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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, página 2
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Director
Israel García Alonso
Comité editorial
Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García, Mª Aurelia Noda e Inés Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,
Luis Rico y Xavier Vilella.
Portada. Autor: Alberto José Vera Título: “Simetría natural”. (Primer Premio en Concurso Fotografía y Matemáticas 2006)
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Luis Balbuena Castellano (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidenta), Mª Isabel Borges Pérez
(Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Francisco Aguiar Clavijo
(Vicesecretario), Pilar Acosta Sosa (Secretaria de actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Nieves Marcela Herrera Pérez (Gran Canaria),
Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen San Gil López (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán
(Tenerife).
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
Sociedad Canaria Isaac Newton
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 3-4
Índice
Editorial 5
Artículos
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades
matemáticas que involucran a los números fraccionarios y decimales en
Educación Primaria 7
T. Cortadellas Benítez
El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos
matemáticos para el aula de clase 21
M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa
Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas difíciles: el
recocido simulado 35
F. Moreno Soto
Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado matemático español
del siglo XVIII 49
C. León-Mantero, M.J. Madrid, A. Maz-Machado
La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria 57
R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las
Competencias 71
C. Dolores Flores; J. García-García
Secciones
Experiencias de aula
3D, 2D, 1D 93
E. Teixidor Cadenas
Mundo Geogebra
Análisis de progresos y dificultades en tareas de identificación del rombo en
Educación Primaria con GeoGebra 105
A. Arnal-Bailera, A. Lancis Fleta
Índice (continuación)
4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 92 julio de 2016
5
Problemas
De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos con candelabros y
terminamos con cavernas. (Problemas Comentados XLIII) 117
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Juegos
La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados 135
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Leer Matemáticas
Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su
enseñanza y aprendizaje en el contexto de la SEIEM. C. Azcárate, M. Camacho-Machín,
M.T. González, M. Moreno (Coords.) 145
Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero
Avances y realidades de la Educación Matemática. Núria Planas. (Coord.) 149
Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero
Informaciones 153
Normas para los autores 157
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ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 5-6
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Israel García, Director de NNúúmmeerrooss
Llega el verano. Y con él se harán realidad los proyectos de ocio y descanso que venimos
planificando meses atrás. Pero también llega el nuevo volumen de Números. En esta ocasión me
gustaría que por un momento fijasen su atención en la portada. Aparece un panal. Al ver el panal me
viene a la memoria un problema clásico, ¿por qué las abejas construyen panales con forma hexagonal?
Las abejas son estupendas resolutoras de problemas de máximos y mínimos: buscan la máxima
superficie que requiera la mínima cantidad de cera. Además, necesitaban que encajaran bien entre sí,
de forma que el entramado no dejara huecos. En este problema se había fijado ya Pappus de Alejandría
y le daba respuesta hacia el año 300 aC. Las abejas conocen que el hexágono posee menor perímetro
que un cuadrado para un área dada y, por tanto, ahorran cera en su construcción.
En este número de Números
Contaremos con los siguientes trabajos:
La autora Cortadellas, presenta un trabajo de análisis del conocimiento de los maestros en
formación acerca de las fracciones entendidas como la representación de la parte de un total y su
relación con los números decimales.
Los autores del siguiente trabajo, Parra-Zapata, Parra-Zapata, Ocampo-Arenas y Villa-Ochoa,
nos proponen un trabajo de modelización matemática dentro del contexto del cálculo del índice de
masa corporal. El trabajo contextualizado crea un ambiente de aprendizaje que invita a los estudiantes
a indagar o investigar, por medio de la matemática, con situaciones de referencia en la realidad.
En el siguiente trabajo, realizado por Moreno Soto, el autor nos ofrece un estudio acerca del
algoritmo de recocido simulado, algoritmo de optimización global que surge a partir de la analogía con
el proceso físico de recocido al que se someten los sólidos para obtener estados de mínima entropía.
El trabajo de León-Mantero, Madrid y Maz-Machado, presentan la semblanza biográfica y las
principales aportaciones de Agustín Pedrayes y Foyo, matemático del siglo XVIII.
Por su parte, Nortes Martínez-Artero y Nortes Checa rescatan un problema de los maestros en
formación que algunos autores ya han señalado: el profesorado ha de enseñar a sus estudiantes
contenidos elementales propios de la etapa educativa para la que estos se están preparando como si
fuera la primera vez que estos estudiantes los abordan. Realizan un estudio estadístico de los
resultados de los estudiantes a Maestros de Primaria en el que tratarán de comprobar varias hipótesis
planteadas.
Y cerrando esta primera parte de la revista encontramos el trabajo de Dolores Flores y García
García, quienes realizan un análisis de las concepciones que poseen los docentes acerca de la
evaluación y las competencias. Interesante trabajo pues se ha comprobado que las concepciones de los
docentes determinan su práctica.
Editorial I. García
6 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 92 julio de 2016
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También contamos con las secciones fijas de nuestra revista:
Experiencias de aula nos muestra un material manipulativo denominado BaFi, cuya finalidad es
la manipulación y construcción de figuras geométricas en tres dimensiones. Debemos trabajar estas
figuras con nuestros estudiantes. La propuesta es muy interesante. No te la pierdas.
Mundo Geogebra nos ofrece la utilización de Geogebra para que los estudiantes diferencien y
conozcan mejor las propiedades y características de un rombo.
Seguidamente contamos con los desafíos propuestos para esta semana en las secciones de
Problemas y Juegos, para terminar con dos lecturas recomendadas para el próximo cuatrimestre:
Didáctica del Análisis Matemático y Avance y realidades de la Educación Matemática.
Esperamos disfruten este nuevo volumen.
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ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 7-19
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas
que involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria
Tere Cortadellas Benítez
(Universidad de Barcelona. España)
Fecha de recepción: 22 de abril de 2015
Fecha de aceptación: 29 de febrero de 2016
Resumen Presentamos una experiencia de aula acontecida en un cuarto curso de Grado de Maestro
de Educación Primaria en torno al análisis de actividades matemáticas en función del nivel de demanda cognitiva. Las tareas propuestas versan sobre fracciones, la
equivalencia de fracciones y su representación, y sobre la relación entre fracciones y
números decimales. Reflexionamos sobre las respuestas ofrecidas por el alumnado de
grado y las discusiones matemáticas que tuvieron lugar en el aula a raíz de sus
producciones.
Palabras clave Maestro de Primaria, conocimiento matemático, tareas matemáticas, demanda cognitiva,
números decimales, números fraccionarios.
Abstract We present a classroom experience occurred in fourth Primary Teacher Grade course
around the analysis of mathematical tasks depending on the level of cognitive demand.
The proposed tasks deal with fractions, equivalence of fractions and their representation,
and the relationship between fractions and decimals. We reflect on the answers given by
the students of grade and the math discussions that took place in the classroom as a result
of their productions.
Keywords Primary Teacher, mathematical knowledge, mathematical tasks, cognitive demand,
decimal numbers, fractions.
1. Introducción
Partimos de la cita de Miguel de Guzmán:
La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método
claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran
importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la
psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de la resolución
de problemas. (Guzmán, 1989)
Combinar y encontrar un equilibrio entre la metodología heurística y los contenidos es labor del
profesor de matemáticas. Fijado este objetivo, el modo en que el maestro dirige su actividad para que
el alumno descubra la matemática es crucial para que éste sea capaz de activar su capacidad de
razonamiento y creatividad.
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
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Qué preguntas, tareas o actividades proponer a nuestros alumnos, en qué momento plantearlas y
cómo presentarlas, teniendo en mente qué problemas, ideas, métodos y estrategias se pretenden
activar, es labor del docente en matemáticas.
El principal objetivo del presente trabajo es mostrar una experiencia de observación del conocimiento matemático del futuro maestro, conocimiento para desarrollar las actividades adecuadas
para el aprendizaje de los alumnos de primaria. Conocimiento que engloba tanto el contenido de la
materia y su organización, como la forma particular de conocimiento matemático que incorpora los aspectos propios de la enseñanza. Este conocimiento capacita a los docentes para introducir, exponer y
representar la materia de manera comprensible para sus alumnos y, a su vez, permite entender cómo
éstos piensan y representan sus ideas. El conocimiento matemático del maestro es indispensable para
poder ofrecer a los alumnos de primaria actividades que permitan, además de aprender; intuir,
descubrir y construir la matemática.
Presentamos en este trabajo una experiencia de aula en un cuarto curso de Grado de Maestro de
Educación Primaria. El trabajo expone una propuesta de actividad planteada para analizar la actividad
de la matemática escolar, concretamente se propone al alumnado de Grado el análisis de cuatro tareas destinadas al alumnado de primaria; análisis centrado en el nivel de demanda cognitiva que exige al
alumnado. El presente trabajo se centra principalmente en el análisis de las respuestas del alumnado de
Grado a la propuesta y en el relato de las discusiones matemáticas desarrolladas en el aula a raíz de
estas respuestas. Las cuatro tareas de primaria analizadas por el alumnado de Grado tratan un contenido curricular concreto, el de los números fraccionarios, principalmente el concepto de fracción
como relación entre las partes y el todo y la relación entre fracción y número decimal. Este contenido
involucra ideas matemáticas que, a menudo, resultan difíciles para el alumnado de formación de
profesorado.
Entre los trabajos publicados que se ocupan de las cuestiones que se tratan en este trabajo nos
gustaría comentar aquí algunos de ellos. Shulman (1986) distingue tres categorías de conocimiento del
contenido para la enseñanza: conocimiento de la materia, conocimiento pedagógico del contenido y
conocimiento curricular. Posteriormente, Hill, Ball y Schilling (2008) proponen ampliaciones de esta categorización y modelos específicos para el conocimiento matemático de la enseñanza. Los que
siguen son trabajos que tienen en común a los números decimales como objeto matemático de
investigación. Julia Centeno (1988), en su bella monografía sobre los números decimales realiza un trabajo de síntesis sobre estos “números” atendiendo a su realidad social, su historia, su construcción
matemática y su relación con los números enteros y racionales con el enfoque que ella denomina el
“conocimiento para enseñar”. El texto se preocupa por el problema de la organización de la enseñanza de los números decimales, de cómo introducirlos, y de las dificultades y de los errores relacionados
con su concepto, su escritura y sus operaciones. Se ocupa profundamente también la autora de las
situaciones para enseñar diferentes aspectos de los números decimales. Konic, Godino y Rivas (2010)
presentan el análisis de una lección introductoria a los números decimales en un libro de texto de cuarto curso de primaria. El trabajo de Llinares (2011) se centra en el conocimiento de matemáticas
que debe ayudar al estudiante para maestro a desempeñar su labor profesional, ejemplificando la tarea
profesional del maestro de analizar libros de texto.
El trabajo se estructura como sigue. El modelo de clasificación de la tarea matemática que se trabajó en el curso de Grado en el que tiene lugar la experiencia es el presentado en la sección 2. Esta
clasificación aparece en artículo de Smith y Stein (1998) y considera cuatro categorías de demanda
cognitiva; estas categorías distinguen el nivel de demanda cognitiva que exige una tarea al alumnado
para su resolución. La experiencia en aula se desarrolla en la sección 3; en ella, presentamos la tarea propuesta al alumnado de Grado, exponemos y analizamos las respuestas ofrecidas, así como las
discusiones matemáticas que tuvieron lugar en el aula en torno a los conceptos e ideas sobre los que
versan las tareas. Concluimos, en la sección 4, que el análisis de las producciones y de las discusiones
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involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
matemáticas del alumnado de Grado de Maestro de Primaria permite determinar, corregir si es
necesario, y desarrollar el conocimiento matemático del futuro maestro, necesario para el buen
ejercicio de la profesión de la enseñanza.
2. Análisis y clasificación de actividades atendiendo al nivel de demanda cognitiva
En el curso de Grado en el que se desarrolla la experiencia que nos ocupa se trabaja la
clasificación de actividades o tareas matemáticas y, entre ellas, la clasificación presentada en el
artículo de Smith y Stein (1998) que atiende al nivel de demanda cognitiva exigida por la actividad. El artículo está centrado en la selección y creación de tareas matemáticas a partir de experiencias con
docentes. Las autoras distinguen cuatro categorías:
1. Memorización
2. Procedimientos sin conexión. 3. Procedimientos con conexión.
4. Hacer matemáticas.
A continuación, se definen estas categorías atendiendo a la caracterización que propone el
artículo citado.
Las tareas de memorización:
Reproducen hechos, reglas, fórmulas y definiciones aprendidas o dadas previamente.
No pueden ser resueltas utilizando un procedimiento porque no existe o porque en el marco
en que se pide no prevé suficiente tiempo para efectuarlo.
No son ambiguas. Implican la reproducción exacta de tareas hechas con anterioridad.
No tienen conexión con los conceptos o significados que son el fundamento de las reglas, hechos o definiciones aprendidos o reproducidos.
Las tareas de procedimientos sin conexión:
Son algorítmicas. Se dice concretamente lo que hay que usar o es muy evidente por las
actividades previas.
Reclaman poca demanda cognitiva para ser resueltas. Hay poca ambigüedad sobre lo que
hay que hacer y cómo hacerlo.
No hay conexión con los conceptos o significados que subyacen en el procedimiento
utilizado.
Están enfocadas a producir respuestas correctas en lugar de desarrollar comprensión
matemática.
No piden explicaciones o solo las piden enfocadas a describir el procedimiento usado.
Las tareas de procedimientos con conexión:
Están enfocadas al uso de procedimientos con la intención de desarrollar niveles más
profundos de comprensión de conceptos y de ideas matemáticas.
Sugieren implícita o explícitamente pautas a seguir que son procedimientos más generales
que tienen conexiones propias con las ideas subyacentes.
Requieren cierto grado de esfuerzo cognitivo. Aunque pueden utilizar procedimientos
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
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generales, éstos no se aplican automáticamente. El alumnado necesita establecer una
relación con las ideas que fundamentan el procedimiento para poder resolver la actividad
con éxito y desarrollar su comprensión.
Las tareas de hacer matemáticas:
Requieren pensamiento complejo y no algorítmico. No sugieren ninguna aproximación
predecible ensayada con anterioridad a la propuesta de la tarea.
Requieren que el alumnado entienda y explore la naturaleza de los conceptos.
Exigen auto-regulación del propio proceso cognitivo.
Fomentan el acceso a conocimiento relevante y a utilizarlo en la tarea.
Requieren analizar la actividad y las restricciones que pueden limitar las posibles estrategias
para su resolución.
Exigen un considerable esfuerzo cognitivo y pueden implicar ansiedad por parte del
alumnado a causa de la naturaleza impredecible que el proceso de resolución requiere.
No se debe pretender que todas las actividades propuestas en las aulas sean de alto nivel cognitivo. Si el objetivo es recordar definiciones, hechos básicos, reglas o propiedades, las tareas de
memorización serán las adecuadas. Si el objetivo es incrementar la velocidad y destreza en la resolución de ejercicios rutinarios, las actividades de procedimientos sin conexión serán las
apropiadas. De hecho, la habilidad en este tipo de ejercicios puede favorecer la eficiencia en tiempo y
esfuerzo para la resolución de las cuestiones rutinarias de tareas más complejas. No obstante, el alumnado debe tener la oportunidad de enfrentarse a tareas que conduzcan a la comprensión más
profunda de la naturaleza matemática de los procedimientos, ideas, conceptos y relaciones.
Es evidente que la asignación de tareas a las categorías puede ser discutible. En todo caso, en la
caracterización de la categoría, deberán tenerse en cuenta las circunstancias, la edad y los
conocimientos previos del alumnado
Dada una tarea, para poder clasificarla, previamente hay que realizar un análisis de la misma. Para clasificar una tarea, es determinante preguntarse cómo el alumnado puede resolver la tarea, qué
debe haber memorizado el alumnado o qué procedimiento debe utilizar, si creemos que nos
encontramos ante una tarea de bajo nivel (de memorización o de procedimientos sin conexión) y; en el caso de tareas de alto nivel (de procedimientos con conexión o de hacer matemáticas), qué ideas
matemáticas pueden desarrollar o qué conexiones pueden establecer.
El artículo de Smith y Stein (1998) y el capítulo de libro de Smith, Stein, Arbaugh, Brown y
Mossgrove (2004) presentan ejemplos de análisis de tareas destacando la importancia de este análisis con el fin de determinar el nivel de pensamiento requerido. El libro de Stein, Smitth, Henningen y
Silver (2000) muestra cómo la demanda cognitiva de la tarea puede evolucionar y cambiar durante su
implementación en aula.
3. Experiencia
La experiencia que exponemos tiene lugar en un aula de cuarto curso del Grado de Maestro de
Educación Primaria durante el desarrollo de una asignatura de didáctica de la matemática. El
alumnado ha cursado, en su segundo y tercer curso de grado, sendas asignaturas de matemáticas y su
didáctica centradas en los contenidos curriculares, las metodologías para su enseñanza y la heurística para la resolución de problemas. El grupo clase está formado por 60 alumnos y las sesiones, dos por
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involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
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semana, son de 90 minutos; para las actividades que se realizan en grupos se forman 16 (sub)grupos de
trabajo.
3.1. La experiencia en su contexto
Aunque nos centramos en el presente trabajo en los aspectos relacionados con las respuestas ofrecidas por el alumnado ante una propuesta de clasificación de tareas matemáticas de primaria,
secuenciamos a continuación las actividades realizadas en torno a la experiencia.
En la primera sesión se presenta el modelo de clasificación por Smith y Stein (1998) y se
debate sobre el análisis y clasificación de las tareas que aparecen en el texto. Finaliza la
sesión con la presentación de una actividad que se realizará en grupos, como actividad fuera
de aula, y se entregará en la próxima sesión. Detallamos esta propuesta en la sección 3.2.
En la segunda sesión se analizan y clasifican, en el conjunto de toda la clase, las tareas que
aparecen en el trabajo de Smith et al. (2004).
En la tercera sesión se discuten las respuestas a la actividad propuesta y surge en la clase un
diálogo sobre los números decimales.
Cabe señalar que en el artículo de Smith y Stein (1988) presentado en la primera sesión, se
analizan, entre otras, cuatro tareas que versan sobre los números fraccionarios, concretamente sobre la
multiplicación de estos números.
Las tareas de Smith et al. (2004) están propuestas por los autores del texto para su clasificación.
En la primera mitad de la segunda sesión el alumnado realiza la clasificación individualmente o en
grupos. Insistimos en el aula en que, previamente a la categorización, deben realizar la tarea de tantas
maneras como les sea posible, previendo los posibles errores que podrían cometer los alumnos de primaria e identificando qué conceptos o ideas matemáticas pueden utilizar; así mismo, insistimos en
que la clasificación debe ser razonada y argumentada en base al análisis realizado. En la segunda parte
de la sesión se abre un debate sobre las clasificaciones realizadas en todo el grupo de clase.
3.2. La actividad
La actividad propuesta al alumnado de Grado de Maestro de Educación Primaria, y del que
surge la idea de este trabajo de investigación, es la clasificación razonada de las tareas de la Figura 1.
Las cuatro tareas aparecen en el texto de Smith et al. (2000, p. 13).
En el momento de presentar la actividad se precisa un aspecto fundamental, a quien van
dirigidas las tareas objeto de análisis. Son actividades propuestas para un aula de sexto de primaria; se supone que en ella se han trabajado los siguientes contenidos relativos a la investigación: la fracción
como parte de una unidad o de una colección, la equivalencia de fracciones, los números fraccionarios
y su relación con los números decimales y los porcentajes, y la representación de fracciones utilizando
diversos modelos, entre ellos la recta numérica.
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
12 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
1. Determina la expresión decimal y el porcentaje equivalente a las fracciones 1
2 y
1
4.
2. Determina la expresión decimal y el porcentaje equivalente a la fracción 3
8.
3. Utiliza la cuadrícula 10 × 10 siguiente para determinar el porcentaje equivalente a la
fracción 3
5 y su valor numérico.
4. Sombrea seis de los cuadrados de la tabla que se muestra a continuación. Utilizando la tabla, explica como determinar el porcentaje de área de rectángulo correspondiente a la parte
sombreada.
Figura 1. La actividad propuesta al alumnado de Grado: clasificación de las tareas
3.3. Análisis de las respuestas del alumnado
En el curso de Grado de Maestro de Primaria se insiste en que el docente debe tener en cuenta
cómo el alumnado de primaria podrá responder a la tarea, qué procesos puede desencadenar, qué conexiones permite establecer; es decir, hasta donde puede dar de sí. La mayoría de alumnos clasifica
acertadamente cada una de las actividades siendo éstas una de cada categoría y presentadas en orden
creciente en requerimiento de nivel de demanda cognitiva. Sin embargo, la previsión que ofrece el alumnado del curso sobre la resolución de las actividades por parte del alumnado de primaria se
reduce básicamente a la siguiente:
1. 1
2= 0,5 → 50%,
1
4= 0,25 → 25%
2. 3
8= 0,375 → 37,5%
3. 3
5= 0,6 → 60% y pintar posteriormente 60 cuadraditos
4. 6
40= 0,15 → 15% o bien
6
40=
3
20=
15
100→ 15%
Figura 2. Resolución de las tareas por parte del alumnado de Grado
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
13 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Es decir, en todas ellas el alumnado aplica directamente un procedimiento general, el mismo en
la mayoría de casos, sin establecer relaciones con los conceptos subyacentes. La actividad se realiza en
grupos de trabajo, 16 grupos, y en este caso:
En la de previsión de las posibles respuestas de alumnado de primaria a la tarea 3, 9 de los
16 grupos muestran únicamente la respuesta que aparece en la Figura 2.
En la previsión de posibles respuestas de alumnado de primaria a la tarea 4, 12 de los 16
grupos no ofrecen en su análisis otras respuestas que las que aparecen en la Figura 2.
En el caso de las dos primeras actividades de nivel bajo (de memorización y de procedimientos
sin conexión), los argumentos que ofrece el alumnado del Grado para clasificar las actividades en cada
categoría no responden al nivel de demanda cognitiva requerido, sino que atiende a la menor o mayor
dificultad en la división del numerador entre el denominador de la fracción dada. El argumento para considerar las actividades 3 y 4 como actividades de alto nivel (de procedimientos con conexión y de
hacer matemáticas) se soporta en la representación de la fracción dada como parte de una unidad; sin
embargo, en la resolución presentada no se utiliza este concepto como base del procedimiento mediante el que se determina el valor numérico o porcentaje equivalente. Por tanto, atendiendo a las
respuestas ofrecidas por el alumnado de Grado, la clasificación de las cuatro tareas sería de
“procedimientos sin conexión”.
Ante estas respuestas nuestra labor es preguntar y analizar qué pretende un maestro al proponer en su aula de primaria estas tareas. Respecto la tarea 1 la pregunta adecuada es si, al proponerla en un
aula de sexto de primaria, creemos que el maestro pretende que sea una actividad algorítmica, si es
necesario que el alumno realice algún procedimiento aprendido previamente, o si el maestro pretende
observar si su alumnado ha interiorizado que 0,5 y 0,25 son, respectivamente, las expresiones
decimales de las fracciones 1
2 y
1
4 así como que 50% y 25% son, respectivamente, los porcentajes
equivalentes. Esta observación nos permite clasificar la actividad como de memorización. Las
diferentes acepciones de 1
2 y
1
4 es un ejemplo de tarea que puede plantearse a alumnos de primaria de
distintos cursos. Es decir, dado un contenido matemático, según se plantee la tarea, se desarrollará un
tipo de conocimiento conceptual y se activarán unos procedimientos cognitivos concretos. Por tanto,
dado un contenido matemático, la tarea se plantea según la capacidad cognitiva o competencia que se quiere desarrollar en el alumno, de acuerdo con su desarrollo intelectual, es decir, su nivel educativo.
Resulta así, que la clasificación depende del nivel educativo en el que se plantea.
En el caso de la tarea 2 hay consenso en que pretende observar si el alumnado de sexto de
primaria ha aprendido algún procedimiento general explicado y trabajado en el aula con anterioridad; por ejemplo, la realización de una división utilizando el algoritmo estándar de división (decimal) o
estrategias propias de cálculo, para obtener el valor numérico decimal y su posterior conversión a
porcentaje multiplicando éste por cien. También hay consenso en que para su resolución no es
necesario que el alumno de primaria utilice los conceptos e ideas matemáticas que validan el procedimiento. Estas reflexiones son las que permiten clasificar la tarea 2 como una actividad de
procedimientos sin conexión.
Las respuestas ofrecidas en la actividad 3 ponen de manifiesto que más de la mitad de los
alumnos del curso del Grado no reconoce el objetivo de la actividad —utilizar la cuadrícula para determinar el porcentaje equivalente a la fracción dada— puesto que este alumnado calcula en primer
lugar el porcentaje con el mismo procedimiento que en la actividad 2 para, posteriormente, sombrear
el número de cuadraditos en la tabla. De nuevo, la pregunta que debe hacerse el futuro maestro es qué
se pretende con el planteamiento de la actividad, en este caso profundizar en la idea de fracciones
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
14 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
equivalentes utilizando una representación, la cuadrícula dada, como registro semiótico. Por ejemplo,
pintar 3
5 de la cuadrícula dada, considerando que dos columnas son un quinto de la misma, según se
muestra en la Figura 3, permite observar que marcar 3
5 de la cuadrícula se corresponde con marcar 60
de los 100 cuadrados de la tabla y, por tanto, se puede deducir que la fracción 3
5 es equivalente a la
fracción 60
100 .
Figura 3. Representación de la tarea 3
Esta equivalencia permite observar, sin un cálculo explícito, tanto el valor numérico decimal
como el porcentaje que representa la fracción 3
5. Así, la actividad permite utilizar procedimientos
generales como es la representación de una fracción en un cuadrado, pero éste no se utiliza automáticamente, ya que observar en la tabla que dos columnas representan un quinto de la misma no
es un procedimiento directo. Esta anticipación de respuesta del alumnado de primaria nos da
argumentos para clasificar la actividad como de procedimientos (representación de fracciones como
parte de una unidad) con conexión. La conexión se pone de manifiesto al establecer una relación entre
el procedimiento y el concepto de fracciones equivalentes.
En el análisis realizado por los alumnos del Grado de la tarea 4, 12 de los 16 grupos no
observan la instrucción de sombrear seis de los cuadrados y utilizar su disposición para determinar el
porcentaje de área del rectángulo que ocupan. Sin esta observación, el objetivo de la actividad pierde todo su sentido. Los 4 grupos restantes desarrollan la estrategia que sigue del sombreado por columnas
que representa la Figura 4; pintando 4 cuadrados de una columna tenemos un 10% del rectángulo o 1
10
del mismo, por tanto 2 cuadrados ocupan media columna, es decir un 5% o equivalentemente 1
20 del
rectángulo.
Figura 4. Representación de la tarea 4 por columnas
En la sesión de debate se mostraron algunas de las estrategias de resolución de la cuarta actividad realizadas por alumnado de primaria, y que aparecen en el texto de Stein et al. (2000). Entre
ellas, la expuesta anteriormente y la que parte de la idea de que si la tabla fuese 10 × 10 el número de
cuadrados pintados nos daría el porcentaje. Se proyectó la resolución de la actividad tal y como
aparece en el texto citado y que aparece en la Figura 5. A continuación, pedimos a los alumnos del
Grado que interpretasen, utilizando números fraccionarios, el razonamiento que aparecía proyectado.
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
15 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Si la cuadrícula fuese de 100 cuadrados el número de cuadrados sombreados
nos daría el porcentaje de área de rectángulo sombreado. En la cuadrícula de
40 tenemos 6 cuadrados sombreados. Si añadimos 40 cuadrados más,
tendremos 6 cuadrados más sombreados. Como 20 es la mitad de 40, si
añadimos 20 cuadrados más tendremos 3 cuadrados más sombreados. En
total tenemos 6 + 6 + 3 = 15 cuadrados sombreados de 100 y, por tanto, el
área sombreada es un 15% del área total de rectángulo.
Figura 5. Resolución de la tarea 4 tomada de Stein et al. (2000)
Una parte considerable del alumnado de Grado interpreta el razonamiento de la Figura 5 como 6
40+
6
40+
3
20 en lugar de
6
40=
12
80=
15
100 , confundiendo la suma de fracciones y la equivalencia de
fracciones en la representación.
Éstas y otras estrategias desarrolladas por alumnado de primaria muestran como una tarea puede
activar el razonamiento y profundizar en conceptos e ideas matemáticas.
3.4. Debate en torno a los números fraccionarios y decimales
En este apartado exponemos episodios del diálogo que tuvo lugar en la sesión de debate de la
experiencia. Presentamos extractos del diálogo mantenido en relación a los números decimales. La
sesión de aula nos permitió detectar los conocimientos del alumnado sobre los números decimales y profundizar en las ideas subyacentes en sus representaciones y en los procedimientos aprendidos en
torno a ellos. La discusión matemática se inicia a raíz de una serie de preguntas que inciden en los
objetivos de las tareas analizadas (Figura 1), entre ellas:
¿Considerarías la fracción 3
7 en la tarea 2?,
¿Qué pasa si en la tarea 3 cambiamos la fracción 3
5 por la fracción
2
3 ? ,
¿Qué pasa si en la tarea 4 pedimos sombrear 3 cuadrados?
El primer episodio de la sesión de debate pone de manifiesto las dificultades del alumnado del
Grado para expresar qué es un número decimal y diferenciar entre número decimal y expresión decimal (o valor numérico) de una fracción. Ante la ausencia inicial de respuestas preguntamos qué
son los números decimales. El alumnado sabe cómo son y ofrece ejemplos de ellos, siempre en su
expresión decimal. Entre los ejemplos dados escogemos uno y escribimos en la pizarra diversas expresiones de éste, cómo muestra la Ecuación 1, observando que la coma es simplemente una
expresión, una forma de escribir un tipo particular de fracciones, aquellas que pueden escribirse de
manera equivalente a una fracción con denominador potencia de 10.
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
16 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
203,05 = 2 × 100 + 3 + 5 ×1
100=
20305
100 =
4061
20
Ecuación 1. Expresiones de un número decimal
Insistimos en que éstos, los números decimales, son fruto de la manera en que escribimos los
números naturales, expresiones que indican sumas de agrupaciones en potencias de 10 y en cuya
expresión es determinante la posición de cada potencia; y que algunos de los números racionales, los decimales, son aquellos que podemos escribir como sumas de agrupaciones en potencias de 10 y
particiones de la unidad en potencias de 10. Observamos también, leyendo la Ecuación 1 de derecha a
izquierda, que 4061
20 es un número fraccionario (o racional) y, a su vez, un número decimal; y que la
fracción decimal representante permite obtener inmediatamente su expresión decimal.
Tras estos comentarios, un alumno da la primera de las respuestas a la primera de las preguntas
planteadas: “no, porque la división de 3 entre 7 no es exacta”. Observamos también, paseando por el
aula, que la mayoría de alumnos están realizando la división. Preguntamos entonces:
¿Qué quiere decir que una división sea exacta? ¿La división de 3 entre 8 es exacta?
Esta pregunta permite puntualizar a otro alumno: “porque la división de 3 entre 7 bajando ceros no acaba nunca”. Ambas respuestas ponen de manifiesto las dificultades que tiene el alumnado para
explicar qué son los números decimales. La afirmación del alumno es equivalente a que 3
7 no es un
número decimal, pero resulta evidente la necesidad que tiene el alumnado de realizar la división de
numerador entre denominador de una fracción para decidir si ésta representa a un número decimal.
Llegados a este punto preguntamos:
¿En qué momento aparecen los números decimales en un aula de primaria?
¿Qué conocimientos previos e ideas necesita el alumnado para su comprensión?
¿Qué contextos pueden utilizarse para su ejemplificación y utilidad?
La mayoría de respuestas, expresadas en el lenguaje de los alumnos son: “que los números decimales aparecen como resultado de divisiones no exactas y que el contexto de la medida es el
adecuado para su aplicación”. El diálogo deriva entonces hacia discusiones relacionadas con la
contextualización, y que expondremos posteriormente. En cierto momento interviene un alumno para señalar que: “los alumnos de primaria necesitan entender la idea de parte de la unidad; décima,
centésima…” parte de la unidad insistimos, e instamos a nuestros alumnos a observar la primera de las
igualdades en la Ecuación 1. Destacamos aquí, como hacen los autores en (Konic, Godino y Rivas, 2010) la necesidad de ser argumentado el valor, el significado, que asume una cifra en un número
decimal.
Los dos siguientes episodios de aula enlazan las respuestas del alumnado de Grado a la tarea 2
con la primera parte de la sesión de debate con el objetivo de reflexionar sobre el algoritmo de división
decimal, y sobre las ideas que permiten caracterizar cuando una fracción representa un número
decimal sin realizar esta división.
Recordamos en el aula que en sus previsiones de respuestas para el análisis de la tarea 2 todos
ellos resuelven, correctamente, la división de 3 entre 8, utilizando el algoritmo aprendido,
seguramente, en su etapa escolar de educación primaria y cuya apariencia es, salvo la aparición u
omisión de ceros tras la coma en el dividendo, la que sigue:
Interpretación y clasificación de la demanda cognitiva de actividades matemáticas que
involucran a los números fraccionarios y decimales en Educación Primaria T. Cortadellas Benítez
17 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Tras escribir la división en la pizarra y ante la petición de una expresión relacionada con este
algoritmo y su escritura los alumnos de Grado nos ofrecen, entre otras equivalentes, 3 = 8 × 0,375 y 3
8= 0,375 =
375
1000 . Borramos ahora parte de la división y nos quedamos con la que aparece en
Ecuación 2 planteando la misma cuestión.
Ecuación 2
Ahora, las respuestas no son inmediatas. Se produce en el aula el error previsible, producido por
la llamada prueba de la división (entera), con la expresión 3 = 8 × 0,3 + 6. Descartada la igualdad,
insistimos en que razonen el significado de ese 6 que aparece en la Ecuación 2. Entonces, aparecen
respuestas como 3 = 8 × 0,3 + 0,6, ya tenemos la 6 décimas, que pone de manifiesto la comprensión
del algoritmo; comprensión de cómo funciona y porqué funciona. Como explica un alumno: “repartir
tres unidades entre 8 es lo mismo que repartir 30 décimas de la unidad entre 8”. Escribimos en la
pizarra la Ecuación 3 para compararla con Ecuación 2.
3
8=
30
80=
1
10×
30
8=
1
10×
24 + 6
8=
3
10+
6
80
Ecuación 3
Observamos que en el algoritmo de división decimal la posición de una cifra nos indica su valor
posicional y que las expresiones con números fraccionarios siempre se refieren a fracciones de una unidad fijada. Así, mientras que leemos 6 décimas entre 8 en la Ecuación 2, en la Ecuación 3 leemos 6
unidades entre 80. El camino está ya abierto para interpretar la expresión:
De ella, deducimos en el aula 3 = 8 × 0,37 + 0,04 y 3
8=
3
10+
7
100+
4
800 y, finalmente:
3
8=
3
10+
7
100+
5
1000= 0,375
Cerramos así la reflexión sobre el procedimiento del algoritmo de división decimal, que tuvo
lugar en el aula de Grado, que proporciona la expresión decimal de un número racional, para abrir el episodio que nos permitió caracterizar cuándo una fracción representa un número decimal en términos
de la factorización (entera) de su denominador. Para ello mostramos la Ecuación 4 en clase.
3
8=
3
2 ⋅ 2 ⋅ 2=
3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5=
375
1000= 0,375
Ecuación 4
3,00 8
60 0,37
4
3,000 8
60 0,375 40
0
3,0 8
6 0,3
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18 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
Las ideas que se manifiestan en la Ecuación 4 permiten razonar a nuestros alumnos de Grado
que si la factorización del denominador de la fracción en números primos solo contiene los números
primos 2 y 5, entonces es un número decimal. Recíprocamente, expusimos el siguiente razonamiento
que demuestra que el número racional 3
7 no es un número decimal (aunque sí tenga una expresión
decimal) sin la necesidad de verificar que “la división no acaba nunca”: “si fuese un número decimal
lo podríamos escribir como una fracción con denominador potencia de 10; esto es, 3
7=
a
10n que daría
lugar a la igualdad 3 × 10n = 7 × a. Pero en la factorización de 10, y por tanto en la de cualquier
potencia de 10 no aparece el 7 por lo que la igualdad de fracciones que hemos escrito no puede existir
y queda demostrado que 3
7 no es un numero decimal.”
El anterior argumento muestra, de manera sencilla y clara, a nuestro alumnado de Grado la
razón por la que las fracciones que representan números decimales son, únicamente, aquellas que
admiten como fracción representante irreducible una fracción cuyo denominador solo contiene los
primos 2 y 5 en su factorización. Así mismo, les permitirá generalizar el anterior argumento para la demostración de este hecho. Coincidimos con Llinares (2011) en que la comprensión de los conceptos
matemáticos y de sus relaciones es necesaria para poder realizar de manera competente el análisis de
las tareas matemáticas y que la discusión de resultados como el ofrecido contribuye a ello.
Finalizamos esta sección con uno de los episodios del diálogo mantenido en el aula de Grado en torno a la contextualización de los números decimales en el aula de primaria. La mayoría de alumnos
escoge, acertadamente, como situación de la vida real para mostrar el uso o necesidad de los conceptos
y procedimientos utilizados al hallar el valor numérico de 3
8 , la de reparto; así el alumnado ofrece
respuestas como: “repartir 3 kilogramos de caramelos entre 8 amigos” y comentarios como: “repartir 3
kilogramos de caramelos entre 8 amigos es lo mismo que repartir 3000 gramos de caramelos entre 8 amigos” y observan que: “podemos resolver sin decimales obteniendo 375 gramos de caramelos” para
concluir: “0,375 kilogramos de caramelos”. En este momento nos pareció interesante traducir estas
expresiones al lenguaje de fracciones; con esta intención escribimos en la pizarra:
3
8
3000
8
Y, preguntamos si podemos escribir una igualdad entre las dos fracciones. La respuesta es
contundente, un no que se apoya en el distinto valor numérico. Preguntamos si pueden escribir la
expresión “repartir 3 kilogramos de caramelos entre 8 amigos es lo mismo que repartir 3000 gramos
de caramelos entre 8 amigos” utilizando una ecuación que contenga las dos fracciones escritas en la pizarra. Esperamos respuestas del tipo:
3
8=
1
1000×
3000
8 1000 ×
3
8=
3000
8
Ecuación 5 Ecuación 6
Sin embargo, nos ofrecen 3
8 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠 =
3000
8 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠. La respuesta es totalmente correcta y nos
permite insistir, como pretendíamos al plantear las cuestiones en este episodio, en que si no
especificamos la unidad, las fracciones que aparecen en un texto se refieren todas a una unidad fijada. Así, en la situación particular del ejemplo, las fracciones de Ecuación 5 son fracciones de kilogramo
mientras que las de Ecuación 6 son fracciones de gramo.
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
5. Reflexiones y conclusiones
Son diversos los aspectos que deben tenerse en cuenta para definir y valorar el conocimiento del
docente para el buen ejercicio de la profesión de la enseñanza. El conocimiento matemático del maestro proporciona, en particular, los recursos necesarios para considerar las expectativas de cómo
los alumnos de primaria pueden interpretar matemáticamente una actividad cognitivamente exigente,
prever el conjunto de estrategias que pueden usar en su resolución, y para establecer relaciones de las
interpretaciones y estrategias con los conceptos matemáticos, las representaciones y los procedimientos que el maestro quiere que sus alumnos aprendan. Este conocimiento capacita al
maestro para distinguir de entre las actividades matemáticas, aquellas que promueven el pensamiento
y razonamiento matemático del alumnado de primaria.
El presente trabajo se ocupa del conocimiento matemático del futuro maestro y utiliza, como herramienta para observar este conocimiento, las respuestas a una actividad propuesta en un cuarto
curso de Grado de Maestro de Primaria. El análisis de las producciones de los alumnos de Grado en
torno a una tarea matemática concreta, diseñada para el alumnado de Educación Primaria, permite
determinar el conocimiento personal del alumnado de Grado, detectar el conocimiento común y específico respecto a los conceptos involucrados en la tarea, así como el conocimiento en relación al
alumnado de Educación Primaria. A su vez, este análisis, permite profundizar en las ideas que
proporcionan un buen conocimiento, más amplio que el propio de Educación Primaria, de un
contenido matemático específico y desarrollar el conocimiento pedagógico del mismo.
Bibliografía
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Hill H. C., Ball D. L., & Schilling S. G. (2008). Unpacking Pedagogical Content Knowledge:
Conceptualizing and Measuring Teachers’ Topic Specific Knowledge of Students. Journal for Research in Mathematics Education, 39 (4), 372-400.
Konic, P. M., Godino J. D., & Rivas M. A., (2010). Análisis de la introducción de los números
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Llinares, S. (2011). Tareas matemáticas en la formación de maestro. Caracterizando perspectivas. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 78, 5-16.
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demands of mathematical tasks: A sorting task. En G.W. Bright and R.N. Rubenstein (Eds.) Professional
development guidebook for perspectives on the teaching of mathematics, 45-72. Reston, VA: NCTM.
Tere Cortadellas Benítez, licenciada y doctora en matemáticas por la Universidad de Barcelona (UB). Ha
trabajado en el Departamento de Álgebra y Geometría de la UB. Actualmente es profesora asociada del
Departamento de Didáctica de la Ciencias Experimentales y de la Matemática de la UB y el de Economía y
Empresa de la Universidad Pompeu Fabra. Ha publicado artículos en el área de álgebra conmutativa y
actualmente está ampliando sus líneas de investigación en el campo de la Didáctica de la Matemática.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 21-33
El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación
y uso de modelos matemáticos para el aula de clase
Mónica Marcela Parra-Zapata
Johana Natalia Parra-Zapata
María Camila Ocampo-Arenas
Jhony Alexander Villa-Ochoa
(Universidad de Antioquia. Colombia)
Fecha de recepción: 13 de octubre de 2015
Fecha de aceptación: 29 de febrero de 2016
Resumen En este artículo presentamos una experiencia de modelación matemática en la Educación
Primaria la cual se orientó por la perspectiva socio-crítica de la modelación matemática.
La experiencia tuvo como propósito que los estudiantes trabajaran en el aula de clase con problemas de su realidad, para lo que propusimos el uso y análisis de un modelo
matemático para calcular el Índice de Masa Corporal. A partir del trabajo realizado en el
aula de clase los estudiantes reflexionaron con relación al papel de algunos conceptos
matemáticos en la actividad realizada y en la sociedad, además establecieron relaciones
de los conceptos matemáticos involucrados en la situación con algunas de sus prácticas
cotidianas, lo que les permitió cuestionarse respecto a las prácticas de su contexto,
especialmente las que se relacionan con hábitos alimenticios.
Palabras clave Educación Matemática, modelación matemática, perspectiva socio-crítica, participación,
índice de masa corporal.
Title Body Mass Index. A Proposal of Mathematical Modelling for The Classroom
Abstract In this article, we present a mathematical modelling experience for Basic Primary
Education, based on Socio-critical perspective of mathematical modelling. The work of
students in the classroom with problems of their reality was the purpose of this
experience, for what we proposed the use and analysis of a mathematical model to calculate the Body-Mass Index. During the work in the classroom, the students reflected
on the role of some mathematical concepts in the activity and in society. In addition, they
established relations between mathematical concepts involved in the situation and some
of their daily practices. It allowed them to ask themselves about the practices of their
context, especially those related to eating habits.
Keywords Mathematics Education, Mathematical Modelling, Socio-critical Perspective,
Participation, Body Mass Index.
1. Introducción
En las clases de matemáticas generalmente se favorece la resolución de problemas matemáticos rutinarios, que se limitan a técnicas y algoritmos, en ambientes que se alejan de los contextos cercanos
de los estudiantes. Como lo plantean Santos y Bisognin (2007) este tipo de problemas no son
El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos matemáticos para el aula de clase M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa
22 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
significativos para los estudiantes porque no les permiten conectar las necesidades de los contextos en
los que se desenvuelven con los problemas trabajados en el aula de clase.
En algunas ocasiones, cuando un problema de la vida real se discute en el aula de clase de matemáticas, suele ser un problema bastante artificial creado con el propósito de introducir un tema o
de aplicar algún contenido ya estudiado. Este tipo de prácticas hace que sea difícil mostrar a los
estudiantes otras aplicaciones del área que los lleven a reflexionar acerca de sus contextos y
situaciones más cercanas (Santos y Bisognin, 2007).
El interés por estudiar fenómenos de la realidad, de diversas ciencias, en las aulas de clase de matemática ha conllevado a que la modelación matemática se consolide como una alternativa para que
los estudiantes se involucren de manera activa en su proceso de aprendizaje a partir de situaciones de
su vida cotidiana. De esta manera, se deja de lado la idea de que el docente es el único poseedor del conocimiento y, en consecuencia, el aula de clase se convierte en un espacio en el cual dialogan las
ideas. Las condiciones expuestas permiten que las ideas de los sujetos involucrados en este proceso
aporten en la producción de conocimiento matemático.
En nuestras búsquedas por integrar la modelación matemática en las aulas de clase, hemos encontrado diversidad de formas, diseños y actuaciones para la gestión de la clase con modelación
matemática. De acuerdo a ello entendemos la modelación matemática como todos aquellos procesos
que relacionan el mundo real y las matemáticas y que implican el estudio de diferentes fenómenos de
la realidad con el uso de las matemáticas, en ese sentido el fenómeno que se estudia puede ser tomado de cualquier ciencia. De allí, asumimos la modelación matemática como un ambiente en el que se
propicia que los estudiantes indaguen o investiguen cuestiones propias de su realidad mediante las
matemáticas (Barbosa, 2001); en ese ambiente se promueve la interacción de los estudiantes con sus pares y la reflexión y discusión en torno a la resolución de problemas de la realidad (Araújo, 2009).
También hemos reconocido que con el propósito de establecer relaciones entre la “realidad y las
matemáticas” los estudiantes no siempre se deben involucrar en la producción de modelos
matemáticos, sino también en el uso y estudio de modelos matemáticos ya existentes en la literatura o en las diferentes ciencias. Así el uso y el análisis de modelos lo entendimos como una actividad en la
que se retoman bien sea de la literatura o de la cotidianidad un modelo matemático previamente
construido para comprender cada uno de sus componentes en términos del fenómeno que se modela, a través del estudio de estos modelos se busca el reconocimiento de las limitaciones y la interpretación
de las soluciones que se puedan desprender del estudio de dicho modelo (Soares y Javaroni, 2013).
En coherencia con estas ideas propusimos a un grupo de estudiantes de quinto grado (10-12
años) estudiar a partir de las matemáticas un fenómeno de su realidad; el fenómeno estudiado en esta
experiencia proviene de las ciencias naturales, el cual es estudiado y analizado por medio de las matemáticas y tiene que ver con el uso y estudio del modelo matemático del Índice de Masa Corporal
(IMC) de Quetelet.
Para dar cuenta de lo anterior este artículo se compone de cuatro apartados. En el primer
apartado presentamos los referentes conceptuales que apoyan la experiencia de modelación matemática. En el segundo apartado reportamos el camino metodológico de la experiencia de
modelación matemática. En el tercer apartado presentamos elementos del trabajo realizado por los
estudiantes, y mostramos las discusiones y los análisis que surgen. Por último, en el cuarto apartado
presentamos las consideraciones finales.
El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos matemáticos para el aula de clase M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
2. Modelación matemática en la perspectiva socio-crítica y el cálculo del IMC
A menudo las matemáticas son consideradas por los estudiantes como un conjunto de distintos temas que están fragmentados y no se les presentan situaciones en las que tengan la necesidad de
relacionar diferentes contenidos. En la vida real, sin embargo, las situaciones problemáticas que se nos
presentan no están generalmente bien definidas y frecuentemente tenemos que aplicar ideas y
conceptos de un área para resolver los problemas que surgen en otro (Santos y Bisognin, 2007). A partir de la elección de un fenómeno o tema a estudiar se hace una exploración, comprensión, análisis
e investigación. De esta forma, la modelación matemática y el uso de los modelos matemáticos
posibilitan, entre otros asuntos, que los estudiantes generen interrogantes de situaciones de su contexto y presenten diferentes formas de representar las problemáticas en términos matemáticos, y que a partir
de esto se acerquen a ideas para ofrecer una solución o posible solución del problema.
Para hablar de modelación matemática en el aula de clase, centramos nuestros intereses en la
perspectiva socio-crítica de la modelación matemática (Kaiser y Sriraman, 2006), como una
aproximación teórica y metodológica que permite relacionar de diversas formas diferentes situaciones
del entorno de los estudiantes.
Conforme mencionamos anteriormente, comprendemos la modelación matemática como un
proceso en el que, a partir de las matemáticas, se estudia un fenómeno de la realidad; así la modelación
matemática es un “ambiente de aprendizaje que invita a los estudiantes a indagar o investigar, por medio de la matemática, con situaciones de referencia en la realidad” (Barbosa, 2001, p. 31). En este
sentido, permite a los estudiantes incluir diferentes modos de explicar y entender la realidad presente
en el problema. Estas explicaciones y comprensiones pueden utilizarse para abordar y relacionar otras
situaciones que se presenten en su cotidianidad.
Los ambientes de modelación matemática reconocidos en la perspectiva socio-crítica son espacios en los que se propone a los estudiantes, reunidos en grupos, utilizar las matemáticas para
resolver algún problema con origen en la realidad; de tal manera que esa resolución sea
problematizada y cuestionada (Araújo, 2009). En este sentido los ambientes de modelación matemática permiten que se generen con los estudiantes reflexiones constantes vinculadas con las
matemáticas que utilizan. Dicha reflexión permite reconocer cómo las matemáticas pueden ayudar a
resolver la situación o problemáticas con las que los estudiantes se enfrentan a diario.
En esta experiencia diseñamos una situación en la que usamos y estudiamos el modelo
matemático del IMC. Este índice fue desarrollado por el matemático Lambert Adolphe Quetelet en el siglo XIX. Este matemático se basó en el peso y la talla de los sujetos para determinar si el peso de la
persona es adecuado. El IMC es un indicador simple que permite analizar el estado nutricional de un
sujeto, pero que no define la composición corporal del mismo, es decir, puede arrojar el déficit o el exceso de peso, pero no diferencia la masa grasa y la masa libre de grasa. Este indicador se calcula al
dividir el peso de una persona en kilogramos por el cuadrado de su estatura en metros (𝑘𝑔/𝑚2).
La Organización Mundial de la Salud (OMS) realizó un estudio multicéntrico entre los años
1997 y 2003, que tuvo como objetivo suministrar datos que describieran cómo deben crecer todos los
niños y niñas hasta los cinco (5) años de edad en óptimas condiciones de nutrición, medio ambiente y cuidado en salud. En el año 2007, la OMS publicó un patrón de referencia para el grupo de 5 a 18
años, en el cual se fusionaron los datos del patrón internacional de crecimiento del NCHS / OMS de
1977, con la muestra transversal de los patrones de crecimiento para menores de 5 años. En este estudio se relaciona el IMC con la edad y se interpreta según la desviación estándar arrojada. En
Colombia se adopta este estudio para su población por medio de la resolución 2121 de 2010 del
Ministerio de Protección Social. Para una mejor visualización de la interpretación de la desviación
El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos matemáticos para el aula de clase M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa
24 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
estándar el Instituto Colombiano de Bienestar Familiar (ICBF) generó en el 2012 gráficas que
relacionan el IMC/Edad.
Para analizar la relación del peso y la estatura en el grupo de edades de 5 a 18 años, el único parámetro que se utiliza es el IMC/Edad. El valor hallado para el IMC es analizado en las gráficas de
IMC/Edad, las cuales varían según la edad y el género. Esta variación se da porque existen diferencias
relacionadas con el sexo que son evidentes en el momento de nacer.
Cattani (2007) plantea que generalmente, el género masculino tienen talla y peso mayores que el
femenino; sin embargo, esta diferencia disminuye después progresivamente y casi no se aprecia al año de edad. Las variaciones más notables en cuanto a sexo son las que ocurren durante la pubertad que es
el período final del crecimiento y maduración del niño en el que se alcanza la capacidad reproductiva.
La aceleración del crecimiento lineal es una de las manifestaciones en el desarrollo puberal en las niñas. Hay además, aumento de peso y de proporción de grasa corporal. Las niñas alcanzan un pico
máximo de crecimiento de 8,5 cm al año al inicio de la pubertad. Mientras que el pico de máxima
velocidad de crecimiento en los niños ocurre hacia la mitad de la pubertad y la velocidad de
crecimiento es aproximadamente de 9,5 cm/año.
Una vez calculado el IMC, se emplean gráficas que muestran canales de crecimiento destacados
con curvas. Las gráficas las presentamos en las figuras 1 y 2.
Figura 1. IMC/Edad para niñas entre los 5 y los 18 años. Tomado de ICBF (2012)
Figura 2. IMC/Edad para niños entre los 5 y los 18 años. Tomado de ICBF (2012)
El Índice de Masa Corporal. Una experiencia de modelación y uso de modelos matemáticos para el aula de clase M. M. Parra-Zapata, J. Parra-Zapata, M. Ocampo-Arenas y J.A. Villa-Ochoa
25 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
La mediana de cada indicador de acuerdo a la referencia OMS (2007) aparece representada en la
gráfica por una línea más gruesa y se identifica por el número cero (0). Las líneas más finas situadas sobre la mediana corresponden a desviación estándar de +1, +2 y +3 y por debajo de la mediana a
desviación estándar de –1, –2 y –3. La zona de desviación estándar entre + 1 y – 1 corresponde al
rango en el que se espera ubicar la mayor parte de los niños (Ministerio de la Protección Social de
Colombia, 2010).
La interpretación de las gráficas se realiza a partir la desviación estándar que se ubicó en las
gráficas y a partir de la información que se presenta en la Tabla 1.
IMC/Edad
según Desviación Estándar INTERPRETACIÓN
<–2 Delgadez
–2 a < –1 Riesgo para delgadez
–1 a = 1 Adecuado para la edad
> 1 a = 2 Sobrepeso
> 2 Obesidad
Tabla 1. Puntos de corte de la Desviación Estándar para interpretación de las gráficas IMC/Edad
3. El camino metodológico de la experiencia en el aula de clase
3.1. El contexto
La experiencia que presentamos se desarrolló durante cinco sesiones, en el segundo semestre del año 2014, con 27 estudiantes de quinto grado (10-12 años) de Educación Primaria de la Fundación
Educativa Colegio San Juan Eudes, en la ciudad de Medellín (Colombia). La experiencia fue producto
de un trabajo colectivo entre dos profesoras, una profesional en nutrición y dietética, y un investigador
en Educación Matemática.
La experiencia tuvo como propósito que los estudiantes trabajaran en el aula de clase de
matemáticas con problemas de su realidad; de acuerdo a ello identificamos que en el grupo de
estudiantes existía una preocupación constante por su apariencia física, esta preocupación se había
convertido en uno de los aspectos cruciales de su día a día y los había motivado por temas nutricionales y por aspectos estéticos. Así que para trascender su preocupación estética
problematizamos, usamos y estudiamos el modelo matemático de Quetelet para calcular su Índice de
Masa Corporal (IMC) y a partir de ello discutimos temas nutricionales y matemáticos y reflexionamos
acerca de los usos de las matemáticas en la sociedad.
Frente a la modelación matemática tuvimos la intención de que los estudiantes iniciaran por la
aplicación y la verificación del modelo matemático, de tal manera que los estudiantes pudieran usar,
reflexionar, comprender el fenómeno y articularlo con su realidad. De este modo, los estudiantes se enfrentaron a la aplicación de las variables del modelo matemático, a datos de la realidad y
determinaron si se ajustaba a las condiciones de la situación mediante la evaluación del mismo.
Además, se pretendió que emplearan otros datos e interpretaran el modelo matemático para determinar
si era suficiente o no. Ligado a la perspectiva socio-crítica la intención fue que los estudiantes
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problematizaran e investigaran diferentes cuestiones que aparecen en la situación estudiada (Barbosa,
2001; Araujo, 2012).
3.2. El proceso de uso y estudio del modelo matemático
El ambiente se desarrolló en cinco (5) momentos que se relacionaron con la secuencia de
actividades didácticas que propusimos para llevar a cabo el proceso de modelación matemática: (1)
obesidad y delgadez en Colombia, (2) cálculo del IMC, (3) clasificación del IMC, (4) estudio del modelo matemático del IMC y (5) comunicación de los resultados. Durante los cinco (5) momentos,
los estudiantes usaron herramientas matemáticas para resolver el problema, interpretaron los
resultados obtenidos en términos de la situación inicial, analizaron y criticaron el modelo matemático
a partir de sus resultados.
El primer momento, obesidad y delgadez en el país, se orientó a partir del problema de obesidad en Colombia y a partir de las reflexiones acerca del IMC, para qué y cómo puede ayudar en la vida
cotidiana.
El segundo momento, cálculo del IMC, tuvo como objetivo calcular el IMC propio y el IMC de
un niño colombiano de 5 años llamado Mateo, que había sido diagnosticado con obesidad y cuya
noticia se divulgó en la prensa colombiana.
En el tercer momento, clasificación del IMC, los estudiantes sostuvieron un diálogo con la nutricionista dietista quien orientó las reflexiones hacia la composición corporal y la relación de tener
un peso en los rangos normales con un adecuado estado de salud.
El cuarto momento, estudio del modelo matemático del IMC, permitió que los estudiantes
realizaran un análisis del modelo matemático empleado para calcular el IMC. Los análisis se
fundamentaron en aspectos matemáticos y nutricionales.
El quinto momento, comunicación de los resultados, permitió que los estudiantes, profesores
investigadores y la nutricionista entablaran una discusión acerca de los aspectos que una persona debe
tener en cuenta al interpretar el IMC para tomar acciones preventivas o correctivas. Y acerca de los
asuntos matemáticos involucrados en el modelo matemático del IMC.
4. El trabajo realizado por los estudiantes. Discusiones y análisis
El objetivo planteado a los estudiantes en el ambiente de modelación matemática fue verificar y
analizar el modelo matemático de Quetelet empleado para calcular el IMC. Los estudiantes trabajaron en grupos y atendieron a los diálogos establecidos con los profesores y la nutricionista para calcular su
IMC. A partir de estas mediciones, se involucraron en cálculos matemáticos que los llevaron a analizar
un modelo matemático propuesto para calcular el IMC y a partir de ello reflexionar con relación a su
estado nutricional y el de otras personas.
4.1. Obesidad y delgadez en el país
Al iniciar el ambiente de modelación matemática presentamos a los estudiantes los resultados de
la Encuesta Nacional de la Situación Nutricional en Colombia (ENSIN) de 2010, donde se reportó que
uno de cada dos colombianos entre 18 y 64 años presenta sobrepeso; dicho de otro modo, el ENSIN señala que un 52,2% de la población presenta sobrepeso. A su vez, la encuesta también revela que uno
de cada seis niños y adolescentes entre 0 y 7 años presentan esta situación.
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Problematizamos la información presentada en la encuesta a través de preguntas como ¿Qué
significa la información presentada por la ENSIN?, ¿Cómo podría representarse los datos suministrados en el párrafo anterior?, ¿Cómo crees que son tus hábitos alimenticios?, ¿Crees que la
energía proporcionada por los alimentos que comes es gastada en su totalidad?
Frente a los interrogantes los estudiantes manifestaron asuntos como “Profes lo que pasa en el
país es grave, las encuestas dicen que uno (1) de cada dos (2) colombianos es obeso, esto es un valor muy alto para el país porque es la mitad”, “Profe tenemos un gran problema por la obesidad, entonces
las personas se van a enfermar más”, “Profe el porcentaje nos indica lo que valen esos departamentos
relacionados con Colombia” (Producciones de los estudiantes, 21 de octubre del 2014).
Observamos en estas declaraciones que los estudiantes empezaron a interpretar la información
suministrada por la encuesta y a elaborar cuestionamientos relacionados con su significado y la forma
cómo puede intervenirse en la situación presentada.
4.2. El cálculo del IMC
De acuerdo con las reflexiones que se suscitaron en el momento anterior, solicitamos a los
estudiantes tomar en casa las medidas de su peso y de su estatura. Para el cálculo del IMC, trabajaron
en grupos de 2 o 3 personas y emplearon el modelo matemático de Quetelet, que es igual para todos:
𝐼𝑀𝐶 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑘𝑔)
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎2 (𝑚2)
Para calcular el IMC se hizo necesario precisar aspectos matemáticos como las unidades de
medida del peso y la estatura, las operaciones y lectura de números decimales, la interpretación del
cuadrado de la estatura en la fórmula del IMC y las unidades de medida para expresar el resultado obtenido al realizar el cálculo del IMC. Éste depende de las unidades de medida del peso y de la
estatura, como se muestra en las Figuras 3 y 4 en las que se evidencia que los estudiantes se aproximan
a las comprensiones; sin embargo, en el modelo matemático no asimilan completamente qué unidades
irían allí y por qué.
En el cálculo del IMC fue necesario precisar las unidades de medida con las que se expresaría el resultado obtenido puesto que, tales unidades dependen del peso y la estatura. En este proceso se
evidenció que los estudiantes tienen una comprensión de las unidades de medida; sin embargo, en el
modelo matemático no se comprende completamente qué unidades eran correspondientes y porqué. Observamos que los estudiantes se confundieron al tomar su estatura al cuadrado y el peso en
kilogramos, e incluso declararon: “vamos a medir nuestra masa en kilogramos o cuadrados”
(Producciones de los estudiantes, 21 de octubre del 2014). Sin embargo, otros estudiantes
comprendieron la medición en centímetros o metros y en kilogramos. Esta situación permitió que se diera un diálogo para tomar decisiones y llegar a acuerdos en cuanto a las unidades de medida más
convenientes para expresar el IMC.
Figura 3. Producciones de los estudiantes. 21 de octubre del 2014
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Figura 4. Producciones de los estudiantes. 21 de octubre del 2014
Los estudiantes mostraron interés por conocer el significado de los valores luego de obtener el valor numérico para el IMC. Antes de interpretar los significados, la nutricionista preguntó cómo
obtuvieron las mediciones. Los estudiantes manifestaron que las mediciones se realizaron en casa con
sus padres, y utilizaron metros y balanzas. En algunos casos recurrieron a la estimación porque no
contaban con los instrumentos de medida.
Por tal motivo, la nutricionista precisó que para el cálculo del IMC es fundamental cómo y con
qué instrumentos tomar las medidas, pues los errores en las mediciones ocasionan interpretaciones
incorrectas del IMC. Esto permitió a los estudiantes reconocer que cuando medimos, en matemáticas o
en otro campo, se presentan errores ocasionados por las formas de medir y por los instrumentos empleados. Se hizo énfasis en dos aspectos fundamentales para tomar medidas de peso y estatura para
calcular el IMC: que la persona que realice las medidas esté estandarizada1 recientemente y que se
empleen los equipos adecuados, que para este caso son el tallímetro y las básculas previamente
calibradas.
Una vez realizada la discusión acerca de los instrumentos de medidas, regresamos al significado
de los datos numéricos obtenidos en el IMC, recurrimos a valores de clasificación de la OMS para la
población mayor de 18 años; por ser las interpretaciones comúnmente encontradas en los medios. Los
estudiantes notaron que su IMC es muy bajo en comparación con los valores dados, por lo que precisamos que los valores son estándares establecidos para las personas adultas y que es necesario
recurrir a valores acordes a su edad.
1 Estandarizarse hace alusión a la garantía que tiene la persona que toma los datos antropométricos, de que los
valores obtenidos tienen el mínimo margen de error.
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4.3. Clasificación del IMC
Al problematizar los valores numéricos obtenidos procedimos con los estudiantes a clasificar el
IMC en las gráficas. En este momento los estudiantes entablaron discusiones matemáticas y
nutricionales en torno a los resultados del cálculo del IMC.
En primer lugar, explicamos el cálculo de la edad, a partir de los años y meses cumplidos por
los estudiantes, quienes lo comprendieron y realizaron rápidamente. En la Figura 5 indicamos el
cálculo de la edad realizado por uno de los estudiantes.
Figura 5. Producciones de los estudiantes. 28 de octubre del 2014
En segundo lugar, dialogamos con los estudiantes asuntos vinculados con la lectura de las
gráficas. Expresaron la similitud entre las gráficas de crecimiento (Figura 6) y el plano cartesiano,
donde el eje X representa la edad y el eje Y el IMC. Con el cálculo de los componentes trazaron las líneas que salen de cada eje y procedieron a verificar el punto en el que se interceptan. Los estudiantes
habían trabajado con las representaciones gráficas en el plano cartesiano, por esta razón no se
presentaron dificultades al realizar la tarea.
Figura 6. Producciones de los estudiantes. 28 de octubre del 2014
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Durante el trabajo con las gráficas, los estudiantes expresaron asuntos como: “ya vemos qué
utilidad puede tener el plano cartesiano”, “en ese plano no es tan complicado encontrar la intersección de las líneas; en otros ejercicios que hemos hecho en clase nos da más dificultad” (Producciones de los
estudiantes, 28 de octubre del 2014).
Finalmente, los estudiantes analizaron en cual desviación estándar se ubica el punto encontrado
y realizaron la clasificación del IMC. Este fue el paso que representó mayor dificultad porque algunos no analizaron en cual desviación estándar se encontraba el punto graficado y qué significado tenía.
Esta situación implicó explicar de nuevo el análisis de la desviación estándar (Figura 7). Las
dificultades en la interpretación de gráficos estadísticos aparece allí presente pues a los estudiantes se
les dificulta comprender las relaciones que existen en el gráfico, de esta manera Arteaga, Batanero, Cañadas y Contreras (2010) proponen que, como manera de disminuir estas dificultades, en la escuela
se introduzcan tareas en las que los estudiantes puedan pensar posibles relaciones entre las distintas
variables.
A cada grupo de estudiantes se le entregaron las tablas de clasificación nutricional según la Desviación Estándar. Se aclaró que no era necesario memorizar la interpretación, ya que era más
importante comprender de dónde se obtenía dicha información.
Figura 7. Producciones de los estudiantes. 28 de octubre del 2014
Observamos diferentes reacciones ya que algunos estudiantes percibían que su peso corporal era
diferente a lo arrojado por los cálculos; y muchos de ellos manifestaron que iban a realizar el ejercicio
con otros compañeros, ya que les pareció algo fácil de hallar y que sería útil que diferentes personas lo conocieran. Los estudiantes se hicieron cuestionamientos vinculados con sus hábitos alimenticios que
los llevan a pensar y actuar en pro de una mejor salud.
4.4. Estudio del modelo matemático del IMC
Basados en las lecturas e interpretaciones realizadas por los estudiantes frente a la clasificación de su IMC, problematizamos el modelo matemático para el cálculo del IMC. Les hicimos preguntas
como: ¿Será útil este cálculo para todas las personas? ¿El cálculo es exacto? ¿Es suficiente con hacer
este cálculo para determinar si una persona tiene sobrepeso o delgadez? ¿Qué asuntos matemáticos son
cuestionables en el cálculo?
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Los estudiantes plantearon los siguientes argumentos en torno al modelo matemático de
Quetelet:
El modelo matemático emite criterios de delgadez y obesidad sin tener en cuenta la
composición del peso corporal. Así, el modelo matemático presenta una dificultad cuando tenemos que evaluar deportistas, especialmente de alto rendimiento, que pueden tener un alto
valor en el peso corporal a partir de un alto porcentaje de músculos y de masa corporal activa
pero bajos niveles de grasa.
Para realizar un análisis más confiable y seguro que nos lleve a determinar si una persona
tiene obesidad o delgadez es necesario acudir a un especialista que proporcione un
diagnóstico acertado.
El modelo matemático del IMC habla del peso bajo o elevado, pero no dice si esto es
exactamente por grasa o por músculos, por lo tanto el IMC necesita ser corroborado con
otras medidas para dar un diagnóstico más certero, antes de determinar una enfermedad.
El modelo matemático no es muy preciso y podría presentar errores pues relaciona medidas
de dimensiones distintas, ya que, el peso es tridimensional y la altura es unidimensional y
aunque se eleve al cuadrado, los estudiantes consideran que no se iguala la dimensión y que,
por lo tanto, los cálculos realizados no son correctos.
Lo anterior permitió la participación de los estudiantes al reconocer el IMC como modelo matemático. Aunque tiene limitaciones, proporciona una medida del sobrepeso y la delgadez y que
sirve como factor para establecer parámetros para la salud, tanto a nivel individual como a nivel
grupal.
4.5. Comunicación de los resultados
Al preguntar a los estudiantes que habían aprendido de la actividad realizada, observamos en sus respuestas reflexiones respecto a algunas nociones matemáticas, preocupándose por las
matemáticas como forma de entender asuntos propios de su realidad al afirmar que sin ellas no
hubieran podido acercarse un poco a sus condiciones y establecer relaciones entre lo que pesan, lo que miden y a la edad que tienen. A pesar de que encontraron algunas dificultades con el modelo
matemático, los estudiantes comprendieron la importancia de hacer análisis más allá del resultado del
cálculo del IMC, para asumir una posición respecto a lo que nos compete, en este caso, si se tiene
obesidad o delgadez.
5. Consideraciones finales
En este artículo nos propusimos reportar una experiencia de modelación matemática en el aula
de clase que tuvo como propósito que los estudiantes trabajaran con problemas de su realidad, a través del uso del modelo matemático para calcular el IMC. La experiencia nos permitió reconocer el análisis
y estudio de modelos matemáticos como una estrategia para su uso y comprensión y permitir a los
estudiantes establecer una posición frente a las matemáticas en situaciones cercanas a ellos.
El trabajo en el aula a través del estudio de modelos matemáticos y de la modelación matemática, fundamentado en situaciones cercanas de la realidad de los estudiantes, permitió que ellos
reflexionaran e indagaran con relación a un tema de la realidad como es el IMC. Abordar esta
situación demandó a los estudiantes tomar datos reales del fenómeno, procesarlos, reflexionar acerca
de un modelo matemático y dar a conocer los procedimientos y resultados con sus compañeros de clase. En este sentido, se involucraron de manera directa en la búsqueda de la solución del problema y
asumieron una participación activa, reflexiva y propositiva.
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Los estudiantes hicieron reflexiones críticas frente a asuntos relacionados con el papel de
algunos conceptos matemáticos en la actividad realizada y en la sociedad. Además establecieron relaciones entre los conceptos matemáticos y algunas de sus prácticas cotidianas, lo que les permitió
cuestionar las prácticas de su contexto, especialmente las que se relacionan con hábitos alimenticios.
El trabajo realizado permitió diferenciar la percepción manifestada por los estudiantes acerca de
la imagen corporal, y el resultado de cada cálculo; así como las consecuencias que puede tener un IMC para la salud si se halla por encima o por debajo de lo establecido. Enfocamos el trabajo hacia el
cálculo del IMC y diferenciamos la percepción manifestada por los estudiantes acerca de la imagen
corporal y el resultado de cada cálculo; así mismo las consecuencias en la salud que puede generar el
tener un IMC por encima o por debajo de lo establecido.
De esta forma, los estudiantes problematizaron y cuestionaron los elementos que consideraron pertinentes, además encontraron en el cálculo del IMC conceptos matemáticos significativos en torno
a los cuales hicieron una reflexión con el fin de acercarse a una posible solución a las problemáticas
presentadas. En consecuencia, identificaron que las matemáticas pueden indicar si una persona presenta obesidad o delgadez, sin dejar de lado la idea de que el modelo matemático no es
completamente preciso.
En otras palabras, los estudiantes vivenciaron que a partir de un modelo matemático se pueden
establecer parámetros para la clasificación de criterios para la salud, a nivel individual al hallar y
clasificar el IMC y, a nivel grupal y nacional al analizar los porcentajes epidemiológicos propuestos en
la ENSIN 2010.
Agradecimientos
Aunque no sean responsables de los planteamientos acá descritos, queremos agradecer a Paula
Andrea Rendón-Mesa, Jorge Bañol Gutiérrez, Sebastian Aguirre Duque y David José Polo Díaz por las lecturas y sugerencias realizadas a las versiones preliminares de este documento. A la Facultad de
Educación y al CODI de la Universidad de Antioquia por el apoyo a la investigación “La formación
del futuro profesor de Matemáticas. Aportes de la modelación y las Tecnologías digitales.” (FPP01)
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Mónica Marcela Parra-Zapata. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Magíster en Educación,
línea Educación Matemática. Profesora de la Institución Educativa Villa Flora de la ciudad de Medellín. Integrante del Grupo MATHEMA-Formación e investigación en Educación Matemática. Integrante de la
Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática.
Email: [email protected].
Johana Natalia Parra-Zapata. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Nutricionista Dietista. Nutricionista dietista de Fe y Alegría de la ciudad de Bello.
Email: [email protected].
María Camila Ocampo-Arenas. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Licenciada en
Educación Básica con Énfasis en Matemáticas. Profesora del Centro Educacional don Bosco de la ciudad
de Medellín. Integrante del Grupo MATHEMA-Formación e investigación en Educación Matemática.
Integrante de la Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática.
Email: [email protected].
Jhony Alexander Villa-Ochoa. Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia. Doctor en Educación,
línea Educación Matemática. Coordinador del Grupo MATHEMA-Formación e investigación en
Educación Matemática. Coordinador de la Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática.
Email: [email protected].
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 35-48
Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas
difíciles: el recocido simulado
Francisco Moreno Soto (IES Zurbarán, Badajoz. España)
Fecha de recepción: 01 de junio de 2012
Fecha de aceptación: 02 de marzo de 2016
Resumen En la naturaleza ocurren procesos que pueden ser simulados por los hombres. Algunos de
estos procesos pueden tener usos muy interesantes desde un punto de vista matemático.
Éste es el caso del algoritmo de recocido simulado que es el objeto de este artículo. Se trata de un algoritmo moderno de optimización global que surge a partir de la analogía
con el proceso físico de recocido al que se someten los sólidos para obtener estados de
mínima entropía. Las aplicaciones de este algoritmo son muchas y variadas,
describiéndose en este trabajo la relativa al problema del viajante.
Palabras clave Naturaleza, heurísticas, algoritmo, recocido, problema del viajante
Title How Nature shows a way to solve some difficult problems: Simulated Annealing
Abstract There are optimization problems that are unmanageable using combinatorial methods.
Simulated annealing is a heuristic optimization algorithm (thus named because it works
by emulating the physical process whereby a solid is heated and then slowly cooled to get
a minimum energy configuration). In this article it describes this algorithm on the
traveling salesman problem.
Keywords Nature, simulation, algorithm, annealing, Traveling Salesman Problem
1. Introducción
Durante la segunda mitad del siglo XX, la optimización ha jugado un papel creciente en áreas
tan diversas como la Ingeniería Eléctrica, la Investigación Operativa o las Ciencias de la Computación y de la Comunicación. Durante los años 50 y 60 la optimización lineal y no lineal, es decir, la
búsqueda de un óptimo de una función de variables continuas, vieron un gran avance dando como
resultado el algoritmo del Simplex para resolver problemas de Programación Lineal (Dantzing, 1963). A partir de los años 70, se obtuvieron potentes resultados en optimización combinatoria (Lin, 1973,
pp. 498-516).
Por un problema de optimización combinatoria entendemos un problema de maximización o de
minimización que está especificado por un conjunto de instancias. Una instancia de un problema de
optimización combinatoria puede ser descrita como un par (S, f), donde S denota el conjunto finito (o
infinito numerable) de todas las posibles soluciones y f es una aplicación definida como:
RSf : . S se denomina espacio de soluciones o conjunto factible y f función de costo.
Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas difíciles: el recocido simulado
F. Moreno Soto
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Resolver un problema de optimización combinatoria equivale a encontrar la “mejor” solución o
solución óptima entre un conjunto finito o infinito numerable de soluciones posibles (Papadimitriou and Steiglizt, 1982). Así, en el caso de minimizar, el problema consiste en encontrar una solución
Si opt tal que )()( ifif opt , Si , mientras que para el caso de maximizar dicho problema
consiste en encontrar una solución Si opt tal que )()( ifif opt , Si . La solución Si opt se
denomina solución global óptima o simplemente óptimo y puede no ser única; )( optopt iff denota el
costo óptimo y opt S el conjunto de soluciones óptimas1.
Muchos de estos problemas de optimización combinatoria, en especial los que tienen aplicación
real, corresponden a la denominada clase de problemas NP-duros (los considerados como más difíciles en la clase NP). De esta clasificación se encarga la Teoría de la Complejidad Computacional. Esta es
una rama de la teoría de la computación que se centra en la clasificación de los problemas
computacionales de acuerdo a su dificultad inherente, y en la relación entre dichas clases de
complejidad. Normalmente, esto se hace a un nivel muy teórico, aunque se trata de una cuestión clave
para aplicar y solucionar problemas prácticos.
Un análisis superficial de algunas de estas clases podemos verlo aquí:
La clase P
La clase P contiene a aquellos problemas que son solubles en tiempo polinómico. Esta clase
juega un papel importante en la teoría de la complejidad computacional debido a que, a grandes
rasgos, P corresponde a la clase de problemas que, de manera realista, son solubles en una
computadora
La clase NP
Muchas veces podemos evitar utilizar la fuerza bruta en los problemas para obtener soluciones en tiempo polinómico. Sin embargo, para algunos problemas esto no ha podido lograrse, es decir, no
se conocen algoritmos que los resuelvan en tiempo polinómico. Quizás estos problemas tengan
algoritmos en tiempo polinomial que se basan en principios por ahora desconocidos, o quizás estos
problemas no pueden ser resueltos en tiempo polinómico, debido a que son "inherentemente difíciles".
La clase de complejidad NP consta de los problemas "verificables" en tiempo polinómico. Por
verificable se entiende un problema tal que dado un certificado de solución (candidato a solución), se
puede verificar que dicho certificado es correcto en un tiempo polinómico en el tamaño de la entrada.
A los problemas en la clase NP usualmente se les llama problemas NP.
Un problema famoso dentro de los problemas NP es el problema del viajante: un viajante tiene que pasar por unas determinadas ciudades siguiendo el camino más corto. Aunque no se ha podido
probar, se cree que no hay solución más eficaz que el enumerar todos los caminos posibles para ver
cuál es el mejor (el número de caminos va creciendo como el factorial del número de ciudades).
Afortunadamente en la práctica, en muchas ocasiones, es suficiente encontrar una solución “no
1 En este artículo sólo se considerarán problemas de minimización. Esto no supone ninguna pérdida de
generalidad puesto que la maximización es equivalente a la minimización después de cambiar el signo de la
función de costo
Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas difíciles: el recocido simulado
F. Moreno Soto
37 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
perfecta”, pero no alejada de la óptima. Por ejemplo, si no se puede determinar el camino más corto, el
viajante no se molestará mucho teniendo que seguir uno que le cueste sólo el 5% o 10% más. En muchos casos, se ha podido desarrollar algoritmos especiales para tratar un problema específico como
el del viajante y llegar rápidamente a tales soluciones “buenas”. Sin embargo, para tratarlos de una
manera más general, los investigadores han recurrido a algoritmos aleatorios que en algunos casos fueron inspirados por fenómenos naturales. Antes de hablar de ellos vamos a introducir un nuevo
campo: las heurísticas, y más allá de estas, las metaheurísticas. Se califica de heurístico a un
procedimiento para el que se tiene un alto grado de confianza en que encuentra soluciones de alta
calidad con un coste computacional razonable, aunque no se garantice su optimalidad o su factibilidad, o en algunos casos no se llegue a establecer lo cerca que se está de dicha situación. Se utiliza el
calificativo heurístico en contraposición a exacto. También es usual utilizar el término heurística
cuando, utilizando el conocimiento que se tiene del problema, se realizan modificaciones en el procedimiento de solución del problema que, aunque no afectan a la complejidad del mismo, mejoran
el rendimiento en su comportamiento práctico (Belén, Moreno et al., 2003, pp. 7-28). Ahora bien, el
término metaheurítica se obtiene de anteponer a heurística el sufijo meta que significa "más allá" o "a un nivel superior". Las metaheurísticas son estrategias inteligentes para diseñar o mejorar
procedimientos heurísticos muy generales con un alto rendimiento. El termino metaheurística apareció
por primera vez en el articulo sobre búsqueda tabú (Fred Glover, 1986). A partir de entonces han
surgido multitud de pautas para diseñar buenos procedimientos para resolver ciertos problemas que, al ampliar su campo de aplicación han adoptado la denominación de metaheurísticas. Podemos
encontrarlas de varios tipos: metaheurísticas de relajación, constructivas, de búsqueda (como el
algoritmo de recocido simulado), evolutivas (como los algoritmos genéticos) y combinaciones de
estas.
Como se ha señalado en el párrafo anterior algunas de estas metaheurísticas fueron inspiradas
por fenómenos naturales. Por ejemplo, tenemos una basada en el fenómeno físico denominado
recocido de cristales. A la metaheurística que trata de simular este proceso se la denomina “recocido
simulado”. Lo más interesante de ésta es que al aplicar el análisis de la teoría de Markov se ha podido probar una convergencia en probabilidad a la solución óptima de problemas con ciertas características
comunes. Pero sin perder respeto a lo teórico, lo que realmente impresiona es lo que logra este
algoritmo en la práctica.
2. Optimización combinatoria
El problema que deseamos resolver podemos formularlo del siguiente modo:
)(min xfSx
(2.1)
2.1. Algunos métodos de optimización
2.1.1. Optimización local
Los algoritmos de búsqueda local constituyen una interesante clase de métodos de aproximación
basados en la mejora paulatina de la función objetivo mediante la exploración de entornos. Para la utilización de un algoritmo de búsqueda local necesitamos la representación previa de las soluciones,
la definición de la función de costo y de, al menos, una estructura de entornos.
El concepto más importante en el análisis de los algoritmos de búsqueda local es el de
optimalidad local, que puede ser descrito así:
Cómo la naturaleza nos muestra una solución a algunos problemas difíciles: el recocido simulado
F. Moreno Soto
38 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 92 julio de 2016
Definición: Dado el problema (S, f) y una estructura de entornos , i es una solución mínima
localmente o simplemente un mínimo local con respecto a si i
Sjjfif ˆ),()ˆ( (2.2)
Frente al concepto de optimalidad local, encontramos el de optimalidad global que puede ser
definido así:
Definición: Dado el problema (S, f), opt i es una solución mínima globalmente o simplemente
un mínimo global de (2.1) si Siifif opt ),()( (2.3)
La desventaja principal de los algoritmos de búsqueda local es que éstos generalmente quedan
atrapados en un óptimo local. Sin embargo, presentan la ventaja de ser fácilmente aplicables y bastante flexibles puesto que sólo es necesario especificar: el espacio de soluciones, la función de costo y una
estructura de entornos.
2.1.2. Optimización global
Para evitar algunas de las desventajas de los algoritmos de búsqueda local, mientras se mantienen los principios básicos de éstos, es decir, iteración entre las soluciones del entorno, se
introducen distintas variaciones:
(i) Ejecución de un algoritmo de búsqueda local para un gran número de soluciones iniciales.
Asintóticamente (bajo la garantía de que todas las soluciones han sido usadas como solución
inicial) tal algoritmo encuentra un óptimo global con probabilidad 1.
(ii) Introducción de estructuras de entornos más complejas, que puedan buscar en una parte más
grande del espacio de soluciones.
(iii) Aceptación en una forma limitada de transiciones correspondientes a un incremento en el
valor de la función de costo (en los algoritmos de búsqueda local sólo son aceptadas aquellas
transiciones que corresponden a una disminución en dicho valor). Estas estrategias de
búsqueda alternativas conducen a otros algoritmos que podemos clasificar como:
a) Métodos clásicos de optimización global entre los que podemos citar:
Búsqueda aleatoria pura (Ríos et al., 1997)
El método de búsqueda aleatoria pura consiste en generar aleatoriamente un número grande de soluciones y escoger la mejor de ellas. Este método no es muy eficiente, pues no utiliza
información sobre f.
Métodos de multicomienzo (Ríos et al., 1997)
Este método consiste en generar N puntos desde los que se comienza una optimización con un
método local proponiendo como solución la mejor así obtenida.
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b) Métodos modernos de optimización global:
Estos métodos surgieron principalmente con los problemas de optimización combinatoria. Uno
de estos métodos es el denominado recocido simulado, citado anteriormente, que estudiaremos
en mayor profundidad en el siguiente apartado.
3. Recocido simulado
Kirkpatrick et al. (1982) y Cerny (1985) introdujeron los conceptos de recocido aplicándolos a
problemas de optimización combinatoria. El nombre de recocido surge de la fuerte analogía entre el proceso físico del recocido de sólidos y el problema de resolver grandes problemas de optimización
combinatoria.
3.1. Analogía física del recocido simulado
Kirkpatrick et al. (1982) describen un algoritmo intensivo de computación para encontrar soluciones a problemas de optimización arbitrarios. La esencia de este método es reconocer que la
naturaleza realiza una optimización de la energía de un sólido cuando este es recocido para quitar
defectos en la ordenación atómica.
En Física, se denomina recocido al proceso térmico por el que se obtienen estados de baja
energía de un sólido en un “baño caliente”. El proceso sigue dos pasos (Barker and Henderson, 1976,
pp. 587-671):
(1) Incremento de la temperatura del baño caliente hasta un valor máximo en la cual el sólido se
funde.
(2) Bajada cuidadosa de la temperatura del baño caliente.
Para cada sólido, hay al menos una estructura atómica que minimiza su energía (entropía
mínima) a una temperatura de cero absoluto. Esta configuración de los átomos de mínima energía
global es normalmente una estructura cristalina absolutamente regular con todos los átomos organizados. Sin embargo, hay muchas estructuras atómicas que son estables, pero no tienen
globalmente energía mínima (estructuras meta-estables): estas estructuras son estables a temperatura
cero porque moviendo átomos muy ligeramente aumentarán la energía total. Por consiguiente, representan mínimos locales de energía y corresponden a estructuras estables con ordenamientos no
regulares de sus átomos (El mayor desorden atómico lo presentaría un vidrio). El menor mínimo de
energía se obtiene cuando el material cristaliza con una ordenación regular de sus átomos y es
entonces cuando decimos que se ha alcanzado un mínimo global de energía.
Ahora, utilicemos un símil geográfico para continuar la explicación: sea N el número de átomos. Si representamos gráficamente en un espacio de dimensión 3N+1 las coordenadas de los
átomos y su energía, tendríamos un mapa topográfico. La energía total del material depende de la
ordenación atómica porque las localizaciones de los átomos en el espacio real determinan la energía de interacción de todos los átomos. Entonces la altitud de cada posición en nuestra carta topográfica es la
energía de la ordenación de los átomos representada para esa posición. Por tanto, nosotros hablamos,
en una configuración dada, de la carta topográfica como representación de un paisaje de energía.
La mayoría de las posiciones en el paisaje de energía está en una cuesta. Unas cuantas posiciones están en los fondos de valles. El valle más profundo se corresponde con el mínimo global.
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Valles superiores a este se denominan mínimos locales. Por supuesto, está la posibilidad de mínimos
globales múltiples.
Para ir a lo largo de un camino desde un mínimo local hasta un mínimo global, primero debe ocurrir que la configuración debe aumentar de algún modo su energía. En otras palabras, la única
manera de llegar a un valle más bajo en el paisaje de energía es ir ascendiendo primero. Recociendo
un material, la energía para los movimientos ascendentes viene del baño caliente circundante.
Para hacer un cristal libre de defectos (partículas perfectamente ordenadas) mediante recocido,
se eleva la temperatura del baño caliente hasta un poco por debajo del punto de fundición. A esta temperatura elevada, las fluctuaciones termales crearán y destruirán los defectos. Después de esperar
lo suficiente para que el equilibrio termal sea alcanzado, el número de defectos que se crean por
segundo es igual al del número destruido. Entonces, no se puede mejorar más la estructura cristalina a esta temperatura, por lo que se procede a bajarla un poco. De nuevo, el ritmo de eliminación de
defectos excederá ligeramente al de creación hasta que el equilibrio termal se logre de nuevo.
Entonces se vuelve a bajar la temperatura. La sucesión de cambios de temperatura y la cantidad de tiempo gastada en cada temperatura es un esquema de recocido. Si recociendo se alcanza el equilibrio
termal en cada temperatura, puede demostrarse que el recocido produce energía mínima global a una
temperatura de cero absoluto.
El recocido simulado es nada más que la simulación de la historia termal de un material que está
sujeto a un esquema de recocido. El recocido simulado usa la función objetivo de un problema de optimización en lugar de la energía de un material real. Las fluctuaciones termales simuladas son los
cambios en los parámetros ajustables del problema en lugar de las posiciones atómicas. Si para ese
esquema de recocido se logra el equilibrio termal en cada temperatura, entonces la función objetivo
alcanza su mínimo global cuando la temperatura simulada es próxima a cero.
3.2. El Algoritmo Metrópolis
El proceso físico de recocido puede ser modelado usando métodos de simulación. Mitra et al
(1986) introdujeron un algoritmo para simular la evolución de un sólido en un baño caliente hasta
alcanzar el equilibrio térmico. Este algoritmo está basado en técnicas Montecarlo y genera una sucesión de estados del sólido de la siguiente manera: dado el estado actual i del sólido con energía Ei,
entonces el siguiente estado j está generado aplicando un mecanismo de perturbación que transforma
el estado actual en el siguiente estado por una pequeña distorsión, por ejemplo, el desplazamiento de
una partícula. La energía en el estado siguiente es Ej. Si la diferencia de energía, EjEi, es 0, el
estado j se acepta como el estado actual. Si EjEi>0, el estado j es aceptado con una cierta
probabilidad dada por
)exp(Tk
EE
B
ji
donde T es la temperatura del baño caliente, que se actualiza cada cierto número de estados y kB es una constante física denominada constante de Boltzman. La aceptación de la regla anterior es conocida
como Criterio Metrópolis y el algoritmo como Algoritmo Metrópolis.
Si la bajada de la temperatura está hecha suficientemente despacio, el sólido puede alcanzar el
equilibrio termal en cada temperatura. En el algoritmo Metrópolis éste es alcanzado generando un gran número de transiciones para un valor de la temperatura dado. El equilibrio termal está caracterizado
por la distribución de Boltzmann (Toda et al., 1986).
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Definición: [Distribución de Boltzmann] La probabilidad de que un sólido esté en estado i con
energía Ei a temperatura T, está dada por:
)exp()(
1}{
Tk
E
TZiXP
B
iT
donde X es una variable aleatoria que denota el estado actual del sólido y Z(T) es una constante de
normalización
Z(T)=
j B
j
Tk
E)exp(
donde el sumatorio está definido sobre todos los estados posibles.
3.3. El algoritmo de recocido simulado
Podemos aplicar el algoritmo Metrópolis para generar una sucesión de soluciones de un problema de optimización combinatoria. Para ello, basta observar la analogía existente entre un
sistema físico con muchas partículas y un problema de optimización combinatoria.
Dicha analogía está basada en las siguientes equivalencias:
(i) Las soluciones de un problema de optimización combinatoria son equivalentes a los estados
de un sistema físico.
(ii) El costo de una solución es equivalente a la energía del estado.
(iii) La temperatura del proceso de recocido se modeliza mediante un parámetro denominado de
control.
Así, el algoritmo de recocido simulado puede verse como una iteración del algoritmo
Metrópolis evaluado para valores decrecientes del parámetro control.
Como en un algoritmo de búsqueda local asumimos la existencia de una estructura de entornos
y de un mecanismo de generación.
Definición [Criterio de aceptación]. Sean (S,f) una instancia de un problema de optimización
combinatoria e i, j dos soluciones con costo f(i), f(j)respectivamente. Entonces el criterio de aceptación
determina si j es aceptado desde i aplicando la siguiente probabilidad de aceptación:
)()()
)()(exp(
)()(1
}{ifjfsi
c
jfif
ifjfsi
jaceptarPc (4.1)
donde Rc denota el parámetro control.
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Ahora, el mecanismo de generación corresponde al mecanismo de perturbación en el algoritmo
Metrópolis, mientras que el criterio de aceptación corresponde al criterio Metrópolis.
Definición [Transición]. Una transición es una acción combinada que da como resultado la
transformación de la solución actual en la siguiente. La acción consta de dos pasos:
(i) Aplicación del mecanismo de generación.
(ii) Aplicación del criterio de aceptación.
Una característica del algoritmo de recocido simulado es que, además de aceptar soluciones que
supongan mejoras en la función de costo, son también aceptadas algunas otras que suponen un
empeoramiento en esta (esta es la forma en que el método evita quedar atrapado en un óptimo local).
Inicialmente, para un valor grande de c, prácticamente cualquier transición es aceptada; al ir disminuyendo c, sólo un número pequeño de transiciones a peores soluciones son aceptadas y
finalmente, cuando el valor de c se aproxima a cero, no es aceptada ninguna transición a una solución
peor. Esta característica significa que el algoritmo de recocido simulado, al contrario de lo que ocurre con los algoritmos de búsqueda local, puede escapar de un mínimo local mientras sigue manteniendo
las características más favorables de estos, es decir, simplicidad y aplicabilidad general. Basta ver que
la probabilidad de aceptar peores soluciones se hace mediante comparación del valor de
))()(
exp(c
jfif con un número aleatorio generado de una distribución uniforme en el intervalo
[0,1), es decir, ))()(
exp(c
jfif representa la probabilidad de pasar a soluciones peores. Nótese que
esta probabilidad depende de c y de la distancia entre f(i) y f(j).
Como conclusión, podemos considerar el recocido simulado como una generalización de la
búsqueda local.
Veamos ahora cómo aplicar este algoritmo al problema del viajante
4. El problema del viajante
El origen del problema del viajante, o en su terminología inglesa Traveling Salesman Problem
(TSP), no está claro. Una guía para viajantes de 1832 menciona el problema e incluye ejemplos de
viajes a través de Alemania y Suiza, pero no contiene un tratamiento matemático del mismo. El problema fue definido en los años 1800s por el matemático irlandés W. R. Hamilton y por el
matemático británico Thomas Kirkman. Todo parece indicar que la forma general del TSP fue
estudiada, por primera vez por matemáticos en Viena y Harvard, durante los años 1930s. Entre estos destacan Karl Menger, quien definió los problemas, considerando el obvio algoritmo de fuerza bruta, y
observando la no optimalidad de la heurística de vecinos más cercanos Hassler Whitney de la
Universidad de Princeton introdujo el nombre “travelling salesman problema” poco después
(Applegate, D. L. et al., 2006)
Durante los años 1950 a 1960, el problema fue incrementando su popularidad entre el círculo de científicos de Europa y Estados Unidos. Una notable contribución fue la de George Dantzig, Delbert
Ray Fulkerson y Selmer M. Johnson de la Corporación RAND en Santa Mónica, quienes expresaron
el problema como Programación Lineal en Enteros y desarrollaron para solucionarlo el método de Planos Cortantes. Con este nuevo método, resolvieron una instancia con 49 ciudades, óptimamente,
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mediante la construcción de un recorrido y probando que no había un recorrido que pudiera ser más
corto. En las siguientes décadas, el problema fue estudiado por muchos investigadores, matemáticos,
científicos de la computación, químicos, físicos, etc.
Richard M. Karp mostró en 1972 que el TSP era un problema NP-duro. Esto tiene su
explicación matemática por la evidente dificultad computacional para encontrar recorridos óptimos.
Gran progreso tuvo a finales de los 70s y principios de los 80s, donde Grötschel, Padberg,
Rinaldi y otros, manejaron soluciones exactas para instancias con 2392 ciudades, usando Planos
Cortantes y Ramificación y Acotación.
En los 90s, Applegate, Bixby, Chvátal, y Cook desarrollaraon el programa Concorde, el cual es usado en muchos de los registros de soluciones recientes. Gerhard Reinelt publicó la TSPLIB en 1991,
una colección de instancias de pruebas de dificultad variable, la cual es usada por muchos grupos
investigativos para comparar resultados. En 2006, Cook y otros, obtuvieron un recorrido óptimo para
85,900 ciudades.
Descripción del problema
En el problema se presentan N! rutas posibles, aunque se puede simplificar ya que dada una ruta
nos da igual el punto de partida y esto reduce el número de rutas a examinar en un factor N quedando
(N-1)! Como no importa la dirección en que se desplace el viajante, el número de rutas a examinar se
reduce nuevamente en un factor 2. Por lo tanto, hay que considerar (N-1)!/2 rutas posibles.
En la práctica, para un problema del viajante con 5 ciudades hay 12 rutas diferentes y no
necesitamos un ordenador para encontrar la mejor ruta, pero apenas aumentamos el número de
ciudades las posibilidades crecen exponencialmente (en realidad, factorialmente):
Para 10 ciudades hay 181.440 rutas diferentes
Para 30 ciudades hay más de 4·10^31 rutas posibles. Un ordenador que calcule un millón de
rutas por segundo necesitaría 10^18 años para resolverlo. Dicho de otra forma, si se hubiera comenzado a calcular al comienzo de la creación del universo (hace unos 13.400 millones de años)
todavía no se habría terminado.
Puede comprobarse que por cada ciudad nueva que incorporemos, el número de rutas se
multiplica por el factor N y crece exponencialmente (factorialmente). Por ello el problema pertenece a
la clase de problemas NP-duros.
a) Modelación como un problema de grafos
El TSP puede ser modelado como un grafo ponderado no dirigido, de manera que las ciudades sean los vértices del grafo, los caminos son las aristas y las distancias de los caminos son los pesos de
las aristas. Esto es un problema de minimización que comienza y termina en un vértice especifico y se
visita el resto de los vértices exactamente una vez. Con frecuencia, el modelo es un grafo completo (cada par de vértices es conectado por una arista). Si no existe camino entre un par de ciudades, se
añade arbitrariamente una arista larga para completar el grafo sin afectar el recorrido óptimo.
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Figura 1: TSP simétrico con 4 ciudades
Problemas relacionados:
-Problema del agente viajero con cuello de botella (bottleneck TSP)
- La generalización del TSP trata con “estados” que tienen (una o más) “ciudades” y el viajante
tiene que visitar exactamente una ciudad de cada “estado”. También se conoce como el Problema del
Político Viajero.
- El problema de ordenamiento secuencial trata con el problema de visitar un conjunto de
ciudades donde se tienen en cuenta las relaciones de precedencias entre las ciudades.
- El problema del viajante comprador trata con un comprador que está cargado con un conjunto
de productos. Él puede comprar estos productos en varias ciudades, pero tienen diferentes precios y no
todas las ciudades ofrecen los mismos productos. El objetivo es encontrar una ruta entre un subconjunto de ciudades, los cuales minimicen el costo total (costo de viaje + costo de la compra) y
habilite la compra de todos los productos requeridos.
b) Formulación como un problema de programación lineal entera
En el problema del viajante existe un conjunto de n ciudades (nodos), V = {1, 2, 3,…, n}, y un
conjunto de caminos (arcos) uniendo cada una de las ciudades. Así el camino (i,j) Є A, cij es la
“distancia” (función objetivo) para ir de la ciudad i a la ciudad j. Un viajante debe realizar un recorrido (tour) comenzando en una cierta ciudad de origen y luego visitar todas las otras ciudades una única
vez y retornar a la ciudad de origen. El problema consiste en hallar el recorrido (tour) de distancia
mínima. evitando subtours.
El problema del TSP tiene el siguiente modelo matemático:
Sea xij la variable de decisión del problema:
contrariocasoen
tourelhacerparautilizadoesjiarcoelsi
xij
,0
),(,1
El modelo matemático asume la siguiente forma:
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)4(22,1
)3(,1
)2(,1
:..
)1()(min
)(,:),(
),(:
),(:
),(
VUx
Vix
Vjx
as
xcxz
UVjUiAji
ij
Ajij
ij
Ajii
ij
ij
Aji
ij
La ecuación (1) corresponde al cálculo de la función objetivo.
El conjunto de restricciones (2) indica que se puede llegar a cada ciudad desde una única ciudad
anterior.
El conjunto de restricciones (3) indica que desde la ciudad i se puede pasar a una única ciudad
(de la ciudad i se puede salir por un único camino).
El conjunto de restricciones (4) evita que se generen subtours.
El problema tiene considerables aplicaciones prácticas, aparte de las más evidentes en áreas de
logística de transporte, así como en cualquier negocio de reparto, pequeño o grande. Por ejemplo, en
robótica, permite resolver problemas de fabricación para minimizar el número de desplazamientos al
realizar una serie de perforaciones en una plancha o en un circuito impreso. También puede ser
utilizado en planificación de rutas de vehículos, manufactura flexible, etc.
Debido a la importancia práctica del problema, muchos autores se plantearon cómo abordar la
solución a este problema. Puesto que se trata de un problema NP-duro, las líneas tradicionales para
atacarlo son las siguientes:
- Formular algoritmos para encontrar soluciones exactas (estos trabajan más rápidos en
problemas con dimensiones pequeñas).
- Formular algoritmos heurísticos o “subóptimos” (por ejemplo: algoritmos que den
aparentemente o probablemente buenas soluciones, pero no devuelven el óptimo necesariamente).
- Encontrar los casos especiales para el problema (“subproblemas”) para los cuales son posibles
heurísticas mejores o algoritmos exactos.
La solución más directa puede ser, intentar todas las permutaciones (combinaciones ordenadas)
y ver cuál de estas es la menor (usando una Búsqueda de fuerza bruta). Otra solución posible viene proporcionada por los algoritmos de ramificación y acotación, los cuáles pueden ser usados para
procesar TSP que contienen entre 40 y 60 ciudades. También tenemos algoritmos de mejoras
progresivas (iterativas) los cuales utilizan técnicas de Programación lineal que trabajan bien para más
de 200 ciudades. Implementaciones de ramificación y acotación y un problema específico de generación de cortes (Ramificación y poda); este es el método elegido para resolver grandes
instancias. Esta aproximación retiene el record vigente, resolviendo una instancia con 85,900 ciudades,
(Applegate et al., 2006)
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Según se ha indicado anteriormente otro método para abordar el problema de encontrar
soluciones al TSP viene dado por la formulación de Algoritmos heurísticos y aproximados. De entre estos varios que retornan rápidamente buenas soluciones han sido creados. Métodos modernos pueden
encontrar soluciones para problema extremadamente largos (millones de ciudades) en un tiempo
razonable. De entre todos estos vamos a centrarnos en los que se basan en mejoras aleatorias EL TSP es la base para muchas heurísticas diseñadas para la optimización combinatoria como: los algoritmos
genéticos, el recocido simulado, la Búsqueda tabú, la optimización por colonias de hormigas, entre
otras.
Veamos cómo podemos aplicar el algoritmo de recocido simulado al TSP
- El espacio de soluciones
Tenemos n ciudades y una matriz nxn (cij) cuyos elementos denotan la distancia entre cada par
i,j de las n ciudades. Un tour o recorrido es definido como un camino cerrado en el que se visita cada ciudad exactamente una vez. El problema consiste en encontrar el camino de longitud mínima. Para
ese problema cada solución está dada por una permutación cíclica x=(x(1),x(2),...,x(n)) donde x(k)
denota la siguiente ciudad a visitar después de la ciudad k, con x1(k)k, l=1, ...n-1 y xn(k)=k, k 2. De
este modo cada solución se corresponde con un único tour.
El espacio de soluciones viene dado por S= las permutaciones cíclicas x de n ciudades
- La estructura de entornos
Para este trabajo se ha considerado la estructura de entornos Nk, llamada k-cambio, que considera para cada solución i un entorno Si consistente en el conjunto de soluciones que pueden
obtenerse desde la solución dada i cambiando k aristas del tour correspondiente a la solución i y
reemplazándolos con otras k aristas tal que se obtiene un nuevo tour (Lin, S. (1965))
Figura 2. Un tour en una instancia del TSP
La estructura de entornos descrita anteriormente para este problema no es la única que podemos
encontrar en la literatura. Otro ejemplo de estructura de entornos puede ser obtenido utilizando los
N2(p,q) cambios (Aarts, E. and Korst, J. (1989))
- La función de costo la hemos definido anteriormente
Una vez definido el problema y los elementos necesarios para aplicar el algoritmo veamos
algunos resultados prácticos. La figura de abajo compara una solución aleatoria al problema del
2 x1(k) representa la ciudad visitada l trayectos después de haber visitado la ciudad k
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viajante para 100 ciudades bien organizadas a una después de aplicar un recocido simulado durante un
millón de iteraciones. Éste representa un problema muy grande, ya que la cantidad de soluciones como
la de abajo comparada con el espacio de todos los caminos posibles es muy pequeña.
Figura 3 Dos ejemplos de caminos para el viajante: El primero seleccionado al azar, el segundo encontrado
después de un millón de iteraciones del recocido simulado.
5. Conclusiones
En este pequeño trabajo se han presentado ejemplos de cómo podemos imitar procesos que
ocurren en la naturaleza con el objeto de resolver problemas reales que se presentan en distintas ramas
del conocimiento. Algo tan inicialmente alejado de un problema de optimización combinatoria como
puede ser el proceso físico de recocido, da lugar al desarrollo de un algoritmo, el de recocido simulado, que nos permite abordar alguno de estos problemas. Entre los que permite resolver podemos
citar al famoso "problema del viajante", ampliamente abordado en la literatura. La ventaja principal de
este algoritmo es la de que en algunos casos va permitir pasar a "una solución peor" evitando de esta
manera quedar atrapados en óptimos locales.
Bibliografía
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Francisco Moreno Soto, Licenciado en Matemáticas en la Especialidad de Estadística e Investigación
Operativa por la Universidad de Sevilla, DEA por la Universidad de Extremadura (UEX), Diplomado en
Estadística por la UEX, Técnico Superior en Administración y Finanzas. Ha presentado ponencias y
escrito artículos siempre en relación con las Matemáticas centrados fundamentalmente en temas
relacionados con la Estadística y la Investigación Operativa.
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de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 49-56
Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado
matemático español del siglo XVIII
Carmen León-Mantero
María José Madrid
Alexander Maz-Machado
(Universidad de Córdoba. España)
Fecha de recepción: 14 de septiembre de 2015
Fecha de aceptación: 11 de abril de 2016
Resumen En 2015 se cumplen 200 años del fallecimiento del matemático asturiano Agustín de
Pedrayes y Foyo. Presentamos su semblanza biográfica y sus principales aportaciones a
la Educación Matemática del siglo XVIII. Veremos cómo una serie de catástrofes
encadenadas llevaron a la pérdida de sus principales obras e investigaciones hasta
convertirlo en uno de los matemáticos más ilustres del siglo XVIII sin que la historia se
haya hecho eco de sus logros.
Palabras clave Historia de la Educación Matemática, Agustín de Pedrayes y Foyo, Siglo XVIII,
biografía.
Title Anniversary of Agustín de Pedrayes y Foyo: an outstanding Spanish mathematician
from the eighteenth century
Abstract 2015 is the 200th anniversary of the death of the Asturian mathematician Agustín de
Pedrayes y Foyo. We present his biographical semblance and its main contributions to
Mathematics Education of the eighteenth century. We will show how a series of linked
catastrophes led to the loss of his main works and researches, causing that despite being
one of the most distinguished mathematicians of the eighteenth century, history has not
echoed his achievements.
Keywords History of Mathematics Education, Agustín de Pedrayes y Foyo, XVIII century,
biography.
1. Introducción
La Historia de la Educación Matemática permite descubrir y sacar a la luz momentos,
situaciones, instituciones, temas o personajes que en un momento determinado significaron un cambio
de rumbo y un avance tanto para la historia de las matemáticas como para la historia de la Educación
Matemática (Maz-Machado y Rico, 2013). Por eso, durante las últimas décadas se han realizado un gran número de investigaciones a nivel nacional e internacional sobre diferentes matemáticos,
instituciones, libros de matemáticas, etc. como las de Schubring (1987), Blanco (2013), Madrid, Maz-
Machado y León-Mantero (2015).
Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado matemático español del siglo XVIII C. León-Mantero, M.J. Madrid, A. Maz-Machado
50 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
El siglo XVIII español se caracteriza por el paulatino cambio político, social y cultural promovido por el movimiento de la Ilustración. El programa ilustrado se interesa por la reforma de la
economía y el desarrollo de las ciencias útiles, se preocupa por la mejora del sistema educativo, critica
la realidad social del país y fomenta a los ciudadanos nuevas ideas políticas liberales (Rico y Maz,
2005).
La primera mitad del siglo XVIII es considerada por diversos autores como una época de
decadencia de las universidades españolas en el ámbito de la investigación y la enseñanza de las
matemáticas debido a la antigüedad de los planes de estudios o las irregularidades en los nombramientos de catedráticos. Sin embargo, los aires de cambio y renovación se observan en los
intentos de establecer un nuevo sistema educativo separado de la influencia eclesiástica (Peralta,
2009).
En esta época, la enseñanza de las matemáticas se realizaba a través de Colegios dirigidos por
Jesuitas y en las Academias Militares cuyo objetivo era la formación de Ingenieros Militares para la defensa del reino (Maz, 2005). Es en la segunda mitad de este siglo cuando se crean nuevas escuelas y
academias, se estudian traducciones de libros modernos, se envían estudiantes al extranjero y acceden
a puestos docentes profesores con sólida formación matemática. (De Guzmán y Garma, 1980).
Todo lo anterior tiene como fruto que se impriman diversos trabajos producidos por grupos matemáticos de discusión y manuales de texto como los de Benito Bails, Juan Justo García, José
Chaix, José Mariano Vallejo o Agustín de Pedrayes y Foyo entre otros. Este último es el autor del
Nuevo y universal methodo de quadraturas determinadas (1777), del Tratado de mathematicas (1799)
y de un importante Opúsculo (1805) como comentaremos a continuación. Así mismo, es uno de los introductores del sistema métrico decimal en España y es considerado uno de los mejores matemáticos
de las últimas décadas del XVIII y principios del XIX. En París se le conocía como el “sabio español”
y el “geómetra insigne” (Martínez, 1929).
Sin embargo, mientras que matemáticos como Vallejo han sido ampliamente analizados desde la educación matemática como, por ejemplo, en el trabajo de Maz-Machado y Rico (2013), no son
numerosas las investigaciones sobre Pedrayes. Por este motivo, y desde esta perspectiva, se presenta
un breve estudio sobre la vida y obra de Agustín de Pedrayes, así como de sus principales aportaciones
a la Educación Matemática.
Figura 1. Medallón de Agustín de Pedrayes y Foyo. Tomado de Neira (2015)
Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado matemático español del siglo XVIII C. León-Mantero, M.J. Madrid, A. Maz-Machado
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
2. Agustín de Pedrayes y Foyo
Agustín de Pedrayes y Foyo nace en Lastres, Asturias, el 28 de agosto de 1744 y fallece el 26 de febrero de 1815. Estudia Humanidades en la villa de Colunga tras haber sido instruido en primeras
letras durante su infancia por su padre, que era médico de profesión (Martínez, 1929).
En 1758 parte a Santiago a realizar sus estudios superiores en la Facultad de Teología de
Filosofía y Jurisprudencia obteniendo el título de bachiller. Es en ese momento de su vida cuando
comienza a sentir pasión por las Matemáticas y otras ciencias como la Mecánica, la Geodesia, y la Mineralogía. Desarrolla aptitudes para la enseñanza hasta el punto que en julio de 1769 es nombrado
maestro de la Real Casa de Caballeros Pajes del Rey en Madrid. Continuó con su docencia cuando el
centro en el que impartía clase se fusionó con el Real Seminario de Nobles de Madrid en 1786 y es
nombrado profesor de Matemáticas de este hasta el año 1790 (Crespo, 1953).
Acomete, además, una labor investigadora que da como resultado la obra Nuevo y universal
methodo de quadraturas determinadas publicada en 1777, de la cual surge un interesante problema
que publicó con dos enunciados muy parecidos que veremos a continuación (De Guzmán y Garma,
1980).
Figura 2. Opúsculo Primero. Solución del problema propuesto el año 1797
Tras una intensa labor docente e investigadora, ininterrumpida durante más de dos décadas,
Pedrayes comienza a sentirse fatigado, enfermedad que aumenta progresivamente hasta imposibilitarle
continuar con la docencia. Gracias a un Decreto Real se le exime de continuar trabajando y se le
concede vivir donde quiera además de seguir disfrutando de su sueldo (Pedrayes, 1805).
Es entonces cuando regresa a su ciudad natal, Lastres y, durante los cinco años en el que el
descanso consigue mejorar su estado de salud, entabla amistad con Jovellanos, el cual intentó sin
conseguirlo que Pedrayes se incorporara como profesor de Matemáticas en el Instituto de Náutica y
Mineralogía de Gijón, cuya creación había sido solicitada por Jovellanos al rey Carlos IV en 1789 y fue aprobada en 1792. Por el contrario, sí accedió a colaborar planificando la enseñanza en el centro y
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formando en Lastres al joven profesor Alvargonzález quién iba a ocupar en su lugar ese puesto en el
Instituto (Ordaz, 2011; Álvarez-Valdés, 2012).
A su regreso a Madrid, algunos amigos suyos, ante la preocupación de que su obra quedara en el
olvido, le proponen crear una Asociación que sepa valorar sus avances y le ayudara económicamente
con los recursos que necesitara disponer. Esta resultó ser todo un éxito con suscripciones como las de Jovellanos, el Duque de Osuna, la Real Sociedad de Amigos del País de Asturias, el Marqués de
Villena o el Marqués de Villafranca.
Para confirmar que Pedrayes había descubierto un nuevo método de cálculo integral, la
asociación le propuso crear un Programa en el que se planteara un problema que si ningún otro
matemático era capaz de resolver mediante su método, verificaría que este era original. Después de imprimir y distribuir en Madrid, Berlín y París cien ejemplares, se tuvieron que reimprimir
cuatrocientos más en París porque se habían agotado. Se ofrecieron tres premios de cinco mil reales
cada uno para quien resolviera el problema en Francia, Alemania y España en un año desde la fecha de
publicación, y cuya corrección correría a cargo del Instituto Nacional de Francia (Pedrayes, 1805).
Figura 3. Anuncio del Programa en La décade philosophique, litteraire et politique, París, 1797
Efemérides de Agustín de Pedrayes y Foyo: un destacado matemático español del siglo XVIII C. León-Mantero, M.J. Madrid, A. Maz-Machado
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Recuperado de su estado de salud vuelve a Madrid en 1796 y en 1798 es llamado por el
gobierno del rey Carlos IV para acompañar como comisionado a Gabriel Ciscar y participar en la reunión internacional para fijar los principios del sistema métrico, ser testigos del depósito de los
patrones del metro y del kilogramo en el Instituto Nacional de París y calcular y construir el patrón
legal del metro que se guardó en el Conservatorio de Artes. La comisión internacional formada por nueve países dictaminó en junio de 1799 que el metro mediría 443,296 milésimas partes de la toesa de
París. (Pérez de Castro, J.L., 1973; De Guzmán y Garma, 1980; Ten, 2000; Peralta, 2009; Escalonada,
2012).
Figura 4. Ley de pesas y medidas de Isabel II de 1849
Permanece en París dos años en los cuales solo una persona presenta una solución a su
problema ante el Secretario de la Real Academia de Berlín. Tras ser examinada por Delambre se
determina que dicha solución no da respuesta al problema planteado por Pedrayes. Por tanto, éste presenta su solución ante el Instituto Nacional de París quienes le adjudican el premio (Pedrayes,
1805). Varios autores le atribuyen la publicación de un Tratado de mathematicas en 1799, pero
ninguna copia se encuentra en bibliotecas españolas (Martínez, 1929; Crespo, 1953).
A su regreso a Madrid, Pedrayes es nombrado Ministro del Tribunal de Contaduría en 1801 por sus logros alcanzados durante su trabajo en la capital francesa (Martínez, 1929) y se le concede una
ayuda económica de mil reales mensuales para los recursos que necesite en sus futuras
investigaciones. Sin embargo, no puede disfrutarlos, pues Pedrayes deja de recibir su sueldo cuando
los franceses invaden España. Tras pedir ayuda al nuevo gobierno, es declarado persona peligrosa y decide huir de Madrid. Desde su refugio en Cádiz, vuelve a pedir ayuda atendiendo a su estado de
salud y profesor jubilado y se le concede de nuevo su sueldo. Cuando al poco tiempo vuelve a Madrid
encuentra que los avances de sus trabajos que darían como fruto el Segundo Opúsculo y que se guardaban en el Archivo del Observatorio Astronómico destruidos por los soldados franceses.
Además, otros trabajos y libros donados por el autor fueron destruidos en el incendio de Alcázar de
Segovia en 1862 y de la Universidad de Oviedo en 1934 (Crespo, 1953). Las dificultades económicas no consiguen nada más que agravar su estado de salud hasta que muere en 1815 (De Guzmán y
Garma, 1980).
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54 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
3. Aportaciones al ámbito científico y a la educación
Aunque algunas de sus obras ya no se encuentren disponibles en bibliotecas españolas, se le
conocen las siguientes:
Pedrayes, A. (1777). Nuevo y universal methodo de quadraturas determinadas. Madrid.
Pedrayes, A. (1796). Programa. Madrid.
Pedrayes, A. (1799). Tratado de mathematicas. París.
Pedrayes, A. (1805) Opúsculo primero. Solución del problema propuesto el año 1797.
Madrid: Imprenta de la Administración del Real Arbitrio de Beneficiencia.
El Nuevo y universal methodo de quadraturas determinadas está formado por 279 páginas. En ella “desarrolla y demuestra que las cuadraturas de algunas curvas hasta entonces expresadas por
series de infinitos términos pueden, en algunos casos, tener una integral completa” (Martínez, 1929).
El Programa está compuesto por 12 páginas cuyo texto está escrito en castellano y a
continuación en latín. Tal como se muestra en la figura 2, esta obra plantea un problema sobre la
resolución de una complicada ecuación diferencial.
El Opúsculo primero. Solución del problema propuesto el año 1797 está formado por 72 páginas la edición escrita en castellano y 63 páginas la edición escrita en latín. La obra comienza con
una carta dirigida a Don Pedro Cevallos, primer secretario de Estado en la que se solicita a él y a todos
los suscriptores de la asociación la impresión del Opúsculo. Continúa con una noticia histórica en la que, además de una breve biografía de Pedrayes, explica el nacimiento de la asociación que formaron
sus amigos. Tras listar a los 55 suscriptores de la asociación y las diferentes instituciones que
colaboran en el proyecto, se presenta el Programa y el problema propuesto junto con la solución dada
por nuestro autor.
La participación de Pedrayes en la creación del sistema métrico decimal fue de creciente
importancia para la enseñanza de las ciencias y, en particular de las matemáticas, de la época. Antes de
ello, cada provincia española tenía su propio sistema de medida haciendo difícil la transformación
entre unas y otras. Aunque Carlos IV no introdujo el nuevo sistema, se comenzó a enseñar en las escuelas de forma obligatoria a partir de la Ley de pesas y medidas decretada por Isabel II en 1852
(Sierra, 1997).
Con el fin de ayudar a la población a acostumbrarse a usar el sistema métrico decimal, Pedrayes
diseña un aparato llamado comparador que sirve para comparar el metro con todos los sistemas de longitud usados en nuestro país (Peralta, 2009). Con él se pueden medir todas las longitudes hasta 37
pulgadas de la toesa francesa. El comparador fue presentado al rey de España en 1801 ya que deseaba
verlo. Sin embargo, también fue destruido en el incendio de la Academia de Segovia (Martínez, 1929;
Crespo, 1953).
Además del comparador, Pedrayes aportó varios instrumentos de medida como lo anuncia la
Gaceta de Madrid (1776; p. 476):
“Don Agustín de Pedrayes Maestro de Matemáticas de los Caballeros Pages
del Rey ha inventado dos especies de barómetros muy sensibles. El primero
es un barómetro de agua reducido, que tiene, la misma escala de movimiento
que uno de agua de 32 pies de altura: esta queda reducida á 5 pies solamente,
por haber conseguido suspender una columna de mercurio sobre otra de agua.
La segunda especie es de un barómetro cónico, en el qual la columna de
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55 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
mercurio corre la longitud de la varilla ó tubo por la variación de presión en
el ayre: su escala de movimiento es tambien muy grande como lo acredita la
experiencia.”
Como reconocimiento a su importante labor en el campo de las matemáticas y la educación
matemática, se constituye en 1993 la Sociedad Asturiana de Educación Matemática “Agustín de Pedrayes” (SADEM) cuyos objetivos principales consisten en divulgar el conocimiento matemático y
la mejora de los procesos de aprendizaje.
3. Conclusiones
A pesar de que Agustín de Pedrayes se formó en ciencias, y en particular, en matemáticas, durante la Revolución Francesa, el temor a la introducción de ideas revolucionarias en España, hacía
imposible la entrada de biografía extranjera. Sin embargo, supo estar a la altura del movimiento
científico de su época con respecto al cálculo infinitesimal y la geometría hasta el punto de llamar la
atención de sabios europeos como Campomanes, Gauss o Schumacher.
De la lectura de su Opúsculo primero y las opiniones de los miembros de la asociación o del Instituto Francés con los que fraguó amistad e intercambió correspondencia, podemos deducir que
Pedrayes poseía claras aptitudes didácticas. Sus exposiciones, demostraciones y cálculos son claros,
sencillos y accesibles. Además, se implicó no solo en la creación del sistema métrico decimal sino también de instrumentos que ayudasen a los ciudadanos a comprender y asimilar los cambios que la
Ley de pesas y medidas produjo en los sistemas de medida españoles.
Pedrayes simboliza uno de tantos casos de matemáticos que realizaron importantes aportaciones
teóricas y prácticas al ámbito de las Matemáticas y a su difusión en el campo científico y escolar, al cual, no se le ha ofrecido suficiente merecimiento. Su nuevo método de integración de ecuaciones
diferenciales representó un aporte teórico y formal que distaba de los trabajos realizados por
matemáticos españoles de la época. Sus diseños de los diferentes instrumentos supusieron un impulso
al desarrollo de técnicas de medida que acercaban las herramientas teóricas a la resolución de problemas de la vida cotidiana. Y, por último, su participación activa en los debates y en la
planificación de la enseñanza de las matemáticas del Instituto de Gijón, así como en la formación de
nuevo profesorado, permitió la difusión de las nuevas teorías matemáticas del cálculo infinitesimal y
la geometría que se desarrollaban en la Europa del siglo XVIII.
En definitiva, Pedrayes fue no solo un reputado matemático de la época, sino un científico
preocupado por acercar las matemáticas al mundo real y por mostrar su utilidad a los ciudadanos de la
época.
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http://museovirtual.csic.es/salas/medida/medidas_y_matematicas/articulos/Capitulo5.pdf
Carmen León Mantero es profesora asociada e investigadora del Departamento de Matemáticas de la
Universidad de Córdoba en la Facultad de Ciencias de la Educación, San Alberto Magno s/n, Córdoba. Su
línea de investigación principal es Historia de la Educación Matemática.
María José Madrid es investigadora del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Córdoba en
la Facultad de Ciencias de la Educación, San Alberto Magno s/n, Córdoba. Su línea de investigación principal es Historia de la Educación Matemática.
Alexander Maz Machado es profesor titular e investigador del Departamento de Matemáticas de la
Universidad de Córdoba en la Facultad de Ciencias de la Educación, San Alberto Magno s/n, Córdoba. Sus líneas de investigación son Historia de la Educación Matemática y Bibliometría.
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, junio de 2016, páginas 57-70
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria
Rosa Nortes Martínez-Artero
Andrés Nortes Checa
(Universidad de Murcia. España)
Fecha de recepción: 23 de noviembre de 2015
Fecha de aceptación: 25 de abril de 2016
Resumen Los alumnos que cursan el Grado de Maestro de Primaria (GMP) se distribuyen en ocho
grupos en segundo y siete en tercero, en turnos de mañana y tarde y con profesorado
heterogéneo en la Universidad de Murcia. Elegida la convocatoria de junio 2012/13 se
analizan las actas de calificaciones de Matemáticas y su didáctica y se comprueba que no
hay diferencias significativas ni por género, ni por curso, ni por turno y que dos de cada
tres alumnos que se presentan aprueban, que uno de cada dos alumnos matriculados aprueba y que el porcentaje más alto de aprobados se obtiene en la primera convocatoria.
El que la tasa de éxito sea del 66,6 % y la de rendimiento el 48,5 % indica que los
alumnos no tienen adquiridas las competencias en Matemáticas, siendo una de las causas
la falta de conocimiento de matemática elemental con que llegan los alumnos al GMP.
Palabras clave Evaluación, Maestro, tasa éxito, tasa rendimiento.
Title Assessment in Mathematics in the Primary Education Degree
Abstract Primary Education degree students at the University of Murcia are distributed into eight
groups in the second year and seven in the third year, in morning and evening shifts, and
are taught by a heterogeneous number of teachers. The marks of the different groups for
the subject Mathematics and its Didactics were analyzed for the June exams during
academic year 2012/13. The results show that there are not significant differences
according to gender, year or shift, that 2 out of 3 students that take the exam pass, that 1 out of 2 students registered pass and that the highest pass percentage happens the first
time the students take the exam. The fact that the success ratio is 66,6 % and the
performance ratio 48,5 % shows that students have not acquired Mathematic competence,
being the poor knowledge in elementary mathematics with which they come to the
degree one of the reasons for this.
Keywords Assessment, teacher, success ratio, performance ratio.
1. Introducción
Los estudios del Grado de Maestro de Primaria se pusieron en marcha en la Universidad de
Murcia el curso 2009/10. Los criterios con los que se elaboraron fueron siguiendo la Resolución de 17
de diciembre de 2007 (MEC, 2007a) en la que se establecen las condiciones a las que deben adecuarse
los planes de estudios conducentes a la obtención de títulos de Grado de Maestro en Educación Primaria y la Orden ECI/3857/2007 (MEC, 2007b) por la que se establecen los requisitos para la
verificación de los títulos universitarios oficiales que habilitan para el ejercicio de la profesión de
La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
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Maestro en Educación Primaria, estando los métodos de enseñanza y evaluación fundamentados en el
conocimiento académico y disciplinar en relación a las materias que se imparten. En la actualidad se están revisando para un nuevo periodo de seis años y que ANECA deberá verificar. Es importante que
en esta revisión se evalúen competencias, contenidos, metodología y evaluación de las asignaturas.
En el presente trabajo se va a analizar la evaluación de la materia Enseñanza-aprendizaje de
las Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria.
2. Marco teórico
La evaluación del proceso educativo en un periodo determinado es imprescindible para conocer
si el trabajo realizado ha sido bien llevado a cabo y en los estudios del Grado de Maestro de Primaria
se traduce a las convocatorias de cada asignatura, en donde los alumnos demostrarán si han adquirido
las competencias pretendidas. Pero, ¿qué piensan los profesores de la evaluación?
Gil, Rico y Fernández (2002) quisieron conocer lo que piensan de la evaluación en
Matemáticas los profesores de secundaria y a una muestra de 163 profesores les preguntaron y
clasificaron sus respuestas en tres grupos. El primero, que recibe una valoración alta, formado por: el
conocimiento adquirido, el trabajo realizado y los logros alcanzados. El segundo, formado por un conjunto de enunciados que reciben una valoración intermedia, se trata de aspectos colaterales con los
enunciados anteriores y parecen ocupar un segundo plano en la evaluación; estos son: la actitud e
interés de los alumnos, la valoración de su madurez, sus capacidades, la labor del profesor y los contenidos. Y el tercer grupo está formado por un núcleo de conceptos distantes de la
conceptualización clásica sobre evaluación: la conducta de los alumnos, el currículo, las instituciones,
los medios y materiales.
La evaluación va íntimamente relacionada con los contenidos y Llinares (2011) se pregunta
qué Matemáticas debe llegar a conocer un estudiante para maestro y cómo debe llegar a conocerlas para empezar a generar la competencia docente en el ámbito de la enseñanza de las Matemáticas. En
este ámbito caracterizar la competencia docente significa comprender las ideas matemáticas de manera
que el estudiante para maestro pueda llegar a ser capaz de identificar lo relevante matemáticamente
hablando de la situación, interpretarlo y poder llegar a tomar decisiones de enseñanza adecuadas.
Una preocupación actual entre los miembros de la SEIEM (Sociedad Española de
Investigación en Educación Matemática) son los conocimientos matemáticos adquiridos en la
secundaria obligatoria porque han advertido que muchos alumnos que cursan el Grado de Maestro de
Primaria tiene dificultades para resolver problemas elementales y “el profesorado ha de enseñar a sus estudiantes contenidos elementales propios de la etapa educativa para la que estos se están preparando
como si fuera la primera vez que estos estudiantes los abordan” (SEIEM, 2014, p. 2). Y Villalonga,
González y Nercau (2011) indican que los cuatro factores de mayor influencia en los bajos rendimientos académicos de los estudiantes, ordenados en forma decreciente, según el porcentaje de
respuestas, serian: a) carencias de conocimientos previos; b) falta de estudio; c) infraestructura
inadecuada para grupos numerosos y d) factores personales del alumno.
Ruiz de Gauna, García y Sarasua (2013) tras aplicar un cuestionario de 20 preguntas a los 188 alumnos de la Escuela Universitaria de Bilbao que estudian el Grado de Maestro de Primaria obtienen
tres perfiles de alumnado: a) El bloque de alumnos más motivados a los que les gustan las
Matemáticas, que presentan las siguientes característica: han cursado un bachillerato que no es de
Sociales; consideran la asignatura de Matemáticas en Enseñanza Primaria como de las más importantes; piensan que deben profundizar en los conocimientos de esta materia; consideran que ser
un buen profesional es difícil; b) El bloque de alumnos que piensan que ser un buen profesor de
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59 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Matemáticas de Enseñanza Primaria es fácil. Presentan las siguientes características: piensan que no es
necesario prepararse en una escuela de Magisterio; no creen que deban conocer más Matemáticas que las que deben enseñar, pero sí profundizar en los contenidos de Matemáticas de Enseñanza Primaria; y
c) El tercer bloque es más difuso y lo constituyen los que presentan unas características intermedias
entre las anteriores.
Lacasa y Rodríguez (2013) indican que la formación de los futuros maestros es una pieza clave en la calidad de la enseñanza. Esta formación depende de las características individuales de los
aspirantes a maestro ya que los conocimientos en Matemáticas de los alumnos son determinantes para
explicar los conocimientos de didáctica a escala individual. En el estudio TEDS -estudio comparativo
internacional sobre la formación de los futuros profesores de matemáticas de Educación Primaria y Secundaria- en el que han participado 17 países y 956 futuros maestros españoles de diversas
universidades españolas han obtenido que la correlación entre el nivel de conocimientos matemáticos
de los estudiantes de magisterio y su nivel de conocimientos didácticos es de 0,38, dando la impresión de que la contribución que puedan hacer las Facultades de Educación a la formación didáctica en
Matemáticas de los futuros maestros, no reduce unas diferencias de partida que tienen que ver con el
nivel previo de conocimiento matemático de los alumnos.
La materia Enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria de
la Universidad de Murcia, se desglosa en dos asignaturas “Matemáticas y su didáctica I” (12 créditos en 2.º) y “Matemáticas y su didáctica II” (9 créditos en 3.º), ambas son obligatorias e incompatibles. El
Plan de estudios aprobado por la ANECA (expediente 587/2009, aprobado definitivamente el
9/03/2009) recoge: competencias, contenidos, actividades, evaluación y metodología. La presencialidad es del 36 % y en las guías docentes de las dos asignaturas se especifican competencias,
contenidos, actividades y evaluación, que es mixta, con un 80 % correspondiente a los exámenes
escritos, parciales y final, y un 20 % correspondiente a los trabajos prácticos realizados a lo largo del
curso. Se indican en el Anexo.
Arribas (2012) indica que el rendimiento académico de los alumnos universitarios viene determinado en su mayoría por las calificaciones otorgadas por los profesores conforme a sus propios
criterios de evaluación y calificación, manifestándose habitualmente por medio de la Tasa de
Rendimiento (TR) –número de alumnos aprobados respecto del número de alumnos matriculados- y la Tasa de Éxito (TE) –número de alumnos matriculados respecto al número de alumnos presentados-.
En el estudio realizado revisando la forma de evaluar 30 asignaturas de títulos universitarios
impartidas por 35 profesores a 2192 alumnos de 7 titulaciones diferentes, la mayoría pertenecientes al área de Educación en 14 universidades, considerando evaluación continua, evaluación mixta y
evaluación final, cuanto mayor es el número de alumnos presentados (en evaluación continua) mas se
aproximan TR y TE y cuando el porcentaje de alumnos presentados más difiere de los alumnos
matriculados (en evaluación mixta y final) TR y TE, más se separan.
3. Objetivos
Cada curso del Grado de Maestro de Primaria está formado por varios grupos y para cada
asignatura existe un coordinador de la misma que se encarga de mejorar el desarrollo de las
asignaturas, unificar criterios y detectar fallos en su desarrollo en el curso anterior. Fruto de estas reuniones son las Guías Docentes de cada asignatura que contienen los aspectos programáticos a los
que todos los profesores se deben remitir con la finalidad de homogenizar el desarrollo de las
asignaturas en todos los grupos.
El que existan ocho grupos en segundo y siete en tercero, en total quince grupos en el Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de Murcia hace que sea una tarea difícil de llevar a la
La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
60 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
práctica, por eso partiendo de los resultados de la convocatoria de junio del curso 2012/13, se van a
plantear los siguientes objetivos:
H1. Puesto que los contenidos de la materia Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas se corresponden con los contenidos de Primaria y han sido divididos en dos asignaturas complementarias,
¿hay diferencias significativas entre los resultados de 2.º y los de 3.º?
H2. Los profesores que imparten los grupos de la mañana suelen ser profesores universitarios
funcionarios de carrera, mientras que los que imparten por la tarde son en su mayoría profesores
funcionarios de Secundaria y contratados universitarios. ¿Puede esta situación motivar que existan
diferencias significativas entre los resultados del turno de la mañana y los del turno de la tarde?
H3. Los alumnos se incluyen en los grupos de forma aleatoria, ¿hay diferencias significativas
en los resultados en Matemáticas entre los grupos de alumnos?
H4. Hay estudios que identifican a los hombres como más competentes en Matemáticas y a las
mujeres como más competentes en Lengua, pero esto no siempre es así, ¿hay diferencias significativas
en los resultados de las asignaturas de Matemáticas por género?
H5. Muchos alumnos no se presentan a un examen y los que lo hacen puede ser en su primera,
segunda, tercera, cuarta y hasta quinta convocatoria. ¿Hay diferencias significativas entre los
resultados según las convocatorias?
4. Método
4.1. Muestra
La forman 1176 alumnos matriculados en la Facultad de Educación de la Universidad de
Murcia en las dos asignaturas de la materia Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas, 655
corresponden a 2.º y 521 a 3.º, de los que 329 son hombres y 847 son mujeres. De los 1176 alumnos, 674 pertenecen al turno de mañana y 502 al turno de tarde. Los alumnos se reparten en ocho grupos en
2.º curso y siete en 3.º.
4.2. Instrumento
Actas de las asignaturas de Matemáticas y su didáctica I y Matemáticas y su didáctica II correspondientes a la convocatoria de junio del curso 2012/13, que han sido tratadas con el paquete
estadístico Systat 13.
5. Resultados
5.1. Correspondientes a toda la muestra
Los resultados correspondientes a toda la muestra, con porcentajes y estadísticos, se presentan
en las tablas de la 1 a la 4.
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Muestra
Alumnos Porcentajes Estadísticos
Matr. Pres. Apr. Pres. T. E. T. R. Media D. T.
Segundo 655 446 297 68,1 66,6 45,3 5,157 2,072
Tercero 521 410 273 78,7 66,6 52,4 5,276 1,943
Mañana 674 470 312 69,7 66,6 46,3 5,190 2,148
Tarde 502 386 258 76,9 66,8 51,4 5,242 1,832
Hombre 329 222 154 67,5 69,4 46,8 5,228 1,809
Mujer 847 634 416 74,9 65,6 49,1 5,209 2,050
Total 1176 856 570 72,8 66,6 48,5 5,214 2,011
Tabla 1. Alumnos matriculados, presentados y aprobados
No hay diferencias significativas entre cursos (p = .338) al aplicar la t-Student.
No hay diferencias significativas por turno (p = .704) al aplicar la t-Student.
No hay diferencias significativas por género (p = .902) al aplicar la t-Student.
Calificaciones por curso, turno y género
2.º 3.º Mañ. Tar. Hom. Muj. Total
0 – 5 149 137 158 128 68 218 286
5 – 7 207 187 206 188 113 281 394
7 – 9 77 81 93 65 38 120 158
9 – 10 13 5 13 5 3 15 18
Total 446 410 470 386 222 634 856
Tabla 2. Calificaciones por curso, grupo y género
Porcentajes por curso, turno y género
2.º 3.º Mañ. Tar. Hom. Muj. Total
0 – 5 33,4 33,4 33,6 33,2 30,6 34,4 33,4
5 – 7 46,4 45,6 44,3 48,7 50,9 44,3 46,0
7 – 9 17,3 19,8 19,8 16,8 17,1 18,9 18,5
9 – 10 2,9 1,2 2,8 1,3 1,4 2,4 2,1
Total 100 100 100 100 100 100 100
Tabla 3. Porcentajes por curso, grupo y género
El porcentaje de suspensos en todos los casos supera el 30 %.
No llega al 3 % el porcentaje de sobresalientes.
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Muestra por convocatoria
1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª Total
N 769 22 39 23 3 856
Media 5,404 3,236 3,377 3,965 4,300 5,214
D. T. 1,922 2,169 2,145 1,559 2,166 2,011
Aprob. 537 9 13 9 2 570
% Aprob. 69,8 40,9 33,3 39,1 66,7 66,6
Tabla 4. Porcentajes y medias por número de convocatorias
Del total de alumnos aprobados, el 94,2 % lo obtiene en la primera convocatoria.
Hay diferencias significativas (F = 19,036) a favor de la primera convocatoria (p = .000).
De los alumnos presentados aprueban dos de cada tres.
5.2. Correspondientes a segundo curso
Se presentan en las tablas de 5 a 9 porcentajes y medias por grupo de 2.º (en amarillo los más
altos y en negrita los más bajos) y la Figura 1 con las medias e intervalos cuartílicos de cada grupo.
2.º Curso por grupo
Grupo 21 22 23 24 25 26 27 28 Total
Present. 38 70 66 59 70 52 66 25 446
Aprobad. 29 43 60 28 58 38 32 10 297
% Pres. 64,4 75,3 72,5 50,9 70,0 63,4 77,6 86,2 68,1
T. Éxito 76,3 61,4 90,9 47,5 82,9 73,1 48,5 40,0 66,6
T. Rend. 49,2 46,2 65,9 24,1 58,0 46,3 37,6 34,5 45,3
Media 5,503 4,804 6,168 4,020 5,914 4,823 4,806 5,128 5,157
D. T. 1,782 2,258 1,560 2,524 1,744 1,837 1,874 1,955 2,072
Matricul. 59 93 91 116 100 82 85 29 655
Tabla 5. Alumnos de 2.º matriculados, presentados y aprobados por grupo
El grupo 28 (bilingüe) tiene menos alumnos, mayor porcentaje de presentados y menor
porcentaje de aprobados.
El grupo 23 tiene el porcentaje más alto de aprobados (TE), el porcentaje más alto de
aprobados por alumnos matriculados (TR) y la nota media más alta con 6,168.
El grupo 24 tiene el porcentaje más bajo de alumnos presentados, la media más baja (4,020)
y el porcentaje más bajo de aprobados por alumnos matriculados (TR).
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Figura 1. Medias e intervalos intercuartílicos
En el análisis de la varianza (F=7,773) hay diferencias significativas entre grupos (p = .000).
2.º Curso por grupo y género
21 22 23 24 25 26 27 28 Total
N1 9 16 17 13 17 14 23 5 114
Hombre 5,489 4,269 5,959 4,169 5,476 4,414 5,126 5,880 5,047
N2 29 54 49 46 53 38 43 20 332
Mujer 5,507 4,963 6,241 3,978 6,055 6,055 4,635 4,940 5,194
p-valor .979 .283 .525 .812 .237 .335 .314 .347 .514
Tabla 6. Alumnos de 2.º por grupo y género
No hay diferencias significativas en cada grupo de 2.º atendiendo a género.
Las calificaciones más próximas entre alumnos y alumnas es en el grupo 21 (p = .979).
2.º Curso por turno y género
Mañ. Tar. Hom. Muj. Total
0 – 5 34,5 31,9 34,2 33,1 33,4
5 – 7 42,6 51,6 48,2 45,8 46,4
7 – 9 19,4 14,4 15,8 17,8 17,3
9 – 10 3,5 2,1 1,8 3,3 2,9
Total 100 100 100 100 100
N 258 188 114 332 446
Media 5,108 5,223 5,047 5,194 5,157
D. T. 2,201 1,883 2,059 2,078 2,072
p-valor .562 .514 t-St.
Tabla7. Porcentajes y medias por turno y género
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No hay diferencias significativas (p = .562) por turno.
No hay diferencias significativas (p = .514) por género
Suspenden más hombres que mujeres y más por la mañana que por la tarde.
2.º Curso por convocatoria
1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª Total
N 393 14 20 16 3 446
Media 5,363 3,057 3,755 3,850 4,300 5,157
D. T. 2,001 2,080 2,061 1,777 2,166 2,072
Aprob. 276 5 8 6 2 297
% Aprob. 70,2 35,7 40,0 37,5 66,7 66,6
Tabla 8. Porcentajes y medias por número de convocatorias
En el análisis de la varianza (F = 9,206) hay diferencias significativas (p = .000) a favor de la
primera convocatoria.
El porcentaje más alto de aprobados se obtiene en la primera convocatoria.
2.º Curso medias por turno y género
Hombre Mujer Total
Mañana 5,043 (60) 5,128 (198) 5,108 (258)
Tarde 5,052 (54) 5,293 (134) 5,223 (188)
% Aprob. 5,047 (114) 5,194 (332) 5,157 (446)
Tabla 9. Medias por turno y género
Mejor puntuación mujer-tarde y peor puntuación hombre-mañana.
En los cuatro casos la media es superior a 5.
5.3. Correspondientes a tercer curso
Se presentan en las tablas de 10 a 14 los porcentajes y medias por grupo de 3.º y la Figura 2 con las
medias e intervalos cuartílicos de cada grupo.
3.er
Curso por grupo
Grupo 31 32 33 34 35 36 37 Total
Present. 52 56 47 57 72 75 51 410
Aprobad. 33 42 20 48 52 43 35 273
% Pres. 73,2 80,0 70,1 73,1 86,7 82,4 83,6 78,7
T. Éxito 63,5 75,0 42,6 84,2 72,2 57,3 68,6 66,6
T. Rend. 45,1 60,0 29,9 61,5 62,7 47,3 57,4 52,4
Media 5,181 6,096 3,704 5,904 6,101 4,624 5,010 5,276
D. T. 1,944 1,703 2,108 1,801 1,639 1,875 1,365 1,943
Matricul. 71 70 67 78 83 91 61 521
Tabla 10. Alumnos de 3.º matriculados, presentados y aprobados por grupo
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El grupo 34 tiene el porcentaje más alto de aprobados (TE).
El grupo 35 tiene el porcentaje más alto de presentados, el más alto de aprobados por
alumnos matriculados y la media más alta (6,101).
El grupo 33 tiene la media más baja de alumnos presentados, la más baja de aprobados y la
media más baja.
Figura 2. Medias e intervalos intercuartílicos
En el análisis de la varianza (F=13,684) hay diferencias significativas entre grupos (p= .000).
3.er
Curso por grupo y género
Grupo 31 32 33 34 35 36 37 Total
N1 22 10 11 14 14 29 8 108
Hombre 5,550 6,750 4,555 5,464 6,243 4,800 5,300 5,419
N2 30 46 36 43 58 46 43 302
Mujer 4,910 5,954 3,444 6,047 6,067 4,513 4,956 5,225
p-valor .245 .183 .128 ,298 .722 .522 .518 .374
Tabla 11. Medias alumnos de 3.º por grupo y género
No hay diferencias significativas en cada grupo de 3.º atendiendo a género.
Las calificaciones más próximas entre alumnos y alumnas es el grupo 35 (p = .722).
3.er
Curso por turno y género
Mañ. Tar. Hom. Muj. Total
0 – 5 32,5 29,3 26,9 35,8 33,4
5 – 7 45,3 46,0 53,7 42,7 45,6
7 – 9 20,3 19,2 18,5 20,2 19,8
9 – 10 1,9 0,5 0,9 1,3 1,2
Total 100 100 100 100 100
N 212 198 108 302 410
Media 5,290 5,261 5,419 5,225 5,276
D. T. 2,083 1,786 1,703 2,022 1,943
p-valor .880 .374 t-St
Tabla12. Porcentajes y medias por turno y género
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No hay diferencias significativas (p = .880) por turno.
No hay diferencias significativas (p = .374) por género.
Suspenden más mujeres que hombres y más alumnos por la mañana que por la tarde.
3.er
Curso por convocatoria
1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª Total
N 376 8 19 7 -- 410
Media 5,448 3,550 2,979 4,229 -- 5,276
D. T. 1,837 2,428 0,950 2,214 -- 1,943
Aprob. 261 4 5 3 -- 273
% Aprob. 69,4 50,0 26,3 42,9 -- 66,6
Tabla 13. Porcentajes y medias por número de convocatorias
Del total de alumnos aprobados, el 95,6 % lo obtiene en la primera convocatoria.
En el análisis de la varianza (F = 9,206) hay diferencias significativas (p = .000) a favor de la
primera convocatoria.
El porcentaje más alto de aprobados se obtiene en la primera convocatoria.
3.er
Curso medias por turno y género
Hombre Mujer Total
Mañana 5,547 (57) 5,195 (155) 5,290 (212)
Tarde 5,275 (51) 5,256 (147) 5,261 (198)
% Aprob. 5,419 (108) 5,225 (302) 5,276 (410)
Tabla 14. Medias por turno y género
Mejor puntuación hombre-mañana y peor puntuación mujer-mañana
En los cuatro casos la media es superior a 5.
6. Discusión
A la vista de los resultados obtenidos la tasa de éxito (aprobados/presentados) es del 66,6 %,
tanto en 2.º como e 3.º lo que indica que dos de cada tres alumnos presentados aprueban la asignatura,
si bien la tasa de rendimiento (aprobados/matriculados) en 2.º no supera el 50 %. La media de 3.º es superior a la de 2.º, pero no resulta una diferencia significativa. Todo ello responde a la primera
hipótesis para poder afirmar que entre los resultados de 2.º y de 3.º no existe una diferencia
significativa.
Para contestar a la segunda hipótesis planteada, es mayor el porcentaje de alumnos que se
presentan en los grupos del turno de tarde, tienen mayor tasa de éxito y mayor tasa de rendimiento y una media superior en cinco centésimas a los grupos del turno de mañana. Aplicada una t-Student se
obtiene que en 2.º curso la diferencia de medias no es significativa (p = .562) y que tampoco lo es en
3.º (p = .514), aunque sean superiores las notas en los grupos de por la tarde respecto a los de la mañana. El que un alumno esté en un grupo de mañana o de tarde y que los profesores que lo evalúan
sean funcionarios de carrera universitarios o no lo sean no queda reflejado en las calificaciones
obtenidas por los alumnos.
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67 Sociedad Canaria Isaac Newton
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Si nos atenemos a los grupos hay profesores más/menos exigentes y grupos más/menos
preparados, además de que los contenidos pueden ser desarrollados con distinta metodología. En 2.º curso la tasa de éxito varía entre el 40 % y el 91 %, lo que indica lo anteriormente expresado; más de
50 puntos de diferencia es un factor importante a considerar por el coordinador de la asignatura. Si se
considera la tasa de rendimiento, varía del 24 % al 66 % con una variación de 42 puntos. Es importante indicar que de los ocho grupos de 2.º curso en cuatro la nota media es inferior a 5 puntos.
Efectuado un análisis de la varianza y realizado un gráfico por grupos se obtiene diferencias
significativas (p = .000) entre los grupos con la media más alta y más baja en dos grupos del turno de
mañana.
En 3.º la tasa de éxito tiene una diferencia de 42 puntos entre los grupos más extremados y una tasa de rendimiento de 33 puntos, siendo dos los grupos cuya media no llega a aprobado, uno de cada
turno. Las diferencias entre grupos en 3.º son significativas (p = .000) en el análisis de la varianza
efectuado, contestando así a la tercera hipótesis. Considerando los datos de las tres convocatorias del curso 2012/2013 (Facultad de Educación, 2015) tanto la tasa de éxito (TE) como la tasa de
rendimiento (TR) son más altas, siendo reflejados en la tabla 15.
Asignatura T. Éxito T. Rendim.
Matemáticas y su didáctica I 77,59 % 65,98 %
Matemáticas y su didáctica II 82,95 % 72,96 %
Grado Maestro Primaria U. Murcia 90,21 % 94,89 %
Tabla 15. Tasa de Éxito (TE) y Tasa de Rendimiento (TR)
El cuarto objetivo del estudio era conocer si resultaban diferencias significativas por género. De
los 1176 alumnos de la muestra, el 28 % son hombres y el 72 % mujeres, cuya media de calificaciones
solo se diferencia en dos centésimas a favor de hombres, pero si se especifica por curso, en 2.º las
mujeres obtienen mejor nota que los hombres (15 centésimas) y en 3.º son los hombres los que obtienen mejor nota que las mujeres (19 centésimas). En ninguno de los dos casos las diferencias son
significativas (p = .514 en 2.º y p = .374 en 3.º). La respuesta a la cuarta hipótesis, por tanto, es que
no existen diferencias significativas en las calificaciones de las dos asignaturas por género.
La quinta hipótesis planteaba conocer si hay diferencias significativas entre los resultados según las convocatorias. Del análisis de las actas, de los 570 alumnos aprobados, el 94 % lo hace en la
primera convocatoria y el 6 % en las restantes convocatorias. En 2.º es del 93 % frente al 7 % y en 3.º
del 96 % frente al 4 %. Aplicado un Análisis de la varianza las diferencias resultan significativas
siempre a favor de la primera convocatoria.
7. Conclusiones
De las calificaciones otorgadas por los profesores de 2.º curso son las mujeres del turno de tarde
las que obtiene mejores resultados y los hombres del turno de mañana los peores. En 3.º son las medias de los hombres del turno de mañana las más altas y la de las mujeres del turno de mañana las
más bajas. ¿Se puede decir que los alumnos al finalizar estas dos asignaturas tienen adquiridas las
competencias de las Guías docentes?
Según los resultados de la tasa de éxito, tanto en segundo como en tercero, dos de cada tres
alumnos que se presentan las tiene adquiridas, pero la tasa de rendimiento nos dice que solo uno de cada dos alumnos matriculados las consigue, por lo que no se puede estar satisfecho de estos
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68 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
resultados y que la formación matemática de los maestros resulta deficitaria ya que como indican
(García, Buforn y Torregrosa, 2014) un ámbito de reflexión en la formación de maestros se centra en determinar características de lo que debe conocer un maestro para poder desempeñar adecuadamente
la tarea de enseñar Matemáticas.
La tasas de éxito y de rendimiento del Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de
Murcia se sitúan por encima del 90 %, por lo que los resultados tanto en Matemáticas y su didáctica de la convocatoria de junio desarrollada en este trabajo como los resultados de todo el curso académico la
diferencia en más de 20 puntos es debido en parte a la escasez de conocimientos con que llegan los
alumnos al Grado de Maestro de Primaria que dificulta enormemente el desarrollo completo de las
asignaturas porque los contenidos de Matemática elemental que deben conocer no los conocen y a que lo aprendido en la enseñanza obligatoria no lo han mantenido. Se suele decir que la matemática
elemental es la más difícil de adquirir y estos resultados lo corroboran.
El conocimiento previo de los alumnos condiciona su aprendizaje como maestros y como dice
Montes, Contreras, Liñan, Climent y Carrillo (2015) “una posibilidad de conseguir un mayor nivel de conocimiento matemático es la realización de pruebas específicas para el acceso a esta formación” (p.
59). Esta afirmación fue adelantada por Lacasa y Rodríguez (2013) en el Informe Español del estudio
TEDS “si queremos tener maestros más capaces didácticamente en la materia que nos ocupa,
deberíamos seleccionarlos bastante más entre los estudiantes de Secundaria superior que más dominan dicha materia (p. 84). En ambas citas se propone una selección más rigurosa de los candidatos a las
carreras de Maestros y el estudio realizado lo confirma, ya que la falta de conocimiento de la
matemática elemental hace que los contenidos de Didáctica de las Matemáticas no sean lo profundos
que debieran.
El que no haya diferencias en los resultados por género, que no los haya entre 2.º y 3.º y el que
no los haya entre el turno de mañana y tarde es un factor importante a favor del profesorado en el
seguimiento de la Guía Docente, pero la baja tasa de rendimiento coloca al alumnado del Grado de
Maestro de Primaria en una situación preocupante como futuros maestros en ejercicio.
Bibliografía
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diciembre de 2007, por el que se establecen las condiciones a las que deberán adecuarse los
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
planes de estudios conducentes a la obtención de títulos que habiliten para el ejercicio de las
profesiones reguladas de Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas. BOE, n.º 305 de 21/12/2007, pp. 52846-52847.
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Villalonga, P., González, S. y Nercau, S. (2011). Coherencia entre criterios de evaluación y prácticas
evaluativas de matemática. Revista Números, 78, 95-112.
Rosa Nortes Martínez-Artero. Profesora de la Facultad de Educación de Universidad de Murcia.
Pertenece al Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de investigación
relacionadas con la formación inicial de maestros. Últimas publicaciones “Las correcciones en
Matemáticas en las PAU” (Educatio siglo XXI, 33.3), “Valoración y calidad en el Grado de Maestro de
Primaria” (Edetania, 48) y “Resolución de problemas, errores y dificultades en el Grado de Maestro de
Primaria” (Revista de Investigación Educativa, 34.1).
Andrés Nortes Checa. Profesor de la Facultad de Educación de Universidad de Murcia. Pertenece al Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de investigación relacionadas
con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
La evaluación en Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
70 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
ANEXO: Materia Enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas
Competencias
CM1. Adquirir competencias matemáticas básicas (numéricas, cálculo, geométricas, representaciones espaciales, estimación y medida, organización e interpretación de la información) que permita realizar
la función docente con seguridad.
CM2. Conocer el currículo escolar de Matemáticas, reflexionando sobre el proceso de enseñanza-
aprendizaje, organización del aula, atención a la diversidad, interdisciplinariedad…
CM3. Desarrollar y evaluar contenidos del currículo mediante recursos didácticos (programas informáticos generales y matemáticos, tecnología de la información y de la comunicación y materiales
didácticos) para manejar el proceso de enseñanza-aprendizaje.
CM4. Analizar, razonar y comunicar propuestas matemáticas.
CM5. Plantear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana.
CM6. Valorar la relación entre Matemáticas y Ciencias como uno de los pilares del pensamiento
científico.
Contenidos
Segundo Tercero
1. Currículo de Matemáticas en la Educación Primaria.
Resolución de problemas.
2. Sistemas de numeración. Números naturales. Operaciones.
Divisibilidad. Materiales y recursos didácticos. Dificultades
y errores.
3. Medida, estimación y cálculo de magnitudes (longitud,
masa, superficie, tiempo...). Materiales y recursos didácticos.
Dificultades y errores.
4. Conceptos geométricos fundamentales. Estudio de figuras
en el plano. Áreas. Materiales y recursos didácticos.
Dificultades y errores.
5. Transformaciones isométricas en el plano. Frisos.
Materiales y recursos didácticos. Dificultades y errores.
6. Organización y representación de la información.
Materiales y recursos didácticos. Dificultades y errores.
1. Currículo de Matemáticas en la Educación Primaria.
Estrategias y modelos de resolución de problemas.
2. Números enteros, racionales e irracionales. Materiales y
recursos didácticos.
3. Proporcionalidad aritmética y geométrica. Porcentajes. Escalas. Materiales y recursos didácticos.
4. Medida, estimación y cálculo de magnitudes (capacidad y
volumen). Materiales y recursos didácticos.
5. Orientación y representación en el espacio. Cuerpos
geométricos. Áreas y volúmenes. Materiales y recursos.
6. Probabilidad. Materiales y recursos didácticos.
Evaluación
Para aprobar la asignatura el alumno deberá aprobar la parte de exámenes y la de los trabajos
correspondientes a las actividades prácticas, y la nota final se calcula mediante la suma del 80 % de la calificación del examen con el 20 % de la nota de los trabajos correspondientes a las actividades
prácticas. Las asignaturas Matemáticas y su didáctica I de 2.º y Matemáticas y su didáctica II de 3.º
son incompatibles.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 71-92
Concepciones de Profesores de Matemáticas sobre la Evaluación y las Competencias
Crisólogo Dolores Flores, Javier García-García
(Universidad Autónoma de Guerrero. México)
Fecha de recepción: 29 de junio de 2015
Fecha de aceptación: 20 de mayo de 2016
Resumen En este artículo se reportan los resultados de una investigación cuyo objetivo es explorar
las concepciones de profesores de matemáticas de bachillerato acerca de la evaluación y las competencias. Para lograrlo se aplicó una entrevista a los profesores del bachillerato,
donde se les preguntó acerca de: finalidades y objeto de la evaluación, conceptualización
de competencias, implicaciones del enfoque por competencias y percepción de las
necesidades de orientación y capacitación. En los resultados, identificamos concepciones
de la evaluación como medición de los conocimientos alcanzados, de las competencias
como el conjunto de habilidades y actitudes, que con las competencias habrá mejoría en
la enseñanza y aprendizaje de la matemática y manifiestan necesidad de capacitación
especializada en esta asignatura.
Palabras clave Concepciones sobre Evaluación, Competencias, Profesores de Matemáticas,
Preuniversitario.
Title Conceptions of Mathematics Teachers on Assessment and Competences
Abstract This article presents the results of a research, which aims to explore the conceptions of
high school mathematics teachers about the assessment and competences. To achieve that
we applied an interview to teachers of high school, where they were asked about: purpose and object of the evaluation, conceptualization of competences, implications of the
competency-based approach and perception of orientation and training needs. Among the
results we identify conceptions of assessment like measure the knowledge gained, the
competencies as a set of skills and attitudes, with the competences will be improved
teaching and learning of mathematics and manifest necessity is specialized training in
this subject.
Keywords Conceptions about Assessment, Competences, Mathematics Teachers, High School.
1. Introducción
Desde 2008, en México se han hecho los más recientes esfuerzos por transformar la educación
preuniversitaria y mejorar su calidad. Para ello se propuso y está en curso la Reforma Integral de la
Educación Media Superior (SEP, SEMS, 2008). Como parte de esta reforma se han marcado nuevos lineamientos sobre la evaluación, ahora se recomienda emplear la evaluación basada en competencias
y se reconoce que esta requiere de procesos de evaluación alternativos diferentes de los tradicionales.
La enseñanza de la matemática, por supuesto, no escapa a estos lineamientos. Para la Educación
Básica se sugiere como uno de los principios pedagógicos: evaluar para aprender (SEP, 2011, p. 31) a diferencia de la evaluación tradicional sólo centrada en los resultados. En el bachillerato también se
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recomienda una evaluación cuyo objetivo es la mejora del aprendizaje. Se plantea a través de cuatro
procesos: obtención de información acerca del alcance de las metas; la planificación del impacto de un objeto determinado; la toma de decisiones y la solución de problemas promoviendo la comprensión de
los fenómenos implicados (SEP, SEMS, DGB, 2011, p. 34). En virtud de que la educación ahora está
basada en las competencias, el tipo de evaluación alternativa que se propone es la evaluación auténtica. Esta exige que los estudiantes utilicen sus conocimientos previos y el aprendizaje reciente,
en conjunción con estrategias y habilidades, para que desarrollen actividades significativas (SEP,
SEMS, DGB, 2011, p. 41). Este es un nuevo escenario, en cuanto a evaluación se refiere, derivado de
las reformas educativas actuales, pero ¿qué ocurre con las ideas o concepciones del profesor ante este
nuevo escenario? Mediante este trabajo pretendemos encontrar las respuestas.
El estudio de las concepciones y creencias del profesor es actualmente de creciente interés porque
se ha probado que tienen incidencia en su práctica. Existen evidencias de que las concepciones de los
profesores sobre varios aspectos del proceso educativo (por ejemplo, la enseñanza, el aprendizaje y los planes de estudio) influyen fuertemente en la forma de cómo ellos enseñan y en la forma de cómo sus
estudiantes aprenden (Clark y Peterson, 1986; Thompson, 1992; Calderhead, 1996). En concreto, las
creencias de los profesores sobre sus alumnos, el aprendizaje, la enseñanza y las asignaturas, influyen en
las técnicas y prácticas de evaluación (Cizek, Fitzgerald, Shawn, y Rachor, 1995; Kahn, 2000; Tittle, 1994). Esto es consistente con el modelo de Ajzen (2005) sobre el comportamiento planeado o razonado,
lo que sugiere que las intenciones de los profesores, las creencias sobre lo que otros piensan, y la
sensación de poder cumplir con sus intenciones determinan su comportamiento dentro de los entornos escolares. Conocer las concepciones de los profesores puede, por tanto, dar una idea acerca de cómo
realizan su práctica docente y dar indicios de la calidad de los resultados que obtienen.
Esta investigación tiene aspiraciones limitadas. Se propone como objetivo explorar las
concepciones que acerca de la evaluación y las competencias tienen los profesores de matemáticas de
una escuela educación media superior1 en particular. En este sentido es un estudio de casos, o, mejor
dicho, de un caso particular referido a una escuela específica. Por lo que no tiene aspiraciones de hacer
generalizaciones acerca de lo que piensan los profesores mexicanos al respecto, ya que no se trata de
un trabajo de corte estadístico. Sus resultados pueden dar indicios acerca de lo que está sucediendo con los procesos de reforma en relación a lo que piensan los profesores en uno de los estados del país
donde más inconformidad ha habido (y sigue habiendo) sobre la evaluación oficial.
2. Antecedentes
Pocos son los trabajos de investigación en que se estudian concepciones y creencias sobre la evaluación en profesores de matemáticas. Giménez et al (1997) encontraron varios tipos de ideas
predominantes en profesores: se evalúa para controlar, los evaluadores deben ser internos al aula, hay
que utilizar instrumentos usuales para evaluar, en matemáticas es prioritario evaluar el conocimiento y las capacidades, las dificultades de la evaluación son debidas al evaluado, el profesor se valora por su
profesionalidad. Buendía et al (1999) encontraron en profesores de secundaria (incluidos profesores de
matemáticas) que en sus concepciones sobre el qué evaluar está en primer lugar el conocimiento seguido de habilidades, actitudes, valores, procedimientos, etc. y que es necesario el examen o prueba
escrita para evaluar el aprendizaje. En el mismo sentido Gil, Rico y Fernández (2002) encontraron
concepciones tales que: no destacan la valoración de los conocimientos de los alumnos, la finalidad de
la evaluación es tomar decisiones y controlar el proceso, las actitudes y la conducta de los alumnos y
el trabajo de los profesores no son importantes para su evaluación.
1 En México comprende los grados: 10, 11 y 12 de escolaridad, se le conoce con las denominaciones de bachillerato,
preparatoria o vocacional, tiene lugar previo la universidad, en este nivel asisten estudiantes de entre 15 y 18 años de edad.
Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las Competencias C. Dolores Flores; J. García−García
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Actualmente el estudio de las concepciones sobre evaluación ha ampliado su campo, de las
funciones pedagógicas a las funciones sociales planteadas por Sanmartí (2007). Las primeras enfatizan en la regulación del proceso de enseñanza-aprendizaje y las segundas en la acreditación. En esta
dirección, Coll y Remesal (2009) describen cinco tipos de concepciones: pedagógica pura, pedagógica
mixta, mixta indefinida, social mixta y social pura. Sus resultados indican la tensión intrínseca entre la confluencia de las funciones pedagógicas y sociales. En un trabajo reciente Barnes, Fives y Dacey
(2015) al revisar las publicaciones sobre el tema arriban a tres conclusiones. Primero, las creencias
sobre la evaluación de los profesores son moldeadas por las políticas y prácticas, así como las
prioridades sociales y culturales en una sociedad (Segers y Tillema, 2011; Brown, Lake y Matters, 2011). Segundo, la distinción entre concepción y creencia puede dar lugar a ambigüedades, cuando se
pregunta a los profesores sobre la finalidad de la evaluación como una concepción, las respuestas
obtenidas pueden ser un reflejo de su perspectiva como del conocimiento (lo que la evaluación es en su contexto) en lugar de una creencia (lo que la evaluación debe ser). Tercero, las prácticas de
evaluación tienen el poder de mejorar el aprendizaje y la práctica democrática o se puede utilizar para
castigar y controlar a los alumnos, maestros y escuelas.
3. Marco conceptual
Este trabajo se fundamenta en tres conceptos esenciales: las concepciones, la evaluación y las
competencias. Las concepciones son ideas, opiniones o juicios que forman parte del pensamiento. Son
una estructura mental general que abarca creencias, significados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias y similares (Thompson, 1992:130). Una concepción es un punto de
partida inclusivo que toma en cuenta las formas de conocer, las creencias de los profesores, actitudes,
perspectivas, valores y otras construcciones posibles que ellos estimen útiles para describir sus
prácticas en el aula (Leong, 2014). El pensamiento del profesor incluye las concepciones y creencias, sin embargo, hay diferencias entre ellas, mientras que las creencias son consideradas como: "verdades"
personales incontrovertibles (Nespor, 1987) las concepciones son marcos organizativos que soportan
los conceptos, tienen naturaleza esencialmente cognitiva (Ponte, 1994) y reflejan ideas consensadas en un contexto determinado. Una concepción es el reflejo de la perspectiva del profesor como
conocimiento, lo que la evaluación es en su contexto, por ejemplo, y una creencia es lo que lo que la
evaluación debe ser (Barnes, Fives y Dacey, 2015). En este trabajo no hacemos tal distinción. Usamos el término concepción en un sentido inclusivo para capturar todas las ideas de los profesores acerca de
la naturaleza de la evaluación y las competencias, sus implicaciones en la enseñanza y aprendizaje de
la matemática y su percepción sobre las necesidades de capacitación.
La concepción de evaluación está estrechamente ligada a la concepción de enseñanza y
aprendizaje (e-a). Los retos de la sociedad actual han propiciado el surgimiento de varias propuestas para entender la evaluación y mejorar la e-a. La concepción constructivista de la e-a escolar, la
perspectiva de la enseñanza situada y la evaluación auténtica constituyen algunas de las principales
tendencias actuales a las cuales se adhiere y fundamenta el presente trabajo. Desde la perspectiva socio constructivista, se entiende por aprendizaje como el proceso activo de construcción de conocimientos
por parte del alumno, la enseñanza como un proceso sostenido en el tiempo de guía y ayuda del
profesor al aprendizaje del alumno, y la evaluación como el medio que permite constatar el logro de
las competencias y saberes alcanzados por el alumno como consecuencia de su participación en las actividades de enseñanza y aprendizaje (Coll, 2001; Coll, Barberá y Onrubia, 2000). Por tanto, en este
modelo la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación se asumen como procesos que guardan entre sí
una estrecha coherencia. En la perspectiva situada se entiende que todo conocimiento ocurre en un contexto y situación determinada, y es el resultado de la actividad de la persona que aprende en
interacción con otras en el marco de las prácticas sociales que promueve una comunidad determinada
(Cumming y Maxwell, 1999; Díaz-Barriga, 2006).
Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las Competencias C. Dolores Flores; J. García-García
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Las concepciones de competencias en la bibliografía especializada son amplias y variadas, sin
embargo, la mayoría de autores coinciden en definirlas de acuerdo a dos de sus características esenciales, la de sus componentes y la de su utilización en la solución de problemas y situaciones.
Perrenoud (2004) por ejemplo plantea que son síntesis combinatorias, por un lado, de procesos
cognitivos, saberes, habilidades, conductas en la acción y actitudes, y por otro, afirma que mediante ellas se logra solución innovadora a los diversos problemas que plantea la vida humana y las
organizaciones productivas. Del mismo modo la Comisión Europea (2004) las caracteriza, primero
mediante la conjunción de sus componentes, diciendo: que son el conjunto de conocimientos,
destrezas y actitudes, y segundo afirmando que todos los individuos las necesitan para su realización y desarrollo personal, inclusión y empleo. De la Orden (2011) sintetiza esas dos características
definiéndolas como, un conjunto integrado de conocimientos, destrezas y actitudes y, como
desempeño exitoso de una función o un rol. Asumimos en este trabajo esta definición de competencia cifrada en dos de sus características, porque reflejan muy bien su naturaleza y sus fines en el contexto
educativo.
4. Método
Este trabajo es de corte exploratorio y descriptivo (Hernández, Fernández y Baptista, 2006). Adopta como método de investigación el estudio de casos (Stake, 2005) porque solo considera a los
profesores de matemáticas de una escuela del Nivel Medio Superior ubicado en el sur de México.
Participaron ocho profesores de matemáticas que tienen una antigüedad promedio de 20 años de experiencia docente: cinco son ingenieros civiles, dos contadores públicos y uno profesor de
matemáticas de carrera. Dos de los participantes ya fueron certificados a través del Programa de
Formación Docente de Educación Media Superior (PROFORDEMS2). Todos trabajan en una escuela
de Nivel Medio Superior que imparte bachillerato con orientación tecnológica con modalidad bivalente. Esto significa que los estudiantes cursan el bachillerato y al mismo tiempo una carrera de
técnico, lo primero los prepara para estudiar una carrera profesional del nivel superior, y lo segundo
los prepara para incorporarse al campo laboral si lo prefieren.
Para la colecta de datos se diseñó una entrevista semiestructurada. Esta se elaboró sobre la base metodológica ideada por GRINTIE
3; en particular se consideró el enfoque evaluativo docente sugerido
por Coll et al (2000) que designa el conjunto de concepciones, ideas, creencias y pensamientos del
profesor sobre la naturaleza y funciones de la evaluación, el proceso de e-a en general y su relación
con la evaluación, y el proceso de e-a y evaluación de las competencias. Las preguntas de la entrevista se agruparon en cuatro grupos (Tabla 1). El primero se refiere al concepto de evaluación, objeto,
objetivo, participantes, instrumentos y actividades. El segundo se refiere al concepto de competencia y
a las competencias matemáticas. El tercero se refiere a las implicaciones del enfoque por competencias en la e-a de la matemática. El cuarto está dedicado a explorar la percepción de las necesidades de
capacitación ante la implementación del nuevo currículo implantado por la reforma en curso.
2 Programa dirigido a profesores de instituciones públicas y privadas. Tiene como objetivo formar a los docentes de
Educación Media Superior para contribuir al alcance del perfil docente, establecido en la Reforma Integral de Educación Media Superior. Ofrece una Especialidad en Competencias Docentes y un Diplomado en Competencias Docentes en el Nivel Medio Superior. 3 Grupo de Investigación en Interacción e Influencia Educativa. www.psyed.edu.es/grintie
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Acerca de la evaluación y las competencias
1. Finalidades,
participantes,
instrumentos.
2. Competencia y
competencias
matemáticas.
3. Implicaciones de las
competencias para la e-a
de la matemática.
4. Percepción de las
necesidades de
capacitación.
P1 ¿Qué considera usted es la evaluación?
P2 ¿Cuál cree que es el
objeto de la evaluación?
P3 ¿Cuál cree que es el
objetivo de la evaluación?
P1 ¿Qué son para usted las
competencias?
P1 ¿Cree que el enfoque por competencias es el adecuado
para la e-a de la matemática?
P2 ¿Qué diferencias hay
entre la evaluación por
competencias y la anterior?
P1 ¿Fue capacitado para aplicar el nuevo
currículum de
matemáticas del
bachillerato?
P4 ¿Quiénes cree que
deben participar en la evaluación?
P5 ¿Qué instrumentos
debieran utilizarse para la
evaluación?
P2 ¿Cómo deben
evaluarse las competencias?
P3 ¿Qué implicaciones
tendrá el enfoque por competencias para la e-a de
la matemática?
P2 ¿Fue capacitado para
evaluar el aprendizaje de la matemática sobre la
base de las competencias?
P6 ¿Qué tipo de
actividades deben
utilizarse para la
evaluación?
P7 ¿Qué es para usted una
actividad significativa?
P3 ¿Qué
competencias
considera usted se
deben evaluar en
matemáticas?
P4 ¿Con el enfoque de
competencias cree que los
estudiantes llegarán mejor
preparados a la universidad o
mejor capacitados para
incorporarse al trabajo?
P3 ¿Es necesaria la
orientación y capacitación
para aplicar el nuevo
currículum y la
consiguiente evaluación
por competencias?
Tabla 1. Los cuatro grupos de preguntas contenidas en la entrevista
Las entrevistas cualitativas individuales semiestructuradas fueron llevadas a cabo por los
autores de este artículo. Todas se realizaron en marzo de 2015 en las aulas donde trabajan los
profesores participantes; tuvieron una duración de entre 40 y 60 minutos y fueron video grabadas para su posterior análisis. El análisis realizado fue esencialmente cualitativo y para ello utilizamos el
Análisis de Contenido (Bardin, 2002, p. 87). El objeto de análisis fueron las entrevistas transcritas al
procesador de textos Word de Windws, donde los segmentos específicos del contenido (unidades de registro) fueron las frases, párrafos esenciales que a nuestro juicio contenían las ideas o concepciones
vinculadas al tema de cada pregunta. Estas fueron extraídas de cada una de las entrevistas transcritas y
organizadas en una matriz de Excel de Windows, en donde a las columnas corresponden las preguntas y los renglones a cada profesor. La codificación se realizó sobre la base de la presencia, frecuencia y el
sentido del texto, en relación con el tema específico de cada pregunta. La categorización se llevó a
cabo mediante clasificación por diferenciación de ideas presentes en las frases o párrafos extraídos de
la entrevista, buscando las ideas en común y éstas se organizaron en grupos (o categorías).
5. Análisis y discusión
5.1. Concepto, objeto, objetivo, participantes, instrumentos y actividades
5.1.1. Concepto de evaluación
Sobre el concepto de evaluación identificamos tres grupos de temas (Tabla 2). En el primero,
con mayoría de adherentes se considera que es la medición de los conocimientos adquiridos. En el segundo, como los aprendizajes logrados. En el tercero como la medición de competencias expresadas
en términos de sus componentes. En una última acepción se le asocia con varios elementos: tareas,
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76 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
asistencia, participaciones, examen. En los dos primeros grupos se manifiesta la inclinación por la
evaluación como la medición o producto de lo alcanzado, estas ideas son consistentes con los rasgos de la evaluación tradicional caracterizada por Tobón, Rial, Carretero y García (2006, p. 133): son un
fin en sí mismo, se limita a la constatación de resultados. Hoy día se plantea una concepción de
evaluación que si bien es cierto acepta la medición de las metas alcanzadas, éstas sirven para la toma de decisiones siempre encaminadas a mejorar el aprendizaje, no sólo saber qué y cuanto aprendieron
como se aprecia en las concepciones detectadas.
Grupos ¿Qué considera usted es la evaluación?
Grupo 1
Es el número de conocimientos adquiridos.
Una medición de conocimientos dados y adquiridos.
Es el producto de dos, tres o más sesiones de clase.
Medida de conocimientos respecto del plan.
Medida del alumno para ver si se ha superado, está igual o ha mejorado.
Es la medición del estado inicial y final del ciclo didáctico.
Grupo 2 Aprendizaje que el alumno logra alcanzar durante el curso.
Es el grado de aprendizaje que el alumno tiene.
Grupo 3 Verificación del nivel de conocimientos, habilidades y actitudes que tiene el alumno.
Es medir habilidades, aplicaciones y actitudes.
Es asistencia, participación, tareas, trabajos y examen.
Tabla 2. Frases o temas esenciales en grupos
5.1.2. Objeto de la evaluación
La pregunta sobre el objeto de la evaluación es la que causó mayor inquietud y extrañeza en
varios profesores, dos de ellos dijeron de plano desconocerlo. Empero, en los restantes detectamos dos grupos (Tabla 3): en el primero se dice que son “los temas” o “el plan de estudios” y en el segundo se
refieren a “valorar el proceso de enseñanza-aprendizaje” o simplemente “el grado de aprendizaje”. Se
externaron dos ideas sueltas, una referida al alumno y en otra al “compromiso de evaluar”. La delimitación del objeto de la evaluación es esencial ya que permite centrar y orientar las actividades de
evaluación en tal objeto. De lo contrario el proceso se vuelve anárquico y sin dirección.
Por objeto de evaluación se entiende aquello que se evalúa y la definición del objeto afecta la
selección de los métodos e instrumentos de evaluación. De esta manera se brindan los elementos para reconocer el grado o nivel del objeto evaluado (Isaac y Michael, 1981, p. 2). En la educación basada
en competencias son estas mismas el objeto de la evaluación. Congruente con esta idea la tendencia
actual es hacia la evaluación del conocimiento en uso, no solo valorar el acervo de conocimientos.
Pero las concepciones de los profesores van en este último sentido. Tradicionalmente se ha venido considerando a los aprendizajes como el objeto de la evaluación (Rosales, 2000, p. 30) tal como afloró
en una de las concepciones, pero hoy el aprendizaje está cifrado en el dominio de las competencias,
sin embargo, en los tópicos identificados el objeto está centrado en los temas, refiriéndose a los
contenidos intramatemáticos.
Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las Competencias C. Dolores Flores; J. García−García
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Grupos ¿Cuál cree que es el objeto de la evaluación?
Grupo 1
El orden de los temas que se imparten.
Es el plan de estudios a los que nos sujetamos.
Los temas vistos en clase.
Son los temas que se enseñan.
Grupo 2 Valorar el proceso de enseñanza aprendizaje.
El grado de aprendizaje sobre el manejo de conceptos, procedimientos y procesos.
Es el alumno.
Es el compromiso del maestro para evaluar.
Tabla 3. Frases o temas esenciales en grupos
5.1.3. Objetivo de la evaluación
A juzgar por los tópicos mencionados aquí identificamos dos grupos (Tabla 4). El primero incluye las ideas relacionadas con la medición de los conocimientos o resultado del aprendizaje y, en
el segundo, en torno a la demostración del desarrollo de competencias que también tiene que ver con
el perfil de egreso. En una última acepción se refiere a “saber qué problemas tiene el alumno con el aprendizaje”. Las del Grupo 2 tienen relación con las competencias, que, en efecto, son el objetivo de
la evaluación según lo declaran los planes de estudio, y para lograrlo hay que obtener primero
información sobre el nivel de desempeño de los alumnos y esto implica, entre otras cosas, conocer los
problemas que tiene el estudiante en su aprendizaje, como se señala en la última frase exteriorizada. Empero las inclinaciones acerca del objetivo de evaluación están orientadas hacia la medición de los
resultados de lo aprendido. Hay cuatro modelos evaluativos según el propósito de la evaluación, los
basados en la evaluación de resultados, los orientados a las audiencias implicadas, los enfocados a las decisiones y las basadas en los costos-resultados (Lukas y Santiago, 2014, p. 132). Las concepciones
aquí identificadas tienen similitud con las primeras.
Grupos ¿Cuál cree es el objeto de la evaluación?
Grupo 1
Es ver qué tanto asimiló.
Presentar un resultado de lo aprendido.
Es la medición de lo alcanzado en el curso.
Es la medición del avance del alumno en el conocimiento.
Es que el alumno realmente adquiera conocimiento.
Es la forma en la cual me aseguro de que el estudiante ha obtenido cierto aprendizaje.
Grupo 2 Que el alumno demuestre sus conocimientos, habilidades y actitudes.
Son las competencias del perfil de egreso asentadas en el plan.
Saber los problemas que tiene el alumno con el aprendizaje.
Tabla 4. Frases o temas esenciales en grupos
5.1.4. Participantes en la evaluación
En torno de los participantes en la evaluación identificamos tres grupos de opiniones. En el
primero, quien debe participar es sólo el alumno. En el segundo se considera que quienes deben participar en la evaluación son el profesor y los estudiantes (aunque en una se incluyen otros
profesores). En el tercero, incluyen a los padres de familia y a todo el personal escolar. La tendencia
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actual confiere al estudiante participación activa en su evaluación mediante la autoevaluación y
coevaluación, procesos en los que tiene participación no sólo el profesor, sino de manera importante el estudiante para sí mismo y sus compañeros. En este sentido, Ahumada (2005, p. 41) enfatiza el papel
del propio estudiante, planteando que la evaluación auténtica está interesada en que sea el alumno
quien asuma la responsabilidad de su propio aprendizaje y, por ende, que utilice la evaluación como medio que le permita alcanzar los conocimientos propuestos. Empero los profesores consideran que
tiene primacía, aunque hay quienes sugieren participaciones mucho más amplias que incluyen a los
padres de familia y al personal de la escuela.
Grupos ¿Quiénes cree deben participar en la evaluación?
Grupo 1 El alumno.
Los estudiantes.
Grupo 2
El alumno y el maestro.
El docente y estudiante.
El profesor en primer lugar, pero también el alumno.
El maestro y en un porcentaje menor el alumno.
Principalmente el profesor y el alumno.
El profesor y el alumno, también otros profesores.
Grupo 3 Los padres de familia y todo el personal de la institución.
Todos los trabajadores del plantel.
Tabla 5. Frases o temas esenciales en grupos
5.1.5. Instrumentos de evaluación
El examen es el instrumento de evaluación más citado por los profesores, aunque también lo son
con menor frecuencia, los ejercicios, participaciones y tareas (Tabla 6). No los consideran únicos. Hay
tendencia a utilizar varios, como: exposiciones, cuestionarios, asistencia y tareas. Las tendencias actuales sugieren una amplia gama de instrumentos y técnicas para recoger evidencias de aprendizaje
tales como: mapas semánticos y conceptuales, los organigramas, ideogramas, flujogramas, portafolios,
rúbricas, etc. (Ahumada, 2005). Sin embargo, sólo uno de los profesores hace alusión a la rúbrica.
Hay cierta confusión en las respuestas, un instrumento de evaluación es el medio para recabar
información y registrar datos para emitir una valoración, en cambio los profesores se remiten a los materiales didácticos o actividades que utilizan para evaluar. Las pruebas (o exámenes) impuestas
habitualmente favorecen el punto de vista del profesor, no del aprendizaje, y llevan consigo una
adaptación por parte del alumnado; la evaluación condiciona el proceso de aprendizaje y el alumnado orienta su aprendizaje en función de cómo va a ser evaluado (Castejón, Capllonch, González y López
2009, p. 66). El profesor a través de los instrumentos de evaluación que utiliza impone su concepción
de aprendizaje, en el caso que nos ocupa, encontramos consistencia entre las ideas externadas por los
profesores respecto de los objetivos y los instrumentos de evaluación. Los profesores consideran que la evaluación tiene como objetivo la medición de lo logrado y esos logros los pueden valorar con
exámenes o pruebas escritas.
Concepciones de Profesores de Matemáticas acerca de la Evaluación y las Competencias C. Dolores Flores; J. García−García
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de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
Grupos ¿Qué instrumentos debieran utilizarse en la evaluación?
Grupo 1
Examen, asistencias, participación y tareas.
Examen escrito, láminas, pizarrón, películas, cuestionarios.
Cuestionarios y tareas de investigación.
Examen diagnóstico, participación y exposición.
Grupo 2
Banco de ejercicios y examen.
Ejercicios en clase tomados del texto.
Ejercicios personalizados.
Las que señala el plan de estudios y el programa.
Evaluar de acuerdo al contexto que estamos viviendo.
Tabla 6. Frases o temas esenciales en grupos
5.1.6. Actividades para la evaluación
A juzgar por la frecuencia con que fueron citados, los ejercicios, las tareas, las participaciones y
las exposiciones, son las principales actividades que los profesores consideran deben utilizarse en la
evaluación. Nótese que las tareas de investigación son mencionadas varias veces (Tabla 7). Aunque en su mayoría las actividades de evaluación no las consideran únicas, generalmente proponen grupos de
actividades, que incluyen a las exposiciones, la puntualidad, el examen, la asistencia, etc. El sistema
educativo mexicano actual está basado en las competencias y recomiendan que sean evaluadas mediante la evaluación auténtica. Por evaluación auténtica suele entenderse el hecho de que las
técnicas, instrumentos y actividades de evaluación estén claramente aplicados en situaciones,
actividades y contenidos reales del aprendizaje que se busca (Pérez, Julián y López, 2009, p. 32). En
este sentido hay una idea exteriorizada en la que se afirma que son las “actividades ligadas a la
realidad” las actividades que deben ser utilizadas para la evaluación.
Grupos ¿Qué tipo actividades deben de utilizarse para la evaluación?
Grupo 1
Tareas de investigación, participaciones, exposiciones.
Las tareas de investigación, trabajos en clase.
Puntualidad, participación, ejercicios, tareas y examen.
Tareas de investigación, exposición.
Ejercicios en clase, tareas personalizadas.
Asistencia y participación en clase.
Grupo 2 Resolución de problemas.
Desarrollo de ejercicios y solución de problemas.
Actividades ligadas a la realidad.
Evaluación continua y final.
Tabla 7. Frases o temas esenciales en grupos
5.1.7. Actividad significativa
Identificamos dos grupos de ideas respecto de la actividad significativa (Tabla 8): en el primero las relacionan con el interés, motivación o atención de los alumnos, mayor significado o relevancia y
el segundo con la aplicación o concreción del conocimiento a problemas reales. Una acepción que
quedó suelta es asociada a la “actividad de investigar”. Las ideas vertidas en el primer grupo se
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asocian con la motivación, relevancia, interés y esto puede darse si las actividades son significativas
para el estudiante. Es decir, que posibilitan la conexión entre sus ideas previas y el conocimiento nuevo, entonces para ellos la actividad es relevante o tiene mayor valor, como lo indican las ideas
exteriorizadas. Esta idea es consistente con dos de los principios en los que se sustenta la evaluación
auténtica según Ibarra y Gómez (2001, pp. 33−46): la necesidad de que los conocimientos previos sirvan de nexo a los siguientes, generando significados nuevos y la necesidad de aumentar la
motivación facilitando que el alumnado comparta metas y acepte reglas. En el segundo grupo el tema
central de una actividad significativa según los profesores es el vínculo con lo real y esa es una de las
características esenciales de las actividades que se proponen en la evaluación auténtica. Refiriéndose a estas, Cano (2005, pp. 50−51) plantea que son las que se proponen desde el desempeño en función de
casos reales, incluye múltiples elementos de medición del rendimiento, todo ello entendido como
actividades reales, vinculadas a los procesos de e-a y no como actividades educativas artificiales.
Al revisar las ideas vertidas en esta pregunta y en la anterior se nota que, si bien es cierto que los profesores tienen ideas consistentes con la naturaleza de las actividades significativas, parecen no
permear en el tipo de actividades que utilizan en la evaluación, como se puede apreciar en las ideas
vertidas en la Tabla 7 correspondiente a la pregunta anterior.
Grupos ¿Qué es para usted una actividad significativa?
Grupo 1
Son situaciones cercanas a los intereses de los alumnos.
Aquellas que le llame la atención al estudiante.
Aquéllas que le motiven más a estudiar.
Que le signifique más, que represente mayor valor.
Que tengan mayor relevancia para el alumno.
Grupo 2
Es aquella en la que aplica el conocimiento adquirido.
Es en la que ve la necesidad de resolver un problema real.
Es la que logra conocimientos concretos en el alumno.
Es lograr conocimientos concretos con relación a la práctica.
Es investigar, buscar el conocimiento.
Tabla 8. Frases o temas esenciales en grupos
5.2. Concepto de competencia y de los saberes fundamentales
5.2.1. Concepto de competencia
Aquí identificamos tres de grupos de ideas (Tabla 9). En las primeras se conciben a las
competencias como la conjunción de algunos de sus componentes: habilidades, actitudes y valores. Incluso se piensa que las competencias “son los mismos conocimientos de antes sólo que ahora se le
agregan las actitudes y valores”, concepción que deja entrever lo disgregado de sus componentes. En
este grupo también se les relaciona con los pilares sobre los cuales se basa la educación actual según Delors (1996, pp. 91−103) y que han sido las bases conceptuales sobre las cuales se definen las
competencias. En el segundo, el término competencia se asocia ideas como: “viene de competir”, “que
el alumno pueda competir con otros alumnos” o que “el alumno sea competitivo”. En el tercero se plantea la idea de poder realizar actividades, en una se le atribuye a la buena preparación del maestro
“para enseñar al alumno en cualquier tipo de actividades” y en la otra “al grado de conocimientos para
poder desarrollar alguna actividad”. Esta concepción es similar a la encontrada por Huntly (2008)
acerca de competencia en profesores principiantes: que el profesor esté bien preparado porque es el
responsable de la planificación cuidadosa y la organización en el aula, entre otras cosas.
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Las competencias en la actualidad se conciben como el conjunto integral de sus componentes
(conocimientos, habilidades y actitudes) y su utilización en la resolución de situaciones o problemas, los profesores las conciben mediante algunos de estos componentes, aunque no se percibe en sus ideas
la integralidad. Tampoco se deja entrever en sus ideas la utilización de esos componentes en la
resolución de problemas o situaciones, de hecho, esta última idea no es parte de las concepciones aquí
identificadas. Es notoria la relación que hacen con la idea de competir con otros alumnos.
Grupos ¿Qué son para usted las competencias?
Grupo 1
Involucran usos cognitivos, ponen en juego conocimiento, desarrollan
habilidades y obligan a mostrar actitudes.
Son habilidades, actitudes y valores que el estudiante debe adquirir durante
su formación.
Es competente si tiene el grado de conocimiento, habilidades y actitudes en
lo que se requiere.
Son los mismos conocimientos de antes sólo que ahora le agregan las actitudes y valores.
Es aprender a aprender, aprender hacer y aprender a ser.
Grupo 2
Es que el alumno sea competitivo para cualquier tema.
Competencia viene de competir con otros.
Cierto grado de conocimiento para que el alumno pueda competir con otros
alumnos en cualquier tipo de actividades.
Competencias para avanzar de manera gradual.
Grupo 3
Es que el maestro esté bien preparado para enseñar al alumno en cualquier
tipo de actividades.
Son el grado de conocimientos que el alumno debe tener para poder
desarrollar alguna actividad.
Tabla 9. Frases o temas esenciales en grupos
5.2.2 Cómo evaluar las competencias
Respecto de cómo evaluar competencias identificamos dos grupos de opiniones. En el
primero se les confiere importancia a los conocimientos, aunque hay quien agrega “las
actitudes y los valores”. En el segundo destaca la aplicación o utilización de lo aprendido o el
desempeño. En las restantes se señala el “desarrollo del aprendizaje significativo” y en la
última se sugiere sean evaluadas “mediante la responsabilidad”. El desarrollo de las
competencias requiere de ser comprobado en la práctica, mediante criterios de desempeño o
evaluación previamente establecidos. Para ello hace falta diseñar actividades significativas.
En este sentido son consistentes la penúltima idea (referida a las actividades significativas) y
las presentes en el Grupo 2, ya que se refieren a la aplicación de los conocimientos y al
desempeño. Las del Grupo 1 se centran en los conocimientos, sin embargo, las competencias
son más cercanas a la idea de poder hacer con el saber, el saber es solo información sin uso.
Este es un aspecto esencial de las competencias ausente en las ideas de este grupo.
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Grupos ¿Cómo deben evaluarse las competencias?
Grupo 1
Por medio de los conocimientos que aprendió.
A través de todo tipo de conocimientos.
Mediante sus conocimientos previos.
Mediante conocimientos, actitudes y valores.
Grupo 2
Aplicando eso que aprendió y mostrando actitudes deseables.
Utilización lo que alumno sabe o aprendió.
Aplicando sus conocimientos asimilados.
Mediante el desempeño del alumno durante todo un curso.
Mediante el desarrollo del aprendizaje significativo.
Mediante la responsabilidad.
Tabla 10. Frases o temas esenciales en grupos
5.2.3. ¿Qué competencias deben evaluarse en matemáticas?
Identificamos tres grupos de ideas aquí (Tabla 11). En el primero están vinculadas a la resolución de problemas con algunas variantes que incluyen su planteo, el contexto indicado por el
“entorno” o los ejercicios. En el segundo se plantea interpretar o visualizar tablas y gráficas. El tercero
se refiere a las habilidades de razonamiento lógico como deducir, generalizar e inferir. Otras ideas
aluden al conocimiento de los contenidos de aritmética, álgebra y los cálculos aplicando los teoremas. Con las competencias la e-a de la matemática ha dado un viraje hacia la vinculación con la práctica, ya
que para desarrollarlas se utilizan actividades significativas y éstas se conciben como situaciones y
problemas lo más parecido posible a lo que se presentan en las comunidades de prácticas reales. En este sentido hay algunas manifestaciones en las ideas del primer grupo. Pero la resolución de
problemas requiere de competencias específicas como la formulación del modelo, aplicación,
argumentación e interpretación de los resultados. Los profesores no llegan a tanta especificidad, pero
sí mencionan las habilidades de visualizar e interpretar gráficas o tablas que son usuales en la solución de problemas vinculados a la práctica. En cambio, se mencionan tópicos tendientes al desarrollo del
razonamiento lógico, de que sepan aritmética, álgebra o que utilicen teoremas. Estas ideas remiten a la
enseñanza de la matemática que privilegiaba el aprendizaje del conocimiento intramatemático.
Grupos ¿Qué competencias considera usted deben evaluarse en matemáticas?
Grupo 1
Resolver problemas.
Resolver ejercicios y problemas.
Plantear, interpretar y resolver problemas.
Resolver problemas del entorno.
Grupo 2 Interpretar tablas y gráficas.
Visualizar gráficas de funciones.
Grupo 3 Razonamiento lógico, generalizar.
Deducir e inferir en matemáticas.
Saber aritmética y algebra básica.
Cálculos aplicando algunos teoremas.
Tabla 11. Frases o temas esenciales en grupos
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5.3. Implicaciones del enfoque por competencias para la e-a de la matemática
5.3.1. Las competencias y la mejora de la e-a de la matemática
En esta parte se perfilan dos grupos de opiniones (Tabla 12). Quienes asientan afirmativamente (que son la mayoría) que con las competencias se mejorará el aprendizaje de la matemática y los que
no están muy convencidos o dicen que contribuirán en poco. Entre los primeros identificamos dos
subgrupos, en el primero dicen que sí y plantean por separado argumentos diferentes: “porque su enfoque es hacia el trabajo” y “porque los estudiantes cursan un bachillerato técnico”; “porque ahora
el alumno tiene más libertad de participar”; sí porque es “importante en la actualidad”. En el segundo
subgrupo se incluyen quienes dicen que sí es el adecuado, pero ponen condicionantes: “siempre y
cuando el alumno traiga bases sólidas”; “siempre y cuando se aplique de manera correcta; pues todos los enfoques tienen sus ventajas y desventajas”. En el segundo grupo manifiestan escepticismo o
claramente dicen no estar convencidos.
Grupos Subgrupos ¿Usted cree que el enfoque por competencias es el adecuado para
mejorar la enseñanza-aprendizaje de la matemática?
Grupo 1
Subgrupo 1
Sí, porque antes los maestros no les daban participación a los alumnos y
ahora el alumno tiene más libertad de participar.
Sí, ya que los estudiantes cursan un bachillerato técnico. Su enfoque es
hacia al trabajo y es acorde a su futura profesión.
Sí, porque antes era muy teórico ahora es más práctico.
Yo creo que sí es importante en la actualidad.
Subgrupo 2 Creo que sí, siempre y cuando el alumno traiga bases sólidas.
Sí, siempre y cuando se aplique de manera correcta; todos los enfoques habidos tienen sus ventajas y desventajas.
Grupo 2 Un poco, hay que esperar resultados.
No estoy muy convencido, porque cuando el alumno trabaja no aplica tanto
las matemáticas.
Tabla 12. Frases o temas esenciales en grupos
5.3.2. Diferencias entre la evaluación por competencias y la anterior
En los temas detectados se percibe una opinión mayoritaria de la existencia de diferencias entre
ambos tipos de evaluaciones (Grupo 1), pero hay un grupo que opina en sentido contrario (Grupo 2).
Del primer grupo se establecen dos subgrupos, cuyas diferencias radican en el tipo de razones que esgrimen (Tabla 13). En el Subgrupo 1 se percibe la opinión, por un lado, centrada en la aplicación y
en las competencias aduciendo que ahora existen “aplicaciones prácticas”, “se evalúan los
desempeños”, “interesa lo que sabe hacer el alumno” y, por otro lado, que antes predominaba el conocimiento abstracto y la memorización. En el Subgrupo 2 se plantean razones de mayor libertad de
participación a los estudiantes o bien que la diferencia radica en la concepción del profesor. En el
Grupo 2 se dice que no hay diferencias, en un caso se dice que es lo mismo, sólo que “ahora se utilizan
los medios electrónicos”. La aceptación por la existencia de diferencias es evidente, esas diferencias se aglutinan en torno de la justificación de que la evaluación actual se centra en la aplicación práctica y la
anterior en el conocimiento.
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Grupos Subgrupos ¿Qué diferencias hay entre la evaluación por competencias y la anterior?
Grupo 1
Subgrupo 1
Ahora existe una aplicación más práctica, antes era muy general.
Ahora hay un enfoque de aplicación y antes se evaluaba el conocimiento
abstracto.
Ahora interesa lo que el alumno sabe hacer y que lo demuestre, antes
predominaba la memorización.
Antes se evaluaban sólo conocimientos, ahora se evalúan desempeños en una
actividad para que el alumno pueda trabajar y poder competir.
Antes sólo se evaluaba con el examen, ahora se toma en cuenta además la actitud
y los valores.
Subgrupo 2
Ahora el maestro da más libertad al alumno de participar y no sólo es el profesor
el que expone.
La diferencia está en la concepción del profesor.
Grupo 2 Es lo mismo sólo que ahora se utilizan medios electrónicos.
No debiera haber diferencia creo que es igual que antes.
Tabla 13. Frases o temas esenciales en grupos
5.3.3. Implicaciones del enfoque por competencias en la e-a de la matemática
La mayoría de los profesores afirmaron que tendrá implicaciones el enfoque por competencias.
Los argumentos que esgrimieron fueron organizados tres grupos (Tabla 14). El primero se organiza en torno a la idea de que tendrá aplicaciones prácticas o en la vida cotidiana. En el segundo de que tendrá
más conocimientos, en el tercero se manifiesta escepticismo o francamente se afirma que no tendrá
ninguna implicación. Las diferencias son evidentes entre ambos grupos, en el primero dan razones de
integralidad y aplicabilidad y, en el segundo de incremento de conocimientos.
Grupos ¿Tendrá implicaciones el enfoque por competencias para la enseñanza y el
aprendizaje de la matemática?
Grupo 1 Sí, porque tendrá un enfoque global para aplicar la matemática en la práctica.
Sí, porque el alumno desarrolla habilidades para la vida cotidiana, antes se le ponían
problemas abstractos y complejos que lo desanimaban.
Grupo 2
Sí, con las competencias el alumno desarrolla mayor conocimiento y habilidad.
Sí, porque se deben de conocer más los temas de matemáticas y tener más ejemplos
demostrativos.
Sí, porque el estudiante aprenderá más matemática.
Sí se va a mejorar con las competencias.
Grupo 3 Tengo mis dudas de que mejore.
Yo veo que ninguna.
Tabla 14. Frases o temas esenciales en grupos
5.3.4. Las competencias y la preparación de los estudiantes para la universidad o el trabajo
Aquí detectamos dos grupos (Tabla 15), quienes dijeron que sí (Grupo 1) y quienes se
manifestaron escépticos (Grupo 2). El primero es mayoritario y lo dividimos en dos subgrupos. En el
primero se dice que sí, porque las competencias tienen aplicación en el campo laboral o en las empresas. En el segundo porque con ellas se aprende más matemáticas o porque hay más apertura. En
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el Grupo 2 ponen condicionantes o dejan ver cierto escepticismo, en la primera se aduce que se
mejorará a condición de que haya bases sólidas, en las segundas que se mejorará de manera parcial
pues no se puede afirmar que ese enfoque sea el ideal.
Una de las razones por las que se han implantado las reformas educativas en México radica en
el fracaso escolar diagnosticado desde la década de los ochenta del siglo pasado. Y se comparte que
este fracaso, a su vez, tiene como una de sus causas a la pedagogía practicada, tradicionalmente centrada en las disciplinas y en los saberes. El vuelco de la pedagogía tradicional al modelo por
competencias se supone podría resolver el problema y preparar mejor a los estudiantes para seguir sus
estudios o para incorporarse al trabajo, porque dejaría de centrarse sólo en los conocimientos para
dedicarse ahora a la vinculación con la práctica y su consiguiente relación con el campo laboral. Esto mismo es aplicable a la e-a de la matemática, y en este sentido las ideas de los profesores parecen
sumarse al argumento de la aplicación al campo laboral, aunque también se siguen aduciendo razones
de incremento de conocimiento y en otros se hace explícito su escepticismo acerca de las expectativas
de mejora.
Grupos Subgrupos
¿Con el enfoque por competencias cree que los estudiantes estarán
mejor preparados para la universidad o para incorporarse al campo
laboral?
Grupo1
Subgrupo 1
Sí, llegarán mejor preparados.
Sí, porque están diseñadas para aplicarse en el campo laboral.
Sí, porque se están preparando para las empresas.
Subgrupo 2 Sí, porque aprenden más matemáticas con las competencias.
Sí, porque hay más apertura para los estudiantes con las competencias.
Grupo 2
Sólo si hay bases sólidas porque de eso depende que haya desarrollo.
Tengo mis dudas, porque estamos aplicando la misma metodología.
De manera parcial, aún es temprano para decir que es lo ideal.
Tabla 15. Frases o temas esenciales en grupos
5.4. Percepción de las necesidades de capacitación ante la implementación del nuevo
currículum.
5.4.1. Capacitación para aplicar el nuevo currículum del bachillerato
Aquí identificamos dos grupos (Tabla 16): quienes dicen haber recibido capacitación y quiénes
no. Cinco profesores manifestaron haber tomado el curso de Competencias Docentes del PROFORDEMS y dos de ellos afirmaron contar ya con la certificación oficial. Eso significa haber
presentado y aprobado las evaluaciones que exige ese programa. Sin embargo, observaron las
deficiencias de los instructores. Los lineamientos oficiales reconocen como un requisito indispensable la actualización de los profesores para que la reforma sea exitosa pero las expresiones de algunos
profesores son sintomáticas: los capacitadores no estaban totalmente preparados para ello.
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Grupos ¿Fue capacitado para aplicar el nuevo currículum del bachillerato?
Grupo 1
Sí, cursé el diplomado en competencias docente y obtuve la certificación.
Sí, tengo la certificación en competencias docentes.
Sí, pero las primeras capacitaciones fueron muy deficientes ya que los mismos
instructores no estaban bien capacitados.
Sí, tome el diplomado en competencias docente.
Asistí a cursos por mi propia iniciativa.
Sí, fui capacitado, pero todavía no logro certificación.
Grupo 2 No he tomado el curso todavía, pero estoy en proceso de tomarlo.
No todavía no he tomado cursos de capacitación.
Tabla 16. Frases o temas esenciales en grupos
5.4.2. Capacitación para evaluar el aprendizaje de la matemática por competencias
Respecto de esta pregunta nuevamente vuelven aparecer dos grupos (Tabla 17), quienes dicen
no haber recibido capacitación y quienes afirman haberla recibido. El primero es mayoritario.
Manifestaron que no fueron capacitados para evaluar el aprendizaje de la matemática a través de las competencias, dos dijeron que sí, pero la capacitación que recibieron fue informal y por su cuenta.
Quienes tomaron los cursos del PROFORDEMS manifestaron que tienen orientaciones generales y no
específicas para evaluar el aprendizaje de la matemática.
Grupos ¿Fue capacitado para evaluar el aprendizaje de la matemática sobre la base de
las competencias?
Grupo 1
No fui capacitado para eso.
No, para matemáticas en especial no.
Los cursos que tomé no estaban dedicados a matemáticas.
No, los cursos que tomé son generales no particulares.
No, los cursos son de temas generales.
No fui capacitado para ese fin, los cursos del PROFORDEMS son generales no específicos
para evaluar el aprendizaje de la matemática.
Grupo 2 Sí, tomé algunos por mi propia iniciativa.
Sí, pero no formales.
Tabla 17. Frases o temas esenciales en grupos
5.4.3. Necesidad de capacitación para el nuevo currículum y la evaluación por competencias
Todos los profesores aceptan como necesaria la orientación y capacitación, hay quien propone sea especializada y continua (Tabla 18). Argumentan que la implementación del nuevo modelo
requiere de capacitación. Inclusive alguien plantea la urgencia de tal capacitación. Sugieren que sea
continua y no sólo una vez cada año, reclaman que siempre cambian los modelos y no se capacita al
personal, incluso se advierte que si no se capacitan pueden ser rebasados por los estudiantes.
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Grupo ¿Es necesaria la orientación y capacitación para aplicar el nuevo
currículum y la consiguiente evaluación por competencias?
Grupo 1
Sí, claro que sí es necesaria.
Sí, porque debemos conocer el modelo que aplicamos.
Sí, porque se desconoce el modelo y se necesita actualizar para tener el
conocimiento de qué se trata y cómo aplicarlo.
Sí, porque siempre que se cambian los modelos no se capacita al personal
que lo imparte por eso no se avanza.
Súper urgente, porque si no se capacita a los profesores corren el riesgo de
ser rebasados por sus estudiantes.
Grupo 2
Sí, solo que a veces no se llevan a cabo por problemas económicos.
Si claro que sí, pero debe ser especializada en matemáticas.
Sí es necesaria, debe ser continua, no sólo una vez cada año.
Tabla 18. Frases o temas esenciales en grupos
7. Conclusiones
Las concepciones de los profesores identificadas en este trabajo tienen inclinación por la
evaluación como medición. Esto se puede inferir por las concepciones identificadas al interior de este
trabajo y que aparecen condensadas en la Tabla 19. Los profesores todavía tienen predilección por la medición de conocimientos como objetivo de la evaluación, por el examen como instrumento y por
los temas o contenidos intramatemáticos como objetos de la misma. Estos resultados son semejantes a
los encontrados por Villalonga, González y Mercau (2011) con profesores de matemáticas universitarios, incluso son similares a los encontrados con profesores de otras áreas (Rueda y
Torquemada, 2008; Postareff, Virtanen, Katajavuori y Lindblom-Ylänne, 2012). Empero la reforma
actual pone el desarrollo de las competencias como el centro de la evaluación del aprendizaje y que
ésta debe servir no sólo para medir, sino para mejorar el aprendizaje, por lo que el examen ahora debiera ser únicamente un medio de diagnóstico y no el medio decisivo en la evaluación. Pero la
evaluación para la mejora parece no estar en los esquemas conceptuales de los profesores.
Los profesores aceptan que ellos mismos y los estudiantes participen en la evaluación, pero
notamos predominio del profesor. La evaluación por competencias no anula la participación del maestro, pero estimula la participación a los estudiantes mediante la autoevaluación y la coevaluación.
Los profesores tienen inclinaciones por la utilización de un conjunto de elementos como instrumentos
de evaluación: exámenes, ejercicios, cuestionarios, participación, exposiciones y las tareas, mientras que la evaluación por competencias plantea el uso del portafolio, rúbrica, lista de cotejo, etc. para dar
seguimiento al desarrollo de las mismas. Las diferencias son notorias. Mientras los profesores utilizan
o mejor dicho, son partidarios del uso de instrumentos para medir solo el acervo de conocimientos la
evaluación por competencias recomienda instrumentos que posibiliten la ponderación del desarrollo integral de conocimientos, habilidades y valores. Para los profesores las actividades significativas son
las que implican aplicación a problemas reales, las motivantes o de interés para los estudiantes, sin
embargo, no son consideradas por ellos como actividades a utilizar para la evaluación. Los profesores tienen una concepción en la que se considera a las actividades significativas como independientes de
los procesos de evaluación de la matemática.
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Concepto, objeto, objetivo, participantes, instrumentos y actividades.
Aspectos Temas/ Frecuencia
Concepto Medición de conocimientos (6). Aprendizaje alcanzado (2). Medir conocimientos,
habilidades y actitudes (2). Asistencia, participación, tareas, trabajos, examen (1).
Objeto Los temas (4). Valorar el aprendizaje (2). El alumno (1). Compromiso por evaluar (1).
Objetivo Medición del conocimiento (6). Competencias (2). Asegurarse de la obtención aprendizaje
(1). Saber los problemas del alumno (1).
Participantes Alumno y profesor (6). Alumno (2). Padres de familia y todo el personal (2).
Instrumentos Examen (4). Ejercicios (3). Participación (2). Tareas (2). Cuestionarios (2).
Rúbrica (1). Lo que señala el plan estudios (1). Contexto (1)
Actividades Tareas (5). Ejercicios (3). Participación (3). Problemas (2). Puntualidad (1). Asistencia.
(1). Ligadas a la realidad (1).
Actividad
significativa
De interés, motivantes, mayor significado o relevancia (5). Aplicar conocimientos a la
práctica (4). Investigar (1).
Tabla 19. Resumen de temas y frecuencias relativas a la evaluación
Por otra parte, la concepción que de competencia tienen los profesores (ver Tabla 20) incluye a sus componentes (habilidades, actitudes y conocimientos) aunque notamos desarticulación entre ellos
e inclinación por las habilidades; es relacionada con los términos “competir”, “competitivo”,
insinuando la oposición entre dos o más personas que aspiran a obtener la misma cosa. Para evaluarlas consideran la aplicación de los conocimientos adquiridos o solamente los conocimientos. Las
competencias matemáticas a evaluar para los profesores son principalmente la resolución de
problemas, visualizar tablas y gráficas y las de razonamiento lógico. La concepción de competencia
asumida en este trabajo considera a sus componentes y su utilización en la solución de problemas y situaciones, pero estas últimas (las situaciones) no aparecen en las concepciones detectadas. Las
situaciones o situaciones problemáticas suelen ubicarse en un contexto generalmente ligado a la
realidad y tienen un sentido extramatemático. Pero parecen no estar presentes en las concepciones de
los profesores.
Competencia y las competencias matemáticas.
Aspectos Temas/ Frecuencia
Concepto Competir, competitivo (4). Habilidades, actitudes y valores (2). Conocimientos,
habilidades, actitudes y valores (2). Que pueda hacer cualquier actividad (2).
Cómo evaluarlas Conocimientos (3). Aplicando conocimientos (3). Desempeño (1) Aprendizaje
significativo (1). Responsabilidad (1).
Qué competencias
matemáticas
Resolver problemas (4). Visualizar gráficas y tablas (2).
Razonamiento lógico (2). Resolver ejercicios (1). Aritmética y algebra (1).
Aplicando teoremas (1).
Tabla 20. Resumen de temas y frecuencias relativas a las competencias
En cuanto a las implicaciones del enfoque por competencias (ver Tabla 21), la mayoría de
profesores aceptan que es adecuado y que mejorará la e-a de la matemática, aunque hay quien tiene reservas o no está convencido. Reconocen que antes la evaluación se centraba en el conocimiento
teórico y ahora en el práctico, de manera que ahora el alumno tendrá una formación más integral con
más conocimientos matemáticos. Consistente con esta posición, mayoritariamente comparten la idea
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89 Sociedad Canaria Isaac Newton
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de que con las competencias llegarán mejor preparados a la universidad o se podrán incorporar en
mejores condiciones al trabajo.
Implicaciones del enfoque por competencias en la e-a de la matemática
Aspectos Temas/ Frecuencia
Es adecuado Si (6). Razones: más práctico (2), es el actual (1), más libertad (1). Sí
condicionado (2) Razones: si trae bases sólidas (1), si se aplica
correctamente (1). Un poco (1). No estoy convencido (1).
Diferencias con la
evaluación anterior
Antes conocimiento teórico ahora aplicación práctica (4). No la hay (2).
Hoy más libertad no solo el profesor evalúa (1). Antes sólo con examen
ahora cuentan actitudes y valores (1). La diferencia está en la concepción
del profesor (1).
Implicación en e-a de la
matemática
Ahora tendrá formación integral y podrá aplicar la matemática (3)
Si porque ahora tendrá más conocimiento matemático (3). Sí mejorará
(1). Tengo dudas (1). Ninguna (1).
Mejor preparados para la
universidad o el trabajo Sí lo estarán (7). Parcialmente o con escepticismo (3).
Tabla 21. Resumen de temas y frecuencias relativas a las implicaciones del enfoque por competencias
Respecto de las necesidades de capacitación, la mayoría de los profesores dicen haber sido
capacitados para aplicar el nuevo currículum y la consiguiente evaluación por competencias (Tabla
22), sin embargo, no vieron satisfechas sus expectativas ya que su capacitación fue en temas generales
y no orientada específicamente a la e-a de la matemática. Por lo que manifestaron necesaria tal capacitación especializada, inclusive algunos resaltan lo apremiante de tal capacitación y además que
debiera ser continua y no esporádica.
Precepción de las necesidades de orientación y capacitación
Aspectos Temas/ Frecuencia
Fue capacitado Si (5). Cursaron PROFORDEMS (5). Tienen certificación
Oficial (2). Sin capacitación (2).
Capacitado para evaluar
matemáticas
No, fue general (6). Sí, no formales (1), Sí, por mi propia
cuenta.
Es necesaria Si (8). Porque es necesario conocer el modelo (3). Podemos ser
rebasados (1). Especializada en matemáticas (1). Continua (1).
Tabla 22. Resumen de temas y frecuencias relativas a las necesidades de capacitación
En síntesis, los resultados mostrados en este trabajo pueden ser indicios de que, en los
profesores, poco han permeado (al menos conceptualmente) las ideas fundamentales de la reforma
educativa ya que prevalece en una parte importante de ellos, concepciones similares a la evaluación tradicional. Tienden a concebirla como medición de conocimientos y no aparece en sus esquemas
conceptuales la idea de utilizarla para la mejora del aprendizaje. Piensan en la evaluación del
aprendizaje y no en la evaluación para el aprendizaje. Las competencias son asociadas a la idea de competir o bien como el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes, con escasa relación a su
utilización en la resolución de problemas y situaciones. Sus necesidades de orientación y capacitación
son demandantes y en particular la especializada a la e-a de la matemática.
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8. Consideraciones finales
Si bien es cierto que este trabajo da cuenta de las concepciones en profesores de una escuela en particular, estos pueden ser indicios de que similares concepciones puedan estarse compartiendo por
más profesores del país. Hay evidencias mostradas en otros trabajos de investigación de que las
concepciones y creencias inciden en la práctica de los profesores. Sobre la base de estas premisas
nosotros suponemos, a su vez, que pueden ser las causas de los bajos resultados que los estudiantes
mexicanos obtienen en las pruebas nacionales e internacionales.
Esta situación requiere, por un lado, de la realización de investigaciones que profundicen sobre
esta problemática y por otro, que también en el plano de la investigación se pueda incidir sobre el
cambio de las concepciones sobre la base de intervenciones y capacitaciones que posibiliten la utilización de una evaluación para la mejora del aprendizaje y esto es posible, así lo indican
experiencias como la de Guzmán (2002). Los profesores pueden ser convencidos de las bondades de
las nuevas formas de evaluación si ellos constatan que le resultan efectivas en su práctica. Aunque hay
que reconocer que el problema no se centra sólo en la evaluación, sino en el proceso integral de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Un cambio de concepciones y prácticas acerca del
proceso integral incidiría sobre la particularidad del primero, para eso se requiere considerar el
proceso como un sistema y no como un proceso desarticulado. Por tanto, si se quiere mejorar la
evaluación hay que mejorar al proceso íntegro.
La forma en cómo se evalúa tiene influencia en todo el proceso de e-a, de ahí la pertinencia de
incidir en el proceso integralmente. Por ello en la actualidad se ha trascendido la evaluación del
aprendizaje y se han creado nuevos conceptos como la evaluación para el aprendizaje y la evaluación
como aprendizaje. En estas concepciones se asume que la evaluación no es sólo la parte final del proceso de enseñanza y aprendizaje, sino que le es inherente al mismo. Debe ser, señalan Pérez, Soto,
Sola y Serván (2009, p. 5), una constante en todo el proceso que nos ofrezca información a los
docentes y estudiantes sobre la marcha del proceso, tal información debe ser utilizada para intervenir en el proceso a fin de provocar un aprendizaje más relevante y educativo. Sin embargo, en México
hace falta investigación más amplia y profunda, que permita hacer diagnósticos más amplios que den
cuenta de lo que ocurre en el país con las concepciones y prácticas de los profesores sobre la evaluación. Aquí se podrían encontrar algunas de las causas de la calidad educativa hasta ahora
obtenida y se pueden generar propuestas para la mejora.
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Crisólogo Dolores Flores, Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de
Guerrero. Chilpancingo, Guerrero, México. Doctor en Ciencias Pedagógicas, con especialidad en
Metodología de la Enseñanza de la Matemática por el Instituto Superior Pedagógico “Enrique J. Varona”.
Trabaja en la línea de Pensamiento y Lenguaje Variacional, Evaluación y actualmente en Conexiones
Matemáticas.
Javier García-García, Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de Guerrero. Chilpancingo, Guerrero, México. Maestro en Ciencias en el área de Matemática Educativa y
actualmente estudiante de Doctorado en Ciencias en la Especialidad de Matemática Educativa en la
Universidad Autónoma de Guerrero. Ha sido ponente en múltiples congresos nacionales e internacionales
y ha publicado diversos estudios en revistas especializadas en el campo de la Matemática Educativa.
Actualmente trabaja en colaboración con el Dr. Dolores en la línea de investigación Conexiones
Matemáticas.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 93-103
3D, 2D, 1D
Esperanza Teixidor Cadenas. (Las Palmas de Gran Canaria. España)
Resumen La mayoría de los objetos que existen en la realidad son tridimensionales. La enseñanza-
aprendizaje de la geometría debe comenzar investigando objetos de tres dimensiones, y a
partir de su manipulación descubrir los bidimensionales, hasta llegar a los
unidimensionales, que son los más abstractos. La manipulación será imprescindible para
un aprendizaje significativo. Contamos con la ayuda de un potente material didáctico
llamado BaFi. Invertir el orden tradicional 1D, 2D, 3D, supondrá un reto para el docente.
Palabras clave Innovación didáctica, geometría, dificultades, enseñanza-aprendizaje, Primaria.
Title 3D, 2D, 1D
Abstract Most of the objects that exist in reality are three-dimensional. The teaching and learning
of geometry must begin by investigating three-dimensional objects, and then by
manipulation progress to discover the two dimensional objects until one reaches the one-
dimensional which are the most abstract. These manipulations are essential for
meaningful learning. Reversing the traditional order 1D, 2D, 3D will be a challenge for
teachers. To enable this, we have the help of a powerful didactic material called Bafi that
helps us achieve this goal.
Keywords Educational innovation, geometry, difficulties, teaching and learning, Primary Education.
1. Introducción
Durante más de 25 años de docencia como maestra en Primaria, he observado en el alumnado la
dificultad de reconocer la geometría que hay en la realidad. La conexión de lo aprendido en clase con
su uso cotidiano. El bloque de geometría, muchas veces, sigue quedando relegado al final del curso. Y
al año siguiente se comprueba que hubo poco aprendizaje significativo.
Esto es la consecuencia de una enseñanza basada principalmente en el libro de texto, con el
orden tradicional de exposición: primero los objetos de una dimensión (rectas, semirrectas, segmentos,
líneas curvas, circunferencia…). A continuación, los de dos dimensiones (polígonos, círculos,
ángulos…). Y acabando con los objetos de tres dimensiones (cubos, pirámides, prismas…). El libro tiene poca versatilidad, pues los polígonos aparecen generalmente en la misma posición, en vez de en
todas las posiciones. Con los cuerpos la dificultad es todavía mayor, ya que es difícil lograr ver la
tercera dimensión. Solamente la verá el alumnado con inteligencia espacial por encima de la media.
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
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2. Premisas previas
Son dos las ideas de las que partimos:
1. Los errores comunes deben plantear al maestro el interrogante metodológico. ¿Qué habrá que
cambiar para lograr que no sea un error común? Si sigo con la misma metodología conseguiré los
mismos malos resultados.
2. Todo avance supone fallar y aprender de los fallos. Debemos evitar trasmitir una cultura del
éxito en la que un error es un fracaso. A veces hemos tenido la experiencia en las aulas de defraudar al dar el resultado de una prueba. Por ejemplo, un alumno o alumna brillante se desanima con un 7. Esto
es indicador de que la nota está prevaleciendo sobre el aprendizaje en sí mismo.
La actitud del profesorado y cómo evalúa, dando mucha importancia al proceso del aprendizaje,
logrará cambiar la cultura del éxito por la cultura de la investigación. Los niños desde que nacen son pequeños investigadores de su entorno cercano. La capacidad de asombro es también un buen aliado
del aprendizaje, ya que lo que asombra se queda más. El aprendizaje debe provocar asombro y
satisfacción ante algo que no conocíamos y que logramos asimilar. En definitiva, los fallos o errores
son indicadores de que no vamos bien por ese camino y hay que buscar otro. Nunca quedarse en el error que desanima. Lo importante es hacer pensar, planteando buenas preguntas para que el alumnado
razone y descubra lo qué falló, e investigue nuevos caminos.
3. Errores más frecuentes
Son comunes los siguientes errores del alumnado:
1. No reconocen las figuras geométricas si están en otra posición distinta a la que suele aparecer
en el libro de texto.
2. La confusión de objetos tridimensionales con bidimensionales, por ejemplo, el cubo con el cuadrado.
3. Asocian geometría a memorizar conceptos, clasificaciones y fórmulas que se olvidan.
Se puede pensar que los tres errores antes comentados son sólo de alumnos. ¡Y son también de adultos! Un ejemplo elocuente son los fallos espaciales que se encuentran en la publicidad comercial.
Uno de los muchos ejemplos es el siguiente:
Figura 1. Publicidad de una pasta de dientes
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
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Se representa mal la correspondencia entre la figura y el número de terrones que se contabilizan. En el dibujo de los supuestos cinco terrones, en realidad hay siete. El dibujo de los supuestos doce
terrones es una figura espacial imposible, ya que existen terrones en el aire. El que diseñó esta
propaganda no tuvo una formación tridimensional que hubiera evitado la equivocación.
Figura 2. Errores de contabilidad en el número total de terrones
4. Un material innovador: el cubo flexible BaFi
Mi pasión por la enseñanza me lleva a buscar metodologías activas, que logren vivenciar la
geometría y alcanzar aprendizajes significativos. Así nació y se desarrolló un cubo que se transforma,
al manipularlo, en distintas figuras geométricas. Está formado por doce tubos iguales ensartados en un hilo elástico, que los mantiene unidos. Su nombre actualmente es BaFi. La experiencia de aula se
publicó en el número 74 de la revista Números. Ver Bibliografía.
Figura 3. Rectángulo, tetraedro y trapecio, con BaFi
Su logo es la representación de un cubo, rodeado de segmentos circulares y pequeños círculos.
Quiere transmitir dos ideas:
1. Los colores simbolizan la diversidad de personas a las que va dirigido: de todos los países,
culturas, capacidades y edades.
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
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2. El situarlos alrededor del cubo quiere simbolizar la metodología activa y colaborativa en la
que, a través de la manipulación, las personas descubren y disfrutan la geometría.
Figura 4. Logo
BaFi es la marca nacional del cubo didáctico que ha obtenido la concesión de modelo de utilidad (según el Boletín Oficial de la Propiedad Industrial de fecha 21/10/2014). Esta innovación
supera los materiales didácticos actualmente utilizados para la enseñanza de la geometría. Se
caracteriza por sus vértices flexibles, pudiéndose transformar en al menos 18 figuras.
Un comentario en la web “cubodidacticobafi” fue el catalizador de este artículo. Textualmente
dice: “Tengo dos niños pequeños de 2 y 4 años que juegan con el BaFi. Se divierten y sin darse cuenta están aprendiendo formas geométricas. Ellos ven una casa, una cometa, un cuento, una
ventana…Conocimos el BaFi por casualidad y encantados”. Lo escribió Mª Carmen, la madre de dos
pequeños que conocí en el barco de naviera Armas en una travesía entre Tenerife y Gran Canaria, en
julio de 2014.
Otro hecho destacado ocurrió con Javier, que en octubre de 2014 tenía 6 años. Le había dicho
que con BaFi podía hacer muchas figuras y que seguro algunas estaban por descubrir. Javi se puso a
jugar con un BaFi y encontró una figura nueva: ¡tres triángulos equiláteros siameses!
El diálogo fue:
– Pero Javi, ¡esta figura no la conocía! ¿Tú que ves?
– UN ELEFANTE -dijo Javi enseguida y con firmeza- un elefante.
– ¿Un elefante? Yo no lo veo. ¿Me lo enseñas?
– ¡Claro! Mira: una oreja, otra oreja y la trompa (señalando cada uno de los triángulos, siendo la
trompa el triángulo de en medio).
Los niños y las niñas tienen una desbordante capacidad de
imaginación. Luego llegan a Primaria y parece que pierden lo que
antes veían. ¿No será para ellos “otra cosa” lo que se da en el colegio? Por ejemplo, cuando se empieza por las rectas, que no
existen en la realidad.
Figura 5. Javier Macià Acosta
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
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Con BaFi solucionamos los tres errores frecuentes, logrando los siguientes resultados:
1. Reconocerán las figuras en todas las posiciones, ya que estarán acostumbrados a girar las
figuras para verlas en otras posiciones.
2. Distinguirán objetos de 3D, 2D y 1D. Observarán cómo en algunos de ellos caben cosas
dentro y por tanto son objetos de tres dimensiones o cuerpos (cubo, hexaedro irregular,
tetraedro, pirámide cuadrangular y tetrápodo). En otros no caben cosas dentro, pero los podemos colorear, por lo que son objetos de dos dimensiones o superficies (hexágono,
trapecio, rombo, triángulo, rectángulo, romboide, rombo, cuadrado y ángulo). Y por último
aquellos que no son ni cuerpos ni superficies, sólo tienen una dimensión y los podemos
trazar (segmento, secantes y perpendiculares).
3. Asociarán geometría con investigación, ya que irán descubriendo poco a poco las distintas figuras. Las contemplarán fijándose en sus distintos elementos, que irán aprendiendo
progresivamente: aristas, vértices, lados y ángulos. De esta manera conseguirán un
aprendizaje significativo que durará en el tiempo.
De esta forma el alumnado aprenderá a ver. Es importante, porque está unido al asombro del descubrimiento. Lo siguiente me ocurrió en una clase de 3EP. Era el cumpleaños de un alumno que
trajo chupachups para celebrarlo. Observé que la alumna que acabó primero miró el palo, se le
abrieron los ojos con ilusión, y dijo: ¡es un tubo! ¡Podemos usarlo para construir Bafis!
Otra anécdota fue en una visita a una central eléctrica. Otra alumna descubrió que muchos de
los tornillos tenían cabeza hexagonal. Por eso es tan necesario hacer un paseo matemático, para mirar
a nuestro alrededor y descubrir la geometría que hay en la realidad.
Desde el curso 2014-2015, BaFi lo están utilizando en más de 80 colegios de todas las islas. Ha
ido evolucionando, desde construirlo con material reciclado hasta el actual con 12 tubos de colores.
BaFi tiene tres colores (rojo, verde y azul) porque el cubo es tridimensional y para visualizar las rectas que son paralelas. Si observamos un hexágono formado con BaFi, todos los bastoncillos del mismo
color son paralelos. Lo podemos girar para ver paralelas en todas las direcciones.
Figura 6. Hexágonos irregulares con BaFi
Los tubos o bastoncillos miden 10 cm, para que al formar un cubo se pueda visualizar un litro,
que es la capacidad del cubo = 1 dm3. Para que vivencien el BaFi como un litro, puede ayudar un tetrabrik de 1litro. Primero lo medimos: 5 x 10 x 20 cm, y cortamos con tijeras la mitad. De esta
manera comprobamos que es lo mismo 10 x 10 x 10 cm. Incluso aritméticamente en ambos casos son
1000 cm3 = 1 dm3
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
98 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
Además de las medidas de capacidad se pueden trabajar medidas de longitud, doblando a BaFi hasta conseguir distancias de: 1dm, 2dm o 3dm. Es importante que los alumnos tengan el decímetro
asimilado, para poder hacer cálculos aproximados de medidas.
Figura 7. La distancia que se mide con este BaFi es de 3 dm o 30 cm
Conviene que al formar una figura la giren para verla en otras posiciones. Irán descubriendo
poco a poco las distintas figuras. La contemplarán fijándose en sus distintos elementos, que irán
aprendiendo progresivamente: aristas, vértices, lados y ángulos.
Para formar las figuras existen varias posibilidades. Será muy importante que verbalicen cómo
han llegado a construir las figuras. Un ejemplo es la pirámide de base cuadrada. Fue la alumna Paula
Toledano, cuando estaba en 4EP, la que descubrió tres formas distintas de construirla.
1. A partir del hexágono, uniendo dos vértices alternos para
superponer dos triángulos. A continuación, unir otros dos
vértices alternos para superponer tres triángulos. El centro del hexágono será la cúspide de la pirámide.
2. Partiendo del rombo y separando dos vértices que están
superpuestos.
3. Con el trapecio, al unir un vértice del lado mayor con otro del lado menor. Posteriormente separar los vértices que
están superpuestos.
Figura 8. Pirámide cuadrangular
Desde el año 2010, en que se publicó mi primer artículo, hay nuevas figuras: Hexaedro
irregular. Tetrápodo. Ángulo, ángulos complementarios y suplementarios. Segmentos perpendiculares,
y secantes. Letras: b, d, p, q, y, i, x, z, l.
Figura 9. Segmentos perpendiculares, tetrápodo y letra b
También he profundizado en “aprender a ver” un hexágono. A simple vista vemos los 3 rombos
en los que se descompone el hexágono. Pero se pueden contabilizar 6 rombos si se solapan parcialmente. Lo mismo ocurre con el número de trapecios que hay en un hexágono. Primero vemos
dos trapecios en los que se descompone. Pero se pueden identificar seis, si se solapan. Para
visualizarlo conviene recortar un rombo o trapecio de papel y desplazarlo. Ver el siguiente dibujo:
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
99 Sociedad Canaria Isaac Newton
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Figura 10. Representación de los rombos y trapecios que hay en un hexágono regular
BaFi ayuda a entender la diferencia entre hexaedro regular, o cubo, y hexaedros irregulares. Me he dado cuenta que muchas veces la dificultad está en ver los ángulos. Los lados es fácil comprobar
que son iguales. En el caso del hexaedro irregular de la imagen, se ve como es obtuso el ángulo
formado por las dos aristas que llegan a cada cúspide. Y son agudos los ángulos formados por dos
aristas que llegan a la misma cúspide.
Figura 11. Hexaedro regular o cubo. Y hexaedro irregular
Hay que insistir mucho en que el término “ángulo” corresponde a la abertura y no a longitud del
lado. De hecho, cuando se muestra el mismo ángulo con BaFis de distintos tamaños, la mayoría dice
que el primero es mayor, sin darse cuenta que ambos tienen la misma abertura.
En el proceso de investigación el alumnado observará como en algunas de las figuras caben
cosas dentro y por tanto son objetos de tres dimensiones o cuerpos (cubo, hexaedro irregular, tetraedro, pirámide cuadrangular y tetrápodo). En otras no caben cosas dentro, pero las podemos
colorear, por lo que son objetos de dos dimensiones o superficies (hexágono, trapecio, rombo,
triángulo, rectángulo, romboide, rombo, cuadrado y ángulo). Y por último aquellas que no son ni cuerpos ni superficies, pues tienen una dimensión y las podemos trazar (segmento, secantes y
perpendiculares).
Otro avance importante fue la fabricación de cubos BaFi, con aristas de un metro. Nos servirán
para trabajar medidas de longitud (m), superficie (m2) y volumen (m3). Una experiencia significativa
es preguntar: ¿cuántos litros caben en un cubo de medio metro de arista? La contestación de la
mayoría del alumnado es afirmar que contiene 500 litros, sin darse cuenta de su error.
El origen de esta equivocación se encuentra en que el alumnado deduce que será la mitad de la
capacidad de un cubo de un metro de arista. Si bien es cierto que el alumnado domina, que en un cubo
de un metro de arista caben 1000 litros, en cambio fallan al creer que la mitad de la longitud implica la mitad del volumen total. Este error se puede evitar si disponemos de un cubo BaFi de un metro de
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
100 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
arista, e introducimos dentro otro cubo BaFi de medio metro. El alumnado se dará cuenta al instante que su volumen es mucho menor. Entonces es fácil llegar a la solución: el volumen es la octava parte,
donde caben 120 litros.
Figura 12. Cubos de 1 metro de arista, de medio metro y de cuarto metro
5. Otras figuras flexibles como BaFi
5.1. Bipirámide pentagonal
Además de cubos BaFi, hemos construido bipirámides pentagonales flexibles, dejando dos hilos
salientes en las cúspides para que puedan rotar. Y para que comprueben, haciendo la pirámide
pentagonal, que hay tres distancias distintas de menor a mayor: la altura de la pirámide, la altura de la
cara de la pirámide y la longitud de la arista. No son datos para memorizar, sino para ver.
Otras ventajas de la bipirámide, es que girándolo vemos el cuerpo en revolución, e incluso
segmentos que en realidad no existen. Esto les apasiona.
Figura 13. Hexaedro irregular y bipirámide pentagonal en revolución
viéndose dos conos y una circunferencia
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
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5.2. Cuerpos platónicos
De los cuerpos platónicos el más destacado es el cubo. Merecen mención aparte, por sus
posibilidades, el octaedro y el icosaedro.
Figura 14. Cuerpos platónicos flexibles
5.2.1. Octaedro
Al manipularlo se transforma en pirámide cuadrada, rombo y triángulo equilátero.
Figura 15. Transformaciones a partir de un octaedro flexible
5.2.2. Icosaedro
Figura 16. Icosaedro flexible y dos vistas del antiprisma pentagonal
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5.3. Pirámides cuadradas
Las pirámides cuadradas flexibles, al manipularlas, se transforman primero en cuadriláteros y luego en los tres tipos de triángulos clasificados por sus lados. Para que se visualice mejor, los tubos
con las mismas distancias tienen el mismo color.
Figura 17. Aristas de igual longitud. Se transforma la pirámide en un triángulo equilátero
Figura 18. Aristas de dos longitudes distintas. Se transforma la pirámide en un triángulo isósceles
Figura 19. Aristas de tres longitudes distintas. Se transforma la pirámide en un triángulo escaleno
Son muchas las anécdotas que se podrían contar. En el CEIP Los Tarajales, cuando enseñé el
elefante de Javier, la alumna Daniela dijo: “pues yo veo un pez, con su cuerpo y sus dos aletas”. En la
misma clase de 4ºde Primaria se inventaron nuevas figuras, como la cifra 4, o una torre Eiffel.
3D, 2D, 1D E. Teixidor Cadenas
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Figura 20. Imágenes de la figura de tres triángulos equiláteros
6. Consideraciones finales
Hay un comentario escrito en la web de BaFi (www.cubodidacticobafi.com) el 10 de mayo de 2015, por Genaro Morales, maestro del CEIP Monseñor Socorro Lantigua, de Teror, que dice: “A
nivel personal es una maravilla lo que aprendo con él. Pero son mis alumnos los que tienen
"BAFIMANÍA" les encanta jugar con él, no lo consideran trabajar. Exploran, descubren, discuten... es una sorpresa constante. Hablan de cuerpos geométricos, caras, aristas, vértices, ángulos, tipos de
rectas, letras... de todo lo que van descubriendo”.
En definitiva, BaFi ayuda enormemente a aprender a ver. Es un material muy enriquecedor para
todas las edades y todas las capacidades. BaFi favorece la estimulación mental, la creatividad y la
motricidad fina.
Hay que modificar el orden tradicional de la enseñanza-aprendizaje (1D, 2D, 3D). Adoptando la secuencia 3D, 2D, 1D, nuestro alumnado será competente en geometría, además de visualizar con
precisión longitudes, superficies y capacidades.
Bibliografía
Teixidor Cadenas, E. (2010). Pajifiguri: un material manipulativo y cuento interactivo. Números [en
línea], 74. Julio 2010, pág. 75-92. http://www.sinewton.org/numeros/numeros/74/Experaula_01.pdf
Esperanza Teixidor Cadenas. Creadora y divulgadora del cubo flexible BaFi. Las Palmas de Gran
Canaria. Licenciada en Pedagogía. Diplomada en Magisterio en la Especialidad de Ciencias. Máster en
asesoramiento educativo familiar.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 105-116
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Análisis de progresos y dificultades en tareas de identificación del rombo en
Educación Primaria con GeoGebra1
Alberto Arnal-Bailera, Ángel Lancis Fleta
(Universidad de Zaragoza. España)
Resumen Se detectan dificultades de aprendizaje del concepto de rombo en el último curso de
Educación Primaria. Como respuesta a las mismas se diseña una intervención didáctica
con GeoGebra y se investiga su validez mediante una metodología cuantitativa y
cualitativa, atendiendo a la tasa de éxito en la identificación de figuras y a las
justificaciones presentadas. Se observa una clara mejora en la adquisición del concepto
aplicado a la identificación de rombos, aunque poco sostenida en el tiempo y limitada por
algunos obstáculos didácticos. También se concluye que las actividades favorecen una
cierta transición de la identificación mediante la comparación con la imagen conceptual a
la utilización de la definición.
Palabras clave Geometría plana, GeoGebra, Programa informático didáctico, Imagen conceptual,
definición.
Title Analysis of progress and difficulties in identification tasks of the rhombus in
Primary Education with GeoGebra
Abstract Some learning difficulties have been detected about the concept of rhombus in the last
year of Primary Education. A teaching intervention using GeoGebra is designed and its
validity is investigated by quantitative and qualitative methods, including the comparison of the success rates in identifying figures and the corresponding explanations. It is
observed a clear –although little sustained over time– improvement in the acquisition of
the concept, with restrictions due to some didactic obstacles. It is also concluded that the
activities promote some transition from identification by comparison with the conceptual
image to identification using the definition.
Keywords Plane Geometry, GeoGebra, Didactic Software, Conceptual image, definition.
1. Introducción y objetivos
Es más frecuente encontrar trabajos que ponderan GeoGebra como una herramienta de gran
utilidad para la enseñanza de las Matemáticas en las etapas de Secundaria o Bachillerato (Santana y
Climent, 2015; Sepúlveda, Vargas y Cristóbal, 2013). No obstante, los profesores de Educación
Primaria cada vez están más involucrados en la utilización de este software en la enseñanza de las Matemáticas (Arnal-Bailera y Guerrero-Belloc, 2015). Se presenta en este artículo el análisis de una
1Este trabajo ha sido desarrollado por el grupo de investigación "S119-Investigación en Educación Matemática"
financiado por el Gobierno de Aragón y el Fondo Social Europeo. También fue parcialmente financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad de España (Proyecto EDU2015-65378-P).
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con GeoGebra A. Arnal-Bailera, A. Lancis Fleta
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intervención didáctica en torno al concepto de rombo en 6º curso de Educación Primaria. Se trabaja en
un contexto de baja utilización previa de medios tecnológicos para la enseñanza de las matemáticas,
predominando el uso del libro de texto. Queremos contrastar la adecuación de una intervención didáctica con GeoGebra y las posibilidades de este programa para ayudar a superar obstáculos de
aprendizaje en sexto de Educación Primaria, concretamente:
1. Estudiar la mejora de la imagen conceptual del rombo.
2. Evaluar el uso de la definición de rombo como estrategia de identificación.
Para ambos objetivos, se estudiarán tanto la corrección de tareas de identificación como las
justificaciones de la clasificación de rombos y su evolución tras las actividades con GeoGebra.
Vinner (1991) introduce la idea de imagen conceptual en referencia a aquello que se activa en nuestra memoria cuando leemos o escuchamos el nombre de un concepto conocido. Esto no suele ser
la definición del concepto escuchado, sino más bien un conjunto de representaciones visuales o
experiencias. En el caso de conceptos geométricos como el rombo, esta imagen conceptual está compuesta por un conjunto de ejemplos (provenientes de la enseñanza recibida y experiencias previas)
de dicho concepto y –en ocasiones– de propiedades que el estudiante asocia al concepto. Según esto,
una imagen de un concepto es completa y correcta cuando ese conjunto de ejemplos y propiedades es tan amplio que le permiten al estudiante construir e identificar ejemplos de ese concepto y cuando las
propiedades asociadas son correctas. Entenderemos por una mejora en la imagen conceptual el proceso
de ampliar el rango de estos ejemplos y propiedades de modo que se adquiera un mecanismo que
permita identificar o construir todos los ejemplos del concepto tal y como éste está concebido por la comunidad matemática. En todo ejemplo de concepto podemos encontrar atributos relevantes, que son
las propiedades que lo definen como tal concepto, y atributos irrelevantes, que son propiedades no
necesarias a ese concepto y que permiten diferenciar unos ejemplos de otros. En particular nos preocupamos por superar las imágenes estereotipadas de rombo (Moriena y Scaglia, 2003) y favorecer
la transición desde la clasificación particional de los cuadriláteros hacia una jerárquica (Michael,
1994) como podemos observar en la Figura 1.
Figura 1. Clasificaciones jerárquica y particional de los cuadriláteros. (Michael, 1994, p. 12)
En los primeros cursos de primaria se forma y asienta el prototipo de rombo en la mente del
niño, a partir de la experiencia y los ejemplos que se le han mostrado (Gutiérrez & Jaime, 2012). Este
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prototipo sirve como referencia con la que el niño compara un objeto para determinar si es o no un rombo. Entre las características del prototipo de rombo podemos citar: diagonales paralelas a los
bordes de la página, un tamaño apreciable y dos ángulos claramente agudos. Si queremos una
construcción completa del concepto de rombo debemos dotar a la enseñanza de herramientas que permitan superar la presentación de ejemplos estereotipados que construyan un prototipo cerrado y
que suponga un obstáculo para aprendizajes posteriores.
Para esta investigación proponemos un uso reorganizador de la tecnología (Lee & Hollebrands,
2008), particularmente de GeoGebra. Este uso trata de proveer al estudiante con nuevas
representaciones del conocimiento que enfaticen algún aspecto sobresaliente del mismo difícil de explicitar sin tecnología. De este modo, el programa cambia la forma de pensar del estudiante.
Consideramos que las actividades propuestas promueven este uso reorganizador, dado que ofrece
representaciones del rombo a partir de otros rombos de modo dinámico, es decir, no se construye un rombo a partir de la medida de su lado o de las diagonales sino deformando de forma continua otros
rombos, lo que no podríamos hacer sin el programa.
Con el programa tratamos de superar una utilización predominante de la pizarra tradicional y el
libro de texto que puede generar obstáculos al aprendizaje como la ilusión de transparencia –mientras
los profesores interpretan un ejemplo como modelo o representante de una clase, los estudiantes ven solamente un ejemplo– expresada por Lasa y Wilhelmi (2014). En nuestras actividades se pueden
observar –con matices– algunos de los momentos de utilización de GeoGebra en la enseñanza
sugeridos por los autores: Exploración –diseñando una construcción que satisfaga las condiciones iniciales del problema–, dado que les proponemos puzles que se resuelven modificando de diversas
formas los rombos que se adjuntan. Ilustración –observando a través de múltiples ejemplos la validez
del enunciado propuesto–, discutiendo si los ejemplos propuestos son o no rombos genuinos.
2. Contexto de la intervención
Se realiza una intervención didáctica corta en dos grupos de 6º de Educación Primaria, que
incluye actividades con GeoGebra para trabajar el concepto de rombo. Para valorar la efectividad de
estas actividades se suministra un cuestionario a los dos grupos un mes antes de la intervención con preguntas relativas a la identificación y construcción de rombos y se vuelve a administrar tras la
intervención. Este post-test se administra a uno de los grupos justo a continuación de la actividad y al
cabo de una semana al otro grupo, los denominamos respectivamente pre-test, post-test inmediato y
post-test diferido. Podemos ver los resultados cuantitativos de los mismos en las tablas 1, 2 y 3.
El contexto donde se realiza la intervención es un Centro Educativo Público de Zaragoza con dos grupos de características muy similares en 6º curso de Educación Primaria, uno de ellos con 21
alumnos y el segundo con 19 alumnos. Fundamentalmente el recurso didáctico más utilizado en la
enseñanza con estos alumnos es el libro de texto, por lo que comentamos brevemente la parte referida
al rombo.
En el momento en que se realizan las actividades (diciembre de 2015) todavía no han trabajado
los polígonos en ese curso, por lo que nos referimos a su experiencia previa en 5º de Educación
Primaria: Estudiamos el libro Matemáticas 5 de la editorial Santillana y de la serie Comunidad Entre
Amigos de García, Rodríguez y Uriondo (2002a) que es el que utilizaron el pasado curso (ver Figura 2). Analizamos la unidad 8 Figuras planas. Simetría. Al igual que se puede observar en cursos
previos, la definición del rombo es implícita (no se dice si es una definición o una propiedad de esta
figura) y se sigue favoreciendo la clasificación particional de los cuadriláteros en la presentación de los cuadriláteros, aunque los enunciados que acompañan a cada figura no son explícitamente
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particionales. En cuanto a la presentación de rombos, encontramos 11 rombos en toda la unidad de los
cuales 6 son cuadrados y el resto son representaciones estereotipadas de rombo.
Figura 2. Presentación de los cuadriláteros. 5º Primaria. Ed. Santillana. Entre amigos. P. 95
En el curso en que los alumnos se encuentran aún no se ha estudiado la unidad correspondiente
a las figuras planas ni en el momento del pre-test ni tampoco cuando se desarrolla la intervención o ninguno de los post-test. Sin embargo, insertamos la presentación de los paralelogramos utilizada en el
libro Matemáticas 6 de Santillana de la serie Comunidad Entre Amigos de García, Rodríguez y
Uriondo (2002b) y observamos de nuevo la presentación estereotipada de las figuras y la clasificación particional de los cuadriláteros esta vez sí de modo explícito al poner la condición de desigualdad
entre las diagonales de los rombos (ver Figura 3).
Figura 3. Presentación de los cuadriláteros. 6º Primaria. Ed. Santillana. Entre Amigos. P. 77
Tras la revisión anterior conjeturamos que los alumnos tienen una imagen conceptual del rombo pobre y confusa, formada a partir de pocos ejemplos y con poca reflexión sobre los mismos y que no
parece que se vaya a resolver a lo largo de la enseñanza planificada para el presente curso. Por lo tanto
consideramos normal que cuando construyan un rombo dibujen uno estereotipado, que cuando identifiquen un rombo tengan dificultades si no se presenta dibujado en su forma estereotipada y que
no identifiquen como tipo particular de rombo al cuadrado.
3. Descripción de las actividades
A partir de este análisis inicial se plantean una serie de actividades con GeoGebra con el fin de mejorar el concepto de rombo incluyendo la introducción de una clasificación inclusiva del cuadrado
como caso particular del rombo. Nos centramos aquí en lo relativo a las actividades de identificación.
Analizaremos los resultados cuantitativa y cualitativamente.
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Se formula la pregunta “¿Cuáles de los siguientes polígonos son rombos?” como parte de un cuestionario sobre la identificación y construcción de rombos previo a la intervención con GeoGebra
(ver imagen 4). Esta pregunta ha sido adaptada de un cuestionario propuesto por Moriena y Scaglia
(2003). En el diseño de la pregunta se tienen en cuenta 5 casos, los cuatro primeros son rombos y el último no lo es. De los rombos, los casos a y c son también cuadrados. Esperamos que los alumnos no
identifiquen como rombos estos casos debido a la clasificación particional que han estudiado hasta
ahora. Esperamos que el caso d también genere dificultades por estar en una posición no estereotipada.
El caso e no es un rombo, pero se ha colocado imitando la posición estereotipada del rombo lo que puede generar dificultades, este caso no se considera por las autoras citadas, pero consideramos
necesario estudiar las justificaciones que dan aquí los alumnos.
Figura 4. Cuestionario sobre identificación razonada de rombos
Sabemos que los alumnos acuden a su imagen conceptual cuando se enfrentan a un problema de construcción o identificación de polígonos. Hemos seleccionado las actividades con GeoGebra
teniendo en cuenta la importancia de que dichas imágenes conceptuales sean completas, así se
proponen ejemplos y contraejemplos variados que se pueden someter a las transformaciones del plano que mantienen sus propiedades esenciales de rombo (giro, traslación y homotecia). Las actividades
son Puzle con rombos fijos, Puzle de rombos 2 y Rombos mentirosos.
Construimos con estas tres actividades una secuencia didáctica de dificultad progresiva con la
que conseguir los objetivos didácticos que perseguimos, a medida que explicamos las actividades
concretas las tratamos de relacionar con la correspondiente fase de enseñanza de Van Hiele.
La sesión comienza con una breve introducción verbal en la que el investigador explica que se va a trabajar sobre el concepto de rombo y que se va a utilizar un software llamado GeoGebra para
ello. Esta introducción de sesión corresponde con la fase 1 de Van Hiele (encuesta/información), en la
que el profesor determina mediante el diálogo dos aspectos, el conocimiento previo del concepto a tratar y la dirección que tomará el estudio posteriormente. Se introduce el vocabulario específico del
nivel que se trate. Después de la introducción se da paso a la realización de las actividades.
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Figura 5. Puzle con rombos fijos
La primera actividad Puzle con rombos fijos (ver Figura 5) es muy sencilla y de introducción.
Los alumnos, por parejas, tienen que construir un puzle con las piezas que se presentan. Las piezas son rombos y tienen la particularidad de que son fijos, lo que quiere decir que se pueden trasladar pero no
se pueden rotar o cambiar de tamaño. Esta particularidad facilita la actividad y la convierte en una
actividad de introducción tanto al concepto como a GeoGebra. Durante este proceso de actuación frente a la actividad se presenta la fase 2 de Van Hiele (orientación dirigida) en la que los estudiantes
exploran de forma secuenciada el concepto a tratar a través de los materiales que les presenta el
profesor. Tras mover las piezas a su lugar correspondiente los alumnos han de contestar por parejas a las preguntas que se proporcionan en la hoja de preguntas. ¿Qué características de las figuras son
importantes para que sean rombos? y ¿Cuáles no son importantes? (fase 3 de explicitación en la que
los estudiantes expresan y comparten sus opiniones acerca de las estructuras observadas). Señalar que
el papel del profesor debe promover que el lenguaje del alumno sea apropiado a su nivel y debe limitarse a repreguntar o rehacer el enunciado de las preguntas para favorecer las intervenciones de los
alumnos.
Figura 6. Puzle con rombos 2
A continuación, se presenta la segunda actividad de la sesión (ver Figura 6) Puzle de rombos 2, que resulta bastante más compleja. Sigue siendo un puzle en el que se proporcionan rombos como
piezas, pero en este caso permite trasladarlos, rotarlos y cambiarlos de tamaño. Modificar las piezas
hasta que encajen en la estrella no es tarea fácil si no sabes la técnica concreta, y requiere de muchas modificaciones de los rombos (que se traducen en ejemplos del concepto). Esta actividad forma parte
de la fase 4 de Van Hiele (orientación libre) en la que el alumno se enfrenta a tareas con etapas que
pueden concluirse a través de distintos procedimientos (las piezas se rotan y se modifican). Se busca la
consolidación de los conocimientos aprendidos y su aplicación a situaciones nuevas aunque de similar estructura a las estudiadas previamente. Tras completar el puzle, el alumno ha de contestar la siguiente
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pregunta: Habéis cambiado el aspecto de los rombos, ¿ha dejado alguno de ser un rombo? Explicad
vuestra respuesta.
Figura 7. Rombos mentirosos
Para finalizar, se lleva a cabo la actividad Rombos mentirosos (ver Figura 7), en la línea de
Arnal-Bailera y Guerrero-Belloc (2015) con la que se enriquece la secuencia didáctica ya que se introducen los contraejemplos y la discusión sobre ellos mediante la utilización del test de arrastre –
mover los puntos definitorios de una figura con el fin de distinguir si estamos ante un rombo genuino
(figura) o ante un rombo aparente (dibujo)–. Esta actividad permite introducir la discusión entre los alumnos de qué es esencial en un rombo y qué no lo es, lo que constituye un trabajo esencial en el
proceso de elaboración de una definición. Consideramos adecuado que los estudiantes sean los
constructores de sus propias definiciones de los conceptos. Para ello hay que proporcionarles una larga
batería de ejemplos y contraejemplos para cada uno de los conceptos a definir:
Una presentación cuidada de ejemplos y contraejemplos a los estudiantes les
ayudará a formar una mejor imagen conceptual y a discriminar con eficacia
los ejemplos de los contraejemplos. (Gutiérrez & Jaime, 2012, p. 65)
La tarea de los alumnos en la tercera actividad consiste en manipular las cuatro figuras y decidir cuál de ellas es el único rombo verdadero (ejemplo del concepto) e identificar cuáles son rombos
mentirosos (contraejemplos) además de justificar cada elección completando las siguientes frases:
El rombo nº__ es verdadero / falso porque………………………………………………………
En esta última actividad comienza la fase 5 (integración) de Van Hiele en la que el estudiante
revisa y unifica los nuevos conceptos y sus relaciones. No se presenta nada nuevo; es una síntesis o
incluso revisión de los orígenes que dieron lugar a dicha síntesis.
4. Resultados
Presentamos ahora en forma de tablas los resultados obtenidos a través del pre-test (ver tabla 1)
y de los post-test inmediato (ver tabla 2) y diferido (ver tabla 3). Consideraremos una respuesta como
correcta cuando se ha identificado correctamente la figura y se ha dado alguna razón para ello. Estas razones pueden ser relativas a la imagen conceptual del rombo o bien a alguna característica
matemáticamente relevante. Cuando se clasifica una respuesta en la categoría “imagen conceptual”
puede que el alumno haga referencia en su justificación a la posición del rombo “si lo giras sigue siendo un rombo” o a compararlo con su idea gráfica de rombo: “No, porque es un cuadrado”, lo que
nos da idea de los ejemplos de rombo que forman parte o no de su imagen conceptual. Cuando se
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clasifica una respuesta en la categoría “definición” puede que el alumno haga referencia en su
justificación a características definitorias del rombo “tiene los cuatro lados iguales” o a otras
características que, si bien no definen al rombo o contienen imprecisiones, sí pueden dar idea de que la forma de razonar del alumno se aproxima a una utilización de argumentos más formales “tiene los
vértices iguales dos a dos”.
a) b) c) d) e)
Correcto
Imagen conceptual
2,5% 43,5% 20,5% 24% 7,5%
Definición 2,5% 15,5% 10% 9,5% 10,5%
Total 5% 59% 30,5% 33,5% 18%
Incorrecto
Imagen
conceptual 54% 2,5% 21% 20,5% 30%
Definición 5% 2,5% - - 10%
Total 59% 5% 21% 20,5% 40%
Sin justificar 36% 36% 48,5% 46% 42%
Tabla 1. Resultados pre-test
Respecto del pre-test (ver tabla 1), un primer resultado es que los alumnos justifican poco sus
respuestas, observándose que, en el mejor de los casos, un 36% de los alumnos no aportan razones
para su elección. Respecto de la corrección en la identificación, la figura más reconocida por los alumnos es la b, como era previsible ya que corresponde con la imagen presentada habitualmente en
los libros de texto. La figura menos reconocida es la a, que corresponde con la presentada
habitualmente en los libros de texto como cuadrado unido esto al hecho de que la enseñanza ha promovido una clasificación particional. En todos los casos de respuesta correcta es mayoritario el
recurso a razones relacionadas con la comparación con ejemplos que forman su imagen conceptual de
rombo por encima de comentarios relacionados con las características definitorias del rombo.
a) b) c) d) e)
Correcto
Imagen conceptual
28% 34% 10% 25,5% 14%
Definición 20% 38,5% 14,5% 24% 14%
Total 48% 72,5% 24,5% 49,5% 28%
Incorrecto
Imagen conceptual
30% - 33% 9,5% 9,5%
Definición - - 9,5% - 14,5%
Total 30% - 42,5% 9,5% 24%
Sin justificar 22% 27,5% 33% 41% 48%
Tabla 2. Resultados post-test inmediato
Respecto del post-test administrado de forma inmediatamente posterior a las actividades (ver
tabla 2), un primer resultado es que los alumnos justifican bastante más sus respuestas en general,
reduciéndose los porcentajes de respuestas sin justificar sobre todo en los casos a y c (rombos cuadrados), aunque aumentando ligeramente en el e (caso de cuadrilátero no rombo). Todas las figuras
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se reconocen por porcentajes mayores de alumnos, excepto la c (caso de cuadrado en posición de rombo). Aumenta el porcentaje de alumnos que utiliza características definitorias para sus
justificaciones de forma correcta. También aumenta el porcentaje de alumnos que ha enriquecido su
imagen conceptual con nuevos ejemplos de rombo salvo en el caso b (algunos alumnos que antes reconocían la figura vía su imagen conceptual ahora la reconocen vía la definición) y en el c (donde se
observa un obstáculo de aprendizaje didáctico que explicaremos más adelante). Asimismo, se reduce
el porcentaje de alumnos que utiliza la imagen conceptual erróneamente.
Respecto del post-test administrado una semana después de las actividades (ver tabla 3), un
primer resultado es que los alumnos mantienen la tendencia observada con el post-test inmediato de justificar más sus respuestas que en el pre-test (casos a, c y d) aunque también se observa una cierta
regresión a una situación similar a la inicial (casos b y e), mención aparte merece el caso e ya que la
ausencia de justificación incluso aumenta, señal de las dificultades de los alumnos de justificar que una figura no es un rombo y de que son conscientes de esa dificultad y prefieren no dar una
justificación. Respecto de las respuestas correctas, se mantiene una cierta mejoría en los porcentajes
respecto al pre-test, pero en algunos casos la mejoría es claramente menor que en el post-test
inmediato (casos a y b). Dentro de las respuestas correctas justificadas a partir de características definitorias del rombo se ve una clara recesión respecto del post-test inmediato pero manteniendo un
avance respecto del pre-test en todos los casos salvo en el c y el e (casos del cuadrado puesto en
posición “de rombo” y del contraejemplo).
a) b) c) d) e)
Correcto
Imagen
conceptual 30% 38% 26% 42% 27%
Definición 10% 21% 5% 16% 5%
Total 40% 59% 31% 58% 32%
Incorrecto
Imagen
conceptual 35% - 39% 5% 4%
Definición - - - - 10%
Total 35% - 39% 5% 14%
Sin justificar 25% 41% 30% 37% 54%
Tabla 3. Resultados post-test diferido
Dado lo llamativo del caso c, “cuadrado en posición estereotipada de rombo”, lo vamos a
analizar por separado. En el pre-test fue correctamente identificado y justificado por el 30,5% de los alumnos, pasando a un 24,5% de los alumnos en el post-test inmediato y a un 31% en el post-test
diferido. Para una mejor comprensión de este hecho, hemos considerado las respuestas sin justificar y
contando con ellas podemos señalar que recibe unos porcentajes de 68% de identificaciones correctas (con o sin justificación) en el test previo frente a unos porcentajes de 38 y 44% en los test posteriores.
Estos datos muestran que esta representación se ha identificado más como cuadrado y menos como
rombo tras la secuencia didáctica. Estos datos hacen que nos cuestionemos el progreso señalado
anteriormente con el caso a de la integración del cuadrado como tipo particular de rombo. Pues los datos indican en primer lugar que en algunos casos se ha integrado el dibujo de cuadrado como tipo
particular de rombo. Y en segundo lugar que se ha fortalecido la no inclusión del cuadrado como tipo
particular de rombo. Tal contradicción entre el caso a y el caso c supone que nuestra actuación posee limitaciones didácticas. Achacamos dicha contradicción a un uso indiscriminado de los alumnos a la
hora de utilizar el giro como técnica para identificar figuras geométricas, asumiendo algunos de ellos
que “siempre” hay que girar la figura para compararla con su imagen conceptual. Los alumnos tratan
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de forma independiente los casos a y c, sin identificar que ambos polígonos son iguales. En el caso a,
los alumnos manipulan mentalmente el cuadrado girándolo y observan que “se forma un rombo”, es
por ello que en el pos-test más alumnos lo identifiquen como tal. En el caso c los alumnos realizarían el mismo giro de forma mental y observan que “se forma un cuadrado”, y por ello lo identifican como
tal.
Figura 8. Uso indiscriminado del giro
a) b) c) d) e)
Alumno A
Pre-test
Sí. Porque si
lo giras es
un rombo.
Sí. Porque
todos los
lados son iguales.
Sí. Porque
todos los
lados son iguales.
Sí. Porque si
lo giras es
un rombo.
No. Porque
los lados no
son iguales.
Post-test
Sí. Si lo
giras sigue siendo un
rombo.
Sí. Porque tiene 4 lados
iguales, 4
ángulos y 4 vértices.
No. No tiene
los 4 lados
iguales.
Sí. Si lo
giras sigue siendo un
rombo.
No. No tiene
los 4 lados
iguales.
Alumno B
Pre-test
No. Porque
los rombos
tienen los vértices
largos
Sí. Porque sí
que es un rombo.
Sí. Porque los rombos
suelen ser
así.
No. Porque los rombos
no están
boca abajo.
No. Porque
los rombos no tienen un
lado más
largo que otro lado.
Post-test
No. Sus 4
lados son
desiguales.
Sí. Sus
cuatro lados
son iguales.
Sí. Sus
cuatro lados
son iguales.
Sí, porque
los lados de los rombos
miden igual.
No. Los
cuatro lados
son iguales.
Tabla 4. Justificaciones de dos alumnos en tareas de identificación de rombo
Tras el análisis de los resultados cuantitativos, ilustraremos los mismos con extractos relevantes
sobre algunas justificaciones para una mejor exposición de los avances observados en algunos
alumnos (ver tabla 4). De entre las justificaciones de los alumnos, destacan la comparación con la
forma estereotipada de rombo combinadas con las alusiones a la relevancia o no de la posición de cada rombo. El alumno A evoluciona desde una concepción del rombo en que la posición es relevante hacia
una nueva concepción en que no lo es. Podemos observarlo en la representación del cuadrado
estereotipado: de “Sí, porque si lo giras es un rombo” (posición relevante) pasa a “Sí, si lo giras sigue siendo un rombo” (posición irrelevante). Observamos las mismas respuestas para la representación del
Caso a)
Caso c)
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rombo “tumbado”. En el resto de casos justifica sus respuestas mediante la definición de rombo
(aludiendo a la igualdad de lados).
Observamos que el alumno B evoluciona hacia la definición del concepto pues pasa de justificar
las preguntas aludiendo a la forma estereotipada del rombo a justificarlas mediante la definición. Por
ejemplo, para el rombo estereotipado: De “Sí, porque sí que es un rombo” a “Sí, porque sus cuatro lados son iguales”. Para el dibujo de cuadrado “en posición de rombo”: de “Sí, porque los rombos
suelen ser así” a “Sí, porque sus cuatro lados son iguales”. O para el rombo en posición no
estereotipada: de “No, porque los rombos no están boca abajo” a “Sí, porque los lados de los rombos
miden igual”.
5. Discusión de los resultados y conclusiones para la docencia
Procedemos en este apartado a poner en relación los resultados observados con los objetivos
planteados en la investigación y a realizar una crítica de la intervención con el fin de aportar ideas para
una propuesta de intervención fundamentada.
Respecto del objetivo 1, “estudiar la mejora de la imagen conceptual del rombo”, podemos decir que hemos tratado de incluir el cuadrado como caso particular e ilustrar el concepto con suficientes
ejemplos y contraejemplos, como sugieren Gutiérrez y Jaime, (2012) para mejorar las tasas de acierto
en las tareas de identificación. Los alumnos mejoran la imagen conceptual del rombo aunque de forma
limitada, pues no incluyen el ejemplo de cuadrado. En la situación previa los alumnos poseen una
imagen conceptual del rombo constituida por los ejemplos de rombo estereotipado, rombo “tumbado” y cuadrado en posición estereotipada de rombo. Nuestra secuencia didáctica ha enriquecido su imagen
mental a través de numerosos ejemplos y contraejemplos de rombos, aunque el hecho de que no
mejore el porcentaje de alumnos que no justifican la identificación del único caso que no es realmente un rombo podría indicarnos la necesidad de enfatizar más aún los contraejemplos en nuestra
secuencia. Como resultado, tras la secuencia las tasas de identificación correcta han subido claramente
en casi todos los casos estudiados. Una posible explicación de lo expuesto anteriormente estaría relacionada con que la secuencia didáctica promueve el uso del giro como herramienta de
identificación de figuras geométricas, lo que unido a que los alumnos de sexto de Educación Primaria
no entienden el cuadrado como tipo particular de rombo, da lugar a efectos indeseados en algunas
tareas de identificación, mostrándose dificultades matemáticas durante la adquisición o instrumentación de las herramientas que GeoGebra nos pone al alcance como ya se muestra en Arnal y
Planas (2013). Esto habría tenido como consecuencia que los alumnos de sexto de primaria habrían
girado el cuadrado en “posición de rombo” haciéndolo coincidir con su imagen conceptual de cuadrado y alejándolo de su imagen conceptual de rombo. Deberíamos transmitir también en futuras
intervenciones que no siempre es necesario girar una figura geométrica para identificarla.
Respecto del objetivo 2, “evaluar el uso de la definición de rombo como estrategia de
identificación”, podemos decir que se ha tratado de superar la mera utilización de la comparación con
imágenes estereotipadas. En general los alumnos de sexto de primaria de nuestro estudio utilizan inicialmente su imagen conceptual para la identificación correcta de rombos, por encima de la
utilización de la definición en coincidencia con muchos autores (Gutiérrez y Jaime, 2012; Moriena y
Scaglia, 2003 y Turégano, 2006). Después de la intervención ambas técnicas de identificación se equilibran e incluso el porcentaje de alumnos utilizando la definición superan a la imagen conceptual.
Desafortunadamente esta tendencia no se mantiene cuando evaluamos esta identificación una semana
después de las actividades con GeoGebra. Dentro de estos cambios sobre la utilización de la imagen conceptual se sitúa una evolución similar de los alumnos que realizan alusiones en sus justificaciones
sobre las imágenes estereotipadas de rombo. Concluimos pues, que los cambios son positivos, pero no
Análisis de progresos y dificultades en tareas de identificación del rombo en Educación Primaria
con GeoGebra A. Arnal-Bailera, A. Lancis Fleta
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permanentes, en coincidencia con Planas y Alsina (2006) donde se muestran otros ejemplos de
adquisición progresiva y no acelerada del conocimiento geométrico. De cara a situaciones posteriores
de enseñanza se concluye que habría que trabajar en este sentido para otros polígonos también, de
modo que el objetivo de promoción de la definición sería reforzado desde otras actividades.
Bibliografía
Arnal-Bailera, A. & Guerrero-Belloc, B. (2015). Construyendo la idea de cuadrado: Un ejemplo de la
integración de GeoGebra en el currículo de 1º de primaria. ReiDoCrea, 4, 129-135. Arnal, A. & Planas, N. (2013). Uso de tecnología en el aprendizaje de la Geometría con grupos de
riesgo: un enfoque discursivo. En Berciano, A.; Gutiérrez, G.; Estepa, A. & Climent, N. (Eds.),
Investigación en Educación Matemática XVII. Bilbao: SEIEM, 157-164. Lasa, A. & Wilhelmi, M. R. (2013). Use of GeoGebra in explorative, explanatory and demonstrative
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García, P., Rodríguez, M. & Uriondo, J. (2002a). Matemáticas 5 – Entre amigos. Madrid: Santillana.
García, P., Rodríguez, M. & Uriondo, J. (2002b). Matemáticas 6 – Entre amigos. Madrid: Santillana. Gutiérrez, A. & Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria y
secundaria. Tecné, Episteme y Didaxis: TED, 32, 55-70.
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Moriena, S. & Scaglia, S. (2003). Efectos de las representaciones gráficas estereotipadas en la
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(ed.), Advanced mathematical thinking, 65-81. Kluwer: Dordrecht.
Alberto Arnal-Bailera. Área de Didáctica de las Matemáticas. Facultad de Educación. Universidad de
Zaragoza. Doctor en Didáctica de las Matemáticas por la Universidad Autónoma de Barcelona. Intereses
de investigación en la Didáctica de la Geometría y particularmente en las aportaciones de GeoGebra a la
enseñanza de la demostración y de la construcción de conceptos en Geometría. [email protected]
Grupo de investigación "S119-Investigación en Educación Matemática" (Gobierno de Aragón).
Proyecto de investigación nacional: EDU2015-65378-P (MINECO)
Ángel Lancis Fleta. Graduado en Magisterio en Educación Primaria por la Universidad de Zaragoza.
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 117-133
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De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos
con candelabros y terminamos con cavernas (Problemas Comentados XLIII)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Utilizando el procedimiento de resolución de problemas en cuatro pasos: comprender,
pensar, ejecutar y responder, explicamos diversas maneras de resolver los problemas
propuestos en anteriores artículos. El uso de tablas de doble entrada para una ordenación
de datos y resultados, contribuye a una visión más clara del procedimiento. Se exponen
los problemas propuestos en la Fase Final del Torneo de 2º de la ESO recientemente
celebrado, solucionando alguno de ellos y dejando el resto para que los lectores nos
aporten sus soluciones y comentarios. Y terminamos con un interesante problema sobre
grafos.
Palabras clave Torneo de matemáticas 2º ESO. Problemas resueltos, Metodologías de resolución de
problemas. Uso de tablas. Problemas de grafos.
Abstract Using the method of problem solving in four steps: understanding, think, execute and
respond, explain various ways to solve the problems proposed in previous articles. The
use of double-entry tables for sorting data and results, contributing to a clearer view of
the procedure. The proposed problems in the final tournament of 2nd ESO recently
concluded, solving any of them and leaving the rest for readers to provide us solutions and comments are presented. And we end with an interesting problem on graphs.
Keywords Math tournament 2nd ESO. Problems solved, problem-solving methodologies. Using
tables. Graph problems
Se dejaron propuestos en el artículo Problemas comentados XLII varios problemas que ahora
pasamos a considerar y solucionar. Están sacados de dos de nuestros sitios favoritos: el Rally
Matemático Transalpino y la revista portuguesa “Educação e Matemática”.
Propuesto en el 21º RMT Prueba I enero - febrero de 2013
Cena a la luz de las velas (I)
Laura ha organizado una cena en su jardín. Para crear un buen ambiente ilumina la mesa
con candelabros de dos, tres o cuatro brazos. Laura elige al menos un candelabro de cada
tipo y en cada uno de ellos coloca una vela por brazo.
1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
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Laura se da cuenta de haber colocado 20 velas en total en los candelabros
que ha usado.
¿Cómo ha utilizado Laura las 20 velas?
Escribid todas las posibilidades.
Indicad para cada una de ellas el número de cada tipo de candelabro y
explicad vuestro razonamiento.
Para presentar la manera de resolver el problema utilizaremos el proceso de resolución que
propone el Proyecto Newton y que usamos de manera casi constante en estas páginas.
Proceso de Resolución
Fase I. Comprender
Datos:
Candelabros de tres tipos: con dos, con tres o con cuatro brazos. Se han colocado 20 velas en
total.
Objetivo:
Cómo ha utilizado Laura las 20 velas, escribiendo todas las posibilidades.
Indicar para cada una de ellas el número de cada tipo de candelabro.
Relación:
Al menos un candelabro de cada tipo y en cada uno de ellos una vela por brazo.
Los candelabros completos, usando las 20 velas.
Diagrama:
Un diagrama simple para ensayo y error o búsqueda sistemática y exhaustiva.
Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Candelabros
20
20
20
20
20
Fase II. Pensar
Estrategias:
Organizar la información con o sin simplificar
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Ensayo y error
Modelización
Fase III. Ejecutar
Estamos buscando descomposiciones de 20 en una suma de términos 2, 3 y 4 (20 = 2 + 2 + … +
3 + 3 + … + 4 + 4 …) o en sumas de múltiplos de 2, de 3 o de 4 con al menos un término de cada tipo.
Se podría intentar hacer la búsqueda de las soluciones por ensayo y error, pero este
procedimiento no permite garantizar que se encuentran todas las soluciones. Los alumnos se darían
por satisfechos cuando se encuentre una.
De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total Velas (20)
3 x 4 = 12 3 x 3 = 9 3 x 2 = 6 12 + 9 + 6 = 27 27 > 20 NO
Razonar que sobran 7. ¿Cómo eliminar candelabros para conseguir que sólo queden 20 velas? Evidentemente sólo se puede conseguir eliminando uno de tres brazos y otro de cuatro brazos. Queda
así la tabla:
De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total Velas (20)
3 x 4 = 12 3 x 3 = 9 3 x 2 = 6 12 + 9 + 6 = 27 27 > 20 NO
2 x 4 = 8 2 x 3 = 6 3 x 2 = 6 8 + 6 + 6 = 20 20 = 20 SÍ
Prosiguiendo así se pueden encontrar otras soluciones, pero sigue siendo difícil precisar que se han encontrado todas. Una búsqueda más sistemática puede ser organizada por tipos de candelabros,
fijando por ejemplo el número de candelabros de 4 velas (o los múltiplos de 4).
Hay como máximo 3 candelabros de 4 velas (5 o 4 no permitirían tener otros dos candelabros de
2 y de 3 brazos). Podemos utilizar una tabla simple para sistematizar la búsqueda:
Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Candelabros
20
20
20
20
20
20
20
Empezaremos con 4 candelabros de 4 brazos
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Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Candelabros
20 4 (16 velas) 0 2 (4 velas) 6 NO
20 3 (12 velas) 2 (6 velas) 1 (2 velas) 6 SÍ
20 3 (12 velas) 1 (3 velas) Impar NO
20 2 (8 velas) 4 (12 velas) 0 6 NO
20 2 (8 velas) 3 (9 velas) Impar 5 NO
20 2 (8 velas) 2 (6 velas) 3 (6 velas) 7 SÍ
20 2 (8 velas) 1 (3 velas) Impar NO
20 1 (4 velas) 5 (15 velas) Impar NO
20 1 (4 velas) 4 (12 velas) 2 (4 velas) 7 SÍ
20 1 (4 velas) 3 (9 velas) Impar NO
20 1 (4 velas) 2 (6 velas) 5 (10 velas) 8 SÍ
20 1 (4 velas) 1 (3 velas) Impar NO
Que nos darían los cuatro casos posibles. Y, además, con el razonamiento escrito del por qué de
la no validez de los otros casos.
Otra forma de razonar consiste en observar que, para utilizar un candelabro de cada tipo, Laura
ha necesitado ya de 9 (2 + 3 + 4) velas; quedan 11 (20 – 9) velas para distribuir; entonces se deberá utilizar al menos otro candelabro de 3 brazos para obtener un número par. Han sido así utilizadas 12 (2
+ 3 + 3 + 4) velas y quedan solamente 8 por colocar, según uno de los cuatro repartos: 3 + 3 + 2 = 4 +
4 = 4 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2.
Podríamos simplificar bastante el cálculo si, antes de empezar, realizamos una simplificación del problema. Como debe haber al menos un candelabro de cada clase, eliminamos esos tres del total,
lo que equivaldría a tener un total de velas:
20 – (1 x 4 + 1 x 3 + 1 x 2) = 20 – (4 + 3 + 2) = 20 – 8 = 11
La tabla quedaría ahora de la siguiente manera:
Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total velas Candelabros
11
11
11
11
11
Con la particularidad de que ahora sí puede haber ceros, uno o dos, en las columnas.
Una vez encontradas las soluciones posibles habría que sumarle 1 a cada uno de ellos para
obtener los resultados correctos.
Velas De 4 brazos De 3 brazos De 2 brazos Total velas Candelabros
11 1 x 4 = 4 1 x 3 = 3 2 x 2 = 4 4 + 3 + 4 = 11 4
20 2 x 4 = 8 2 x 3 = 6 3 x 2 = 6 8 + 6 + 6 = 20 7
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Los cuatro casos serían éstos:
20 = 3 × 4 + 8 = 3 × 4 + 2 × 3 + 1 × 2: 6 candelabros 3 de cuatro brazos, 2 de tres y 1 de dos
20 = 2 × 4 + 12 = 2 × 4 + 2 × 3 + 3 × 2: 7 candelabros 2 de cuatro brazos, 2 de tres y 3 de dos
20 = 1 × 4 + 4 × 3 + 2 × 2: 7 candelabros 1 de cuatro brazos, 4 de tres y 2 de dos
20 = 1 × 4 + 16 = 1 × 4 + 2 × 3 + 5 × 2: 8 candelabros 1 de cuatro brazos, 2 de tres y 5 de dos
A los que se puede llegar también por razonamiento directo.
Hay otras maneras de abordar la resolución de este problema. Una de ellas consiste en realizar
una modelización, utilizando tarjetas o recipientes para 2, 3 o 4 (candelabros) y 20 fichas (velas). Un
reparto adecuado nos puede dar algunas soluciones. Tenerlas todas puede resultar bastante complejo.
También se puede abordar desde una organización algebraica. Llamemos x, y, z al número de
candelabros de 4, de 3 y de 2 brazos, respectivamente. Planteamos:
4 x + 3 y + 2 z = 20
Fijando una de las incógnitas (desde 1, mínimo, hasta 8, máximo) se nos convierte en una
ecuación diofántica (soluciones enteras y positivas) de sencilla resolución, asequible e interesante de
trabajar con alumnos del segundo ciclo de la ESO.
Elegimos la x (número de candelabros de 4 brazos) que puede variar desde 1 hasta 3. No puede valer 4 porque tendríamos 4 x 4 = 16 velas lo que nos dejaría 20 – 16 = 4 velas para 1 candelabro de 3
brazos y 1 candelabro de 2 brazos, lo que hace un total de 5 velas.
Por tanto:
Para x = 3: 4 x + 3 y + 2 z = 20 12 + 3 y + 2 z = 20 3 y + 2 z = 8
z = (8 – 3 y) / 2. La incógnita puede tomar valores desde y = 1 hasta y = 2.
Si y = 1: z = (8 – 3) / 2 = 5/2 no entera
Si y = 2: z = (8 – 6) / 2 = 2/2 = 1 entera
de donde: x = 3, y = 2, z = 1. Supone un total de 12 + 8 + 2 = 20 velas y 6 candelabros.
Para x = 2: 4 x + 3 y + 2 z = 20 8 + 3 y + 2 z = 20 3 y + 2 z = 12
z = (12 – 3 y) / 2 La incógnita puede tomar valores desde y = 1 hasta y = 3.
Si y = 1: z = (12 – 3) / 2 = 9/2 no entera
Si y = 2: z = (12 – 6) / 2 = 6/2 = 3 entera
Si y = 3: z = (12 – 9) / 2 = 3/2 no entera
de donde: x = 2, y = 2, z = 3. Supone un total de 8 + 6 + 6 = 20 velas y 7 candelabros.
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Para x = 1: 4 x + 3 y + 2 z = 20 4 + 3 y + 2 z = 20 3 y + 2 z = 16
z = (16 – 3 y) / 2 la incógnita puede tomar valores desde y = 1 hasta y = 5.
Si y = 1: z = (16 – 3) / 2 = 13/2 no entera
Si y = 2: z = (16 – 6) / 2 = 10/2 = 5 entera
Si y = 3: z = (16 – 9) / 2 = 7/2 no entera
Si y = 4: z = (16 – 12) / 2 = 4/2 = 2 entera
Si y = 5: z = (16 – 15) / 2 = 1/2 no entera
de donde: x = 1, y = 2, z = 5. Supone un total de 4 + 6 + 10 = 20 velas y 8 candelabros.
Y también: x = 1, y = 4, z = 2. Supone un total de 4 + 12 + 4 = 20 velas y 7 candelabros.
Lo que nos vuelve a traer las cuatro soluciones ya obtenidas con anterioridad.
Solución:
Cuatro repartos diferentes:
6 candelabros 3 de cuatro brazos, 2 de tres y 1 de dos
7 candelabros 2 de cuatro brazos, 2 de tres y 3 de dos
7 candelabros 1 de cuatro brazos, 4 de tres y 2 de dos
8 candelabros 1 de cuatro brazos, 2 de tres y 5 de dos
Fase IV. Responder
Comprobación:
3 × 4 + 2 × 3 + 1 × 2 = 12 + 6 + 2 = 20
2 × 4 + 2 × 3 + 3 × 2 = 8 + 6 + 6 = 20
1 × 4 + 4 × 3 + 2 × 2 = 4 + 12 + 4 = 20
1 × 4 + 2 × 3 + 5 × 2 = 4 + 6 + 10 = 20
Análisis:
La solución es múltiple; hay cuatro posibilidades diferentes.
Respuesta:
Laura ha utilizado las 20 velas de una de las cuatro maneras siguientes:
6 candelabros 3 de cuatro brazos, 2 de tres y 1 de dos
7 candelabros 2 de cuatro brazos, 2 de tres y 3 de dos
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7 candelabros 1 de cuatro brazos, 4 de tres y 2 de dos
8 candelabros 1 de cuatro brazos, 2 de tres y 5 de dos
El resto de problemas cuya resolución presentamos, por razones de espacio, lo haremos de manera más simplificada. Pero teniendo presente siempre que las respuestas han sido buscadas a
través de su uso.
Problema propuesto en el número 104 de “Educação e Matemática”
Mensajes de móvil
Cinco amigos se encontraron y pasaron la tarde enviando mensajes de móvil, en un total
de 120. Uno de ellos mandó 51 mensajes, Rita envió el doble que Sheila, Vera mandó el triple de Duarte y Juan cinco veces más que uno de sus amigos.
¿Cuántos mensajes envió cada uno?
En dicha revista se reseñan también las mejores soluciones presentadas por los profesores de la
Associação de Professores de Matemática (APM) y a veces, como en este caso, alguna presentada por
un alumno a instancias de sus profesores.
La que presentamos aquí está basada en una resolución de Pedro Silva, de 7º año de la Escola
Secundária Vergílio Ferreira.
Los datos son: Cinco amigos. Pasan la tarde enviando 120 mensajes de móvil. El objetivo:
cuántos mensajes envió cada uno. Las relaciones: uno de ellos mandó 51 mensajes. Rita envió el doble
que Sheila. Vera mandó el triple que Duarte. João cinco veces más que uno de los amigos.
Utilizaremos como diagrama una tabla y las estrategias ensayo y error y organizar la
información.
Procedemos:
De los datos se deduce que los cinco amigos son: Rita, Sheila, Vera, Duarte y João. João envía el quíntuple de alguno de los otros amigos que no sé cuál es todavía. Ninguno de ellos puede mandar
mensaje y medio. Se trabaja con números naturales.
Veamos cuál de ellos envió 51 mensajes:
Suponemos que Rita envía 51 mensajes:
Rita Sheila Vera Duarte João Conclusión
51 51 : 2 = 25,5 NO
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Rita envió el doble que Sheila.
Rita envía 51 mensajes Sheila enviaría 25,5. No es número natural. Rita no puede ser.
Suponemos que Sheila envía 51 mensajes:
Rita Sheila Vera Duarte João Conclusión
51 51 : 2 = 25,5 NO
51 x 2 = 102 51 NO
Rita envió el doble que Sheila.
Sheila envía 51 mensajes Rita enviaría 102. Y como 102 + 51 da 153 mensajes se pasa del
total de mensajes. Sheila tampoco es.
Suponemos que Vera envía 51 mensajes:
Rita Sheila Vera Duarte João Conclusión
51 51 : 2 = 25,5 NO
51 x 2 = 102 51 NO
51 51 : 3 = 17 Posible
Vera mandó el triple que Duarte.
Vera envía 51 mensajes Duarte enviaría 17. Es posible, pero tenemos que ver lo que pasa con
los otros amigos para estar seguro.
Suponemos que Duarte envía 51 mensajes:
Rita Sheila Vera Duarte João Conclusión
51 51 : 2 = 25,5 NO
51 x 2 = 102 51 NO
51 51 : 3 = 17 Posible
51 x 3 = 153 51 NO
Vera mandó el triple que Duarte.
Duarte envía 51 mensajes Vera enviaría 153. Pasa de los 120. Es imposible que fuese Duarte.
Suponemos que João envía 51 mensajes:
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Rita Sheila Vera Duarte João Conclusión
51 51 : 2 = 25,5 NO
51 x 2 = 102 51 NO
51 51 : 3 = 17 Posible
51 x 3 = 153 51 NO
51 NO
João envía cinco veces más mensajes que uno de los amigos.
João no puede ser el que envía 51 porque como manda 5 veces más mensajes que uno
cualquiera de los amigos y como la quinta parte de 51 no es un número entero (51 no es múltiplo de 5)
no es correcto. No se pueden enviar mensajes que no sean completos.
Podemos ya asegurar que fue Vera quien envió 51 mensajes. Y también sabemos que Duarte
envió 17, la tercera parte de 51. Entre Vera y Duarte, por tanto, enviaron 51 + 17 = 68 mensajes.
Como se enviaron en total 120 mensajes, quedan 120 – 68 = 52 mensajes para distribuir entre los otros 3 amigos. Rita envió 2 veces el número de mensajes que Sheila. João envió o 5 veces el
número de mensajes que Sheila o bien 5 veces el número de mensajes que Rita.
Hagamos una nueva tabla sólo para los tres amigos que quedan:
Rita Sheila João Total Conclusión
2N N 5N 52 52 : (2N + N + 5N) = 52 : 8N 6 < N < 7
2N N 10N 52 52 : (2N + N + 10N) = 52 : 13N N = 4
No encontramos un número natural que satisfaga primera fila. No puede ser. Para la segunda
fila sí encontramos ese número natural: N = 4.
Sheila envía, por consiguiente, 4 mensajes. Rita mandó el doble, 8 mensajes. João, como envió
el quíntuplo que Rita, mandó 8 x 5 = 40 mensajes.
Solución: Vera envió 51, Duarte 17, Sheila 4, Rita 8 y João 40 mensajes.
Comprobamos: 51 + 17 + 8 + 4 + 40 = 120
Uno de ellos mandó 51 mensajes Vera
Rita envió el doble que Sheila 8 = 2 x 4
Vera mandó el triple que Duarte 51 = 3 x 17
João cinco veces más que uno de los amigos 40 = 5 x 8
La solución es única y satisfactoria.
De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos con candelabros y terminamos con
cavernas. (Problemas Comentados XLIII) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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Respuesta
Vera envió 51 mensajes, Duarte envió 17, Sheila envió 4, Rita envió 8 y João envió 40
mensajes.
El pasado 13 de mayo se celebró en La Laguna la Segunda Fase del XXXII Torneo de
Secundaria del año 2016. Como casi siempre se propusieron a los alumnos 5 problemas y una prueba
de tipo práctico para resolver de manera manipulativa.
Nos llamó la atención que el segundo problema, que nos tocó corregir a nosotros, no fuese
resuelto por ninguno de los 23 alumnos (15 a nivel individual y 4 parejas) seleccionados en la Primera
Fase.
Aparentemente se trata de un sencillo problema de porcentajes. No debería tener dificultad. Pero
lo cierto es que solamente cinco alumnos fueron capaces de hacer correctamente la primera parte del problema y ninguno la segunda parte. ¿Por qué? Creemos que es debido a fallos en el aprendizaje de
los porcentajes. Todos ellos utilizaron la técnica de la regla de tres, de manera totalmente mecánica.
Pensamos también que si utilizaran un diagrama partes/todo para representar la situación o alguna
tabla de proporcionalidad cometerían menos errores.
Sandías a secar
Un estudio científico pretende determinar cómo afecta el sol en
los cultivos de las sandías.
Se toma una sandía de 8 kg, de los cuales el 98% de su peso es
agua. Después de cierto tiempo al sol se evapora parte del agua, siendo ahora el porcentaje de agua en la sandía del 96%.
¿Cuál es el peso actual de la sandía?
Explica detalladamente tus razonamientos.
Los datos son: una sandía de 8 kg. El 98% de su peso es agua. Al sol se evapora parte del agua,
siendo ahora el porcentaje de agua en la sandía del 96%.
El objetivo es: peso actual de la sandía.
La relación es: se evapora parte del agua, no la materia sólida.
Usaremos un diagrama Partes/Todo y la estrategia de ORGANIZAR LA INFORMACIÓN.
Procedemos: Representamos las dos situaciones mediante diagramas partes/todo.
1º. La sandía antes de ser expuesta al sol.
98%
2%
La etiqueta del todo es el peso de la sandía.
8
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Cada parte tiene dos etiquetas: la del peso y la del porcentaje; son dos formas distintas pero
equivalentes de medir el peso del agua y de la materia sólida.
Se hace una transformación de la etiqueta porcentual de cada parte en unidades de peso (kg).
La sandia tiene un 98% de agua 0,98 x 8 = 7,84 kg de agua.
El 2% es materia sólida 0,02 x 8 = 0,16 kg de materia sólida.
98% 2%
2º. La sandía después de ser expuesta al sol.
Después de un tiempo el agua es el 96%, pero la materia sólida es la misma (0,16 kg), el peso de
la cual se corresponde ahora con el 4%.
96%
4%
Por tanto, siendo x el peso total de la sandía, tenemos la siguiente ecuación:
0,04 x = 0,16 x = 0,16 : 0,04 = 4 kg
También podemos calcular así (por reducción a la unidad):
0,16 : 4 = 0,04 0,04 x 96 = 3,84 3,84 + 0,16 = 4 kg
La solución es 4 kg. La comprobamos razonando de la siguiente manera: si el porcentaje actual
de materia sólida ha aumentado (sin modificarse en sí misma) del 2% al 4% (el doble) es porque la
sandía ha disminuido su peso a la mitad.
También, como hemos realizado los cálculos de dos maneras diferentes, usar uno de ellos como
comprobación del otro. La solución es única.
0,16
8
7,84 0,16
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Respuesta
El peso actual de la sandía es de 4 kg.
El resto de los problemas de la prueba se los dejamos aquí para que se entretengan en
resolverlos hasta la salida del próximo número de esta revista.
Elaborando el calendario
En el mes de enero de un determinado año hay exactamente 4
viernes y 4 lunes. ¿Qué día de la semana podría ser el 20 de
enero?
Explica detalladamente tus razonamientos.
El cuadrado dividido
Si cada uno de los 5 rectángulos internos en los que está dividido el cuadrado de la figura posee un perímetro de 72 cm, ¿cuál es el área total del cuadrado?
Explica detalladamente tus razonamientos.
Un triángulo especial
Uno de los lados de un triángulo equilátero coincide con el lado de un
cuadrado. Se construye un triángulo de la forma sombreada que se muestra
en la figura adjunta.
1. Calcula la medida del ángulo x indicado.
2. Sabiendo que el lado del cuadrado mide a centímetros, averigua el
área del triángulo sombreado
Explica detalladamente tus razonamientos.
El camión de Savonex
El lunes la empresa Savonex ha producido 279 cajas de pastillas de jabón. Para transportarlas el camión de la fábrica realiza
varios viajes, en todos ellos va completamente cargado,
quedando 3 cajas para ser transportadas el martes. El martes la fábrica produce 216 cajas y el camión realiza 2 viajes menos que el día
anterior, todos ellos con el camión completamente cargado, salvo el último viaje en el que
quedaba sitio para 11 cajas.
a) ¿Cuántos viajes hizo el martes?
b) ¿Cuántas cajas transporta el camión cuando va totalmente cargado?
Explica detalladamente tus razonamientos.
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Prueba práctica: desafío del juego de los “barquitos” o “batalla naval”
Todos hemos jugado alguna vez a este juego. Es esta cuadrícula de 10x10 casillas se han de colocar diez barcos: 4 submarinos (1x1), 3 destructores (2x1), 2 cruceros de guerra (3x1) y un
portaviones (4x1). Los barcos deben colocarse en el tablero sin que contacten entre sí, ni siquiera en
las esquinas. El desafío consiste en colocar todos los barcos menos el portaviones, de tal manera que este
barco se quede sin sitio donde ser colocado. Es decir, debes colocar todos los 9 barcos más pequeños
de manera tal que sea imposible colocar el portaviones cumpliendo con la regla del primer párrafo. No
valen las soluciones obtenidas por giros o simetrías de otras. Tienes varios tableros reproducidos a menor tamaño para que dibujes las soluciones que
encuentres. Cada solución correcta es un punto al que se le podrá aplicar un coeficiente para sumar en
el resultado al resto de la Prueba Final.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
El tablero iba acompañado de reproducciones de los barcos al tamaño adecuado como para
poder manipularlos y ensayar sobre el mismo, las posibles soluciones.
Dentro de los problemas trimestrales del Proyecto Newton, en este tercer trimestre del curso se
propuso un problema muy interesante, sacado de una Olimpiada de problemas matemáticos.
Resulta interesante porque al resolverlo se evidencia con mucha claridad que el álgebra
(planteamiento de ecuaciones), siendo una herramienta muy eficaz, es sin embargo bastante poco
realista en su aplicación a problemas de números enteros.
Pisadas
Alicia midió el largo del jardín de su amiga Paula con pasos de 48 cm. Después lo midió Paula con pasos de 64 cm.
Quedaron marcadas en total 58 pisadas distintas.
¿Cuál es el largo del terreno?
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Los datos son: Alicia y Paula miden el largo del jardín. Alicia lo hace con pasos de 48 cm. Paula lo
mide con pasos de 64 cm. Quedaron marcadas en total 58 pisadas distintas.
El objetivo es: Cuál es el largo del terreno.
La relación es: A mayor tamaño de la pisada menos pisadas son necesarias.
Usaremos como diagrama un modelo (huellas recortadas en papel), un diagrama rectilíneo doble
o una tabla, mediante estrategias de modelización u organizar la información.
Procedemos: Como el paso de Paula es más largo dará menos pasos al medir el terreno.
Mediante modelización:
Recortaremos (o dibujaremos) las huellas (pueden ser segmentos) de ambas niñas en un tamaño
proporcional a las medidas que da el problema. Luego pondremos en dos líneas paralelas -diagramas rectilíneos- dichas huellas hasta completar las 58 indicadas en el problema. Puesto que la relación
entre las huellas es de 64/48 = 4/3, es fácil hacerlo con recortes de tiras de papel o cartulina que midan
2 y 1,5 cm, por ejemplo. Además, se pone en evidencia esta relación al ver que coinciden cada 4 pasos
de Alicia con 3 pasos de Paula.
Alicia
Paula
En algún caso, y si hay cintas métricas de papel disponibles en el aula, puede ocurrírseles a los
propios alumnos el marcar en dos cintas estas medidas y luego ponerlas en paralelo. Siempre podemos
darles una ikea de conseguir esas cintas de papel.
Contando las huellas y calculando la distancia recorrida tendremos resuelto el problema.
Mediante razonamiento aritmético:
Hacemos una tabla para comparar las pisadas y distancias recorridas hasta encontrar una
coincidencia:
Número de pasos Distancia recorrida por Alicia Distancia recorrida por Paula
1 1 x 48 = 48 cm 1 x 64 = 64 cm
2 2 x 48 = 96 cm 2 x 64 = 128 cm
3 3 x 48 = 144 cm 3 x 64 = 192 cm
4 4 x 48 = 192 cm
5
6
Al fin y al cabo, lo que hemos hecho es hallar el mínimo múltiplo común de 48 y 64, que se
puede realizar con la descomposición en factores clásica.
Por cada cuatro pasos de Alicia, Paula da tres para recorrer la misma distancia: 192 cm. Eso
supone siete huellas de pisadas sobre el jardín. Ahora buscaremos las coincidencias que se producen
hasta que se produzcan 58 huellas distintas en total:
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Pisadas de Alicia Pisadas de Paula Distancia recorrida Nº total de pisadas
4 3 192 cm 7
8 6 192 x 2 = 384 cm 14
12 9 192 x 3 = 576 cm 21
16 12 192 x 4 = 768 cm 28
20 15 192 x 5 = 960 cm 35
24 18 192 x 6 = 1152 cm 42
28 21 192 x 7 = 1344 cm 49
32 24 192 x 8 = 1536 cm 56
36 27 192 x 9 = 1728 cm 63
Tenemos que no pueden medir exactamente las dos niñas el largo del terreno. Con 56 pisadas lo
miden exactamente y resulta ser de 15,36 metros. Pero falta una pisada de cada una, lo que supone:
15,36 + 0, 48 = 15,84 metros
15,36 + 0,64 = 16,00 metros
Esto nos hace concluir que aunque las dos dan un paso más (Alicia da 33 y Paula da 25) la que
alcanza la marca es la que lo da mayor, es decir, Paula; ella da la medida exacta del largo del jardín.
Mediante razonamiento algebraico:
Llamamos x al número de pasos de Alicia e y al número de pasos de Paula.
48𝑥 = 64𝑦𝑥 + 𝑦 = 58
⌉
Despejamos y en la primera de las ecuaciones: 𝑦 = 48𝑥/64 y resolvemos:
𝑥 +48𝑥
64 = 58 → 64𝑥 + 48𝑥 = 3712 → 112𝑥 = 3712 → 𝑥 = 𝟑𝟑. 𝟏𝟒 → 𝑦 = 𝟐𝟒. 𝟖𝟔
aproximando ambos valores a la centésima.
Para x: 33,14 x 0,48 = 15,9; para y: 24,86 x 0,64 = 15,9
Por aproximación, la solución es 16 metros. Comprobamos los valores enteros: 33 x 0,48 = 15,84 metros; 25 x 0,64 = 16 metros; 33 + 25 = 58 pisadas. La solución es única pero necesita
discusión.
Si operamos con fracciones, en lugar de hacer las divisiones y despreciar parte de los valores al
aproximar, nos encontraríamos lo siguiente:
𝑥 = 331
7=
232
7, e 𝑦 = 24
6
7, y la suma de 𝑥 + 𝑦 =
174
7+
232
7=
406
7 = 58, que es el total de
pasos exacto.
Respuesta
El largo del jardín de Paula es de 16 metros.
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Aunque ya tienen los problemas restantes del Torneo para entretenerse en verano, como son de
nivel sencillo, vamos a incluir algunos más que les den algo más que pensar.
Estos están sacados del blog “Mates y Más” del amigo José Mª Vázquez:
De la revista “Educaçao e Matematica”, nº 132, de la sección Problemas de Prof-Mat (2015), el
concurso presentado a los participantes en ProfMat 2015 consistió en la resolución del problema:
Mármol en la plaza
El municipio de Évora tiene la intención de construir en la plaza Sertório un área
rectangular (no cuadrada) pavimentada con mármol, en torno a la cual luego se colocarán varios bancos de jardín y algunos árboles para hacer sombra.
Para ello, encargó placas cuadradas de mármol que midan un metro de lado. Cierto
número de placas de mármol de color rosa formarían un rectángulo más pequeño y un número diferente de placas de mármol verde crearían una banda de ancho constante
alrededor de la zona rosa.
La orden ya había sido dada cuando el alcalde pensó que sería más bonito un rectángulo
central verde con un borde de color rosa. - No importa - dijo el técnico responsable después de hacer algunos cálculos.
Casualmente, sin tener que cortar ninguna placa, se puede hacer una banda rosa, un poco
más grande de lo previsto, alrededor de un rectángulo verde central. Por otra parte, se trata de una zona pavimentada con un área más pequeña a la que podría haberse
realizado.
¿Cuál es el área de la zona rectangular a pavimentar y cuántas placas de cada color
se usarán?
De Torneos y otros asuntos interesantes, pues empezamos con candelabros y terminamos con
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Y tomado de “El gran libro de juegos para la mente” de Ivan Moscovich, problema 88, que a su vez se basa en el problema de los caminos coloreados (Teoría de Grafos) de varios autores (es un
problema del tipo Grafo direccionado estrictamente bifurcado):
Visitando el yacimiento arqueológico
En un yacimiento arqueológico hay 9 cavernas conectadas por pasadizos, todos de sentido
único menos uno. Unos pasadizos están marcados en color rojo y otros en negro.
Las cavernas las hemos numerado de 1 a 9 y están unidas por los pasillos según estos esquemas que hizo el guía con el que se visita el yacimiento. Las flechas indican el
sentido en que se puede ir de una a otra caverna, los pasillos no se cruzan y al menos 3
pasadizos llegan o salen de cada cueva. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué dos cavernas están
unidas por un pasillo de doble sentido?
b) Dibuja un esquema con las
cuevas y los pasadizos que las unen,
indicando con flechas negras y rojas el
sentido en que se pueden recorrer y su
color.
c) Finalizada la visita, el guía
quiere reunir en una de las cavernas a
todos los asistentes, que se hallan
dispersos por las cuevas, dando una
única instrucción a todos (por el
sistema de megafonía), diciéndoles
qué pasillos (color) y en qué orden, deben hacer el recorrido. Por ejemplo: salir por el negro,
luego otros dos negros y por último uno rojo.
c1) ¿Qué instrucción serían para que el número de pasillos recorridos sea mínimo?
c2) ¿En cuál de las cavernas acabarán todos reunidos? c3) ¿Cuál es la única cueva desde la que tienes dos itinerarios distintos para ir al punto de
reunión?
d) Si quisiera un recorrido más corto de solo dos pasillos, ¿cuál podría ser la instrucción? ¿Desde
qué cavernas no se podría cumplir?
Y perdonen que insistamos: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos;
utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que
probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos
alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense…
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
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8
5 3
4
8 1
9
6 7
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 135-144
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La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Exposición y análisis del juego La Liebre y la Tortuga, un juego de recorrido diseñado
por David Parlett: descripción sucinta del juego, su original sistema de avances,
modificaciones en sus reglas, diversas ediciones. Aspectos matemáticos de La Liebre y la
Tortuga: tablas de valores, funciones, gráficas y series. También reseñamos la respuesta
recibida a las cuestiones planteadas en anterior artículo sobre calendarios y poliminos y
hacemos la crónica del concurso de diseño de juegos del IES Lucas Martín Espino de
Icod de los Vinos (Tenerife).
Palabras clave Descripción y aspectos matemáticos juego La Liebre y la Tortuga. Poliminos en
calendarios. Concurso de diseño de juegos para alumnos de secundaria.
Abstract Presentation and analysis of the game The Hare and the Tortoise, a game of course
designed by David Parlett: brief description of the game, the original system advances,
changes in its rules, various editions. Mathematical aspects of The Hare and the Tortoise:
value tables, functions, graphs and series. Also we reviewed the responses received to the
questions raised in previous article on calendars and polyominoes and we chronicled the
design contest games IES Lucas Martin Espino of Icod (Tenerife).
Keywords Description and mathematical aspects game The Hare and the Tortoise. Polyominoes
calendars. Game design contest for high school students.
1. Introducción
Normalmente, los juegos de recorrido llevan un elevado porcentaje de componente del azar en
su desarrollo. Y el artilugio más común para introducir ese factor de azar son los dados.
Pero hay unos pocos juegos de este tipo en los que no interviene el azar o lo hace en una
mínima medida, y se utilizan otros elementos para el avance por las casillas.
Este es el caso del original juego de La liebre y la tortuga.
Otros son juegos que surgen como variantes de otros ya conocidos como El parchís “top
secret”.
1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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2. La liebre y la tortuga
Basado en la conocida fábula de Esopo de igual nombre (Χελώνη κα
λαγωός) luego reescrita por Jean de La Fontaine y Félix María Samaniego,
fue inventado por David Parlett en 1973 y estuvo a la venta, por primera vez, en junio de 1974. La figura 1 muestra el primer diseño de Parlett con
el recorrido a realizar por los jugadores y la figura 2 la primera edición que
fue publicado por “Intellect Games” con un estilo victoriano. En 1975 ya lo
situaron los lectores de la revista “Games & Puzzles” entre los 10 mejores juegos tras Monopoly, Mastermind y Scrabble, pero por delante de Cluedo,
todos ellos juegos bien conocidos. Con más de 40 años de existencia ha
sido publicado en numerosos países. La variante de los hermanos Grimm de la fábula, enfrenta a la liebre con un
erizo (figura 3) que gana al orejudo animal haciendo una carrera de
relevo con sus familiares y es como aparece el juego en la versión
alemana (publicada por Ravensburger en 1978), cuando ganó el ahora prestigioso galardón Spiel des Jahres de 1979, compitiendo con juegos
como Acquire y Blockade de Sid Sickson, Alaska de Eric Solomon, el
electrónico Simon o el magnético Shogun, alguno ya mencionado en
anteriores artículos nuestros.
La principal característica del juego está en la manera de
avanzar. El movimiento de las
fichas de los jugadores no se
fundamenta en un elemento de azar como los dados o tarjetas
de avance; los jugadores
mueven sus fichas una distancia que depende de la
estrategia que sigan y utilizando
tarjetas con zanahorias que hacen el papel de combustible para
el avance. Estos avances vienen dados en una tabla como la de la figura 4. La cuestión está en que el consumo no es lineal,
puede usarse una zanahoria por casilla para avanzar de una en
una a velocidad de tortuga y con el riesgo de quedarse atrás, o pueden usarse 55 hortalizas para avanzar 10 casillas con
aceleración de liebre y consumir el combustible teniendo que
esperar turnos para recuperarlo. Por tanto para moverse n
casillas, n natural, el número de zanahorias necesarias es:
∑𝑛
𝑛
𝑖=1
lo que conduce a la siguiente función que relaciona el número de zanahorias necesarias y=f(x), siendo
la variable x la cantidad de casillas a recorrer.
𝑦 = 0.5𝑥2 + 0.5𝑥
Podemos ver su gráfica, comparada con un avance lineal, en la siguiente gráfica 1
Figura 2
Figura 3
Figura 1
Figura 4
La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
137 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
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Gráfica 1
Realizada con los valores de la tabla 1 siguiente:
Tabla 1
Se trata de un juego donde prima la estrategia, aunque el azar, en forma de 10 tarjetas-liebre con instrucciones como “No podrás jugar en tu próximo turno”, “Adelanta tu ficha de modo que ganes una
posición dentro del conjunto de los que jugáis”, “Tu última tirada te resulta gratis, … produce
incidencias no previsibles en el desarrollo del recorrido (En la primera edición en español). Otras normas del juego como el limitar con cuántas zanahorias se puede llegar a la casilla 64, el tener que
deshacerse de las tres lechugas por el camino, el que la reposición del alimento dependa de la posición
relativa en la carreta por llegar a la última casilla, hace que el juego tenga constantes cambios en las
posiciones y en las expectativas de llegar al final, haciéndolo dinámico y muy entretenido.
El juego, poco conocido, permite en nuestra opinión el desarrollo de conceptos relacionados con las matemáticas. Por un lado, el análisis de situaciones problemáticas, pues en cada jugada se debe
evaluar qué hacer en función de las condiciones del juego en ese momento. Su práctica como actividad
en la clase de matemáticas nos permite plantear una serie de cuestiones a investigar con los alumnos.
Como ejemplos, podemos intentar estudiar las siguientes cuestiones:
¿Qué relación existe entre las cantidades de zanahorias y las casillas que permiten
avanzar?
¿Qué función expresa esta relación? Calcula cuántas zanahorias serán necesarias para avanzar 50, 60, 64, n casillas.
Juega alguna partida con una tabla de avances que siga una expresión lineal, como en la
tabla 1, y comenta el desarrollo del juego en este caso.
Mira cómo se distribuyen las casillas de cada tipo en el recorrido y plantea hipótesis de
por qué están a esas distancias una de otras.
Para ello se puede comenzar por trasladar a unas tablas valores tales como los que se muestran
en la tabla 2, y a partir de ahí conjeturar.
0
50
100
150
200
250
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Zanahorias lineal
Zanahorias
Avances 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Zanahorias 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
Zanahorias
lineal 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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Casilla Casilla Casilla
Nº Tipo Nº Tipo Nº Tipo Veces Casillas
1 Liebre 22 Lechuga 43 Tortuga Liebre 13 1, 3, 6, 14, 25, 31, 34, 39, 46, 51, 58, 61, 63
2 Zanahorias 23 2 44 3 Zanahorias 11 2, 5, 13, 21, 26, 33, 38, 40, 49, 55, 59
3 Liebre 24 Tortuga 45 4 Tortuga 10 8, 11, 15, 19, 24, 30, 37, 43, 50, 56
4 3 25 Liebre 46 Liebre Lechuga 5 7, 22, 42, 57, 62
5 Zanahorias 26 Zanahorias 47 2 2 9 10, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 60
6 Liebre 27 4 48 1-6 3 7 4, 12, 0, 28, 36, 44, 52,
7 Lechuga 28 3 49 Zanahorias 4 5 9, 18, 27, 45, 54
8 Tortuga 29 2 50 Tortuga 1-6 3 16, 32, 48
9 4 30 Tortuga 51 Liebre
10 2 31 Liebre 52 3
11 Tortuga 32 1-6 53 2
12 3 33 Zanahorias 54 4
13 Zanahorias 34 Liebre 55 Zanahorias
14 Liebre 35 2 56 Tortuga
15 Tortuga 36 3 57 Lechuga
16 1-6 37 Tortuga 58 Liebre
17 2 38 Zanahorias 59 Zanahorias
18 4 39 Liebre 60 2
19 Tortuga 40 Zanahorias 61 Liebre
20 3 41 2 62 Lechuga
21 Zanahorias 42 Lechuga 63 Liebre
64 META
Tabla 2
La primera versión en español es de Juegos EDUCA (ref. 4691) bajo licencia de Ravensburger en 1980. Una
reciente versión del juego en español, reeditada por Devir
utiliza un tablero de diseño más actual y las fichas son
pequeñas liebres de colores. Figuras 5 y 6.
Podemos apreciar alguna diferencia entre ambos tableros, pues Parlett modificó en 1987 la distribución de las
casillas. Así, la primera lechuga pasó de la casilla 7 a la 10
porque permitía al primer jugador alcanzarla en su primer movimiento, dándole cierta ventaja. Reordenó los cuadros
anteriores al 10 y también los finales, pues con esta modificación hace más dinámico el final de la
partida. Pero también las tarjetas-liebre han sido modificadas, entre otras razones porque cupiesen en
tres idiomas (español, catalán y portugués). Curioso. Otra modificación propuesta, pero que no hemos visto reflejada en las reglas hasta ahora, es la de que la liebre puede quedarse dos turnos sin mover
cuando cae en la casilla-liebre, tumbando el pequeño orejudo, y se levanta y reanuda su camino en la
siguiente jugada o si algún otro jugador lo adelanta, se incorpora en su turno inmediatamente. Lo que recuerda que en la fábula de Esopo el animal se queda dormido durante la carrera, lo que permite a la
tortuga ganar el desafío.
Figura 6
Figura 5
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Son muchas las variantes del juego, sobre todo modificando alguna de sus reglas. Podemos curiosear en la página de David Parlett
i para versiones publicadas en diferentes países (incluidas las
versiones piratas). Otra presentación detallada, comparando las distintas versiones, es la publicada por
Greg Aleknevicus en The Games Journal en 2001.ii
En la versión de la Editorial Rio Grandeiii
, las tarjetas son sustituidas por estas otras reglas, que
usando un dado dan el porcentaje aleatorio que el juego siempre ha tenido.
Otro ejemplo de modificación estriba en el contenido de las tarjetas-liebre. Las que siguen son
una alternativa a las originales del juego.
Da a cada jugador detrás de ti diez
zanahorias. Si no tienes suficientes da cinco
o incluso una a cada uno. Si alguien no las quiere las dejas en el mazo.
Si hay más jugadores detrás tuya que
delante, pierdes 1 turno, en otro caso ¡ganas
un turno extra!
Pasas a tener exactamente una reserva de 65
zanahorias.
Coge 10 zanahorias por cada lechuga que
tengas. Si no tienes lechugas pierdes un
turno.
¡Pierdes la mitad de tus zanahorias! El último movimiento era gratis, recupera
las zanahorias.
Muestras a los demás tus zanahorias y dices
en alto la cantidad.
Mezcla las cartas de Liebre y recibe por el
trabajito una zanahoria de cada jugador.
Esta carta se mezcla con el mazo
La liebre y la tortuga: un juego de recorrido sin dados
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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3. Las soluciones de Luis Blanco al problema del calendario con pentaminos
Nuestro ya habitual colaborador Luis Blanco nos ha enviado un
completísimo conjunto de soluciones al problema propuesto en anterior artículo
publicado en el NÚMEROS 91. Para ello sigue una metodología de resolución
de problemas con las fases de comprensión, de pensar, de ensayo-error, de
organización de la información, de ejecución, resolución y comprobación de las
soluciones. Con un tablero como el de la figura, podemos ensayar usando los
poliminos que nos proponen, las posibles soluciones.
Este es el enunciado
Calendario de pentaminos
Le presentamos un rompecabezas con pentominos, el
Juego del Calendario. Está tomado del blog MatESASv . El Juego del Calendario consiste en fijar uno de los 31 días
naturales del calendario y cubrir los restantes usando, sin
repetir ninguna, seis de los siete pentaminos con las
siguientes formas:
Ejemplo: Ana festeja su cumpleaños el día 18.
¿Será posible fijar tu día de cumpleaños y cubrir los días restantes con seis de los siete pentaminos elegidos? ¡Ten en cuenta
que no se puede repetir piezas! Ya hemos visto una solución para el
día 18. ¿Podremos encontrar solución para cada uno de los días del mes? Cuando el mes no sea de 31 días utilizaríamos un tetramino o
un domino (trimino si es febrero y bisiesto).
Y dice Luis:
Fase de comprensión.
Datos:
Siete pentaminós con formas determinadas por la imagen.
3 pentominós de 4x2; 2 pentominós de 3x3; 2 pentominós de 3x2
Una tabla irregular de 31 cuadrados uno por cada día del mes, con 7 cuadrados de largo, uno
por cada día de la semana.
Objetivo:
Conseguir con seis de los siete pentominós sin repetir ninguno, tapar toda la parrilla menos un
cuadrado, siendo este cuadrado cualquiera de los 31 de la tabla.
Relaciones:
Las distintas formas de unir unos pentominós con otros dentro de la tabla.
Figura 7
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Diagrama:
La tabla con forma de hoja de calendario.
Fase de pensar.
Ensayo error.
Organizar la información.
Fase de ejecutar.
Se utilizarán las dos estrategias a la vez.
Consideraciones a tener en cuenta:
Cuanto más grandes son las piezas (pentominós) más difícil es colocarlas todas de forma que
cubran el espacio previsto. Por ello, voy a centrar el problema en resolver toda la casuística de un mes de 31 días, que exige la colocación de los 6 pentominós, ya que es más fácil encontrar una
solución en un mes de 30 días con un tetraminó (el que sea) o el mes de febrero bisiesto con un
triminó (el que sea) o el mes de febrero no bisiesto con un biminó.
En segundo lugar, antes de empezar con la estrategia de ensayo error colocando piezas sobre el calendario, debemos delimitar cuántas soluciones hay que buscar para poder afirmar que es
posible cubrir cualquier calendario independientemente del día que debe quedar al descubierto.
Para ello analizaremos las diferentes formas perimetrales que puede adoptar el calendario. Y
observamos que sólo hay cuatro formas:
La Figura 1 corresponde a un mes de 31 días donde el
día 1 coincide con el lunes. La Figura 2 coincide con un mes de 31 días donde el día
1 coincide con el martes.
La Figura 3 coincide con un mes de 31 dias donde el día 1 coincide con el miércoles.
La Figura 2 rotada 180º coincide con un mes de 31 días
donde el día 1 coincide con jueves. La Figura 1 rotada 180º coincide con un mes de 31 días
donde el día 1 coincide con viernes.
La Figura 4 coincide con un mes de 31 días donde el día
1 coincide con el sábado. La Figura 4 rotada 180º coincide con un mes de 31 días donde el día 1 coincide con domingo.
De estas consideraciones, todo parece apuntar que el número de soluciones que hay que buscar es de 31 X 4 = 124. Pero se puede reducir un poco el número de soluciones ya que la tabla (Fig 3) es
simétrica al ser rotada 180º, por tanto, de esta tabla sólo hay que buscar la mitad de soluciones, ya que la solución para el día 1 es válida también para el día 31, las del día 2 es válida también para el
día 30, etc. Por tanto, de esta tabla solo necesitamos obtener 16 soluciones, reduciendo así el total a
124 - 15 = 119.
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Lo mismo ocurre con la tabla de la figura 4, ya que solo es necesario buscar soluciones hasta el día 16, pues al rotar 180º esta figura obtenemos las soluciones para el mes que comienza en domingo,
reduciendo así el total de soluciones a 119 - 15 = 104.
Es ahora cuando procedemos a utilizar la estrategia Ensayo-error exhaustivo para encontrar al
menos una solución para cada día de la semana.
Una de las dificultades que nos encontramos cuando hay que resolver este tipo de problemas, es el engorroso trabajo de tener que elaborar las piezas. Solvento esta dificultad utilizando el
software de la Pizarra digital interactiva "Notebook", que permite en unos pocos minutos diseñar las
piezas e ir guardando las soluciones en distintas diapositivas.
Luis encuentra soluciones para los distintos casos. Publicamos solo una parte de ellas por
problemas de espacio.
Soluciones para el mes de 31 días en las cuales el día 1 coincide con lunes y girando 180º
cuando el día 1 coincide en viernes.
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Solución.
No hay solución para todos los calendarios de 31 días. Sí hay solución para cualquier día
siempre y cuando el día 1 no sea sábado o domingo.
Fase de Resolver
Comprobación:
Podemos comprobar que hay dos fechas en las que es imposible.
Por ejemplo, para el día 8, cuando coincide en domingo o para el día 24 cuando coincide en
lunes, es imposible cubrir el calendario con los pentominós.
Sí es posible si consideráramos que el día 1 cae en cualquier día de la semana que no sea sábado
o domingo, y se aportan las soluciones.
Análisis.
Aunque se han intentado encontrar todas las soluciones en que es posible, bastaba encontrar una
en la que fuera imposible colocar los pentominós para proceder a responder sobre la imposibilidad del
objetivo.
Cuando el día 1 cae en sábado, es imposible
rellenar el calendario si el cumpleaños es el
día 24, ya que el día 31 queda aislado.
Cuando el día 1 cae en domingo, es imposible
rellenar el calendario si el cumpleaños es el
día 8, ya que el día 1 queda aislado.
Tampoco se ha encontrado una solución para estos días del calendario:
Cuando el día 1 cae en sábado, no se ha
encontrado solución si el cumpleaños es el día
16, aunque no se descarta la posibilidad de
encontrarla.
Cuando el día 1 cae en domingo, no se ha
encontrado solución si el cumpleaños es el día
16, aunque no se descarta la posibilidad de
encontrarla.
Respuesta:
Es imposible fijar el día de mi cumpleaños y cubrir los días restantes con seis de los siete pentaminos elegidos si en el calendario, el día 1 es sábado y mi cumpleaños es el día 24 y si el día 1 es
domingo y mi cumpleaños es el día 8.
Pues aquí queda propuesto un desafío para nuestros lectores. Seguramente existe algún
programa donde dando el tablero y las piezas nos resuelva el problema, pero entreténganse en
dibujarlo, tomar las piezas de un juego de pentaminos (o construirlos) y, manipulando, tratar de
encontrar la solución o de demostrar que no existe.
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También queremos contarles que el Komando Matemático visitó hace unos días el IES Lucas Martín Espino de Icod de Los Vinos, por invitación de la profesora Carmen Tavío, dentro de una
Semana Cultural que realizaba el Centro. Aparte de lo estupendamente que resultó la actividad
tuvimos una sorpresa muy agradable: esta profesora amiga había realizado con sus alumnos una multitud de experiencias matemáticas con sus alumnos, entre las cuales nos sorprendió mucho un
trabajo consistente en diseñar un juego. Los alumnos, en grupo o individualmente, debían presentar el
tablero, las fichas y las reglas de un juego original. Para ello, naturalmente, podían inspirarse en
cualquier otro juego que conocieran, mezclar reglas o ser totalmente originales si eran capaces.
Lo sorprendente fue la participación de todo el alumnado y la consiguiente exposición de
trabajos aprovechando la Semana Cultural del Centro. Hicimos una visita a la exposición e hicimos
unas cuantas fotos de los juegos presentados. Hemos pedido a la profesora que pida a sus alumnos nos
envíen las instrucciones de dichos juegos con la intención de publicar los dos o tres que consideremos mejores, naturalmente indicando los nombres de los autores de cada uno de ellos. Como adelanto nos
complace insertar aquí algunas de las fotos que tomamos para que se hagan una idea de la buena
elaboración de los juegos por parte de los alumnos.
¿Verdad que lucen muy bien? Creemos que vale la pena difundir este excelente trabajo.
Iniciativas como las del amigo Luis o la de nuestra amiga Carmen son las que esperamos por parte de nuestros lectores. Así que sigan el ejemplo. Nosotros atendemos todo lo que nos llegue y
damos cumplida cuenta de sus escritos.
Hasta el próximo
pues. Un saludo.
Club Matemático
i http://www.parlettgames.uk/haretort/htvariants.html (mayo 2016) ii http://www.thegamesjournal.com/articles/Hare&Tortoise.shtml, (mayo 2016) iii Cuadro tomado de la página http://ludotonica.com/archivos/808 donde hay una completa referencia al juego. (mayo 2016)
Bibliografía
La mayor parte de lo publicado sobre este juego está en la WEB. Las referencias más conocidas publicadas en papel
son las siguientes: Caps i Mans; Juegos; El País semanal, ≈1980 Comas i Coma, O; “El mundo en juegos”; p. 88; RBA Libros, Barcelona, 2005
N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 145-147
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Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las
investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje en el contexto de la SEIEM
C. Azcárate, M. Camacho-Machín, M.T. González, M. Moreno (Coords.)
Servicio de Publicaciones. Universidad de La Laguna
Colección: Materiales Didácticos Universitarios
248 páginas
Año 2015
Dentro de la Colección “Materiales Didácticos Universitarios”, y en la serie
“Matemáticas/1”, el Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Laguna, de la mano de
los profesores Azcárate, Camacho-Machín, González y Moreno, como coordinadores,
presenta las investigaciones más relevantes sobre Didáctica del Análisis Matemático del
grupo GIDAM (Grupo de Investigación de Didáctica del Análisis Matemático) de los más de
15 años de historia del grupo para, de esta forma, “dar visibilidad al grupo más allá del ámbito
de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) y ser un texto
de referencia para investigadores noveles y en formación que deseen abordar la investigación
de algunos de los aspectos de la Didáctica del Análisis Matemático”.
El libro está dividido en cuatro partes: I) Marcos teóricos y conceptuales; II)
Investigaciones sobre Enseñanza y Aprendizaje de los conceptos de Análisis Matemático; III)
Uso de herramientas tecnológicas en las Enseñanzas y Aprendizajes de los conceptos del
Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje
en el contexto de la SEIEM. C. Azcárate, M. Camacho-Machín, M.T. González, M. Moreno (Coords.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero
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Análisis Matemático y IV) Investigaciones sobre la Enseñanza del Análisis Matemático. En
estas cuatro partes se integran los 14 capítulos de que consta el manual, redactados por 21
expertos, algunos de los cuales intervienen en la redacción de más de uno.
Con el capítulo “El pensamiento matemático como marco de referencia”, de Azcárate y
Camacho, se inicia el libro en donde los autores hacen un recorrido presentando algunas de
las líneas de investigación que se vienen desarrollando en España desde mediados de la
década de los noventa, terminando con el estado actual del trabajo realizado, distinguiendo
entre aspectos cognitivos del aprendizaje del análisis y el papel de los Programas de Cálculo
Simbólico (PCS) en la enseñanza y aprendizaje de conceptos básicos del Análisis
Matemático.
En el segundo capítulo, realizado por Badillo, Trigueros y Font, se presentan dos
aproximaciones teóricas usadas en las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de
conceptos del Pensamiento Matemático Avanzado: la teoría Acción Proceso Objeto Esquema
(APOE) y el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS),
concluyendo que “la noción de encapsulación de APOE se relaciona con la noción de
emergencia de un objeto primario en EOS”.
En el capítulo 3 “Aportaciones de la historia de la matemática a la investigación”,
González y Vargas hacen un repaso desde investigaciones que inciden en aspectos cognitivos
y terminan con investigaciones sobre algunos matemáticos, indicando los autores que la línea
de investigación en historia de las matemáticas y de la educación matemática resulta
indispensable para el conocimiento del profesor así como para el análisis de la construcción
del conocimiento de los alumnos.
El capítulo 4 “Concepto de función: definición, representación y ejemplificación en la
enseñanza y aprendizaje”, de Figueiredo, Contreras y Blanco, ya dentro del segundo bloque,
parte del concepto de función y termina con dos características de los ejemplos que se
consideran importantes cuando se enseña y se aprende este concepto: la variación y la
transparencia.
El capítulo 5, de Contreras y García, va dedicado a “Investigaciones sobre límites”,
donde se abordan tendencias actuales acerca de la investigación sobre su enseñanza y
aprendizaje y las aplicaciones a la práctica educativa, y donde se dice “una noción matemática
como ésta (…) ha de ser enseñada por medio de un análisis profundo que implique
fundamentalmente, de modo sistémico”.
El capítulo 6, de Sánchez y García, trata el “Concepto de derivada” presentando algunas
reflexiones en una tabla de investigaciones sobre su enseñanza y el aprendizaje, destacando
los dedicados a la razón de cambio de Azcárate, dedicadas a sistemas de representación de
Font, Contreras, Robles, Ariza y Llenares; los de relación entre f´(a) y f´(x) de Badillo y del
desarrollo del esquema de derivada de Sánchez y García.
El capítulo 7, González lo dedica a presentar el “Panorama internacional de la
investigación sobre la enseñanza-aprendizaje de las integrales”, adoptando dos enfoques: las
Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje
en el contexto de la SEIEM. C. Azcárate, M. Camacho-Machín, M.T. González, M. Moreno (Coords.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero
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investigaciones con enfoques de tipo esencialmente cognitivo y las investigaciones con
enfoques epistemológicos e institucionales.
El capítulo 8, Camacho y Moreno resumen las investigaciones sobre la enseñanza y el
aprendizaje del concepto de integral, donde “las investigaciones han permitido corroborar
muchos de los resultados que ya eran conocidos de investigaciones internacionales”.
El capítulo 9 lo dedican Perdomo y Codes a series numéricas y ecuaciones
diferenciales, conceptos menos utilizados en las investigaciones dentro de la DAM.,
reflejando la preocupación por los procesos de su enseñanza y aprendizaje.
La tercera parte contiene dos capítulos, “Fenómenos didácticos que emergen con el uso
de herramientas tecnológicas” y “La construcción de modelos dinámicos en el estudio de
fenómenos de cambio o variación y la resolución de problemas”, de Contreras y Santos,
respectivamente. En el primero de ellos se analiza el concepto teórico de fenómeno didáctico,
revisando los relacionados con el uso del elemento tecnológico según la TSD y de acuerdo al
EOS. En el segundo se presentan dos ejemplos, el primero ilustra el uso coordinado de
diversas representaciones del problema como un camino para comprender el significado de
los conceptos involucrados; y el segundo destaca las formas en que la tecnología ofrece
información en línea relacionada con el tema en estudio.
El cuarto bloque presenta tres capítulos dedicados a investigaciones sobre la enseñanza
del análisis matemático, los redactan Moreno, Gavilán, García y Llinares. En el primero de
ellos se trata la evolución de los marcos teóricos y metodológicos en las investigaciones sobre
la enseñanza del análisis matemático; en el segundo, investigación sobre la práctica del
profesor; y el tercero, de la investigación a la innovación y la práctica en la enseñanza del
análisis matemático. Sus autores ponen de manifiesto que los seminarios de profesores se
están convirtiendo en un elemento muy potente de investigación, que relacionar marcos
teóricos/conceptuales y resultados de investigación están definiendo nuevos problemas de
investigación y que en estos momentos de madurez de la investigación en Didáctica del
Análisis Matemático valdría la pena investigar los mecanismos de transferencia que rigen en
los diferentes ámbitos de la enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático.
Termina el manual con Referencias Bibliográficas, donde se recogen 360 de autores
tanto españoles como extranjeros, que han servido de apoyo en la realización de los capítulos
reseñados.
En este libro podían figurar mas autores porque en este periodo tratado (2007-2014) han
sido muchas las comunicaciones y ponencias que se han presentado en los simposios de la
SEIEM, pero la labor de ajustar al espacio de la publicación ha hecho que se queden fuera.
Desde aquí animamos a los coordinadores de este libro a recoger en un segundo volumen
otros aspectos más concretos, tratando de llevar la investigación realizada al aula para que el
profesorado de secundaria pueda recibir el fruto de estas investigaciones y que la Sociedad se
vea beneficiada.
Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia)
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 149-151
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Avances y realidades de la Educación Matemática
Núria Planas (Coord.)
Editorial GRAÓ
Colección: Crítica y Fundamentos, 46
226 páginas
Año 2015
Nuria Planas, profesora de la Universidad Autónoma de Barcelona, acaba de coordinar
este libro editado por Graó en su colección “Crítica y fundamento” y donde, a lo largo de 226
páginas, relatan las trayectorias de sus trabajos de investigación los profesores: Callejo,
Camacho, Cantoral, Carrillo, García, Godino, Gómez, Knijknik, Planas, Ruiz, Santos y
Santos-Trillo. En la introducción la coordinadora lo inicia así: “la iniciativa de este libro surge
con el propósito de informar sobre la abundante y diversa investigación de calidad en
educación matemática que se está realizando en España en particular y en Iberoamérica en
general”.
El libro está dividido en tres partes: I) Modelos de enseñanza, evaluación y aprendizaje;
II) Resolución de problemas y desarrollo profesional; III) Perspectivas educativas,
curriculares y teóricas. En ellas se incluyen once capítulos, iniciados por B. Gómez con
“Siguiendo una línea de investigación en pensamiento numérico y algebraico” en el que se
centra en la descripción de modelos de enseñanza y en modelos de actuación, haciendo en el
Avances y realidades de la Educación Matemática. Núria Planas (Coord.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero
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primer caso una descripción de los cambios en la aritmética escolar y las nociones ligadas al
movimiento proporcional a partir de la segunda mitad de los años noventa, siendo los
modelos de enseñanza necesarios para los modelos de actuación.
El segundo capítulo de L. Santos (Portugal) se titula “Contribuciones al desarrollo
teórico de la evaluación para el aprendizaje matemático”, donde la dimensión reguladora ha
sido su área principal de investigación. Tras hacer un repaso sobre el profesor y la regulación
de los aprendizajes, la retroalimentación y la interacción entre profesor y alumnos, los
alumnos y el aprendizaje, hace unas consideraciones finales en las que se pregunta “¿hasta
qué punto y cómo la práctica de evaluación reguladora se relaciona o es relacionable con la
práctica de evaluación sumativa”.
El tercer capítulo “Aproximación a los procesos de exclusión e (in)exclusión en el aula
de matemáticas” lo redacta G. García (Colombia), en el que reflexiona sobre cuestiones de
igualdad, equidad e (in)exclusión en el contexto colombiano de la educación matemática,
deteniéndose en el aula de matemáticas como objeto de remodelación, los procesos entre
saber y comportarse, la noción y crónica de un escenario de aprendizaje en un área
colombiana.
El cuarto capítulo, “Oportunidades de aprendizaje matemático y diversidad de lenguas”,
es dedicado por la coordinadora de este manual a describir el proceso seguido como
investigadora desde 2001 hasta la actualidad, fecha aquella en que defendió su tesis doctoral.
Para ello indica de donde partió y donde se sitúa, para después citar sus trabajos de
oportunidades de aprendizaje matemático, pasando por un entorno bilingüe, para concluir
diciendo “No me mueve, pues, el horizonte de la igualdad de oportunidades. Mi inquietud
actual es llegar a entender cómo mejorar las condiciones de acceso a la participación
matemática de los alumnos, en particular de aquellos cuyas lenguas dominantes son distintas a
la lengua de instrucciones en sus aulas”.
En el segundo bloque M. L. Callejo con “Aprender (a enseñar) matemáticas. Prácticas
de resolución de problemas, creencias y desarrollo profesional” reflexiona sobre su trabajo en
las tres últimas décadas, el desarrollo del profesor de matemáticas y la investigación. Hace un
repaso desde los años ochenta citando a Crokcroft, Grupo Cero, Miguel de Guzmán… para
después introducirse en el uso de representaciones gráficas para resolver problemas utilizando
un problema clásico de geometría elemental. Establece un marco para actividades de
formación permanente y una mirada profesional a situaciones de enseñanza-aprendizaje en
formación inicial.
Camacho y Santos-Trigo, en “Aspectos sobre resolución de problemas, tecnología y
formación de profesores de matemáticas”, describen las colaboraciones entre el Departamento
de Matemática Educativa del Cinvestav de México y el Área de Didáctica de las Matemáticas
de la universidad de La Laguna, pasando de los métodos heurísticos y problemas rutinarios al
uso de herramientas digitales para el aprendizaje de las matemáticas. Por último, presentan
seis nuevos temas de investigaciones emergentes y en sus consideraciones finales y se
congratulan de que sus resultados de investigación “tienen que ver con la misión de la
investigación como colaboración”.
Avances y realidades de la Educación Matemática. Núria Planas (Coord.) Reseña: Rosa Nortes Martínez-Artero
151 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
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J. Carrillo afronta la tarea de escribir este capítulo de su trayectoria como investigador
titulado “Estudio personal compartido sobre conocimiento y desarrollo profesional del
profesorado y resolución de problemas”. Lo considera bajo los apartados de concepciones y
resolución de problemas; desarrollo profesional del profesorado; desarrollo profesional,
interacciones e idoneidad del informante; formación del profesorado y papel del video;
resolución de problemas matemáticos; reflexiones metodológicas; conocimiento del profesor
de matemáticas y en las consideraciones finales, concluye que “la resolución de problemas y
el desarrollo profesional continúan siendo las dos grandes líneas de nuestra investigación”.
De Brasil con G. Knijknik nos llega el capítulo “Etnomatemática y problemas
auténticos en la formación del profesorado de matemáticas”, cuyas investigaciones “giran en
torno a la exploración de experiencias pedagógicas curriculares y matemáticas vividas
mayoritariamente por profesores de matemáticas en formación”. Describe el Movimiento Sin
Tierra y la matemática oral campesina.
La tercera parte la comienza R. Cantoral, de México, con “Orígenes y evolución del
programa socioepistemológico en matemática educativa”, adentrándose en una teoría
emergente en el campo de la matemática educativa, cruce entre las matemáticas, las ciencias
sociales y las humanidades. Comienza con los rasgos básicos del programa
socioepistemológico, expone el origen del programa y algunas dimensiones y acaba con un
ejemplo del tipo de estudios empíricos.
J. D. Godino, con “Articulación de teorías en educación matemática desde la
perspectiva ontosemiótica”, presenta cinco problemas epistemológicos y didáctico-
matemáticos que motivan el EOS, las etapas de desarrollo del EOS y principales nociones
teóricas; ejemplificación empírica de algunas nociones teóricas; comparación y articulación
de marcos teóricos y en las consideraciones finales manifiesta que “las herramientas del
análisis epistemológico elaboradas están sirviendo para clarificar la naturaleza de distintos
objetos matemáticos y estadísticos, el álgebra elemental y la visualización, entre otros”.
El último capítulo, “Perspectivas de la praxis en educación matemática para una
reforma del currículo” de A. Ruiz (Costa Rica), comienza diciendo que “desde hace 25 años
uno de los principales focos de atención en mi trabajo académico ha sido la investigación en
educación matemática” y eso lo refleja en los apartados: evolución de mis etapas
intelectuales; experiencia formativa en organización de eventos; investigación orientada a la
creación de un nuevo currículo escolar; enfoque principal, ejes curriculares e implantación;
plan de capacitación docente y equipo humano. En las consideraciones finales prevé una
intensificación en relación con la reforma curricular costarricense que se encuentra en marcha.
En definitiva, un libro interesante donde doce investigadores en educación matemática
relatan sus líneas de investigación a lo largo de más de treinta años y que servirán para que los
noveles investigadores de esta materia conozcan el proceso seguido, ya que como dice la
coordinadora del mismo “este libro es, en síntesis y ante todo, una compilación de avances y
realizaciones de investigación en educación matemática”.
Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia)
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, páginas 153-156
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Congresos
XVI CONGRESO DE
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
DE LAS MATEMÁTICAS
Fecha: 4, 5 y 6 de julio de 2016.
Lugar: Jerez de la Frontera. España.
Convoca: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.
Información: http://thales.cica.es/xviceam
V Congreso
Latinoamericano de
Matemáticas
Fecha: Del 11 al 15 de Julio de 2016.
Lugar: Barranquilla. Colombia.
Convoca: Universidad del Norte.
Información: http://www.uninorte.edu.co/web/vclam
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Fecha: Del 11 al 15 de Julio de 2016.
Lugar: Monterrey. Nuevo León. México.
Convoca: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
Información: http://relme30.mty.itesm.mx/
Fecha: Del 18 al 22 julio 2016.
Lugar: Universidad de Macedonia Oeste, Florina, Grecia. Convoca: Facultad de Pedagogía de Florina, Universidad de Macedonia Oeste.
Información: http://etm5.web.uowm.gr/fr/
Fecha: Del 24 al 31 de Julio de 2016.
Lugar: Hamburgo. Alemania.
Convoca: The Society of Didactics of Mathematics.
Información: http://www.icme13.org/
Fecha: Del 17 al 20 de agosto de 2016.
Lugar: Natal. Rio Grande do Norte. Brasil. Información: http://geogebra.hol.es/index.php
155 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 92 julio de 2016
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XII CONGRESO ARGENTINO DE
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Fecha: 16, 17 y 18 de septiembre de 2016
Lugar: Buenos Aires. Argentina.
Convoca: Sociedad Argentina de Educación Matemática e Instituto del profesorado Sagrado
Corazón.
Información: http://www.soarem.org.ar/
Fecha: Del 15 al 18 de noviembre del 2016
Lugar: Barquisimeto. Venezuela.
Convoca: Asociación Venezolana de Educación Matemática.
Información: www.asovemat.org.ve
156 NÚMEROS Vol. 92 julio de 2016
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XX JORNADAS DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Fecha: 13 y 14 de diciembre de 2016.
Lugar: Valparaiso. Chile.
Convoca: Sociedad Chilena de Educación Matemática.
Información: http://www.sochiem.cl/
Fecha: 10 al 14 de Julio de 2017.
Lugar: Madrid. España.
Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática.
Organiza: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.
Información: http://www.cibem.org/
Fecha: Del 29 de octubre al 1 de noviembre del 2017.
Lugar: Cali. Colombia.
Convoca: Red de Educación Matemática de América Central y el Caribe.
Información: http://ii.cemacyc.org
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 92, julio de 2016, página 157
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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]
3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista.
4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:
Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.
Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.
Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección
electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.
Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno
de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha
de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.
Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave;
también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.
Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.
Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar
el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.
Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.
Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de
texto (no enviarlas por separado).
Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el
autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).
Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on
whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor
con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios
propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
un periodo no mayor de 6 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.