TRANSFER MOMENTUMTINJAUAN MIKROSKOPIK

GERAKAN FLUIDA

Created byENR, UNTIRTA 2015

𝜏= 𝐹𝐴=𝜇(𝑑𝑉 𝑥

𝑑𝑦 )

SHEAR STRESS

X

YZ

Sx

Sekarang situasinya kita ganti dengan aliran fluida dalam pipa

Rr

xP1 P2

LX=0 X=L

Fluida: ρ ,μ

Pipa berjari-jari R. Fluida bergerak di dalam pipa ke arah X positif. Fluida memiliki densitas sebesar ρ dan memiliki

viskositas sebesar μ. Volume atur (Control Volume) untuk fluida memiliki

panjang sebesar L dan mengisi penuh pipa pada arah r.

Karena fluida bergerak ke arah X positif (ke kanan), itu sama saja dengan mengatakan bahwa pipa bergerak ke kiri.

Kalau pipa bergerak ke kiri maka akan ada transfer momentum dari dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida;

dan sebaliknya jika kita meninjau fluida bergerak ke kanan maka akan ada transfer momentum dari dalam fluida menuju dinding pipa.

Dengan menggunakan asumsi bahwa antara fluida dengan permukaan pipa tidak terjadi slip (fluida tidak tergelincir) dan fluida bergerak ke arah X positif makaakan ada transfer momentum ke arah r.

Berapakah laju transfer momentum ke arah r ini?

kita tinjau dalam lingkup yang lebih kecil dengan mengambil elemen fluida itu setebal dr ke arah r seperti berikut ini

hukum kekekalan momentum, yang padakeadaan stedy dapat ditulis sbb:

Ada momentum (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan dalam pada posisi r, yaitu:

1

[2𝜋 𝑟𝐿 .𝜏𝑟𝑥 ]𝑟

Ada momentum (gaya inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar:

2

𝑚 .𝑎𝑥=𝑚 .𝑣𝑥

𝑡 𝑚=𝜌∀Untuk

Volum

𝑚 .𝑣 𝑥

𝑡 =𝜌∀ .𝑣𝑥

𝑡 =𝜌 .𝑄 .𝑣𝑥

𝑚 .𝑎𝑥=(2𝜋𝑟 ∆𝑟 .𝑣𝑥)(𝜌 .𝑣𝑥)

Jadi, momentum (gaya inersia) pada titik 1 (x=0) adalah:

Kita tuliskan:

Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0), sebesar:

3

Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 2 (pada x=L), sebesar

4

Ada momentum (gaya viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaan luar pada posisi r+Δr, yaitu:

5

Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar

6

Pada sistem ini juga ada bekerja gaya gravitasi, namun karena posisi aliran adalah datar, maka gaya gravitasi ini tidak memberi konstribusi terhadap gerak aliran.

jumlahkan semua gaya yang telah diuraikan itu

susun kembali

fluida diasumsikan bersifat incompressible dan luas penampang pada z = 0 sama dengan luas penampang pada z = L

maka vz sama pada dua penampang itu

Persamaan terakhir tersebut menjadi :

atau:

bagi dengan

mendekati nol

atau

Suku sebelah kiri tak lain adalah turunan pertama (first derivative) dari terhadap r ; dan

M a k a :

atau

Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:

Kita peroleh:

C1 adalah konstanta integrasi

bahwa fluksi momentum bukanlah tak berhingga pada posisi r = 0. Artinya, pada r = 0, rx ada nilainya dan berhingga. Konsekuensi logisnya haruslah C1 = 0.

I N G A T

rx ini menyatakan fluksi momentum ke arah radial (jari-jari) r, yang disebabkanoleh bergeraknya fluida ke arah tangensial, x.

Selanjutnya kita akan melihat profil kecepatan gerak fluida pada arah x terhadap posisi r

tak lain adalah

Kenapa di sini ada tanda (-)

Karena vx berkurang jika r bertambah, atau dengan kata lain, (dvx/dr) bernilai negatif, sedangkan tak pernah negatif; dan begitu juga dengan µ

mengintegralkan persamaan diatas, menjadi:

C2 adalah konstanta integrasi

Kita mempunyai informasi bahwa fluida yang bersentuhan dengan permukaan pipa (artinya fluida yang berada pada posisi r = R) kecepatannya ke arah tangensial (arah x ) adalah nol

Profil kecepatan fluida ke arah x adalah

Jika kita plot hubungan antara Vx dengan r akan kita peroleh kurva persamaan kuadrat. Dimanakah letak titik maksimumnya ??

Pada r = 0, apakah kecepatannya maksimum atauminimum? menguji turunan ke dua (second derivative):

Karena turunan ke dua bernilai negatif (lebih kecil dari nol), kita ambil kesimpulan bahwa, kecepatan gerak fluida ke arah x pada posisi r = 0 merupakan kecepatanmaksimum

Terlihat bahwa kecepatan gerak fluida bergantung pada faktor dari luar berupa Δp,

dimensi pipa berupa R dan L, dan faktor pada sifat fluida itu sendiri berupa μ

Faktor luar Dimensi pipa Sifat Fluida

Grafik hubungan antara r dan Vx

Persamaan Kurva ini diplot untuk nilai = 25 satuan dannilai R (jari-jari pipa) = 10 satuan

Ilustrasi alirannya kira-kira seperti pd gbr brkt

hasil kerja MATLAB. Sumbu datar menunjukkan arah jari-jari pipa dan sumbu tegak menunjukkan kecepatan ke arah x. Kecepatan maksimum berada pada posisi (0,0) di tengah-tengah bidang sumbu datar

Sketsa koordinat pipa untuk grafik

Distribusi fluksi momentum

Distribusi kecepatan

Kecepatan maksimum

Kecepatan aliran fluida ke arah x bergantung pada posisi r; artinya kecepatan fluida itu bervariasi terhadap r.

Kalau begitu, berapakah kecepatan rata-ratanya? Kecepatan rata-rata adalah jumlah kecepatan di semua posisi r dan dibagi dengan luas penampang aliran.

Jumlah semua kecepatan itu adalah pada posisi r dari r = 0 hingga ke r = R untuk satu lingkaran penuh dari sudut θ = 0 derajat hingga θ = 360 derajat atau dari θ = 0 hingga θ = 2π; yaitu:

Ingat bahwa Vx adalah fungsi r

luas penampang aliran (luas penampang pipa) adalah:

=

Dengan demikian, kecepatan rata-rata, <Vx>, aliran fluida dalam pipa adalah:

Artinya, kecepatan rata-rata adalah setengah dari kecepatan maksimum

Bila

Bagaimana dengan laju alir volumetris? Laju alir volumteris adalah luas penampang alira (luas penampang pipa) dikalikan dengan kecepatan rata-rata,yaitu::

Persamaan terakhir ini dikenal sebagai Persamaan Hagen-Poiseuille

gaya dorongnyai hambatannya

Fluida encer mengalir dengan aliran laminar pada celah yang terbentuk oleh 2dinding parallel dengan jarak 2B. Fluida Newtonian dalam keadaan steady. Fluidamengalir karena perbedaan tekanan dan pengaruh gravitasi. Tentukana. Fluks momentumb. Distribusi kecepatanc. Kecepatan rata – ratad. Debit (laju alir volum) fluida

SOAL