Monografía “Ecuaciones de Navier - Stoke”

INTRODUCCIÓN

En el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el  agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria son de suma importancia, tanto para la ingeniería como para la medicina.

Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, surgieron producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes.

El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente.

A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar.

Los modelos basados en la teoría de dinámica de fluidos han sido desarrollados desde los 1950's y se han utilizado en la ciencia de tránsito con un éxito considerable. Cuando es visto desde una gran distancia, por ejemplo, desde un avión, el tránsito pesado aparece como el torrente de un fluido. Por lo tanto, un estudio con enfoque macroscópico sobre el flujo de tránsito de autos se puede desarrollar en analogía con la teoría hidrodinámica de fluidos tratando al tránsito como un fluido uni-dimensional de izquierda a derecha.

INDICE

Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos...............................................................4

Ecuaciones de navier-stokes……………………………………………………………..4Conceptos previos.........................................................................................................6

Derivada sustancial o material...................................................................................6

Teorema del transporte de reynolds..........................................................................7

Teorema de la divergencia.........................................................................................7

Las ecuaciones de navier-stokes........................................................................................8

Casos particulares..........................................................................................................8

Fluidos compresibles e incompresibles…..…………………...…………………………8

Flujo compresible...........................................................................................................9

Clasificación..............................................................................................................10

Flujo incompresible......................................................................................................10

La ecuación de navier-stokes para flujo isotérmico incompresible.................................11

Ecuaciones de continuidad y de navier-stokes en coordenadas cartesianas............13

Ecuaciones de continuidad y de navier-stokes en coordenadas cilíndricas……….13

Flujos incompresibles estacionario en conductos a presión……………………………13 Flujo laminar y turbulento…………………………………………………………..14

Regímenes de flujo laminar y turbulento………………………………………………15 Régimen laminar…………………………………………………………………….17 Régimen turbulento…………………………………………………………………18

Análisis dimensional de la ecuación de movimiento…………………………………...19

Conclusión……………………………………………………………………………...23

Bibliografía……………………………………………………………………………..24

ECUACIONES GENERALES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad).No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación de continuidad:

-Forma integral:

-Forma diferencial:

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es

posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

CONCEPTOS PREVIOS

Derivada sustancial o material

Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana la derivada ordinaria ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada

propiedad del fluido ϕ siguiendo a la partícula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada sustancial o derivada material se define como el operador:

Donde es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el procedimiento que sigue José de Echegaray para demostrar la derivada material. Véase una demostración de cómo llegar a una derivada material. Tomando las coordenadas de Euler como:

.

Calcularemos la aceleración para estas coordenadas:

Desarrollamos cada derivada total de cada componente, así podremos seguir un desarrollo fácil de recordar:

Si se suma término a término y se saca factor común, puede obtenerse:

Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como:

Si ahora sustituimos velocidad por obtenemos formalmente la expresión de la derivada material:

Teorema del transporte de Reynolds

Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una propiedad del fluido siguiendo a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. En su forma general el teorema del transporte de Reynolds se expresa como:

donde ϕ es una propiedad extensiva definida por unidad de volumen, Vf es un volumen fluido, Vc es un volumen de control que coincide con Vf en el instante t, Sc la superficie de control ligada a dicho volumen, la velocidad del fluido y la velocidad de la superficie de control.

Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.

Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss), nos permite transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general:

.

La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

O en forma vectorial:

Casos particularesPara fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque:

Por otra parte si se considera un fluido viscoso pero incompresible, entonces la ρ puede ser considerada constante (como en un líquido) y las ecuaciones resultan ser:

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES

En mecánica de fluidos se considera típicamente que los fluidos encajan dentro de dos categorías que en general requieren un tratamiento diferente: los fluidos compresibles y los fluidos incompresibles. Que un tipo de fluido pueda ser considerado compresible o incompresible no depende sólo de su naturaleza o estructura interna sino también de las condiciones mecánicas sobre el mismo. Así, a temperaturas y presiones ordinarias, los líquidos pueden ser considerados sin problemas como fluidos incompresibles, aunque bajo condiciones extremas de presión muestran una compresibilidad estrictamente diferente de cero. En cambio los gases debido a su baja densidad aún a presiones moderadas pueden comportarse como fluidos compresibles, aunque en ciertas aplicaciones pueden ser tratados con suficientes aproximación como fluidos incompresibles. Por estas razones, técnicamente más que hablar de fluidos compresibles e incompresibles se prefiere hablar de los modelos de flujo adecuados para describir un fluido en unas determinadas condiciones de trabajo y por eso más propiamente se habla de flujo compresible y flujo incompresible.

Flujo compresibleTodos los fluidos son compresibles, incluyendo los líquidos. Cuando estos cambios de volumen son demasiado grandes se opta por considerar el flujo como compresible (que muestran una variación significativa de la densidad como resultado de fluir), esto sucede cuando la velocidad del flujo es cercano a la velocidad del sonido. Estos cambios suelen suceder principalmente en los gases ya que para alcanzar estas velocidades de flujo el líquidos se precisa de presiones del orden de 1000 atmósferas, en cambio un gas sólo precisa una relación de presiones de 2:1 para alcanzar velocidades sónicas. La compresibilidad de un flujo es básicamente una medida en el cambio de la densidad. Los gases son en general muy compresibles, en cambio, la mayoría de los líquidos tienen una compresibilidad muy baja. Por ejemplo, una presión de 500 kPa provoca un cambio de densidad en el agua a temperatura ambiente de solamente 0.024%, en cambio esta misma presión aplicada al aire provoca un cambio de densidad de 250%. Por esto normalmente al estudio de los flujos compresibles se le conoce como dinámica de gases, siendo esta una nueva rama de la mecánica de fluidos, la cual describe estos flujos.En un flujo usualmente hay cambios en la presión, asociados con cambios en la velocidad. En general, estos cambios de presión inducirán a cambios de densidad, los cuales influyen en el flujo, si estos cambios son importantes los cambios de temperatura presentados son apreciables.

Aunque los cambios de densidad en un flujo pueden ser muy importantes hay una gran cantidad de situaciones de importancia práctica en los que estos cambios son despreciables.El flujo de un fluido compresible se rige por la primera ley de la termodinámica en los balances de energía y con la segunda ley de la termodinámica, que relaciona la transferencia de calor y la irreversibilidad con la entropía. El flujo es afectado por efectos cinéticos y dinámicos, descritos por las leyes de Newton, en un marco de referencia inercial –aquel donde las leyes de Newton son aplicables-. Además, el flujo cumple con los requerimientos de conservación de masa. Es sabido que muchas propiedades, tales como la velocidad del fluido en un tubo, no son uniformes a lo largo de la corriente.

ClasificaciónLos flujos compresibles pueden ser clasificados de varias maneras, la más común usa el número de Mach (Ma) como parámetro para clasificarlo.

Donde V es la velocidad del flujo y a es la velocidad del sonido en el fluido.

Prácticamente incompresible: Ma < 0.3 en cualquier parte del flujo. Las variaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser despreciadas. El gas es compresible pero la densidad puede ser considerada constante.

Flujo subsónico: Ma > 0.3 en alguna parte del flujo pero no excede 1 en ninguna parte. No hay ondas de choque en el flujo.

Flujo transónico: 0.8 ≤ Ma ≤ 1.2. Hay ondas de choque que conducen a un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de hipersónicas dentro del flujo. Debido a que normalmente no se pueden distinguir las partes viscosas y no viscosas este flujo es difícil de analizar.

Flujo supersónico: 1.2 < Ma ≤ 3. Normalmente hay ondas de choque pero ya no hay regiones subsónicas. El análisis de este flujo es menos complicado.

Flujo hipersónico: Ma > 3. Los flujos a velocidades muy grandes causan un calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la frontera del flujo, causando disociación de moléculas y otros efectos químicos

Flujo incompresibleUn flujo se clasifica en compresible e incompresible, dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo o el fluido es incompresible. En esencia, las densidades de los líquidos son constantes y así el flujo de ellos es típicamente incompresible. Por lo tanto, se suele decir que los líquidos son sustancias incompresibles. Ejemplo: una presión de 210 atm hace que la densidad del agua liquida a 1 atm cambie en sólo 1 por ciento. Cuando se analizan flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach que se define como

En donde c es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 m/s en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma=1, subsónico cuando Ma<1, supersónico cuando Ma>1, e hipersónico cuando Ma>>1. Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de exactitud, pero el nivel de variación de la densidad en los

flujos de gases y el nivel consecuente de aproximación que se hace cuando se modelan estos flujos como incompresibles depende del número de Mach. Con frecuencia, los flujos de gases se pueden aproximar como incompresibles si los cambios en al densidad se encuentran por debajo de alrededor de 100 m/s. Así el flujo de un gas no es necesariamente compresible.

LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES PARA FLUJO ISOTÉRMICO INCOMPRESIBLE

Por definición el tensor de esfuerzo es linealmente proporcional al tensor de razón de formación. Para flujo incompresible (ρ = constante), también se supone flujo aproximadamente isotérmico sabiendo que los cambios locales en temperatura son pequeños o inexistentes; esto elimina la necesidad de una ecuación diferencial de conservación de energía. Una consecuencia de la última suposición es que las propiedades del fluido, como viscosidad dinámica μ y la viscosidad cinemática v, también son constantes. Con dichas suposiciones se puede demostrar que el tensor de esfuerzo viscoso se reduce a:Tensor de esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano incompresible con propiedades constantes:

(1) Tij = 2μεij

donde εij es el tensor de razón de deformación. La ecuación (1) muestra que el esfuerzo es linealmente proporcional a la deformación. En coordenadas cartesianas, se mencionan las nueve componentes del tensor de esfuerzo viscoso, seis de las cuales son independientes debido a su simetría:

(2) En coordenadas cartesianas, el tensor de esfuerzo de la ecuación de fluidos en movimiento se convierte por lo tanto en:(3)

Ahora se sustituye la ecuación (8) en las tres componentes cartesianas de la ecuación de Cauchy. Considere primero la componente x, se convierte en:

(4)

Dado que la presión consiste sólo de un esfuerzo normal, únicamente aporta un término a la ecuación (4). Sin embargo, ya que el tensor de esfuerzo viscoso consiste tanto de esfuerzos

normal como de corte, aporta tres términos. También en tanto las componentes de velocidad sean funciones suaves de x, y y z, el orden de diferenciación es irrelevante. Par ejemplo, la primera parte del último término en la ecuación (4) se puede reescribir como:

Después de cierto reordenamiento inteligente de los términos viscosos en la ecuación (4):

El término entre paréntesis es cero debido a la ecuación de continuidad para flujo incompresible.

También se reconocen los últimos tres términos como el Laplaciano de la componente de velocidad u en coordenadas cartesianas. Por lo tanto, la componente x de la ecuación de cantidad de movimiento se escribe como:

(5)

De manera similar se escriben las componentes y y z de la ecuación de cantidad de movimiento como:

(6)

Y

(7)

respectivamente. Por último, se combinan las tres componentes en una ecuación vectorial; el resultado es la ecuación de Navier-Stokes para flujo incompresible con viscosidad constante.Ecuación de Navier-Stokes:

(8)

Aunque los componentes de la ecuación Navier-stokes se dedujeron en coordenadas cartesianas, la forma vectorial de la ecuación es válida en cualquier sistema coordenado ortogonal. Esta famosa ecuación recibe su nombre en honor al ingeniero francés Louis Marie Henri Navier (1785-1836) y al matemático inglés Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), quienes desarrollaron los términos viscosos, aunque de manera independiente. La ecuación de Navier-Stokes es la base de la mecánica de fluidos. Puede parecer suficientemente inocua, pero es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, no-lineal e inestable. Si fuera posible resolver esta ecuación para flujos de cualquier geometría, seria más sencillo. Por desgracia, las soluciones analíticas no se obtienen excepto para campos de flujo muy simples. La ecuación tiene cuatro incógnitas (tres componentes de velocidad y la presión), aunque sólo representa tres ecuaciones (tres componentes puesto que es una ecuación vectorial). Obvio, es necesaria otra ecuación para solucionar el problema. La cuarta ecuación es la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

Antes de intentar resolver ese conjunto de ecuaciones diferenciales, es necesario elegir un sistema coordenado y expandir las ecuaciones en dicho sistema coordenado.

Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes se expanden en coordenadas cartesianas (x, y, z) y (u, v, w): Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

Componente x de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente y de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente Z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes se expanden en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) y (ur, uθ, uz):Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

Componente r de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente θ de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Componente Z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

Los términos adicionales en ambos lados de las componentes r y θ de la ecuación de Navier-Stokes surgen debido a la naturaleza especial de las coordenadas cilíndricas. De esta manera, conforme se mueve en la dirección θ, el vector unitario er , también cambia de dirección; por lo tanto, las componentes r y θ se acoplan.A continuación, citaremos las seis componentes independientes del tensor de esfuerzo viscoso en coordenadas cilíndricas:

La aplicación de las ecuaciones diferenciales de movimiento tanto en coordenadas cartesianas como en cilíndricas. Existen dos tipos de problemas para los que son útiles las ecuaciones diferenciales (de continuidad y de Navier-Stokes):

Cálculo de campo de presión para un campo de velocidad conocido. Cálculo de campos de velocidad y presión para un flujo de geometría conocida y

condiciones de frontera conocidas. Por simplicidad, sólo se considera flujo incompresible, cuando se eliminan el cálculo de ρ como una variable. Además, la forma de la ecuación de Navier-Stokes sólo es válida para fluidos newtonianos con propiedades constantes (viscosidad, conductividad térmica, entre otras). Para finalizar, se suponen variaciones de temperatura despreciables, de modo que T no es una variable. Quedan cuatro variables o incógnitas (presión más tres componentes de velocidad) y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales.

FLUJOS INCOMPRESIBLES ESTACIONARIO EN CONDUCTOS A PRESIÓN

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Para el autor John Muller: “Este principio es importante para la medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Flujo Laminar y Turbulento.

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente en 1839 por el fisiólogo francés Jean Louis Marie Poiseuille, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero hidráulico alemán Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió al ingeniero francés Claude Louis Marie Navier en 1827 e, independientemente, al matemático británico George Gabriel Stokes, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta. El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos realizados por primera vez a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Según James A. Fay: “Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos”; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

Flujo principal Remolinos Flujo turbulento.

Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en cuenta la estructura interna del flujo. En un régimen laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento de láminas o capas. La estructura del flujo en un régimen turbulento por otro lado, se caracteriza por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas de fluido, superpuestos al movimiento promedio.En un flujo laminar no existe un estado macroscópico de las capas de fluido adyacentes entre sí. Un filamento delgado de tinta que se inyecte en un flujo laminar aparece como una sola línea; no se presenta dispersión de la tinta a través del flujo, excepto una difusión muy lenta debido al movi miento molecular. Por otra parte, un filamento de tinta inyectado en un flu jo turbulento rápidamente se dispersa en todo el campo de flujo; la línea del colorante se descompone en una enredada maraña de hilos de tinta. Este comportamiento del flujo turbulento se debe a las pequeñas fluctuaciones de velocidad superpuestas al flujo medio de un flujo turbulento; el mezclado macroscópico de partículas pertenecientes a capas adyacentes de fluido da como resultado una rápida dispersión del colorante. El filamento rectilíneo de humo que sale de un cigarrillo expuesto a un ambiente tranquilo, ofrece una imagen clara del flujo laminar. Conforme el humo continúa subiendo, se transforma en un movimiento aleatorio, irregular; es un ejemplo de flujo turbulento.El que un flujo sea laminar o turbulento depende de las propiedades del caso. Así, por ejemplo, la naturaleza del flujo (laminar o turbulento) a través de un tubo se puede establecer teniendo en cuenta el valor de un parámetro adimensional, el número de Reynolds, Re = pVD/u, donde p es la densidad del fluido, V la velocidad promedio, D el diámetro del tubo y u la viscosidad.El flujo dentro de una capa límite puede ser también laminar o turbulento; las definiciones de flujo laminar y flujo turbulento dadas anteriormente se aplican también en este caso. Como veremos más

adelante, las características de un flujo pueden ser significativamente diferentes dependiendo de que la capa. límite sea laminar o turbulenta. Los métodos de análisis también son diferentes para un flujo laminar que para un flujo turbulento. Por lo tanto, al iniciar el análisis de un flujo dado es necesario deter-minar primero si se trata de un flujo laminar o de un flujo turbulento. Veremos más detalles a este respecto en capítulos posteriores.

REGÍMENES DE FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO

Las ecuaciones que rigen el régimen laminar de flujo son las mismas que en el flujo turbulento, las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes que para un flujo de un fluido newtoniano e incompresible son:

(9)

Las incógnitas de estas ecuaciones son el campo de velocidades y el de presiones .El régimen laminar se caracteriza por un movimiento ordenado de las partículas de fluido, existiendo unas líneas de corriente y trayectorias bien definidas. En el régimen turbulento las partículas presentan un movimiento caótico sin que existan unas líneas de corriente ni trayectorias definidas.En cuanto al campo de velocidades de uno u otro régimen, si en un punto de un campo de flujo se hiciera una medida del valor de una variable de campo (por ejemplo de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en régimen laminar ésta presenta un valor bien definido que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio las variables de flujo presentan una variación temporal, aún cuando las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz).

Figura 1. Regimenes laminar y turbulento

El intentar obtener una solución a las ecuaciones del flujo en régimen turbulento esta fuera del alcance del análisis matemático y el cálculo numérico actuales. De forma similar a la teoría cinética donde se estudia el movimiento de infinidad de moléculas hay que recurrir a un estudio estadístico de la turbulencia trabajando con propiedades promedio. Una posibilidad de promediar las variables de flujo es considerar que en un punto del campo las variables vienen dadas como la suma de un valor promedio y una fluctuación turbulenta:

(10)

El valor promedio temporal de una variable se obtiene de la forma:

(11)

Siendo T un periodo tal que el valor promedio obtenido es independiente de este valor. T es mucho más pequeño que la variación del valor promedio de forma que éste último podrá depender del valor del tiempo alrededor del cual se toma el promedio pero no de la amplitud elegida para realizarlo.De la definición de las variables promedio se deduce que:

(12)

Aunque los valores promedios de las fluctuaciones sean cero no es cierto que el promedio del producto de dos fluctuaciones lo sea, por ejemplo:

(13)

Una vez que se ha definido la manera de promediar, se toman valores promedio en las ecuaciones de Navier-Stokes.

(14)

Aquí no se va a entrar en el detalle del resultado obtenido al realizar estos promedios (para ello puede consultarse la bibliografía) pero decir que las ecuaciones que se obtienen son:

(15)

La ecuación de la continuidad tiene el mismo aspecto sólo que en lugar del campo de velocidades aparece el campo de velocidades promedio. La ecuación de la cantidad de movimiento presenta, además del cambio de las velocidades instantáneas por las promedio, la aparición de un nuevo término, unas tensiones adicionales que se denominan tensiones turbulentas de Reynolds. Estas tensiones cuantifican la influencia de la fluctuación turbulenta en el campo de flujo promedio.Para poder resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas es necesario conocer como se relacionan estas tensiones turbulentas con las variables de flujo. A la relación matemática esta relación

entre , y se conoce como modelo de turbulencia. Es en esta modelación, donde se investiga actualmente, es donde reside la dificultad de resolver el flujo turbulento. Los modelos que se han propuesto son semiempíricos y no son universales entre ellos se podían citar el modelo de longitud de mezcla de Prandtl, el modelo k- y el modelo k- realizable.Resolución en régimen turbulento del flujo estacionario, incompresible y completamente desarrollado en una tubería de sección circular

Régimen laminarEn régimen laminar para este flujo se obtiene una relación entre el caudal q que circula por la tubería y la diferencia de altura piezométrica entre sus extremos mediante la integración de las ecuaciones diferenciales que permiten la obtención del perfil de velocidades para posteriormente hallar el caudal. Siendo Z la dirección del flujo la ecuación de la cantidad de movimiento queda como:

(16)

Que puede integrarse:

(17)

La constante C debe ser cero para que la tensión cortante en r=0 tome un valor finito.

(18)

En el caso de flujo laminar se cumple que:

(19)

Sustituyendo en

(20)

Integrando esta ecuación diferencial:

(21)

La constante de integración se obtiene por medio de la condición de contorno:

(22)

Donde el perfil de velocidades queda como:

(23)

El perfil de velocidades en régimen laminar es un paraboloide. El valor máximo de la velocidad se produce en r=0 y vale:

(24)

Ahora para obtener la relación entre el caudal y la diferencia de alturas piezométricas entre los extremos de una tubería se integra el perfil de velocidades:

(25)

(26)

Integrando esta ecuación diferencial se obtiene:

(27)

O en función de la velocidad media:

(28)

Esta relación indica que en régimen laminar la caída de altura piezométrica en una tubería es proporcional a la velocidad.

Régimen turbulento

En régimen turbulento no es posible, al menos de forma directa, hallar el perfil de velocidades mediante la integración de las ecuaciones diferenciales. Para hallar entonces la relación entre la caída de altura piezométrica y el caudal se partirá la ecuación (10) que nos da la distribución de tensiones cortantes en la tubería. De aquí se obtiene una relación entre la diferencia de alturas piezométricas y el esfuerzo cortante en la pared W:

(29)

La experiencia demuestra que el esfuerzo cortante en la pared de un conducto es función de:

(30)

Mediante el análisis dimensional se obtiene que:

(31)

Al parámetro adimensional que contiene al esfuerzo cortante en la pared se le denomina factor de fricción:

(32)

Quedando la ecuación (22) como:

(33)

(34)

Esta ecuación conocida como ecuación de DARCY-WEISBACH es válida tanto para régimen laminar como turbulento. En régimen laminar el valor de f se obtiene de forma analítica a partir del perfil de velocidades. La ecuación (20) se puede volver a escribir:

(35)

En régimen laminar en tuberías (Re<2300) la relación entre el factor de fricción y el número de Reynolds es:

(36)

De la ecuación (26) se obtiene que en régimen laminar el factor de fricción no depende de la rugosidad relativa de la tubería (/D).En régimen turbulento la relación entre f y Re y /D ha sido objeto de muchos estudios teóricos experimentales. Los resultados se presentan en el diagrama de Moody.

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

El flujo laminar de fluidos cuyas propiedades físicas y de transporte son constantes, puede describirse mediante la ecuación de Navier-Stokes

ρ

DvDt

=−∂ p∂ x

+μ (∂2v x

∂ x2+

∂2v y

∂ y2+

∂2 vz

∂ z2 )+ρg

(37.1)

Para transformar esta ecuación diferencial en una ecuación análoga y adimensional, es necesario seleccionar las variables características en dependencia de la geometría de flujo. Así, para el flujo en un tubo circular, se tama generalmente como longitud

característica el diámetro D del tubo y, velocidad característica, la velocidad promedio

⟨v ⟩ . Si el flujo es alrededor de un cuerpo sumergido (esfera, cilindro, etc.,), se toma habitualmente el diámetro de la esfera o cilindro como longitud característica, y la velocidad del flujo antes de llegar al objeto, vw, como velocidad característica; esta última también se conoce en la literatura como velocidad de aproximación. También es

habitual relacionar la presión del fluido a una presión adecuada p0 que se toma como referencia. Una vez que se ha efectuada la selección de las variables características, se pueden definir las variables adimensionales requeridas. Por ejemplo, para el flujo por conductos y canales abiertos, las variables adimensionales pueden ser las siguientes:

v¿=

v⟨v ⟩

;

p¿=( p−p0 )ρ ⟨v ⟩2

; t ¿=

t ⟨v ⟩D

(37.2)

x¿=

xD

;

y¿=yD

;

z¿=zD

(37.3)

De acuerdo con estas definiciones, la velocidad puede expresarse en función de la

velocidad adimensional, tomando v=⟨v ⟩ ( v¿) . De igual forma pueden expresarse las variables resultantes. Luego, introduciendo estas variables en la ecuación (37.1), se obtiene:

ρD (⟨v ⟩ (v¿ ) )

D ( D⟨ v ⟩

( t¿ ))=

∂ (ρ ⟨v ⟩2( p¿ ))∂ ( D( x¿ ))

+μ (∂2( ⟨v ⟩ (v¿ ) )∂ ( D ( x¿) )2

+∂2 (⟨v ⟩ (v¿) )∂ ( D ( y¿ ))2

+∂2 (⟨v ⟩ ( v¿) )∂ ( D ( z¿ ) )2 )+ρ

(37.4)

(ρ

⟨v ⟩2

D ) Dv ¿

Dt ¿=−( ρ

⟨v ⟩2

D ) ∂ p¿

∂ x¿+(μ

⟨v ⟩D2 )(∂2v¿

∂ x¿2+

∂2v¿

∂ y¿2+

∂2 v¿

∂ z¿2 )+ρg

(37.5)

Si se divide la ecuación (37.5) por ρ ⟨v ⟩2 D , ésta queda totalmente expresada en forma adimensional y muy semejante a la ecuación (37.1).

Dv¿

Dt¿=−∂ p¿

∂ x¿+( μ

D ⟨v ⟩ ρ )(∂2 v¿

∂ x2+ ∂2v¿

∂ y2+ ∂2 v¿

∂ z2 )+( gD

⟨v ⟩2 )

(37.6)

En la ecuación (37.6), las variables características seleccionadas y las propiedades físicas se han agrupado formando dos números de semejanza adimensionales muy conocidos y usados en los cálculos de ingeniería:

Re=( D ⟨v ⟩ ρ

μ )= Número de Reynolds.

(37.7)

Fr=(⟨ v ⟩2

gD )= Número de Froude.

(37.8)

Si en dos sistemas geométricamente semejantes los números de Reynolds y de Fraude son iguales para ambos, los sistemas están descritos por la misma ecuación diferencial adimensional. Si, además, las condiciones adimensionales inicial y límite, son también las mismas, los dos sistemas tendrán las mismas distribuciones adimensionales de velocidad y presión. En tales situaciones se dice que los sistemas son dinámicamente semejantes ya que las relaciones de todas las fuerzas que interviene en el proceso son iguales. Este hecho se comprenderá con más claridad si se analiza el significado físico de los números de Reynolds y de Fraude considerándolos como relaciones entre distintas fuerzas. Esta relación se obtiene fácilmente el dividir la ecuación (37.5) por

ρ ⟨v ⟩2 D con el objetivo de llegar a la ecuación (37.6). Por consiguiente:

Re=

ρ⟨v ⟩2 /Dρ⟨v ⟩ / D2

=fuerzas de inerciafuerzas viscosas

(37.9)

Fr=

ρ ⟨v ⟩2 / Dρg

=fuerzas de inerciafuerzas de gravedad

(37.10)

Ejemplo 3.1.- Análisis dimensional de la ecuación de movimiento modificada para un sistema de flujo por convección libre.

Expresando en forma adimensional la ecuación de movimiento general que se aplica a un sistema donde el movimiento del fluido se debe a la acción de fuerzas de empuje, determinar los números adimensionales que caracterizan dinámicamente un proceso de convección libre, suponiendo las propiedades libres constantes.

Solución:La ecuación del movimiento que se aplica en un proceso de convección libre viene dada por:

ρ

DvDt

=(∂2 v∂ x2

+ ∂2v∂ y2

+∂2v∂ z2 )−ρ0 β0 g (T−T 0 )

(37.11)

Para convección libre no se dispone de una adecuada velocidad característica,

por lo que se utiliza como factor de escala μ/ ρD , definiéndose las variables adimensionales de la forma siguiente:

v¿=

ρ0 Dv

μ;

t ¿=tμ

ρ0 D2;

T ¿=

(T−T 0)(T w−T 0)

(37.12)

dónde Tw, es la temperatura de la superficie sólida y T0, la temperatura media en el seno del fluido. Las distancias adimensionales se definen de la misma forma que en la expresión (37.3).

Si se introducen las variables adimensionales en la ecuación diferencial, se obtiene:

ρ0

D (μv¿ / ρ0 D )D ( ρ0 D2 t ¿/ μ)

=μ(∂2( μv¿/ ρ0 D )

∂(Dx ¿ )2

+∂2( μv¿ /ρ0 D)

∂( Dy¿ )2

+∂2 (μv¿ / ρ0 D )

∂( Dz¿)2 )

−ρ0 β0 g (T−T0 )T¿ (37.13)

( μ2

ρ0 D3 ) Dv ¿

Dt=( μ2

ρ0 D3 )(∂2 v¿

∂ x¿2+∂2 v¿

∂ y¿2+∂2 v¿

∂ z¿2 )−ρ0 β0 g(T−T 0 )T ¿

(37.14)

Si se divide la ecuación (37.14) por μ2 / ρ0 D3 , se llega a:

Dv¿

Dt¿=(∂2 v¿

∂ x¿2+

∂2 v¿

∂ y¿2+

∂2 v¿

∂ z¿2 )−( ρ0

2 β0 (T w−T0 ) D3

μ2 )T ¿

(37.15)

En la ecuación (37.15), los factores de escala y propiedad físicas se han agrupado formando el número de semejanza:

Gr=( ρ2 βg( ΔT )D3

μ2 )=Número de Grashof

(37.16)

A partir de la expresión (37.16) puede llegarse a conocer que tipos de fuerzas o efectos pueden relacionarse en un sistema de convección libre, de forma análoga a las expresiones (37.9) y (37.10)

Para mayor sencillez, se hará el análisis para un conducto en el que puede seleccionarse una velocidad característica, vc.

Gr=

ρβ g( ΔT )( μ / ρD3 )

=ρβ g( ΔT )

(μ / ρD )2( ρ/D ) (37.17)

El término ( μ/ ρD )2 puede ser relacionado con el número de Reynolds, según la

definición (37.7) de la forma siguiente:

Re=

Dv c ρ

μ , por tanto

μρD

=vc

Re (37.18)

Si este resultado se sustituye en la ecuación (37.17), se obtiene:

Gr=ρβ g ( ΔT )

( vc

Re )2

( ρD )

=ρβ g ( ΔT )Re2

vc2 ρ /D

(37.19)

A partir de esta ecuación se llega a:

GrRe2

=ρβ g( ΔT )

vc2 ρ / D

=fuerzas de empujefuerzas de inercia

(37.20)

Cuando en un sistema dado la relación Gr /Re2es grande, esto indica que las fuerzas de

empuje son importantes en la determinación de las características del flujo.

CONCLUSIÓN

Establece las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, tribute y estimule a investigaciones más profundas sobre este importante e interesante tema que nos ayuda a describir, con cierta elegancia matemática, la dinámica presente en infinidad de situaciones en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y oceanografía. Por citar solo ángulos.

BIBLIOGRAFÍA

Fundamentos de Mecánica de Fluidos (2ª Edición). P. Gerhart, R. Gross y J. Hochstein. Adison-Wesley Iberoamericana 1995.

Mecánica de Fluidos. Frank M. White. McGraw Hill 1979. Ingeniería Química, Tomos 2 y 3. E. Costa Novella y otros. 1984. Alhamba Universidad. http://www1.ceit.es/asignaturas/Fluidos1/WEBMF/Mecanica%20de%20Fluidos%20I/

FAQMFI/FAQ10.htm http://www1.ceit.es/asignaturas/Fluidos1/WEBMF/Mecanica%20de%20Fluidos%20I/

FAQMFI/FAQ12.html