nukleer˜ fizik ders notlar‡ - google...

Nukleer Fizik Ders Notları

Ismail Boztosun

Erciyes Universitesi

Aralık 2005

ii

Erciyes Universitesi Fen-Edebiyat Fakultesi Fizik bolumunde tek donemde vermis

oldugum Nukleer Fizik dersinin notlarıdır. Yararlandıgım ve derste takip edecegimiz

kaynaklar:

K. S. Krane, ceviri: Basar Sarer, Nukleer Fizik , Cilt 1 ve 2, Palme yayınları,

Ankara 2001

Cottingam, Introductory to Nuclear Physics, ceviri: Y. Sahin

A. Beiser, Concepts of modern Physics, Mcgraw-Hill NY, 1987: Ceviri: Gulsen

Onengut

H. Enge,

W.S. Williams,

P.E. Hodgson,

Ayrıca asagıdaki tezler de faydalı olacaktır:

Ismail Ermis,

Armagan

Orhan Bayrak

Gokhan Kocak,

Mesut Karakoc

Yasemin Kucuk

Ileri seviyede olan bazı eserler: G. R. Satchler,

Istenilenler:

Iyi derecede Kuantum mekanigi ve Fizikte Matematik metodlar dersleri bilgisi.

Ic.erik

1 Nukleer Fizige Giris 9

1.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Cekiregin Temel Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Gosterim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Uzunluk ve Zaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4 Yarıcap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Kutle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6 Enerji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Temel Etkilesmeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Sorular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Kuantum Fizigi Tekrar 17

2.1 Kuantum Fizigi Tekrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Planck ve Karacisim ısıması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Fotoelektrik olay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Compton Olayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.4 Dalga-Parcacık ikilemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.5 de Broglie Hipotezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.6 Bohr Atom ModelI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Schrodinger Dalga Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Zamandan Bagimsiz Schrodinger Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Merkezi Potansiyeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Iki Cisim Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Ornekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

2 IC. ERIK

2.6.1 Free Particle Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.2 Infinite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.3 Finite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.4 Delta Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.5 Coulomb Potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 TEMEL KAVRAMLAR ve REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRIL-

MASI 53

3.1 Bazı Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 Cekirdegin Kutlesi, Buyuklugu ve Baglanma Enerjisi . . . . . 53

3.2 Spin, Parite ve Momentler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Cekirdekte Uyarılmıs Durumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Nukleer Kuvvet ve Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Nukleer Reaksiyonların Sınıflandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Bilesik cekirdek Reaksiyonları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7 Direk Reaksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Cekirdek Kuvvetleri 65

4.1 Cekirdek Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Doteron Atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Baglanma Enerjisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 TEMEL NUKLEER MODELLER 73

5.0.2 Sıvı Damlası Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.0.3 3.2.2-Kabuk Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.0.4 3.2.3-Kolektif Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Nukleer Reaksiyon Modelleri 83

6.1 NUKLEER REAKSIYON MODELLERI . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.1 BORN YAKLASIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.2 BOZULMUS DALGA BORN YAKLASIMI . . . . . . . . . . 85

6.1.3 Born Yaklasımının Bazı Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.4 OPTIK MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1.5 Spinli Parcacıklar Icin Optik Model . . . . . . . . . . . . . . . 90

IC. ERIK 3

6.1.6 Optik Potansiyelin ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1.7 Etkilesim Potansiyelinin ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.8 Reel Potansiyel (VV , VS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.1.9 Hacim Integralleri (JV , JW ): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.1.10 Coulom Bariyeri Civarındaki Reaksiyonlar ve Esik Anormalligi 98

6.1.11 Potansiyeller Arasındaki iliski ve Guclu Absorpsiyon Uzaklıgı . 100

6.1.12 Optik Model Analizleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.13 FOLDING MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 IC. ERIK

S. ekil Listesi

2.1 Elektronun Bohr Yorungesindeki Hareketi . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Spherical Bessel function for different values of l. . . . . . . . . . . . 32

2.3 Spherical Neumann function for different values of l. . . . . . . . . . . 32

2.4 Eigenvalues of Infinite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 The intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s− state), 1(p−state)and2(d− state). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Infinite square potential wave functions for different values of n. . . . 37

2.7 Normalized radial probability density, r2R2, for different n values

(l = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8 Comparison of the Finite (solid line) and Infinite (dotted line) square

well ka values for l = 0(s− state)and1(p− state). . . . . . . . . . . . 41

2.9 Finite square well: Intersections of curves f(ka and g(ka) for l =

0(s− state), 1(p− state)and2(d− state). . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.10 Plot of the functions f(k) and g(k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Cekirdegin yuk yogunlugunun nukleer yarıcapa gore degisimi. . . . . 54

3.2 Kararlı cekirdekler icin nukleon basına baglanma enerjisinin atomik

kutleye gore degisimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Bazı siddetli deforme olmus cekirdeklerin sekilleri. . . . . . . . . . . . 57

4.1 Doteron atomu icin kare kuyu potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Yuzeydeki nukleonlar, cekirdegin ic kısmındakilere gore daha az sayıda

nukleonla etkilesir bu yuzden baglanma enerjisi daha azdır. cekirdek

ne kadar buyukse, yuzeydeki nukleonların sayısı o kadar azdır. (Mod-

ern Fizigin Kavramları, Arthur Beiser) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5

6 S. EKIL LISTESI

5.2 Kabuk modeline gore nukleon enerji duzeylerinin sıralanısı (olcekli

degil) Sagdaki sutundaki sayılar gozlenen sihirli sayılara karsılık gelir.

(Modern Fizigin Kavramları, Arthur Beiser) . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 cift-Z, cift N’li cekirdeklerin en dusuk 2+ durumların enerjileri. Izotoplar

duz cizgilerle birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane) . . . . . . 80

5.4 cift-Z, cift-N li cekirdeklerin en dusuk 2+ ve 4+durumlarının E(4+)/E(2+)

oranı kutle numarasına karsılık gosterilmistir. Izotopları duz cizgilerle

birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane) . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1 Gelen ve sacılan dalga vektorlerinin temsili gosterimi. . . . . . . . . . 85

6.2 Gelen ısının bir cok potansiyelden sacılmasının temsili sekli. . . . . . 87

6.3 Cekici Gaussyen potansiyeli ve onun diferansiyel tesir kesiti. . . . . . 87

6.4 Wood-Saxon form faktoru ve onun derivatif sekli. . . . . . . . . . . . 94

6.5 Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form faktorlerinin karsılastırmalı

sekli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.6 16O+16O sistemi icin Coulomb potansiyelinin iki yuk dagılımına gore

degisimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.7 16O+208Pb sisteminin Coulob bariyeri civarındaki davranısı. . . . . . 99

6.8 Agır iyon reaksiyonlarını tanımlamada kullanılan tipik potansiyeller,

12C+12C sistemi icin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potan-

siyellerin gorunusu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.9 16O+208Pb sistemi guclu absorpsiyon mesafesindeki etkilesimi sırasında

meydana gelen yogunluk dagılımları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.10 Koordinatlar kullanılarak a) tek folding ve b) cift folding . . . . . . . 103

6.11 cekirdegin yogunluk dagılımı ve folding modelden elde edilen U(r)

potansiyelinin karsılastırılması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Tablo Listesi

1.1 Proton, Notron ve Elektronun kutle, yuk, spin, manyetik moment ve

g carpanı degerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Temel etkilesmelerin alan kuantumları ve alan kuantumlarının spin,

kutle, menzil ve siddet degerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Values of the kn, la for different l and n values . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Values of the kn, la for different l and n values . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Hidrojen atomu icin enerji seviyeleri ve dejenere degerleri . . . . . . . 50

3.1 Farklı metotlarla bulunan nukleer yarıcaptaki (R = r0A13 ) r0 degerleri. 55

7

8 TABLO LISTESI

Bolum 1

Nukleer Fizige Giris

1.1 Giris

Nukleer fizik, atomu meydana getiren cekirdegin ozellikleri ve birbirleri ile yaptıkları

etkilesmeler ile ilgilenir. Bu nedenle nukleer fizigi cekiredegin statik ozelleikleri

(nukleer yapı) ve dinamik ozellikleri (bozunma ve nukleer reaksiyonlar) olmak uzere

iki ana kısma ayırabiliriz. Nukleer fizik teknolojik yeniliklerin itici kuvvetini saplayan

bir alandır ve gunumuzde pek cok kullanım alanına sahiptir. Bu alanlardan bazıları

kısaca su sekilde acıklanabilir:

1. Tıp: Bu alanda hem teshis hem de tedavi amaclı kullanılmaktadır. Nukleer

fizik sayesinde yapılan hızlandırıcılarla vucuttaki dokular, kemikler ve organ-

ları test edilmekte ve teshiste yardımcı olmaktadır. Proton, notron veya

agır iyonlar kullanılarak kanserli hucrelerin oldurulmesi yoluyla da tedaviye

yardımcı olmaktadır.

2. Endustri: Bu alanda ozellikle, basınc boruları, kaynatıcılar ve diger buyuk

metal dokme kalıpların icindeki catlak ve yarıkların arastırılması yoluyla kon-

trol alanında kullanılmaktadır.

3. Temel bilimler: Biyolojide; Radyografi, Akıskan yuzeylerde kompleks biy-

omolekullerin yapısının incelenmesi. Kimyada; elektron spektroskopisi ile kimyasal

analiz, Polimerik yapıların incelenmesi, iz elementi analizi. Fizikte; Katıların

elektron yapısı, Yuzeylerin ve ara yuzeylerin incelenmesi gibi kullanım alanları

vardır. Nukleer yapının iyi anlasılması ve insan vucudunda yaptıgı etkilerin

9

10 BOLUM 1. NUKLEER FIZIGE GIRIS

anlasılması yukarda ki insanlık yararına olan kullanım alanlarının yanında in-

san neslinin surekli tehdit altında olmasına sebep olan kitle imha silahlarının

yapılmasına da olanak saglamıstır.

1.2 Cekiregin Temel Ozellikleri

1.2.1 Bilesenleri

Atomun kimyasal ozellikleri elektron yapısına baglıdır, oysa fiziksel ozellikleri, di-

namik ve kinetik davranısı kutlesine baglıdır. Bir atomun cekirdegi, cekirdek icindeki

pozitif yuklerin toplamı ve toplam kutle sayısı ile tanımlanır. Atomun kutlesinin

hemen hemen tamamı cekirdekten ileri gelir. Cekirdek yuku derken kastedilen

“+Ze” proton sayısına esit olan atom numarası “Z” ile elektronun yuku olan “e”

degerlerinin carpımıdır. Cekirdekteki pozitif yuklu temel parcacık protondur. Pro-

ton en basit atom olan Hidrojenin cekirdegidir. Elektrikce notr olan bir atomda

elektrik yuklerinin esit olacagı dusunulurse proton sayısı kadar da elektron vardır

yani “Z” tane de elektron bulunur. Elektronların kutlesi protonların kutlesine oranla

bazı durumlar icin ihmal edilebilecek kadar kucuktur ve bu oran mp/me ≈ 2000 gibi

bir esitlikle verilir. Cekirdegin tanımlanmasında kullanılan bir diger kemiyet ise A

ile gosterilen kutle sayısıdır. Kutle sayısı, nukleer kutle ile temel kutle birimi arası

orana en yakın bir tamsayıdır. Cunku proton yaklasık bir birim kutleye sahiptir.

Hemen hemen butun cekirdeklerde kutle sayısı atom numarasından iki veya daha

fazla kat kadar buyuktur. Bu da bize cekirdek icinde protondan baska agır kutlelerin

varlıgını gosterir. 1932 yılına kadar cekirdek icinde A tane proton ve cekirdegin net

yuku Ze olacak sekilde A-Z tane nukleer elektronun oldugu dusunuluyordu. Fakat

asagıda yazılanlar bu dusuncenin yanlıs oldugunu ortaya koyar:

1. Elektronların protonlara Coulomb cekim kuvvetinden daha guclu bir kuvvetle

baglanmaları gerekir. Oysa ki protonlarla atom elektronları arası boyle bir

kuvvete rastlanmamıstır.

2. Elektronların cekirdek buyuklugunde bir yerde oldugunu dusunursek, belirsi-

zlik ilkesine gore normalde sahip olduklarından cok daha fazla enerjiye sahip

olmaları gerekir. Belirsizlik ilkesine gore hesap yapacak olursak ∆x∼10−14 m

1.2. CEKIREGIN TEMEL OZELLIKLERI 11

alırız. ∆x.∆p∼ h olduguna gore ∆p∼ h /∆x=20MeV/c bulunur. Radyoak-

tif β bozunumunda cekirdekten yayınlanan elektronların enerjiler genellikle 1

MeV’dan daha da kucuktur ve bu tur bozunmalarda enerjisi 20 MeV olan

elektronlar gozlenmemistir.

3. A-Z’si tek olan cekirdeklerin toplam ozgun acısal momentumları (spin) in-

celendiginde, cekirdek icinde A tane proton ve A-Z tane de elektron bulun-

masının imkansız oldugu deneylerle gozlenmistir. ornegin; Doteryum cekirdeginde

(A=2, Z=1) proton-elektron hipotezine gore 2 proton ve 1 elektron bulunması

gerekir. Proton ve elektronun ozgun acısal momentumları 12

dir. Kuantum

mekanigi kurallarına gore 2 proton ve 1 elektronun toplam spinleri 12

veya 32

olmalıdır. Oysa Doteryum cekirdeginin gozlenen spini 1’dir.

4. Ciftlenmemis elektron iceren cekirdeklerin, gozlenen degerlerinden cok daha

buyuk manyetik dipol momente sahip olmaları gerekir. Eger Doteryumun

icinde tek bir elektron bulunsaydı, cekirdegin manyetik dipol momentinin,

bir elektronun manyetik dipol momenti ile aynı olmasını beklerdik. Fakat

Doteryumun gozlenen manyetik momenti, elektronun manyetik momentinin

yaklasık 1/2000’i kadardır.

Bu dort madde goz onune alınırsa elektronların cekirdegin icinde bulunması cok

zor hatta imkansızdır. Chadwick’in 1932 yılında notronu kesfetmesiyle de cekirdek

icindeki proton harici parcanın elektron degil notron oldugu anlasılmıstır. Notron

elektrik bakımından notrdur ve kutlesi protonun kutlesinden %0,1 daha buyuktur

ki bu fark az bir fark oldugundan proton ve notronun kutlesini birbirine yaklasık

esit alınır. Bunun sonucunda cekirdekte elektron bulunmasına ihtiyac olmaksızın, Z

proton ve A-Z notronu olan bir cekirdek uygun bir toplam kutleye ve yuke sahiptir.

Tablo 1.1’da proton, notron ve elektronun bazı ozellikleri verilmistir.

1.2.2 Gosterim

Cekirdegi tanımlarken o cekirdegin simgesinin sol ust kosesine kutle sayısı olan A, sol

alt kosesine proton sayısına da esit olan atom numarası, sag alt kosesineyse notron

sayısını belirten ve N=A-Z ile verilen deger yazılır. Ancak yalnızca kutle sayısının


Kutle Yuk Spin Man. mom. g carpanı

Notron 1,008982 u 0 12

-1,9135µN -3,83

Proton 1,00759 u +1e 12

+2,7927µN 5,59

Elektron (1/1837) u -1e 12

-1,0021µB 2

Tablo 1.1: Proton, Notron ve Elektronun kutle, yuk, spin, manyetik moment ve g

carpanı degerleri.

yazılması da yeterlidir. Gosterim AP XN seklindedir. Ornegin; 12

6 C6 yada kısaca 12C,

56Fe gibi.

Proton ve notrona ortak ad olarak nukleon denir. Bu nedenle, kutle sayısı olarak

kullandıgımız “A” aynı zamanda nukleon sayısını da verir.

Bir atomun kimyasal ozellikleri cekirdegindeki pozitif elektrik yukune baglıdır.

Cunku bu yuk, cekirdek dısındaki elektron sayısını belli eder. Cekirdeklerinde aynı

sayıda proton iceren atomlar kimyasal olarak aynı ozelliktedir. Atom numaraları

aynı fakat kutle sayıları farklı cekirdeklere “izotop” denir. Dolayısıyla izotop atom-

lar aynı kimyasal ozelliktedir. Izotop cekirdekler nukleer reaksiyonlar yardımıyla

yapay olarak olusturulabilir. Notron sayısı aynı proton sayısı farklı elementler de

olabilir, bunlara da “izoton” denir. Bir de kutle numaraları aynı atom numarası

farklı cekirdekler vardır, bunlaraysa “izobar” denir. Aynı cekirdegin uzun omurlu

uyarılmıs durumu, taban durumundaki halinin bir izomeri seklinde adlandırılır.

Simdiye kadar bulunan 108 farklı atom numarasına sahip cekirdek vardır. Toplam

cekirdek sayısı 1000’den fazladır.

1.2.3 Uzunluk ve Zaman

Nukleer fizikte cok kullanılan birim “femtometre” olup 10−15m mertebesine tekabul

eder. Nukleer buyuklukler (yarıcap) tek bir nukleon icin yaklasık olarak 1 fm’den,

agır cekirdekler icin yaklasık 7 fm’ye kadar degisir. Atomik boyutlar ile karsılastırıldıgı

zaman (1A0=10−10m), cekirdek ile elektron arasındaki bosluk dikkate degerdir.

Nukleer olayların zaman olcegi cok genis bir aralıga sahiptir. ornegin, 4 kutle nu-

maralı He atomunun (42He2) izotopu 5

2He3 gibi bazı cekirdekler 10−20s gibi bir zaman

icinde parcalanırlar. Bir cok nukleer reaksiyon bu zaman olcegi icinde gerceklesir.

1.2. CEKIREGIN TEMEL OZELLIKLERI 13

Bu zaman olcegi genel olarak reaksiyona giren cekirdeklerden birinin, digerinin

nukleer kuvvet menzilinde kalma suresidir. Cekirdeklerin elektromanyetik γ ısınımları

genellikle 10−9s ile 10−12 s kadar bir yarı omur arasında meydana gelir. Fakat,

bozunmaların bircogu daha kısa veya daha uzun bir zaman icinde gerceklesir. α

ve β bozunmalarıysa daha uzun surede olusur, bu bazen dakika veye saat bazen de

binlerce hatta milyonlarca yıl devam edebilir.

1.2.4 Yarıcap

Cekirdek yarıcapı R=R0A1/3 ile verilir. R0 spesifik yarıcapı R0=1,4 10−15m yada

1,4 fm ile verilir. Buarad A ise onceden soyledigimiz uzere kutle sayısıdır.

1.2.5 Kutle

Nukleer kutleler “atomik kutle birimi” cinsinden olculur, kısaca “akb yada u” olarak

gosterilir. Atomik kutle birimi notr bir karbon atomunu kutlesini 12 de biri ( 112

)

olarak tanımlanır. Karbon da 12 nukleon bulunmasından dolayı bir nukleonunun

kutlesi de yaklasık olarak 1u olur. Nukleer bozunma ve reaksiyonların incelen-

mesinde cogunlukla kutleler yerine kutle enerjileri kullanılır. 1u=1,6605 10−27 kg

yada 931,502 MeV/c2 olarak alınır. Bu sekilde nukleonlar yaklasık olarak 1000

MeV kadar kutle enerjisine sahip olurlar. Kutlenin enerjiye donusumu goreceligin

temel sonucu olan E=mc2 kullanılarak yapılır. Kutle veya enerjinin kullanılması

olup bu birimlerde c2=931,502 MeV/u alınır.

Bir cekirdegin kutlesinin onu meydana getiren parcacıkların serbest haldeki kutleleri

toplamına esit olması gerekir gibi gorunse de gercekte cekirdegin kutlesi yapı taslarının

serbest haldeki kutlelerinin toplamından daha kucuktur. Bu farkın kucuk veya

buyuk olusuna gore cekirdek az veya cok saglamdır. Einstein’ın E=mc2 formulune

gore bu kutle farkını c2 ile carpar ve enerji olarak degerini bulursak, baglanma ener-

jisini bulmus oluruz. Baglanma enerjisi bir cekirdegin bilesenlerini bir arada tutan

enerjidir. Dolayısıyla bir cekirdegi parcalamak icin gerekli enerjidir. Bu enerji su

sekilde verilir:

B =[Zmp + Nmn −M(AX)

]c2 (1.1)


Burada Z atom numarası, N notron sayısı, M(AX) cekirdegin kutlesidir. A kutle

sayısı yani nukleon sayısı olduguna gore nukleon basına baglanma enerjisi B/A ile

verilir.

1.2.6 Enerji

Nukleer enerji milyon elektron-volt (MeV) birimi ile olculur. 1 eV ise tek bir elektrik

yukunun bir voltluk potansiyel farkı altında ivmelendirilmesiyle kazandıgı enerjidir

ve degeri 1eV=1,60210−19 J’dur. Tipik α ve β bozunmalarının enerjileri 1 MeV’luk

bir enerji aralıgına sahiptir. Dusuk enerjili reaksiyonlar 10 MeV’luk kinetik enerji ile

olusturulur. Bu tip enerjiler nukleer durgun kutle enerjilerinden cok daha kucuktur.

Bu nedenle nukleonların enerji ve momentumlarında goreceli olmayan bagıntılar

kullanılır, fakat β bozunma elektronları icin goreceli bagıntılar kullanılır.

1.3 Temel Etkilesmeler

Tabiatta 4 temel etkilesme gorulur. Bunlar gravitasyonel, elektromanyetik, kuvvetli

ve zayıf etkilesmelerdir. 2 parcacık arası etkilesme bu iki parcacık arası etkilesmeye

ozgu bir parcacıgın degis-tokus edilisiyle mumkun olur ki bu parcacıga alan kuan-

tumu yada tasıyıcı denir.

Bu dort temel etkilesmenin alan kuantumları ve bunların spin, kutle, menzil,

siddet degerleri asagıdaki tabloda verilmektedir.

Etkilesme Tasıyıcı Spin Kutle (GeV) Menzil (m) Siddet

Gravitasyonel Graviton 2 0 ∞ 10−39

Elektromanyetik Foton 1 0 ∞ α

Kuvvetli Gluon 1 0 10−15 1

Zayıf W±, Z0 1 80.2, 91.2 10−18 10−5

Tablo 1.2: Temel etkilesmelerin alan kuantumları ve alan kuantumlarının spin, kutle,

menzil ve siddet degerleri.

Parcacıkları ilk basta 2’ye ayırabiliriz. Bunların ilki “Fermiyon” ikincisi “Bozon”

grubudur. Fermiyonlar Fermi-Dirac istatistigine uyan, bucuklu spinli parcacıklardır.

1.4. SORULAR 15

Elektron, proton, notron gibi parcacıklar fermiyon grubuna dahildir. Bozonlar ise

Bose-Einstein istatistigine uyan, tamsayı spinli parcacıklardır, tasıyıclar bu gruba

girerler.

Parcacıklar ayrıca Lepton ve Hadron seklinde ikiye ayrılır. Leptonlar β bozun-

ması ve zayıf etkilesmelerde gorulur. Bir ic yapıya sahip olmadıklarından elementer

parcacık olarak dusunulur. Leptonların spinleri 12

olup fermiyon grubuna dahildir.

Herbirinin bir anti-parcacıgı vardır. Elektron, muon, tau, notrino gibi parcacıklar

leptondur.

Hadronlar ise kuvvetli ve zayıf etkilesmelerde etkilesmeye katılan agır parcacıklardır

ve spinlerinin tamsayı yada yarım olusuna gore baryonlar ve mezonlar olmak uzere

ikiye ayrılır. Baryonlar yarım spinli olan gruptur ve proton, notron gibi agır parcacıklar

birer baryondur. Mezonlar ise tamsayı spinlidirler. Mezon degis-tokusu nukleer

potansiyeli olusturur. π+, π−, π0, ρ+, ρ−, ρ0, ω, η birer mezondur.

Kuarklar ise maddenin en elementer parcacıkları olarak kabul edilir ve 12

spin

degerine sahiptirler. Yukarı (top) ve asagı (bottom) seklinde adlandırılırlar ve yukarı

olanın elektrik yuk degeri +23e ve asagı olanın yuk degeri ise −1

3e’dir. 3 kuark

birleserek baryon, kuark-antikuark birleserek mezon olusturur.

1.4 Sorular

1. Nukleer fizikte genel olarak nicin goreceli olmayan bagıntılar kullanılır?

2. Nukleer madde yogunlugunu herhangi bir cekirdek icin hesaplayınız?

3. Cekirdegi 5cm capında bir elma olarak dusunurseniz, cekirdege en yakın elek-

tronun uzaklıgı ne olur?

4. Kuarkların elektrik yuklerini dusunerek proton ve notronu olusturan yukarı ve

asagı kuark sayılarını bulunuz?

5. Herhangi bir cekirdek icin, baglanma enerjisini ve yogunlugunu numerik olarak

hesaplayan bir program yazınız? (ornegin fortran programlama dilinde)

Bolum 2

Kuantum Fizigi Tekrar

2.1 Kuantum Fizigi Tekrar

Gunluk hayatımızda tanecik ve dalga kavramları supheye yer bırakmayacak kesin-

likte tamamen farklı kavramlar olarak karsımıza cıkar. Gerek tanecikler mekanigi

(yani nokta mekanigi) ve gerekse dalgalar optigi, her biri kendine has varsayımlar,

teoriler ve deneyler zincirini kapsayan iki ayrı inceleme konusu olarak gelismislerdir.

Bir buyukluk sadece bazı kesikli degerler alabiliyorsa kuantalanmıs demektir.

20.yy’ın ilk ceyreginde elektromagnetik ısımanın kuantalanmıs oldugu anlasıldı.”Belirli

bir frekansta yayılan ısıgın tasıdıgı enerji surekli bir degisken olmayıp, temel bir en-

erji kuantumunun katları olabilir.” Ayrıca elektromagnetik dalganın kucuk enerji

paketlerinden olustugu, bu paketlerin momentum da tasıyabildigi, diger parcacıkların

bir cok ozelligine sahip ama kutlelerinin sıfır oldugu anlasıldı. Bu paketlere veya ısık

kuantumuna foton adı verildi.

Kutlenin ve elektrik yukunun kuantalanmıs olması klasik fizigin temel ilkeleriyle

celismiyordu. Ama ısıgın kuantalanmıs olması klasik elektromagnetik teorisiyle

celisiyordu. Cunku bu teoriye gore ısıma enerjisi surekli degerler alabilmeliydi.

Boylece ısıgın kuantalanmıs olması yeni bir teoriyi gerekli kılıyordu.

Isıgın parcacık karakterinde oldugunu soyleyen deneyleri inceleyelim.

17

18 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR

2.1.1 Planck ve Karacisim ısıması

Elektromagnetik ısımanın kuantalanmıs olması gerektigini ilk one suren kisi karacisim

ısımasını inceleyen Alman fizikci oldu (1900). Tanım olarak karacisim , ideal bir ısın

sogurucudur; boyle bir cisim ısıtıldıgında yayınladıgı ısımaya da karacisim ısıması

adı verilir. Klasik elektromanyetik teori kullanılarak, verilen bir frekansta ne kadar

enerji ısıdıgını hesaplamak mumkundur. Bu hesabın sonucu Rayleigh-Jeans formulu

olarak ifade edilir. Bu formul alcak frekanslarda deneysel gozlemlerle uyusuyor, an-

cak yuksek frekanslarda yanlıs sonuc veriyordu.

Ustelik Rayleigh-Jeans formulune gore, tum frekanslardaki ısıma enerjileri toplamının

sonsuz olması gerektigi (mor otesi felaket) gibi yanlıs bir sonuc cıkıyordu.

Planck, bu yanlıslıgı duzeltebilmek icin karacisim ısımasının kuantalanmıs oldugunu

varsaymak gerektigine inanıyordu. Planck, varsayımına gore frekansı f olan bir ısın,

hf kadar bir enerji kuantasının tam katları olarak salınabilir.

E = 0, hf, 2hf, 3hf... (h = plancksabiti) (2.1)

Planck, ısımanın neden hf ’nin tam katları olarak kuantalandıgını acıklamadı.

Buldugu sonucun gecici bir varsayım olduguna inanıyordu. Oysa bu sonuc, elektro-

manyetik ısımanın temel ve evrensel bir ozelligi olarak kalacaktı.

2.1.2 Fotoelektrik olay

Einstein, Planck’ın goruslerini bir adım ilerleterek soyle bir varsayım ileri surdu; ”Bir

ısık demetindeki enerji, uzayda surekli dagılmıs olmayıp sonlu sayıda noktasal enerji

kuantumlarından olusur; bolunemeyen bu enerji kuantumları tam olarak salınır ve

sogurulur. Einstein, bu ısık kuantumunu yani fotonun enerjisini hf olarak aldı.

Einstein’a gore, iki fotonun aynı anda bir elektrona carpma olasılıgı cok zayıf

oldugundan bir elektron kendisine carpan tek fotonun hf enerjisini alarak kopar.

Einstein varsayımına gore, ısıgın siddeti arttırıldıgında foton sayısı artar ancak

bir fotonun hf enerjisi degismez. Daha cok foton gonderildiginde daha cok elektron

koparılır ama her bir fotonun enerjisi aynı kaldıgından elektronların kinetik enerjileri,

dolayısıyla Kmaxdegeri degismez.

Verilen bir metalden elektron koparılması icin minimum bir enerjiye gerek vardır.

2.1. KUANTUM FIZIGI TEKRAR 19

Bu minimum enerjiye o metalin is fonksiyonu denir, Φ ile gosterilir. Fotonun hf

enerjisiΦ’den kucukse elektron koparmaya yeterli olmaz. Φ = hfo (f0 = kritikfrekans)

Einstein bu dusuncesini daha ileri goturup, foton frekansı ile elektron enerjisi

arasında bir bagıntı gelistirdi.f frekansı kritik f0 degerinden buyukse, bir fotonun

carptıgı elektron hfkadar enerji alacak, ama Φkadar enerji kaybederek metalde kopa-

bilecektir.

O halde, cıkan elektronun kinetik enerjisi hf−Φ kadar veya daha kucuk olabilir.

Kmax = hf − Φ (2.2)

Diger bir deyisle, koparılan elektronun maksimum enerjisi ısık frekansının li-

neer bir fonksiyonu olup, bu fonksiyonun egimi Planck sabiti h’a esit olmalıdır. Bu

ongorunun deneysel kanıtlanması 1916’da Millikan tarafından gerceklestirildi.

2.1.3 Compton Olayı

Isıgın taneciksi bir ozelligine sahip olabildiginin bir kanıtını da bize Compton olayı

soylemektedir. Bu olay fotonların elektronlarla carpısmaları, sogurulmalarıyla sonuclanmadıgı

hallerde, tıpkı bilardo toplarının carpısmalarında oldugu gibi esnek carpısmalara yol

actıgını ortaya koymaktadır,

Eger fotonla elektron arasındaki carpısma gercektende, iki katı kurenin carpısmasında

oldugu gibi esnek bir carpısma ise boyle bir carpısmada kinetik enerji ve impuls ko-

runum kanunları gecerli olacaktır.

Foton-elektron sisteminde enerji korunumunun gecerli oldugunu kabul edersek ve

sayısal islemler yapılırsa;

λ′ − λ = ∆λ =

h

m0c(1− cos θ) (2.3)

elde edilir. Burada λ′=sacılan dalga λ=gelen dalgayı temsil etmektedir. Bu formuldeki

hm0c

’ye Compton dalga boyu denir. Fotonun carptıgı tanecik ne kadar buyuk kutleli

olursa Compton dalga boyuda o kadar kısadır.

Compton, sacılan dalga boyunu dort farklı θ acısıyla olctu ve ∆λ = hm0c

(1− cos θ)

formulle mukemmel bir uyum buldu.


2.1.4 Dalga-Parcacık ikilemi

Bugun tum fizikciler fotoelektrik olay, Compton olayı ve diger bir cok deneysel

gozlemlere dayanarak, ısıgın parcacık karakterine kuskusuz inanmaktadırlar. Ancak

ısıgın dalga karakterli oldugunu dogrulayan deneylerde vardır. Bu durum bir celiski

gibi gorunsede aslında her iki ifadede dogrudur. Isık hem dalga hem de parcacık

ozelliklerine sahiptir. Isıgın bu ikili yapısı su bagıntılarla ozetlenebilir;

E = hf p =h

λ(2.4)

Esitliklerin sol tarafındaki E enerjisi ve pmomentumu fotonun parcacık ozelligini,

sag taraftaki f frekansı ve λdalga boyu dalga yapısını belirtmektedir. Elektron ve

proton gibi parcacıklarda bu dalga-parcacık ikilemini sergilerler. Kuantum teorisinin

baslıca gorevi temel parcacıkların ilk bakısta celiskili gorunen bu ozelliklerin acıklamak

olmalıdır.

1923 yılında Fransız doktora ogrencisi de Broglie ısıgın hem madde hem de dalga

ozelligi gosterdigine gore doganın simetrik olacagını umit ederek, maddenin de bu

ikili karakteri gostermesi gerektigini ileri surdu. O yıllarda maddenin hicbir dalga

ozelligi gozlenmis degildi. Ancak de Broglie bu varsayımla Bohr yorungelerinin

hidrojen atomu icinde kararlı dalgalar olarak acıklanabilecegini gosterdi. Bu dal-

galara madde dalgaları adı verildi.

De Broglie’nin madde-dalga ikileminin fotonlar gibi elektronlarada uygulanabilecegi

dusuncesi bir cok fizikcide ilgi uyandırdı. Bu dusunceyi gelistiren Avusturyalı fizikci

Schrodinger 1926’da yayınladıgı dort makaleyle dalga mekanigi (kuantum mekanigi)’nin

dogusunu mujdeledi. 1927’de de Broglie madde dalgalarını deneysel olarak gozledi.

Elektronlar (dalgaların temel bir ozelligi olan) girisim sacakları olusturabiliyorlardı.

2.1.5 de Broglie Hipotezi

Yukarıda fotonların hem dalga hem de parcacık ozelligini gosterdigini incelemistik.

Bu iki ozellik soyleydi;

E = hf p =h

λ(2.5)

de Broglie elektron gibi maddesel parcacıklarında bu madde-dalga ikili ozelligini

2.1. KUANTUM FIZIGI TEKRAR 21

gosterebilecegini one surdu. Bu “madde dalgaları”nın nasıl bir sey oldugunu bilmiy-

ordu, ama bunlarında ısık dalgaları gibi yukarıdaki bagıntılara uyması gerektigini

soyledi. Bu nedenle bu bagıntılara de Broglie bagıntıları adı verilir.

de Broglie bagıntılarını kabul edersek, elektronun E enerjisinin kuantalanması demek

f frekansının kuantalanması demektir. Klasik fizikte bilinen bir sonuca gore, bir

bolgede yerellesmis dalgalar, sadece belirli frekanslarda titresebilirler. Bu dusunce

atom icindeki elektron dalgalarının belirli frekanslarda olması, yani kuantalanmasına

yol acar.

Yukarıdaki bagıntılarını saglayan elektron dalgalarının, Bohr’un hidrojen atom-

unda elektron acısal momentumunun h’ın tam katları olarak kuantalandıgı varsayımına

da uyacagını gostermeyi basardı.

S. ekil 2.1: Elektronun Bohr Yorungesindeki Hareketi

Sekil 6.1’ deki gibi bir Bohr yorungesinde donen elektronun bu yol uzerinde

dalgalı bir sekilde gittigini varsayalım. Bu dairesel yorungeye tam dalgaboyları

sıgdırabilmek icin

2πr = nλ (n = 1, 2, 3, ...)olmalıdır. (1.1.2)

(4.3)’e gore λ = hp

ve 2πr = nhp

olur. Buradan rp = nh2π

bulunur.

Dairesel bir yorunge icin r · pcarpımı L acısal momentumudur. O halde

L =nh

2π= nh (n = 1, 2, 3, ...) (2.6)

Bu, Bohr kuantalanma kosuludur.


2.1.6 Bohr Atom ModelI

Atom Spektrumları

19.yuzyılın ortalarında atom spektrumlarının gozlenmesiyle, mikroskobik sistem-

lerde klasik mekanik teorisinin yetersiz kaldıgı goruldu. Atom spektrumlarının dogru

bir acıklaması 1913 yılında Danimarkalı fizikci Niels Bohr tarafından yapıldı ve klasik

mekanigin koklu bir degisim gecirmesi geregi ortaya kondu.

Bohr teorisi karakteristik spektrumları tumuyle farklı bir sekilde acıklar. Ilk

olarak, bir atomun fα, fβ...gibi karakteristik frekanslarda ısık yayınlaması, o atomun

enerjileri hfα, hfβ..olan fotonlar salması demektir (Frekans ve enerji arasındaki bu

iliski 19.yuzyılda henuz bilinmiyordu). Bu karakteristik enerjiler, atomdaki elektron-

ların toplam enerjisinin E1, E2, E3.. gibi kesikli degerlerde kuantalanmıs olmasıyla

acıklanır. Atom bu enerji duzeylerinin birinden digerine sıcradıgında ısık salar veya

sogurur.

E2〉E1oldugunu varsayalım; atom E2’den E1 duzeyine gectiginde,E2 − E1 kadar

bir enerji fazlasını salması gerekir. Buda enerjisi hf = E2 − E1 olan bir foton

seklinde ısınır. Benzer sekilde,atomun E1’den E2 duzeyine gecebilmesi icin E2 −E1

kadarlık enerji eksigini gidermesi gerekir.Bu da enerjisi hf = E2−E1 olan bir fotonun

sogurulmasıyla olur.

Bohr’un Atom Spektrumu Acıklaması

Atomik denge problemini cozebilmek icin Bohr, klasik mekanik yasalarının degistirilmesi

gerektigini one surdu. Klasik mekanigin one surdugu sınırsız sayıdaki elektron

yorungeleri arasında sadece kesikli bir yorungeler kumesinin kararlı dengede oldugunu

soyledi. Bunlara kararlı yorungeler adını verdi. Yorungeler kesikli degerler ala-

bildigi icin bunların enerjileri de kesikli olmalı, yani atomdaki elektron enerjileri

kuantalanmıs oluyordu. Bir atomun sahip olabilecegi enerjiler E1, E2, E3.. seklinde

sayılabilir bir kume olusturuyordu. Eger bu dogruysa, klasik elektromagnetik teorisinin

ongordugu sekilde atomun surekli enerji kaybetmesi onlenmis oluyordu.

Bohr’un postulatı soyleydi; kararlı bir yorungedeki elektron, dıs etki olmadıgı

surece, hicbir enerji ısımadan aynı yorungede kalır.

Bohr kararlı yorungedeki elektronların nicin enerji ısımadıgını acıklamıyordu.

2.2. SCHRODINGER DALGA DENKLEMI 23

Bir bakıma Bohr’un atom dengesini acıklayabildigi soylenemez. Fakat bu varsayım

gercege cok yakındı; ozellikle ”kararlı yorunge” kavramının cok yerinde oldugu daha

sonra anlasıldı. Kuantum teorisinde bildigimiz gibi,elektronların klasik anlamda bir

yorungeleri yoktur, atom icinde dagılmıs surekli bir yuk bulutu gibi dusunulebilir.

Atomun kararlı durumları (ki Bohr’un kararlı yorungelerine karsılık gelir) bu yuk

bulutunun kararlı olup enerji ısımadıgı durumlardır

2.2 Schrodinger Dalga Denklemi

Ψde Broglie dalgası icin;

Ψ (x, t) = Ae−iw(t−xv) (2.7)

Boyle saf yani bir dalga paketi degil de tek bir dalgadan meydana gelen dal-

gasal bir hareketle m kutleli ve pimpulslu (dolayısıyla K = p2

2mkinetik enerjili) bir

tanecigin bagıntısını yapmak icin;

w = 2πf

E = hf

λ = hp

v = λf = hfp

(2.8)

(4.11) denklemini (4.4) de yerine koyarsak;

Ψ (x, t) = Ae−2πih

(Et−px)sekline donusur (1.2.3)

Eger tanecik bir kuvvet alanında ise, tanecigin toplam E enerjisi enerjinin ko-

runumu ilkesi uyarınca zamana baglı olmayıp bu alanı doguran potansiyeli V ile

gostererek E tanecigin K kinetik enerjisiyle V potansiyel enerjisinin toplamına

esittir.

E = T (x) + V (x)(2.9)

E =p2

2m+ V (x) (2.10)

ote yandan (4.20) den x’ e gore ikinci turevi ve sonra da t’ ye gore birinci turevi

alarak;


p2Ψ = − h2

4π2

∂2Ψ

∂x2(2.11)

EΨ = − h

2πi

∂Ψ

∂t. (2.12)

(4.12) denkleminin her iki yanını da Ψile carptıktan sonra (4.14) ve (4.15) den-

klemleri de goz onunde bulundurarak;

h

2πi

∂Ψ

∂t=

h2

8π2m

∂2Ψ

∂x2− V (x) Ψ (2.13)

Boylece zamana baglı schrodinger denklemi elde edilmis oldu.

2.3 Zamandan Bagimsiz Schrodinger Denklemi

Tanecige karsılık gelen de Broglie dalgasını

Ψ (x, t) = Ae−2πih

(Et−px) = Ae2πipx

h · e− 2πiEth (2.14)

Ψ (x, t) = Ψ (x) e−2πiEt

h (2.15)

Bu ifade Ψ(x, t)’nin yalnız x’e baglı bir fonksiyon ile yalnız t’ye baglı bir fonksiy-

onun carpımı olarak yazılabildigini gostermektedir. Buna gore tanecigin x’i iceren

dx aralıgında t anında bulunması ihtimali;

Ψ∗(x,t) ·Ψ(x,t)dx = Ψ∗

(x)e2πiEt

h ·Ψ(x)e− 2πiEt

h dx (2.16)

= Ψ∗(x)Ψ(x) (2.17)

Bu sonuc goz onune alınan ihtimalin zamana baglı olmadıgını gostermektedir. Bu

ihtimali bulmak icin Ψ (x, t)’yi bulmak yerine Ψ (x)’i bulmak yeterlidir. E enerjisi,

enerjinin korunumu ilkesine gore sabittir. V potansiyel fonksiyonu ise sadece yerin

fonksiyonudur. (1.4.1)’i (1.3.7)’de yerine koyarsak;

∂2Ψ (x)

∂x2+

8π2m

h2[E − V (x)] Ψ (x) = 0 (2.18)

Boylece zamandan bagımsız schrodinger denklemi elde edilmis oldu.

2.4. MERKEZI POTANSIYELLER 25

2.4 Merkezi Potansiyeller

2.5 Iki Cisim Problemi

Kutleleri m1 ve m2 olan iki parcacıgın konum ve momentumlarını sırasıyla −→r1 , −→r2 ve

p1, p2 ile gosterelim. Bu sistemin hamiltonyeni;

H =p2

1

2m1

+p2

2

2m2

+ V (−→r1 −−→r2 ) (2.19)

Burada V potansiyeli, kuresel simetriden dolayı, sadece parcacıklar arasındaki

uzaklıgın bir fonksiyonudur. Bu tur potansiyellere merkezi potansiyeller denir.

Momentum operatorleri P = −ih∇ ve P 2 = −h2∇2 (4.3) denkleminde yerine

yazılırsa;

− h2

2m1

∇21 −

h2

2m2

∇22 + V (r) = E ⇒

− h2

2m1

∇21 −

h2

2m2

∇22 + V (r)

Ψ = EΨ

(2.20)

Dalga fonksiyonu; Ψ = Ψ (x1, y1, z1, x2, y2, z2) (2.1.2) Buradaki x1, y1, z1, x2, y2, z2

bu sistemin bulundugu 3 boyutlu uzaydaki koordinatlarıdır.

− h2

2m1

∇21 −

h2

2m2

∇22 + V (r)

Ψ = EΨ (2.21)

Bu denklemdeki kutle merkezi koordinatları X, Y, Z leri bagıl hareketin koordi-

natları olan x ,y ,z cinsinden asagıdaki sekilde yazmalıyız.

X =m1x1 + m2x2

m1 + m2

Y =m1y1 + m2y2

m1 + m2

Z =m1z1 + m2z2

m1 + m2

(2.22)

x = x2 − x1 y = y2 − y1 z = z2 − z1 (2.23)

Boylece toplam kinetik enerji ;

T =1

2m1

(x2

1 + y21 + z2

1

)+

1

2m2

(x2

2 + y22 + z2

2

)(2.24)

M = m1 + m2 seklinde tanımlanırsa; Denklem (4.11) ve (4.12)’den

MX = m1x1 + m2x2


x2 = x + x1

(4.12) denklemi (4.11)’de yerine yazılırsa;

MX = m1x1 + m2 (x + x1) = m1x1 + m2x1 + m2x (2.25)

= (m1 + m2) x1 + m2x (2.26)

=Mx1 + m2x

x1 = X− m2

(m1 + m2)· m1

m1

· x (2.27)

Ayrıca her iki kutlenin yerine indirgenmis kutleyi kullanabiliriz. Indirgenmis

kutlenin tanımı geregi:

µ =m1 ·m2

m1 + m2

(2.28)

Diger islemlerde benzer sekilde yapılırsa;

x1 = X− µ

m1

x y1 = Y − µ

m1

y z1 = Z− µ

m1

z (2.29)

x2 = X +µ

m2

x y2 = Y +µ

m2

y z2 = Z +µ

m2

z (2.30)

denklem (4.15) , (4.14)’da yerine yazılırsa ;

T =1

2(m1 + m2)

(X2 + Y2 + Z2

)+

1

2µ

(x2 + y2 + z2

)(2.31)

(4.17) denklemi momentum operatorleri cinsinden yazılırsa;

Px = MX Py = MY Pz = MZ (2.32)

py = µy pz = µz (2.33)

boylece (4.17) denklemi ;

T =1

2M

(P 2

x + P 2y + P 2

z

)+

1

2µ

(p2

x + p2y + p2

z

)(2.34)

2.5. IKI CISIM PROBLEMI 27

E = T+V ve momentum operatorleri kullanılırsa,hidrojen atomu icin schrodinger

denklemi;

− h2

2M∇2

km −h2

2µ∇2 + V (r)

Ψ = EΨ (2.35)

Ψ (X, Y, Z, x, y, z) = Ψkm (X, Y, Z) Ψ (x, y, z) (2.36)

(2.36) denkleminin (4.20) ’de yerine yazılmasıyla

− h2

2M∇2

kmΨkm = EkmΨkm (2.37)

− h2

2µ∇2 + V (r)

Ψ = EΨ (2.38)

Ekm kutle merkezinin oteleme hareket enerjisini, E ise bagıl hareketin enerjisidir.

Kutle merkezinin hareketi potansiyel enerjiden bagımsız oldugu icin bu denklemin

(2.37) cozumu merkezi potansiyel icin enerji ozdeger ve ozvektorleri bulmamaıza

yardımcı olmaz. Bu nedenle (2.38) denklemini ile ilgileniriz.

Once 2.38 ile verilen denklemi kuresel koordinatlarda yazıp, merkezi potansiyelde

hareket eden µ kutleli spiinsiz bir parcacık icin en genel hareket denklemini veren

Schrodinger denklemini asagıdaki sekilde elde edilir:

−h2

2µ

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

1

r2

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

]+ V (r)

)Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)

(2.39)

Koseli parantezler icindeki terimlerin negatifi acısal momentum operatorunun kare-

sidir, L2. Bu operatorun ozfonksiyonları dejeneredir ve kuresel harmonikler (Ylm(θ, φ))

ile su sekilde tanımlanabilirler:

L2Ylm(θ, φ) = l(l + 1)h2Ylm(θ, φ)

LzYlm(θ, φ) = mhYlm(θ, φ) (2.40)

Kuresel koordinatlarda Ψ → Ψ (r, θ, ϕ) degiskenlerine ayrılarak soyle yazılır.

Ψ (r, θ, ϕ) = R (r) f (θ) g (ϕ) (2.41)


Denklem (2.39) ’deki sadece ϕ ’ye baglı olan denklemi −m2` ‘ye esitlersek (cunku

boyle bir sistemin 0 ≤ ϕ ≤ ∞ aralıgında her an dogru olabilmesi icin denklemin bir

sabite esit olması gerekir. O sabit −m2` seklinde bir kuantum sayısı olarak secilir)

denklem;

∂2g

∂ϕ2+ m

2

`g = 0 (2.42)

seklini alır.

Bu denklem ise basit harmonik hareket denklemidir. cozumu ise;

g (ϕ) = Aeimϕ (2.43)

olur.

A ’yı bulmak icin ise normalizasyon sartı kullanılır;

2π∫

0

g∗ (ϕ)g (ϕ) dϕ = 1 ⇒ A2

2π∫

0

dϕ = 1 ⇒ A =1√2π

(2.44)

Boylece g (ϕ) cozumu;

gm` =1√2π

eimϕ (2.45)

m` = 0,±1,±2,±3... kuantum sayısı

2.39 esitliginin 0≤ r ≤ ∞ , 0≤ θ ≤ π, ve 0≤ ϕ ≤2π aralıgında yani tum

uzayda her an dogru olabilmesi icin denklemin bir sabite esit olması gerektigi be-

lirtilmisti. Burada sececegimiz sabit ise denklem 2.40 ’dan goruldugu gibi ` (` + 1)

dir. Yukarıdaki denklemler acısal momentumun karesinin h2 ‘ye bolumu boyutu

olduklarından m` ve ` kuantum sayıları acısal momentum kuantum sayıları olmak

zorundadırlar. Boylece denklemin sol ve sag tarafları ` (` + 1) ‘e esit olduklarından

dolayı schrodinger denkleminin kuresel koordinatlarda her uc degiskene ayrılmıs

sekli;

∂2g

∂ϕ2+ m

2

`g = 0 (2.46)

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂f

∂θ

)+

[` (` + 1)− m2

`

sin2 θ

]f = 0 (2.47)

2.5. IKI CISIM PROBLEMI 29

1

r2

∂

∂r

(r2∂R

∂r

)+

2µ

h2

[E − V (r)− h2

2µ

` (` + 1)

r2

]R = 0 (2.48)

(2.46) denkleminin cozumunun gm` = 1√2π

eimϕ oldugunu gostermistik.

Denklem (2.47) ’un cozumu icin Legendre polinomları ve Rodrigues formulleri

kullanılarak cozume gidilir. Bu durumda θ ’ya baglı cozum fonksiyonu;

f (θ) = N`m`P`ml

(cos θ) (2.49)

seklinde olup normalizasyon sabiti;

N`m`= (−1)

(m`+|m`|)2

√2` + 1

2

(`− |m`|)!(` + |ml|)! (2.50)

P`m`(cos θ) =

[1− cos2 θ

]m`2

∂mlP` (cos θ)

∂θml(2.51)

ifadeleri ile belirlidir. Burada (cosθ = ξ dersek) Pl(ξ) ise;

P` (ξ) =1

2``!

∂`

∂ξ`

(ξ2 − 1

)`(2.52)

ile verilir.

Burada P`m`(ξ) Asosiye Legendre polinomu, P` (ξ) ise Legendre polinomudur.

Buradaki `ve m` kuantum sayıları icin ` ≥ m` ve m` ≥ 0 kosulları, yine merkezcil

olan cozumlerinde ortaya cıkacaktır.

Denklem 2.48 ile verilen Schrodinger denkleminin radyal kısmı icin ise asagıdaki

degisken degisiklikleri cozumu oldukca kolaylastırır. Once turev ifadesini acarak

denklemi tekrar yazalım:

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)Rnl(r)− 2µ

h2

[V (r) +

l(l + 1)h2

2µr2

]Rnl(r) +

2µE

h2 Rnl(r) = 0 (2.53)

Rnl(r) ’ asagıdaki sekilde yazarsak

Rnl(r) =unl(r)

r(2.54)

ve (d2

dr2+

2

r

d

dr

)unl(r)

r=

1

r

d2

dr2unl(r) (2.55)


seklinde ifade edebilecegimiz icin, 2.48 ile verilen radyal Schrodinger denklemini

asagıdaki oldukca basit ve kompakt sekle donustururuz:

d2unl(r)

dr2+

2µ

h2

[E − V (r)− l(l + 1)h2

2µr2

]unl(r) = 0 (2.56)

Instead of solving the partial differential equation 2.39 in the three variables

r, θ and φ, we now solve a differential equation involving only the variable r, but

dependent on the angular momentum parameter l, which makes the eigenvalues

and eigenfunctions different for each value of l. Therefore, the eigenfunctions and

eigenvalues are 2l+1 degenerate.

2.6 Ornekler

2.6.1 Free Particle Solution

In classical mechanics, a free particle of mass µ moves along a uniform linear trajec-

tory. Its momentum P, its energy E = P2/2µ and its angular momentum L = r×P

relative to the origin of coordinate system are constants of motion.

In quantum physics, the observables P and L = r×P do not commute. Hence,

they represent incompatible quantities: It is not possible to measure the momentum

and the angular momentum of a particle simultaneously.

Conceptually, the simplest scattering state is the free particle where potential is

zero everywhere. We now look for solutions of the free particle radial Schrodinger

equation 2.56 that is, simultaneous eigenfunctions of H, L2 and Lz corresponding to

definite values of E, l and m. The radial Schrodinger equation for a free particle is

not under any influence of potential V (r) and freely travels from -∞ to +∞. the

radial Schrodinger equation:

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)Rnl(r) +

[k2 − l(l + 1)h2

r2

]Rnl(r) = 0 (2.57)

where k2 = 2µEh2 . The energy can only be positive in the case of free motion. If we

change variables in equation 2.57 to ρ = kr and write Rnl = Rl(ρ), we obtain for

Rl(ρ) the equation:

(d2

dρ2+

2

ρ

d

dρ

)Rl(ρ) +

[k2 − l(l + 1)h2

r2

]Rl(ρ) = 0 (2.58)

2.6. ORNEKLER 31

Which is called spherical Bessel differential equation whose particular solutions are

Jl+ 12(ρ) and nl+ 1

2(ρ). It is possible to write them in terms of the spherical Bessel

functions:

Jl(ρ) =

(π

2ρ

)1/2

Jl+ 12(ρ) (2.59)

and spherical Neumann functions

nl(ρ) = (−1)l+1

(π

2ρ

)1/2

J−l− 12(ρ) (2.60)

where Jv is an ordinary Bessel function of order v.

The general form of the functions Jl(ρ) and nl(ρ) are given by

Jl(ρ) = (−ρ)l

(1

ρ

d

dρ

)lsin ρ

ρ(2.61)

and

nl(ρ) = − (−ρ)l

(1

ρ

d

dρ

)lcos ρ

ρ(2.62)

The asymptotic values of the spherical Bessel function for small and large ρ have

the following forms

Jl(ρ) =

ρl

1·3·5...(2l+1)for ρ ¿ l

1ρcos

[ρ− π

2(l + 1)

]for ρ À l

(2.63)

The asymptotic values of the spherical Neumann function for small and large ρ are

nl(ρ) =

−1·3·5...(2l−1)ρl+1 for ρ ¿ l

1ρsin

[ρ− π

2(l + 1)

]for ρ À l

(2.64)

The general solution of equation 2.58 corresponding to a well-defined energy (E =

h2k2/2µ) and a well-defined orbital angular momentum l is of the form

Rnl(r) = AJl(kr) + Bnl(kr) (2.65)

Here the constant B must be zero because of the finiteness of the wave function in

the origin since the spherical Neumann function nl(ρ) has a pole of order l + 1 at

origin and is therefore an irregular solution of 2.58. On the other hand, the spherical

Bessel function Jl(ρ) is finite at the origin and is thus a regular solution. Therefore,


Spherical Bessel Functions

J(2,kr)

J(1,kr)

J(0,kr)

0

0.5

1

J(l,kr)

5 10 15 20kr

S. ekil 2.2: Spherical Bessel function for different values of l.

Spherical Neuman Functions

n(2,kr)

n(1,kr)n(0,kr)

–1

–0.5

0

0.5

J(l,kr)

S. ekil 2.3: Spherical Neumann function for different values of l.

the radial radial and total wave functions of the Schrodinger equation 2.58 for a free

particle are

REl(r) = AJl(kr) (2.66)

ΨEl(r) = AJl(kr)Ylm(θ, φ) (2.67)

The constant A is determined from the boundary condition and the normalisa-

tion. The spherical Bessel and Neumann functions are shown in figures 2.2 and 2.3.

Remarks:

1. The eigenvalues k2 can take on any value in the interval of (0,∞) so that the

2.6. ORNEKLER 33

energy E = h2k2

2µcan assume any value in this interval and the spectrum is

continuous.

2. Every free particle eigenfunction can thus be labelled by the two discrete in-

deces l and m and by continuous index E (or k). So each energy eigenvalue

is infinitely degenerate, since for a fixed value of E, the eigenfunctions are

labelled by the two quantum numbers l and m such that l = 0, 1, 2 . . . and

m = −l,−l + 1 . . . , l

2.6.2 Infinite Square Well

To determine the energy levels for a particle in a infinitely deep potential well,

consider the motion of a particle of mass µ in the following spherically symmetric

infinitely deep potential well:

V (r) =

0 for 0 < r ≤ a

∞ otherwise(2.68)

A particle could never scatter from the well because it is infinitely deep. It’s a bit

like a black hole. Once you fall in you can never get out. When r ≤ a, inside the

well, the particle moves freely and the states of motion with a well-defined orbital

angular momentum are given by the the solution of the radial Schrodinger equation:

(d2

dρ2+

2

ρ

d

dρ

)Rl(ρ) +

[k2 − l(l + 1)h2

r2

]Rl(ρ) = 0 (2.69)

where k2 = 2µEh2 and ρ = kr. The solutions of this equation are given by the spherical

Bessel and neumann functions

Rnl(r) = AJl(kr) + Bnl(kr) (2.70)

The wave function of the particle vanishes for r ≥ a as the particle cannot penetrate

into a region where the potential infinite. In order to satisfy this boundary condition,

we must set B = 0. Therefore, the radial and total wave functions of the particle

are

Rnl(r) = AJl(kr) (2.71)

ΨElm(r) = AJl(kr)Ylm(θ, φ) (2.72)


To find the energy eigenvalues, we apply the continuity condition at r = a

jl(ka) = 0 (2.73)

Since, for a given l, the Bessel function has an infinite umber of zeros, we find an

infinite number of values kn,l and of energy levels, that is, the energy levels are

degenerate.

En,l =h2

2µk2

n,l (2.74)

For the loews l values, the spherical Bessel functions are

j0(kr) =sin kr

kr; (2.75)

j1(kr) =sin kr

kr− cos kr; (2.76)

j2(kr) = −cos kr

kr+

(3

(kr)2− 1

)sin kr (2.77)

and for higher values of l they may be easily be constructed from the recurrence

relation

jl(kr) =l

krjl−1(kr)− j

′l−1(kr) (2.78)

Their zeros may be determined from simple transcendental equations:

j0(ka) = 0 if sin ka=0 or ka = nπ (2.79)

j1(ka) = 0 if tan ka=ka (2.80)

j2(ka) = 0 if tan ka = 3ka3−(ka)2

(2.81)

For (l = 0, 1and2), the eigenvalues are shown in table 2.74 for different n values.

We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting these

values in equation 2.74.

Tablo 2.1: Values of the kn, la for different l and n values

l n=1 n=2 n=3 n=4

0 (s) 3.14159 6.28319 9.42478 12.5664

1 (p) 4.49341 7.72525 10.9041 14.0662

2 (d) 5.76346 9.09501 12.3229 15.5146

2.6. ORNEKLER 35

Energy Levels of Infinite Square Well

all statesn=3n=3n = 1 n = 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

ka

S. ekil 2.4: Eigenvalues of Infinite square well

The eigenvalues as shown in table 2.1 are also displayed in figure 2.4.

It is also possible to obtain a graphical solution to eigenvalue problem. The

intersection of the curves f(ka) = sin ka and G(ka) = 0 determines the eigenvalues

of the l = 0 state. The same hold for l = 1 and l = 2 and so on. These graphics

and intersections of two curves are shown in figure 2.5.

In the remaining part of this section, we will examine the s-state (l=0) wave

function and probability density. The general solution given by 2.72 for l = 0 is

ΨE00(r) = Rn0(r)Y00(θ, φ) (2.82)

where Rn0 is given by J0(kr).

Rn0(r) = Asin(kr)

r(2.83)

The boundary condition REl(a)=0 requires that

sin(ka) = 0 (2.84)

or

ka = nπ (2.85)


l = 0f(ka) = sin(ka)

–1

–0.5

0

0.5

1

2 4 6 8 10 12 14ka

g(ka) = ka

f(ka) = tan(ka)

l = 1

g(ka)=3ka/(3-(ka)^2)–15

–10

–5

0

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14x

S. ekil 2.5: The intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s − state), 1(p −state)and2(d− state).

2.6. ORNEKLER 37

n=1n=2n=3

Legend

0

1

R(r)

1 2 3 4r

S. ekil 2.6: Infinite square potential wave functions for different values of n.

Therefore

En0 =h2k2

2µ=

n2π2h2

2µa2n=1,2,3,. . . (2.86)

Therefore, the normalized wave function is

Rn0(r) =

√2

a

sin(nπr/a)

r(2.87)

and

Ψn00(r) = Rn0(r)Y00(θ, φ) =

√2

a

sin(nπr/a)

r

√1

4π(2.88)

Ψn00(r) =

√1

2πa

sin(nπr/a)

r(2.89)

The radial component of the full wave function is shown in figure 2.6 for different n

values. Figure 2.7 shows the radial probability density, which gives the probability

to find the particle between r and r + dr.

2.6.3 Finite Square Well

Let us consider the motion of a particle of mass µ in a spherically symmetric potential

well:

V (r) =

−V0 for r ≤ a

0 r > a(2.90)


n=1n=2n=3

Legend

0

0.2

0.4

P(r)

1 2 3 4r

S. ekil 2.7: Normalized radial probability density, r2R2, for different n values (l = 0).

The states of motion with a well-defined orbital angular momentum are characterised

by the radial Schrodinger equation. There are two possible cases for the solution of

this equation. In the case where E > 0 is called continuum solutions and E < 0 are

called bound state solutions.

Bound States

d2Rnl(r)

dr2+

[−κ2 − l(l + 1)

r2

]Rnl(r) = 0 r > a (2.91)

d2Rnl(r)

dr2+

[k2 − l(l + 1)

r2

]Rnl(r) = 0 r ≤ a (2.92)

Where

κ2 = −2µ

h2 E (2.93)

k2 =2µ

h2 [E + V0] (2.94)

k20 =

2µ

h2 V0 (2.95)

For r < a, if we change variable to ρ = kr and write Rl(ρ) ≡ Rnl(r), we find that

the radial function Rl(ρ) satisfies the spherical Bessel differential equation. As in

2.6. ORNEKLER 39

the case of free particle, the condition that Rl(ρ) must be zero at the origin restricts

us to the spherical Bessel functions. Therefore, inside the well, we have

Rnl(r) = Ajl(kr) r ≤ a (2.96)

where A is a constant.

For r > a, the equation is identical to the free particle equation, but E <

0. In order to put equation 2.91 in the form of the spherical Bessel differential

equation, we must redefine ρ to be given by ρ = iκr. Since r > a, the domain

of ρ does not extend down to zero, so that there is no reason to limit our choice

to the spherical Bessel functions, which is regular at the origin. Instead, a linear

combination of the spherical Bessel and Neumann functions (or Hankel functions)

is perfectly admissible. So, the solution is

Rnl(r) = Ah1l (iκr) (2.97)

Rnl(r) = B(jl (iκr) + iniκr) r > a (2.98)

where B is a constant. First three functions h1l (iκr) are

h10(κr) = −ieiκr (2.99)

h11(κr) =

(− i

κr− 1

)eiκr (2.100)

h12(κr) =

(− 3

κr− 3i

κ2r2+ i

)eiκr (2.101)

The recurrence relation can be used to find higher values of l:

h1l+1(κr) =

2l + 1

krh1

l (κr)− h1l−1(κr) (2.102)

From the continuity and normalization relations, we can determine the constants A

and B in equation 2.98. Their ration may be eliminated from the continuity relation

of the logaritmic derivative at the well surface, r = a,

iκah1′

l (iκr)

h1l (iκr)

= kaj′l(ka)

jl(ka)(2.103)

where prime denotes the differention to respective arguments. Since 2.103 relates κ

with k, it fixes the eigenvalues of the energy in any given well.


Equation 2.103 after elementary but lengthy calculation leads an eigenvalue re-

lation which may be written:

tan(ka) = −k

λl = 0 (2.104)

tan(ka) =λ2ak

k2aλ + k2 + λ2(2.105)

tan(ka) =

(k0

2 − k2)ak

k2a√

k02 − k2 + k0

2l = 1 (2.106)

For (l = 0and1), the eigenvalues are shown in table 2.95 for different n values.

We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting these

values in equation 2.95.

Tablo 2.2: Values of the kn, la for different l and n values

l n=1 n=2 n=3

0 (s) 2.85234 5.67921 8.42320

1 (p) 4.07500 6.95885 9.62405

The eigenvalues as shown in table 2.2 are also displayed in figure 2.8.

For l = 2, the transcendental equation is even difficult to solve and we are not

going to do it in this part.

Another way to determine the eigenvalues is by finding the intersection of two

curves f(k) and g(k) in equations 2.106 by using the parameters: k0a2 = 2µV0a2

h2 =

100. As it is seen from figure ?? that two curves f(k) and g(k) exactly intersects at

these points.

In the interior region, we see from equation ?? that u is sine function. The

minimum requirement to have at least one bound state is therefore to satisfy the

condition given by equation ??. In order to satisfy this, the ka must advance beyond

π2

in region r < a so that u has a negative slope at a; otherwise it is impossible to

have a decreasing exponential. That is,

π2

4= k2a2 =

2µ

h2 (V0 −B)a2 <2µ

h2 V0 (2.107)

2.6. ORNEKLER 41

Energy Levels of Finite and Infinite Square Wells

n = 2n = 1 all statesn=3

0

2

4

6

8

10

12

ka

S. ekil 2.8: Comparison of the Finite (solid line) and Infinite (dotted line) square well

ka values for l = 0(s− state)and1(p− state).

2.6.4 Delta Well

Consider following delta potential for the s-wave state

V (r) =

−V0δ(r − a) for r ≤ a

0 r > a(2.108)

The Schrodinger equation for l=0 with B ≡ −E becomes

d2uE0(r)

dr2+

2µ

h2 [V0δ(r − a)−B] uE0(r) = 0 for r ≤ a (2.109)

d2uE0(r)

dr2− 2µ

h2 BuE0(r) = 0 for r > a (2.110)

The delta function has the following properties:

δ(r − a) =

0 for r 6= a

1 for r = a(2.111)

For r 6= a the potential V (r) is zero, therefore the equation 2.110 becomes:

d2uE0(r)

dr2− k2uE0(r) = 0 in whole region except r = a (2.112)

where k2 = 2µh2 B. The solution for r < a is

u1E0(r) = Ae−kr + Bekr (2.113)


g(ka)

f(ka)=cot(ka)

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10ka

l = 1

g(ka)

f(ka)

–4

–2

0

2

4

2 4 6 8 10x

S. ekil 2.9: Finite square well: Intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s −state), 1(p− state)and2(d− state).

2.6. ORNEKLER 43

The solution for r > a is

u2E0(r) = Ce−kr (2.114)

The interior solution must satisfy the boundary condition at r = 0, u1E0(0), that is,

A = −B. Hence, the solution for r < a becomes

u1E0(r) = A(e−kr − ekr) or (2.115)

u1E0(r) = 2A sinh kr (2.116)

The continuity of wave function at r = a requires that

2A sinh ka = Ce−ka (2.117)

To math the derivatives at r = a as well, we need to apply limε→0

∫ a−ε

a−εdr to both

sides of the equation 2.112. Using following properties

limε→0

∫ a−ε

a−ε

u(r)δ(r − a)dr = u(a) and (2.118)

limε→0

∫ a−ε

a−ε

u(r)dr = 0 (2.119)

We get

limε→0

[u′ 2E0(a + ε)− u

′ 1E0(a− ε)

] 2µ

h2 V0u(a) = 0 or (2.120)

−kCe−ka − 2kA cosh ka +2µ

h2 V0Ce−ka = 0 (2.121)

taking Ce−ka = 2A sinh ka from equation 2.117

−kA sinh ka− kA cosh ka +2µ

h2 V0 sinh ka = 0 (2.122)

hence

k coth ka =2µ

h2 V0 − k (2.123)

The intersects of the curves f(k) = k coth ka and g(k) = 2µh2 V0 − k gives the eigen-

values. In order them to intersect, the condition is

2µ

h2 V0 > k (2.124)

This is the minimum requirement to have at least one bound state. As shown in

figure 2.10, by using following parameters: a=4.0, h = 1, µ = 1, we find k value

as:k1=0.999664. As it is seen from this figure that two curves f(k) and g(k) exactly

intersects at this point.


g(k) = 2-k

f(k) = kcoth(ka)

–2

–1

0

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4k

S. ekil 2.10: Plot of the functions f(k) and g(k).

2.6.5 Coulomb Potansiyeli

Indirgenmis m kutleli bir parcacıgın uc boyutlu uzayda V (r) = −Ze2

rpotansiyelin-

deki hareketi icin radyal Schrodinger denklemi;

∂

∂r

(r2∂R

∂r

)+

[2µ

h2

(1

4πε0

Ze2

r+ E

)− ` (` + 1)

r2

]R (r) = 0 (2.125)

Denklemi daha basit hale getirmek icin;

α =

√−8µE

hλ =

Ze2

4πε0h

√µ

−2E(2.126)

ρ = α · rdonusumu yapılırsa;

∂

∂r=

∂

∂ρ

∂ρ

∂r⇒ ∂2

∂r2=

∂2

∂ρ2

(∂ρ

∂r

)2

(2.127)

∂

∂r= α

∂

∂ρ⇒ ∂2

∂r2= α2 ∂2

∂ρ2(2.128)

Bu ifadeleri (2.3.1) denkleminde yerine yazarsak;

α2∂2R

∂ρ2+ α · 2

ρ· α∂R

∂ρ+

[2µ

h2

(1

4πεo

Ze2

ρ+ E

)− ` (` + 1)

ρ2α2

]R = 0 (2.129)

denklem α2’ye bolunurse;

2.6. ORNEKLER 45

∂2R

∂ρ2+

2

ρ

∂R

∂ρ+

[2µ

h2

(1

4πε0

Ze2

ρα+

E

α2

)− ` (` + 1)

ρ2

]R = 0 (2.130)

α’nın yukarıdaki degeri yerine yazılırsa,

∂2R

∂ρ2+

2

ρ

∂R

∂ρ+

2µ

h2 ·1

4πε0

Ze2

ρ(

h√−8µE

) +2µE

h2

(h2

−8µE

)− ` (` + 1)

ρ2

R = 0 (2.131)

Denklemde gerekli sadelestirmeler yapılırsa;

∂2R

∂ρ2+

2

ρ

∂R

∂ρ+

1

h

1

4πε0

Ze2

ρ√

4µ2

−8µE

− 1

4− ` (` + 1)

ρ2

R (ρ) = 0 (2.132)

∂2R

∂ρ2+

2

ρ

∂R

∂ρ+

[1

ρ

Ze2

4πε0h

(√4µ2

−8µE

)− 1

4− ` (` + 1)

ρ2

]R (ρ) = 0 (2.133)

∂2R

∂ρ2+

2

ρ

∂R

∂ρ+

[λ

ρ− 1

4− ` (` + 1)

ρ2

]R (ρ) = 0 (2.134)

Elde edilen bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ile

cozulur. Ancak cozume gecmeden once, denklemin asimtotik davranısına bakalım.

Radyal fonksiyonunun genel ozelliklerinden, kucuk ρ degerleri icin;

limr→0

R (r) ∼= rl (2.135)

seklinde olacagı bilinmektedir. Buyuk ρ degerleri icin (ρ →∞) denklemdeki 14

terimi

digerlerini bastıracagı icin , yaklasık olarak;

∂∂ρ

(ρ2 ∂R

∂ρ

)− 1

4R ∼= 0alınabilir. (2.2.4)

Bunun genel cozumu; R (ρ) = Ae−ρ2 +Be

ρ2 olur. cozumun ıraksak olmaması icin

B=0 olması gerekmektedir (cunku ρ →∞ , eρ2 →∞olur).

O halde cozum R (ρ) = Ae−ρ2 ‘dir. (2.2.5)

Butun ρ ‘lar icin gecerli cozum ise; R (ρ) = Ae−ρ2 f (g) (2.2.6)

Bu durumda (2.2.6) denkleminin cozumu (2.134) denklemidir. (2.2.6) , (2.134)’

de yerine yazılırsa;

∂2f

∂ρ2+

(2

ρ− 1

)∂f

∂ρ+

[λ− 1

ρ− ` (` + 1)

ρ2

]f = 0 (2.136)


(2.136) ‘den f (ρ) ‘nin bulunması ile R (ρ) bulunmus olur. (2.136) denklemi

kuvvet serisi metodu ile cozulur.

f (ρ) = a0 + a1ρ + a2ρ2 + · · ·· = ρs

∞∑i=0

aiρi (2.137)

a0 6= 0 s ≥ 0gibi bir seri alınır

Denklem (2.137) , (2.136)’de yerine yazılırsa;

∞∑i=0

[(s + i) (s + i + 1)− ` (` + 1)] aiρ

s+i−2 − (s + i + 1− λ) aies+i−1

= 0

(2.138)

Daha basit olarak yazılırsa;

[s (s + 1)− ` (` + 1)] a0ρs−2+

∞∑j=1

[ (s + j + 1) (s + j + 2)− ` (` + 1)aj+1−(s + j + 1− λ) aj ] ρs+j+1 = 0

(2.139)

Bu durumda denklemin I. ve II. terimi ayrı ayrı sıfıra esit olmalıdır. once

I.terimi dikkate alırsak;

s (s + 1)− ` (` + 1) = 0 ⇒ s (s + 1) = ` (` + 1) (2.140)

s = `ve s = − (` + 1)

II.terimi dikkate aldıgımızda ise;

aj+1 =s + j + 1− λ

(s + j + 1) (s + j + 2)− ` (` + 1)aj (2.141)

ρ = 0’da ρ−(`+1) = 1ρ(`+1) → ∞ oldugu icin s = − (` + 1) cozumu fiziksel olarak

kabul edilemez. s = ` kabul edilebilir cozumdur. (2.2.11)

(2.2.11) denklemi, (2.141) ’da yerine yazılırsa;

aj+1 =j + ` + 1− λ

(j + l + 1) (j + l + 2)− ` (` + 1)aj (2.142)

Burada serinin yakınsak olup olmadıgına bakılmalıdır.

limj→∞

aj+1

aj

=j

j · j =1

j(2.143)

2.6. ORNEKLER 47

Bu durum eρ2‘nin seri acılımı ile aynıdır.

eρ = 1 +ρ

1!+

ρ2

2!+

ρ3

3!+ · · ·· =

∑ ρi

j!(2.144)

Oran testi uygulanırsa;

limj→∞

aj+1

aj

=j!

(j + 1)!=

j!

j! (j + 1ihmal)≈ 1

j(2.145)

ρ →∞’da eρ →∞ oldugundan f (ρ) ıraksak olur.

Bu sorunu asmanın yolu seri cozumunun sonlu sayıda bitmesini saglamaktır. Bu

ise tekrarlama bagıntısında payın sıfır olmasıyla mumkundur. Payın sıfır olabilmesi

icin λ = n(2.2.13) sartı yeterlidir. n = ` + 1, ` + 2, ` + 3 (burada n=temel kuan-

tum sayısı,`= yorunge kuantum sayısıdır). Boylece f (ρ) ve R (ρ) ıraksamadan

kurtarılmıs oldu.

(2.2.6),(2.137) ve (2.2.11) denklemlerinden

R (ρ) = Ae−ρ2

2 ρ`

∞∑i=0

aiρi (2.146)

L (ρ) =∞∑i=0

aiρi (2.147)

tanımlanırsa, denklemin genel sekli;

R (ρ) = Ae−ρ2

2 ρ`L (ρ)halini alır. (2.2.16)

(2.137) , (2.2.11) ve (2.147) denklemlerinden

f (ρ) = ρ`L (ρ)yazılır. (2.2.17)

(2.2.17) ve (2.2.13), denklem (2.136) ’de yerlerine yazılırsa;

ρ∂2L∂ρ2 +[2 (` + 1)− ρ] ∂L

∂ρ+[n− (` + 1)] L = 0Baglı laguerre diferansiyel denklemi

(2.2.18)

P = 2` + 1ve q = n + ` (2.2.19) seklinde tanımlanırsa, denklem;

ρ2 ∂2L∂ρ2 + (p + 1− ρ)

∂Lpq

∂ρ+ (q − p) Lp

q = 0denklemine indirgenir (2.2.20)

Bu denklem baglı laguerre diferansiyel denklemidir. cozumleri ise Lpq baglı la-

guerre polinomlarıdır.

Boylece R (ρ) radyal dalga fonksiyonu ;

Rn` (ρ) = An`ρ`e−

ρ2 L2`+1

n+1 (ρ)elde edildi (2.2.21)


Simdi ise (2.2.21) denklemindeki An`‘ yi bulalım. Bu ise normalizasyon sartı

kullanılarak bulunur;

∞∫

0

R∗n`Rn`r

2dr = 1 (2.148)

ρ = αr (2.149)

dρ = αdr ⇒ dr =dρ

α(2.150)

r2 =ρ2

α2(2.151)

(2.2.21), (2.148) ’de yerine yazılırsa;

A2n`

α3

∞∫

0

e−ρρ2`[L2`+1

n+`

]2ρ2dρ = 1 (2.152)

diklik bagıntısından∞∫0

e−ρρ2`[L2`+1

n+`

]2ρ2dρ = 2n[(n+1)!]3

(n−`−1)!yazılabilir.

An` =

√α3 (n− `− 1)!

2n [(n + `)!]3(2.153)

α =

√−8µEn

h2 (2.154)

α2 = −8µEn

h2 = −8µ

h2

(− 1

4πε0

)2µZ2e4

2h2

1

n2(2.155)

α2 = 4

(1

(4πε0)2

µ2e4

h4

)

︸︷︷︸1

a0

2

Z2

n2(2.156)

α2 =4Z2

a20n

2(2.157)

α = 2Za0n

(a: bohr yarıcapı) (2.2.25)

(2.2.25) , (2.153) ’de yerine yazılırsa;

2.6. ORNEKLER 49

An` =

√(2Z

a0n

)3(n− `− 1)!

2n [(n + `)!]3(2.158)

Boylece H atomunun dalga fonksiyonunun radyal faktoru;

Rn` =

√(2Z

a0n

)3(n− `− 1)!

2n [(n + `)!]3e−

ρ2 ρ`L2`+1

n+1 (ρ) (2.159)

Hidrojen atomu icin dalga fonksiyonları

Ψn,`,m`(r, θ, ϕ) = Rn` (r) f`,m`

(θ) gm`(ϕ) = Rn` (r) Υm`

` (θ, ϕ) (2.160)

Ψn,`,m`(r, θ, ϕ) =

√(2Z

a0n

)3(n− `− 1)!

2n [(n + `)!]3e−

ρ2 ρ`L2`+1

n+1 (ρ)

√2` + 1

2

(`−m`)!

(` + m`)!Pm`

` (cos θ)

√1

2πeimϕ

(2.161)

(3.1)

olur ve buna kuresel harmonikler denir. Dikkat edilirse Ψ`,m`(θ, ϕ) ’ler sabit yarıcaplı

bir kure uzerinde θ ve ϕ ’nin periyodik degisimlerini temsil etmektedir. Kuresel

harmonikler adını bu fiziksel anlamdan alırlar.

Hidrojen atomu icin enerji seviyeleri

α =√

−8µEn

h2 , λ = Ze2

4πε0h

√µ

−2E, ρ = αr ve λ = n tanımlanmıstı.

λ =n sartını kullanırsak;

n2 = − Z2e4

h2 (4πε0)2

µ

2E(2.162)

En = − µZ2e4

(4πε0)2 h2

1

2n2(2.163)

En = −(

1

4πε0

)2

Z2µe4

2h2

1

n2= −Z2R

n2= −13, 6eV

n2(2.164)

Rydberg sabiti R =(

14πε0

)2µe4

2h2 = 13, 6eV cinsinden yazılırsa, enerji denklemi

En = −Z2Rn2 = −13,6eV

n2 .Kuantum seviyelerinin enerjileriEn = −13,6eVn2 formulunden

bulunur.


Hidrojen atomunda elektron,enerjisi en dusuk olan n=1 seviyesinde kalır. Uyarılmıs

seviyelerin omru 10−8 sn seviyesi mertebesinde iken taban seviyesinin omru son-

suzdur. Boylece Hidrojen atomunun enerji seviyelerini veren denklem elde edilmis

oldu.Simdi n=1,2,3,,, degerlerine karsılık gelen enerji seviyelerini gosterelim.

En Seviyeler w

E4 = E1

164s (1) 4p (3) 4d (5) 4f (7) 16

E3 = E1

93s (1) 3p (3) 3d (5) 9

E2 = E1

42s (1) 2p (3) 4

E1 = −13, 6eV 1s (1) 1

Tablo 2.3: Hidrojen atomu icin enerji seviyeleri ve dejenere degerleri

Simdi,hidrojen atomu icin buldugumuz dalga fonksiyonlarına tekrar donelim.

Hidrojen atomu icin dalga fonksiyonu

Ψn,`,m`(r, θ, ϕ) = Rn` (r) f`,m`

(θ) gm`(ϕ) = Rn` (r) Υm`

` (θ, ϕ) (2.165)

seklindeydi. Ilk bolumde de belirttigim gibi bulunan butun bu sonuclar hidrojende

(Z=1) oldugu gibi diger atomlarda da (Z¿1) gecerlidir.

Asagıda hidrojen ve benzer atomların n=1,2 ve 3 icin dalga fonksiyonları yer

almaktadır.

Ψ100 =1√2π

Z

a0

32

e−Zr

a0 (2.166)

Ψ200 =1

4√

2π

Z

a0

32(

2− Zr

a0

)e− Zr

2a0 (2.167)

Ψ210 =1

4√

2π

Z

a0

32 Zr

a0

e− Zr

2a0 cos θ (2.168)

Ψ21±1 =1

8√

2π

Z

a0

32 Zr

a0

e− Zr

2a0 sin θe±iϕ (2.169)

Ψ300 =1

81√

3π

Z

a0

32(

27− 18Zr

a0

+2Z2r2

a20

)e− Zr

3a0 (2.170)

2.6. ORNEKLER 51

Ψ310 =

√2

81√

3π

Z

a0

32(

6− Zr

a0

)Zr

a0

e− Zr

3a0 cos θ (2.171)

Ψ31±1 =1

81√

3π

Z

a0

32(

6− Zr

a0

)Zr

a0

e− Zr

3a0 sin θe±iϕ (2.172)

Ψ320 =1

81√

6π

Z

a0

32 Z2r2

a20

e− Zr

3a0

(3 cos2 θ − 1

)(2.173)

Ψ32±1 = 181√

π

Za0

32 Z2r2

a20

e− Zr

3a0 sin θ cos θe±iϕ

(2.174)

Ψ32±2 = 1162

√π

Za0

32 Z2r2

a20

e− Zr

3a0 sin2 θe±2iϕ

(2.175)

Bolum 3

TEMEL KAVRAMLAR ve

REAKSIYONLARIN

SINIFLANDIRILMASI

3.1 Bazı Temel Kavramlar

3.1.1 Cekirdegin Kutlesi, Buyuklugu ve Baglanma Enerjisi

Cekirdegin kutlesi atomik kutle birimi cinsinden ifade edilir. Atomik kutle birimi

(akb yada u), 12C atomunun kutlesinin 112

’sine esit olan kutledir.

1akb = 1u = 1.66.10−24gr = 931.502MeV

c2(3.1)

Proton ve notronun kutlesi,

mp = 1.00759uvemn = 1.008982u (3.2)

seklindedir. Goruldugu gibi protonun kutlesi notronun kutlesine yaklasık esittir.

cekirdek, AZXN seklinde sembolize edilir. Burada A, Z ve N sırasıyla cekirdegin kutle

numarası, atom numarası veya proton sayısı ve notron sayısıdır. Kutle numarası A =

Z +N seklindedir. cekirdekler A, Z ve N sayılarına gore ozel isimler alır; Atom nu-

marası (Z) aynı, kutle numarası (A) farklı olan cekirdeklere izotop cekirdek denir.

ornegin 1H, 2H ve 3H gibi. cekirdeklerin kutlesi dogadaki izotoplarının agırlıkca

yuzde oranları ile belirlenir. Notron sayısı aynı (N), proton sayısı farklı olan cekirdeklere

53

54BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI

izoton denir. ornegin 4He ve 3H gibi. Kutle numarası aynı (A) olan cekirdekler ise

izobar cekirdeklerdir.

Cekirdegin buyuklugu nukleer metotlarla (α sacılması, hızlı notron sacılması

gibi) veya elektromanyetik metotlarla (elektron sacılması, ayna cekirdekler, izotop

etkisi v.s.) belirlenir. cekirdegin yarıcapı R ∼= 10−15m = 1fm mertebesindedir ki

atomun yarıcapından 105 defa kucuktur (Ratom∼= 10−10 = 1A0). Elektron sacılma

deneylerinin sonucları gosterir ki, nukleer yogunluk cekirdek icinde yaklasık sabit,

yuzeyde ise hızlı bir sekilde sıfıra gitmektedir (Sekil 2.1).

S. ekil 3.1: Cekirdegin yuk yogunlugunun nukleer yarıcapa gore degisimi.

Nukleer yarıcap R ∝ A13 seklinde degismektedir. Deneysel calısmalar sonunda

nukleer yarıcapın R = r0A13 seklinde degistigi gorulur. Burada r0 sabiti deneysel

olarak bulunabilir. Deneysel yuk yogunlugu,

ρ(r) =ρ0

1 + exp( r−Ra

)(3.3)

ifadesine uyar. Burada ρ0 cekirdegin merkez yogunlugu, R cekirdegin yogunlugunun

yarıya dustugu mesafe ve a ise cekirdek kabuk kalınlıgının bir olcusudur. t kabuk

kalınlıgı olmak uzere t = 4.4a dır. Kabuk kalınlıgı t, nukleer yogunlugun %90’ından

%10’una dustugu uzaklık olarak tanımlanır. Yapılan deneyler tum cekirdeklerin

merkez yogunluklarının aynı oldugunu ve yarıcapın A13 ile degistigini gostermektedir.

3.1. BAZI TEMEL KAVRAMLAR 55

Nukleer buyuklugun degeri bazı deneysel metotlarla bulunabilir. Bu deney-

leri iki gurupta toplayabiliriz: a) Nukleer metotlar b) Elektromagnetik metod-

lar. cekirdegin ilk metotla elde edilen yarıcapına nukleer yarıcap denir. Nukleer

yarıcap cekirdegin merkezi ile gelen mermi cekirdegin nukleer kuvvetten etkilenmeye

basladıgı uzaklık olarak tanımlanabilir. Bu metotlarla elde edilen yarıcaplar biraz

daha buyuk olacaktır. cunku nukleer kuvvet bir cekirdegin gercek fiziki buyuklugunden

biraz daha buyuk uzaklıklara etkiyecektir. Asagıdaki Tablo2.1’de nukleer kuvvetin

yarıcapı ve yuk yarıcapı farklı metotlarla bulunan degerleri gosterilmektedir [7].

Goruldugu gibi nukleer kuvvetin yarıcapı yuk yarıcapından daha buyuktur.

Metot r0(fm)

A. Kuvvet Yarıcapı

1. Alfa sacılması 1.414

2. Alfa bozulması 1.48

3. Hızlı notronların sacılması 1.37

B. Yuk yarıcapı

1. Elektron sacılması 1.26

2. Mezonik atom 1.2

3. Ayna cekirdekler 1.28±0.05

4. Proton sacılması 1.25±0.05

5. Izotopik kayma 1.20

Tablo 3.1: Farklı metotlarla bulunan nukleer yarıcaptaki (R = r0A13 ) r0 degerleri.

Cekirdekte proton ve notronları bir arada tutan kuvvet nukleer kuvvettir. Nukleonlar

bir araya gelerek cekirdegi olusturduklarında olusan cekirdegin kutlesi bunu olusturan

nukleonların kutlesinden kucuktur. Fark kutle, kutle kaybı olarak adlandırılır ve

∆E = ∆Mc2 seklinde enerji karsılıgı vardır. Aslında nukleonların bir araya gelmesi

sırasında acıga cıkan bu enerji kaybı baglanma enerjisidir. Kısaca baglanma enerjisi

nukleonları bir araya getirmek icin gerekli olan enerjidir. Baglanma enerjisi,

Eb = (Zmp + Nmn −mc)c2 (3.4)


seklinde ifade edilir. cekirdeklerin nukleon basına baglanma enerjilerinin bir sis-

tematigi yapıldıgı zaman Sekil 6.2’ dekine benzer oldugu gorulur.

S. ekil 3.2: Kararlı cekirdekler icin nukleon basına baglanma enerjisinin atomik

kutleye gore degisimi.

Bu sekilden cıkarılabilecek bazı sonuclar:

1.) Cekirdeklerin nukleon basına baglanma enerjileri yaklasık sabittir; A =

60icin BA∼= 8.7MeV maksimum degerini alırken, A = 240 icin, B

A∼= 7.5MeV degerini

alır. Burada B cekirdegin baglanma enerjisi ve A ise atomik kutlesidir.

2.) Kucuk kutleli cekirdeklerin bazılarında (sihirli sayılar) egri komsu cekirdeklere

gore pik yapar; 42He, 12

6 C,168 O gibi cekirdeklerin baglanma enerjisi cok buyuktur. Bu

ozelligi sıvı damlası modeli acıklayamaz, bunun icin kabuk modeli gelistirilmistir.

3.) Egri, fuzyon ve fisyonun olabilirligini dogrulamaktadır; kutle numarası buyuk

olan cekirdekler kararsızdır. Kararlı olabilmesi icin daha kucuk cekirdeklere bolunurler.

Bu sırada acıga cıkan enerji cok buyuktur. ornegin 238U’in nukleon basına baglanma

enerjisi 7.5MeV, ikiye bolundugunde olusan parcacıkların baglanma enerjisi 8.5MeV

oldugu icin acıga cıkan enerji 1MeV dir. 200 nukleon icin 200MeV gibi devasa

bir enerji acıga cıkar. Benzer sekilde iki hafif cekirdek hızlandırıcılar aracılıgıyla

carpıstırıldıgında daha buyuk kutleli kararlı cekirdek olusur. Bu sırada yine dısarıya

enerji salınır.

3.2. SPIN, PARITE VE MOMENTLER 57

4.) cekirdeklerin nukleon basına baglanma enerjisinin sabit olusu nukleonların

yalnız komsu nukleonlarla etkilestigini dogrulamaktadır. Bu ise nukleer kuvvetin

menzilinin neden cok kısa oldugunu acıklar.

3.2 Spin, Parite ve Momentler

Cekirdeklerin toplam acısal momentumu, yorunge acısal momentumu ile spin acısal

momentumlarının toplamıdır (~I = ~L + ~S). Nukleonların spini 12

dir. cift N ve

cift Z ye sahip olan cekirdeklerin spinleri ise sıfırdır. Ayrıca kutle numarası (A) tek

ise cekirdegin spini bucuklu, cift ise tamsayı degerler aldıgı deneylerle kanıtlanmıstır.

I ≥ 1 ise cekirdegin statik elektrik kuadropol momenti (Q) vardır. Elektrik kuadropol

moment cekirdegin seklini belirler. Eger statik elektrik kuadropol momenti Q > 0

ise cekirdek simetri ekseni boyunca yandan basık yani paroloidtir. Ayrıca de-

formasyon parametresi β > 0 dır (Sekil 2.3’deki 24Mg cekirdegi). Eger Q < 0

ise cekirdek simetri ekseni boyunca usten basıktır yani obleidtir (Sekil 2.3’deki

12C cekirdegi). I = 0 veya I = 12

ise Q = 0 dır ve cekirdegin kuresellikten

ayrılması siddetli olmadıgı icin kuresel cekirdekler gibi dusunulur (Sekil 2.3’deki

160Gd cekirdegi). Ayrıca cekirdeklerin statik magnetik dipol momentleri, Bohr mag-

netonu ile karsılastırıldıgında µN = eh2mc

∼= 10−3µB oldugu gorulur. Burada µN

nukleer magnetondur[6].

S. ekil 3.3: Bazı siddetli deforme olmus cekirdeklerin sekilleri.


Bir sistemin veya cekirdegin dalga fonksiyonu ya cift (simetrik) ya da tek (an-

tisimetrik) bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonu cift ise yani butun koordinatların

isareti degistirildiginde dalga fonksiyonu degismiyorsa baska bir degisle Ψ(x, y, z) =

Ψ(−x,−y,−z) ise durumun paritesi cifttir veya +1’ dir denir. Dalga fonksiy-

onu tek ise yani butun koordinatların isaretleri degistirildiginde fonksiyon isaret

degistiriyorsa, baska bir degisle Ψ(x, y, z) = −Ψ(−x,−y,−z) ise durumun paritesi

-1 dir denir.

3.3 Cekirdekte Uyarılmıs Durumlar

Atoma benzer olarak cekirdekler nukleer reaksiyonlar sonucu uyarılabilir. Eger tek

valans nukleon artı kapalı kabuk sekline sahipsek, (bu alkali atomların tek valans

elektronuna sahip olmasına benzerdir) dusuk uyarılmıs durumlar olacaktır. Bu

tek parcacık seviyelerinin uyarılması ve bu seviyelerin belirlenmesi nukleer yapının

kabuk modeli anlayısı icin onemlidir [6]. Nukleer reaksiyonlar sırasında hedef ve

mermi cekirdeklerin kompleks bir yapıda oldugunu dusunursek, gelen parcacıgın

enerjisine baglı olarak hedef veya mermi veya her ikisi de uyarılabilir. Uyarılma

oncelikle yuzeydeki degerlik nukleonlarından baslar. Enerji cok yuksekse icerdeki

nukleonlarda uyarılabilir. Uyarılma sonucunda nukleon 2+, 4+, v.s. durumlarına

sahip olur. Nukleonlar bu uyarılmıs durumlarda uzun sure kalamaz, kararlı ola-

bilecegi taban durumuna hareket eder. Bu hareketi sırasında dısarıya enerjik γ −ısınları yayınlarlar. Bu ısınları analiz ederek kompleks cekirdeklerin uyarılmıs en-

erji seviyeleri hakkında derin bilgiler edinebiliriz ki bu da kabuk modeli anlayısının

dogrulugu icin onemlidir. Nukleon bir ust uyarılmıs durumlardan taban durumuna

gecerken veya taban durumundan ust uyarılmıs seviyelere cıkarken verdigi veya aldıgı

donme kinetik enerjisi,

E(I) =h2

2I[I(I + 1)− I0(I0 + 1)] (3.5)

seklinde verilir. Burada I, uyarılmıs seviyelerin spini ve E(I) uyarılma enerjisidir. I0

ise E(I0) = 0 da taban durumundaki spindir. I ise cekirdegin eylemsizlik momen-

tidir. cift N ve cift Z ye sahip olan cekirdekler icin I0 = 0 ve bir cok durumda yalnız

cift-I en dusuk banttadır [6].

3.4. NUKLEER KUVVET VE OZELLIKLERI 59

Cekirdeklerin donme kinetik enerjisine ek olarak titresim enerjisi de vardır. Bu

titresim enerjisi nukleonların yaklasık kuresel harmonik osilasyon yapmasından kay-

naklanır. Bu osilasyonların kuantası fononlar olarak adlandırılır ve enerjisi hωλ ya

sahiptir. cift N ve cift Z cekirdeklerde uygun enerji spektrumu,

En(λ) = n(λ)hωλ (3.6)

seklindedir. Burada n(λ) = 0, 1, 2, ... degerlerini alır ve fonon sayısı 2λ dır. Titresim

durumları arasındaki gecisler cok siddetli olur fakat donme durumundaki kadar

siddetli degildir [6].

3.4 Nukleer Kuvvet ve Ozellikleri

Mikroskobik sistemlerin ic dinamiklerini kuvvetler cinsinden direk olarak yazamayız.

Fakat bir potansiyelden turetebiliriz. Dolayısıyla nukleer kuvvetleri anlamak icin

yazılan nukleer potansiyellerin ozellikleri cok onemlidir. cekirdegi dikkate aldıgımızda

protonlar yuklerinden dolayı birbirlerine elektrostatik kuvvet uygularlar, bunu Coulomb

potansiyeliyle temsil edebiliriz. Bu itici potansiyeli cok siddetli olan cekici nukleer

potansiyel dengeler fakat nukleer potansiyel o kadar siddetlidir ki nukleonlar bir-

birlerine cok yaklasır. cekirdegin bu cokusu merkezcil potansiyel tarafından onlenir

ki bu potansiyel yaklasık 0.5fm’ de etki etmeye baslar. Bu uc potansiyelin veya

kuvvetin dengesi sonucu cekirdek kararlı yapıda kalır. Proton sayısı buyuk olan

cekirdeklerde notronların, proton-proton etkilesimini perdelemesine ragmen Coulomb

kuvveti nukleer kuvveti yener ve cekirdek kararsız hale gelerek bolunmek zorunda

kalır. Deneysel gozlenirlerden ve teorik verilerden nukleer kuvvet hakkında asagıdakileri

yazabiliriz:

1.) Nukleer kuvvet kısa menzilli cekici ve cok siddetlidir. Ancak nukleonlar

arasındaki uzaklık 0.5fm’den daha az oldugu zaman, nukleonlar itici ve siddetli bir

kuvvetle karsılasır ki bu Pauli dısarlama prensibine uyar.

2.) Nukleer kuvvetin menzili en fazla cekirdek mertebesindedir; nukleonlar yalnız

komsu nukleonlarla etkilesir.

3.) Nukleer kuvvetler doyma karakteristigi gosterir. Yani cekirdek icindeki

nukleonların etkilestigi nukleon sayısı sınırlıdır. B/A oranın nukleon sayısından


bagımsız olusu bunu dogrulamaktadır. Ayrıca yogunlugun cekirdek icerisinde sabit

olusu buna delil olarak gosterilebilir.

4.) Nukleer kuvvet yukten bagımsızdır. Yani p-p, n-n ve p-n etkilesimi icin

nukleer potansiyel aynıdır.

5.) Notron-proton sacılma deneyleri yuksek enerjilerde protonun notrona notronun

protona donustugunu gostermektedir. O halde cekirdek kuvvetleri arasında bir degis

tokus kuvveti olması gerekir.

3.5 Nukleer Reaksiyonların Sınıflandırılması

Nukleer reaksiyonların gerceklesmesi icin mermi parcacıkların Coulomb bariyerini

delmesi gerekir. Bunun icin gelen parcacık lineer hızlandırıcılarla, siklotronlarla

hızlandırılır veya nukleer reaktorlerde yuksek enerjili ısınlar kullanılabilir. Nukleer

reaksiyonlar,

a + A → B + b + Q (3.7)

seklinde ifade edilirler veya daha kısa gosterimle A(a,b)B seklinde gosterilirler. Bu-

rada a hızlandırılan parcacık, A hedef cekirdek, B hedefte duran ve dogrudan gozlenemeyen

agır iyon, b tesbit edilen ve sayılabilen parcacık ve Q reaksiyon sırasında acıga cıkan

enerji veya reaksiyonun gerceklesmesi icin gerekli olan enerjidir. Burada a ve b

genellikle nukleon veya hafif cekirdeklerdir. Q ifadesi,

Q = Ef − Ei = (mB + mb)c2 − (mA + ma)c

2 (3.8)

seklinde verilir. Eger Q pozitif ise reaksiyon endotermiktir, yani dısarı ısı salar. Q

negatif ise reaksiyon ekzotermiktir, yani dısardan ısı alan bir reaksiyondur [8].

Nukleer reaksiyonlar yonetildigi mekanizmaya gore; bilesik cekirdek reaksiyon-

ları, direk reaksiyonlar ve bu ikisi arasındaki durum olan rezonans reaksiyonları

olarak sınıflandırılabilir.

3.6. BILESIK CEKIRDEK REAKSIYONLARI 61

3.6 Bilesik cekirdek Reaksiyonları

Bu tur reaksiyonlar, a+A → C∗ → B∗+b reaksiyonu seklinde bir C∗ ara durumuna

sahiptirler. Bilesik cekirdek reaksiyonlarının meydana gelme suresi 10−22sn den daha

buyuktur. Bilesik cekirdek reaksiyonları hafif carpısmaya ihtiyac duydugu icin dusuk

enerjilerde (10-20MeV) meydana gelirler. Tesir kesitleri direk reaksiyonlara gore

cok buyuktur ve nukleonlar arası etkilesim rastgele oldugu icin acıyla pek degisim

gostermez, gelen parcacıgın yonune hafifce baglıdır.

Bilesik cekirdek modeline gore, bilesik cekirdegin belli bir son urunler kumesine

bozunması icin bagıl olasılıgı, bilesik cekirdegin olusma seklinden bagımsızdır. Bozunma

olasılıgı sadece sisteme verilen enerjiye baglıdır. Etkin olarak bilesik cekirdek nasıl

meydana geldigini unutur ve oncelikle istatistiksel kurallara gore bozunur [8].

3.7 Direk Reaksiyonlar

Direk reaksiyonlar asagıdaki ozelliklere sahiptir:

1.) Yuksek enerjilerde meydana gelirler ve reaksiyonun olusma suresi bilesik

cekirdek reaksiyonlarına gore daha kısadır (10−22sn den daha kısa).

2.) Reaksiyon sırasında mermi ve hedef cekirdek kontak yaparak siddetli absorp-

siyon meydana getirirler.

3.) Etkilesim genelde yuzeyde, degerlik nukleonları arasında meydana gelir.

4.) Tesir kesitleri bilesik cekirdek reaksiyonlarınınkine gore dusuktur; Tesir ke-

sitleri kucuk acılarda pik yaparken buyuk acılarda siddetleri dusmektedir.

Reaksiyonun bilesik cekirdek reaksiyonu mu yoksa direk reaksiyon mu olacagı

mermi parcacıgın enerjisine baglıdır: 1MeV enerjili gelen nukleonun dalga boyu 4fm

dir ve bu nedenle tek nukleonları goremez. Bu durumda bilesik cekirdek meydana

gelmesi daha olasıdır. 20MeV lik bir nukleonun dalga boyu 1fm civarında olup direk


reaksiyonların meydana gelmesi daha olasıdır [8].

Elastik sacılma : Bu tur reaksiyonlarda giris kanalı (a + A), cıkıs kanalına

(B + b) esittir. Yani A = B ve a = b ve Q = 0 dır. Diger bir degisle cekirdeklerin

ic dinamiklerinde bir degisme olmamıstır. ornek olarak,

n +208 Pb → n +208 Pb (3.9)

elastik sacılması verilebilir.

Inelastik sacılma : Eger gelen parcacıgın enerjisi Coulomb bariyerini asabilecek

kadar guclu ise A hedef cekirdegi veya hem A hem de a uyarılabilir. Yani A(a, a)A∗

veya A(a, a∗)A∗. Tabi ki burada a nın kompleks bir cekirdek oldugunu dusunuyoruz.

Inelastik sacılma durumunda Q degeri sıfırdan farklıdır; Q = −Ex, yani uyarılma

durumunun enerjisine esittir. Diger bir degisle gelen parcacıgın enerjisinin bir kısmı

hedef cekirdegin uyarılmıs durumlarına gitmistir. Inelastik sacılma durumuna ornek

olarak,

12C +208 Pb →12 C∗ +208 Pb∗ (3.10)

α +40 Ca → α′′ +40 Ca∗ (3.11)

formulleri verilebilir[6].

Parcalanma Reaksiyonları : Eger mermi cekirdek kompleks bir cekirdekse,

reaksiyon sırasında iki veya daha fazla bilesene ayrılabilir. Yani A(a, xy)A veya

mermi hedefi uyarırsa A(a, xy)A∗ seklinde yazılabilir. Burada mermi cekirdek a =

x + y seklinde iki parcaya ayrılmıstır[6].

Transfer reaksiyonları : Bu tur reaksiyonlarda mermi cekirdekten hedefe veya

hedeften mermi cekirdege nukleon transferi olur. ornegin A(d, p)B reaksiyonunda

doterondan bir nukleon hedefe aktarılmıstır. Bu reaksiyon doteron soyma reaksiyonu

olarak bilinir. Bir diger ornek A(p, d)Breaksiyonunda mermi nukleon hedeften bir

nukleon kopararak doteron olusturur.

Yakalama Reaksiyonları : Bu tur reaksiyonlarda mermi cekirdek hedefle

birleserek uyarılmıs yeni bir cekirdek olusturur. Olusan cekirdek kararlı hale gecebilmek

icin fazla enerjisini γ − ısınları seklinde yayar. ornek olarak,

3.7. DIREK REAKSIYONLAR 63

p +197 Au →198 Hg + γ (3.12)

reaksiyonu verilebilir. Bu reaksiyonların dısında mermi ve hedef cekirdek birleserek,

a + A → B + b + c + Q (3.13)

biciminde ikiden fazla urun cekirdek de olusturabilir. ornek olarak,

α +40 Ca →39 K + p + α′ (3.14)

reaksiyonu verilebilir[6].

Rezonans Reaksiyonları : Bu tur reaksiyonlar direk reaksiyonlarla bilesik

cekirdek reaksiyonları arasındaki reaksiyonlardır. Rezonans durumu belli enerji

degerlerinde mumkun olabilir. Yani her enerji degerinde rezonans olamaz. Re-

zonans durumunda etkilesim potansiyelinin olusturdugu dalgaların fazı ve genligi

bariyer icinde ve dısında yaklasık esittir.

Bolum 4

Cekirdek Kuvvetleri

4.1 Cekirdek Kuvvetleri

Cekirdek fizigini gelismeye basladıgı ilk zamanlarda yalnız iki cesit kuvvet biliniy-

ordu. Bunlar elektromanyetik kuvvetler ve gravitasyonel kuvvetlerdir. Cekirdek

kuvvetleri tabiatları bakımından ne elektromanyetik nede gravitasyoneldirler. Notron

yuksuz oldugu icin bu kuvvetler eletriksel olamaz. Gravitasyonel kuvvetler de cok

kucuk baglanma enerjileri verdiginden gravitasyonelde olamaz.

Cekirdekte var olan cekirdek kuvvetleri makroskobik fizikte karsılasılan kuvvetler-

den cok daha buyuktur. Diger taraftan, Rutherford’un yaptıgı sacılma deneyleri,

cekirdegin merkezinden on fermi gibi, kucuk uzaklıklarda cekirdek kuvvetlerinin,

aynı cekirdege ait elektrostatik kuvvetlere nazaran ihmal edilebilecek kadar zayıf

oldugunu gostermektedir. Bu yuzden, cekirdek kuvvetlerinin sonlu ve cok kısa men-

zile sahip oldukları soylenir.

Cekirdek kuvvetlerinin elktromanyetik alana benzer sekilde bir alanla tasfir edilebilecegini

mumkun oldugunu dusunmek yanlıs olmaz. Cekirdegin elektromanyetik alanında

elktriksel potansiyel, dısardan itibaren Coulomb kanununa uygun sonuclar verecek

sekilde artar. Yaklasık 10−13cm ’lik bir uzaklıkta maksimuma ulasır. Bu yaklasıma

gore cekirdek bir potansiyel seddi ile kusatılmıs gibi var sayılır.

Cekirdek protonlarının cok kucuk mesafelerde bir birleri uzerinde cok buyuk

kuvvet uygulamalarına karsın, cekirdegin saglamlıgını koruması, potansiyel engelinin

icinde etkili olan cekirdek kuvvetlerinden dolayıdır.

Nukleonlar arasında etkili olan bu cekici kuvvetin cıkıs yeri tam olarak acıklanamamakla

65

66 BOLUM 4. CEKIRDEK KUVVETLERI

birlikte nukleonlar arasında bir tanecik alıs verisinin (π mezon alısverisi ) sebep

oldugu ileri surulmektedir.

1935 ’de Yukawa cekirdek kuvvetlerinin mezon kuramını ortaya atmıstır. Cekirdeklerin

cok kucuk boyutlu parcacıklar olması hesaba katan Yukawa, nukleonlar arsından

mezon alısverisi sonucunda, kısa mesafelerde etkiyen guclu bir kuvvetin ortaya cıktıgını

one surdu ve mezonun kutlesini hesapladı. Ama bu kuram cekirdeklerin butun

ozelliklerini tanımlamada yeterli olmadı.

Nukleon-nukleon kuvvetinin ozelliklerini maddeler halinde verirsek;

1. Kısa mesafelerde, Coulomb kuvvetinden daha gucludur.

2. Uzun mesafelerde, atomik boyut mertebesinde ihmal edilebilir derecede zayıftır.

3. Atomik yapıda elektronlar cekirdek kuvvetlerinden etkilenmezler. Cekirdegin

menzili ile sınırlıdır.

4. Nukleon -nukleon kuvveti nukleonların proton veya notron olup olmamasından

hemen hemen bagımsızdır. Bu ozellige yuk bagımsızlıgı denir.

5. Nukleon -nukleon kuvveti nukleonların spinleririnin paralel veya anti paralel

olup olmamalarına baglıdır.

6. Nukleon -nukleon kuvveti, nukleonları belirli bir uzaklıkta tutan itiici bir terim

icerir.

7. Nukleon -nukleon kuvvetinin merkezi olmayan bir tensor bileseni vardır. Kuvvetin

bu bileseni merkezi kuvvetlerde bir hareket sabiti olan yorungesel acısal mo-

mentumu korumaz.

Genel olarak bu ozelliklere sahip olan cekirdek kuvvetlerinin ayrıntılı dogası

gunumuzde bile halen tam olarak anlasılamamıstır. Bu kuvvetlerin tabiatını acıklamak

icin cekirdek modelleri ortaya atılmıstır. Bu kuvveti anlamanın en guzel yolu doteron

atomunu incelemektir.

4.2 Doteron Atomu

Bir doteron 2H cekirdegi bir notron ve bir protondan olusmaktadır. Bir notr 2H

atomuna doteryum denir. Doteron, nukleonların en basit baglı halidir ve bu yuzden

4.2. DOTERON ATOMU 67

nukleon-nukleon etkilesmesini incelemek icin ideal bir ornektir. Bu nedenle doteron,

cekirdek fizigi icin cok onemlidir.

Hidrojenin uyarılmıs durumları arasındaki elektromanyetik gecislerin olculen Balmer

serilerinin hidrojenin yapısını anlamayı sagladıgı gibi ,doteronun uyarılmıs durum-

ları arasındaki elektromanyetik gecislerde onun yapısını anlamayı saglamalı. Ancak,

doteronun hicbir uyarılmıs durumu yoktur. Doteron oyle zayıf baglı bir sistemdir

ki,yalnız uyarılmıs durumlar serbest bir proton ve serbest bir notrondan ibaret olan

baglı olmayan sistemlerdir.

4.2.1 Baglanma Enerjisi

Doteronun baglanma enerjisi cok hassas olculmus bir niceliktir ve uc farklı yolla

belirlenebilir.

I. yontem

Doteronun kutlesini spektroskopiyle dogrudan belirleyebilir ve baglanma ener-

jisini bulmak icin;

B =[Zm

(1H

)+ Nmn −m

(2H

)]c2 = 2, 22463∓ 0, 00004MeV (4.1)

formulunu kullanabiliriz. Burada m(1H) ve mn sırasıyla protonun ve notronun

kutleleridir.

II. yontem

Baglanma enerjisi, 2H’yi olusturmak uzere bir proton ve bir notronu bir araya

getirerek ve 1H + n →2 H + γ reaksiyonunda yayınlanan γ ısını fotonunun enerjisi

olculerek dogrudan dogruya da belirlenebilir.

Bu enerji fotonun gozlenen enerjisinden kucuk bir geri tepme duzeltmesi kadar

daha kucuktur. Hesaplanan baglanma enerjisi 2, 224589 ∓ 0, 000002MeV ’ dir ve

kutle spektroskopisi degeriyle uyum icerisindedir.

III. yontem

Fotobozunma denilen γ +2 H →1 H + n ters reaksiyonu kullanılarak enerji

hesaplanan yontemdir. Bu reaksiyonda bir γ ısını bir doteronu parcalar. Bu olayı

gerceklestiren en kucuk γ ısını enerjisi baglanma enerjisine esittir.

Gozlenen enerji degeri 2, 224∓ 0, 002MeV ’dir. Bu degerde kutle spektroskopisi

degeri ile iyi uyum gostermektedir. Normalde nukleon basına ortalama baglanma


enerjisi, yaklasık olarak 8MeV ’dir. O halde doteron tipik cekirdeklere gore cok zayıf

baglıdır.

Doteronun incelenmesini daha kolay yapmak icin asagıdaki sekilde goruldugu

gibi, nukleon-nukleon potansiyelini uc boyutlu bir kare kuyu olarak gosterebilecegimizi

varsayalım.

r < R icin V (r) = −V0

r > R icin V (r) = 0

S. ekil 4.1: Doteron atomu icin kare kuyu potansiyeli

Burada r proton ve notron arasındaki uzaklıgı gosterir. R ise doteronun capıdır.

Doteronun en dusuk enerji durumunun, hidrojen atomunun en dusuk enerji duru-

mundaki gibi ` = 0 degerine sahip oldugunu kabul edelim.

Radyal schrodinger denkleminin;

− h2

2m

(d2R

dr2+

2

r

dR

dr

)+

[V (r) +

` (` + 1) h2

2mr2

]R = ER (4.2)

oldugunu biliyoruz.

Bolgelere ayırdıgımız potansiyel kuyuyu I. bolgeden baslayarak cozersek;

1

r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

[k2

1 −` (` + 1)

r2

]R (r) = 0

[k2

1 =2m

h2 (E + V0)〉0]

(4.3)

II·bolge icinse su denklemi yazabiliriz;

1

r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

[k2

2 −` (` + 1)

r2

]R (r) = 0

[−k2

2 =2mE

h2 〈0]

(4.4)


I.denklemin cozumu;

ρ = k1r (k1sabit) (4.5)

donusumu yapılırsa;

dρ = k1dr

d2ρ = k21dr2 (4.6)

Bu iki denklem (4.3) denkleminde yerlerine yazılırsa;

ρ2d2R

dρ2+ 2ρ

dR

dr+

[ρ2 − ` (` + 1)

]R = 0 (4.7)

denklemine ulasırız.

Bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ile cozulur.

Bu denklemin birbirinden bagımsız iki cozumu vardır;

1. ρ → 0’da ρ` olarak sonlu davranan ve j` ile gosterilen kuresel bessel fonksiyonu

2. ρ → 0’da ρ−(`+1) olarak ıraksayan cozumler.Bu cozumler n` (ρ) ile gosterilir

ve kuresel neuman fonksiyonu diye adlandırılır.

J` (ρ) =√

π2ρ

J`+ 12(ρ) ⇒J yarı tek tamsayılı → Bessel

n` (ρ) =√

π2ρ

N`+ 12(ρ) ⇒N yarı tek tamsayılı →Neuman

Asagıda ilk iki kuresel bessel ve neuman fonksiyonları yer almaktadır.

J` (ρ) n` (ρ) (4.8)

J0 (ρ) =sin ρ

ρn0 (ρ) = −cos ρ

ρ(4.9)

J1 (ρ) =sin ρ

ρ− cos ρ

ρn1 (ρ) = −cos ρ

ρ− sin ρ

ρ(4.10)

J` (ρ)ve n` (ρ) ‘nin lineer bilesimleri de cozumdur. Boylece (3.2.4) denkleminin

(Bessel denkleminin) en genel cozumu;

RI` = A`J` (ρ) + B`n` (ρ) (4.11)


Ancak burada ρ (r) → 0 icin n`’de sonlu olmalıdır. Bunun icin B=0 olmalıdır

(cunku r → 0’da n` sonsuz oluyor).

Yani genel cozum;

R` = A`J` (k1r) (4.12)

II·bolgede de aynı degisimi uyguladıgımızda denklem;

ρ2d2R

dρ2+ 2ρ

dR

dr+

[ρ2 − ` (` + 1)

]R = 0 (4.13)

Bu denklemin cozumu de diger denklemin(I·bolge denkleminin) cozumuyle cok

benzerdir.

RII` (r) = C`J` (k2r) + D`n` (k2r) (4.14)

(4.14) genel cozumunu basitlestirmek icin C` = C` cos δ` ve D` = −C` sin δ`

yazacagız.

Bu denklemler (4.14) denkleminde yerlerine yazılırsa;

RII` (r) = C` [cos δ`J` (k2r)− sin δ`n` (k2r)]halini alır.

` = 0icin cozumler yapılırsa;

RI0 (r) = A0

sin k1r

k1r(4.15)

RII0 (r) = C0

[cos δo

sin k2r

k2r+ sin δ0

cos k2r

k2r

](4.16)

RII0 (r) =

C0

k2rsin (k2r + δ0) (4.17)

(4.15) ve (4.17) denklemlerine ve birinci turevlerine sınır sartını (r=R) uygu-

larsak;

RI0 (r) |r=R = RII

0 (r) |r=Rve dIR0(r)dr

|r=R = dIIR0(r)dr

|r=R

A0k2 sin k1R = C0k1 sin (k2R + δ0) (4.18)

Diger sınır sartından;


A0k2k1R cos k1R− A0k2 sin k1R = k1 [k2R cos (k2R + δ0)− sin (k2R + δ0)] (4.19)

(4.18) , (4.19) denkleminde yerine yazılırsa;

A0 cos k1R = C0 cos (k2R + δ0) (4.20)

(4.20) denklemini, (4.19) denklemine bolersek;

k1 cot k1R = k2 cot (k2R + δ0) (4.21)

Bu denklem ` = 0, r → ∞, E¿0 ‘da doteronun enerji seviyesini verir. Bu

denklem V0 ve R arasındaki iliskiyi verir. Bu denklemin cozumu ancak numerik

olarak yapılabilir.

Doteronun kuyunun tepesine ne kadar yakın oldugu sekilden gorulebilir.

Eger nukleon-nukleon kuvveti biraz daha zayıf olsaydı doteronun baglı durumu

mevcut olmayacaktı. Doteron, gunes enerjisinin meydana gelmesini saglayan proton-

proton fuzyon cevriminin ilk basamagıdır.

Bolum 5

TEMEL NUKLEER MODELLER

Notronun 1932 yılında Chadwick tarafından kesfinden sonra Heisenberg cekirdegin

icinde proton ve notronların bulundugunu ve bunların bir nukleer kuvvetle bir-

birine baglı oldugunu soyledi. Otuzlu yıllarda pek cok nukleer kutle Aston (Ingiliz

fizikci Francis Williams Aston, 1877-1945) tarafından olculdu ve nukleon basına

baglanma enerjisinin yaklasık olarak sabit oldugunu gordu. Yıllar yılı arastırılmasına

ragmen cekirdek kuvveti elektromanyetik kuvvet kadar iyi anlasılamamıs ve cekirdek

yapısının kuramı, atom yapısının kuramına gore henuz tamamlanmamıstır. Cekirdek

kuvveti tam olarak anlasılmasa bile cekirdek ozelliklerinin ve davranısının belli baslı

yonlerini acıklayacak cekirdek modellerinin gelistirilmesinde ilerleme saglanmıstır.

Asagıda bu modellerin bazıları acıklanacaktır.

5.0.2 Sıvı Damlası Modeli

Bu model cekirdegin ozelliklerini acıklamak icin kullanılan ilk modeldir. (Von Weiz-

sacker 1935)

1. Cekirdegin kuresel olması,

2. Nukleon basına dusen baglanma enerjisinin Periyodik tablonun buyuk bir

bolumunde sabit olmasının,

3. Nukleer maddenin kutle yogunlugunun Periyodik tablonun buyuk bir bolumunde

sabit olması,

73

74 BOLUM 5. TEMEL NUKLEER MODELLER

ozelliklerinin sıvı damlasının ozelliklerine benzemesinden yola cıkılarak bu model

gelistirilmistir. Bu modelin ongordugu yarı deneysel baglanma enerjisi bagıntısı

cesitli degisikliklerden sonra su hali almıstır:

Eb = Eh + Ey + Ec + Ea + Ec (5.1)

= a1A− a2A2/3 − a3

Z(Z − 1)

A1/3− a4

(A− 2Z)2

A± a5

A3/4(5.2)

Denklemde yer alan katsayılar: a1=14.1 MeV, a2=13.0 MeV, a3=0.59 MeV,

a4=19.0 MeV, a5=33.5 MeV. Bu ifadenin terimlerini su sekilde acıklayabiliriz.

Eh hacim terimi: Bu terim her bir nukleonun tum etrafının nukleonlarla cevrili

oldugu varsayımına dayanılarak yazılmıstır. Iki nukleon arasındaki baglanma ener-

jisi U olarak dusunuldugunde nukleon basına dusen baglanma enerjisi 12U olarak bu-

lunur. Bir nukleon en kucuk hacmi kaplayacak sekilde paketlendiginde 12 nukleona

temas edeceginden sahip oldugu baglanma enerjisi 6U olarak elde edilir. Bir cekirdekteki

A tane nukleonun hepsinin icte olması durumunda, cekirdegin baglanma enerjisi:

Eh = 6AU

olacaktı. Eh enerjisi hacim enerjisi olarak anılır A ile dogru orantılıdır ve basitce

Eh = a1AU

seklinde ifade edilir.

EY Yuzey terimi: Bu terim nukleonların tumunun ortada olmamasından yani

bir kısmının yuzeyde olmasından dolayı hacim terimi icin eklenen duzeltme terimidir.

Gercekte, cekirdegin bazı nukleonları sekilde goruldugu gibi 12 den daha az

komsuya sahiptir.

Bu tur nukleonların sayısı, cekirdek yuzeyinin buyuklugune baglıdır. R yarıcaplı

bir cekirdegin yuzolcumu 4πR2 = 4πR20A

2/3‘dir. Dolayısıyla, bag sayısı en buyuk

degerden az olan nukleonların sayısı, A2/3 ile orantılı olup bu, baglanma enerjisini

Ey = −a2A2/3

kadar azaltır. Negatif Ey enerjisi bir cekirdegin yuzey enerjisi diye anılır. Bu en

cok, hafif cekirdeklerde onemlidir; cunku bunlarda nukleonların daha buyuk bir

75

S. ekil 5.1: Yuzeydeki nukleonlar, cekirdegin ic kısmındakilere gore daha az sayıda

nukleonla etkilesir bu yuzden baglanma enerjisi daha azdır. cekirdek ne kadar

buyukse, yuzeydeki nukleonların sayısı o kadar azdır. (Modern Fizigin Kavram-

ları, Arthur Beiser)

kesri yuzeydedir. Dogal sistemler her zaman en dusuk potansiyel enerjili yerlesimlere

dogru gittiklerinden, cekirdekler en buyuk baglanma enerjili yerlesimlere dogru gider-

ler. Dolayısıyla, bir cekirdek, bir sıvı damlasıyla aynı yuzey gerilimi etkilerini

gosterecek ve diger etkilerin yoklugunda kuresel olacaktır, cunku, verilmis bir hacim

icin en dusuk yuzolcumune sahiptir.

Ec Coulom terimi: Bu terim potansiyel enerjiden dolayı baglanma enerjisine

gelen katkıyı gosterir. Bir cekirdekteki her proton cifti arasındaki elektriksel itmede

baglanma enerjisini azaltmaya katkıda bulunur. Bir cekirdegin Ec Coulomb enerjisi,

Z tane protonu sonsuzdan cekirdek buyuklugunde bir kuresel topluluga getirmek

icin yapılması gereken istir. Birbirinden r uzaklıgındaki bir cift protonun potansiyel

enerjisi soyledir:

V = − e2

4πε0r

Z(Z-1)/2 tane proton cifti oldugundan

Ec =Z(Z − 1)

2V = −Z(Z − 1)e2

8πε0

(1

r

)

ort

bulunur. Burada (1/r)ort , 1/r nin butun proton ciftleri uzerinden ortalaması alınmıs

degeridir. Protonlar R yarıcaplı bir cekirdek icine duzgun olarak dagılmıslarsa

(1/r)ort 1/R ye dolayisiyla 1/A1/3 ile orantılıdır:

Ec = −a3Z(Z−1)

A1/3


Coulomb enerjisi, negatiftir. Cunku cekirdek kararlılıgına karsıt bir etkiden

dolayı ortaya cıkmıstır.

EaAsimetri terimi: Bu terim Z 6=N durumunda baglanma enerjisinde meydana

gelen azalmayı gosterir. Z 6=N durumunda ikisinin esit oldugu durumdakinden farklı

olarak daha yuksekteki enerji durumları doldurulur. Iki enerji seviyesi arasında ε

kadar fark oldugunu varsayarsak A′yı degistirmeden N − Z = 8 gibi bir notron

fazlalıgı olusturmak istersek , N = Z olan bir cekirdekte 12(N-Z) = 4 notronun

protonların yerine gecmesi gerekir. Yeni notronlar, yerlerine gectikleri protonlara

gore enerjileri 2 ε = 4e/2kadar yuksek olan duzeylere yerleseceklerdir. Yeni notron

sayısının 1/2(N— Z)oldugu genel durumda, her bir notronun enerjisi 1/2(N— Z )ε/2

kadar artacaktır. Gereken toplam is soyle bulunur:

∆E = (yeni notronlarin sayisi)

(enerjideki artis

yeni notron

)

=

[1

2(N − Z)

] [1

2(N − Z)

ε

2

]=

ε

8(N − Z)2

N=A-Z oldugundan (N-Z)2=(A-2Z)2 ve

∆E =ε

8(A− 2Z)2 3.2.9

bulunur. Bir cekirdekteki nukleonların sayısı ne kadar buyukse, enerji duzey!eri

arasındaki ε aralıgı o kadar kucuk olup ε, 1/Aile orantılıdir. Bu sebepten N ile

Zarasındaki farktan dogan Ea asimetri enerjisi soyle yazilabilir:

Ea = −∆E = −a4(A− 2Z)2

A3.2.10

Asimetri enerjisi negatiftir, cunku, cekirdegin baglanma enerjisini azaltır.

Ec ciftlenme terimi: Bu terim iki aynı nukleonun aynı olmayanlara gore daha

kuvvetli baglanmasından kaynaklanır. Ec ciftlenme enerjisi cift-cift cerkidekler icin

pozitif, tek-cift ve cift-tek cekirdekler icin 0, tek-tek cekirdekler icinse negatif deger

alır.

Ec = (±, 0)a5

A3/43.2.11

77

5.0.3 3.2.2-Kabuk Modeli

Kabuk modeli uzerine kurulan atom teorisi, atom yapısının karmasık yapısını acıklamakta

cok basarılı olmustur. Bu modelde kabuklar giderek artan enerjili elektronlarla,

Pauli prensibine uyacak sekilde doldurulur. En dıstaki tabakanın doluluk oranı,

atomun davranısının bazı onemli taraflarını belirler. Model, atomik ozelliklerin esas

olarak degerlilik elektronları tarafından belirlendigi varsayımına dayanır. Atomik

sistemlerin, olculen bazı degerleri modelin ongordukleri ile karsılastırıldıgında buyuk

bir uyum icinde oldugu gorulur.

Proton ve notronun ayırma enerjileri yarı deneysel baglanma enerjisi formulu ile

hesaplanan degerlerden sapmalar gostermesi, nukleer kabukların varlıgını destekleyen

kanıtlardan biridir. Ayrılma enerjisi, atomik iyonlasma enerjisi gibi N veya Z ile

duzgun olarak artar. Ayrılma enerjilerindeki ani ve kesikli davranıslar aynı proton

ve notron sayılarında ortaya cıkar. Bu sayılara (N veya Z= 2,8,20,50,82 ve 126)

sihirli sayılar denir.

cekirdegin kabuk modeli, sihirli sayıların varlıgını ve bazı diger cekirdek ozelliklerini,

nukleonların bir ortak kuvvet alanındaki davranıslarıyla acıklama yonunde bir girisimdir.

Kabuk kuramı L.S ciftleniminin sadece l degerlerinin kucuk oldugu en hafif

cekirdekler icin gecerli oldugunu kabul eder. Bu modelde, ilgili parcacıkların Si

icsel spin acısal momentumları, bir S toplam spini olusturmak uzere birbirleriyle

eslesirler. Li yorunge acısal momentumları, bunlardan ayrı olarak bir L toplam

yorunge momentumu olusturmak uzere birbirleriyle baglasırlar. Daha sonra S ve

L, birbiriyle baglasarak, buyuklugu√

J(J + 1)h olan bir J toplam acısal momen-

tumunu olustururlar.

Bir ara etkilesim biciminin gecerli oldugu bir gecis bolgesinden sonra, daha agır

cekirdekler jj etkilesimi gosterirler. Bu durumda once her parcacıgın Si ye Li’si

baglasarak, o parcacık icin buyuklugu√

J(J + 1)h olan bir Ji olusturur, sonra

degisik Ji ler birbiriyle bag1asarak J toplam acısal momentumunu o1usturur1ar.

jj etkilesimi cekirdeklerin buyuk bir cogunlugu icin gecerlidir.

Kabuk modeli sihirli sayılardan baska, bircok cekirdek olgusunu da acıklar. oncelikle,

zıt spinli iki parcacık tarafından doldurulabilen enerji alt duzeylerinin varlıgı cift Z

ve cift N’li cekirdeklerin bolluk egilimini acıklar.

Kabuk modeli cekirdek acısal momentumlarını da onerebilir. cift-cift cekirdeklerde,


butun proton ve notronlar, birbirlerinin spin ve yorunge acısal momentumlarını yok

edecek sekilde ciftlenmelidirler. Dolayısıyla cift-cift cekirdeklerin cekirdek acısal

momentumları gozlendigi gibi sıfır olmalıdır. cift-tek ve tek-cift cekirdeklerde, tek

basına kalan “artık” nukleonun bucuklu spini, cekirdegin geriye kalan kısmının tam

sayı acısal momentumuyla birleserek yarım tamsayılı bir toplam acısal momentum

verir. Tek-tek cekirdeklerin her birinin bir fazla notronu ve bir fazla protonu bu-

lunup bunların yarım tamsayılı spinlerini verecegi toplam acısal momentum tamsayı

olur. Bu ongoruyle her ikisi de deneyle dogrulanmıstır.

Spin-yorunge etkilesmesi icin uygun bir yeginlik kabul edildiginde, her iki sınıf

nukleonun da enerji duzeyleri Sekil 3.2.2’de gosterildigi gibi dizilir. Duzeyler; n,

toplam kuantum sayısına esit olan bir onsayı, o duzeydeki her parcacık icin l degerini

alısılagelmis bicimde (l = 0, 1, 2, 3, 4. . . ’ ye karsılık gelmek uzere sırasıyla s, p, d,

f, g,. . . ) belirten bir harf ve j’ye esit olan bir alt indisle gosterilir. Spin-yorunge

etki1esmesi, belli bir j’ye karsılık gelen her durumu, Ji’nin 2j+1 tane mumkun

yonelimi oldugundan, 2j+1 alt duruma yarar. Ayrı ayrı tabakalar kavramıyla uyum

icindeki aralıklarla, duzeylerin birbirine olan uzaklıklarında buyuk enerji boslukları

olusur. Her cekirdek tabakasındaki cekirdek durumlarının sayısı, yukselen enerji

sıralandırmasıyla 2, 6,12, 8, 22, 32, ye 44’tur. Dolayısıyla tabakalar, bir cekirdekte

2, 8, 20, 28, 50, 82 ye 126 notron veya proton bulundugunda dolmustur.

5.0.4 3.2.3-Kolektif Model

Aage Bohr ve Ben Mottelson tarafından ortaya atılan Kolektif model daha once an-

latılan sıvı damlası ve kabuk modelin birlestirilmesi sonucu olusmus, basarılı sonuclar

veren bir modeldir. Bu model; kabuk modelinde gorulen, cekirdeklerin manyetik ve

kuadropol momentlerini belirlemedeki eksiklikleri, bazı cekirdeklerin uyarılmıs en-

erji seviyeleri icin beklenen degerlerinde meydana gelen hatalar giderilir. Bunun

yanında cift-cift olmayan butun cekirdeklerin kuresel olmayan sekilleri ile donen bir

cekirdegin merkezkac kuvvetinden dogan sekil bozukluklarını da hesaba katar.

Asagıdaki sekillerde (Sekil 3.2.3 ve 3.2.4) cift-cift cekirdeklerin kolektif davranıs

iceren dort farklı ozelligi gosterilmistir. Ilk 2+ uyarılmıs durumunun (Sekil 3.2.3)

enerjisinin A’nın fonksiyonu olarak oldukca duzgun bicimde azaldıgı gorulmektedir.

A=150 ile A=190 arasındaki bolgede E(2+) degerleri hem cok kucuk hem de sabittir.

79

S. ekil 5.2: Kabuk modeline gore nukleon enerji duzeylerinin sıralanısı (olcekli degil)

Sagdaki sutundaki sayılar gozlenen sihirli sayılara karsılık gelir. (Modern Fizigin

Kavramları, Arthur Beiser)


Yine, kapalı kabuk yakınındaki cekirdekler haric E(4+)/ E(2+) oranları (Sekil 3.2.4)

A=150’den kucuk cekirdekler icin kabaca 2,0 ve 150¡A¡190 ile A¿230 bolgelerinde

3,3 degerine sahiptir.

S. ekil 5.3: cift-Z, cift N’li cekirdeklerin en dusuk 2+ durumların enerjileri. Izotoplar

duz cizgilerle birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane)

Daha once Kabuk modelinin, N=126’nın bir notron sihirli sayı oldugu yolundaki

ongoru gozlemle uyum icindedir. Fakat, Z¿109 olan cekirdekler bilinmediginden

Z=126 ’nin bir proton sihirli sayısı olup olmadıgı dogrulanamamaktadır. Hatta,

Z= 82’den sonraki proton sihirli sayısının, cekirdekteki protonların Coulomb potan-

siyel enerjilerinden dolayı, Z=126’dan kucuk olması olasılıgı vardır. Buyuk Z icin

bu enerji, cekirdek potansiyel enerjisine gore onem kazanır. Coulomb potansiyeli,

dusuk l’ li proton duzeyleri uzerinde daha buyuk bir etkiye sahiptir cunku, boyle

duzeylerin olasılık yogunluklarının arttıgı cekirdek merkezi civarında daha kuvvet-

lidir. Sonucta proton duzeylerinin sırası Z= 114’u bir proton sihirli sayısı yapacak

sekilde degistirir.

Kollektif model bu sonucu biraz daha degistirerek Z=110’un Z=82’den sonraki

proton sihirli sayısı icin daha iyi bir aday oldugunu ileri surer. Dolayısıyla Z=110

(veya 110 ile 114 arasında) ve N=184 olan bir cekirdek iki kez sihirli ve diger agır

cekirdeklerden daha kararlı olmalıdır. Boyle bir cekirdek veya cekirdekler dogada

veya laboratuarda henuz bulunamamıstır.

81

S. ekil 5.4: cift-Z, cift-N li cekirdeklerin en dusuk 2+ ve 4+durumlarının

E(4+)/E(2+) oranı kutle numarasına karsılık gosterilmistir. Izotopları duz cizgilerle

birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane)

Bolum 6

Nukleer Reaksiyon Modelleri

6.1 NUKLEER REAKSIYON MODELLERI

Bu bolumde asagıdaki konular islenecektir. Yaklasim Metodlari, Born Yaklasımı,

Glauber Yaklasımı, Bozulmus Dalga Born Yaklasımı (Dwba), Reaksiyon Modelleri,

Difraksiyon Modelleri, Fraunhofer Difraksiyonu, Fresnel Difraksiyonu, Optik Model

(Elastik Sacılma), Double Folding Modeli

6.1.1 BORN YAKLASIMI

Merkezi bir potansiyelden sacılma durumunda Schrodinger denkleminin cozumunu

integral formda yazmak mumkundur:

Lk(r)ψ(r) = U(r)ψ(r) (6.1)

yazılabilir. Burada Lk(r) = ∇2 +k2 dir. Denk.3.1. i soldan L−1k (r) ile carpıp integre

edilir ve cozum dalga fonksiyonuna homejen cozum de (V=0) eklenirse:

ψ(r) = φk(r) +

∫U(r′)ψ(r′)L−1

k (r)δ(r′ − r)dr′ (6.2)

Elde edilir. Burada φk(r) = eikr homojen cozumdur. Burada,

L−1k (r)δ(r′ − r) = Gk(r − r′) (6.3)

Burada Gk(r− r′) ifadesi Green fonksiyonudur. Green fonksiyonunun ozellikleri

ve dirac delta fonksiyonunun integral bicimi dikkate alınırsa,

83

84 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI

Gk(R) =1

4iπ2R

∫qeiqR

k2 − q2dq, ~R = ~r − ~r′ (6.4)

elde edilir. Bu integral rezidu teoremi yardımıyla cozulebilir ve q = +k icin fiziksel

olarak anlamlıdır. Buradan,

G+k (r − r′) = − 1

4π

eik|r−r′|

|r − r′| (6.5)

elde edilir. Bu ifade denk.3.2 de yazılarak,

ψ+k (r) = φk(r)− 1

4π

∫eik|r−r′|

|r − r′|U(r′)ψ+k (r′)dr′ (6.6)

Bu ifade daha once ifade edilen asimtotik formun (denk.2.21) integral halidir.

r nin buyuk degerlerinde, 1r−r′ ≈ 1

rve k|r − r′| ≈ kr − k.r′ yaklasımı yapılabilir.

Burada k′, k nın buyuklugunde ve r yonunde bir vektordur. Bu durumda,

ψ+k (r) = φk(r)− eikr

4πr

∫e−ik′.r′U(r′)ψ+

k (r′)dr′ (6.7)

Bu ifade denk.2.21 ile karsılastırılarak sacılma genligi,

f(θ, ϕ) = − 1

4π

∫e−ik′.r′U(r′)ψ+

k (r′)dr′ (6.8)

elde edilir ki bu daha once kısmi dalgalar metodu ile elde ettigimiz sacılma genliginden

baska bir sey degildir. Bu ifade de eksponansiyel terimin kısmi dalgalar formu

yazılarak, denk.1.30 elde edilebilir.

Born yaklasımına gore, V potansiyeli gelen parcacıgın enerjisine gore yeterince

zayıfsa sacılma dalgalarının genligindeki degisim kucuk olur. O halde sacılan dal-

gaları temsil eden ψ+k (r) yerine gelen duzlem dalgalar alınabilir. Bu yaklasıma gore

sacılma genligi,

fBA(θ, ϕ) = − 1

4π

∫e−ik′.r′U(r′)eik.r′dr′ (6.9)

Bu ifade Born yaklasımı olarak bilinir.

Sacılma genligi potansiyelin kuresel simetrik olması sebebiyle azimutal acıdan

bagımsızdır. Sekil 3.1’ den ~χ = ~k − ~k′ yazılabilir. Elastik sacılma durumu icin

(|k| = |k′| = k), χ = 2k sin( θ2) bagıntısı yazılabilir.

6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 85

S. ekil 6.1: Gelen ve sacılan dalga vektorlerinin temsili gosterimi.

6.1.2 BOZULMUS DALGA BORN YAKLASIMI

Bozulmus dalga Born yaklasımı (DWBA), Potansiyeli iki potansiyelin toplamı, (U =

U1 +U2 ) olarak ele alır. oyle ki U2 potansiyelinin ilk Born yaklasımındakine benzer

olarak U1 e gore zayıf oldugunu dusunur. Bu yaklasım icin ozdeger denklemi,

[∇2 + k2 − U1(r)]χ1(k, r) = 0 (6.10)

Bu denklemin cozum dalga fonksiyonu χ1(k, r)dalga fonksiyonu, χ+1 (k, r) ve

χ−1 (k, r) dalga fonksiyonlarının super pozisyonu olarak yazılabilir ki, χ+1 (k, r) duzlem

dalga ve giden sacılmıs kuresel dalgaların toplamıdır. χ−1 (k, r) ise duzlem dalga ve

gelen sacılmıs kuresel dalgaların toplamını temsil eder. Bu dalgalar kendi aralarında

zaman tersinirdir. Yani, χ−1 (k, r)= [χ+1 (−k, r)]∗

Born’ un ilk yaklasımına benzer tarzda en genel cozum,

χ(k, r)r→∞−→ χ+

1 (k, r)− eikr

4πr

∫[χ−1 (k′, r′)]∗U2(r

′)χ(k, r′)dr′ (6.11)

Bu ifade ilk Born yaklasımındakine benzer olarak denk 2.21 ile karsılastırılırsa

V2 potansiyelinden dolayı olusan sacılma genligi,

f2(θ, ϕ) = − 1

4π

∫χ−1 (k′, r′)U2(r

′)χ(k, r′)dr′ (6.12)

U2potansiyeli U1 potansiyeliyle karsılastırıldıgında cok zayıftır. Dolayısıyla U2

den sacılan dalgaların genligindeki degisme cok kucuk olacagı icin U1+U2den sacılan

dalgaları temsil edenχ(k, r′) yerine U1 den sacılan dalgalar, χ+1 (k, r) (bozulmus

dalga) kullanılabilir. (DWBA yaklasımı). O halde U2 potansiyelinden sacılmayı

temsil eden sacılma genligi,


f2(θ, ϕ) = − 1

4π

∫χ−1 (k′, r′)U2(r

′)χ+(k, r′)dr′ (6.13)

Toplam sacılma genligi U1 ve U2 potansiyelinden dolayı olusan sacılma genlik-

lerinin toplamıdır, yani f(θ, ϕ) = f1(θ, ϕ) + f2(θ, ϕ) O halde,

fDWBA(θ, ϕ) = f1(θ, ϕ)− 1

4π

∫χ−1 (k′, r′)U2(r

′)χ+(k, r′)dr′ (6.14)

Bu yaklasım metodu elastik, inelastik ve yeniden duzenleme reaksiyonlarına

uygulanabilir. U1 potansiyelinden sacılma elastik sacılmayı, U2 potansiyelinden

sacılma inelastik sacılmayı acıklar.

Aslında burada yapılan bir nevi perturbasyondur ve istenirse U potansiyeli bircok

potansiyelin toplamı olarak yazılır ve perturbasyonun derecesi artırılmıs olur. Bunu

daha iyi anlayabilmek icin Born serisini elde edelim; bunun icin Schrodinger den-

klemini Green operatoru formunda yazıp itere edelim:

(E −H0)ψ = V ψ ⇒ ψ = (E −H0)−1ψ = G0(E)V ψ (6.15)

Burada G0(E) Green operatorudur. Buifadeye homejen cozum ilave edilip itere

edilirse,

ψ = φ + G0V ψ ψ = φ + G0V φ + G0V G0V φ + ... (6.16)

Bu ifade denk. 3.8 de yazılırsa sacılma genligi,

f(θ, ϕ) =−m

2πh2

[∫dre−i~k′.~rV (r)ei~k.~r

∫dr

∫dr′e−i~k′.~rV (r)G0(r, r

′)V (r′)ei~k.~r′ + ...

](6.17)

Boylece sacılma serisi elde etmis olduk (Born Serisi). Bu serinin ilk terimi Born

yaklasımı icin buldugumuz sacılma genligidir.

Ilk terim elastik kanaldan sacılmayı acıklarken diger terimler inelastik kanallar-

dan sacılmayı acıklar ki bu ciftlenim kanallar modeline benzer. Optik model ise

elastik sacılma potansiyelini V ile inelastik sacılma potansiyelini (Kayıp akı) W ile

temsil edilir.

Born yaklasımının gecerli olabilmesi icin ya potansiyel cok sıg olacak yada gelen

parcacıgın enerjisi cok yuksek olacaktır. Daha genel bir ifadeyle,


S. ekil 6.2: Gelen ısının bir cok potansiyelden sacılmasının temsili sekli.

|V0|E

<<1

ka(6.18)

olmalıdır. Burada V0 potansiyelin derinligi ve adifuzyon kalınlıgıdır. Buna gore

Born yaklasımı yuksek enerji limitinde dogru olacaktır.

6.1.3 Born Yaklasımının Bazı Uygulamaları

Gaussyen Potansiyeli

cekici Gaussyen potansiyeli V (r) = −V0e−( r

R)2 seklinde verilir.

S. ekil 6.3: Cekici Gaussyen potansiyeli ve onun diferansiyel tesir kesiti.

Biraz cebirle Born sacılma genligi,

f(θ) =

∞∫

0

V (r)sin χr

χr4πr2dr (6.19)

seklinde yazılabilir. Burada χ = 2k sin( θ2) dir. Gaussyen potansiyeli sacılma genliginde

yazılırsa,


f(θ) = −V0

∞∫

0

e−( rR

)2 sin χr

χr4πr2dr = −(2π)

32 V0R

3e−(χR)2

2 (6.20)

Buradan diferansiyel tesir kesiti,

dσ

dΩ= Ce−(2kR)2 sin2( θ

2) (6.21)

elde edilir. θ = 0 icin tesir kesiti dσdΩ

= C = 2πµ2

h4 V 20 R6 maksimum degerini alır. θ

arttıkca tesri kesiti azalacaktır.

Kare Kuyu Potansiyeli

cekici kare kuyu potansiyeli r < R icin V (r) = V0, r > R icin V (r) = 0 degerini alır.

Bu potansiyel icin sacılma tesir kesiti,

f(θ) = −V0

R∫

0

sin χr

χr4πr2dr = −4πV0R

3 (sin χR− χR cos χR)

(χR)3(6.22)

buradan sacılma tesir kesiti,

dσ

dΩ∼= C

(sin χR− χR cos χR)2

(χR)6(6.23)

olur. Burada C = ( µ2πh2 )216π2V 2

0 R6 dır.

Kare kuyu potansiyelinden sacılma optikteki difraksiyon sekline benzerdir. Fakat

potansiyel koselerinden hafifce degisiyorsa, (Gaussyen potansiyeli gibi) Optik difrak-

siyonla benzesim bozulur. Ikinci ve diger maksimumlar bozulur yada gorunemeyecek

kadar kucuk olur.

6.1.4 OPTIK MODEL

Nukleer reaksiyonları acıklamak icin gelistirilen modellerden biri de optik modeldir.

Gelen parcacık kompleks hedefle etkilesmesi sırasında gelen akının (Ji)bir kısmı

hedefin uyarılmasından dolayı inelastik kanallara gider son durumda ise giden akı

gelen akıdan uyarılmanın siddeti oranında azdır. Boyle bir gercegi modellemek icin

reel etkilesim potansiyeli yeterli degildir. Bunun icin optik model gelistirilmistir.

Optik model uyarılmıs kanallarla etkilesimi temsil eden sanal potansiyel kullanır.


Bu modele gore toplam etkilesim potansiyeli komplekstir ve Vop = V + iW seklinde

temsil edilir. Goruldugu gibi optik model akının hangi kanallara ve ne kadar mik-

tarda gittigi ile ilgilenmez sadece uyarılmıs kanallara giden net akı hakkında bilgi

verir.

Onceki bolumde elastik sacılma teorisini yarı klasik yolla incelemistik. Bu mod-

elin tek farkı nukleer potansiyeli kompleks almasıdır. Radyal Schrodinger denklemi

bu durumda,

d2Ul

dr2+

[2m

h2 (E − Vop(r)− l(l + 1)

r2)

]ul = 0 (6.24)

Burada V (r) artık kompleks potansiyeldir yani,

Vop(r) = V (r) + iW (r) (6.25)

seklinde sanal ve reel potansiyelde olusmaktadır. Bizim amacımız bu denklemi

cozerek sacılma matriks elementini elde edip buradan diferansiyel tesir kesitine

ulasmaktır. Denk3.25, (r < R) iken yani sacılma merkezi civarında potansiyel setinin

parametreleri cok onemlidir. (r < R) iken ise yani sacılma merkezinin dısında ihmal

edilebilir cunku Coulomb alanının olmadıgını dusunuyoruz. Bu denklemi analitik

yolla cozmek zor oldugu icin numerik yontemler kullanılır. Denklemin genel cozum

formu,

Ul(r) = Fl(r) + iGl(r) + Sl[Gl(r)− iGl(r)] (6.26)

Burada Fl(r) = krjl(kr) kuresel Bessel fonksiyonlarıdır. Gl(r) = −krηl(kr)

Neumann fonksiyonlarıdır. Fl(r) + iGl(r) gelen dalgaları, Gl(r)− iGl(r) giden dal-

gaları temsil eder. Bu da aslında aslında daha once elde ettigimiz asimtotik formun

ozel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesinden baska bir sey degildir. Bu cozume

sınır kosulları uygulanarak sacılma matriks elementi bulunabilir. Boylece sacılma

genligi f(θ) ve diferansiyel tesir kesiti bulunabilir. Potansiyel kompleks oldugu icin

S−matriks ve dolayısıyla dalga fonksiyonu kompleksdir. Matriks elementin l = 0

dan lmaks a kadar hesaplanması gerekir. Normalde dalga fonksiyonu l = 0 dal l = ∞a kadardır. Fakat maksimum acısal momentum kuantum sayısının uzerinde kimsi

dalgalar fark edilir dagılıma sahip degildir. Sacılma genligi, diferansiyel tesir kesiti,

reaksiyon tesir kesiti daha once elde ettigimiz formla aynıdır.


Simdi modeli gercege biraz daha yakın tanımlamaya calısalım. Mermi ve hedef

cekirdegin yuklu olduklarını kabul edelim. Dolayısıyla sacılma genligi daha once

elde ettigimizden farklı olacaktır. Toplam kompleks potansiyel bu sefer, V (r) =

Uop + VC olacaktır. Coulomb potansiyelinin formunu cok iyi biliyoruz. Bu durum

icin dalga denklemi r < R icin oncekine benzer yolla cozulebilir. Fakat r > R icin

artık Coulomb potansiyelinin etkisi dikkate alınmalıdır. Coulomb alanının varlıgında

sacılma genligi,

f(θ) = fC(θ) +1

2ik

l=∞∑

l=0

(2l + 1)(Sl − 1)e2iσlPl(cos θ) (6.27)

Seklinde verilir. Denklemden goruldugu gibi Coulomb alanı nukleer sacılma

genligini e2iσl kadar etkilemektedir ve toplam sacılma genligine fC(θ) kadarlık bir

katkı getirmektedir. Burada σl Coulomb faz farkıdır. fC(θ) ise Coulomb sacılma

genligidir. ve

fC(θ) = − γ

2kcos ec2 θ

2exp[2iσ0 − 2iγ ln(sin

θ

2)] (6.28)

γ =mZpZT e2

kh2 vee2iσ0 =Γ(1 + iγ)

Γ(1− iγ)(6.29)

Coulomb faz farkına,

σl+1(γ) = σl(γ) + tg−1(γ

l + 1) (6.30)

Tekrarlama bagıntısı ile elde edilebilir. Burada σ0 en dusuk Coulomb faz farkıdır.

Reaksiyon tesir kesiti,

σR =π

k2

∑

l

(2l + 1)[1− |Sl|2] (6.31)

Seklinde daha once elde edilenle aynıdır.sacılma matriks elementi (dolayısıyla

faz farkı δ) ve σl bulunarak sacılma genligi elde edilebilir. Buradan da diferansiyel

tesir kesitine ulasılır.

6.1.5 Spinli Parcacıklar Icin Optik Model

Gelen parcacıkların spine sahip olması durumunda, gelen parcacıgın spini ile hedef

arasında bir spin-yorunge etkilesmesi dogar ve bunu temsil eden fenomonolojik


potansiyel,

VS(r) = V ′S(r)~L.~S = (

h

mπc)2(US + iWS)

1

r

df

dr~L.~S (6.32)

seklinde verilir.

Biz burada merminin s = 12

spinli parcacıklar oldugunu farzederek sacılma tesir

kesitine ulasmak istiyoruz. En genel dalga fonksiyonu radyal, acısal ve spin dalga

fonksiyonlarının toplamı olacagı asikardır.

Ψ =∑

jlm

Ujl(r)

rCjls

mλµilY λ

l (θ, φ)χµs (6.33)

Burada χµs spin fonksiyonu ve Cjls

mλµ Clebsch-Gordon katsayısı ve Y λl (θ, φ) kuresel

harmoniklerdir. Raydal denklem her l degeri icin spine baglı olarak iki kısımda

incelenebilir. Yani,

d2U+l

dr2+

[2m

h2 [E − VC(r)− V (r)− lV ′s (r)]−

l(l + 1)

r2

]U+

l = 0 (6.34)

d2U−l

dr2+

[2m

h2 [E − VC(r)− V (r)− (l + 1)V ′s (r)]−

l(l + 1)

r2

]U−

l = 0 (6.35)

Burada U+l ve U−

l iki spin yonelimleri icin radyal Schrodinger denklemleridir.

Goruldugu gibi ~L.~S spinlerin yonelimine baglı olarak l ve −(l +1) seklinde iki deger

almaktadır. Bu denklemlerden elde edilen sacılma tesir kesiti

A(θ) = fC(θ) +1

2ik

∑

l

[(l + 1)S+

l + lS−l − (2l + 1)]e2iσlPl(cos θ) (6.36)

B(θ) =1

2ik

∑

l

(S+l − S−l )e2iσlP 1

l (cos θ) (6.37)

Burada P 1l (cos θ) asosiye Legendre polinomudur. Diferansiyel tesir kesiti,

dσ

dΩ= |A|2 + |B|2 (6.38)

ve sacılan ısınların polarizasyon tesir kesiti,

~P =2Im(AB∗)|A|2 + |B|2 nven =

~kix~kf

|~kix~kf |(6.39)


Bu formul polarize olmamıs gelen parcacıkların etkilesimine uygundur. Absorp-

siyon tesir kesiti, giden parcacıkların yuklu olmaması durumunda elastik sacılma

tesir kesiti ve toplam tesir kesiti sıra ile,

σA =π

k2

∑

l

[(l + 1)(1− |S+

l |2) + l(1− |S−l |2)]

(6.40)

σe =π

k2

∑

l

[(l + 1)|1− S+

l |2 + l|1− S−l |2]

(6.41)

σT =2π

k2

∑

l

[(l + 1)(1−ReS+

l ) + l(1−ReS−l )]

(6.42)

seklinde verilir.

6.1.6 Optik Potansiyelin ozellikleri

Nukleer reaksiyon modellerini inceledigimizde temel problemin deneysel dataları

en iyi sekilde fit edecek potansiyel setini bulmak oldugunu goruruz. Potansiyel-

leri dikkate aldıgımızda Coulomb potansiyeli VC ve merkezcil potansiyelin Vcent.,

ozellikleri cok iyi bilinmektedir.fakat nukleer potansiyelin sekli ve parametreleri iyi

bilinmemektedir. Temel problem aslında bu potansiyelin belirlenmesidir. Nukleer

potansiyelin ve diger potansiyellerin nitel ozelliklerine burada deginmek isteriz.

Nukleer potansiyel kompleks olmak zorundadır, yani icerisinde sanal potansiyel

barındırmalıdır. |S| = 1 icin absorpsiyon olmadıgı icin S matrik her zaman |S| ≤ 1

olması gerekir. Sanal potansiyelinW (r) her yerde negatif olması gerekli olmakla

birlikte yalnız sacılma dalgasıyla her j degeri icin integrali negatiftir [1].

∫|χj(r)|2W (r)dr ≤ 0 (6.43)

olmalıdır. Burada χj(r) uygun sacılma dalga fonksiyonunun radyal kısmıdır. Bircok

durumda absorpsiyon potansiyeli yuzey yakınında pik yapar. Dolayısıyla etkilesmenin

yuzeyde oldugunu dusunmek yanlıs olmaz. Icerdeki nukleonlar etkilesime katılmaz

sadece degerlik nukleonları etkilesime katılır. Fakat gelen parcacık enerjisi cok

yuksekse sanal potansiyel reel potansiyel formuna yakın davranır.

Nukleer potansiyeller enerji bagımlıdır. Sanal potansiyel enerjiy artarken tipik

olarak artar, yani gelen parcacıgın enerjisi arttıkca uyarılmıs kanalların sayısı art-

makta, dolayısıyla bu etkilesimi tanımlayın sanal potansiyelin siddeti artmaktadır.


Reel potansiyeldeki degisme ozellikle Coulomb bariyeri civarında anormal derecede

gozlenir ki bunu daha sonra tartısacagız.

Optik potansiyel prensipte nonlocal olmakla birlikte genelde local formda kabul

edilir. Mermi ve hedef arasındaki antisimetrizasyon nonlocalligin onemli bir kaynagıdır.

Nukleon- cekirdek sistemleri icin Hartree-Fock potansiyeli buna acık bir ornektir [2].

Nonlocalligi etkilesimin sadece r ye baglı olmaması bir r′ parametresine de baglı ol-

ması gibi dusunebiliriz. Dolayısıyla taban durumla uyarılmıs durumlar arasında bir

etkilesim varsa veya uyarılmıs durumlar arasında bir etkilesim varsa bunları temsil

eden potansiyel in nonlocal oldugunu dusunebiliriz.

Gelen mermi veya hedef cekirdek spine sahipse bunlar arasında bir spin-yorunge

etkilesim kuvveti oldugunu dolayısıyla bunu temsil eden bir potansiyel oldugunu

dusunebiliriz. Eger hem mermi hemde hedef cekirdek spine sahipse bir spin-spin

etkilesim potansiyeli olacaktır. Bir cekirdegin spinini degerlik nukleonları belirledigi

icin etkilesimin bu degerlik nukleonları arasında olacagını dusunmek yanlıs olmaz.

Dolayısıyla spin yorunge etkilesimini temsil eden Vso potansiyeli sanal potansiyele

benzer olarak yuzey bolgesinde pik yapar.

Ayrıca efektif potansiyel angular momentum kuantum sayısına l, pariteye ve

model uzayına bagımlıdır.

6.1.7 Etkilesim Potansiyelinin ozellikleri

En genel durumda yani cekirdegin yuklu oldugu ve merminin bir spine sahip oldugu

durumda fenomonolojik potansiyel,

Ueff = UN + VC + Vso + Vl (6.44)

UN = −V fV (r) + VSgV (r)− i [WV fW (r) + WSgW (r)] (6.45)

Uso = −(Vso + iWso)(h

mπc)2 1

r

dfS(r)

dr~l.~s (6.46)

Vl =l(l + 1)

2µr2(6.47)

Seklinde tanımlanır. Simdi bu potansiyelleri sırasıyla inceleyelim:


S. ekil 6.4: Wood-Saxon form faktoru ve onun derivatif sekli.

6.1.8 Reel Potansiyel (VV , VS

Reel potansiyel genellikle Wood-Saxon (WS) formunda secilir. Ic bolgelerde potan-

siyel yaklasık sabit yuzeye dogru yaklasıldıgında tıpkı yogunluk degisimine ben-

zer olarak yavasca azalarak sıfıra gitmektedir. Ayrıca potansiyel negatiftir. Reel

potansiyel mermideki nukleon sayısıyla yaklasık orantılıdır [2]. Reel potansiyelin

gorunumu bicimsel olarak sekil 3.4 e benzerdir sadece V0 carpanı gelir. Doteron

un potansiyeli bir nukleonunkinin iki katı triton un ki yaklasık uc katı daha fa-

zla derinlige sahiptir ki bu boyle devam eder [2]. Nukleon sayısı yaklasık potansiyel

deinligiyle orantılı olmakla birlikte agır iyonlara dogru gidildikce durum degisecektir.

Potansiyelin form faktoru,

fi =1

1 + exp(xi), VN =

V0

1 + exp(xi)vexi =

r −Ri

ai

xi = V, W (6.48)

Seklinde verilir. i = V icin reel potansiyel tanımlanır ve i = W icin sanal

potansiyel tanımlanır. Burada V , RV ve aV sırasıyla potansiyelin derinligi, yarıcapı

ve yuzey difuzyon kalınlıgıdır. a parametresi potansiyelin yuzeyde %90 dan %10


a dustugu mesafe olarak tanımlanır. Sekil 3.4 den goruldugu uzere potansiyel

merkezde maksimum siddete sahipken yuzeyde sıfıra gitmektedir. Ayrıca cok kısa

erimlidir. Bu form Wood-Saxon formu olarak bilinir. fV form faktorunun karesi

icin Wood-Saxon kare (WS2) formu elde edilir ki bu form cok sık kullanılır. Sekil

3.5 de WS ve WS2 sekilleri karsılastırılmalı olarak verilmektedir . goruldugu uzere

bu potansiyel formları arasındaki fark form faktorunun yaklasık %90 a dustugu

degerlerde ve %10 a dustugu degerlerde gorulmektedir.

S. ekil 6.5: Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form faktorlerinin

karsılastırmalı sekli

Reel potansiyelin yuzeysel formu

gi(r) = −4aidfi

dr=

4 exp(xi)

[1 + exp(xi)]2, Vsur =

V exp(xi)

[1 + exp(xi)]2vexi =

r −Ri

ai

xi = V, W

(6.49)

i = V icin elde edilir. i = W icin sanal potansiyelin yuzeysel fırmu elde edilir.

Sanal Potansiyel :

Absorpsiyon potansiyeli hacim ve yuzeysel olmak uzere iki kısımda incelenebilir.

Hacimsel terim reel potansiyelinkine benzer olarak denk 3.46 da i = W icin elde

edilir ve bicim olarak sekil 3.4 deki f(r, R, a) form faktorune benzerdir.


W =W0

1 + exp(xi)vexi =

r −RW

aW

(6.50)

Yuzey absorpsiyon potansiyeli denk3.47 de i = W icin elde edilir.

Wsur(r) =4W0 exp(xW )

[1 + exp(xW )]2vexi =

r −RW

aWi

(6.51)

Yuzeysel hacim potansiyeli sekil 3.4 deki g(r, R, a) form faktorune benzerdir.

Yuzey potansiyeli r = RW de pik yapar.

Merkezcil Potansiyel (Vl:

Merkezcil potansiyel mermi ve hedefin bagıl acısal momentumundan dogar ki siddeti,

Vl =l(l + 1)

2µh2 (6.52)

seklinde verilir. Denklemden goruldugu uzere merkezcil bariyer acısal momentum

kuantum sayısına baglıdır. Bu potansiyel cekirdegin nukleer potansiyelinden dolayı

kendi icine cokmesini onleyen cok siddetli bir bariyerdir.

Spin yorunge terimi (Vso:

Eger mermi spine sahipse hedefle mermi arasındaki spin-yorunge etkilesiminden

dogan bir potansiyel olusur.

Coulomb Potansiyeli (VC):

Hedef kure duzgun yuk yogunluguna sahipse mermi ve hedef arasındaki Coulomb

potansiyeli,

VC =ZaZAe2

r, r ≥ RC =

ZaZAe2

2RC

(3− r2

R2C

), r ≤ RC (6.53)

Burada Za ve ZA sırasıyla mermi ve hedefin yukudur. Mermi ve hedef birlesmedigi

surece (overlap) Coulomb potansiyeli noktasal alınabilir.

Coulomb potansiyeli icin daha kesin potansiyel elde etmek amacıyla tek-folding

ve cift-folding potansiyeller yazılabilir. Tek folding icin Coulomb potansiyeli,

VC = e

∫g(r′)r − r′

dr′ (6.54)


Burada ghedefin yuk dagılımıdır ve elektron sacılma deneylerinden elde edilir.

(Sekil 3.11). Eger mermi ve hedef cekirdekler kompleks yapıda ise

VC(~R) =

∫∫g1(~r1)g2(~r2)

1

r12

d~r1d~r2ve~r12 = |~R + ~r2 − ~r1| (6.55)

Denk 3.51 in r−1 bagımlılıgı kucuk r uzaklıklarında cekirdekler ust uste binm-

eye basladıgı zaman gecerliligini kaybeder. Ve noktasal olmayan dagılım kullanılır.

Fakat RC nin hangi degerde oldugu sistemler icin degismektedir.

S. ekil 6.6: 16O+16O sistemi icin Coulomb potansiyelinin iki yuk dagılımına gore

degisimi.

Bu varsayımda nokta+duzgun yuk dagılımı bilgisayar kodlarında sıklıkla kul-

lanılır. Daha gercekci bir RC karsılastırması vermek icin iki cekirdegin uzaklıklarının

toplamından daha

kucuk RC uzaklıgına ihtiyac duyulur.Sekil3.7 gosteriyor ki 16O+16O sistemi icin

RC = 4.3fm dir. Genel parametrizasyon,

RC = rC(A13p + A

13T ) (6.56)

dur. 16O+16O sistemi icin rC = 0.85fm dir [26]. Deneysel analizlerden rC = 1.4fm

bulundu fakat kuantum mekaniksel duzeltmelerle rC = 1.2fm oldugu goruldu.

Benzer sekilde nukleer etkilesim uzaklıgı da denk 3.54 den bulunur r0 degeri ise

deneysel data ile fit sırasında elde edilir.


6.1.9 Hacim Integralleri (JV , JW):

Hacim integrali deneysel datayı acıklayan reel ve sanal potansiyellerin tum uzay

uzerinden integralidir yani,

JV (E) = − 4π

ApAT

∫V (r)r2drJW (E) = − 4π

ApAT

∫W (r)r2dr (6.57)

ve J(E) = JV (E) + iJW (E) seklinde tanımlanır. Goruldugu uzere hacim integrali

enerjinin fonksiyonudur. Bu durum ozellikle Coulomb bariyeri civarında bariz bir

sekilde gorulur ki bunun fiziksel onemi asagıda tartısıldı.

6.1.10 Coulom Bariyeri Civarındaki Reaksiyonlar ve Esik

Anormalligi

Gelen nukleonun kompleks bir hedef cekirdekten sacılmasını dusunelim oyle ki gelen

merminin enerjisi Coulomb bariyeri civarında olsun; uc durum soz konusudur.

1.) Eger mermi enerjisi Coulom bariyerinin altında ise Rutherford sacılması

gozlenir.

2.) Gelen mermi enerjisi Coulomb bariyeri civarında ise elastik kanallarla in-

elastik kanallar arasında ciftlenim olur, yani elastik kanaldan inelastik kanala akı

gecisi olur diger bir deyisle hedefin uyarıldıgını soyleyebiliriz. Bu durumda potan-

siyel derinliklerinde anormal degisimler gozlenir.

3.) Mermi parcacıgın enerjisi Coulomb bariyeri uzerinde ise Coulomb bariyeri

cok rahat bir sekilde delinir ve nukleer reaksiyon olma olasılıgı artar. cunku mermi

artık nukleer potansiyelin alanına girmistir. Ayrıca mermi enerjisi artırılmaya devam

edilirse uyarılmıs kanal sayısı artar.

Fenomonolojik optik model bu gozlenirleri acıklamak icin yeterlidir. Bu uc du-

rumu goze alan global bir inceleme yapmak istersek nukleer potansiyelin veya onun

hacim integrallerinin bu enerji bolgesindeki degisimine bakmak yeterlidir.

Sekil 3.8 den goruldugu uzere gelen parcacıgın enerjisi Coulomb bariyerine yaklastıgı

zaman reel potansiyelin derinliginde bir artma gozlenmekte yaklasık Coulomb bariy-

erinde pik yapmaktadır. Gelen parcacıgın enerjisini artırmaya devam ettigimiz za-

man yavasca azalmakta yuksek enerjilerde yaklasık sabit kalmaktadır. Sanal potan-

siyelin degisimine baktıgımızda yaklasık Coulomb bariyerine kadar lineer olarak


artmakta enerji artırılmaya devam edildiginde ise sabit kalmaktadır. Bu gelen

parcacıgın hedefte acabilecegi kanal sayısının maksimuma ulasması olarak yorum-

lanabilir.

S. ekil 6.7: 16O+208Pb sisteminin Coulob bariyeri civarındaki davranısı.

V (E)nin bu davranısı onceleri tam anlasılamadıgı icin anormal davranıs olarak

adlandırılıyordu fakat simdi reel potansiyelin absorpsiyonun degisimine eslik etmesi

gerektigi anlasılmıstır [27]. Elastik kanaldan absorpsiyon diger kanallara ciftlenimin

varlıgına isaret eder ve bu ciftlenim reel potansiyele dinamik polarizasyon potansiyeli

olarak adlandırılan duzeltme artısı verecektir. Niteliksel olarak carpısma yuksek en-

erjilerde, ansızın olur ve ana ozellik elastik kanaldan inelastik kanala akının absorp-

siyonu ile sonuclanır. Oysa ki bariyer enerjisi altında ve yakınındaki sureclerde daha

adyabatik ve uyarılmada sozdedir (virtual). Boylece etkilesme dinamik polarizasyon

potansiyeliyle temsil edilebilir [27].

Reel potansiyel V (E) = V0 + ∆V (E) seklinde yazılabilir. Burada V0 enerjiden

bagımsızdır ve ∆V (E)dinamik poalrizasyon potansiyelidir. ∆V (E) ve W (E) nin

karsılıklı davranısı dispersiyon iliskisi ile anlasılabilir. Sistematik olarak bu davranıs,

∆V (E) =P

π

∫ ∞

−∞

W (E ′)E ′ − E

dE (6.58)


Burada P prensib degerlerine isaret eder. Denklemden hemen goruruz ki W (E)

nin herhangi hızlı ve lokalize degisimine ∆V (E) eslik etmek zorundadır [27].

6.1.11 Potansiyeller Arasındaki iliski ve Guclu Absorpsiyon

Uzaklıgı

Potansiyeller arasındaki iliskiyi anlamak icin W/V oranını inceleyebiliriz. Sekil 3.9

da iki farklı potansiyel incelenmektedir (WS ve folding):

S. ekil 6.8: Agır iyon reaksiyonlarını tanımlamada kullanılan tipik potansiyeller,

12C+12C sistemi icin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potansiyellerin

gorunusu.

Secilen potansiyeller tum data analizlerinde ana ozellikler gosterdigi bulundu.

Potansiyeller enerji bagımlı, reel kısımları derin (V ≈ 100 − 350MeV ) ve ima-

jjiner kısımları sıg (W ≈ 7− 30MeV ) bulundu. Ikinci kolondaki sekiller bu potan-

siyellerin logaritmik formlarıdır: Reel ve imajiner kısmın sekli her zaman farklıdır.

ozellikle yuzeyden uzakta absorpsiyon, nukleer madde dagılımından daha hızlı azalır.


ucuncu kolonda imajiner ve reel kısmın oranları W/V , uzaklıgın fonksiyonu olarak

gosteriliyor. Yuzey yakınında W (r) ≈ V (r) oldugu acıktır [26]. Sekil 3.9 daki

ucuncu kolondan guclu absorpsiyon yarıcapı Rsar, W/V oranının maksimuma ulastıgı

yer oldugu gorulebilir.

Farklı enerjilerde farklı sistemler icin sistematik incelemeler gosterir ki W (r) nin

maksimum degeri 1.2-1.4 kere (A13p + A

13T ) uzaklıgında lokallesmistir ve bu uzaklık

artan enerjiyle azalır. Bu formalizmde pik yapan bolgeler sistemin guclu absorp-

siyon uzaklıgı olarak isaretlenir ve hafif-agır iyon dataları icin imajiner potansiyelin

uzaklıgından hafifce buyuk olur [26]. 20Ne+12C, 14N+12C, 9Be+12C ve 9Be+16O

sistemleri W/V sitematigine uymazlar. Bu sistemler icin W (r) egrisi surekli artar,

yani maksimuma sahip degildir. Bu cekirdekler digerlerinde gozlenen davranıslardan

farklı davranıs sergilerler ki yapıları cok acık degildir. cogunlukla 4n veya α-parcacıgı

cekirdekleridir [26].

Sacılma yuzeyde dominanttır. Burada ‘yuzey’ nukleer kuvvetin guclu etkimeye

basladıgı bolge anlamındadır. Bu bolgenin yeri guclu absorpsiyon uzaklıgıyla (Rsar)

temsil edilir. Pratikte Rsar degeri,

Rsar = r0(A13p + A

13T ) + ∆ (6.59)

Seklinde parametrize edilir. Burada Rsar kutle numaraları Ap ve AT olan iki cekirdegin

merkezleri arasındaki uzaklıktır [26]. Guclu absorpsiyon uzaklıgı nukleer yarıcaptan

∆ kadar farklıdır ve E/A ≈ 10 − 20MeV icin yaklasık 2-3fm arasındadır. Rsar

uzaklıgı ve bu yuzden ∆ aralıgı enerji artarken yavasca azalır. Iki cekirdegin nukleer

madde dagılımının herhangi ozdeksel ust uste binmesinde once guclu absorpsiyon

gerceklesir.

6.1.12 Optik Model Analizleri

Deneysel sacılma ve reaksiyon tesir kesiti datalarını acıklayan potansiyel setleri bir

bilgisayar kodu kullanılarak bulunur. Genellikle kullanılan reaksiyon kodları fresco

[40], Potelemly [44] , ve ECIS [41]. Teorik olarak bulunan tesir kesitleri deneysel

tesir kesitleri karsılastırılarak en uygun potansiyel seti secilir. Eger potansiyeller

fenomonolojik ise reel ve imajiner kısımlar genellikle WS, (WS)n, n = 1, 2 veya

Wood-Saxon derivatif (WSD) olarak veya bunların kombinasyonu seklinde secilir.


S. ekil 6.9: 16O+208Pb sistemi guclu absorpsiyon mesafesindeki etkilesimi sırasında

meydana gelen yogunluk dagılımları.

Reel potansiyel mikroskobik analizlerle de belirlenebilir (folding model). Folding

model yardımıyla V (r) nin yarıcapa gore degisim dataları hesaplamaya direkt olarak

katılır. Sanal kısımlar ise fenomonolojik olarak belirlenir. Deneysel dataları opti-

mum fit etmek icin normalizasyon katsayısıyla ve imajiner potansiyel parametreleri

ile oynamak gerekir.

Deneysel data ile teorik datalar arasındaki uyumu belirlemek icin

χ2 =1

Nσ

Nσ∑i=1

(σth − σex)2

(∆σex)2(6.60)

Seklinde hata hesabı yapılır. Burada σth, σex ve ∆σex sırasıyla teorik tesir kesiti,

deneysel tesir kesiti ve deneysel tesir kesitindeki hata oranıdır. Nσ olculmus acıların

toplam sayısıdır.

Diferansiyel denklemi cozmek icin; her l degeri icin denklem integre edilir. Her

kismi dalga icin dalga fonksiyonu ic bolgede numerik olarak hesaplanarak dıs dalga

fonksiyonuna esitlenir ve S−matriks her l degeri icin elde edilir. R = 0 dan Rmaks

a kadar alınırken ∆R step aralıgında alınır. Bu aralık potansiyellerin difuzyon

kalınlıgına baglıdır. cok kısa veya keskin potansiyeller normalde daha kucuk step

aralıgına ihtiyac duyar. S−matriks bilinirse, tesir kesiti, gecis katsayısı ve acısal

dagılım hesaplanabilir.

6.1.13 FOLDING MODEL

Folding model reel potansiyeli hesaplamak icin, iki carpısan cekirdegin yogunluk

dagılımı uzerinden nukleon-nukleon etkilesiminin integrali ile hesaplanır. Elastik


sacılma, inelastik sacılma ve diger surecleri yaklasık yogunluk ve etkilesim secimi ile

yapılabilir.

S. ekil 6.10: Koordinatlar kullanılarak a) tek folding ve b) cift folding

Folding potansiyelin baslangıctaki hesapları ‘tek-folding’ da bulundu. Bu yaklasımda

fenomonolojik nukleon-cekirdek potansiyeli,

UF (~R) =

∫d~r2g2(r2)υ(~R− ~r2) (6.61)

seklinde tanımlanır. Burada g2(r2) hedef cekirdegin yogunluk dagılımıdır ve υ(r)

etkilesim terimidir. Agır iyon sacılmaları icin bu yaklasımla potansiyelin derinligi

oldugundan yaklasık iki kat fazla bulundugu icin cift-folding formu kullanıldı. O

zaman etkilesim terimi υ(r) her iki yogunluk dagılımı uzerinden integre edildi [29].

UF (~R) =

∫d~r1

∫d~r2g1(~r1)g2(~r2)υ(~r12 = ~R + ~r2 − ~r1) (6.62)


Burada gi, i. nukleonun taban durumundaki yogunlık dagılımı ve υ(~r12) efek-

tif nukleon-nukleon etkilesimidir. Integral iki yogunluk dagılımı uzerinden oldugu

icin cift folding olarak adlandırılır. Bu denklem aslında daha once ifade edilen

Coulomb potansiyelinde 1r12

terimi yerine etkilesim terimi υ(r12) ve yuk dagılımı

yerine yogunluk dagılımları konarak elde edilebilir. Burada yogunluk dagılımları

normalize edilmemistir. Yogunluklar,

∫ga(r)dr = ave

∫gA(r)dr = A (6.63)

Seklinde normalize edilir. Hacim integralleri arasında,

JF = JaJAJυ = aAJυ (6.64)

Seklinde basit bir iliski vardır. cift folding integrali altı boyutta olmasına ragmen

pratikte Fouer transformuyla daha kolay integre edilir.

cekirdek yogunlugu (g) ve efektif etkilesimin (υ) secimi deneysel dataların fit

edilmesi bakımından onemlidir. efektif etkilesimin merkezi kısmı,

υ12 = υ00(r12) + υ01(r12)~T1. ~T2 + υ10(r12)~σ1.~σ2 + υ11(r12)~σ1.~σ2~T1. ~T2 (6.65)

Seklinde verilir. Genellikle spin orbit terimi ve tensor terimi olacaktır [29]. Bu-

rada υ00 hem s = 0 hemde T = 0 durumu icin ve υ01 terimi hem s = 0 hemde T = 1

durumu icin efektif etkilesimdir (υsT ). ~T1 ve ~T2 birinci ve ikinci cekirdegin tensor

terimleridir. s1 ve s2 ise spin terimleridir. Eger cekirdeklerden biri veya her ikisi

de N = Z durumuna sahipse (ve bu yuzden izospin sıfırsa ) denk 3.63 de T = 0

dagılımı olabilir. Her iki cekirdek icin N 6= Z oldugunda T = 1 dagılımı olur [29].

Genel durumda cekirdekler kuresel degildir ve spin bagımlıdır. Eger cekirdeklerin

yogunluk dagılımı kuresel degilse potansiyelde kuresel olmayan bilesen icerecek ve

bu bilesenler yuzunden inelastik kanallarda artıs olacaktır.

Nukleer reaksiyon hesaplamalarında efektif etkilesim genellikle yogunluk bagımlıdır.

ve

υ(~r12, g) = υ1(r12)e−β1g(r) + υ2(r12)e

−β2g(r) (6.66)

Seklinde verilir. Birinci terim yogunluk bagımsız olarak da secilebilir.


S. ekil 6.11: cekirdegin yogunluk dagılımı ve folding modelden elde edilen U(r) potan-

siyelinin karsılastırılması.

Cekirdegin yogunluk dagılımı sekil 3.12 den goruldugu uzere r = 0 da yaklasık

sabit iken yuzeye yaklastıkca duzgun bir sekilde azalmaktadır. Goruldugu uzere

yogunlukla nukleer potansiyel arasında sıkı sıkıya bir iliski vardır. cekirdegin ic

kesimlerinde yogunlukla potansiyel degisimi yaklasık aynı iken cekirdegin yuzeyi

yakınlarında birbirlerinden bariz bir sekilde ayrılır.

Index

Planck, 18

106

nukleer˜ fizik ders notlar‡ - google...

Documents