Klassinen geometriardquoAn elegant weapon for a more civilized agerdquo

- Obi-Wan Kenobi

Ville Tilvis Esa VesalainenOlli Hirviniemi Aleksis Koski Topi Talvitie

8 marraskuuta 2015

Sisaumlltouml

Johdanto 1

1 Teoreettiset perusteet 311 Maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit 412 Tiivistelmauml postulaateista 1113 Geometrinen todistaminen 12

2 Perusgeometriaa 1821 Kolmioiden yhdenmuotoisuudesta 1822 Kolmioita koskevia lauseita 2023 Kolmion merkilliset pisteet 2624 Yhdensuuntaiset leikkaajat 3125 Janan jako 3226 Ympyroumlistauml 3327 Pinta-aloista 40

3 Harppi ja viivain -konstruktioita 4331 Ruostunut harppi lyhyt viivain ja muita rajoituksia 45

4 Klassisia Euklidisen geometrian tuloksia 4841 Cevan ja Menelaoksen lauseet 4842 Eulerin suora ja ympyrauml 5243 Kolmion ulkoympyraumlt 5444 Stewartin lause 5445 Simsonin suora 5546 Muita klassikoita 56

5 Geometrisia kuvauksia 5751 Yhtenevyyskuvaukset 5752 Homotetia 5953 Inversio 61

Laumlhteet 67

Johdanto

Taumlmauml on kurssimoniste geometrian syventaumlvaumlaumln lukiokurssiin Pohjatiedoik-

si riittaumlauml hyvin hallittu peruskoulun oppimaumlaumlrauml Lukion valtakunnallisengeometrian kurssin hallitseminen on eduksi mutta tarvittavat tiedot esi-

tellaumlaumln kyllauml monisteen alkupuolella

Taumlmauml moniste sisaumlltaumlaumln suurimman osan tehtaumlvaumlkokelmasta Yrjouml Repo 11 sarjaatasogeometrian harjoitustehtaumlviauml (1965) [R] Laumlmmin kiitos Yrjouml Revon perikun-nalle joka antoi luvan tehtaumlvien kaumlyttoumloumln Revon harjoitustehtaumlvaumlt on sijoitettumuiden tehtaumlvien sekaan seuraavalla sivulla on lista vastaavuuksista

Monisteen tehtaumlvien vaikeusaste vaihtelee huimasti kukin sarja alkaa helpoistaJoukossa on vanhoja kilpailutehtaumlviauml jotka voivat olla hyvinkin vaikeita Harppi javiivain -konstruktiotehtaumlvaumlt (jotka esitellaumlaumln luvussa 3) on merkitty harppisymbolil-la

Monisteen sivujen asettelussa on kaumlytetty suurilta osin Avoimet oppimateriaalitryn Vapaa matikka -kirjasarjan kehittelyssauml syntyneitauml muotoiluja kiitos niitaumllaatineelle tyoumlryhmaumllle

Sivun 61 kuva on piirretty Ginger Boothin Inversion Applet -ohjelmalla

Moniste on vielauml pahasti kesken kuten lukija epaumlilemaumlttauml huomaa Kaikenlaisetkorjaukset ja parannusehdotukset otetaan ilolla vastaan osoitteessavilletilvisgmailcom

Kirjoitustyouml on jakautunut tekijoumliden kesken seuraavasti Esa Vesalainen on koon-nut valtaosan tehtaumlvistauml Ville Tilvis kirjoittanut enimmaumln tekstin ja laatinut kuviaOlli Hirviniemi Aleksis Koski ja Topi Talvitie ovat parannelleet lisaumlnneet poistaneetja viilanneet lukuisia kohtia

Antoisia hetkiauml geometrian parissa

Helsingissauml 8 marraskuuta 2015

Ville Tilvis Esa Vesalainen Olli Hirviniemi Aleksis Koski Topi Talvitie

Sisaumlltouml

Johdanto 1

1 Teoreettiset perusteet 311 Maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit 412 Tiivistelmauml postulaateista 1113 Geometrinen todistaminen 12

2 Perusgeometriaa 1821 Kolmioiden yhdenmuotoisuudesta 1822 Kolmioita koskevia lauseita 2023 Kolmion merkilliset pisteet 2624 Yhdensuuntaiset leikkaajat 3125 Janan jako 3226 Ympyroumlistauml 3327 Pinta-aloista 40

3 Harppi ja viivain -konstruktioita 4331 Ruostunut harppi lyhyt viivain ja muita rajoituksia 45

4 Klassisia Euklidisen geometrian tuloksia 4841 Cevan ja Menelaoksen lauseet 4842 Eulerin suora ja ympyrauml 5243 Kolmion ulkoympyraumlt 5444 Stewartin lause 5445 Simsonin suora 5546 Muita klassikoita 56

5 Geometrisia kuvauksia 5751 Yhtenevyyskuvaukset 5752 Homotetia 5953 Inversio 61

Laumlhteet 67

Johdanto

Taumlmauml on kurssimoniste geometrian syventaumlvaumlaumln lukiokurssiin Pohjatiedoik-

si riittaumlauml hyvin hallittu peruskoulun oppimaumlaumlrauml Lukion valtakunnallisengeometrian kurssin hallitseminen on eduksi mutta tarvittavat tiedot esi-

tellaumlaumln kyllauml monisteen alkupuolella

Taumlmauml moniste sisaumlltaumlaumln suurimman osan tehtaumlvaumlkokelmasta Yrjouml Repo 11 sarjaatasogeometrian harjoitustehtaumlviauml (1965) [R] Laumlmmin kiitos Yrjouml Revon perikun-nalle joka antoi luvan tehtaumlvien kaumlyttoumloumln Revon harjoitustehtaumlvaumlt on sijoitettumuiden tehtaumlvien sekaan seuraavalla sivulla on lista vastaavuuksista

Monisteen tehtaumlvien vaikeusaste vaihtelee huimasti kukin sarja alkaa helpoistaJoukossa on vanhoja kilpailutehtaumlviauml jotka voivat olla hyvinkin vaikeita Harppi javiivain -konstruktiotehtaumlvaumlt (jotka esitellaumlaumln luvussa 3) on merkitty harppisymbolil-la

Monisteen sivujen asettelussa on kaumlytetty suurilta osin Avoimet oppimateriaalitryn Vapaa matikka -kirjasarjan kehittelyssauml syntyneitauml muotoiluja kiitos niitaumllaatineelle tyoumlryhmaumllle

Sivun 61 kuva on piirretty Ginger Boothin Inversion Applet -ohjelmalla

Moniste on vielauml pahasti kesken kuten lukija epaumlilemaumlttauml huomaa Kaikenlaisetkorjaukset ja parannusehdotukset otetaan ilolla vastaan osoitteessavilletilvisgmailcom

Kirjoitustyouml on jakautunut tekijoumliden kesken seuraavasti Esa Vesalainen on koon-nut valtaosan tehtaumlvistauml Ville Tilvis kirjoittanut enimmaumln tekstin ja laatinut kuviaOlli Hirviniemi Aleksis Koski ja Topi Talvitie ovat parannelleet lisaumlnneet poistaneetja viilanneet lukuisia kohtia

Antoisia hetkiauml geometrian parissa

Helsingissauml 8 marraskuuta 2015

Ville Tilvis Esa Vesalainen Olli Hirviniemi Aleksis Koski Topi Talvitie

Johdanto

Taumlmauml on kurssimoniste geometrian syventaumlvaumlaumln lukiokurssiin Pohjatiedoik-

si riittaumlauml hyvin hallittu peruskoulun oppimaumlaumlrauml Lukion valtakunnallisengeometrian kurssin hallitseminen on eduksi mutta tarvittavat tiedot esi-

tellaumlaumln kyllauml monisteen alkupuolella

Taumlmauml moniste sisaumlltaumlaumln suurimman osan tehtaumlvaumlkokelmasta Yrjouml Repo 11 sarjaatasogeometrian harjoitustehtaumlviauml (1965) [R] Laumlmmin kiitos Yrjouml Revon perikun-nalle joka antoi luvan tehtaumlvien kaumlyttoumloumln Revon harjoitustehtaumlvaumlt on sijoitettumuiden tehtaumlvien sekaan seuraavalla sivulla on lista vastaavuuksista

Monisteen tehtaumlvien vaikeusaste vaihtelee huimasti kukin sarja alkaa helpoistaJoukossa on vanhoja kilpailutehtaumlviauml jotka voivat olla hyvinkin vaikeita Harppi javiivain -konstruktiotehtaumlvaumlt (jotka esitellaumlaumln luvussa 3) on merkitty harppisymbolil-la

Monisteen sivujen asettelussa on kaumlytetty suurilta osin Avoimet oppimateriaalitryn Vapaa matikka -kirjasarjan kehittelyssauml syntyneitauml muotoiluja kiitos niitaumllaatineelle tyoumlryhmaumllle

Sivun 61 kuva on piirretty Ginger Boothin Inversion Applet -ohjelmalla

Moniste on vielauml pahasti kesken kuten lukija epaumlilemaumlttauml huomaa Kaikenlaisetkorjaukset ja parannusehdotukset otetaan ilolla vastaan osoitteessavilletilvisgmailcom

Kirjoitustyouml on jakautunut tekijoumliden kesken seuraavasti Esa Vesalainen on koon-nut valtaosan tehtaumlvistauml Ville Tilvis kirjoittanut enimmaumln tekstin ja laatinut kuviaOlli Hirviniemi Aleksis Koski ja Topi Talvitie ovat parannelleet lisaumlnneet poistaneetja viilanneet lukuisia kohtia

Antoisia hetkiauml geometrian parissa

Helsingissauml 8 marraskuuta 2015

Ville Tilvis Esa Vesalainen Olli Hirviniemi Aleksis Koski Topi Talvitie

SISAumlLTOuml

Tehtaumlvien vastaavuudetYrjouml Revon tehtaumlvaumlt on merkitty roomalaisin numeroin monisteen tehtaumlvaumlt lihavoi-tu Kysymysmerkeillauml merkityt tehtaumlvaumlt eivaumlt ole taumlllauml hetkellauml kaumlytoumlssauml

I1 I2 I3 I4 I5 I6 118I7 88 I8 119 I9 II1 II2 37 II3 39 II4 40 II5 41 II6 43II7 44 II8 45 II9 46 II10 47 II11 48 II12 146II13 49 II14 50 II15 147 II16 51 II17 89 II18 134II19 137 II20 136 II21 52 II22 138 II23 53III1 121 III2 122 III3 123 III4 125 III5 126 III6 127III7 128IV1 78 IV2 IV3 IV4 IV5 79 IV6 V1 148 V2 149 V3 150 V4 151 V5 153 V6 155VI1 56 VI2 57 VI3 58 VI4 133 VI5 59 VI6 60VI7 91 VI8 63 VI9 64 VI10 65 VI11 66 VI12 67VI13 68 VI14 69 VI15 70 VI16 71 VI17 72 VI18 73VI19 74 VI20 152 VI21 154 VI22 75VII1 VII2 VII3 VII4 VII5 VII6 VII7 VII8 VII9 VII10 VII11 VII12 VII13 VII14 VII15 VII16 VII17 VII18 VII19 VIII1 98 VIII2 99 VIII3 100 VIII4 101 VIII5 102 VIII6 103VIII7 104 VIII8 105 VIII9 106 VIII10 107 VIII11 108 VIII12 109VIII13 110 VIII14 111 VIII15 112 VIII16 239IX1 IX2 IX3 IX4 IX5 IX6 IX7 IX8 IX9 IX10 IX11 IX12 IX13 IX14 IX15 IX16 IX17 IX18 IX19 IX20 IX21 IX22 IX23 IX24 IX25 X1 163 X2 164 X3 165 X4 167 X5 168 X6 169X7 170 X8 171 X9 172 X10 174 X11 175 X12 176X13 177 X14 178 X15 179 X16 169 X17 181 X18 182X19 183 X20 184 X21 185 X22 186 X23 187 X24 188X25 189 X26 190 X27 191 X28 192 X29 193 X30 194X31 240 X32 241XI1 XI2 XI3 XI4 XI5 XI6 XI7 XI8 XI9 XI10 XI11 XI12 XI13 XI14 XI15 XI16 XI17 XI18 XI19 XI20 XI21 XI22 XI23 XI24 XI25 XI26 XI27 XI28 XI29 XI30 XI31 XI32 XI33 XI34 XI35

2

LUKU 1

Teoreettiset perusteet

Geometria on vanhin matematiikan ala joka pyrittiin esittaumlmaumlaumln aksiomaat-

tisesti Eukleides (n 325 ndash 265 eaa) rakensi teoksessaan Stoikheia (Alkeet)jaumlrjestelmaumln jossa mahdollisimman vaumlhiksi rajatuista aksioomista (perus-

laumlhtoumlkohdista joita ei todisteta) laumlhtien todistetaan kaikki muut tulokset

Myoumlhemmin kaumlvi ilmi ettauml Eukleideen paumlaumlttelyissauml oli paljon kirjaamattomia ole-tuksia Haumln esimerkiksi oletti ettauml kolmion kulmasta kolmioon sisaumllle kulkeva suoraleikkaa kulman vastaisen sivun vaikka mikaumlaumln haumlnen aksioomistaan ei taumlllaises-ta puhunut Geometrian aksiomatisoinnin puutteet korjasi lopulta David Hilbert(1862 ndash 1943)

Nykyaumlaumln aksiomaattinen laumlhestyminen matematiikkaan on vallalla kaikilla senaloilla Teorian perusta naulataan mahdollisimman suppeaan joukkoon aksioomiajoista laumlhtien kaikki muu todistetaan Taumlmauml tekee selvaumlksi mitauml kaikkea oletetaanja paumlaumlttelyn oikeellisuus on helppo tarkistaa

Lukiotasolla (saati peruskoulussa) matematiikan opetusta ei aloiteta aksioomista(Kuvittele ihmetystauml jos laskemisen opettelu aloitettaisiin todistamalla pitkaumlllisestiettauml 1 6= 0) Geometrian syventaumlvaumlllauml kurssilla taumlmauml olisi perustellumpaa mutta siltikohtuuttoman raskasta Esimerkiksi yhdessauml taumlmaumln monisteen paumlaumllaumlhteistauml MattiLehtisen Jorma Merikosken ja Timo Tossavaisen mainiossa oppikirjassa Johdatustasogeometriaan [L] todistetaan huolellisesti sellaisia vaumlitteitauml kuin

Jos kolme pistettauml ovat samalla suoralla niin niistauml taumlsmaumllleen yksi on kahdenmuun vaumllissauml

ja

Ympyraumlllauml ja sen keskipisteen kautta kulkevalla suoralla on taumlsmaumllleen kaksi yh-teistauml pistettauml

Haluamme taumlllauml kurssilla tutkia geometrian ihmeellisyyksiauml juuttumatta liiaksi lu-kijalle intuitiivisesti selvien tosiseikkojen todistamiseen mutta emme toki haluahylaumltauml deduktiivista paumlaumlttelyauml Siksi olemme paumlaumltyneet julistamaan ilman todistustajoukon postulaatteja joista laumlhdemme liikkeelle Hienostuneemmassa aksiomaat-tisessa jaumlrjestelmaumlssauml osa naumlistauml postulaatteista olisi todistusta kaipaavia lauseitaosa varsinaisia aksioomia Taumlmauml keskeltauml aloittaminen saumlaumlstaumlauml kovin tekniseltauml jataumlmaumln kurssin tavoitteiden kannalta tarpeettomalta todistamisurakalta

Aloitetaan nyt maumlaumlritelmillauml ja postulaateilla

3

1 TEOREETTISET PERUSTEET

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATITTaumlssauml osiossa maumlaumlrittelemme geometrian kaumlsitteet ja julistamme niitauml sitovat pos-tulaatit Kaikki taumlmaumln osion toteamukset ovat maumlaumlritelmiauml ellei niitauml ole erikseenmerkitty postulaateiksi

Pisteet ja suoratPeruskaumlsitteemme tasogeomeriassa ovat piste ja suora joita ei sen kummemminmaumlaumlritellauml Pisteet nimetaumlaumln isoilla kirjaimilla ja suorat pienillauml Piste A voi sijaitasuoralla s (jolloin vastaavasti suora s kulkee pisteen A kautta) ja taumltauml merkitaumlaumlnA isin s Jos kahdella eri suoralla on yhteinen piste sanotaan ettauml suorat leikkaavat

Suora voidaan nimetauml kahden sillauml sijaitsevan pisteen avulla suora AB

Postulaatti 1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

Postulaatti 2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

Postulaatti 3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samallasuoralla

Pisteiden jaumlrjestys suorallaPostulaatti 4 Samalla suoralla olevat pisteet voidaan jaumlrjestaumlauml yksikaumlsittei-sesti sen mukaan mitkauml pisteet ovat toisten vaumllissauml Erityisesti

bull Kolmesta pisteestauml tasan yksi on kahden muun vaumllissaumlbull Pisteet voidaan luetella jaumlrjestyksessauml A1 A2 An jossa kaikki kah-

den pisteen vaumllissauml luetellut pisteet ovat niiden vaumllissauml suoralla

Postulaatti 5 Suoran kaikkien pisteiden A ja B

bull vaumllissauml on pistebull ympaumlrillauml on pisteet joiden vaumllissauml A ja B ovat

Puolisuora ja janabull Suoralla oleva piste P jakaa suoran kahteen puolisuoraan Piste P kuuluu

molempiin puolisuoriin Pisteet A ja B kuuluvat samaan puolisuoraan jos Pei ole niiden vaumllissauml

bull Kaksi suoran pistettauml ovat j anan paumlaumltepisteet Janaan kuluvat sen paumlaumltepis-teet ja kaikki niiden vaumllissauml olevat pisteet Janaa merkitaumlaumln sen paumlaumltepisteidenavulla jana AB

PuolitasotSuora jakaa tason pisteet kahteen puolitasoon Samassa puolitasoossa ovat nepisteet joiden vaumllinen jana ei leikkaa suoraa Eri puolitasoissa ovat ne pisteetjoiden vaumllinen jana leikkaa suoran Suora itse ei kuulu kumpaankaan puolitasoon

4

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Suorien yhdensuuntaisuusbull Suorat ovat yhdensuuntaiset jos niillauml ei ole yhteisiauml pisteitauml Merkitaumlaumln s ∥ t

Lisaumlksi sovitaan ettauml suora on itsensauml kanssa yhdensuuntainenbull Janat AB ja C D ovat yhdensuuntaiset kun vastaavat suorat AB ja C D ovat

Postulaatti 6 Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumllleen yksisuoran kanssa yhdensuuntainen suora (Taumlmauml on paralleeliaksiooma)

PituusPostulaatti 7 Jokaiseen janaan AB voidaan liittaumlauml positiivinen luku jotakutsutaan sen pituudeksi Pituutta merkitaumlaumln |AB | tai vain yksinkertaisestiAB Lisaumlksi

bull Janan pituus on sen osien summa Jos C on pisteiden AB vaumllissauml niinAB = AC +C B

bull Puolisuoralla AP on taumlsmaumllleen yksi piste B jolle jana AB on halutunjanan mittainen

bull on olemassa jana jonka pituus on 1

Maumlaumlritellaumlaumln ettauml janan AB piste C on janan keskipiste kun AC =C B

KulmatKulma on yhdestauml pisteestauml (kaumlrki ) laumlhtevaumln kahden puolisuoran (kyljet) rajaamatasoalue Kylkien vaumllistauml aluetta kutsutaan kulman aukeamaksi

Kaksi puolisuoraa maumlaumlraumlauml kaksi eri kulmaa joiden erottamiseksi kulmia merkitaumlaumlnilmoittamalla jaumlrjestyksessauml piste oikealta kyljeltauml kaumlrkipiste ja piste vasemmaltakyljeltauml

A

BC

A

BC

kulma B AC kulma C AB

Kulmaa B AC voidaan merkitauml myoumls angB AC

Kun pisteet A O ja B ovat samalla suoralla taumlssauml jaumlrjestyksessauml kulma AOB onoikokulma

Kulman kaumlsite laajennetaan tarkoittamaan myoumls tapauksia joissa kyljet ovat samapuolisuora Taumlllaista kulmaa AO A kutsutaan taumlyskulmaksi kun tarkoitetaan kokotasoa ja nollakulmaksi kun tarkoitetaan vain kyseistauml puolisuoraa

Postulaatti 8 Kulman mittaaminen Jokaiseen kulmaan voidaan liittaumlauml posi-tiivinen luku jota kutsutaan sen suuruudeksi Lisaumlksi

bull kulman suuruus on sen osien suuruuksien summa Jos piste C onkulman APB aukeamassa angAPB =angAPC +angC PB

bull suoran AB tietyllauml puolella olevassa puolitasossa on taumlsmaumllleen yksipuolisuora AC jolle kulma B AC on tietyn kulman kokoinen

Sovitaan lisaumlksi ettauml oikokulman suuruus on 180 (Se ettauml kaikki oikokulmat ovatyhtauml suuria voidaan todistaa seuraavasta postulaatista)

5

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Vieruskulmat

Kun oikokulma jaetaan kahteen osaan puolisuoralla syntyvaumlt kulmat ovat vierus-kulmia

A BC

D

βα

Vieruskulmat α=angDC A ja β=angBC D Postulaatti 9 Jos kulmilla on yhtaumlsuuret vieruskulmat kulmat ovat yhtaumlsuu-ret

Suora kulma maumlaumlritellaumlaumln kulmana joka on yhtauml suuri kuin vieruskulmansa

Ristikulmat

Kahden suoran leikatessa syntyy neljauml kulmaa Naumlistauml kahta jotka eivaumlt ole toistensavieruskulmia kutsutaan ristikulmiksi

Kuvassa kulmat APC ja BPD ovat toistensa ristikulmia samoin DPA ja C PB

A

BC

D

Pαα

angAPC =angBPD

Postulaatti 10 Ristikulmat ovat yhtauml suuret

6

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Samankohtaiset kulmat

Kun suora s leikkaa kahta muuta suoraa r ja t leikkauskohtiin syntyy yhteensaumlkahdeksan kulmaa Niistauml neljaumlssauml on vasempana kylkenauml suora s Naumlitauml neljaumlaumlkulmaa kutsutaan samankohtaisiksi kulmiksi kuvassa α1 ja α2

t

r

s

α1

α2

α2

α1

Vastaavasti samankohtaisia ovat ne neljauml kulmaa joissa s on oikeana kylkenauml

Postulaatti 11 Kun suora s leikka suoria r ja t samankohtaiset kulmat ovatyhtauml suuret taumlsmaumllleen silloin kun suorat r ja t ovat yhdensuuntaiset

r

t

s

rt

α

α

Kulmien luokittelu koon mukaan

bull Kupera kulma Suurempi kuin oikokulmabull Kovera kulma Pienempi kuin oikokulma

Koverat kulmat jaetaan seuraavasti

bull Suora kulma Yhtauml suuri kuin vieruskulmansa eli puolet oikokulmastabull Teraumlvauml kulma Pienempi kuin suora kulmabull Tylppauml kulma Suurempi kuin suora kulmabull Vino kulma Ei suora

Lisaumlksi

bull Komplementtikulmien summa on suora kulmabull Suplementtikulmien summa on oikokulmabull Eksplementtikulmien summa on taumlyskulma

Normaalit ja projektiotbull Jos suorien vaumllinen kulma on suora kyseiset suorat ovat toistensa normaalejabull Janan keskipisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaalibull Suoran s ulkopuolisen pisteen P projektio suoralla s on se suoran s piste

jossa pisteen P kautta kulkeva normaali leikkaa suoran sbull Pisteen P etaumlisyys suorasta s on pisteen P ja sen projektion maumlaumlraumlaumlmaumln janan

pituus

7

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

LUKU 1

Teoreettiset perusteet

Geometria on vanhin matematiikan ala joka pyrittiin esittaumlmaumlaumln aksiomaat-

tisesti Eukleides (n 325 ndash 265 eaa) rakensi teoksessaan Stoikheia (Alkeet)jaumlrjestelmaumln jossa mahdollisimman vaumlhiksi rajatuista aksioomista (perus-

laumlhtoumlkohdista joita ei todisteta) laumlhtien todistetaan kaikki muut tulokset

Myoumlhemmin kaumlvi ilmi ettauml Eukleideen paumlaumlttelyissauml oli paljon kirjaamattomia ole-tuksia Haumln esimerkiksi oletti ettauml kolmion kulmasta kolmioon sisaumllle kulkeva suoraleikkaa kulman vastaisen sivun vaikka mikaumlaumln haumlnen aksioomistaan ei taumlllaises-ta puhunut Geometrian aksiomatisoinnin puutteet korjasi lopulta David Hilbert(1862 ndash 1943)

Nykyaumlaumln aksiomaattinen laumlhestyminen matematiikkaan on vallalla kaikilla senaloilla Teorian perusta naulataan mahdollisimman suppeaan joukkoon aksioomiajoista laumlhtien kaikki muu todistetaan Taumlmauml tekee selvaumlksi mitauml kaikkea oletetaanja paumlaumlttelyn oikeellisuus on helppo tarkistaa

Lukiotasolla (saati peruskoulussa) matematiikan opetusta ei aloiteta aksioomista(Kuvittele ihmetystauml jos laskemisen opettelu aloitettaisiin todistamalla pitkaumlllisestiettauml 1 6= 0) Geometrian syventaumlvaumlllauml kurssilla taumlmauml olisi perustellumpaa mutta siltikohtuuttoman raskasta Esimerkiksi yhdessauml taumlmaumln monisteen paumlaumllaumlhteistauml MattiLehtisen Jorma Merikosken ja Timo Tossavaisen mainiossa oppikirjassa Johdatustasogeometriaan [L] todistetaan huolellisesti sellaisia vaumlitteitauml kuin

Jos kolme pistettauml ovat samalla suoralla niin niistauml taumlsmaumllleen yksi on kahdenmuun vaumllissauml

ja

Ympyraumlllauml ja sen keskipisteen kautta kulkevalla suoralla on taumlsmaumllleen kaksi yh-teistauml pistettauml

Haluamme taumlllauml kurssilla tutkia geometrian ihmeellisyyksiauml juuttumatta liiaksi lu-kijalle intuitiivisesti selvien tosiseikkojen todistamiseen mutta emme toki haluahylaumltauml deduktiivista paumlaumlttelyauml Siksi olemme paumlaumltyneet julistamaan ilman todistustajoukon postulaatteja joista laumlhdemme liikkeelle Hienostuneemmassa aksiomaat-tisessa jaumlrjestelmaumlssauml osa naumlistauml postulaatteista olisi todistusta kaipaavia lauseitaosa varsinaisia aksioomia Taumlmauml keskeltauml aloittaminen saumlaumlstaumlauml kovin tekniseltauml jataumlmaumln kurssin tavoitteiden kannalta tarpeettomalta todistamisurakalta

Aloitetaan nyt maumlaumlritelmillauml ja postulaateilla

3

1 TEOREETTISET PERUSTEET

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATITTaumlssauml osiossa maumlaumlrittelemme geometrian kaumlsitteet ja julistamme niitauml sitovat pos-tulaatit Kaikki taumlmaumln osion toteamukset ovat maumlaumlritelmiauml ellei niitauml ole erikseenmerkitty postulaateiksi

Pisteet ja suoratPeruskaumlsitteemme tasogeomeriassa ovat piste ja suora joita ei sen kummemminmaumlaumlritellauml Pisteet nimetaumlaumln isoilla kirjaimilla ja suorat pienillauml Piste A voi sijaitasuoralla s (jolloin vastaavasti suora s kulkee pisteen A kautta) ja taumltauml merkitaumlaumlnA isin s Jos kahdella eri suoralla on yhteinen piste sanotaan ettauml suorat leikkaavat

Suora voidaan nimetauml kahden sillauml sijaitsevan pisteen avulla suora AB

Postulaatti 1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

Postulaatti 2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

Postulaatti 3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samallasuoralla

Pisteiden jaumlrjestys suorallaPostulaatti 4 Samalla suoralla olevat pisteet voidaan jaumlrjestaumlauml yksikaumlsittei-sesti sen mukaan mitkauml pisteet ovat toisten vaumllissauml Erityisesti

bull Kolmesta pisteestauml tasan yksi on kahden muun vaumllissaumlbull Pisteet voidaan luetella jaumlrjestyksessauml A1 A2 An jossa kaikki kah-

den pisteen vaumllissauml luetellut pisteet ovat niiden vaumllissauml suoralla

Postulaatti 5 Suoran kaikkien pisteiden A ja B

bull vaumllissauml on pistebull ympaumlrillauml on pisteet joiden vaumllissauml A ja B ovat

Puolisuora ja janabull Suoralla oleva piste P jakaa suoran kahteen puolisuoraan Piste P kuuluu

molempiin puolisuoriin Pisteet A ja B kuuluvat samaan puolisuoraan jos Pei ole niiden vaumllissauml

bull Kaksi suoran pistettauml ovat j anan paumlaumltepisteet Janaan kuluvat sen paumlaumltepis-teet ja kaikki niiden vaumllissauml olevat pisteet Janaa merkitaumlaumln sen paumlaumltepisteidenavulla jana AB

PuolitasotSuora jakaa tason pisteet kahteen puolitasoon Samassa puolitasoossa ovat nepisteet joiden vaumllinen jana ei leikkaa suoraa Eri puolitasoissa ovat ne pisteetjoiden vaumllinen jana leikkaa suoran Suora itse ei kuulu kumpaankaan puolitasoon

4

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Suorien yhdensuuntaisuusbull Suorat ovat yhdensuuntaiset jos niillauml ei ole yhteisiauml pisteitauml Merkitaumlaumln s ∥ t

Lisaumlksi sovitaan ettauml suora on itsensauml kanssa yhdensuuntainenbull Janat AB ja C D ovat yhdensuuntaiset kun vastaavat suorat AB ja C D ovat

Postulaatti 6 Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumllleen yksisuoran kanssa yhdensuuntainen suora (Taumlmauml on paralleeliaksiooma)

PituusPostulaatti 7 Jokaiseen janaan AB voidaan liittaumlauml positiivinen luku jotakutsutaan sen pituudeksi Pituutta merkitaumlaumln |AB | tai vain yksinkertaisestiAB Lisaumlksi

bull Janan pituus on sen osien summa Jos C on pisteiden AB vaumllissauml niinAB = AC +C B

bull Puolisuoralla AP on taumlsmaumllleen yksi piste B jolle jana AB on halutunjanan mittainen

bull on olemassa jana jonka pituus on 1

Maumlaumlritellaumlaumln ettauml janan AB piste C on janan keskipiste kun AC =C B

KulmatKulma on yhdestauml pisteestauml (kaumlrki ) laumlhtevaumln kahden puolisuoran (kyljet) rajaamatasoalue Kylkien vaumllistauml aluetta kutsutaan kulman aukeamaksi

Kaksi puolisuoraa maumlaumlraumlauml kaksi eri kulmaa joiden erottamiseksi kulmia merkitaumlaumlnilmoittamalla jaumlrjestyksessauml piste oikealta kyljeltauml kaumlrkipiste ja piste vasemmaltakyljeltauml

A

BC

A

BC

kulma B AC kulma C AB

Kulmaa B AC voidaan merkitauml myoumls angB AC

Kun pisteet A O ja B ovat samalla suoralla taumlssauml jaumlrjestyksessauml kulma AOB onoikokulma

Kulman kaumlsite laajennetaan tarkoittamaan myoumls tapauksia joissa kyljet ovat samapuolisuora Taumlllaista kulmaa AO A kutsutaan taumlyskulmaksi kun tarkoitetaan kokotasoa ja nollakulmaksi kun tarkoitetaan vain kyseistauml puolisuoraa

Postulaatti 8 Kulman mittaaminen Jokaiseen kulmaan voidaan liittaumlauml posi-tiivinen luku jota kutsutaan sen suuruudeksi Lisaumlksi

bull kulman suuruus on sen osien suuruuksien summa Jos piste C onkulman APB aukeamassa angAPB =angAPC +angC PB

bull suoran AB tietyllauml puolella olevassa puolitasossa on taumlsmaumllleen yksipuolisuora AC jolle kulma B AC on tietyn kulman kokoinen

Sovitaan lisaumlksi ettauml oikokulman suuruus on 180 (Se ettauml kaikki oikokulmat ovatyhtauml suuria voidaan todistaa seuraavasta postulaatista)

5

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Vieruskulmat

Kun oikokulma jaetaan kahteen osaan puolisuoralla syntyvaumlt kulmat ovat vierus-kulmia

A BC

D

βα

Vieruskulmat α=angDC A ja β=angBC D Postulaatti 9 Jos kulmilla on yhtaumlsuuret vieruskulmat kulmat ovat yhtaumlsuu-ret

Suora kulma maumlaumlritellaumlaumln kulmana joka on yhtauml suuri kuin vieruskulmansa

Ristikulmat

Kahden suoran leikatessa syntyy neljauml kulmaa Naumlistauml kahta jotka eivaumlt ole toistensavieruskulmia kutsutaan ristikulmiksi

Kuvassa kulmat APC ja BPD ovat toistensa ristikulmia samoin DPA ja C PB

A

BC

D

Pαα

angAPC =angBPD

Postulaatti 10 Ristikulmat ovat yhtauml suuret

6

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Samankohtaiset kulmat

Kun suora s leikkaa kahta muuta suoraa r ja t leikkauskohtiin syntyy yhteensaumlkahdeksan kulmaa Niistauml neljaumlssauml on vasempana kylkenauml suora s Naumlitauml neljaumlaumlkulmaa kutsutaan samankohtaisiksi kulmiksi kuvassa α1 ja α2

t

r

s

α1

α2

α2

α1

Vastaavasti samankohtaisia ovat ne neljauml kulmaa joissa s on oikeana kylkenauml

Postulaatti 11 Kun suora s leikka suoria r ja t samankohtaiset kulmat ovatyhtauml suuret taumlsmaumllleen silloin kun suorat r ja t ovat yhdensuuntaiset

r

t

s

rt

α

α

Kulmien luokittelu koon mukaan

bull Kupera kulma Suurempi kuin oikokulmabull Kovera kulma Pienempi kuin oikokulma

Koverat kulmat jaetaan seuraavasti

bull Suora kulma Yhtauml suuri kuin vieruskulmansa eli puolet oikokulmastabull Teraumlvauml kulma Pienempi kuin suora kulmabull Tylppauml kulma Suurempi kuin suora kulmabull Vino kulma Ei suora

Lisaumlksi

bull Komplementtikulmien summa on suora kulmabull Suplementtikulmien summa on oikokulmabull Eksplementtikulmien summa on taumlyskulma

Normaalit ja projektiotbull Jos suorien vaumllinen kulma on suora kyseiset suorat ovat toistensa normaalejabull Janan keskipisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaalibull Suoran s ulkopuolisen pisteen P projektio suoralla s on se suoran s piste

jossa pisteen P kautta kulkeva normaali leikkaa suoran sbull Pisteen P etaumlisyys suorasta s on pisteen P ja sen projektion maumlaumlraumlaumlmaumln janan

pituus

7

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

1 TEOREETTISET PERUSTEET

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATITTaumlssauml osiossa maumlaumlrittelemme geometrian kaumlsitteet ja julistamme niitauml sitovat pos-tulaatit Kaikki taumlmaumln osion toteamukset ovat maumlaumlritelmiauml ellei niitauml ole erikseenmerkitty postulaateiksi

Pisteet ja suoratPeruskaumlsitteemme tasogeomeriassa ovat piste ja suora joita ei sen kummemminmaumlaumlritellauml Pisteet nimetaumlaumln isoilla kirjaimilla ja suorat pienillauml Piste A voi sijaitasuoralla s (jolloin vastaavasti suora s kulkee pisteen A kautta) ja taumltauml merkitaumlaumlnA isin s Jos kahdella eri suoralla on yhteinen piste sanotaan ettauml suorat leikkaavat

Suora voidaan nimetauml kahden sillauml sijaitsevan pisteen avulla suora AB

Postulaatti 1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

Postulaatti 2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

Postulaatti 3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samallasuoralla

Pisteiden jaumlrjestys suorallaPostulaatti 4 Samalla suoralla olevat pisteet voidaan jaumlrjestaumlauml yksikaumlsittei-sesti sen mukaan mitkauml pisteet ovat toisten vaumllissauml Erityisesti

bull Kolmesta pisteestauml tasan yksi on kahden muun vaumllissaumlbull Pisteet voidaan luetella jaumlrjestyksessauml A1 A2 An jossa kaikki kah-

den pisteen vaumllissauml luetellut pisteet ovat niiden vaumllissauml suoralla

Postulaatti 5 Suoran kaikkien pisteiden A ja B

bull vaumllissauml on pistebull ympaumlrillauml on pisteet joiden vaumllissauml A ja B ovat

Puolisuora ja janabull Suoralla oleva piste P jakaa suoran kahteen puolisuoraan Piste P kuuluu

molempiin puolisuoriin Pisteet A ja B kuuluvat samaan puolisuoraan jos Pei ole niiden vaumllissauml

bull Kaksi suoran pistettauml ovat j anan paumlaumltepisteet Janaan kuluvat sen paumlaumltepis-teet ja kaikki niiden vaumllissauml olevat pisteet Janaa merkitaumlaumln sen paumlaumltepisteidenavulla jana AB

PuolitasotSuora jakaa tason pisteet kahteen puolitasoon Samassa puolitasoossa ovat nepisteet joiden vaumllinen jana ei leikkaa suoraa Eri puolitasoissa ovat ne pisteetjoiden vaumllinen jana leikkaa suoran Suora itse ei kuulu kumpaankaan puolitasoon

4

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Suorien yhdensuuntaisuusbull Suorat ovat yhdensuuntaiset jos niillauml ei ole yhteisiauml pisteitauml Merkitaumlaumln s ∥ t

Lisaumlksi sovitaan ettauml suora on itsensauml kanssa yhdensuuntainenbull Janat AB ja C D ovat yhdensuuntaiset kun vastaavat suorat AB ja C D ovat

Postulaatti 6 Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumllleen yksisuoran kanssa yhdensuuntainen suora (Taumlmauml on paralleeliaksiooma)

PituusPostulaatti 7 Jokaiseen janaan AB voidaan liittaumlauml positiivinen luku jotakutsutaan sen pituudeksi Pituutta merkitaumlaumln |AB | tai vain yksinkertaisestiAB Lisaumlksi

bull Janan pituus on sen osien summa Jos C on pisteiden AB vaumllissauml niinAB = AC +C B

bull Puolisuoralla AP on taumlsmaumllleen yksi piste B jolle jana AB on halutunjanan mittainen

bull on olemassa jana jonka pituus on 1

Maumlaumlritellaumlaumln ettauml janan AB piste C on janan keskipiste kun AC =C B

KulmatKulma on yhdestauml pisteestauml (kaumlrki ) laumlhtevaumln kahden puolisuoran (kyljet) rajaamatasoalue Kylkien vaumllistauml aluetta kutsutaan kulman aukeamaksi

Kaksi puolisuoraa maumlaumlraumlauml kaksi eri kulmaa joiden erottamiseksi kulmia merkitaumlaumlnilmoittamalla jaumlrjestyksessauml piste oikealta kyljeltauml kaumlrkipiste ja piste vasemmaltakyljeltauml

A

BC

A

BC

kulma B AC kulma C AB

Kulmaa B AC voidaan merkitauml myoumls angB AC

Kun pisteet A O ja B ovat samalla suoralla taumlssauml jaumlrjestyksessauml kulma AOB onoikokulma

Kulman kaumlsite laajennetaan tarkoittamaan myoumls tapauksia joissa kyljet ovat samapuolisuora Taumlllaista kulmaa AO A kutsutaan taumlyskulmaksi kun tarkoitetaan kokotasoa ja nollakulmaksi kun tarkoitetaan vain kyseistauml puolisuoraa

Postulaatti 8 Kulman mittaaminen Jokaiseen kulmaan voidaan liittaumlauml posi-tiivinen luku jota kutsutaan sen suuruudeksi Lisaumlksi

bull kulman suuruus on sen osien suuruuksien summa Jos piste C onkulman APB aukeamassa angAPB =angAPC +angC PB

bull suoran AB tietyllauml puolella olevassa puolitasossa on taumlsmaumllleen yksipuolisuora AC jolle kulma B AC on tietyn kulman kokoinen

Sovitaan lisaumlksi ettauml oikokulman suuruus on 180 (Se ettauml kaikki oikokulmat ovatyhtauml suuria voidaan todistaa seuraavasta postulaatista)

5

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Vieruskulmat

Kun oikokulma jaetaan kahteen osaan puolisuoralla syntyvaumlt kulmat ovat vierus-kulmia

A BC

D

βα

Vieruskulmat α=angDC A ja β=angBC D Postulaatti 9 Jos kulmilla on yhtaumlsuuret vieruskulmat kulmat ovat yhtaumlsuu-ret

Suora kulma maumlaumlritellaumlaumln kulmana joka on yhtauml suuri kuin vieruskulmansa

Ristikulmat

Kahden suoran leikatessa syntyy neljauml kulmaa Naumlistauml kahta jotka eivaumlt ole toistensavieruskulmia kutsutaan ristikulmiksi

Kuvassa kulmat APC ja BPD ovat toistensa ristikulmia samoin DPA ja C PB

A

BC

D

Pαα

angAPC =angBPD

Postulaatti 10 Ristikulmat ovat yhtauml suuret

6

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Samankohtaiset kulmat

Kun suora s leikkaa kahta muuta suoraa r ja t leikkauskohtiin syntyy yhteensaumlkahdeksan kulmaa Niistauml neljaumlssauml on vasempana kylkenauml suora s Naumlitauml neljaumlaumlkulmaa kutsutaan samankohtaisiksi kulmiksi kuvassa α1 ja α2

t

r

s

α1

α2

α2

α1

Vastaavasti samankohtaisia ovat ne neljauml kulmaa joissa s on oikeana kylkenauml

Postulaatti 11 Kun suora s leikka suoria r ja t samankohtaiset kulmat ovatyhtauml suuret taumlsmaumllleen silloin kun suorat r ja t ovat yhdensuuntaiset

r

t

s

rt

α

α

Kulmien luokittelu koon mukaan

bull Kupera kulma Suurempi kuin oikokulmabull Kovera kulma Pienempi kuin oikokulma

Koverat kulmat jaetaan seuraavasti

bull Suora kulma Yhtauml suuri kuin vieruskulmansa eli puolet oikokulmastabull Teraumlvauml kulma Pienempi kuin suora kulmabull Tylppauml kulma Suurempi kuin suora kulmabull Vino kulma Ei suora

Lisaumlksi

bull Komplementtikulmien summa on suora kulmabull Suplementtikulmien summa on oikokulmabull Eksplementtikulmien summa on taumlyskulma

Normaalit ja projektiotbull Jos suorien vaumllinen kulma on suora kyseiset suorat ovat toistensa normaalejabull Janan keskipisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaalibull Suoran s ulkopuolisen pisteen P projektio suoralla s on se suoran s piste

jossa pisteen P kautta kulkeva normaali leikkaa suoran sbull Pisteen P etaumlisyys suorasta s on pisteen P ja sen projektion maumlaumlraumlaumlmaumln janan

pituus

7

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Suorien yhdensuuntaisuusbull Suorat ovat yhdensuuntaiset jos niillauml ei ole yhteisiauml pisteitauml Merkitaumlaumln s ∥ t

Lisaumlksi sovitaan ettauml suora on itsensauml kanssa yhdensuuntainenbull Janat AB ja C D ovat yhdensuuntaiset kun vastaavat suorat AB ja C D ovat

Postulaatti 6 Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumllleen yksisuoran kanssa yhdensuuntainen suora (Taumlmauml on paralleeliaksiooma)

PituusPostulaatti 7 Jokaiseen janaan AB voidaan liittaumlauml positiivinen luku jotakutsutaan sen pituudeksi Pituutta merkitaumlaumln |AB | tai vain yksinkertaisestiAB Lisaumlksi

bull Janan pituus on sen osien summa Jos C on pisteiden AB vaumllissauml niinAB = AC +C B

bull Puolisuoralla AP on taumlsmaumllleen yksi piste B jolle jana AB on halutunjanan mittainen

bull on olemassa jana jonka pituus on 1

Maumlaumlritellaumlaumln ettauml janan AB piste C on janan keskipiste kun AC =C B

KulmatKulma on yhdestauml pisteestauml (kaumlrki ) laumlhtevaumln kahden puolisuoran (kyljet) rajaamatasoalue Kylkien vaumllistauml aluetta kutsutaan kulman aukeamaksi

Kaksi puolisuoraa maumlaumlraumlauml kaksi eri kulmaa joiden erottamiseksi kulmia merkitaumlaumlnilmoittamalla jaumlrjestyksessauml piste oikealta kyljeltauml kaumlrkipiste ja piste vasemmaltakyljeltauml

A

BC

A

BC

kulma B AC kulma C AB

Kulmaa B AC voidaan merkitauml myoumls angB AC

Kun pisteet A O ja B ovat samalla suoralla taumlssauml jaumlrjestyksessauml kulma AOB onoikokulma

Kulman kaumlsite laajennetaan tarkoittamaan myoumls tapauksia joissa kyljet ovat samapuolisuora Taumlllaista kulmaa AO A kutsutaan taumlyskulmaksi kun tarkoitetaan kokotasoa ja nollakulmaksi kun tarkoitetaan vain kyseistauml puolisuoraa

Postulaatti 8 Kulman mittaaminen Jokaiseen kulmaan voidaan liittaumlauml posi-tiivinen luku jota kutsutaan sen suuruudeksi Lisaumlksi

bull kulman suuruus on sen osien suuruuksien summa Jos piste C onkulman APB aukeamassa angAPB =angAPC +angC PB

bull suoran AB tietyllauml puolella olevassa puolitasossa on taumlsmaumllleen yksipuolisuora AC jolle kulma B AC on tietyn kulman kokoinen

Sovitaan lisaumlksi ettauml oikokulman suuruus on 180 (Se ettauml kaikki oikokulmat ovatyhtauml suuria voidaan todistaa seuraavasta postulaatista)

5

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Vieruskulmat

Kun oikokulma jaetaan kahteen osaan puolisuoralla syntyvaumlt kulmat ovat vierus-kulmia

A BC

D

βα

Vieruskulmat α=angDC A ja β=angBC D Postulaatti 9 Jos kulmilla on yhtaumlsuuret vieruskulmat kulmat ovat yhtaumlsuu-ret

Suora kulma maumlaumlritellaumlaumln kulmana joka on yhtauml suuri kuin vieruskulmansa

Ristikulmat

Kahden suoran leikatessa syntyy neljauml kulmaa Naumlistauml kahta jotka eivaumlt ole toistensavieruskulmia kutsutaan ristikulmiksi

Kuvassa kulmat APC ja BPD ovat toistensa ristikulmia samoin DPA ja C PB

A

BC

D

Pαα

angAPC =angBPD

Postulaatti 10 Ristikulmat ovat yhtauml suuret

6

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Samankohtaiset kulmat

Kun suora s leikkaa kahta muuta suoraa r ja t leikkauskohtiin syntyy yhteensaumlkahdeksan kulmaa Niistauml neljaumlssauml on vasempana kylkenauml suora s Naumlitauml neljaumlaumlkulmaa kutsutaan samankohtaisiksi kulmiksi kuvassa α1 ja α2

t

r

s

α1

α2

α2

α1

Vastaavasti samankohtaisia ovat ne neljauml kulmaa joissa s on oikeana kylkenauml

Postulaatti 11 Kun suora s leikka suoria r ja t samankohtaiset kulmat ovatyhtauml suuret taumlsmaumllleen silloin kun suorat r ja t ovat yhdensuuntaiset

r

t

s

rt

α

α

Kulmien luokittelu koon mukaan

bull Kupera kulma Suurempi kuin oikokulmabull Kovera kulma Pienempi kuin oikokulma

Koverat kulmat jaetaan seuraavasti

bull Suora kulma Yhtauml suuri kuin vieruskulmansa eli puolet oikokulmastabull Teraumlvauml kulma Pienempi kuin suora kulmabull Tylppauml kulma Suurempi kuin suora kulmabull Vino kulma Ei suora

Lisaumlksi

bull Komplementtikulmien summa on suora kulmabull Suplementtikulmien summa on oikokulmabull Eksplementtikulmien summa on taumlyskulma

Normaalit ja projektiotbull Jos suorien vaumllinen kulma on suora kyseiset suorat ovat toistensa normaalejabull Janan keskipisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaalibull Suoran s ulkopuolisen pisteen P projektio suoralla s on se suoran s piste

jossa pisteen P kautta kulkeva normaali leikkaa suoran sbull Pisteen P etaumlisyys suorasta s on pisteen P ja sen projektion maumlaumlraumlaumlmaumln janan

pituus

7

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Vieruskulmat

Kun oikokulma jaetaan kahteen osaan puolisuoralla syntyvaumlt kulmat ovat vierus-kulmia

A BC

D

βα

Vieruskulmat α=angDC A ja β=angBC D Postulaatti 9 Jos kulmilla on yhtaumlsuuret vieruskulmat kulmat ovat yhtaumlsuu-ret

Suora kulma maumlaumlritellaumlaumln kulmana joka on yhtauml suuri kuin vieruskulmansa

Ristikulmat

Kahden suoran leikatessa syntyy neljauml kulmaa Naumlistauml kahta jotka eivaumlt ole toistensavieruskulmia kutsutaan ristikulmiksi

Kuvassa kulmat APC ja BPD ovat toistensa ristikulmia samoin DPA ja C PB

A

BC

D

Pαα

angAPC =angBPD

Postulaatti 10 Ristikulmat ovat yhtauml suuret

6

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Samankohtaiset kulmat

Kun suora s leikkaa kahta muuta suoraa r ja t leikkauskohtiin syntyy yhteensaumlkahdeksan kulmaa Niistauml neljaumlssauml on vasempana kylkenauml suora s Naumlitauml neljaumlaumlkulmaa kutsutaan samankohtaisiksi kulmiksi kuvassa α1 ja α2

t

r

s

α1

α2

α2

α1

Vastaavasti samankohtaisia ovat ne neljauml kulmaa joissa s on oikeana kylkenauml

Postulaatti 11 Kun suora s leikka suoria r ja t samankohtaiset kulmat ovatyhtauml suuret taumlsmaumllleen silloin kun suorat r ja t ovat yhdensuuntaiset

r

t

s

rt

α

α

Kulmien luokittelu koon mukaan

bull Kupera kulma Suurempi kuin oikokulmabull Kovera kulma Pienempi kuin oikokulma

Koverat kulmat jaetaan seuraavasti

bull Suora kulma Yhtauml suuri kuin vieruskulmansa eli puolet oikokulmastabull Teraumlvauml kulma Pienempi kuin suora kulmabull Tylppauml kulma Suurempi kuin suora kulmabull Vino kulma Ei suora

Lisaumlksi

bull Komplementtikulmien summa on suora kulmabull Suplementtikulmien summa on oikokulmabull Eksplementtikulmien summa on taumlyskulma

Normaalit ja projektiotbull Jos suorien vaumllinen kulma on suora kyseiset suorat ovat toistensa normaalejabull Janan keskipisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaalibull Suoran s ulkopuolisen pisteen P projektio suoralla s on se suoran s piste

jossa pisteen P kautta kulkeva normaali leikkaa suoran sbull Pisteen P etaumlisyys suorasta s on pisteen P ja sen projektion maumlaumlraumlaumlmaumln janan

pituus

7

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Samankohtaiset kulmat

Kun suora s leikkaa kahta muuta suoraa r ja t leikkauskohtiin syntyy yhteensaumlkahdeksan kulmaa Niistauml neljaumlssauml on vasempana kylkenauml suora s Naumlitauml neljaumlaumlkulmaa kutsutaan samankohtaisiksi kulmiksi kuvassa α1 ja α2

t

r

s

α1

α2

α2

α1

Vastaavasti samankohtaisia ovat ne neljauml kulmaa joissa s on oikeana kylkenauml

Postulaatti 11 Kun suora s leikka suoria r ja t samankohtaiset kulmat ovatyhtauml suuret taumlsmaumllleen silloin kun suorat r ja t ovat yhdensuuntaiset

r

t

s

rt

α

α

Kulmien luokittelu koon mukaan

bull Kupera kulma Suurempi kuin oikokulmabull Kovera kulma Pienempi kuin oikokulma

Koverat kulmat jaetaan seuraavasti

bull Suora kulma Yhtauml suuri kuin vieruskulmansa eli puolet oikokulmastabull Teraumlvauml kulma Pienempi kuin suora kulmabull Tylppauml kulma Suurempi kuin suora kulmabull Vino kulma Ei suora

Lisaumlksi

bull Komplementtikulmien summa on suora kulmabull Suplementtikulmien summa on oikokulmabull Eksplementtikulmien summa on taumlyskulma

Normaalit ja projektiotbull Jos suorien vaumllinen kulma on suora kyseiset suorat ovat toistensa normaalejabull Janan keskipisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaalibull Suoran s ulkopuolisen pisteen P projektio suoralla s on se suoran s piste

jossa pisteen P kautta kulkeva normaali leikkaa suoran sbull Pisteen P etaumlisyys suorasta s on pisteen P ja sen projektion maumlaumlraumlaumlmaumln janan

pituus

7

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

1 TEOREETTISET PERUSTEET

MonikulmiotMonikulmio syntyy kun pisteet A1 A2 An A1 yhdistetaumlaumln janoilla taumlssauml jaumlrjes-tyksessauml Muodostunut kuvio on n-kulmio A1 A2An Pisteitauml Ai kutsutaan moni-kulmion kaumlrjiksi ja niitauml yhdistaumlviauml janoja sivuiksi

Laumlvistaumljauml on jana joka yhdistaumlauml kaksi kaumlrkeauml mutta ei ole sivu Monikulmio onyksinkertainen jos sen sivut eivaumlt leikkaa toisiaan (paitsi tietysti viereisten sivujenkaumlrjissauml)

Monikulmio on saumlaumlnnoumlllinen kun sen kaikki sivut ovat yhtauml pitkiauml ja kulmat yhtaumlsuuria

Kolmikulmiota kutsutaan myoumls kolmioksi

Kolmioiden luokittelua

bull Tasakylkinen Kaksi yhtauml pitkaumlauml sivuabull Tasasivuinen Kaikki sivut yhtauml pitkaumltbull Teraumlvaumlkulmainen Kaikki kulmat teraumlviaumlbull Suorakulmainen Yksi suora kulmabull Tylppaumlkulmainen Yksi tylppauml kulma

Nelikulmioiden luokittelua

bull Puolisuunnikas Kaksi vastakkaista sivua yhdensuuntaisetbull Suunnikas Molemmat parit vastakkaisia sivuja yhdensuuntaisetbull Neljaumlkaumls Kaikki sivut yhtauml pitkiaumlbull Suorakulmio Kaikki kulmat suoriabull Neliouml Saumlaumlnnoumlllinen nelikulmio (sivut yhtauml pitkiauml kulmat suoria)bull Vinoneliouml Neljaumlkaumls joka ei ole neliouml

Kaumlsitteet rdquovastainenrdquo ja rdquoviereinenrdquo kolmiossa

Kolmiossa kulman vastainen sivu on se sivu joka ei ole kyseisen kulman kyljellaumlVastaavasti kulma on taumllloumlin kyseisen sivun vastainen kulma Kulman kyljillauml olevatsivut ovat kulman viereisiauml sivuja

YmpyraumlYmpyrauml on niiden pisteiden joukko jotka ovat vakioetaumlisyydellauml tietystauml pisteestauml(keskipiste) Ympyraumlt nimetaumlaumln yleensauml niiden keskipisteen mukaan

Ympyraumlaumln liittyviauml nimityksiauml

bull Ympyraumln kehauml tarkoittaa ympyraumln pisteistauml muodostuvaa uraabull Ympyraumln kaari on kahden sen pisteen vaumllinen osa kehaumlstauml Lisaumlksi tarvitaan

kolmas piste maumlaumlraumlaumlmaumlaumln kummasta kaaresta on kysebull Saumlde on ympyraumln keskipisteestauml kehaumllle kulkeva janabull Jaumlnne on kaksi ympyraumln kehaumln pistettauml yhdistauml janabull Halkaisija on jaumlnne joka kulkee keskipisteen kauttabull Piste on ympyraumln sisaumlpiste jos sen etaumlisyys keskipisteeseen on pienempi kuin

saumlde Ulkopisteelle etaumlisyys on saumldettauml suurempibull Luku π on ympyraumln kehaumln ja halkaisijan pituuksien suhdebull Jaumlnne jakaa ympyraumln kahteen segmenttiiinbull Kaksi saumldettauml jakaa ympyraumln kahteen sektoriin

8

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

11 MAumlAumlRITELMAumlT JA POSTULAATIT

Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuusKahden kuvion yhtenevyys on mahdollista jos jokaisella kuvioon 1 kuuluville pis-teille AB C loumlytyy kuviosta 2 vastinpisteet AprimeB primeC prime siten ettauml jokaisella pis-teellauml on taumlsmaumllleen yksi vastinpiste ja paumlinvastoin Vastinpisteiden muodostamatjanat ja kulmat ovat vastinjanoja ja vastinkulmia

Kaksi kuviota ovat yhtenevaumlt mikaumlli niiden vastinkulmat ja vastinjanat ovat yhtaumlsuuret Yhtenevyyden merkki on sim= esimerkiksi kolmioille ABC sim= AprimeB primeC prime

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset mikaumlli niiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret javastinjanat verrannolliset Yhdenmuotoisuuden merkki on sim

Kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseetPostulaatti 12 Kaksi kolmiota ovat yhteneviauml kun jokin seuraavista ehdoistaon voimassa

1 (sks) Kaksi vastinsivua ja niiden vaumllinen kulma ovat yhtauml suuret2 (sss) Kolmioilla on yhtauml suuret sivut3 (ksk) Kulmat (2 riittaumlauml) ja yksi vastinsivu ovat yhtauml suuret

Lisaumlksi jos

4 (ssk) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtaumlsuuretkolmiot ovat yhtenevaumlt tai toisen yhtenevaumln sivun vastaiset kulmatovat suplementtikulmia

Ehto ssk

A B

C

B prime

Kuvan kolmiot ABC ja AB primeC toteuttavat ehdon (ssk) mutta eivaumlt ole yhteneviaumlTaumlllaisessa tilanteessa kulmat C B primeA ja C B A ovat suplementtikulmia (Tehtaumlvauml 14)

Postulaatti 13 Kolmioiden yhdenmuotoisuutta koskevat ehdot ovat samatkuin edellauml mainitut yhtenevyysehdot mutta vaatimus sivujen yhtaumlsuuruu-desta korvataan vaatimuksella vastinsivujen verrannollisuudesta Vastaavatlyhenteet ovat (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

9

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

1 TEOREETTISET PERUSTEET

Pinta-alaPinta-ala on tasokuvioon liittyvauml luku Suorakulmion pinta-alaksi maumlaumlritellaumlaumln senkahden kohtisuoran sivun tulo (rdquoKanta kertaa korkeusrdquo)

Postulaatti 14 Pinta-alalle paumltee

bull Tasokuvion pinta-ala on sen osien pinta-alojen summabull Yhtenevien kuvioiden pinta-alat ovat samatbull Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on vastinjanojen suh-

teen nelioumlbull Ympyraumln pinta-ala on A =πr 2 missauml r on ympyraumln saumldebull Sektorin pinta-ala on A = α

360 middotπr 2 missauml α on sektorin keskuskulma

LeikkauspostulaatitPostulaatti 15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

bull Jos suora ei kulje kolmion kaumlrkien kautta ja leikkaan yhden sivuista seleikkaa myoumls toisen sivun mutta ei kolmatta

bull Jos suora leikkaa kolmion kaumlrjen ja kolmion sisaumlpisteen se leikkaamyoumls vastakkaisen sivun

Postulaatti 16 Suoran ja ympyrauml Suoralla ja ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu tasan silloin kun suora sisaumll-taumlauml ympyraumln sisaumlpisteen jolloin leikkauspisteet sijaitsevat eri puolillasisaumlpistettauml

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml suora sivuaa ympyraumlauml eli onsen tangentti

bull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

Postulaatti 17 Kaksi ympyraumlauml Kahdella eri ympyraumlllauml on joko

bull Kaksi leikkauspistettauml Taumlmauml tapahtuu taumlsmaumllleen silloin kun toinenympyrauml sisaumlltaumlauml toisen sisauml- ja ulkopisteen

bull Yksi leikkauspiste Taumllloumlin sanotaan ettauml ympyraumlt sivuavat toisiaanbull Ei yhtaumlaumln leikkauspistettauml

10

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTA

12 TIIVISTELMAuml POSTULAATEISTATaumlssauml on tiivistelmauml kaumlyttaumlmistaumlmme postulaateista Taumlsmaumlllisemmaumlt muotoilutloumlytyvaumlt sivulta 4 alkaen

Taumlhdellauml on merkitty ne postulaatit jotka voitaisiin kokonaan todistaa muistapostulaateista laumlhtien Useimpia muitakin voitaisiin heikentaumlauml

P1 Kahden pisteen kautta kulkee tasan yksi suora

P2 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettauml

P3 Tasossa on ainakin kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla

P4 Suoran pisteillauml on jaumlrjestys (Mitkauml pisteet ovat minkaumlkin pisteiden vaumllis-sauml)

P5 Suoran kahden pisteen vaumllissauml ja ympaumlrillauml on lisaumlauml suoran pisteitauml

P6 Paralleeliaksiooma Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee taumlsmaumll-leen yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora

P7 Janalla on pituus Suoralta voidaan erottaa toisen janan mittainen janaJana on osiensa summa

P8 Kulmalla on suuruus jota voi mitata luvulla Puolitasoon voidaan merkitaumlhalutun toisen kulman kokoinen kulma Kulma on osiensa summa

P9 Kulmat ovat yhtaumlsuuret jos niiden vieruskulmat ovat yhtaumlsuuret

P10 Ristikulmat ovat yhtaumlsuuret

P11 Kun suora leikkaa yhdensuuntaisia suoria samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret

P12 Kolmion yhtenevyyslauseet (sks) (sss) (ksk) ja (ssk) ( paitsi sks)

P13 Kolmion yhdenmuotoisuuslauseet (sks) (sss) (kk) ja (ssk)

P14 Kuvion pinta-ala on sen osien alojen summa Yhtenevien kuvioiden alatovat samat

P15 Suoran ja kolmion leikkauspisteet

P16 Suoran ja ympyraumln leikkauspisteet

P17 Kahden ympyraumln leikkauspisteet

11

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

1 TEOREETTISET PERUSTEET

13 GEOMETRINEN TODISTAMINENNyt maumlaumlritelmaumlt ja postulaatit on todettu joten voimme ryhtyauml kehittaumlmaumlaumln geo-metristauml jaumlrjestelmaumlaumlmme eli todistamaan lauseita Kaikkien todistusten tulee poh-jautua maumlaumlritelmiin tai postulaatteihin

Taumlssauml todistetaan muutaman lause ja annetaan monta harjoitustehtaumlvaumlksi

ESIMERKKI 11 Vaumlite Kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kaumlrjen C kautta sivun AB suuntainensuora (P6) Jatketaan sivuja AC ja BC (P5) Kuvaan merkityt kulmat α ovatsamankohtaisia samoin kulmatβ (P11) Kulmat γ ovat ristikulmia (P10) Kulmatα β ja γ muodostavat oikokulman 2

A B

C

α

α

β

β

γ

γ

ESIMERKKI 12 Vaumlite Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtauml suuret ja vastakkaiset sivutyhtauml pitkaumlt

TodistusKulmat Olkoon ABC D suunnikas ja P piste sivun AD jatkeella (P5)

A B

CD

P

α

α

α

Suunnikkaan maumlaumlritelmaumln mukaan AB ∥ C D joten samankohtaiset kulmatB AD ja C DP ovat yhtaumlsuuret Toisaalta maumlaumlritelmaumln mukaan AD ∥C B jotenmyoumls samankohtaiset kulmatangC DP jaangDC B ovat yhtaumlsuuret Siis vastakkaisetkulmat angB AD ja angDC B ovat yhtaumlsuuret 2

Sivut Olkoon ABC D suunnikas Laumlvistaumljauml DB jakaa suunnikkaan kahteen kol-mioon Suunnikkaan vastakkaiset kulmat A ja C ovat yhtauml suuret (edellinenkohta) Koska AB ∥C D samankohtaiset kulmat angDB A ja angBDC ovat yhtaumlsuu-ret Kolmiot ABD ja C DB ovat siis yhteneviauml (ksk) sillauml niillauml on samat kulmatja yhteinen vastinsivu BD Siis AB =C D ja AD =C B 2

12

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

13 GEOMETRINEN TODISTAMINEN

A B

CD

α

α

β

β

ESIMERKKI 13 Vaumlite Jokaisella janalla on keskipiste (Taumlytyy sekin perustella)

Todistus Osoitetaan ettauml janalla AB on keskipiste Olkoon C suoran AB ulko-puolinen piste (P3) Valitaan suoralta AC piste D joka on eri puolella pistettauml Ckuin A on ja jolle AC =C D (P7)

AB

C

D

P

s

Olkoon s pisteen C kautta kulkeva suoran DB kanssa yhdensuuntainen suoraSe leikkaa janan AB (P15) olkoon taumlmauml piste P Samankohtaiset kulmat AC Pja ADB ovat yhtauml suuret joten kolmiot AC P ja ADB ovat yhdenmuotoiset (kk)Koska AC = 1

2 AD myoumls AP = 12 AB eli P on janan AB keskipiste 2

ESIMERKKI 14 Vaumlite Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

Todistus Olkoot ABC kolmio jossa AB = AC Olkoon kannan BC keskipiste P(esimerkki 13) Kolmiot APB ja APC ovat yhtenevaumlt (sss) joten angB =angC 2

B C

A

P

13

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

1 TEOREETTISET PERUSTEET

ESIMERKKI 15 Vaumlite Kolmiossa pidempaumlauml sivua vastaa suurempi kulma ja paumlinvastoin

Todistus Olkoon kolmion ABC sivu AB pidempi kuin AC Osoitetaan ettaumlkulma γ=angAC B on suurempi kuin kulma β=angC B A Valitaan sivulta AB pisteP siten ettauml AP = AC (P7)

P

A

C

B

β

γω ω

Tasakylkisen kolmion APC kantakulmat ω ovat yhtauml suuret (edellinen esimerk-ki) Koska P on kulman γ aukemassa γgtω (P8) Toisaalta kolmiosta PBC naumlh-daumlaumln ettauml ωgtβ sillauml kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmiasuurempi (tehtaumlvauml 1) Siis γgtωgtβ 2

Osoitettiin siis ettauml suurempaa sivua vastaa suurempi kulma Myoumls suurempaakulmaa vastaa suurempi sivu sillauml muuten paumlaumldyttaumlisiin ristiriitaan edellisentuloksen kanssa 2

ESIMERKKI 16 Vaumlite Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran normaali

Todistus Todistetaan ensin ettauml normaali on olemassa Olkoon suoran ABulkopuolella piste P Jos AP perp AB normaali on loumlytynyt Muussa tapauksessakulma B AP =α ei ole suora

A B

P

α

Olkoon Q piste joka on samalla puolella suoraa AB kuin P ja jolle kulma QB A =α (P8) Piirretaumlaumln pisteen P kautta kulkeva suoran BQ suuntainen suora jokaleikkaa suoran AB pisteessauml S Nyt myoumls angPS A =α (samankohtaiset kulmat)

A B

PQ

SK

α αα

Olkoon K janan AS keskipiste (esimerkki 13) Kolmiot PAK ja PSK ovat yhte-nevaumlt (ssk) joten kulma SK P on suora PK on siis haluttu normaali 2

14

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

Normaaleja on vain yksi sillauml jos olisi toinenkin normaali ja se leikkaisi suoranAB pisteessauml K2 kolmiossa PK K2 olisi kaksi suoraa kulmaa Kolmion viimeinenkulma olisi siis nollakulma ja pisteet K ja K2 samat

A B

P

K K2

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlSeuraavissa tehtaumlvissauml todistetaan joitakin perustuloksia Monet niistauml ovat intui-tiivisesti selviauml eikauml todistaminen siis ole kovin jaumlnnittaumlvaumlauml Urakan tarkoituksenaonkin harjoitella taumlsmaumlllistauml paumlaumlttelyauml jota tulemme tarvitsemaan myoumlhempienvaikeampien tulosten perustelussa

Taumlssauml osiossa todistettuihin lauseisiin luonnollisesti vedotaan jatkossa ahkerasti

Todista seuraavat lauseet

1 Kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summan suu-ruinen (Ja siis suurempi kuin kumpikaan naumlistauml kulmista)

2 Janan keskinormaalilla oleva piste on yhtauml kaukana janan paumlaumltepisteistauml

3 Janan paumlaumltepisteistauml yhtauml kaukana oleva piste ovat janan keskinormaalilla

4 Kulman puolittajan pisteet ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml

5 Pisteet jotka ovat yhtauml kaukana kulman kummastakin kyljestauml ovat kulmapuo-littajalla

6 Suunnikkaan laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa

7 Jos nelikulmion molemmat parit vastakkaisia sivuja ovat yhtauml pitkaumlt nelikulmioon suunnikas

8 Jos nelikulmiossa on yksi pari vastakkaisia sivuja yhtauml pitkaumlt ja yhdensuuntaisetnelikulmio on suunnikas

9 Jos nelikulmion laumlvistaumljaumlt puolittavat toisensa nelikulmio on suunnikas

10 Neljaumlkkaumlaumln laumlvistaumljaumlt leikkaavat kohtisuorasti

11 Jos nelikulmiossa ABC D on AB = AD ja C B =C D (ns leija) niin AC perp BD

12 Jos nelikulmiossa ABC D on AB =C D ja AD = BC sekauml laumlvistaumljaumlt yhtauml pitkaumltkyseessauml on suorakulmio

13 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla Osoita ettauml syntyvaumlpieni kolmio on alkuperaumlisen kanssa yhdenmuotoinen

14 Osoita ettauml postulaatin 12 viimeisessauml kuviossa kulmat C B primeA ja C B A ovatsuplementtikulmia

15 Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml suuret

16 Tasasivuisen kolmion kulmat ovat keskenaumlaumln yhtauml suuret

17 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtaumlsuuret kolmio on tasakylkinen naumlmauml kulmatkantakulmina

15

1 TEOREETTISET PERUSTEET

18 Suorille l m n paumltee l perp n m perp n Osoita ettauml l ∥ m

19 Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta se leikkaa toisen-kin

20 Janalla on aumlaumlrettoumlmaumln monta pistettauml

21 On olemassa teraumlvauml kulma

22 Laajenna esimerkin 13 todistusta osoittamaan ettauml janalla on pisteet jotkajakavat jana n yhtauml pitkaumlaumln osaan

23 Ympyraumln tangentti leikkaa ympyraumln pisteessauml A Osoita ettauml tangentti on koh-tisuorassa pisteeseen A piirrettyauml saumldettauml vastaan (Kaumlytauml vastaoletusta)

24 Ympyraumln ulkopuolisen pisteen P kautta kulkee kaksi ympyraumln tangenttia joistatoinen leikkaa ympyraumln pisteessauml A ja toinen pisteessauml B Osoita ettauml PA = PB

25 Pons asinorum Eukleideen Elementasta Todista ettauml tasakylkisen kolmion kan-takulmat ovat yhtauml suuret kaumlyttaumlen vain (sks)-yhtenevyyttauml ei kannan keskipistettaumlkuten esimerkissauml 13 Kaumlytauml apuna seuraavaa kuviota

26 Pappuksen todistus sille ettauml tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtauml-suuret Olkoon ABC kolmio jossa AB = AC Taumllloumlin kolmiot ABC ja AC B ovatyhtenevaumlt (sks) joten angB = angC Onko todistus paumltevauml

A

B C

Pinta-aloistaPinta-alan maumlaumlritelmaumlksi otettiin suorakulmion pinta-ala Todista seuraavat postu-laatin 14 avulla

27 Suorakulmaisen kolmion jonka kateetit ovat a ja h pinta-ala on ah2

28 Kolmion ala on ah2 missauml a on jonkin sivun pituus ja h sen vastainen kor-keusjana

29 Kolmion alaksi saadaan sama luku riippumatta siitauml minkauml sivun avulla selasketaan Osoita siis ettauml jos a1 ja a2 ovat kolmion sivut ja h1 sekauml h2 niitauml vastaavatkorkeusjanat a1h1 = a2h2 Tarkastele teraumlvaumlkulmainen ja tylppaumlkulmainen tapauserikseen Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot

30 Suunnikkaan pinta-ala on ah missauml a on yhden sivun pituus ja h taumlmaumln ja senvastaisen sivun vaumllinen etaumlisyys

16

HARJOITUSTEHTAumlVIAuml

31 Puolisuunnikkaan ala on a+b2 middoth missauml a ja b ovat yhdensuuntaiset sivut Huo-

maa ettauml jako kahteen kolmioon ja yhteen suorakulmioon ei ole yleispaumltevauml

Postulaattien vaumllisiauml yhteyksiaumlKuten johdannossa mainittiin postulaattikokoelmamme on turhan kattava Lausei-na voitaisiin todistaa postulaatit P9 (vieruskulmat) P10 (ristikulmat) P11 (saman-kohtaiset kulmat) P12 (yhtenevyyslauseet paitsi sks) P13 (yhdenmuotoisuus-lauseet) Lisaumlksi useimmat muista postulaateista voisi muotoilla heikommin

Seuraavissa tutkitaan joidenkin naumliden ylimaumlaumlraumlisten postulaattien todistamista

32 Todista postulaatti P10 (ristikulmat) laumlhtien postulaatista P9 (vieruskulmat)

33 Todista postulaatti P9 (vieruskulmat) laumlhtien (sks)-yhdenmuotoisuuspostulaa-tista

34 Postulaatin P11 (samankohtaiset kulmat) todistaminen vaati kaksi osaa

1 Jos samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret suorat ovat yhdensuuntaiset2 Jos suorat ovat yhdensuuntaiset samankohtaiset kulmat ovat yhtaumlsuuret

Kohdan 1 voi todistaa seuraavasti oletetaan ettauml samankohtaiset kulmat ovatyhtaumlsuuret mutta suorat leikkaavat Taumllloumlin syntyy kolmio jossa on yhtaumlsuuretkulmat kolmion sisaumlllauml ja toisen kulman vieruskulmana (piirrauml kuva) mikauml onmahdotonta (tehtaumlvauml 1)Mikauml ongelma taumlhaumln todistukseen liittyy Osaatko korjataKun kohta 1 on todistettu kohta 2 voidaan todistaa paralleeliaksiooman (P6) avullaMiten

35 Todista (ksk)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje tee vastaole-tus

36 Todista (sss)-yhtenevyyslause laumlhtien (sks)-yhtenevyydestauml Vihje kopioi kol-miot vierekkaumlin toistensa peilikuviksi ja hyoumldynnauml tehtaumlvaumln 25 tulosta

17

LUKU 2

Perusgeometriaa

Taumlssauml luvussa tutustumme tavallisimpiin tekniikoihin joilla geometrian on-

gelmia ratkotaan Teoria on jaettu kokonaisuuksiksi joihin kuuluu omatharjoitustehtaumlvaumlt

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTAYhdenmuotoisuuden maumlaumlritelmaumln mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset kunniiden vastinkulmat ovat yhtauml suuret ja vastinsivut verrannolliset Osiossa 11 pos-tuloimme neljauml ehtoa (sim sss) (sim sks) (sim kk) ja (sim ssk) jotka takaavat yhdenmuo-toisuuden

Vastinsivujen verrannollisuudella tarkoitetaan sitauml ettauml kun ABC sim AprimeB primeC prime

AB

BC= AprimeB prime

B primeC prime ja niin edelleen

Harjoitustehtaumlviauml37 Kolmion ABC sivut ovat AB = 5 BC = 7 ja AC = 4 BC n suuntainen suoraleikkaa sivut AB ja AC pisteissauml D ja E DE = 1 Laske kolmion ADE sivut

38 Olkoon ABC ja DEF kolmioita siten ettauml AB DE BC EF ja C AF D Osoitaettauml ABC sim DEF

39 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 8 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

40 Tasakylkisen kolmion kanta on 24 ja kylki 13 Kuinka suuri on kannan projektiokyljellauml

41 Kolmiossa ABC on AB = 6 AC = 8 ja BC = 7 sekauml AB n suuntainen leikkaajaDE = 5 Kuinka pitkauml on BE

42 Kahdella kolmiolla on kummallakin kaksi tietyn mittaista sivua ja kolme tietynkokoista kulmaa Ovatko kolmiot vaumllttaumlmaumlttauml yhtenevaumlt

43 Todista ettauml puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

44 Todista ettauml kolmion kaksi korkeusjanaa jakaa toisensa osiin joista voidaanmuodostaa verranto

45 Todista ettauml kolmion kahden korkeusjanan suhde on niiden vastaisten sivujenkaumlaumlnteissuhde

18

21 KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUDESTA

46 Suorakulmion ABC D sivulla AB on sellainen piste P ettauml kulma C PD = 90Todista ettauml BC on PAn ja PB n keskiverto eli niiden tulon nelioumljuuri

47 Puolisuunnikkaan kantasivut ovat 8 ja 12 sekauml toinen laumlvistaumljauml 15 Laske niidenosien pituudet joihin toinen laumlvistaumljauml jakaa taumlmaumln

48 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verrantositen ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon edellisinauml jaumlseninauml Todista ettaumlnelikulmio on puolisuunnikas (tai suunnikas)

49 Kolmion ABC sivu AB = 4 ja sivu AC = 2 Kaumlrjen C kautta piirretaumlaumln suora jokaleikkaa sivun AB pisteessauml D siten ettauml BD = 3 Todista ettauml angADC =angAC B

50 Suorakulmioon ABC D piirretaumlaumln laumlvistaumljauml AC sekauml Dn kautta suora jokapuolittaa sivun AB pisteessauml F ja leikkaa AC n pisteessauml E Laske suhde AE EC

51 Kolmiossa ABC on kulma C = 90 Hypotenuusan keskinormaali leikkaa hy-potenuusan pisteessauml D ja kateetin AC pisteessauml E Laske janan AE pituus kunAB = 10 AC = 8 ja BC = 6

52 Nelikulmion sivut ovat 1 2 4 ja 4 sekauml lyhyempi laumlvistaumljauml 2 Todista ettauml neli-kulmio on puolisuunnikas

53 Suorat g ja h leikkaavat toisensa pisteessauml O Suoralta g valitaan eri puoliltaOta pisteet A ja B siten ettauml O A = 2middotOB Suoralta h valitaan eri puolilta Ota pisteetAprime ja B prime siten ettauml A Aprime = 2 middotBB prime Mitauml voit sanoa kulmista A AprimeO ja BB primeO toisiinsaverrattuina

54 Missauml kulmassa saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt leikkaavat

55 Osoita ettauml kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suunnikkaan kaumlr-jet ja ettauml kyseisen suunnikkaan ala on puolet alkuperaumlisen nelikulmion alastaOsoita myoumls ettauml kyseisen suunnikaan ympaumlrysmitta on sama kuin alkuperaumlisennelikulmion laumlvistaumljien summa

19

2 PERUSGEOMETRIAA

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

Pythagoraan lausePythagoraan lause Olkoot suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet aja b ja hypotenuusan pituus c Taumllloumlin a2 +b2 = c2

Todistus Olkoon kolmion ABC kulma C suora Merkitaumlaumln pituuksia AC = a BC =b AB = c Piirretaumlaumln kolmiolle hypotenuusan vastainen korkeusjana joka jakaasivun AB pisteessauml D janoihin AD = m ja DB = n Nyt AC B sim ADC simC DB (sim kk)joten

c

a= a

mja

c

b= b

n

eli a2 = cm ja b2 = cn Lasketaan naumlmauml yhteen jolloin saadaan

a2 +b2 = cm + cn = c(m +n) = c2 2

A B

C

D

a b

cm n

Lause (Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause) Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suorakul-mainen Todistus tehtaumlvaumlnauml 61

Lause Hypotenuusalle piirretty korkeus on niiden osien keskiverto joihin se jakaahypotenuusan

Todistus Kaumlytetaumlaumln yllauml olevan kuvan merkintoumljauml ja sovitaan C D = h EdelleenADC simC DB (sim kk) joten h

m = nh hArr h2 = nm 2

Thaleen lauseLause Jos kolmion sivu on sen ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija taumlmaumln sivunvastainen kulma on suora

Todistus Olkoon Γ kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml jonka halkaisija ABon Koska pisteet A B ja C ovat kaikki ympyraumlllauml Γ ympyraumln maumlaumlritelmaumln nojallaAO = BO =CO Siis kolmiot OC A ja OBC ovat tasakylkisiauml angO AC =angACO =α jaangOC B =angC BO =β Koska kolmion ABC kulmien summa on 180 2α+2β= 180

eli angAC B =α+β= 902

20

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

A BO

C

α

α β

β

Sini- ja kosinilauseKosinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c Taumllloumlin

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

missauml γ on sivun c vastainen kulma

c

b

a

γ

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivunpituuksia BC = a C A = b AB = c jaangAC B = γ Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen B vastainen korkeusjana joka leikkaa suoranAC pisteessauml H

A B

C

H

c

a

b minusd

d

h

γ

Tapaus 1 Kulma γ on teraumlvauml eli H on janalla AC Merkitaumlaumln HC = d HB = h Kaumlytetaumlaumln Pythagoraan lausetta kolmioille BC H jaAB H

(b minusd)2 +h2 = c2

d 2 +h2 = a2

Vaumlhentaumlmaumlllauml yhtaumlloumlt toisistaan saadaan

b2 minus2bd = c2 minusa2

Koska angB HC = 90 cosγ= da eli d = a cosγ siis

c2 = a2 +b2 minus2ab cosγ

Tapaus 2 Kulma γ on tylppauml Todistus on samankaltainen kuin tapaus 1 kunhan

21

2 PERUSGEOMETRIAA

kaumlyttaumlauml tietoa cos(180minusγ) =minuscosγ 2

SinilauseOlkoot kolmion sivut a b ja c niidenvastaiset kulmat α β ja γ sekauml kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde R Taumllloumlin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ= 2R c

b

a

γ

β

α

Todistus Merkitaumlaumln kolmion ABC sivujen pituuksia BC = a C A = b AB = c jakulmia angB AC =α angC B A =β Piirretaumlaumln kolmiolle kaumlrjen C vastainen korkeusjanajoka leikkaa suoran AB pisteessauml H Merkitaumlaumln C H = h

Nyt paumltee

sinβ= h

aja sinα= h

b

riippumatta siitauml onko H janalla AB Siis

a sinβ= h = b sinα

elia

sinα= b

sinβ

Toinen yhtaumllouml saadaan samanlaisella paumlaumlttelyllauml Viimeisen yhtaumlloumln todistus ontehtaumlvaumlnauml 142 2

Kolmion alan sinikaavaOlkoot kolmion kaksi sivua a ja bja niiden vaumllinen kulma γKolmion pinta-ala on

A = 1

2ab sinγ

b

a

γ

Kolmion alan sinikaavan todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 87

Kulmanpuolittajalause

A

B

C

P

KulmanpuolittajalauseKolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessaeli

PB

PC= AB

AC

Todistus Olkoon ABC kolmio Merkitaumlaumln AC = a ja AB = b Kulman A puolittajaleikatkoon sivun BC pisteessauml P joka jakaa sivun osiin C P = m ja PB = n Piirre-taumlaumln kaumlrjen C kautta janan AB suuntainen suora joka leikkaa kulmanpuolittajanjatkeen pisteessauml E Kulmat AEC ja E AB ovat samankohtaiset joten kolmio C AEon tasakylkinen eli C E = a Lisaumlksi PEC sim PAB (sim kk) joten EC

AB = C PPB eli a

b = mn 2

22

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

AC

B

P

E

a

a

n

m b

Kulmanpuolittajalause on voimassa myoumls kolmion kulman ulkokulman (eli vierus-kulman) puolittajalle

UlkokulmanpuolittajalauseKolmion ulkokulman puolittaja jakaa vastaisen sivun jatkeen (ulkoisesti)viereisten sivujen suhteessa eli

PB

PC= AB

AC

CB

A

P

Todistus on harjoitustehtaumlvaumlnauml 80

Heronin kaavaKolmion pinta-alan voi laskea suoraan sen sivujen avulla Heronin kaavalla

Heronin kaavaKolmion pinta-ala on

A =radicp(p minusa)(p minusb)(p minus c)

missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p puolet sen piiristauml

a

b

c

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 81

23

2 PERUSGEOMETRIAA

HarjoitustehtaumlviaumlPythagoraan lause

56 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 12 16 ja 20 Laske kolmion pienin korkeus

57 Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien projektiot jakavat hypotenuusan 5 9Laske kateettien suhde

58 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja kateettien summa 17 Laskekateettien pituudet

59 Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kyljet 17 Laske kolmion ala

60 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Todista ettauml toisen kateetin puolikas on janojen a ja b keski-verto

61 Todista Pythagoraan lauseen kaumlaumlnteislause Jos a2 +b2 = c2 kolmio on suora-kulmainen (Vinkki kosinilause)

62 a) Olkoon suora s ja sen ulkopuolinen piste A annettu Olkoon B suoralla ssiten ettauml AB on lyhin mahdollinen Osoita ettauml AB perp sb) Osoita ettauml ympyraumln pisteeseen piirretty saumlde ja tangentti ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

63 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4 Pidemmaumlllauml kateetilla oleva pisteP on yhtauml kaukana kolmion teraumlvien kulmien kaumlrjistauml Missauml suhteessa P jakaakateetin

64 Puoliympyraumlaumln jonka halkaisija on 2 piirretaumlaumln suorakulmio jonka sivujensuhde on 12 Laske suorakulmion ala

65 Neljaumlkkaumlaumln sivut ovat pituudeltaan 5 ja toinen laumlvistaumljauml 6 Laske neljaumlkkaumlaumlnkorkeus

66 Kolmion sivujen pituudet ovat 2a a2 +1 ja a2 minus1 Millainen on kolmion suurinkulma

67 Kolmion sivut ovat x+1 2x ja 3xminus1 Mikauml taumlytyy arvon x olla jotta kolmio olisisuorakulmainen

68 Kolmion sivut ovat 5 8 ja 5 Laske kolmion korkeusjanojen pituudet

69 Kolmioon jonka sivut ovat 3 4 ja 5 on piirretty suorakulmio jonka sivujensuhde on 1 2 ja jonka lyhyemmistauml sivuista toinen on kolmion pisimmaumlllauml sivullaLaske suorakulmion sivut

70 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 ja 12 Kuinka pitkiin osiin kolmionpienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansa sivun

71 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 116 ja suoran kulman puolittajajakaa sen suhteessa 20 21 Laske kolmion kateettien pituudet

72 Laske suorakulmaisen kolmion suoran kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumlnjaumlaumlvaumln osan pituus kun kolmion kateetit ovat 1 ja 2

73 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ovat 15 ja 36 Laske suuremman kateetinvastaisen kulman puolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus

74 Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti on 2 ja sen viereisen teraumlvaumln kulmanpuolittajasta kolmion sisaumlaumln jaumlaumlvaumln osan pituus on

p5 Kuinka suuri on toinen

kateetti

75 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 10 ja 24 Suuremmalla kateetilla olevapiste keskipisteenauml piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaa toista kateettia ja hypotenuusaaLaske ympyraumln saumlde

24

22 KOLMIOITA KOSKEVIA LAUSEITA

76 Olkoon M suorakulmaisen kolmion 4ABC hypotenuusalla BC ja olkoot pis-teet N ja P pisteen M projektiot kateeteille AB ja AC Missauml kohtaa pisteen M taumlytyyolla jotta N P olisi mahdollisimman lyhyt

77 Kuvassa on kolme nelioumltauml Osoita ettauml α+β= γ

α β γ

Kolmion kulman puolittaja

78 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 5 12 ja 13 Mihin suhteisiin suoran kulmanpuolittaja jakaa leikkaamansa mediaanit (Mediaanit ovat kolmion kaumlrjen ja senvastaisen sivun keskipisteen yhdistaumlviauml janoja)

79 Kolmion ABC kulma A on suora Todista ettauml kulman B puolittaja kohtaa Astapiirretyn korkeusjanan AD sellaisessa pisteessauml E ettauml AE ED = BC AB

80 Ulkokulmanpuolittajalause Osoita ettauml kolmion ABC kulman A vieruskul-man puolittaja leikkaa sivun BC jatkeen sellaisessa pisteessauml P ettauml

PB

PC= AB

AC

Vihje Piirrauml pisteen P kautta suoran AC suuntainen suora

Kosinilause ja Heronin kaava

81 Heronin kaava Osoita ettauml kolmion ala voidaan laskea kaavallaA =radic

p(p minusa)(p minusb)(p minus c) missauml a b ja c ovat kolmion sivut ja p kolmion piirinpuolikas eli 1

2 (a +b + c)(Vihje kolmion alan sinikaava A = 1

2 ab sinγ kosinilause)

82 Mikauml on kolmion ala jos sen sivut ovat 3 4 ja 6 Entauml 6p

2 jap

50

83 Olkoon tavanmukaisesti kolmion 4ABC sivut a b ja c kulmat α β ja γ sekaumlpiirin puolikas p Osoita ettauml αEacute 60 jos ja vain jos

(p minusb

)(p minus c

)Eacute bc

4

84 Kolmion sivut ovat a b ja c Selvitauml milloin a2 b2 ja c2 ovat myoumls jonkin kolmionsivut

Sinilause

85 Olkoon janat AB ja C D yhtauml pitkiauml angAC D = 90 ja janojen AC ja BD leikkaus-piste M Osoita ettauml B M Eacute DM

86 Todista kulmanpuolittajalause kaumlyttaumlen sinilausetta

87 Osoita kolmion ala sinikaava jos kolmion sivujen a ja b vaumllinen kulma on γkolmion ala on A = 1

2 ab sinγ

25

2 PERUSGEOMETRIAA

23 KOLMION MERKILLISET PISTEETKolmioilla on monia yleisiauml ominaisuuksia joita hyoumldynnetaumlaumln jatkuvasti geometri-sessa paumlaumlttelyssauml Erityisen hyoumldyllisiauml ovat niin sanotut kolmion merkilliset pisteeteli kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste sivujen keskinormaalien leikkauspis-te keskijanojen eli mediaanien leikkauspiste ja korkeusjanojen leikkauspiste

KeskinormaalitLause Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml pisteon kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste

A B

C

P

Todistus Tutkitaan kolmion ABC sivujen AC ja BC keskinormaalien leikkauspis-tettauml P Koska P on sivun AC keskinormaalilla se on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A ja C eli |PA| = |PC | Koska P on myoumls sivun BC keskinormaalilla |PB | = |PC | Naumlmaumlyhdistaumlmaumlllauml saadaan |PA| = |PB | joten P on myoumls sivun AB keskinormaalillaKeskinormaalit leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml

Koska piste P on yhtauml etaumlaumlllauml pisteistauml A B ja C voidaan piste P keskipisteenauml jaesimerkiksi jana PA saumlteenauml piirtaumlauml ympyrauml jonka kehaumlllauml ovat pisteet A B ja C(kolmion ABC ympaumlri piirretty ympyrauml) Kolmion ympaumlri piirrettyjauml ympyroumlitauml onvain yksi koska minkauml tahansa sellaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kaumlrjistaumlA B ja C eli keskipiste on keskinormaalien leikkauspiste 2

26

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

KulmanpuolittajatLause Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessauml pisteessauml ja taumlmauml piste onkolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste

BA

P

C

Todistus Kolmion ABC kulmien A ja B kulmanpuolittajien leikkauspiste olkoonP Koska piste P on kulman A puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja AC Koska P on kulman B puolittajalla se on yhtauml etaumlaumlllauml kyljistauml AB ja BC Naumlin ollenP on yhtauml kaukana sivuista AC ja BC joten se on myoumls kulman C puolittajallaKulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessauml pisteessauml P

Koska P on yhtauml kaukana kolmion kaikista sivuista sen kautta voidaan piirtaumlauml ym-pyrauml joka sivuaa jokaista sivua Naumlitauml sisaumlympyroumlitauml on vain yksi sillauml jokaisentaumlllaisen ympyraumln keskipiste on yhtauml etaumlaumlllauml kolmion sivuista eli kolmion kulman-puolittajien leikkauspisteessauml 2

MediaanitKolmion mediaanit eli keskijanat ovat kolmion kaumlrjen ja sen vastakkaisen sivunkeskipisteen yhdistaumlviauml janoja

Lause Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessauml pisteessauml (painopiste) ja jakavat toi-sensa 2 1 kolmion kaumlrjestauml lukien

A B

C

AprimeB prime

C prime

P

Todistus Piirretaumlaumln kolmiolle mediaanit A Aprime ja BB primeOlkoon niiden leikkauspiste P

A B

C

AprimeB prime

P

27

2 PERUSGEOMETRIAA

Kolmiot C AB ja C AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) joten AprimeB prime = 12 AB ja samankoh-

taisten kulmien perusteella AB ∥ AprimeB prime Taumlstauml seuraa ettauml kolmiot PAB ja PAprimeB prime ovatyhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmat B ja B prime sekauml A ja Aprime) Koska AprimeB prime = 1

2 AB myoumls PAprime = 1

2 AP ja PB prime = 12 PB

Mediaanit A Aprime ja BB prime jakavat siis toisensa suhteessa 2 1 kolmio kaumlrjistauml luettunaJos sama paumlaumlttely toistetaan alusta mediaanille A Aprime ja kolmannelle mediaanille CC primehavaitaan ettauml myoumls ne jakavat toisensa suhteessa 2 1 Koska BB prime ja CC prime jakavatA Aprimen samassa suhteessa kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessauml pisteessauml 2

KorkeusjanatLause Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessauml pisteessauml (ortokeskus)

Todistus Olkoon ABC kolmio Piirretaumlaumln kolmion kaumlrkien kautta niiden vastaistensivujen suuntaiset suorat jotka leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Osoitetaan ettaumlkolmion ABC korkeusjanat ovat kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja jolloinne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

Aprime

B primeC prime A

B C

Nelikulmiot ABC B prime ja niin edelleen ovat suunnikkaita koska niiden sivut ovatyhdensuuntaiset Siis C primeA = AB prime ja niin edeleen Kolmion ABC korkeusjanat ovatsiis kolmion AprimeB primeC prime sivujen keskinormaaleja joten ne leikkaavat yhdessauml pisteessauml

2

Sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteetLause Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde r ja ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde R voidaan laskea kaavoilla

r = A

p R = abc

4A

missauml A on kolmion pinta-ala a b ja c kolmion sivut sekauml p kolmion piirinpuolikas

TodistusOlkoon kolmion ABC sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste P Kolmioiden ABP BC P ja C AP kannat ovat kolmion ABC sivuja ja kunkin korkeus on r Kyseisten

28

23 KOLMION MERKILLISET PISTEET

kolmioiden pinta-aloille paumltee siis

ar

2+ br

2+ cr

2= A hArr A = a +b + c

2middot r = pr hArr r = A

p 2

Toisaalta ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlteelle paumltee sinilauseen nojalla

R = a

2sinα= abc

2bc sinα= abc

4A 2

HarjoitustehtaumlviaumlKolmion merkilliset pisteet

88 Kolmion keskijanojen leikkauspisteen kautta piirretaumlaumln kolmion yhden sivunsuuntainen suora Taumltauml vastaan kohtisuoran korkeusjanan pituus on 5 Kuinkapitkiin osiin korkeusjana jakaantuu

89 AD on teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC korkeusjana ja O korkeusjanojen leik-kauspiste Todista ettauml AD BD =C D OD

90 Osoita ettauml kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtauml suureenkolmioon

91 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion keskijanojen nelioumliden summa on 34

sivujen nelioumliden summasta

92 Kolmion sivut ovat a b ja c ja mediaanit ma mb ja mc Osoita ettauml

3

4

(a2 +b2 + c2)= m2

a +m2b +m2

c

93 Tylppaumlkulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee kyseisen kolmion ulkopuolella

94 Osoita ettauml kolmio jolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania on tasakylkinen

95 Pisteet D ja E ovat kolmion 4ABC sivuilta BC ja AC Lisaumlksi janat AF ja BFpuolittavat kulmat angC AD ja angC BE Osoita ettauml angAEB +angADB = 2 middotangAF B

96 Kolmion 4ABC sivulla AC on piste D siten ettauml AB = AD Mikauml on kulmaangC BD kun tiedetaumlaumln ettauml angABC = 30+angAC B

97 Minkauml muotoinen kolmio on jos sen korkeusjanojen keskipisteet sijaitsevatsamalla suoralla

Kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirretyt ympyraumlt

98 Mihin suhteeseen tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml jakaakolmion korkeusjanat

99 Tasasivuisen kolmion sivu on a Laske sen sisaumlaumln ja ympaumlri pirrettyjen ympy-roumliden saumlteet

100 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 2 Laske sen sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden saumlteet

101 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja korkeus 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

102 Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 4 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln saumlde

103 Tasakylkisen kolmion kanta on 5 ja kylki 10 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden saumlteet sekauml niiden suhde

104 Tasakylkisen kolmion kanta on 40 ja kylki 52 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlripiirrettyjen ympyroumlideniden keskipisteiden vaumlli

29

2 PERUSGEOMETRIAA

105 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 8 ja 6 Laske kolmion sisaumlaumln piirretynympyraumln saumlde

106 Todista ettauml suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija ona +b minus c missauml a ja b ovat kateetit ja c hypotenuusa

107 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde on 1 ja kolmion kateet-ti 3 Mihin suhteeseen kolmion pienimmaumln kulman puolittaja jakaa leikkaamansasivun

108 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 2a minus1 ja a +2 sekauml hypotenuusa 2a +1Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

109 Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on janojen a ja b summa ja toinenkateetti niiden erotus Laske kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde an ja bnfunktiona

110 Kolmion sivut ovat 3p

6 jap

15 Laske sen sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde

111 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 2 Kuinka pitkaumln jaumlnteen kolmionsisaumlaumln piirretyn ympyraumln kehauml erottaa kolmion suoran kulman puolittajasta

112 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipisteen etaumlisyydethypotenuusan paumlaumltepisteistauml ovat 1 ja

p2 Laske hypotenuusan pituus

113 Kolmion jonka sivut ovat a b ja c ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on 1 Osoitaettauml a+b+c Ecirc abc Voit olettaa tunnetuksi ettauml kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlde on vaumlhintaumlaumln kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln halkaisija (tehtaumlvauml 157)

114 Jos kolme ympyraumlauml sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti ja niiden keskipisteetovat kolmion 4ABC kaumlrjet niin niiden saumlteet ovat p minusa p minusb ja p minusc missauml a b jac ovat kolmion 4ABC sivut ja p on sen piirin puolikas

115 Tasasivuisen kolmion 4ABC keskipisteen O kautta kulkee suora joka leikkaakolmioiden 4O AB 4OBC ja 4OC A ympaumlripiirretyt ympyraumlt pisteissauml K L ja M Osoita ettauml

OK 2 +OL2 +OM 2 = 2 middot AB 2

116 Osoita ettauml seuraava osa leikkausaksioomista seuraa muista postulaateistaJos kahdella ympyraumlllauml on kolme yhteistauml pistettauml ne ovat sama ympyrauml

117 Viidestauml ympyraumlstauml millauml tahansa neljaumlllauml on yhteinen piste Osoita ettauml kaikillaviidellauml on yhteinen piste

30

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJAT

24 YHDENSUUNTAISET LEIKKAAJATLause Yhdensuuntaiset suorat erottavat leikaamistaan suorista osia jotka ovatkeskenaumlaumln verrannolliset Kaumlaumlntaumlen jos erotetut osat ovat verrannolliset leikkaajatovat yhdensuuntaiset

Todistus Olkoot s1 s2 ja s3 yhdensuuntaisia suoria jotka leikaavat suoria l ja mpisteissauml A1 A2 ja A3 sekauml B1 B2 ja B3

s1 s2 s3

P

l

mA1

A2

A3

B1B1B2

B3

Tapaus 1 Suorat l ja m leikkaavat pisteessauml P Taumllloumlin kolmio PA1B1 sim PA2B2 simPA3B3 (sim kk samankohtaisten kulmien perusteella) joten

PA1

PB1= A1 A2

B1B2= A2 A3

B2B3

Tapaus 2 Suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset Taumllloumlin A1B1B2 A2 ja A2B2B3 A3 ovatsuunnikkaita joten A1 A2 = B1B2 ja A2 A3 = B2B3 2

Harjoitustehtaumlviauml118 Kolmioon ABC jonka kulma C on suora piirretaumlaumln korkeusjana C D sekaumlDstauml sivun BC normaali joka leikkaa BC n pisteessauml E Kuinka suuri on BC BE kun AD BD = 3

4

119 Janan AB paumlaumltepisteen kautta piirretystauml suorasta erotetaan peraumlkkaumlin janatAC = C D = DE Janan EB jatkeelta erotetaan BF = BE Osoita ettauml suora C Fpuolittaa janan AB

31

2 PERUSGEOMETRIAA

25 JANAN JAKOPiste P janalla AB tai sen jatkeella jakaa janan osiin Sanotaan ettauml piste jakaajanan (sisaumlpuolisesti tai ulkopuolisesti) suhteeseen AP PB Tietyillauml jakosuhteillaon omat nimityksensauml

Harmoninen jako Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti tiettyyn suhtee-seen mikaumlli toinen jakaa janan sisaumlisesti ja toinen ulkoisesti kyseiseen suhteeseen

Naumlin on esimerkiksi jos lukusuoralla ovat jaumlrjestyksessauml pisteet AC B ja D ja AC = 2C B = 1 BD = 3 Taumllloumlin AD DB = AC C B = 2 1 eli jako on harmoninen

A C B D(2) (1) (3)

Taumlhaumln maumlaumlritelmaumlaumln perustuu myoumls harmoninen keskiarvo Olkoot O A ja B pisteitauml janalla niin ettauml O ei ole keskellauml Olkoot pituudet O A = aja OB = b Lukujen a ja b harmoninen keskiarvo on janan OC pituus missauml O ja Cjakavat janan AB harmonisesti (Katso tehtaumlvauml 124)

Kultainen leikkaus Jatkuva suhde eli kultainen leikkaus syntyy kun jana jonkapituus on a jaetaan osiin b ja c siten ettauml c b = b a

larr a rarrc b

Harjoitustehtaumlviauml120 Laske kultaisen leikkauksen lukuarvo ja sen kaumlaumlnteisluku

121 Pisteet A ja C jakavat janan BD harmonisesti suhteessa 34 Mihin suhteeseen

pisteet B ja D jakavat janan AC

122 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti suhteeseen 1 3 Mihin suhtee-seen janan AD keskipiste jakaa janan BC

123 Pisteet C ja D jakavat janan AB harmonisesti jatkuvaan suhteeseen Mihinsuhteeseen B jakaa janan C D

124 Laske lukujen a ja b harmoninen keskiarvo

125 Janan pituus on 10 Pisteet A ja B jakavat sen harmonisesti jatkuvaan suhtee-seen Laske janan AB pituus

126 Jana AB = 1 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 1 12 ja piste D ulko-

puolisesti suhteeseen 13 Mihin suhteisiin pisteet A ja B jakavat janan C D

127 Jana AB = 6 Piste C jakaa sen sisaumlpuolisesti suhteeseen 2 3 ja piste D ulko-puolisesti suhteeseen 2 Mihin suhteeseen piste A jakaa janan DC

128 A B ja C ovat suoran pisteitauml (taumlssauml jaumlrjestyksessauml) Etsi piste D siten ettauml B jaD jakavat harmonisesti janan A

129 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen viisikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa kultaisenleikkauksen suhteessa

32

26 YMPYROumlISTAuml

26 YMPYROumlISTAuml

Seuraavaksi todistamme ympyroumlihin liittyvaumlt perustavanlaatuiset lauseet

KehaumlkulmalauseYmpyraumln kaaren keskuskulma on kulma jonka kaumlrki on ympyraumln keskipisteessaumlja kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kaarta vastaava kehaumlkulman kaumlrki on ympyraumlnkehaumlllauml ja sen kyljet rajaavat kyseisen kaaren Kehaumlkulman kaumlrki ja kaaren toinenpaumlaumltepiste voivat yhtyauml jolloin kulman toinen kylki on ympyraumln tangentti

Kehaumlkulmalause Ympyraumln samaa kaarta vastaavat kehaumlkulmat ovat yhtaumlsuuret ja puolet vastaavasta keskuskulmasta

Todistus Riittaumlauml osoittaa ettauml kehaumlkulma on aina puolet keskuskulmasta

Tapaus 1 Ympyraumln keskipiste on kehaumlkulman aukeamassa

O

P

C

AB

β

β

2βα

α

2α

Olkoon angBO A keskuskulma ja angBPA vastaava kehaumlkulma C on piste janan POjatkeella Kolmiot AOP ja BOP ovat tasakylkisiauml joten niiden kantakulmat ovat yhtaumlsuuret Huippukulman vieruskulma on naumliden kantakulmien summa kummallakinkolmiolla joten angBOC = 2angBPC jaangCO A = 2angC PA 2Todistus paumltee myoumls kun toinen kulmista CO A ja BOC on nollakulma eli toinenkehaumlkulman sivuista on ympyraumln halkaisija

Tapaus 2 Ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkulman aukeamassa Harjoitustehtaumlvauml 131

33

2 PERUSGEOMETRIAA

OP

A B

α2α

Tapaus 3 Kehaumlkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti Harjoitustehtaumlvauml 132

O

P = AB

α

2α

Seuraus 1 Puoliympyraumln kehaumlkulma on suora (Thaleen lause)

Seuraus 2 Eksplementtikaaria vastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia (Teh-taumlvauml 130)

Kehaumlkulmalause paumltee myoumls kaumlaumlntaumlen

Kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause Mikaumlli pisteet P1 ja P2 ovat samalla puolella suoraaAB ja naumlkevaumlt janan AB samassa kulmassa pisteet A B P1 ja P2 ovat samallaympyraumlllauml

A B

P2

P1

α

α

Todistus Oletetaan ettauml angAP1B =angAP2B =α mutta piste P2 ei olekaan ympyraumlllaumlABP1 Ainakin toinen suorista P2 A ja P2B leikkaan ympyraumln kaaren olkoon se P1 AOlkoon Q janan P2 A (tai sen jatkeen) ja mainitun ympyraumlnkaaren leikkauspiste

34

26 YMPYROumlISTAuml

Nyt sekauml angAQB =α ettauml angAP2B =α mikauml on mahdotonta sillauml kolmion kulma onsen toisten kulmien vieruskulmia pienempi Vastaoletus oli siis vaumlaumlrauml 2

A B

Q

P2

α

α

P1

α

Pisteen potenssiMaumlaumlritelmauml Olkoot Γ ympyrauml ja P jokin piste Pisteen P kautta piirretyn suorans ja ympyraumln Γ leikkauspisteet olkoot A ja B Tuloa PA middotPB kutsutaan pisteen Ppotenssiksi ympyraumln Γ suhteen

Pisteen potenssiPisteen P potenssi PA middotPB on suoran s valinnasta riippumaton vakio

TodistusTapaus 1 Piste on ympyraumln sisaumlllaumlOlkoon P ympyraumln sisaumlllauml ja sen kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteetA ja B Toisen P n kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet olkoot C ja D

A

C

D

P

B

Kehaumlkulmalauseen perusteella angBDC =angB AC ja angAC D =angABD joten kolmiotPAC ja PDB ovat yhdenmuotoiset (kk) SiisPAPD = PC

PB hArr PA middotPB = PC middotPD 2

Tapaus 2 Piste on ympyraumln kehaumlllaumlTaumllloumlin pisteen potenssi on nolla suorasta s riippumatta

35

2 PERUSGEOMETRIAA

Tapaus 3 Piste on ympyraumln ulkopuolellaSuoraksi kelpaa myoumls ympyraumln tangentti kun tulkitaan ettauml leikkauspisteet C jaD ovat sama piste Riittaumlauml todistaa ettauml tulo PA middotPB on aina yhtauml suuri kuin PC 2missauml C on pisteen P kautta kulkevan tangentin ja ympyraumln sivuamispiste

A

B

C

P

Olkoot A ja B pisteen P kautta piirretyn suoran ja ympyraumln leikkauspisteet jaPC ympyraumln kehaumlpisteen C kautta piirretty tangentti Kehaumlkulmalauseen nojallaangBC P =angPAC joten kolmiot PAC ja PC B ovat yhdenmuotoisia (kk)Siis AP

C P = C PPB hArr PA middotPB = PC 2 2

JaumlnnenelikulmiotJaumlnnenelikulmio on nelikulmio jonka ympaumlri voi piirtaumlauml ympyraumln

Kaikki nelikulmiot eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita koska jo kolme pistettauml maumlaumlraumlaumlympyraumln

Lause Nelikulmio on jaumlnnenelikulmio taumlsmaumllleen silloin kun nelikulmion vastak-kaiset kulmat ovat suplementtikulmia

Todistus rArr Olkoon ABC D jaumlnnenelikulmio Taumllloumlin kulmia A ja C vastaavat kes-kuskulmat ovat eksplementtikulmia eli niiden summa on taumlysikulma KehaumlkulmienA ja C summa on puolet taumlstauml eli oikokulma A ja C ovat siis suplementtikulmia

36

26 YMPYROumlISTAuml

Koska nelikulmion kulmien summa on taumlykulma myoumls B ja D ovat suplementtikul-mialArr Olkoot nelikulmion ABC D kulmat A ja C suplementtikulmia jolloin myoumlskulmat B ja D ovat Piirretaumlaumln kolmion ABC ympaumlri ympyrauml Kaikki kaaren ACpisteet E naumlkevaumlt janan AC kulmassa angD sillauml naumlitauml pisteitauml vastaavat kehaumlkulmatovat B n suplementtikulmia edellisen kohdan nojalla Piste D naumlkee janan AC siissamassa kulmassa kuin kaaren AC kehaumlpisteet joten myoumls se on kyseisellauml kaarella(kaumlaumlnteinen kehaumlkulmalause) 2

C

E

B

D

A

αα

180minusα

Ptolemaioksen lausePtolemaioksen lause Jaumlnnenelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen sum-ma on laumlvistaumljien tulo Toisin sanoen jaumlnnenelikulmiolle ABC D paumltee

AB middotC D + AD middotBC = AC middotBD

Todistus Kehaumlkulmalauseen nojalla angDB A = angDC A ja angADB = angAC B Kon-struoidaan piste E janalle BD siten ettauml angB AE =angC AD eli myoumls angB AC =angE AD Koska E on janan BD sisaumlpiste angDB A = angEB A ja angADB = angADE Kaumlytetaumlaumlnyhdenmuotoisuuden kk-saumlaumlntoumlauml

angEB A =angDC A ja angB AE =angC AD rArr ABE sim AC DangAC B =angADE ja angB AC =angE AD rArr ABC sim AED

37

2 PERUSGEOMETRIAA

Koska E on janan BD sisaumlpiste BD = BE +DE Yhdenmuotoisuuksista seuraa ettauml

BE

C D= AB

ACja

DE

BC= AD

AC

Kertomalla ristiin saadaan

BE middot AC = AB middotC D ja DE middot AC = AD middotBC

Yhdistaumlmaumlllauml tulokset saadaan

AC middotBD = AC middot (BE +DE) = BE middot AC +DE middot AC = AB middotC D + AD middotBC 2

Brahmaguptan kaava

Brahmaquptan kaava(Heronin kaavan yleistys)Jaumlnnenelikulmion ala on

A =radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd)

missauml a b c ja d ovat jaumlnnenelikulmionsivut ja p puolet sen piiristauml

Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml 158

HarjoitustehtaumlviaumlKehaumlkulmalause

130 Todistettava ettauml jos ympyraumln kehauml jaetaan kahteen kaareen naumlitauml kaariavastaavat kehaumlkulmat ovat suplementtikulmia

131 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa ympyraumln keskipiste ei ole kehaumlkul-man aukeamassa

132 Todista kehaumlkulmalause tapauksessa jossa kehaumlkulman kaumlrki on sitauml vastaa-van kaaren paumlaumltepisteessauml (jolloin kehkulman toinen kylki on ympyraumln tangentti)

133 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8 Laske kolmion mediaanien pi-tuudet

134 Olkoon M ympyraumln sisaumlaumln piirretyn saumlaumlnnoumlllisen monikulmion ABC middot middot middot eraumlskaumlrkipiste Laumlvistaumljien AC ja B M leikkauspiste on P Todista ettauml AB AM = PB PA

135 Osoita ettauml saumlaumlnnoumlllisen monikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat monikulmion kulmatyhtauml suuriin osiin

136 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty kolmio ABC ja siihen korkeusjana AD Todistaettauml kolmiot ADB ja AC E ovat yhdenmuotoiset jos AE on ympyraumln halkaisija

137 Todista ettauml jos kolmioon ABC on piirretty mediaani B M ja korkeusjana C Hsekauml kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O niin kolmiot OM A ja B HCovat yhdenmuotoiset

38

26 YMPYROumlISTAuml

138 Ympyraumlaumln on piirretty kolmio ABC An kautta piirretaumlaumln sekantti yhdensuun-taiseksi B n kautta kulkevan tangentin kanssa Sekantti leikkaa BC n tai sen jatkeenpisteessauml D Todista ettauml AB on BC n ja BD n keskiverto

139 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Selvitauml mitkauml kaikki pisteet ovat pisteenA projektioita pisteen B kautta kulkeville suorille

140 On annettu kaksi eri pistettauml A ja B Mitkauml pisteet ovat pisteen A peilikuviapisteen B kautta kulkevien suorien suhteen

141 Tylppaumlkulmaisen kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste sijaitsee kysei-sen kolmion ulkopuolella

142 Todista sinilauseen viimeinen yhtaumllouml jos a on kolmion sivu α sitauml vastaavakulma ja R kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde a

sinα = 2R

143 Kolmion 4ABC sisaumlllauml on piste P Pisteen P projektiot kolmion 4ABC sivuilleovat A1 B1 ja C1 Pisteen P projektiot kolmion 4A1B1C1 sivuille ovat A2 B2 ja C2Edelleen pisteen P projektiot kolmion 4A2B2C2 sivuille ovat A3 B3 ja C3 Kaumly niinettauml kolmiot 4ABC ja 4A3B3C3 ovat yhdenmuotoiset (Neuberg)

144 Kolmion 4ABC ympaumlri piirretyn ympyraumln saumlde on R p-saumlteinen ympyraumlkulkee pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml B q-saumlteinen ympyrauml kulkeemyoumls pisteen A kautta ja sivuaa suoraa BC pisteessauml C Osoita ettauml pq = R2

145 Kolmion 4ABC pisteistauml A B ja C laumlhtevaumlt kulmanpuolittajat leikkaavat senympaumlripiirrettyauml ympyraumlauml pisteissauml D E ja F Osoita ettauml AD perp EF

Pisteen potenssi

146 Nelikulmion laumlvistaumljaumlt jakavat toisensa osiin joista voidaan muodostaa verran-to siten ettauml toisen laumlvistaumljaumln osat ovat verrannon keskimmaumlisinauml jaumlseninauml Todistaettauml nelikulmion ympaumlri voidaan piirtaumlauml ympyrauml

147 Ympyraumlaumln piirretyssauml nelikulmiossa ABC D leikaavat AB n ja DC n jatkeettoisensa pisteessauml E Todista ettauml kolmiot EBC ja ED A ovat yhdenmuotoiset

148 Ympyraumln jaumlnteet AB ja C D leikkaavat toisensa pisteessauml P jolloin PC = 3PD = 8 AB = 10 Laske AP BP

149 Eraumlaumln ympyraumln kahden jaumlnteen AB n ja C Dn jatkeet leikkaavat toisensapisteessauml P siten ettauml AB = 4 BP = 2 ja PD = 3 Laske jaumlnteen C D pituus

150 Tasakylkisen kolmion kanta on 12 ja kylki 10 Kolmion korkeusjana halkai-sijana piirretaumlaumln ympyrauml Mihin suhteeseen ympyraumln kehauml jakaa leikkaamansasivut

151 Tasakylkisen kolmion kanta on puolet kyljestauml Mihin suhteeseen kannallepiirretty korkeusjana halkaisijana piirretyn ympyraumln kehauml jakaa kolmion kyljet

152 Tasakylkisen kolmion korkeusjana halkaisijana piirretaumlaumln ympyrauml Missauml suh-teessa sen kehauml jakaa leikkaamansa sivut kun kolmion kanta ja korkeus ovat yhtaumlsuuret

153 Kahden ympyraumln leikkauspisteiden kautta kulkevan suoran mielivaltaisestapisteestauml piirretaumlaumln ympyroumlille tangentit Todista ettauml ne ovat yhtauml suuret

154 Ympyraumln halkaisijan AB paumlaumltepisteestauml B piirretaumlaumln ympyraumln tangentti BC= 3 Ympyraumln kehauml leikkaa janan AC pisteessauml D siten ettauml AD DC = 4 9 Laskeympyraumln saumlde

155 Kahden ympyraumln saumlteet ovat 8 ja 16 sekauml niiden lyhin vaumllimatka 8 Missaumlkohden ympyroumliden keskijanalla on piste jonka potenssi kummankin ympyraumlnsuhteen on sama

156 Kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln keskipiste on I ja saumlde r Saman kolmionympaumlri piirretyn ympyraumln keskipiste on O ja saumlde R Osoita Eulerin kaava OI 2 = R (R minus2r )

39

2 PERUSGEOMETRIAA

157 Olkoon R kolmion ympaumlri piirretyn ja r sisaumlaumln piirretyn ympyraumln saumlde Todistaettauml R Ecirc 2r

Ptolemaioksen ja Brahmaguptan lauseet

158 Jaumlnnenelikulmion sivut ovat a b c ja d ja sen piirin puolikas on p Osoitaettauml jaumlnnenelikulmion ala on

radic(p minusa)(p minusb)(p minus c)(p minusd) (Brahmaguptan kaava)

Toimiiko kaava myoumls sellaisilla nelikulmioilla jotka eivaumlt ole jaumlnnenelikulmioita

159 Tasakylkisen puolisuunnikkaan kylkien pituus on a sen kantojen pituudetovat b ja c ja sen laumlvistaumljien pituus on d Osoita ettauml d 2 = a2 +bc

160 Olkoon ABC DEFG saumlaumlnnoumlllinen 7-kulmio Todista ettauml 1AB = 1

AC + 1AE

161 Johda sinin ja kosinin summakaavat

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

jacos(α+β) = cosαcosβminus sinαsinβ

Ptolemaioksen lauseen avulla (Vihje valitse BD = 1 ympyraumln halkaisijaksi Sijoitaα ja β sopivasti)

27 PINTA-ALOISTAMaumlaumlrittelimme suorakulmion pinta-alaksi luvun joka saadaan suorakulmion kah-den kohtisuoran sivun tulona Taumlstauml laumlhtien luvussa 1 osoitettiin harjoitustehtaumlvinaumlettauml kolmion ala on ah2 missauml a on kolmion sivu ja h kyseistauml sivua vastaanpiirretty korkeusjana Monikulmioiden alat palautuvat kolmioiden aloihin

Lisaumlksi postuloimme ympyraumln alaksi A =πr 2 ja totesimme ettauml yhtenevien kuvioi-den alat ovat samat ja yhdenmuotoisten kuvioiden alat verrannolliset vastinsivujennelioumliden suhteessa

162 Laske tasasivuisen kolmion (sivu s) ala

163 Kolmio leikataan sen yhden sivun suuntaisella suoralla siten ettauml syntyneenpikkukolmion sivu on 3

4 alkuperaumlisen kolmion vastaavasta sivusta Laske pikkukol-mion ja alkuperaumlisen kolmion alojen suhde

164 Kolmion mediaanien leikkauspisteestauml piirretaumlaumln yhden sivun suuntainensuora Mihin suhteeseen se jakaa kolmion alan

165 Kolmion ABC mediaanien AD ja BE leikkauspiste on O Todista ettauml kolmiotAOE ja BOD ovat yhtauml suuret

166 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

167 Kolmio on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla kolmioon ja nelikulmioonjoiden alojen suhde on 4 5 Kuinka suuriin osiin taumlmauml suora jakaa kannalle piirretynkorkeusjanan jonka pituus on 11

168 Kolmion sivun suuntainen suora jakaa kolmion kahteen yhtauml suureen osaanMihin suhteeseen suora jakaa kolmion sivut

169 Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion osiin joiden alojen suhdeon 25144 Laske syntyneen pikkukolmion ja alkuperaumlisen kolmion korkeuksiensuhde

40

27 PINTA-ALOISTA

170 Kolmiossa ABC on mediaani AD ja mediaanien leikkauspiste O Laske kol-mioiden BOD ja ABC alojen suhde

171 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastaisen kateetinsuhteessa 2 3 Mihin suhteeseen toisen teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa kolmionalan

172 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln on piirretty neliouml siten ettauml yksi sen kulmistayhtyy kolmion suoraan kulmaan Nelioumln ala on 9 ja kolmion ala 24 Laske kolmionsivujen pituudet

173 Suorakulmaisen kolmion sisaumlaumln piirretty ympyrauml jakaa hypotenuusan osiinjoiden pituudet ovat x ja y Laske kolmion ala

174 Tasasivuisen kolmion ja nelioumln alojen suhde on puolet niiden sivujen suhtees-ta Laske niiden sivujen suhde

175 Tasasivuisen kolmion ja ympyraumln alojen suhde on sama kuin niiden piiriensuhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

176 Todista ettauml jos nelikulmion ABC D laumlvistaumljauml AC puolittaa laumlvistaumljaumln BD niinAC jakaa nelikulmion kahteen yhtauml suureen osaan

177 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen nelioumliden alojen suhde

178 Nelioumln ja tasasivuisen kolmion alojen suhde on sama kuin niiden sisaumlaumlnpiirrettyjen ympyroumliden saumlteiden suhde Laske taumlmaumln suhteen suuruus

179 Jaumlnne jonka pituus on a erottaa ympyraumlstauml segmentin jonka korkeus on aLaske ympyraumln ala

180 r -saumlteisen ympyraumln sektorin ala on(p

2minus1)πr 2 Laske sektorin asteluku 1primen

tarkkuudella

181 Ympyraumln sektoriin jonka keskuskulma on 120 piirretaumlaumln ympyrauml joka sivuaasektorin kaarta ja saumlteitauml Laske taumlmaumln ympyraumln ja sektorin alaojen suhde

182 Laske ympyraumln neljaumlnnekseen piirretyn ympyraumln ja mainitun ympyraumln nel-jaumlnneksen alojen suhde

183 Tasakylkisen kolmion sivujen suhde on 3 3 2 Laske kolmion ympaumlri piirretynympyraumln ja kolmion alojen suhde

184 Kolme r -saumlteistauml ympyraumlauml sivuavat toisiaan siten ettauml jokainen sivuaa molem-pia muita Laske niiden keskelle jaumlaumlvaumln ympyraumln kaarien muodostaman rdquokolmionrdquoala

185 120 segmentistauml leikataan pois 90n segmentin suuruinen osa Kuinka suurion jaumlljelle jaumlaumlvaumln kuvion ala kun ympyraumln saumlde on r

186 60n ja 270n sektorit ovat yhtauml suuret Laske ympyraumliden saumlteiden suhde

187 Laske tasasivuisen kolmion sisaumlaumln piirretyn ympyraumln alan suhde koko kolmionalaan

188 Ympyraumln sisaumlaumln piirretaumlaumln neliouml taumlmaumln sisaumlaumln ympyrauml ja viimeksi mainittunympyraumln sisaumlaumln tasasivuinen kolmio Laske kolmion ja suuremman ympyraumln alojensuhde

189 Tasasivuisen kolmion sisaumlaumln on piirretty ympyrauml taumlmaumln sisaumlaumln tasasivuinenkolmio jonka sisaumlaumln on vielauml piirretty ympyrauml Laske pienemmaumln ympyraumln alansuhde alkuperaumlisen kolmion alaan

190 Suorakulmaisen kolmion sivut ovat a+1 3a ja 3a+1 Laske kolmion sisaumlaumln jaympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojen suhde

191 Suorakulmaisen kolmion teraumlvaumln kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivunsuhteeseen 23 Laske kolmion sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympyroumliden alojensuhde

41

2 PERUSGEOMETRIAA

192 Laske ympyraumln sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen saumlaumlnnoumlllisten kuusikulmioidenalojen suhde

193 Ympyraumln sisaumlaumln on piirretty tasakylkinen kolmio jonka kanta on yhtauml kuinympyraumln saumlde = 2 Laske kolmion ala

194 Suorakulmaisen kolmion ympaumlri piirretyn ympyraumln halkaisija on 13 ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln halkaisija 4 Laske kolmion ala

195 Kuperan nelikulmion sisaumlpisteestauml piirretaumlaumln janat nelikulmion sivujen keski-pisteisiin jolloin syntyy neljauml pienempaumlauml nelikulmiota Osoita ettauml vastakkaistenpienten nelikulmioiden alojen summat ovat yhtauml suuret

196 Tasasivuisen kolmion sisaumlllauml on piste P Osoita ettauml summa pisteen P jakolmion sivujen vaumllisistauml etaumlisyyksistauml ei riipu pisteen P valinnasta

197 Suunnikkaan ABC D kaumlrki C on suunnikkaan DEFG sivulla FG ja samoinpiste E on janalla AB Osoita ettauml suunnikkailla ABC D ja DEFG on sama ala

198 Osoita ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa kyseisen nelikulmion kahteen yhtaumlsuureen kolmioon niin se myoumls jakaa toisen laumlvistaumljaumln kahteen yhtauml pitkaumlaumln osaanOsoita myoumls ettauml jos nelikulmion laumlvistaumljauml jakaa vastakkaisen laumlvistaumljaumln kahteen yhaumlpitkaumlaumln osaan niin se myoumls jakaa koko nelikulmion kahdeksi alaltaan yhtauml suureksikolmioksi

199 Kolmesta eri r -saumlteisestauml ympyraumlstauml jokainen kulkee kahden muun keskipis-teiden kautta Mikauml on ympyroumliden yhteisen alueen ala

200 Kolmion korkeusjanat ovat ha hb ja hc ja sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r Osoita ettauml

1

h2a+ 1

h2b

+ 1

h2cEcirc 1

3r 2

201 Jaumlnnenelikulmion ala on S ja piirin puolikas p Osoita ettauml jos S = ( p2

)2 niin

kyseinen nelikulmio on neliouml

202 Olkoon ABC D kupera nelikulmio ja P sen laumlvistaumljien leikkauspiste Osoitaettauml

|4PAB |+ |4PC D| = |4PBC |+ |4PD A|jos ja vain jos P on toisen laumlvistaumljaumln keskipiste

203 Kolmion 4ABC sivulla BC sijaitsevat pisteet M ja N siten ettauml angB AM =angC AN Osoita ettauml

MB

MC+ N B

NCEcirc 2

AB

AC

42

LUKU 3

Harppi ja viivain -konstruktioita

Klassisen geometrian perinteeseen kuuluvat keskeisesti harppi ja viivain -

konstruktiotehtaumlvaumlt Tarkoitus on piirtaumlauml tietty geometrinen kuvio kaumlyttaumlenapuvaumllineenauml vain harppia ja viivoitinta

Taumlmauml on hieman eri asia kuin aiemmin tarkastelmamme geometria Kaumlyttoumloumlnotetut postulaatit puhuvat erilaisten geomertisten objektien (suorien kulmienkulmnapuolittajien keskipisteiden) olemassaolosta ja ominaisuuksista mutta eivaumltkerro miten ne voi piirtaumlauml Ei ole itsestaumlaumln selvaumlauml ettauml rdquokaiken olemassa olevanrdquo voisipiirtaumlauml harpilla ja viivaimella Esimerksi yleisen kulman kolmijako on mahdotonta

Harppi ja viivain -konstruktioissa kaumlytoumlssauml on ympyroumlitauml piirtaumlvauml harppi ja suoraviiivain jossa ei ole mitta-asteikkoa Taumlsmaumlllisyyden nimissauml rdquopiirtaumlminenrdquo abstra-hoidaan kahdeksi postulaatiksi

Viivainpostulaatti (VP) Kahden pisteen kautta voidaan piirtaumlauml suora

Harppipostulaatti (HP) Kahden pisteen avulla voidaan piirtaumlauml ympyrauml siten ettaumltoinen piste on keskipisteenauml ja pisteinen vaumllinen jana saumlteenauml

Lisaumlaumlmme taumlhaumln myoumls mukavuuden vuoksi postulaattina lauseen jonka todistami-nen on harjoitustehtaumlvaumlnauml (244)

Mittauspostulaatti (MP) Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipiste ja saumlteen mittai-nen jana on annettu Harpilla voi siis mitata janan

Seuraavissa tehtaumlvissauml ei niinkaumlaumln ole tarkoitus keskittyauml huolelliseen piirtelyynvaan loumlytaumlauml toimiva konstruktio ja perustella se oikeaksi Aiempia konstruktioi-ta voi luonnollisesti hyoumldyntaumlauml myoumlhemmissauml Konstruktiotehtaumlvaumlt on merkittyharppisymbolilla

HARJOITUSTEHTAumlVIAumlPeruskonstruktoita

204 Siirrettaumlvauml jana toiselle suoralle

205 Siirrettaumlvauml annettu kulma siten ettauml uutena kylkenauml on annettu puolisuora

206 Puolitettava jana

207 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali

208 Puolitettava kulma

209 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta kun piste on a) suoranulkopuolella b) suoralla

43

2 PERUSGEOMETRIAA

210 Piirrettaumlvauml suoran kanssa yhdensuuntainen suora annetun suoran ulko-puolisen pisteen kautta

211 Piirrettaumlvauml tasasivuinen kolmio sekauml neliouml

212 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen kuusikulmio

213 Etsittaumlvauml annetun ympyraumln keskipiste

214 Piirrettaumlvauml kolmen annetun pisteen kautta ympyrauml

215 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti annetun a) kehaumlllauml olevan b) ympyraumlnulkopuolisen pisteen kautta

216 Piirrettaumlvauml ympyraumllle tangentti joka on annetun suoran suuntainen

217 Jaettava jana kolmeen yhtauml suuren osaan Keksittaumlvauml ainakin neljauml erilaistaratkaisua

218 Jaettava jana n yhtauml suureen osaan

219 Jaettava jana suhteessa p q missauml p ja q ovat annettuja janoja

220 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

221 Olkoon janat a ja b annettu Piirrettaumlvauml an ja bn aritmeettisen geometri-sen ja harmonisen keskiarvon mittaiset janat

222 Piirrettaumlvauml saumlaumlnnoumlllinen viisikulmio

Huomautus Harppi- ja viivainaksioomat nojaavat siihen ettauml kaksi pistettauml onannettuna Oletimme siksi edellisissauml tehtaumlvissauml implisiittisesti ettauml esimerkiksisuoralta ja ympyraumlltauml voidaan valita satunnaisia pisteitauml tarpeen mukaan Seuraavattehtaumlvaumlt osoittavat kuitenkin ettauml taumlmauml oletus on tarpeeton kunhan meillauml on kaksipistettauml joista laumlhteauml konstruoimaan

223 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta suoralta

224 Olkoon kaksi pistettauml annettuna Konstruoi jokin piste annetulta ympyraumlltauml

Laskutoimituksia harpilla ja viivaimella

Koska janoilla on pituus ne voidaan rinnastaa positiivisiin lukuihin Janoilla voi-daan siis myoumls laskea konstruktion tuloksena on halutun laskutoimituksen mittai-nen jana

225 Janat a ja b on annettu Konstruoitava janat a +b ja a minusb(Helppo Mitauml pitaumlauml huomioida)

226 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi tulon abmittainen jana (Vinkki yhdenmuotoiset kolmiot)

227 Miksi edellisessauml tehtaumlvaumlssauml ykkoumlsen mittainen jana on vaumllttaumlmaumltoumln

228 Janat a ja b on annettu sekauml jana jonka pituus on 1 Konstruoi osamaumlaumlraumlnab mittainen jana

229 Janan AB pituus on a Suoralta AB valitaan pisteen B toiselta puolelta piste Csiten ettauml BC = 1 Piirretaumlaumln ympyrauml jonka halkaisija on AC Piirretaumlaumln pisteen Bkautta suoran AB normaali Minne syntyi jana jonka pituus on

pa

230 Janat a ja b on annettu mutta ei yksikkoumljanaa Konstruoitava janojen geo-metrisen keskiarvon

pab mittainen jana

231 Lukusuoralle on merkitty lukujen 0 ja 1 sijainnit Mitauml lukuja pystyt merkit-semaumlaumln lukusuoralle harpin ja viivaimen avulla

44

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Taumlssauml esiintyneitauml konstruktioita voitaisiin pitaumlauml myoumls janojen yhteen- vaumlhennys-kerto- ja jakolaskun maumlaumlritelminauml jolloin ei tarvitsisi postuloidan ettauml janan pituuson luku Voitaisiin vain puhua yhtenevistauml janoista sekauml suuremmista ja pienem-mistauml

Sekalaisia tehtaumlviauml

232 Piirrettaumlvauml ympyrauml jonka saumlde on annetun janan pituinen ja joka sivuaakahta annettua toisensa leikkaavaa suoraa

233 Piirrettaumlvauml tasakylkinen kolmio jonka kanta ja kyljen vastainen korkeusovat tunnetut

234 Piirrettaumlvauml kahden toistensa ulkopuolella olevan ympyraumln yhteiset tangen-tit

235 Suorat `1 ja `2 sekauml piste A suoralta `1 on annettu Etsittaumlvauml kaikki sellaisetpisteet suoralta `1 joiden etaumlisyys pisteestauml A on sama kuin niiden etaumlisyys suorasta`2

236 Piirrettaumlvauml kolmio jonka korkeusjanat tunnetaan

237 Piirrettaumlvauml kolmio jonka mediaanit tunnetaan

238 Maumlaumlritettaumlvauml piste jossa annetun kolmion sivut naumlkyvaumlt yhtaumlsuurissakulmissa

239 Piirrauml suorakulmainen kolmio kun sen sisaumlaumln ja ympaumlri piirrettyjen ympy-roumliden saumlteet tunnetaan

240 Erota kolmiosta sen sivun suuntaisella suoralla kolmio jonka ala on alku-peraumlisen kolmion alan kolmannes

241 Piirrauml ympyraumln sektori joka on yhtauml suuri kuin annetun ympyraumln puoliskoja jonka keskuskulma on 36

242 Jaettava jana kultaisen leikkauksen suhteessa

243 On annettu ympyrauml Γ ja sen sisaumlltauml kaksi eri pistettauml A ja B Jos mahdollistapiirrauml harpilla ja viivaimella ympyraumln Γ sisaumlaumln sellainen suorakulmainen kolmioettauml pisteet A ja B ovat sen eri kateeteilla

31 RUOSTUNUTHARPPI LYHYT VIIVAIN JAMUI-TA RAJOITUKSIA

Vaumllineistoumlaumlmme voidaan rajoittaa merkittaumlvaumlsti mutta kaikki aiemmat konstruktiotovat yhauml mahdollisia

Loumlysauml harppi244 Osoitettava rdquomittauspostulaattirdquo Voidaan piirtaumlauml ympyrauml kun keskipisteja saumlteen mittainen jana on annettu vaikka harpilla ei voisikaan mitata

Taumlmaumln jaumllkeen loumlysauml harppi on yhtauml hyvauml kuin mittaamiseen kykenevauml

45

2 PERUSGEOMETRIAA

Ruostunut harppiNyt kaumlytoumlssauml on harppi jonka saumlde on vakio

245 Piirrettaumlvauml janalle keskinormaali (Huomioi kaikki tapaukset)

246 Puolitettava kulma

247 Piirrettaumlvauml suoralle normaali annetun pisteen kautta (Huomioi kaikkitapaukset)

248 Siirrettaumlvauml jana suoralla alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

249 Siirrettaumlvauml jana maumlaumlraumltylle suoralle alkamaan maumlaumlraumltystauml pisteestauml

250 Olkoon annettu kolme janaa joiden pituudet ovat a b ja c Konstruoitavajana jonka pituus on abc

251 Annettu suora ympyraumln keskipiste ja piste ympyraumln kehaumlltauml Selvitettaumlvaumlsuoran ja ympyraumln leikkauspisteet

252 Annettu kahden ympyraumln keskipisteet ja pisteet kummankin kehaumlltauml Sel-vitettaumlvauml ympyroumliden leikkauspisteet

Tehtaumlvien 251 ja 252 ratkaisun jaumllkeen on osoitettu ettauml ruostuneella harpilla voitehdauml kaiken mikauml onnistuu tavallisellakin (kunhan viivain on kaumlytoumlssauml) Kokeilesiis myoumls kaikkia aiempia konsturointitehtaumlviauml taumlllauml rajoituksella

Lyhyt viivainKaumlytoumlssauml on viivain joka on rajoitetun mittainen

253 Yhdistettaumlvauml kaksi kaukaista pistettauml

Taumlmaumln jaumllkeen lyhyt viivain on yhtauml hyvauml kuin pitkaumlkin

Pelkkauml harppiKaumlytoumlssauml on tavallinen harppi mutta ei lainkaan viivainta Harpilla ei voi mitata

254 Jatka jana kaksinkertaiseksi sitten mielivaltaiseksi monikerraksi

255 Pisteet A ja B on annettu Etsi C siten ettauml AB ja AC ovat kohtisuorassa

256 Pisteet A B ja C on annettu Etsi C prime joka saadaan peilaamalla C janan ABsuhteen

257 Puolitettava jana

258 Kolme pistettauml (ei annetulla suoralla) on annettu Taumlydennauml suunnikkaaksi

259 Jana AB on annettu Piirrettaumlvauml pisteen C kautta ympyrauml jonka saumlde onAB Taumlmaumln jaumllkeen harpilla voi mitata

260 Janan AB paumlaumltepisteet ympyrauml ja sen keskipiste O on annettu Lisaumlksi O eiole suoralla AB Selvitauml suoran AB ja ympyraumln leikkauspisteet

261 Selvitauml ovatko kolme annettua pistettauml samalla suoralla

262 Olkoon ympyraumln keskipiste O ja kaksi pistettauml A ja B sen kehaumlltauml annettuSelvitettaumlvauml pisteiden A ja B rajaamien ympyraumln kehien keskipisteet

263 Kuten tehtaumlvauml 260 mutta keskipiste O on suoralla AB

264 Piirrauml neliouml kun sivujana on annettu

265 a b ja c ovat janoja Etsi x jolle ab = c

x

266 Pisteet A B C D on annettu Selvitauml suorien AB ja C D leikkauspiste

Tehtaumlvien 260 263 ja 266 jaumllkeen on osoitettu ettauml pelkaumlllauml harpilla voi piirtaumlaumlkaiken minkauml viivaimen kanssakin voi kunhan suora katsotaan piirretyksi kun senkaksi pistettauml tunnetaan (Mohr ja Mascheroni )

46

31 RUOSTUNUT HARPPI LYHYT VIIVAIN JA MUITA RAJOITUKSIA

Yleistys kolmeen ulottuvuuteenVuonna 2010 Sakke Suomalainen (silloin opiskelija Helsingin matematiikkalukiossa)todisti Mohrin ja Macheronin lauseen kolmiulotteisen vastineen

Olkoon palloharppi tyoumlkalu joka piirtaumlauml avaruuteen pallokuoria ja tasoviivain tasojapiirtaumlvauml tyoumlkalu Kaiken minkauml voi piirtaumlauml palloharpilla ja tasoviivaimella voi piirtaumlaumlpelkaumlllauml palloharpilla mikaumlli avaruudessa on annettuna yksi suora Ehtoa suorastaei ole todistettu vaumllttaumlmaumlttoumlmaumlksi [S]

47

LUKU 4

Klassisia Euklidisen geometriantuloksia

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Cevan ja Menelaoksen lauseet ovat hyvin laumlheistauml sukua toisilleen Niissauml

esiintyy sama yhtaumllouml mutta Ceva kertoo yhdessauml pisteessauml leikkaavistasuorista Menelaos samalla suoralla olevista pisteistauml

Cevan lauseOlkoon kolmion ABC sisaumlllauml piste P Suorat AP BP ja C P leikatkoot kolmion sivutpisteissauml X Y ja Z

A

B C

P

X

Y

Z

Cevan lauseKolmion ABC kaumlrjistauml vastakkaisten sivujen pisteisiin X Y ja Z piirretytjanat kulkevat yhteisen pisteen P kautta taumlsmaumllleen silloin kun paumltee

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun janat kulkevat yhteisen pisteenkautta Piirretaumlaumln kaumlrjen A kautta sivun BC suuntainen suora jonka suorat C Z jaBY leikkaavat pisteissauml R ja S Nimetaumlaumln sivun kuvan mukaisesti

48

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

R Sr s

a

b

c d

e

fp

q

Yhdenmuotoisista kolmioista saadan

c

s= q

p= d

r eli

c

d= s

r

Yhdistetaumlaumln taumlmauml vielauml kahteen yhdenmuotoisuudesta saatavaan yhtaumlloumloumln

a

b= r

c +d

c

d= s

r

e

f= c +d

s

Kertomalla naumlmauml puolittain saadaan

a

bmiddot c

dmiddot e

f= r

c +dmiddot s

rmiddot c +d

s= 1 2

Cevan lauseen kaumlaumlnteislause Mikaumlli AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 ceviaanit AX BY ja C Z

leikkaavat samassa pisteessauml

Todistus Leikatkoot AX ja BY pisteessauml P ja C P leikatkoon janan AB pisteessauml Z primeCevan lauseen mukaan

AZ prime

Z primeBmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

mutta koska oletettiin myoumls

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

saadaan AZ primeZ primeB = AZ

Z B Pisteet Z prime ja Z jakavat siis janan AB samassa suhteessa eli ovatsama piste 2

Cevan lauseen innoittamana kaikkia kolmion kaumlrjestauml vastakkaiselle sivulle kulkeviajanoja kutsutaan ceviaaneiksi

Laajennus Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmion ABCulkopuolella Silloin osa pisteistauml X Y Z on sivujen jatkeilla Myoumls kaumlaumlnteislause onvoimassa elleivaumlt AX BY ja C Z ole yhdensuuntaisia Todistus harjoitustehtaumlvaumlnauml273

49

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

A

B C

P

X

Y

Z

Menelaoksen lauseA

B C

Y

Z

X

Menelaoksen lause Kolmion ABC sivuilta BC C A ja AB (tai niiden jatkeilta)valitut pisteet X Y ja Z ovat samalla suoralla taumlsmaumllleen silloin kun yksi taikolme naumlistauml pisteistauml on kolmion ulkopuolella ja

AZ

Z Bmiddot B X

XCmiddot C Y

Y A= 1

Todistus Todistetaan ensin ettauml yhtaumllouml paumltee kun pisteet ovat samalla suorallaOlkoot kolmion kaumlrkien etaumlisyydet pisteiden X Y ja Z maumlaumlraumlaumlmaumlstauml suorasta hA hB ja hC

A

B C

Y

Z

X

hA

hB

hC

Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan

AZ

Z B= hA

hB

B X

XC= hB

hC

C Y

Y A= hC

hA

jotka puolittain kertomalla saadaan AZZ B middot B X

XC middot C YY A = 1 2

Kaumlaumlnteistulos ja muut yksityiskohdat ovat harjoitustehtaumlvaumlnauml 272

50

41 CEVAN JA MENELAOKSEN LAUSEET

Harjoitustehtaumlviauml267 Osoita Cevan lauseen avulla ettauml

1 Kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessauml2 Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml3 Kolmion korkeusjanat leikkaavat toisensa samassa pisteessauml

268 Kolmion 4ABC sisaumlaumlnpiirretty ympyrauml leikkaa kolmion sivua BC pisteessauml X sivua C A pisteessauml Y sekauml sivua AB pisteessauml Z Osoita ettauml janat AX BY ja C Zkulkevat saman pisteen kautta Taumltauml pistettauml kutsutaan kolmion 4ABC Gergonnenpisteeksi

269 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kahden kulman kulmanpuolittajat jakolmannen kulman vieruskulman puolittaja leikkaavat vastakkaisten sivujen jatkeetkolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

270 Osoita ettauml ei-tasakylkisen kolmion kulmien vieruskulmien puolittajat leik-kaavat niitauml vastassa olevat sivut kolmessa pisteessauml jotka ovat samalla suoralla

271 Nelikulmion ABC D sivujen AB ja C D jatkeet leikkaavat pisteessauml P ja sivujenAD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessauml Q Lisaumlksi laumlvistaumljaumlt AC ja BD kohtaavatsuoran PQ pisteissauml X ja Y Osoita ettauml P X

XQ = PYY Q

272 Taumlydennauml Menelaoksen lauseen todistus

273 Osoita ettauml Cevan lause on voimassa myoumls silloin kun piste P on kolmionABC ulkopuolella ja osa pisteistauml X Y Z kolmion sivujen jatkeilla

274 Annettu kaksi yhdensuuntaista ja eripituista janaa jotka eivaumlt ole samallasuoralla Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella janojen keskipisteet

275 On annettu jana AB sen keskipiste M sekauml suoran AB ulkopuolelta pisteP Konstruoi pelkaumlllauml viivaimella pisteen P kautta kulkeva suoran AB suuntainensuora

276 Kontruoi pelkaumlllauml viivaimella annetun suunnikkaan keskipisteen kauttajonkin kyseisen suunnikkaan sivun suuntainen suora

277 Van Obelin lause Olkoon P piste kolmion ABC sisaumlllauml ja AX BY ja C Z senkautta kulkevat ceviaanit Taumllloumlin AP

P X = AZZ B + AY

Y C

278 Kolmion ABC sivuilta valitaan pisteet P Q ja R siten ettauml AP PB = BQ QC =C R R A = 2 1 Ceviaanit AQ BR ja C P leikkaavat pisteissauml Aprime B prime ja C prime Laskekolmioiden AprimeB primeC prime ja ABC alojen suhde

279 Kolmion 4ABC mediaani AM ja kulmanpuolittaja B N leikkaavat pisteessaumlP Puolisuora C P leikkaa sivun AB pisteessauml Q Osoita ettauml kolmio 4B NQ ontasakylkinen

280 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste Suorat AM B M ja C M leikkaavat sivutBC C A ja AB vastaavasti pisteissauml Aprime B prime ja C prime Olkoot S1 S2 S3 S4 S5 ja S6 kol-mioiden 4M AprimeB 4M AprimeC 4MB primeC 4MB primeA 4MC primeA ja 4MC primeB alat Osoita ettaumljos

S1

S2+ S3

S4+ S5

S6= 3

niin M on kolmion 4ABC painopiste

281 Olkoon M kolmion 4ABC sisaumlpiste ja olkoot N P ja Q sivujen AB BC ja C Ajatkeiden pisteitauml siten ettauml ne ovat samalla suoralla Osoita ettauml jos

|4M AN ||4MB N | +

|4MBP ||4MC P | = 2

radic|4M AQ||4MCQ|

niin ANN B = BP

PC

51

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAumlEulerin lause Olkoon kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste Opainopiste G ja ortokeskus H Taumllloumlin pisteet O G ja H ovat samalla suoralla(ns Eulerin suoralla) G pisteiden O ja H vaumllissauml ja G H = 2OG

Todistus Olkoon H prime piste suoralla OG siten ettauml G on pisteiden O ja H prime vaumllissaumlja G H prime = 2OG Olkoon M suoran AB keskipiste Kolmion ABC painopiste G onkeskijanalla MC ja jakaa sen suhteessa 12 eli GC = 2MG Koska kulmat MGO jaCG H prime ovat ristikulmia angMGO =angCG H prime

Edellisistauml tuloksista ja yhdenmuotoisuuden sks-saumlaumlnnoumlstauml seuraa ettauml MOG simCG H prime Siis angOMG =angH primeCG eli H primeCMO Koska MO perp AB H primeC perp AB eli H prime onpisteen C vastaisella korkeusjanalla Vastaavanlaisella paumlaumlttelyllauml saadaan ettauml H prime

on myoumls pisteiden A ja B vastaisilla korkeusjanoilla eli H prime = H 2

Yhdeksaumln pisteen ympyrauml Olkoon H kolmion ABC ortokeskus KolmionABC sivujen keskipisteet korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH B Hja C H keskipisteet ovat samalla ympyraumlllauml Ympyraumln keskipiste on kolmionympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteen O ja ortokeskuksen H vaumllisen janankeskipiste ja saumlde puolet kolmion ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlteestauml

Todistus Olkoon MA MB MC kaumlrkien AB C vastaisten sivujen keskpisteet HA HB HC

kaumlrkien AB C vastaisten korkeusjanojen kantapisteet ja K A KB KC janojen H A HB HCkeskipisteet

Pisteiden valinnasta seuraa sks-saumlaumlnnoumln nojalla ettauml

ABC sim MC B MA

AHC sim K A HKC

AB H sim AMC K A

C HB simC KC MA

yhdenmuotoisuussuhteella 21 Taumlstauml seuraa ettauml

MC MA AC K AKC ja MC K A B H MAKC

Lisaumlksi koska B H perp AC MC MA perp MC K A eli K A MC MAKC on suorakulmio Saman-laisella paumlaumlttelyllauml voidaan todistaa ettauml MC KB KC MB on suorakulmio

Olkoon ω se ympyrauml jonka halkaisija on MC KC Koska suorakulmion laumlvistaumljaumlt

52

42 EULERIN SUORA JA YMPYRAuml

puolittavat toisensa ja ovat yhtauml pitkaumlt muutkin suorakulmioiden laumlvistaumljaumlt K A MA KB MB ja KC MC ovat ympyraumln ω halkaisijoita Siis pisteet K A KB KC MA MB jaMC ovat ympyraumlllauml ω

Thaleen lauseella naumlhdaumlaumln ettauml pisteet HA HB ja HC ovat ympyroumlillauml joiden hal-kaisijat ovat K A MA KB MB ja KC MC eli ympyraumlllauml ω

Koska AB K AKB BC KB KC ja C AKC K A ABC sim K AKB KC ja koska AB = 2K AKB yhdenmuotoisuussuhde on 21 Selvaumlsti H on myoumls kolmion K AKB KC ortokeskusOlkoon O kolmion ABC ja T kolmion K AKB KC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipisteKoska ω on kolmion K AKB KC ympaumlripiirretty ympyrauml T on ympyraumln ω keskipisteYhdenmuotoisuudesta ABC sim K AKB KC seuraa AOH sim K AT H yhdenmuotoisuus-suhteella 21 Siis angAHO = angAHT ja HO = 2HT eli T on janan HO keskipisteAO = 2K AT eli ympyraumln ω saumlde on puolet kolmion ABC ympaumlri piirretyn ympyraumlnsaumlteestauml2

282 Olkoon H kolmion ABC ortokeskus Osoita ettauml pisteen H peilikuvat kol-mion sivujen ja niiden keskipisteiden suhteen ovat kolmion ABC ympaumlripiirretyllaumlympyraumlllauml Todista taumlmaumln avulla edellinen lause

283 Olkoon H kolmion4ABC ortokeskus Osoita ettauml kolmioiden4ABC 4AB H 4BC H ja 4C AH ympaumlripiirretyillauml ympyroumlillauml on sama saumlde

284 Mikauml on kolmion mediaalikolmion yhdeksaumln pisteen ympyraumln keskipiste

285 Nelikulmio ABC D on jaumlnnenelikulmio ja pisteet HA HB HC ja HD ovat kol-mioiden 4BC D 4C D A 4D AB ja 4ABC ortokeskukset Osoita ettauml nelikulmiotABC D ja HA HB HC HD ovat yhtenevaumlt

286 Kolmio 4A1B1C1 on kolmion 4ABC ortokolmio ja kolmion 4A1B1C1 sisaumlaumln-piirretty ympyrauml sivuaa sen sivuja pisteissauml A2 B2 ja C2 Osoita ettauml kolmioilla4ABC ja 4A2B2C2 on sama Eulerin suora

287 Olkoon kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln keskipiste O ortokeskus Hsekauml sivujen pituudet a b ja c Todista Leibnizin kaava

OH 2 = 9R2 minusa2 minusb2 minus c2

288 Jos kolmion 4ABC Eulerin suora on yhdensuuntainen sivun BC kanssa niintanβ middot tanγ= 3

289 Kolme R-saumlteistauml ympyraumlauml leikkavat toisensa pisteessauml H Lisaumlksi ne leikkavatpareittain toisiaan myoumls pisteissauml A B ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiir-retyn ympyraumln saumlde on R ja sen ortokeskus on H

290 Kolmiosta on annettu sen ympaumlri piirretty ympyrauml yksi kaumlrki ja ortokeskusPiirrettaumlvauml kolmio

53

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

43 KOLMION ULKOYMPYRAumlT291 Osoita ettauml kolmion kahden kulman vieruskulmien puolittajat leikkaavatkolmion kolmannen kulman kulmanpuolittajan samassa pisteessauml Taumlmauml pisteon sellaisen ympyraumln (ns ulkoympyraumln) joka sivuaa kolmion eraumlstauml sivua sekaumlkahden muun sivun jatkeita keskipiste

292 Kolmion4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet ovat I J ja K Osoita ettauml kolmio4ABC on kolmion 4I JK ortokolmio

293 Jos kolmion 4ABC sivut ovat a = BC b ja c piirin puolikas p ala S ja ra sivuaBC sivuavan ulkoympyraumln saumlde niin S = (

p minusa)

ra

294 Olkoon kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde r ja sen ulkoympyroumliden saumlteetra rb ja rc Osoita ettauml

1

ra+ 1

rb+ 1

rc= 1

r

295 Olkoon kolmion 4ABC ulkoympyroumliden keskipisteet I J ja K Mikauml on kol-mion 4I JK yhdeksaumln pisteen ympyrauml

296 Kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympyroumliden saumlteet ovatra rb ja rc Osoita ettauml jos

pra +p

rb +p

rc =p

rarbrc

r

niin kyseinen kolmio on tasasivuinen

297 Osoita ettauml jos kolmion sisaumlaumlnpiirretyn ympyraumln saumlde on r ja sen ulkoympy-roumliden saumlteet ovat ra rb ja rc niin

prarb +

prbrc +p

rc ra Ecirc 9r

44 STEWARTIN LAUSE298 Olkoon piste X kolmion 4ABC sivulla BC Merkitaumlaumln a = BC b = AC c = AB m = B X n =C X ja p = AX Osoita ettauml

a(p2 +mn

)= b2m + c2n

(Stewartin lause)

299 Kolmion 4ABC kaumlrjen C kautta kulkee suora joka leikkaa sivun AB jatkeenpisteessauml F Osoita ettauml

BC 2 middot AF minus AC 2 middotBF = AB(C F 2 minus AF middotBF

)

300 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat pituudeltaan 17 ja kolmion kaumlrjestauml laumlhtee 16pituinen jana jonka toinen paumlaumltepiste on kolmion kannalla ja jakaa sen kahteenosaan joista toinen 8 yksikkoumlauml pidempi kuin toinen Mitkauml ovat naumlmauml osat

54

45 SIMSONIN SUORA

301 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion kaumlrjestauml hypotenuusan kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan jakaviin pisteisiin piirrettyjen janojen nelioumliden summa on taumlsmaumllleenviisi yhdeksaumlsosaa hypotenuusan nelioumlstauml

302 Osoita ettauml suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vasten piirretty mediaanion pituudeltaan taumlsmaumllleen puolet hypotenuusan pituudesta

303 Kolmion 4ABC kulma angAC B on suora ja n isinZ+ Sivun AB pisteet P1 P2 Pnminus1 ja Pn jakavat sivun AB n yhtauml pitkaumlaumln janaan Laske C P 2

1 +C P 22 + +C P 2

n

304 Osoita ettauml mielivaltaisesti valitun kolmion 4ABC sisaumlltauml loumlytyy piste P sitenettauml kolmioilla 4ABP 4BC P ja 4C AP on sama ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde

305 Osoita ettauml

1 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml mediaania niin se on tasakylkinen2 Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml korkeusjanaa niin se on tasakylkinen

306 Osoita ettauml jokaisessa kolmiossa kulmanpuolittajan neliouml on yhtaumlsuuri kuinsen viereisten sivujen pituuksien tulo vaumlhennettynauml niiden osien tulolla mihin senvastakkainen sivu jakaantuu

307 Osoita ettauml jos kolmion 4ABC sivuja BC C A ja AB vasten piirrettyjen medi-aanien pituudet ovat ma mb ja mc ja jos samoja sivuja sivuavien ulkoympyroumlidensaumlteet ovat ra rb ja rc niin

mambmc Ecirc rarbrc

308 Olkoot 4ABC ma mb mc ra rb ja rc kuten edellisessauml tehtaumlvaumlssauml Osoitaettauml

1

m2a+ 1

m2b

+ 1

m2c= 1

r 2a+ 1

r 2b

+ 1

r 2c

jos ja vain jos kolmio 4ABC on tasasivuinen

309 Osoita Steinerin ja Lehmusin lause Jos kolmiolla on kaksi yhtauml pitkaumlauml kulman-puolittajaa niin se on tasakylkinen

45 SIMSONIN SUORA310 Osoita ettauml minkauml tahansa kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteenP projektiot kolmion 4ABC sivuille ovat samalla suoralla (ns pisteen P Simsoninsuoralla) Osoita myoumls ettauml jos jonkin tason pisteen P projektiot kolmion 4ABC si-vuille ovat samalla suoralla niin se on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyllauml ympyraumlllauml

311 Mitkauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteet ovat omalla Simsoninsuorallaan

312 Mikauml on kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln pisteiden P ja Q Simsoninsuorien vaumllinen kulma

313 Olkoon H kolmion 4ABC ortokeskus ja olkoon piste P kolmion 4ABC ym-paumlripiirretyllauml ympyraumlllauml Osoita ettauml pisteen P Simsonin suora leikkaa janan HPsen keskipisteessauml

314 Olkoon PQ kolmion 4ABC ympaumlripiirretyn ympyraumln halkaisija Osoita ettaumlpisteiden P ja Q Simsonin suorat kohtaavat toisensa kohtisuorasti kolmion 4ABCyhdeksaumln pisteen ympyraumlllauml

315 Piste P on ympyraumlllauml Γ ja siitauml piirretaumlaumln ympyraumllle Γ jaumlnteet PA PB ja PC Lisaumlksi piirretaumlaumln kolme ympyraumlauml joilla on halkaisijat PA PB ja PC Osoita ettaumlnaumliden ympyroumliden kolme leikkauspistettauml ovat samalla suoralla

55

4 KLASSISIA EUKLIDISEN GEOMETRIAN TULOKSIA

316 Ympyraumln Γ sisaumllle piirretaumlaumln kaksi eri kolmiota ja ympyraumln Γ kehaumlltauml valitaanpiste P Osoita ettauml pisteen P Simsonin suorien edellauml mainittujen kahden kolmionsuhteen vaumllinen kulma ei riipu pisteen P valinnasta

317 Kolmion 4ABC ympaumlripiirretylle ympyraumllle piirretaumlaumln jaumlnne PQ siten ettaumlse on yhdensuuntainen sivun BC kanssa Osoita ettauml pisteiden P ja Q Simsoninsuorat leikkaavat toisensa kolmion 4ABC korkeusjanalla AD

46 MUITA KLASSIKOITA318 Olkoon pisteet D E ja F kolmion 4ABC sivuilla BC C A ja AB vastaavastiTodista Miquelin (pienempi) lause Ympyraumlt AEF BDF ja C DE kulkevat yhteisenpisteen M kautta

319 Tason kolme eri pistettauml A B ja C eivaumlt ole samalla suoralla Pisteen A kauttakulkeva ympyrauml Γ leikkaa janan AB pisteen A ohella myoumls pisteessauml P ja jananAC pisteen A ohella myoumls pisteessauml Q Pisteiden P ja B kautta kulkeva ympyrauml Γ1

leikkaa ympyraumln Γ pisteen P ohella myoumls pisteessauml S Lopuksi pisteiden S Q ja Ckautta kulkeva ympyrauml Γ2 leikkaa ympyraumln Γ1 pisteen S ohella myoumls pisteessauml ROsoita ettauml pisteet B R ja C ovat samalla suoralla

320 Ympyraumln jaumlnteen PQ keskipisteen M kautta piirretaumlaumln kaksi muuta jaumlnnettaumlAB ja C D Jaumlnteet AD ja BC leikkaavat jaumlnnettauml PQ pisteissauml X ja Y Nyt M onjanan X Y keskipiste (Perhoslause)

321 Kolmion kulmien vierekkaumlisten kolmijakajien leikkauspisteet ovat tasasivuisenkolmion (ns Morleyn kolmion) kaumlrjet (Morleyn ihme)

322 Kolmion ympaumlripiirretyn ympyraumln saumlde on R ja sen kulmat ovat 3α 3β ja 3γOsoita ettauml sen Morleyn kolmion sivun pituus on 8R sinα sinβ sinγ

56

LUKU 5

Geometrisia kuvauksia

Geometriset kuvaukset kuten kierrot ja peilaukset liittaumlvaumlt kuhunkin tason

pisteeseen toisen pisteen jonkin saumlaumlnnoumln mukaisesti Mielenkiintoisetkuvaukset muuttavat joitakin kuvioiden ominaisuuksia ja pitaumlvaumlt toiset

muuttumattomina

Geometriset kuvaukset ovat tehokas tyoumlkalu koska kuvioiden siirtaumlminen venyttauml-minen peilaaminen ja niin edelleen on intuitiivinen tapa hahmottaa geometriaaTaumlssauml luvussa kaumlsitellaumlaumln muutamia hyoumldyllisiauml kuvauksia

51 YHTENEVYYSKUVAUKSETTasokuvion siirtaumlminen kiertaumlminen tai peilaaminen saumlilyttaumlauml janojen pituudet jakulmien suuruudet joten syntyvaumlt kuviot ovat alkuperaumlisten kanssa yhteneviauml

Siirto Peilaus suoran suhteen

Kierto Peilaus pisteen suhteen (eli 180 kierto)

ESIMERKKI 57 Ongelma Suorakulmaisen kolmion ABC kateetit ovat pituudeltaan a ja b jahypotenuusa c Kateetilta AC valitaan piste M ja kateetilta BC piste N Olkootpisteet P ja Q pisteiden M ja N kohtisuorat projektiot hypotenuusalla Mikauml onmurtoviivan P M NQ pienin mahdollinen pituus

57

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

A B

C

M N

P Q

Ratkaisu Peilataan kuvio ensin suoran AC suhteen ja sitten suoran BC suhteenjolloin saadaan neljauml alkuperaumlisen kolmion kanssa yhtenevaumlauml kolmiota Kolmiotmuodostavat suunnikkaan

A B

C

M N

P Q

B prime Aprime

N prime

Q prime

Murtoviiva P M N primeQ prime on yhtauml pitkauml kuin alkuiperaumlinen P M NQ MurtoviivaP M N primeQ prime yhdistaumlauml suunnikkaan AB AprimeB prime kaksi vastakkaista sivua joten mur-toviivan pituus on pienimmillaumlaumln suunnikkaan korkeus Suunnikkaan korkeuson kaksi kertaa alkuperaumlisen kolmion hypotenuusan vastainen korkeus h

A B

C

h

c

a b

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanh

a= b

c eli h = ab

c Murtoviivan P M NQ

pienin mahdollinen pituus on siis2ab

c

Harjoitustehtaumlviauml323 Mikauml on lyhyin reitti talolta A rannan kautta saunalle B

A

B

324 a) Mistauml kohtaa kaupunkeja A ja B erottavan joen yli pitaumlisi rakentaa silta M N kun halutaan ettauml matka AM N B kaupungista A kaupunkiin B olisi mahdollisim-man lyhyt (Taumlssauml oletetaan ettauml joen rannat ovat yhdensuuntaisia suoria ja ettauml

58

52 HOMOTETIA

silta rakennetaan kohtisuorasti joen rantoja vasten)b) Ratkaise a)-kohdan tehtaumlvauml kun kaupunkeja A ja B erottaa useampia jokia joidenyli on rakennettava siltoja

325 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 ja yksi suora ` Loumlydettaumlvauml suoran ` kans-sa yhdensuuntainen suora jonka leikkauspisteet ympyroumliden S1 ja S2 kanssa ovattaumlsmaumllleen annetun etaumlisyyden a paumlaumlssauml toisistaan (Vihje siirrauml toista ympyraumlauml)

326 Olkoot D E ja F kolmion 4ABC sivujen AB BC ja C A keskipisteet Olkoot O1O2 ja O3 kolmioiden 4ADF 4BDE ja 4C EF ympaumlripiirrettyjen ympyroumliden kes-kipisteet ja olkoot Q1 Q2 ja Q3 samojen kolmioiden sisaumlaumln piirrettyjen ympyroumlidenkeskipisteet Osoita ettauml kolmiot 4O1O2O3 ja 4Q1Q2Q3 ovat yhtenevaumlt

327 Olkoot M ja N annetun nelikulmion ABC D sivujen AD ja BC keskipisteetOsoita ettauml jos janan M N pituus on puolet janojen AB ja C D summasta niinnelikulmio ABC D on puolisuunnikas

328 On annettu kaksi ympyraumlauml S1 ja S2 Piirrauml suora ` joka a) on yhden-suuntainen annetun suoran `1 kanssa ja joka leikkaa ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumljaumlnteet

329 On annettu suora ` ympyrauml S ja piste A Piirrettaumlvauml pisteen A kautta suorajonka leikkauspiste suoran ` kanssa ja leikkauspiste ympyraumln S kanssa ovat yhtaumletaumlaumlllauml pisteestauml A samalla suoralla pisteen A kanssa ja eri puolilla pistettauml A(Vihje 180 kierto)

330 Annetut ympyraumlt S1 ja S2 leikkaavat pisteessauml A ja B Piirrauml pisteen A kauttasuorat `1 ja `2 jotka leikkaavat kumpikin ympyroumlistauml S1 ja S2 yhtauml pitkaumlt jaumlnteet

331 Kahden yhdensuuntaisen suoran muodostama kuvio on selvaumlsti symmetrinenaumlaumlrettoumlmaumln monen pisteen suhteen Voiko geometrinen kuvio olla symmetrinenuseamman kuin yhden mutta kuitenkin vain aumlaumlrellisen monen pisteen suhteen

332 Todista ettauml peilaus suoran suhteen siirto ja kierto ovat todella yhtenevyysku-vauksia Miksi 180 kierto ja peilaus pisteen suhteen ovat sama asia

52 HOMOTETIA

Homotetian tutumpi nimi on skaalaus Tietty tason piste (homotetiakeskus) pysyypaikoillaan ja muut pisteet siirtyvaumlt joko sitauml kohti tietyn osuuden etaumlisyydestaumlaumln taivastaavasti siirtyvaumlt kauemmas Muodollisesti homotetia maumlaumlritellaumlaumln seuraavasti

MaumlaumlritelmaumlPisteen A homotetia pisteen S suhteen on suoran S A piste Aprime jolle

S Aprime

S A= k

Vakio k 6= 0 on homotetiakerroin eli verrannollisuuskertoin Maumlaumlritellaumlaumln ettauml kunk gt 0 pisteet A ja Aprime ovat samalla puolella pistettauml S ja vastaavasti eri puolilla kunk lt 0 Negatiivinen osamaumlaumlrauml voidaan selittaumlauml suunnatuilla janoilla

59

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

S A

AprimeB

B primek = 25

Homotetian perusominaisuuksiaLause 1 Janojen pituus k-kertaistuu homotetiassa

Todistus Olkoot S A ja B kolme pistettauml jotka eivaumlt ole samalla suoralla Pisteet Aja B kuvautukoot pisteiksi Aprime ja B prime homotetiassa jonka keskus on S ja verrannolli-suuskerroin k Homotetian maumlaumlritelmaumln mukaan

S Aprime

S A= SB prime

SB= k

joten kolmiot S AB ja S AprimeB prime ovat yhdenmuotoisia (sks) Siis AprimeB prime = k middot AB 2 Tapausjossa S A ja B ovat samalla suoralla on harjoitustehtaumlvaumlnauml 333

Lause 2 Kulmien suuruus saumlilyy homotetiassa

Todistus Olkoon ABC kulma Homotetiassa janojen AB BC ja C A pituudet k-kertaistuvat joten kolmiot ABC ja AprimeB primeC prime ovat yhdenmuotoiset (kk) Siis angABC =angAprimeB primeC prime 2

Seuraus Kuvion homotetia on alkuperaumlisen kuvion kanssa yhdenmuotoinen Taumlmaumlseuraa suoraan kahdesta edellisestauml lauseesta 2

Homotetia on yksinkertaisen oloinen temppu mutta se on hyoumldyllinen tyoumlkaluesimerksi konstruktiotehtaumlvisaumlauml

ESIMERKKI 58 Konstruktio Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln neliouml jonka sivu on annetulla kolmionsivulla

Ratkaisu Olkoon ABC kolmio jonka sisaumlaumln sivulle BC neliouml piirretaumlaumln Piirre-taumlaumln ensin sivulle BC neliouml BDEC kolmion ABC ulkopuolelle

B

D

C

E

D prime E prime

A

B prime C prime

Piirretaumlaumln nelioumln kaumlrjistauml D ja E janat D A ja E A jotka leikkaavat sivun BCpisteissauml D prime ja E prime Jaetaan sivut AB ja AC pisteillauml B prime ja C prime samassa suhteessakuin missauml D prime jakaa janan AD Nyt B primeD primeE primeC prime on nelikulmio kolmion ABC sisaumlllaumlSe on neliouml koska se on nelioumln BDEC homotetia

60

53 INVERSIO

Harjoitustehtaumlviauml333 Todista lause 1 loppuun homotetia k-kertaistaan jana AB pituuden kun A Bja homotetiakeskus S ovat samalla suoralla Miksi tapaus A = S on helppo

334 Piirrettaumlvauml kolmion sisaumlaumln kolmio jonka sivut ovat annetun kolmionsivujen suuntaiset

335 Piirrettaumlvauml ympyraumlsektorin sisaumlaumln neliouml jonka a) yksi b) kaksi kaumlrkeauml onsektorin kehaumlllauml

336 Piirrettaumlvauml puoliympyraumlaumln suorakulmio joka on annetun suorakulmionkanssa yhdenmuotoinen

337 Paperiarkille on piirretty kaksi suoraa joiden leikkauspiste P ei mahtunutpaperille Piirrauml pisteen P kautta kulkeva suora annetun arkin pisteen kautta

338 Piirrettaumlvauml puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen suuntainen kaksisivua yhdistaumlvauml jana jonka puolisuunnikkaan laumlvistaumljaumlt jakavat kolmeen yhtaumlsuu-reen osaan

339 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka kaksi annettua saumldettauml jakavat kolmeenyhtaumlsuureen osaan

340 Piirrettaumlvauml annetun kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio jonka kaumlrjetovat kolmella annetulla suoralla (Milloin taumlmauml on mahdollista)

341 Teraumlvaumlkulmaisen kolmion ABC sisaumlpiste P peilataan suorien AB ja AC suh-teen pisteiksi QB ja QC sekauml sivujen AB ja AC keskipisteiden yli pisteiksi RB ja RC Oletetaan ettauml kaikki saadut neljauml pistettauml ovat eri pisteitauml ja ettauml suorat QB RB jaQC RC leikkaavat pisteessauml S Osoita ettauml SRB RC sim ABC

342 Piirrettaumlvauml kolmio kun tunnetaan yksi mediaani sekauml sen ja viereistensivujen vaumlliset kulmat

343 Piirrettaumlvauml ympyraumllle jaumlnne jonka annettu jaumlnne puolittaa

53 INVERSIO

Pupun inversio

61

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Maumlaumlritelmauml ja ominaisuudet

Inversio on eraumls geometrinen kuvaus tasossa Se siis liittaumlauml jokaiseen tason pis-teeseen jonkin toisen pisteen Kuten nimestauml voi arvata kyse on eraumlaumlnlaisestakaumlaumlntaumlmisprosessista Inversio kuvaa annetun ympyraumln sisaumlosan sen ulko-osaksija paumlinvastoin Itse ympyrauml pysyy kuvauksessa paikallaan Taumlllaisia kuvauksia onkuitenkin monia tarvitaan taumlsmaumlllinen maumlaumlritelmauml

MaumlaumlritelmaumlPisteen A 6= P inversio P-keskisen r -saumlteisen ympyraumln Γ suhteen on puoli-suoralla PA oleva piste Aprime jolle paumltee

PA middotPAprime = r 2

Piste Aprime on yksikaumlsitteinen joten inversiomme on hyvin maumlaumlritelty Sanotaan myoumlsettauml Aprime on pisteen A peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja sitauml merkitaumlaumln aina pilkulla

PA

Aprime

Γ

Inversion maumlaumlritelmauml sanoo ettauml pistettauml P laumlhellauml olevat pisteet kuvautuvat kauaksipisteestauml P ja toisinpaumlin Erityisesti pisteelle P ei voida maumlaumlritellauml kuvaa inversiossasillauml sen tulisi kuvautua aumlaumlrettoumlmaumln kauas On tapana kuitenkin liittaumlauml tasoon nsaumlaumlrettoumlmyyspiste infin ja sopia ettauml P ja infin kuvautuvat inversiossa toisilleen Seuraa-vaksi hieman perusominaisuuksia inversiolle

Lause 1 Ympyrauml Γ kuvautuu inversiossa itselleenTodistus Olkoon A ympyraumlllauml Γ Taumllloumlin PA = r joten PA middotPA = r 2 Koska A onpuolisuoralla PA niin Aprime = A

Lause 2 Olkoon A 6= P Jos Aprime on pisteen A peilikuva Γn suhteen ja Aprimeprime on pis-teen Aprime peilikuva Γn suhteen niin Aprimeprime = ATodistus Toisin sanottuna kaksinkertainen inversio kuvaa jokaisen pisteen itsel-leen Taumlmauml seuraa suoraan siitauml ettauml ehto PA middotPAprime = r 2 on symmetrinen An ja Aprimensuhteen ja siitauml ettauml jos Aprime on puolisuoralla PA niin myoumls A on puolisuoralla PAprime

Lause 3 Olkoon AB ja P eri pisteitauml Taumllloumlin paumltee 4PAB sim4PB primeAprime

62

53 INVERSIO

P A Aprime

B

B prime

Γ

Todistus Kulma P on molemmissa kolmioissa sama Toisaalta sivuille paumltee

r 2 = PA middotPAprime = PB middotPB prime eliPA

PB= PB prime

PAprime

Siis 4PAB sim4PB primeAprime (sks) 2

Lause 4 Tarkastellaan inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Taumllloumlin paumlteeettauml

1 Pisteen P kautta kulkevat suorat kuvautuvat itselleen

2 Suora joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka kulkee pisteenP kautta

3 Ympyrauml joka kulkee pisteen P kautta kuvautuu suoraksi joka ei kulje pisteenP kautta

4 Ympyrauml joka ei kulje pisteen P kautta kuvautuu ympyraumlksi joka ei kulje pis-teen P kautta

Huomautus Vaikka inversio kuvaisi ympyraumln toiseksi ympyraumlksi se ei yleensauml ku-vaa naumliden kahden keskipisteitauml toisilleen

Todistus Todistamme kohdan 2 ja jaumltaumlmme loput tehtaumlvaumlksi 344 Olkoon siis suoras annettu ja merkitaumlaumln Qlla P n projektiota suoralle s Valitaan nyt jokin suoranpiste R 6= Q Taumllloumlin kolmio 4PRQ on suorakulmainen Lauseesta 3 seuraa ettaumlmyoumls kolmio 4PQ primeR prime on suorakulmainen suorana kulmana angPR primeQ prime Siis jokainenpiste R kuvautuu pisteeksi R prime joka muodostaa suoran kulman pisteiden P ja Q prime

kanssa Toisaalta naumlmauml pisteet R prime sijaitsevat kaumlaumlnteisen kehaumlkulmalauseen nojallaympyraumlllauml jonka halkaisija on PQ prime Siis suora s kuvautuu taumllle ympyraumllle

Seuraavaksi esimerkki siitauml miten inversiolla voi naumlppaumlraumlsti todistaa arkipaumlivaumlisiaumlgeometrian tuloksia

ESIMERKKI 59 Lause Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan allaolevankuvan mukaisesti Jos sivuamispisteet ovat A B C ja D niin ABC D on jaumlnne-nelikulmio

63

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

Todistus On siis todistettava ettauml pisteet A B C ja D ovat samalla ympyraumlllaumlTehdaumlaumln inversio A-keskisen 1-saumlteisen ympyraumln suhteen (saumlteellauml ei niin vaumlliauml)Edellisen lauseen nojalla

bull Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 kuvautuvat suoriksi Γprime1 ja Γprime2bull Ympyraumlt Γ3 ja Γ4 kuvautuvat ympyroumliksi Γprime3 ja Γprime4

Taumlstauml voidaan paumlaumltellauml seuraavaa Koska ympyroumlillauml Γ1 ja Γ2 oli vain yksiyhteinen piste A niin suorilla Γprime1 ja Γprime2 ei ole yhteisiauml pisteitauml joten ne ovatyhdensuuntaisia Samasta syystauml ympyraumlllauml Γprime3 on vain yksi yhteinen pistesuoran Γprime2 ja ympyraumln Γprime4 kanssa joten se sivuaa niitauml Samoin Γprime4 sivuaa suoraaΓprime1

Tutkitaan pisteiden B C ja D kuvia B prime C prime ja D prime inversiossa Jos naumlmauml oli-sivat samalla suoralla niin edellisen lauseen nojalla pisteet B C ja D olisivatympyraumlllauml joka kulkee pisteen A kautta - juuri kuten haluisimme Riittaumlauml siisosoittaa ettauml pisteet B primeC prime ja D prime ovat samalla suoralla Piirretaumlaumln ympyroumlilleΓprime3 ja Γprime4 yhteinen tangentti jonka leikkauspisteet suorien Γprime1 ja Γprime2 olkoot X jaY Riittaumlauml osoittaa ettauml kulmat XC primeD prime ja Y C primeB prime ovat samoja (punaiset kulmatkuvassa) Toisaalta suorien Γprime1 ja Γprime2 yhdensuuntaisuuden nojalla kulmat B primeY C prime

ja D primeXC prime ovat samoja (vihreaumlt kulmat kuvassa) Koska kolmiot Y B primeC prime ja X D primeC prime

ovat tasakylkisiauml niin huippukulmien yhtaumlsuuruudesta seuraa kantakulmienyhtaumlsuuruus eli olemme valmiita

Harjoitustehtaumlviauml344 Todista kohdat 13 ja 4 lauseesta 4

345 Todista kaava joka kertoo miten inversio muuttaa kahden pisteen etaumlisyyttauml

AprimeB prime = r 2 AB

PA middotPB

346 Yksi- ja kaksisaumlteiset ympyraumlt sivuavat toisiaan ulkopuolisesti Piste A onympyroumliden keskipisteiden vaumllissauml etaumlisyydellauml 35 yksisaumlteisen ympyraumln keski-pisteestauml Tehdaumlaumln ensin inversio 1-saumlteisen ympyraumln suhteen ja sitten 2-saumlteisenympyraumln suhteen Minne A kuvautuu

347 Piirrauml ympyraumln Γ sisaumlaumln- ja ympaumlripiirrettyjen nelioumliden kuvat inversiossa sensuhteen

348 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml Q 6= P ja R 6= P tason pisteitauml siten ettauml Q Pja R eivaumlt ole samalla suoralla ja Q prime ja R prime pisteiden Q ja R peilikuvat ympyraumln Γ

suhteen Osoita ettauml pisteet Q R Q prime ja R prime ovat samalla ympyraumlllauml

64

53 INVERSIO

349 Jaumlnnenelikulmion laumlvistaumljien tulo on sama kuin vastakkaisten sivuparientulojen summa (Ptolemaioksen lause) (Vihje tee inversio yhden kaumlrjen suhteen)

350 Olkoon ABC D nelikulmio Osoita ettauml

BC middot AD + AB middotC D Ecirc BD middot AC

ja ettauml taumlssauml vallitsee yhtaumlsuuruus jos ja vain jos ABC D on jaumlnnenelikulmio (Ptole-maioksen epaumlyhtaumllouml)

Maumlaumlritelmauml Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi kaumlyraumlauml jotka leikkaavat pisteessauml Q Kaumlyrien vauml-linen kulma pisteessauml Q on niiden pisteeseen Q piirrettyjen tangenttejen vaumllinenkulma

Vakuuttaudu siitauml ettauml suorien ja ympyroumliden vaumllinen kulma ei riipu valitustaleikkauspisteestauml

351 Tarkastellaan edelleen inversiota P-keskisen ympyraumln Γ suhteen Osoita ettauml

1 Jos ympyrauml Γprime kulkee jonkin pisteen Q 6= P ja sen inversiopisteen Q prime kauttaniin ympyrauml Γprime leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

2 Erityisesti ympyrauml Γprime kuvautuu inversiossa itselleen3 Jos R 6= P ja S 6= P ovat kaksi eri pistettauml jotka eivaumlt ole samalla ympyraumln Γ

halkaisijalla niin loumlytyy taumlsmaumllleen yksi ympyrauml joka kulkee pisteiden R ja Skautta ja leikkaa kohtisuorasti ympyraumln Γ

352 Olkoon Γ P-keskinen ympyrauml ja Γprime Q-keskinen ympyrauml joka kulkee pisteen Pkautta Olkoon Q prime pisteen Q peilikuva ympyraumln Γ suhteen ja leikatkoon ympyraumlnΓprime peilikuva ympyraumln Γ suhteen puolisuoran PQ pisteessauml R Osoita ettauml PR = RQ prime353 Olkoon Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkaavat toisiaan kohtisuorasti Osoitaettauml inversiossa ympyraumln Γ1 suhteen ympyraumln Γ2 keskipiste kuvautuu ympyroumlidenΓ1 ja Γ2 yhteisen jaumlnteen keskipisteelle

354 Olkoot O P ja Q kolme eri pistettauml samalta suoralta siten ettauml piste O eiole pisteiden P ja Q vaumllissauml Konstruoi O-keskinen ympyrauml Γ siten ettauml piste Q onpisteen P kuva inversiossa ympyraumln Γ suhteen

355 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi harpilla ja viivai-mella annetun pisteen Q 6= P kuva Γ-keskisessauml inversiossa Keksitkouml helpon tavantehdauml taumlmauml pelkaumlllauml harpilla

356 Olkoon ympyrauml Γ ja sen keskipiste P annettu Konstruoi kahden annetunpisteen Q 6= P ja R 6= P kautta ympyrauml joka leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

357 On annettu O-keskinen ympyrauml Γ suora ` sekauml piste P 6= O suoralta `Konstruoi ympyrauml joka kulkee pisteen P mutta ei pisteen O kautta sivuaa suoraa `ja leikkaa ympyraumln Γ kohtisuorasti

358 (Taumlrkeauml) Osoita ettauml suorien ja ympyroumliden vaumlliset kulmat pysyvaumlt vakioinainversiossa

359 Olkoot Γ1 ja Γ2 kaksi ympyraumlauml jotka leikkavat toisensa pisteissauml P ja Q Osoitaettauml jos ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat molemmat kohtisuorasti jonkin kolmannenO-keskisen ympyraumln Γ3 niin pisteet P Q ja O ovat samalla suoralla

360 Olkoon Γ1Γ2 ja Γ3 kolme ympyraumlauml jotka sivuavat toisiaan pareittain pisteissaumlA12 A23 ja A31 vastaavasti Lisaumlksi ympyrauml Γ4 sivuaa kaikkia kolmea ympyraumlauml pis-teissauml B1B2 ja B3 vastaavasti Osoita ettauml a) Pisteet A31 A21B2 ja B3 ovat samallaympyraumlllauml b) Taumlmauml ympyrauml leikkaa kaikkia muita ympyroumlitauml kulmassa 45

361 Kolme ympyraumlauml Γ1Γ2 ja Γ3 sivuavat toisiaan ulkopuolisesti pisteissauml AB ja C Osoita ettauml kolmion 4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3

kohtisuorasti

65

5 GEOMETRISIA KUVAUKSIA

362 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 sivuavat toisiaan pisteessauml A Ympyrauml Γ3 sivuaa ympyraumlauml Γ1

pisteessauml B ja leikkaa ympyraumln Γ2 kohtisuorasti pisteessauml C Osoita ettauml kolmion4ABC ympaumlripiirretty ympyrauml leikkaa ympyroumlitauml Γ1Γ2 ja Γ3 kulmassa 45

363 Ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml A ja B ja suora s sivuaa ympyroumlitauml Γ1 jaΓ2 pisteissauml S1 ja S2 ja suora t sivuaa samoja ympyroumlitauml samassa jaumlrjestyksessauml pis-teissauml T1 ja T2 Osoita ettauml kolmioiden 4S1S2 A ja 4T1T2 A ympaumlripiirretyt ympyraumltsivuavat toisiaan

364 Piste L on ympyraumln Γ sisaumlpiste mutta ei sen keskipiste O Osoita ettauml kaikkienpisteen L kautta piirrettyjen jaumlnteiden paumlaumltepisteiden kautta piirrettyjen ympyraumlnΓ tangenttien parien leikkauspisteet ovat kaikki samalla suoralla

365 Olkoon PQ ympyraumln Γ halkaisija ja pisteet A ja B ympyraumlllauml Γ samalla puolellahalkaisijaa PQ Olkoon C pisteisiin A ja B piirrettyjen tangenttejen leikkauspisteLeikatkoon pisteeseen Q piirretty tangentti suorat PA PB ja PC pisteissauml A0B0 jaC0 Osoitettava ettauml C0 on janan A0B0 keskipiste

366 Olkoon Γ1 Γ2 Γ3 ja Γ4 neljauml ympyraumlauml joista mitkaumlaumln kolme eivaumlt kulje samanpisteen kautta Oletetaan ettauml ympyraumlt Γ1 ja Γ2 leikkaavat pisteissauml P ja P prime ettauml ym-pyraumlt Γ2 ja Γ3 leikkaavat pisteissauml Q ja Q prime ettauml ympyraumlt Γ3 ja Γ4 leikkaavat pisteissaumlR ja R prime ja ettauml ympyraumlt Γ4 ja Γ1 leikkaavat pisteissauml S ja Sprime Taumllloumlin pisteet P Q R jaS ovat samalla suoralla jos ja vain jos pisteet P prime Q prime R prime ja Sprime ovat samalla suoralla(Miquelin suurempi lause)

66

Kirjallisuutta

[A-C] ALTSHILLER-COURT N College Geometry Dover Publications Inc Mi-neola New York 2007

[AampA] ANDREESCU T ja D ANDRICA 360 Problems for Mathematical ContestsGIL Publishing House Zalau Romania 2003

[BampE] BECHEANU M ja B ENESCU Balkan Mathematical Olympiads 1984ndash2006 GIL Publishing House Zalau Romania 2007

[B] BLAIR D E Inversion Theory and Conformal Mapping Student Mathe-matical Library 9 American Mathematical Society 2000

[CampG] COXETER H S M ja S L GREITZER Geometry Revisited New Mathema-tical Library 19 The Mathematical Association of America WashingtonD C 1967

[En] ENGEL A Problem-Solving Strategies Springer New York 1998[Ev] EVES H Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and

Bartlett Publishers London 1992[FGM] F G-M Exercices de geacuteomeacutetrie Eacuteditions Jacques Gabay Sceaux 1991[J] JOHNSON R A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications New

York 2007[L] LEHTINEN M MERIKOSKI J ja TOSSAVAINEN T Johdatus tasogeometri-

aan WSOY Oppimateriaalit 2007[M] MELZAK Z A Invitation to Geometry Dover Publications Inc Mineola

New York 2008[N] NEGUT A Problems for the Mathematical Olympiads GIL Publishing

House Zalau Romania 2005[O] OGILVY C S Excursions in Geometry Dover Publications New York

1990[P] PEDOE D Circles A Mathematical View Dover Publications New York

1979[PampS] POSAMENTIER A S ja C T SALKIND Challenging Problems in Geometry

Dover Publications New York 1996[R] REPO Y 11 sarjaa tasogeometrian harjoitustehtaumlviauml Weilin amp Goumloumls Hel-

sinki 1965[SampS] SORTAIS Y ja SORTAIS R La geacuteomeacutetrie du triangle Hermann Paris

2002[S] SUOMALAINEN S Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa

harppi-viivaingeometriassa httpwwwakafiTiedostotViksu2010tyoumltSakke_Suomalainen_Kilpailutyouml[1]pdf

[T] TAO T Solving Mathematical Problems A Personal Perspective OxfordUniversity Press New York 2006

[V] VAumlISAumlLAuml K Geometria WSOY Porvoo 1968[Y1] YAGLOM I M Geometric Transformations I New Mathematical Library

8 Random House New York 1962[Y2] YAGLOM I M Geometric Transformations II New Mathematical Library

21 Random House New York 1968

67