multiple integrals
DESCRIPTION
Chapter 12. Multiple Integrals. 170 121 Engineering Mathematics II 5 ธันวาคม 2546. Integrals. Integration หมายถึงการรวมกัน ซึ่งตรงข้ามกัน differentiation หรือการ แตกส่วนย่อยที่เรียกว่า อนุพันธ์ นั่นเอง ความหมายของการอินทีเกรตในเชิงเรขาคณิต - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Multiple Integrals
170 121 Engineering Mathematics II
5 ธนัวาคม 2546
Chapter 12
2
Integrals Integration หมายถึงการรวมกัน ซึ่งตรงขา้มกัน differentiation หรอืการแตกสว่นยอ่ยท่ีเรยีกวา่ อนุพนัธ ์นัน่เองความหมายของการอินทีเกรตในเชงิเรขาคณิต ในกรณีของฟงัก์ชนัตัวแปรเดียว สตูรการอินทีเกรตทางคณิตศาสตรคื์อ
( )f x dxเราจะเหน็วา่ม ีdx อยูใ่นสตูรซึ่งหมายถึงชว่งน้อยๆของ x สว่น f(x) ก็คือความสงูของกราฟ ดังนัน้ f(x)dx ก็คือแท่ง 1 แท่งในรูป ซึ่งเป็นสว่นน้อยๆของพื้นท่ีใต้กราฟ และการอินทีเกรตของ f(x)dx ก็คือการนำาเอาสว่นน้อยๆของพื้นท่ีใต้กราฟมารวมกัน เราจะได้พื้นท่ีใต้กราฟออกมา หลักการน้ีสามารถขยายผลไปใชกั้บฟงัก์ชนัหลายตัวแปรได้
xdx
f(x)
f(x)
3
Multiple Integrals
Multiple integration เป็นวธิกีารอินทีเกรตสำาหรบัฟงัก์ชนัหลายตัวแปร ซึ่งเราใชส้ญัลักษณ์ดังน้ี
วธิกีารอินทีเกรตสำาหรบัฟงัก์ชนัหลายตัวแปร มขีอ้แตกต่างจากการอินทีเกรตตัวแปรเดียวดังนี้
- เนื่องจากเรามตัีวแปรอิสระหลายตัว แต่การอินทีเกรตทำาได้ทีละตัวแปร ดังนัน้การอินทีเกรตฟงัก์ชนัหลายตัวแปร จะเป็นการอินทีเกรตทีละตัวแปร หลายๆครัง้จนครบทกุตัวแปร ซึ่งการปฏิบติัจะยากกวา่การอินทีเกรตฟงัก์ชนัตัวแปรเดียว ท่ีมกีารอินทีเกรตเพยีงครัง้เดียว
( , , ,...)R
f x y z dR
4
Double Integrals over Rectangles Multiple integral แบบท่ีง่ายท่ีสดุคือการอินทีเกรตแบบสองชัน้ซึ่งใชกั้บฟงัก์ชนัสองตัวแปรโดยเฉพาะ เราเรยีกวา่ Double integral ท่ีมาของDouble integral เป็นดังนี้ สมมุติวา่มี ท่ีประกาศไว้
เมื่อแบง่ R ออกเป็นตารางยอ่ยๆดังรูป
( , )f x y: , R a x b c y d
a bc
d
kx
ky kA
พื้นท่ียอ่ยในแต่ละชอ่งคือk k kA x y
เราสามารถหาผลรวม Rieman sum
1
1
( , )
( , )
n
n k k kk
n
k k k kk
S f x y A
f x y x y
เมื่อให้ 0kA จะได้
0 1
( , ) ( , ) ( , )limn
k k kA k R R
f x y A f x y dA f x y dxdy
ในชว่ง
500.5
11.5
2
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Geometrical Interpretation of Double Integrals
ความหมายทางเรขาคณิตของการอินทีเกรตของฟงัก์ชนัตัวแปรเดียว ก็คือการหาพื้นท่ีใต้กราฟ 1 มติิ แต่สำาหรบั Double integral ใหเ้ราจตินาการวา่ function f(x,y) คือหลังคาโดม แล้ว Double integral จะหมายถึงการหาปรมิาตรใต้หลังคาโดมดังรูป
2 2( , ) 3f x y x y
(ใหจ้นิตนาการวา่เป็นหลังคาโดม)
ระนาบ XY คือพื้นหอ้งx y
z
ปรมิาตรในชอ่งวา่งจากพื้นหอ้งถึงหลังคาโดมคือค่าท่ีได้จากการทำา Double integral
: 0 2, 0 2R x y
6
Geometrical Interpretation of Double Integrals (cont.)การหาผลรวมใน Slide แผ่นท่ี 2 เปรยีบได้กับการประมาณปรมิาตรใต้หลังคาหอ้งโดยใชป้รมิาตรของแท่งปรซิึ่มในรูปมารวมกัน
xy
z1
1
( , )
( , )
n
n k k kk
n
k k k kk
S f x y A
f x y x y
เมื่อแบง่ปรมิาตรใหล้ะเอียดขึ้น โดยใชแ้ท่งปรซิึ่มท่ีมพีื้นท่ีฐานเล็กลง แต่มจีำานวนแท่งมากขึ้น ในท่ีสดุเราจะได้
0 1
( , ) ( , ) ( , )limn
k k kA k R R
f x y A f x y dA f x y dxdy
( , )k k kf x y A แท่งแต่ละแท่งมปีรมิาตรเท่ากับ
ผลรวมของปรมิาตรทกุแท่งจะได้
7
Properties of Double Integrals
( , ) ( , )R R
kf x y dA k f x y dA
( , ) ( , ) ( , ) ( , )R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA
( , ) 0 if ( , ) 0 on R
f x y dA f x y R
( , ) ( , ) if ( , ) ( , ) on R R
f x y dA g x y dA f x y g x y R
1 2
( , ) ( , ) ( , )R R R
f x y dA f x y dA f x y dA
1.
2.
3.
4.
5. If R1 R21 2R R R R =
8
Fubini’s Theorem for Calculating Double Integralsสมมุติวา่เราต้องการคำานวณปรมิาตรของแท่งเหล่ียมดังรูป พื้นผิวด้านบนสดุ (หลังคา)คือระนาบ z = 4 - x - y สว่นฐานของแท่งเป็นพื้นท่ีในชว่ง 0 2, 0 1x y
เราสามารถใชส้ตูร Double intregral ดังน้ี2 1
0 0
(4 )x y dydx ปรมิาตรอินทีเกรตชัน้แรกพจิารณาเฉพาะ
1
0
(4 )x y dy โดยมอง x = ค่าคงท่ี
เราจะได้1
0
(4 ) ( )x y dy A x พื้นท่ีหน้าตัด12
0
742 2
y
y
yy xy x
อินทีเกรตชัน้ต่อมาได้22 2
0 0
7 7( ) 52 2 2
x
x
xx dx x
9
Examples: Fubini’s Theoremในทำานองเดียวกัน ถ้าเราเปล่ียนลำาดับการอินทีเกรต โดยใหอิ้นทีเกรตเทียบกับตัวแปร x ก่อน
เราจะได้ 1 2
0 0
(4 )x y dxdy ปรมิาตร
อินทีเกรตขัน้แรก พจิารณาเฉพาะ2
0
(4 )x y dx โดยใหคิ้ดวา่ y = ค่าคงท่ี จะได้
22 2
0 0
(4 ) 4 6 22
x
x
xx y dx x yx y
= พื้นท่ีหน้าตัดอินทีเกรตชัน้ต่อมาได้
112
00
(6 2 ) 6 5y
yy dy y y
ซึ่งจะได้ผลเหมอืนเดิม ซึ่งจะได้ทฤษฎีของ Fubini เป็น
( , ) ( , )b d d b
a c c a
f x y dydx f x y dxdy
10
หลักในการทำา Double Integrals เนื่องจากฟงัก์ชนัท่ีเราจะทำาการอินทีเกรตนัน้มตัีวแปรอิสระ 2 ตัวคือ x และ y ดังนัน้เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปรทีละตัวดังน้ี
( , ) ( , ) ( , )b d b d d b
a c a c c a
f x y dydx f x y dy dx f x y dx dy
1. คำานวณ ( , )d
c
f x y dy เทียบกับตัวแปรตัวแรก (y) โดยคิดวา่ x เป็นค่าคงท่ี ผลลัพธก์ารอินทีเกรต จะได้เป็น function ของ x อยา่งเดียว (เนื่องจาก y ถกูแทนค่าด้วย c และ d ไปแล้ว)
2. ทำาการอินทีเกรตผลลัพธท่ี์ได้ในขอ้1 เทียบกับตัวแปรท่ีเหลือ (คือตัวแปร x)
ในทางกลับกัน เราสามารถอินทีเกรต f(x,y) เทียบกับ x ก่อน แล้วจงึอินทีเกรตเทียบกับ y ทีหลังก็ได้ ตามทฤษฎีของ Fubini ซึ่งจะได้ผลเหมอืนกัน
11
Double Integrals over Bounded Nonrectangular Regions
ในกรณีท่ีขอบเขตการอินทีเกรตไมไ่ด้เป็นสีเ่หล่ียมผืนผ้า ดังรูป เราก็สามารถทำา DoubleIntegration ได้โดยการแบง่พื้นท่ีออกเป็นสีเ่หล่ียมเล็กๆ แล้วหาผลรวม Rieman
1
( , )n
n k k kk
S f x y A
เมื่อเราแบง่ใหส้ีเ่หล่ียมละเอียดขึ้น โดยใหข้นาดเล็กลง และเพิม่จำานวนขึ้น จะได้
0 1
( , ) ( , )limn
k k kA k R
f x y A f x y dA
โดย สรุป ขอบเขตการอินทีเกรตจะเป็นรูปทรงใดก็ได้ สว่นตัวอนุพนัธ ์เราจะใช ้dAซึ่งหมายถึงวา่เราอินทีเกรต f(x,y) เทียบกับพื้นท่ีฐานในระนาบ XY นัน้เอง
12
รูปน้ีแสดงถึงการทำา Double integral โดยขอบเขตการอินทีเกรตไมไ่ด้เป็นสีเ่หล่ียมผืนผ้า เราอาจจะจนิตนาการวา่ เรามหีลังคาโดม เป็น f(x,y) และมี
พื้นหอ้งเป็นรูปวงร ีดังรูป การทำา Doubleintegral ก็คือการหาปรมิาตรของชอ่งวา่งระหวา่งหลังคากับพื้นหอ้งนัน่เอง
0 1
Volume = ( , )
( , )
limn
k k kA k
R
f x y A
f x y dA
Double Integrals over Bounded Nonrectangular Regions
13
Fubini’s Theorem ทฤษฎีของ Fubini สำาหรบัการทำา Double integral ท่ีขอบเขตการอินทีเกรตเป็นรูปทรงใดๆ มดัีงนี้
ให ้f(x,y) ต่อเน่ืองบน พื้นท่ี (region) R
1. ถ้า Region R ประกาศไวใ้นชว่ง 1 2, g ( ) ( )a x b x y g x
โดย ต่อเน่ืองในชว่ง [a,b] จะได้1 2g ( ), ( )x g x2
1
( )
( )
( , ) ( , )g xb
R a g x
f x y dA f x y dydx
1. ถ้า Region R ประกาศไวใ้นชว่ง 1 2, h ( ) ( )c y d y x h y
โดย ต่อเนื่องในชว่ง [c,d] จะได้1 2( ), ( )h y h y2
1
( )
( )
( , ) ( , )h yd
R c h y
f x y dA f x y dxdy
14
Double Integral in dy dx Orderในกรณีท่ี 1: Region R: 1 2, g ( ) ( )a x b x y g x
ในกรณีนี้ ค่า y จะอยูร่ะหวา่ง g1(x) และ g2(x) เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร yก่อน เพื่อจะกำาจดั y ออกไป จากนัน้จงึค่อยอินทีเกรต ผลลัพธท่ี์ได้เทียบกับตัวแปร x
1. คำานวณ2
1
( )
( )
( , )g x
g x
f x y dy
2. แทนค่า (เพื่อกำาจดั y)
ได้เป็น 2
1
( )
( )( , ) y g x
y g xF x y
2 1( ) ( )( , ) ( , )
y g x y g xF x y F x y
3. อินทีเกรตผลในขอ้ 2 เทียบกับ x
( )b
a
H x dx
ได้ผลลัพธเ์ป็น H(x) ซึ่งเป็นฟงัก์ชนัของ x ตัวแปรเดียว
15
Example: Double Integral in dy dx Order จงหาปรมิาตรของแท่งปรซิึ่มท่ีมดี้านบนเป็นระนาบ z = 3- x - y และพื้นท่ีฐานเป็นสามเหล่ียมดังรูป
x
y
zระนาบ
z = 3-x-y
พื้นท่ีฐานรูปสามเหล่ียม
วธิทีำา1. หาขอบเขตการอินทีเกรต1.1 หาขอบเขตของค่า y จากรูป จะเหน็วา่สามเหล่ียมประกอบด้วย ขอบล่างเป็นเสน้ตรง y = 0 และขอบบนเป็น y = x1.2 หาขอบเขตของค่า x จากรูป จะเหน็วา่ค่า x เริม่จากx = 0 จนถึงค่า x = 1
จะได้สตูร ปรมิาตร2
1
( )
( )
1
0 0
( , )
(3 )
y g xb
a y g x
x
f x y dydx
x y dydx
ขอบด้านล่างเสน้ y = 0
x
y ขอบด้านบนเสน้ y = x
10
พื้นท่ีฐานสามเหล่ียมเมื่อมองจากด้านบน
16
Example: Double Integral in dy dx Order (continued)
x
yเสน้ y = x
10
x
y
zระนาบ
z = 3-x-y
พื้นท่ีฐานรูปสามเหล่ียม
เสน้ y = 0
3. อินทีเกรตในชัน้ท่ีสอง11 2 2 3
0 0
3 3(3 )2 2 2
xx
x x
x x xx dx
2 3 2 33(1) 1 3(0) 0 12 2 2 2
2. อินทีเกรตในชัน้แรก2
0 0
(3 ) 32
y xy x
y y
yx y dy y xy
2 2 22 0 33 3(0) 0 3
2 2 2x xx x x x
1
0 0
(3 )x
x y dydx ปรมิาตร
17
Procedure for Finding Limit of Integration in dy dx Orderการเริม่ต้นการทำา Multiple integral เริม่จากการเขยีนสตูรการอินทีเกรตซึ่งมคีวามสำาคัญมากโดยเฉพาะอยา่งยิง่การหาขอบเขตการอินทีเกรต ซึ่งสามารถทำาเป็นขัน้ตอนได้ดังนี้ตัวอยา่ง กำาหนดให ้ขอบเขตการอินทีเกรตเป็น พื้นท่ีระหวา่งสว่นโค้งของวงกลม x2+y2 = 1กับเสน้ตรง x+y = 1 ดังในรูป
1. เราต้องกำาหนด ลำาดับการอินทีเกรต วา่จะทำากับตัวแปรใดก่อน ในขอ้นี้เป็นการอินทีเกรตเทียบกับ y ก่อน2. เมื่อเป็นการอินทีเกรตเทียบกับ y ก่อน ต้องพยายามหาขอบบนและขอบล่างของพื้นท่ีในรูปฟงัก์ชนัของตัวแปร x (ขอบล่างเป็นสมการ y = g1(x) สว่นขอบบนเป็น y = g2(x))
ในขอ้น้ีจะได้ ขอบล่างเป็น 1y x
ขอบบนเป็น 21y x
3. หาขอบเขตของ x ในรูปตัวเลขค่าตำ่าสดุและสงูสดุของ xในขอ้น้ีจะได้ ค่าตำ่าสดุ x = 0
ค่าสงูสดุ x = 1
ได้สตูรการอินทีเกรต21 1
0 1
( , )x
x
f x y dydx
18
Double Integral in dx dy Orderในกรณีท่ี 2: Region R: 1 2, h ( ) ( )c y d y x h y
ในกรณีนี้ ค่า x จะอยูร่ะหวา่ง h1(y) และ h2(y) เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร xก่อน เพื่อจะกำาจดั x ออกไป จากนัน้จงึค่อยอินทีเกรต ผลลัพธท่ี์ได้เทียบกับตัวแปร y
1. คำานวณ2
1
( )
( )
( , )h y
h y
f x y dx2. แทนค่า (เพื่อกำาจดั x)
ได้เป็น 2
1
( )
( )( , ) x h y
x h yF x y
2 1( ) ( )( , ) ( , )
x h y x h yF x y F x y
3. อินทีเกรตผลในขอ้ 2 เทียบกับ y
( )d
c
G y dy
ได้ผลลัพธเ์ป็น G(y) ซึ่งเป็นฟงัก์ชนัของ y ตัวแปรเดียว
19
Example: Double Integral in dx dy Order จงหาปรมิาตรของแท่งปรซิึ่มท่ีมดี้านบนเป็นระนาบ z = 3- x - y และพื้นท่ีฐานเป็นสามเหล่ียมดังรูป
x
y
z
ขอบด้านซา้ยเสน้ x = y
x
yขอบด้านขวาเสน้ x = 1
10
วธิทีำา1. หาขอบเขตการอินทีเกรต
จะได้สตูร ปรมิาตร2
1
( )
( )
1 1
0
( , )
(3 )
x h yd
c x h y
y
f x y dxdy
x y dxdy
1.1 หาขอบเขตของค่า x จากรูป จะเหน็วา่สามเหล่ียมประกอบด้วย ขอบซา้ยเป็นเสน้ตรง x = y และขอบขวาเป็น x = 11.2 หาขอบเขตของค่า y จากรูป จะเหน็วา่ค่า y เริม่จากy = 0 จนถึงค่า y = 1
1
20
Example: Double Integral in dx dy Order (continued)
x
y
10
x
y
z
3. อินทีเกรตในชัน้ท่ีสอง11 2 3
2
0 0
5 3 5( 4 ) 22 2 2 2
yy
y y
y y yy dy y
3 2 32 25(1) 1 5(0) 02(1) 2(0) 1
2 2 2 2
2. อินทีเกรตในชัน้แรก11 2
(3 ) 32
xx
x y x y
xx y dx x xy
2 2 221 5 33(1) (1) 3 4
2 2 2 2y yy y y y
1 1
0
(3 )y
x y dxdy ปรมิาตร
21
Procedure for Finding Limit of Integration in dx dy Order
ตัวอยา่ง ใหข้อบเขตการอินทีเกรตเป็น พื้นท่ีระหวา่งสว่นโค้ง x2+y2 = 1กับเสน้ตรง x+y = 11. เมื่อเป็นการอินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน ต้องพยายามหาขอบซา้ยและขอบขวาของพื้นท่ีในรูปฟงัก์ชนัของตัวแปร y (ขอบซา้ยเป็นสมการ x = h1(y) สว่นขอบขวาเป็น x = h2(y))
ในขอ้น้ีจะได้ ขอบซา้ยเป็น 1x y ขอบขวาเป็น 21x y
2. หาขอบเขตของ y ในรูปตัวเลขค่าตำ่าสดุและสงูสดุของ yค่าตำ่าสดุ y = 0ค่าสงูสดุ y = 1
ได้สตูรการอินทีเกรต211
0 1
( , )y
y
f x y dxdy
ในกรณีท่ีลำาดับการอินทีเกรตเริม่ท่ี x ก่อน เรามวีธิกีารดังนัน้
22
Example: Double Integralจงคำานวณค่า
sin( )
R
x dAx โดย R เป็น Region ดังในรูป
x
yเสน้ y = x
10
Rวธิทีำา1. กำาหนดลำาดับการอินทีเกรต ในขอ้นี้ใหท้ำากับ y ก่อน
2. หาขอบเขตการอินทีเกรตได0้ 1, 0x y x
3. เขยีนสตูร 1
0 0
sin( )x x dydxx
4. อินทีเกรตชัน้แรก
00
sin( ) sin( )
sin( ) 0 sin( )
y xx
y
x xdy yx x
x x
5. อินทีเกรตชัน้ท่ีสอง 11
00
sin( ) cos( )
cos(1) ( cos(0)) cos(1) 1
x
xx dx x
23
Example: Double Integral (continued)จงคำานวณค่า
sin( )
R
x dAx โดย R เป็น Region ดังในรูป
x
yเสน้ y = x
10
Rโดยกำาหนดใหอิ้นทีเกรตเทียบกับ x ก่อน1. หาขอบเขตการอินทีเกรตได0้ 1, y 1y x
2. เขยีนสตูร 1 1
0
sin( )
y
x dxdyx
3. อินทีเกรตชัน้แรก
1 sin( )
y
x dxx
4. อินทีเกรตชัน้ท่ีสองต่อไป …..
ทำาได้ยากกวา่ตัวอยา่งท่ีแล้วมาก
ขอ้น้ีจะเห็นวา่ ลำาดับการอินทีเกรตมผีลต่อความยากง่ายของรูปสมการ ซึง่ต้องอาศัยประสบการณ์ในการเลือกลำาดับการอินทีเกรต
24
Example 2: Double Integralจงคำานวณ
R
xy y dA โดย R เป็น Region ระหวา่งเสน้ตรง และเสน้โค้ง ดังรูป
วธิทีำา1. กำาหนดลำาดับการอินทีเกรต และหาขอบเขตในขอ้น้ีถ้า อินทีเกรต y ก่อน เราจะได้ขอบเขตดังนี้
1.1 ขอบบนได้สมการ 1y x
22 2 1 1y x x x 1.2 ขอบล่างได้สมการหาขอบเขตของ xจากรูปจุดตัดระหวา่ง เสน้ทัง้สองคือจุด (0,1) และ (3,4)ดังนัน้ค่าตำ่าสดุของ x คือ 0 และค่าสงูสดุคือ 3
1 0x y 2 2 1 0x x y
ได้สตูร-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
เสน้ตรง
R
1 0x y
2 2 1 0x x y
(0,1)
(3,4)
2
13
0 ( 1)
y x
y x
xy y dydx
25
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
เสน้ตรง
R
1 0x y
2 2 1 0x x y
(0,1)
(3,4)
Example 2: Double Integral (continued)2. อินทีเกรตชัน้แรก
2 2
11 2
( 1) ( 1)
222
53 2
12
1 11 12 2
112 2
xy x
y x x
x yxy y dy
x xx x
xx x x
3. อินทีเกรตชัน้ท่ีสอง
53 3 2
0
364 3 2
0
112 2
1 81 27 9 3 64 1 5.6258 6 4 2 12 8 6 4 2 12 12
xx x x dx
xx x x x
26
Example 3: Double Integralจงคำานวณ
R
xy y dA โดย R เป็น Region ระหวา่งเสน้ตรง และเสน้โค้ง ดังรูป
โดยกำาหนดใหอิ้นทีเกรตเทียบกับ x ก่อนในขอ้น้ีถ้าอินทีเกรต x ก่อน เราจะต้องแบง่พื้นท่ีเป็น 2 สว่นดังนี้
ขอบซา้ยได้สมการ 1x y
ขอบขวาได้สมการ
1 0x y 2 2 1 0x x y
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
เสน้ตรง
R2
1 0x y
2 2 1 0x x y
(0,1)
(3,4)
R1
พื้นท่ี R1
1x y
ขอบเขตของ y ได0้ 1y
ขอบซา้ยได้สมการ 1x y ขอบขวาได้สมการ
พื้นท่ี R2
1x y ขอบเขตของ y ได1้ 4y
1 11 4
0 1 11
x y x y
x yx y
xy y dxdy xy y dxdy
ได้
27
Example 3: Double Integral (continued)2. อินทีเกรตชัน้แรก
3. อินทีเกรตชัน้ท่ีสอง
11 2
1 1
2 2
2
2 2 2 2 2 20
2 2
x yx y
x y x y
xxy y dx y yx
y y y y y y y y y y y y y y
11 2
1 1
2 3 2 3 2
2
2 2 2 4 3 5 42 2 2
x yx y
x y x y
xxy y dx y yx
y y y y y y y y y y y y y
พื้นท่ี R1
พื้นท่ี R2
4 3 2 4 43 2
11
5 4 5 5.6252 8 6
y y y ydy y y
28
Areas of Bounded Regions in the Planeในกรณีท่ีเราให ้f(x,y) = 1 เมื่อเราทำา Double integrals เราจะได้ผลลัพธเ์ป็นพื้นท่ี R ออกมา
1
n
n kk
S A
0 1
Area of Rlimn
kA k R
A dA
เริม่จาก เราแบง่ R ออกเป็นสีเ่หล่ียมเล็ก แล้วหาผลรวม
ผลรวม Sn นี้คือการประมาณพื้นท่ีของ R เมื่อเราแบง่ใหส้ีเ่หล่ียมละเอียดขึ้น โดยใหข้นาดเล็กลง และเพิม่จำานวนขึ้น จะได้
สตูรนี้ใชห้าพื้นท่ีของรูปทรงใดๆ
29
Example 1: Areas of Bounded Regions in the Plane
จงหาพื้นท่ีของ R ในรูปวธิทีำา 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต
จากรูปจะเหน็วา่ ขอบบนคือสมการ
R
2y x
y x(1,1)
y
y
(0,0)
2y xขอบล่างคือสมการy x
สว่นค่า x อยูร่ะหวา่ง0 1x
ได้
2
1
0
11 2 32
0 0
12 3 6
y x
y x
dydx
x xx x dx
Area
30
Example 2: Areas of Bounded Regions in the Plane
2y x
2y x
Rx
y
(2,4)
(-1,1)
จงคำานวณหาพื้นท่ี R ท่ีอยูร่ะหวา่งเสน้โค้ง y = x2 และ เสน้ตรง y = x+2วธิทีำา
1. หาจุดตัดระหวา่งเสน้โค้ง และ เสน้ตรง2y x 2y x
จดัรูปใหส้องสมการเท่ากัน ได้2 2x x
ได้คำาตอบ และ1x 2x ได้จุดตัด (-1,1) และ (2,4)
2. หาขอบเขตการอินทีเกรต จากรูปจะเหน็วา่ ขอบบนคือสมการ
2y xขอบล่างคือสมการ2y x
สว่นค่า x อยูร่ะหวา่ง1 2x
3. คำานวณ
2
22
1
22 2 32
1 1
92 22 3 2
y x
y x
dydx
x xx x dx x
Area
31
Example 2: Areas of Bounded Regions in the Plane (cont.)
2y x
2y x
R2
x
y
(2,4)
(-1,1)R1
ในกรณีท่ีเราใหล้ำาดับการอินทีเกรตเป็น dx dy เราจะต้องทำาดังน้ีเน่ืองจากเราไมส่ามารถเขยีนขอบเขตการอินทีเกรตชุดเดียวครอบคลมุพื้นท่ีได้หมด จงึจำาเป็นต้องแบง่พื้นท่ีเป็น 2 ชว่ง
ในชว่ง R1 ได้พื้นท่ี 1 1
0 0
132
0
2
4 43 3
x y
x y
dxdy y dy
y
ในชว่ง R2 ได้พื้นท่ี 4 4
1 2 1
43 22
1
2
2 1923 2 6
x y
x y
dxdy y y dy
yy y
ได้พื้นท่ีรวม 4 19 93 6 2
32
Average Valueการหาค่าเฉล่ียของ f(x,y) ใน Domain R เราสามารถใชส้ตูร
1Average value of f(x,y) = ( , )Area of R R
f x y dAตัวอยา่ง จงหาค่าเฉล่ียของ f(x,y) = xcos(xy) ในบรเิวณ R:0 , 0 1x y
วธิทีำา
11
00 0 0
00
cos( ) sin( )
sin( ) cos( ) 1 1 2
x xy dydx xy dx
x dx x
1. คำานวณ ( , )R
f x y dA
2. คำานวณค่าเฉล่ีย =1 1 2( , ) 2
Area of R R
f x y dA
33
Moments and Centers of massการประยุกต์ใชง้านอยา่งหน่ึงของ Double integrals คือการหา Moment และจุดศูนยก์ลางมวลของวตัถแุผ่นบางดังสตูรต่อไปน้ี
ให ้ เป็นความหนาแน่นของวตัถแุผ่นบาง (มหีน่วยเป็น นำ้าหนักต่อพื้นท่ี)( , )x y
เราสามารถคำานวณมวลได้ดังนี้ ( , )R
M x y dA
First order moments
( , )xR
M y x y dA ( , )yR
M x x y dA
Center of Mass(จุดศูนยก์ลางมวล)
yMx
M xMy
M ,x y โดย
เทียบกับแกน x : เทียบกับแกน y :
,x y
วตัถแุผ่นบาง
34
Moments and Centers of mass (continued)
Moment of inertia about a line L2 ( , ) ( , )L
R
I r x y x y dA โดย r(x,y) คือระยะทางจากจุด (x,y) ถึงเสน้ตรง L
Radii of Gyration (รศัมขีองไจเรชนั)
xx
IRM
yy
IR
M
รศัมเีทียบกับแกน x =
รศัมเีทียบกับแกน y = 00
IRM
รศัมเีทียบกับจุด (0,0) =
Moment of inertia (second order moment)2 ( , )x
R
I y x y dA 2 ( , )yR
I x x y dA
2 20 ( , ) x y
R
I x y x y dA I I
เทียบกับแกน x = เทียบกับแกน y =
เทียบกับจุด (0,0) =
35
Example: Moments and Centers of massมโีลหะแผ่นบางเป็นรูปสามเหล่ียมดังรูป และมคีวามหนาแน่นท่ีจุด (x,y) เป็น 6x+6y+6 kg/m2
y = 2x(1,2)
x
y
0 1
1 2 1 2
0 0 0 0
1 122 2
00 0
13 2
0
( , ) 6 6 6
6 3 6 24 12
8 6 14
x x
y x
y
M x y dydx x y dydx
xy y y dx x x dx
x x
มวล =
First order moment
1 2 1 22
0 0 0 0
1 122 3 2 3 2
00 0
14 3
0
( , ) 6 6 6
3 2 3 28 12
7 4 11
x x
x
y x
y
M y x y dydx xy y y dydx
xy y y dx x x dx
x x
1 2 1 2
2
0 0 0 0
( , ) 6 6 6 10x x
yM x x y dydx x yx x dydx
Center of Mass 10 11, ,14 14
x y
36
Example: Moments and Centers of mass (continued)
y = 2x(1,2)
x
y
0 1
Moment of inertia
1 2 1 22 2 3 2
0 0 0 0
21 13 4 3 4 3
0 00
15 4
0
( , ) 6 6 6
3 2 2 40 162
8 4 12
x x
x
y x
y
I y x y dydx xy y y dydx
xy y y dx x x dx
x x
1 2 1 2
2 3 2 2
0 0 0 0
39( , ) 6 6 65
x x
yI x x y dydx x x y x dydx
039 99125 5x yI I I
1214
xx
IR
M 39 39/14
5 70y
y
IR
M
00
99 99/145 70
IR
M
Radii of Gyration
37
Centroids of Geometric Figuresในกรณีท่ีความหนาแน่นของวตัถแุผ่นบางเป็นค่าคงท่ี เราจะเรยีกจุดศูนยก์ลางมวลวา่จุด Centroidsดังตัวอยา่งต่อไปนี้
R
2y x
y x(1,1)
y
y
(0,0)
ตัวอยา่ง จงหาจุด Centroid ของ Region R วึ่งอยูร่ะหวา่งเสน้โค้ง y = x2 และเสน้ตรง y = x
2
2
1 1 12
0 0 0
12 3
0
1
1 2 3 6
xy x
y xx
M dydx y dx x x dx
x x
2 2
1 1 12 2 4
0 0 0
13 5
0
2 2 2
1 6 10 15
y xx
xx y x
y x xM ydydx dx dx
x x
2
2
1 1 12 3
0 0 0
13 4
0
1 3 4 12
xy x
y y xx
M xdydx xy dx x x dx
x x
ได้ 1/12 1/15 1 2, , ,
1/ 6 1/ 6 2 5x y
38
Polar Coordinate SystemPolar coordinate system เป็นระบบบอกตำาแหน่งชนิดหนึ่งใน 2 มติิซึ่งประกอบมุมท่ีวดัจากแกน x (โดยกำาหนดใหค่้าของมุมเป็นบวก เมื่อมุมนัน้อยูใ่นทิศทวนเขม็นาฬิกา) และค่ารศัมีคือค่าระยะทางจากจุด (0,0) ถึงจุดท่ีเราอยู่
ตัวอยา่ง
(1,1)
x
y
2r
4
จุด (1,1) ในระบบ Rectangular coordinate system สามารถแปลงเป็นระบบ Polar coordinate system ได้ดังน้ี
2 2 1 1 2r x y
1arctan arctan1 4
yx
สรุปสตูรการแปลงระหวา่ง RectangularและPolar coordinate
2 2r x y arctan yx
cos( )x r sin( )y r
ได้จุด ( 2, )4 ในระบบ Polar coordinate
39
Polar Coordinate System
วธิใีชร้ะบบ Polar coordinate เราจะต้องคุ้นเคยกับการใชมุ้ม ดังตัวอยา่งต่อไปนี้
ใน Rectangular coordinate นัน้จุด (x,y) จะมีจุด (x,-y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน x
Reflection of a point about the x-axis
ใน Polar coordinate นัน้จุด (r,) จะมีจุด (r,-) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน x
Reflection of a point about the y-axis
ใน Rectangular coordinate นัน้จุด (x,y) จะม ีจุด (-x,y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน y
ใน Polar coordinate นัน้จุด (r,) จะมีจุด (r,-) หรอื(-r,-) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน y
40
Polar Coordinate System
ใน Rectangular coordinate นัน้จุด (x,y) จะม ีจุด (-x,-y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับจุด Origin
ใน Polar coordinate นัน้จุด (r,) จะมีจุด (-r,) หรอืจุด (r,+) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับจุด Origin
Reflection of a point about the origin
เสน้ตรง = c หมายถึงสว่นของเสน้ตรงท่ีเริม่จากจุด (0,0) และทำามุมกับแกน x เป็นมุม c
เสน้โค้ง r = c หมายถึงวงกลมรศัมเีท่ากับ c และมจุีดศูนยก์ลางท่ี (0,0)
เสน้ตรงและวงกลมใน Polar coordinate
Polar coordinate ใชไ้ด้ดีกับรูปทรงท่ีเป็นสว่นของวงกลม หรอืรูปทรงท่ีอธบิายโดยฟงัก์ชนัทางตรโีกณมติิในระบบ Rectangular coordinate
41
Polar GraphsPolar graph มกัจะอยูใ่นรูป r = function of ซึ่งเราสามารถวาดรูปกราฟเหล่าน้ีได้โดยอาศัยหลักการดังนี้
1. กำาหนดชว่งของ 2. คำานวณ r = f() แล้วเก็บเป็นตาราง3. Plot จุด (r,) โดย ใหมุ้ม = และระยะทาง จากจุด (0,0) เท่ากับ r
กราฟr = 1 - cos()
42
Advantage of Polar Coordinate Systemระบบ Rectangular coordinate (x,y) เหมาะสำาหรบัการอธบิายรูปทรงท่ีเป็นสีเ่หล่ียมผืนผ้า แต่จะไมเ่หมาะท่ีจะอธบิายรูปทรงท่ีเป็นสว่นโค้งของวงกลมดังรูป
R2 = 2
R1 = 1
A
B
Cถ้าเราใช ้Rectangular coordinate เราจะต้องแบง่พื้นท่ีออกเป็น 3 สว่นดังนี้
สว่น A 22 1, 0 4x y x
(0,0)
สว่น B 2 21 1, 1 4x x y x
สว่น C21 2, 0 4x y x
ถ้าเราใชร้ะบบ Polar coordinate เราสามารถอธบิายรูปทรงนี้ได้ดังนี้Region : 1 2, 0r
ซึ่งจะง่ายกวา่ใชร้ะบบ Rectangular coordinate มาก
-2 -1 1 2
43
Double Integrals in Polar Formในการทำา Double integral ในรูป ของระบบ Rectangular Coordinate นัน้เราทำาการแบง่ R เป็นพื้นท่ีสีเ่หล่ียมยอ่ยๆ แล้วจงึหาผลรวม
( , )R
f x y dxdy
1
( , )n
n k k kk
S f x y A
0 1
( , ) ( , )limn
k k kA k R
f x y A f x y dxdy
จะได้
การทำา Double integral ในระบบ Polar coordinate ก็เชน่เดียวกันเราสามารถแบง่ R ออกเป็นพื้นท่ียอ่ยๆตามรูปแล้วหาผลรวม
1
( , )n
n k k kk
S f r A
ซึ่งเมื่อ Take limit ให้
0A
0 1
( , )
( , )
limn
k k kA k
R
f r A
f r dA
จะได้
44
Double Integrals in Polar Formขอ้แตกต่างระหวา่งสตูร Double integral ในระบบ Rectangular coordinateกับของระบบ Polar coordinate คือ A หรอื dA คำานวณมาจากคนละสมการ
A x y ในระบบ Rectangular coordinate
เราจะได้dA dxdykx
ky kA
ในระบบ Polar coordinate A คำานวณได้จากพื้นท่ีของ Large sector - พื้นท่ีของ small sector
2 21 12 2 2 2
22
k k
k k
r rA r r
r r r r
เราจะได้ dA rdrd
เราจะได้สตูรการอินทีเกรตสำาหรบัPolar coordinate
( , )R
f r rdrd
45
Finding Limits of Integration in Polar Form ในการหาขอบเขตของการอินทีเกรตในระบบ Polar coordinate เรานิยมกำาหนดให ้ขอบเขตของ r อยูใ่นรูปของ function ของ และใหข้อบเขตของ เป็นค่าคงท่ีเพื่อความสะดวก 1. เราจะกำาหนดขอบเขตของ r เป็น รศัมวีงใน และ รศัมวีงนอก โดย
รศัมวีงใน 1( )r r
รศัมวีงนอก 2 ( )r r
2. กำาหนดขอบเขตของมุม มุมเริม่ต้น
มุมสิน้สดุ
2
1
( )
( )
( , )r
r
f r rdrd
ได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
46
Finding Limits of Integration in Polar Formขัน้ตอนในการหาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ Polar coordinate เป็นดังนี้
1. หาขอบเขตของ r คือ รศัมวีงนอก และรศัมวีงใน โดยมากโจทยม์กัจะกำาหนดขอบเขต Region อยูใ่นรูปฟงัก์ชนัในระบบ Rectangular coordinate ดังนัน้เราจงึต้องแปลงใหอ้ยูใ่นรูป Polar coordinate ก่อน โดยใชส้ตูร
cos( )x r sin( )y r
รศัมวีงนอก มสีมการ2 2 4x y เขยีนในรูป Polar form ได้2 2( cos ) ( sin ) 4r r
ได้ 2 4r หรอื r = 2
รศัมวีงใน มสีมการ 2y เขยีนในรูป Polar form ได้
sin 2r หรอื2 2 csc
sinr
47
Finding Limits of Integration in Polar Form (continued) วธิกีารหาวา่ขอบใดของ Region คือรศัมวีงใน ขอบใดคือรศัมวีงนอก ใหด้ท่ีู ระยะทางจากจุด (0,0) ถึงขอบนัน้ๆ - ถ้าขอบใดใกล้จุด (0,0) มากท่ีสดุใหถื้อวา่ขอบนัน้เป็นขอบใน
- ถ้าขอบใดไกลจุด (0,0) มากท่ีสดุใหถื้อวา่ขอบนัน้เป็นขอบนอก
ขอบน้ีอยูไ่กลกวา่ ใหถื้อวา่เป็นรศัมวีงนอก
ขอบน้ีอยูใ่กล้กวา่ ใหถื้อวา่เป็นรศัมวีงใน
48
Finding Limits of Integration in Polar Form (continued)
2. ขัน้ตอนต่อมาคือการหาขอบเขตของ โดยดจูากมุมท่ีเล็กท่ีสดุและมุมท่ีโตท่ีสดุท่ีเสน้ตรงในแนวรศัมสีมัผัสกับ Region
มุมท่ีเล็กท่ีสดุในขอ้น้ีคือ1 1tan
1 4
(1,1)
มุมท่ีโตท่ีสดุในขอ้นี้คือ
2
3. ขัน้ตอนสดุท้ายคือการเขยีนสตูรการอินทีเกรต2
1
( )
( )
( , )r
r
f r rdrd
ในขอ้น้ีเราจะได้22
2 csc4
( , ) r
r
f r rdr d
ระวงัอยา่ลืมใส ่r ตรงน้ี !
49
Example: Finding Limits of Integration in Polar Formจงเขยีนสตูรการอินทีเกรตฟงัก์ชนั f(r,) = rcos ในรูป Polar form ของ Region ในภาพ
R
1 1 cosr 2 1r 1. หาขอบเขตของ r ในท่ีนี้ในบรเิวณ Region R จะเหน็วา่ r1 จะอยูใ่กล้กวา่ r2 ดังนัน้จะได้ r1 เป็นรศัมวีงใน r2 เป็นรศัมวีงนอก
รศัมวีงนอก
รศัมวีงใน
2. หาขอบเขตของมุม โดยดจูากจุดตัดของสมการทัง้สอง
จุดตัดด้านล่างอยูท่ี่มุม
จุดตัดด้านบนอยูท่ี่มุม2
2
3. ได้สตูร12
2
1 cos2
cos r
r
r dr d
50
Area in Polar Coordinatesในกรณีท่ีเรากำาหนดให ้f(r,) = 1 เราจะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
2
1
( )
( )
r
r
rdrd
ซึ่งจะได้พื้นท่ีออกมา
Area = 2
1
( )
( )
r
r
rdrd
ตัวอยา่งจงหาพื้นท่ีของวงปิด2 4cos 2r
2 4cos 2r
1. หาขอบเขตของ rในขอ้น้ีจะเหน็วา่เราไมม่รีศัมวีงใน ดังนัน้รศัมวีงในคือ 0สว่นรศัมวีงนอกคือ 2 cos 2r
2. หาขอบเขตของ
ในขอ้น้ีเราจะแบง่พื้นท่ีออกเป็น 4 สว่น แล้วหาพื้นท่ีเพยีงสว่นเดียวแล้วคณูด้วย 4
0
4
มุมท่ีเล็กท่ีสดุคือมุม = 0มุมท่ีโตท่ีสดุ: เน่ืองจากเสน้โค้ง ผ่านจุด (0,0) ท่ีจุดน้ีได้ r = 02 4cos 2r
เราได้ cos 2 0 หรอื20 4cos 2 ได้2
2 หรอื
4
51
Area in Polar Coordinates (continued)
4 ดังนัน้ได้สตูรหาพื้นท่ีในรูปเป็น
2 cos24
0 0
r
r
rdr d
ทำาการอินทีเกรตชัน้แรกได้
2 cos22 cos2 2
0 0
cos 22
rr
r r
rrdr
ทำาการอินทีเกรตชัน้ท่ีสองได้4 4
00
sin 2 1cos 22 2
d
พื้นท่ีรวมทัง้หมด =14 22
52
Changing Cartesian Integrals into Polar Integralsการแปลงจากระบบ Rectangular coordinate เป็น Polar coordinate บางครัง้จะชว่ยให้การอินทีเกรตทำาได้ง่ายขึ้นดังตัวอยา่งนี้
R 1 x
y 2 2 1x y ตัวอยา่ง จงคำานวณค่า
211
2 2
0 0
y xx
x y
x y dydx
ในขอ้น้ี ขอบเขตการอินทีเกรตคือพื้นท่ี 1/4 ของวงกลมดังรูปถ้าอินทีเกรตโดยตรงจะเป็นดังน้ี
อินทีเกรตชัน้แรก 22 3/ 21 21 32 2 2 2 2
0 0
11
3 3
y xy x
y y
xyx y dy x y x x
อินทีเกรตชัน้ท่ีสอง 3/ 2212 2
0
11
3
x
x
xx x dx
ทำาต่อไปจะลำาบาก
53
Changing Polar Integrals into Cartesian Integrals
R 1 x
y 2 2 1x y
2 2 2 2 2 2( , ) cos sinf x y x y r r
ในขอ้เดียวกันถ้าเราเปล่ียนมาใช ้Polar coordinate จะต้องมขีัน้ตอนดังนี้1. ใน function f(x,y) เราจะต้องแทน x ด้วย rcosและแทน y ด้วย rsin จะได้ f(r,) เป็น
2. หาขอบเขตการอินทีเกรตใหมใ่นรูป r และ ได้ รศัมวีงใน r = 0 รศัมวีงนอก r = 1 มุมตำ่าสดุ = 0 มุมสงูสดุ = /2
3. เขยีนสตูรการอินทีเกรต
2
1
( ) / 2 1 / 2 12 3
( ) 0 0 0 0
( , )r r r
r r r
f r rdrd r rdrd r drd
4. คำานวณ
1/ 2 1 / 2 / 243
0 0 0 00
14 4 8
rr
r r
rr drd d d
54
Example: Changing from rectangular to polar form
จงคำานวณค่า 2 2
yx
x y
x y
e dydx
(ขอ้น้ีมขีอบเขตการอินทีเกรตเป็น ระนาบ XY ทัง้หมด)
วธิทีำา 1. เปล่ียนรูปเป็น Polar form ได้ 2 2 2
( , ) ( , )x y rf x y e e f r
2. หาขอบเขตการอินทีเกรตในรูป r และ ได้ รศัมวีงใน r = 0 รศัมวีงนอก r = มุมตำ่าสดุ = 0 มุมสงูสดุ = 2
3. เขยีนสตูรการอินทีเกรต2
2
1
( ) 2
( ) 0 0
( , )r r
r
r r
f r rdrd e rdrd
4. คำานวณ
22
2 2 2
0 0 0 00
10 ( )2 2
rr rr
r r
ee rdrd d d
55
Triple Integrals in Rectangular Coordinates
z
xy
D
x
y
zในกรณีของการอินทีเกรต function 3 ตัวแปรในระบบRectangular coordinate เรามวีธิคิีดดังน้ี
กำาหนดใหข้อบเขตการอินทีเกรตเป็น Region D ดังรูปถ้าเราแบง่ D ออกเป็นกล่องสีเ่หล่ียมเล็กโดยมีความกวา้งเป็น x ความยาวเป็น y ความสงูเป็น z
v
ปรมิาตรของกล่องจะเป็นv x y z
เราจะได้ผลรวม Rieman sum เป็น
1
1
( , , )
( , , )
n
n k k k kk
n
k k k k k kk
S f x y z v
f x y z x y z
0, 1
( , , ) ( , , ) ( , , )limn
k k k kv n k D D
f x y z v f x y z dv f x y z dxdydz
เมื่อให ้v เขา้ใกล้ 0 จะได้
56
Properties of Triple Integrals
( , , ) ( , , )D D
kf x y z dv k f x y z dv
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )D D D
f x y z g x y z dv f x y z dv g x y z dv
( , , ) 0 if ( , , ) 0 on DD
f x y z dv f x y z
( , , ) ( , , ) if ( , , ) ( , , ) on DD D
f x y z dv g x y z dv f x y z g x y z
1 2
( , , ) ( , , ) ( , , )D D D
f x y z dv f x y z dv f x y z dv
1.
2.
3.
4.
5. If 1 2D D D D = D1 D2
57
Comparison Between Double integrals and Triple integrals
ในสตูร Double integral ตัวอนุพนัธท่ี์ใชจ้ะเป็น dA (โดย A ยอ่มาจาก Area)
เพราะวา่ขอบเขตการอินทีเกรต (R) เป็นพื้นท่ีในระนาบ 2 มติิ (ระนาบ XY)
( , )R
f x y dA
dV
D
x
y
z ในกรณีของ Triple integral ตัวอนุพนัธจ์ะใชเ้ป็นdV (โดย V ยอ่มาจาก Volume)
เพราะวา่ขอบเขตการอินทีเกรต (D) เป็นปรมิาตรใน 3 มติิ
( , , )D
f x y z dv
หมายเหต ุในกรณีน้ีเรามตัีวแปรถึง 3 ตัว แต่การอินทีเกรตทำาได้ทีละตัวแปร ดังนัน้เราจะต้องทำาการอินทีเกรตถึง 3 ครัง้ เราจงึเรยีกวา่ Triple integral
58
Procedure for Finding Limits of Integration in Triple Integrals เรื่องสำาคัญเรื่องแรกในการคำานวณ Triple integral คือการหาขอบเขตของการอินทีเกรต ในกรณีนี้เราม ีขอบเขตการอินทีเกรต D เป็นรูปทรงใน 3 มติิดังรูป
1.กำาหนดลำาดับการอินทีเกรต เชน่ ถ้าอินทีเกรตเทียบกับ z, y, และ x ตามลำาดับ จะได้ลำาดับการอินทีเกรตเป็น dz dy dx
2. หาขอบเขตของตัวแปรท่ีจะอินทีเกรตเป็นลำาดับแรกสดุ (ในกรณีน้ี คือ z) โดยใหอ้ยูใ่นรูปฟงัก์ชนัของตัวแปรท่ีเหลือ(ในกรณีน้ีคือ x และ y) โดยกำาหนดให้
พื้นผิวด้านบนคือสมการ z = f2(x,y)พื้นผิวด้านล่างคือสมการ z = f1(x,y)
การกำาหนดขอบเขตมขีัน้ตอนดังนี้
ฝาด้านบน
ฝาด้านล่าง
ใหเ้รามองวา่รูปทรงนี้มฝีาครอบด้านบนและด้านล่างโดยฝาด้านบนคือสมการ z = f2(x,y) และฝาด้านล่างคือสมการ z = f1(x,y)
59
Procedure for Finding Limits of Integration in Triple Integrals
3. หา “เงา” ของรูปทรง D ท่ีตกลงบนระนาบของตัวแปรท่ีเหลือ (ในท่ีนี้คือระนาบ XY) แล้วหาขอบเขตของตัวแปรท่ีจะอินทีเกรตเป็นลำาดับถัดมา(ในกรณีนี้ คือ y) โดยใหอ้ยูใ่นรูปฟงัก์ชนัของตัวแปรท่ีเหลือ (ในกรณีน้ีคือ x) โดยกำาหนดให้ ขอบด้านล่างของเงาคือสมการ y = g1(x)
ขอบด้านบนของเงาคือสมการ y = g2(x)
เงาของ D ท่ีตกบนระนาบ XY(เสมอืนเป็นภาพ Top view ของ D)
4. หาขอบเขตของตัวแปรท่ีจะอินทีเกรตเป็นลำาดับสดุท้าย (ในกรณีน้ี คือ x) โดยกำาหนดใหอ้ยูใ่นรูปค่าตำ่าสดุและสงูสดุ ค่าตำ่าสดุของ x คือ a
ค่าสงูสดุของ x คือ b ได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , )y g x z f x yx b
x a y g x z f x y
F x y z dzdydx
60
y
x
z
A(1,1,0)(0,1,0)
B(0,1,1)
DC(0,0,0)
Example1: Finding Limits of Integration in Triple Integrals
ตัวอยา่ง จงหาขอบเขตการอินทีเกรต โดยกำาหนดใหเ้ป็น Region D ท่ีประกอบด้วยจุดยอดท่ี (0,0,0) (0,1,0)(1,1,0) และ (0,1,1)
วธิทีำา 1. เราต้องหาสมการของระนาบพื้นผิวด้านบน ก่อนระนาบน้ีผ่านจุด (0,0,0) (0,1,1) และ (1,1,0)
1 1 00 1 1
i j ki j k
1.1 หา Normal vector =
1.2 ได้สมการระนาบ 0x y z
2. กำาหนดลำาดับการอินทีเกรต ในขอ้นี้ เราใหเ้ป็น dy dz dx
3. หาขอบเขตของ y ในรูป function ของ x และ z ได้ ขอบซา้ย เป็นสมการy x z
ขอบซา้ยขอบขวา
ได้ ขอบขวา เป็นสมการ 1y
61
y
x
z
A(1,1,0)(0,1,0)
B(0,1,1)
D
C
4. หาขอบเขตของ z ในรูป function ของ xใหเ้ราด ู“เงา” ของสามเหล่ียม ABC ท่ีมจุีดยอดท่ี (1,1,0),(0,1,1) และ (0,0,0) ท่ีตกบนระนาบ XZ
Example1: Finding Limits of Integration in Triple Integrals (cont.)
เงานี้ เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีประกอบด้วยด้าน 3 ด้านคือเสน้ตรงx + z = 1, z = 0 และ z = 0
ดังนัน้จะได้ขอบเขตของ z เป็น1z x 0z ขอบบน ขอบล่าง
5. หาขอบเขตของ x ได้ ค่าตำ่าสดุของ x คือ x = 0 และค่าสงูสดุของ x คือ x = 1
เราจะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น11 1
0 0
( , , )yx z x
x z y x z
F x y z dydzdx
62
Example2: Volume of a Region in Spaceในกรณีท่ีเราให ้f(x,y,z) = 1 การทำา Triple integral จะได้ปรมิาตรของ Region นัน้ออกมาตัวอยา่ง จงหาปรมิาตรของผิวปิดท่ีเกิดจากผิว z = x2+3y2 และ z = 8-x2-y2
ในขอ้น้ีเราม ีParaboloid 2 สมการดังรูป
ฝาด้านบน
ฝาด้านล่าง
1. หาขอบเขตของ z“ฝาค้านบน”คือสมการ
2 28z x y
“ฝาค้านล่าง”คือสมการ2 23z x y
2. หาเงาของ Region ท่ีตกลงบนระนาบ XY
ในกรณีน้ีเราต้องหารอยตัดของพื้นผิว ทัง้สอง จากการใหส้องสมการเท่ากัน
(วธินีี้ใชเ้ฉพาะในขอ้นี้)2 2 2 28 3x y x y
ได้สมการ 2 22 4x y
yx
z
63
Example2: Volume of a Region in Space (continued)
3. เมื่อได้เงาของ Region ท่ีตกลงบนระนาบ XY เป็นสมการ
2 22 4x y
ใหเ้ขยีน y ในรูป function ของ x
2-2 x
y2
2
242
xy
242
xy
ขอบล่าง
ขอบบน
242
xy ขอบบน
242
xy ขอบล่าง
4. หาขอบเขตของ x ได้ 2 2x
ได้สตูรการอินทีเกรตเป็น2 2 2
2 22
(4 ) / 2 82
2 3(4 ) / 2
y x z x yx
x z x yy x
dzdydx
64
2 2 2
2 22
2 2
2 2
2
2
(4 ) / 2 82
2 3(4 ) / 2
(4 ) / 2 (4 ) / 22 22 2 2 2 2 2
2 2(4 ) / 2 (4 ) / 2
(4 ) / 22 32
2 (4 ) / 2
8 3 = 8 2 4
48 2 2(8 23
y x z x yx
x z x yy x
y x y xx x
x xy x y x
xx
x x
dzdydx
x y x y dydx x y dydx
yx y dx x
3/ 22 2 22
2
3/ 2 3/ 22 22 2 3/ 22
2 2
4 8 4)2 3 2
4 8 4 4 28 42 3 2 3
8 2
x
x
x x
x x
x x dx
x x dx x dx
5. คำานวณปรมิาตร
Example2: Volume of a Region in Space (continued)
65
Example3: Finding Limits of Integration in Triple Integrals
1
1
2x
y
zy + z = 1
จงหาสตูรการอินทีเกรตหาปรมิาตรของแท่งปรซิึ่มนี้วธิทีำา ลำาดับการอินทีเกรตท่ีเป็นไปได้ม ี6 รูปแบบท่ีไมซ่ำ้ากันดังน้ี
11 2
0 0 0
y zz x
z y x
dxdydz
a)
b)1 1 2
0 0 0
y z y x
y z x
dxdzdy
c) d)
e) f)
11 2
0 0 0
y zz x
z x y
dydxdz
11 1
0 0 0
y zx z
x z y
dydzdx
1 12
0 0 0
y z yx
y x z
dzdxdy
1 12
0 0 0
y z yx
x y z
dzdydx
66
Example4: Volume of a Region in Spaceจงหาปรมิาตรของ Region ท่ีอยูร่ะหวา่ง 2 Cylinder ดังรูป
ในขอ้นี้เรามทีรงกระบอกในแนวตัง้ (ขนานกับแกน z) ตัดกับทรงกระบอกในแนวนอน (ขนานกับแกน y)วธิทีำา 1. จดัลำาดับการอินทีเกรตเป็น dz dy dx
2. หาขอบเขตของ z ได้เป็น 20 1z x
3. หาขอบเขตของ y ได้เป็น 20 1y x
0 1x 4. หาขอบเขตของ x ได้เป็น
ได้ผลลัพธข์องการอินทีเกรตเป็น
2 221 11 1 12
0 0 0 0 0
11 32 2
0 0
1
21 13 3
y x y xx z x x
x y z x y
xx
x x
dzdydx x dydx
xx x dx x
67
Average Value in Space
2
2
2x
y
z
การหาค่าเฉล่ียของ f(x,y,z) ใน Domain D เราสามารถใชส้ตูร1Average value of f(x,y,z) = ( , , )
Volume of D D
f x y z dV
Dวธิทีำา 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต ได้
ตัวอยา่ง จงหาค่าเฉล่ียของ F(x,y,) = xyz ในกล่องลกูบาศก์ดังรูป
0 2, 0 2, 0 2,x y z 2. ทำาการอินทีเกรต
222 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 222
00 0 0 0
22
0
2
2 4
2 8
xyz x
z y x x
y
y
x yzxyzdxdydz dydz
yzdydz y z dz zdz
z
3. หาปรมิาตรของกล่อง Volume = กวา้งxยาวxสงู = 23=8
ได้ค่าเฉล่ีย = 8/8 = 1
68
Moments and Mass in 3 Dimensionsการประยุกต์ใชง้านอยา่งหน่ึงของ Triple integrals คือการหา Moment และจุดศูนยก์ลางมวลของวตัถ ุ3 มติิดังสตูรต่อไปนี้
ให ้ เป็นความหนาแน่นของวตัถ ุ3 มติิ (มหีน่วยเป็น นำ้าหนักต่อปรมิาตร)( , , )x y z
เราสามารถคำานวณมวลได้ดังนี้ ( , , )D
M x y z dV
First order moments( , , )yz
D
M x x y z dV
Center of Mass(จุดศูนยก์ลางมวล)
yzMx
M xzMy
M
, ,x y zเทียบกับระนาบ yz :
, ,x y z
วตัถ ุ3 มติิ
( , , )xzD
M y x y z dVเทียบกับระนาบ xz :
( , , )xyD
M z x y z dVเทียบกับระนาบ xy :
xyMz
M
69
Moment of inertia about a line L
โดย r คือระยะทางจากจุด (x,y,z) ถึงเสน้ตรง L
Moment of inertia (second order moment)
2 2 ( , , )xD
I y z x y z dV เทียบกับแกน x :
เทียบกับแกน y :
Moments and Mass in 3 Dimensions (continued)
2 2 ( , , )yD
I x z x y z dV
เทียบกับแกน z : 2 2 ( , , )zD
I x y x y z dV
2 ( , , )LD
I r x y z dVRadii of Gyration (รศัมขีองไจเรชนั) L LR I M
x xR I Mรศัมเีทียบกับแกน x:
เทียบกับเสน้ตรง L:
y yR I Mรศัมเีทียบกับแกน y:
z zR I Mรศัมเีทียบกับแกน z:
70
Example: Moments and Mass in 3 Dimensions
x
y
z
b
c
a
จงคำานวณหา Ix Iy และ Iz ของวตัถดุังรูปท่ีมคีวามหนาแน่นคงท่ี =
/ 2/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2 / 2
y bz c x a
xz c y b x a
I y z dxdydz
วธิทีำา
เน่ืองจาก (y2+z2) เป็นฟงัก์ชนัสมมาตรเราจงึสามารถปรบัอินทีเกรตเป็น
/ 2/ 2 / 2 / 2 / 22 2 2 2
0 0 0 0 0
/ 2/ 2 / 23 3 22
0 00
3 32 2 2 2
8 4
4 43 24 2
448 48 12 12
y bz c x a c b
xz y x
y bc c
y
I y z dxdydz a y z dydz
y b z ba z y dz a dz
b c c b abc Ma b c b c
โดย M = มวลของวตัถุ ในทำานองเดียวกัน เราได้ 2 2
12yMI a c 2 2
12zMI a b
71
Example: Moments and Mass in 3 Dimensionsจงหาจุดศูนยก์ลางมวลของวตัถดัุงรูปท่ีมคีวามหนาแน่นคงท่ี =
วธิทีำา1. จากรูป เนื่องจากวตัถน้ีุสมมาตรตามแนวแกน zเราสามารถสรุปได้วา่ 0x 0y
2. คำานวณ z
2 22 2 44 2
0 0
22 2
( , , )
2
4
xyD
z x yz x y
R z R z
R
M z x y z dV
zz dzdydx dydx
x y dydx
เพื่อความสะดวก เราเปล่ียนจาก Rectangular เป็น Polar form จะได้
2 22 22 2 2
0 0
22 232
00 0
4 42
1 16 3242 6 3 3
xyR
r
r
M x y dydx r rdrd
r d d
ในทำานองเดียวกัน เราได้8
D
M dzdydx
จะได้43
xyMz
M
72
ในระบบ Cartesian (Rectangular) Coordinate นัน้เราใช ้(x,y,z) ในการบอกตำาแหน่งของจุดใน Space 3 มติิ ระบบน้ีเหมาะสมจะใชใ้นการอินทีเกรตในกรณีท่ีขอบเขตของการอินทีเกรตประกอบด้วยเสน้ตรง ระนาบหรอื เป็นกล่อง แต่ถ้าขอบเขตการอินทีเกรตเป็นรูปทรงอ่ืนๆ เชน่ทรงกระบอก ทรงกลมแล้ว การใช ้Rectangular Coordinate ในการอินทีเกรตจะยากมาก
เราสามารถใชร้ะบบการบอกตำาแหน่งแบบอ่ืนๆมาชว่ยในการอินทีเกรตได้เชน่การใช้Polar coordinate ท่ีผ่านมา ในกรณีของ Space 2 มติิ หรอื Cylindrical Coordinate และ Spherical Coordinate ในกรณีของ Space 3 มติิเป็นต้น ระบบเหล่าน้ีอาจไมเ่ป็นท่ีคุ้นเคยนัก แต่จะสามารถชว่ยใหก้ารคำานวณง่ายขึ้นมากถ้าเลือกระบบ Coordinate ท่ีเหมาะสม
Coordinate Systems
73
Cylindrical Coordinate ระบบพกิัดทรงกระบอกเป็นระบบผสมระหวา่ง Polar coordinate กับ Rectangular Coordinate โดย (x,y) ในระบบ rectangular จะถกูแทนด้วย (r,) ในระบบ Polar สว่นค่า z ทัง้ 2 ระบบเป็นตัวเดียวกัน ดังนัน้ ระบบ Cylindrical coordinate จะประกอบด้วยค่า 3 ค่าคือ r,, และ z ดังรูป
ระบบพกิัดทรงกระบอกนี้ เหมาะสำาหรบัอธบิายวตัถ ุ3 มติิท่ีมรีูปทรงเป็นทรงกระบอกในแนวตัง้ (แกนของทรงกระบอกขนานแกน z)
โดยหน้าตัดของรูปทรงนี้ในแนวระนาบ xyเราจะอธบิายโดยใช ้Polar form (r,) สว่นความสงูเราจะใช ้z อธบิาย
74
Relation Between (r,, z ) and (x,y,z)
cosx r
siny r
z z
From Cylindrical To Cartesian
2 2r x y
arctan yx
z z
From Cartesian To Cylindrical
หมายเหต ุz ใน Cylindrical และ Cartesian เป็นตัวเดียวกัน
สตูรการแปลงระหวา่ง Cylindrical และ Rectangular coordinate เป็นดังนี้
75
Objects of Constant r,, z in Cylindrical Coordinate ในการวเิคราะหร์ูปรา่งวตัถโุดยใชร้ะบบพกิัดทรงกระบอก เราต้องทราบวา่ ถ้าเราใหตั้วแปรใดตัวแปรหนึ่ง
คงท่ี แล้วเราจะได้วตัถใุดออกมา ดังเชน่กรณีต่อไปน้ี
2. ถ้าให ้z = z0 เราจะได้ระนาบท่ีขนานกับระนาบ xy และมคีวามสงูจากระนาบ xyเท่ากับค่า z0
1. ถ้าให ้r = r0 เราจะได้ผิวทรงกระบอกหน้าตัดวงกลม มแีกน z เป็นแกนกลางและมรีศัมีเท่ากับ r0
3. ถ้าให ้ = 0 เราจะได้ระนาบท่ีตัง้ฉากกับระนาบ xy และทำามุมกับระนาบ xz เท่ากับ 0
76
dV in Cylindrical Coordinate
dV dz rdr d
ในสตูร Triple integrals อนุพนัธท่ี์ใชคื้อ dV นัน้มคีวามหมายเป็น “สว่นยอ่ยๆ” ของปรมิาตรดังนัน้เมื่อเราทำาการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกระบอกเราจะต้องทราบวา่ dV มสีตูรอยา่งไร
สำาหรบัระบบพกิัดทรงกระบอก เราจะม ีdV เป็นชิน้สว่นดังรูป ซึ่งสามารถคำานวณปรมิาตรได้จาก
( , , )D
f r z dV
ดังนัน้สตูรการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกระบอกจะเป็น
( , , )D
f r z rdzdrd
77
Triple Integral in Cylindrical Coordinate
2( , )2
1 1
( )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) rz gr h
D r h z g r
f r z dv f r z dz rdr d
ในการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกระบอก เพื่อความสะดวก เรานิยมให ้z เป็น function ของ (r,) และให ้r เป็น function ของ ซึ่งจะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
ดังนัน้ลำาดับการอินทีเกรตจะเป็น dz dr d เราจะได้ขัน้ตอนการหาขอบเขตการอินทีเกรตดังนี้
ขอบเขต z จะอยูใ่นรูปแบบ พื้นผิวด้านบนคือสมการ z = g2(r,) พื้นผิวด้านล่างคือสมการ z = g1(r,)
1. Finding Limit of z in Cylindrical Coordinate
78
Finding Limit of Integration in Cylindrical Coordinate
2. Finding Limit of r in Cylindrical Coordinate หลังจากท่ีเราได้ขอบเขตของ z แล้ว จะเหลือตัวแปร 2 ตัวคือ (r,) ใหเ้ราหาขอบเขตของ (r,) โดยวธิกีารเดียวกับการหา ขอบเขตของ (r,) ใน Polar coordinate กล่าวคือ
2.1 หาเงาของ Region ท่ีตกลงบนระนาบ XY2.2 หาขอบเขตของ r ในรูป function ของ
รศัมวีงใน 1( )r h รศัมวีงนอก 2 ( )r h
3. Finding Limit of มุมเริม่ต้น
มุมสิน้สดุ
2( , )2
1 1
( )
( ) ( , )
( , , ) rz gr h
r h z g r
f r z dz rdrd
ได้สตูร
79
Example 1: Finding Limit of Integration in Cylindrical Coordinate
2
y = x
1
z = 2 - y
x
y
z จากรูป จงหาขอบเขตของการอินทีเกรตในรูปพกิัดเชงิขัว้วธิทีำา 1. หาขอบเขตของ z ในรูปผิวด้านบนและผิวด้านล่าง
ผิวด้านบนคือสมการ z = 2 - yผิวด้านล่างคือสมการ z = 0
เน่ืองจากระบบ Cylindrical coordinate มตัีวแปรเป็น (r,,z) เราจงึต้องแปลง z ใหอ้ยูใ่นรูปฟงัก์ชนัของ (r,)
จะได้ผิวด้านบนคือสมการ ผิวด้านล่างคือสมการ
sin2 rz 0z
2.หาขอบเขตการอินทีเกรตของ r ในขัน้ตอนนี้เราต้องมองภาพ Top view ของรูปทรงนี้
0 1
y = x
x
y
ภาพ Top view ในท่ีนี้ รศัมวีงในคือ r = 0 เพราะวา่รูปสามเหล่ียมนี้รวมจุด (0,0) ไว้สว่นรศัมวีงนอกคือเสน้ตรง x = 1 แต่เน่ืองจากวา่ในท่ีน้ีเราต้องการสมการในรูปของ r และ
รศัมวีงนอก สมการ x = 1 จะได้ 1cos r
หรอืรศัมวีงนอกจะได้ cos1
r
80
Example 1: Finding Limit of Integration in Cylindrical Coordinate (cont.)
2
y = x
1
z = 2 - y
x
y
z
0 1
y = x
x
y
3. หาขอบเขตของ มุมเริม่ต้นมุมสิน้สดุ
0
4
4. จะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
4
4/
0
cos/1
0
sin2
0
),,(
r
r
rz
z
zrdrdzrf
81
Example2: Triple Integral in Cylindrical Coordinateจงหาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกระบอกของวตัถใุนรูปโดยกำาหนดให้
ผิวด้านบนคือสมการ 2 2z x y ผิวด้านล่างคือสมการ z = 0 สว่นผิวด้านขา้งเป็นทรงกระบอกในแนวตัง้ท่ีแกนกลางผ่านจุด (0,1,0)
วธิทีำา1. หาขอบเขตของ z ในขอ้น้ีเราได้ พื้นผิวด้านบนคือสมการ พื้นผิวด้านล่างคือสมการ
2 2 2z x y r
0z
2. หาเงาของรูปทรงนี้ในระนาบ XYเน่ืองจากผิวด้านขา้งของรูปทรงนี้คือทรงกระบอกท่ีมีหน้าตัดวงกลมดังในรูป ดังนัน้เงาของรูปทรงนี้จะเป็นวงกลมรศัม ี1 หน่วยและมจุีดศูนยก์ลางท่ี (0,1,0)ซึ่งมสีมการเป็น
สมการของวงกลมน้ีใน Polar form จะเป็น 22 1 1x y
22 2cos sin 1 1r r
หรอื 2sinr
82
Example2: Triple Integral in Cylindrical Coordinate (cont.)
3. หาขอบเขตของ r ในรูป function ของ ในขอ้น้ี เน่ืองจาก วงกลม ผ่านจุด (0,0) ดังนัน้ รศัมวีงในจะเป็น r = 0
สว่นรศัมวีงนอกจะเป็น 22 1 1x y
2sinr
4. หาขอบเขตของ
(0,1)
x
y
เงาของรูปทรงน้ีในระนาบ xy
เน่ืองจากวงกลมสมัผัสแกน x พอดีจะได้มุมเริม่ต้น = 0และมุมสิน้สดุ =
เราจะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น22sin
0 0 0
( , , ) r z r
r z
f r z dz rdrd
83
Example3: Triple Integral in Cylindrical Coordinateจงหาจุดศูนยก์ลางมวลของรูปทรงตันในภาพท่ีถกูปิดด้วยทรงกระบอก และมขีอบเขตบนเป็น และขอบเขตล่างเป็นระนาบ xy โดยมคีวามหนาแน่น = 1
2 2 4x y 2 2z x y
วธิทีำา 1. เน่ืองจากรูปทรงนี้สมมาตรกับแกน z ดังนัน้ได้0x 0y
2. หาขอบเขตของ z ในรูป function ของ r และ zเหลือค่าท่ีต้องคำานวณคือ
ได้พื้นผิวด้านบนเป็น 2 2 2z x y r
ได้พื้นผิวด้านล่างเป็น 0z
3. หาขอบเขตของ r ได้รศัมวีงใน r = 0ได้รศัมวีงนอก r = 2
4. หาขอบเขตของ ได้ได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
0 2
22 2
0 0 0
( , , ) r z r
r z
f r z dz rdrd
84
Example3: Triple Integral in Cylindrical Coordinate (cont.)
5. หามวลของรูปทรงตัน 2
22 2 2 2
00 0 0 0 0
22 2 2 243
0 0 0 00
1
4 84
r z r rz r
zr z r
r
r
M dz rdrd z rdrd
rr drd d d
6. คำานวณ Mxy222 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
22 2 2 25 6
0 0 0 00
2
16 322 12 3 3
z rr z r r
xyr z r z
r
r
zM zdz rdrd rdrd
r rdrd d d
ได้ 32 / 3 48 3
z
ได้จุด 4, , 0,0,3
x y z
85
Spherical Coordinateระบบพกิัดทรงกลมเป็นระบบบอกตำาแหน่งท่ีออกแบบมาใชอ้ธบิายตำาแหน่งของวตัถบุนผิวทรงกลมโดยประกอบด้วยค่า 3 ค่าคือ , และ ตามความหมายดังนี้
ระบบนี้คล้ายกับระบบท่ีเราใชใ้นการบอกตำาแหน่งพกิัดบนโลกด้วยด้วยค่า Latitudeและ Longitude และ Altitudeในท่ีนี้ Latitude เทียบได้กับ Longitude เทียบได้กับ สสสสAltitude เป็นการวดัระดับความสงูจากระดับนำ้าทะเล (ผิดกับค่า ท่ีเป็นระยะทางวดัจากจุดศูนยก์ลาง)
คือระยะทาง (รศัม)ี ท่ีวดัจากจุด (0,0,0) ถึงจุด (x,y,z) คือมุมในระนาบ xy ของท่ีเวคเตอร ์ ทำามุมกับแกน x โดยxi yj
คือมุมท่ีเวคเตอร ์ ทำามุมกับแกน z โดย xi yj zk
0
0 2
86
Relation between , , and other coordinates
sin cosx
cosz
From Spherical to Cartesian
sinr
arctan yx
From Cartesian to Spherical2 2 2x y z
sin siny
2 2r x y
arctan rz
สตูรการแปลงระหวา่ง Spherical และ Rectangular coordinate เป็นดังนี้
ระบบพกิัดน้ีเหมาะสำาหรบัอธบิายรูปทรงท่ี ประกอบด้วยสว่นของทรงกลม หรอืกรวย
หมายเหต ุ ในระบบพกิัดทรงกระบอกกับในระบบพกิัดทรงกลมเป็นตัวเดียวกัน
87
Objects of Constant , , in Spherical Coordinate ในการวเิคราะหร์ูปรา่งวตัถโุดยใชร้ะบบพกิัดทรงกลมน้ี เราต้องทราบวา่ ถ้าเราใหตั้วแปรใดตัวแปรหนึ่ง
คงท่ี แล้วเราจะได้วตัถใุดออกมา ดังเชน่กรณีต่อไปน้ี
2. ถ้าให ้ = 0 เราจะได้ครึง่หน่ึงของระนาบท่ีตัง้ฉากกับระนาบ xy และผ่านแกน z และทำามุมกับระนาบ xz เท่ากับ 0 ดังรูป
1. ถ้าให ้ = 0 เราจะได้ผิวทรงกรวย มแีกน z เป็นแกนกลางและกรวยกางเป็นมุมเท่ากับ 0 เมื่อวดัจากแกน z ดังรูป
3. ถ้าให ้ = 0 เราจะได้ผิวทรงกลมท่ีมีจุดศูนยก์ลางท่ี (0,0,0) และมรีศัมเีท่ากับ 0
88
Example 1: Objectsin Spherical Coordinate
จงหาสมการของทรงกลม ในระบบพกิัดทรงกลม2 2 2( 1) 1x y z
x
y
z
(0,0,1)
วธิทีำา ทรงกลมในขอ้นี้มจุีดศูนยก์ลางท่ี (0,0,1) ถ้าต้องการแปลงเป็นสมการใน Spherical Coordinate เราจะต้องแทนค่า x,y,z โดยใชส้ตูรนี้
sin cosx cosz sin siny
ได้ 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin sin ( cos 1) 1
2 2 2 2 2sin cos sin ( cos 1) 1 2 2 2 2sin cos 2 cos 1 1
2 2 cos ได้หรอื
2cos
89
Example 2: Objectsin Spherical Coordinate
จงหาสมการในระบบพกิัดทรงกลมของกรวยกลม 2 2z x y
sin cosx cosz sin siny วธิทีำา เราจะต้องแทนค่า x,y,z โดยใชส้ตูรน้ี
x
y
z4
ได้
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
cos sin sin sin cos
sin sin cos
sin
ได้ cos sin หรอื cos sin
ค่า ท่ีทำาให ้cos และ sin มค่ีาเท่ากันคือ/ 4
เพราะฉะนัน้ เราจะได้สมการเป็น / 4
90
dV in Spherical Coordinate
2
sin
sin
dV d d rdd d d
d d d
ในสตูร Triple integrals อนุพนัธท่ี์ใชคื้อ dV นัน้มคีวามหมายเป็น “สว่นยอ่ยๆ” ของปรมิาตรดังนัน้เมื่อเราทำาการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกลมเราจะต้องทราบวา่ dV มสีตูรอยา่งไร
สำาหรบัระบบพกิัดทรงกลม เราจะม ีdV เป็นชิน้สว่นดังรูป ซึ่งสามารถคำานวณปรมิาตรได้จาก
( , , )D
f dV
ดังนัน้สตูรการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกลมจะเป็น2( , , ) sin
D
f d d d
91
Triple Integral in Spherical Coordinate
max 2
min 1
( , )2
( , )
( , , ) ( , , ) sing
D g
f dv f d d d
ในการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกลม เพื่อความสะดวก เรานิยมให ้ เป็น function ของ (,) และใหข้อบเขตของ และ เป็นค่าคงท่ี ซึ่งจะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น
ดังนัน้ลำาดับการอินทีเกรตจะเป็น d d d เราจะได้ขัน้ตอนการหาขอบเขตการอินทีเกรตดังนี้
ขอบเขต จะอยูใ่นรูปแบบ รศัมดี้านนอกคือสมการ = g2(,) รศัมดี้านในคือสมการ = g1(,)
1. Finding Limit of in Spherical Coordinate
92
Finding Limit of Integration in Spherical Coordinate2. Finding Limit of in Spherical Coordinate
ขอบเขตของ จะอยูใ่นรูป ค่าตำ่าสดุและค่าสงูสดุของมุม ในรูปmin max
3. Finding Limit of in Spherical Coordinate
ขอบเขตของ จะอยูใ่นรูป ค่าตำ่าสดุและค่าสงูสดุของมุม ในรูป
และจะได้สตูรmax 2
min 1
( , )2
( , )
( , , ) sing
g
f d d d
( อยา่ลืมใส ่พจน์ ทกุครัง้ในสตูร การอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกลม !)
2sin
93
Example 3: Triple Integral in Spherical Coordinateจงหาปรมิาตรของรูปทรงตันท่ีถกูปิดล้อมด้วยพื้นผิวทรงกลม = 1 และกรวยกลม = /3 ดังในรูป
วธิทีำา ในการหาปรมิาตรของรูปทรงตัน เราจะใหถื้อวา่( , , ) 1f ซึ่งจะได้สตูรการอินทีเกรตเป็นmax 2
min 1
( , )2
( , )
sing
g
Volume d d d
ในท่ีนี้เราม ีรศัมดี้านนอกเป็น = 1 รศัมดี้านในเป็น = 0
และมขีอบเขตของ เป็น0
3
และมขีอบเขตของ เป็น0 2
เราได้ 2 /3 12
0 0 0
sin d d d
94
Example 3: Triple Integral in Spherical Coordinate (cont.)2 /3 1
2
0 0 0
sinVolume d d d
จาก
อินทีเกรตเทียบกับ ได้12 /3 2 /33
0 0 0 00
sinsin3 3
d d d d
อินทีเกรตเทียบกับ ได้/ 32 2
0 00
cos 1 13 6 3
d d d
อินทีเกรตเทียบกับ ได้
2
0
1 1 1 2 06 3 6 3
d
95
Example 4: Triple Integral in Spherical Coordinateจงหา Moment of inertia ของวตัถใุนตัวอยา่งท่ีแล้วเทียบกับแกน z เมื่อกำาหนดใหค้วามหนาแน่นมค่ีาคงท่ีเท่ากับ 1
วธิทีำา สตูร Moment of inertia about z-axis คือ 2 2 ( , , )zD
I x y x y z dV แปลงเป็นระบบพกิัดทรงกลม
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin sin sinx y
แทนค่าลงในสตูรได้ 2 2 2
4 3
sin sin
sin
zD
D
I d d d
d d d
เมื่อใสข่อบเขตการอินทีเกรตจะได้
2 /3 14 3
0 0 0
sinzI d d d
96
Example 4: Triple Integral in Spherical Coordinate (cont.)2 /3 1
4 3
0 0 0
sinzI d d d
อินทีเกรตเทียบกับ ได้
12 /3 2 /35 33
0 0 0 00
2 /32
0 0
sinsin5 5
1 1 cos sin5
d d d d
d d
อินทีเกรตเทียบกับ ได้
/ 32 3
0 0
2
0
1 coscos5 3
1 1 1 115 2 24 3
d d
d
อินทีเกรตเทียบกับ ได้2
0
1 5 1 25 24 24 12
d
97
Formula for 3-D Coordinate Systems
sin cosx
cosz
From Spherical to Cartesian
sin siny cosx r
siny r
z z
From Cylindrical To Cartesian
2 sindV d d d
dV dz rdr d
dV dxdydz
dV
sinr
cosz
From Spherical to Cylindrical
98
Substitutions in Multiple Integrals
ท่ีผ่านมาจะเหน็วา่เมื่อเรามกีารเปล่ียนระบบพกัิด (Coordinate system) เชน่ จาก (x,y,z) ใน Rectangular coordinateไปเป็น (r,,z) ใน Cylindircal coordinate ทำาใหก้ารอินทีเกรตสำาหรบับางปัญหาทำาได้ง่ายขึ้น
การแปลงเหล่าน้ีเป็นกรณีเฉพาะของระบบ Rectangular, Cylindrical และ Spherical Coordinate systems แต่โดยทัว่ไปการแปลงไปมาระหวา่งระบบ พกัิดแบบต่างๆ ไมไ่ด้จำากัดแค่น้ี ในหวัขอ้นี้ จะได้กล่าวถึงสตูรในการเปล่ียนแปลงระบบตัวแปรในการอินทีเกรตโดยทัว่ไป
คำาวา่ Substitution แปลวา่ การแทนท่ี ซึ่งในท่ีน้ีหมายถึงการแทนชุดตัวแปรระบบหนึ่งด้วย ชุดตัวแปรอีกระบบหนึ่ง วตัถปุระสงค์สำาคัญในการทำาเชน่นี้เพื่อในการอินทีเกรตอยูใ่นรูปท่ีง่ายขึ้น
99
Substitutions in Double Integrals หลักการอินทีเกรตโดยวธิกีารแทนค่า
สมมุติวา่ในระบบตัวแปร (x,y) และระบบตัวแปร (u,v) มคีวามสมัพนัธกั์นในรูป
( , )x g u v ( , )y h u v
โดยเป็นความสมัพนัธแ์บบฟงัก์ชนั 1 ต่อ 1 กล่าวคือ 1 จุดใน uv-plane แปลงไปเป็น 1จุดใน xy-plane (โดย f และ g อาจเป็น 0 ได้เพยีงบางจุด)
สำาหรบัฟงัก์ชนัของ x และ y ใดๆ f(x,y) เราสามารถแปลงไปเป็นฟงัก์ชนัของ u และ vได้จากการแทนค่า
f(g(u,v),h(u,v))
100
Example 1: Substitutions in Double Integrals จากความสมัพนัธ์
จะได้วา่ Region G ใน uv-plane สามารถแปลงไปเป็น Region R ใน xy-plan
( , )x g u v ( , )y h u v
ตัวอยา่ง
101
Example 1: Substitutions in Double Integrals
22
x yu
2yv
2x u vy v
ในตัวอยา่งหน้าท่ีแล้วเราจะได้ สตูรในการแปลงจาก (u,v) เป็น (x,y)
สตูรในการแปลงจาก (x,y) เป็น (u,v)
102
เราสามารถคำานวณการอินทีเกรตของ f(x,y) ใน Region R ใน xy-planในรุปการอินทีเกรตของ f(g(u,v),h(u,v) ใน Region G ใน uv-plane ได้ดังน้ี
Substitutions in Double Integrals
( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )R G
f x y dxdy f g u v h u v J u v dudv
โดย คือ Jacobian determinant หรอืเรยีกยอ่วา่ Jacobianมนีิยามวา่
( , )J u v
( , )
x xx y x yu vJ u v
y y u v v uu v
เขยีนยอ่ๆวา่ ( , )( , )( , )x yJ u vu v
103
Double Integral in Polar Form ( , ) cosx g r r ( , ) siny h r r
( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )R G
f x y dxdy f g r h r J r drd จาก
2 2
cos sin( , )
sin cos
(cos sin )
x xrrJ r
y y rr
r r
จะได้สตูรการอินทีเกรตใน r-plane เป็น( , ) ( ( , ), ( , ))
R G
f x y dxdy f g r h r rdrd
104
Example 2: Double Integral in Polar Form ตัวอยา่ง
0
1
2
x
y
สมมุติวา่เรามขีอบเขตการอินทีเกรตใน xy-plane เป็นพื้นท่ีดังรูปเมื่อเราใชส้ตูรในการแปลงเป็น Polar coordinate
( , ) cosx g r r
( , ) siny h r r
เราจะได้ขอบเขตการอินทีเกรตในรูปใหมใ่น r-plane เป็น
4
r
0 1 2
42
จะเห็นวา่การอินทีเกรตใน r-plane ทำาได้ง่ายกวา่ใน xy-plane มาก เพราะขอบเขตการอินทีเกรตใน r-plane เป็นรูปสีเ่หล่ียมผืนผ้า
105
Example 3: Substitutions in Double Integrals ตัวอยา่ง จงคำานวณค่าของ 4 / 2 1
0 / 2
22
y x y
y x y
x ydxdy
วธิทีำา โจทยข์อ้นี้ ขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ xy เป็นดังรูป ใหเ้ราพยายามเปล่ียนใหอ้ยูใ่นรูปท่ีง่ายขึ้นโดยใชส้มการ ( , )x g u v ( , )y h u v
2x u vy v
1. เลือกสตูรการแปลง ในท่ีนี้เราเลือก
2. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่าขอบเขตเดิมของ x เป็น
ขอบซา้ย / 2x y
เมื่อแทนค่า x = u+v และ y = 2v เราได้2 / 2u v v
หรอื 0u
106
Example 3: Substitutions in Double Integrals (cont.) 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า (ต่อ)
ขอบเขตเดิมของ x เป็นขอบขวา / 2 1x y
เมื่อแทนค่า x = u+v และ y = 2v เราได้ 2 / 2 1u v v หรอื 1u
ขอบเขตเดิมของ y เป็นขอบล่าง 0y 0v
ขอบบน 4y เราได้
2v ดังนัน้พื้นท่ีการอินทีเกรตในระนาบ uv จะเป็น
3. หาค่า Jacobian determinant
1 1( , ) 2
0 2
x xu vJ u vy yu v
107
Example 3: Substitutions in Double Integrals (cont.) 4. แปลงสมการ การอินทีเกรต f(x,y) ไปเป็น f(g(u,v),h(u,v)) โดยการแทนค่า จะได้
2 2( ) 2( , )2 2
x y u v vf x y u
5. สรา้งสตูร( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )
R G
f x y dxdy f g u v h u v J u v dudv
ได้ 4 / 2 1 2 1
0 / 2 0 0
2 22
y x y
y x y
x ydxdy u dudv
6. คำานวณ12 1 2 2
2
0 0 0 00
2 2u dudv u dv dv ตอบ
108
Example 4: Substitutions in Double Integrals 1 1
2
0 0
( 2 )x
x y y x dydx
3 3u vx
23 3u vy
จงคำานวณค่าของ
วธิทีำา 1. วาดรูปขอบเขตการอินทีเกรต ในระนาบ xy ได้รูปดังนี้
2. เลือกสตูรการแปลง ในท่ีนี้เราเลือก
3. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า3.1 ขอบด้านล่างมสีมการเป็น 0y
เมื่อแทนค่า เราจะได้2 03 3u vy
หรอื 2v u
3.2 ขอบด้านซา้ยมสีมการเป็น 0x
เมื่อแทนค่า เราจะได้
หรอื
03 3u vx
v u
109
Example 4: Substitutions in Double Integrals (cont.) 3. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv โดยการแทนค่า (ต่อ)
3.3 ขอบด้านบนมสีมการเป็น 1x y
เมื่อแทนค่า เราจะได้หรอื
2 13 3 3 3u v u vx y
1u
เราจะได้ขอบเขตการอินทีเกรตในระนาบ uv เป็นดังรูป
4. หาค่า Jacobian determinant
1 113 3( , )
2 1 33 3
x xu vJ u vy yu v
110
Example 4: Substitutions in Double Integrals (cont.) 5. แปลงสมการ การอินทีเกรต f(x,y) ไปเป็น f(g(u,v),h(u,v)) โดยการแทนค่า จะได้
2 1/ 2 2( , ) 2f x y x y y x u v
6. สรา้งสตูร( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )
R G
f x y dxdy f g u v h u v J u v dvdu
ได้ 1 1 12 1/ 2 2
0 0 0 2
1( 2 )3
x u v u
u v u
x y y x dydx u v dvdu
7. คำานวณ
1 1 13
1/ 2 2 1/ 2 1/ 2 3 3
0 2 0 02
1 1 1 83 3 3 9
uu v u u
u v u u u
vu v dvdu u u u u du
117 / 2 9/ 2
00
2 29 9
u du u ตอบ
111
Substitutions in Triple Integrals ใน section ก่อนในเรื่องการอินทีเกรตในระบบพกิัดทรงกระบอกและระบบพกิัดทรงกลม เป็นเรื่องของการอินทีเกรตแบบแทนค่าแบบหนึ่งใน 3 มติิ ซึ่งสตูรโดยทัว่ไปของการอินทีเกรตใน 3 มติิจะอยู่ในรูปนี้
( , , )x g u v w ( , , )y h u v w ( , , )z k u v w
จะได้
( , , )D
F x y z dxdydzเราใชก้ารแทนค่าโดยใชส้มการ
( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ( , , )F x y z F g u v w h u v w k u v w H u v w
จะได้สตูรการอินทีเกรตเป็น( , , ) ( , , ) ( , , )
D G
F x y z dxdydz H u v w J u v w dudvdw
โดย D คือขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ xyz และ G คือขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ uvw
112
Jacobian Determinant in 3D สตูร Jacobian determinant สำาหรบั 3 ตัวแปรเป็นดังน้ี
( , , )( , , )( , , )
x x xu v wy y y x y zJ u v wu v w u v wz z zu v w
ตัวอยา่ง ความสมัพนัธร์ะหวา่งระบบพกิัดฉาก xyz กับระบบพดัทรงกระบอก rz เป็นดังนี้cosx r
siny r
z z
จะได้2 2
cos sin 0( , , ) sin cos 0 cos sin
0 0 1
rJ r z r r r r
113
Example 5: Substitutions in Triple Integrals เราจะได้ความสมัพนัธร์ะหวา่งารอินทีเกรตในระบบพกิัดฉากกับระบบพกิัดทรงระบอกเป็น
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , )D G
G
F x y z dxdydz H r z J r z dzdrd
H r z rdzdrd
cosx r
siny r
z z
114
Example 6: Substitutions in Triple Integrals สำาหรบัการแปลงระหวา่งระบบพกิัดฉากกับระบบพกิัดทรงกลม เรามสีตูร
sin cosx cosz sin siny
จะได้
2
( , , )
sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos sin
cos sin 0
x x x
y y yJ
z z z
115
Example 6: Substitutions in Triple Integrals (cont.) เราจะได้ความสมัพนัธร์ะหวา่งารอินทีเกรตในระบบพกิัดฉากกับระบบพกิัดทรงกลมเป็น
2
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) sinD G
G
F x y z dxdydz H J d d d
H d d d
116
Example 7: Substitutions in Triple Integrals / 2 13 4
0 0 / 2
22 3
x y
x y
x y z dxdydz
จงคำานวนค่า
วธิทีำา 1.วาดรูปขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ xyz จะได้รูปดังนี้
2. เลือกสตูรท่ีใชใ้นการแทนค่าในท่ีนี้เลือก
x u v
2y v
3z w
117
Example 7: Substitutions in Triple Integrals (cont.) 3. หาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ uvw
3.1 ระนาบ / 2x y
เราได้ 2 / 2u v v หรอื 0u
3.2 ระนาบ / 2 1x y
เราได้ 2 / 2 1u v v หรอื 1u
3.3 ระนาบ y = 0 เราได้ v = 0
3.4 ระนาบ y = 4 เราได้ v = 2
3.5 ระนาบ z = 0 เราได้ w = 0
3.6 ระนาบ z = 3 เราได้ w = 1
x u v 2y v3z w
โดยใชส้ตูรการแปลง
118
Example 7: Substitutions in Triple Integrals (cont.)
เราจะได้ขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ uvw เป็นดังรูป
1 1 0( , , ) 0 2 0 6
0 0 3J u v w
4. หาค่า Jacobian determinant
5. แปลงสมการ การอินทีเกรต F(x,y,z) ไปเป็น F(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))2
2 3x y z u w
6. สรา้งสตูร ( , , ) ( , , ) ( , , )D G
F x y z dxdydz H u v w J u v w dudvdw
/ 2 13 4 1 2 1
0 0 / 2 0 0 0
2 (6)2 3
x y
x y
x y z dxdydz u w dudvdw
119
Example 7: Substitutions in Triple Integrals (cont.)7. คำานวณ
11 2 1 1 2 2
0 0 0 0 0 0
1 2
0 0
21
00
(6) 62
1 2
62
6 1
uu w dudvdw uw dvdw
w dvdw
v vw dw
1
12
00
2 6 12w dw w w ตอบ
120
Exercise
dxdyeyx xyy
y
)(3/2
0
222
1. จากความสมัพนัธ ์u = x + 2y และ v = x – y จงหาค่าอิน
ทีกรลัของ
2. ให ้R เป็นพื้นท่ีใน Quadrant ท่ี 1 ในระนาบ xy ท่ีถกูล้อมรอบด้วยเสน้โค้ง xy = 1 และ xy = 9 และเสน้ตรง y = x และ y = 4x จงใชค้วามสมัพนัธ์x = u/v และ y = uv เมื่อ u > 0 และ v > 0 ในการค่าอินทีกรลัของ
dxdyxyxy
R
3. จงหาค่าอินทีกรลัของ เหนือพื้นท่ีทรงรีdxdydzxyzR12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
เมื่อให ้x = au, y = bv, และ z = cw