1

: منطق فازی6فصل

مقدمه

منطق دانان، منطق به معنی قانون صحیح فکر کردن است و راه و روش صحیح فکر کردن از نظر اما .منطق در لغت به معنی کالم و گفتار است

معیار و ابزاری برای سنجش ، قواعد و قوانین منطقی به منزله یک مقیاس و به عبارت دیگر .و درست اندیشیدن و نتیجه گیری کردن را می آموزد

زندگی، تفکر و استدالل کنیم، باید استدالل ها و استنتاج است که هر گاه بخواهیم درباره موضوعی؛ اعم از علمی، فلسفی و یا حتی امور روزمره

قواعد ذهن آدمی را به دست آورد نخستین کسی که .های خود را با این مقیاس و معیار بسنجیم و ارزیابی کنیم تا به طور غلط نتیجه گیری نکنیم

ج کرد،خویش استخرا ، با دقت اعجاب انگیز و ابتکارقیاس و با ترتیبی خاص و منظم، مدون ساخت و بسیاری از قوانین آن را خصوصا در مبحث

.است ارسطو

منطق معمولی درست یا نادرستی یک گزاره را بحث می کند. ولی خیلی از موضوعات علمی و حتی امور روزمره دارای ابهام و عدم صراحت

ی مباشند که صرفا با دو ارزش نمی توان آنها را سنجید در اینجا از منطق فازی استفاده می کنیم. در واقع منطق معمولی یک منطق دو ارزشی می

باشد ولی منطق فازی یک منطق بی نهایت ارزشی می باشد. بعنوان مثال در منطق معمولی می گوییم گزاره درست است یا نادرست. اما در منطق

درست است. 0.3زی می گوییم گزاره کمی درست است یا گزاره به میزان فا

یاد آوری منطق معمولی 6-1

منطق در ریاضیات تقریبا همان حساب گزاره ها می باشد. پس ابتدا گزاره را تعریف کرده و سپس اعمال روی گزاره ها را توضیح می دهیم.

ای است خبری که دقیقا درست یا نادرست باشد. جملهه گزار: 1-6تعریف

.توانند گزاره باشندتوانند به عنوان یک گزاره تلقی شوند و همه جمالت خبری هم نمیجمالت امری،پرسشی و عاطفی نمی

علی "خبری لی جملهاند وهمگی جمالت خبری هستند و یک گزاره "است 3بزرگتر از 2" یا " عددی اول است3" به عنوان مثال جمله

کند(.باشد)بر حسب سلیقه تغییر میمعین نمی دقیقا درستی یا نادرستی آن چونتلقی شود معمولی تواند یک گزاره نمی "خوبی است. دانشجوی

توانند یک نمی« ر است؟بر پنج بخشپذی 155آیا »و یا « لطفا درب را باز کنید»یا « چه گل زیبایی!» مثلهمچنین جمالت عاطفی و امری و پرسشی

.معنی خواهد بودتوان بر روی آنها ارزش درستی یا نادرستی قرار داد و اساسا ارزش گذاری آنها بینمی زیراگزاره باشند

را یک p یک گزاره چوننیز نمایش می دهند 0و 1ارزش درستی یا نادرستی را با . نمایش داده می شود …,p,q,r گزاره را با حروفی همچون

گوییم. آید گزاره مرکب میای را که از ترکیب دو یا چند گزاره بوجود میگوییم و گزارهگزاره ساده می

نقیض گزاره 6-1-1

2

نشان p~ را با نماد p یک گزاره باشد آنگاه نقیض p اگر.ای است که ارزش آن دقیقا مخالف ارزش گزاره اولیه باشدنقیض یک گزاره، گزاره

. p ، نقیضp ، نه p چنین نیست که»خوانیم دهیم و میمی

~p p

0 1

1 0

ترکیب عطفی 6-1-2

دو گزاره باشند ترکیب عطفی این دو q و p گویند. اگررا ترکیب عطفی دو گزاره می« و» حرف ربطگزاره مرکب از ترکیب دو گزاره بوسیله

p گزاره به صورت ∧ q .نمایش داده می شود

p ∧ q q P

1 1 1

0 0 1

0 1 0

0 0 0

ترکیب فصلی 6-1-3

این دو گزاره فصلی دو گزاره باشند ترکیب q و p گویند. اگررا ترکیب عطفی دو گزاره می« یا»رابطگزاره مرکب از ترکیب دو گزاره بوسیله

نمایش داده می شود. p⋁q به صورت

p⋁q q P

1 1 1

1 0 1

1 1 0

0 0 0

3

ترکیب شرطی 6-1-4

گزاره پس گوییم. می q با p را گزاره شرطی گزاره« اگر...آنگاه»دو گزاره باشند، گزاره مرکب حاصل از ترکیب دو گزاره با لفظ q و p اگر

: نویسیمخواهد بود که در این صورت می " q آنگاه p اگر" به صورت q و p شرطی حاصل از دو گزاره

:است زیر شود. جدول ارزش یک گزاره شرطی به صورتتالی گفته می q مقدم و p به فوقدر گزاره شرطی

p ⟹ q q P

1 1 1

0 0 1

1 1 0

1 0 0

های بیان گزاره شرطیروش

:باشندهای زیر همگی به یک معنی میهای شرطی در زبانهای طبیعی بسیار متنوع است. گزارهبیان گزاره

qه آنگاp اگر

q آنگاه p هرگاه

q آنگاه p درحالیکه

pفقط وقتی که q

q اگر p

q به شرط آنکه p

q در صورتی که p

بر دو بخش پذیر است. 10زوج باشد آنگاه 10اگر -: الف 2-6مثال

فرد است. 10بخش پذیر باشد آنگاه 4بر 10اگر -ب

4

هر دو گزاره فوق درست می باشند. ولی گزاره زیر نادرست است:

بر دو بخش پذیر است. 3اول باشد آنگاه 3اگر -ج

ترکیب دو شرطی 6-1-5

با عکس خودش است را ترکیب دوشرطی q آنگاه p اگر را که ترکیب عطفی گزاره شرطی " p آنگاه q و اگر q آنگاه p اگر "گزاره

p گوییم. گزاره دو شرطی فوق را به صورتمیهای گزاره دوشرطی مولفه q و p هایگوییم و به گزارهمی q با p گزاره ⇔ qنویسیم و می

:های زیر می خوانیمبه صورت

p ( اگر وفقط اگر )اگر و تنها اگر q

q آن است که p شرط الزم و کافی برای آنکه

p وقتی کهو فقط فقط q

:پس بنابه تعریف فوق داریم

p ⇔ q q p

1 1 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

ارزی:هم

دو گزاره را هم ارز گویند هر گاه ارزش آنها یکسان باشد.

p :3-6مثال ⇒ q ≡ ~p ∨ q

5

p ⟹ q q P

1 1 1

0 0 1

1 1 0

1 0 0

~p ∨ q ~p Q P

1 0 1 1

0 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 0

خواص گزاره ها 6-1-6

گزاره های دلخواهی باشند آنگاه p,q,rاگر

pخاصیت خود توانی : ∨ p ≡ p , p ∧ p ≡ p

pخاصیت جابجایی : ∨ q ≡ q ∨ p , p ∧ q ≡ q ∧ p

p)خاصیت شرکتپذیری: ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) , (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

pخاصیت توزیع پذیری: ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) , p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

pخاصیت خود توانی: ∨ (p ∧ q) ≡ p , p ∧ (p ∨ q) = p

p: نقیضخاصیت ∨ ~p ≡ 1 , p ∧ ~p ≡ 0

pخاصیت همانی: ∨ 0 ≡ p , p ∧ 1 ≡ p

p)~خاصیت دمورگان: ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q , ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

p~~نقیض مضاعف: ≡ p

6

pعضو صفر: ∨ 1 ≡ 1 , p ∧ 0 ≡ 0

ل وخواص فوق را با استفاده از جدول ارزشها می توان اثبات کرد. در فصل اول نشان دادیم که مجموعه همه گزاره ها با اعمال منطقی یک جبر ب

( می باشد.6تا 1واص جبر بول ) خواص می باشد. چون داررای خ

تابع ارزش 6-1-7

گزاره مفروضی باشد آنگاه تابع ارزش آن بصورت زیر تعریف می شود: pاگر

V(p) = {p درست 1

p نادرست 0

استفاده شده است یا به عبارت دیگر 0و 1در واقع جدولهای ارزش گزاره ها که در قسمتهای قبل آورده شده است به جای درست و نادرست از

.از تابع ارزش استفاده شده است

با استفاده از تابع ارزش روابط منطقی را می توان بصورت زیر بیان کرد:

V(~p) = 1 − V(p)

V(p ∨ q) = max{V(p), V(q)}

V(p ∧ q) = min{V(p), V(q)}

V(p ⟹ q) = {1 V(p) ≤ V(q)

0 V(p) > 𝑉(𝑞)

pراست نما یا تاتولوژی : به گزاره مرکب همیشه درست راست نما گویند مثل ⇒ p.

استلزام منطقی )استدالل( 6-1-8

pبه گزاره شرطی همیشه درست استلزام منطقی یا استدالل گویند. پس اگر گزاره ⟹ q همیشه درست باشد میگوییم گزارهp مستلزم گزاره

q می باشد و آنرا با نمادp → q .نمایش می دهیم

p)) : نشان دهید گزاره شرطی 3-6مثال ⇒ q) ∧ p) ⇒ q .استلزام منطقی می باشد

.باید نشان دهیم گزاره شرطی فوق راست نما می باشد

7

((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q (p ⇒ q) ∧ p p ⇒ q Q p

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 0 1 0 o

گفته می شود و بصورتهای زیر نمایش داده می شود:به استلزام فوق قانون قیاس استثنایی

P ⇒ q , p ⟼ q , p ⇒ qp q

چند قانون مهم دیگر استنتاج در زیر آورده شده است:

pقیاس فصلی ⟼ p ∨ q

pقیاس تخصیص ∧ q ⟼ q

,pقیاس عطفی q ⟼ p ∧ q

pقیاس تعدی ⇒ q , q ⇒ r ⟼ p ⇒ r

pقیاس عکس ⇒ q , ~q ⟼ ~p

: آیا استنتاج زیر درست است؟4-6مثال

زوج است 10بخش پذیر باشد آنگاه 2بر 10اگر -

بخش پذیر است 2بر 10 -

زوج است 10 -

ی در این قانون به سطر اول مقدمه یا قانون، سطر دوم مشاهده و به سطر سوم نتیجه گفته م استنتاج فوق درست می باشد. ،طبق قانون قیاس استثنایی

شود.

استدالل تقریبی را نیز انجام می دهد ولی این نوع استدالل را با قوانین منطق نمی تواند اثبات کرد مانند استدالل زیر:به راحتی مغز انسان

8

زیاد خواهد بوداگر درجه حرارت زیاد باشد آنگاه فشار -

درجه حرارت خیلی زیاد است -

فشار خیلی زیاد خواهد بود -

با استفاده از منطق فازی این نوع استدالل ها را می توان بصورت ریاضی فرموله کرد و از آنها استفاده کرد.

منطق فازی 6-2

ری افزایش یابد، وتر کرد تا بهرهها را دقیقمعتقدند که باید تقریبخیلی از دانشمندان که ابهام در ماهیت علم است. یم معتقدما فازی در تفکر

ر منطق ارسطویی، کند. د سازیکه ابهام را به عنوان بخشی از سیستم مدل طراحی کرد هایی زاده معتقد است که باید مدلبنیان گذار فازی پرفسور

ه طور ب، در مدل ارسطویی «هوا سرد است»ها درست یا نادرست هستند. بنابراین جمله رست و نادرست وجود دارد. تمام گزارهبندی دیک دسته

باشد، چرا که مقدار سرد بودن برای افراد مختلف متفاوت است و این جمله اساسا همیشه درست یا همیشه نادرست نیست. یک گزاره نمی دقیق

یک گزاره منطقی فازی "هوا سرد است"درست و مقداری نادرست هستند. برای مثال، جمله به اندازه ای هستند که در منطق فازی، جمالتی

باشد که درستی آن گاهی کم و گاهی زیاد است. گاهی همیشه درست و گاهی همیشه نادرست و گاهی تا حدودی درست است. می

زی می باشد. پس باید تعریف گزاره فازی و اعمال مربوطه تعریف شود. ابتدا این تعاریف می توان گفت منطق فازی همان حساب گزاره ها ی فا

را می آوریم و سپس استدالل فازی و کنترل فازی توضیح داده می شود.

ه دارای کگزاره فازی گزاره ای می باشد که بطور صریح نتوان درست یا نادرستی آنرا مشخص کرد یا به عبارت دیگر گزاره ای : 2-6تعریف

"رطوبت زیاد است. "یا "نمره شما خوب است. "ابهام و عدم قطعبت باشد. مثل

تعریف ریاضی و در گزاره های فازی ازمتغیر و اصطالحات زبانی استفاده می شود. متغیر زبانی متغیری است که اصطالحات زبانی اختیار می کند

آن بصورت زیر است.

T(x)مجموعه مرجع و Uنام متغیر است و xشود که در آن مشخص می (x , T(x), U, G, M )تایی پنج یک متغیر زبانی با : 3-6تعریف

یک قاعدة Mشود و سرانجام تولید می Gاست )ترم، یک مجموعه فازی است( که توسط قاعده نحوی xهای مربوط به متغیر ترم مجموعه

کند .میسازد، یعنی تابع عضویت آن ترم را مشخصوط میمعنای آنرا مرب T(x)معنایی است که به هر ترم

هستند U، ترمهای این متغیر زبانی که هر کدام یک مجموعه فازی روی U=[0,250]، متغیر زبانی طول قد باشد و xکنید فرض :4-6مثال

تواند توسط صورت زیر است، که البته در حالت کلی میدر اینجا به T(x)بلند و . . بنابراین توانند چنین باشند: بلند، کوتاه، خیلی بلند، نه خیلیمی

بطور منظم تولید شود. G(x) یک قاعده

)Tبلند، خیلی بلند، کوتاه، بلند {= ) طول قدخیلیو نه…}

9

M(x) ای است که به هر ترم، معنایی را بصورت یک تابع عضویت از قاعدهU بخشد. مثال برای ترم میA“ :توان تابع عضویت زیر را ، می”بلند

درنظرگرفت.

M(tall) = {(u, A(u)) ⋮ A: U ⟶ [0,1]}

که در آن

250150])30

150(1[

15000

)(

12 uu

u

uA

می باشد. قدبلند همان مجموعه فازی Aطول قد علی و xنوشت که در آن x is Aبنابر این جمله علی بلندقد است را می توان بصورت

آنگاه فازی( -گزاره شرطی فازی )قاعده اگر 6-4-2

طی فازی بصورت زیر نمایش رگزاره ش باشد. می ‹گزاره فازی› آنگاه ‹ گزاره فازی › اگر آنگاه فازی بصورت -یک قاعدة اگر :4 -6تعریف

داده می شود:

if x is A then y is B

if A(x) then B(y)

کنید در یک مخزن رابطه فشار و دما بصورت زیر باشدفرض : 5-6مثال

”دما خیلی زیاد خواهد بود“آنگاه ” فشار زیاد باشد“اگر -

توان باشند بنابراین قاعده را میمی G ,Fهای فازی خواهند بود. زیاد و خیلی زیاد مجموعه y , xدر این مثال فشار و دما به ترتیب متغیرهای زبانی

نوشت. GisythenFisxif بصورت

گیری و تصمیم 4، شناخت الگو 3، استداللهای تقریبی فازی 2فازی، سیستمهای خبره 1های فازیکنندهتوان به کنترلمیفازی ازکاربرد قواعد

.شود های فراوانی می، استفادهباشدآنگاه داشته-کرد. در زندگی روزمره نیز از جمالتی که عبارت اگراشاره 5فازی

تاری آن که سازی نمود و با توجه به الگوی رفتوان رفتار یک واحد صنعتی یا یک دستگاه خاص را شبیهآنگاه فازی می-با استفاده از قواعد اگر

شدن کارکرد، اقدامات الزم را انجام داد.توان جهت بهینهآیند، میمیها بدستبا این نوع قاعده

10

qpباشد. در منطق دو ارزشی وقتی قاعده آنگاه فازی چگونگی تفسیر آنها می-مهمترین مسئله در قواعد اگر شود، به راحتی در نظرگرفته

جدول ارزش آن در قسمت قبل توضیح داده شود. ت تفسیر نهایی حاصل میت و نادرسآورد چون با دو ارزش درستوان ارزش آنرا بدستمی

شد.

جدول ارزش گزاره شرطی معمولی بیانگر رابطه بین مقدم و تالی می باشد بطور خالصه می توان گفت گزاره شرطی وقتی نادرست است که مقدم

بصورت تابع ارزش نمایش داد یا بصورت رابطه زیر نیز نمایش داده می شود:آن درست و تالی آن نادرست باشد. این رابطه را می توان

R(p, q) = {1 p ≤ q0 p > 𝑞

بصورت رابطه فازی تفسیر می شود در مثال قبل در واقع رابطه بین دما و فشار مدنظر می باشد. آنگاه فازی -اگرقاعده در منطق فازی بطور مشابه

آنگاه فازی –تفسیر قاعده اگر 6-4-3

تفسیر این قاعده یک رابطه فازی می باشد که به آن استلزام فازی گویند. را در نظر بگیرید if x is F then y is G قاعده اگر آنگاه فازی

استلزام های مختلفی وجود دارد که در جدول زیر تعدادی از آنها آورده شده است.

))(),(( yGxF نام رابطه

1R })(1,))(),(min(max{ xFxGxF زاده

2R })(,)(1max{ yGxF رشر -دینس

3R ))(,)(min( yGxF ممدانی

4R )}()(1,1min{ yGxF سوئچلوکا

5R })(

)(,1min{

xFyG

6R ))()(,1min( yGxF

7R ))(1,)().(max( xFyGxF

8R )().( yGxF الرسن

9R )())(( xFyG

11

10R

int0

)()(1

otherpo

yGxF

گودل

Hمتغیر زبانی میزان بارندگی و xرا در نظر بگیرید. فرض کنید "اگر بارندگی زیاد باشد آنگاه رطوبت زیاد است "قاعده فازی :6-6مثال

آنگاه را می توان بصورت زیر –مجموعه فازی زیاد باشند. در این صورت قاعده اگر HNمتغیر زبانی میزان رطوبت و yمجموعه فازی زیاد،

if x is H then y is HN نوشت:

فرض کنید مجوعه های فازی مربوطه داده شده باشند، تفسیر این قاعده با استلزام ممدانی بصورت زیر خواهد بود.

H =0.2

20+

0.4

40+

0.6

60+

0.8

80+

1

100

HN =0.1

25+

0.6

50+

0.8

75+

1

100

R(x,y)=min( H(x),HN(y) )

100 75 50 25

0.2 0.2 0.2 0.1 20

0.4 0.4 0.4 0.1 40

0.6 0.6 0.6 0.1 60

0.8 0.8 0.6 0.1 80

1 0.8 0.6 0.1 100

نشان داد ه شده است. 3و2و1 مثال: قاعده اگر آنگاه فازی زیر را در نظر بگیرید. تفسیر این قواعد در شکلهای

12

if x is A then y is B

مقایسه اگرـ آنگاه فازی با حالت معمولی 6-4-5

qpدر ریاضیات دقیق گزاره شرطی توان بصورت زیر نیز در نظر گرفترا می

(4 )BxthenAxif

UAVBکه در آن در فضای زیر قرار دارد. (x , y)باشند. لذا می V,Uدر y , xو متغیرهای ,

},:),({* VyUxyxVU

B,A: مجموعه های فازی 1شکل

: استلزام ممدانی 3شکل

رشر-: استلزام دنیس 2شکل

13

VAyx( درست است اگر وفقط اگر 4گزاره شرطی ) ),( یاBAyx ),( کنیم رابطه . بنابراین اگر فرضR بصورت

)()( VABAR ای بصورت زیر برای آن در نظرگرفتتوان تابع مشخصهدهد که میباشد این رابطه همان گزاره شرطی را نشان می.

BAyxif

Ryxif

yxR

),(0

),(1

),(

ت و مقدم آن درسنااین تابع عضویت در واقع بیانگر جدول درستی گزاره شرطی است. زیرا گزاره شرطی فقط زمانی نادرست است که تالی آن

BAyxبصورت Rدرست باشد، این مطلب در ),( - یعنیByAx است.نشان داده شده - ,

آمد.خواهدفازی باشند آنگاه یک اگرـ آنگاه فازی بصورت زیر بدست B , Aهای اگر در گزاره شرطی فوق، مجموعه

(5 )BisythenAisxif

رد.( را با رابطة زیر مشخص ک5توان گزاره شرطی )باشند. با توجه به روابط فازی میمی V , Uهای فازی روی مجموعه B , Aکه در آن

)()( VABAR یا )()( ABAR که در آنVyy 0)(.

ه نوع باشند با این تفاوت کهای شرطی معمولی میآنگاه فازی از لحاظ ساختاری شبیه گزاره -گیریم که قواعد اگرمیاز مطالب اخیر نتیجه

کرد. در ریاضیات دقیق یک ارزش توان تعریف( می5فازی روابط و تفسیرهای مختلفی را برای قاعده ) های آنها فرق دارند. در حالترابطه

شود.حاصل نمی 1و0بصورت آید ولی در منطق فازی ارزش صریحمیمشخص برای عبارت بدست

استنتاج فازی ) استدالل تقریبی( 6-5

ق صریح و قانون اده از منطفخودکار استدالل تقریبی را انجام می دهد که این استدالل با استهمانطور که در قسمت قبل گفته شد مغز انسان بطور

قیاس استثنایی قابل اثبات نمی باشد. مانند استدالل زیر:

اگر میزان بارندگی زیاد باشد آنگا رطوبت زیاد خواهد بود. -

میزان بارندگی خیلی زیاد است. -

میزان رطوبت خیلی زیاد است. -

یم یافته فازی گویند، استثنایی تعم، که به آن قانون قیاس در حالت فازی قانون قیاس استثنایی بااین استدالل را با منطق فازی می توان توجیه کرد.

می توان استدالل فوق را اثبات کرد.

انون قیاس استثنایی تعمیم یافته فازیق

14

خواهد بود که ∗y is Bباشد آنگاه نتیجه بصورت ∗x is Aرا در نظر بگیرید. اگر مشاهده به صورت if x is A then y is B قاعده

بصورت زیر نمایش داده می شود:

− if x is A then y is B

− x is A∗

− y is B∗

∗Bتفسیر قاعده فازی رابطه فازی بود که به آن استلزام گفته شد بنابراین تنیجه از ترکیب رابطه با مشاهده بدست می آید یعنی = A∗oR یا

B∗(y)طبق تعریف ترکیب داریم: = supx

{min (A∗(x), R(x, y))}

ورودی آن می باشد و خروجی ∗Aبه عملیات فوق استنتاج فازی نیز گفته می شود. می توان گفت که استنتاج فازی مانند سیستمی است که

است. ∗Bحاصل همان

را در نظر بگیرید، در صورتی که میزان بارندگی خیلی زیاد مشاهده شده باشد، رطوبت چگونه خواهد بود. 6-6مثال : قاعده فازی 7-6مثال

نمایش داده شده است که به صورت زیر می باشد: H *مجموعه فازی خیلی زیاد با

H∗ =0.05

20+

0.3

40+

0.5

60+

0.7

80+

1

100

استدالل تقریبی بصورت زیر خواهد بود:حل :

− if x is H then y is HN

− x is H∗

− y is HN∗

∗HN طبق قانون قیاس استثنایی فازی داریم = H∗ ∘ R کهR بنابراینمحاسبه شده است. 6-6در مثال

HN∗ = [0.05 0.3 0.5 0.7 1]o

[ 0.1 0.2 0.2 0.20.1 0.4 0.4 0.40.1 0.6 0.6 0.60.1 0.6 0.8 0.80.1 0.6 0.8 1 ]

= [0.1 0.6 0.8 1]

If x is A then y is B 𝐴∗ 𝐵∗

15

عضویت مجموعه های فازی پیوسته باشند. استنتاج فازی مشابه قبل می باشد. اگر از استلزام ممدانی استفاده شود تفسیر حال فرض کنیم توابع

if x is A then y is B آنگاه فازی زیر را در نظر می گیریم:-هندسی جالبی دارد. قاعده اگر

نیز پیوسته باشد خروجی قاعده فوق بصورت زیر خواهد بود: A∗(x) توابع عضویت پیوسته باشند و ورودی این قاعده A(x),B(x)فرض کنیم

B∗(y) = A∗ ∘ R = supx

{min(A∗(x), R(x, y))}

= supx

{min (A∗(x),min(A(x), B(y)))}

= supx

{min(min(A(x), A∗(x)), B(y) )}

= supx

{min((A ∩ A∗)(x), B(y) )}

= min {supx

((A ∩ A∗)(x), B(y))}

= min{hgt(A ∩ A∗), B(y)}

= min(α, B(y))

αکه در آن = hgt(A ∩ A∗) ان در شکل نشبیانگر ارتفاع اشتراک مجموعه فازی مقدم و مجموعه فازی ورودی می باشد.تفسیر هندسی

.داده شده است

مثال : در یک سیستم سرمایشی یکی از قواعد بصورت زیر است:

.است "قدرت چرخش موتور کولر زیاد "آنگاه "دمای اتاق باال "اگر

نمایش داده شده باشد لذا قاعده فوق بصورت زیر مدلسازی می شود: Vو زیاد با Hفرض کنید اصطالح زبانی باال با مجموعه فازی

4شکل

𝐴 𝐴∗

B

α

𝐵∗

16

if x is H then y is V

مجموعه های فازی در شکل زیر مشخص شده اند در صورتی متغیر زبانی قدرت چرخش موتور می باشند. yمتغیر زبانی دمای اتاق و xکه در آن

باشد،قدرت چرخش موتور چگونه باید باشد؟ ( T) 35که دمای اتاق تقریبا

قدرت چرخش موتور خواهد بود. *Vهمانطور که در شکل دیده می شود

باشد قدرت چرخش کولر چگونه خواهد بود؟ 32تمرین : اگر دما دقیقا

5شکل

6شکل

V*

17

1پایگاه قواعد فازی 6-6

niGF. فرض کنید 5-6تعریف ii ...1, های فازی ثابت رویمجموعهU باشند، آنگاه

)6(

nn GthenFif

GthenFif

RB.

.

11

شود.مییک پایگاه قواعد اگر و آنگاه فازی نامیده

شود، لذا تفسیر این نوع پایگاه نقش مهمی در سیستمهای فازی دارند. دو روش معروف برای میدریک سیستم فازی از پایگاه قواعد فازی استفاده

FATIاستنتاج چنین پایگاههایی وجود دارد. روش اولFITAو روش دوم بندی سپس استنتاج () ابتدا جمع 2

بندی ) ابتدا استنتاج سپس جمع 3

شود پذیرد ولی در روش دوم هر قاعده بصورت جداگانه استنتاج میمیشوند سپس استنتاج صورت(. در در روش اول ابتدا تمام قواعد همسو می

شوند.می بندینتایج حاصل جمع سپس

nRRآنگاه فازی با قواعد -یک پایگاه قواعد اگر RBفرض کنید . 6-6تعریف iiرابطة استاندارد بر اساس iSباشد و 1.... GF مربوط به ,

Ri باشد یعنی))(,)(min(),( yGxFyxS iii آنگاه

(7 ))})},(),...,,(max{),({min(sup))(©( 1 yxSyxSxFyFFATI nUx

RB

. [3]کندداده شده، تفسیر می 'Fبرای هر ورودی FATIرا بر اساس اصل RBپایگاه قواعد

شود ( باشد، ابتدا رابطه استاندارد فازی مربوط به هر قاعده محاسبه می6تعریف فوق بدین معنی است که اگر پایگاه قواعدی بصورت )

))(,)(min(),( yGxFyxS iii سپس رابطه استاندارد پایگاه بصورت),(max),( yxSyxS ii

شود. اگر تعریف میF ورودی

پایگاه باشد آنگاه خروجی آن بصورت زیر است.

(7 )))},(),({min(sup))(( yxSxFyFFATIUx

RB

است.استنتاج صورت پذیرفته در اینجا ابتدا تمام قواعد همسو شدند و نهایتا

nRRیک پایگاه قواعد اگر آنگاه فازی با قواعد RBفرض کنید :7-6تعریف مربوطه بصورت زیر تعریف CRIباشد و برای هر قاعده، 1....

شده باشد:i

RGFi )(

18

)(:)()(عملگر تابعی UFPUFPFFITARB با})(,...,)(max{))(( 1 yGyGyFFITA n

RB پایگاه قواعد فازی را بر اساس

. [3]کند،تفسیر می 'Fشده برای ورودی داده FITAاصل

انجام داده و ماکزیمم آنها خروجی موردنظر 1-1-3( ابتدا استنتاج را مطابق تعریف 6برای هر قاعده از پایگاه )تعریف اخیر بدین معنی است که

بود.خواهد

دهیمرا بصورت زیر نیز نمایش می FITAما عملگر تابعی -تذکر

UyyFyFyF

UFPUFPF

nn

n

RRRR

RR

}))((...,),)((max{))((

)()(:)(

11

1

...

...

. [4]باشندارز میبا یکدیگر هم FITA , FATIدو عملگر تابعی .1-6قضیه

آنگاه فازی با مقدم و تالی مرکبقواعد اگر 6-7

توان بصورت زیر درنظرگرفتیک قاعده فازی را در حالت کلی می

mn BandBandBthenAandAandAif ...... 2121

یا

mmnn BisyandBisyandBisythenAisxandAisxandAisxif ...... 22112211

توان از روش زیر استفاده کردقواعدی میبرای استنتاج چنین

استنتاج فازی برای پایگاه قواعد فازی

19

nAAاگر ,...,1 آیدمیورودی باشد آنگاه خروجی از الگوریتم زیر بدست

کنیممیقاعدة زیر تجزیه mقاعده فوق را به -1

mn

n

n

BthenAandAandAif

BthenAandAandAif

BthenAandAandAif

...

...

...

21

221

121

یابیمرابطه استاندارد فازی مربوط به هر قاعده را می -2

))(,))(),...,(min(min(),,...,( 11 yBxAxAyxxS inini

استنتاج برای ورودی داده شده بصورت زیر خواهد بود -3

))},,...,(,)(),...,({min()( 11

...

sup1

inin

Uxx

ii yxxSxAxAyB

n

باشد آنگاه رابطه استاندارد و خروجی به شکل زیر است.” Bisy“واضح است که اگر تالی بصورت ساده یعنی گزاره

))},,...,(,)(),...,({min()( 11

...

sup1

yxxSxAxAyB nn

Uxx

ii

n

),...,,()min(min),...,()((,)((که در آن 11 yBxAxAyxxS nn .