∆ύο παράλληλες ιστορίες που άλλαξαν τον κόσµο. Νεύτωνας – Λάιµπνιτς:

Σηµειώσατε ΧΣηµειώσατε Χ

Επιµέλεια – Παρουσίαση Ανδρέας Λύκος

http://leshianagnosiskomotinis.blogspot.com/

Βιβλιογραφία1.Ο πόλεµος των µαθηµατικών,

Jason Socrates Bardi, εκδόσεις Τραυλός.2.Η αλήθεια βρίσκεται στο όριο: Ο απειροστικός λογισµός,

Antonio J. Durάn, εκδόσεις 4π.3.Η ψυχολογία της επινόησης στα µαθηµατικά,

Jacques Hadamard, εκδόσεις Κάτοπτρο.4. Το διαφορικό ως θεµελιώδης έννοια όπως χρησιµοποιήθηκε

και ερµηνεύτηκε από τον Leibniz,και ερµηνεύτηκε από τον Leibniz,διπλωµατική εργασία της Μικέλη Θεοδώρα.

5. Calculus και Leibniz – Newton,http://en.wikipedia.org

6. Calculus History, http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html

7.Ο Νεύτων στην ψηφιακή εποχή, http://www.thalesandfriends.org

8.Notation for Differentiation, http://www.maths.manchester.ac.uk/~cds/articles/derivative.pdf

Ερωτήµατα προς διερεύνηση

� Ποια είναι η σηµασία του απειροστικού λογισµού;� Ποιος ανακάλυψε τον απειροστικό λογισµό;� Πώς τα ιστορικά γεγονότα επηρέασαν τηνδηµοσίευση του απειροστικού λογισµού;� Η πορεία προς την επινόηση – ανακάλυψη µίας� Η πορεία προς την επινόηση – ανακάλυψη µίας(µαθηµατικής) ιδέας. Μία στιγµιαία πηγή έµπνευσης;

Ένας από τους µεγαλύτερους δηµόσιους διαλόγους για τα πνευµατικά δικαιώµατα

Απειροστικός ΛογισµόςΈνα σύνολο µαθηµατικών εργαλείων

ανάλυσης της κίνησης και της µεταβολής των σωµάτων

∆ιαφορικόΜικρές στιγµιαίες αυξήσεις

ή µειώσεις στις µεταβαλλόµενες ποσότητες (ρυθµός αύξησης ή

µείωσης µίας ποσότητας)

ΟλοκλήρωµαΑθροίσµατα απειροστών διαστηµάτων κατά µήκος γεωµετρικών καµπυλών

Η βασική ιδέα του απειροστικού λογισµού

«Καθετί πρέπει να θεωρείται στο γίγνεσθαί

Φανταστική απεικόνιση του Ηράκλειτου σε πίνακα του Γιοχάνες Μορέιλσε

θεωρείται στο γίγνεσθαίτου, δηλαδή στο συνεχή µετασχηµατισµό του.»

0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −′ =

Κάποιος µου είπε ότι κάθε εξίσωση που θα περιλαµβάνεται στο περιλαµβάνεται στο

βιβλίο µου θα µειώνει τις πωλήσεις στις µισές.

( ) ( ) ( )f x dx F Fβ

αβ α= −∫

• Φτιάχνω ένα µαθηµατικό µοντέλοπου να περιγράφει τη σχέση δύο ήπερισσοτέρων µεγεθών.• Εφαρµόζω τις εξισώσεις τουαπειροστικού λογισµού και αναλύωή/και προβλέπω τα φαινόµενα.

Πως είπατε; Που εφαρµόζεται στη πράξη ο απειροστικός λογισµός;

Οι εφαρµογές του Απειροστικού Λογισµού

Οι εφαρµογές του Απειροστικού Λογισµού

Οι εφαρµογές του Απειροστικού Λογισµού

Απειροστικός Λογισµός:

Μία ιδέα του 17ου αιώνα ;

Α) Οι Έλληνες

Εύδοξος (408 – 355 π.Χ.) Αρχιµήδης (287 – 212 π.Χ.)Εύδοξος (408 – 355 π.Χ.) Αρχιµήδης (287 – 212 π.Χ.)

Μέθοδος της εξάντλησης

DON’T DISTURB MY INTEGRAL.

OK.

Απειροστικός Λογισµός:

Μία ιδέα του 17ου αιώνα ;

Β) Οι Ινδοί

� Αρχικοί τύποι παραγώγισης� Σύνδεση εµβαδού - ολοκληρώµατος

Mādhava (1350 – 1425)

Απειροστικός Λογισµός:

Μία ιδέα του 17ου αιώνα ;

Γ) Σηµαντικές παρατηρήσεις σε «λάθος» εποχή

Ο ρυθµός µείωσης ή αύξησης Ο ρυθµός µείωσης ή αύξησης µίας ποσότητας είναι ελάχιστος στην περιοχή που γειτνιάζει µε

ένα ελάχιστο ή µέγιστο

Nicole Oresme(1320 – 1382)

Απειροστικός Λογισµός:

Μία ιδέα του 17ου αιώνα ;

∆) Οι σύγχρονοι του Λάιµπνιτς και του Νεύτωνα

Το εµβαδό µπορεί να υπολογιστεί ως άθροισµα ορθογωνίων µε βάση

απειροστού µήκους

Bonaventura Cavalieri(1598 –1647)

Μέθοδος εύρεσης ελαχίστων - µεγίστων

Απειροστικός Λογισµός:

Μία ιδέα του 17ου αιώνα ;

∆) Οι σύγχρονοι του Λάιµπνιτς και του Νεύτωνα

Pierre de Fermat (1601 – 1665)

Βασίζεται στο σχεδιασµό εφαπτοµένων στις καµπύλες

Απειροστικός Λογισµός:

Μία ιδέα του 17ου αιώνα ;

∆) Οι σύγχρονοι του Λάιµπνιτς και του Νεύτωνα

John Wallis (1616 – 1703)

Αριθµητική των απειροστών

Isaac Barrow(1630 – 1677)

Μέθοδος σχεδιασµού

εφαπτοµένων

James Gregory(1638 – 1675)

Ολοκλήρωση τριγωνοµετρικών

συναρτήσεων

ΗράκλειτοςΗ βασική ιδέα

OresmeΜία σηµαντική παρατήρηση Εύδοξος – Αρχιµήδηςπαρατήρηση

FermatΕπιτέλους µία

µαθηµατική έκφραση

Εύδοξος – ΑρχιµήδηςΤο βασικό εργαλείο

17ος αιώνας – Πλησιάζοντας στον απειροστικό λογισµό

Wallis

Barrow

Gregory

Fermat

Huigens

Kepler

Hudde

Cavalieri

Pascal

Fermat

Roberval

Kepler

Torricelli

ΑΛΛΑ!!! Όλοι οι παραπάνω ασχολήθηκαν µε«µεµονωµένες περιπτώσεις διαφόρισηςκαι ολοκλήρωσης», των οποίων οιιδιότητες απέκρυβαν την γενική αρχή.ιδιότητες απέκρυβαν την γενική αρχή.

Ο Νεύτωνας και ο Λάιµπνιτςεπινόησαν ένα γενικό σύστηµα πουέλυνε όλα τα επιµέρους προβλήµατα.

∆ύο µεγάλοι διανοητές

Λάιµπνιτς 1646 - 1716

Νεύτωνας 1642 – 1727

«Δεν µπορείς να γνωρίσεις νέους ωκεανούς αν δεν µπορείς να χάσεις

την ακτή από τα µάτια σου.»την ακτή από τα µάτια σου.»

Πλάτων

Φιλόσοφος

Εµπνεύστηκε την ιδέα της δηµιουργίαςενός καθολικού συστήµατος, το οποίο θαπεριείχε ένα τρόπο αναπαράστασης τωνιδεών και των µεταξύ τους σχέσεων.

Το αλφάβητο της ανθρώπινης σκέψης (Characteristica Universalis)

• Φιλόσοφος• Μαθηµατικός

Οι ιδέες όσο σύνθετες κι αν είναι µπορούν να αναλυθούν στα συστατικά

τους, όπως τα γράµµατα που αποτελούν τις λέξεις.

• Φυσικός• Μαθηµατικός• Αστρονόµος• Αλχηµιστής• Θεολόγος

1662Το τηλεσκόπιο του

Newton παρουσιάζεται στη Βασιλική Εταιρεία

του Λονδίνου

1687Principia

Κάτι δύσκολα χρόνια…

«Κύριε! Πόσο κενοί είναι οιδρόµοι και πόση ηµελαγχολία… Πόσοι φτωχοίκαι άρρωστοι κυκλοφορούνκαι άρρωστοι κυκλοφορούνστους δρόµους… και πόσοπολλές θλιβερές ιστορίεςπλανώνται στον αέρακαθώς περπατώ.»

Σάµιουελ Πέπις

Anni mirabiles (1665 – 1667)

� οπτική� µηχανική των ρευστών� φυσική των παλιρροιών� νόµοι της κίνησης� θεωρία της παγκόσµιας έλξης

« … Το Μάιο του ίδιου χρόνου(1665) ανακάλυψα τη μέθοδο τωνεφαπτομένων των Gregory καιSlusse και το Νοέμβριο πέτυχατην μέθοδο των ροών. ΤονΙανουάριο του επόμενου έτους,διατύπωνα τη θεωρία τωνχρωμάτων και το Μάιο, είχαξεκινήσει να εργάζομαι πάνω

Anni mirabiles(1665 – 1667)

31 Οκτωβρίου 1665: «Τρόποι σχεδιασµού εφαπτοµένων σε µηχανικές γραµµές»13 Νοεµβρίου 1665: Άρθρο που περιέγραφε τη µέθοδο του απειροστικού λογισµού µεπαραδείγµατα.16 Μαΐου 1666: Επινοεί µία γενική µέθοδο για την επίλυση προβληµάτων δια της κινήσεως.Οκτώβριος 1666: «Για την επίλυση προβληµάτων δια της κινήσεως οι ακόλουθες προτάσειςείναι αρκετές»

«Newton »William Blake, 1795

ξεκινήσει να εργάζομαι πάνωστην αντίστροφη μέθοδο τωνροών. Την ίδια χρονιά άρχισα νασκέφτομαι τη βαρύτητα.»

Νewton 1727

Τα πρώτα στην ιστορία κείµενα περί απειροστικού λογισµού

ΔΕΝ δηµοσιεύτηκαν (*),

Περί της αναλύσεως µέσω εξισώσεων µε άπειρο αριθµό όρων

(1669, 1711)

Πραγµατεία περί των µεθόδων των σειρών

και των ροών (1671, 1736)

δηµοσιεύτηκαν (*), παρά µόνο µισό αιώνα αργότερα!

* Δηµοσιεύω21ος αιώνας: Δηµοσίευση σε περιοδικό ή σε µορφή

βιβλίου.

17ος αιώνας: Γνωστοποιώ τα αποτελέσµατα τηςέρευνάς µου σε χειρόγραφη µορφή (όχιαπαραιτήτως τυπωµένη) σε ορισµένουςφίλους που είναι υπεύθυνοι για τη διάδοσήτους στους επιστηµονικούς κύκλους.τους στους επιστηµονικούς κύκλους.

Newton Barrow

Collins

«Το Λονδίνο ήταν, αλλά πλέον δεν είναι.»

Ο άτυχος Νεύτωνας

Καταστράφηκαν τα βιβλιοπωλεία της

πόλης

Το χαρτί κατασκευαζόταν από τον πολτό

παλαιών κουρελιών

Πανούκλα Πυρκαγιά

και… τα µαθηµατικά δεν ήταν ποτέ best-seller !

Ο άτυχος Νεύτωνας

Με µία επιστολήκαταπέλτη…απορρίπτει το έργο

R. Hooke (1635 – 1703)

απορρίπτει το έργοτου Νεύτωνα στηνοπτική.

Λίγο µετά… Κάπου αλλού…

Leib

niz

Hui

gens

Desc

arte

s

Wal

lis

Cav

allieri

Slu

sse

Pasc

al

Desc

arte

s

Τα δύσκολα χρόνια του Λάιµπνιτς

3ος Γαλλοολανδικόςπόλεµος (1672 – 1674)

Περιττή η διπλωµατική The Battle of Texel, 11–21 August 1673

Willem van de Velde, 1683

Περιττή η διπλωµατική αποστολή του Λάιµπνιτς

στο Παρίσι

1673 – 1676: Η αναζήτηση εργασίας

A) ΔιπλωµάτηςB) Ακαδηµαϊκος

Η τελική λύση

Ο δούκας του Ανόβερο του προσφέρει εργασία

Παράλληλες πορείες: Ο Hooke ξαναχτυπά

R. Hooke (1635 – 1703)

Η υπολογιστική µηχανή του Λάιµπνιτς (1674)

29 Οκτώβρη – 11 Νοέµβρη 1675Η γέννηση του απειροστικού

λογισµού του Λάιµπνιτς

« Αφού έκανε το πρώτο βήµαπρος την αλγεβροποίησηαπειροστικών προβληµάτων,ένας νέος τρόπος να βλέπειένας νέος τρόπος να βλέπειτα πράγµατα αποκαλύφθηκεσε αυτόν τον άνθρωπο πουήταν συνηθισµένος στο ναδιακρίνει χαρακτηριστικά καιγενικά στοιχεία µέσα από ένασυνοθύλευµα πραγµάτων. »

J.E. Hofmann

Ο Συµβολισµός του Λάιµπνιτς

29 Οκτωβρίου 1675

omn.l l∫∫11 Noεµβρίου 1675

xyd

dx

29 Οκτώβρη – 11 Νοέµβρη 1675Η γέννηση του απειροστικού

λογισµού του Λάιµπνιτς

Μία «µισή» απάντηση σε ένα σηµαντικό

ερώτηµα !

( )d xy dx dy= ⋅y dy

dx dx

= x dx

1677: Τύποι υπολογισµού διαφορικούγινοµένων, πηλίκων και δυνάµεων.

1680: Μέθοδος λογισµού του Λάιµπνιτς.

Hannover

1684«Μία νέα µέθοδος εύρεσης µεγίστων και ελαχίστων»

Τα πρώτα δηµοσιευµένα κείµενα του απειροστικού λογισµού

µεγίστων και ελαχίστων»

1686«Περί της δυσνόητης γεωµετρίας και της ανάλυσης των αδιαιρέτων

και των απείρων»

Οι πρώτες επιστολές

13 Ιουνίου 1676: Epistola prior• Αποτελέσµατα άγγλων µαθηµατικών• Λεπτοµερείς περιγραφές καιµεθόδους των προβληµάτων που οίδιος έλυσε.ΑΛΛΑ! ΔΕΝ συµπεριέλαβε τιςµεθόδους του απειροστικού λογισµούµεθόδους του απειροστικού λογισµούτου.

17 Αυγούστου 1676: Η απάντηση• Περιγραφή των δικών τουµαθηµατικών ιδεών.ΑΛΛΑ! ΔΕΝ περιέγραψε τις µεθόδουςτου για καµία του ανακάλυψη.

Ένα ταξίδι του Λάιµπνιτς στο Λονδίνο

24 Οκτωβρίου 1676: Epistola posterior• Δίνει πλούσια, αλλά συγκαλυµµένη περιγραφή κάποιωνκατορθωµάτων του στα µαθηµατικά.κατορθωµάτων του στα µαθηµατικά.• Κάνει αναφορά στη µέθοδο των ροών και δίνει τρίαηµιτελή παραδείγµατα.• 6accdoe13eff7i319n4o4qrr4s8t12ux………

«Δοθεισών σε µία εξίσωση των µεταβλητών ποσοτήτωνενός πλήθους ποσοτήτων, να βρεθούν οι ροές, καιαντιστρόφως.»12 Ιουνίου 1677: Η απάντηση• Γνωστοποιεί την ουσία του διαφορικού λογισµού του.

Φιλοφρονήσεις

1686«Περί της δυσνόητης γεωµετρίας και της

ανάλυσης των αδιαιρέτων και των απείρων»

«… Ο Ισαάκ Νεύτων, γεωµέτρης µετεράστιο ταλέντο, όχι µόνο έκανεανεξάρτητα την ίδια ανακάλυψη, αλλάτην τελειοποίησε δίνοντάς τηςπαγκόσµια εµβέλεια.»και των απείρων» παγκόσµια εµβέλεια.»

1687«Principia»

«… ο διακεκριµένος κύριος (Λάιµπνιτς)µου απάντησε πως είχε βρει µίαπαρόµοια µέθοδο και µου κοινοποίησετη µέθοδο αυτή, η οποία διέφερε απότη δική µου µόνο στο συµβολισµό.»

Οι καλοθελητές

Wal

lis

1695: «Έµαθα µέσω φίλων σας στηΟλλανδία ότι οι ροές σας θριαµβεύουν µε τοόνοµα του διαφορικού λογισµού του Leibniz.[…] Δείχνετε αδιάφορος για τη φήµη σας καιγια τη φήµη του έθνους…»

Fat

io

για τη φήµη του έθνους…»

1699: «… τον βρήκα ο ίδιος (τον απειροστικόλογισµό) τον Απρίλιο του 1687. […] Θα τον είχαανακαλύψει ακόµη κι αν ο Leibniz δεν είχεγεννηθεί ποτέ! […] Όσο για το αν ο Leibniz, οδεύτερος εφευρέτης του λογισµού πήρε κάτι ήόχι από το Νεύτωνα, το αφήνω στη κρίση όσωνέχουν δει τις επιστολές του τελευταίου και ταπρωτότυπα χειρόγραφά του.»

O Νεύτωνας δηµοσιεύει τη µέθοδο των ροών

1704: «Περί του τετραγωνισµού των καµπυλών» (De Quadratura)

O Λάιµπνιτς σχολιάζει (ανώνυµα)(ανώνυµα)

«Αντί για τις διαφορές τουΛάιµπνιτς, ο Νεύτωνας χρησιµοποιείτις ροές… όπως ακριβώς οHonoratus Fabrius, στο έργο τουSynopsis Geometrica, αντικατέστησετη µέθοδο του Cavalieri µε τηνπροοδευτική κίνηση.»

J. Keill

1709: «Όλες του οι προτάσεις (Leibniz)προέρχονται από την γνωστή αριθµητικήτων ροών, που συνιστούν αδιαµφισβήτηταανακάλυψη του Νεύτωνα. […] Η ίδιααριθµητική µε διαφορετικό όνοµα καιδιαφορετικό συµβολισµό δηµοσιεύτηκεαργότερα από τον Λάιµπνιτς.»αργότερα από τον Λάιµπνιτς.»

Το ιδιοφυές σχέδιο του Keill

Ο Λάιµπνιτς θα µπορούσε να πάρει ότι χρειαζόταν γιανα αναπτύξει τον απειροστικό λογισµό από τις επιστολέςprior και posterior που του έστειλε ο Νεύτωνας το 1676.

O Λάιµπνιτς κάνει ένα λάθος τακτικής

« Ο κύριος Keιll στο τεύχοςΣεπτεµβρίου των Πεπραγµένων[…] θεωρεί πρέπον ναεπαναλαµβάνει αυτή τηνθρασύτατη κατηγορία (Fatio),θρασύτατη κατηγορία (Fatio),γράφοντας ότι δηµοσίευσα τηναριθµητική των ροών πουεπινόησε ο Νεύτωνας, αλλάζονταςτο όνοµα και το ύφος τουσυµβολισµού.»

«Ας αφήσουµε την Βασιλική Εταιρεία να κρίνει.»

Commercium Epistolicum

«…Πιστεύουµε ότι εκείνοι που θεωρούσαν τονκ. Λάιµπνιτς ως τον πρώτο που τον επινόησε(τον απειροστικό λογισµό) δεν γνώριζαν παράελάχιστα…»

«Για τους λόγους αυτούς,«Για τους λόγους αυτούς,αναγνωρίζουµε τον κ.Νεύτωνα ως τον πρώτο πουεπινόησε τη µέθοδο καιέχουµε τη γνώµη ότι ο κ. Keill,δηλώνοντας αυτό ακριβώς,δεν πρόσβαλε κατά κανένατρόπο τον κ. Λάιµπνιτς.»

Δύο ανώνυµες επιστολές µε... γνωστούς συντάκτες

Charta Volans

«…Μετά από πολλά χρόνιαδηµιουργήθηκε από το Νεύτωνακάτι που ονόµασε λογισµό τωνροών και έµοιαζε µε τονδιαφορικό λογισµό…»διαφορικό λογισµό…»

Αccount «Ο Νεύτωνας δεν περιορίζεταισε σύµβολα.»

Οι σύγχρονοι µελετητές

� Σύστηµα ροών = Σύστηµα διαφορικού λογισµού:διαφέρουν µόνο ως προς τον συµβολισµό.διαφέρουν µόνο ως προς τον συµβολισµό.� Ο Νεύτωνας κατείχε το µυστικό των ροών 19 χρόνιαπριν ο Λάιµπνιτς δηµοσιεύσει τις ανακαλύψεις του.� Αµφότεροι οι Νεύτωνας και Λάιµπνιτς ανακάλυψαν,ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, τον απειροστικόλογισµό.

Νεύτωνας : Εξέλιξη τωνήδη γνωστών µεθόδωνανάλυσης.Λάιµπνιτς : Μετάλλαξη,πρόοδος τόσο µεγάλη όσοκαι η εισαγωγή τηςΆλγεβρας.

Rupert Hall, Φιλόσοφοι σε πόλεµο

Άλγεβρας.

«Αν εξετάσει κανείς τα τελευταία έτη της διαµάχηςγια την πατρότητα του απειροστικού λογισµού δεν θααισθανθεί θαυµασµό για κάποιους από τους µεγάλουςτης ανθρωπότητας.»

Ποιος από τους παρακάτω επινόησε τον απειροστικό λογισµό ;

Α) Λάιµπνιτς

Β) Νεύτωνας

Γ) Και οι δύο

Δ) Κανένας από τους δύο

Ευχαριστώ

Παρασκευή 27 Απριλίου 2012 Παρουσίαση: Κατερίνα Καλφοπούλου

Τρεις Σερφιώτισσες, γιαγιά, µάνα καικόρη, ζουν η καθεµιά το δικό της ερωτικόδράµα µε φόντο έναν µαθηµατικό γρίφοπου, αφού επί ένα περίπου αιώνα παίδεψεµερικές από τις λαµπρότερες µαθηµατικέςιδιοφυίες, έβαλε, µε τη λύση του, µια µικρή

Θαλής + Φίλοι – Πολιτιστική Κίνηση Ροδόπηςhttp://leshianagnosiskomotinis.blogspot.com/

ιδιοφυίες, έβαλε, µε τη λύση του, µια µικρήβόµβα στον τρόπο που σκεφτόµαστε ταµαθηµατικά: πόσο µπορούµε ναεµπιστευτούµε µια λύση που βασίζεται σεδεδοµένα ηλεκτρονικού υπολογιστή ταοποία δεν µπορούµε να ελέγξουµε;