Números naturaisNúmeros naturaisUm Um poucopouco de história de história

Com o nosso sistema de numeração, Com o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, usando apenas dez símbolos diferentes,

podemos escrever qualquer número, podemos escrever qualquer número, enquanto que, nas numerações egípcia enquanto que, nas numerações egípcia

e romana, para se escrever números e romana, para se escrever números muito grandes seria preciso criar novos muito grandes seria preciso criar novos símbolos: um para o dez mil, outro para símbolos: um para o dez mil, outro para

o dez milhões, outro para o cem o dez milhões, outro para o cem milhões etc.milhões etc.

Fontes principais:

• inscrições em monumentos;• inscrições em objetos;• papiros.

Escrita principal: hieróglifos

Período imperial: 2800 - 715 aC

Região: litoral mediterrâneo da África

Matemática do Egito Antigo

Numerais egípcios em parede de um templo em Luxor

Numerais hieróglifos egípcios

123.440 cabeças de gado

223.400 mulas

232.413 cabras

em inscrição em uma tumba real

243.688 búfalos (?)

Gravura em um cetro real egípcio:

120.000 prisioneiros

1.422.000 cabras capturadas (!)

Decifrador dos hieróglifos egípcios:

Jean-François Champollion (1790-1832 França) Professor de História

Começou a estudar os hieróglifos com 17 anos

Um mesmo texto em três escritas diferentes: hieróglifa em cima, demótica no meio e grega em baixo.Datada de 196 aC

Chave para a decifração dos hieróglifos egípcios

Pedra de Roseta

Encontrada por um soldado de Napoleão em 1799Entregue pela França ao Museu Britânico em 1801Champolion a traduziu em 1820,após 12 anos de pesquisa

Numerais egípcios

Numerais egípcios

Numerais egípcios

Numerais egípcios

Utilizavam base 10 mas sem valor posicional

Numerais egípcios

Derivados dos numerais etruscos (antigo povo que habitava a Itália), são usados até hoje!

Utilizavam base 10.A posição era

importante mas em outro sentido (princípio subtrativo)

Numerais romanos

Numerais romanos:

observe que o “4” no relógio não segue o princípio subtrativo, para tornar a leitura mais clara.

Os sistemas de numeração egípcio e romano apresentavam ainda uma

outra dificuldade: era muito trabalhoso efetuar cálculos

usando esses números.

Para fazer contas com numerais romanos, era necessário usar o ábaco.

O ábaco romano era de mesa, como um

tabuleiro.

Numerais babilônios

Os babilônios usavam base sexagesimal (base 60, como nos minutos e segundos)

Tinham valor posicional, pois sua escrita em tabletas de barro era muito complexa.

Fontes principais: tabletas de barro cozido

Escrita: cuneiforme

Período: 3500 - 561 aC

Região: entre os rios Tigres e Eufrates (Oriente Médio)

Principal cidade-estado:Babilônia

Matemática dos Povos da Mesopotâmia

Tableta com numerais cuneiformes babilônios

de 2800 aC

A tradução das tabletas cuneiformes teve início em 1870, quando se descobriu uma inscrição trilingüe nas encostas do monte Behistun, narrando a vitória do rei Dario sobre Cambises.

Somente em 1934 Otto Neugebauer decifrou, interpretou e publicou as tabletas matemáticas babilônias.

Essa ausência de ligação linear com a Matemática das civilizações pré-helênicas contribuiu para a criação da idéia de que a Matemática é uma ciência que praticamente nasceu pronta e sistematizada, como aparece nas obras gregas.

Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores

do nosso sistema de numeração.

Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores

do nosso sistema de numeração.

Os hindus souberam reunir três características que já apareciam em

outros sistemas numéricos da Antiguidade:

o sistema de numeração hindu é decimal (o egípcio, o romano e o chinês

também o eram); o sistema de numeração hindu é

posicional (o babilônio também era); o sistema de numeração hindu tem o zero, isto é, um símbolo para o nada.

Estas três características, reunidas, tornaram o sistema de numeração

hindu o mais prático de todos. Não é sem motivo que hoje ele é usado

quase no mundo todo

Estamos tão acostumados com sistema de numeração decimal que

ele nos parece incrivelmente simples. No entanto, desde os

tempos em que os homens fizeram suas primeiras contagens, até o

aparecimento do sistema de numeração hindu, decorreram

milhares de anos.

É surpreendente que diversas civilizações da Antiguidade, como as

dos egípcios, babilônios e gregos, capazes de realizações

maravilhosas, não tenham chegado a um sistema de numeração tão funcional quanto o dos hindus. Por que tanta dificuldade?

Uma possível resposta a esta pergunta nos leva ao

Zero, isto é,

a um símbolo para o nada.

Estamos tão familiarizados com o zero que não sentimos a menor

dificuldade em raciocinar com ele. As crianças o dominam com

facilidade. Entretanto, nem sempre foi assim. Nossos antepassados custaram muito para inventar o

zero e, mesmo depois de nascido, o símbolo para o nada demorou a ser

aceito.

Depois do zero ter sido inventado para resolver um problema do sistema

posicional de numeração, ocorreu uma coisa interessante:

o zero passou a ser tratado como qualquer um dos outros nove símbolos. O zero passou a ser tão número quanto

os outros. O nada tornou-se número também, sendo introduzido na

seqüência: 0, 1, 2, 3, etc...

Valor posicional nosso sistema é posicional;

51 é diferente de 15; o romano é posicional, mas não no mesmo sentido do nosso sistema. É diferente escrever VI ou IV.

o egípcio não é posicional

Os números naturais são importantes cada vez mais em códigos e

identificação. Por exemplo, o número da conta bancária, do PIS, do RG, do CPF

etc. Os códigos de barras dominam e são o símbolo da sociedade de consumo, onde “Tudo é número”, lembrando a célebre frase do matemático grego Pitágoras.

Na verdade, hoje em dia, os números naturais têm outros significados: nem

para medir, nem para contar, mas como códigos

Ocorre que, nesse universo, uma troca de algarismos

pode significar um grande equívoco. Para isso, utilizam-se a segurança dos

chamados dígitos verificadores, que são indicadores de que a seqüência

digitada está coerente.

Vamos agora ver como se calculam os dígitos

verificadores do CPF, para refletir sobre o novo

“valor posicional” dos dígitos em um código.

Primeiro dígito verificador do CPF

• Tome os dígitos do CPF sem os dois últimos e multiplique cada um respectivamente por 10, 9 até 2.

• Some os resultados das multiplicações.• Divida o resultado dessa soma por 11 e

tome o resto.• Se o resto for igual a 0 ou igual a 1 o

primeiro dígito do CPF deverá ser igual a 0.• Se o resto for maior que 1 então deve-se

subtrair o resultado de 11 para conseguir o primeiro dígito verificador.

Exemplo

CPF 069.332.968-81

(0x10)+(6x9)+(9x8)+(3x7)+(3x6) +(2x5)+(9x4)+(6x3)+(8x2) = 245

Dividindo 245 por 11 obtemos resto 3

Assim o primeiro dígito é: 11 – 3 = 8

Segundo dígito verificador do CPF

• Tome os dígitos do CPF incluindo o primeiro já calculado, e multiplique cada um por 11, 10 até 2 respectivamente.

• Some os resultados das multiplicações.• Divida o resultado dessa soma por 11 e

tome o resto.• Se o resto for igual a 0 ou igual a 1 o

segundo dígito do CPF deverá ser igual a 0.• Se o resto for maior que 1 deve-se subtrair o

resultado de 11 para obter o segundo dígito.

ExemploCPF 069.332.968-81

(0x11)+(6x10)+(9x9)+(3x8)+(3x7)+(2x6)+(9x5)+(6x4)+(8x3)+(8x2) = 307

Dividindo 307 por 11 obtemos resto 10

Assim o segundo dígito é: 11 – 10 = 1