mÓdulo iii - educação infantil, educação fundamental e...
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MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a relembrar itens como:
- “Colocar em evidência”;- “Produtos Notáveis”;- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.
I. POLINÔMIOS
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.
Exemplos:
a)
b)c)d)
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.
Exemplo:
Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.
Obs. 1: O monômio é um polinômio de um termo só.
Obs. 2: é um polinômio de 2 termos: e .
Obs. 3: é um polinômio de 3 termos: , e 4.
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
2.1. Adição Algébrica de Polinômios
Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplo:
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:
31
Coeficiente Numérico
Parte Literal
Como perímetro é a soma dos lados, teremos:
termos semelhantes
termos semelhantes
o resultado é um polinômio.
b)
EX E R C Í C I O S1) Reduza os termos semelhantes:a)
b)
2) Escreva os polinômios na forma fatorada:a)b)c)d)e)f)g)h)i)j)k)
l)
m)
2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios
32
2x1x343 2 xx
Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo
fora dos parênteses.
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes.
Exemplo:
a)
e fica assim.
b)
c)
d)
não há termos semelhantes
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.
2.3. Divisão Algébrica de Polinômio
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplo:
33
Conserve a base e some os expoentes.
a)
ou
b)
ou
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.
EXERCÍCIOS3) Calcule:
a)b)c)
d)
e)
34
Como é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações.
f)
g)
h)
i)
j)
4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:
a)b)c)d)
e)
f)g)
h)
i)
II. PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:
1)2)3)
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos:
a)
b)
c)
d)
Como utilizaremos os produtos notáveis?
35
Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em
evidência com o menor expoente.
Exemplos para simplificações:
a)
b)
Obs.: jamais será igual a , basta lembrarmos que:
c) jamais será , pois:
EXERCÍCIOS5) Desenvolva os produtos notáveis:
a)b)c)d)e)f)g)
h)i)
j)
k)l)m)
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.
III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.
1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência
Exemplos:
a)
Então
Ao efetuarmos o produto , voltaremos para a expressão inicial .
36
ababbab
bbbbb
22
b)
Assim:
c)
d)
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.
EXERCÍCIO7) Simplifique as expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
37
2y é o fator comum;2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;Portanto 2y deve ser colocado em evidência.
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes)2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.
ay2ay2
y2ay2
b2y2
by4y2by4
23
3 x2bx2
bx4bx2bx4
x8bx2bx16
bx2bx162
2
b4bx2
xb8bx2xb8
22
2ymym2 2222
322
532253 my
ym
ymymym
g) h)
IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS
As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.
Exemplos:
As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns exemplos:
1. Adição e Subtração
Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
a)
b)
M.m.c. entre
38
24222
222
22
yx24xyx24
yx24y
yx24yyx24
x162x8
x8xy3
yx24xy3yx24
2
22222
32
22
22222
y3yy3
y3x8
yx24x8yx24
m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.xy todas as variáveis que aparecem nos denominadores comporão o m.m.c. com seus maiores expoentes.
y63y2
y2x2xy4
x2xy4
x1x
xy4
xy4y4xy4
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;
são as variáveis com seus maiores expoentes.
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?
Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?m.d.c. mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em
todos os termos) para colocar em evidência.Ex.: a) 2, 4, 6 m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.
b) 10, 15, 20 m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.
m.m.c. mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.
Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? Observe:múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)
O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra prática de a decomposição simultânea em fatores primos..
Ex.: a) 2, 4, 6 m.m.c. é 12.
b) 10, 15, 20 m.m.c. é 60.
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrevê-los na forma fatorada.
c)
Fatorando os denominadores:
39
605.3.2.25322
1,1,15,5,55,15,5
10,15,520,15,10
123.2.2322
1,1,13,1,13,2,16,4,2
M.m.c. dos denominadores fatorados e será:
Assim
Mas ainda podemos melhorar o resultado:
d)
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:
Assim teremos:
2. Multiplicação e divisão de frações algébricas
A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplos:
a)
40
m.m.c dos denominadores será
Denominadores fatorados
m.m.c.produto de todos os
termos que aparecem nos denominadores
2xxx que temose
xx33x3x3
x33x3x3
933 que temose
3x3xx3x3
x3xx3x3
b)
EXERCÍCIOS8. Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
9. Calcule:
41
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
RE S P O S T A S D O S EX E R C Í C I O S
1ª Questão:a) b)
2ª Questão:a) d) g) j)b) e) h) k)c) f) i) l)
m)
3ª Questão:a) d) g) j)
42
b) e) h)
c) f) i)
4ª Questão:a) c) e) g)b) d) f) h)
i)
5ª Questão:a) d) g) j)b) e) h) k)c) f) i) l) 2
m) 1
6ª Questão:100
7ª Questão:a) c) e) g)
b) d d) f) h)
8ª Questão:a) h) o) v)
b) i) p) w)
c) j) q) x) 2a-2
d) k) r) y)
e) l) s) z)
f) m) t)
g) n) u)
9ª Questão:a) d) g) k)
b) e) h) l)
43