Akar Persamaan Nonlinier dengan Metode

Newton-Raphson

Pemrograman Komputer STTN BATAN

1. Pengenalan Metode Newton Rapshon

Suatu fungsi non linier (f(x)) dapat digambarkan seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Kurva Nonlinier

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa fungsi f(x) merupakan fungsi nonlinier yang memiliki tiga

titik potong terhadap sumbu x yaitu titik A, B, dan C. Untuk menentukan titik potong fungsi

nonlinier (f(x)) terhadap sumbu x (misalnya titik A, B dan C) dapat dilakukan dengan

menggunakan metode Newton-Raphson. Metode ini memerlukan suatu titik awal sebagai

permulaan untuk mencari nilai titik potong terhadap sumbu x. Penentuan titik potong kurva

terhadap sumbu x sering disebut juga mencari nilai nol dari fungsi (f(x)=0) atau mencari nilai

akar-akar fungsi (Root finding problems). Langkah-langkah menemukan titik nol fungsi

dengan metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut:

1. Tentukan terlebih dahulu titik awal pada sumbu x sebagai titik tebakan nilai kurva akan

memotong sumbu x. Titik ini disebut sebagai x0

2. Dari titik x0, hitung nilai f(x0). Titik f(x0) disebut sebagai y0.

3. Dari titik (x0,y0) dibuat garis singgung turunan fungsi f(x0) yaitu f(x0) pada titik

tersebut.

4. Cari nilai titik potong garis singgung f(x0) terhadap sumbu x. Titik potong f(x0)

terhadap sumbu x diambil sebagai titik x baru. Titik x baru ini disebut sebagai x1. 5.

5. Bandingkan nilai x0 dengan x1, apakah perbedaan antara x0 dengan x1 tersebut cukup

kecil?

a. Jika Tidak maka kembali ke langkah 2 dengan mengganti x0 dengan x1 dan

mengulangi prosedur perhitungan hingga langkah ke 5.

b. Jika Ya maka perhitungan selesai dan x baru yang diperoleh merupakan titik potong

kurva terhadap sumbu x atau merupakan nilai nol fungsi dari kurva tersebut.

Agar lebih jelasnya perhatikan ilustrasi secara grafis metode Newton-Raphson pada Gambar

2.

Gambar 2. Ilustrasi Metode Newton Rapshon

Garis merah merupakan proses dari x0 hingga diperoleh x1 baru. Saat x1 sudah diperoleh

dengan memotongkan garis singgung kurva pada x0 (f(x0)) maka prosedur yang sama

diulangi hingga diperoleh x2 dan x3 yang perbedaan nilainya semakin kecil atau letaknya

semakin dekat.

Gradien garis singgung kurva f(x) adalah turunan f(x) (f(x) yang didefinisikan secara

matematis sebagai berikut (untuk titik (x0,y0)):

( )

( ( ) )

( ) ( )

Persamaan (1) kemudian disusun ulang untuk memperoleh persamaan menghitung x1 sebagai

berikut :

( )

( ) ( )

Dari persamaan (2) dapat dilihat bahwa nilai x baru (x1) dapat dihitung berdasarkan nilai x

lama (x0). Secara umum persamaan (2) dapat juga dituliskan sebagai berikut :

( )

( ) ( )

Persamaan (3) merupakan definisi umum metode Newton-Raphson.

Untuk persamaan yang secara matematis sulit untuk diturunkan, maka dapat digunakan

pendekatan beda hingga untuk menghitung nilai f(xlama) sebagai berikut:

( )

( ) ( )

( )

2. Pemrograman Metode Newton Rapshon dengan Microsoft Excel Macro

Suatu persamaan nonlinier sebagai berikut :

( ) ( )

Ingin ditentukan akar-akar persamaan (5).

( ) ( )

Akar-akar persamaan (5) dapat ditentukan dengan menggunakan Metode Newton-Raphson

pada persamaan (3). Dari persamaan (3) diperlukan nilai turunan dari persamaan (5) sebagai

berikut :

( ) ( )

Algoritma perhitungan dengan Metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:

1. Tentukan nilai titik awal xlama, misalnya xlama=3

2. Tentukan nilai toleransi/akurasi perhitungan, misalnya tolx=1.1010

Nilai toleransi/akurasi perhitungan diperlukan untuk meningkatkan ketepatan hasil

perhitungan atau untuk memperkecil perbedaan hasil perhitungan antara metode NR dengan

metode secara analitis. Semakin kecil nilai toleransi diberikan maka semakin akurat hasil

perhitungannya tetapi hal ini akan menyebabkan program semakin lama dalam menyelesaikan

permasalahan yang diberikan.

3. Hitung nilai f(xlama) dengan persamaan (5)

4. Hitung nilai turunan f(xlama) atau f(xlama) dengan persamaan (6)

5. Hitung nilai xbaru dengan persamaan (3)

6. Bandingkan nilai xlama dengan xbaru, Apakah nilai xlama-xbaru lebih kecil dari toleransi

yang diinginkan?

a. Jika TIDAK maka ulangi langkah 1, ambil xbaru sebagai xlama atau xlama=xbaru

b. Jika YA, maka lakukan langkah 6.

Langkah 5 akan memerlukan perhitungan yang berulang/looping calculation. Untuk

melakukan ini dapat digunakan perintah WHILE karena tidak ada keterangan berapa

kali perhitungan akan dilakukan/diulangi. Apabila banyaknya pengulangan

perhitungan sudah diketahui maka dapat digunakan perintah FOR.

7. Tampilkan hasil perhitungan

Alur diagram algoritma program dapat dilihat pada Gambar 3.

Mulai Program

Tentukan xlama dan tolx

Mulai perhitungan dengan while delx>=tolx

Hitung f(xlama)Hitung f(xlama)

Hitung xbaruHitung delx

Looping whiledelx>=tolx

Tampilkan Hasil

Selesai

Gambar 3. Algoritma Program Newton Rapshon

Dari algoritma tersebut jika ingi diselesaikan dengan program Microsoft Excel Macro

Penentuan titik awal dan data toleransi:

Selanjutnya algoritma yang telah dibuat diterjemahkan kedalam bahasa VBA pada microsoft

Excel

Sub Newton()

'Pendeklarasian Variabel

Dim xlama As Variant

Dim flama As Variant

Dim falama As Variant

Dim xbaru As Variant

Dim tolx As Variant

Dim delx As Variant

Dim iter As Integer

'Mendefinisikan alamat xlama, delx dan tolx sebagai tebakan awal

xlama = [B3].Value

delx = [B5].Value

iter = [B6].Value

'memulai langkah looping/perhitungan berulang NR

While ActiveCell.Offset(0, 5).Value >= tolx

[A9].End(xlDown).Offset(1, 0).Select

iter = ActiveCell.Offset(-1, 0).Value

'var iter digunakan untuk menghitung jumlah iterasi yang digunakan

iter = iter + 1

ActiveCell.Value = iter

'Perhitungan NR

flama = xlama ^ 3 + 3 * xlama ^ 2 + 3 * xlama + 1

falama = 3 * xlama ^ 2 + 6 * xlama + 3

xbaru = xlama - flama / falama

delx = Abs(xbaru - xlama)

'Untuk menampilkan setiap hasil perhitungan

ActiveCell.Offset(0, 1).Value = xlama

ActiveCell.Offset(0, 2).Value = xbaru

ActiveCell.Offset(0, 3).Value = flama

ActiveCell.Offset(0, 4).Value = falama

ActiveCell.Offset(0, 5).Value = delx

'perintah agar looping terjadi

xlama = xbaru

tolx = [B4].Value

Wend

[B7].Value = ActiveCell.Offset(0, 2)

[B7].Select

End Sub

Hasil Perhitungan

Dari hasil iterasi diatas dapat dilihat bahwa nilai nol fungsi/ akar persamaan (4) adalah

x= - 0,99999442

Secara analitis persamaan (5) dapat diselesaikan dengan pemfaktoran sebagai berikut:

( )

( )

Akar Persamaan -0,99999442

Iter xlama xbaru f(x) f'(x) delx

0 0 0 0 0 0

1 3 1,666666667 64 48 1,333333

2 1,666666667 0,777777778 18,96296 21,33333 0,888889

3 0,777777778 0,185185185 5,618656 9,481481 0,592593

4 0,185185185 -0,20987654 1,664787 4,213992 0,395062

5 -0,20987654 -0,47325103 0,49327 1,872885 0,263374

6 -0,47325103 -0,64883402 0,146154 0,832393 0,175583

7 -0,64883402 -0,76588935 0,043305 0,369953 0,117055

8 -0,76588935 -0,84392623 0,012831 0,164423 0,078037

9 -0,84392623 -0,89595082 0,003802 0,073077 0,052025

10 -0,89595082 -0,93063388 0,001126 0,032479 0,034683

11 -0,93063388 -0,95375592 0,000334 0,014435 0,023122

12 -0,95375592 -0,96917061 9,89E-05 0,006416 0,015415

13 -0,96917061 -0,97944708 2,93E-05 0,002851 0,010276

14 -0,97944708 -0,98629805 8,68E-06 0,001267 0,006851

15 -0,98629805 -0,99086537 2,57E-06 0,000563 0,004567

16 -0,99086537 -0,99391024 7,62E-07 0,00025 0,003045

17 -0,99391024 -0,99594016 2,26E-07 0,000111 0,00203

18 -0,99594016 -0,99729344 6,69E-08 4,94E-05 0,001353

19 -0,99729344 -0,99819563 1,98E-08 2,2E-05 0,000902

20 -0,99819563 -0,99879709 5,87E-09 9,77E-06 0,000601

21 -0,99879709 -0,99919806 1,74E-09 4,34E-06 0,000401

22 -0,99919806 -0,99946537 5,16E-10 1,93E-06 0,000267

23 -0,99946537 -0,99964358 1,53E-10 8,57E-07 0,000178

24 -0,99964358 -0,99976239 4,53E-11 3,81E-07 0,000119

25 -0,99976239 -0,99984159 1,34E-11 1,69E-07 7,92E-05

26 -0,99984159 -0,99989439 3,97E-12 7,53E-08 5,28E-05

27 -0,99989439 -0,9999296 1,18E-12 3,35E-08 3,52E-05

28 -0,9999296 -0,99995305 3,49E-13 1,49E-08 2,34E-05

29 -0,99995305 -0,99996877 1,04E-13 6,61E-09 1,57E-05

30 -0,99996877 -0,99997909 3,02E-14 2,93E-09 1,03E-05

31 -0,99997909 -0,9999862 9,33E-15 1,31E-09 7,11E-06

32 -0,9999862 -0,99999087 2,66E-15 5,71E-10 4,67E-06

33 -0,99999087 -0,99999442 8,88E-16 2,5E-10 3,55E-06

34 -0,99999442 -0,99999442 0 9,33E-11 0

sehingga secara analitis dapat diketahui bahwa akar persamaan tersebut adalah x= 1.

Perbedaan hasil secara analitis dan secara pemrograman/numeris disebabkan karena adanya

pendekatan yang digunakan sehingga memunculkan error. Nilai error ini dapat

diminimumkan apabila nilai toleransi yang digunakan lebih kecil.

TUGAS 11

PEMROGRAMAN

STTN BATAN

Campuran uap dengan fraksi mol benzene (A)=0.4 toluene (B)=0.3 dan ortho-xylene (C)=0,3

didinginkan pada tekanan tetap PT=76 cmHg. Ingin dicari pada suhu berapa (dalam K)

pengembunan terjadi. Sistem mengikuti hokum Raoult-Dalton. Harga tekanan uap murni

mengikuti persamaan :

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

Dengan dalam cmHg dan T dalam K

Kesetimbangan Raoult-Dalton:

( )

Buatlah algoritma program dan program Matlab untuk menghitung suhu pengembunan yang

terjadi! Gunakan penyelesaian matematis berikut untuk memahami prosedur penyelesaian

masalah.

Penyelesaian Matematis

Suhu pengembunan dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

dengan i =A,B,C atau dapat dituliskan sebagai berikut:

( )

Dengan mengubah persamaan (4) menjadi sebagai berikut:

kemudian mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan (5) maka diperoleh persamaan

sebagai berikut :

( )

Persamaan untuk mengambil persamaan (1) hingga (3). Persamaan (6) dapat diselesaikan

dengan bentuk sebagai berikut:

( )

( )

sehingga diperoleh suatu persamaan yang merupakan fungsi suhu. Persamaan (7) merupakan

pencarian nilai nol suatu fungsi atau tipe root finding problems yang dapat diselesaikan

dengan menggunakan metode Newton Raphson. Gunakan pendekatan beda hingga untuk

menghitung nilai turunan dari fungsi pada persamaan (7).

Ambil nilai parameter tebakan Tawal, akurasi/toleransi perhitungan serta nilai x untuk

pendekatan beda hingga yang sesuai!

Contoh Jawaban

390,2252

suhu pengembunan adalah 390.2252 K

Pengumpulan Tugas

1. Tugas dikumpulkan paling lambat tanggal : 11 Maret 2015

2. Tugas dikumpulkan dalam bentuk soft copy berupa:

a. diagram algoritma

b. copy kode VBA

c. hasil run

d. Microsoft Excel

3. Penulisan nama file softcopy (MS Excel) : Tugas1 Nama

4. Tuliskan pada subject email : Tugas1 Nama

Iter Tlama Tbaru f(T) f'(T) delT

0 0 0 0 0 0

1 300 318,4101 36,69715 -1,99331 18,41012

2 318,4101 338,3966 14,09702 -0,70533 19,9865

3 338,3966 358,8298 5,284494 -0,25862 20,43315

4 358,8298 376,6562 1,849414 -0,10375 17,82647

5 376,6562 387,2829 0,537479 -0,05058 10,62664

6 387,2829 390,0737 0,094825 -0,03398 2,790804

7 390,0737 390,2248 0,004642 -0,03071 0,151149

8 390,2248 390,2252 1,26E-05 -0,03055 0,000412

9 390,2252 390,2252 9,34E-11 -0,03055 3,06E-09

10 390,2252 390,2252 -8,9E-16 -0,03055 5,68E-14