naročite predstavitev na vaši šoli!...na desetice). Število pešcev na minuto 13 2 11 19 22 7 10...

Naročite predstavitev na vaši šoli!

V letošnjem letu smo za vas pripravili brezplačne

predstavitve. Prosimo vas, da določite datum in uro,

ki bosta ustrezala vsem profesorjem v aktivu, in nas

povabite na svojo šolo. Vašo prijavo pričakujemo:

• po e-pošti [email protected]

• po telefonu 01 513 46 53

Vsi udeleženci predstavitve bodo prejeli

brezplačni učbenik ali zbirko nalog za

maturo po svoji izbiri in dodatno darilo.

Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Stegne 9B, 1000 Ljubljana

www.modrijan-izobrazevanje.si

telefon: 01 513 44 00

e-pošta: [email protected]

DARILO

ZA VAS!

Modrijanova

MATEMATIKAza gimnazije

Najpriljubljenejša zbirka gimnazijskih učbenikov

Odlični zbirki nalog za pripravo na maturo

Prava izbira za vas in vaše dijake

Naročite

predstavitev

na vaši

šoli!

24 TEMPUS NOVUM

Geometrijsko zaporedje

Zaporedje je geometrijsko, če je količnik med poljubnim (n > 1) in pred

stoječim členom konstanten: = k. Število k se imenuje kvocient ali

količnik geometrijskega zaporedja.

Člene geometrijskega zaporedja lahko zapišemo le s prvim členom in kvoci-entom zaporedja:

a1, a1k, a1k2, a1k

3, …, a1kn - 1

Splošni člen geometrijskega zaporedja je an = a1kn - 1. Lahko ga zapišemo tudi

s kasnejšim, npr. m-tim členom in kvocientom k: an= amkn -m

; m< n.

Geometrijsko zaporedje je:

a1 > 0 a1 < 0

k > 1 naraščajoče padajoče

k = 1 konstantno konstantno

0 < k < 1 padajoče naraščajoče

k < 0 alternirajoče alternirajoče

ZGLED

Analitik v Uradu za varstvo potrošnikov spremlja gibanje cen in ugotovi, da se je cena določenega artikla, ki je pred tremi leti stal 15 evrov, vsako leto povečala za 8 %. Cena:

po enem letu: 15 + 15 ◊ 008 = 15 ◊ (1 + 008) = 15 ◊ 108 = 162 €

po dveh letih:162 + 162 ◊ 008 = 162 ◊ (1 + 008) = 162 ◊ 108 = 15 ◊ 1082

= 175 €po treh letih: 175 + 175 ◊ 008 = 175 ◊ (1 + 008) = 175 ◊ 108 = 15 ◊ 1083

= 189 €

Zaradi znanja procentnega računa vemo, da 8 % višjo ceno dobimo tako, da osnovno ceno pomnožimo z 108. Cene v zaporednih letih torej oblikujejo končno zaporedje, pri katerem je vsak naslednji člen z 108 pomnožen prejšnji člen.

15, 15 ◊ 108, 15 ◊ 1082, 15 ◊ 1083

15 € 16˙2 € 17˙5 € 18˙9 €

an 1+

an----------

Zaporedja 25

ZGLEDI

Zaporedje 1, 2, 4, 8, 16, 32 … je geometrijsko zaporedje s prvim čle-nom a1 = 1 in količnikom k = 2. V naravi je primer takega zaporedja delitev celice.

Zaporedje -3, -1, - , - , - … je geometrijsko zaporedje s prvim

členom a1 = -3 in količnikom k = .

Zaporedje 5, -5, 5, -5, 5 … je geometrijsko zaporedje s prvim členom a1 = 5 in količnikom k = -1. Zaporedje je alternirajoče.

Tudi členi geometrijskega zaporedja 5, -1, , - , … alternirajo.

Poiščimo deveti člen geometrijskega zaporedja 6, 18, 54, 162, 486 …

Prvi člen je a1 = 6, količnik pa 3. Splošni člen geometrijskega

zaporedja je an = a1 ◊ kn - 1

= 6 ◊ 3n - 1, deveti člen pa

a9 = a1 ◊ k8= 6 ◊ 38

= 39 366.

Četrti člen geometrijskega zaporedja je 2187, osmi pa 27. Izračunajmo deseti člen.

Izrazimo četrti in osmi člen zaporedja s prvim členom a1 in količnikom k.

a4 = a1 ◊ k3

a8 = a1 ◊ k7

Če delimo osmi člen s četrtim, dobimo:

= = k4

k4= = =

k = ±

Deveti kot naslednji člen od osmega je množen s k, deseti pa s k2:

a10 = a8 ◊ k2= 27 ◊ (± )2

= 3

1.

…

2.13--- 1

9--- 1

27------

13---

3.

4.15--- 1

25------ 1

125---------

5.

6.

a8

a4----- a1 k

7a1 k

3------------

a8

a4----- 27

2187------------ 1

81------

13---

13---

zgledi za

modeliranje

strokovna in

metodična razlaga

strukturirani

zgledi in

številne

naloge

povzetki

najpomembnejših

spoznanj

pri nekaterih poglavjih

so dodane izbirne vsebine

in nekaj primerov

„za radovedne“

Najpriljubljenejša zbirka gimnazijskih učbenikov za matematiko

52 SPATIUM NOVUM

Modeliranje s polinomi

ZGLEDI

Raziskovalci življenja živali v mestih so ugotavljali, kako na gnez-denje v parku vplivajo sprehajalci. Prešteli so število gnezd vrabcev na hektar v 18 mestnih parkih Madrida in število sprehajalcev na minuto v vsakem od parkov. Dobili so naslednjo preglednico:

Izkazalo se je, da odvisnost števila gnezd od števila sprehajalcev na minuto najbolj optimalno predstavlja prilagoditvena krivulja, ki je graf polinoma tretje stopnje:g(n) = 0�05n

3- 3�31n

2+ 60�92n - 149�18

Preglednica kaže odvisnost mesečne porabe elektrike za ogrevanje od stanovanjske površine.

S prilagoditveno krivuljo ugotovite, za katero funkcijo gre, in izra-čunajte, kolikšna približno bi bila poraba elektrike za stanovanje s 65, 150 in 200 kvadratnimi metri površine (števila zaokrožite na desetice).

Število pešcev na minuto 13 2 11 19 22 7 10 11 20

Število gnezd na hektar 220 10 241 148 102 101 192 195 95

Število pešcev na minuto 38 23 26 18 28 33 15 9 5

Število gnezd na hektar 49 105 51 172 19 12 171 176 25

Površina v m2 50 70 75 82 89 95 102 110 124 133 165Mesečna poraba v kWh 431 394 390 420 498 524 570 660 743 800 977

1.

2.

01_polinomi.fm Page 52 Wednesday, April 23, 2014 9:19 AM

Trigonometrija 139

Lastnosti in grafi kotnih funkcij

V tem poglavju bomo ponovili nekatere že znane lastnosti kotnih funkcij in poleg že znanih grafov spoznali še nekaj novih.

• Funkcija f(x) = sinx je definirana na celi realni osi, njena zaloga vrednosti je interval [-1, 1]. Njen graf se imenuje sinusoida.

Lastnosti funkcije sinus:

� ničle ima pri 0, p, 2p, 3p, 4p … x0 = kp; k Œ�

� največjo vrednost y = 1 doseže pri xmax = + k2p; k Œ�

• najmanjšo vrednost y = -1 doseže pri xmin = + k2p; k Œ�

� je periodična z osnovno periodo 2p sin (x + k2p) = sin x; k Œ�

• je liha sin (-x) = -sin x

� je omejena Zf = [-1, 1]

f: � Æ [-1, 1]

f: x � sin x

2---

32------

Amplituda sinusoide je enaka največjemu odmiku nihajočega telesa iz ravnovesne lege.

a 0 ր ր p p ր ր 2p

sina0 ր 1

narašča1 ց 0pada

0 ց -1pada

-1 ր 0narašča

2---

2---

32------

32------

ZGLED

Ugotovimo, za katere vrednosti x ima funkcija f(x) = sin x vrednost .

Rešimo enačbo: sin x = .

Ena rešitev je x = , zaradi periodičnosti funkcije sinus pa ima neskončno mnogo rešitev: x = + k2p; k Œ�.

Drugi sklop rešitev je: x = + k2p; k Œ�.

12---

12---

6---

6---

56

------

Ime kotne funkcije sinus izvira iz Indije. Hindujski matematik in astronom Ariabhata Starejši (476–550) je sinus kota imeno-val ardha-jya, kar pomeni pol strune. Arabski prevajalci so okrajšavo jya fonetično pre-vedli v jiba, sicer besedo brez pomena, in jo v skladu z arab-sko prakso pisali brez samo-glasnikov, torej jb. Prevajalci iz arabščine v latinščino so brez poznavanja prvotne bese-de v sanskrtu besedo razumeli kot jaib, kar pomeni zaliv ali tudi izboklina. Tako je Gerard iz Cremone, ki je v latinščino prevedel Almagest, besedo jaib prevedel v sinus.

03_trigonometrija.fm Page 139 Thursday, July 4, 2013 1:32 PM

Vektorski račun 131

Enačba premice (izbirna vsebina)

Poljubna točka T na premici p skozi točki A in B ima krajevni vektor = + t ◊ .

Če izberemo t = 0, točka T sovpada s točko A; če je t = 1, točka T sovpada z B; če je t < 0, leži točka T levo od točke A, pri t > 1 pa leži točka T desno od točke B.

Iz tega razmisleka vidimo, da za krajevni vektor poljubne točke T na premici skozi A in B velja:

= + t ◊ ( - ),

to pa je ravno vektorska enačba premice.

Podobno dobimo vektorsko enačbo premice, ki gre skozi točko A in ima smerni vektor = (v1, v2, v3):

= + t ◊

Enačbo premice lahko zapišemo tudi v parametrični obliki:

= (x0, y0, z0) + t(x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0)

x = x0 + t(x1 - x0)

y = y0 + t(y1 - y0)

z = z0 + t(z1 - z0)

in v kánonski obliki, če iz prejšnjih treh enačb izrazimo t in izraze izenačimo:

= = = t

Vektor (x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0) je smerni vektor premice.

rT rA AB

- je smerni vektor premice p.rB rA

r rA rB rA

v

r rA v

r

x x0–x1 x0–-------------- y y0–

y1 y0–-------------- z z0–

z1 z0–-------------

ZGLEDI

Napišimo enačbo premice skozi točki A(-2, 3, 1) in B(0, 1, 4).

Premica gre skozi točko A in ima smerni vektor , zato je

= + t ◊ .

Njena enačba je = (-2, 3, 1) + t ◊ (2, -2, 3) oz. x = -2 + 2t, y = 3 - 2t,

z = 1 + 3t v parametrični obliki in = = v kanonski obliki.

1.

AB

r rA AB

rx 2+

2---------- y 2–

2–---------- z 1–

3---------

Kotne funkcije 93

NE POZABI

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku:

sin a = tan a =

cos a = cot a =

Natančne vrednosti kotnih funkcij za nekatere kote:

Zveze med kotnimi funkcijami:

sin2 x + cos2 x = 1

tan x =

cot x =

tan x ◊ cot x = 1

1 + tan2x =

1 + cot2x =

cos (90° - x) = sin x sin (180° - x) = sin x

sin (90° - x) = cos x cos (180° - x) = -cos x

cot (90° - x) = tan x tan (180° - x) = -tan x

tan (90° - x) = cot x cot (180° - x) = -cot x

Spreminjanje velikosti kotov funkcij sin x in cos x za kote od 0° do 360°:

sin x cos x tan x, cot x

0° 30° 45° 60° 90°

sin x 0 1

cos x 1 0

tan x 0 1 /

cot x / 1 0

0°-90° 90°-180° 180°-270° 270°-360°

sin x 0 ր 1 1 ց 0 0 ց -1 -1 ր 0

cos x 1 ց 0 0 ց -1 -1 ր 0 0 ր 1

ac--- a

b---

bc--- b

a---

12--- 2

2------ 3

2------

32

------ 22

------ 12---

33

------ 3

3 33

------

xsinxcos

-----------

xcosxsin

-----------

1cos2

x------------

1sin2

x-----------

Glavne prednosti

P sistematična urejenost učnih

vsebin

P avtorji so gimnazijski profesorji

z dolgoletnimi in bogatimi

izkušnjami

P zbirka sledi novemu učnemu

načrtu, ki več poudarka

namenja povezavi matematike

s svetom in življenjem,

modeliranju in uporabi

informacijske tehnologije

P učbeniki vsebujejo številne

rešene zglede in kopico

raznovrstnih nalog

LINEA NOVAMatematikaza gimnazije

Gregor PavličDušan Kavka

Marina RugeljJanez Šparovec

LINEA NOVA

PLANUM NOVUMMatematikaza gimnazije



SPATIUM NOVUMMatematikaza gimnazije

Gregor PavličMarina Rugelj

Janez ŠparovecDušan Kavka

TEMPUS novUMMatematikaza gimnazije



1. letnik 2. letnik 3. letnik

Učbenik

Linea nova

264 strani7 poglavij833 nalog19,70 €

Učbenik

Planum novum


Učbenik

Spatium novum


Učbenik

Tempus novum


4. letnik

120 MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

15. STOŽNICE

Krivulja drugega reda je množica točk (x, y) v ravnini, ki zadoščajo enačbi Ax2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0. Koeficienti A, B, C, D, E in F so realna števila. Vsaj eden od koeficientov A, B in C je različen od 0.Glede na izbiro vrednosti koeficientov A, B, C, D, E in F lahko enačba določa krožnico, elipso, hiperbolo, parabolo ter dve nevzporedni premici, dve vzporedni premici, eno dvakrat šteto premico, točko in prazno množico.Stožnice so krivulje, ki nastanejo pri preseku stožca z ravnino.

KROŽNICA

Geometrijska definicija krožniceKrožnica je množica točk T(x, y) v ravnini, ki so za r oddaljene od izbrane točke S. Točka S je središče krožnice, r pa polmer krožnice.

Enačba krožnice s središčem S(0, 0) (v središčni legi):

x2 + y2 = r2

Enačba tangente na krožnico z enačbo x2 + y2 = r2 z dotikališčem T0(x0, y0) je x0x + y0y = r2.

Enačba krožnice s središčem S(p, q) (v premaknjeni legi):

(x - p)2 + (y - q)2 = r2

Krožnica Elipsa Hiperbola Parabola

fi

matematika v srednji soli 02.fm Page 120 Friday, March 27, 2015 9:41 AM

12. FUNKCIJE 121 15. STOŽNICE 121

ELIPSA

Geometrijska definicija elipse

Elipsa je množica točk T(x, y) v ravnini, za katere je vsota razdalj

do dveh izbranih točk F1 in F2 konstantna: d(T, F1) + d(T, F2) = 2a.

Enačba elipse s središčem S(0, 0) (v središčni legi):

+ = 1; a, b Œ�+

Če je a > b, potem število a imenujemo velika polos, b pa mala polos

elipse. Točki F1(e, 0) in F2(-e, 0) imenujemo gorišči elipse, število e pa linearna ekscentričnost elipse in velja: e2 = a2 - b2.

Temena elipse so točke T1(a, 0), T2(-a, 0), T3(0, b), T4(0, -b). Numerična ekscentričnost elipse je število e = , 0 < e < 1.

Če je b > a, potem je elipsa raztegnjena v smeri ordinatne osi in je število b velika polos, a pa mala polos

elipse. Gorišči elipse sta točki F1(0, e) in F2(0, -e), linearno ekscentričnost elipse izračunamo iz e

2 = b2 - a2, numerična ekscentričnost elipse pa je e = .

Enačba tangente na elipso z enačbo + = 1 z dotikališčem T0(x0, y0) je + = 1; a, b, Œ�+

Enačba elipse s središčem S(p, q) (v premaknjeni legi):

+ = 1; a, b, Œ�+

Koordinate temen in gorišč elipse v premaknjeni legi dobimo tako, da abscisam temen in gorišč elipse v središčni legi z enakima polosema prištejemo p, ordinatam pa q.

HIPERBOLA

Geometrijska definicija hiperbole

Hiperbola je množica vseh točk T(x, y) v ravnini, za katere

je absolutna vrednost razlike razdalj do dveh izbranih točk F1 in F2 konstantna: |d(T, F1) - d(T, F2)| = 2a.

Enačba hiperbole s središčem S(0, 0) (v središčni legi)

- = 1; a, b Œ�+

Število a imenujemo realna polos hiperbole, število b pa imaginarna polos hiperbole. Točki F1(e, 0) in F2(-e, 0) sta gorišči hiperbole, število e pa linearna ekscentričnost

hiperbole in velja e2 = a2 + b2.

Temeni hiperbole sta točki T1(a, 0), T2(-a, 0), premici y = ± x pa asimptoti hiperbole.

Numerična ekscentričnost hiperbole je število e = ; e > 1.

x2

a2

----- y2

b2

-----

ea---

eb---

fi x2

a2

----- y2

b2

----- x0x

a2

------- y0y

b2

-------

x p– 2

a2

---------------- y q– 2

b2

----------------

x2

a2

----- y2

b2

-----

ba---

ea---

o Odlični zbirki nalog za pripravo na maturo

POVABITE NAS NA PREDSTAVITEV NA VAŠI ŠOLI! Več na naslednji strani.

POTENČNA IN KORENSKA FUNKCIJA 175

15. POTENČNA IN KORENSKA FUNKCIJA

Potenčna funkcija z naravnim eksponentom

Potenčna funkcija f z naravnim eksponentom n je funkcija f: � � s predpisom f(x) xn; n �.

Funkcije z lihim eksponentom so bijektivne, neomejene, naraščajoče in lihe. Njihov graf je simetričen glede na

koordinatno izhodišče.

Funkcije s sodim eksponentom niso ne injektivne ne surjektivne, so omejene z 0, na intervalu (, 0) so

padajoče, na intervalu (0, ) naraščajoče in sode. Njihov graf je simetričen glede na ordinatno os.

ZGLEDI

V isti koordinatni sistem narišimo grafe funkcij f(x) x2, g(x) x

2 1 in h(x) (x 1)

2.

Najprej narišemo graf funkcije f, nato graf funkcije g (graf funkcije f

vzporedno premaknemo za 1 navzgor) in nazadnje graf funkcije h

(graf funkcije f vzporedno premaknemo za 1 levo).

Narišimo graf funkcije f(x) 2x2 2 in zapišimo intervala, na katerih je funkcija f pozitivna.

Najprej narišemo graf funkcije x � 2x2, nato graf funkcije f.

Ničli funkcije f sta rešitvi enačbe 2x2 2 0 oz. 2(x 1)(x 1) 0.

Ničli sta x1 1 in x2 1. Funkcija f je pozitivna na intervalih, na katerih je

njen graf nad abscisno osjo. To je na (, 1) in (1, ).

1.

2.

Glavne prednosti

P snov celotne gimnazijske matematike v eni knjigi

P priprava za pisni in ustni del mature

P dodana dva pregledna testa

P sledi maturitetnemu izpitnemu katalogu za splošno maturo

Zbirki priporočamo:

P vsem gimnazijcem, saj jim bosta služili skozi celotno šolanje kot zbir učne snovi (teorije, formul) ali kot vir dodatnih nalog pri utrjevanju temeljne učne snovi

P gimnazijcem 4. letnika za pripravo na pisni in ustni del maturitetnega izpita

P slušateljem maturitetnega tečaja kot osnovno učno sredstvo

MATEMATIKA ZA GIMNAZIJEZbirkanalog

Dušan Kavka

Priprava na maturo – osnovna raven

MATEMATIKA v SREDNJI ŠOLIZbirkanalog

Dušan Kavka

Priprava na maturo – osnovna in višja raven

Matematika za gimnazije, Priprava na maturo – osnovna raven

376 strani19,50 €

Matematika v srednji šoli, Priprava na maturo – osnovna in višja raven

216 strani16,70 €

Primer iz zbirke nalog Matematika v srednji šoli

Primer iz zbirke nalog Matematika za gimnazije

naročite predstavitev na vaši šoli!...na desetice). Število pešcev na minuto 13 2 11 19 22 7 10...

Documents