www.gruparectan.com

1. Kratownica

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

2. Szkic projektu

rysunek jest w skali True

3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności kratownicy o strukturze prostej :

p=2w-r

gdzie :

p= liczba prętów kratownicy

w= liczba węzłów kratownicy

r= liczba stopni swobody odbieranych przez podpory

Strona :1

www.gruparectan.com

Kratownica :

warunek : 7=7 , warunek jest spełniony

4. Wyznaczenie Reakcji Podporowych

siły i reakcje będziemy przyjmować za dodatnie , gdy są skierowane zgodnie z układem osi XY

siły i reakcje będziemy przyjmować za ujemne , gdy są skierowane niezgodnie z układem osi XY

siły i reakcje będziemy rzutować na oś X i oś Y wyliczając odpowiednie składowe rzutów

gdzie β to kąt zawarty pomiędzy siłą lub reakcją a osią X na podstawie tego kąta można określić zwrot siły lub reakcji

.................................................................................................................................................................

Uwalniamy daną kratownicę od więzów i wyznaczamy reakcje podporowe.

Ogólne warunki równowagi

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment = 0

przyjmujemy punkt, w którym znajduje się podpora przegubowa, w tym punkcie Moment = 0

Strona :2

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś X

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś Y

5. Szkic projektu

Strona :3

www.gruparectan.com

rysunek jest w skali True

6. Sprawdzenie Reakcji Podporowych

Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w punkcie [(-1,000);(-1,000)] w naszym układzie XY

(Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w obliczaniu Sumy Momentów )

W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0

suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie, w którym Moment = 0

Strona :4

www.gruparectan.com

7. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X

8. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y

9. Obliczenie kątów nachylenia prętów do osi X

dX i dY to różnica pomiędzy współrzędnymi końca pręta

Pręt Nr 0-1=90,000°

Pręt Nr 1-2=(-45,000)°

Pręt Nr 0-2=0,000°

Strona :5

www.gruparectan.com

Pręt Nr 1-3=0,000°

Pręt Nr 3-2=(-90,000)°

Pręt Nr 2-4=0,000°

Pręt Nr 3-4=(-45,000)°

10. Obliczenie sił w Prętach

Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y musi być równa zero

To suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle.

To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest istnieje.

To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest przyłożona.

To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle.

Strona :6

www.gruparectan.com

To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest istnieje.

To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest przyłożona.

Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w Prętach jest najmniejsza i wynosi maksymalnie 2

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =0

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

Strona :7

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =4

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

Strona :8

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =1

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

.................................................................................................................................................................

Strona :9

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =2

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

równanie

lub równanie

Strona :10

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

11. Szkic projektu

rysunek jest w skali True

Tabela 1 Siły Prętowe

Pręt N [kN] kąt [ °] L [m] funkcja

0-1 0,0000 90,0000 2,000 jest zerowy

1-2 -25,4558 -45,0000 2,828 ściskany

0-2 36,0000 0,0000 2,000 rozciągany

1-3 -18,0000 0,0000 2,000 ściskany

3-2 18,0000 -90,0000 2,000 rozciągany

2-4 18,0000 0,0000 2,000 rozciągany

3-4 -25,4558 -45,0000 2,828 ściskany

Strona :11

www.gruparectan.com

12. Obliczenie sił w Prętach Metodą Rittera

Punkt Rittera jest to punkt w którym przecinają się linie działania pozostałych dwóch sił. W naszym przypadku oznaczono je żółtym prostokątem.

Wyliczając Moment Statyczny w Punkcie Rittera od sił i reakcji należących do odciętej części Kratownicy redukujemy w równaniach te niewiadome siły które się przecinają, ponieważ ramię działania momentu tych sił wynosi zero.

Odcięta Kratownica jest w równowadze kiedy suma jej składowych sił i reakcji rzutowana na oś X i oś Y jest równa zero.

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

gdzie :

To suma sił odciętej kratownicy rzutowana na oś X.

To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli reakcje należą do części.

To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli siły są przyłożone do części.

To suma sił prętowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y.

To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli reakcje należą do części.

Strona :12

www.gruparectan.com

To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli siły są przyłożone do części.

.................................................................................................................................................................

Wybrano Przecięcie =0

W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ równań :

1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera

2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X

3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y

Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie Rittera jest natychmiastowe ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną niewiadomą

Strona :13

www.gruparectan.com

Moment względem Punktu Rittera [0;2]

Moment względem Punktu Rittera [2;0]

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Strona :14

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

Wybrano Przecięcie =1

W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ równań :

1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera

2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X

3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y

Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie Rittera jest natychmiastowe ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną niewiadomą

Moment względem Punktu Rittera [2;0]

Strona :15

www.gruparectan.com

Moment względem Punktu Rittera [2;2]

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Strona :16

www.gruparectan.com

.................................................................................................................................................................

13. Obliczenie sił w Prętach Metodą Cremony

(grot wektora jest oznaczony numerem pręta, pokazane są tylko pierwsze wektory iteracji)

(wektor drugiej iteracji będzie miał oczywiście zwrot przeciwny do pierwszego )

Obliczamy reakcje podporowe kratownicy i rysujemy wielobok sił i reakcji

Porządek rysowania przyjmujemy zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Plan Maxwell

Strona :17

www.gruparectan.com

Wielobok sił i reakcji

.................................................................................................................................................................

Strona :18

www.gruparectan.com

Wybrano Węzeł =0

Wybrano Węzeł =4

Strona :19

www.gruparectan.com

Wybrano Węzeł =1

Wybrano Węzeł =2

.................................................................................................................................................................

Strona :20

www.gruparectan.com

Wykres Cremony

.................................................................................................................................................................

Aby określić wartości sił należy porównać wykreślone wektory sił ze skalownikiem

.................................................................................................................................................................

Wydruk Kratos Copyright © 2015 Grupa Rectanwww.gruparectan.com

Strona :21