海淀区 2019 年八年级学业发展水平评价 数 学 ·...
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海淀区 2019 年八年级学业发展水平评价
数 学
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
在下列各题的四个选项中，只．有．一．个．是符合题意的．
1. 下列实数中，是方程 x2 4 0 的根的是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2019.7
2. 如图，在Rt△ABC 中,
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
C 90 °， BC 6 ， AC 8 ，则 AB 的长度为
B
C A
3. 在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组邻边相等 D. 对角线互相垂直
4. 下列各曲线中，不表示 y 是x 的函数的是
y
x
A B C D
5. 数据 2, 6, 4, 5, 4, 3 的平均数和众数分别是
A．5 和4 B．4 和4 C．4.5 和4 D．4 和5
y
1
O 1 x
y
1
O 1 x
y
1
O 1 x
注
意
事
项
1. 本试卷共 7 页，5 道大题，25 道小题，满分 100 分, 考试时间 90 分钟。
2. 在答题纸上准确填写姓名、准考证号，并将条形码贴在指定区域。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4. 在答题纸上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹的签字笔作答。
5. 考试结束，请将答题纸和草稿纸一并交回。
1
O 1
5
C
O
6. 一元二次方程 x2 8x 1 0 经过配方后可变形为
A. (x 4)2 15 B. (x 4)2 17
C. (x 4)2 15 D. (x 4)2 17
7.若点A(3, y1 ),B(1,y2 ) 都在直线 y x 2 上，则 y1 与y2 的大小关系是
A. y1＜y2 B. y1＝y2
C. y1＞y2 D. 无法比较大小
8.如图，正方形 ABCD 的边长为
则 BE 的长度为
A.
B. 102
, 对角线 AC, BD 交于点 O, E 是 AC 延长线上一点, 且CE=CO.
E
D
C.
D. 2 A B
9.对于一次函数y kx b （k, b 为常数），下表中给出5 组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函
数值计算有误，则这个错误的函数值是
A. 5
B. 8
C. 12
D. 14
10.博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所，其存在的目的是为公众提
供知识、教育及欣赏服务. 近年来，人们到博物馆学习参观的热情越来越高. 2012-2018 年我国博物
馆参观人数统计如下：
2
3
5
x -1 0 1 2 3
y 2 5 8 12 14
博物馆参观人数：亿人次
2018年2017年2016年2015年2014年2013年2012年
4
2
0
5.6466.38
7.817.188
8.50
10.089.72
12
10
2012-2018年全国博物馆参观人数统计图
小明研究了这个统计图，得出四个结论：
① 2012 年到 2018 年，我国博物馆参观人数持续增长；
② 2019 年末我国博物馆参观人数估计将达到 10.82 亿人次；
③ 2012 年到 2018 年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是 2017 年；
④ 2016 年到 2018 年，我国博物馆参观人数平均年增长率超过 10%．其
中正确的是
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
11．如图，在□ABCD 中，∠B=110°，则∠D= °.
D C
A B
12. 八年级（1）班甲、乙两个小组的 10 名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下：
甲组成绩（环） 8 7 8 8 9
乙组成绩（环） 9 8 7 9 7
由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是 组.
13. 若关于x 的一元二次方程x2 6x m 0有实数根, 且所有实数根均为整数，请写出一个符合条件
的常数m 的值：m= .
14. 如图，某港口 P 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长
峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小
时航行12 n mile，“长峰”号每小时航行16 n mile，它们离开港口1 小
时后，分别到达A，B 两个位置，且AB=20 n mile，已知“远洋”号沿着
北偏东 60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 .
15. 若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩
形为“优美矩形”.某公园在绿化时,工作人员想利用如图所示的直角墙
角（两边足够长）和长为38 m 的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花
园ABCD,,其中边AB, AD 为篱笆,且AB 大于AD. 设AD 为x m, 依题
意可列方程为 .
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx 3 与x，y 轴分别交于点 A，B，若将该直线向右平移 5 个
单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则k 的值为 .
三、解答题（本题共 26 分，第 17 题 8 分，第 18，20 题各 5 分，第 19，21 题各 4 分）
17. 解方程：
（1）x2 2x 3 0 ； （2）2x2 3x 1 0 .
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象与直线 y＝2x 平行，且经过点 A(1,6)．
（1） 求一次函数 y=kx+b 的解析式；
（2） 求一次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
19. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．已
知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC =90°，O 为AC 的中点．
求作：四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为矩形．
作法：①作射线 BO，在线段 BO 的延长线上取点 D，使得 DO=BO；
②连接 AD，CD，则四边形 ABCD 为矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程. C
（1） 使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
（2） 完成下面的证明．B A
证明：∵点 O 为 AC 的中点，
∴ AO=CO．
又∵ DO=BO，
∴四边形ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
O
北
A60°
P 东
B
D
A B
C
∵∠ABC =90°，
∴□ABCD 为矩形（ ）（填推理的依据）．
20. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x k 4 0 有实数根．
（1） 求k 的取值范围;
（2） 若k 是该方程的一个根，求2k2 6k 5的值．
21. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD（如图所示）的周长，其中边 CD 上有水池及建筑
遮挡，没有办法直接测量其长度.
小东经测量得知 AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°.
小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度.
你同意小明的说法吗？若同意，请求出 CD 的长度；若不同意，请说明理由.
B C
A
D
四、解答题（本题共 13 分，第 22 题 7 分，第 23 题 6 分）
22. 三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山 ”为主题的学习节活动 .为了
让同学们更好的了解二十四节气的知识 , 本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，
增设了
“二十四节气之旅”项目，并开展了相关知识竞赛. 该学校七、八年级各有 400 名学生参加了这次
竞赛, 现从七、八年级各随机抽取 20 名学生的成绩进行抽样调查.
收集数据如下：
七年级：74 97 96 72 98 99 72 73 76 74
74 69 76 89 78 74 99 97 98 99
八年级：76 88 93 89 78 94 89 94 95 50
89 68 65 88 77 87 89 88 92 91
整理数据如下：
人数 成绩
年级50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
七年级 0 1 10 1 a
八年级 1 2 3 8 6
分析数据如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84. 2 77 74 138.56
八年级 84 b 89 129.7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2） 你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合
理性）；
（3） 学校对知识竞赛成绩不低于 80 分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得
优胜奖的大约有 人.
23. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点B 作BE⊥CD 于点E，延长CD 到点F，使
DF=CE，连接 AF.（1） 求证：四边形 ABEF 是矩形；
（2） 连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF 的长度.
A B
F D E C
五、解答题（本题共 13 分，第 24 题 6 分，第 25 题 7 分）
24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx 7 与直线 y x 2 交于点 A3,m .
（1） 求 k,m 的值；
（2） 已知点P n,n ，过点 P 作垂直于 y 轴的直线与直线 y x 2 交于点M ，过点P 作垂直于 x 轴
的直线与直线 y kx 7 交于点 N （P 与N 不重合）. 若PN 2PM ，结合图象，求n 的取值范
围．
y
1
O 1 x
O
25. 在Rt△ABC 中，BAC 90 ，点O 是△ABC 所在平面内一点，连接 OA，延长OA 到点E，使得
AE=OA，连接 OC，过点 B 作 BD 与 OC 平行，并使∠DBC=∠OCB，且 BD=OC，连接 DE.
（1） 如图一，当点 O 在Rt△ABC 内部时.
① 按题意补全图形；
② 猜想 DE 与BC 的数量关系，并证明.A
B C
图一
（2） 若AB = AC（如图二）， 且 OCB 30,OBC 15 ，求AED 的大小．
A
B C
图二
A
B C
备用图
O
答案 第1页
A
B C
备用图
答案 第2页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B D A C C B
二、填空题
11．110
12．甲
13．0（答案不唯一）
14．南偏东 30°
15． (38 x)2 38x （无需写成一般式）
16
.
3
（填对一个得 2 分，填对两个得 3 分，含有错误答案得 0 分）4
三、解答题
17. 解：
（1）x2 2x 3 0 ；
解法一： x2 2x 3 0
x2 2x 3
x2 2x 1 4
(x 1)2 4
x 1 2
…………………………………………………………………………1 分
………………………………………………………………………………2 分
………………………………………………………………………………3 分
x1 3,
x2 1 ………………………………………………………………………………4 分
解法二： x2 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0
………………………………………………………………………………2 分
x1 3,
x2 1 ………………………………………………………………………………4 分
（2）2x2 3x 1 0 .
解：2x2 3x 1 0
a 2, b 3, c 1
9 4 2(1) 17 0
答案 第3页
……………………………………………………………………1 分
x 3 17
4………………………………………………………………………………3 分
x 3 1 4
17
,x 3 172 4
……………………………………………………………………4 分
注：若（1）中用公式法，请参考（2）中评分细则
答案 第4页
D
O
18. 解：
（1） 一次函数 y kx b 的图象为直线，且与直线 y 2x 平行，
k 2............................................................................................................................................ 1 分
又知其过点 A(1,6),
2 b 6 .
b 4 .
一次函数的解析式为y 2x 4........................................................................................2 分
（2）当 x 0 时， y 4 ,
可知直线y 2x 4 与y 轴的交点为 (0, 4)......................................................................3 分
当 y 0 时， x 2 ,
可知直线y 2x 4 与x 轴交点为 (2, 0).......................................................................4 分
可得该直角三角形的两条直角边长度分别为 4 和 2.
所以直线y 2x 4 与坐标轴围成的三角形的面积为1 4 2 4........................... 5 分
2
19. 解：
（1） 作图如图所示
C
B A...............................................................................................................................2 分
（2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形............................................................................... 3 分
有一个角是直角的平行四边形是矩形.....................................................................................4 分
20. 解：
（1） x2 2x k 4 0 有实数根，
0.....................................................................................................................................................1 分
即22 4k 4 0 .
k 5.................................................................................................................................................. 2 分
（2） k 是方程x2 2x k 4 0 的一个根，
k2 2k k 4
0.
……………………………………………………………………………3 分
k2 3k 4.................................................................................................................................. 4 分
2k2 6k 5
2k 2 3k 5
3...........................................................................................................................................................5 分
答案 第5页
BD2 BC2 52 122
21. 解：
同意.....................................................................................................................................................1 分
连接 BD，如图.
∵AB=AD=5 (m)，∠A=60°， B C
∴△ABD 是等边三角形................................................ 2 分
∴BD=AB=5 (m)，∠ABD=60°. A
∵∠ABC=150°，
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°. ……3 分D
在 Rt△CBD 中，BD=5 (m)，BC=12 (m)，
∴CD= 13 (m).......................................................................................4 分
四、解答题
22. 解：
（1）8，88.5；.........................................................................................................................................2 分
（2）你认为 八 年级知识竞赛的总体成绩较好，
理由1：八年级成绩的中位数较高；
理由 2：八年级与七年级成绩的平均数接近且八年级方差较低，成绩更稳定.
或者
你认为 七 年级知识竞赛的总体成绩较好，
理由1：七年级的平均成绩较高；
理由 2：低分段人数较少 .
…………………………………………………………………………………5 分
（答案不唯一，合理即可）
（3）460．.................................................................................................................................................7 分
23. （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB CD ，AB ∥CD .
∵ DF CE ,
∴DF DE CE ED ,
即: FE CD .
∵点 F、E 在直线 CD 上,
∴ AB FE AB∥FE .
∴四边形ABEF 是平行四边形...........................................................................................................1 分
又∵ BE CD ，垂足是 E,
∴BEF 90 .
∴四边形ABEF 是矩形.......................................................................................................................2 分
（2）解：∵四边形 ABEF 是矩形O ,
∴AFC 90 ，AB FE .
∵ AB 6, DE 2 ,
∴ FD 4 .
∵ FD CE ,
∴ CE 4 .
答案 第6页
AF 2 FC229
29
∴FC 10................................................................................................................................................. 3 分
在Rt△AFD 中， AFD 90 ．
∵ADF 45 ,
∴AF FD 4.................................................................................................................................. 4 分
在Rt△AFC 中， AFC 90 ．
∴AC 2 ．.......................................................................................................5 分
∵点 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点，
∴ O 为 AC 中点.
在Rt△AFC 中， AFC 90 ． O 为 AC 中点．
∴OF 1AC ．......................................................................................................................6 分
2
五、解答题
24. 解：
（1） ∵直线y=kx＋7 与直线y=x﹣2 交于点A（3，m），
∴m=3k＋3，m=1.................................................................................................................................1 分
∴k=﹣2...............................................................................................................................................2 分
（2） ∵点P（n，n），过点P 作垂直于y 轴的直线与直线y=x﹣2 交于点M，
∴M（n＋2，n）.
∴PM=2.................................................................................................................................................3 分
∵PN≤2PM，
∴PN≤4.
∵过点 P 作垂直于 x 轴的直线与直线 y=kx＋7 交于点 N，k=﹣2，
∴N(n,﹣2n+7).
∴PN= 3n 7...........................................................................4 分
当 PN=4 时，如图，即 3n 7 =4，
∴n=1 或 n=11
.3
∵P 与 N 不重合,
∴ 3n 7 0 .
∴ n 7.
3
当 PN≤4（即 PN≤2PM）时，
n 的取值范围为：1≤n 7或
7 n ≤
11..................................................................................6 分
3 3 3
10 y
9
8
7
6
5 N
4
3
2
1P M
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 8x
–
1
答案 第7页
A
O
A
M
O
F
25. 解：E
（1） ①补全图形，如图一...................................................... 1 分
②猜想DE=BC...................................................................... 2 分
如图，连接 OD 交 BC 于点 F，连接 AF.
在△BDF 和△COF 中,
DBF OCF , B CDFB OFC, D
图 一DB OC,
∴△BDF≌△COF. E
∴DF=OF, BF=CF.................................................................3 分
∴F 分别为BC 和DO 的中点. A
∵∠BAC=90°, F 为 BC 的中点,
∴ AF 1BC . O
2
∵OA=AE, F 为 BC 的中点,
∴ AF 1
ED .2
∴DE=BC.............................................................................. 4分
（2） 如图二，连接 OD 交BC 于点F，连接 AF，延长 CO交 AF 于点 M，连接 BM.
由（1）中②可知，点 F 为 BC 的中点，
AF 为 Rt△ABC 斜边 BC 边中线，为△OED 的中位线,
∴AF 为 BC 边的垂直平分线.
∴MB=MC.∵∠OCB=30°,∠OBC=15°,
B F C
D
E
B C
D
答案 第8页
A
M
D O'
F
图二
∴∠MBC=∠MCB=30°.
∵∠BAC=90°,AB=AC, E
∴∠MBO=∠MBA=15°.
又可证∠BAM=∠BOM=45°.
∴△BMA≌△BMO.
∴AM=OM 且∠BMO=∠BMA=120°.
∴∠OMA=120°.
∴∠MAO=30°.
∵AF 为△OED 的中位线,
∴AF∥ED. B C
∴∠AED=30°.
类似的，如备用图可知，∠AED=15°. ………………7 分O
备用图
(提示：证明△ABO 为等边三角形，得到∠AED=15°.)
∴∠AED=30°或 15°.
注：各题中若有其他合理的解法请酌情给分.
