ms-2323 download borito 9mm digi layout 1 ... - mozaik.info.hu · tisztelt olvasó! a...

9 789636 976132

MS-2323_download_borito_9mm_DIGI_Layout_1 2019.06.24. 10:00 Page 1

Árki TamásKonfárné Nagy KláraKovács IstvánTrembeczki CsabaUrbán János

Mozaik Kiadó – Szeged, 2019

Tizenegyedik kiadás

9-10FELADATGYÛJTEMÉNYGyakorlóés érettségirefelkészítõ feladatokkal

s o k s z í n û

Letölthetõ megoldásokkal

MS-2323_matematika_9_10_egybe_11_kiadas_2019.qxd 2019. 06. 18. 15:32 Page 3

Tisztelt Olvasó!

A feladatgyûjtemény, amelyet a kezében tart, egyedülálló a középiskolai matematika feladatgyûjte-mények között. A szokásos tematikus felépítésen túl ugyanis ebben a kötetben évfolyamonként,kisebb fejezetekre bontva találjuk a feladatokat. A könyv felépítése pontosan követi a Sokszínû matematika tankönyvcsalád köteteinek szerkezetét, ígyakik ebbõl a tankönyvbõl tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gyakorlás,sõt az érettségi felkészülés során is. Ugyanakkor – mivel a feladatgyûjtemény felépítése természetesen megfelel a tantárgy belsõ logikájánakés az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek – minden nehézség nélkül használhatjákazok is, akik más tankönyvekbõl tanulják, illetve tanítják a matematikát.A feladatok nagy száma és változatossága miatt a tanulók bõségesen találnak a maguk számára kitûzöttszintnek megfelelõ gyakorlási lehetõséget. Így a tankönyveket és a feladatgyûjteményt együtt használvakellõ jártasságot szerezhetnek a feladatmegoldásban. Az egyes fejezetek végén található Vegyes feladatok áttekintést adnak az adott fejezet anyagából, ezértjól segíthetik az átfogóbb számonkérés elõtti felkészülést.

A feladatok nehézségének jelöléseMinden fejezetben három különbözõ szintre bontva találjuk a feladatokat:

w x1198 Gyakorló feladatok: olyan feladatok, amelyek – akár a tanórákon, akár házi feladatként –elõsegítik a megtanult ismeretek elmélyítését. (narancssárga színû feladatsorszám)

w x1430 Középszintû feladatok: az adott témakörben más témákhoz is kapcsolódó problémák,melyek megoldása elõsegíti a tantárgy komplex ismeretanyagának ismétlését, a matematikaikompetenciák elsajátítása mellett azok alkalmazását. (kék színû feladatsorszám)

w x1758 Emelt szintû feladatok: az emelt szintû érettségire való felkészülést segítõ problémák,melyek nemcsak megoldásuk nehézségében különböznek az elõzõektõl, hanem felvillantjáka matematika szépségét is. (bordó színû feladatsorszám)

A feladatok sorszámozásaA feladatgyûjtemények feladatainak sorszámozása a tankönyvcsalád egyes köteteire utal.A 9. évfolyam feladatai az 1001-es, a 10. évfolyam feladatai a 2001-es, a 11. évfolyamé a 3001-es,a 12. évfolyamé pedig a 4001-es sorszámtól kezdõdnek. A 12.-es kötetben a négy év anyagátáttekintõ rendszerezõ összefoglalás feladatai az 5001-es sorszámtól indulnak, ezáltal segíti a feladatokközötti válogatást az érettségire történõ felkészüléskor.

MegoldásokA feladatok megoldásai letölthetõk a www.mozaik.info.hu/matematika oldalról. (Részletes információa könyv 191. oldalán olvasható.)A gyakorló feladatok esetén csak a végeredményt közöljük, más esetekben pedig annyira részletezzüka megoldásokat, amennyire azt pedagógiai szempontból szükségesnek tartottuk.

A kitûzött feladatok megoldásához jó munkát és jó tanulást kívánunk!

A szerzõk


TARTALOMJEGYZÉK

6

TARTALOMJEGYZÉKBevezetõ .................................................................................................................................... 5A feladatgyûjteményben használt matematikai jelölések ......................................... 10

A 9. évfolyam feladatai

9.1. Kombinatorika, halmazok (1001-1106)Számoljuk össze! ................................................................................................................... 12Halmazok ................................................................................................................................... 14Halmazmûveletek ................................................................................................................... 17Halmazok elemszáma, logikai szita ................................................................................. 19Számegyenesek, intervallumok ......................................................................................... 22Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 24

9.2. Algebra és számelmélet (1107-1193)Betûk használata a matematikában .................................................................................. 26Hatványozás, a számok normálalakja ............................................................................. 27Egész kifejezések, nevezetes szorzatok, a szorzattá alakítás módszerei ........... 29Mûveletek algebrai törtekkel ............................................................................................... 31Oszthatóság, számrendszerek ........................................................................................... 33Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 34

9.3. Függvények (1194-1282)A derékszögû koordináta-rendszer, ponthalmazok ..................................................... 36Lineáris függvények ............................................................................................................... 36Az abszolútérték-függvény .................................................................................................. 37A másodfokú függvény ........................................................................................................ 39A négyzetgyökfüggvény ....................................................................................................... 41Lineáris törtfüggvények ........................................................................................................ 42Az egészrész-, a törtrész- és az elõjelfüggvény .......................................................... 43Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 44

9.4. Háromszögek, négyszögek, sokszögek (1283-1474)Néhány alapvetõ geometriai fogalom (pont, egyenes, sík, távolság, szög) ...... 48Háromszögek oldalai, szögei ............................................................................................. 49Pitagorasz-tétel ........................................................................................................................ 51Négyszögek .............................................................................................................................. 52

MS-2323_matematika_9_10_egybe_3_kiadas_2011_marcius.qxd 2011.03.23. 11:29 Page 6

7

TARTALOMJEGYZÉK

Sokszögek ................................................................................................................................. 54Nevezetes ponthalmazok ..................................................................................................... 55Háromszög beírt és köré írt köre ...................................................................................... 56Thalész tétele ........................................................................................................................... 57Érintõnégyszög, érintõsokszög .......................................................................................... 58Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 59

9.5. Egyenletek, egyenlõtlenségek,egyenletrendszerek (1475-1570)Az egyenlet, azonosság fogalma ...................................................................................... 62Az egyenlet megoldásának grafikus módszere ........................................................... 62Az egyenlet értelmezési tartományának és értékkészletének vizsgálata ........... 63Egyenlet megoldása szorzattá alakítással ..................................................................... 63Egyenletek megoldása lebontogatással, mérlegelvvel .............................................. 64Egyenlõtlenségek .................................................................................................................... 65Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlõtlenségek ..................................... 66Paraméteres egyenletek ....................................................................................................... 67Egyenletekkel megoldható feladatok ............................................................................... 68Egyenletrendszerek ................................................................................................................ 71Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 72

9.6. Egybevágósági transzformációk (1571-1759)Tengelyes tükrözés ................................................................................................................. 74Középpontos tükrözés .......................................................................................................... 77Háromszögek, négyszögek néhány jellegzetes vonala (súlyvonal,

magasságvonal, középvonal) .................................................................................... 80Forgatás ..................................................................................................................................... 82Eltolás ......................................................................................................................................... 86Geometriai transzformációk ................................................................................................ 88Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 90

9.7. Statisztika (1760-1807)Az adatok ábrázolása ............................................................................................................ 93Az adatok jellemzése ............................................................................................................. 96Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 99

A feladatok megoldásai letölthetõk a www.mozaik.info.hu/matematika oldalról.


TARTALOMJEGYZÉK

8

A 10. évfolyam feladatai

10.1. Gondolkodási módszerek (2001-2091)Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel ......................................... 102Skatulyaelv ................................................................................................................................ 104Sorba rendezés I. (különbözõ elemek) ........................................................................... 105Sorba rendezés II. (több típusba tartozó azonos elemek) ....................................... 105Kiválasztás és sorba rendezés I. (különbözõ elemek) .............................................. 108Kiválasztás és sorba rendezés II. (lehetnek azonos elemek is) ............................. 108Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 110

10.2. A gyökvonás (2092-2148)Racionális számok, irracionális számok ........................................................................ 112A négyzetgyökvonás azonosságai, alkalmazásaik ..................................................... 113Számok n-edik gyöke, a gyökvonás azonosságai ..................................................... 117Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 119

10.3. A másodfokú egyenlet (2149-2248)A másodfokú egyenlet és függvény ................................................................................ 121A másodfokú egyenlet megoldóképlete ......................................................................... 122A gyöktényezõs alak. Gyökök és együtthatók közötti összefüggés ..................... 124Másodfokúra visszavezethetõ magasabb fokszámú egyenletek,

másodfokú egyenletrendszerek ................................................................................ 125Másodfokú egyenlõtlenségek ............................................................................................ 126Paraméteres másodfokú egyenletek ............................................................................... 127Négyzetgyökös egyenletek és egyenlõtlenségek ........................................................ 128A számtani és mértani közép, szélsõérték feladatok ................................................ 129Másodfokú egyenletre vezetõ problémák ...................................................................... 130Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 131

10.4. Geometria (2249-2632)Körrel kapcsolatos ismeretek ............................................................................................ 133Párhuzamos szelõk és szelõszakaszok tétele, szögfelezõtétel .............................. 136Hasonlósági transzformációk, alakzatok hasonlósága ............................................. 138Arányossági tételek a derékszögû háromszögben és a körben ............................ 142A hasonlóság néhány alkalmazása a terület- és térfogatszámításban ............... 144Vegyes feladatok I. ................................................................................................................. 146


9

TARTALOMJEGYZÉK

Távolságok meghatározása hasonlóság segítségével, hegyesszögek szögfüggvényei ................................................................................. 148

Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között, nevezetes szögek szögfüggvényei .......................................................................... 150

Háromszögek különbözõ adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével .................................................................................... 152

Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével ............................... 154Vegyes feladatok II. ................................................................................................................ 156Vektorok (emlékeztetõ), vektorok felbontása

különbözõ irányú összetevõkre ................................................................................ 158Vektorok alkalmazása a síkban és a térben .................................................................. 161Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái,

mûveletek koordinátákkal adott vektorokkal ........................................................ 163Vegyes feladatok III. ............................................................................................................... 164

10.5. Szögfüggvények (2633-2730)A szinusz- és koszinuszfüggvény definíciója, egyszerû tulajdonságai ............... 167A szinuszfüggvény grafikonja ............................................................................................ 167A koszinuszfüggvény grafikonja, egyenletek, egyenlõtlenségek ........................... 169A tangens- és kotangensfüggvény ................................................................................... 172Összetett feladatok és alkalmazások ............................................................................... 173Geometriai alkalmazások ..................................................................................................... 174Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 175

10.6. Valószínûség-számítás (2731-2814)Események ............................................................................................................................... 178Mûveletek eseményekkel ..................................................................................................... 179Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínûség ......................................... 182A valószínûség klasszikus modellje ................................................................................. 182Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 188

A feladatok megoldásai letölthetõk a www.mozaik.info.hu/matematika oldalról.


Jelölés Magyarázat

N a természetes számok halmazaZ az egész számok halmazaZ+; Z – a pozitív egész számok halmaza; a negatív egész számok halmazaQ; Q* a racionális számok halmaza; az irracionális számok halmazaQ+; Q – a pozitív racionális számok halmaza; a negatív racionális számok halmazaR a valós számok halmazaR+; R– a pozitív valós számok halmaza; a negatív valós számok halmazaa ÎA; b ÏA a eleme az A halmaznak; b nem eleme az A halmaznak

A Í B A halmaz részhalmaza B halmaznak

C Ì D C halmaz valódi részhalmaza D halmaznak

E Ë F E halmaz nem részhalmaza F halmaznak

A È B; C Ç D; E \F A és B halmaz uniója; C és D halmaz metszete; E és F halmaz különbsége

Æ, {} üres halmaz

A az A halmaz komplementere

½A½ az A halmaz elemszáma

AÞ B; CÛ D ha A, akkor B; C akkor és csak akkor, ha D

[a; b] a, b zárt intervallum[a; b[ a, b balról zárt, jobbról nyitott intervallum

]a; b] a, b balról nyitott, jobbról zárt intervallum

]a; b[ a, b nyitott intervallumn! n faktoriális: n! = n × (n – 1) × (n – 2) ×… ×2 ×1

f : x® az f függvény hozzárendelési szabályaf (x0) az f függvény helyettesítési értéke az x0 helyen

½x½ az x szám abszolút értéke

[x] az x szám egészrésze

{x} az x szám törtrésze

x az x szám négyzetgyöke

xn az x szám n-edik gyöke

a½b az a szám osztója a b számnak

(a, b) az a és b szám legnagyobb közös osztója

[a, b] az a és b szám legkisebb közös többszöröse

AB az A pontból B pontba mutató vektor

a, 0 a vektor, nullvektor

¬ szög

A feladatgyûjteményben használt matematikai jelölések


9. ÉVFOLYAM

36

9.3. FÜGGVÉNYEK

A derékszögû koordináta-rendszer, ponthalmazok

w x1194 Adott a valós számok R halmazán értelmezett következõ függvény:f (x) = x2 – 5x + 6.

Adjuk meg a függvény grafikonjának a következõ x értékekhez tartozó pontjait:x = –1, 0, 1, 2, 3, 4.

w x1195 Adott a következõ két ponthalmaz: A = {(x; y)½x, y ÎR és y ³ 1}, B = {(x; y)½x, y ÎR és x ³ 2}.Ábrázoljuk a következõ ponthalmazokat: a) A Ç B; b) A È B; c) A \ B.

w x1196 Adott a valós számok halmazán értelmezett f (x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 függvény. Adjuk mega függvény grafikonjának a következõ x értékekhez tartozó pontjait:

x = –1, 0, 1, 2, 3, 4.

w x1197 Ábrázoljuk a síkon azokat a ponthalmazokat, amelyekhez tartozó pontok koordinátái kielégítika megadott feltételt:a) min(x; y) = 1; b) max(x; y) = 1; c) max(|x|; |y|) = 1.

Lineáris függvények

w x1198 Ábrázoljuk a következõ valós számokon értelmezett függvényeket a derékszögû koordináta-rendszerben:a) x ® 2x – 1; b) x® –2x + 3; c) x ® 3x – 6;

d) x ® 4x – 2; e) x ® 7 – 5x; f ) x ®

g) x® h) x® i) x ®

j) x ® k) x ® l) x ®

m) x ® 2 × (x + 2) – 3 × (x + 1).w x1199 Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzá-

rendelési szabályát.a) b) c)

x

y

1

1

= ( )y c x

5

–1

–3

x

y

1

12

= ( )y b x

5

2–1

–5

x

y

1

1

= ( )y a x

5

4–1

–4

– ( ) ;1

36 2⋅ x – +1

24 1⋅ ( ) ;x – +– ;2

54⋅ x +

– ;3

26⋅ x +2

5⋅ x;1

31⋅ x – ;

1

22⋅ x + ;

matematika_9_fgy_fa_3_kiadas_2011_marcius.qxd 2011.03.22. 16:14 Page 36

FÜGGVÉNYEK

37

d) e) f )

g) h) i)

w x1200 Döntsük el, hogy az adott pontok közül melyik illeszkedik a megadott egyenesekre:P(0; –1), Q(1; 1), R(2; 5).

Az adott egyenesek a következõ függvények képei:a) f (x) = 3x – 1; b) g(x) = 2x – 1; c) h(x) = 2x + 1.

w x1201 Határozzuk meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelynek a grafikonjaáthalad az adott P(3; 3) és Q(2; 0) pontokon. Adjuk meg a függvény meredekségét és azokata pontokat, ahol a grafikon (egyenes) metszi az x és y tengelyeket.

w x1202 Az f (x) = ax + b, x ÎR függvényrõl tudjuk, hogy a és b valós számok, valamint f (–1) = 2,f (2) = 3. Adjuk meg képlettel az f függvényt.

w x1203 Az A és B város távolsága 400 km. A-ból egy teherautó indul B-be, és 6 óra alatt ér oda. Ugyanakkorindul egy személyautó B-bõl A-ba ugyanazon az útvonalon, és 4 óra alatt ér A-ba. Az indulás utánhány óra múlva találkozik a két autó? Oldjuk meg a feladatot függvények segítségével.

w x1204 Két város, A és B közötti távolság 300 km. A-ból egy lassú jármû indul B-be, megállás nélkül 6 óraalatt ér oda. Ugyanakkor indul B-bõl egy gyorsabb teherautó A-ba, az is megállás nélkül megy, és4 óra alatt ér A-ba. Hol találkozott a két jármû útközben, és indulásuk után hány órával?

Az abszolútérték-függvény

w x1205 Ábrázoljuk a valós számok halmazán értelmezett következõ függvényeket a derékszögû koordináta-rendszerben.a) x®|x|– 2; b) x®|x|+ 1; c) x ®|x – 3|; d) x ®|x + 4|;e) x ® –|x|+ 1; f ) x ® –|x – 1|; g) x®|x + 1|– 2; h) x ®|x – 2|+ 2;i) x ®|x – 4|– 3; j) x ® 2 ×|x|; k) x ® 2 ×|x – 1|; l) x ®|2x – 3|;

m) x ® – .12

2 2⋅½ ½x + +

x

y

11

= ( )y i x

5

–1

–5

2

x

y

1

1

= ( )y h x4

–1

–5

6x

y

1

1

= ( )y g x5

–1

–5

3

x

y

11

= ( )y f x

5

2–1

–5

x

y

1

1

= ( )y e x

5

–1

–5

x

y

1

1

= ( )y d x

5

–1

–4


9. ÉVFOLYAM

38

w x1206 Ábrázoljuk a következõ intervallumokon értelmezett valós függvényeket:

a) x® x Î[–2; 2]; b) x ® x ¹ 1, x Î[–3; 3];

c) x ®|x + 2|–|x – 1|, x Î[–3; 2]; d) x ® 2 ×|x + 3|, x Î[–4; 2];e) x ® x – 1 – 2 ×|x – 1|, x Î[–3; 3]; f ) x ®|x + 1|+|x – 2|, x Î[–2; 3].

w x1207 Az alábbi ábrákon abszolútérték-függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzá-rendelési szabályát.a) b) c)

d) e) f )

g) h)

w x1208 Ábrázoljuk az alábbi függvényt (x ÎR \ {0}):

w x1209 Ábrázoljuk a valós számok halmazán értelmezett következõ függvényt:

f (x) = ½½½x½– 3½– 2½.w x1210 Igazoljuk, hogy minden x ÎR esetén

x x x xx

++ =

| | | |2 2

2 22⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–.

g xx

x( )

–.=

| |

x

y

2

1

5

–1

–5

= ( )y h x

6x

y

2

1

5

–1

–5

= ( )y g x

–6

x

y

1 6

1

–1

–5

= ( )y f x

5

x

y

1

1

5

–2

–5

= ( )y e x

–6x

y

1

1

3

–1

–5

= ( )y d x

–3

x

y

2

1

5

–1

–5

= ( )y c x

x

y

1

1

–1

–5

= ( )y b xx

y

1

1

5

–1

–5

= ( )y a x

x

x

–

–,

1

1| || | | |x x+ 1 1

2

– –,


FÜGGVÉNYEK

39

w x1211 Ábrázoljuk a síkon azoknak a P(x; y) pontoknak a halmazát, amelyeknek koordinátái kielégítika következõ feltételt:a) |x½= 0; b) ½x½=½y½; c) ½x½+½y½³ 1; d) ½x½+½y½= 2.

w x1212 Ábrázoljuk a síkon azoknak a P(x; y) pontoknak a halmazát, amelyeknek koordinátái kielégítika következõ feltételeket:a) ½x + y½+½y – x½£ 4; b) ½2x½=½y½; c) ½y½–½x½= 1.

A másodfokú függvény

w x1213 Ábrázoljuk és jellemezzük (értékkészlet, zérushely, menete, szélsõérték, paritás szempontjából)a következõ, valós számok halmazán értelmezett függvényeket:a) x® x2 + 2; b) x ® (x + 2)2; c) x ® (x – 3)2;d) x® –x2 + 4; e) x ® –(x – 2)2; f ) x ® –(x + 3)2;g) x® (x – 1)2 – 4; h) x ® 1 – (x + 2)2; i) x ® 2 × (x – 4)2 – 2;j) x ® k) x ® x2 – 4x + 3; l) x ® x2 + 2x – 3.

w x1214 Ábrázoljuk és jellemezzük (értékkészlet, zérushely, menete, szélsõérték, paritás szempontjából)a következõ függvényeket az adott intervallumon:a) x® x2 – 4, x Î[–3; 3]; b) x ® 2x – x2, x Î[–2; 3];c) x ®½4x – x2½, x Î[–2; 2]; d) x®½2 ×½x½– x2½, x Î[–3; 3];e) x ®½2x2 – 3x +½x – 1½½, x Î[–1; 2]; f ) x ® x ×½x½, x Î[–2; 2].

w x1215 Az alábbi ábrákon másodfokú függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzá-rendelési szabályát:a) b) c)

d) e) f )

x

y

1 5

–5

–1

3= ( )y f x

x

y

1

–2

–1

5= ( )y e x

x

y

1

= ( )y d x

–2

–5

1

x

y

1

= ( )y c x

–1

5

x

y

1

= ( )y b x

–1

5

x

y

1–1

= ( )y a x

–1

5

1

22 12⋅ ( ) ;x + +


9. ÉVFOLYAM

40

g) h) i)

w x1216 Ábrázoljuk a következõ intervallumokon értelmezett valós értékû függvényeket:a) x® x ×½x – 3½, x Î[–2; 4]; b) x ® x2 – 2 ×½x + 1½– 1, x Î[–2; 2];

c) x ® x ×½x½– 4x – 5, x Î[–3; 3]; d) x® x ¹ 1, x Î[–2; 2].

w x1217 Oldjuk meg függvénygrafikonok alkalmazásával a következõ egyenleteket, egyenlõtlenségeket:a) x2 – 7x + 12 = 0; b) 9x – 14 – x2 > 0; c) x2 – 5 ×½x½+ 4 < 0;d) ½x2 – 4x½> 0; e) 2x2 – 5 ×½x½+ 3 ³ 0.

w x1218 Oldjuk meg lineáris függvények segítségével az alábbi másodfokú egyenlõtlenségeket:

a) (x – 3) × (x + 2) ³ 0; b)

w x1219 Ábrázoljuk és jellemezzük a következõ függvényt:f : [–3; 3]® R, f (x) = x2 – ½x½+ 2.

Oldjuk meg grafikusan az f (x) ³ 0 egyenlõtlenséget.

w x1220 Az f : R® R függvény másodfokú, és f (0) = 1, f (1) = 0, f (3) = 10. Adjuk meg képlettel f-et.w x1221 Egy labdát ferde hajítással felrúgnak, pályáját az idõ (másodperc) függvényeként (méterben)

az f (x) = 10x – x2 függvény írja le. Mennyi idõ múlva esik le a labda, és milyen magasra jut?Az elrúgás után hány másodperc múlva lesz a legmagasabban?

w x1222 Egy bárány egy 48 méter hosszú drótkerítéssel körülvett téglalap alakú telken legel. A telek egyikoldala közvetlenül egy ház falához csatlakozik. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalainak mé-retét, ha azt szeretnénk, hogy a bárány által lelegelhetõ kert területe maximális legyen?

w x1223 a) Bontsuk fel a 40-et két összeadandóra úgy, hogy a két adott rész szorzata maximális legyen.b) Lássuk be, hogy az így kapott két rész az adott számtól függetlenül mindig a szám fele lesz.

w x1224 A p valós paraméter mely értékére igaz, hogy azf : R® R, f (x) = px2 + (p2 – 40,5) × x – 12

másodfokú függvénynek az helyen maximuma van? Mennyi ez a maximális érték?

w x1225 Adott a következõ függvény:f : R® R, f (x) = 2x4 – 3x3 – 5x2 + 6x – 10.

Adjuk meg képlettel az alábbi függvényeket:

g: R® R, g(x) = × ( f (x) + f (–x)), h: R® R, h(x) = × ( f (x) – f (–x)).12

1

2

x =9

4

( – ) ( )

( – ) ( – ).

x x

x x

4 1

2 10

⋅⋅

+ £

| |xx

x–

–( ),

1

132⋅ +

x

y

1–1

2

3

–5y = i x( )

x

y

11

–1–2

y = h x( )

x

y

1

= ( )y g x

–1

1

–5


10. ÉVFOLYAM

112

10.2. A GYÖKVONÁS

Racionális számok, irracionális számok

w x2092 Írjuk fel tizedes tört alakban a következõ számokat:

a) b) c) d) e) f )

g) h)

w x2093 Írjuk fel két egész szám hányadosaként a következõ tizedes törteket:a) 0,764; b) 2,1973; c) 2,5

×; d) 4,1

×7×; e) 0,7

×64×; f ) 0,764

×;

g) 0,76×4×; h) 3,1

×534×; i) 5,9

×.

w x2094 Bizonyítsuk be, hogy a következõ számok irracionálisak:a) b) c) d) e)

w x2095 A számegyenesen szerkesszük meg a következõ számok helyét:a) b) c) d) e) f )

g) h) i)

w x2096 Adjunk meg négy olyan irracionális számot, amelyek csak az 1, 2 és 3 számjegyeket tartalmazzákés értékük:a) 1 és 2 között van; b) 10 és 20 között van; c) nagyobb 30-nál.

w x2097 Számoljuk ki, hogy milyen számjegy áll a következõ törtek tizedes tört alakjában a tizedes vesszõután a 2009. helyen:

a) b) c) d) e) f )

w x2098 Adjunk meg három racionális és két irracionális számot, amelyek 5,99 és 6 között vannak.

w x2099 Döntsük el, hogy mely állítások igazak és melyek hamisak.a) Két racionális szám összege mindig racionális.b) Két irracionális szám összege mindig irracionális.c) Két racionális szám szorzata mindig racionális.d) Két racionális szám szorzata lehet egész szám.e) Két irracionális szám szorzata mindig irracionális.f ) Van két olyan irracionális szám, melyek szorzata egész szám.g) Egy racionális és egy irracionális szám összege mindig irracionális.h) Van olyan racionális szám, melynek reciproka irracionális.i) Van olyan irracionális szám, amelynek tizedes tört alakjában egy jegytõl kezdve csak nullák

állnak.

12

17.

25

7;

5

9;

13

6;

11

3;

41

16;

2009.60;27

2– ;

3 3– ;11 2– ;24;15;5;3;

15.3 3– ;1 5+ ;3 2+ ;5;

5

17.

20

13;

10

7;

5

11;

7

12;

29

6;

37

16;

21

8;


A GYÖKVONÁS

113

A négyzetgyökvonás azonosságai, alkalmazásaik

w x2100 Adjuk meg a valós számoknak azt a legbõvebb részhalmazát, melyen az alábbi kifejezések értel-mezhetõk:a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k)

w x2101 Végezzük el a következõ mûveleteket:

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o) p)

q)

w x2102 A mûveletek elvégzésével döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb:a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i)


a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)

k) 41 5 41 52

– – . + ( )89 8 89 8

2– – ; + ( )15 56 56 15 2– ;+ + ( )

11 21 11 212

+ – – ;( )8 15 8 15 2– ;+ + ( )2 3 2 3

2– ;+ + ( )31 6 31 6– ;⋅ +

19 3 19 3– ;⋅ + 7 24 7 24 + ⋅ – ;

29 2 29 2 + ⋅ – ;5 21 5 21– ;⋅ +

2

27

6

128

8

10

27

5

15

135

1

125

1

3

3 3

3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅vagy .

3

6

2

3

18

5

5

15

5 3 vagy

( )⋅ ⋅ ;184

82

60

5vagy ⋅ ;

180

6

150

5vagy ;

65

57 2vagy ⋅ ;

140

73 7vagy ⋅ ;2 10 40

2⋅ vagy ;

11 7 6 13⋅ ⋅vagy ;5 10 15 3⋅ ⋅vagy ;

3 27 3⋅ ( ) + .2 8 2⋅ ( )– ; 3

3

7

3

( )( )

;11 113

( ) ⋅ ;7 73 5⋅ ;

7

7

3

5;2 25 3⋅ ;5 53⋅ ;3

3

3;

45 5⋅ ;455

;75 3⋅ ;753

;

28

7;7 28⋅ ;18

2;18 2⋅ ;

x x2 21 5– .⋅ + ( – ) ( );x x2 3⋅ + x x– ;2 3⋅ +

5 1

3

x

x

–;

+

5 1

3

x

x

–;

+ 2 3 1x x– – ;+6 4– ;x

6 4– ;x– ;x2 1x – ;2 1x – ;


10. ÉVFOLYAM

114

w x2104 Végezzük el a következõ mûveleteket:a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)

w x2105 A kifejezések átalakításával döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb:a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)


a) b)

c) d)

e) f )

g)

h)

i)

j)

k)

l)

w x2107 Gyöktelenítsük a következõ törtek nevezõjét:

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k) l)

w x2108 Gyöktelenítsük a következõ törtek nevezõjét:

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k) l)x y

x y

+

–.

a

a –;

1

5

1x + ;

2 5 3 2

2 5 3 2

⋅ ⋅⋅ ⋅

+

–;

67

5 7 6 3⋅ ⋅–;

10

4 2 3 3⋅ ⋅ + ;

11

3 2 17⋅ –;

22

2 3 1⋅ –;

10

6 1 + ;

15

2 7–;

12

3 1–;

8

5 2 + ;

y

y5 ⋅.

a

y3 ⋅;

5

2

x

x⋅;

y

x;

13

3 10⋅;

14

3 7⋅;

6

5 3⋅;

3

2 6⋅;

21

7;

12

3;

9

2;

4

5;

2 50 18 2 8 0⋅ ⋅( )x x x x x + + 3 ,– .³5 12 300 75 5 3 0⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )y y y y y– – ;2 + 3 , ³4 9 5 4 0⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )a a a a a– ;6 + 7 + , ³

180 112 45 28 63 20 175 125 + + – – – – ;( ) ⋅ ( )98 108 8 147 32 48 75 2 + + + – – – ;( ) ⋅ ( )80 3 45 75 5 48– – – ; + ( ) ⋅ ( )

27 2 12 8 3 18 + + – – ;( ) ⋅ ( )12 108 147+ – ;18 50 98+ – ;125 45 20– – ;

48 27 75– ;+72 32 8– – ;

21

3

2 15

5vagy

⋅.

70

10

6

3vagy ;

120

4

190

5vagy ;

72

6

200

10vagy ;

8 7 15 2⋅ ⋅vagy ;3 8 6 2⋅ ⋅vagy ;3 11 2 23⋅ ⋅vagy ;10 5 9 6⋅ ⋅vagy ;6 3 7 2⋅ ⋅vagy ;5 3 6 2⋅ ⋅vagy ;

7 2 32

+ ⋅( ) .5 2 5 2– ;⋅( )6 2 3

2 + ⋅( ) ;3 2 4 2⋅( )– ;

4 2 2 7 4 2 2 7⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ − ⋅( ) + ;17 3 17 3– ;( ) ⋅ ( ) + 13 1 13 1– ;( ) ⋅ ( ) + 10 3 10 3 + ( ) ⋅ ( )– ;

2 2 1 3 2⋅( ) ⋅ ( )– ; + 6 3 2 3 6 + + ( ) ⋅ ⋅( );


A GYÖKVONÁS

115


a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)

w x2110 A négyzetgyök alá vitellel írjuk egyszerûbb alakba a következõ kifejezéseket. (A változókpozitívak.)

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i)

w x2111 Melyik szám a nagyobb?

a) b)


a) b)

w x2113 Számítsuk ki a következõ kifejezések értékét, ha

a) b)

w x2114 Bizonyítsuk be a következõ egyenlõséget:

w x2115 Mely valós x értékek esetén igaz, hogy:

a) b)

w x2116 Egy derékszögû háromszög befogóinak hossza ahol x ÎN+.a) Mekkorák a háromszög oldalai, ha x = 4?b) Mekkora a háromszög átfogója, ha x = 7?c) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög átfogójának hossza mindig pozitív egész szám lesz.

2 1 2 2 1x x x + és + ⋅ ( ),

4 12 9 3 22x x x– – . + =4 12 9 2 32x x x– – ; + =

125 51 6

5 6

1

5 2 6

2+

=⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟– –

.

3 1

2 5

3 1

5 2

⋅⋅

⋅⋅

x

x

x

x

++

+ –

–.

x

x

x

x

+

+ +

2

3

2

3

–

–;

x =1

5:

6

5

2

2010 7 5

+ 2 +

4 +

–.

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ ⋅( )7 3 20 2 84

7 3

+ ( ) ⋅ ⋅( )––

;

3 37

12 5⋅ vagy

–.

1

6 52 6

–;vagy ⋅

b

a

a

b

2 2⋅ .

ba

b⋅ ;2 32a ab⋅ ;y y2 ⋅ ;x x⋅ ;

7 17

7 1–

–;( ) ⋅ + 10 1 10, ;⋅5 3

5⋅ ;3 5

9⋅ ;

3 2

1

1

1

2 4

1

⋅ ⋅yy

y

y

y

y

––

––

–

–.

+

+ 2

1

3

1

5

1x x x––

–; +

+

2

1

1

1a a–; +

+

4 5

2 5 3

5 4

2 5 3

+

+ +

⋅ ⋅–

–;

3 2 4

3 2 4

3 2 4

3 2 4

⋅⋅

⋅⋅

++

+ –

–;

7 5

5 3

7 5

5 3

+

+ ––

–;

7 5

5 3

7 5

5 3

+

+ –

–;⋅4 2 5

5

3 5 1

2 5

– –;

⋅ ⋅⋅

+

5 4 3

3

2 2 3

3

+ ⋅ ⋅–

–;

3 2 1

2

5 2

2

⋅ –– ;

+


10. ÉVFOLYAM

w x2117 Közelítõ értékek alkalmazása nélkül állapítsuk meg, hogy az A, illetve B szám közül melyika nagyobb, ha:

a) b)

c)

w x2118 Átalakításokkal mutassuk meg, hogy:

w x2119 Számítsuk ki a kifejezések helyettesítési értékét a változók adott értéke esetén:

a)

b)

w x2120 A változók mely értékei esetén értelmezettek a következõ kifejezések? Hozzuk egyszerûbb alakraa kifejezéseket.

a) b)

c) d)

w x2121 Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következõ gyökvonást:

w x2122 Fejezzük ki a-val és b-vel az:

a) f (x) = kifejezést, ha x = és 0 < a £ 2;

b) g(x) = kifejezést, ha x = és a > 0, b > 0;

c) h(x) = kifejezést, ha x = és a > 0.

w x2123 Mely pozitív egész n értékekre teljesül:

w x2124 Hány olyan x valós szám van, amelyre a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényértéke egész szám?

f x x x( ) – .= + + 2 2100 1

1

1 2

1

2 3

1

3 4

1

19

+ +

+ +

+ +… +

+ =

n n–.

1

2

1⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

aa

+2 1

1

2

2

⋅ xx x

–

– –

a b

b

2 2

2

+b

x

a

x– –1

2

2

a a

a

4 2

2

20 16

4

+ +x x– –3 7+

1 2006 1 2007 1 2008 1 2009 2011 + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

x

x a

x x a

x x a

x x a

x x a–

– ––

–

– –.

2

2

2

2

2⋅

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

+a a b b

a bab

a b

b

a b

⋅ ⋅⋅

+ + +

+

–

–;

2

a a

a a

– –

–;

2

5 6⋅ + a b b a b

a b a b

2 2 5

2 3

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅

–

( );

1

1 1

1

1 1

3

2

+

+ + + ha =

a

a

a

aa

–

– –, .

1

1

1

1

1

2 3

1

2 3a ba b

+ +

+ ha =

+ és =,

–;

35 2 34 35 2 34 2 + =⋅ ⋅– – .

A B= + és = + 2 2 3 2 3– .

A B= és =50 1220 96

8–

–;A B=

+és =

+

5 2

3 2

20 8

3 2–

–;

116


A GYÖKVONÁS

117

Számok n-edik gyöke, a gyökvonás azonosságai

w x2125 Mennyi a következõ gyökvonások eredménye?a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o) p)

q) r) s) t)

u) v) w)

w x2126 Végezzük el a következõ mûveleteket:a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o)

w x2127 Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következõ mûveleteket (x, y, a, b > 0):

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j)

w x2128 Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következõ számításokat:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

w x2129 Döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb:a) b)

c) d)

e) f )

w x2130 Végezzük el a következõ összevonásokat:a) b)

c) d)

e) f )

g) h) a a a a103 103 103 1038 64 27– .+ +a a a65 65 6532 243+ + ;

16 81 074 74 74x x x x+ >– ( );27 843 43 43x x x+ – ;

162 512 324 4 4+ – ;1875 243 484 4 4– – ;

40 625 1353 3 3– ;+54 16 2503 3 3+ – ;

3 13 2 995 5⋅ ⋅vagy .4 4 3 134 4⋅ ⋅vagy ;3 5 2 254 4⋅ ⋅vagy ;3 51 5 113 3⋅ ⋅vagy ;3 5 2 173 3⋅ ⋅vagy ;2 23 3 73 3⋅ ⋅vagy ;

9 4 5 4 5 911 11 + ⋅ ⋅ ⋅ – .68 10 10 685 5– ;⋅ +

90 3 90 34 4– ;⋅ + 6 20 6 204 4– ;⋅ +

41 7 41 73 3– ;⋅ + 131 6 131 63 3– ;⋅ +

9 17 9 173 3 + ⋅ – ;7 22 7 223 3 + ⋅ – ;

4

9

3

4

7

34

2

74

x

y

x

y: .16 243 3x x: ;

8

3

9

83 3: ;64 25 5: ;

x y x y25

3 45

2 16⋅ ;ab b

a3

243

23⋅ ;

5 3 5 34 36 2 36⋅ ⋅ ⋅ ;8 36 36 24 4⋅ ⋅ ⋅ ;972 85 5⋅ ;45 753 ⋅ ;

x100254 .( ) ;3 279 x– ; 64 153 x

x306 ;x204 ;a168 ;x246 ;

x155 ;x213 ;x63 ;(– ) ;x 44

(– ) ;x 33b77 ;a66 ;x33 ;

16

814 .

625

164 ;0 0273 , ;

1

646 ;– , ;0 0013– ;

32

2435– ;

27

643

40964 ;– ;10245 102410 ;2564 ;

2568 ;– ;10000003 10000006 ;– ;34333433 ;100004 ;6254 ;814 ;

– ; 643– ;325– ;17273 ;


10. ÉVFOLYAM

118

w x2131 Adjuk meg a valós számoknak azt a legbõvebb részhalmazát, melyen a következõ kifejezésekértelmezhetõk. Írjuk fel egyetlen gyökjellel a kifejezéseket.

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

i) j) k) l)

m)

w x2132 Gyöktelenítsük a következõ törtek nevezõit:

a) b) c) d) e) f )

g) h) i)

w x2133 Írjuk fel kisebb kitevõjû gyök segítségével a következõ kifejezéseket:

a) b) c) d)

e) f ) g)

w x2134 Rendezzük nagyság szerint növekvõ sorrendbe a következõ számokat:

w x2135 Döntsük el, hogy mely egyenlõségek igazak és melyek hamisak:

a) b) c) d)

w x2136 Mely valós számok esetén igaz a következõ egyenlõség:

a)

b)

c)

w x2137 A változók mely értékei esetén vannak értelmezve a következõ kifejezések? Hozzuk egyszerûbbalakra a kifejezéseket:

a)

b) c)

d)

w x2138 a) Mutassuk meg, hogy a egész szám.b) Az a, b és c pozitív egész számokra igaz, hogy a2 – c ×b2 = 1. Bizonyítsuk be, hogy ha

a különbség értéke egész szám, akkor az a szám 16-tal osztva 1 maradékot ad.

a b c a b c + ⋅ ⋅4 4– –

17 12 2 17 12 24 4 + ⋅ ⋅– –

bx a bx

x abx bx

bx

34 244

2

3

3

++

+ + +

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.

a x

a x

a ax

a axax

–

–– – ;

+

+

34

44

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x x

x

x

x x

⋅⋅

3

23

23

3

1

13

1

1

–

–

–

–;+

a a x

a x

x a x

a x

x

a xa x a x

⋅ ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

+

+ ––

––

–: ( – ) ( – );

2 2

2 22 24

x x x x x x x3 23 2 23 3 1 4 4 1– – – – . + + + + =

x x x x x x x3 23 2 23 3 1 4 4 3 3– – – – ; + + + + =

x x x x x x x3 23 2 23 3 1 4 4 1– – – ; + + + + = +

(– ) – .a a123 4=a a155 = ;(– ) – ;11 1144 =(– ) – ;11 1133 =

2 3 4 53 4 5; ; ; .

4 8 12 64 a b c .a b c10 15 2025 ;8 6 27 96 x y z ;

10000010 ;326 ;3210 ;89 ;

7

6 35⋅ a.

3

2 23a

a⋅;

5

3 3a

a⋅;

12

26;

25

525;

15

334;

15

55;

6

34;

1

53;

x x

x x

34 23

25

⋅⋅

.

x x

x

25 3

4

⋅;

x

x

23

34;x x23 3⋅ ;x x x3 4535 ⋅ ⋅ ;

x x x⋅ ⋅ 3 ;x x3 57 ⋅ ;b b2 33 ⋅ ;a a⋅ 53 ;

2 2 2⋅ ⋅ ;3 35 ⋅ ;7 73 4⋅ ;7 743 ⋅ ;


191

A FELADATOK MEGOLDÁSAI

A kötet feladatainak megoldásai letölthetõk pdf-ben awww.mozaik.info.hu/matematika oldalról. A letölthetõállományok megegyeznek a feladatgyûjtemény korábbikiadásaihoz mellékelt CD-n lévõ tartalommal.

A megoldások megtekintéséhez az Acrobat Reader programhasználata szükséges. A program ingyenesen letölthetõ azinternetrõl. (Pl. www.adobe.com).

MEGOLDÁSOK – 9. ÉVFOLYAMAz összes 9. évfolyamos feladat megoldását az alábbi állomány tartalmazza:_1001_1807_09_evfolyam.pdf

Az egyes fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állományban is elérhetõk (a feladatsorszámra és afejezetre utaló elnevezéssel):

1001-1106_kombinatorika.pdf1107-1193_algebra.pdf1194-1282_fuggvenyek.pdf1283-1474_haromszogek-negyszogek-sokszogek.pdf1475-1570_egyenletek.pdf1571-1759_egybevagosagi-transzformaciok.pdf1760-1807_statisztika.pdf

MEGOLDÁSOK – 10. ÉVFOLYAMAz összes 10. évfolyamos feladat megoldását az alábbi állomány tartalmazza:_2001_2814_10_evfolyam.pdf

Az egyes fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állományban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a feje-zetre utaló elnevezéssel):

2001-2091_gondolkodas.pdf2092-2148_gyokvonas.pdf2149-2248_masodfoku.pdf2249-2632_geometria.pdf2633-2730_szogfuggvenyek.pdf2731-2814_valoszinuseg-szamitas.pdf

EGY KONKRÉT FELADAT MEGOLDÁSÁNAK KERESÉSEA pdf állományokban a keresõ funkciót (Ctrl+f) használva az „x+feladatsorszám” begépelésévelközvetlenül az adott sorszámú feladat megoldásához ugorhatunk (pl. az x1567 szöveg keresésévelaz 1567-es feladat megoldásához).


ms-2323 download borito 9mm digi layout 1 ... - mozaik.info.hu · tisztelt olvasó! a...

Documents