nasionale senior sertifikaat graad 12 · 12.1 'n kodewoord bestaan uit vyf verskillende...

Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

PUNTE: 150 TYD: 3 uur

Hierdie vraestel bestaan uit 10 bladsye en 1 inligtingsblad.

WISKUNDE V1

NOVEMBER 2014

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

GRAAD 12

Wiskunde/V1 2 DBE/November 2014 NSS


INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat jy die vrae beantwoord. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Hierdie vraestel bestaan uit 12 vrae. Beantwoord AL die vrae. Nommer die antwoorde korrek volgens die nommeringstelsel wat in hierdie vraestel gebruik is. Dui ALLE berekeninge, diagramme, grafieke, ensovoorts wat jy gebruik het om jou antwoorde te bepaal, duidelik aan. Volpunte sal nie noodwendig aan slegs antwoorde toegeken word nie. Jy mag 'n goedgekeurde, wetenskaplike sakrekenaar (nieprogrammeerbaar en niegrafies) gebruik, tensy anders vermeld. Indien nodig, rond antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tensy anders vermeld. Diagramme is NIE noodwendig volgens skaal geteken NIE. 'n Inligtingsblad met formules is aan die einde van die vraestel ingesluit. Skryf netjies en leesbaar.



VRAAG 1 1.1 Los op vir x: 1.1.1 � �� 042 �� xx (2) 1.1.2 1423 2 � xx (korrek tot TWEE desimale plekke) (4)

1.1.3 2022 2 �� xx (3)

1.2 Los die volgende vergelykings gelyktydig op:

yxyxyx

16245332

2 � �

�

(6) 1.3 Los op vir x: � �� 621 �� xx (4) 1.4 Die wortels van 'n kwadratiese vergelyking is:

243 ��r

kx

Vir watter waardes van k is die wortels reëel?

(2) [21] VRAAG 2 Gegee die rekenkundige reeks: 2 + 9 + 16 + … (tot 251 terme). 2.1 Skryf die vierde term van die reeks neer. (1) 2.2 Bereken die 251ste term van die reeks. (3) 2.3 Druk die reeks in sigma-notasie uit. (2) 2.4 Bereken die som van die reeks. (2) 2.5 Hoeveel terme in die reeks is deelbaar deur 4? (4) [12]



VRAAG 3 3.1 Gegee die kwadratiese ry: – 1 ; – 7 ; – 11 ; p ; … 3.1.1 Skryf die waarde van p neer. (2) 3.1.2 Bepaal die nde term van die ry. (4) 3.1.3 Die eerste verskil tussen twee opeenvolgende terme van die ry is 96.

Bereken die waardes van hierdie twee terme.

(4) 3.2 Die eerste drie terme van 'n meetkundige ry is: 16 ; 4 ; 1 3.2.1 Bereken die waarde van die 12de term. (Laat jou antwoord in

vereenvoudigde eksponensiële vorm.)

(3) 3.2.2 Bereken die som van die eerste 10 terme van die ry. (2)

3.3 Bepaal die waarde van: ...511

411

311

211 ¸

¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§ � tot 98 faktore.

(4)

[19]



VRAAG 4

Die diagram hieronder dui die hiperbool g, gedefinieer deur qpx

xg ��

2)( met asimptote

y = 1 en x = – 1 aan. Die grafiek van g sny die x-as by T en die y-as by (0 ; 3). Die lyn

y = x sny die hiperbool in die eerste kwadrant by punt S.

x

y

S

3

1

1T

O

y = x

g

g

4.1 Skryf die waardes van p en q neer. (2) 4.2 Bereken die x-koördinaat van T. (2) 4.3 Skryf die vergelyking van die vertikale asimptoot van die grafiek van h neer, indien

)5()( � xgxh

(1) 4.4 Bereken die lengte van OS. (5) 4.5 Vir watter waardes van k sal die vergelyking g(x) = x + k twee reële wortels hê wat

teenoorgestelde tekens het?

(1) [11]



VRAAG 5

Gegee: 0 waar log)( ! axxf a . ¸¹·

¨©§ �1;

31S is 'n punt op die grafiek van f.

x

y

f

f

O

S( 1 ; 2)

f

. ¸¹·

¨©§ �1;

31S

5.1 Bewys dat 3 a . (2) 5.2 Skryf die vergelyking neer van h, die inverse van f , in die vorm y = ... (2) 5.3 Indien )()( xfxg � , bepaal die vergelyking van g. (1) 5.4 Skryf die definisieversameling van g neer. (1) 5.5 Bepaal die waardes van x waarvoor � � .3�txf (3) [9]



VRAAG 6 Gegee: xxfxxg 2)(en 64)( 2 � . Die grafieke van g en f is hieronder geskets. S is 'n x-afsnit van g en K is 'n punt tussen O en S. Die reguitlyn QKT met Q op die grafiek van f en T op die grafiek van g, is parallel aan die y-as.

6.2 Skryf die koördinate van die draaipunt van g neer. (2) 6.3 6.3.1 Skryf die lengte van QKT in terme van x neer, waar x die

x-koördinaat van K is.

(3) 6.3.2 Bereken die maksimum lengte van QT. (6) [13]

6.1 Bepaal die x-koördinaat van S, korrek tot TWEE desimale plekke. (2)

x

y

O

g f

Q

T

K S

È



VRAAG 7 7.1 Presies vyf jaar gelede het Mpume 'n nuwe motor vir R145 000 gekoop. Die huidige

boekwaarde van die motor is R72 500. Indien die motor se waarde teen 'n vaste jaarlikse koers volgens die verminderendesaldo-metode depresieer, bereken die depresiasiekoers.

(3) 7.2 Samuel het 'n huislening van R500 000 uitgeneem teen 'n rentekoers van 12% per

jaar, maandeliks saamgestel. Hy beplan om hierdie lening oor 20 jaar terug te betaal, en sy eerste betaling word een maand nadat die lening toegestaan is, gemaak.

7.2.1 Bereken die waarde van Samuel se maandelikse paaiement. (4) 7.2.2 Melissa het 'n lening vir dieselfde bedrag en teen dieselfde rentekoers as

Samuel uitgeneem. Melissa het besluit om R6 000 aan die einde van elke maand terug te betaal. Bereken hoeveel maande dit Melissa geneem het om haar lening volledig af te betaal.

(4) 7.2.3 Wie betaal meer rente, Samuel of Melissa? Motiveer jou antwoord. (2) [13] VRAAG 8 8.1 Bepaal )(/ xf vanuit eerste beginsels indien 3)( xxf . (5)

8.2 Bepaal die afgeleide van: 3212)( 42 �� xxxf

(2)

8.3 Indien � �26 1� xy , bewys dat .1indien ,12 5 ! xxdxdy y

(3)

8.4 Gegee: .1422)( 23 �� xxxxf Bepaal die interval waarop f konkaaf op is. (4) [14]



VRAAG 9 Gegee: )96)(2()( 2 �� xxxxf

1834 23 �� xxx

9.1 Bereken die koördinate van die draaipunte van die grafiek van f. (6) 9.2 Skets die grafiek van f en dui die afsnitte met die asse en die draaipunte duidelik aan. (4) 9.3 Vir watter waarde(s) van x sal x. f / (x) < 0? (3) [13] VRAAG 10 'n Boks word van 'n reghoekige stuk karton gemaak, 100 cm by 40 cm, deur die ingekleurde dele uit te sny en op die stippellyne, soos in die diagram hierbo aangedui, te vou.

10.1 Druk die lengte l in terme van die hoogte h uit. (1) 10.2 Bewys gevolglik dat die volume van die boks gegee word deur )240)(50( hhhV �� (3) 10.3 Vir watter waarde van h sal die volume van die boks 'n maksimum wees? (5) [9]

b

100 cm

40 cm

40 cm

h h b

h

h

l


Kopiereg voorbehou

VRAAG 11 'n Opname oor die vakansievoorkeure van 180 personeellede is gedoen. Die opsies waaruit hulle kon kies, was om: x Kus toe te gaan x 'n Wildreservaat te besoek x Tuis te bly Die resultate is in die tabel hieronder aangeteken:

Kus Wild-

reservaat Tuis Totaal

Manlik 46 24 13 83 Vroulik 52 38 7 97 Totaal 98 62 20 180 11.1 Bepaal die waarskynlikheid dat 'n personeellid wat ewekansig gekies is: 11.1.1 Manlik sal wees (1) 11.1.2 Verkies om nie 'n wildreservaat te besoek nie (2) 11.2 Is die gebeure 'manlik' en 'tuis bly' onafhanklike gebeure? Motiveer jou antwoord

met nodige bewerkings.

(4) [7] VRAAG 12 12.1 'n Kodewoord bestaan uit vyf verskillende letters van die Engelse alfabet. Elke letter

mag slegs een maal gebruik word. Hoeveel kodewoorde kan gevorm word indien:

12.1.1 Al die letters in die alfabet gebruik kan word (2) 12.1.2 Die kodewoord met 'n 'D' moet begin en met 'n 'L' moet eindig (2) 12.2 Sewe motors van verskillende vervaardigers, waarvan 3 silwer is, moet in 'n reguitlyn

geparkeer word.

12.2.1 Op hoeveel verskillende maniere kan AL die motors geparkeer word? (2) 12.2.2 Indien die drie silwer motors langs mekaar geparkeer moet word, bepaal

op hoeveel verskillende maniere die motors geparkeer kan word.

(3) [9]

TOTAAL: 150

Wiskunde/V1 DBE/November 2014 NSS

Kopiereg voorbehou

INLIGTINGSBLAD

aacbbx

242 �r�

)1( niPA � )1( niPA � niPA )1( � niPA )1( �

dnaTn )1( �� > @dnann )1(2

2S ��

1� nn arT � �

11

��

rraS

n

n ; 1zr

raS�

f 1; 11 �� r

� �> @iixF

n 11 �� > @

iixP

n��

11

hxfhxfxf

h

)()(lim)('0

��

o

212

212 )()( yyxxd �� M ¸̧

¹

·¨̈©

§ ��2

;2

2121 yyxx

cmxy � )( 11 xxmyy � � 12

12xxyy

m�

� Ttan m

� � � � 222 rbyax ��

In 'ABC: C

cB

bA

asinsinsin

Abccba cos.2222 ��

CabABCeoppervlakt sin.21

'

� � EDEDED sin.coscos.sinsin � � � � ED�ED E�D sin.coscos.sinsin

� � EDEDED sin.sincos.coscos � � � � EDEDED sin.sincos.coscos � �

°¯

°®

�

�

�

1cos2sin21

sincos2cos

2

2

22

D

D

DD

D DD D cos.sin22sin

nfx

x ¦ n

xxn

ii

2¦

� 1

2)(V

� �SnAnAP )()( P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)

bxay � ˆ � �¦

¦�

�� 2)(

)(xx

yyxxb

Copyright reserved/Kopiereg voorbehou Please turn over/Blaai om asseblief

MARKS: 150 PUNTE: 150

This memorandum consists of 22 pages. Hierdie memorandum bestaan uit 22 bladsye.

MATHEMATICS P1/WISKUNDE V1

NOVEMBER 2014

MEMORANDUM

NATIONAL SENIOR CERTIFICATE

GRADE/GRAAD 12

Mathematics P1/Wiskunde V1 2 DBE/November 2014 NSC/NSS – Memorandum


NOTE: • If a candidate answers a question TWICE, only mark the FIRST attempt. • Consistent accuracy applies in all aspects of the marking memorandum.

LET WEL:

• Indien ’n kandidaat ’n vraag TWEE keer beantwoord, merk slegs die EERSTE poging. • Volgehoue akkuraatheid is DEURGAANS op ALLE aspekte van die memorandum van

toepassing. QUESTION/VRAAG 1 1.1.1

4or20)4)(2(−==

=+−xx

xx

9x = 2 9 4−=x

(2) 1.1.2

85,1 or/52,261722

)3(2)14)(3(4)2(2

24

01423

2

2

2

−==

±=

−−−±=

−±−=

=−−

xofx

x

aacbbx

xx

OR/OF

85,1or/52,23

431343

31

943

31

91

314

91

32

2

2

−==

±=∴

±=−

=−

+=+−

xofx

x

x

x

xx

9 standard form/standaardvorm 9 substitution into correct formula/ substitusie in korrekte formule 99 answers/ antwoorde

(4)

9for adding 91 on

both sides/tel 91

by aan beide kante

93

431±=x

99answers

(4)



1.1.3

2225202

20)12(22022

2

2

2

=∴=

=

=+

=++

x

x

x

x

xx

OR/OF

25.25.2

5.2)12(25.222.2

2

22

22

=∴=

=+

=+

x

x

x

xx

OR/OF

2242

202.52022.4

2

=∴==

=

=+

x

x

x

xx

9common factor/gemeen. faktor 9 simplification/ vereenvoudiging 9 answer/antwoord

(3) 9 common factor/gemeen. faktor 9 simplification/ vereenvoudiging 9 answer/antwoord

(3) 9 202.5 =x 9 42 =x 9answer/antwoord

(3) 1.2

)1;1()23;0(

10

3)1(23232

1or23

0)1)(32(0352

01624151027361216241510)9124(3

1624)32(5)32(3:)2(in )1(

)2(..........162453)1(..........32

2

22

22

2

2

−−

==

+−=+−=∴

−=−=

=++=++

=−−−−++

+=−−++

+=+−+

+=−

+=

xorx

xorx

yy

yyyy

yyyyyyyyyy

yyyy

yxyxyx

OR/OF

9 substitution/substitusie

9 simplification/ vereenvoudiging 9standard form/ standaardvorm 9factorisation/faktorisering 9y-values/y-waardes 9x-values/x-waardes

(6)



123

100)1(

04816481556:2

2481624

21553

231624

2353

23

2

22

22

2

−=−=

===−=−

−+=+−×

−+=

−−

−+=

−−

−=

yory

xorxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xy

9substitution/substitusie 9simplification/ vereenvoudiging 9standard form / standard vorm 9 factors/faktore 9x- values/x- waardes 9 y-values/y-waardes (6)

1.3 ( )( )

0)4)(1(043623

621

2

2

<−+<−−

<+−

<−−

xxxxxxxx

41 <<− x or )4;1(−∈x

9 standard form/ standaardvorm 9factorisation/faktorisering 9critical values in the context of inequality / kritiese waardes in die konteks van die ongelykheid 9notation/notasie

(4)

1.4 4

04−≤

≥−−k

k

9 04 ≥−− k 9 answer/antwoord

(2) [21]

OR/OF 1 4

+ – +

4



QUESTION/VRAAG 2 2.1 234 =T 923 (1) 2.2

1752)7)(1251(2

)1(251

=−+=

−+= dnaT

9a = 2 and d = 7 9subst. into correct formula /subt. in korrekte formule 91752 (3)

2.3 ∑=

−251

1)57(

nn

OR/OF

( )∑=

+250

027

pp

9 general term/ algemene term 9 complete answer /volledige antwoord (2) 9 general term/ algemene term 9 complete answer / volledige antwoord (2)

2.4 [ ]

[ ]220127

175222

2512

=

+=

+=

n

n

S

lanS

OR/OF

[ ]

[ ]220127

)7)(1251()2(22

251

)1(22

=

−+=

−+= dnanSn

9substitution/substitusie 9220127 (2) 9substitution/substitusie 9220127 (2)

2.5 The new series/Die nuwe reeks is 16 + 44 + 72 + …+1 752

63162

)1(2817361752)1(2816

=−=

−==−+

nn

nn

OR/OF 2 + 9 + 16 + 23 + 30 + 37 + 44 + 51 + ... + 1752

3T is divisible by /is deelbaar deur 4 Then 25115117 ,...,,, TTTT are divisible by 4, thus each 4th term is divisible by 4. Daarna is 25115117 ,...,,, TTTT deelbaar deur 4, d.w.s. elke 4de term is deelbaar deur 4.

∴number of terms divisible by 4 will be = 6314

3251=+

−

∴aantal terme deelbaar deur 4 sal wees = 6314

3251=+

−

OR/OF

99generating new series divisible by 4/ vorming van nuwe reeks deelbaar deur 4 9 1752=nT 9 63 (4) 9 3T is divisible by 4/ is deelbaar deur 4 9identifying terms divisible by 4/ identifiseer terme deelbaar deur 4 9 reasoning/redenering 963 (4)



Position of terms divisible by 4: 3 ; 7 ; 11 ; …; 247; 251

632524

25114

==

=−=

nn

nTn

99 generating sequence involving position of terms/vorming van reeks i.t.v. posisie van terme 9 251=nT 9 63 (4) [12]



QUESTION/VRAAG 3 3.1.1 – 1 ; – 7 ; – 11 ; p ; ...

– 6 – 4 p + 11 2 2

13215

2)4(11

−==+

=−−+

ppp

OR/OF – 1 ; – 7 ; – 11 ; p ; ... – 6 – 4 p + 11 2 2

13211

−=−=+

pp

9p + 15 = 2

9p = – 13 (2) 9first differences/ eerste verskille 9p = – 13 (2)

3.1.2

797

1911

96)1(3

63

122

2 +−=

=−=+−−=++

−=−=+−=+

==

nnTc

ccba

bb

ba

aa

n

OR/OF

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

792

462661

2221611

2211

2

2

211

+−=

+−++−−=

−−+−−+−=

−−+−+=

nn

nnn

nnn

dnndnTTn

9 1=a 9 9−=b 9 7=c 9answer/antwoord (4) 9formula/formule 9substitution of first and second differences/substitusie van eerste en tweede verskille 9simplification/vereenvoudiging 9answer/antwoord (4)



OR/OF 7; – 1 ; – 7 ; – 11 ; p ; ... – 8 – 6 – 4 p+ 11 2 2 2

79963

1227

2

0

+−=

−=∴−=+=∴=

==

nnTbba

aacT

n

OR/OF

1)2(21

==a

797:(1)in sub

963:)1()2(

)2.......(7247)1.......(111

2

2

1

2

+−=∴

=−=∴

−=+−−=++∴−=

−=++∴−=++=∴

nnTc

bb

cbTcbTcbnnT

n

n

9c-value/c-waarde 9a-value/a-waarde 9b-value/b-waarde 9answer/antwoord (4) 9a-value/a-waarde 9b-value/b-waarde 9c-value/c-waarde 9answer/antwoord (4)



3.1.3 The sequence of first differences is/Die reeks van eerste verskille is: – 6 ; – 4 ; – 2 ; 0 ; ... – 6+(n – 1)(2) = 96 n = 52 ∴two terms are/twee terme is:

23397)53(953

22437)52(9522

53

252

=+−=

=+−=

TT

OR/OF The sequence of first differences is/Die reeks van eerste verskille is: – 6 ; – 4 ; – 2 ; 0 ; ... The formula for the sequence of first differences/Die formule vir die reeks van eerste verskille is 82 −= nTn 1st difference/1ste verskil: 2n – 8 = 96 2n = 104 n = 52 ∴two terms are/twee terme is:

23397)53(953

22437)52(9522

53

252

=+−=

=+−=

TT

OR/OF

( ) ( ) ( )[ ]

53106296799127996719179

96

22

22

1

===−−+−+−+−

=+−−−−+−

=− −

nn

nnnnnnnnn

TT nn

23397)53(953

22437)52(9522

53

252

=+−=

=+−=

TT

9– 6+(n – 1)(2) = 96 952 92 243 92 339 (4) 92n – 8 = 96

952 92 243 92 339 (4) 9 961 =− −nn TT

953

92 243 92 339 (4)

OR/OF

( ) ( )[ ] [ ]

23397)53(953

22437)52(95252104296797991296797191

96

253

252

22

221

=+−=

=+−=

===−+−+−−++

=+−−++−+

=−+

TT

nn

nnnnnnnnn

TT nn

9 961 =−+ nn TT 952 92 243 92 339 (4)



3.2.1

1818

99

112

12

2or21or4or

41

4116

−−

−

=

=T

9 a = 16 and r = 41

9subst. into correct formula/ subt in korrekte formule 9 answer/antwoord (3)

3.2.2

33,21411

41116

10

10

=

−

−

=S

OR/OF

33,21

141

14116

10

10

=

−

−

=S

9 substitution into correct formula /substitusie in korrekte formule 9 answer/antwoord (2) 9 substitution into correct formula /substitusie in korrekte formule 9 answer/antwoord (2)

3.3

502

10099

100...56

45

34

23

9911...

411

311

211

=

=

=

++++

OR/OF

++++9911...

411

311

211

25

452

4112

234

23

311

23

23

211

3

2

1

=×=+=

=×=+=

=+=

T

T

T

...25,2,

23 is an arithmetic sequence with

21 and

23

== da

502

10021)198(

23

98

==

−+=∴T

9 improper fractions/ onegte breuke

9 +99

100or 9911

99 answer/antwoord (4)

9 +9911

9 giving the first three terms / gee die eerste drie terme 99answer /antwoord (4) [19]



QUESTION/VRAAG 4 4.1

11

==

qp

9p value /waarde 9q value /waarde (2)

4.2

321

11

20

−==−−

++

=

xx

x

OR/OF Reflect (0 ; 3) across y = – x to get T( –3 ; 0)

3−=x Reflekteer (0 ; 3) om y = – 1 om T( –3 ; 0) te kry

3−=x

9 11

20 ++

=x

9 3−=x ( 2) 9 reflect across/reflekteer om y = – x 9 3−=x (2)

4.3 Shifting g five units to the left shifts (– 1 ; 0) five units to the left. x = – 6


4.4

eenhede

yxy

xx

xxxx

xx

units/45,2 6OS

633OS...73,13

0 S,at since 3

312

11

2

222

2

2

==∴

=+=+=

==

>=∴

=

+=++

=++

OR/OF

9 equating both graphs/stel grafieke gelyk

9 32 =x 9 3and3 == yx 9 OS 2 = 6 9 answer/antwoord (5)



Translate g one unit down and one unit to the

right/Transleer g een eenheid af en een eenheid na regs

The new equation/Die nuwe vergelyking :x

xp 2)( =

Therefore the image of S is ( )2;2S/ / Daarom is die beeld van S nou ( )2;2S/ Now translate p back to g/Transleer p terug na g: ( )

( ) ( )eenhedeunits/45,26OS

122212221212OS

12;12S222

==∴

++++−=++−=

+−

9 x

xp 2)( =

99coord. of/koörd. van /S 9coord. of/koörd. van S 9answer/antwoord (5)

4.5 k < 3 will give roots with opposite signs/ k < 3 sal wortels met teenoorgestelde tekens gee

9k < 3 (1) [11]



QUESTION 5 5.1

33131

31log1

log

1

1

=∴

=

=

=−

=

−

−

a

a

a

xy

a

a

9subt. −1;31

9311 =−a or

1

31 −

=a

(2)

5.2 xy

yxh3

log: 3

=∴

=

9swop x and y/ruil x en y 9 answer/antwoord

(2) 5.3

xxg

xxg

xxg

31

3

3

log)(

1log)(

log)(

=

=

−=

OF

OF

OR/

OR/

OR/OF

yx −= 3 OR/OF

y

x =31

9answer/antwoord (1)

9answer/antwoord

(1) 9answer/antwoord

(1)

9answer/antwoord (1) 9answer/antwoord (1)

5.4 0>x OR/OF ( )∞;0


9 answer/antwoord

(1) 5.5

271271

3

3log3

3

≥

=

=

−=−

x

x

xx

9 exponential form/ eksponensiële vorm 9simplification/vereenvoudiging 9answer/antwoord (3) [9]




positive) is S of coordinate-( 22,123

064

2

2

xx

x

x

=

=

=−

9y = 0 91,22 (2)

6.2 ( 0 ; – 6) 9 0 9– 6 (2)

6.3.1

)64(2

)()(2−−=

−=

xx

xgxfQT

or 642 2+−= xx

99 correct formula/ korrekte formule 9substitution/substitusie (3)

6.3.2 QT 642 22

1

+−= xx

08QT of Deravitive 21

=−=−

xx x

x81

=

812

3

=x or 2641 xx=

32

81

=x 2

21

=x or 6413 =x

41

=x = 0,25

6414

412QTMax/

221

+−=Maks

eenhedeunits/75,6436 ==

9derivative/afgeleide 9derivative equal to 0/ afgeleide gelyk aan 0

9812

3

=x 9x-value/x-waarde 9 substitution/substitusie 9answer/antwoord (6) [13]



QUESTION/VRAAG 7 7.1 niPA )1( −=

72 500 = 145 000 5)1( i−

5145000725001−=i

..1294,0= . ∴ Rate of interest/Rentekoers is 12,94 % p.a./p.j. OR/OF

( )

1294,0211

211

51

5

=

−=∴

=−

i

i

i

∴ Rate of interest/Rentekoers is 12,94 % p.a./p.j.

9substitution/substitusie 9writing in terms of i herskryf in terme van i 9answer/antwoord (3) 9substitution/substitusie 9writing i.t.o i 9answer (3)

7.2.1 ( )[ ]

iixP

n−+−=

11

500 000 =

1212,01212,011

240

+−−

x

+−

×=

−240

1212,011

1212,0500000

x

43,5505R=x

9 i = 1212,0

9 n =240 9substitution into correct formula 9answer/antwoord (4)



7.2.2

( )[ ]i

ixPn−+−

=11

( )

( )65101,1

01,1101,06000

5000001212,0

1212,0116000

500000

−=

−=×

+−

=

−

−

−

n

n

n

01,1log61log

=− n

07,180=n ∴Melissa settles the loan in 181 months

96000 9substitute into correct formula/substitusie in korrekte formule 9 use of logs/gebruik van logs 9answer/antwoord (4)

7.2.3 Samuel He is paying off his loan over a longer period thus more interest will be paid./Hy betaal sy lening oor 'n langer tydperk af, dus sal hy meer rente betaal. OR/OF Samuel He will pay/Hy betaal R5505,43 × 240 – R500 000 = R821 303,20 She will pay between/Sy sal tussen R580 000 and/en R586 000,00 betaal.

9Samuel 9reason/rede

(2) 9Samuel 9reason/rede

(2)

[13]




( )2

22

0

22

0

322

0

0

322

33223

3223

322223

223

3

33lim

)33(lim

33lim

)()(lim)(

33 33)()(

33 22

))(2()()(

x

hxhxh

hxhxhh

hxhhxh

xfhxfxf

hxhhxxhxhhxxxfhxf

hxhhxxhxhxhhxhxx

hxhxhxhxhxf

h

h

h

h

=

++=

++=

++=

−+=′

++=

−+++=−+

+++=

+++++=

+++=+=+

→

→

→

→

OR/OF

hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′

→

h

xhxh

33

0

)(lim −+=

→

h

xhxhxh

32

0

))((lim −++=

→

h

xhxhxhxh

322

0

)2)((lim −+++=

→

h

xhxhhxxh

33223

0

33lim −+++=

→

h

hxhxhh

)33(lim 22

0

++=

→

( )22

033lim hxhx

h++=

→ 23x= OR

9simplifying/vereenvouding 9formula/formule 9subst. into formula/subst. in formule 9factorization/faktorisering 9answer/antwoord

(5) 9formula/formule 9subst. into formula/subst. in formule 9simplifying/vereenvoudiging 9factorization/faktorisering 9answer/antwoord

(5)



hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′

→

h

xhxh

33

0

)(lim −+=

→

hhxhxh

hxxhxhxhxxhx

h

h

)33(lim

)2)((lim

22

0

2222

0

++=

+++++−+=

→

→

( )22

033lim hxhx

h++=

→ 23x=

9formula/formule 9subst. into formula/subst. in formule 9factorization/faktorisering 9simplifying/vereenvoudiging 9answer/antwoord

(5) 8.2 324)( xxxf +=′ 94x

9 32x (2)

8.3 12 612 +−= xxy 511 1212 xx

dxdy

−=

( )112 65−= xx

yx512=

9simplification/vereenvoudiging 9derivative/afgeleide 9factors/faktore

(3)

8.4

314120412

0 whenup concave is 412

4461422

2

23

>

>>−∴

>

−=

+−=

−+−=

x

xx

(x)f as op konkaaf /isfx(x)f

xx(x)fxxxf(x)

//

//

/

9first derivative/eerste afgeleide 9 second derivative/tweede afgeleide 9 0)(// >xf

931

>x (4)

[14]



QUESTION/VRAAG 9

9.1 0383 2 =−−= xx)x(f / ( )( ) 0313 =−+ xx

31

−=x or 3=x

== 52,18or271418or

27500 yy 0=y

Turning points are/Draaipunte is )0;3( and 27

500;31

−

9derivative/afgeleide 9derivative/ afgeleide = 0 9factors/faktore 9x-values/waardes 99each y-values/elke y-waarde (6)

9.2

x

y

− 52,18;31

18

( ̶ 2 ; 0) (3 ; 0)O

9x-intercepts/afsnitte 9y-intercept/afsnit 9turning points/ draaipunte 9shape/vorm

(4) 9.3

30or31

<<−

< xx

OR

)3;0()31;( ∪−−∞

931−

<x

9both critical points/ beide kritieke-punte 9notation/notasie

(3)



QUESTION/VRAAG 10

10.1

hlhl

240402

−==+

9answer (1) 10.2 10022 =+ hb

hb −= 50 lbhV =

)50)(240( hhhV −−=

9 10022 =+ hb 9 hb −= 50 9volume formula

(3) 10.3

cm80,8 possible, as large asbox afor 80,8or86,37)6(2

)2000)(6(4)280(280

02000280620001402

)240)(50(

2

2

23

2

=∴=≠

−−±=

=+−=′

+−=

−−=

hhh

h

hhVhhhV

hhhV

vir die grootste moontlike boks = 8,80 cm

9simplifying/vereenvoudig 9derivative / afgeleide 99h-values in any form / h-waardes in enige vorm 9answer/antwoord

(5) [9]

QUESTION/VRAAG 11

11.1.1 P(male/manlik) = 18083 or 0,46 or 46,11%


11.1.2 P(not game park/nie wildreservaat) = 1 – P(game park/wildreservaat)

= 180621−

=9059 or 0,66 or 65,56%

OR/OF P(not game park/nie wildreservaat)

65,56%or 0,66or 9059180118

18020

18098

=

=

+=

9180621−


918020

18098

+




11.2 Events are independent if /Gebeure is onafhanklike indien P(male) × P(home) = P(male and home) P(manlik) × P(huis) = P(manlik en huis)

P(male/manlik) = 18083

and/en P(home/huis) = 18020 or 0,11 or 11,11%

P(male/manlik) × P(home/huis)

= 18083 ×

18020

=

162083

= 0,05123 or 5,12% P(male and home/manlik en huis)

= 18013

= 0,07222… or 7,22% Therefore P(male) × P(home) ≠ P(male and home) Dus P(manlik) × P(huis) ≠ P(manlik en huis) Thus the events are not independent./Dus is die gebeure nie onafhanklik nie OR/OF Home/Huis Not Home/

Nie huis

M 13 70 83 F 7 90 97 20 160 180

P(female/vroulik) × P(not home/nie huis)

= 18097 ×

180160

=

405194

= 0,479012345… or 47,90% P(female and not home/vroulik en nie-huis)

= 18090

= 0,5 or 50% Therefore P(female) × P(not home) ≠ P(female and not home) Thus the events are not independent. Dus P(vroulik) × P(nie-huis) ≠ P(vroulik en nie-huis) Dus is die gebeure nie onafhanklik nie.

9P(m) × P(h) and their values/en hulle waardes 9answer of product 9P(m and/en h) value/waarde 9conclusion/afleiding (4) 9P(f) × P(not h) and their values/en hulle waardes 9answer of product 9P(f and/en not h) value/waarde 9conclusion/afleiding (4)

[7]


Copyright reserved/Kopiereg voorbehou

QUESTION/VRAAG 12

12.1.1 2223242526 ×××× = 7 893 600 OR/OF

!21!26

)!526(!26

526 =

−=P = 7 893 600

9 2223242526 ×××× 97 893 600 (2) 9formula/formule 9answer/antwoord (2)

12.1.2 222324 ×× = 12 144

9 222324 ×× 912 144

(2) 12.2.1 7×6×5×4×3×2×1

= 5 040 9product/produk 95 040 (2)

12.2.2 (3×2×1)(5×4×3×2×1) = 720 OR/OF The five 'units' can be parked in 5×4×3×2×1 ways./Die vyf 'eenhede' kan op 5×4×3×2×1 maniere geparkeer word. The three silver cars can be parked in 3×2×1 ways./Die drie silwer motors kan op 3×2×1 maniere parkeer word. So there are (3×2×1)(5×4×3×2×1) = 720 ways to park the cars./Dus is daar (3×2×1)(5×4×3×2×1) = 720 maniere om die motors te parkeer. OR/OF Suppose for the moment the 3 silver cars are at one end./Veronderstel die drie silwer motors is op die punt. The 3 cars can be arranged in 3×2×1 = 6 ways./Die 3 motors kan op 3×2×1 = 6 maniere gerangskik word. For each of them the remaining four cars can be arranged in 4×3×2×1 = 24 ways./Die 4 oorblywende motors kan op 4×3×2×1 = 24 maniere rangskik word. So 6 × 24 = 144 ways if all 3 cars at one end./Dus is daar 6 × 24 = 144 maniere as die 3 motors op die punt is. Together, the silver cars can only occupy 5 different positions amongst the 7 positions. ./Saam kan die silwer motors slegs 5 verskillende posisies hê tussen die 7 moontlike posisies. ∴Total ways/Totale getal maniere = 5 × 144 = 720

93×2×1 95×4×3×2×1 9720

(3) 95×4×3×2×1 93×2×1 9720

(3) 96 × 24 = 144 95 × 144 9720 (3)

[9] TOTAL/TOTAAL: 150

nasionale senior sertifikaat graad 12 · 12.1 'n kodewoord bestaan uit vyf verskillende...

Documents