1

Tečenje bez utjecaja razlike tlakova Jednoliko tečenje u otvorenim kanalima

Promatrat ćemo jednoliko tečenje tekućine u prirodnim i izgrađenim kanalima, rijekama, akvaduktima, ispustima brana, zasvođenim kanalima, propustima, itd. tj., tečenje sa slobodnom površinom u uvjetima atmosferskog tlaka. Pri tečenju u otvorenim kanalima, dio toka je horizontalan i otvoren prema atmosferi, a sam tok ograničavaju, općenito govoreći, bočne stijenke i dno. Slobodna površina tekućine u kanalu paralelna je dnu kanala. Za razliku od hidrauličkih sustava u kojima fluid teče zbog razlike tlakova, proizvedene crpkama, tečenje u otvorenim kanalima posljedica je razlike specifične potencijalne energije tekućine u polju sile teže [Ep(h) = mgh + E0, E0 = Ep (h=0) =0] između dva uočena živa presjeka toka. Iznos srednje brzine toka tekućine u kanalu određen je nagibom i hrapavošću stijenki kanala. Potrebno je naglasiti da su pri jednolikom tečenju u otvorenim kanalima srednje (u odnosu na poprečni presjek) brzine toka jednake brzinama na bilo kojem proizvoljno odabranom poprečnom presjeku. Ovo je moguće samo u slučaju kada oblik i dimenzije poprečnog presjeka, te nagib dna kanala ostaju nepromijenjeni duž kanala. Većina kvantitativnih odnosa (izraza) koji će se izvesti imaju svoje porijeklo u odnosima (jednadžbama), izvedenim za slučaj turbulentnog režima tečenja u cijevima, gdje se pretpostavlja stacionarnost toka. Iako su uvjeti stacionarnosti toka i uniformnosti (jednolikosti) tečenja u kanalima rijetko strogo ispunjeni, ta činjenica ne umanjuje upotrebljivost izraza koji će se izvesti, već i zbog toga što su oni ''pročišćeni'' empirijskim korekcijskim faktorima kako bi što vjernije odražavali stvarno stanje tečenja.

2

Crtež 132.

Napišimo Bernoullijevu jednadžbu za presjeke 1-1 i 2-2, za slučaj jednolikog otvorenog toka shematski prikazanog na crtežu 132.,

2 2

1 1 2 21 2 122 2

p v p vz z h

g g g gα α

ρ ρ+ + = + + + . (93)

U (93) ZG i ZG su geometrijske visine težišta presjeka 1-1 i 2-2 toka s obzirom na proizvoljno odabranu referentnu ravninu z = 0, PB i PB su statički tlakovi u težištima živih presjeka, h12 je gubitak tlaka (specifične energije) na sekciji toka dužine L između presjeka 1-1 i 2-2, a V i V su srednje (po poprečnom presjeku) brzine toka na presjecima 1-1 i 2-2. Budući da je tok stacionaran i jednolik, to je,

p1= p2, V = v2, h1= h2, (94) tako da je prema izrazu (93),

12 1 2h z z= − [ J/N], (95) odnosno,

( )12 1 2e g z z = − [ J/kg] . (96)

Izrazi (95) i (96) izražavaju prirodnu činjenicu da se jednoliki (uniformni), stacionarni tok u kanalu održava na račun smanjenja specifične potencijalne energije tekućine (potencijalne energije tekućine u polju sile teže). Smanjenje potencijalne energije h12 na jedinicu mase (J/kg) ili na jedinicu težine tekućine (J/N) između dva presjeka toka jednako je algebarski negativnom radu sile trenja na dodirnoj površini tekućine i hrapavih stijeni. Budući da se gubitak tlaka (specifične energije) h12 na sekciji toka dužine L može izraziti i u obliku,

3

12

2

2

v Lh

C R= ⋅ (R – hidraulički radijus),

izraz (95) poprima oblik,

2

1 22

z z vi

L C R

− = = ,

odakle je,

=v C Ri (97) gdje je i nagib slobodne površine toka prema horizontalnoj ravnini. Pri jednolikom (uniformnom) tečenju nagib slobodne površine toka jednak je nagibu dna. Chezyjevim empirijskim koeficijentom C uzeti su u obzir faktori koji određuju brzinu jednolikog tečenja u otvorenom kanalu, od kojih su dominantni hrapavost i broj Re. Utjecaj dinamičke viskoznosti na C zanemariv je u usporedbi sa utjecajem hrapavosti. Hrapavost otvorenih tokova neusporedivo je veća od hrapavosti većine cijevi. Između empirijski dobivenih izraza za izračunavanje koeficijenta C, kao što je već ranije spomenuto, najčešće su korišteni Bazinov izraz

87

1C

R

γ=+

,

gdje je γ koeficijent hrapavosti, te Manningov izraz

1/6R

Cn

= ,

U kojem je n koeficijent hrapavosti. Na temelju Manningovog izraza, Chezyjev izraz (97) poprima oblik,

2/3 1/21

v R in

= ⋅ (98)

4

Volumni protok QV u kanalu jednak je

2/3 1/2

V

FQ F v R i

n= ⋅ = (99)

Nejednoliko tečenje u otvorenim kanalima Ukoliko je v2 > v1, Bernoullijeva jednadžba za mehanički sustav - tok + stijenke koje ograničavaju tok, - u kojem pored konzervativne sile (sile teže) djeluju i nekonzervativne disipativne sile (sile trenja), može se napisati u obliku:

( ) ( ) ( )

2 21 2 122 1

1 2 12

1 2 12

0 2

z z hv vz z h

g z z egα

− >− = − + − > ⇒ − >

, (100)

gdje je h12 algebarski pozitivna veličina. Izraz (100) pokazuje da je povećanje1 kinetičke energije po jedinici težine fluida

( ) [ ]2 22 1

/2

v vJ N

gα −

između presjeka 1-1 i 2-2 jednako sumi smanjenja

potencijalne energije (u polju sile teže) po jedinici težine tekućine [z1 - z2 (J/N)] i gubitka energije po jedinici težine tekućine h12, uzrokovanog radom A12 = - h12 sile trenja nad tekućinom (pomaci tekućine suprotnog su smjera od smjera djelovanja sile trenja). Dakle, u otvorenom kanalu tok je ubrzan kada je smanjenje potencijalne energije između presjeka 1-1 i 2-2 veća od rada e12 sile trenja (između istih presjeka) na jedinicu mase tekućine. Ukoliko je, međutim, situacija takva da je,

( ) ( ) ( )

2 22 1 1 2 12

1 2 121 2 12

02

v v z z hz z h

g z z egα

− − <= − + − < ⇒ − <, (101)

gdje je h12 pozitivna veličina, a v2 < v1, tečenje u kanalu je usporeno, smanjenje potencijalne energije po jedinici težine fluida između presjeka 1-1 i 2-2 po

1 Pod povećanjem neke promjenljive veličine podrazumijeva se razlika veličine u konačnom (v2) i početnom (v1)

stanju, dok se pod smanjenjem podrazumijeva se razlika veličine u početnom (v1) i konačnom (v2) stanju.

5

iznosu je manje od rada disipativnih sila trenja na jedinicu težine tekućine između istih presjeka toka.

Hidrauli čki najpovoljniji presjek kanala Iz Chezyjevog izraza =v C Ri slijedi da će uz konstantne iznose svih preostalih parametara (nagib kanala, hrapavost stijenki, površina F živog, poprečnog, presjeka toka), srednja (po presjeku F) brzina toka, a time i volumni protok QV biti to veći što je veći hidraulički radijus R kanala. Drugim riječima, za nepromjenljivi nagib i kanala i zadanu, nepromjenjivu, površinu omočenog presjeka kanala F, volumni protok QV kanala biti će tim veći što je veći hidraulički radijus R presjeka toka. Budući da je hidraulički radijus R definiran kao

FR

O= ,

gdje je O omočeni obod (perimetar) toka, slijedi zaključak da će hidraulički radijus R (pri konstantnom omočenom presjeku toka F) biti maksimalan za minimalni O. Tako će kanal sa minimalnim iznosom omočenog oboda (perimetra) O za zadani iznos površine živog presjeka F, osiguravati maksimalnu efikasnost, tj. maksimalni volumni protok QV. Iz elementarne geometrije poznato je da za zadanu (konstantnu) površinu, opseg pravilnog poligona postaje sve manji povećava li se broj kutova. Intuitivno se zaključuje da će se beskonačnim povećavanjem broja vršnih kutova, niz poligona konstantne površine i sve manjeg opsega kao '' granični slučaj'' transformirati u krug. Prema tome, s obzirom da za dani iznos površine krug ima najmanji opseg, hidraulički najpovoljniji presjek otvorenog toka bio bi onaj sa oblikom polukruga, tj. hidrauličkim radijusom jednakim

2

rR =

22

2

r

r

r

R ==π

π

.

Međutim, u praksi, polukružni presjek kanala rijetko se primjenjuje zbog teškoća pri izvođenju, a samim time i zbog znatne cijene koštanja.

6

Poprečni presjeci u obliku polovine pravilnih poligona (pa ni onaj hidraulički najpovoljniji među njima, tj. onaj oblika polovine pravilnog šesterokuta ili onaj polovine kvadrata) za koje se lako može pokazati da je hidraulički radijus R jednak,

2

hR = ,

gdje je h maksimalna dubina punjenja kanala, ne koriste se previše.

Najčešće korišteni omočeni (živi) presjek u praksi je trapezoidni, budući da se najlakše može prilagoditi materijalu i konfiguraciji terena kojim kanal prolazi. Kut nagiba pokosa Θ odabire se najčešće u skladu s prirodnim nagibom i vrstom tla, tako da se uz zadanu površinu omočenog (živog) presjeka F

kanala i kuta nagiba pokosa Θ kanala (odnosno m = ctgΘ), problem određivanja maksimalnog iznosa hidrauličkog radijusa R svodi na određivanje širine b i dubine h promatranog omočenog oboda (odnosno radijusa r upisanog polukružnog presjeka; crtež 134.), tako da omočeni obod (perimetar) bude minimalan.

Crtež 134.

Naime, u skladu sa oznakama na crtežu 134., koji prikazuje živi (omočeni) trapezoidni presjek kanala, vrijedi,

1

22

hb b b hm

tg= + = +

Θ, (1)

gdje je m, m ctg= Θ , (2)

Crtež 133.

7

i

21sin

ha h m= = +

Θ, (3)

tako da je omočeni perimetar O kanala trapezoidnog presjeka jednak,

22 2 1O a b b h m= + = + + , (4) dok je površina F omočenog presjeka,

21

2

b bF h bh h m

+= ⋅ = + , (5)

Odavde je,

F

b hmh

= − ,

tako da omočeni perimetar O kanala trapeznog presjeka jednak

22 1

FO hm h m

h= − + + . (4')

Derivirajući posljednji izraz po h, te izjednačavajući dobiveni rezultat sa nulom, dolazi se do izraza za veličinu h (odnosno r), kojoj odgovara minimalni iznos O , tj. maksimalna vrijednost hidrauličkog radijusa R :

2

22 1 0

dO Fm m

dh h= − − + + = , (7)

odnosno,

22 1

Fh

m m=

+ − (8)

Zamijeni li se u izrazu (7) F s 2F bh h m= + , dobiva se,

( )22 1b h m m= + − . (9)

8

Izrazi (8) i (9) predstavljaju tražene izraze za izračunavanje iznosa veličina h (odnosno r u slučaju polukružnog kanala) i b za koje je, uz dane F i Θ (tj., m = ctgΘ), hidraulički radijus R kanala sa trapezoidnim presjekom maksimalan, a time maksimalan i volumni protok Qv.

Od kanala poprečnog presjeka ''V'' oblika, hidraulički je najpovoljniji, tj. najveći hidraulički radijus ima onaj prikazan na crtežu 135. Taj se oblik kanala rijetko koristi zbog zamuljivanja u donjem kutu profila zbog čega presjek kanala poprima trapezni oblik, smanjuje mu se proticajna površina (živi, omočeni presjek), a time i protok.

Spomenuto je da kut nagiba pokosa Θ, odnosno koeficijent m=ctg Θ, ovisi o vrsti zemljišta. Iznosi koeficijenta m mogu se naći u odgovarajućim tablicama, kao što je primjerice Tablica 14.

Tablica 14. Iznosi koeficijenata m ovisni o vrsti zemljišta

Vrsta tla Iznos koeficijenta m Za pjeskovita i rahla tla m = 2,0-2,5 Za guste pijeske i lagane gline m = 1,5-2,0 Za šljunak i pjeskovita šljunčana tla m = 1,5 Za teške gline m = 1,0-1,5 Za čvrste stijene m = 0,5-0,2 Za betonsku oblogu m = 1,0-0,5

Maksimalne dopuštene brzine Pri velikim brzinama tečenja, u otvorenim kanalima pojavljuje se opasnost odrona stijenki i dna kanala. Stoga je iznos brzine nužno ograničiti kako ovaj ne bi premašivao neki maksimalni iznos ovisan o vrsti tla ili o vrsti materijala stijenki i dna kanala. Iznosi maksimalne dopuštene brzine mogu se izračunati iz empirijskih izraza u kojima iznos maksimalne dopuštene brzine ovisi o srednjem promjeru d čestica tla, dubini h toka ili o hidrauličkom radijusu R i drugim parametrima. Za izračunavanje maksimalne dopuštene brzine najčešće se koriste slijedeća dva izraza,

Crtež 135.

9

d

RgdAvmd 7

log= , (1)

gdje je koeficijent A za dobro zbita tla jednak 2.3=A , a za rahla tla - najčešće se koriste 8.2=A ,

2.03.05 hdvmd = . (2) Već izračunati iznosi maksimalnih dopuštenih brzina mogu se naći u odgovarajućim tablicama, kao što su tablice 15. i 16. Suviše male brzine tečenja u kanalima također nisu poželjne. Naime, pri vrlo malim brzinama, čestice koje lebde u tekućini (blato, sitni pijesak,...), talože se na dnu kanala. Da bi se onemogućila pojava taloga na dnu kanala nužno je ograničiti i najmanji iznos srednje brzine toka. U svrhu određivanja minimalne dopuštene brzine tečenja tekućine u kanalu, nađen je, baš kao i za maksimalnu dopuštenu brzinu, niz empirijskih izraza ili pak se minimalne dopuštene brzine mogu naći u odgovarajućim tablicama.

Tablica 15. Maksimalne dopuštene brzine tečenja u kanalima

10

Tablica 16. Maksimalne dopuštene brzine tečenja u kanalima

Hidrauli čki proračun otvorenih kanala Hidraulički proračun otvorenih kanala uglavnom se svodi na tri osnovna tipa proračuna: 1. zadane su veličine: F, (b), (h), [m (m = ctg θ)], n, (γ), i; potrebno je odrediti volumni protok VQ F C R i= ⋅ ⋅ ⋅ ; 2. zadane su veličine: F, (b), (h), (m), n, (γ), QV; potrebno je odrediti

2

2 2VQ

iF C R

= ;

3. zadane su veličine: QV, i, n, (γ); potrebno je odrediti h i b.

Do traženih iznosa h, odnosno b u ovom slučaju, može se doći na dva načina. Prvi je potpuno analitički, tj. pretpostavi se neki iznos, npr. za b, te se, koristeći opće veličine, veličine F i R izraze preko b i h (npr. za kanal pravokutnog

poprečnog presjeka F=b·h, 2

bhR

h b=

+, za kanal trapeznog živog presjeka

2F bh h m= + , 2

22 1

bh h mR

b h m

+=+ +

), potom se uvrste u izraz (99).

2 13 2

V

FQ R i

n= ⋅ ⋅ , odakle se bez teškoća dobiva traženi iznos za h. Potpuno

analogno, pretpostavi li se neki iznos h, te provodeći postupno cijeli opisani postupak, iz izraza (101), koji postaje jednadžba sa jednom nepoznanicom b, određuje se iznos b.

11

Drugi način određivanja veličina b i h je grafički. Na temelju jednog odabranog iznosa za, npr. b i bar tri različita odabrana iznosa za h, prema izrazu

VQ F C R i= ⋅ ⋅ ⋅ izračunavaju se pripadni iznosi QV i potom se parovi vrijednosti (QV1, h1), (QV2, h2), (QV3, h3),… za konstantni b unose u odgovarajući koordinatni sustav, pri čemu se dobije krivulja h = f (QV) (crtež 136.). Crtež 136.

Zatim se na apscisu nanosi poznati iznos volumnog protoka QV0 i sa krivulje h = f (QV) očita se traženi iznos h0 .

Način određivanja veličine b potpuno je analogan, uz odabrani konstantni iznos veličine h. Za nekoliko odabranih iznosa za b i konstantni iznos od h, pomoću izraza

VQ F C R i= ⋅ ⋅ ⋅ izračunavaju se pripadni iznosi VQ i na temelju parova vrijednosti (QV1, h1), (QV2, h2), (QV3, h3),… crta se krivulja ovisnosti b = f(Q) (kontinuirana linija na crtežu lijevo).

Crtež 137. Traženi iznos za b0 očita se sa krivulje za poznati iznos QV0 nanesen na apscisu dijagrama. Važno je napomenuti da omjer veličina b i h ima velik utjecaj na volumni protok kanala. Ovo se lako može ilustrirati pođe li se od izraza (6), u kojem se veličina

23

1K FR

n= (K je modul toka) uvođenjem parametra

R F

OFδ = = , može

pisati u obliku

( )2 4 23 3 31 1

K F F Fn n

δ δ= =

12

koji jasno pokazuje utjecaj oblika živog presjeka na volumni protok. Posljednji rezultat također pokazuje da će volumni protok biti tim veći što je veći faktor δ, što može biti od osobite važnosti u slučaju terena sa malim padom (povećanje protoka postiže se povećanjem faktora δ). Međutim, povećanje δ često biva ograničeno nizom faktora, kao što je, npr., kvaliteta tla. Za slučaj trapeznog poprečnog presjeka kanala, npr. United States Reclamation Service preporuča slijedeći omjer dimenzija veličina b i h :

, 4b

h F mh

= = − .

Primjer Kanal trapeznog poprečnog presjeka, grubo betoniranih stijenki, ima slijedeće dimenzije: širina dna b= 3 m, dubina h = 1 m i kut nagiba pokosa Θ = 45º. Odredite nagib kanala tako da volumni protok bude Q = 2 m3s-1. Najprije ćemo odrediti hidrauličke elemente presjeka. Površina omočenog ili živog presjeka toka je,

2 2 2 23 1 1 1 4 = + Θ = + = ⋅ + ⋅ =F bh h ctg bh h m m m m m Omočeni opseg ili omočeni perimetar iznosi,

2 2 2

2 2

2 sin cos cos2 2 1

sin sin sin

hO b b h b h

ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ

+= + = + = + + ,

22 1 3 2 1 1 1 5,83 O b h m m m m= + + = + ⋅ + = .

Hidraulički radijus kanala je,

Crtež 138.

13

24

0,686 5,83

= = =F mR m

O m.

Prema Chezyjevom izrazu, nagib kanala je,

2

=⋅

vi

C R.

Budući da je srednja brzina strujanja vode u kanalu,

3 11

2

2 0,5

4

−−= = =Q m s

v msF m

,

a prema Tablici 6. Vrijednosti koeficijenata hrapavosti n i Maningovom izrazu, koeficijent trenja obzirom na prirodu stijenke kanala iznosi n=0,017, to je prema Manningovom izrazu Chezyjev koeficijent trenja jednak,

1 16 6 1 12

0,68655,2

0,017−= = =R

C m sn

,

a traženi nagib kanala po osi je,

( )( )

212

2 2

0,5 0,00012

55,2 0,686

−

−= = ≈

⋅ ⋅msv

iC R ms m

,

što znači da nagib kanala iznosi 12 m na 10 km dužine kanala. Primjer Za kanal V - oblika s pokosom od θ = 300 i nagibom od 1m na 100 m vrijednost Maningovog koeficijenta procijenjena je na n = 0.012 m-1/3s. Odredite:

a.) volumni protok pri dubini h = 0.5 m; b.) dubinu h1 kada volumni protok iznosi Qv = 2m3s-1.

a.) Budući da se radi o kanalu V- oblika veličina b jednaka je nuli, 0=b , tako da je površina F živog presjeka kanala jednaka,

14

4330.030)5.0( 022 === ctgmctghF θ . Kako je močeni perimetar kanala ( 0=b ) θctghO += 12 , to je hidraulički radijus kanala,

2165.03012

305.0

12 0

0

=+

⋅=+

⋅==ctg

ctgm

ctg

ctgh

O

FR

θθ ,

dok će volumni protok vQ biti,

132

1

3

2

3

1

22

1

3

2

3.1)01.0()2165.0(

012.0

4330.0 −

−=⋅⋅=⋅= smm

sm

miR

n

FQv .

b.) Posljednji izraz u a.) sada poprima oblik,

( ) 1.05198.2

4980.2

012.0)01.0(

12)01.0(

122

3

8

12

2

3

5

3

8

123

2

2

121 ⋅⋅=⋅

+=⋅

+⋅= h

ctg

ctg

n

h

ctg

ctgh

n

ctgh

θθ

θθθ ,

odakle za traženu dubinu 1h slijedi,

2498.0

5198.2012.023

8

1⋅⋅=h ,

mh 587.02498.0

5198.2012.02 8

3

1 =

⋅⋅= .

Primjer za samostalni rad Zemljani drenažni jarak može se aproksimirati trapeznim kanalom čija je baza b = 0.6 m, a pokos u omjeru vertikalno : vodoravno = 1 : 2. Nagib jarka je 1 : 400, dok se za Manningov koeficijent može se uzeti da je jednak n = 0.025 m-1/3s. Odredite volumni protok Qv za dubinu vode u jarku jednaku h = 0.4 m. [R: Qv = 4.26 m3s-1]

Primjer

15

Drenažni jarak trapeznog omočenog živog presjeka (crtež 139.) dugačak je 600 m, sa padom od 1 m. Odredite volumni protok u jarku pri jednolikom tečenju i dubini vode od 1 m, primjenjujući izraze Bazina i Manninga za određivanje Chezyjevog koeficijenta.

Prema crtežu, omočeni obod (perimetar) drenažnog jarka je

2 10 3 9,32 O m m m= + = , a živi presjek F = 6 m2. Hidraulički radijus iznosi,

26

0,644 9,32

F mR m

O m= = = .

Hidraulički nagib jarka je,

1

0,0016600

mi

m= = ,

Volumni protok )(BAZVQ pri jednolikom tečenju vode u jarku, odredi li se

Chezyjevog koeficijent prema Bazinovom izrazu, iznosi ( )1,3=Bγ ,

( ) BAZ BAZV BAZQ Fv FC Ri= = ,

( )87

6 0,644 0,00161,3

10,644

V BAZQ = ⋅ ⋅ ⋅

+,

( )3 16 33,21 0,0328 6,54

V BAZQ m s−= ⋅ ⋅ = ,

Upotrijebi li se Manningov izraz (n = 0,025) za izračunavanje Chezyjevog koeficijenta, volumni protok iznosi:

( )2 21 1 3 13 32 2

60,644 0,0016 7,3

0,025−= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Mann

FQ R i m s

n

Crtež 139.

16

Primjer Betonski kanal za odvod otpadnih voda iz tvornice ima omočeni (živi) presjek prikazan crtežom 140., pri čemu je D = 2 m, a h = 0,7 m. Pad kanala je 0,1 m na 50 m njegove dužine. Odredite volumni protok Qv vode u kanalu, primjenjujući za određivanje Chezyjevog koeficijenta Bazinov i Manningov izraz. Odredite nagib kanala za isti volumni protok, ali za pravokutni omočeni (živi) presjek (crtež 141.), koristeći Bazinov izraz.

Hidraulički radijusi kanala su,

2

11

1

8 8

2 2 2 0,70 2 2

+ += = = =

+ + ⋅

DDh m mF

R mDO h m m

π π

π πm

mm

mm654.0

7.0222

7.0248

2

22

=⋅+⋅

⋅+⋅

π

π

,

22

2

2 10,5

2 2 2 1

⋅= = = =+ + ⋅

F bh m mR m

O b h m m.

Nagib kanala s omočenim presjekom kao na crtežu 140. iznosi,

002.050

1.0211 ==−=

m

m

L

zzi

.

dok je volumni protok )(BAZVQ u ovom kanalu,

izračuna li se Chezyjev koeficijent C prema Bazinovom izrazu 87

1C

R

γ=+

(γ =

1,16), jednak,

( ) 1 1 1 1BAZ BAZV BAZQ Fv FC Ri= = ,

DQ BAZV =)( 1 1

1

87

8 1 B

DQ d h R i

R

πγ

= + ⋅ +

,

Crtež 140.

Crtež 141.

17

( )2 87

2 0,7 0,654 0,0020,168 10,654

V BAZQ

π = ⋅ + ⋅ ⋅ +

( )3 12,971 72,63 0,0362 7,80

V BAZQ m s−= ⋅ ⋅ = .

Kada se Chezyjev koeficijent izračuna prema Manningovom izrazu (n = 0,014), tada je volumni protok za kanal sa istim živim presjekom jednak,

( )2 1 3 13 2

1212,2 0,7534 0,04472 7,15 −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

V Mann

FQ R i m s

n.

Nagib kanala sa živim presjekom kao na crtežu 141., ali s protokom QV(BAZ), iznosi,

( )2

1 1 1 1 /BAZ BAZV BAZQ Fv FC Ri= =

( )

( )

2

2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

V BAZ

V BAZ BAZ

BAZ

QQ F C Ri i

F C R= ⇒ =

2

22

2

7,80,00274

872,971 0,5

0,161

0,5

= = +

i .

Primjer za samostalni rad: Poprečni presjek kanala je trapeznog oblika. Širina dna je 2 m, dubina kanala je 1 m, a nagib pokosa iznosi 60º. Koliki mora biti nagib kanala da bi protok kroz njega bio 1,2·103 ls-1, ukoliko je Darcy-Weisbachov koeficijent hidrauličkog otpora jednak λ = 0,03? (R: i =0,00024 = 0,24 %)

18

Neki riješeni primjeri 1. Koliki se protok može očekivati u pravokutnom kanalu dobro zaglađene cementne površine, ako je širina kanala 1,22 m, a nagib mu je 4 m na 10 km i duljina toka 610 mm? Upotrijebite Manningov izraz za koeficijent C.

n

i RAv A Q

/2/3 21⋅⋅=⋅= m ,m ,m ,

m ,m ,

O

FR 3050

6102221

610221 =⋅+

⋅==

( ) ( ) 2132

0120

610221 // 0,0004 0,305 ,

m ,m , Q ⋅⋅⋅=

Q = 0,56 m 13 −s 2. Kružna vrata AB na crtežu, dijametra 2 m, imaju mogućnost rotacije oko osi C smještene 100 mm ispod težišta. Pri kojoj dubini h će doći do otvaranja vrata negativnom vrtnjom oko osi koja prolazi točkom C okomito na ravninu crteža? Vrata će se početi otvarati tek kad centar tlaka bude na nivou osovine odnosno tek nešto iznad…

10,LF

ILL

c

cco =

⋅=−

= ( )( ) m 1.5h 1.0421

6422

4

=⇒=+ ππ

h (iznad A)

19

3. Odredite horizontalnu i vertikalnu komponentu sile kojom voda djeluje na 1 m dužni oplate A-E prema prikazane na crtežu. 4. Odredite pad tlaka u novoj cijevi od lijevanog željeza (k = 0,244 mm) dužine 305 m i unutarnjeg dijametra 305 mm kada njome teče: a) voda (1,13·10-6 m2s-1) brzinom 1525 mms1− ; b) ulje za loženje (4,4·10-2 cm2s-1) istom brzinom.

a) 4108305

2440 −⋅===mm

mm ,

d

kε

41161510131

305052516

=⋅⋅=⋅=

−,

,,dvRe ν

(turbulentno strujanje)

Iz Moodyjevog dijagrama za ε= 8·10-4 i Re = 411615, očitano: λ ≈ 0,02.

Pad tlaka: ( )

m ,g

,

,,

g

v

d

L ha 372

2

5251

3050

305020

2

22

=⋅⋅=⋅= λ

N

J

20

b) 4108305

2440 −⋅===mm

mm ,

d

kε

1057101044

305052516

=⋅⋅=

−,

,,Re (turbulentno strujanje)

Iz Moodyjevog dijagrama, za ε= 8·10-4 i Re = 411615, čitamo: λ ≈ 0,025.

Pad tlaka: ( )

m ,g

,

,,

g

v

d

L hb 962

2

5251

3050

3050250

2

22

=⋅⋅=⋅= λ

N

J .

4.) Odredite uniformni protok u kanalu trapezoidnog presjeka s nagibom 0,0009, širine dna 6096 mm, s nagibom pokosa 1:1, pri dubini toka od 1219 mm i za n = 0,025.

Površina poprečnog presjeka kanala: A = (a + h) · h , A = (6,906 + 1,219) · 1,219 , A = 8,917 m2. O = a + 2· h 2 = 6,096 + 2·1,219· 2 = 9,544 m .

m ,,

,

O

A R 9340

5449

9178 === .

21

( ) ( ) 21322132 0009093400250

9178 //// ,,,

,iR

n

A Q ⋅=⋅= ,

Q = 10,22 m3s-1. 5.) Ulje za loženje, gustoće ρ = 0,861·103 kgm-3 i kinematičke viskoznosti ν= 5,16·10-6 m2s-1, crpi se u rezervoar C (vidi crtež) kroz čeličnu cijev (ε = 0,0045 ) dužine 1829 m i unutarnjeg promjera d = 406 mm. Pri protoku od Q = 0,198 m3s-1, tlak u A je 13,79 kPa. a.) Kolika je snaga pumpe? b.) Koliki tlak treba održavati u točki B? B A

a) ( )1

2 5314060

41980 −=⋅

⋅== ms ,,

,

S

Q v

π.

12100010165

4060531 61

=⋅⋅=⋅=−

,

m ,ms ,dv Re ν

.

Iz Moodyjevog dijagrama čitamo: λ = 0,030 (za ε = 0,0045). Bernoullijeva jednadžba za dio od A do C:

( ) ( ) ( ) ( )3824008192

531

4060

1829

8192

53103000

8192

531

819861

107913 2223

,,

,

,,

,,h

,

,

,

,p ++=

⋅−⋅

⋅⋅−+

+

⋅+

⋅⋅

odakle je,

22

hp = 38,8 m .

Snaga pumpe: P = ρgQ ph =38,8 · 0,861 · 103 · 9,81 · 0,198 = 65 kW.

b) Bernoullijeva jednadžba za AB:

++=+

++⋅

02

83802819861

13790 22

g

v

g

p,

g

v

,B

ρ,

tj.,

kPa ,,,

gpB 5341838819861

13790 =

+⋅

= ρ

23

Osnovno o preljevima

Uvod Preljev je naziv za umjetnu nisku pregradu (branu) kojom je pregrađen vodotok sa slobodnom površinom i preko koje se (pregrade) preljeva voda. Oblik i konstrukcija pregrade, kao i njezin položaj spram vodotoka, ovisi o terenskim uvjetima kao i svrsi preljeva. Neki preljevi imaju ispusna vrata kroz koja se voda propušta na nižu razinu.

Preljev, čija je uloga od velike važnosti, može biti ili samostalni hidrotehnički element ili pak samo jedan u nizu hidrotehničkih objekata. Tako se, na primjer, preljevi grade kao sastavni dio vodohranilišta, ili da bi se rijeke učinile plovnima. U tim slučajevima preljevi su znatno dulji od širine rijeke, tj. grade se ili u obliku slova U (vidi fotografiju gore) ili su umjesto okomito izgrađeni koso s obzirom na obale rijeke. Budući da prilikom preijlaza vode preko preljeva dolazi do povećanja koncentracije kisika u vodi, to preljevi mogu imati štetni utjecaj na ekologiju lokalnog riječnog sustava.

Osim u svrhu regulacije protoka i održavanja vodene razine na određenoj visini (koti) ili za formiranje jezerca2, preljevi se koriste za mjerenje protoka u hidrogeološkim i hidrometrijskim laboratorijskim i terenskim istraživanjima.

2 Tradicionalno, preljevi se koriste za formiranje malih jezerca za potrebe rada mlinova ili malih električnih centrala.

24

Terminologija i klasifikacija

- Dio vodotoka ispred preljeva naziva se gornja voda, a iza preljeva je donja voda.

- Odsjek na kojem voda teče preko brane naziva se kruna preljeva, a stijena preljeva – njegovim pragom.

- Duljina korone obično se označava slovom b i naziva se širinom preljeva.

- Svakom protoku Qodgovara neka visina H jednaka razlici kote gornje vode i kote krune preljeva (crtež 2). Pritom se kota gornje vode uzima tamo gdje se ne primjećuje pad slobodne površine toka, tj. standardno na udaljenosti Hl 3≥ stijene preljeva (crtež 2).

Crtež 1

25

Još neke standardne oznake za dimenzije preljeva su (crtež 2), - 0v - iznos brzine dolazne vode,

- z - udaljenost između razina gornje i donje vode,

- 1p - visina praga (brane) preljeva sa strane gornje vode,

- p - visina praga (brane) preljeva sa strane donje vode,

- B - srednja širina toka ispred preljeva (crtež 1),

- δ - širina praga preljeva,

- h - dubina donje vode.

Temeljna i najvažnija podjela preljeva je prema obliku pregrade. U skladu s takvom podjelom preljevi se dijele na:

1.) Preljeve s oštrim bridom ili tako zvane preljeve s tankom pregradom. Kod preljeva ove vrste debljina brida δ na kruni ne utječe na oblik mlaza koji se preljeva preko njega ukoliko je δ < H 67.0 (crteži 4 i 5).

Crtež 2

26

Crtež 3. Lijevo, bočno nekontrahirani preljev tankog brida pravokutnog je presjeka koji obuhvaća cijelu širinu kanala. Duljina korone b jednaka je srednjoj širini toka B ispred preljeva. Često je potreban odušak O za održavanje atmosferskog tlaka. Desno, pravokutni presjek bočno kontrahiranog preljeva tankog brida obuhvaća samo dio ukupne širine Bkanala.

2.) Preljevi praktičnog profila s a.) krivolinijskim (crtež 4) i b.) pravocrtnim obrisom (crtež 5). Kod preljeva s pravocrtnim obrisom širina praga δ se mijenja u intervalu HH )32( 67.0 ÷<< δ

Crtež 4

27

Crtež 5

3.) Preljevi sa širokim pragom (crtež 6) čija je debljina takva da tok iznad samog praga ima karakter paralelnog tečenja. Pokusi pokazuju da takvo tečenje postoji ukoliko je širina δ praga dva do tri puta veća od visine H :

H)32( ÷>δ .

Svaka od tri gornje grupe preljeva može se dalje razdijeliti u podgrupe ovisno o nekim drugim karakteristikama:

A.) S obzirom na vezu prelijevajuće struje i donje vode preljev može biti: a.) nepotopljen i b.) potopljen. Kod nepotopljenih preljeva (crteži 1, 2, 3, 4, 5 i 6) razina donje vode ne utječe na protok preljeva, dok u slučaju potopljenih preljeva (crtež 7) visoka razina donje vode smanjuje protoku na preljevu.

Crtež 6

28

B.) S obzirom na uvjete tečenja prema preljevu, preljevi se dijele na: 1.) preljeve bez bočne kontrakcije (crtež 3, lijevo) kod kojih je srednja širina B toka ispred preljeva jednaka širini b preljeva. 2.) preljeve s bočnom kontrakcijom (crtež 3, desno) kod kojih je srednja širina B toka ispred preljeva veća od širine b preljeva. C.) S

obzirom na položaj praga preljeva prema pravcu toka: a - preljevi okomiti na pravac tečenja (crtež 8 a), b - kosi (crtež 8 b), c - bočni (crtež 8 c), d - izlomljeni (crtež 8 d) i e – zakrivljeni (crtež 8 e). D.) S obzirom na oblik izreza (otvora) u stijeni, pragu, preljeva, govori se o pravokutnom (crtež 9 a), trokutastom (crtež 9 b), trapeznom (crtež 9 c) i paraboličkom (crtež 9 d) preljevu.

Crtež 7

Crtež 8

29

Crtež 9

Budući da su u praksi od najvećeg značaja okomiti preljevi s pravokutnim izrezom u stijeni preljeva, to ćemo njima u daljnjim izlaganjima posvetiti najveću pažnju.

Protok u slučaju pravokutnog, bočno nekontrahiranog

preljeva, oštrog brida Najznačajniji problem koji se javlja u svezi s preljevima je nalaženje veze između protoka preko preljeva i njegovih karakteristika Glavna zadaća hidrauličkih proračuna je izračunavanje protoka preljeva. Promotrimo slučaj pravokutnog, bočno nekontrahiranog preljeva, oštrog ruba. Pretpostavljamo da nema kontrakcije

30

(NEDOVRŠENO!) Primjer

31

a.) Laboratorijska konstrukcija trokutastog preljeva od šperploče. b.) Prag mora biti oštrog brida tako da voda teče slobodno (preljev ostaje ozračen) i kod malih iznosa protoka.

32

Literatura korištena pri koncipiranju predavanja

i koja je bila izvor riješenih primjera

Y.A. Çengel, J.M. Cimbala: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, International edition, 2006. J.F. Douglas, J.M. Gasiorek, J.A. Swaffield, L.B. Jack: Fluid Mechanics, Pearson, Prentice Hall, 2005. B.R. Munson, D.F. Young, T.H. Okiishi, W.W. Huebsch, Fundamentals of Fluid Mechanics, SI version, John Wiley&Sons,Inc., 2010.

33

R.L. Mott: Applied Fluid Mechanics, Pearson, Prentice Hall, 2006. B. Massey (revised by John Ward-Smith), Mechanics of fluids, Taylor&Francis Group, London and NewYork, 2006. R.W. Fox, A.T. McDonald, P.J. Pritchard: Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley &Sons, Inc., 2004. F. M. White: Fluid Mechanics, McGraw-Hill International editions,1989. J. A. Sullivan: Fundamentals of Fluid Mechanics, Reston, Virginia, 1978. J.H. Ginsberg, J. Genin: Statics, John Wiley&Sons, New York, 1977. W.F. Hughes, J.A. Brighton: Fluid Dynamics, Schaum's Ouline series, McGraw Hill Book Company, 1967. R.V. Giles, J.B. Evett, C. Liu: Fluid Mechanics and Hydraulics, Schaum’s outlines. McGraw-Hill. O. Reynolds: On the experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels. In: Phil. Trans. Roy. Soc. 1883 (174), p. 935-982. J. Fenton: A First Course in Hydraulics, 2007 http://www.google.hr/search?hl=hr&q=J.+Fenton%3A+A+First+Course+in+Hydraulics&btnG=Tra%C5%BEi&meta= I. I. Agroskin i drugi: Hidraulika , Tehnička knjiga, Zagreb. E.Z. Rabinovič: Gidravlika, Gosudarstvenoje izdateljstvo tehniko-teoretičeskoi literaturi, Moskva, 1956. B.V. Uhin, A.A. Gusev: Gidravlika, Moskva, 2008. S.D. Stančev: Hidravlika, Tehnika, Sofija, 1974., V.A. Boljšakov drugi: Spravočnik po gidravlike, Višča škola, Kiev, 1984. N.A. Pališkin: Gidravlika i seljsko-hozyaistvenoje vodosnabzhenije, Agropromizdat, Moskva, 1990. V. M. Saljnikov: Statika i kinematika fluida, Građevinska knjiga, Beograd, 1989. B.B. Njekrasov: Sbornik zadač po gidravlike, Oborongiz, 1947. S. Čantrak i drugi: Rešeni zadaci iz mehanike fluida sa izvodima iz teorije, Građevinska knjiga, Beograd, 1985.

34

35

36