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國立臺灣大學造船工程研究所

碩士論文

Department of Naval Architecture

National Taiwan University

Master Thesis

船舶興波阻力之實驗計測與數值計算

Experimental Measurement and Numerical Computation

of Ship Wave Resistance

蔡武廷

Wu-ting Tsai

指導教授﹕林允進博士、廖清照博士

中華民國七十二年五月

i

摘要

自滿足自由液面線性邊界條件以及船體表面條件之與波勢流理論出發，本文

進行兩項問題之研究，一為興波阻力之實驗計測，一為興波阻力之數值計算。

本文之第一部分為有關縱向波形分析理論與實驗之探討。由邊界質問題之積

分表示形式本文推導得一縱向波高和興波阻力間之關係，此即所謂 Newman-Sharma

波形分析理論。以此理論為基礎本文建立了一套縱向波形分析之線上試驗系統。

本文第二部分之主題為興波邊界質問題—Neumann-Kelvin 問題之數值解析以

及興波阻力之計算。其解析步驟之數值試驗和簡化皆詳加討論，同時本文並提出

數值計算 Havelock source function 之方法。有關流場性質以及興波阻力之計算結果

與 1979 年於美國 David W. Taylor Naval Ship Research and Development Center 舉行

之 Workshop on Ship Wave-Resistance Computations 中其他解析相同問題之計算比

較，本文之結果皆優於與會其他研究者之結果。

ii

目錄摘要 ............................................................................................................................... i 目錄 .............................................................................................................................. ii 第一章緒論 .......................................................................................................... 1

1-1 研究動機 .................................................................................................. 1 1-2 研究內容 .................................................................................................. 3

第二章興波與興波阻力理論 .............................................................................. 5 2-1 船舶興波之邊界質問題 .......................................................................... 5 2-2 邊界質問題之積分形式表示 .................................................................. 8

2-2-1 Green’s Function .............................................................................. 8 2-2-2 積分形式表示法 ............................................................................ 10

2-3 船舶興波阻力表示法 ............................................................................ 16 第一部份興波阻力之實驗計測 ................................................................................ 19 第三章縱向波形分析理論 ................................................................................ 20

3-1 Newman-Sharma 波形分析理論 ........................................................... 21 3-2 截斷誤差之修正 .................................................................................... 24

第四章縱向波形分析實驗系統 ........................................................................ 26 4-1 實驗裝置 ................................................................................................ 27 4-2 實驗程序 ................................................................................................ 30

第五章波形分析結果 ........................................................................................ 32 5-1 拋物線船型實驗結果 ............................................................................ 33 5-2 驅逐艦船型實驗結果 ............................................................................ 43

第六章波形分析之討論與建議 ........................................................................ 53 6-1 縱向截斷與航向計測位置之討論 ........................................................ 53 6-2 實驗系統之討論與建議 ........................................................................ 54

第二部分興波阻力之數值計算 ................................................................................ 55 第七章 Neumann-Kelvin 問題之數值解析 ....................................................... 56

7-1 解析之積分方程式 ................................................................................ 57 7-2 積分方程式之離散化 ............................................................................ 59 7-3 船體表面之近似 .................................................................................... 62

7-3-1 大域座標系統與局部座標系統 .................................................... 62 7-3-2 四邊形平面元素之決定 ................................................................ 63

7-4 船體表面積函數之面積分 .................................................................... 65 7-4-1 Rankine Source 之面積分 .............................................................. 65 7-4-2 Wavy Integral 之面積分 ................................................................ 67

7-5 水線線段核函數之線積分 .................................................................... 69 7-6 興波阻力及流場流況之數值計算 ........................................................ 71

iii

第八章 Havelock source function 之數值計算 .................................................. 73 8-1 表現形式 ................................................................................................ 73 8-2 第一種方法—複數 k 平面扇形圍線積分 ............................................. 75 8-3 第二種方法— cosk 複數平面四分圓圍線積分 ................................ 78 8-4 數值積分 ................................................................................................ 81

第九章數值解析之電子計算機程式 ................................................................ 95 9-1 數值過程之簡化 .................................................................................... 95 9-2 計算機程式 FSPF .................................................................................. 97

第十章數值計算結果比較與分析 .................................................................. 100 10-1 Wigley 拋物線船型之計算結果 .......................................................... 102 10-2 Series 60, CB=0.6 船型之計算結果 ...................................................... 113

第十一章數值分析之討論與建議 ...................................................................... 123 11-1 數值實驗之討論與建議 ...................................................................... 123 11-2 計算結果比較分析之建議 .................................................................. 126 11-3 理論基礎之討論 .................................................................................. 127

第十二章總結 ...................................................................................................... 128 參考資料 ...................................................................................................................... 129 附錄 .......................................................................................................................... 136

附錄 A .................................................................................................................. 137 附錄 B .................................................................................................................. 140 附錄 C .................................................................................................................. 143 附錄 D .................................................................................................................. 144 附錄 E ................................................................................................................... 146 附錄 F ................................................................................................................... 148 附錄 G .................................................................................................................. 150 附錄 H .................................................................................................................. 153 附錄 I .................................................................................................................... 156

1

第一章緒論

1-1 研究動機

對於船舶或海洋工程的領域而言，興波理論長久以來給人的印象是—繁複的

數學以及與實際相差甚遠的結果。儘管如此仍是有許多的學者孜之埋首於興波問

題的象牙塔裡。首開以數學分析方法探討船舶興波問題之先河者該屬 J. H. Michell

(1863~1940)，他於 1898 年發表之論文裡，率先完全以數學分析之表示法，計算船

舶於平靜、無黏性之自由液面等速前進所受的阻力。以此動機為出發，興波問題

之理論研究綿延了一世紀。

在這近一世紀的期間中，興波研究的領域裡共經歷了兩次世界性的盛會。第

一次為 1963 年於美國 Ann Arbor 密西根大學舉行的 International Seminar on

Theoretical Wave Resistance，十三年後 1976 年在日本舉辦了第二次的 International

Seminar on Wave Resistance。兩次的盛會聚集了全世界所有研究興波問題的學者，

其接觸亦迸發了更多研究的理念和動機。

同時自高速之計算機廣泛運用於各學科後，對於船舶興波問題的探討更導入

了新的觀點，也更引發了人們回首尋訪以前許多懸而未決問題的興趣。其影響可

從" Numerical Hydrodynamic "此一新名詞的出現顯見。1978 年首屆 International

Conference on Numerical Ship Hydrodynamic 首先於美國 David W.Taylor Naval Ship

Research and Development Center 舉行，緊接著 1977、1981 年第二屆和第三屆之會

議相繼於美國 Berkeley 加州大學和法國 Bassin d’Essais des Carnés 舉行。而 1979

年於美國NSRDC所開之Workshop on Ship Wave-Resistance Computations以及次年

於日本舉行之 continued workshop 更是表現了由數值觀點出發的研究趨向。再同一

時候日本東京大學亦發起了 International Joint Research, Study on Local-Nonlinear

Effect in Ship Waves，其成之宗旨雖是探討非線性之自由液面興波問題，但其最終

之目的卻是希望能將非線性自由液面問題之數值過程明朗化。

儘管興波問題之理論基礎仍未臻完美的地步，但以為眾多之研究者引用於船

2

舶設計之問題上，如 Ogiwara、Ochi、Namimatsu 和 Mori(1979)將波形分析實驗和

興波阻力之數值計算配合跡流計測、邊界層計算以及螺槳理論計算而完成了一套

推進時能預估的計算機系統。

踏著眾多優秀研究者的腳步，本文企望能從其累積的研究成果與啟示中，對

興波問題領域裡的兩大課題:興波阻力之計測與計算，在實驗技術和數值解析上做

更深一層的了解與探討。

3

1-2 研究內容

本文所要探討之問題共包括兩大部分，一為如何計測船舶之興波阻力，另一

為如何計算船舶之興波阻力。第一個主題為 1963 年密西根大學 seminar 中之注目

焦點，第二個問題則屬於 Numerical Hydrodynamics 之範疇。Fig1.1 為本文內容之

概略流程。整個內容之架構是由滿足現性自由液面條件之興波邊界質條件

(boundary value problem)衍生，因此在第二章中首先將船舶興波之勢流理論加以討

論。

自船舶興波之勢流理論出發可尋得依船舶興波阻力和流場波高間之關係，藉

著計測流場自由液面之波高即可求得船舶之興波阻力，此即所謂之波形分析(wave

pattern analysis)理論。本文之第一部份及討論波形分析理論之ㄧ種—縱向波形分

析，並將理論實際化，以建立依船舶試驗水槽之縱向波形分析實驗系統。

在第三章中首先由第二章所討論之興波勢流理論，推導縱向波形分析理論並

討論有關截斷修正等問題。第四章則是將整個建力之實驗系統以及實驗程序加以

Fig. 1.1 Preview of Present Study

船舶興波之勢流理論

縱向波形分析理論 Neumann-Kelvin problem 之積分方程

縱向波形分析之線上

(on-line)實驗系統積分方程式之數值解

NTU-INA 試驗水槽縱向波形分析例行實

驗系統

自由液面勢流場數值

解析計算機程式之開

發

4

介紹，其實驗結果和有關之討論見第五和第六章。

本文第二部份討論之主題則是從另一觀點出發，探討如何由解析興波之邊界

值問題以計算船舶之興波阻力。依 Mori(1980)或 1979 年之 Workshop on Ship

Wave-Resistance Computations 將目前有關興波邊界值問題之解析理論歸納為以下

五種方法: (1) Neumann-Kelvin approach，(2) Rankine source method，(3) low speed

theory，(4) strain-coordinate method，(5) direct numerical method。其中除第五種包

括有限元素法和有限差分法為直接解析流場之基礎方程式外，其餘之方法皆是屬

於所謂 singularity method 或 Green’s function method。本文所採用之解析方法為第

一種 Neumann-Kelvin approach，亦即解析滿足自由液面線性邊界條件，船體表面

條件，以及流場連續方程式之邊界值問題。

在第七章中，由第二章之興波邊界值問題出發，首先討論有關 Neumann-Kelvin

問題之積分轉換形式，亦即將邊界值問題之偏微分方程式轉化為一積分方程式，

其次討論積分方程式之數值解析法。由於在數值解析過程中需計算 Green’s

function—Havelock source function 關於 X、Y、Z 之導數。因此在第八章中利用適

當複數平面圍線積分之技巧，由傳統形式之 Havelock source function 推導出兩種適

於數值計算之形式，並探討其數值積分之方法。第九章中將本文所發展之計算機

程式略加介紹。數值計算之結果以及與其他研究者計算結果之比較則於第十章中

討論。

由於研究時間之有限，因此對於上述問題之研究探討仍需做進一步的努力。

但相信自本文所發展完成之波形分析實驗系統以及數值計算程式出發，對於船舶

興波有關問題之研究探討將更為容易。

5

第二章興波與興波阻力理論

興波問題之勢流理論發展至今已具相當之完整性。為配合本文以下有關興波

阻力計測與計算之討論，在本章中首先將船舶興波之邊界值問題，以及興波阻力

理論，有系統地加以討論。其中大部分之討論源自於 Liao(1973,1978,1982)以及

Neumann (1976)。

2-1 船舶興波之邊界質問題

考慮一船舶於無窮延伸之平靜自由液面上，以一定速度 U 沿船體中線方向做

等速度水平運動。若取一動座標系統(X，Y，Z)；如 Fig2.1 所示，隨船以等速前進，

其 X-Y 平面位於未受擾動之平靜水面，Z 軸垂直向上，X 軸向船艉方向，Y 軸向

船體右舷方向。

若黏性之效應不予考慮且假設流場為非旋性流場，則船舶興波問題將歸結成

船體周圍流場勢流函數(potential)之邊界值問題。由上述之動座標系統，可將流場

流勢Φ寫成:

UX (2.1)

式中Φ係由於船體運動所引起之擾動流勢(perturbation potential)。由於考慮流場為

不可壓縮流體，故由流體之連續性質知，流勢Φ在流場中需滿足 Laplace 方程式:

02 (2.2)

Fig. 2.1 Coordinate System

6

同時還須滿足下列諸邊界條件:

(1) 船體表面條件—由於不考慮黏性，故船體周圍流場流速恆切於船體表面

S ，故可得:

inUn

(2.3)

n為指向流場之船體表面法向向量。

(2) 自由液面運動條件(kinematic condition) —自由液面之液體粒子流速，恆與

自由液面相切，故

0

zy

fyx

fx

U on yxfz , (2.4)

yxf , 為自由液面波高。

(3) 自由液面動力條件(dynamic condition) —自由液面之壓力恆等於大氣壓

力，所以

021 2

22

gf

xU

zyx on yxfz , (2.5)

(4) 發散條件(radiation condition) —為使無船波向上游傳播，故

21

0

0

10

10lim yxr

x

x

r

rr

(2.6)

(2.4)和(2.5)兩自由液面條件可合併為:

22022

22

1

xU

UzK

x on yxfz , (2.7)

式中 20 UgK 稱為波數(wave number)。

(2.7)是為一非線性之邊界條件，為減少解析問題之困難性，故將(2.7)式右邊之非線

性高次項省略。同時為符合問題之ㄧ致性，線性化後之自由液面條件需在未受擾

動之平靜自由液面 0f 上滿足。亦即線性化後之自由液面條件為:

0022

zK

x on 0z (2.8)

7

同時由(2.5)，受船體擾動後之現性自由液面波高為:

0

,z

Uf x yg x

(2.9)

(2.2)、(2.3)、(2.6)以及(2.8)及本文所考慮船舶興波之邊界值問題。由於(2.3)為

Neumann 形態之邊界條件而(2.8)之自由液面邊界條件則是由 Kelvin 首倡，因此

Brard(1971,1972)建議將此種邊界值問題稱為 Neumann-Kelvin 問題。以下之全部討

論，包括邊界值問題之積分形式表示，興波阻力之實驗計測理論以及興波阻力之

數值計算皆是由此邊界值問題出發。

8

2-2 邊界質問題之積分形式表示

上節所敘述有關船舶興波之邊界值問題為一橢圓形式之偏微分方程邊界值問

題，利用 Green’s second identity:

S V

dVdsnn

22 (2.10)

可將待解析之流勢表示為一積分形式，進而將上節所述之邊界值問題轉化為一積

分方程式。本節即在討論如何將流場流勢表示成一積分形式，其理論源自

Liao(1973)之論文。

2-2-1 Green’s Function

首先引進所謂之 Green’s function QPG ; ，其在整個流場中除 ,,Q 一點

外，在其他之位置 zyxP ,, 皆為可分析。 QPG ; 之物理意義即相當於一置於奇異

點(singular point) ,,Q 之點源點(source)，於場點(field point) zyxP ,, 誘起之流

勢。此外 QPG ; 尚需滿足 0z 處之線性自由液面條件，以及無窮遠處之發散條

件。亦即 QPG ; 為下列邊界值問題之解。

QPQPGp ;;2 (2.11)

0;022

QPG

zK

x on 0z (2.12)

QPrx

x

r

rQPGr

0

0

10

10;lim (2.13)

式中 QP; 為 delta function。

(2.11)~(2.13)問題之解決於 Wehausen(1960)中可查得，一般稱其解為 Havelock

source function 或 Kelvin source function。其形式如下:

QPH

rrQPG ;11

41; *

(2.14)

其中

9

sincos~sec

~exp.p.vsec2

secsincossecsinsec4

sec

~expp.v.2

secsincossecsinsec4

0 20

20

0

200

sec20

0 20

0

200

sec20

21222*

21222

2

2

2 20

2

2

2 20

yxw

dkKk

wikzkkdKR

yKxKedKH

dkKk

wikzkkdR

yKxKedKHzyxr

zyxr

e

zK

e

zK

(2.14)中“＋＂號之表示形式一般稱為正像表示法，“－＂號之形式則稱為逆向表

示法。當 Froude number 趨近無窮大；亦即船速 U 很高。波數 0K 趨近於零時，

*0

1141;lim

0 rrQPG

K (2.15)

反之則

*

1141;lim

0 rrQPG

K (2.16)

此亦即所謂之二重模型(double model)，此時之自由液面邊界條件稱為固壁條件

(rigid wall condition)。

利用 stationary phase method，可求得 QPG ; 在流場下游無窮遠處之漸近值

(asymptotic value)為:

2 20

0

20

20

sec20

0

secsincossecsinsec

;lim

yKxKedK

QPG

zK

xr

(2.17)

QPG ; 除滿足(2.12)之線性邊界條件外，並擁有如下性質(Bessho(1970,1976)以及

Brard(1971,1972))

0;022

QPGK

on 0 (2.18)

(2.18)式將於爾後之推導過程中引用。

10

2-2-2 積分形式表示法

Fig. 2.2 Control Surface and Control Volume

若考慮如 Fig.2.2 中由若干控制面(control surface)所包圍之流場，其中:

S 為船體浸水表面，

wC 為 S 與 X-Y 平面之交接線，

為包含 0z 之流場，而延伸至無窮遠之曲面，

wC 為和 X-Y 平面之交接線，

F 為介於 wC 和 wC 間之 X-Y 平面，

F~ 為 wC 之內之 X-Y 平面，

V 為由、 S 以及 F 所包圍之流場區域，

V~為由 S 與 F~ 包圍之流場區域，

n為指向V 內部之邊界法向向量，

nn *

首先考慮流場V 之流勢，若對及G 引用(2.10)之 Green’s second identity 並

由(2.11)則可得:

Z

Y

F

X

S

U

n

wCF~

wC

n

*n

*n

n

11

VFS QQ

dVQPQQdsQn

QPGQPnGQ ;;; **

(2.19)

由(2.6)及(2.13)之發散條件可知，當延伸至無窮遠時，(2.12)左邊關於表

面之積分將趨於零。而關於 F 表面之積分如下:

QdsQn

QPGQPnGQ

F QQ

** ;;

ddQQPGQPGQF 0

;;

由(2.18)之性質，上式

ddQQPGQQPG

KF 02

2

0

;;1

(2.20)

利用兩次部分積分之步驟，則上式中

ww CC FF

ddGdGddG

22

ww CC F

ddGdGG 22

若向無窮遠延伸，上式中 wC 之線積分亦趨於零，故

QdsQn

QPGQPnGQ

F QQ

**

~;;

wCF

dQQPGQK

ddQK

QQPG

0002

2

0

;11;

wC

dQQPGQPGQK

00

;;1 (2.21)

將(2.21)帶回(2.19)並對(2.11)中之 delta function 引用 substitution property，則:

12

QdsQn

QPGQPnGQ

S QQ

** ;;

FSVPFSP

VPP

P

dQQPGQPGQK

wC

021

;;1

00

(2.22)

其次考慮流場V~之假想流勢~ ，~ 在 0z 滿足下列之線性自由液面條件:

0~~

02

2

zK

x on 0z (2.23)

如同流場V~之流勢，對~ 及G 引用(2.10)之 Green’s second identity 得:

VFS QQ

dVQPQQdSQn

QPGQPnGQ

~~;~

~;;~

(2.24)

(2.24)中關於 F~ 之積分與(2.19)中關於 F~ 之積分類似，故同理可得:

QdsQn

QPGQPnGQ

F QQ

~

~;;~

wC

dQQPGQPGQK

00

~;;~1 (2.25)

將(2.25)帶入(2.24)得:

FSVPFSP

VPP

P

dQQPGQPGQK

QdsQn

QPGQPnGQ

wCS QQ

~~~

~

0

~21~

~;;~1

~;;~

00

將(2.22)與(2.26)相加，由於nn

* ， 011

0*

rr以及 011

0*

rr，

故得:

13

VPSPVP

P

PP

P

dQPHQQQPHQQK

QdSQPGQn

Qn

QPnGQQ

wC

S QQQ

~~

~21

;~

;~4

1

;~

;~

00

(2.27)

若令

Qnn

Qn

Q

QQQ

QQQ

~

~

(2.28)

則(2.27)可改寫為:

VPSPVP

P

PPorPP

P

dQPHQQPHQK

QdSQPGQQPnGQ

wC

S Q

~~ 21~

21

;;4

1

;;

0

(2.29)

因 inQnQn

Q QQ

Q

故(2.29)可改寫為

VPSPVP

P

PPorPP

P

dinQPHQQPHQK

QdSQPGQQPnGQ

wCQ

S Q

~~ 21~

21

;;4

1

;;

0

(2.30)

(2.29)式中之線積分項，利用(2.25)式之逆步驟，可將(2.29)再繼續改寫為:

14

VPSPVP

P

PPorPP

P

QdSQPGQQPnGQ

FS Q

~~ 21~

21

;;~

(2.31)

(2.30)與(2.31)兩式即船舶興波問題流場流勢之積分表示法。除上兩式外尚有其

他形式之表示法；如 Liao(1973)、Guevel 等(1976)，但仍以(2.30)及(2.31)較為簡便

且常為研究者所應用。其物理意義即相當於強度密度為 Q 之偶點或 Q 之源

點，分佈於相關之表面或曲線上所誘導之流場流勢。藉著假設適當之虛擬流場流

勢~ 和流場流勢在 S 表面為連續，

0~ QQQ

此即相當於僅考慮源點之分佈，則由(2.30)以及(2.31)流場V 之流勢可表為:

dinQPHQK

QdSQPGQPwC

QS

;

41;

0

(2.32)

以及

FS

QdSQPGQP~

;

(2.33)

同理若僅考慮偶點之分佈，即假設虛擬流勢~ 和流場流勢在 S 之法向梯度Qn

~和

Qn

為連續

0~

Qn

Qn

QQQ

由(2.30)和(2.31)流場V 之勢流可表為:

dQPHQK

QdSQPnGQP

wCS Q

;4

1;0

(2.34)

以及

FS Q

QdSQPnGQP

~;

(2.35)

(2.32)、(2.33)以及(2.34)、(2.35)皆為流場V 中流勢之表示法，以下乃選取(2.32)

15

做為本文流勢之表示法，以做關於船舶興波問題之進一步探討。

16

2-3 船舶興波阻力表示法

由於所考慮之流場為非黏性流場，故船舶興波阻力可直接由積分船體表面沿 x

方向之壓力求得，即:

S

Qw QdSinQpR (2.36)

壓力 Qp 可由下式之 Bernoulli’s equation 求得:

gzUpp 2221 (2.37)

除(2.36)外，興波阻力 wR 亦可以遠離船體表面之流場流勢求得。由於假設在自

由液面 F 之壓力 0p ，利用 Gauss Divergence Theorem(2.36)可表如下:

dSpndVpdSinpR xS V

xQw

(2.38)

由(2.37)之 Bernoulli’s equation 及(2.2)之 Laplace equation 得:

xxxp (2.39)

將(2.39)代入(2.38)並再引用 Gauss Divergence Theorem 得:

FS

xnxw dSpndSR (2.40)

由於在 S 與 F 上 0 n ，同時利用(2.37)之 Bernoulli’s equation，(2.40)可再化為:

dSgznnUR xnxxw

22

21 (2.41)

上式積分之最末一項可利用 Stoke’s Theorem 化為:

wC

x dyzdSzn2

21 (2.42)

因 UX ，故興波阻力 wR 可表為:

wC

nxxzyxw dyzgdSnR2222

21

2 (2.43)

若將取為一各稜邊與 X、Y、Z 座標軸平行之矩形體，如 Fig. 2.3

由於在 1 表面 0 ，在 3 、 4 和 5 表面、 0xn 、 0n ，故(2.43)可簡

化為:

17

Fig. 2.3 Rectangular Control Surface and Control Volume

dyzgdzdyR

f

xzyw2222

22 (2.44)

利用(2.17)之性質，考慮流場下游遠離船體之流勢，若使用(2.32)式之流勢表示

法，則下游無窮遠處之流場流勢可表為:

20

20

sec2

00

0

20

20

sec2

0

0

seccossecsinsec8

secsincossecsinsec

12

202

2 20

qKQqKpedK

θθηyKθξxKeθdθ

inQdηηK

QσQdSπK

x,y,z

zK

θζzK

S CQ

w

(2.45)

式中

sincos

secsincosexp0,,4

1

secsincosexp,,41

20

0

20

yxq

diniKK

dSiKiQP

wC

S

(2.46)

而船體遠後方之波高，由(2.9)亦可表為:

Z

Y

F

U

5

2

3 1

4

X

18

2

0

20

20

30

0secsinseccossec

8 qKQqKPd

UK

xgUf

z (2.47)

將(2.45)、(2.46)以及(2.47)代入(2.44)並利用如下之 Fourier Integral 公式:

-

πduuFuFπdyuF

duuyuFuyuFy F

0

22

21

2

0 21sincos

則

若

(2.48)

則(2.44)可改寫為:

20 32220 sec16

dQPKRw (2.49)

(2.36)和(2.49)同為興波阻力之表示法。(2.36)是以船體表面之壓力積分求得，

而(2.49)則是由遠離船體表面之流況求得。

為區分方便起見，以下將(2.36)式中由船體表面壓力積分求得之興波阻力定為

pR 。而(2.49)由無窮遠下游流況導得之興波阻力定為 wR 。

19

第一部份興波阻力之實驗計測

20

第三章縱向波形分析理論

在船舶興波問題中，自由波譜(free-wave spectrum)代表整個流場之特性，因此

我們希望能從測量流場某些部分知自由液面波高推知整個流場之波譜。同時由第

二章可知:船舶興波阻力能由代表自由波譜之振幅函數(amplitude function) QP 、

QQ 計算求得。此即波形分析之基本觀念。

波形分析較重要之方法依 Eggers、Sharma 和 Ward(1967)之分類共包括:

橫向波形分析(transverse wave pattern analysis)—首先由 Eggers(1962)提出，

縱向波形分析(longitudinal wave pattern analysis) —其構想首見 Newman(1963)

以及 Sharma(1963，1966)，

X-Y 波形分析(X-Y wave pattern analysis) —由 Ward(1963)首先提出。

在上述三種波形分析方法中，以縱向波形分析所需之實驗設備最為簡便，其

實驗進行也最為容易，僅需利用固定於水槽中之波高計計測船模行進所產生之波

浪波高。因此廣泛地為各國船模試驗水槽所採用，甚至更應用於海上實船興波阻

力之計測。

縱向波形分析之理論依各研究者而稍有差異，本文所討論之理論首見於

Newman(1963)，既而為 Michelson 和 Uberoi(1971)，池畑光尚和野決和男(1967，

1968)等所應用。故一般稱其為 Newman-Sharma 縱向波形分析理論。

21

3-1 Newman-Sharma 波形分析理論

由第二章之理論可知:一於自由液面做等速直線運動之船舶，其擾動周圍流場而產

生之自由液面波高為:

S Cx

z

w

dnyxGxK

dSyxGxg

U

xgUyxf

0,,;0,,0,,1,,;0,,,,

0,,

0

0

(3.1)

其中 ,,;,, zyxG 為(2.14)所示之 Havelock source function。而興波阻力可表為:

20 22220 sec16

dQPKRw (3.2)

其中

wC

S

dniKK

dSiKiQP

20

0

20

secsincosexp0,,4

1

secsincosexp,,41

(3.3)

波形分析理論即是欲求得一波高與興波波阻力間之關係等式，以便由波高之

量取，進而求取興波阻力。以下之推導即是由(3.1)與(3.2)出發，求得一 0,, yxf 和

wR 間之關係式。

由(3.1)知:

0 20

020

200

sec3

0

20

0

secsincoscoscossec

secsincosseccossec

0,,1,,0,,

2

202

KkykxkkedkdK

yKxKedK

ndK

dsgUyxf

kz

K

S Cx

w

(3.4)

對(3.4)式取關於 X 之 Fourier Transform，考慮λ>0，並假設積分之次序可以互

換。經過一些演算(附錄 A)即可得

22

20

0

0

2

0

2

02

00

0

2

0

cossectancos

1

1cos

exp

0,,1,,

0,,

2 cos

KyedeKi

e

K

Ky

KKK

ndK

dsgU

dxeyxf

i

i

S Cx

xi

w

(3.5)

式中由附錄 A 之推導過程可知需滿足 sec0K 之條件。

利用 tant 之變數變換，以及如 Fig. 3.1 複數 t 平面之圍線積分(contour

integral)，則可求得當 y (3.5)中關於之積分結果(附錄 B):

1

1sin

cossectancos

2

0

2

02

0

20

0

2

00

2 cos

K

Ky

eK

Kyed

KK

(3.6)

Fig. 3.1 Integration Contour on Complex t plane

Im.t

Re.t t0

0

23

將(3.6)代入(3.5)則得:

1exp

1

1

0,,1,,

0,,

2

0

2

002

0

2

0

0

sec0

Kyai

KK

KK

ndK

dsgU

dxeyxf

S Cx

ixK

w

wCx

S

yiK

dniKK

dSiKUe

20

0

20

tansec

secsincosexp0,,1

secsincosexp,,cossin

0

(3.7)

比較(3.7)與(3.3)即可得最終之結果:

dxeyxfyiKUiQP xiK

sec0 00,,tansecexpcossin4

(3.8)

同理若對縱向波高斜率 xf ，以及橫向波高斜率 yf 取 Fourier transform，如上述

之討論則可得:

dxeyxfyiKiUiQP xiKx

sec02 00,,tansecexpcossin

4 (3.9)

dxeyxfyiKiUiQP xiKy

sec03 00,,tansecexpcos

4 (3.10)

由(3.8)、(3.9)及(3.10)可知，倘若能測量延船舶運動方向某一固定 0y 值之波高、

縱向波高斜率或橫向波高斜率，即可利用(3.8)~(3.10)各式計算震幅函數 P 和

Q 進而利用(3.3)求得船舶之興波阻力 wR 。此即所謂之縱向波形分析。

在本文中縱向波形分析系統係根據(3.8)式進行，亦即測量縱向之波高值。將

(3.8)適當之改寫如下，以適於數值績分計算:

dxxKyxfyK

dxxKyxfyKUQP

secsin,sectancossin

seccos,sectansincos

cossin4

0000

0000

(3.11)

24

3-2 截斷誤差之修正

事實上在實際之試驗水槽中，由於槽壁反射波以及有限水槽長度之影響，並

不能如(3.9)式所示；測量在某一固定 0y 位置，由上游無窮遠至下游無窮遠之波高

值。

如 Fig. 3.2 所示，在反射波開始產生干涉前之某適當位置 X=M，即需將所測

量之波高截斷，而以如下之漸近波(Wehausen, 1960)近似，

xKxKff0

00

cos Mx (3.12)

(3.12)中之與 0f 可由測量之波高數據外插求得，其詳細之步驟參見附錄 C。

將(3.12)代入(3.9)中則得:

M

M

M

M

dxxKxK

xKf

dxxKyxfyK

dxxKxK

xKfdxxKyxf

yKUQP

seccoscos

secsin,sectancossin

secsincos

seccos,

sectansincos

cossin4

00

00

0000

00

0000

00

(3.13)

Fig. 3.2 Wave Measuring Region

LINE OF MEASUREMENT TRUNCATED POINT

X=M

TANK WALL

x

y

Y0

BOUNDA

RY OF

KELVIN

PATTE

RN

25

(3.13)式中之積分項

M

dxxKxK

xKf seccossin

cos

00

00 可繼續改寫如下(附錄 D):

20

20

20

20

1sec

0

2

1sec

0

2

1sec

0

2

1sec

0

2

0

0

00

00

2cossin

21

1secsin

2sincos

21

1secsin

2sincos

21

1seccos

2sincos

21

1seccos

2

seccossin

cos

MK

MK

MK

MK

M

dtt

dtt

dtt

dtt

Kf

dxxKxK

xKf

(3.14)

上式中之積分項為所謂 Fresnel’s Integral

2

0

2

2cossinZ

dtt 之形式。(3.13)與(3.14)

即本文縱向波形分析所使用之計算公式。

26

第四章縱向波形分析實驗系統

由前章之理論結果可知，縱向波形分析實驗需包括波形數據之紀錄，數據之

選取與傳輸以及數據之數值分析三大步驟。以往本所亦曾進行有關波形分析之一

系列實驗，並建立縱向波形分析之實驗系統，如陳國在和汪群從(1978)、汪群從等

(1978)，其實驗流程大致如下圖所示

Fig. 4.1 Block Diagram of Previous Wave Analysis Experimented System in NTU-INA Towing Tank

其流程為一 off-line 之實驗系統，亦即需將記錄於記錄器之紙帶上之波高數據，利

用人工轉換為電腦卡片，而後以大型計算機做數據之數值計算。其工作十分耗時

且易出錯。

針對以上之不便，本實驗系統建立之原則，乃是希望能就本所現有的儀器設

備，建立一套 on-line 之波形分析實驗系統，以作為本所試驗水槽之力行實驗(routine

experiment)。

Wave Probe

Signal Amplifier

Paper Recorder

Data Cards

Computer Analysis

by hands

27

4-1 實驗裝置

為使實驗程序更能“自動化＂，因此本實驗乃引用本所所擁有之微計算機，

做為整個實驗控制、計測以及分析之主體。

本文波形分析實驗所使用之全部儀器如 Fig.4.2 所示。共包括:

(一) 微計算機(micro-computer) —能做類比信號(analog signal)以及數字信號

(digital signal)之輸入與輸出。

(二) 波高計(wave probe)—如 Fig.4.3 所示，固定於水槽中之計測位置，以測量

隨船模前進之縱向波形，因其最大之輸出信號範圍為±5volt，故無需再接連放

大器(amplifier)。其校正曲線(calibration curve)見 Fig.4.4。

(三) 啟動電路(trigger circuit) —為一簡單之直流迴路，當拖車拖著船模行駛至

適當之距離時即切斷迴路，控制微計算機開始由波高計輸入波高數據。

其中微計算機隻機型為“Analog Device-MACSYM2＂，為一用於實驗控制、

計測與分析之多功能微計算機，並能特別計測之類比信號儲存於磁帶或磁碟中。

本實驗中所使用關於控制與計測之功能包括:

(1) Analog Input—輸入啟動迴路之電壓信號。

(2) Collect—用以輸入波高計之電壓信號，其最高之輸入速率能一秒鐘輸入 4000

個類比信號數據，及相鄰兩輸入信號之間隔時間為 0.00025 秒。以此速率用以

紀錄隨船模前進之波形是相當知足夠，事實上本實驗中所使用之輸入時間間距

僅需 0.01 秒即已相當精確。

(3) Average—自動將類比輸入訊號取平均值，在本實驗中用於波高計之歸零。

(4) Analog Output—將儲存於磁帶或磁碟中之波高數據以類比信號輸出，表繪於

X-Y 記錄器上。

28

Fig. 4.2 Equipments of Wave Analysis System

Fig. 4.3 Arrangement of Wave Probe

TRUSS

WAVE PROBE

TANK WALL

WAVE PROBE

TOWING TANK

MICRO-COMPUTER

MODEL

XY-RECORDER

PRINTER

29

Fig. 4.4 Calibration Curve of Wave Probe

voltcm04.3slope

1

30

4-2 實驗程序

如前節所述，由於整個實驗過程皆由微計算機所控制進行，因此實驗之程序，

亦即相當於計算機軟體之流程，Fig.4.5 為整個實驗之流程圖。計算機軟體系以

BASIC 語言寫成之交談式(interactive)計算機程式。其詳細之報表見附件 1。

整個實驗之程序大致如下:

(1) 在每次船模行進之前，先由波高計輸入記號，取其平均值以為波高計之零點。

(2) 拖車開始行進，當行駛至適當之計測位置時，由於切斷啟動迴路之電流，控制

為計算機開始自波高計輸入波高信號。

(3) 將儲存於為計算機記憶中之波高數據以 X-Y 記錄器繪出所量測之縱向波形。

(4) 由 X-Y 記錄器所繪出之縱向波形判斷槽壁反射波開始干涉之位置，而截斷以後

之數據，並將所需之波高數據儲存於磁帶或磁碟中。

由磁帶或磁碟中輸入波高數據，引用第三章所述關於縱向波高分析之理論計算船

舶興波之振幅函數 QP 、 QQ 以及興波阻力係數

31

Fig. 4.5 Block Diagram of the Procedure of Wave Analysis

Wave Probe

Take Zero Point of Wave Probe

Model Start Running

Trigger Circuit

Wave Probe

Collect Longitudinal Wave Height Data

Plot Longitudinal Wave Profile

Data Edition & Storage

Fourier Analysis of Wave Height Data to Obtain

Amplitude Function and Wave Resistance

X-Y Recorder

Magnetic Tape or Disk

Printer

32

第五章波形分析結果

為實驗上章縱向波形分析系統之可用性，因此首先採用一造波機構—船形，

較為單純之數學船形做為實驗對象，以驗證實驗系統是否有誤。

由於高速艦艇之興波特性十分之顯著且重要，因此本文選擇—驅逐艦船形，

進行縱向波形分析實驗。同時為探討高速艦船艏和船艉線形對於興波阻力影響，

於是參考國外發表之資料，依經驗而於船艏和船艉分別加裝球形船艏(bulbous bow)

和艉端球(stern-end-bulb)進行波形分析實驗，以做為國內設計高速艦艇之參考。

33

5-1 拋物線船型實驗結果

Fig. 5.1 為一拋物線船形之舯剖面圖(body plan)，其表面方程式為

22

1212

,Dz

LxBzxy (5.1)

其中 1.0LB ， 1.0LD 。實驗船模之長度為 3 公尺，吃水 H 為 0.225 公尺，亦

即 075.0LH ， 09375.0LB 。B 為水線平面之船寬。

進行波形分析實驗時，船模係數以固定架固定，使其不產生俯仰或下沉。為

探討計測位置 0y 對於縱向波形分析之影響，因此分別選擇兩不同之計測位置

2.00 Ly 與 1.00 Ly 。Fig. 5.2 為所得之興波阻力係數 2221 LURC ww 與

20 1 nFLK 之曲線圖形。其數值表列於 Table 5.1 中。

Fig. 5.3a~5.3g 為不同計測位置未受槽壁反射波干涉之縱向波形圖。Fig.

5.4a~5.4g 為由計測之縱向波高數據所計算之重振幅函數 *A ，

2*2** SCA (5.2)

QP

ULK

SC

23sec

4 0*

*

(5.3)

由 Fig. 5.2 和 5.4 可知 Ly 2.00 之波形分析結果較 Ly 1.00 之結果稍大。而於

110 LK 時誤差最大，其可能原因為截斷點位置選取之不當。

34

Fig. 5.1 Body Plan of Parabolic Hull Model

K0L Fn Cw x 104

Y0/L=0.2 Y0/L=0.1

14 0.267 1.0202 0.9766

13 0.278 1.2809 1.1190

12 0.288 1.5250 1.4271

11 0.301 1.9877 1.6762

10 0.317 1.9711 1.8537

9 0.344 1.7870 1.7474

8 0.356 1.6076 1.5204

Table 5.1 Wave Analysis Results of Parabolic Hull Model

35

Fig. 5.2 Results of Wave Analysis for Parabolic Model

Fig. 5.3.a Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=14, Fn=0.267)

36

Fig. 5.3.b Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=13, Fn=0.277)

Fig. 5.3.c Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=12, Fn=0.289)

37

Fig. 5.3.d Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=11, Fn=0.302)

Fig. 5.3.e Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=10, Fn=0.316)

38

Fig. 5.3.f Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=9, Fn=0.333)

Fig. 5.3.g Longitudinal Wave Profile of Parabolic Model (K0L=8, Fn=0.354)

39

Fig. 5.4.a Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=14, Fn=0.267)

Fig. 5.4.b Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=13, Fn=0.277)

40

Fig. 5.4.c Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=12, Fn=0.289)

Fig. 5.4.d Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=11, Fn=0.302)

41

Fig. 5.4.e Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=10, Fn=0.316)

Fig. 5.4.f Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=9, Fn=0.333)

42

Fig. 5.4.g Amplitude Function of Parabolic Model (K0L=8, Fn=0.354)

43

5-2 驅逐艦船型實驗結果

Fig. 5.5 為一驅逐艦船形之舯剖面圖，其本所船模編號為 MS017。船模之主要

尺寸如下:

cm 195.8cm 944.26

cm 76.232

HBLpp

波形分析實驗係與阻力實驗同時進行，亦即船模是以無拘束之狀態由拖車拖

曳。波高計測之位置為 cm 6.460 y (0.2 ppL )。

由於原船形無球艏，因此本文乃參考 Kehoe，Brower 和 Meier(1982)之論文，

在原船形上以石蠟為材料加裝一球形艏。同時最近於東京大學Miyata等(1980，1981)

更發展所謂之艉端球(stern-end-bulb)，且以應用於實際商業船形。因此本文亦對高

速原船形之船艉以石蠟加裝一艉端球。加裝球形艏和艉端球之船形編號為

MS071D，其示意圖如 Fig. 5.6 所示，亦同時進行阻力試驗和波形分析實驗。

Fig. 5.7 為 MS017 和 MS017D 阻力試驗總阻力係數 2221 LVRC tt 之結果，

Fig. 5.8 為由阻力試驗所求得之興波係數與波形分析興波阻力係數 wC 之結果。由阻

力試驗推算興波阻力係利用 Schoenherr 之三次元解析法，MS017 和 MD017D 之形

狀因子K分為 0.12及 0.08，其原因乃是由於MS017D激紊裝置(turbulence stimulator)

之ㄧ部份，為由石蠟製成之球形艏所覆蓋，因此在低速之阻力試驗受到層流影響，

而使由低速解析出來之形狀因子偏小。由阻力試驗和波形分析所得之實驗數值表

列於 Table 5.2 中。Fig. 5.9a~5.9e 為波形分析實驗所計測 MS017 和 MS017D 之縱向

波形圖。Fig. 5.10a~5.10e 為由波形分析所求得重率振幅函數圖。

由以上一系列之試驗結果可知，加裝球形艏和球艉端球，之改良船形

MS017D，其總阻力、興波組立即擾動流場之波高皆較原船形為低。若由模型阻力

實驗結果，推算實船之有效馬力，則得 Fig. 5.11 之有效馬力曲線。由圖中可看出，

若驅逐艦之戰鬪速度為 30 節，則在相同船速下，改良船形 MS017D 可比原船形節

44

省 1700 馬力之輸出。若在相同 15000 馬力輸出之狀況下，改良之 MS017D，能比

原船形增加約 0.5 節之速度。由此結果可知，加裝球艏和艉端球隊於高速艦之阻力

降低是有效的。

Ct x 104 Cw x 104 Cw x 104

Fn Towing Test Wave Analysis

MS017 MS017D MS017 MS017D MS017 MS017D

K=0.12 K=0.08

0.225 5.262 5.168 0.328 0.047 0.185 0.142

0.250 5.339 5.119 0.496 0.095 0.301 0.164

0.275 5.367 5.127 0.613 0.784 0.392 0.213

0.300 5.467 5.274 0.771 0.401 0.496 0.386

0.325 5.633 5.388 1.006 0.580 0.594 0.456

0.350 5.776 5.469 1.211 0.727 0.671 0.511

0.375 6.098 5.892 1.586 1.203 0.995 0.786

0.400 6.733 6.460 2.269 1.825 1.441 1.300

0.425 7.234 7.035 2.811 2.451 1.864 1.744

0.450 7.653 7.480 3.275 2.935 2.470 2.249

0.475 7.831 7.683 3.494 3.180 2.413 2.230

0.500 7.839 7.730 3.537 3.266 2.373 2.261

Table 5.2 Towing Test and Wave Analysis Results of MS017 and MS017D

45

Fig. 5.5 Body Plan of MS017

Fig. 5.6 Configuration of Bulbous Bow and Stern-end-Bulb

STERN-END-BULB

BULBOUS BOW

WL. WL.

46

Fig. 5.7 Resistance Test Results of MS017 and MS017D

Fig. 5.8 Wave Resistance of MS017 and MS017D from Resistance Test and Wave Analysis

47

Fig. 5.9.a Longitudinal Wave Profile of MS017 and MS017D at Fn=0.3

Fig. 5.9.b Longitudinal Wave Profile of MS017 and MS017D at Fn=0.35

Fig. 5.9.c Longitudinal Wave Profile of MS017 and MS017D at Fn=0.4

48

Fig. 5.9.d Longitudinal Wave Profile of MS017 and MS017D at Fn=0.45

Fig. 5.9.e Longitudinal Wave Profile of MS017 and MS017D at Fn=0.5

49

Fig. 5.10.a Amplitude Function of MS017 and MS017D at Fn=0.3

Fig. 5.10.b Amplitude Function of MS017 and MS017D at Fn=0.35

50

Fig. 5.10.c Amplitude Function of MS017 and MS017D at Fn=0.4

Fig. 5.10.d Amplitude Function of MS017 and MS017D at Fn=0.45

51

Fig. 5.10.e Amplitude Function of MS017 and MS017D at Fn=0.5

52

Fig. 5.11 Effective Horsepower vs. Ship Speed for MS017 and MS017D

53

第六章波形分析之討論與建議

6-1 縱向截斷與航向計測位置之討論

縱向截斷位置與橫向計測之距離為縱向波形分析理論中仍需探討之重點。

(3.11)式縱向波形分析攻勢之基本假設為 y ，但由於水槽寬度之有限，引此若

取較遠離中心線之計測位置，則由於槽壁反射之影響使得所能計測之波形數據減

少，而需在很短之計測位置截斷計測數據。但由 3-2 節有關截斷誤差修正之討論

知，(3.12)式之近似漸近波為一二維之波形，而需在距離船體甚遠之下游流場方能

合理近似截斷後之波形。如此兩相互影響且矛盾之因素，使得對於縱向截斷與橫

向計測位置之探討更形困難。

本文雖於 5-1 結關於拋物線船行之波形分析實驗中，選取兩種不同之橫向計測

位置，以探討上述之問題。但其實驗之結果恰與本所陳國在、汪群從(1978)所得之

結果相反。即本文之計測結果顯示，愈遠離船體之波形計測所得之興波阻力愈大，

而陳國在等(1978)所得之結果則相反。其原因可能是由於如同 Tsai 和 Landweber

(1975)或Ward和van Hooff(1976)所得之結論:興波阻力係數隨橫向計測位置之變化

而呈現振盪之現象。由以上兩個不同橫向計測位置之比較，欲對上述之問題下定

結論勢不可能。由於有限之研究時間，因此本文之重點旨在建立較“自動化＂之

波形分析實驗系統。但以此完成之系統為基礎對於上述問題之探討應更為簡便。

54

6-2 實驗系統之討論與建議

Fig. 4.2 之實驗系統中縱向波形之繪製係以 X-Y 記錄器完成。利用 X-Y 記錄器

雖較紙帶紀錄為方便，但如欲由各種不同位置之計測波形繪製流場波高之等高線

圖，則需使用 X-Y 繪圖機(plotter)方能完成。由於本所以擁有 X-Y 繪圖機，因此進

一步對於實驗系統之改進應是在硬體上，設法將 Analogy device 和 X-Y plotter 連

接，在軟體上發展繪製等高線圖之計算機程式。

本文所完成之實驗僅限於由波高之計測計算興波阻力，但由(3.9)和(3.10)式可

知，由縱向和橫向之波高斜率之計測亦可求得興波阻力。如何計測波浪之波高斜

率，以即期與由波高計測對於興波阻力計算之比較，亦為本實驗系統所應繼續探

討之課題。

55

第二部分興波阻力之數值計算

56

第七章 Neumann-Kelvin 問題之數值解析

直至目前為止，進行三維 Neumann-Kelvin 問題數值解析之研究者極為有限，

就本文作者之收集大致包括:Adee(1973)、Chang(1977)、Gadd(1970)、Guével 等

(1977)、Liao(1973)、堤孝行(1976)、日下佑三(1974)以及林允進(1980)。其中

Adee(1973)、 Gadd(1970) 以及林允進(1980)因皆未考慮水線積分項，因此不能算

是真正解析 Neumann-Kelvin，故嚴格來說僅有五位研究者曾經進行過

Neumann-Kelvin 問題之數值解析。之所以造成如此稀少之研究者解析此類問題之

原因乃是由於其數值工作之過於龐大。譬如 Guével 等(1977)僅對橢圓球(ellipsoid)

做過三個 Froude 數之計算，而日下佑三(1974)更只計算了 Wigley 船形二個 Froude

數之興波阻力，其實用性和可用性皆相當之有限。

因此為使關於 Neumann-Kelvin 問題之數值解析負荷合理化，而又不致損失其

完整性，因此本文乃以林允進(1980)之數值解析方法為基本，而做更進一步較嚴密

Neumann-Kelvin 問題之解析。本章之各節即詳細敘述，探討各數值過程之步驟以

及各種數值解析上之簡化。

57

7-1 解析之積分方程式

由 2-2 節知，只要分布於相關表面和曲線上之奇異點強度密度已知，則流場流

勢可分別單獨以原點密度 ((2.32)和(2.33)式)或偶點密度 ((2.34)和(2.35)式)之

積分式表示。因此奇異點之分布密度或即成為待解析之未知數，其求解需引用

(2.3)之船體表面條件。以下分別對(2.30)以及(2.31)引用(2.3)之船體表面條件，以得

解析之積分方程式。

若僅考慮源點之分布；即 0 ，則由(2.30)可得:

SP ;4

1

;21

0

inUdinQPnHQ

K

QdSQPnGQP

PC

QP

S p

w

(7.1)

由(2.31)可得:

SP ;41

;21

inUQdSQPz

HQ

QdSQPnGQP

PF

S p

(7.2)

若僅考慮偶點之分布；即 0 ，由船體表面條件(2.3)以及虛擬流勢~ 與流場

流勢在船體表面之法向梯度相等之假設，則虛擬流場V~之流勢可改寫為:

)V~(P ~ 常數UxP (7.3)

(7.3)式已引用(2.3)之邊界條件，故由(7.3)以及(2.30)、(2.31)可分別得:

S)(P)V~(P

21

0-

;4

1;0

PτUx

dQPHQK

QdSQPnGQ

wCS Q

常數

(7.4)

以及

58

S)(P)V~(P

21

0-

41

~

Pτ-Ux

QdSP;Qζ

HQτπ

QdSP;QnGQτ

FS Q

常數

(7.5)

(7.1)、(7.2)以及(7.4)、(7.5)即為待解析之積分方程式。其中(7.1)和(7.2)為 Fredholm

第二形式之積分方程式。(7.4)即(7.5)若取控制點P 於船體表面上 S ，則亦為

Fredholm 第二形式之積分方程式，若控制點P 取於虛擬流場V~中則形成 Fredholm

第一形式之積分方程式。

比較(7.1)、(7.2)以及(7.4)、(7.5)對於數值解析之可適性，各有其優劣。本文選

擇(7.1)做為數值解析之對象。將(7.1)中之源點密度無因次化；即 UPPm ，

則:

S)(P ;4

1

;21

0

indinQPnHQm

K

QdSQPnGQmPm

wCPQ

P

S P

(7.6)

(7.6)即本文所欲解析之積分方程式，其未知數為船體表面及水線上無因次源點密度

m 之分布。

59

7-2 積分方程式之離散化

欲對(7.6)之積分方程式做數值解析，首先須將船體表面及水線近似化，亦即需

將(7.6)之線積分方程式離散化(discretizate)。本文所採用之近似法，乃是將整個水

線以下之船體浸水表面，以適當數目之四邊形平面元素(plane guadrilateral element)

近似之；如 Fig. 7.1 所示。並假設在每個元素上之源點密度為均勻分布，而每一平

面元素之重心為滿足船體表面邊界條件之點。

經由上述之近似，對於(7.6)積分方程式之解析將轉換成求解—如下式之線性代

數方程組，其未知數即各元素上均勻分布之源點密度值。

)21( 21

1)(

1...N,iinBmAmmi i

M

jijj

N

ijj

ijj

(7.7)

式中 )21( ...N,iPi 為各平面元素之重心，又稱為控制點，

in為 iP 鎖在平面元素之法向向量，

N 為近似船體表面之四邊形平面元素個數，其前 M 個元素為以水線為一邊之

元素，

jm 為未知之點密度，

Fig. 7.1 Approximation of Ship Surface

Cw

Z

Y

X

60

ijA 和 ijB 稱為影響係數矩陣(influence coefficient matrix)，其定義為:

dSzyxGnAjS

iiiiiij ,,;,, (7.8)

jl

jiiiiiij dinzyxHnKB

0,,;,,

41

0

(7.9)

jS 為第 j 個四邊形平面元素之面積分區域，

jl 為第 j 條水線線段之線積分區域，線積分之方向為逆時針方向，

,,;,, iii zyxG 為 Havelock source function，其形式與第二章所述同，表示

如下:

H

rrzyxG iii *

1141,,;,,

(7.10)

21

21

222*

222

zyxr

zyxr (7.11)

2

2

2

0 20

200

0

20

20

sec

~expp.v. 2

secsincossecsin

secexpsec4

dkKk

wikzkkdR

yKxK

zKdKH

e

(7.12)

2

2

2

0 20

20

200

0

20

20

sec

~expp.v. sec2

secsincossecsin

secexpsec4

dkKk

wikzkkdK

R

yKxK

zKdKH

e

(7.13)

sincos~ yxw

因此數值解析(7.6)積分方程是可歸納為下列兩大部分；其一為(7.8)和(7.9)影響

係數矩陣 ijA 和 ijB 之建立，影響係數矩陣之建立為一龐大之數值之作。

由(7.12)及(7.13)可看出；Havelock source function 中之雙重積分項為—主值積

分(principal value integral)，在 20 secKk 有一極點(pole)存在。利用適當之複數

平面圍線積分(contour integratiob)可將其奇異性去除，以利於數值績分，其詳細之

61

過程將於下一章中討論。

62

7-3 船體表面之近似

7-3-1 大域座標系統與局部座標系統

為建立係數矩陣 ijA 和 ijB ，首先需建立一大域座標系統(global coordinate

system)以及各平面元素之局部座標系統(local coordinate system)。大域座標系統乃

是固定於船體之動座標系統，如 Fig. 7.1 中之 ZYX ,, ，而各平面元素局部座標系

統 zyx ,, 之建立；如 Fig. 7.2 所示，乃是依據以下諸原則:

(1) 平面元素之控制點(本文取平面元素之重心)定為座標原點，

(2) yx 平面即平面元素所在之平面，指向船體外部流場之平面法向向量為 z軸

方向，

(3) 若四邊形平面元素之四角依逆時針以 1、2、3、4 等註標表示，則 X 軸之方向

取與連接 1、3 兩點間之直線平行。

依以上諸原則所建立之大域與局部座標系統間之轉換與逆轉換分為:

0

0

0

zyx

nnnbbbttt

zyx

zyx

zyx

zyx

(7.14)

Fig. 7.2 Local Coordinate System

,y

,x3 33 ,

44 , 4

11 , 1

22 ,2

0

63

0

0

0

zyx

nbtnbtnbt

zyx

zzz

yyy

xxx

(7.15)

其中 zyx ,, 、 ,, 為大域座標系統之座標，

zyx ,, 、 ,, 為局部座標系統之座標，

000 ,, 為控制點在大域座標系統之座標，

zyx nnnn ,, 為平面元素之法向向量，亦為局部座標系統之 z方向，

131313 ,,,, zzyyxxtttt zyx ，為局部座標系統之 x方向，

tnbbbb zyx

,, 為局部座標系統之 y軸方向。

7-3-2 四邊形平面元素之決定

切割船體表面所得之四邊形元素，為曲面元素；如 Fig. 7.3 所示，需將其在轉

換成平面元素，因此首先由曲面元素之四角座標，利用做小二乘法決定一平面方

程式，然後再將取面元素之四角座標投影至此一平面，即得所需之四邊形平面元

素。詳細之步驟可見附錄 E。

元素切割之原則為:

(1) 經轉換後之平面元素需能合理進似船體表面之曲率，亦即在曲面曲率變化較大

之部分，需以較小之元素近似之。

(2) 元素之最大數目需能為計算機儲存容量所容納，並能維持合理之運算時間。

64

Fig. 7.3 Actual Element and Plane Quadilateral Element

65

7-4 船體表面積函數之面積分

(7.8)影響係數矩陣 ijA 之建立需積分各平面之元素上對應之核函數(kernel

function)。由(7.8):

wijrijiS

iiiiiij VVndSzyxGnAj

,,;,, (7.16)

其中

dSzyxzyx

V

jS iiiiii

i

rij

21

21 222222

1141

jS),,( kwjviu rijrijrij

(7.17)

為 Rankine source r1 以及其對稱於 X-Y 平面之對像源點 *1r (image source)(或匯

點 *1sin rk )於 jS 平面元素之面積分所誘起點 iii zyx ,, 之速度分量。

jS

jiiiiwij SdSzyxHV ),,( ,,;,,41

kwjviu wijwijwij (7.18)

為wavy integral項 H 於 jS 元素之面積分所誘起 iii zyx ,, 點之速度分量。 H 和 H

則如(7.12)與(7.13)所示。

7-4-1 Rankine Source 之面積分

由(7.17)知

66

dSzyx

z

zyx

z

kw

dSzyx

y

zyx

y

jv

dSzyx

x

zyx

x

iu

j

j

j

S iii

i

iii

i

rij

S iii

i

iii

i

rij

S iii

i

iii

i

rij

23

23

23

23

23

23

222222

222222

222222

41

41

(7.19)

為求計算便利，以上各種積分項是以局部座標系統之分量 rjrjrj wvu ,, ，

rj

rj

rj

zzz

yyy

xxx

rj

rj

rj

wvu

nbtnbtnbt

wvu

(7.20)

其中

j

j

j

Srj

Srj

Srj

dSzyx

zzyxw

dSzyx

yzyxv

dSzyx

xzyxu

23

23

23

222

222

222

,,

,,

,,

(7.21)

j

j

j

Srj

Srj

Srj

ddzyx

zzyxw

ddzyx

yzyxv

ddzyx

xzyxu

23

23

23

222

222

222

,,

,,

,,

(7.22)

(7.22)式之各積分可參考 Hess 和 Smith(1964)或(1967)，其結果以 tr0 為判斷準

則而有不同之計算公式。其中 0r 為第 j 個平面元素控制點 jjj 000 ,, 與 zyxP ,,

67

間之距離， t為第 j 個元素較長之對角線。其積分技巧以及結果詳見附錄 E。

由於一般船體係左右對稱，故只需求解船體一舷之源點密度分布即可。又為

數值計算之簡便，故對於左右對稱之船形(7.19)可表示為:

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1,1,1

1,1,1

1,1,

m ni

ni

mirj

nrij

m ni

ni

mirj

mrij

m ni

ni

mirjrij

zyxww

zyxvv

zyxuu

(7.23)

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1,1,

1,1,1

1,1,1

m ni

ni

mirjrij

m ni

ni

mirj

nmrij

m ni

ni

mirj

nrij

zyxww

zyxvv

zyxuu

(7.24)

7-4-2 Wavy Integral 之面積分

(7.18)關於 H 核函數之面積分，其完整之積分公式可參考日下佑三(1974)或

Guével(1976)。但由於此項積分值對於影響係數矩陣之貢獻較 Rankine source 之面

積分值為小，而其數值計算之附和卻相當之龐大。且由林允進(1980)之數值研究結

論知:

(7.18)關於 H 第一項單一積分之面積分，將其簡化而視為一與源點密度均勻

分布平面元素擁有相當強度之點源點，其對於數值計算之結果將不致造成嚴重之

誤差。

而 H 中之雙重積分項之貢獻又遠較單一積分為小，因此為簡化數值計算之負荷，

本文遂接受林允進(1980)所得之數值實驗結論，而將(7.18)各面積公式簡化如下:

jjjiiiijwij zyxHa

V 000 ,,;,,4

(7.25)

其中 ja 為 jS 平面元素之面積，

jjj 000 ,, 為 jS 平面元素之控制點。

68

若僅考慮左右對稱船形之ㄧ邊，則

jjjiiiijjjiiiijwij zyxHzyxHa

V 000000 ,,;,,,,;,,4

(7.26)

式中 wavy integral 之導數 H 數值計算，將於第 8 章中討論。

69

7-5 水線線段核函數之線積分

(7.9)式影響係數矩陣 ijB 之建立，則需積分各水線線段上對應之核函數。由

(7.9):

lijil

jiiiiiij VnKdinzyxHn

KB

j

00 4

10,,;,,4

1

(7.27)

同樣如上節面積分之簡化，假設能將(7.21)之線積分近似如下:

0,,;,, 00 jjiiiijjylij zyxHinlV (7.28)

式中

2,

2, 323200

232

232

32

32

jj

j

jy

in

l (7.29)

22 , 、 33 , 為 jS 元素接觸水面兩頂點之 x、y 座標，如 Fig. 7.4 所示。

若僅考慮左右對稱之船形之ㄧ邊，則:

0,,;,,0,,;,, 0000 jjiiiijjiiiijjylij zyxHzyxHinlV (7.30)

70

Fig. 7.4 Segment Elements of Waterline

ZX

Y

33 22 33 ,

22 ,234

23

00 ,1

71

7-6 興波阻力及流場流況之數值計算

求解得(7.7)式各元素上均勻分布之源點分佈後，整個流場之流況，包括自由液

面之波高，流場流速與船體表面之流速和壓力分布，以及興波阻力皆可進一步計

算求得。流場流勢由(2.32)為:

S C

Q

w

dinQPHQmKUQdSQPGQmUQP

;;;0

(7.31)

自由液面波高 f 由(2.9)為:

0,, yxxU

gf

(7.32)

壓力係數 pc 為:

2

2

1U

iUc p

(7.33)

興波阻力之計算如 2-3 節所述，若積分船體表面壓力求得，則積分各元素上之

壓力係數得:

N

iipi

SQp

inacU

QdSinQPR

1

2

21

(7.34)

若由遠離船體表面之流況求得，將阻力 wR 以22

21 LU 表為無因次之阻力係數 wC ，

則:

dA

dSCCw

2

2

0

2*

0

2*2*

2

2 (7.35)

其中

72

jj

il

M

ii

S

N

ii

lS

dinKKmK

dSKKKm

LK

SC

i

i

0,,,,

sinseccossecsincos1

sinseccossecsincos

secexp

sec

200

10

200

20

1

0*

*2

3

(7.36)

如同簡化 wavy integral 之面積分及線積分，由 Breslin 和 King Eng(1963)之結論知:

將源點均勻分布之平面元素視為一等強度之點源點，則仍能得十分精確之興波阻

力計算值。故(7.36)可在簡化為:

sinseccossecsincos1

sinseccossecsincos

secexp

sec

20000

10

20000

200

1

0*

*2

3

iiii

M

ii

iiii

N

ii

KKinlmK

KKKam

LK

SC

(7.37)

73

第八章 Havelock source function 之數值計算

8-1 表現形式

第七章解析 Neumann-Kelvin 之數值過程中，必需計算 Havelock Source

Function 關於 X、Y、Z 導數之數值。滿足(2.11)~(2.13)之 Green’s function

,,;,, zyxG 除(2.14)之形式外尚有其他之表示法。Eggers、Sharma 和 Ward(1967)

將其大致歸為三類:第一類即本文(2.14)之表現形式；乃是由 Havelock(1932)所提

出，而由 Lunde(1951)將其繼續演化而如(2.14)。第二類則是由 Peter(1949)首先提出

之構想，而由 Eggers 等人(1967)將其行事具體化。第三類之構想首見於

Michell(1898)，亦表現於 Eggers 等人(1967)之論文中。

事實上，上述三類 Green’s function 之表示法皆不適於做為數值計算之用，其

主要原因乃是由於第二類和第三類之表示法中仍包含著雙重積分項，而第一類之

表示法不但包含雙重積分項且其積分為一主值積分。近年來由於數值計算之需

要，因而導致許多研究者重新探討此一古典之問題，如 Hearn(1977)、Noblesse

(1977,1978,1979)、Shen 和 Farell(1977)以及 Standing(1975)等。其中 Shen 和

Farell(1977)之研究乃是針對第一類—“Havelock-Lunde＂之表示法，而

Noblesse(1977,1978)則是改進“Peter＂之形式。Noblesse(1979)甚至將上述三種形

式皆演化為適於數值計算之形式。

Shen 和 Noblesse 之結果皆是將 Green’s function 中之雙重積分項化為一包含複

指數積分(complex exponential integral) ZE1 之單一積分項， ZE1 之形式為

(Abramowitz 和 Stegun(1976)):

Z

t

dtt

eZE1 (8.1)

式中Z 為一複變數。但 Shen(1977)以及 Noblesse(1977,1978,1979)所顯示之結果，

皆僅限於(2.14)中之逆像表示法，即 H 之積分式。因此在本章中由(2.14)之 Green’s

function 表示形式出發，適當選擇複數平面圍線積分之積分路徑，而將(2.14)主值

74

積分中之雙重積分項化為適於數值計算之兩種不同形式單一積分項，並探討其數

值計算之可適性，以作為本文數值解析 Neumann-Kelvin 問題之用。

75

8-2 第一種方法—複數 k 平面扇形圍線積分

由於造成數值積分之困難者，乃是(2.14)中之雙重主值積分項，因此以下遂從

(2.14)之雙重積分項出發，令

00 2

0

,p.v.sec

~expp.v. 22

2

2

dkkFddkKk

wikzkkd

(8.2)

00 2

0

2 ,p.v.sec

~expp.v.sec 22

2

2

dkkFddkKk

wikzkkd

(8.3)

式中

sincos~ yxw

在本節第一種方法中，採用首先由 Hess 和 Smith(1967)或 Smith、Giesing 和

Hess(1963)所提出，而為 Shen 和 Farell(1977)、Yeung(1972)等人所廣泛使用之方法。

其基本構想是適當選取複數 k 平面圍線積分之積分路徑，而將(8.2)和(8.3)中之極點

(pole)去除，並使被積分函數中指數函數指數之虛數部分消除，使被積分函數無振

盪之特性，以利於數值積分。為便於以下之討論，首先定義如下之變數:

zwwzaaewiz i

~tan

~~

1

22 21

(8.4)

xy

yx

yxw

1

22

tan0

cos

sincos~

21

(8.5)

首先考慮(8.2)式在複數 k 平面之扇形圍線積分，其路徑如Fig. 8.1所示，其中 0

之決定需能消除指數函數中之指數虛數部分， 200 secKk 為一極點。

76

Fig. 8.1 Integration Contours in Complex k Plane

隨w~ 之正負，其積分路徑亦異，其目的在使當扇形之半徑趨於無窮大時，沿

路徑③之積分趨近於零。若 0~ w ；即22 ， 0 ，則考慮 Fig. 8.1 中

上半部之扇形圍線積分。若 0~ w ，即 22 ， 0 ，則考慮下半部之

圍線積分。引用 Cauchy Integral Theorem 於複數 k 平面之圍線積分，若圖中之扇形

角度 0 取等於，則(8.2)式之積分可化為如(8.6)式無振盪特性之結果。同時將主

值積分之集點自積分項中去除。其詳細之推導見附錄 G。

part 1sec

~secsinsecexpsec~sgn, p.v.

111

120

20

20

200

mZ I

ZZEeK

wKzKKwdkkF

(8.6)

式中 wizKZ ~sec201

ZE1 如同(8.1)所示為一 complex exponential Integral， w~sgn 表w~ 之正負號。

將(8.6)及(8.7)帶入(8.2)再代回(2.14)則得:

Im.K

0~ W0~ W

00

0- 0 0k

wiz ~

wiz ~

①②

③④

Re.K

77

111

20

20

20

20

111

20

20

20

20

1sec2

sec~sinsecexpsec4

1sec2

sec~sinsecexpsec2

,,;,,

12

2

2

2

12

2

2

2

2

2

2

2

ZZEeRdK

wKzKdK

ZZEeRdK

wKzKdK

zyxH

Ze

Ze

(8.8)

(8.8)即適於數值計算之 Havelock source function 形式。

同理若考慮(8.3)如上述之複數 k 平面扇形積分，則得:

1120

20

20

20

12

2

2

2

sec2

sec~sinsecexpsec4

,,;,,

ZEeRdK

wKzKdK

zyxH

Ze

(8.9)

由(8.8)和(8.9)可知(7.12)中之主值雙重積分項以化為一被積分函數包含一複數

積分之單一積分項。

78

8-3 第二種方法— cosk 複數平面四分圓圍線積分

上節之方法係直接在複數 k 平面上做圍線積分，本節之方法則是先將(8.2)中之

積分變數 k 、轉換為、，其定義為:

kk

kk

,,

sin cos (8.10)

經變數變換後(2.14)中之雙重積分可改寫為:

0

0

0 222

22

22

20

0 20

,p.v.2

expp.v.2

sec

~exp.p.v2,

21

21

21

2

2

dIedRK

dxizedRK

dkKk

wikzkkdRK

yie

yie

e

(8.11)

0

0

0 222

220

0 20

2

,p.v.2

expp.v.2

sec

~exp.p.vsec2,

21

21

2

2

dIedRK

dxizedRK

dkKk

wikzkdRK

yie

yie

e

(8.12)

其中

zKzyKyxKx

0

0

0

由(8.11)和(8.12)可知 ,I 於 0 存在一極點。

2411 2

12

0 (8.13)

首先考慮(8.11)中 ,I 在複數平面之圍線積分。其積分路徑如 Fig. 8.2 所

示。

如上節所數為使沿路徑③之積分在四分圓半徑趨於無窮大時趨近於零，故其

79

Fig. 8.2 Integration Contour in Kcosθ Complex Plane

積分路徑亦隨 x 之正負而有所改變。

若 0x ，則考慮 Fig. 8.2 上半部四分圓之圍線積分，反之若 0x ，則考慮下

半部四分圓之圍線積分。同樣利用 Cauchy Integral Theorem 可將(8.11)之主線積分

化為(附錄 H):

dttit

tzitx

ttedK

yxizdIKxK

yi

m

21

21

21 222

22

22

20

212

00

200

expp.v.Re

2

41exp2sgn,

(8.14)

利用變數變換，以及一些演算，則(8.14)可改寫為(附錄 I):

2

2

2

2

2

20

221

0

20

sec20

1cos2

sec~sinsec2sgn,

ZZEeId

K

wKedKxK

Zm

zK

(8.15)

式中 cossincos02 xiyzKZ (8.16)

將(8.15)帶入(2.14)則得:

①②

③

④

Im.

Re.

0

0X

0X

80

221

0

20

20

20

1cos2

sec~sinsecexpsec4

,,;,,

22

2

2

2

ZZEeIdK

wKzKdKxH

zyxH

Zm

(8.17)

其中 xH 為 Heaviside step function，其定義為:

1 0 0 0

x-ξHx-ξx-ξHx-ξ

則若

則若

同理若考慮(8.13)如上述之複數平面圍線積分，則得:

210

20

20

20

22

2

2

2

cos2

sec~sinsecexpsec4

,,;,,

ZEeIdK

wKzKdKxH

zyxH

Zm

(8.18)

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