modulo i matematicas especiales

CURSOS O

CURSOS O

Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias

M. Teresa Ulecia GarcíaRoberto Canogar McKenzie

Módulo I:Sistema de ecuaciones lineales

MATEMÁTICAS ESPECIALES (CAD)

Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales

2

1. Introducción

El Álgebra basada en el uso de ecuaciones es una de las partes de las Matemáticas que

durante siglos, y en las distintas épocas, ha sido objeto del estudio de muchos matemáticos.

Dentro de esta rama de las Matemáticas, las ecuaciones tienen una gran cantidad de

usos, y en muchas situaciones intentamos resolver problemas mediante el uso de ecuaciones,

cuando un poco de sentido común nos permitiría resolverlas sin recurrir a esas herramientas

matemáticas.

El término “sistema” proviene del griego y significa: conjunto de…En Matemáticas se

utiliza la expresión Sistema de Ecuaciones para indicar un conjunto de ecuaciones

relacionadas unas con otras, de forma que las soluciones del sistema satisfacen a todas y cada

una de las ecuaciones que forman dicho sistema.

En este curso de Nivelación nos ocuparemos sólo de los sistemas de dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Objetivos

• Reconocer ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Conocer qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado.

• Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Interpretar la solución.

• Calcular soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante

el método de sustitución.


el método de igualación.


el método de reducción.

• Clasificar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas según sus soluciones.

• Analizar el método que se ha de emplear en cada sistema.

• Plantear y resolver problemas reales mediante sistemas de dos ecuaciones lineales con

dos incógnitas.


3

2. Esquema

Sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas

Sistemas equivalentes

Obtención de sistemas equivalentes

Métodos de resolución

Algebraica Gráfica

Sustitución Igualación Reducción

Resolución de problemas mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Como indica el esquema del módulo, se comienza tratando el concepto de sistema de

dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, resolviendo algunos sistemas sencillos mediante

tablas de valores y gráficamente.

Se ve después los sistemas equivalentes y cómo se obtienen sistemas equivalentes a

uno dado. Más tarde, se abordan los métodos de resolución de sistemas más importantes:

gráfico y algebraico (sustitución, igualación y reducción).

Por último, se estudian la utilización de los sistemas de ecuaciones en el planteamiento

y resolución de problemas reales de distintos tipos.


4

3. Prueba de autoevaluación inicial

1.- ¿Cómo es el siguiente sistema?

==+

4-

1- y x

yx

a) Compatible

b) Incompatible

c) Imposible

d) Equivalente

2.- Un sistema incompatible…

a) es el que le falta alguna de las incógnitas.

b) es el que no tiene término independiente.

c) es el que no tiene ninguna solución.

d) es el que tiene infinitas soluciones.

3.- Un sistema tiene como única solución x = -3, y = 4 y una ecuación x + 2y = 5.

¿Cuál es la otra ecuación?

a) x + y = 1

b) x - 2y = -6

c) 2x + 2y = 1

d) 2x + 4y = 10

4.- ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?

==+

72-3

0 4y x

yx

a) x = 4, y = -1

b) x = 2, y = -1/2

c) x = 3, y = 1

d) Ninguna de ellas


5

5.- Si en un sistema compatible determinado se cambia el signo de todos los términos de

una de las ecuaciones:

a) El nuevo sistema puede ser incompatible

b) La solución es la opuesta de la original

c) La solución no varía

d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta

6.- El sistema

==+

72-3

0 y 4kx

yx es incompatible para …

a) k= -6

b) k=1

c) 1≠k

d) k=0

7.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones referentes al sistema

==+0-

1 y kx

yxes correcta?

a) Para k = 1 es incompatible

b) Para 1−≠k es compatible indeterminado

c) Para k = -1 es compatible determinado

d) Para k=0 es compatible determinado

8.- Un padre tiene 30 años más que su hijo, y además la edad del padre es el triple de la

de su hijo. ¿Qué afirmación es correcta?:

a) La suma de la edad del hijo y del padre es 60

b) El padre tiene más de 50 años

c) El hijo ha cumplido la mayoría de edad

d) El hijo tiene 10 años o menos.

9.- En mi monedero tengo 22 monedas y sólo son de 5 céntimos o de 10 céntimos. Si

el valor total de mis monedas es de 2€, ¿qué afirmación es correcta?

a) Tengo más monedas de 5 céntimos que de 10 céntimos.

b) Tengo un número impar de monedas de 5 céntimos.

c) Tengo más del doble de monedas de 10 céntimos que de 5.


6

d) No tengo más de 5 monedas de 10 céntimos.

10.- Un alumno realiza un examen de 10 preguntas. Por cada acierto le dan 1 puntos y

por cada fallo le quitan 1/2 punto. Sabiendo que la calificación final fue de 5 puntos y

que contestó a todas las preguntas, el nº de aciertos fue:

a) Aciertos = 6

b) Aciertos = 7

c) Aciertos = 8

d) Es imposible


7

Soluciones a la Prueba de Autoevaluación inicial 1 → a

2 → c

3 → a

4 → b

5 → c

6 → a

7 → d

8 → a

9 → c

10 →d


8

4. Contenidos conceptuales

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Solución de un sistema A veces nos encontramos con problemas en los que aparecen dos o más incógnitas.

Para poder resolverlos, generalmente, necesitamos relacionar estas incógnitas mediante dos o

más ecuaciones, formando así un conjunto de ecuaciones que recibe el nombre de sistema de

ecuaciones.

Grado de un sistema es el producto de los grados de las ecuaciones. Cuando las

incógnitas del sistema tienen grado uno, es decir aparecen sin exponentes, decimos que es un

sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. En este módulo veremos sistemas que tienen

dos ecuaciones lineales y dos incógnitas. Las ecuaciones que forman el sistema se agrupan por

medio de una llave:

==+

4y-x

10yx

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y se expresa de la forma

=+=+

'y'xa'

yax

kb

kb

Los números a, b, a΄, b΄ son los coeficientes de las incógnitas y los números k y k΄ son

los términos independientes.

La Solución de un sistema es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen a

la vez todas las ecuaciones del sistema. No puede ser que el valor obtenido para las incógnitas

cumpla o verifique una ecuación y no cumpla o verifique las otras ecuaciones. Por ejemplo en

el caso del sistema anterior

==+

4y-x

10yx, x = 7 e y = 3, es la solución del sistema pues

sustituyendo estos valores de x e y en ambas ecuaciones resultan dos identidades: 7 + 3 = 10 y

7 – 3 = 4. En cambio, x = 2 e y = 8 no es una solución de este sistema cumple la primera

ecuación pero no la segunda.

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar dos números

tales que al reemplazarlos, uno en la variable x y el otro en la variable y, verifiquen

simultáneamente las dos ecuaciones.

Según la solución, los sistemas pueden ser:


9

Incompatibles si no tienen solución. Por ejemplo:

=+=+

4yx

10yx , no existe ningún par de

números reales que a la vez sumen 10 y 4.

Compatibles si tienen solución. A su vez, los compatibles pueden tener una solución

única y se llaman determinados o con infinitas soluciones y se denominan indeterminados.

Como ejemplo de compatible determinado mostramos el sistema

==+

4y-x

10yxcuya

única solución, vista anteriormente, es x = 7 e y = 3. En cambio,

=+=+

202y2x

10yxtiene como

soluciones: x = 0, y = 10; x = 1, y = 9; x =2, y = 8; etc. Por tanto es un sistema compatible

indeterminado.

Resolución gráfica de sistemas Si representamos las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas en

unos ejes cartesianos, obtenemos los puntos de una recta.

4x +y = 6 � x = 0, y = 6; x = 1, y = 2; x =3, y = -6; x = -1, y = 10,……

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se representa

gráficamente mediante dos rectas.

• Si las rectas se cortan, existirá un único punto común a ambas y este punto será

la única solución del sistema: éste es compatible determinado.

==+

4y-x

10yx


10

• Si las rectas son paralelas, no existirá ningún punto común a ambas y no hay

solución del sistema: éste es incompatible.

=+=+

4yx

10yx

• Si las rectas coinciden, es decir, son en realidad la misma recta, existen

infinitos puntos comunes: el sistema es compatible indeterminado y tiene

infinitas soluciones.

=+=+

202y2x

10yx


11

Por tanto, para resolver sistemas lineales de ecuaciones basta con representar las

ecuaciones gráficamente y buscar el punto o puntos de intersección de las rectas.

El método gráfico de resolución de sistemas nos da soluciones aproximadas, y aunque

se realice tomando en los ejes cartesianos unidades milimétricas, no siempre es fácil hallar el

valor exacto de las coordenadas del punto común a las rectas. ¿Cómo apreciar, por ejemplo, el

punto (15/16, 23/37)?

Para la solución exacta se recurre a métodos algebraicos basados en ciertos criterios de

equivalencia, concepto que desarrollamos a continuación.

Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, el sistema

==+

2y-x

10yxes equivalente al sistema

==+12 2x

10yxya que en ambos la única solución es x = 6,

y = 4.

Comprobamos que estos dos sistemas, aunque son distintos, tienen la misma solución,

por tanto son equivalentes.

Obtención de sistemas equivalentes Para resolver sistemas se aplican los siguientes criterios, llamados criterios de

equivalencia:

1º.- Si se suma o resta la misma expresión algebraica o el mismo número a los dos

miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema equivalente al anterior.


12

El sistema

==+

10y-x

30yx tiene como solución x = 20 e y = 10. Si sumamos 3 a los dos

miembros de la primera ecuación, se puede comprobar que el nuevo sistema

==++10y-x

333yxtambién tiene como solución x = 20 e y = 10.

2º.- Si se multiplican o dividen por un mismo número distinto de cero los dos

miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema equivalente al anterior.

Si multiplicamos por 2 los dos miembros de la segunda ecuación del sistema anterior,

el nuevo sistema

==++202y-2x

333yxtiene también como solución x = 20 e y = 10

3º.- Si se suma o resta a una ecuación de un sistema la otra ecuación multiplicada por

un número (lo que se llama una combinación lineal de las ecuaciones), se obtiene otro sistema

equivalente al anterior. Por ejemplo: si sustituimos la primera ecuación del sistema

==+

10y-x

30yxpor la suma de las dos ecuaciones, el nuevo sistema

==

10y-x

402xtiene, de nuevo,

como solución x = 20 e y = 10.

De esta forma, aplicando uno o varios de estos criterios, se van obteniendo sistemas

equivalentes hasta llegar a uno en el que se pueda encontrar la solución fácilmente.

Métodos algebraicos de resolución de sistemas Basándose en estos criterios, existen distintos métodos para resolver algebraicamente

los sistemas. Los más importantes son:

1. Sustitución: El método de sustitución recibe este nombre porque consiste en

sustituir en una de las ecuaciones una de las incógnitas en función de la otra, obteniendo una

ecuación con una sola incógnita. Para ello efectuamos los pasos siguientes:

• Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Conviene

analizar qué incógnita es conveniente sustituir y en qué ecuación vamos a

realizar la sustitución con el fin de obtener una ecuación lo más sencilla

posible. Así en el sistema:

=+=−

5y3x

5y2x despejamos y de la segunda ecuación

(es la incógnita con coeficiente más sencillo) y obtenemos:


13

==−3x-5y

5y2x

• Se sustituye este valor hallado en la otra ecuación: 2x – (5-3x) = 5

• Se resuelve la ecuación resultante que tiene sólo una incógnita: 2x-5+3x = 5

�5x = 10 � x = 2.

• Una vez obtenida el valor de una de las variables, se calcula el valor de la otra

incógnita sustituyendo el valor obtenido en la variable despejada: y = 5-3.2

� y = -1

• Se comprueba que la solución verifica ambas ecuaciones:

==−51-3.2

5(-1)2.2

2. Igualación: El método de igualación recibe este nombre porque consiste en

igualar el valor que, en cada una de las dos ecuaciones, tiene una misma incógnita. Para ello

procedemos así:

• Se despeja, de la primera y de la segunda ecuación, la misma incógnita, la que

sea más fácil:

=+=−

-2y45x

-10y32x, despejamos x:

2

103 −= yx ,

5

24 −−= yx

• Se igualan las expresiones obtenidas: 5

24

2

103 −−=− yy.

• Se resuelve la ecuación obtenida que es una ecuación con una incógnita: 15y –

50 = -8y-4 � 15y + 8y = 50-4 � y = 2.

• Una vez obtenida el valor de una de las variables, se calcula el valor de la otra

incógnita sustituyendo el valor obtenido en la variable despejada:

x =2

102.3 −= -2


=+=−

-22.45(-2)

-10.232(-2).

3. Reducción: Aplicando el tercer criterio de equivalencia, hacemos

combinaciones lineales de las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. Para ello

procedemos de la siguiente forma:

• Se transforman las ecuaciones mediante multiplicaciones apropiadas hasta

conseguir que una de las incógnitas (la de coeficientes menores) tenga

coeficientes iguales en ambas ecuaciones. Para ello se multiplican los dos

miembros de la primera ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita (que


14

queremos eliminar) en la segunda ecuación, y viceversa, es decir, se

multiplican los dos miembros de la segunda ecuación por el coeficiente que

tenga la incógnita en la primera ecuación. Por ejemplo, en el

sistema

=+=−10y43x

1y32xeliminamos x multiplicando la primera ecuación por 3, la

segunda por 2: 2.102).43(

3.13).32(

=+=−

yx

yx�

=+=−

20y86x

3y96x.

• Se restan miembro a miembro las dos ecuaciones: -17y = -17.

• Se resuelve la ecuación de primer grado resultante, que tiene sólo una

incógnita: y = 1.

• Una vez obtenida el valor de una de las variables, se calcula el valor de la

segunda incógnita sustituyendo el valor obtenido en la otra variable,

previamente espejada: 22

1.31

2

31 =+=+= yx .


=+=−10.143.2

1.132.2.


15

5. Resumen teórico

Sistemas de

ecuaciones

• Conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más

incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas x e y se expresa de la forma

=+=+

'y'xa'

yax

kb

kb

Los números a, b, a΄, b΄ son los coeficientes de las

incógnitas y los números k y k΄ son los términos

independientes.

• Resolver un sistema es encontrar dos números

que, al reemplazarlos en las dos ecuaciones, satisfagan

ambas simultáneamente.

• Una solución de un sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas es un par de números que verifican las dos

ecuaciones.

Clasificación según la

solución

• Un sistema es incompatible si no tiene solución.

• Un sistema es compatible determinado si tiene

una solución única.

• Un sistema es compatible indeterminado si tiene

un número infinito de soluciones.

Sistemas equivalentes • Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas

soluciones. Criterios de equivalencia:

1º.- Si se suma o resta la misma expresión

algebraica o el mismo número a los dos miembros de una

ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema

equivalente al anterior.

2º.- Si se multiplican o dividen por un mismo

número distinto de cero los dos miembros de una

ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema

equivalente al anterior.

3º.- Si se suma o resta a una ecuación de un

sistema la otra ecuación multiplicada por un número (lo


16

que se llama una combinación lineal de las ecuaciones),

se obtiene otro sistema equivalente al anterior.

Métodos de

resolución

• Gráfico: Representar las ecuaciones gráficamente

y buscar el punto o puntos de intersección de las rectas.

• Sustitución: Despejar una incógnita de una

ecuación y sustituir su valor en la otra.

• Igualación: Despejar una misma incógnita en las

ecuaciones e igualar sus valores.

• Reducción: Igualar los coeficientes de una de las

incógnitas mediante multiplicaciones adecuadas. Restar

ambas ecuaciones eliminando una de las incógnitas.

Resolución de

problemas mediante

sistemas

• Comprender el problema

• Plantear las ecuaciones y formar el sistema

• Resolver el sistema de ecuaciones

• Comprobar que la solución cumple las condiciones

del enunciado.


17

6. Actividades resueltas

1. Comprueba si los valores que se dan son soluciones del sistema:

a)

=−=+

-6yx

8 y x , Solución: x = 1, y = 7.

b)

=−=+

2yx

4 y 2x , Solución: x = 2, y = 1.

Solución

a) Al sustituir x por 1 e y por 7 en las dos ecuaciones resultan dos identidades: 1 + 7=

8, 1-7 = -6, por tanto estos valores satisfacen las dos ecuaciones y son la solución del

sistema.

b) Al sustituir x por 2 e y por 1 en la primera ecuación resulta: 2.2 + 1 = 4, una

igualdad falsa, por tanto estos valores no satisfacen la primera ecuación y no son la

solución del sistema.

2. Forma una tabla para cada una de las ecuaciones del sistema

=−=+

1yx

1 y x

¿Hay algún par de valores x e y que aparezca en las dos tablas?

Solución

Tabla de x + y =1 � y = 1-x

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 1 0 -1 -2 -3 -4 2 3 4 5 6

Tabla de x-y = 1 � y = x-1

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 -6

En las dos tablas aparece x = 1 e y = 0 que es, por tanto, la solución de este sistema.

3. Estudia las soluciones de los siguientes sistemas mediante tablas


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a)

=−=+

5yx

7 y x b)

=−=+

2y2x

5 y x

Solución

a) Formando las tablas correspondientes a cada ecuación:

Tabla de x + y = 7 � y = 7-x

x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5

y 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10 11 12

Tabla de x-y = 5 � y = x-5

x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5

y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -6 -7 -8 -9 -10

En las dos tablas aparece la solución: x = 6 e y = 1.

b) Tabla de x + y = 5 � y = 5-x

x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5

y 5 4 3 2 1 0 -1 6 7 8 9 10

Tabla de x-2y = 2 � y = x/2 - 1

x 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5

y -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5

En las dos tablas aparece el punto común a las dos rectas, solución del sistema: x =

4 e y = 1.

4. Estudia la solución del siguiente sistema mediante tabla

=+=+

12y22x

6 y x

Solución:

Tabla de x + y = 6 � y = 6-x

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11

Tabla de 2x + 2y = 12 � y = (12-2x)/2

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11


19

En las dos tablas aparecen los mismos puntos, se trata de un sistema con infinitas

soluciones, es decir, un sistema compatible indeterminado. Se comprueba que en

realidad las dos ecuaciones representan la misma recta.

5. Resuelve el siguiente sistema:

=+=+10yx

6 y x

Solución:

Construimos las tablas de valores.

Tabla de x + y = 6 � y = 6-x

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11

Tabla de x + y = 10 � y = 10-x

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 10 9 8 7 6 5 11 12 13 14 15

Al contrario que en el ejemplo anterior, este sistema no parece que tenga solución.

Para confirmar que así es representamos las ecuaciones, es decir lo resolvemos

gráficamente.

Comprobamos que las ecuaciones del sistema representan sendas rectas paralelas, por

tanto no tienen ningún punto común y el sistema es incompatible. Si nos fijamos en las

ecuaciones vemos que la primera indica que la suma de los valores de x e y debe ser 6,

y en la segunda, esto mismo debe ser 10, lo cual no nunca será posible.


20

6. Halla gráficamente el punto intersección de las rectas representadas por los siguientes

sistemas de ecuaciones:

a)

=+=−

10yx

4- y 2x b)

=−=+

6y23x

10 y 25x

Solución:

a) Aunque una recta queda perfectamente determinada por dos puntos, hallamos tres

puntos de cada recta y tenemos más seguridad de no equivocarnos.

En la primera ecuación: En la segunda:

Se representan en el plano cartesiano las rectas determinadas por los tres pares de

puntos.

El punto intersección nos da la solución (2,8); luego la solución del sistema será x = 2,

y = 8.

b)

=−=+

6y23x

10 y 25x

En la primera: En la segunda:


puntos.

x 0 1 -1

y 10 9 11

x 0 1 -1

y 4 6 2

x 0 1 -1

y 5 2,5 7,5

x 0 1 -1

y -3 -1,5 -4,5


21

El punto intersección nos da la solución (2,0); luego la solución del sistema será x = 2,

y = 0.

7. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

=+=+3yx

6 y 22x b)

=−=−

6y22x

2 y x

Solución:

a) Representamos las rectas.

En la primera ecuación: En la segunda:


puntos.

Vemos que las dos ecuaciones representan la misma recta. El sistema tiene infinitas

soluciones: x = 0, y = 3; x = 1, y = 2, etc. Es un sistema compatible indeterminado.

b)

=−=−

6y22x

2 y x

x 0 1 -1

y 3 2 4

x 0 1 -1

y 3 2 4


22

En la primera: En la segunda:


puntos.

Se observa que las dos ecuaciones representan rectas paralelas. El sistema no tiene

solución, es incompatible.

8. Determina para qué valor de k (un parámetro) el siguiente sistema no tiene solución:

=+=+

3y3kx

2 y 52x .

Solución: Para que el sistema no tenga solución las rectas representadas por estas

ecuaciones deben ser paralelas, por tanto las pendientes ser iguales:

Pendiente de la 1ª ecuación: m1= 5

2−.

Pendiente de la 2ª ecuación: m2= 3

k−.

Igualando ambas pendientes se obtiene el valor de k: 35

2 k−=−�

5

6=k .

9. Di si los siguientes sistemas son equivalentes o no y razona la respuesta.

a)

=++=+

92y4x

3 y x equivalente a

=+=+

7y4x

15 y 55x

x 0 1 -1

y -2 -1 -3

x 0 1 -1

y -3 -2 -4


23

b)

=+=+

2y3x

1- y 2x equivalente a

=+=+

63y3x

2- y 42x

c)

=+=−

-1y2x

1 y 3x equivalente a

=+=+

-1y2x

0 y 4x .

Solución:

a) x + y = 3, 4x + y + 2 = 9 es equivalente a 5x + 5y = 15, 4x + y = 7. Ya que la

primera ecuación del segundo sistema se puede obtener multiplicando por 5 los dos

miembros de la primera ecuación del primer sistema (segundo criterio de

equivalencia); la segunda ecuación del segundo sistema se obtiene restando 2 en los

dos miembros de la segunda ecuación del primer sistema (primer criterio de

equivalencia).

b) x +2 y = -1, 3x + y = 2 no es equivalente a 2x + 4y = -2, 3x + 3y = 6. Con las dos

primeras ecuaciones de los dos sistemas no hay problema, por el 2º principio de

equivalencia. No ocurre así con las segundas: Habría que multiplicar también por 3 el

coeficiente de x en el segundo sistema.

c) 3x - y = 1, x + 2y = -1 es equivalente a 4x + y = 0, x + 2y = -1. La primera ecuación

del segundo sistema se puede obtener sumando las dos primeras ecuaciones de ambos

sistemas (tercer principio de equivalencia). Las segundas son iguales.

10. Obtén un sistema equivalente donde la incógnita x tenga el mismo coeficiente en las dos

ecuaciones.

a)

=−=+

9y2x

8 y 3x . b)

=−=+

-2y52x

16 y 23x .

Solución:

a)

=−=+

9y2x

8 y 3x .

Multiplicamos por 2 la primera ecuación: 2x + 6y = 16, 2x – y = 9.

b)

=−=+

-2y52x

16 y 23x .

Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda:

=−=+

-6y156x

32 y 46x .


24

11. Obtén sistemas equivalentes a los anteriores donde la incógnita y tenga el mismo

coeficiente en las dos ecuaciones.

Solución:

a)

=−=+

9y2x

8 y 3x .

Multiplicamos por -3 la segunda ecuación:

=+=+

-27y36x-

8 y 3x .

b)

=−=+

-2y52x

16 y 23x .

Multiplicamos por 5 la primera ecuación y por -2 la segunda:

=+=+

4y104x-

80 y 1015x .

12. Escribe tres sistemas equivalentes que tengan como solución: x = -3, y = 1.

Solución:

Como x + y = -2 y 2x + y = -5, el sistema formado por las ecuaciones:

=+=+

-5y2x

2- y x es

uno de los pedidos.

Si a los dos miembros de la primera ecuación los multiplicamos por 2, obtenemos el

segundo sistema equivalente al anterior:

=+=+

-5y2x

4- y 22x .

Por último, si sumamos estas ecuaciones se obtiene la ecuación: 4x + 3y = -9 que junto

con una cualquiera del sistema anterior, forma el tercer sistema solicitado.

13. Resuelve por el método de sustitución los sistemas:

a)

=+=−

11y3x

1- y 2x b)

=+=+

25y64x

8y 3x

Solución:

a) Primer paso: Ya que la variable y tiene coeficiente 1 en la 2ª ecuación, despejamos

el valor de y en dicha ecuación y lo sustituimos en la primera: y = 11-3x; 2x – (11-3x)

= -1.

Segundo paso: A continuación resolvemos la ecuación de una sola variable: 2x – 11 +

3x = -1; 5x = 11-1; 5x = 10; X = 2.


25

Tercer paso: Reemplazamos el valor de x en y = 11-3x: y = 11- 3.2 = 5.

Cuarto paso: Comprobamos la solución: 2.2-5=-1, 3.2 + 5 = 11.

b) Primer paso: Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la y de la primera ecuación porque es la que tiene el coeficiente más

pequeño. Así: 3x + y = 8 � y = 8-3x.

Segundo paso: Sustituimos en la segunda ecuación la variable y por el valor anterior:

4x + 6y = 25 � 4x + 6(8-3x) = 25.

Tercer paso: Resolvemos la ecuación obtenida: 4x + 48 – 18x = 25 � -14x = -23 � x

= 23/14.

Cuarto paso: Sustituimos el valor en la otra variable, ya despejada: y = 8 – 3. 23/14 =

43/14.

Luego la solución es: x = 23/14 e y = 43/14.

Quinto paso: Comprobamos la solución: 3. 23/14 + 43/14 = 69/14 + 43/14 = 112/14 =

8; 4. 23/14 + 6. 43/14 =92/14 + 258/14 = 350/14 = 25.

14. Resuelve por el método de igualación los sistemas:

a)

=+=−

11y3x

1- y 2x b)

=+=+

25y64x

8y 3x

Solución:

a) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes menores, despejamos el

valor de y en ambas ecuaciones: y = 2x + 1 e y = 11-3x.

Segundo paso: A continuación igualamos las dos expresiones: 2x + 1 =11-3x.

Tercer paso: Resolvemos la ecuación: 5x = 10 � x = 2.

Cuarto paso: Reemplazamos el valor de x en la ecuación más sencilla: y = 2.2 + 1 = 5.

Quinto paso: Comprobamos la solución: 2.2-5=-1, 3.2 + 5 = 11.

b) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes menores, despejamos el

valor de y en las dos ecuaciones. Así: y = 8-3x e 6

425 xy

−=

Segundo paso: Igualamos las dos expresiones: 6

42538

xx

−=− .

Tercer paso: Resolvemos la ecuación obtenida: 48 – 18x = 25 – 4x � -14x = -23 � x

= 23/14.


26

Cuarto paso: Sustituimos el valor en la otra variable, ya despejada: y = 8 – 3. 23/14 =

43/14.



8; 4. 23/14 + 6. 43/14 =92/14 + 258/14 = 350/14 = 25.

15. Resuelve por el método de reducción los sistemas:

a)

=+=−

11y3x

1- y 2x b)

=+=+

25y64x

8y 3x

Solución:

a) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes 1 y -1, sumamos ambas

ecuaciones: 5x = 10.

Segundo paso: Resolvemos la ecuación: 5x = 10 � x = 2.

Tercer paso: Reemplazamos el valor de x en la ecuación más sencilla: y = 2.2 + 1 = 5.

Cuarto paso: Comprobamos la solución: 2.2-5=-1, 3.2 + 5 = 11.

b) Primer paso: Ya que la variable y tiene los coeficientes menores, multiplicamos la

primera ecuación por 6: 18x + 6y = 48.

Segundo paso: Restamos miembro a miembro las ecuaciones resultantes: 14x = 23.

Tercer paso: Resolvemos la ecuación obtenida: x = 23/14.

Cuarto paso: Sustituimos el valor en la otra variable despejada: y = 8 – 3. 23/14 =

43/14.



8; 4. 23/14 + 6. 43/14 =92/14 + 258/14 = 350/14 = 25.

16. Resuelve los siguientes sistemas por el método más adecuado:

a)

=+

=−

0y2

32x

3 y x 3

4

b)

=−+

=−

0y3

12x

3 y 3

1-x

c)

=+=+

1y2x

4 y 3x d)

=−=−

0y3

3 y x

x


27

Solución:

a) Para decidir cuál método es el más apropiado se estudian los coeficientes de ambas

incógnitas en las dos ecuaciones. En este caso sólo una (y en la 1ª ecuación) que tiene

un coeficiente sencillo. Por ello es conveniente utilizar el método de sustitución y

despejar esa variable: y = 33

4 −x .

Al sustituir en la segunda ecuación resulta: 0)33

4(

2

32 =−+ xx � 0

2

922 =−+ xx �

2

94 =x �

8

9=x .

Sustituimos el valor de x en la otra variable despejada: 2

33

8

9.

3

4 −=−=y .

Comprobamos la solución:

=−=−

==+

04

9

4

9

2

3.

2

392.8

3 2

6

2

3

8

9.

3

4

b) De nuevo estudiamos los coeficientes de las variables. Como la y se puede despejar

fácilmente en ambas ecuaciones y no así con la x, vamos a resolver el sistema por

igualación.

=−+

=−

0y3

12x

3 y 3

1-x

�

+=

−=

3

12x

3 3

1-x

y

y�

3

123

3

1 +=−− xx� 1291 +=−− xx � x = -11

Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de x: 73

1)11(2 −=+−=y


=+−=++

=+=+

07773

12(-11)

374- 7 3

1-11-

c) En el sistema

=+=+

1y2x

4 y 3x todas las incógnitas tienen coeficientes bastante sencillos.

Es conveniente hacerlo por reducción: Multiplicamos por 2 la 1ª ecuación y restamos

miembro a miembro, esta nueva ecuación y la segunda.

=+=+

1y2x

8 y 62x � 5y = 7 �

5

7=y


28

Hallamos la segunda incógnita, sustituyendo en la segunda ecuación: 15

72 =+x �

5

712 −=x �

5

1−=x .


==+

==+

15

5

5

7)

5

12(-

45

20

5

7.3

5

1-

.

d) Los coeficientes de este sistema nos permiten utilizar cualquier método.

Utilizamos, nuevamente, reducción. Restamos la 1ª ecuación menos la 2ª:

=−=−

0y3

3 y x

x�

=−=−

32

3 y x

x�

−=

=−

2

33 y x

x�

−=

=−

2

3

3 y 2

3-

x�

−=

−==

2

32

93-

2

3- y

x

Comprobamos la solución:.

=+−=+−

==+

02

9

2

9

2

9)

2

3(3

3 2

6

2

9

2

3-

.

17. La edad de un padre y la de su hija suman 77 años, y dentro de dos años la edad del padre

será el doble de la de su hija. ¿Qué edades tienen el padre y su hija?.

Solución:

1º Comprender el problema: Se trata de obtener la edad de un padre u la de su hija, que

son las incógnitas. Como datos conocemos que las dos edades suman 77 y que dentro

de dos años la edad del padre será el doble de la de su hija.

2º Plantear el sistema: Denotamos con x = edad actual del padre e y = edad actual de la

hija. Releemos el problema en términos de x e y:

x e y suman 77� x + y = 77

dentro de dos años la edad del padre: x+2, será el doble de la de la hija y+2� x+2=

2.(y+2).

El sistema queda:

+=+=+

2)2(y 2x

77 y x

3º Resolver el sistema:


29

+=+=+

42y 2x

77 y x �

=−=+

2 2yx

77 y x

Como los coeficientes de x son iguales, aplicamos el método de reducción. Restamos

la primera ecuación menos la segunda: 3y = 75 � y = 25. La edad del padre la

despejamos de la primera ecuación: x = 77-25 = 52.

18. Si se mezcla café de 7,5 euros el kilo con otro de 6 euros el kilo, de modo que resultan 25

kilos de café a 6,9 euros el kilo de mezcla, ¿cuántos kilos se mezcló de cada clase de

café?.

Solución:

1º Comprender el problema: Se trata de obtener los kilos de cada clase de café, que son

las incógnitas. Como datos conocemos que las dos clases suman 25 kilos y los precios

de las dos clases y de la mezcla.

2º Plantear el sistema: Denotamos con x = nº kilos de la primera clase e y = nº kilos de

la segunda clase.

Releemos el problema en términos de x e y. Manejamos dos magnitudes:

Peso: x e y suman 25� x + y = 25.

Coste: 7,5x (coste 1ª clase) + 6y (coste 2ª clase) = 6,9.25 (coste mezcla)

El sistema queda:

=+=+

5,17265,7

25 y x

yx

3º Resolver el sistema: Como el coeficiente de x en la primera ecuación es 1,

utilizamos el método de sustitución de x en la segunda ecuación

=+=

172,56y7,5x

y-25 x � 7,5(25-y) +6y = 172,5 �187,5 -7,5y+6y = 172,5 �

-1,5y= 172,5-187,5 � 5,1

15

−−=y = 10 Kg.

El otro peso lo despejamos de la primera ecuación: x = 25 – 10= 15 Kg.


30

7. Actividades propuestas

1. Comprueba si los valores que se dan son soluciones del sistema:

a)

=−=+

5y3x

7 y 32x Solución: x = -2, y = 1.

b)

=−=+

-6y3x

8 y 3x Solución: x = -1, y = 3.

2. Estudia las soluciones de los siguientes sistemas mediante tablas

a)

=−=+

4yx

10 y x b)

=+=−

6y4x

1- y 23x

3. Clasifica según la solución (en incompatible, compatible determinado o compatible

indeterminado) los sistemas de ecuaciones:

a)

=+=+

4yx

10 y x b)

=−=−

-2y46x

1- y 23x c)

=−=+3yx

1 y 2x

4. Señala si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles e indica cuántas

soluciones tienen:

a)

=+=+

4yx

10 y x b)

=−=−

-2y46x

1- y 23x

5. Los siguientes sistemas, ¿son compatibles o incompatibles?. En su caso halla su

solución.

a)

=+=−

10y64x

5 y 32x b)

=−=−

8y26x

12 y 39x

6. Halla gráficamente el punto intersección de las rectas representadas por los

siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

=−=+

-7y23x

7 y 2x b)

=−=+

9yx

15 y x


31

7. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

=+

=+

5yx

2 3

y

2

x b)

=+

=+

59

2y

3

x

6 3

y

2

x

8. Escribe dos sistemas equivalentes que tengan como solución: x = 4 e y = -3.

9. Obtén un sistema equivalente donde la incógnita x tenga el mismo coeficiente en las

dos ecuaciones.

a)

=−=+

9y2x

8 y 3x . b)

=−=−

-1y35x

0 y 2x .

10. Obtén un sistema equivalente donde la incógnita y tenga el mismo coeficiente en

las dos ecuaciones.

a)

=−=+

11y2x

8 y 2x . b)

=+=+

7y53x

9 y 45x .

11. Resuelve por el método de sustitución los sistemas y señala si son compatibles o

incompatibles. ¿Cuántas soluciones tienen?

a)

=+=+

8y64x

4 y 32x . b)

=+=+

21y2x

8 y 2x .

c)

=+

=+

5yx

6 3

y

3

x d)

=+

=+

55

2y

3

x6 2y x

12. Resuelve por el método de igualación los sistemas y señala si son compatibles o


a)

=+=+

8y64x

4 y 32x . b)

=+=+

21y2x

8 y 2x .


32

c)

=−=

10y22x

5 y -x d)

=−=

5186

8 4y -3x

yx

13. Resuelve por el método de reducción los sistemas y señala si son compatibles o


a)

=+=+

0y32x

4 y 23x . b)

=−=−

1y34x

6 y 5x .

c)

=−=+

11y2x

8 2y x d)

=+=+

753

9 4y 5x

yx

14. Averigua para qué valores del parámetro k el siguiente sistema no tiene solución:

=++=++

84k)(2

7 5y 2k)x (1

yx


33

8. Bibliografía

“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.

McGrauw-Hill.

“Matemáticas. 3º ESO. Ed. Edelvives.

“Matemáticas. 4º ESO. Opción B. Ed. MCGraw-Hill.

“Matemáticas. 4º ESO. Opción A. Ed. SM.

“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.

“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y

Torres. Madrid

www.maristasleon.com/MATEMATICAS /4eso /mat4eso .htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/4esosoluciolibro-b.htm

http://actividadesinfor.webcindario.com/autoevaluacion3.htm


34

9. Prueba de autoevaluación final

1.- ¿Cómo es el siguiente sistema?

==+

4-2

1- 2y x

yx

a) Compatible

b) Incompatible

c) Imposible

d) Equivalente

2.- Dos sistemas que son equivalentes tienen:

a) El mismo coeficiente de la x

b) Los mismos términos independientes

c) El mismo valor de la y

d) La misma solución

3.- Un sistema tiene por solución x = -1, y = 3 y una ecuación x + 2y = 5. ¿Cuál es la

otra ecuación?

a) 3x – y = -6

b) –x + 2y = 1

c) x + 2y = 2

d) 2x + 3y = 5

4.- ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?

==+

8-3

10 4y 2x

yx

a) x = 2, y = 4

b) x = 3, y = 1

c) Las dos anteriores

d)Ninguna de ellas


35

5.- Si en un sistema compatible determinado se multiplican todos los términos de una de

las ecuaciones por dos:

a) El nuevo sistema puede ser incompatible

b) La solución no varía

c) La solución es el doble de la original

d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta

6.- La solución del sistema

=

=+

72

1-3

6 y x 3

2

yx es:

a) x = 2, y = 4

b) x = 3, y = 4

c) Las dos anteriores

d) Ninguna de ellas

7.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones referentes al sistema

==+42-

1 2y kx

yxes correcta?

a) Para k = 1 es incompatible

b) Para 1−≠k es compatible indeterminado

c) Para k = 2 es compatible determinado

d) Ninguna de ellas

8.- La suma de las edades de dos hermanos es 29 años. Dentro de ocho años, la edad

del mayor será doble de la del menor. Las edades actuales de ambos son:

a) Mayor = 20 y Menor = 9

b) Mayor = 17 y Menor = 10

c) Mayor = 22 y Menor = 7

d) Mayor = 21 y Menor = 8

9.- En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales. Si el

número total de camas es 195, las habitaciones de cada tipo son:

a) Dobles = 100 y Individuales = 20

b) Dobles = 75 y Individuales = 45


36

c) Dobles = 45 y Individuales = 75

d) Dobles = 100 y Individuales = 95

10.- Un alumno realiza un examen de 10 preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos y

por cada fallo le quitan 1 punto. Sabiendo que la calificación final fue de 8 puntos y

que contestó a todas las preguntas, el nº de aciertos fue:

a) Aciertos = 8

b) Aciertos = 10

c) Aciertos = 4

d) Aciertos = 6


37

Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final 1 → a

2 → d

3 → a

4 → b

5 → b

6 → b

7 → c

8 → c

9 → b

10 → d

modulo i matematicas especiales

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