α2tg .
9. Exprese todas las relaciones trigonométricas en términos de αcos .
10. Si β
βαcos1
sentg
x
x
−= y
ααβ
cos1
sentg
y
y
−= , demuestre que
yx=β
αsensen .
11. Calcule el valor numérico de ( ) ( )22º30cosº60senº30cosº60sen −++ .
12. Demuestre que αααα
ααcos)º90tg(
coscot
)º90(sencot 22
−−=+
−g
g.
13. Demuestre las siguientes identidades:
a) αααα ecg cosseccottg =+
b) 1)sec(sen)cos(tg 22 =− αααα ec
c) ααα
2sec2sen1
1
sen1
1 =+
+−
d) 1cos1
1
sen1
122
=+
++ αα ec
e) 7cottg)sec(cos)cos(sen 2222 ++=+++ αααααα gec
f) 1)cos23(cos)sen23(sen 2424 =−+− γγγγ
g) δδδδ 2262 cotcos31cotcos gecgec +=−
h) ββ
ββββββ22
4422
cossen
)cos(sen2)cot(tg)cot(tg
+=−++ gg
i) 1)sensencos(cos)sencoscos(sen 22 =−++ βαβαβαβα
j) 1costgcotseccottgcossec 22222222 =−−+ βαβαβαβα ecggec
14. Exprese )sen()º180sen()º180sen()º90cos( αααα −−+−−++ en términos de αsen .
15. Demuestre que )º360tg()º90cot()º180tg(tg αααα −=++−+ .
16. Si α es un ángulo del segundo cuadrante tal que 178cos −=α , calcule el valor de las otras relaciones
trigonométricas de α .
17. ¿Cuáles son todos los ángulos positivos, menores que 1000º, tales que 1tg 2 =α ?
18. Sin usar calculadora, calcule el valor numérico de º870sen y de º1530cos .
19. Si a=º25tg . Exprese en términos de a: º335tgº245tg
º115tgº205tg
+−
20. Si α es un ángulo del segundo cuadrante para el cual 32tg −=α , demuestre que
132
132
)cot()º270sen(
)º180cos()º90tg(
−+=
−−−+++αααα
21. Calcule el valor numérico de sen15º, sen75º y tg36º.
22. Resuelva las siguientes ecuaciones, donde la incógnita es un ángulo agudo:
a) 3sen4cos2 22 =+ xx
b) xxx tg2)3)(tg1(tg =+−
c) 01sen2sen2sen4 23 =+−− xxx
d) xx sec322cos2 =+
e) ecxxx coscottg =−
f) 0cot12sec35tg6 =+− xxx
23. Desde la cúspide de un faro de 80 m. De altura, se observan hacia el oeste dos botes según ángulos de depresión
de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los botes. 24. Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado en el suelo, a 12 m. Del
edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura del edificio y la longitud del asta.
25. Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100 m., calcule la altura del campanario.
26. Descendiendo por una colina, inclinada en un ángulo α respecto del plano horizontal, una persona observa una
piedra, situada en el plano, según un ángulo de depresión β . A mitad del descenso, el ángulo de depresión es
γ . Demuestre que: γβα cotcot2cot −=
27. Demuestre la siguientes identidades:
a) αβαββαβ cos)cos(cos)sen(sen =+++
b) βαβαβα 22 sencos)cos()cos( −=−+
c) ( ) ( ) ααα ππ 2sensencos4
2
4
2 =−−−
d) 23222 )º120(sen)º120(sensen =−+++ ααα
e) 0coscos
)sen(
coscos
)sen(
coscos
)sen( =−+−+−αγ
αγγβ
γββα
βα
f) αααααααα 2sen3sen2cos3cossen4sencos4cos −=−
g) )2sen1(2cossencos 2
4166 αααα −=−
h) 4322 º36cosº18sen =+
i) Si αααβ
2sen1
cossentg
n
n
−= , demuestre que αβα tg)1()tg( n−=−
j) 2
cot3cos2cos
3sen2sen α
αααα =
−+
k) 2
3tg
4cos)cos(
4sen)sen( βαββαββα −=
++−+
l) 81º80cosº40cosº20cos =
m) )sen()sen()sen(4)(2sen2sen2sen2sen αγγββαγβαγβα +++=++−++
n) º80senº70senº50senº40senº20senº10sen +=+++
o) αααα 3sen7sen2sen5sen 22 =−
p) αααααα tg2tg3tgtg2tg3tg =−−
q) ααααα
4cotcot3cot
1
tg3tg
1 =+
−+
r) Si 19πα = calcule el valor de
αααα
4sen16sen
3sen23sen
+−
s) Si πγβα =++ , demuestre que: 222
cossensen4sensensenγβαγβα =−+
t) Si πγβα =++ , demuestre que: γβαγβα cossencos42sen2sen2sen =+−
28. Demuestre las siguientes identidades:
a) 01coscoscos42cos2cos2cos =++++ γβαγβα
b) 22
tgtg1coscoscos
1coscoscos βα
γβαγβα =
+−+−++
.
c) 2222
2
2
2
2
2 sensensen21sensensenγβαγβα −=++ .
d) γβαγβα tgtgtgtgtgtg =++ .
e) Si 2πγβα =++ , demuestre que: 1cossensen2sensensen 222 =+++ γβαγβα
f) Si γβα += demuestre que:
γβαγβαγβαγβα coscossen4)sen()sen()sen( =+−+−++++ .
g) Si αβα tg3)tg( =+ demuestre que: βαβα 2sen22sen)22sen( =++ .
h) Calcule el valor de )sen(arccos53 y de )cos(arctg
512 .
i) Demuestre que: 4332
125
41 arctgarctgarctg =+ .
j) Demuestre que: 1127
53
53 arctgarctgarctg =+ .
k) Demuestre que: 45
171
81 arctg2arctgarctg2 π=++ .
29. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) )2sen()6sen(44ππ +=− xx .
b) )cos()3sen(36ππ +=− xx .
c) 07cos5cos3coscos =+++ xxxx .
d) 2
2sencos =− xx .
e) 03tg4tg 24 =+− xx .
f) 8544 cossen =+ xx .
g) 3arccosarcsenarccos xxx =− .
h) 42
121 arctgarctg π=+ +
+−−
xx
xx .
30. En un triángulo se conocen º45=α , º105=β y 2=c . Determine sus lados y sus ángulos.
31. En un triángulo se conocen 2=a , 31+=b y º60=γ . Determine sus lados y sus ángulos.
32. Dos lados de un paralelógramo miden 5 m. Y 8 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden las diagonales?
33. Demuestre que el área de un triángulo está dada por: γsen21 abA =∆ .
34. Un ángulo de un triángulo mide 45º y otro 8
5π radianes. Calcule la medida del tercer ángulo en grados
sexagesimales y en radianes.
35. Sea ABCD un cuadrado, y sea E el punto medio de AD. Si se unen C y D, se forma un ∠ECD. Calcule todas las relaciones trigonométricas de dicho ángulo.
36. Demuestre que, si x=αcot entonces αα ecx
x cossec1 =+ .
37. Si θ es un ángulo del segundo cuadrante tal que 53sen =θ , determine las otras relaciones trigonométricas de
θ .
38. 39. Sin usar calculadora, calcule el valor numérico del seno y el coseno de:
a) 3
4π b) 4
7π c) 3
17π d) 6
25π−
40. Si ( ) atan =365π . Exprese en términos de a:
( ) ( )( ) ( )
3631
3649
3623
3641
ππ
ππ
tantan
tantan
+−−
41. Exprese todas las relaciones trigonométricas de α en términos de αcos .
42. Calcule el valor numérico de 2
63
2
63)cos(sen)cos(sen ππππ −++ .
43. Exprese )sen()sen()sen()cos(2
ααπαπαπ −−+−−++ en términos de αsen .
44. Demuestre que )2()()(2
απααπα π −=++−+ tanctantantan .
45. Si ABCD es un cuadrado y C está unido con E, que es el punto medio de AD, calcule todas las relaciones
trigonométricas del ángulo ECD.
46. Si 727sec =α y α es un ángulo agudo, calcule el valor de las demás relaciones trigonométricas de α .
47. Si 22
2tg
qp
pq
−=α , exprese αcos y αeccos en términos de p y q.
48. Si ab =αtg , calcule el valor de αααα
cossen
cossen
ba
ba
+−
.
49. Si ααααβ
cossen
cossentg
+−= demuestre que ααβ cossensen2 −= .
50. El seno de un ángulo es a su coseno como 8 es a 15. Calcule el seno y el coseno de dicho ángulo.
51. Si cba =+ αα 22 sencos , demuestre que cbac
−−=α2tg .
52. Exprese todas las relaciones trigonométricas en términos de αcos .
53. Si β
βαcos1
sentg
x
x
−= y
ααβ
cos1
sentg
y
y
−= , demuestre que
yx=β
αsensen .
54. Calcule el valor numérico de ( ) ( )22º30cosº60senº30cosº60sen −++ .
55. Demuestre que αααα
ααcos)º90tg(
coscot
)º90(sencot 22
−−=+
−g
g.
56. Demuestre las siguientes identidades: k) αααα ecg cosseccottg =+
l) 1)sec(sen)cos(tg 22 =− αααα ec
m) ααα
2sec2
sen1
1
sen1
1 =+
+−
n) 1cos1
1
sen1
122
=+
++ αα ec
o) 7cottg)sec(cos)cos(sen 2222 ++=+++ αααααα gec
p) 1)cos23(cos)sen23(sen 2424 =−+− γγγγ
q) δδδδ 2262 cotcos31cotcos gecgec +=−
r) ββ
ββββββ22
4422
cossen
)cos(sen2)cot(tg)cot(tg
+=−++ gg
s) 1)sensencos(cos)sencoscos(sen 22 =−++ βαβαβαβα
t) 1costgcotseccottgcossec 22222222 =−−+ βαβαβαβα ecggec
57. Desde la cúspide de un faro de 80 m. De altura, se observan hacia el oeste dos botes según ángulos de depresión
de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los botes. 58. Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado en el suelo, a 12 m. Del
edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura del edificio y la longitud del asta.
59. Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100 m., calcule la altura del campanario.
60. Descendiendo por una colina, inclinada en un ángulo α respecto del plano horizontal, una persona observa una
piedra, situada en el plano, según un ángulo de depresión β . A mitad del descenso, el ángulo de depresión es
γ . Demuestre que γβα cotcot2cot −=
61. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.
62. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?
63. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.
64. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avión.
65. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
66. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
67. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.
68. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?
69. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?
70. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada poste.
71. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol, desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.
72. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?
73. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.
74. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?
TEOREMA DEL SENO 1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ángulo , opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula:
a) el lado AC b) el lado BC c) el ángulo
2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:
a) el lado BC b) el ángulo ABC c) el ángulo ACB
3. Si MNO es un triángulo rectángulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6 m., respectivamente. Calcula:
a) el lado MN b) el ángulo MNO c) el ángulo MON
4. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol? 5.Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento. 6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente. TEOREMA DEL COSENO 1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a, b, g son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. c) c = 10 cm. = 40º = 70º d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43º e) = 53º = 75º c = 30,5 cm. f) = 48º = 68º c = 47,2 mm.
2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre ellos.
EJERCICIOS DE LOGARITMOS
I ) Calcular : 1 ) log
2 8 = R : 3
2 ) log 3 9 = R : 2
3 ) log 4 2 = R : 0,5
4 ) log 27
3 = R : 1 / 3
5 ) log 5 0,2 = R : − 1
6 ) log 2 0,25 = R : − 2
7 ) log 0,5
16 = R : − 4
8 ) log 0,1
100 = R : − 2
9 ) log 3 27 + log
3 1 = R : 3
10 ) log 5 25 − log
5 5 = R : 1
11 ) log 4 64 + log
8 64 = R : 5
12 ) log 0,1 − log 0,01 = R : 1 13 ) log 5 + log 20 = R : 2
14 ) log 2 − log 0,2 = R : 1 15 ) log 32 / log 2 = R : 5 16 ) log 3 / log 81 = R : 0,25
17 ) log 2 3 × log
3 4 = R : 2
18 ) log 9 25 ÷ log
3 5 = R : 1
II ) Determinar el valor de x : 1 ) log
3 81 = x R : 4
2 ) log 5 0,2 = x R : − 1
3 ) log 4 64 = ( 2 x − 1 ) / 3 R : 5
4 ) log 2 16 = x
3 / 2 R : 2
5 ) log 2 x = − 3 R : 1 / 8 6 ) log
7 x = 3 R : 343
7 ) log 6 [ 4 ( x − 1 ) ] = 2 R : 10
8 ) log 8 [ 2 ( x
3 + 5 ) ] = 2 R : 3
9 ) log x 125 = 3 R : 5
10 ) log x 25 = − 2 R : 1 / 5
11 ) log 2 x + 3
81 = 2 R : 3
12 ) x + 2 = 10 log 5
R : 3 13 ) x = 10
4 log 2 R : 16
14 ) x = log 8 / log 2 R : 3 15 ) x = log 625 / log 125 R : 4 / 3
16 ) log ( x + 1 ) / log ( x − 1 ) = 2 R : 3
17 ) log ( x − 7 ) / log ( x − 1 ) = 0,5 R : 10
III ) Si log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 y log 7 = 0,845 , entonces : 1 ) log 8 = R : 0,903 2 ) log 9 = R : 0,954 3 ) log 5 = R : 0,699 4 ) log 54 = R : 1,732 5 ) log 75 = R : 1,875
6 ) log 0,25 = R : − 0,602
7 ) log ( 1 / 6 ) = R : − 0,778
8 ) log ( 1 / 98 ) = R : − 1,991
9 ) log ( 1 / 36 ) = R : − 1,556
10 ) log ( 2 / 3 ) = R : − 0,176
11 ) log 0,3 = R : − 0,523 12 ) log 1,25 = R : 0,097
Ángulos y rectas
Relaciones entre parejas de ángulos
En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.
Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
α + β son complementarios
α + β= 90°
Dos ángulos son suplementarios si la suma de
sus medidas es 180°
α + β son suplementarios
α + β = 180°
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma recta.
a es adyacente con b Û A, B, C son colineales
(están en la misma recta), BD lado común para a y b
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Rectas secantes y paralelas
Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto.
Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).
Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lados y un vértice.
Esta construccción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V).
α es opuesto por el vértice con β
γ es opuesto por el vértice con δ
Como podemos verificar en la fígura: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante
Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos:
Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son
interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas:
Ángulos internos (3, 4, 5 y 6)
Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º) Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos externos (1, 2, 7 y 8)
Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.
Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 190º) Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º)
Ángulos correspondientes:
Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
1 y 5 son ángulos correspondientes
(iguales), ∠∠∠∠ 1 = ∠∠∠∠ 5
2 y 6 son ángulos correspondientes (iguales) ∠∠∠∠ 2 = ∠∠∠∠ 6
3 y 7 son ángulos correspondientes (iguales)
∠∠∠∠ 3 = ∠∠∠∠ 7
4 y 8 son ángulos correspondientes (iguales) ∠∠∠∠ 4 = ∠∠∠∠ 8
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí.
Ángulos alternos internos:
Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.
3 y 6 son ángulos alternos internos ∠∠∠∠ 3 = ∠∠∠∠ 6 4 y 5 son ángulos alternos internos ∠∠∠∠ 4 = ∠∠∠∠ 5
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.
Ángulos alternos externos:
Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.
1 y 8 son ángulos alternos externos ∠∠∠∠ 1 = ∠∠∠∠ 8 2 y 7 son ángulos alternos externos ∠∠∠∠ 2 = ∠∠∠∠ 7
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí.
Ejercicio 1)
Si
calcular:
Ejercicio 2)
Si bisectriz del , calcular
Ejercicio 3)
Si
encuentre la medida de
Ejercicio 4)
En la figura, , entonces cuál(es) de las siguientes relaciones son siempre verdaderas:
Alternativas
a) solo I b) solo II c) solo III d) I, II y III e) I y II
Ángulos en un triángulo
Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:
1.- La suma de los ángulos internos de un triágulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º.
En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.
2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.
En la figura, α + β = 90º
3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no
contiguos (opuestos).
En la figura, β = α + ε
4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.
En la figura,
β > (es mayor que) α
β > (es mayor que) e
5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º.
En la figura, α + β + γ = 360º
Ángulos y su clasificación
Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto.
También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice.
El ángulo se anota:
Dos rectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, α y β.
Al ángulo α se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo β es cóncavo.
Clasificación de los ángulos
Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:
Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°
∠∠∠∠ α = 90°
Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°
∠∠∠∠ α = < 90°
Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de 180°
∠∠∠∠ α = 180°
Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°
∠∠∠∠ α = > 90° < 180º
Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°
∠∠∠∠ α = 360°
Ángulos en la circunferencia
Dibujando líneas que estén dentro de una circunferencia o que tengan relación con ella podemos definir distintos tipos de ángulos, como se aprecia en la figura a la derecha:
Donde:
δ (delta) = ángulo inscrito (71,47º), con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.
α (alfa) = ángulo semiinscrito (41,68º) , cuyo vértice está en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vértice y el otro que es una cuerda.
γ (gama) = ángulo central o del centro (45,42º), con el vértice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios.
β (beta) = ángulo interior (47,3º), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vértice situado en el interior de la misma.
A continuación veremos algunas características de estos ángulos y analizaremos ciertas relaciones entre ellos.
Ángulo inscrito en la circunferencia
El ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma (si las cuerdas se prolongan, diremos que son dos rectas secantes).
En la figura a la izquierda, vemos varios ángulos inscritos que abarcan o subtienden el arco FD.
Todos miden lo mismo (71,47º), por ello, podemos afirmar que “los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales”.
En nuestro ejemplo, son iguales los ángulos de vértices B, A, G, H.
También debemos recordar que un ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca.
El ángulo se expresa en grados. El valor de un arco se expresa en grados y coincide con el valor del ángulo del centro correspondiente.
Cuando el arco comprendido entre los radios tiene la longitud de éstos, el valor del ángulo central es un radián, una circunferencia tiene pues 2π radianes.
Ángulo central o del centro en la circunferencia
El ángulo central o del centro es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios. En la figura a la derecha, vemos que el ángulo del centro dibujado, con vértice en O, abarca o subtiende el arco FG.
Al respecto, debemos reiterar que “El ángulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca”.
En la misma figura de la derecha se dibujó un ángulo inscrito (α = 37,3º) que subtiende o abarca el mismo arco que el ángulo del centro (γ = 74,6º); en dicha situación (y los valores indicados lo confirman), “Cuando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el del centro”.
Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan
dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales:
uno cóncavo (α = 130,68º) y
uno convexo (β = 229,32º) ,
o los dos iguales, que sumarán 360º.
Los ángulos inscritos (γ = 65,34º y δ = 114,66 en la figura de la derecha) que
subtienden los mismos arcos que subtienden los ángulos del centro
mencionados, serán suplementarios, pues sumarán siempre 180º.
Ángulo semiinscrito en la circunferencia
El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).
La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente. Un ángulo semiiscrito (en la figura es δ = 67,5º) vale la mitad que el ángulo del centro (α = 135º) que abarca el arco AB.
Nótese que en la figura están dados los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor del ángulo central así:
,
por pertenecer al triángulo isósceles ABC (recordar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º, y que el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales).
Entonces, calculamos el valor del ángulo δ semiinscrito:
El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito (ζ (zeta) =
112,5º) abarca el otro arco definido por AB.
Ángulo interior en la circunferencia
El ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el círculo. Sus lados son dos rectas secantes.
El ángulo interior , siendo δ y ε los ángulos centrales de los arcos (AC y DB) definidos por las rectas secantes.
Vamos a comprobarlo:
Consideramos el triángulo escaleno AGD:
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco AC;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco DB;
entonces el ángulo , por lo tanto,
Ángulos exteriores a la circunferencia
El ángulo exterior ε tiene el vértice (A) en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes (AB y AC).
El ángulo exterior , siendo α y β los ángulos centrales de los dos arcos definidos por las dos rectas secantes.
Vamos a comprobarlo:
Consideramos el triángulo escaleno ADB:
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ED;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco BC;
el ángulo , suplementario de CDB; por lo tanto, el ángulo
Hay otros dos casos de ángulos exteriores, según sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:
El ángulo exterior circunscrito α (figura de la izquierda) tiene los dos lados tangentes a la circunferencia; α = 180º — γ, siendo γ el ángulo central BOC definido por las tangentes.
Vamos a comprobarlo:
El cuadrilátero ABOC cumple, como tal, que la suma de sus ángulos interiores es 360º.
Siendo dos de sus ángulos rectos (β y δ) , resulta que 180º = α + γ,
luego α = 180º — γ.
El ángulo exterior circunscrito γ tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia (figura a la derecha).
El ángulo exterior , siendo α y β los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.
Vamos a comprobarlo:
Consideramos el triángulo escaleno ABC:
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco CD;
el ángulo , pues es el ángulo suplementario de δ, ángulo semiinscrito que abarca el arco BC;
el ángulo
1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES
El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el
conocimiento de sus características y propiedades nos ayudará a analizar los polígonos de más lados.
Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos
A) Los tres ángulos de un triángulo suman 180º como puede comprobarse con la figura siguiente
Como consecuencia de esta propiedad puede demostrarse fácilmente que los ángulos de un polígono de n lados suman 180º·(n -2) ¿Sabrías decir porqué a partir de la figura siguiente?
B) Un lado es menor que la suma de los otros dos. a < b + c, b < a + c, c < a + b
C) Dado un triángulo siempre existe una circunferencia circunscrita a él. Su centro, como ya sabéis, es el
punto donde se cortan las mediatrices de los lados. Demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º puede hacerse mediante esta última propiedad. ¿Sabrías hacerlo?
Por cierto, ¿todo cuadrilátero puede inscribirse en una circunferencia?. En caso de respuesta negativa, ¿qué condición debe cumplir el cuadrilátero para que exista una circunferencia que pase por los cuatro vértices del cuadrilátero?
2. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO El triángulo, como polígono que tiene tres lados y tres ángulos, se clasifica según sus lados y según sus ángulos.
Es decir:
Según sus lados:
Equilátero: Tres lados iguales. Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida. Escaleno: Tres lados con distinta medida.
Según sus ángulos:
Rectángulo: Un ángulo recto. Acutángulo: Tres ángulos agudos Obtusángulo: Un ángulo obtuso
Problemas:
1.- ¿Qué ángulo forman dos diagonales de dos caras consecutivas de un cubo que se unen en un vértice? 2.- Calcula el ángulo obtuso que forman las dos bisectrices interiores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. 3.- Las ciudades norteamericanas son muy amigas de tener algo que sea lo mayor que existe en el mundo. Una de ellas decide hacer el edificio más alto del mundo y se lo encargan a un arquitecto vanguardista, el cual diseña un edificio cuya fachada es un triángulo isósceles muy estilizado; tanto que las bisectrices de los ángulos iguales se cortan en ángulo recto. ¿Cuál será la altura de este edificio? 4.- En la figura
AF es la bisectriz del ángulo A y BH la altura sobre la hipotenusa. Demuestra que el triángulo BEF es isósceles. 5.- Dadas tres rectas paralelas a, b y c, construye un triángulo equilátero que tenga un vértice sobre cada una de las tres rectas. 3. ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área del triángulo es consecuencia del área del paralelogramo, cuya área se deriva, a su vez, del área del rectángulo. Area del Rectángulo = Largo x ancho = Producto de sus lados = Base x altura. Area del Paralelogramo = Base x altura
Area del triángulo = 2
altura xBase
A
B C
H
E
F
Problemas:
1.- Sea el triángulo equilátero ABC de área 1024 metros cuadrados. Uniendo los puntos medios se ha construido el triángulo A´B´C´. Del mismo modo se construye el A´´B´´C´´ y así sucesivamente.
Calcula: a) El área del triángulo A´B´C´ b) La suma de las áreas de los tres primeros triángulos
formados con el procedimiento que se ha explicado anteriormente.
c) El proceso puede ser infinito. ¿Cuánto suman las áreas de todos los triángulos que pueden formarse?
2.- Si a un triángulo le aumento un 20% su base y le disminuyo un 20% su altura, ¿qué le pasa a su área? 3.- Localiza un punto P sobre el lado BC de un triángulo ABC de
forma que los triángulos ABP y APC tengan la misma superficie. Si BC es el lado de mayor longitud, busca sobre este lado un punto Q de tal modo que los triángulos ABQ y ACQ tengan el mismo perímetro. 4.-. Para fabricar esta cometa se utilizaron 6 dm
2 de papel amarillo para el triángulo OBC, 8 dm
2 de papel verde para
el triángulo OCD y 12 dm2 de papel blanco para el triángulo ODA. ¿Cuántos dm
2 de papel rojo necesito para el
triángulo OAB?
5.- En el lado AB de un triángulo ABC se toma un punto K de tal forma que 3=KB
AK. ¿Dónde habrá que tomar el
punto D, situado en uno de los lados del triángulo para que la recta KD divida su área por la mitad? 6.- Tengo una parcela limitada por tres tramos de carretera rectilíneos de igual longitud. En las tres carreteras hay la misma densidad de tráfico. Con objeto de sufrir la menor contaminación acústica posible, deseo construir la casa en un punto tal que la suma de sus distancias a las tres carreteras sea máxima. ¿Dónde tengo que construir la casa?
A
B
C
D
O
A
B C
B´ C´
A´
4. TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras que dice: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos.
Una demostración gráfica puede observarse en el dibujo siguiente:
En términos aritméticos puede expresarse: a
2 + b
2 = c
2.
Problemas:
1.- Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 10 m. 2.- Comprueba que si un cateto de un triángulo rectángulo mide 2a y el otro mide (a
2-1), la hipotenusa mide (a
2+1),
a >1. 3.- Las ternas de números 2a , (a
2-1) y (a
2+1) se llaman ternas pitagóricas. Calcula ternas pitagóricas con todos sus
términos menores que 30. 4.- Calcula la diagonal de un ortoedro de lados a, b, c. 5.- Di si el triángulo de lados 13, 10 y 7 es rectángulo acutángulo u obtusángulo. 6.- Calcula el área que queda entre las tres circunferencias sabiendo que tienen todas 10 cm de diámetro.
7.- A ambos lados de una calle hay dos árboles, uno frente al otro. Uno de 6 m y otro de 4m. La distancia entre ambos es de 10 m y en sus copas hay un pájaro en cada una. Descubren en el suelo un trozo de pan y se lanzan al mismo tiempo y con la misma velocidad alcanzando a la vez la comida. ¿A qué distancia de los árboles estaba el pan? 8.- En un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 5 cm, se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales y su longitud es 4 cm. Calcula el área del triángulo.
9.- Sea un cuadrado ABCD de lado 4 cm. Sobre el lado AB se construye un triángulo equilátero con el tercer vértice E en el interior del cuadrado. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEC?, ¿y el DEC?
10.- Las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden 5 y 40 cm.
¿Cuál es el valor de la hipotenusa? 11.- Sea una corona circular y sabemos que la cuerda de la circunferencia de mayor radio que es tangente a la circunferencia de menor radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área de la corona circular? 12.- En un cuarto rectangular cuyas dimensiones son 6 por 2,4 m y su altura 2,4 m, una araña se encuentra en el medio de una de sus paredes menores y a 0,20 m del techo. En la pared frontal de ésta se encuentra una mosca, asimismo en el medio de dicha pared y a 0,20 m del suelo, paralizada por el miedo que le causa la araña. ¿Cuánto mide el camino más corto que ha de seguir la araña para capturar a la mosca?
5. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que abarcan los dos catetos es de 180º
Por tanto, se cumplirá:
a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia. b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c. c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
Problemas:
1.- Se dan dos puntos A y B. Sea r una recta que pasa por A y sea P el pie de la perpendicular desde B a la recta r. ¿Qué figura forman los puntos P al ir considerando todas las rectas que pasan por A? 2.- Los tres lados de un triángulo miden 10, 24 y 26 cm. Calcula la longitud de las tres alturas y de las tres medianas. 3.- Demuestra que la mediana y la altura correspondientes al ángulo recto de un triángulo rectángulo forman entre sí un ángulo igual a la diferencia entre los ángulos agudos del triángulo.
6. UNOS EJERCICIOS CURIOSOS
Aquí te presentamos un conjunto de problemas que tienen relación con los triángulos aunque es difícil colocarlos en uno de los apartados anteriores. Esperamos que pases un buen rato buscando la solución 1.- Formamos un triángulo con diez monedas tal como muestra la figura siguiente:
Moviendo únicamente tres monedas debes obtener un triángulo invertido. ¿Sabrías hacerlo? 2.- Disponemos de 7 tiras de madera, todas de distinta longitud: una de 1 cm, otra de 2 cm, una tercera de 3 cm y así sucesivamente hasta una última tira de 7 cm. ¿Cuántos triángulos distintos pueden formarse? 3.- Con 12 palillos es posible formar un triángulo equilátero, pero también es posible formar dos, cuatro, cinco y hasta seis triángulos equiláteros. ¿Cómo lo harás?. Compliquemos un poco el problema: ¿serías capaz de formar ocho triángulos? 4.- Si en un triángulo equilátero de lado 10 cm se colocan cinco puntos en su interior, prueba que siempre habrá dos puntos que están como máximo a 5 cm de distancia. 5.- ¿Qué relación existe entre las áreas de un triángulo equilátero y un hexágono regular isoperimétricos (el triángulo equilátero y el hexágono regular tienen el mismo perímetro)? 6.- En las figuras siguientes aparecen un triángulo y unos segmentos interiores que parten de dos vértices y que dividen a los lados opuestos a dichos vértices en tantas partes como segmentos hay más uno.
Estos segmentos interiores determinan muchos otros triángulos: por ejemplo, en el primero de los triángulos aparecen ocho triángulos. ¿Cuántos triángulos hay en el segundo? ¿y en el tercero? ¿y si en vez de tener tres segmento tenemos cuatro, cinco,……… o un número cualquiera n?
108
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Apartado 2 1.- 60º 2.- 135º 3.- Infinita 5.- Tomamos un punto cualquiera B en la recta b y con este centro aplicamos un giro de 60º a la recta c, obteniéndose la recta c´. El corte de esta recta con la recta a nos dará el vértice A del triángulo equilátero que buscamos. Conocidos A y B se obtiene fácilmente el vértice C haciendo un giro de 60º al segmento AB. Apartado 3 1.- a) 256, b) 336, c) 1024/3 2.- Se reduce un 4% 3.- El punto medio de BC. Llevamos sobre BC y, a partir de B, el lado b y, a partir de C, el lado c, lo que dará lugar a los puntos M y N sobre el lado BC. La solución es el punto medio del segmento MN 4.- 9 dm2
5.- D está situado en el lado AC. Se divide este lado en tres partes y el punto de división más próximo a C es el punto buscado. 6.- En todos los puntos del interior del triángulo la suma de las distancias a las tres carreteras es constante:
2
3l, donde l es el lado del triángulo que delimita la parcela.
Apartado 4
1.- 325 m2
3.- 4,3,5 6,8,10 8,15,17 10,24,26
4.- 222 cba ++
5.- Obtusángulo
6.- 0314,42
325 ≈
− π cm
2
7.- A 4 metros del árbol de 6 metros 8.- 25/3 cm
2
9.- 4 cm2, 348 − cm
2
10.- 21,7132 ≈ cm
11.- π16 cm2
12.- 8 m Apartado 5 1.- Una circunferencia de diámetro AB 2.- Alturas: 10cm, 24 cm y 9,23 cm. Medianas: 13 cm, 15,62 cm y 24,51 cm Apartado 6 1.- Pasando las dos monedas de los extremos de la última fila a los extremos de la segunda fila y la moneda de la primera fila debajo de las dos centrales de la última fila. 2.- 13 triángulos 3.- Los ocho triángulos se obtienen al formar con los doce palillos un octaedro. 4.- Uniendo los puntos medios del triángulo se obtienen cuatro triángulos equiláteros de lado 5 cm. Es evidente que al menos dos de los puntos estarán en uno de los triángulos pequeños y, por tanto, su distancia será menor o igual que 5 cm. 5.- La relación entre las áreas del hexágono y del triángulo es de 2/3
109
6.- En el segundo triángulo hay 27 y en el tercero 64. En general, si los lados opuestos están divididos en n
segmentos, para lo cual hace falta que salgan de cada vértice n-1 segmentos interiores, se forman n3
triángulo.
G E O M E T R Í A P L A N A . E J E R C I C I O S
1 D e t er m i n a r e l l a d o d e u n t r i á n g u l o e q u i l á t e r o c u y o p e r í m e t r o e s i g u a l
a l d e u n cu a d r a d o d e 12 c m d e l a d o . ¿ S e r á n i g u a l es su s á r ea s ?
2 Ca l c u l a r e l á r ea d e u n t r i á n g u l o eq u i l á t er o i n s c r i t o en u n a
c i r c u n f er e n c i a d e r a d i o 6 c m .
3 D a d o u n t r i á n g u l o eq u i l á t e r o d e 6 m d e l a d o , h a l l a r e l á r e a d e u n o d e
l o s s e c t o r e s d e t er m i n a d o p o r l a c i r c u n f e r en c i a c i r c u n s c r i t a y p o r lo s r a d i o s
q u e p a s a n p o r l o s vé r t i c e s .
4 D e t er m i n a r e l á r e a d e l c u a d r a d o i n s c r i t o e n u n a c i r c u n f e r en c i a d e
l o n g i t u d 1 8 . 84 m .
5 E n u n cu a d r a d o d e 2 m d e l a d o s e i n s c r i b e u n c í r c u l o y en e st e c í r c u l o
u n c u a d r a d o y en e st e o t r o c í r cu l o . H a l l a r e l á r e a c o m p r e n d i d a en t r e e l ú l t i m o
c u a d r a d o y e l ú l t i m o c í r c u l o .
6 C a l c u l a r e l á r ea d e l a c o ro n a c i r c u l a r d e t e rm i n a d a p o r l a s
c i r c u n f er e n c i a s i n s c r i t a y c i r c u n s cr i t a a u n cu a d r a d o d e 8 m d e d i a go n a l .
7 E n u n a c i r cu n f er e n c i a d e r a d i o i g u a l a 4 m s e i n s c r i b e u n c u a d r a d o y
s o b r e l o s l a d o s d e e s t e y h a c i a e l ex t e r i o r s e c o n s t ru y en t r i á n g u l o s
eq u i l á t er o s . H a l l a r e l á r e a d e l a e s t r e l l a a s í f o r m a d a .
8 E l p e r í m e t r o d e u n t r a p e c i o i só s c e l e s e s d e 1 10 m , l a s b a s e s m i d e n 4 0
y 30 m r e s p e c t i v a m e n t e . Ca l c u l a r l o s l a d o s n o p a r a l e l o s y e l á r e a .
110
9 S i l o s l a d o s n o p a r a l e l o s d e u n t r a p e c i o i s ó s c e l e s s e p r o l o n g a n ,
q u e d a r í a f o r m a d o u n t r i á n g u l o e q u i l á t e r o d e 6 cm d e l a d o . S a b i en d o q u e e l
t r a p e c i o t i en e l a m i t a d d e l a a l t u r a d e l t r i á n g u l o , c a l c u l a r e l á r ea d e l t r a p e c i o .
1 0 E l á r ea d e u n c u a d r a d o e s 23 0 4 c m ² . Ca l c u l a r e l á r e a d e l h e xá g o n o
r e g u l a r q u e t i en e s u m i s m o p e r í m et r o .
1 1 L a su p er f i c i e d e u n a m e s a e s t á f o r m a d a p o r u n a p a r t e c e n t r a l
c u a d r a d a d e 1 m d e l a d o y d o s s e m i c í r c u l o s a d o s a d o s e n d o s l a d o s o p u e s t o s .
Ca l c u l a e l á r e a .
1 2H a l l a r e l á r ea d e u n s e c t o r c i r c u l a r c uy a c u e r d a e s e l l a d o d e l
t r i á n g u l o e q u i l á t e r o i n s c r i t o , s i e n d o 2 c m e l r a d i o d e l a c i r cu n f er e n c i a .
1 3 H a l l a r e l á r e a d e l s e c t o r c i r c u l a r c u y a c u e r d a es e l l a d o d e l c u a d ra d o
i n sc r i t o , s i e n d o 4 c m e l r a d i o d e l a c i r cu n f er e n c i a .
1 4D a d a s d o s c i r cu n f er e n c i a s c o n c é n t r i ca s d e r a d i o 8 y 5 c m ,
r es p e c t i v a m en t e , s e t r a z a n l o s r a d i o s O A y O B, q u e f o r m a n u n á n gu l o d e 60 ° .
Ca l c u l a r e l á r e a d e l t r a p e c i o c i r c u l a r f o r m a d o .
1 5C a l c u l a e l á r ea s o mb r e a d a , s a b i e n d o q u e e l l a d o d e c u a d r a d o e s 8 c m
y e l r a d i o d e l c í r cu l o m e n o r m i d e 2 c m .
111
1 6C a l c u l a e l á r e a d e l a p a rt e s o m b r e a d a , s i e l r a d i o d e l c í r c u l o m a y o r
m i d e 6 c m y e l r a d i o d e l o s c í r c u l o s p eq u e ñ o s m i d e 2 c m .
1 7 C a l c u l a e l á re a d e l a p a r t e so m b r ea d a , s i e n d o A B = 1 0 c m , A BC D u n
c u a d r a d o y A P C Y A Q C a r c o s d e c i r c u n f e r en c i a d e c e n t r o s B y D .
1 8A u n h e xá g o n o r eg u l a r 4 c m d e l a d o s e l e i n sc r i b e u n a c i r c u n f er e n c i a y
s e l e c i r cu n sc r i b e o t r a . H a l l a r e l á r e a d e l a c o r o n a c i r c u l a r a s í f o rm a d a .
1 9 E n u n a c i r c u n f e r e n c i a u n a c u er d a d e 48 c m y d i s t a 7 c m d e l ce n t r o .
Ca l c u l a r e l á r e a d e l c í r c u l o .
2 0L o s ca t e t o s d e u n t r i á n g u l o i n s c r i t o en u n a c i r c u n f er e n c i a m i d e n 2 2 . 2
c m y 2 9 . 6 c m r e s p ec t i v a m en t e . Ca l c u l a r l a l o n g i t u d d e l a c i r c u n f e r e n c i a y e l
á r e a d e l c í r cu l o .
112
TEOREMA DE THALES
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES. 1. Teorema de Thales.
1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1] Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t. Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB. ¿Qué relacion hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’? Observa que C’D’ es también doble de A’B’: C’D’ = 2 · A’B’. Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción: CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB. Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t: AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k. Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra
secante. 1.2. División de un segmento en partes iguales.
Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales. 1. Para ello se traza una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el segmento AB un ángulo menor de 180º. 2. Se elige un segmento u arbitrario se lleva sobre la semirrecta que antes hemos trazado tres veces y el punto P, correspondiente a la última división, se une con el punto B. 3. Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos de división M y N y se obtienen los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales.
113
1.3. Segmento cuarto proporcional. Dados tres segmentos a, b y c se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: a / b = c / x. Observa los segmentos a, b y c. Numéricamente podemos calcular el cuarto proporcional de la siguiente manera: a / b = c / x; 5 / 4 = 2,5 / x; 5·x = 4 · 2,5; 5x = 10; x = 10 / 5 = 2. El cuarto proporcional es 2.
Observa cómo se determina gráficamente el segmento cuarto proporcional. 1. Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como indica la figura. 2. Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento buscado. 1.4. Segmento tercero proporcional.
Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: a / b = b / x. Observa los segmentos a y b. Numéricamente podemos calcular el tercero proporcional de la siguiente manera:
a / b = b / x; 1 / 2 = 2 / x; x = 4. El tercero proporcional es 4 cm. La construcción gráfica del tercero proporcional se hace como en el caso del cuarto proporcional. 2. Triángulos en posición de Thales. 1. Dibuja en tu cuaderno un triángulo como el triángulo ABC. 2. Traza una paralela A'B' al lado AB. Así se forma un nuevo triángulo CA'B'.
Los triángulos CAB y CA'B' se dice que están en posición de Thales o que son triángulos de Thales. Veamos que dos triángulos en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales:
Los ángulos de dos triángulos de Thales son iguales. El ángulo C es el mismo para los dos triángulos:
A = A'
B = B'
3. Los lados de dos triángulos de Thales son proporcionales. Para ver la proporcionalidad de los lados tracemos por el punto B' una paralela B'D al lado CA. Entonces A'B' = AD por ser lados opuestos de un paralelogramo.
114
· Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AB A'B', cortadas por CA y CB, resulta la proporción a): a) CA / CA' = CB / CB'. · Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AC B'D. cortadas por CB y AB, resulta: AB / A'B' = CB / CB'.
y como AD = A'B' resulta la proporción b): las proporciones a) y b) resulta:
AB / A'B' = CB / C'B'. De las proporciones a) y b) resulta: CA / CA' = CB / CB' = AB / A'B'. Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
1. En la siguiente figura L1//L2
a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
115
f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?
g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?
h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.
i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?
2. En la siguiente figura L1//L2.
a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.
c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?
d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm., CD = 4 cm. Determina
las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
116
TEOREMA DE EUCLIDES
Dada la siguiente figura:
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. CD = 6 cm.; AD = 3 cm; área del triángulo ABC = ?
2. AD = 3,6 cm.; BD = 6,4 cm.; AC = ?
3. BD = 3,2 m.; AB = 5 m.; BC = ?
4. AD = 2 cm.; BD = 4 cm.; CD = ?
5. AD = 16 cm.; AB = 52 cm.; CD = ?
6. AB = 12 cm.; AD = 9 cm.; BC = ?
7. AC = 5 cm.; BC = 10 cm. = CD = ?
8. CD = 2 m.; AC = 5 m.; BC = ?
9. AD = 5 cm.; AC = 8 cm.; área del triángulo ABC = ?
10. AC = 12 cm.; BC = 9 cm.; CD = ?
11. BD = 6m.; CD = 5 m.; AB = ?
12. AB = 10 cm.; AC = (p + 2) cm.; BC = 2p cm.; CD = ?
13. Demuestra que AC2 = AD · AB
A D
C
B
117
GUÍA DE EJERCICIOS TEOREMA DE EUCLIDES
1) El ∆ ABC de la figura es rectángulo en C, entonces CD =
A) 10 B) 20 C) 40
D) 5√5
E) 10√2
2) En el ∆ rectángulo de la figura, CD altura. Si CD = 6 y DB = 12, entonces AC =
A) 7
B) 6√2
C) 2√10
D) 3√5 E) 8
3) En el ∆ ABC de la figura, rectángulo en C, se tiene p = 3cm y q = 4cm. En tal caso, el valor de a2 + b
2 =
A) 49cm B) 25cm C) 7cm D) 5cm E) N.A.
4) En el ∆ ABC, rectángulo en C, CD altura. Si BC = 5cm y DB = 4cm, entonces AC =
A 40 D 10 B
C
A D B
C
A q D p B
C
a b
cm52
5 E)
4cm D)
cm4
15 C)
cm2
7 B)
3cm A)
A q D p B
C
a b hc
118
5) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11cm y el otro cateto y la hipotenusa están expresados por dos números naturales consecutivos. El perímetro del triángulo es:
A) 121cm B) 132cm C) 165cm D) 330cm E) 660cm
6) El ∆ ABC es rectángulo en C, con a = 30cm y b = 40cm, siendo CD altura y CM transversal de gravedad. En tal caso, MD =
A) 5cm B) 7cm C) 12cm D) 18cm E) 25cm
7) La altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo divide a esta en segmentos cuyas longitudes son 6 y 21cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? 8) En el siguiente triángulo rectángulo, si a = 6 y b = 8, entonces p
2 + q
2 + 2pq =
A) 100 B) 196 C) 100 + 2pq D) 196 + 3pq E) N.A.
9) En la figura, ABCD es un rectángulo de lados AB = 8cm y BC = 6cm. Se dibuja la diagonal AC, con BF ⊥ AC y
DE ⊥ AC, entonces EF mide:
A) 1,8cm B) 2,8cm C) 3,2cm D) 3,6cm E) 6,4cm
A q M D p B
C
a b
21cmy 143 E)
6cmy 143 D)
56cmy 16 C)
cm213y 63 B)
cm79y 29 A)
A q D p B
C
a b hc
A B
D C
E
F
119
10) En el ∆ ABC, rectángulo en C, se traza la altura CD y desde D, las perpendiculares DE y DF a los lados AC y BC respectivamente, como se muestra en la figura. Entonces DE
2 + DF
2 =
A) p
2 + q
2
B) 2pq C) (p + q)
2
D) p2 +pq + q
2
E) pq
A q D p B
C
a
b hc
E F
120
CILINDRO, CONO Y ESFERA
1. allar el área total de un cilindro circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm. 2. Hallar el área total de un cilindro cuya base tiene 14 cm. de diámetro y su generatriz mide 10 cm. 3. La circunferencia de la base de un cilindro mide 25,12 m. y su altura 12 m. Hallar el área total del
cilindro. 4. Hallar el volumen de un cilindro de 8 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 1,5 cm. 5. Hallar el área total y volumen de un cilindro circular de 10 cm. de altura y 6 cm. de diámetro de la base. 6. El área lateral de un cilindro circular es 96p y su altura mide 12 cm. Hallar el volumen del cilindro. 7. El área total de un cilindro de revolución es 150p y el radio de la base mide 5 cm. Hallar su volumen. 8. El volumen de un cilindro de revolución es 2000p. Hallar el área total de este cilindro, sabiendo que
tiene 20 cm. de altura.
9. Si S es el área lateral de un cilindro cuyo radio de la base es R, probar que su volumen es igual a 2
SR
10. Hallar el área lateral de un cono circular de 3 cm. de radio de la base y 9 cm. de generatriz. 11. Hallar el área total de un cono circular de 5 m. de radio de la base y 12 m. de altura. 12. La circunferencia de la base de un cono circular recto mide 12p y su altura 10,5 m. Hallar su área total. 13. La altura de un cono mide 20 cm. y la razón del radio de la base a la medida de la generatriz es 3:5.
Hallar el área total del cono. 14. Hallar el área y el volumen de un cono circular de 9 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 3 cm. 15. Hallar el volumen de un cono circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm. 16. Un cono circular tiene 5 cm. de radio de la base y la generatriz mide 12 cm. Hallar su volumen. 17. El diámetro de la base de un cono circular mide 8 cm. y la altura del cono 16 cm. Hallar el área total y el
volumen. 18. Hallar el volumen de un cono circular cuya generatriz mide 15 cm. y el radio de la base es igual a 3/5 de
la generatriz. 19. Hallar el volumen del cono engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo isósceles cuyo
perímetro es de 2 cm. 20. Sobre la base superior de un cilindro de 4 cm. de radio de la base y 5 cm. de altura, se construye un
cono circular de altura triple que el cilindro. Hallar el volumen del cuerpo formado. 21. El volumen de un cono circular de 10 m. de altura es 30p. Hallar el radio de su base. 22. El área total de un cono circular es 384p y el radio de la base 12. Hallar su volumen. 23. Una pirámide hexagonal regular de 2 cm. de lado de la base y 8 cm. de altura está inscrita en un cono
circular. Hallar la diferencia entre los volúmenes de ambos cuerpos. 24. Hallar el área total del tronco de cono de revolución obtenido cortando a un cono de 15 cm. de altura y
6 cm. de radio de la base, por un plano distante 5 cm. del vértice. 25. Un trapecio rectángulo cuyas bases miden 6 y 9 cm., respectivamente, gira alrededor de un eje que
contiene a su altura. Hallar el área total del tronco de cono engendrado, sabiendo que la altura del trapecio mide 4 cm.
26. Hallar el área lateral y el área total de un tronco de cono de 12 m. de altura, cuyos radios de las bases miden 11 y 6 m., respectivamente.
27. Hallar el área de una esfera de radio igual a 2 m. 28. Hallar el radio de una esfera cuya superficie mide 314 cm
2.
29. Hallar el área de una superficie esférica que pasa por los vértices de un cubo cuya área total mide 216 cm2.
30. Demostrar que la superficie esférica es equivalente a la superficie lateral de un cilindro cuya altura y diámetro de la base sean iguales al diámetro de la esfera.
31. Hallar el área de una superficie esférica cuya circunferencia máxima tiene 14p m. 32. El área de una superficie esférica es 256p. Hallar el área del círculo máximo de esta esfera. 33. Hallar el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 9p cm
2 de área.
34. ¿Cuál es el radio de una esfera cuya superficie es igual a la de un cilindro circular de 10p cm2?
35. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de un triángulo equilátero de 6 cm. de lado que gira alrededor de un eje que pasa por un vértice, siendo el lado opuesto a este vértice, paralelo al eje.
121
36. En un vaso cilíndrico de 36 cm. de diámetro que contiene cierta cantidad de agua, se echan dos bolas de
igual diámetro y el nivel del agua sube 6 cm. Hallar el radio de estas bolas. 37. Hallar el volumen de la esfera circunscrita a un cilindro circular cuyo radio de la base mide 12 cm. y su
altura 32 cm. 38. Hallar el volumen del cubo inscrito en una esfera cuyo volumen es igual a 288p. 39. Demostrar que la razón de las áreas laterales de dos cilindros equivalentes es igual a la razón inversa de
los radios de sus bases. 40. La diferencia entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 84p cm
2. Si la menor tiene 1 cm. de
radio, hallar el radio de la mayor.
POLIEDROS 1. s tres aristas que concurren en los vértices de un ortoedro miden 8, 10 y 12 cm. Calcular la longitud de
la diagonal. 2. Hallar la longitud de la arista de un cubo, sabiendo que su diagonal mide 15 cm.
3. La diagonal de una cara de un cubo mide 24 cm. Hallar la diagonal del cubo. 4. Hallar la apotema de una pirámide hexagonal regular de 6 cm. de lado de la base y 15 cm. de altura. 5. Calcular la altura del tetraedro regular en función de su arista. 6. Hallar la arista lateral de una pirámide regular de base cuadrada de 12 cm. de altura, sabiendo que el
lado de la base es los 2/3 de la altura. 7. Una pirámide regular de 13 mm. de altura tiene 338 mm
2 de área de su base. Si se corta por un plano
paralelo a la base distante 6 mm. del vértice, hallar el área de esta sección. 8. Una pirámide regular de base cuadrada tiene 18 cm. de altura y 9 cm. de lado de la base. Si se corta por
un plano distante 12 cm. de la base, hallar el lado de la sección producida. 9. ¿A qué distancia del vértice deberá cortarse una pirámide regular de 15 cm. de altura para que el área
de la sección producida sea los 2/3 del área de la base de la pirámide. 10. Dos secciones hechas a una pirámide hexagonal regular por planos paralelos que cortan a todas las
aristas laterales tienen 48 cm2 y 12 cm
2, respectivamente. Si la distancia entre ellas es de 4 cm, hallar la
distancia de la sección menor al vértice. 11. Hallar el área lateral y total de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la arista
lateral 24 cm. 12. Hallar el área total de un ortoedro de 14 cm. de largo, 8 cm. de ancho y 6 cm. de alto. 13. Hallar el área de un cubo de 4 m. de arista. 14. Hallar la arista de un cubo cuya área es igual a 216 cm
2.
15. La diagonal de un cubo mide 12 mm. Hallar su área. 16. Hallar el área lateral y total de un prisma recto que tiene por base un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa mide 25 cm. y uno de los catetos 7 cm., siendo la altura del prisma igual a 30 cm. 17. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuya base tiene 8 pulgadas de lado y la altura del
prisma es igual a 17 pulgadas.
18. Hallar el área lateral de un prisma hexagonal regular cuya apotema de la base mide 35 m. y la altura
del prisma 14 m. 19. Hallar el área lateral y total de un ortoedro cuya base tiene 8 cm. de largo por 2,5 cm. de ancho y su
altura 10 cm. 20. Hallar el área lateral y total de un cubo de 5 cm. de arista. 21. Hallar el área lateral y total de un prisma regular cuya base tiene 2 cm. de lado y la altura del prisma 12
cm. 22. Hallar el área total de un cubo cuya diagonal mide 6 cm. 23. Hallar el área de un octaedro de 4 m. de arista. 24. Expresar el área de un icosaedro en función de su arista “a”. 25. Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal regular cuya base tiene 3 cm de lado y la apotema de
la pirámide mide 12 cm.
122
26. Hallar el área lateral y total de un tetaedro regular de 6 cm. de arista. 27. Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 4 cm. y cuya altura
tiene 10 cm. 28. La altura de una pirámide hexagonal regular mide 24 m. y el lado de la base 10 m. Hallar su área total. 29. Hallar el área total de una pirámide hexagonal regular cuya apotema de la base mide 6 cm. y la arista
lateral 12 cm. 30. Una pirámide hexagonal regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la altura 15 cm. se ha cortado por un
plano paralelo a la base distante 9 cm. del vértice. Hallar el área lateral y total del tronco de pirámide así determinado.
31. Una pirámide triangular regular cuyo lado de la base tiene 3 cm. se ha cortado por un plano paralelo a la base distante 6 cm. del vértice. Si la apotema de la pirámide mide 12 cm.; hallar la superficie total de la pirámide y del tronco obtenido.
32. Sobre una de las bases de un prisma hexagonal regular de 12 cm. de lado de la base y 3 cm. de altura se ha construido una pirámide regular de 10 cm. de arista lateral. Hallar el área total del poliedro formado.
33. Sobre la base menor de un tronco de pirámide cuadrangular regular de 5 m. de altura se construyó un ortoedro de 4 m. de arista lateral. Hallar el área total del cuerpo formado, sabiendo que los lados de las bases del tronco miden 6 y 2 m., respectivamente.
34. Hallar el volumen del ortoedro cuyas dimensiones son 8, 6 y 4 cm. respectivamente. 35. La diagonal de un cubo mide 6 cm. Hallar su volumen. 36. El área total de un cubo es 96 cm
2. Hallar su volumen.
37. Expresar el volumen de un cubo en función de su diagonal “d”. 38. Hallar el área total de un cubo equivalente a un ortoedro de 18 cm. de largo, 16 cm. de ancho y 6 cm. de
alto. 39. ¿Cuántos metros cúbicos de hormigón serán necesarios para construir una cisterna de forma cúbica con
capacidad para 8.000 litros de agua si las paredes han de tener 0,2 metros de grueso y el fondo 0,12 m.? 40. Un ortoedro tiene 12 pulgadas de largo y su ancho y alto están en la relación de 4:3. Hallar su área total
sabiendo que tiene 576 pulgadas cubicas de volumen. 41. Hallar el volumen de un prisma triangular regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la altura del prisma
12 cm. 42. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm. y 8 cm.,
respectivamente. Hallar el volumen del prisma sabiendo que su arista lateral mide 20 cm. 43. Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 4 cm. y la arista lateral 10
cm.
44. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuyo volumen es igual a 38 cm3 y el lado de la
base 2 cm. 45. Hallar el volumen de un prisma cuya base es un hexágono regular de 5 cm. de radio y cuya altura es
doble del lado de la base. 46. Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 8 cm. de lado y la
altura de la pirámide mide 24 cm. 47. Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 4 m. de lado y la arista lateral
mide 12 cm.
48. El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 1736 m2 y el lado de la base mide 6 m. Hallar
el volumen de la pirámide. 49. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de 4 m. de lado y las aristas laterales miden 3, 5 y 5
m., respectivamente. Hallar el volumen de la pirámide. 50. La arista lateral de una pirámide hexagonal regular mide 26 cm. y el lado de la base 10 cm. Hallar su
volumen.
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COLEGIO ADVENTISTA MARANATA DEPTO. DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
MÓDULO DE MATEMÁTICA P.S.U. 2012