munka és energia

Munka és energia

Munka

• Ha állandó F erő hatására az erő irányában s úton elmozdul a test, akkor az erő munkája:

W = F·s [Nm = J]

• Ha állandó F erő hatására az elmozdulás szöget zár be erő irányával, akkor s úton az erő munkája:

W = F·s·cos

Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul.

Munka

• Általános definíció:

W = F·r·cosF·r

i

N

iiBAW rF

1

rFrF dWB

A

i

N

ii

NBA

1

lim

Emelési munka

• Függőlegesen mozgatunk egy testet.

• A nehézségi erő ellenében végez az F erő munkát.

• A mozgás egyenletes, az F erő nagysága ugyanakkora, mint a nehézségi erő:

F = m·g

We= m·g·h

Gyorsítási munka

• Ha egy kezdetben nyugvó testre állandó erő hat, a test egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végez.

• A test a mozgás során az erő irányába mozdul el, így munkavégzés történik.

F= m·a

We= m·a·s = m·a·½at2= ½ m·a2·t2= ½ m·v2

Lineáris erő ellenében végzett munka

• Lineáris erő: F ~ x

• Rúgó erő ellenében végzett munka:

F =D x

2

2

1DxDxdxFdxW

Energia• Energia Munkavégző képesség• Egy meghatározott A állapotban levő test

energiával rendelkezik, ha megfelelő körülmények között munkavégzésre képes.

• Energiáját azzal a munkával mérjük, amelyet a test végez, míg egy A állapotból a megállapodás szerint választott A0 állapotba jut, vagy azzal a munkával, amelyet a testre ható erők ellenében végeznünk kell, míg A0 -ból A-ba juttatjuk.

• Az energia mértékegysége megegyezik a munkáéval. [J]

Helyzeti (potenciális) energia

• Bármely magasságba felemelt testeknek van energiája.

• A gravitációs erő képes a felemelt testet mozgásba hozni.

• A helyzeti energia szempontjából alapállapotnak tetszőleges magasságot tekinthetünk.

E = mgh

Mozgási (kinetikus) energia

• Ha bármely test valamilyen v sebességgel mozog, annak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a nyugalmi állapotot tekintjük.

Ekin= ½ m·v2

Rugalmas energia

• A kihúzott rugónak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a test feszítés előtti állapotát tekintjük.

2

2

1DxE

Munkatétel

• Egy tömegpont kinetikus energiájának megváltozása megegyezik a ráható erők eredője által végzett munkával:

22

2

1

2

1AB

B

A

vv mmdW rF

Konzervatív erőtér

• A térnek azt a tartományát, amelyben az odahelyezett testekre erő hat, erőtérnek vagy mezőnek nevezzük.

• Az erőterek minden pontjához rendelhetünk egy fizikai mennyiséget, azt a munkát, amelyet az erőtér végez, miközben a test az adott pontból egy vonatkoztatási pontba jut. Ez a munka konzervatív erőterek esetén csak az erőtértől és a két pont megválasztásától függ.

• A vonatkoztatási pontot rögzítve már csak az erőtérnek és a vizsgált pontnak a függvénye.


• Konzervatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, amelyben tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka zérus

0 rF d


• Konzervatív erők:– nehézségi erő– gravitációs erő– (elektromos erő)

• Nem konzervatív erők:– súrlódási erő– közegellenállási erő

A mechanikai energia megmaradásának tétele

• A mozgási, a helyzeti és a rugalmas energiát közös néven mechanikai energiának nevezzük.

• Egy konzervatív erőtérben mozgó tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege (összes mechanikai energiája) a mozgás folyamán állandó.

állandóEEE potkin

Teljesítmény

• Teljesítmény az időegység alatt végzett munka

t

WP

s

JW

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája

• Lineáris erőtörvény, rugalmas erő: F=-Dx

• D a direkciós állandó

F = ma

-Dx = ma

axm

D


• bevezetve: 2

m

D

xdt

xd 22

2

xa 2

Keressük az egyenlet megoldását!

az általános megoldás két független megoldás lineáris kombinációjaként állítható elő:

és

ahol B és C tetszőleges állandók, amelyeket a kezdeti feltételekből határozhatunk meg.

ttx sin)(1 ttx cos)(2

tCtBtx cossin)(


A kezdeti feltételekből: ha t = 0 esetén a kezdeti kitérés és sebesség értéke x0 és v0, akkor:

x(t=0) = x0 = C

A sebességfüggvényt a kitérés idő szerinti differenciálásával kaphatjuk:

tCtBtvtx sincos)()(


t = 0 esetén: Bvtv 0)0(

0v

B

txtv

tx

cossin)( 00


C-t és B-t behelyettesítve:

ésBevezetve a

cos0 Av

sin0 Ax

jelöléseket:

sinsincoscossin

felhasználva:

tAtx sin)(


tAtAtx cossinsincos)(

kapjuk:

A amplitúdó és a fázisszög (kezdőfázis)

A és a kezdeti feltételek (x0, v0) által meghatározottak:

2

202

0 v

xA 0

0

v

xtg


tAtx sin)(

Pontrendszerek mechanikája

Pontrendszer a kettő, vagy ennél több tömegpont együttese

• n a pontrendszerhez tartozó tömegpontok száma

• m1, m2, … mn az egyes tömegpontok tömege.

• ri az mi tömegpont helyvektora


• Fi az i-dik tömegpontra ható eredő, függ a többi tömegpont helyétől, sebességétől:

• n db differenciál vektoregyenlet, megoldása nehéz

iinni mvvrr rF )...;,...( 11


• Az i-dik tömegpontra ható erőket a rendszer szempontjából külső és belső erőkre oszthatjuk fel

• Fij az i-dik tömegpontra a j-dik által kifejtett ún. belső erő, míg a pontrendszeren kívüli objektumok által mi-re kifejtett külső erőhatások eredőjét Fi jelöli.

• Nyilvánvalóan Fii = 0.


• az i-edik tömegpont mozgásegyenlete így:

• a pontrendszer mozgását leíró egyenleteket összeadva kapjuk:

ii

n

jiji m rFF

1

ii

iji

iji

i m rFF ,

Tömegközéppont

• Newton III. tv.-e értelmében: Fij=Fji ezért :

• A jobb oldalt átalakítva:

0,

ji

ijF

tkpö

ii

iiiö

iii m

m

mmm r

rr

tkp

ii

iii

m

mr

r

Tömegközéppont helyvektora

Tömegközéppont tétel

• Egy pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és rá hatna a külső erők eredője. Ez a tömegközéppont tétele.

tkpöi

i m rF

Impulzustétel

• A jobb oldalt másként átalakítva:

• A pontrendszer teljes impulzusa:

• Impulzustétel: egy pontrendszer teljes impul-zusának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a rendszerre ható külső erők eredőjével:

i

i

i

ii

i

ii

ii dt

d

dt

md

dt

md IvrF

)()(

i

iII

i

i dt

dIF

Impulzusmegmaradás törvénye

• A pontrendszer belső erői tehát nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.

• Az impulzustétel speciális esete az impulzusmegmaradás törvénye, amely kimondja, hogy egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők eredője 0 a rendszer teljes impulzusa időben állandó.

0i

iF I = const.

Ütközések• Az ütközések során általában két (v. több)

objektum kerül nagyon rövid ideig tartó intenzív kontaktusba.

• Az ütköző testeket egyetlen pontrendszernek tekintve elmondhatjuk, hogy az ütközés során a belső erők játszanak meghatározó szerepet, ezek azonban nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.

Ütközések

• Az impulzusmegmaradás törvénye még külső erők jelenlétében is jó közelítéssel teljesül, ha közvetlenül az ütközés előtti és utáni időpillanatokat hasonlítjuk össze.

• ha t=0, akkor I is elhanyagolható• Az ütközések tárgyalása során tehát általában

érvényesnek tételezzük fel az impulzusmegmaradás törvényét.

ti )( FI

Ütközések

• Centrális ütközés: a két érintkező felületnek az ütközési ponthoz tartozó normálisa, az ütközési normális egybeesik a két pont tömegközéppontját összekötő egyenessel

• Egyenes vagy ferde ütközésről beszélünk aszerint, hogy közvetlenül az ütközés előtt a két golyó sebességvektora egy egyenesbe esik vagy nem.

Ütközések

• Az ütközés során a találkozó testek deformálódnak, majd az ütközés után vagy visszanyerik eredeti formájukat (rugalmas ütközés), vagy a deformáció tartós marad (rugalmatlan ütközés).

• Ütközések általában bonyolult jelenségek!!!

• Mi csak a transzlációs mozgást végző homogén golyók ütközésével foglalkozunk.

Tökéletesen rugalmas ütközés

m1v1+m2v2 = m1u1+m2u2

• m1 és m2 tömegű testek sebessége ütközés előtt: v1, v2

• ütközés után: u1 , u2

222

211

222

211 2

1

2

1

2

1

2

1umumvmvm

Egydimenziós rugalmas ütközés

222111 vumuvm

22

222

21

211 vumuvm

A másodikat osztva az elsővel:

2211 uvuv

2121 uuvv

Egydimenziós rugalmas ütközés

• Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1

221

21

21

211

2v

mm

mv

mm

mmu

121

12

21

122

2v

mm

mv

mm

mmu

m2 >> m1 és v2 =0, akkor u2= 0, u1≈ v1

Ha az egyik test tömege jóval nagyobb mint a másik, akkor az gyakorlatilag mozdulatlan marad az ütközés során, míg a másik ugyanakkora sebességgel pattan vissza.

Tökéletesen rugalmatlan ütközés

Ebben az esetben a deformáció az ütközés után tartósan megmarad, a testek összetapadva egy közös sebességgel együtt mennek tovább,

u1 = u2 = u

m1v1+m2v2 = (m1+m2)u

21

2211

mm

mm

vv

u

A valóságos ütközések a rugalmas és rugalmatlan határeset közötti átmenetként értelmezhetők. A testek ugyan visszapattannak, de a deformáció egy része megmarad.

Hogy a valós ütközés milyen mértékben közelíti a tökéletesen rugalmas ütközést, azt egydimenziós esetben az ún. ütközési együttható fejezi ki:

12

21

vv

uuε

Ütközés

tökéletesen rugalmas ütközésnél 1, tökéletesen rugalmatlannál 0, egyéb esetben 1 > > 0.

Abban a speciális esetben, ha m2 >> m1 (pl. fal),

akkor , amelynek megnyilvánulásaként pl. egy pattogó labda egyre kisebb magasságra pattan fel, amíg végül megáll.

11 vu

Ütközés

Az i-dik tömegpontra vonatkozó mozgásegyenlet mindkét oldalát az ri helyvektorral balról

vektoriálisan megszorozva:

Forgatónyomaték:

Az impulzusmomentum tétele

iiij

ijiii m rrFrFr

FrM

ii

n

jiji m rFF

1


A jobboldalt átalakítva:

Impulzusmomentum: iiii m rrN

iiij

iji m rrMM

iiiiiiii dt

dm

dt

dm

dt

drrrrrr


Az összes i-re összegezve:

dt

d

dt

d

dt

d

ii

i

i

jiij

ii

NN

NMM

,

ahol N jelöli a pontrendszer teljes impulzusmomentumát.


• Ha a belső erők centrálisak, azaz a belső erők a tömegpontokat összekötő egyenesek irányába mutatnak, akkor a belső erők forgatónyomatékainak összege zérus.

• Tekintsük két tömegpont egymásra kifejtett forgatónyomatékainak az összegét. A hatás-ellenhatás törvénye alapján Fij = Fji,

0 ijjiijjiji FrrFrFr


• Az impulzusmomentum tétele szerint ha a belső erők centrálisak, akkor egy pontrendszer teljes impulzusmomentumának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a külső erők forgatónyomatékainak összegével.

dt

d

ii

NM

Impulzusmomentum megmaradás tétele

• Speciális eset:

Egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők forgatónyomatéka zérus, akkor a pontrendszer teljes impulzusmomentuma időben állandó.

.konst0 NN

Mdt

d

Merev testek mechanikája

• Az olyan pontrendszereket, ahol a tömegpontok közti távolságok a mozgás folyamán nem változnak, merev testeknek nevezzük.

• Egy merev test helyzetét 6 független adat határozza meg, azaz egy merev test szabadsági fokainak száma 3n helyett csupán s = 6. (n a tömegpontok száma.)

Merev testek mechanikája

• A merev test alapvető mozgásai:– transzláció: a test minden pontja egyidejűleg

egymással párhuzamos, egyenes vonalú pályán mozog.

– rotácó: egy meghatározott egyenes, a forgástengely pontjai helyzetüket változatlanul megtartják, a test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre merőleges síkban fekvő körívek.

Merev testek mozgása

• A merev testek mozgására érvényesek mindazok az általános tételek, amelyeket a pontrendszerek esetében levezettünk. A tömegközéppont tétele és az impulzusmomentum tétele:

tkpöi

i m rF i

i dt

dNM

Merev test forgása rögzített tengely körül

Legyen z a forgástengely

mi körmozgást végez

ri merőleges vi-reiiii m vrN

iiii vrmN

i

i

N i

N iz

r i

v i

m i

Z

l i

iiiizi vrmN cos,


ii lv

2, iizi lmN

i

i

N i

N iz

r i

v i

m i

Z

l i

iiiizi vrmN cos,

iii lr cos


i i

iiziz ΘlmNN 2,

i

iilm 2

az adott forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték


Θβdt

dωΘ

dt

dNM z

z

M

Mechanikai hullámok

• Mechanikai hullámról beszélünk akkor, ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát valamiképpen megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben.

• A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus.


Ha a közeg részecskéi a terjedési irányra merőleges mozogást végeznek, akkor transzverzális hullámról van szó.


Ha a közeg részecskéi a terjedés irányában rezegnek, akkor longitudinális hullámról beszélünk,

A longitudinális hullámoknál sűrűsödések és ritkulások terjednek tova.

Harmonikus hullámok matematikai leírása

• Egy harmonikus rezgést végző hullámforrás szinuszos (harmonikus) hullámok megjelenéséhez vezet, amelyeket amplitúdójuk, hullámhosszuk, frekvenciájuk ill. sebességük jellemez.

• A hullám amplitúdóját a közegrészecskék maximális kitérése adja meg, míg hullámhossznak () a hullám azonos fázisban rezgő szomszédos pontjainak távolságát nevezzük. Ha a részecskék rezgésideje T, akkor nyilvánvalóan a hullám T idő alatt távolságot tesz meg.


Tcfc


0000 sinπ2π2

sin,

tkxt

Txtx

π2

k

ahol

a hullámszám,

T

π2 pedig a rezgő részecskék

körfrekvenciáját jelöli

Általában interferenciáról beszélünk akkor, ha két vagy több hullám egy adott térrészben találkozik.

Az eredő hullám a szuperpozíció elve alapján szerkeszthető meg, azaz a tér egyes pontjaiban a jelenlevő rezgések összeadódnak.

Hullámok találkozása, interferencia

Szűkebb értelemben akkor beszélünk interferenciáról, ha a két hullám összegződése időben állandó hullámképet (intenzitáseloszlást) hoz létre.

Ilyet csak azonos frekvenciájú és állandó fáziskülönbséggel találkozó hullámok adhatnak, ezeket nevezzük koherens hullámoknak.

Hullámok találkozása, interferencia

Interferencia

Ha a találkozó hullámok fáziskülönbsége 0, 2, 4, …stb. akkor maximális erősítés,

ha , 3, … stb. esetén maximális gyengítés, egyenlő amplitúdóknál pedig kioltás jön létre.

munka és energia

Documents