Математика 7 textbooks nis edu СЫНЫП kz · 2020-02-20 · СЫНЫП. 2- бөлім...

Астана, 2018

Математика7– СЫНЫП2-бөлім

НазарбаевЗияткерлікмектептері

textbo

oks n

is ed

u kz

M 29 Математика. 7-сыныпқа арналған оқулық. 6–10-сыныптар бойынша «Математика» пәнінің оқу бағдарламасына сәйкес әзірленген (2016 ж. 1-нұсқа) / Д.А. Айтмухамет, Н.В. Егоркина, Л.М. Забара және т.б. — 2-бөлім. — Астана: «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ, 2018. — 212 б., сур.

ISBN 978-601-328-302-9 (2-бөлім)

ISBN 978-601-328-302-9 (2-бөлім)ISBN 978-601-328-223-7 (жалпы)

ӘОЖ 373.167.1КБЖ 22.1я72М 29

«Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ – NIS-Programme білім беру бағдарламасы бойынша әзірленген

Лондон Университет колледжі Білім беруИнститутымен бірлесіп әзірленген

Авторлары:Д.А. Айтмухамет, Н.В. Егоркина, Л.М. Забара, Н.Ю. Паникарская, И.И. Строева

ӘОЖ 373.167.1КБЖ 22.1я72

© «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ, 2018©Alamy Stock Photo©Shutterstok,Inc., 2003-2019

textbo

oks n

is ed

u kz

3

Мазмұны

1–тарау Үшбұрыштар 4

2–тарау Қысқаша көбейту формулалары 37

3–тарау Түзулердің параллельдігі 73

4–тарау Функция және функцияның графигі 113

5–тарау Шеңбер. Салу есептері 143

6–тарау Алгебралық бөлшектер 181

textbo

oks n

is ed

u kz

Қымбатты дос!

Қолыңда ұстап отырған оқулық қарапайым оқулық емес, ерекше оқулық. Ол өте қызықты және сан қырлы математика әлеміне жол бастайтын өзінше жол бастайды.

Сен математиканың алгебра, геометрия, статистика сияқты бөлімдеріне қатысты біліміңді тереңдетіп, жалғастырасың; түрлі жағдайларды сипаттау үшін математикалық тілді қолдануды, математикалық модельдерді құрастыруды үйренесің.

Сен көп жаңа нәрсе білесің, түрлі математикалық тапсырмаларды шешуді үйренесің, бірақ сен игеретін ең басты және маңызды қабілет — бұл өздігінен оқу қабілеті: мақсат қою, оған жету үшін өз іс-әрекеттеріңді жоспарлау және жұмысыңның нәтижелерін бағалау.

Математиканы меңгерудегі жетістігіңді өзін-өзі бағалау беттерінің көмегімен бағалай аласың. Бұл өзіңе сенімді болуға және математиканы меңгеруде жетістіктерге жетуге ғана емес, күнделікті өмірде де қолдануға көмектеседі.

Сәттілік тілейміз!

Авторлар

Кіріспе

textbo

oks n

is ed

u kz

5

1 Үшбұрыштар

Геометрияда үшбұрыш негізгі фигуралардың бірі болып табылады. Оның қасиеттері архитектура, астрономия, навигация және геометрияда әртүрлі есептерді шығару барысында белсенді қолданылады. Кез келген көпбұрышты саны шектеулі үшбұрыштарға бөлуге болатынын айтып кеткен жөн.

Танграм — шығыстың ескі ойжұмбағы, ол шаршыны ерекше қию арқылы шық- қан жеті жазық пішіннен тұрады.

Мен осы тарауды меңгере отырып:

үшбұрыштың не екенін; үшбұрыштың қандай болатынын; үшбұрыштың медианасы, биссек-

трисасы және биіктігі не екенін білемін.

үшбұрыштардың теңдік белгіле- рін дәлелдеуді;

үшбұрыштардың қасиеттерін пайдаланып, есеп шығаруды үйре-

немін.

Бермудтар

Куба

Ямайка

Гаити Доминикан Республикасы

Пуэрто-РикоСан-Хуан

Майами

Бермуд үшбұрышы

Батам аралдары

Флорида В.С.

textbo

oks n

is ed

u kz

6

1.1 Үшбұрыш және оның түрлері

1. Салуды жоспар бойынша орында.а) Қағазда бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте сал. Оларды А, В және С

әріптерімен белгіле.ә) Берілген нүктелерді жұп-жұбымен кесінділер арқылы қос. Қандай кесінділер

шықты?б) Фигураның ішкі бөлігін боя. Қандай фигура шықты?

Үшбұрыш — бір түзудің бойында жат-пайтын үш нүктені жұп-жұбымен қосатын кесінділермен шектел-ген жазықтықтың бөлігі.

Үшбұрыш өз төбе-леріне байланысты ла-тын алфави тінің бас әріптерімен белгіленеді, мысалы, ∆АВС.

ЕСТЕ САҚТА!

2. Сызбамен жұмыс жасап, тапсырманы орында.а) Берілген үшбұрыштың барлық мүмкін бел гілеулерін жаз.ә) • С бұрышына қарсы жатқан қабырғасын;

• СМ қабырғасына қарсы жатқан бұрышын; • ЕС және ЕМ қабырғаларына іргелес бұрыш тарды

анықтап көрсет.б) Берілген үшбұрыштың ең кіші қабырғасы мен ең үлкен

бұрышын жаз.

Сен осыған дейін үшбұрыштарды кездестірдің, үшбұрыштардың қандай түрлерін білесің, есіңе түсір.

3. Үшбұрыштың түрі, оның сызбасы және анықтамасы арасындағы сәйкестікті орнат.

Үшбұрыштың түрі

Үшбұрыштың сызбасыҮшбұрыштың анықтамасы

A. Теңқабырғалы үшбұрыш

1.

A

B

C

3 см 3 см

2 см

I. Барлықбұрыштарысүйір болатын үшбұрыш.

АС қабырғасына қарсыжатқын В бұрышы В

A CАС қабырғасына іргелес А

және С бұрыштары

үшбұрыш қабырғасы

А, В, С нүктелері — үшбұрыш төбелері.АВ, ВС, АС кесінділері — үшбұрыш қабырғалары.∠A, ∠B, ∠C — үшбұрыш бұрыштары

E

60°

50° 70°

5 см

MC

textbo

oks n

is ed

u kz

7

Үшбұрыштың түрі

Үшбұрыштың сызбасыҮшбұрыштың анықтамасы

Ә. Теңбүйірлі үшбұрыш

2.

A

3 см 3 см

3 см C

B II. Барлықбұрыштарыдоғал болатын үшбұрыш.

Б. Тікбұрышты үшбұрыш

3.

110

A C

B III. Бір бұрышы тікболатын үшбұрыш.

В. Сүйір бұрышты үшбұрыш

4.

A

B

C

IV. Екі қабырғасытең болатын үшбұрыш.

Г. Доғал бұрышты үшбұрыш

5.

A C

B

60 40

80

V. Барлық қабырға-лары тең болатынүшбұрыш.

Ғ. Қабырғалары әртүрлі үшбұрыш

6.

А

С

В3 см

4 см

2 см

VI. Қабырғаларыөзара тең емесболатын үшбұрыш.

4. Сызғыш пен транспортирдің көмегімен үшбұрыш сал.а) MN = 5 см, KN = 5 см, ал N = 110О болатындай, MNK үшбұрышын;ә) PQ және QR сәйкесінше 3 см және 4 см-ге тең PQR (PQR = 90°) үшбұрышын.Әр үшбұрыштың түрін анықта.

5. Тұжырым дұрыс па? Жауабыңды түсіндір. а) Үшбұрыштың бүйір қабырғалары тең болса, үшбұрыш теңбүйірлі болады. ә) Доғал бұрышты үшбұрыш теңбүйірлі бола алады. б) Екі бұрышы доғал болатын үшбұрыш бар. в) Теңқабырғалы үшбұрыш теңбүйірлі бола алады. г) Доғал бұрышты үшбұрыш тікбұрышты бола алады.

textbo

oks n

is ed

u kz

8

1.2 Есептер шығару

1. Төменде көрсетілген суреттерде неше үшбұрыш бар? Оның барлық элементтерін ата. Үшбұрыштардың түрін анықта.

E

F

C

B

AD

A

CD

O

B

2. Майра бүйір қабырғалары MN және PQ болатын теңбүйірлі MNK (MN=MK) және PQR (PQ=QR) үшбұрыштарын салды, бірақ үшбұрыштардың кейбір бөліктері өшіріліп қалды. Берілген үшбұрыштарды қалпына келтір.

M

Q

PN

Егер MK=KN, ал PQR бұрышы 90О-қа тең болса, Майрада қандай үшбұрыштар шығады?

Үшбұрыштың пери-метрі оның барлық қа-бырғаларының ұзын-дықтарының қо сынды-сына тең.


3. Кестені толтыр.

Үшбұрыштың түріАВ қабырғасы (см)

ВС қабырғасы (см)

АС қабырғасы (см)

Үшбұрыштың периметрі

28 46 51

Теңбүйірлі (АВ=ВС)

2,5 2,6

16 16 16

18 18 32

Тікбұрышты 10 24 26

4. Есептерді шығар.

textbo

oks n

is ed

u kz

9

Математика

а) PQR үшбұрышының PQ қабырғасы 10 см, QR қабырғасы одан 1,5 есе үлкен, ал PR қабырғасы QR қабырғасынан 3 см-ге кем. PQR үшбұрышының периметрі неге тең?

ә) АВС (АВ=ВС) теңбүйірлі үшбұрышында табаны бүйір қабырғасынан 4 есе кем, ал периметрі 45 см. Үшбұрыштың барлық қабырғаларының ұзындықтарын тап.

б) Теңбүйірлі үшбұрыштың екі қабырғасының қосындысы 26 см, ал периметрі 36 см. Осы үшбұрыштың қабырғалары қандай болуы мүмкін?

5. Арман алты сіріңке шиінен төрт теңбүйірлі үшбұрыштан тұратын және қабырғасы- ның ұзындығы сіріңке шиінің ұзындығына тең фигура құрастыра аламын деп тұжы- рымдайды. Арманның айтқаны дұрыс па? Оның шешімін көрсете аласың ба?

6. Төмендегі суретте неше үшбұрыш бар? Берілген үшбұрышта екі түзу жүргізіп, 5 үшбұрыш шығара аласың ба? Ал 6 үшбұрыш ше? Жауабыңды түсіндір.

B

A C

D

textbo

oks n

is ed

u kz

10

1.3 Үшбұрыштың медианасы, биссектрисасы және биіктігі

Үшбұрыш планиметрияда маңызы зор геометриялық фигура болып табылады. Әр үшбұрышта біз арнайы атаулары бар және әртүрлі қасиеттерге ие кесінділер мен түзулер жүргізе аламыз. Осы туралы әңгімені жалғастырайық.

1. Салуды жоспар бойынша орында. Төменде көрсетілген үшбұрыштарды дәптеріңе сыз.

A

B

C

M

N K R

P

Q

а) Берілген үшбұрыштарда ВС, MN және RQ қабырғаларының орталарын тап. Олар-ды сәйкесінше D, L және T нүктелерімен белгіле. Шыққан нүктелерді үшбұрыштың қарсы жатқан төбесімен қос. Пайда болған кесінділерді берілген үшбұрыштардың медианалары деп атайды.

ә) Берілген үшбұрыштарда транспортирдің көмегімен В, N және Q бұрыштарының биссектрисаларын жүргіз. Салынған биссектрисалардың үшбұрыштың қабыр- ғаларымен қиылысу нүктелерін тап және белгіле. Қандай кесінділер, биссектрисаның бөліктері, сенде шықты? Пайда болған кесінділерді берілген бұрыштардың биссектрисалары деп атайды.

б) Берілген үшбұрыштарда бұрыштықтың көмегімен С, M және R төбелерінен пер-пендикулярлар жүргіз. Салынған перпендикулярлардың үшбұрыштың қабыр- ғаларымен қиылысу нүктелерін тап және белгіле. Қандай кесінділер, перпендикулярдың бөліктері, сенде шықты? Пайда болған кесінділерді берілген үшбұрыштардың биіктіктері деп атайды.

Қалай ойлайсың, әр үшбұрышта қанша медиана, биссектриса және биіктік жүргізугеболады? Жауабыңды түсіндір.

Үшбұрыштың төбесімен қарсы жатқан қабырғаның ор-тасына жүргізілген кесіндіні үшбұрыштың медианасы деп атайды.

ABC∆ AM = MC,BM кесіндісі — АВС үшбұрышының медианасы

A M C

B

медиана

textbo

oks n

is ed

u kz

11


2. Қабырғалары әртүрлі доғал бұрышты үшбұрыш сал және үлкен бұрышының тө- бесінен медиана, биссектриса және биіктік жүргіз. Салынған кесінділердің өзара ор-наласуы туралы не айта аласың?

3. Тұжырымдар дұрыс па? Сызбаны пайдаланып, өз шешіміңді көрсет. а) Кез келген үшбұрышта 4 медиана жүргізуге болады.ә) Кез келген үшбұрышта 3 биіктік жүргізуге болады.б) Үшбұрыштың барлық медианалары оның ішінде жатады.в) Үшбұрыштың биіктігі оның сыртында жата алады.г) Үшбұрыштың бұрыштарының биссектрисалары оның сыртында жатады.ғ) Үшбұрыштың биіктігі оның қабырғаларының біреуімен беттесетін үшбұрыш бар.

4. АВС үшбұрышының BM медианасы оны периметрлері 34 см және 36 см болатын екі үшбұрышқа бөледі. Егер ВМ=8 см болса, онда АВС үшбұрышының периметрі неге тең?

5. Сызбада неше үшбұрыш бар? Барлық үшбұрыштарға ортақ биіктік болатын үшбұрыштың биіктігін жүргіз.

6. Есепті шығар.

Берілгені: ABC∆ AD — медиана, АВ = 7 см,АС = 8 см.

Табу керек: РACD

– PABD

, мұндағы Р — үшбұрыштың периметрі

Үшбұрыштың төбесінен бұрышты қақ екіге бөліп қарсы жатқан қабырғаға жүргізілген кесіндіні үшбұрыштың бис-сектрисасы деп атайды.∆ ABC∠BAD = ∠DACAD кесіндісі — АВС үшбұрышының биссектрисасы

Үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғағажүргізілген перпендикуляр кесіндіні үшбұрыштың биіктігі деп атайды.∆ ABC AH ⊥ BC

AH кесіндісі — АВС үшбұрышының биіктігі

A

D

B

C

биссектриса

A

биіктік C

B

H

А

С

В

D

A C

B

D7 см

8 см

textbo

oks n

is ed

u kz

12

1.4 Үшбұрыштың медианасы, биссектрисасы және биіктігі. Есептер шығару

1. Салуды жоспар бойынша орында және қорытынды жаса.Тікбұрышты үшбұрыш сал. Берілген үшбұрыштың барлық медианаларын жүргіз. а) Үшбұрыштың медианаларының өзара орналасуы туралы не айта аласың? ә) Берілген үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысатыны дұрыс па? б) Кез келген үшбұрыш үшін жасаған қорытындың дұрыс бола ма? Жауабыңды кез

келген басқа үшбұрышқа қатысты түсіндір.

2. Салуды жоспар бойынша орында және қорытынды жаса.Теңбүйірлі үшбұрыш сал. Оның барлық биіктіктерін жүргіз.а) Үшбұрыштың биіктіктерінің өзара орналасуы туралы не айта аласың?ә) Берілген үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысатыны дұрыс па?б) Кез келген үшбұрыш үшін жасаған қорытындың дұрыс бола ма? Жауабыңды кез

келген басқа үшбұрышқа қатысты түсіндір.

3. Салуды жоспар бойынша орында және қорытынды жаса. Доғал бұрышты теңбүйірлі үшбұрыш сал. Оның барлық биссектрисаларын жүргіз.

а) Үшбұрыштың биссектрисаларының өзара орналасуы туралы не айта аласың?ә) Берілген үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысатыны дұрыс па? б) Кез келген үшбұрыш үшін жасаған қорытындың дұрыс бола ма? Жауабыңды кез келген басқа үшбұрышқа қатысты түсіндір.

4. Салуды жоспар бойынша орында және қорытынды жаса. Сүйір бұрышты үшбұрыш сал. Сызғыштың және бұрыштықтың көмегімен

үшбұрыштың әр қабырғасына орта перпендикулярлар жүргіз.а) Үшбұрыштың орта перпендикулярларының өзара орналасуы туралы не айтааласың?ә) Берілген үшбұрыштың орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысатыны дұрыс па? б) Кез келген үшбұрыш үшін жасаған қорытындың дұрыс бола ма? Жауабыңды кезкелген басқа үшбұрышқа қатысты түсіндір.

Берілген кесіндіге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетін түзуді орта перпендикуляр деп атайды.орта перпендикуляр


A B

M

m

Медиананы, биссектрисаны, биіктікті және орта перпендикулярды үшбұрыштың та-маша сызықтары деп атайды. Қалай ойлайсың, неге?

textbo

oks n

is ed

u kz

13


5. Ләйлә қалың қағаздан үшбұрыш қиып алды. Ол осы үшбұрыштың медианасын, биссектрисасын және биіктігін сызба құралдарын қолданбай таба аламын деп тұжырымдайды. Ол осыны қалай орындай алады?

Үшбұрыштың екі қабырғала рының орта-ларын қосатын кесіндқабырғасыныңғы деп аталады.


AC

NM

B

үшбұрыштың орта сызығы

6. Арман АВС үшбұрышын салды және оның орта сызықтарын жүргізді. Қанша орта сызық шықты? Жауабыңды түсіндір.

7. Сызғыштың және транспортирдің көмегімен салуды орында. Төбесіндегі А бұрышы 70°-қа және АВ қабырғасы 6 см-ге тең АВС теңбүйірлі

(АВ=АС) үшбұрышын сал. Берілген шбұрыштың барлық орта сызықтарын салып, олардың ұзындықтарын өлше. Одан қандай фигура шықты? Шыққан фигураның периметрін тап.

8. Қалың қағаздан тең қабырғалы үшбұрыш қиып ал. Берілген үшбұрышың барлық медианаларын жүргіз және олардың қиылысу нүктесін тап. Берілген нүктеге қарындашты сал. Не байқадың? Медианалардың қиылысу нүктесін басқаша қалай атайтыны туралы ақпаратты тап.

9. Периметрі 20 см-ге тең АВС үшбұрышының АM медиа-насы оны екі үшбұрышқа бөледі. АВМ үшбұрышының периметрі 13 см, ал АМС үшбұрышының периметрі 12 см-ге тең. АМ медианасының ұзындығы неге тең?

textbo

oks n

is ed

u kz

14

1.5 Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі

Алдында, сен тең фигуралар түсінігімен таныстың. Осы түсінікті үшбұрыштарға қатысты қолданамыз.

1. Төмендегі суретте тең үшбұрыштарды тап. Оны қалай орындай аласың? Жауабыңды түсіндір.

Егер екі үшбұрышты беттестіргенде олар бір-біріне сәйкес келсе, онда олар тең деп аталады. Өзара тең қабырғалар мен бұрыштар сәйкес деп аталады.


5

6

7

2

34

9

8

1

Егер келесі шарттар орындалса, екі үшбұрыш тең бо-лады:

• бірінші үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабырғасына тең;

• бірінші үшбұрыштың үш бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш бұрышына тең;

Үшбұрыштардың теңдігінің орындалуы үшін шарт-тар санын азайтуға үшбұрыштар теңдігінің белгілері мүмкіндік береді.

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олар- дың арасындағы бұры- шы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабыр- ғасы мен олардың ара- сындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үш- бұрыштар тең болады.


textbo

oks n

is ed

u kz

15


2. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісінің дәлелдеуін қарастыр және түсініктеме бер.

B C

A

B1

C1

A1

Берілгені:

∠ABC, ∆ A1B1C1,

AB = A1B1,

BC = B1C1,

∠ABC =∠ A1B1C1

Дәлелдеу керек: ∆ ABC = ∆ A1B1C1

Дәлелдеуі:

1. Беттестіреміз: ∆ ABC және ∆ A1B1C1.

2. BA қабырғасы B1A1 қабырғасымен беттесті, ал ВС қабырғасы В1С1 қабырғасымен беттесті.

AB = A1B1 және BC = B1C1 болғандықтан, А нүктесі A1

нүктесімен беттеседі, ал С — C

1 нүктесімен. Сондықтан, үшбұрыштың төбелері беттеседі және АВС және

А1В

1С

1 үшбұрыштары өзара тең болады.

Нені дәлелдеу талап етілді.

Кейде берілген үшбұрыштар теңдігінің белгісін «қабырға–бұрыш–қабырға» деп атайды.

3. Жоғарыда дәлелденген теореманы қолданып, дайын сызбалардағы есептерді шығар.

A

C

E

B

D Берілгені:AС = CDBC = CE

Дәлелдеу керек: ∆ ABС = ∆ CDE

M

N K

P

Берілгені:MN = MP∠NMK = ∠KMP

Дәлелдеу керек: ∆ MNK = ∆ MPK

textbo

oks n

is ed

u kz

16

P

S T

K Берілгені: SP = PT, ∠SPK = ∠TRK.

Дәлелдеу керек: ∆SPK = ∆TRK.

M

N Q

P

Берілгені: NQ = MP, ∠QNP = ∠NPM.

Дәлелдеу керек: ∆NQP = ∆NMP.

4. Салуды жоспар бойынша орында және сұрақтарға жауап бер.а) Орталарында қиылысатындай AB = 6 см және CD = 7 см кесінділерін сал. Бұл

нүктені О деп белгіле.ә) Егер AC = 5 см болса, BD кесіндісінің ұзындығын тап. б) Пайда болған үшбұрыштардың сәйкес тең элементтер жұптарын жаз. Жауа-

быңды түсіндір.

textbo

oks n

is ed

u kz

17

1.6 Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі. Есептер шығару

1. Тоғжан екі үшбұрыш салды және оларды өзара тең деп санайды. Тоғжанның болжа-мы дұрыс болатындай, қандай шарт қосу қажет?

P B

M

K

123º

6

A

C

123º

8

2. Сызбамен жұмыс жаса. Тең үшбұрыштарды тап.

A C

B

M

N

Берілгені:AB = BC,BM = BN,∠ABC = ∠MBN.

3. BMP үшбұрышының түрін анықта.

A

B

CM P

Берілгені:AB = BC,AM = PC,∠BAM = ∠BCP.tex

tbook

s nis

edu k

z

18

4. Суретті қарастыр. Егер MA=KC, онда АВ=KN болуы дұрыс па? Жауабыңды түсіндір.

B

M C

N

A K

5. АВС үшбұрышында АВ және АС қабырғалары сәйкесінше 11,6 см және 18 см-ге тең. Ұзындығы 7 см-ге тең үшбұрыштың BM медианасын M нүктесінен MK = BM дейін жалғастырды. MKC үшбұрышының периметрін тап.

6. Егер үшбұрыштар тең болса, онда сәйкесінше тең қабырғаларға жүргізілген медиа-налар тең екені дұрыс па? Жауабыңды түсіндір.

A A1

D D1

B B1

C C1

textbo

oks n

is ed

u kz

19

1.7 Үшбұрыштар теңдігінің екінші

белгісі

Үшбұрыштар теңдігінің келесі белгісін қарастырайық, оны кейде «бұрыш – қабырға – бұрыш» деп атай-ды.

1. Үшбұрыштар теңдігінің екінші бел- гісінің дәлелдеуіне түсініктеме бер.

Дәлелдеу үшін қағаздан төменде көр- сетілгендей екі үшбұрыш кесіп ал.

Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары сәй- кесінше екінші үшбұ- рыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыш- тарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.


A C

B

A1 C1

B1 Берілгені:∆ABC, ∆A1B1C1,BC=B

1C

1,

∠ACB = ∠A1C1B1,∠ABC = ∠ A1B1C1.

Дәлелдеу керек: ∆ ABC = ∆ A1B1C1.

Дәлелдеуі: В нүктесі В1 нүктесімен, ВС кесіндісі В

1С

1 кесіндісімен беттескендей

(себебі ВС = B1C

1 ), АВС үшбұрышын A

1B

1C

1 үшбұрышымен беттестіреміз. А

және А1 нүктелері ВС түзуінің бір жағында жату керек.

∠ABC = ∠ A1B1C1 және ∠ACB = ∠ A1C1B1 болғандықтан, BA қабырғасы B1A

1

қабырғасымен, ал CA қабырғасы С1А

1 қабырғасымен беттеседі.

А нүктесі (ВА және СА қабырғалары үшін ортақ төбе) — А1 (B

1A

1 және С

1А

1

қабырғалары үшін ортақ төбе) нүктесімен беттеседі. Сондықтан, беттестіру кезінде үшбұрыштар толық сәйкестенеді, ол олар тең екенін білдіреді. Нені дәлелдеу талап етілді.

textbo

oks n

is ed

u kz

20

2. Төменде көрсетілген үшбұрыштар арасынан тең үшбұрыштарды тап. Жауабыңды түсіндір.

5

5

70° 45°

5

6

60° 75°

5

1

60° 45°

5

2

60° 45°

4

3

60° 45°

5

4

60°45°

3. Дайын сызбаларды қолданып, есептерді шығар.

C

D

E

B

A

Берілгені:

,.

AC CDBAC CDE

=∠ = ∠

Дәлелдеу керек: ABC CDE∆ = ∆ .

textbo

oks n

is ed

u kz

21


N

KM

P

Берілгені:

∠MNP = ∠PNK,

∠MPN = ∠NPK.

Дәлелдеу керек:

∆MNP = ∆NPK.

A

B C

D

Берілгені:,.

ABD DBCADB BDC

∠ = ∠∠ = ∠

Дәлелдеу керек: ABD DBC∆ = ∆ .

M

Q

N

R

P

Берілгені:∠ = ∠

=,

.NM R QPN

M N PN

Дәлелдеу керек: MRN PQN∆ = ∆ .

A

Q

B

D

CБерілгені:

=∠ = ∠

,.

AO ODBAC CDB

Дәлелдеу керек: AOB COD∆ = ∆ .

5. АВС және А1В

1С

1 екі тең үшбұрыш сал. В және В

1 бұрыштарының биссектрисаларын

жүргіз. Берілген биссектрисалар тең бе? Жауабыңды түсіндір.

textbo

oks n

is ed

u kz

22

1.8 Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі. Есептер шығару.

1. Әсел суретте көрсетілгендей OD = OC болатын екі үшбұрыш салды — AOD және COB. Оның тұжырымы бойынша осы екі фигура үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша тең. Тұжырым дұрыс болатындай сызбаны қалай толықтыру қажет?

Берілген фигуралар үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша тең болатындай, сызбаны қалай толықтыру қажет?

2. Есепті шығар.

C

D

B

A

Берілгені:,.

BAC ACDBCA CAD

∠ = ∠∠ = ∠

Дәлелдеу керек: .ABC ADC∠ = ∠

3. Салуды жоспар бойынша орында және сұрақтарға жауап бер.1. m және n екі параллель түзу жүргіз. 2. MN кесіндісі берілген түзулермен бұрыш құрастырғандай, m түзуінде M нүкте- сін, n түзуінде N нүктесін белгіле. 3. MN кесіндісінің ортасын — А нүктесін тап. 4. А нүктесі арқылы, m және n түзулерін сәйкесінше P және Q нүктелерінде қиып өтетін түзу жүргіз.А нүктесі PQ кесіндісінің ортасы бола ма? Неге? Жауабыңды түсіндір

4. Ләйлә суретте көрсетілгендей ∠BED = ∠DEC, ∠BDE = ∠EDC үшбұ рыш тар салды. Осы үшбұрыштар туралы не айтуға

болады? Олардың ішінде тең үшбұрыштар бар ма? Жауабыңды түсіндір.

D B

A C

A

E

B D C

textbo

oks n

is ed

u kz

23


5. Милет қаласының айлағында қашықтық өлшеуіш салынды, ол теңіз жағасынан кеме-ге дейінгі қашықтықты анықтай алады. Ол бір түзудің бойында, бірдей қашықтықта орнатылған үш қазықша болып табылады (олар төмендегі суретте А, В және С деп белгіленген).

Көкжиекте кеме пайда болған кезде, СR түзуінде Р нүктесін K, B және P нүктелері бір түзудің бойында жататындай етіп табатын. СР кесіндісінің ұзындығы жағадан кеме-ге дейінгі арақашықтықты көрсететін. Қалай ойлайсың, неге? Жауабыңды түсіндір.

A

R

P

K

BC

textbo

oks n

is ed

u kz

24

1.9 Теңбүйірлі үшбұрыш және оның қасиеттері

Практикада бізге әртүрлі үшбұ рыш-тар мен жұмыс жасауға тура келеді (сүйір бұрышты, доғал бұрышты және т.б.), бірақ негізгі назарды теңбүйірлі үшбұрыштарға аудару керек, себебі олар есеп шығару барысында бізге маңызы зор болатын қасиеттерге ие.

1. Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттері- нің дәлелдеуін қарастыр және түсінік- теме бер.

Теңбүйірлі үшбұрышта:• табанындағы бұрыштары тең;• табанына жүргізілген

биссектриса — медиана және биіктік болады.


KA

B

C

Берілгені: ∆ABCAB = BC

ВК — биссектриса

Дәлелдеу керек: 1)∠A = ∠C,2) BK AC, AK = KC.

Дәлелдеуі:

AB = BC (шарт бойынша),BK— ортақ қабырға,∠ABK = ∠KBC (BK — АВС бұрышының биссектрисасы болғандықтан)

ABK BKC⇒ ∆ = ∆

(үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша).Сондықтан,1) AK = KC,2) ∠A = ∠C, ∠BKA = ∠BKC = 90 (берілген бұрыштар сыбайлас болғандықтан және олардың қосындысы 1800), сондықтан BK кесіндісі АВС үшбұрышының медианасы және биіктігі болып табылады.tex

tbook

s nis

edu k

z

25


Дәлелдеу керегі де осы еді.

2. Дәлелде: а) бір төбеден шыққан биссектриса мен биіктік беттессе, онда үшбұрыш теңбүйірлі;ә) бір төбеден шыққан биіктік пен медиана беттессе, онда үшбұрыш теңбүйірлі;б) екі бұрышы тең болса, онда үшбұрыш теңбүйірлі.

3. Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттерін қолданып, көрсетілген үшбұрыштар арасында теңбүйірлі болатындарды тап. Жауабыңды түсіндір

а)A

B C

47° 47°

ә)

M

B

N

50° 60°

б)Q

P R6

6

в)

M

K

DN

г)S

D

Q

R

28°

28°

ғ)

Z Y

X

H

45°

45°

4. Теңқабырғалы үшбұрыш үшін теңбүйірлі үшбұрыштың барлық қасиеттері орында-латыны дұрыс па? Неге? Жауабыңды түсіндір.

5. Теңқабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең екені дұрыс па? Неге? Жауабыңды түсіндір.

textbo

oks n

is ed

u kz

26


Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттері мен белгілерін есептер шығару барысында қолдануды қарастырайық. Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттері мен белгілерін еске салайық.

Теңбүйірлі үшбұрыш- тың қасиеттеріТеңбүйірлі

үшбұрышта:• табанына қарсы

жатқан төбеден жүргізілген ме-диана биссектри-са және биіктік болады;

• табанындағы бұрыштар тең.

A

B

CD

Теңбүйірлі үшбұрыштыңбелгілеріЕгер үшбұрышта:• екі бұрышы тең бол-

са, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш;

• биіктік медиана бол-са, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш;

• биссектриса меди-ана болса, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш.

1. Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттерін қолданып, дайын сызбадағы есептерді шығар.

QM

N

65

115

Берілгені: ∆MNQ

Дәлелдеу керек: ∆MNQ теңбүйірлі.

A

D

C

B

30 30

Берілгені:АВ = ВС∠ABD = ∠DВС = 30°

Дәлелдеу керек: ∆ADC теңбүйірлі.

textbo

oks n

is ed

u kz

27


R

P

QE

O

Берілгені:PQ = QR,∠PQO = ∠OQR.

Дәлелдеу керек: ∆PОR теңбүйірлі.

A M K C

B

Берілгені:AB = BC, ∠ABM = ∠KBC

Дәлелдеу керек: ∆MBK теңқабырғалы.

M

N

K

Q

Берілгені: MQ = QK,∠NQM = ∠ NQK.

Дәлелдеу керек: ∆NMK теңбүйірлі.

P R

S

Q

Берілгені:PQ = QR,PS = RS.

Дәлелдеу керек: ∠QRS = ∠QPS

2. Теңбүйірлі үшбұрышта бүйір қабырғаларына жүргізілген медианалар тең екендігі дұрыс па? Жауабыңды түсіндір.

3. Салуды жоспар бойынша орында және сұрақтарға жауап бер.а) АВ=ВС болатын теңбүйірлі АВС үшбұрышын сал.ә) АВ және ВС қабырғаларында сыртқы жаққа теңқабырғалы АВК және ВСМ үшбұрыштарын сал.б) Теңқабырғалы үшбұрыштың төбелерін (теңбүйірлі үшбұрыштың төбелеріменсәйкес емес) N нүктесімен қос, N— АС қабырғасының ортасы.в) MKN үшбұрышының түрін анықта. Шешіміңді түсіндір.

textbo

oks n

is ed

u kz

28

1.11 Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі

Үшбұрыштар теңдігінің тағы бір белгісін қарастырайық, оны кейде «қабырға – қабырға – қабырға» деп атайды.

1. Үшбұрыштар теңдігінің үшінші бел- гісінінің дәлелдеуіне түсініктеме бер.

Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабырғасына тең болса, онда мұндай ұшбұрыштар тең болады.


A C A1 C

1

B1B

Берілгені:AB = A1B1,BC = B1C1,AC = A1C1.

Дәлелдеу керек:∆ABC = ∆A1B1C1.

Дәлелдеуі:

A C

A1

C1

B1

B

1. АВС және А1В1С1үшбұрыштарын В және В

1 әртүрлі жақта қалғандай етіп

сәйкестендір. 2. ABB

1 және BCB

1 үшбұрыштары

теңбүйірлі (неге?), сондықтан

1 1 1 1, ,ABB AB B B BC BB C∠ = ∠ ∠ = ∠

ABC = ABB1 + B

1BC,

AB1C = AB

1B + BB

1C.

⇒ ABC = AB1C.

⇒

AB = A1B

1 (салу бойынша),

BC = B1C

1 (салу бойынша),

ABC = AB1C

⇒

1 1 1ABC A B C⇒ ∆ = ∆ (неге?)

Дәлелдеу керегі де осы еді.

textbo

oks n

is ed

u kz

29


2. Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісін қолданып, берілген үшбұрыштар арасында тең үшбұрыштарды көрсет. Жауабыңды түсіндір.

A

B

C

D

B

A C

D

A C

D

B

E

N

M P

K

T

A ED B

C


N

M P

K

O

Берілгені: , ,.

MN KP MK NPMO OP

= ==

Дәлелдеу керек: ∠ = ∠NM P K PM

P

R

SQ

Берілгені:==

,.

PQ QRPS RS

Дәлелдеу керек: ∠ = ∠QPS QRS

B

C

D

A

Берілгені:==

,.

AB BCAD CD

Дәлелдеу керек: ∠ = ∠A C .

textbo

oks n

is ed

u kz

30

1.12 Үшбұрыштар теңдігінің белгілері. Есептер шығару

Сен енді үшбұрыштарды салыстыруды білгенде, өз біліміңді қолданудың нағыз уақыты.

Сен үшбұрыштар теңдігінің қандай белгілерін білетінінді еске түсірейік. 1. Үшбұрыштар теңдігінің белгілерін тұжырымда.

Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі «Қабырға – бұрыш – қабырға»

A C

B

A1 C

1

B1

Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі «Бұрыш –қабырға–бұрыш»

A C

B

A1 C

1

B1

Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі «Қабырға– қабырға – қабырға»

A C A1 C

1

B1B

2. Сызбамен жұмыс жаса. Тең үшбұрыштарды тап. Жауабыңды түсіндір.

A

BC

D

E

G

F

H

R

Q

P

NM

S

T

textbo

oks n

is ed

u kz

31


2. АВС және MNK үшбұрыштары туралы АВ =14 см, ВС =10 см, NK=10 см тең екендігі белгілі. Келтірілген шарттардың қайсысын қосқан кезде үшбұрыштар тең болады. Жауабыңды түсіндір.а) MN = 14 см, ∠ABC = ∠MNK = 50°;ә) MN = 14 см, ∠BAC = ∠NMK = 50°;б) MN = 14 см, ∠ABC = ∠MNK = 50°;в) MN = 14 см, АС = MK = 15 см;г) MN = 14 см, ∠NMK = ∠BAC = m°, ∠MNK = ∠ABC = n°.

3. Дайын сызбаларды қолданып, үшбұрыштың белгісіз элементтерін тап.

B

A

C

D

44°

33°Берілгені:AB = CD,

ВС = AD,

∠CBD = 33°,

∠BDC = 44°.Табу керек: ABD.

M

N S

PR T

Берілгені:

MN = ST,

MR = PT,

NP = SR,

∠NMT = 45°.Табу керек: STP.

A

B

D

C

E

F

Берілгені:

AB = СD,

BС = AD.BE — АВС бұрышының биссектрисасы,DF — ADC бұрышының биссектрисасы.BE=17Табу керек: DF.

A

B

D

C

3

5

Берілгені: ,,

BAC CADBCA ACD

∠ = ∠∠ = ∠BC = 3 см,AD = 5 см.Табу керек: P

ABCD.

4. Дамир MP=MQ=5 см, MN=6 см және MR=10 см болатын екі тең үшбұрыш салды. RQ және NP қабырғаларының ұзындықтары неге тең?

5. Фигураны бөлуге болатындай етіп сал: а) екі тең үшбұрышқа; ә) үш тең үшбұрышқа.

Оны қалай орындайсың? Жауабыңды түсіндір.

textbo

oks n

is ed

u kz

32


1. Келесі тұжырымдардың қайсысы дұрыс? Неге? Салған сызбаңды қолданып, жауабыңды түсіндір.а) егер АВ = MN, AC = MK және BAC = NMK, онда ∆ABC = ∆MNKә) егер АВ = MN, BAC = NMK, CAB = MNK, онда ∆ABC = ∆MNKб) егер АВ = MN, BC = NK, AC = MK, онда ∆ABC = ∆MNKв) егер ∆ABC = ∆MNK, онда АВ = MN

2. ABC үшбұрышының АС және ВС қабырғаларында сәйкесінше әртүрлі М және N нүктелері таңдап алынды. ∆ANB = ∆АМВ белгілі болса, ABC үшбұрышының түрін анықта. Осы үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары АВ және AM, BN және АВ, AN және ВМ болып табылады.

3. Теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғаларының орталары басқа теңбүйірлі үшбұрыштың төбелері болатыны дұрыс па? Неге? Жауабыңды түсіндір.

4. Әлияда өзара тең алты теңқабырғалы үшбұрыш бар. Олардан ол суретте көрсетілген фигура құрастыра алады. Берілген фигурада AED үшбұрышына тең қанша үшбұрыш көрсете алады? Неге олар тең? Жауабыңды түсіндір.

5. Дайын сызбаны қолданып, есепті шығар.

A

C

BD

E

F

Берілгені: DEF∆ — теңқабырғалы.

AF = CD = BE .

Дәлелдеу керек: ABC теңқабырғалы.

6. Суретте көрсетілген АВС үшбұрышы туралы СD = CE. ∠ACD = ∠ECB және периметрі 42,9 см екені белгілі. АВС үшбұрышының түрін анықта және бір қабырғасы

екіншісінен 213

есе үлкен болса, оның қабырғаларының

ұзындықтарын тап. Басқа да тең үшбұрыштар жұбын тап.Неге олар тең? Осыны неше әдіспен дәлелдей аласың?

DEF∆

A

C

B

D

E

F

O

A

D

E

B

C

textbo

oks n

is ed

u kz

33


7. Егер бірінші үшбұрыштың екі қа-бырғасы және олардың үлкеніне қарсы жатқан бұрыш екінші үшбұрыштың екі қабырғасына және үлкеніне қарсы жатқан бұрышына тең болса, онда осындай үшбұрыштар тең екенін дәлелде.

Берілген есептің шартын кейде үшбұрыштар тең-дігінің төртінші белгісі деп атайды. Оны дәлелдеу үшін сен тең фигуралардың анықтамасын қолдана аласың және фигураларды беттестіру және сәйкес-тендіру арқылы салыстыра аласың.

8. О нүктесінен ОM, ON және ОК үш сәуле жүргіз, ON сәулесі MOK бұрышының биссектрисасы, ал MN және NK өзара тең болсын.

MON және NOK үшбұрыштарының тең екендігі дұрыс па?

A1 C

1

B1

A C

B

textbo

oks n

is ed

u kz

34

1.14 Мен не білдім?

Ойыңды аяқтап, үшбұрыштар туралы не білгеніңді қайталайсың.

ҮШ

БҰ

РЫ

Ш

Үшбұрыш• Үшбұрыш деп … аталады.• Теңбүйірлі үшбұрыш деп … аталады.• Теңқабырғалы үшбұрыш деп … аталады.• Сүйір бұрышты үшбұрыш деп … аталады.• Доғал бұрышты үшбұрыш деп … аталады.

Үшбұрыштың тамаша сызықтары• Үшбұрыштың медианасы деп … аталады. • Үшбұрыштың биіктігі деп … аталады. • Үшбұрыштың биссектрисасы деп … аталады. • Орта перпендикуляр деп … аталады.• Үшбұрыштың орта сызығы деп … аталады.• Үшбұрыштың медианалары … қиылысады.• Үшбұрыштың биіктіктері … қиылысады.• Үшбұрыштың биссектрисалары … қиылысады.• Үшбұрыштың орта перпендикулярлары … қиылысады.

Үшбұрыштар теңдігінің белгілері• Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрыш … .• Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен іргелес жатқан екі бұрышы … .• Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы … .

Теңбүйірлі үшбұрыш• Теңбүйірлі үшбұрыштың екі қабырғасы ... .• Теңбүйірлі үшбұрыштың биссектрисасы, медианасы … .• Егер үшбұрыштың бұрыштары … .• Егер үшбұрыштың медианасы … .• Егер үшбұрыштың биссектрисасы … .

Өткенді қайталауға көмектесетін сұрақтар.Келесі сөздерді кем дегенде бір рет қолданып, сөйлемдер құрастыр:

• үшбұрыш;• теңқабырғалы үшбұрыш;• теңбүйірлі үшбұрыш;• сүйір бұрышты үшбұрыш;• үшбұрыштың медианасы;• үшбұрыштың биссектрисасы;• үшбұрыштың биіктігі;• үшбұрыштар теңдігінің белгілері;

1. Тұжырымдар дұрыс па? Жауабыңды түсіндір.а) Егер екі үшбұрыш тең болса және олардың біреуі теңбүйірлі болса, онда екіншісі

де теңбүйірлі болады.ә) Егер екі үшбұрыш тең болса және олардың біреуі сүйір бұрышты болса, онда

екіншісі тікбұрышты болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

35


б) Егер екі үшбұрыш тең болса және олардың біреуі теңқабырғалы болса, онда екіншісі доғал бұрышты болады.

в) Егер екі үшбұрыш тең болса және олардың біреуі доғал бұрышты болса, онда екіншісі теңбүйірлі болады.


B

A

C

7

9 30O

K

M

N

7

9

30O

Берілгені:BC = MK = 7,AC = MN = 9,

ACB = NMK = 30O.

Дәлелдеу керек: ABC MNK∆ = ∆ .

C

B

A

D

9

15

51O

51O

Берілгені:B = D = 51˚,

BD = 18,OB = 9,DC = 15.

АВ-ны тап.

C

B

A

D

Берілгені:AB = AC,BD = CD.

Дәлелдеу керек: BD AC⊥

3. Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі 22,4 см, ал оның екі қабырғасының қатынасы 2:3. Берілген үшбұрыштың қабырғаларын тап.

4. АВС үшбұрышының AM және BK ме-дианалары O нүктесінде қиылысады. AOK және BOM үшбұрыштары тең бола ма?

C

K

M

B

A

5. ABC үшбұрышында AМ медианасы жүргізілді. СМ кесіндісінде КВ : КМ = 4:1 болатындай етіп К нүктесі бел- гіленді. КМ:МВ, MK:KC, МК:ВС қа- тынастары неге тең?

6. MNK үшбұрышында N төбесінен жүр- гізілген медиана NK қабырғасына тең. N төбесінен түсірілген биіктік MK қабырғасын қандай қатынаста бөледі?

7. MNK үшбұрышында NH биіктігі MNK бұрышын қаққа бөледі. KA ме- дианасы 15-ке тең, MB медианасы- ның ұзындығын тап?

textbo

oks n

is ed

u kz

а) ә) б)

36

1.15 Мен не білемін? Өзін-өзі бағалау жаттығулары1. Екі тең АВС және MNK үшбұрышта-

рында: АВ=13 см, ВС=12 см, MK=21 см. MNK периметрі неге тең?

2. Арман АВС үшбұрышының АM медиа-насын M нүктесінен АМ=МЕ кесіндісіне дейін жалғастырды. Әрі қарай, ол E нүктесін АВС үшбұрышының В және С төбелерімен қосты. Қанша жұп тең үшбұрыштар шықты? Неге олар тең? Жауабыңды түсіндір.

3. Есепті шығар:

M

E

O

N

K

Берілгені:,,55 ,37 .

OE ONOM OK

M ENM NE

==

∠ = °∠ = °

Табу керек: M NK∠MNK.

B

A

C

D

O

Берілгені: ,

,OA OC

CAD BCA=

∠ = ∠

AC = 16 см,BC = 14 см,OB = 0,5 AC.

Табу керек: P ABC∆BOC.

E

CB

A D4,5

5

3

Берілгені: AD = BC = 5,AB = CD = 4,5,BD = 3,

,.

BAE DABABE ABD

∠ = ∠∠ = ∠

Табу керек: P ABC∆AED.

4. АВС (АВ=ВС) теңбүйірлі үшбұрышы- ның ВН биіктігінде О нүктесі белгі- ленген. АОВ және СОВ үшбұрышта- ры тең екені дұрыс па? Неге? Жауа- быңды түсіндір.

C

E

D

B

F

A

5. АВС теңқабырғалы үшбұрышы бе- рілген. Оның AB, BC және AC қабыр- ғаларында СD=AF=BE болатындай сәйкесінше F, E, және D нүктелері алынған. DEF үшбұрышының түрін анықта.

A

B

C

textbo

oks n

is ed

u kz

37

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5


қысқаша көбейту формулаларын және олар неге қажет екендігін білемін;

ортақ көбейткішті жақшаның сыр-тына шығару арқылы алгебралық өрнектерді көбейткіштерге жіктеуді;

топтау тәсілімен көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуді;

алгебралық өрнектерді ықшамдау үшін қысқаша көбейту формулала-рын қолдануды;

қысқаша көбейту формулаларын көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін қолдануды үйренемін.

a2 − b2 = (a − b)(a + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Блез Паскаль

19.06.1623 – 19.08.1662 ж. Туған жері: Клермон–Ферран, ОверньҒылым салалары: математика, механика, философия, әдебиет, физика.

a

ba

b

2 Қысқаша көбейту формулалары

(a + b)3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b

b

a

b

a b

a

a

S

S

(a b) 2

textbo

oks n

is ed

u kz

38

2.1 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі

Осыдан бұрын сен бірмүше және көпмүше ұғымдарымен танысып, оларды қосуды, азайтуды және көбейтуді үйрендің. Енді тағы да бір амалды — көпмүшені көбейткіштерге жіктеу амалын мең- геретін уақыт келді. Бұл амал саған көптеген ал- гебралық есептерді шығаруда пайдалы болады.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің ең қара- пайым тәсілі — ортақ көбейткішті жақшаның сыр- тына шығару тәсілі.

1. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығар:

а) 4a2 − 8a4 +12 = 4 ( − 2 + ) ;

ә) 4a2 − 8a4 +15a = ( − + 15) ;

б) 3x + 6xy + 15x2 = ( + 2y + ) ;

в) a3n− 2an + 3a2n +1, мұндағы n ∈ N.

2. Арман төменде келтірілген өрнектердің мәндерін есептеуді жеңілдету үшін көбейт- кішті жақшаның сыртына шығару ережесін қолданған дұрыс дейді. Арманмен келісе- сің бе? Ол қалай есептеулер жасай алады?

а) 1262 +126 ⋅ 74 ; ә) 1452 − 145 ⋅ 45 ;

б) 0,43 + 0,42 ⋅ 0,6 ; в) 0,83 − 0,64 ⋅ 3,8 .3. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығар:

а) a(x − y) + b (x − y); ә) c(a − b) + 2 (a − b) ;б) 2n(p + c) + 4 (c + p); в) b(3 − x) + a (3 − x) .


а) 2n(p − c) + k(c − p); ә) m(a − b) + x(b − a);

б) 3a(x − y) − 6a2 (y − x); в) 5c(n − m) − a(m − n).

5. Дина мен Мадина x(x − 2) = 0 теңдеуін шешуші болды. Дина бұл теңдеудің түбірі «0» саны бола-ды дейді, ал Мадина теңдеудің түбірі «2» саны деп есептейді. Қай баланың тұжырымы дұрыс? Неліктен? Жауабыңды негізде. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілдері, оның

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу дегеніміз — оны көпмү-шелердің көбейтіндісі түріне келтіру.

Егер көпмүшенің барлық мүшелерінде ортақ көбейткіш бар болса, онда көбейтудің үлестірімділік заңы негізінде ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығаруға болады. Сызба түрінде оны былай көрсетуге болады:∆ − ∆ = ∆ ( − )


Мысал: ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығар:

( )( ) ( ) ( )( )

–

– – –

5 353 3 3

5 5 7 5 7ab bc ab bc b a c

x a y a a x y

− = − =

+ = +

⋅

х=0 болғанда дұрыс теңдік

шығады

х=2 болғанда дұрыс теңдік

шығады

х=0

х=2

textbo

oks n

is ed

u kz

39


ішінде ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі, теңдеулерді шешу үшін қолдануға тиімді.

ab = 0 теңдігі орындалу үшін көбейткіштердің кем дегенде біреуі нөлге тең болуы керек. Яғни, не а = 0, не b = 0.

6. Жоғарыда келтірілген алгоритмді қолданып, теңдеулерді шеш:

а) x(2x − 5) = 0; ә) (x + 4)(x − 7) = 0;

б) m(2m − 7) (3m + 4) = 0; в) p3(4 − 2 p)(5 + p) = 0;

г) (4y − 3)(8y + 2)(5 + 15 y) = 0; ғ) (x + 2)(2 − x)(6 − 3x) = 0.

7. Арман тақтада теңдеу шешті, бірақ оның жаз- басының кейбір жерлері өшіріліп қалды. Арманға жазбаны қалпына келтіруге көмектес:

8. Теңдеулерді шеш:

а) x2 − x = 0; ә) 3x2 − 9x = 0;

б) 2x + 8x2 = 0; в) x2 = 2x.

9. p(x) көпмүшесін көпмүше мен бірмүше көбейтіндісі түріне келтір. p(x) = 0 теңдігі х-тің қандай мәндерінде орындалатынын тап, егер:

а) p(x) = 6x2 + 12x ; ә) p(x) = x2 − 3x3.

10. а айнымалының белгілі бір мәнінде a2 − 3a + 2 өрнегінің мәні 9-ға тең болытыны белгілі. а айнымалының сол мәнінде келесі өрнектің мәні нешеге тең болады деп ойлайсың:

а) 2a2 − 6a + 4 ; ә) a2 (a2 − 3a + 2)− 3a(a2 − 3a + 2); б) 4a2 − 12a − 10?

11. Көпмүшені екі екімүше көбейтіндісі түріне келтір:

а) (2a + 3b)(a + b) − (a + b)(a − 3b) ;ә) (2a + 3b)(a − b) − (b − a)(a − 3b);б) (2x − 5y)(x − y)+ (y − x)(x + 3y) .

12. Теңдеудің барлық түбірлерін тап:

а) x2 (x + 3)− 4x (x + 3)2 = 0 ; ә) x2 (x − 2)+ 3x (x − 2)2

= 0 .

3 x 2 + 6x = 0;3x ( + 2) = 0;

3 x = 0; немесе + 2 = 0;x

1 = = .

Жауабы x1

= ; x 2

= .

textbo

oks n

is ed

u kz

40

2.2 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу. Топтау тәсілі

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің басқа тәсілдерінің негізі болып табылады, мысалы топтаудың. Оған толығырақ тоқталайық.

1. Сенің алдыңда топтау тәсілімен көпмүшені көбейткіштерге жіктей алатын мәшине.Оның жұмыс істеу принципін қарастыр. Осы мәшинені қолданып a2b − b + ab2 − a көпмүшесін көбейткіштерге жікте.

Көпмүше 210 15 8 12a a a− + − 2 2a b b ab a− + −

Қосылғыштарды топтарға біріктіреміз

2(10 15 ) (8 12)a a a+ + +

Әр топта ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарамыз 5 (2 3) 4(2 3)a a a+ + +

Әр көбейтіндіден ортақ көбейткішті жақшаның сыртына

шығарамыз

(2 3)(5 4)a a+ +

Нәтижесі 210 15 8 12 (2 3)(5 4)a a a a a− + − = + +

2. Топтау тәсілін қолданып, көпмүшені көбейткіштерге жікте:

а) x(a + b) + 4a + 4b ; ә) m − n + a(n − m);

б) p(x − y)− 4x + 4 y ; в) a(b − c)+ c − b .

3. Сабина мен Нұрлан көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге арналған тапсырманы орындады. Олардың шешіміне түсініктеме бер. Олар бәрін дұрыс орындады ма?

ха – хb + 3a – 3b(хa – xb) + (3a – 3b)x (a – b) + 3 (a – b) (a – b)(х + 3)

ха – хb + 3a – 3b(хa + 3a) – хb – 3ba (х + 3) + b (x + 3) (х + 3)(a + b)

textbo

oks n

is ed

u kz

41


Көпмүшені көбейтіндіге жіктеу үшін оның мүшелерін әртүрлі жолмен топтастыруға болады.

4. Марат көпмүшені көбейтіндіге жіктеу үшін оның мүшелерін топтаудың әртүрлі нұсқаларын ұсынды. Ол өз тәсілінің геометриялық түсіндіруін көрсетті. Оның ше- шіміне түсініктеме бер. Шешім дұрыс па?

mp + np + qn + qm = m( p + q) + n( p + q) = (m + n)( p + q)

5. Берілген көпмүшені бірнеше көпмүшенің көбейтіндісі түріне келтіруге болатындай етіп, бос орындарды толтыр.

а) 6a − 6x + ab − bx = ( ... )+ ( ... ) = (a − x) + (a − x) = ... ; 6a − 6x + ab − bx = ... = (6 + b) − (6 + b) =;

ә) x2 + 3xy − 3x − 9 y = ( + ) − ( + ) = ( x + 3y ) − ( x + 3y ) = ... ; x2 + 3xy − 3x − 9 y = ... = ( x − 3) + ( x − 3) = ... ;б) a3 − a2b − a + b = ( ... )...( ... ) = ( ... )...( ... ) = ( ... ) ( ... ).

6. Көпмүшені көбейткіштерге жікте, көбейту арқылы жауабыңды тексер:

а) ax − 2ay − 4bx + 8by ; ә) 12x3 − xy + 36x2 y − 3y 2 .

7. Көпмүшені көбейткіштерге жікте:

а) ab2 − yb2 − ax + xy + b2 − x;

ә) ac 2 − 2ad − bc 2 + 2cd + 2bd − c3;

б) a 4 − a 2b2 + b2 x − a 2x − a 2 + x;

в) a3 y 2 − 3a3c + ay 2 + y 2 − 3ac − 3c.

8. Көпмүшені үш екімүшенің көбейтіндісі түріне келтір:

а) 2x2 y − 6x2b − axy + 3abx;

ә) 2a3b − 4a3 + ab − 2a;

б) 4x2 y + 10xy2 − 6ax 2 − 15axy;в) 12a2b2 − 21ab3 − 8a2c + 14abc.

9. Теңдеудің барлық түбірлерін тап:

а) x3 + 3x 2 + 2x + 6 = 0; ә) x3 + 4x 2 + 5x + 20 = 0;

б) x3 − x 2 + 7x − 7 = 0; в) x 4 − 2x3 − 8x + 16 = 0.

10. a2 − ab − 3a + 3b көпмүшесін көбейткіштерге жіктеп, a = 3,5; b = −1,7 болғандағы көпмүшенің мәнін тап.

q

p

textbo

oks n

is ed

u kz

42

2.3 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу. Есептер шығару

Бұған дейін айтқанымыздай, көпмүшені көбейткіштерге жіктеу — көптеген матема- тикалық есептерді шығарудың тиімді жолын табуға мүмкіндік береді. Мысалы, ариф- метикалық есептеулерді тез орындау, бөлінгіштікке есептер шығару және теңдеулер шешу. Осы тәсілдерді есептерді шығаруға қолдануды қарастырайық.

1. Өрнектің мәнін есепте.а) 67,32 + 67,3 ⋅ 32,7;б) 34, 2 ⋅ 2,35 + 2,35 ⋅ 42,3 + 23,5 ⋅ 2,35;

ә) 37, 3⋅ 62, 7 + 37, 32;в) 3, 7 ⋅ 6, 42 + 7, 28 ⋅ 3, 7 − 3, 72 .

2. Мадинаға төменде келтірілген сандық өрнектің мәнін табу керек.

Ол ең тиімді жолмен есептеудің жоспарын құ- рып, жоспарды кеспеқағаздарға жазып алды. Кеспеқағаздар шашылып қалды. Мадина қан- дай жоспар құрды? Бұл жоспарды басқа есеп- терді шығаруға қолдануға бола ма? Жауа- быңды негізде.

а) ( )( )2

1,81,8 5,3 1,8 2,70,4 0,4 1,4

⋅ +⋅ + ⋅= =

+ ⋅ +;

Алымы мен бөлімін ортақ көбейткішке қысқарт

Алымындағы ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығар

Бөліміндегі ортақ көбейткішті тап

Алынған нәтижені жаз

Алымындағы ортақ көбейткішті тап

Бөліміндегі ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығар

1 2

3 4

5 6

ә) 2,38,37,68,3

9,16,19,1 2

⋅−⋅+⋅ ; б)

31

311

311

32

735

32

732

2

⋅−

⋅−⋅; в) 2

7 5 5 8115 9 9 15

2 2 11 13 3 9

⋅ − ⋅

− ⋅

;

3. Өрнекті алдымен көбейткіштерге жіктеп алып, оның мәнін тап.

а) 2

16 12 4 12 16 2 4 23 6 6 4 5 6 4 3 4 5 4

⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

; ә) 6,1 3,9 6,1 1,9 0,4 3,9 0,4 1,98,9 1,7 3,2 2,3 8,9 2,3 3,2 1,7

⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

; б) 2

1,6 7,8 1,6 5,20,8 0,8 1,8

⋅ − ⋅+ ⋅

.

4. Өрнекті көбейткіштерге жікте.а) 8a2 + a + a3 + 8 ; ә) x3 +18 + 3x + 6x2 ;б) c3 − 6 + 2c − 3c2 ; в) 18x2 + 27xy +14xz + 21yz .

Бөлшектің негізгі қасиеті:егер бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей санға (нөлден өзге) көбейтсе немесе бөлсе, бөлшектің мәні өзгермейді.


textbo

oks n

is ed

u kz

43


5. Өрнектің мәні берілген санға бөлінетінін дәлелде:

а) 39 + 38 − 37 саны 11-ге; ә) 8 7 66 6 6+ + саны 43-ке;

б) 2 23 4 3 9 2 2 ,n n n n n N+ ++ ⋅ − ⋅ − ∈ , саны 13-ке; в) 1 2 35 5 5 ,n n n n N+ + ++ + ∈ , саны 31-ге.

6. Теңдеуді шеш:

а) (2 – x)(x+7) = 0; ә) –2x(4x + 1) (5x – 2) = 0;

б) 5х2 + 4х = 0; в) 2 4 2 0x x x x⋅ − ⋅ + − = .

7. Арман 3 2ax bx cx d+ + + көпмүшесінің коэффициенттерін 3, 5, 6, 10 сандарымен ал- мастырды. Алынған көпмүшелік көбейткіштерге жіктеледі. Арманда қандай көпмү- шеліктер пайда болды?

Кейде көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеу үшін, оның қандай да бір мүшесін ұқсас мүшелердің қосындысы немесе айырмасы түріне келтіріп алған ыңғайлы болады.

9. Бір мүшесін ұқсас мүшелердің қосындысы немесе айырмасы түріне келтіру арқылы үшмүшені көбейткіштерге жікте.

а) x2 + 5x + 6; ә) b2 − 2b −15;

б) y2 + y −12; в) c2 − 3bc + 2b2.

10. Көпмүшені көбейткіштерге жікте.

a b a b b a a bx x y x y y+ ++ − −.

Мысалы:

2 24 3 3 3( 3) ( 3) ( 3)( 1)

x x x x xx x x x x+ + = + + + =

= + + + = + +

textbo

oks n

is ed

u kz

44

2.4 Екі өрнектің қосындысы мен айырмасы көбейтіндісінің формуласы. Квадраттардың айырмасы

Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін бірінші көпмүшенің әрбір мүшесін екінші көп- мүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, алынған нәтижелерді қосу керек екенін сен білесің. Бұл аса тиімді емес және едәуір уақыт алатын амал. Кейбір жағдайларда біз арнайы формула-ларды қолданып, амалды тез орындай аламыз. Мұндай формулалар — қысқаша көбейту формулалары деп аталады.

1. Дамир (a – b) көпмүшесін (a + b) көпмүшесіне көбейтудің геометриялық мағынасын көрсе- ту жолын ұсынды. Оның шешіміне түсініктеме бер. Дамирдің жасаған қорытындысы дұрыс па?

Қорытынды: Екі алгебралық өрнектің қосындысы мен айырмасының көбейтіндісі осы

алгебралық өрнектердің квадраттарының айырмасына тең, яғни ( )( ) 2 2a b a b a b− + = −

2. Көпмүшелерді көбейтуді орында:

а) ( )( )2 2a b a b− + ; ә) ( )( )2 3 2 3a b a b− + ;

б) ( )( )2 3 2 33 4 3 4x y x y− + ; в) ( )( )2 22 4 2 4xy xy xy xy− + .

3. Сөйлемді математикалық тілде жаз және оны ықшамда:

а) 4 8a b− айырмасы мен 4 8a b+ қосындысының көбейтіндісі; ә) 2 33n m− айырмасы мен 2 33n m+ қосындысының көбейтіндісі.

4. Көпмүше түріне келтір:

а) ( )( )4a d a a d− + ; ә) ( )( )3 x y x y− + − ;

б) ( )( )2 22 3 8 8 3x x y y x− + − ; в) ( )( )2 20,5 4 6 6 4a b a a b− + .

=a – b

b a a

a – b

(a – b) (a + b) = a2 – b2

a – b

b

b

textbo

oks n

is ed

u kz

45


5. Көпмүшелерді көбейтуді орында:

а) ( )( )( )2 2x y x y x y− + + ; ә) ( )( )( )22 2 4a a a+ − + ;

б) ( )( )( )24 16 4n n n+ + − ; в) ( )( )( )21 4 2 1 1 2b b b+ + − .

6. Өрнектің мәнін тап:

а) ( )( )10 4 10 4− + ; ә) 1 110 103 3

− +

;

б) 103 97⋅ ; в) 7,8 8,2⋅ ;

г) 3 15 64 4

⋅ ; ғ) 2,7 3,3⋅ .

7. Содан кейін Дамир суретте көрсетілген фигураның ауданын табу есебінің геометриялық шешімін ұсынды.Оның шешіміне түсініктеме бер. Дамирдің жасаған қорытындысы дұрыс па?

Дамир қағаздан қабырғасы а cм бола-тын шаршы қиып алды.

Бұл квадраттан ол қабырғасы b cм болатын шаршы қиып алды.

Қалған бөлікті ол екіге бөліп, қабырғалары ( )a b− және ( )a b+ болатын тіктөртбұрыш құрастырды.

Оның ауданы: S = см2.

Қабырғасы b см шаршының ауданы S = см2.Қалған бөліктің ауданы:

S =

Алынған тіктөртбұрыш-тың ауданы:

S =

b

b

a

a

a

ba

b

a

a

a –

b

a b

textbo

oks n

is ed

u kz

46

Қорытынды: Екі алгебралық өрнектің квадраттарының айырмасы осы өрнектердің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісіне тең, яғни

( )( )2 2à b a b a b− = − + .

8. Квадраттардың айырмасының формуласының көмегімен берілген көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге болатындай етіп, бос орындарды толтыр

а) ( ) ( ) ( )( )22225 4 5 5 5a a a a− = − = − + ;

ә) ( ) ( ) ( )( )2 22 216 81m n− = − = − + ;

б) ( ) ( ) ( )( )2 24 2 2 2 249 3 3 3a b b b b− = − = − + ;

в) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 24 5 4 3 4 5 4 3x x x x+ − − = + − − + = ;

г) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 25 3 4 6a b b a+ − − = − + =

9. Көпмүшені көбейтінді түріне келтір.

а) ( )22 22 5 25a a+ − ; ә) ( )26 216 3 2x x y− − ;

б) ( )24 87 6 36b a b+ − ; в) ( )2449 5n m− + .


а) ( )( ) ( )3 1 3 1 9 2 6 0x x x x x− + − + + = ; ә) ( ) ( )( )212 8 7 2 9 5 6 5 6n n n n n n+ − = − + − .

Екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласы

( )( )2 2a b a b a b− = − + .

ЕСТЕ САҚТА!!

textbo

oks n

is ed

u kz

47

2.5 Екі өрнектің қосындысының квадраты. Толық квадрат формуласы

Көпмүшелерді көбейту амалын орындау үшін жалпы ережені қолданғаннан гөрі тезі-рек орындауға мүмкіндік беретін формулалар жайлы әңгімені жалғастыра отырып, ( )a b+ • ( )a b+ түріндегі көпмүшелерді көбейтуді қарастырайық.

1. Сөйлемдерді математика тіліне аударып, түрлендірулерді орында.а) a және b өрнектерінің қосындысының квадратын жаз;ә) a және b өрнектерінің квадраттарының қосындысын жаз;б) a және b өрнектерінің екі еселенген көбейтіндісін жаз; в) дәреженің анықтамасын қолданып, a және b өрнектерінің қосындысының квадраты неге тең екенін тап. Сен тапқан өрнекті келесідей оқуға бола ма?"Екі өрнектің қосындысының квадраты тең болады — бірінші өрнектің квадраты, қосу бірінші және екінші өрнектердің екі еселенген көбейтіндісі, қосу екінші өрнектің ква-драты". Неліктен? Жауабыңды негізде.

2. Гаухар

2( )a b+ көпмүшесінің мәнін табу формуласын қорытып шығаруының геометриялық түсініктемесін көрсетті. Оның шешіміне түсіндірме жаса.

= + +

2( )a b+ = 2a + 2ab + 2b

Алынған формула екі өрнек қосындысының квадратының формуласы деп аталады. Бұл қысқаша көбейту формулаларының бірі болып табылады.

3. Қосынды квадратының формуласының көмегімен өрнекті көпмүше түрінде жаз.

а) ( )2x y+ ; ә) ( )21 b+ ;

б) ( )20,5k + ; в)

217

c +

;

г) 2(2 1)x + ; ғ)

214

k m +

.

ab

ab

a2

b

ba

a

ab

aba2

b2

b2

Екі өрнектің қосындысының толық квадратының формуласы

( )22 22a ab b a b+ + = +мысалы,

2 212 36 ( 6)b b b+ + = +

ЕСТЕ САҚТА!textbo

oks n

is ed

u kz

48

4. Өрнекті квадратқа шығар:

а) ( )24 5x y+ ; ә) ( )23 27 8a b+ ;

б) 2

21 113 2

a ab +

; в) 2

3 2124

c a +

.

5. Дұрыс теңдік болатындай етіп бос орындарды толтыр:

а) ( )222 4b b+ = + + ; ә) ( )2

2 64k k k+ = + + ;

б) ( )2 26 36c c c+ = + + ; в) ( )22 10a a a+ = + + .

6. Қосынды квадратының формуласын қолданып, сандардың квадраттарын есепте:

а) ( )2103 ; ә) 2( 201)− ;

б)

2344

; в) 210,01 .

Кейде есеп шығару барысында қосынды квадратының формуласын мынадай түрде қолдануға болады ( )22 22a ab b a b+ + = + . Бұл бізге өрнекті қосындының толық квадраты деп аталатын түрде жазуға мүмкіндік береді.

7. Келесі өрнектердің қайсысын толық квадрат түріне келтіруге болады? Ондай өр- нектердің белгісін анықта.

а) 2 6 9x x+ + ; ә) 24 25 40c c+ + ; б) 2 249 14b bc c+ + ;

в) 216 56 49m m+ + ; г) 2 281 9 27a b ab+ + ; ғ) 2 28 4mn m n+ + .

8. Квадраттар айырмасының және қосынды квадратының формулаларын қолданып, көпмүшені көбейткіштерге жікте және бос орындарды толтыр.

а) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )222 4 4 9 2 2 2x x x x x+ + − = + − = + − + + = ... ;

ә) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 281 4 4 1m n n− + + = − = − + ;

б) ( ) ( ) ( )( )2 24 2 2 2 2 249 14 3 3 3a a b b b b b+ + − = − = − + =;

Екі өрнектің қосындысының толық квадратының формуласы

( )22 22a ab b a b+ + = + мысалы,2 212 36 ( 6)b b b+ + = +


Мысалы: 2 2 2 2 2

2 4

(1 3 ) 1 2 1 3 (9 )1 6 9

p p pp p

+ = + ⋅ ⋅ + =

= + + Қысқаша көбейту

формулаларын қолдану барысында дәреженің

қасиеттерін пайдалануды ұмытпа.

Мысалы:

( )22 2 21004 1000 4 1000 2 1000 4 4 1000000 8000 16 1008016= + = + ⋅ ⋅ + = + + =

textbo

oks n

is ed

u kz

49


в) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 29 6 1 1 2m m m m+ + − + + = + − + = ... ;

г) 2 2

2 229 3 4a ac c a ac c+ + − − − .


а) ( ) ( )( )8 1 2 4 5 4 5 3x x x x x+ − + − = ; ә) ( ) ( )( )4 1 4 11 3 4 3 4x x x x x− − = − − + ;

б) ( ) ( )26 8 2x x x+ − − = ; в) ( ) ( )( )22 3 4 1 1 49x x x+ − − + = .

textbo

oks n

is ed

u kz

50

2.6 Екі өрнектің айырмасының квадраты. Толық квадрат формуласы

Сонымен, екі өрнектің қосындысы квадратының формуласын білгеннен кейін, екі өрнектің айырмасының квадраты неге тең екенін қалай табуға болады деген сұрақ туындайды.

Көпмүшелерді оқу барысында біз a b− өрнегін ( )a b+ − түрге келтіруді үйренгеніміз есіңде. Осы жағдайды пайдаланып, екі өрнектің айырмасының квадратын табу формула-сын қорытып шығарайық.

1. Дария ( )2a b− формуласын қорытып шығарудың екі тәсілін көрсетті. Осы тәсілдерді айтып бер. Дария қандай әдістерді қолданды?

1-тәсіл 2-тәсіл Екі өрнектің айырмасының квадраты тең болады - бірінші өрнектің квадраты, алу бірінші

және екінші өрнектердің екі еселенген көбейтіндісі, қосу екінші өрнектің квадраты.

2. Суретті қолданып, ( )2 2 22a b a ab b− = − + екенін дәлелде.

3. Айырма квадратының формуласы көмегімен өрнекті көпмүше түрінде жаз.

а) ( )22 x− ; ә) ( )25x y− ; б) ( )27 2c b− ;

в) 214

2a −

; г)

223

m − −

; ғ) 21 3

6m n − +

.

4. Кеспеқағаздарда өрнектер жазылған. Өзара тең өрнектерді тап. Жауабыңды негізде. Қандай заңдылықты байқадың?

5. Айырма квадратының формуласын қолданып, сандардың квадратын тап:

а) ( )290 1− ; ә) 297 ; б) 221

3

; в) ( )29,98 . Қосынды квадратының формуласы жағдайын- дағыдай айырма квадратының формуласын

( )22 22a ab b a b− + = − түрінде қолдануға болады. Бұл жағдайда біз айырманың толық квадраты туралы айта аламыз.

( )2

2 2

2 2

( )(a b)

2

a b a b

a ab ab ba ab b

− = − − =

= − − + =

= − +

( )2

2 2

2 2

( )

( 2 ) ( )2

a b

a ab ba ab b

+ − =

= + − + − =

= − +

(–a + b)2 (–a – b)2 (–a + b)2 (b + a)2 (b – a)2

Екі өрнектің айырмасының толық квадраты формуласы

( )22 22a ab b a b− + = −мысалы,

2 210 25 ( 5)x x x− + = −


b

b

a

a

b

b

a

a

S

S

(a b) 2

textbo

oks n

is ed

u kz

51


6. Үшмүшені екімүшенің квадраты түріне келтір:

а) 29 6b b− + ; ә) 2 281 16 72m n mn+ + ; б) 2 2100 9 60b a ab+ − ;

в) 2 225 10y x xy+ − ; г) 2 3 4 2 448 36 16a b a b b+ + ; ғ) 4 2 4 3 4 449 42 9x y x y x y− + .

7. Екі өрнектің қосындысы мен айырмасы квадраттарының формулаларын қолданып, кестені толтыр.

Бірінші өрнек

Екінші өрнек

Екі өрнектің қосынды- сының квадраты тең

Екі өрнектің айырмасының квадраты тең

323

a c 314

c

27

xy− 712

x−

33a b− 6 2 4 29 6a b a b a− +

2 53m n− 2 6 3 8 4 104 12 9m n m n m n+ +

425

x− 2 4 8425 425

y x y x− +

7. Өрнекті стандарт түрдегі көпмүше түрінде жаз:

а) ( ) ( )2 26 5 8 2 3x y x y+ − − ; ә) ( ) ( )2(7 2 ) 2 7 6 5ab ab ab+ − + − ; б) ( ) ( )( )25 7 5 3 4 3a a a− − − − ;

в) ( ) ( )2 22 3 4 5 6x x+ − − ; г) ( ) ( ) ( )2 2 2a b b c a c+ − + + + ; ғ) ( ) ( )2 25 3 4 2 3 4x x y y y x+ − + .

9. Қанат екі өрнектің қосындысының және айырмасының квадраттарын ашып жазды, бірақ ол қателіктер жіберді. Қателіктерді тап.

а) ( )2 2 22 4a b a b+ = + ; ә) ( )2 2 23 9 3x y x xy y− = + − ;

б) ( )2 2 22 4 4a b a ab b− = − − ; в) ( )2 213 13 169c c c− = − + .

10. Өрнекті А2 + с түріне келтір, мұндағы А — екімүше, с — сан. Мысалы:

а) 2 8 10a a+ + ; ә) 2 16 1b b− − ;

б) 2 14 24y y+ + ; в) 2 20 48m m+ + ;

11. Теңдік дұрыс па?

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 4a b c b c a c a b abc a b b c c a+ + + + + − = + + + .

Мысалы:

( )( )( ) ( )

2

2

2

2

6 2

6 9 9 2

3 7

3 7

x x

x x

x

x

+ + =

= + + − + =

= + − =

= + + −

textbo

oks n

is ed

u kz

52

2.7 Екі өрнектің қосындысының және айырмасының квадраты. Есептер шығару

Енді, екі өрнектің қосындысының және айырмасының квадратын қалай ашып жазу- ға болатынын білгеннен кейін және толық квадратты ажыратуды, көпмүшелерге ариф- метикалық амалдарды қолдануды үйренгеннен кейін, сен математикалық есептердің көптеген түрлерін шығаруға мол мүмкіндік алдың.

1. Сенің алдыңда үш конверт және тоғыз кеспеқағаз жатыр. Әр конвертке сәйкес кеспеқағаздарды сал. Жауабыңды негізде.

Қосынды квадраты Айырма квадраты Квадраттар айырмасы

( )2 2 22a b a ab b+ = + + ( )2 2 22a b a ab b− = − + 2 2 ( )( )a b a b a b− = − +

x2 – y2 (–x + y)2 y2 – x2 (y + x)2 x2 + (–(– y)2)

(–x – y)2 – (x – y)2 (x – y)2 – (x + y)2

2. Теңдік дұрыс болатындай етіп, бос орындарға бірмүшеліктерді жаз.

а) ( )24 40a ab+ = + + ; ә) ( )2

27 81x y− = − + ;

б) ( )28 80c ac+ = − + ; в) ( )2

2 250m m n− = − + ;

г) ( )26 481 36x y− = − + ; ғ) ( )2

4 2 225 80p p k+ = + + .

3. Саған белгілі қысқаша көбейту формулаларын қолданып, сандық өрнектік мәнін есепте.

а)

211414

; ә)

2566

−

; б)

23816

; в)

2121213

;

г) 78 82⋅ ; ғ) 31 29⋅ ; д) 1 710 98 8

⋅ ; е) 29 8,65

⋅ .

4. Өрнекті екі өрнектің квадраттарының қосындысы түрінде жаз:

а) 2 2 10 25a b b+ − + ; ә) 2 2 6 9x y y+ − + ;

б) 2 216 26 40m n mn+ − ; в) 2 3 4 2 448 37 16a b a b b+ + ;

г) 2 22 2 14 49a ac c c− + + + ; ғ) 2 210 6 8 16n nm m n+ + − + .

5. Үшмүшені екімүшенің квадраты түріне келтіруге болатындай етіп 2 236 4x xy y− +

textbo

oks n

is ed

u kz

53


өрнегінің коэффициенттерінің біреуін өзгерт. Мұны неше тәсілмен орындауға болады? Жауабыңды негізде.

6. 9x y+ = және 15xy = − екені белгілі. 2 2x y+ өрнегінің мәнін тап.

7. Берілген теңдіктің геометриялық түсініктемесін жаса.

( ) ( )22 2 2( ) 2x y x y x y+ + − = +

8. Суретті қолдану арқылы a, b және с айнымалыларының оң мәндері үшін

( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

теңдігін дәлелде.

9. Берілген теңдіктер дұрыс па? Неліктен? Жауабыңды негізде.

а) ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − − ;

ә) ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− + = + + − + − ;

б) ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− − = + + − − + .

b2

a2

ab

ab

textbo

oks n

is ed

u kz

54

2.8 Екі өрнектің қосындысының және айырмасының кубы

Екі өрнектің қосындысын немесе айырмасын квадратқа шығарғандай біз екі өрнектің қосындысын немесе айырмасының кубын таба аламыз. Бұған толығырақ тоқталайық.

1. Сөйлемдерді математикалық тілге аударып, түрлендірулерді орында. а) a және b өрнектерінің қосындысының кубын жаз;ә) a және b өрнектерінің кубтарының қосындысын жаз; б) a өрнегінің квадратының және b өрнегінің үш еселенген көбейтіндісін жаз;в) Дәреженің анықтамасын және қосындының квад- ратының формуласын қолданып, a және b өрнек- терінің қосындысының кубы неге тең екенін тап. г) Төменде келтірілген шешіммен өз шешіміңді са-лыстыр:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( 2 ) 2 2

3 3

a b a b a b a b a b a b a ab b a b a a b a b ab ab b

a a b ab b

+ = + + + = + + = + + + = + + + + + =

= + + +Сен тапқан өрнекті келесідей оқуға болатыны дұрыс па?"Екі өрнектің қосындысының кубы тең болады – бірінші өрнектің кубы, қосу бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің үш еселенген көбейтіндісі, қосу бірінші өрнекпен екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісі, қосу екінші өрнектің кубы".ғ) Дәреженің анықтамасын және айырманың квадратының формуласын қолданып, aжәне b өрнектерінің айырмасының кубы неге тең екенін тап.Сен тапқан өрнектікелесідей оқуға болатыны дұрыс па?"Екі өрнектің айырмасының кубы тең болады – бірінші өрнектің кубы, азайту бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің үш еселенген көбейтіндісі, қосу бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісі, азайту екінші өрнектің кубы".

2. Екі өрнектің қосындысының кубы және айырмасының кубы формулаларын қолданып, өрнекті көпмүше түріне келтір.

а) ( )3m n+ ; ә) ( )3m n− ; б) ( )32a + ; в) ( )31 p− ; г)

312

b −

.

3. Гаухар 3( )a b+ көпмүшесінің мәнін табу формуласын қорытып шығаруының

геометриялық мағынасын көрсетті. Оның шешіміне түсіндірме жаса.

= + + +

3( )a b+ = 3a + 23a b + 23ab + 3b

Сен 3( )a b− формуласының геометриялық түсініктемесін ұсына аласың ба?

Екі өрнектің қосындысының кубы және айырмасының кубы формулалары( )( )

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

+ = + + +

− = − + −


textbo

oks n

is ed

u kz

55


4. Дұрыс теңдік болатындай етіп бос орындарды толтыр:

а) ( )3 22 32 3 2 3 2 b+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ; ә) ( )33 3 3 64a a+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ;

б) ( )33 2 35 5 5b b b− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ; в) ( )3

3 23 5 3x x x x− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − .

5. Өрнекті көпмүше түріне келтір:

а) ( )33 2x y+ ; ә) ( )33 2a b− ; б) ( )32 33 4x y− ; в) ( )3m n− − ; г) ( )33 p− + ;

ғ) ( )32 3k p− ; д) ( )32 2a b+ ; е)

321 3

3 2m mn − −

; ж)

33 213

3a b −

.

6. Көпмүшені үшінші дәрежеге шығарғанда Әлияның жіберген қателерін тап.

33 2 2 31 3 1 1 3 9

3 4 9 4 16 16x y x x y xy y − = − + −

( )3 3 2 22 3 8 24 27 9a b a a b ab b+ = + + + ; ( ) ( )32 4 3 2 2 6 4 3 6 63 2 27 12 54 27c c d c c d c d c d+ = + + +

7. Өрнекті ықшамда:

а) ( ) ( )32 6 2c n cn c n+ − + ; ә) ( ) ( )( )3 2 2a m a m a am m− − − + + ; б) ( )( ) ( )32 2a b a ab b a b+ − + − + .

8. Теңдікті дәлелде:

а) ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ − − = + ; ә) ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b− = − − − .

Кейде есеп шығару барысында қосынды кубының немесе айырма кубының формуласын мынадай түрде қолдануға болады ( )33 2 2 33 3a a b ab b a b+ + + = + және ( )33 2 2 33 3a a b ab b a b− + − = − . Бұл бізге берілген өрнекті екі өрнектің қосындысының немесе айыр- масының кубы деп аталатын түрде жазуға мүмкіндік береді.

а) 3 23 3 1a a a− − + ; ә) 3 29 9 27b b a+ + + ;

б) 3 2 2 38 12 6p p q pq q+ + + ; в) 3 23 3 1b b a+ − − .

Екі өрнектің қосындысы- ның кубы және айырма- сының кубы формулалары

( )33 2 2 33 3a a b ab b a b+ + + = +

( )33 2 2 33 3a a b ab b a b− + − = −мысалы,

3 2 33 3 1 ( 3)b b b b+ + + = +


textbo

oks n

is ed

u kz

56

1. Кестені толтыр:

Қысқаша көбейту формуласының атауы

Қысқаша көбейту формуласының

жазылуы


Екініші өрнек

Нәтиже

Айырманың квадраты

23a 412

b 4 2 4 819 34

a a b b− +

Квадраттар айырмасы

413

x 214

y

Қосындының кубы

32 14

3m n +

Айырманың кубы

9 6 6 3 12 188 12 6a a b a b b− + −

Екі өрнектің қосындысы мен айырмасының көбейтіндісі

3 31 1 1 12 3 2 3

c d c d − +

Қосындының квадраты

313

a23b

2. Сәйкестікті орнат:

1. 3(2 )b+ а)

6 4 2 2 3127 9

27a a b a b b− + −

2.

2 21 2 44

a ab b+ + ә)

313

a b +

3.

32 13

3a b −

б)

21 22

a b − −

4.

2 212 44

ab a b− − в) 2 38 12 6b b b+ + +

5. 3 2 2 31 327

a a b ab b+ + + г) 21 2

2a b − −

2.9 Екі өрнектің қосындысы кубының және айырмасы кубының формулалары. Есептер шығару

textbo

oks n

is ed

u kz

57


3. Екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының кубы формуласын қолданып, есепте:

а) 313; ә) 293;

б) 11,13; в) 10,93.

4. a және b қосындысының кубы мен кубтарының қосындысының айырмасын тап. 1a = − және 1b = болса, онда айырманың мәнін есепте.

5. Алынған қосынды екімүшенің кубына тең болуы үшін ( )3 264 36 4 3a a a− − өрнегіне қандай санды қосу керек екенін тап.

6. Теңдеуді шеш ( )3 2 32 6 28x x x+ = + − .

7. Бос орындарды толықтыр.

а) ( – 2) = b6 – 6b4 + 12b2 – 8;

ә) (a3 + ) = a9 + 3a7b + 3a5b2 + a3b3;

б) (3a2 + ) = 27a6 + 54a5 + 36a4 + 8a3.

8. Сандық өрнектің мәнін тиімді тәсілмен есепте.

3 20,6 3 0,6 0,1 0,03 0,6 0,0010,6 0,5 0,5 0,1

− ⋅ ⋅ + ⋅ −⋅ − ⋅

9. 2 2 5x y− = және 0,5x y− = екені белгілі. Келесі өрнектердің мәндерін тап:

а) x y+ ; ә) 2 22x xy y− + ;

б) 2 22 1,5x xy y− + + ; в)

2 22x xy y x y+ + − − ;

г) 3 3 2 23 14 3x y x y xy+ + + + ; ғ)

3 2 3 23 15 3x x y y xy x y− − − + + − .

textbo

oks n

is ed

u kz

58

2.10 Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасының формулалары

Сен қысқаша көбейту формулалары математикалық есептерді жинақы түрде шығаруға мүмкіндік беретініне көз жеткіздің. Сондай ақ, осы формулалар кей жағдайда көпмүшені екі көбейткіштің көбейтіндісі түріне келтіруге мүмкіндік беретінін байқадың, мысалы,

2 2a b− формуласы. Енді бізді айнымалының үшінші дәрежесі бар өрнектерді осылай жіктеуге мүмкіндік

беретін формула бар ма деген сұрақ қызықтырады.

1. Тақтада жазылған өрнектерді қарастыр. Олардың ұқсастығы мен айырмашылықтары қандай?

Екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының толық

квадраты

Екі өрнектің қосындысының және айырмасының толық

емес квадраты

2 22a ab b+ + және 2 22a ab b− + .

2 2a ab b− + және 2 2a ab b− +

Екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының толық емес квадраты деп қандай өрнекті айтады деп ойлайсың? Неліктен?

Қосындының немесе айырманың толық квадраты мен қосындының немесе айырманың толық емес квадратының айырмашылығы неде?

2. Кестені толтыр.


Екінші өрнек

Айырманың толық емес квадраты

Айырманың толық квадраты

Қосындының толық емес квадраты

Қосындының толық

квадраты

2 2x xy y− + 2 22x xy y− + 2 2x xy y+ + 2 22x xy y+ +

2a 23b5p 2 225 40 16p pq q+ +

2 2 2 4y y+ +29 30 25k k− +

textbo

oks n

is ed

u kz

59


3. Қанат ( )a b− екімүшенің 2 2( )a ab b+ + үшмүшеге және ( )a b+

екімүшенің 2 2( )a ab b− + , үшмүшеге көбейтінділерін тауып орындған амалдар нәтижелерін тақтаға жазды. Олар дұрыс па? Неліктен? Жауабыңды негізде.

Қанаттың жазған формулаларын қалай оқи аласың?

2 2 3 3( )( )a b a ab b a b− + + = −

2 2 3 3( )( )a b a ab b a b+ − + = +

92

4. Көбейтіндіні көпмүше түрінде жаз:

а) (a+1)(a2 − 𝑎 + 1); ә) (𝑏 − 4)(𝑏 2 + 4𝑏 + 4);б) (1+2𝑚)(1 − 2𝑚 + 4𝑚2); в) (3 − 5𝑝)(9 + 15𝑝 + 25𝑝2);г) (𝑚2 − 1)(𝑚4 + 𝑚2 + 1); ғ) (𝑎 2 − 𝑏 2)(𝑎 4 + 𝑏 4 + 𝑎 2𝑏 2);д) (2𝑎 + 3𝑏 )(4𝑎 2 + 9𝑏 2 − 6𝑎 𝑏 );

ж) 3 2 6 3 2 42 1 4 2 15 3 25 15 9

x y x x y y − + +

;

е) (5𝑚3 + 2)(25𝑚6 + 4 − 10𝑚3);з) (0,5𝑎 4 + 0,3𝑏 4)(0,25𝑎 8 − 0,15𝑎 4𝑏 4 + 0,09𝑏 8).

5. Теңдік орындалатындай етіп бос орындарды толтыр:

а) (3𝑥 + ⎕) (9𝑥2 − 3𝑥⎕ + ⎕2) = 27𝑥3 + 64𝑦3;ә) (⎕ − 5𝑏 )(⎕2 + 5𝑏 ⎕ + 25𝑏 2) = 𝑎 6 − 125𝑏 3;б) (−⎕ − 3𝑛)(⎕2 − 3𝑛⎕ + 9𝑛2) = −27𝑛3 − 64𝑚6;в) (−4𝑏 + ⎕)(16𝑏 2 + 4𝑏 ⎕ + ⎕2) = (125𝑎 9 − 64𝑏 3).

6. Теңдік дұрыс болатындай етіп A, B, C, D әріптерін көпмүшлермен алмастыр.

а) (3𝑎 + 𝐴) (𝐵 + 16𝑏 2) = 𝐶3 − 𝐷3; ә) (𝐴 − 3𝑛)(25𝑚2 − 𝐵) = 𝐶3 + 𝐷3; б) (3𝑥 + 𝐴)(𝐵 + 𝐶) = 𝑦9 + 𝐷3;в) (5𝑧 − 𝐴)(𝐵 − 𝐶) = 𝐷3 − 64𝑡12;

7. Алдымен өрнекті ықшамдап, оның мәнін тап. Қысқаша көбейту формулаларының бірнеше түрін қолдан.

а) 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) − (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4), егер 𝑥 = −;

ә) 2𝑥3 − 27 − (𝑥 + 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 9), егер 𝑥 = 0,5.


а) (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) − 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 28;ә) (2𝑥 − 1)(4𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 2𝑥(2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) = 53;б) (3𝑥 − 5)(9𝑥2 + 15𝑥 + 25) − 3𝑥(3𝑥 + 4)(3𝑥 − 4) = 3𝑥 + 10;в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – x(x + 5)(x – 5)= –23;г) (4x – 5)(16x2 + 20x + 25) – 4x(4x + 3)(4x – 3) = 12x + 11.

textbo

oks n

is ed

u kz

60

2.11 Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасының формулалары. Есептер шығару

Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасының формулалары туралы әңгімені жалғастыра отырып, мынадай түрдегі жазбаға 𝑎 3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏 )(𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2), 𝑎 3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏 )(𝑎 2 + 𝑎 𝑏 + 𝑏 2) көңіл аударайық. Бұл бізге көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге көмектесетінін байқауға болады.

1. Кубтардың қосындысының немесе айырмасының формулаларының көмегімен көпмүшені көбейткіштерге жікте.

а) 1−𝑎 3; ә) 𝑛3 + 27; б) −𝑚3 + 8 ;

в) 𝑝3 + 𝑞3 г) 8𝑎 3 − 125𝑏 3; ғ) 64 + 27𝑎 3;

д) 𝑎 6 + 𝑏 6; е) 𝑚3 − 𝑛6; ж) ;

з) ; и) 9 68 33

27 8x y− ; к) 0,008𝑎 3 − 0,000001𝑏 3.

2. Дұрыс теңдік шығатындай етіп, бос орындарды толтыр:

а) 𝑎 3 + 27 = (𝑎 + 3) (⎕ − 3𝑎 + ⎕); ә) ⎕ −𝑏 3 = (⎕ − ⎕)(16 + 4𝑏 + ⎕);

б) ⎕−64𝑚9=(2𝑛2 + ⎕)(⎕ − 8𝑛2𝑚3 + ⎕); в) 125𝑝3 − ⎕ = (⎕ − 3𝑞4)(⎕ + ⎕ + ⎕).

3. Кубтардың қосындысының немесе айырмасының формулаларын қолдана отырып, тұжырымды дәлелде:

а) 363 + 143 саны 50-ге бөлінеді; ә) 143 − 123 саны 508-ге бөлінеді.

4. Қықаша көбейту формулаларын қолданып, есепте:

а) 3 342 28 42 2814−

+ ⋅ ; ә) 3 3

2 249 31 (49 31 )80−

− ⋅ .

5. Арман a6 − b6 өрнегін жазды және оны көпмүшеге әртүрлі тәсілдермен жіктеді. Берілген жіктеу тәсілдерін қарастыр және айтып бер. a12 − b12 өрнегін көпмүшелердің көбейтіндісі түріне келтір.

Өрнек a6 − b6 a12 − b12

1. Берілген өрнекті кубтардың айырмасы түріне келтір

(a2 )3 − (b2 )3

2. Кубтардың айырмасы формуласын қолдан

(a2 − b2 ) (a4 + a2b2 + b4 )

3. Квадраттардың айырмасының формуласын қолдан және көпмүшені көбейткіштерге жікте

(a − b)(a+ b) (a4+ a2b2 + b4)

textbo

oks n

is ed

u kz

61


Өрнек a6 − b6 a12 − b12

1. Берілген өрнекті квадраттардың айырмасы түріне келтір

(a3 )2 − (b3 )2

2. Квадраттардың айырмасы формуласын қолдан

(a3 − b3 ) (a3 + b3 )

3. Кубтардың айырмасының және қосындысының формуласын қолдан және көпмүшені көбейткіштерге жікте

(a − b)(a+ b) (a2+ ab + b2) (a2 – –ab + b2)

6. Өрнекті көбейтінді түріне келтір:

а) (𝑥 + 2)3 + 𝑥3; ә)(𝑥 + 𝑦)3 − (𝑥 − 𝑦)3;

б) (2𝑎 + 𝑏 )3 − (𝑎 − 2𝑏 )3; в) (3𝑎 𝑏 − 1)3 + 1;

г) (𝑦 − 1)3 − 27; ғ) (2𝑎 − 3𝑏 )3 + 27𝑏 6.

7. Кез келген натурал n саны үшін тұжырымды дәлелде:

а) (𝑛 + 23)3 − (𝑛 + 5)3 саны 18-ге бөлінеді; ә) (𝑛 + 36)3 − (𝑛 + 6)3 саны 15-ке бөлінеді; б) (𝑛 + 3)3 − (𝑛 − 7)3 саны 10-ға бөлінеді.

8. Дәлелде:

а) 𝑎 3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏 )3 + 3𝑎 𝑏 (𝑎 − 𝑏 ); ә) 𝑎 3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏 )3 − 3𝑎 𝑏 (𝑎 + 𝑏 );

9. Өрнектің мәнін есепте:

а) 𝑥3 + 𝑦3, егер 𝑥 + 𝑦 = 4 және 𝑥𝑦 = 5; ә) 𝑥3 − 𝑦3, егер 𝑥 − 𝑦 = 3 және 𝑥𝑦 = 25.

10. Көбейтіндіге жікте:

а) 𝑥3𝑛 − 𝑦3𝑛; ә) 𝑎 3𝑘 + 𝑏 3𝑘; б) 𝑝3𝑛−3 − 𝑞3𝑛−3;

в) 𝑧3𝑘+ 3 + 𝑡3𝑘+ 3 ; г) 27𝑥9𝑘 − 125𝑦27𝑘; ғ) 𝑥6n − 64𝑦9𝑛.

11. a және b қосындысының кубы мен кубтарының қосындысының айырмасын тап.

Алынған өрнектің мәнін есепте, егер 12

a = − және 2b = − .

textbo

oks n

is ed

u kz

62

2.12 Қысқаша көбейту формулалары. Есептер шығару

Сен енді қысқаша көбейту формулаларының бірнеше түрін білесің, оларды есептерді шығару үшін қолданып көрейік.

1. «Жұптарды тап». Кестенің оң және сол жақ бөліктерінің сәйкестіктерін анықта.

1. (х – 6) (х + 6) A.

2. 25 – 10x + х2 B.

3. (2 + x) (4 – 2x + х2 ) C.

4. х2 + 8x+ 16 D.

5. х3 + 6х2 + 12х + 8 E.

6. (x + 4) (х2– 4x + 16) F.

7. (x–1) (х2 + x + 1) G.

8. 27х3 – 27х2 + 9х – 1 H.

9. (3 – х) (9 + 3х + х2) I.

2. Қысқаша көбейту формулаларын қолданып, бос орындарды толтыр:

a) a2 – = ( – 1 b2 )(a+ ); ә) ( +3y2 )2=49x6+ + ;

б) ( )( )3 3 3 2 ;a b c a− = − + + + в) 3 2(2 ) 12 6 .x x+ = + + +


а) 22 28 98a a− + , егер 507a = ; ә) 2

11 6 182

a a− +, егер 306a = ;

б) ( )( )264 4 5 16 20 25x x x− − + + , егер 15

x = ; в) 4 – (3х – 2)(4 + 6х + 9х2), егер 13

x = − .

4. Теңдеудің түбірлерін тап:

а) ; ә)

Қысқаша көбейту формулалары

( )( )2 2a b a b a b− = − + ; ( )2 2 22a b a ab b+ = + + ; ( )2 2 22a b a ab b− = − + ;

( )33 2 2 33 3a a b ab b a b+ + + = + ; ( )33 2 2 33 3a a b ab b a b− + − = − ;3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + + ; 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − + ;

textbo

oks n

is ed

u kz

63


б) в) 5. Өрнектің мәнін тиімді тәсілмен есепте:

а)

2 2

2 2

95 2795 2 95 27 27

−− ⋅ ⋅ +

; ә)

3 32 274 56 74 56 : (23 5 )

130 +

− ⋅ −

;

б) 2 4(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 1+ + + − + ; в)

32 2 4 8 163 8(3 1)(3 1)(3 1)(3 1)− + + + + .

6. Өрнектің мәнін тиімді тәсілмен есепте:

а) 2 24 9a b+ , егер 3 2 14; 5b a ab+ = = ;

ә) 2 29x y+ , егер 3 8; 10x y xy+ = = .

б) 𝑏 c + 𝑎 𝑏 − 𝑎 c, егер a2 + b2 + c2 =45, 𝑎 − 𝑏 + c = 7

7. Есептің шартын математикалық тілге аударып, есепті шығар:

а) Алғашқы екеуінің квадраттарының қосындысы үшіншісінің квадратына тең болатын қатар тұрған үш натурал сандарды тап.

ә) Қатар тұрған үш натурал сандардың кубтарының қосындысы келесі санның кубына тең болатын натурал сандарды тап.

8. Паскаль үшбұрышын қарастырып екімүшені дәрежеге шығарғанда пайда болатын көпмүшенің коэффициенттерін табу заңдылығын анықта.

а) Паскаль үшбұрышын пайдаланып (𝑎 + 𝑏 )6 көпмүшесін жіктеу коэффициенттерін тауып бос орындарды толтыр.

(𝑎 + 𝑏 )6 = 𝑎 6 + …𝑎 5𝑏 +… 𝑎 4𝑏 2+…𝑎 3𝑏 3 + ⋯ 𝑎 2𝑏 4 + ⋯ 𝑎 𝑏 5 + 𝑏 6;

ә) (𝑎 + 𝑏 )8 өрнегін көпмүше түріне келтір.

Сен білесің бе?1655 жылы француз математигі Блез Паскаль екімүшені кез келген n дәрежеге шығарғанда пайда болатын коэффициент- терді жеңіл табу тәсілін тапты. Математикада оны Паскаль үш- бұрышы деп атайды.

( )( )( )( )( )( ) 5

4

2

3

5 5 4 4

0

1

2

3

2 2

2

2

4

3

3

3 3

2 2

2 3 4

3 3

1

4 6 4

5 0 1

2

1

0 5

a b

a

a

a

a a b a

b

a ab b

a

b

a

b a

a

a b a b a b a

a b

a b

a b a

b b

b

b

b

b

b b

+

+

+ =

+ =

+ =

=

+

+

+

+ =

+ =

+

+

+

+

+

+

+ + +

+

+

Паскаль үшбұрышы

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

textbo

oks n

is ed

u kz

64

2.13 Қысқаша көбейту формулалары. Есептер шығару

1. Тақтада жазылған сөйлемдерді жалғастыр.

2. «Жұптарды тап». Өзара тең өрнектерді тап.

4 2125

b c− ( )22 3a − 2 21 1 14 16 4

a b a ab b − + +

9 7 5 2 33 6 3 3a a b a b b− + −

6 31 88

a a+ ( )32 2b − ( )27 x− 6 4 3 29 4 12a c a c+ +

3 3164

a b− 249 14x x− + 2 4 3 21 12 42 4

a a a a a + − +

( )23 23 2a c+

6 4 26 12 8b b b− + − 4 29 6a a+ − 2 21 15 5

b c b c − +

( )33a b−


а) ( )( )22 2 4 0x x x− + + = ;

ә) ( )( )21 1 7x x x+ − + = − ;

б) ( )( )21 1 7x x x− + + = ;

в) ( )( )22 2 4 9x x x+ − + = .

• Екі өрнектің квадраттарының айырмасы...тең• Екі өрнектің қосындысының квадраты...тең• Екі өрнектің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісі...тең• Екі өрнектің айырмасының квадраты...тең• Екі өрнектің кубтарының айырмасы...тең• Екі өрнектің кубтарының қосындысы...тең• Екі өрнектің айырымының олардың қосындысының толық емес квадратына көбейтіндісі...тең• Екі өрнектің қосындысының олардың айырмасының толық емес квадратына көбейтіндісі...тең

textbo

oks n

is ed

u kz

65


4. Есептеулерді орындамай-ақ, өрнектердің мәндерін салыстыр. Жауабыңды негізде.

а) ( )2499 236+ және 2 2499 236+ ;

ә) 2 2154 196+ және ( )2154 196+ ;

б) 2(783 563)− және 2 2783 563+ ;

в) 2 2386 244+ және ( )2386 244− .

5. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc екендігі белгілі болса: а) (a + b − c)2 ; (a − b + c)2 және (a − b − c)2 үшін формуласын шығар;ә) a2 + b2 + c2 өрнегінің мәнін тап, мұндағы a + b – c = 8, ab – bc – ac = 5;б) bc + ab – ac өрнегінің мәнін тап, мұндағы a2 + b2 + c2 =45, a – b + c = 7.

6. Тепе-теңдікті дәлелде:а) a4 – b4 = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3); ә) a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 );б) a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);в) a5 – b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4).

textbo

oks n

is ed

u kz

66

2.14 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің әртүрлі тәсілдері

Сен бұрында көпмүшені көбейткіштерге жіктеу сұрағын қарастырғансың. Сен білетін барлық тәсілдерді жүйелеп, оларды есептер шығаруда қолданайық.

1. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің тәсілдерін қарастыр. Әр тәсілге сипаттама бер.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің тәсілдері

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына

шығару арқылы Топтастыру әдісінің көмегімен

Қысқаша көбейту формулаларының

көмегіменТәсілдердің

комбинациясы

2. Көпмүшенің «бөлгішін» тап:

3 3x y y−2x y y−2 22x xy y+ +4 4x y xy−2x xy+

( )x y+ 1x −

( )x y− 1x +

2 2x y−2x y xy−

2( )x y−3 3x y xy+2 2x y y xy+ −

3. Көпмүшені көбейткіштерге жікте. Қандай жіктеу тәсілдерін қолдана аласың. Жауабыңды негізде.

а) 2x xy xz yz+ + + ; ә) 26 4 9 6p pq pr qr+ + + ;б) 2 216 25a b− ; в) 3 29a ab− ;г) 4 3 22 1a a a− + − ; ғ) 4 2 2 1b b b− − − ;д) 2 2( )x y z+ − ; е) ( )22x y z− + ;ж) 2 218 81n n m+ + − ; з) 2 2 2 2 2 2x y z p xz yp− + − + + ;и) 3 327p q− ; к) 3 3( ) (2 )x y x y+ − − ;қ) 3( 2) 1x − + ; л) 31 ( 2)x− + ;м) 3 3 23 3 1x y y y− + − + ; н) 3 3 28 6 12 8x y y y+ + + + .

textbo

oks n

is ed

u kz

67


4. Дұрыс па?

а) 2 2929 71− саны 1000-ға бөлінеді; ә)

2 231 2 31 14 14+ ⋅ ⋅ + саны 45-ке бөлінеді; б) 633 + 673 саны 60-қа бөлінеді; в) 8473 – 2223 саны 25-ке бөлінеді; г) (34+35+36) саны 13-ке бөлінеді; ғ) (7n+7n+1+7n+2) саны 57-ге бөлінеді.

5. x-тің кез келген бүтін мәнінде орындалатынын дәлелде:

а) (3х + 1)2 – (2х – 1)3 саны 12-ге бөлінеді; ә) (2х + 1)3 + (2х – 1)3 саны 4-ке бөлінеді.

6. Тұжырымдар дұрыс па?

а) қатар тұрған екі жұп сандардың квадраттарының айырмасы 4-ке бөлінеді;ә) қатар тұрған екі тақ сандардың квадраттарының айырмасы 8-ге бөлінеді.

7. Өрнектің мәнін тиімді тәсілмен есепте:

а) 2 2

2 2 2 2

109 2 109 77 7779 73 49 55

− ⋅ ⋅ ++ − −

;

ә) 22017 2016 2018− ⋅ ;

б) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(100 98 96 94 92 ) (99 97 95 93 91 )+ + + + − + + + + .

8. Марат пен Ләйлә ойын ойнап жатыр. Олардың кеспеқағаздарында бірмүшелер жазыл- ған. Әр бірмүшені тура бір рет қолданып, көпмүше көбейткіштерге жіктелетіндей етіп

4 3 2ax bx cx dx e+ + + + түрінде үш көпмүше құрастыру қажет.

6xy 3xy 2xy 8x−

3y4x−6x− y

2−24−y−

textbo

oks n

is ed

u kz

68

2.15 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің әртүрлі тәсілдері. Есептер шығару


а) 2 ( 4) 2 ( 4) 4 0y y y y y− + − + − = ;

ә) 2 2( 6 9) 4( 6 9) 0y y y y y− + − − + = ; б) 2 2 2( 8 16) 4 ( 8 16) 0y y y y y y− + − − + = ; в) 2 2 2 2( 12 36) 6 ( 12 36) 9( 12 36) 0y y y y y y y y− + − − + + − + = .

2. Мүшелерінің біреуі бірмүшелердің қосындысы немесе айырмасы түріне келтіріп көпмүшені көбейткіштерге жікте.

а) 𝑎 4 − 3𝑎 2 + 9; ә) 7𝑎 2 + 𝑎 −8; б) 𝑥2 + 𝑎 𝑥 − 2𝑎 2;

в) 𝑥4 + 5𝑥2𝑦2 + 6𝑦4; г) 𝑥3 + 3𝑏 𝑥2 − 4𝑏 2𝑥 ғ) 𝑥5 + 𝑥3𝑦2 + 𝑥𝑦4.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілдерінің бірі - екімүшенің толық квадратын бөліп алу тәсілі болып табылады. Бұған толығырақ тоқталайық.

3. Тақтада толық квадратты бөліп алу көмегімен көпмүшені көбейткіштерге жіктеу берілген. Осы жіктеуді тұжырымдап, тапсырмаларды орында.

Шығару қадамдары 1-көпмүше 2-көпмүше

1. Бастапқы көпмүше 2 8 9x x− − 2 4 5x x+ −

2. Көпмүшені толық квадратқа дейін толықтырамыз

2 8 16 16 9x x− + − −

3. Екі өрнектің қосындысының немесе айырымасының толық квадраты формуласын бөліп аламыз

2( 4) 25x − −

4. Екі өрнектің квадраттарының айырмасы формуласын қолданамыз ( 4 5)( 4 5)x x− − − +

5. Көпмүшенің көбейткіштерге жіктелуін аламыз ( 9)( 1)x x− +


1. Бастапқы көпмүше 22 3x x− − 22 3 5x x+ −

2. Үлкен мүшенің коэффициентін жақшаның сыртына шығарамыз

2 322 2xx − −

textbo

oks n

is ed

u kz

69


3. Көпмүшені толық квадратқа дейін толықтырамыз

2 1 1 32 24 16 16 2xx − ⋅ + − −

4. Екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының толық квадраты формуласын бөліп аламыз

21 252 ( )4 16

x − −

5. Екі өрнектің квадраттарының айырмасы формуласын қолданамыз

1 5 1 524 4 4 4

x x − − − +

6. Көпмүшенің көбейткіштерге жіктелуін аламыз

32 ( 1) (2 3)( 1)2

x x x x − + = − +


1. Бастапқы көпмүше 4 4x + 4 64x +2. Көпмүшені толық квадратқа дейін

толықтырамыз4 2 24 4 4x x x+ + −

3. Екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының толық квадраты формуласын бөліп аламыз

2 2 2( 2) 4x x+ −

4. Екі өрнектің квадраттарының айырмасы формуласын қолданамыз

2 2( 2 2 )( 2 2 )x x x x+ − + +

5. Көпмүшенің көбейткіштерге жіктелуін аламыз

2 2( 2 2)( 2 2)x x x x− + + +

4. Алгебралық өрнекті көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде жаз:

а) ; ә) 2 8 7x x− + ;б) ( ) ( )( )1 1 1a a a a+ − + − ; в) ( )( ) ( )21 1a b a b a b+ − + − + + .


а) ; ә)

б) 3 218 6 3 1 0x x x− + − = ; в) 4 22 400 9999x x x− − = (Бхаскара теңдеуі).

6. Руслан тақтаға барлық сандар өзара тең екендігінің дәлелдемесін тақтаға жазды. Русланның дәлелдемесі дұрыс па?

Барлық сандар өзара тең

Кез келген екі санды алып, оны х және y деп белгілеймін,

мұндағы х>y. x y z− = болсын, онда x y z= + . Бұл теңдікті ( x y− )

өрнегіне көбейтіп, ( ) ( )( )x x y y z x y− = + − теңдігін аламыз.

Жақшаларды ашып ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарамын2 2x xy xy y xz yz− = − + − ,

2 2x xy xz xy y yz− − = − − , ( ) ( )x x y z y x y z− − = − − .

textbo

oks n

is ed

u kz

70


Сөйлемдерді аяқтап, сен қысқаша көбейту формулалары туралы және көпмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілдері туралы білгеніңді қайталайсың.

ҚЫ

СҚА

ША

КӨ

БЕЙ

ТУ Ф

ОРМ

УЛА

ЛА

РЫ

Қысқаша көбейту формулалары

• Екі өрнектің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісі...тең;• Екі өрнектің квадраттарының айырмасы...тең;• Екі өрнектің қосындысының квадраты...тең;• Екі өрнектің айырмасының квадраты...тең;• Екі өрнектің қосындысының кубы...тең;• Екі өрнектің айырмасының кубы...тең;• Екі өрнектің кубтарының қосындысы...тең;• Екі өрнектің кубтарының айырмасы...тең;

• Үш өрнектің қосындысының квадраты...тең. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу

• Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару тәсілінің мағынасы...• Топтастыру тәсілінің мағынасы...• Толық квадратты бөліп алу тәсілінің мағынасы...

Өткендерді қайталауға көмектесетін сұрақтар.

Келесі сөздерді кемінде бір рет қолданып, сөйлемдер құрастыр:

• көпмүшені көбейткіштерге жіктеу;• ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі;• топтастыру тәсілі;• екі өрнектің квадраттарының айырмасы;• қосындының толық квадраты;• айырманың толық квадраты;• екі өрнектің қосындысының квадраты;• екі өрнектің айырмасының квадраты;• екі өрнектің қосындысының кубы;• екі өрнектің айырмасының кубы;• қосындының толық емес квадраты;• айырманың толық емес квадраты;• екі өрнектің кубтарының қосындысы;• екі өрнектің кубтарының айырмасы;


а) 3𝑎 2 − 5𝑎 𝑏 + 8а𝑏 2 ; ә) 𝑎 2𝑛 − 2𝑎 𝑛 − 4𝑎 2𝑛+ 1;б) 𝑚(𝑎 − 𝑏 ) – 𝑛(𝑎 − 𝑏 ); в) 5𝑏 (𝑥 − 𝑦) − 3𝑎 (𝑦 − 𝑥);г) (3𝑥 + 2𝑦)(𝑎 − 𝑏 ) − (𝑏 − 𝑎 )(3𝑥 + 2𝑦); ғ) (𝑚2 − 𝑛)(𝑥3 − 2𝑥 + 1) + 𝑛(𝑥3 − 2𝑥 + 1); д) 7𝑎 (2𝑥 − 𝑦) − 8𝑏 (2𝑥 − 𝑦) + 9𝑐(𝑦 − 2𝑥); е) 6𝑎 3𝑏 (𝑥2 − 3𝑥 + 2) − 8𝑎 2𝑏 2(𝑥2 − 3𝑥 + 2).

textbo

oks n

is ed

u kz

71


2. Топтастыру тәсілін қолданып, көпмүшені көбейткіштерге жікте:

а) 𝑚𝑥 − 𝑚𝑦 + 𝑛𝑥 − 𝑛𝑦; ә) 𝑚𝑥 − 𝑛х + 𝑚 − 𝑛;б) 8ay−4by+2ax−bx; в) 3𝑥2 − 3𝑏 𝑥 − 3𝑏 + 3𝑥; г) 𝑚𝑦2 − 𝑛𝑦2 − 𝑚𝑦 + 𝑛𝑦 − 𝑚 + 𝑛; ғ) 𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑚 − 𝑚𝑛2 + 𝑛3 − 𝑛2.

3. Көпмүшені стандарт түрге келтір:

а) ә)

б) в) .

4. Тәсілдер комбинациясын қолданып, көпмүшені көбейткіштерге жікте:

а) ; ә) ;б) ; в) ;г) ; ғ) .д) ; е) ;

5. Ортаңғы мүшесін бүрмүшелердің қосындысы немесе айырмасы түріне келтіріп, үшмүшені көбейткіштерге жікте:

а) ә) ; б) .

6. Өрнектердің мәнін тиімді тәсілмен есепте:

а) ә) б) .

7. Келесі тұжырымдарды дәлелде:

а) 623 – 453 саны 17-ге бөлінеді; ә) 2212 – 852 саны 17-ге бөлінеді;

б) 13023 + 7153 саны 2017-ге бөлінеді;.

8. Теңдік дұрыс па?

a) ә) .

9. Көпмүшенің мәнін тап, мұндағы болса:

а)

ә)

б) .


а) ә) .

textbo

oks n

is ed

u kz

72

2.17 Мен не білемін? Өзін-өзі бағалау жаттығулары


а) ( )22 6a + ; ә) ( )23 15x − ; б) ( )25 5c b+ ;

в) ( )315 12a b+ ; г) ( )312 16a− ; ғ) ( )48 6y− .

2. Өрнекті көбейткіштерге жікте:

а) ( ) ( )23 3a x b x+ + + ; ә) ( )2 ( ) 4c a b a b+ − + ;

б) ( ) ( )4 3 5 3 5 3x x x− − − ; в) ( ) ( )2x y x y x− − − ;

г) 3 2 3 3 2 3a a b a b ab ab b+ + − − − ; ғ)

20,9 1,2 1,2 1,6xy y xz yz+ − − .

3. Тұжырымдарды дәлелде:

а) 24 2324 24− саны 92-ге бөлінеді;

ә) 70 6932 68 32+ ⋅ саны 100-ге бөлінеді;

б) 3 364 14− саны 25-ке бөлінеді.

4. Көпмүшені көбейткіштерге жікте:

а) 4 2 3 649 6 9a a b b− − − ; ә)

2 2 42 8 8 32x xy y x− + − ;

б) 3 2 2 33 3 27a a b ab b+ + + − ; в)

3 2 2 364 3 3x x y xy y+ − + − .

5. Тиімді тәсілмен есепте:

а) 7,6 3,6 6,7 7,2 7,6 6,4 6,7 2,8

0,2 2,3 0,2 1,3⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅; ә) 2(844 840) 4 844 840+ − ⋅ ⋅ .


а) 21 1 025 16

x − = ; ә) 2(4 3) 9 0x − − = ; б) 2( 3) ( 8) 2x x x− − − = ; в) 2( 1)( 1) 9x x x+ − + = .

textbo

oks n

is ed

u kz

73

3 Түзулердің параллельдігі

Мен осы тарауды меңгере оты- рып:

параллель тузулердің белгілері мен қасиеттерін;

үшбұрыш бұрыштарының қо- сындысы неге тең екенін білемін.

параллель түзулерді анықтауды және олардың қасиеттерін үш- бұрыш бұрыштарының қосын- дысын табуға қолдануды үйре- немін.

Карл Фридрих Гаусс Янош БойяиНиколай Иванович

Лобачевский

textbo

oks n

is ed

u kz

74

3.1 Жазықтықтағы параллель түзулер

Біз бұрын екі түзудің өзара орналасуын қарастырғанбыз. Олар бір-бірімен қиылы- сулары мүмкін екенін, беттесу немесе ортақ нүктелері болмауы, яғни параллель болуы мүмкін екенін сен білесің.

Параллель түзулердің аксиомасы. Берілген түзуде жатпайтын нүкте арқылы осы түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ондай түзу жалғыз.

Енді, жазықтықтағы нүкте арқылы өтетін берілген түзуге параллель түзу салу туралы сұрақты қарастырамыз. Ол үшін саған белгілі келесі қасиетті қолдана аласың:

егер берілген екі түзу үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.

1. Сызғыш және бұрыштықтың көмегімен жоспар бойынша салуды орында.

Салу:

a

M Берілгені: а түзуі және M∉ a нүктесі. Салу керек: b || a болатындай M∈ b.

a

M

a

Mb

a

M

1. Берілген а түзуіне суретте көрсетілгендей сызу бұрыштығын қой.

2. Сызу бұрыштығына сызғышты қойып және бұрыштықты сызғыш бойымен M нүктесі бұрыштықтық қабыр- ғасында болғанша жылжыт.

3. M нүктесі арқылы b түзуін жүргіз. а мен b түзулері параллель және M∈ b.

Берілген түзуге параллель түзу салу нәтижесінде, α, β және γ бұрыштар пайда болды, олар а, b, c түзулері және оларды қиып өтетін d түзуі арасындағы сәйкес бұрыштар деп аталады. d түзуін қиюшы деп атайды.

Сен берілген түзуге перпендикуляр түзу тұрғыза аласың.

қиюшы

сәйкес бұрыштар

b

d

a

c

M

αβ

ϒ

a

b

c

1

5

87

6

2

34

B

A

2. Суретпен жұмыс істе. Барлық сәйкес бұрыштар жұптарын тап. Өз жауабыңды негізде.Сәйкес бұрыштардан басқа, а және b екі түзуі мен c қиюшы түзу арасында тағы да басқа арнайы атаулары бар бұрыштар жұптары пайда болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

75


Ішкі айқыш бұрыштар:

1 және 2, 3 және 4.

a

b

c

A1

2

B

Сыртқы айқыш бұрыштар:

5 және 6, 7 және 8.

a

b

c

A

5

2

6 B

Тұстас бұрыштар: 1 және 4, 3 және 8

a

b

c

A1

4

B

a

b

c

A

3

4

B

a

b

c

A

7

B

3a

b

c

A1

8

B

3. Суретпен жұмыс істе және кестені толтыр. Орындау барысында сен сыбайлас және вертикаль бұрыштардың қасиеттерін пайдалансаң болады.

Берілгені:,,

1 106 , 8 = 74 .

a cb c

∩∩

∠ = ° ∠ °

ab

1

5

8

7

6

2

3

4

Бұрыштардың түріБұрыштардың

атауыБұрыштардың

градустық өлшемі

Ішкі айқыш бұрыштар

Ішкі тұстас

Сыртқы тұстас

Сәйкес бұрыштар

Сыбайлас

Вертикаль

4. Сызбамен жұмыс істе және сөйлемді аяқта.

а) АВ және CD түзулерімен BE қиюшы арасындағы тұстас бұрыштар болып…табылады;

ә) АВ және CD түзулерімен BD қиюшы арасындағы тұстас бұрыштар болып…табылады.

б) АВ және CD түзулерімен BE қиюшы арасындағы айқыш бұрыштар болып…табылады.

в) АВ және CD түзулерімен BD қиюшы арасындағы айқыш бұрыштар болып…табылады;

г) АВ және CD түзулерімен BE қиюшы арасындағы сәйкес бұрыштар болып…табылады;

ғ) АВ және CD түзулерімен BD қиюшы арасындағы сәйкес бұрыштар болып…табылады.

5. а және b түзулері үшінші с түзуімен қиылысқан. Қиылысулар нәтижесінде 8 бұрыш пайда болды. Олардың ішінде неше доғал бұрыш болуы мүмкін? Неше тік бұрыш болуы мүмкін?

8

A

C D

B

E

ТR

M

K

QS

textbo

oks n

is ed

u kz

76

3.2 Параллель түзулердің белгілері

Геометрияда көптеген түзулермен жұмыс істеуге тура келеді, олардың ішінен өзара параллель түзулерді қалай табуға болады деген сұрақ туындайды.

Сен параллель түзулердің аксиомасымен таныстың және екі түзу мен қиюшы ара-сында пайда болатын бұрыштар түрлерін білесің. Осы білімімізді түзулер параллель ма жоқ па екенін бірден айтуға болатын шарттарды табу үшін пайдаланып көрейік.

Мұндай шарттарды түзулердің параллельдігінің белгілері деп атаймыз.

1. Түзулердің параллельдігі белгісінің дәлелдемесін айтып бер.

Егер екі түзу мен қиюшы арасында пайда болған айқыш бұрыштар тең болса, онда түзулер параллель болады.

Берілгені: a, b — түзулер, с — қиюшы,

,,

1 2.

a c Mb c N

∩ =∩ =

∠ = ∠

Дәлелдеу керек: ||a b .

Дәлелдеуі:

a

d

b

c

M

N

Q

P

1

3

42

E

a түзуі b түзулерімен сәйкесінше M және N нүктелерінде қиылысатын бол-сын және 1 2∠ = ∠ теңдігі орындалсын.MN кесіндісінің ортасын тауып, оны Е нүктесі деп белгілейік.

Берілген Е нүктесі арқылы a түзуіне перпендикуляр болатын d түзуін жүр- гізейік. d түзуінің а және b түзулерімен қиылысу нүктелерін сәйкесінше P және Q нүктелері деп белгілейік.

Сонда 90MPE NQE∠ = ∠ = ° , яғни a және b түзулер d түзуіне перпендикуляр, сондықтан олар өзара параллель.

Дәлелденді.

a

b

c

M

N

1

2

(шарт бойынша),

(салу бойынша),

(вертикаль болғандықтан),

1 2

3 4EM EN

MPE NQE

∠ = ∠ = ⇒∠ = ∠

⇒ ∆ = ∆

1 2

3 4EM EN

MPE NQE

∠ = ∠ = ⇒∠ = ∠

⇒ ∆ = ∆

1 2

3 4EM EN

MPE NQE

∠ = ∠ = ⇒∠ = ∠

⇒ =� �(үшбұрыштар теңдігінің

2-белгісі бойынша).

textbo

oks n

is ed

u kz

77


2. Руслан түзулер параллельдігінің тағы екі белгісінің дәлелдемелерін жазды. Бірақ жазудың бір бөлігі өшіріліп қалды. Русланға дәлелдемелерді қалпына келтіруге көмектес.

Егер екі түзу мен қиюшы арасындағы сәйкес бұрыштар тең болса, онда түзулер параллель болады.

a

b

c

1

2

3


1 2∠ = ∠ .


Дәлелдеуі:

3... 1∠ ∠ (неге?)

∠... және ∠2 айқыш, демек 2 ...∠ = ∠ , яғни ...a b (неге?)Дәлелденді.

Егер екі түзу мен қиюшы арасындағы тұстас бұрыштардың қосындысы тең болса, онда түзулер өзара параллель болады.

a

b

c

13


1 2 180∠ + ∠ = ° .


Дәлелдеуі:

3 ... 180∠ + ∠ = ° (бұл бұрыштар сыбайлас болғандықтан).

1 2 180∠ + ∠ = ° (шарт бойынша, сондықтан 2 3∠ = ∠ (неге?), демек ||a b (неге?).


textbo

oks n

is ed

u kz

78

3. Дайын сызбаларды пайдаланып, есептерді шығар.

Берілгені: a, b — түзулер, m — қиюшы.


a

m

b

1100

700

Берілгені: a, b — түзулер, с – қиюшы.


a

c b

750

750

Берілгені: a, b — түзулер, m — қиюшы.


m

a

b

450

1350

Берілгені: a, b, c — түзулер, m — қиюшы, 1 2,2 3 180 .

∠ = ∠∠ + ∠ = °


m

a

b

c

1

2

3

textbo

oks n

is ed

u kz

79

3.3 Параллель түзулердің белгілері. Есептер шығару

Параллель түзулердің белгілерін есептер шығаруда қолдануды қарастырайық.

1. Түзулердің параллелдігінің белгілерін тұжырымда.

Түзулердің параллелдігінің белгілері.

a

b

c

2

1

Егер екі түзу мен қиюшы арасында пайда болған айқыш бұрыштар тең бол-са, онда түзулер параллель болады.

a

b

c

2

1

Егер екі түзу мен қиюшы арасындағы сәйкес бұрыштар тең болса, онда түзулер параллель болады.

a

b

c

1

2

Егер екі түзу мен қиюшы арасындағы тұстас бұрыштардың қосындысы 180° -қа тең болса, онда түзулер па-раллель болады.


2. Дамир суретте көрсетілгендей а мен b түзулерін және қиюшы с түзуін жүргізді. 1-бұрышы 5-бұрышына тең. Келесі теңдіктер дұрыс па?

а) 4 6∠ = ∠ ; ә) 2 6∠ = ∠ ; б) 2 7∠ = ∠ ;

в) 3 8∠ = ∠ ; г) 2 5∠ = ∠ ; ғ) 3 7∠ = ∠ ;

д) 2 8∠ = ∠ ; е) 1 6∠ = ∠ ; ж) 3 5∠ = ∠ ;

з) 1 7∠ = ∠ ; и) 2 5 180∠ + ∠ = ° ; к) 3 8 180∠ + ∠ = ° ;

л) 1 6 180∠ + ∠ = ° ; м) 5 7 180∠ + ∠ = ° ; н) 3 2 180∠ + ∠ = ° ;

о) 3 5 180∠ + ∠ = ° ; п) 4 7 180∠ + ∠ = ° ; р) 3 7 180∠ + ∠ = ° .

a

b

c

1

3

58

6 7

4

2

textbo

oks n

is ed

u kz

80

4. Дайын сызбаларды пайдаланып есептерді шығар.

O

B D

Берілгені: AD CB O∩ = , AO=OD, BO=OC.

Дәлелдеу керек: AB||CD.

C

D

B

A


.BC AD

BCA CAD=

∠ = ∠

Дәлелдеу керек: ВС||АD, AB||CD.

5. MNK үшбұрышында M бұрышының биссектрисасы А нүктесінде NK қабырғасын кесіп өтеді. MB = AB бола- тындай етіп, MN қабырғасында B нүктесі таңдап алынған. ВА және MK түзулері параллель екенін дәлелде.

6. Арман, екі бірдей бұрыштықтың көмегімен параллель түзу жүргізе алатынын айтты. Ол өз ше-шімін тақтаға жазып көрсетті. Арманның шешімі дұрыс па? Неге? Жауабыңды түсіндір.

7. АВСD төртбұрышында ∠A = 52°, ∠В = 128°, ∠C = 56°. АВ және CD қабырғалары параллель ма? AD және ВС қабырғалары параллель ма? Жауабыңды түсіндір.

CA

textbo

oks n

is ed

u kz

81

3.4 Параллель түзулердің қасиеттері

Сонымен, сен параллель түзулердің белгілерін, параллель түзулердің аксиомасын білесің, енді параллель түзулердің қасиеттері туралы айтатын уақыт келді.

1. Параллель түзулердің қасиеттерінің бірінің дәлелдемесін айтып бер.

a

b

c

2

1

Берілгені: ||a b түзулер, с — қиюшы.Дәлелдеу керек: 1 2∠ = ∠ .

Дәлелдеме: 1 2∠ ≠ ∠ деп жорамалдайық

a

nN

B

A

C

b

c

2

1

3

А нүктесі арқылы 2 3∠ = ∠ болатындай етіп, n түзуін жүр- гізейік. Онда n және b түзулерімен с қиюшы арасындағы 2 және 3-бұрыштар айқыш бұрыштар болады. Яғни, n және b параллель (неліктен?). Демек, А нүктесі арқылы b тү- зуіне параллель болатын екі түзу жүргізуге болады. Олай болуы мүмкін емес (неге?). Сондықтан жорамал дұрыс емес, яғни 1 2∠ = ∠ .


2. Параллель түзулердің қасиетін дәлелдеудің жоспарын қарастыр және айтып бер. Екінші тұжырымдаманы дәлелдеудің жоспарын құр.

a

b

c

2

3

1

Берілгені: ||a b ,

c — қиюшы.Дәлелдеу керек:

1 2∠ = ∠ .

Дәлелдеме

Тұжырым Негіздеме

1. ||a b Шарт бойынша

2. 3 2∠ = ∠

Өзара параллель a және b түзулерімен с қиюшы арасындағы айқыш бұрыштар болғандықтан

3. 1 3∠ = ∠Вертикаль бұрыштар болғандықтан

4. 2 3∠ = ∠ 2- және 3-шарттар орындалатындықтан

Екі параллель түзу мен қиюшы арасында пайда болған айқыш бұрыштар тең болады.

Екі параллель түзу мен қиюшы арасындағы сәйкес бұрыштар өзара тең болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

82

Екі параллель түзу мен қиюшы арасындағы тұстас бұрыштардың қосындысы 180° .

a

b

c

2

31

Берілгені: ||a b , с — қиюшы.

Дәлелдеу керек:1 2 180∠ + ∠ = °.

Дәлелдеме


1.2....

3. Дайын сызбаларды пайдаланып, есептерді шығар. Шешіміңді түсіндір.

a

b

c

1

3

5

7

Берілгені: ||a b, с — қиюшы, 2 110∠ = °.Табу керек: Барлық белгісіз бұрыштарды.

a

b

c

1400

Берілгені: ||a b , с — қиюшы. Табу керек: , α β∠ ∠ .

textbo

oks n

is ed

u kz

83


Берілгені: ||a b , m, n — қиюшылар.Табу керек: Барлық белгісіз бұрыштарды.

2 3

4

6 12

147

9 10

m n

1

11

135

8a

b

680 1080

Берілгені: || , ||AB CD AC BD .Табу керек: , , , ABD BDC ACD BAC∠ ∠ ∠ ∠ .

550

A

C D

B

4. Екі параллель түзулермен қиюшы арасында 8 бұрыш пайда болды. Осы бұрыштардың екеуінің градустық өлшемдерінің қатынасы 1,5:3 қатынасындай. Қалған бұрыштардың градустық өлшемдерін тап.

5. Екі параллель түзулермен қиюшы арасындағы екі ішкі тұстас бұрыштардың айырма-сы тең. Осы бұрыштардың градустық өлшемдерін тап.

textbo

oks n

is ed

u kz

84

3.5 Параллель түзулердің қасиеттері. Есептер шығаруЕсептер шығару барысында параллель түзулердің қасиеттерінің қолданылуын қарастырайық.

1. Түзулердің параллельдігінің қасиеттерін тұжырымда.

a

c

b

1

2

a

c

b 1

2

a

c

b

1

{}

4 3

2

2. Дайын сызбаларды пайдаланып, есептерді шығар.

Берілгені: ||a bТабу керек: x, y

a

c

b

(9y + 3)0

5x0

Берілгені: ||a bТабу керек: , , ?α β γ

a

c

b

Берілгені:|| , AB CD BC − — биссектриса ABD∠ .

Табу керек: , , ?α β γ −.

Берілгені: АВ||CD, AC||BD.Табу керек: АСВ үшбұрышының бұрыштарын.

textbo

oks n

is ed

u kz

85


Берілгені:

|| 140 ,

,

130 .

DEABB

CCDE

A∠ = °∠ = °

Дәлелдеу керек: BC CD⊥ .

Берілгені:

,,

BM AKCN AK

⊥⊥

СK — биссектриса ∠DCN, 44ABM∠ = ° .Табу керек: ∠АСK.

3. Есептерді шығар:

а) Арман АBC үшбұрышының В төбесі арқылы AM бұрышының АМ биссектрисасына параллель түзу жүргізді. Бұл түзу АС қабырғасы жатқан түзуді K нүктесінде қиып өтеді. ВАK үшбұрышының түрін анықта?

ә) Арман АВС үшбұрышының С төбесі арқылы BD биссектрисасына параллель түзу жүргізді. Ол түзу М нүктесінде АВ қабырғасының жалғасын қиып өтеді. Егер ∠ABC = 110° болса, онда МВС үшбұрышының бұрыштары неге тең болады?

б) Арман екі параллель түзу мен қиюшы арасындағы ішкі айқыш бұрыштардың биссектрисалары қиылысады деп есептейді. Арманның тұжырымы дұрыс па?

4. Екі параллель түзу мен үшінші қиюшы түзу арасында 8 бұрыш пайда болды. Олар- дың жетеуінің қосындысы 700О-қа тең. Осы бұрыштардың өлшемдерін тап.

5. Ұштары екі параллель түзулерде жататын түзудің М ортасы арқылы Дамир осы түзулерді сәйкесінше А және В нүктелерінде қиып өтетін түзу жүргізді. М нүктесі АВ кесіндісінің ортасы болатынын дәлелде.

6. Құрылысшылар үй салғанда қабырғаның тегістігін тексеру үшін ұшына жүк байлан- ған жіңішке жіпті қолданады. Жүктің сал- мағының әсерінен жіп жер бетіне перпен- дикуляр болатын тұрақты жағдайда бола- ды. Үй шатырын салған кезде жіппен ша- тырдың арасындағы бұрыш құрады. Үйдің қабырғасы фундаментке перпендикуляр бо- луы үшін қабырға мен шатырдың арасын- дағы бұрыш қандай болу керек? Неліктен? Жауабыңды негізде.

1250

?

шатыр

қа

бырғ

а

үйдің іргетасы

құрылыс тіктеушісі

textbo

oks n

is ed

u kz

86

3.6 Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы

Параллель түзулердің қасиеттері мен белгілерін қолдану арқылы біз геометриялық фигуралардың қасиеттерін зерттей аламыз. Үшбұрыштар арқылы сол қасиеттер мен белгілерді қарастырайық.

1. Марат үшбұрыш бұыштарының қосындысының формуласын қорытып шығарды. Оның тұжырымы дұрыс па? Оның шешімін негіздеп түсіндіріп бер.

Берілгені: АВС – үшбұрыш.Табу керек: A B C∠ + ∠ + ∠ .Шешімі:

||MN AC болатын MN түзуін жүргіземіз. A MBA∠ = ∠ , C CBN∠ = ∠ (неліктен?),

180MBA ABC CBN∠ + ∠ + ∠ = ° (неліктен?). Демек 180A B C∠ + ∠ + ∠ = °. Жауабы: Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы 180° -қа тең.

2. Дайын сызбаларды қолданып, есептерді шығар. Барлық үшбұрыштар бұрыштарының шамасын тап.

800

400

Үшбұрыштың бұрыштары- ның қосындысы 180° -қа тең.

ЕСTЕ САҚТА!

textbo

oks n

is ed

u kz

87


3. Сөйлемдердегі бос орындарды толтыр.

Теңқабырғалы үшбұрыштың бұрыштары ... тең

Теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштың бұрыштары ... тең

Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы ... тең


а) Үшбұрыш бұрыштарының бірі екіншісінен 4 есе, ал үшіншісінен 30o кем. Үшбұрыш бұрыштарын тап.

ә) Үшбұрыш бұрыштарының қатынастары 2:3:4 қатынастарындай. Үшбұрыш бұрышта- рын тап.


а) Теңбүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы 100o-қа тең. Үш- бұрыштың қалған бұрыштарын тап.

ә) Егер теңбүйірлі үшбұрыш бұрыштарының біреуі екiн- шісінен 4 есеге үлкен болса, онда бұрыштар неге тең болады?

б) АВС теңбүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы 80o-қа тең. Табан бұрышының биссектрисасы мен осы бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның арасындағы бұрышты тап.

в) PQR теңбүйірлі үшбұрыш табанындағы бұрыштардың биссектрисаларының арасындағы бұрыш 126o. PQR үшбұ- рышының бұрыштарын тап.

6. MNP үшбұрышының М бұрышы, N бұрышы. О нүктесі М және N бұрыштарының бис- сектрисаларының қиылысу нүктесі. NOP бұрышының градустық шамасы неге тең?

7. PQR үшбұрышының Q төбесі арқылы үшбұрыштың PR қабырғасына параллель түзу жүргізілді. Төбесі Q болатын үш бұрыш пайда болды, олардың градустық шамаларының қатынасы 4:9:5. Үшбұрыштың градустық шамаларын тап және үшбұрыштың түрін анықта.

8. Арман теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышты табудың жаңа әдісін ұсынды. Ол төбесіндегі бұрышы 80o болатын теңбүйірлі үшбұрыш салды. Содан кейін ол осы бұрышты екі тең бөлікке бөліп, 40o-тан екі бұрыш алды. Содан соң ол 90o-тан 40o-ты азайтып, үшбұрыштың табанындағы бұрыш 50o болатынын анықтады. Осы әдіс дұрыс па? Жауабыңды негізде.

textbo

oks n

is ed

u kz

88

3.7 Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы. Есептер шығару

1. Дайын сызбаларды пайдаланып, есептерді шығар. Үшбұрыштың белгісіз бұрышта- рын тап.

Табу керек: , , ?α β γ −

Берілгені: KM — К бұрышының биссектрисасы.Табу керек: MNT үшбұрышының бұрыштарын.

Берілгені: АВС — үшбұрыш.Табу керек: АВС үшбұрышының бұрыштарын.

300

340

Берілгені: АВС — үшбұрышы.Табу керек: АВС үшбұрышының бұрыштарын.

textbo

oks n

is ed

u kz

89


Берілгені: = 110 .ABC∠ ° Табу керек: , , ?α β γ .

Табу керек: х.


а) Ләйлә О нүктесінде қиылысатын АК мен ВМ ке- сінділерін сызды. М бұрышы мен А бұрышы тең болып шықты. В мен К бұрыштары да өзара тең болады деген тұжырым дұрыс па? Неліктен? Жауабыңды негізде.

ә) Ләйлә келесі болжам жасады: егер бір үшбұ- рыштың екі бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі бұрышына тең болса, онда осы үшбұрыштардың үшінші бұрыштары да тең болады. Бұл тұжырым дұрыс па? Неліктен? Жауабыңды негізде.

4. А бұрышының биссектрисасы АВС үшбұрышын екі теңбүйірлі үшбұрышқа бөледі. АВС үшбұрышының бұрыштарын тап.

5. Есептерді шығар:а) АВС үшбұрышында АВС ∠A=70°, ∠C=80°. А мен С төбелерінен жүргізілген үш-

бұрыш биіктіктері М нүктесінде қиылысады. ∠AMC бұрышының градустық өлше- мі неге тең?

ә) DEF үшбұрышында DK медиана өткізілген. DEF үшбұрышының бұрыштарын тап, егер ∠KDE = 70°, ∠DKF = 140° болса.

6. Марат бұрыштарының градустық шамасы жай сандар болатындай етіп үшбұрыш салды. Сен сондай үшбұрышты сала аласың ба? Жауабыңды түсіндір.tex

tbook

s nis

edu k

z

90

3

4

21

6

5

350370

1180

3.8 Үшбұрыштың сыртқы бұрышы

Үшбұрыш бұрыштары туралы әңгімені жалғастыра отырып, үшбұрыштың сыртқы бұрыштары деген геометриядағы маңызды түсінікпен танысамыз.

Үшбұрыштың сыртқы бұрыштары деп үшбұрыш бұрыштары мен сыбайлас бұрыштарды айтады.

1, 2, 3, 4, 5, 6∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ — АВС үшбұрышының сыртқы бұрыштары.

1. Берілген үшбұрыштардың барлық сыртқы бұрыштарын тауып кестені толтыр.

Үшбұрыш

Үшбұрыштың сыртқы

бұрыштары

Үшбұрыштың сыртқы

бұрыштарының қосындысы

Үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы 360°-қа тең болатыны дұрыс па?

2. Ішкі бұрыштарының бірі сыбайлас бұрышына тең болатын үшбұрыштың түрін анықта.

3. Төменде келтірілген есептің шешіміне түсініктеме бер.АВС үшбұрышы берілген. ∠A = α, ∠В = β. АВС үшбұрышының BCD сыртқы бұрышын тап. Сен берілген есепті шығару үшін өз шешіміңді ұсына аласың ба?

A

B

D

Берілгені: АВС — үшбұрыш, ,A Bα β∠ = ∠ = .

Табу керек: BCD∠ .

Шешімі:

С

textbo

oks n

is ed

u kz

91


∆ABC ∠BCA, ∠BCD сыбайлас бұрыштар

∠BCA + ∠BCD = 180°∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

∠BAC + ∠ ABC + ∠BCA = ∠BCA + ∠BCD

∠BAC + ∠ABC = ∠ BCD

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі бұрыштың қосындысына тең.

4. Дайын сызбаларды пайдаланып есептерді шығар. АВС үшбұрышының белгісіз бұрыштарын тап.


а) Егер үшбұрыш бұрыштарының қатынастары 2:3:4 болса, онда осы үшбұрыштың сырт- қы бұрыштарының шамаларының қатынастары қандай?ә) Үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының біреуінің градустық шамасы 64O. Осы бұрышпен сыбайлас емес бұрыштардың шамаларының қатынасы 3:5. Осы бұрыштарды тап. б) Үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының біреуі 154°-қа тең. Үшбұрыштың берілген бұрышқа сыбайлас емес бұрыштарын тап, егер олардың біреуінің градустық шамасы екіншісінен 36° артық болса.

textbo

oks n

is ed

u kz

92

6. Теңбүйірлі үшбұрыштың бұрыштарын тап, егер сыбайлас бұрыштардың біреуі:

а) 36°;

ә) 146° болса.

7. Бұрыштарының біреуі 40°-қа тең, ал сыртқы бұрыштарының біреуі 110°-қа тең, болатын үшбұрыштың түрін анықта.

textbo

oks n

is ed

u kz

93

3.9 Үшбұрыштың сыртқы бұрышы. Есептер шығару

1. Сызбамен жұмыс істе және сұрақтарға жауап бер. Жауабыңды түсіндір.

1. BDE үшбұрышының барлық сырт- қы бұрыштарын ата. 2. Олар тік, доғал немесе сүйір болу- лары мүмкін бе?

1. D және E төбелеріндегі барлық сыртқы бұ- рыштарды ата.2. BCF бұрышы қандай үшбұрыштардың сыртқы бұрышы болады:3. ADB, ABE және АВС үшбұрыштарына ор- тақ сыртқы бұрышты тап.

2. Үшбұрыштың белгісіз бұрыштарын тап.

900

x

xtextbo

oks n

is ed

u kz

94

3. Егер 80 , 60 , 70α β γ= ° = ° = ° , онда x және y бұрыштарын тап.

x

5. Үшбұрыштың екі бұрышы 10° және 70° -қа тең. Үшбұрыштың үшінші бұрышының төбе- сінен жүргізілген биіктік пен биссектриса арасындағы бұрышты тап.

6. Марат үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес ішкі бұрыштардың әрқайсысынан үлкен болады деген теореманы дәлелдеді.Оның дәлелдемесіне түсініктеме бер.

Берілгені: ABC∆Дәлелдеу керек: BCE BCF∠ < ∠

Тұжырым Түсініктеме

1. AD үшбұрышының АВС медианасын жүргізіп, оны D нүктесінен әрі созамыз.

2. AD = DE болатындай етіп DE кесіндісін саламыз.

берілген кесіндіге тең кесінді салу аксиомасы негізінде

ADB CDE∠ = ∠ вертикаль бұрыштар

3. BD = DC салу бойынша

ADC DEC∆ = ∆үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша

∠ABC = ∠BCE

BCE BCF∠ < ∠BCE бұрышы BCF бұрышының бөлігі болғандықтан


7. ABC теңбүйірлі үшбұрышының AB және AC бүйір қабырғаларында сәйкесінше N мен M нүктелері жатыр және AN = NM = MB = BC. ABC үшбұрышының бұрыштарын тап.

textbo

oks n

is ed

u kz

95

3.10 Үшбұрыш қабырғалары мен бұрыштарының байланысы

Үшбұрышты қарастырған кезде оның қабырғалары мен бұрыштарының байланысын зерттеу маңызды болып табылады. Осы байланысты зерттейік және оны есептер шығаруда қалай қолдануға болатынын қарастырайық.

1. Марат градустық өлшемі 450 болатын АОВ бұрышын салды. Ол бұрыштың қабыр- ғаларында А және В нүктелерін белгілеп, АВ кесіндісінің ұзындығын өлшеді. Одан кейін ол АОВ бұрышының шамасын өсіріп немесе кемітіп АВ кесіндісінің өзгерген ұзындығын өлшеп отырды. Ол өлшеу нәтижелерін кестеге жазды.Мараттың зерттеу барысында жазғандарын қалпына келтір. Ол қандай тұжырымға келді деп ойлайсың?

СызбаАОВ

бұрышының шамасы

ОА қабырғасының

ұзындығы

ОВ қабырғасының

ұзындығы

АВ қабырғасының

ұзындығы

1

2

3

textbo

oks n

is ed

u kz

96

4

Транспортирдің көмегімен ОВА және ОАВ бұрыштарын өлшеп, кестені толықтыр. Қабыр- ғалар мен оларға қарсы жатқан бұрыштар арасында қандай байланысты байқадың?

2. Өз зерттеуіңнің негізінде Марат келесі теореманы дәлелдеді:

Кез келген үшбұрышта үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады, ал үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырға жатады.

Теореманың бірінші бөлігінің дәлелдемесін түсіндір және екінші бөлігін дәлелдеудің жоспарын ұсын.


.ABC

AB BC∆

>

Дәлелдеу керек: BCA BAC∠ > ∠ .

Дәлелдеме: BD = ВC болатындай етіп, ВD кесіндісін саламыз


1. BD = BCБерілген кесіндіге тең кесінді салу аксиомасы негізінде.

2. 1 2∠ = ∠ ВСD үшбұрышы теңбүйірлі болғандықтан.

3. 1BAC∠ < ∠Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған сыбайлас емес бұрыштан үлкен болғандықтан.

4. 2 3 BCA∠ + ∠ = ∠ Екі бұрыштың қосындысы ретінде.

5. 2 BCA∠ < ∠ 2∠ бұрышы BCA∠ бұрышының бөлігі болғандықтан.

6. 1 BCA∠ < ∠ 1 2∠ = ∠ болғандықтан

7. BCA BAC∠ > ∠ 3 және 6-пункттер негізінде.

textbo

oks n

is ed

u kz

97


3. Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының байланысы жайлы теореманы қолдана отырып:

ABD және BDC үшбұрыштарындағы бұрыштарды градустық шамалары өсу ретімен орналастыр.

Қабырғаларды ұзындықтарының кему ретімен орналастыр.

4. Дайын сызбаларды қолданып, дәлелде:

Егер АВ>AC болса, онда 1 2∠ > ∠ болады. Егер 1 3∠ = ∠ және 3 2∠ < ∠ болса, онда АС>AD болады.

5. АВС үшбұрышының бұрыштарын градустық өлшемдері өсу ретімен орналастыр, егер:

а) AB = 11 см; ВС = 8 см; АС = 9 см; ә) АВ = 30 см; ВС = 18 см; Р

АВС = 60 см;

б)

6. PQR үшбұрышының қабырғаларын салыстыр, егер:

а) 38 , 67P Q∠ = ° ∠ = ° ; ә) 132 , 24P R∠ = ° ∠ = ° ; б)

textbo

oks n

is ed

u kz

98

3.11 Үшбұрыштың теңсіздігі

Жол жүрудің тиімді бағытын табу немесе қандай да бір заттардың тиімді өлшемдерін табу есептері тәжірибеде жиі кездеседі. Мұндай сұрақтарға жауап табу үшін бізге үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғалары арасындағы байланыс жайлы білім және үшбұрыш теңсіздігі көмек бола алады.

1. Зерттеу жүргіз.

1. Қағаздан 7, 12 және 9 см болатын жолақтар қиып ал. Осы жолақтардан үшбұрыш құрастыр.

2. Осындай жұмысты 7 см, 14 см, 7 см және 5 см, 16 см ,7 см жолақтармен жасап көр. Кез келген жағдайда үшбұрыш құрастыруға бола ма? Үшбұрыштың кез келген екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысын үшінші қабырғаның ұзындығымен са- лыстыр. Не байқадың?

2. Төменде келтірілген теорема дәлелдемесіне түсініктеме бер. Дәлелдемені қажетті түсініктемелермен толықтыр.

Кез келген үшбұрышта екі қабырғасының қосындысы үшінші қабырғасынан артық болады.

Берілгені: АВС — үшбұрыш.Дәлелдеу керек: АС < AB+BC.Дәлелдеме: BD = CB болатындай етіп, В кесіндісін жүргіземіз.

Тұжырым: Негіздеме:

1. BD = BC

2. 1 2∠ = ∠

3. 1BAC∠ < ∠

4. CDA < ACD

5. 2 BCA∠ < ∠

6. 1 BCA∠ < ∠

7. BCA BAC∠ > ∠

4. Осындай үшбұрыш бар ма? Егер:

а) оның қабырғаларының ұзындықтары 15 см, 4 см және 8 см; 7 см, 12 см, 8 см; 1 см, 2 см, 3 см болса?ә) үшбұрыштың қабырғаларының қатынастары 1:2:3; 2:2:4; 2:3:6 болса?

textbo

oks n

is ed

u kz

99


3. Меруерт тақтаға қабырғалардың ұзындықтары берілген үшбұрыштарды салып, олардың бар екендігіне сенімді. Меруерттің тұжырымы дұрыс па?


а) Теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғала- ры 24 см және 9 см-ге тең. Берілген қа- бырғалардың қайсысы үшбұрыштың та- баны болып табылады?ә) Периметрі 12 см-ге тең, қабырғалары сантиметрдің бүтін санымен өлшенетін әртүрлі үшбұрыштар саны қанша?

6. Үшбұрыштың екі қабырғасы берілген. Үшбұрыштың үшінші қабырғасы қандай мән- дер қабылдай алады?

a b с

8 12

2 7

5 16

7. Ежелгі мысырлықтар шіркеу салу барысында бірдей қашықтықта ораналасқан 13 түйіні бар жіпті пайдаланған. Осы жіптің көмегімен олар түйіндері үшбұрыштың төбесі болатындай етіп, үшбұрыштар құрастыра алған. Осындай жіптің көмегімен сен қанша үшбұрыш құра аласың? Өз шешіміңді көрсет.

8. Келесі тұжырымдар дұрыс па?

а) үшбұрыштың әр қабырғасы басқа екі қабырғалардың айырмасынан үлкен;ә) егер AC + CB = АВ болса, онда А, В және С нүктелері бір түзудің бойында жатады.Жауабыңды негізде.

9. Суретте көрсетілгендей жердің бір бөлігіне А, В, С және D қазықтары қағылған. Берілген бөлікте СD қабырғасы қандай аралықта өзгереді?

10. Ұзындықтары 5; 3а; 5а кесінділер жиынтығы бар. а-ның қандай бүтін мәндерінде берілген ке- сінділер үшбұрыштың қабырғалары болуы мүм- кін?

textbo

oks n

is ed

u kz

100

Сен үшбұрыш түсінігімен таныссың, оның түрлерін білесің, тең үшбұрыштарды тани аласың. Біз қазір тікбұрышты үшбұрышқа назар аударып, тікбұрышты үшбұрыш анық- тамасын толықтырайық.

Үшбұрыштың бұрыштарының бірі тік, ал басқа екі бұрыштарының қосындысы

90° -қа тең болса, онда оны тікбұрышты үш- бұрыш деп атаймыз. Тікбұрышты үшбұ- рыштың тік бұрышына қарсы жатқан қа- бырғасы гипотенуза деп, ал басқа екі қа- бырғасы катет деп аталады.

Тікбұрышты үшбұрыштар үшін үшбұрыштар теңдігінің барлық белгілері орынды.

1. Суреттерді пайдаланып тікбұрышты үшбұрыштардың теңдік белгілерін тұжырымдап оларды дәлелде.

Белгі Тұжырымдама

(гипотенуза және катет бойынша) Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті сәйкесінше басқа тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катетіне тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

Берілгені:

1 1 1 1

1 1 1 1

( 90 ),( 90 ),

, .

ABC BA B C B

AC A C AB A B

∆ ∠ = °

∆ ∠ = °

= =

Дәлелдеу керек: ∆ABC = ∆A1B

1C

1.

Тікбұрышты үшбұрыш

3.12 Тікбұрышты үшбұрыш. Тікбұрышты үшбұрыштардың теңдік белгілері

textbo

oks n

is ed

u kz

101


Дәлелдеме:

А мен 1A төбелері және В мен 1B төбелері беттесетіндей, ал С және С1 нүктелері АВ

түзуінің екі жағында жататындай етіп, ABC және 1 1 1A B C үшбұрыштарын біріктірейік.

1 1 1 90 90 180ABC A B C∠ + ∠ = ° + ° = ° болғандықтан 1 1CB C∠ бұрышы жазыңқы бұрыш

болады және С, B1, C

1 нүктелері бір түзуде жатады. 1 1A C C үшбұрышы теңбүйірлі

( 1 1 1A C A C= ), онда 1 1A B — медиана және биссектриса. Демек, 1 1 1 .C B CB= . Сондықтан,

үшбұрыштардың теңдігінің үшінші белгісі бойынша АВС және 1 1 1A B C үшбұрыштары тең. Дәлелденді.

Белгі Тұжырымдама

(екі катет бойынша)Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың ка- теттері сәйкесінше басқа тікбұрышты үшбұрыштың катеттеріне тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

(катет және оған іргелес жатқан сүйір бұрыш бойынша)Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың ка- теті мен оған іргелес жатқан сүйір бұры- шы сәйкесінше басқа тікбұрышты үш- бұрыштың катеті мен оған іргелес жат- қан сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

(катет және оған қарсы жатқан сүйір бұрыш бойынша) Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың катеті мен оған қарсы жатқан сүйір бұрышы сәйкесінше басқа тікбұрышты үшбұрыштың катеті мен оған қарсы жатқан сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

(гипотенуза және сүйір бұрыш бойынша)Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың ги- потенузасы мен сүйір бұрышы сәйке- сінше басқа тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

102

2. Дайын сызбаларды қолданып, ABD ACD∆ = ∆ екенін дәлелде.

textbo

oks n

is ed

u kz

103

3.13 Тікбұрышты үшбұрыштың қасиеттері

Тікбұрышты үшбұрыштың басқа үшбұрыштарға тән емес қасиеттері бар, оларды қолдану есеп шығарғанда өте пайдалы. Бұл қасиеттерді дәлелдеу кезінде біз үшбұрыштар жайлы бұрын алған барлық білімімізді (үшбұрыш теңсіздігі, үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғалары арасындағы байланыс) пайдалана аламыз.

1. Тұжырымдар дұрыс па? Жауабыңды негізде.

а) Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы әрқашанда катетке тең болады.ә) Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы әрқашанда катеттен кіші болады.б) Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы әрқашанда катеттен үлкен болады.

2. Тікбұышты үшбұрыштың қабырғалары 6 см, 8 см және 10 см-ге тең. Үшбұрыштың үлкен катеті неге тең? Ал кіші катеті ше? Сен оны қалай анықтай аласың? Жауабыңды негізде.

3. Сызғыштың, бұрыштықтың және транспортирдің көмегімен АВС ( 90A∠ = ° ) тікбұрышты үшбұрышын сал:

а) ВС гипотенузасы равна 6 см-ге тең, ал ВСА бұрышы 300-қа тең; ә) катет 4 см-ге тең, ал гипотенуза мен осы катеттің арасындағы бұрыш 600-қа тең.

Тікбұрышты үшбұрыш қасиеттерінің бірінің дәлелдемесін қарастырып түсініктеме бер. Дәлелдемені түсініктемелермен толықтыр.

4. Тікбұрышты үшбұрыш қасиеттерінің бірінің дәлелдемесін қарастырып түсініктеме бер. Дәлелдемені түсініктемелермен толықтыр.

Берілгені: АВС — тікбұрышты үшбұрыш,

12

BC AB= .

Дәлелдеу керек: 30BAC∠ = ° .

textbo

oks n

is ed

u kz

104

Дәлелдеме:BD = BC болатындай етіп, B нүктесінен кейін кесінді саламыз.

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның жартысына тең катет 300-қа тең бұ-рыш қа қарсы жатады.


1. BD = BCБерілген кесіндіге тең кесінді салу аксиомасы негізінде

2. ABD∆ — теңбүйірлі

3. АС = CD = AD Шарт бойынша 12

BC AB= болғандықтан

4. 60A∠ = ° ACD∆ теңқабырғалы, сондықтан оның барлық бұрышы 600-қа тең болғандықтан.

5. 30BAC BAD∠ = ∠ = °


Шамасы 300-қа тең бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең болады деген кері тұжырым дұрыс па? Жауабыңды негізде.

5. Дайын сызбаларды қолданып, есептерді шығар. Үшбұрыштың белгісіз элементтерін тап.

АВ — ? PH⊥QR HR — ?

textbo

oks n

is ed

u kz

105


MN, HK — ?

АС — ?

6. Есепті шығар:

Нұрлан А бұрышы 30°-қа тең АВС ( 90C∠ = ° ) тікбұрышты үшбұрышын салды. Тік бұрыштың төбесінен ол СН биіктігін жүргізді. BH = 9 болса, үшбұрыштың гипотенузасы неге тең?

7. Ежелгі мысырлықтар пайдаланған 13 түйінді жіпті пайдаланып тікбұрышты үшбұ- рыш құрастыр. Сенде неше үшбұрыш шықты? Құралған үшбұрыштың қабырғалары неге тең?

textbo

oks n

is ed

u kz

106

3.14 Перпендикуляр және көлбеу

Бізге берілген нүктеден қандайда бір нысанға дейінгі ең қысқа арақашықтықты табу қажеттігі тәжірибеде жиі кездеседі. Әрине бұл қандай арақашықтық болады деген сұрақ туындайды. Мұны геометриялық тұрғыдан қарастырайық.

Біз бұрын түзуге түскен перпендикуляр түсінігі туралы айтқанбыз. Перпендикулярдың қандай геометриялық мағынасы және оның қандай қасиеттері бар екенін қарастырайық.

1. Ақжанға О нүктесінен а түзуіне дейінгі ең қысқа арақашықтықты табу керек. Ол үшін берілген түзуде А, В, С және D, Е. нүктелерін таңдап алды. Ақжан О нүктесі мен таңдап алынған нүктелер арасындағы кесінділердің ұзындықтарын өлшеді және осы кесінділер мен берілген түзудің арасындағы бұрыштардың шамаларын қарастырды. Ол барлық нәтижелерді кестеге енгізді. Ақжан жасаған жазбаларды қалпына келтір. Қай кесіндінің ұзындығы ең кіші болады? Неліктен? Сенің қандай жорамалың бар?

Кесінді Бұрыштар Кесінді ұзындығы

AO OBD∠BO OBD∠CO ODE∠DO ODE∠ОЕ OED∠

Берілген нүктеден берілген түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы осы нүктеден түзуге дейінгі ең қысқа арақашықтық болады.

• Егер берілген а түзуінде жатпайтын С нүктесі арқылы өтетін а түзуіне перпендикуляр түзу а тү- зуімен А нүктесінде қиылысатын болса, онда А нүк- тесі перпендикулярдың табаны деп аталады. • АС кесіндісі а түзуіне перпендикуляр деп ата- лады.• СВ кесіндісі С нүктесінен а түзуіне жүргізілген көлбеу деп аталады. • АВ кесіндісі СВ көлбеуінің а түзуіне проекция- сы деп аталады.

2. Келесі тұжырымдар дұрыс па? а) тең көлбеулердің проекциялары да тең;ә) берілген түзуге бір нүктеден жүргізілген екі

көлбеудің қайсысының проекциясы үлкен болса, сол көлбеу кіші болады.

3. Есептерді шығар. Жауабыңды негізде.а) Қабырғалары 6,6 см, 6,6 см, 8 см болатын АВС

(АВ = ВС) теңбүйірлі үшбұрыш берілген. Үшбұрыш- тың бүйір қабырғасының табанына түсірілген проекциясы неге тең?

ә) Қабырғасы 6 см тең MNP теңқабырғалы

көлбеудің проекциясы

перпендикуляр

көлбеу

көлбеу

көлбеудің проекциясы

пер

пен

ди

кул

яр

textbo

oks n

is ed

u kz

107


үшбұрыш берілген. MN қабырғасының NP қабырғасына түсірілген проекциясы неге тең? Ал МР қабырғасына түсірілген ше?

б) Қабырғалары АВ = 5, ВС=4 тең АВС (∠С = 900) тікбұрышты үшбұрыш берілген. Осы үшбұрыштың гипотенузасының катеттерге түсірілген проекциялары неге тең?

4. Марат екі параллель түзулердің біреуінде жатқан барлық нүктелер екінші түзуден бірдей қашықтықта болады деген тұжырымды дәлелді. Оның шешіміне түсініктеме жаса.

Берілгені: m||n,

, ,, ,

,.

A B mC D nAC nBD m

∈∈

⊥⊥

Дәлелдеу керек: АС = BD.

Дәлелдеме: ,AC n BD m⊥ ⊥ болғандықтан, АС||BD, ал 2 4∠ = ∠ , 1 3∠ = ∠ болады (неліктен?), демек

АВС және BCD үшбұрыштары тең (неліктен?), сондықтан АС = BD.

5. Саяхатшы картаға қарап жол салды. Ол нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық пер- пендикуляр екенін біледі. Саяхатшы өз жо- лын перпендикулярмен емес, оған жақын көлбеумен жүрсе, онда жол ұзындығының айырмашылығы қандай болатынын тексе- ріп көрейін деді. Егер АВ — перпендикуляр, В нүктесі перпендикулярдың табаны, С — түзудегі нүкте болса, карта бойынша сая- хатшының жолының ұзындығын бағалап көр. Егер АВ = 12 см, ВС = 2 см болса осыған сәйкес сызбаны орында.

6. Үшбұрыштың биссектрисасы оның сол төбеден жүргізілген медианасы мен биік- тігінің арасында жататынын дәлелде.

textbo

oks n

is ed

u kz

108


Берілгені:

|| ,, ,, .

a bA B aM N b

∈∈

Салыстыр: AM және BN.

Берілгені:

|| ,,

, , .

a bAN bM N K b

⊥∈

Салыстыр: AM және NK.

8. PQR үшбұрышында R ұрышы 30° -қа тең, PR қабырғасы 20 см-ге тең, ал QR қабырғасы 18 см-ге тең.

а) Q нүктесінен PR қабырғасына дейінгі арақашықтық неге тең?ә) Р төбесі арқылы QR қабырғасына параллель болатын m түзуі жүргізілген. m түзуі

мен QR арасындағы арақашықтық неге тең?

450

textbo

oks n

is ed

u kz

109


1. Сөйлемді аяқтап, сен параллель түзулердің қасиеттері мен белгілері туралы алған біліміңді және оны үшбұрыштарды шешуге қолдануды қайталайсың.

Түз

улер

дің

пара

ллел

ьдіг

і

Параллель түзулердің белгілері мен қасиеттері• Егер айқыш бұрыштар тең болса, онда...• Егер тұстас бұрыштардың қосындысы тең болса, онда...• Егер сәйкес бұрыштар тең болса, онда...• Егер түзулер параллель болса, онда...• Егер түзулер параллель болса, онда айқыш бұрыштар…• Егер түзулер параллель болса, онда сәйкес бұрыштар …• Егер түзулер параллель болса, онда тұстас бұрыштар …

Үшбұрыш қабырғаларын және бұрыштарын салыстыру • Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы...тең • Үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы...тең • Үшбұрыштың сыртқы бұрышы бұл…• Үлкен бұрышқа қарсы жатқан…• Кіші қабырғаға қарсы жатқан…

Тікбұрышты үшбұрыштар• Егер гипотенуза мен катет...• Егер катет пен сүйір бұрыш...• Егер тікбұрышты үшбұрыштың катеттері …• Тікбұрышты үшбұрышта...бұрышқа қарсы жатқан катет

Түзулердің параллельдігі. Келесі сөздерді кемінде бір рет қолданып, сөйлемдер құрастыр:

• айқыш бұрыштар;• тұстас бұрыштар;• сәйкес бұрыштар;• үшбұрыштың сыртқы бұрышы;• үшбұрыш бұрыштарының қосындысы;• көлбеу;• перпендикуляр.

1. Тұжырым дұрыс па?

а) Егер айқыш бұрыштардың бір жұбының қосындысы екінші айқыш бұрыштар жұ- бының қосындысына тең болса, онда түзулер параллель болады?

ә) Бұрыштары 45O, 38O және 100O болатын үшбұрыш бар.б) Үшбұрыштың сыртқы және ішкі бұрыштары вертикаль бұрыштар болады.в) Егер теңбүйірлі үшбұрыштың екі қабырғасы 5 см және 11 см болса, онда үшбұрыштың

үшінші қабырғасы 5 см-ге тең болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

110


Табу керек: α .

Берілгені:, .AB CD BC AD= =

Дәлелдеу керек: ||BC AD .

Берілгені:|| , , 40

AC BDAC AB MAC= ∠ = °

Табу керек: CBD∠ .

B

77

0120

0470

A

j

Табу керек: , ,α β γ .

textbo

oks n

is ed

u kz

111


Табу керек: , α β .

Табу керек: 1 2 3 4 5 6∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ .

3. Арман жағалау сызығымен 450 құрайтын бағытта қайықпен теңізге шықты. 6 км жүзгеннен кейін ол кері бағытта 700-қа бұрылып, тағы 6 км жүзіп өткеннен кейін портқа тікелей қайтуға бет алды. Қайықтың жағаға қайту бағыты жағалау сызығымен қандай бұрыш құрайды?

4. АВС үшбұрышын сыз және үшбұрыш ішінен М нүктесін белгіле. АВС және АМС үш- бұрыштарының периметрлерін салыстыр.

textbo

oks n

is ed

u kz

112

1. a, b, c түзулері берілген, және , a b b c⊥ ⊥ . Қай тұжырымдар дұрыс?

а) a c⊥ ;ә) ||a c;б) a, b және c түзулерінің үш ортақ нүк-

телері бар;в) Үш a, b және c түзулердің екеуі өзара

параллель. Жауабыңды негізде.

2. Суретте көрсетілген бұрыштарды си- патта.

3. a және b түзулері параллель. 1 және 3 бұрыштары туралы не айта аласың?

4. Екі түзу және қиюшы жүргізілген. Пай- да болған бұрыштардың үшеуінің өл- шемдерінің қосындысы 200° -қа тең екендігі белгілі. Барлық бұрыштардың градустық өлшемдерін тап.

5. Берілген түзулердің қайсылары өзара параллель? Неліктен?

6. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыш 35° -қа тең. Үшбұрыштың сыртқы бұ- рыштарын тап.

7. АВС теңбүйірлі үшбұрышының табаны АС = 64 см, В төбесіндегі сыртқы бұрыш 60°-қа тең. С нүктесінен АВ қабырғасы жатқан түзуге дейінгі арақашықтық неге тең?

8. AВС үшбұрышының бұрыштарының қатынастары 1:6:8 қатынастарындай. ВС ең кіші қабырға екендігі белгілі. А бұры- шын тап.


с

textbo

oks n

is ed

u kz

113


функцияның не екенін; функцияның қалай берілетінін; функцияның анықталу облысы

мен мәндер жиыны не екенін білемін.

2

3

, , ,,

y kx b y kx y axy ax y x

= + = =

= = функцияларының графигін салуды;

есептер шығару кезінде функцияның қасиеттерін қолдануды үйренемін.

4 Функция және функцияның графигі

Функция айналамызда.

Фигура Түсі

тіктөртбұрыш

трапеция

шеңбер

үшбұрыш

ƒ(x)

3 с 6 с 9 с 12 с 15 с 18 с 21 с 24 с

+9OС +8OС +12OС +14OС +17OС +15OС +12OС +6OС

3 сағ 6 сағ 9 сағ 12 сағ 15 сағ 18 сағ 21 сағ 24 сағ

Бір күндік температураның графигі

1

textbo

oks n

is ed

u kz

114

4.1 Функция. Функцияның анықталу облысы мен мәндер жиыны

Сен көп рет қандай да бір шаманың мәні екінші шаманың мәнінен тәуелді болатын жағдайлармен кездестің. Осындай жағдайлардың бірнеше мысалын қарастырайық.

Сен мектепке барған кезде, мектепке дейін жететін уақыт сен жүретін жыл- дамдықтан тәуелді. Сенің v жылдамды- ғының әр мәніне жолға жұмсалынған t уақытының бір ғана мәні сәйкес келеді, яғни, егер сен жылдамырақ жүрсең, жолға аз уақыт жұмсайсын, ақырынырақ жүрсең — көп уақыт.

Егер сен шаршының суретін салсаң, онда оның периметрі қабырғасының ұзындығынан тәуелді екенін байқай аласың. Оның a қабырғасының әр мә- ніне P периметрінің бір ғана мәні сәйкес келеді, яғни, егер қабырға ұзынырақ болса, периметрдің мәні үлкенірек бо- лады, қабырға қысқарса — кішірек бо- лады.

Сатып алынған стақандағы балмұз- дақтың массасы оның көлемінен тә- уелді. Балмұздақтың V көлемінің әр мәніне оның m массасының бір ғана мәні сәйкес келеді.

х 0 1 2

3х + 2 2 5 8

3х + 2 көпмүшесінің мәнін табу ке- зінде, х айнымалысының әр мәніне көпмүшенің бір ғана мәні сәйкес ке- леді.

Жоғарыда қарастырылған мысалдарда екі айнымалының өзара байланысы туралы әңгіме қозғалған, олардың біреуінің мәні, екіншінің таңдалынған мәнінен тәуелді. Осындай тәуелділікті функционалды деп атайды.

Егер айнымалының мәндері өз беті- мен таңдалса, оны тәуелсіз айнымалы немесе аргумент деп атайды.

Егер айнымалының мәндері аргу- менттен тәуелді болса, оны тәуелді ай- нымалы немесе функция деп атайды.

textbo

oks n

is ed

u kz

115


1. Жоғарыда келтірілген мысалдарда тәуелсіз (аргументті) және тәуелді айнымалы- ларды ата.

Егер қандай да бір заңдылық немесе f ережесі бойынша D жиынының x айны- малысына E жиынының у айнымалысының бір ғана мәні сәйкес қойылса, у ай- нымалысын х-тен тәуелді функция деп атайды.

Функция осылай белгіленеді

Функцияның барлық

мәндер жиыны мәндер облысын (немесе жиынын)

құрайды.

x-тің мәндеріне сәйкес y-тің мәндерін табуға болатын заңдылық немесе ереже.

Аргумент қабылдай алатын мәндер

функцияның анықталу облысы деп аталады.

Тәуелді айнымалы (функция)

Тәуелсіз айнымалы (аргумент)

( )xfy = функциясы үшін анықталы облысы D(f) немесе D(y)деп белгіленеді, ал мәндер жиыны — E(f) немесе E(y).

2. Функция немесе функция емес? Келтірілген тәуелділіктердің арасынан функцияны беретіндерін көрсет. Жауабыңды түсіндір. Табылған функциялардың анықталу облысын, мәндер жиынын тап.

Шаршының ауданы оның қабырғасының ұзындығына тәуелді

функция болады.

2S rπ= формуласымен берілген шеңбердің ауданы оның r радиусына тәуелді


Қабырғалары 4 см және х см тіктөртбұрыштың

S ауданы оның қабырғаларына тәуелді


3. ( ) 5f x x= + формуласын жаз.

а) x-тің әр мәніне y-тің сәйкес мәнін тап және кестені толтыр:

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y

Берілген формула функцияны береді деп айтуға бола ма? Неге? Жауабыңды түсіндір.

ә) Берілген функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын тап.

4. Функция формула арқылы беріліп тұр (аналитикалық түрде). Тәуелсіз және тәуелді айнымалыларды көрсет.

а) 2y x x= − ; ә)

42x p= + ;

б) 31

9u k k= − ; в) 3

2aw

a= +

−.

Функция келесі түрде беріле алады: • формула арқылы (аналитикалық түрде); • кесте арқылы.

textbo

oks n

is ed

u kz

116

5. Функция арқылы берілген:

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

y 12 9 6 3 0 –3 –6 –9

Бос орындарды толтыр:

а) Аргументтің (–2) мәніне функцияның ... мәні сәйкес қойылады.ә) Егер аргументтің мәні 1-ге тең болса, онда функцияның мәні ... тең.б) Аргументтің мәні ... болса, функция 9-ға тең мәнді қабылдайды.в) –4 ... ; f (2) = ... ; ... 3; f (...) = –9.

Берілген функция беріле алатын формуланы жаз.

6. у айнымалысының х айнымалысынан тәуелділігі кесте арқылы берілген. Берілген тәуелділік функция бола ма? Неге? Жауабыңды түсіндір.

х 1 3 5 8 9

у 3 3 5 5 0

х 2 4 0 4 2

у 0 2 4 6 8

Өз кестелеріңді келесі түрде құрастыр: бір кестеде функционалды тәуелділікті көрсет, екіншісінде — жоқ.

Функцияның мәнің әртүрлі әдістермен жазуға болады: –3 9 жазуы

аргументтің (–3) мәніне функцияның 9-ға тең мәні сәйкес келетінің

білдіреді; f (–3) = 9 жазуы да дәл соны білдіреді.

textbo

oks n

is ed

u kz

117

4.2 Функция. Функцияның анықталу облысы мен мәндер жиыны. Есептер шығару

1. ( ) 6 2f xx

= − функциясы берілген. Тап:

а) ( )3f − ; ә) ( )12f ; б) 32

f

; в) 125

f −

; г) ( )0,3f .

2. ( ) 2( ) 2 3; 2= + =f x x h x x болса, тап:

а) ( ) ( )1 1f h+ − ; ә) ( )1 22

f h −

; б) ( ) ( )0,1 : 0,1f h ; в) ( )(4) 3f h⋅ .

3. =−

202

yx функциясы үшін келесі шарттар орындалатындай етіп, кесте құрастыр: х ар-

гументі тек қана бүтін мәндерді қабылдайды және − ≤ ≤5 5x .

4. Тұжырымдарды математикалық тілге аудар және жазып ал:

а) аргумент 3-ке тең мән қабылдаған кезде, функция 5-ке тең мәнді қабылдайды;ә) аргументтің мәні 7-ге тең болған кездегі функцияның мәні аргументтің мәні 4-ке тең

болған кездегіге тең;б) аргументтің мәндері 8 және (–2) болған кезде, функцияның мәндері тең;в) аргументтің мәндері 6 және (–6) болған кезде, функцияның мәндерінің қосындысы

1-ге тең.

Кейбір кезде функцияны X және Yжиындарының элементтерінің сәйкестігі түрінде бейнелейді, X жиынының әр элементіне Y жиынының бір ғана эле- менті сәйкес қойылады.

5. Суретпен жұмыс жасап, сұрақтарға жауап бер. Төменде берілген суреттерде X және Y жиындарының элементтері арасында сәйкестік орнатылған.

а)

X Y

ә)

X Y

б)

X Ytex

tbook

s nis

edu k

z

118

а) Берілген сәйкестіктер немен ұқсас және немен ерекшеленеді? ә) Көрсетілген сәйкестіктердің қайсысы функцияны береді? Неге солай ойлайсың?б) Функцияны беретін сәйкестіктер үшін анықталу облысы мен мәндер жиынын тап.

Функцияның графигі деп абсциссалары аргумент мәндеріне, ал ординатала- ры сәйкес функция мәндеріне тең болатын координаталар жазықтығының нүктелер жиынын атайды.

6. Суретте бейнеленген сызықтар функцияның графигі бола ма? Неге? Жауабыңды түсіндір.

а) ә) б) в)

7. Екі шама арасындағы тәуелділік = −( ) 4 2f x x формуласымен берілген.

а) Кестені толтыр:

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y

ә) Кестені қолданып, берілген тәуелділіктің графигін сал. Ол функцияны береді ме? Неге?б) Егер осы тәуелділік функция болса, онда берілген функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын тап.

8. Графиктер мен төменде сипатталған жағдайлар арасында сәйкестікті орнат.

а) ә) б)

а) доп белгілі бір биіктіктен еденге түседі (х — уақыт, у — еденнен жоғары доптың биіктігі);ә) гүлзарда шөп өседі, оны үнемі шабады (х — уақыт, у — шөптің биіктігі);б) алма өседі, сосын оны жұлып алады және кептіреді (х — уақыт, у — алманың массасы).

Әр график неге функцияның графигі болатынын түсіндір.

textbo

oks n

is ed

u kz

119

4.3 Сызықтық функция және оның графигі

Бұрын, 6-сыныпта математиканы оқыған кезде, сен кейбір функцияларды кез- дестірдің, мысалы, сызықтық функцияны. Сен ол туралы не білетініңді еске түсірейік және одан да көп білуге тырысайық.

1. Төменгі суреттерде бейнеленген түзулер функция графиктері бола ма? Берілген түзулер қандай функциялардың графиктері бола алады? Неге солай ойлайсың? Жауа- быңды түсіндір.

а) ә) б)

2. Кестені толтыр, және онда бар ақпаратты қолданып, бір координата жүйесінде берілген функциялардың графиктерін сал. Қандай заңдылық көрдің? Қорытынды жаса.

x y x b= + –2 –1 0 1 2 3

y x=

2y x= +

5y x= +

3y x= −

Қорытынды:• Кестеде келтірілген функциялардың графиктері … болады.• Кестеде келтірілген барлық функциялар … берілген.• Кестеде келтірілген барлық функциялар … болады. • Сызықтық функцияның графигін салу үшін … нүкте жеткілікті. (Неге?)

3. Берілген функциялар арасында сызықтық болатындарды көрсет. Жауабыңды түсіндір.

а) 57xy = − ; ә)

7 5yx

= − ; б) 2 4

2xy −

= ; в) 2 2y x= + .

4. Кестені толтыр және функцияның графигін сал. Графиктің координаталар өстерімен қиылысу нүктелерінің координаталарын тап.

y = kx + b түріндегі функция, мұнда х — тәуелсіз айнымалы (аргумент), k және b — сандар, сызықтық деп аталады. Сызықтық функцияның графигі түзу болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

120

а) 3y x= + ; ә) 1 43

y x= − − ; б) 0,2 2y x= − ;

x 0 2 x 0 3 x 0 5y y y

в) 3 4y x= − ; г) 1 22

y x= − ; ғ) 0,5 6y x= − + .

x 2 x 4 x 2y –10 y 3 y –3

5. Тапсырманың нәтижесін қолданып, кестені толтыр және сұрақтарға жауап бер.

Функция 3y x= +1 43

y x= − − 0,2 2y x= − 3 4y x= −1 22

y x= − 0,5 6y x= − +

k 1

Түзу және Ох осінің оң бағыты арасындағы бұрыш (доғал немесе сүйір)

сүйір

а) Түзу мен Ох осінің оң бағыты арасындағы бұрыш және k коэффициенті арасында қандай тәуелділік бар?

ә) Егер k=0 болса, онда түзу мен Ох осінің оң бағыты арасындағы бұрыш қандай болады?

б) b коэффициенті мен графиктің орналасуы ара- сында қандай тәуелділік бар?

6. y kx b= + функциясының графигін сұлбалық түрде бейнеле, егер:

а) 0, 0k b> = ; ә) 0, 0k b< > ;

б) 0, 0k b< = ; в) 0, 0k b= > .

Тағы қандай жағдайлардың болуы мүмкін?

7. Қорапта әрқайсысының массасы 3 г болатын мұз кәмпиттері жатыр. Бос қораптың массасы 150 г құ- райды. Ішінде n кәмпиті бар қораптың салмағы қанша болады? ( )m f n= функциясының графигін сал, мұнда m — кәмпиттері бар қораптың массасы. Алынған функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын тап.

y kx b= + функциясында k бұрыштық коэффициент

деп аталады.


Мысал:

Егер 0, 0k b> > , онда функцияның графигі осы

сияқты болуы мүмкін:

textbo

oks n

is ed

u kz

121

4.4 Сызықтық функция және оның графигі. Есептер шығару

1. у = 1,5х + 10 функциясының графигін салмай-ақ, график келесі нүктелер арқылы өтеді ме, анықта:

а) А(4; 15); С(4; –4); Е(–100; –140); ә) В(–2; 7); D(80; 160); F(0; 10).

2. Функцияның графигін сал:

а) 2 1y x= − + , егер 3 3x− ≤ ≤ ; ә) 2 1y x= − + , егер 0x ≥ ;

б) 2 1y x= − + , егер 1x ≤ − ; в) 2 1y x= − + , егер { }4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4x ∈ − − − − .

Сен салған графиктер арасында абсциссаның және ординатаның мәндері тең болатын нүкте бар ма, анықта. Мәндері қарама-қарсы ше?

3. Арман, егер бұрыштық коэффициент пен графикке тиісті нүкте белгілі болса, онда сызықтық функцияның графигін сала аламын деп тұжырымдайды. Осыны қалай істей алады? Жауабыңды түсіндір.

4. 3y x b= + түзуі А нүктесі арқылы өтеді. А нүктесінің координаталары белгілі болса, b-ның шамасын тап:

а) ( )1; 3 ; ә) ( )1; 1− ; б) ( )0;2 .

Шыққан түзулердің теңдеулерін жаз. Графикті салмай-ақ, берілген түзулер коорди- наталар осьтерімен қиылысатын нүктелердің координаталарын тап.

5. y kx b= + функцияның графигі А және B нүктелері арқылы өтеді. k мен b-ның шама- ларын тап, егер:

а) ( )0; 2A және ( )3;6B ; ә) ( )0; 3A және ( )4;5B ; б) ( )0; 4A − және ( )3; 4B − .

6. 3 3y x= + және 3y x= графиктері сал және кестені толтыр. Берілген функциялардың ұқсастығы мен айырмашылықтары неде?

3 3y x= + ; 3y x=

Анықталу облысы

Мәндер облысы

Графиктің координаталар осьтерімен қиылысу нүктесі

y = kx түрдегі функция, мұнда х — тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, k — нөлге тең емес сан, тура пропорционалдық деп аталады. Берілген функцияның графигі координаталар жүйесінің бас нүктесі арқылы өтетін түзу болып табылады.

y = kx функциясы — y = kx +b функциясының дербес жағдайы.


textbo

oks n

is ed

u kz

122

7. k және b коэффициенттері қабылдай алатын мәндер мен функция графигі арасын-дағы сәйкестікті орнат. Қай суретте тура пропорционалдық графигі орналасқан?

9. Марат 26xy

x= және 6y x= функциялары бірдей деп тұжырымдайды. Мараттікі дұрыс

па? Жауабыңды түсіндір. 26xy

x= функцияның графигін сал.

k ж

әне b

коэ

фф

ицие

нтте

рі

Фун

кция

лард

ың

граф

икте

рі1. 0, 0k b> > 5. 0, 0k b> =

A Г

2. 0, 0k b> < 6. 0, 0k b< =

ӘҒ

3. 0, 0k b< > 7. 0, 0k b= >

Б

4. 0, 0k b< < 8. 0, 0k b= <

В

textbo

oks n

is ed

u kz

123

4.5 Сызықтық функция және оның графигі. Есептер шығару

Біз, егер сызықтық функция аналитикалық түрде немесе коэффициенттерге бай- ланысты шарттар берілсе, онда оның графигі қалай салынатыны туралы сұрақтарды қарастырдық. Қалай ойлайсың, функцияның графигі берілсе, оны аналитикалық түрде жазуға болады ма? Осы туралы егжей-тегжейлі сөйлесейік.

k бұрыштық коэффициенті түзу мен Ox осінің оң бағыты арасындағы көлбеу бұрышын көрсетеді. b саны — түзудің ординат осімен қиылысу нүктесінің ординатасы.


1. Қай суретте y = 2x + 4 функциясының графигі бейнеленген? Неге солай ойлайсың? k және b коэффициенттеріне қатысты өз біліміңді қолдан.

а)

ә)

б)

в)

textbo

oks n

is ed

u kz

124

2. Функцияны аналитикалық түрде бер.

Шешуі: функцияның графигі түзу болғандықтан, оны y kx b= + түрінде беруге болады.

1. k және b коэффициенттерін анықтау. b = 3, өйткені түзу Оу осін (0; 3) нүктесінде қиып өтеді, сонда функцияны 3y kx= + түрінде жазуға болады.

2. k < 0, өйткені көлбеу бұрышы — доғал. Графикке тиісті кез келген нүкте аламыз да k-ның мәнін табамыз. Мысалы А(3;0), нүктесін алсақ, 0 3 3 1k k= + ⇒ = − шығады.

Сонда аналитикалық түрде функция 3y x= − + деп беріледі.

3. 1-тапсырмада берілген функциялардың графиктерін аналитикалық түрде бер.

4. Бір координаталық жазықтықта келесі функциялардың графиктерін сал:

а) 3y x= ; ә) 3 4y x= + ; б) 3 5y x= − .

Графиктердің орналасуын салыстыр. 3y x= функциясының графигінен 3 4y x= + жә- не 3 5y x= − функцияларының графиктерін қалай алуға болады? y kx b= + функциясының графигін салу алгоритмін y kx= функциясының графигінің

көмегімен салуды құрастырып көр.

5. Сызықтық функцияның графигін салу сұл- басын қолданып, сызықтық функциялардың графиктерін екі әдіспен сал:

а) ( ) 3 2f x x= − + ; ә) 1( ) 32

f x x= − .

6. Функцияны тап.

Суретте 2 , 2 , 5y x y x y x= − = = − + функциялар- дың графиктері бейнеленген. Қай формула қай графикке сәйкес келетінін көрсет.tex

tbook

s nis

edu k

z

125


СЫЗЫҚТЫҚ ФУНКЦИЯНЫҢ ГРАФИГІН САЛУДЫҢ ЕКІ ӘДІСІ:

Екі нүкте бойынша

1. Кесте құрастыру қажет;2. Екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады.

Параллель көшіру арқылы

1. Тура пропорционалдықтың графигін салу;2. Параллель көшіру арқылы графикті Оу-тің бойымен b бірлікке жылжыту.

x –1 0

y 1 3

textbo

oks n

is ed

u kz

126

4.6 Сызықтық функциялардың графиктерінің өзара орналасуы

Сызықтық функцияның графигі түзу болып табылады, ал олар қиылысса, сәйкес не- месе параллель бола алады. Сызықтық функциялардың графиктерінің олардың коэф- фициенттеріне байланысты орналасуын қарастырайық.

1. 3 4y x= − функциясының графигін 3y x= функциясының графигінен қалай алуға болады? Ал 3 2y x= + функциясының графигін ше? Осы графиктерді бір координаталық жүйеде сал. Олардың өзара орналасуы туралы не айта аласың?

2. 2 23

y x= − және 3y x= − + функцияларының графиктерін бір координаталық жүйеде

сал. Олардың өзара орналасуы туралы не айта аласың?

3. Функциялардың графиктерін салмай-ақ, қиылысу нүктелерінің координаталарын тап.

а) 7,9 6,3y x= − және 6,3 7,9y x= − + ; ә) 2,6 5y x= − − және 2,6 5y x= + .

4. 1-3 тапсырмаларын қолданып, қай есеп қай жағдайға сәйкес келетінін орнат. Бос орындарды толтыр.

Сызықтық функция Алгебралық шарттар Геометриялық қорытынды

y = k1x+b

1

y = k2x+b

2

k1 = k

2, b

1 ≠ b

21 1= +y k x b және 2 2= +y k x b

түзулері параллель

k1 ... k

2 1 1= +y k x b және 2 2= +y k x b түзулері

қиылысады

1 2 1 2, ... k k b.. b. 1 1= +y k x b және 2 2= +y k x bтүзулері беттеседі

5. 5y x= − түзуіне параллель болатын және Оу осін келесі нүктелерде қиып өтетін түзудің теңдеуін жаз:

а) ( )0;2 ; ә) ( )0; 3− ; б) 20;7

.

6. Формуламен тура пропорционалдықты бер, егер:

а) оның графигі мен 4 3y x= − функцияларының графиктері параллель болса; ә) оның графигі A(1,3; –5,2) нүктесі арқылы өтсе.

textbo

oks n

is ed

u kz

127


а) ә)

б) в)

7. Салуды орындамай-ақ, анықта: түзулер қиылысады ма? Оны қалай істей аласың? Жауабыңды түсіндір.

а) 1,5 6y x= − және 6 1,5y x= − ; ә) 3 74

y x= + және 3 44

y x= − ?

8. Сызбаларды көрсетілген түзу жазылған функцияның графигі болатындай етіп, Оу немесе Ох осьтерімен толықтыр. Тіктөртбұрыштың ішіне екінші функцияның формуласын жаз. Осы функциялардың қиылысу нүктесінің және басқа белгіленген нүктелердің координаталарын тап (бірлік кесінді — 1 торкөз).

textbo

oks n

is ed

u kz

128

4.7 Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шығару

Функциялар және олардың графиктері туралы білімді біз көптеген математикалық есептерді шығару үшін қолдана аламыз, соның ішінде теңдеулер жүйесін шешу кезінде. Алдыңда біз екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін ауыстыру және алгебралық қосу әдісімен шығаруды қарастырдық. Енді осындай жүйелерді графиктік тәсілмен қалай шығара алатынымызды қарастырайық.

1. Динара екі белгісіз айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесінің графиктік тәсілмен шешуін жазды. Оның шешуіне түсініктеме бер. Ол барлығын дұрыс орындады ма?

/ : 0; ; .ax c c axx by c b y y

b b ba

b+ = ≠ + = = −

Сондықтан, екі белгісіз айнымалысы бар сызықтық теңдеудің графигі түзу болып табылады, ал берілген теңдеудің шешімі

реттелген (х;y)сандар жұбы болады — осы түзуге тиісті нүктелердің координаталары.

2. Теңдеудің графигін сал:

а) 0 5 20;x y+ = ә) 7 0 21;x y− + =

б) 3 5;x y+ = в) 5 6 11x y+ = − .

Екі белгісіз айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі 1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ =

+ =,

болғандықтан, оның графиктік шешімі болып жүйенің әр теңдеуіне қанағаттандыратын реттелген сандар жұбы болады. Берілген сандар жұбы — берілген түзулердің ортақ нүктелерінің координаталары.

3. Сабинаға екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шы- ғару алгоритмін құрастыруға көмектес.

Әр функция үшін мәндер кестесін құрастырамыз. Шешімдер санын анықтаймыз.Бір координаталық жүйеде функциялардың графиктерін саламыз.Екі теңдеуді де y kx b= + түріне келтіреміз.Жауабын жазамыз.

4. Теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шығар:

а) 3,

2 6 0;y xx y+ =

− + = ә)

4 2 10,2 3;

x yy x

− = − = −

б) 3 9 3 ,5 15 5 .

y xy x

− = − =

ax + by = c түріндегі теңдеу, мұнда x және y — айнымалылар, a, b және c — кейбір сандар, екі айнымалысы бар сызықтық

теңдеу деп аталады.

textbo

oks n

is ed

u kz

129


5. Алдыңғы есептің теңдеулер жүйесінің шешімдерін қарастыр. Қандай заңдылық көрдің? Жүйенің шешімдерінің санына байланысты қорытынды жаса.Қорытынды:а) егер сызықтық функциялардың бұрыштық коэффициенттері әртүрлі болса, онда жүйенің … ; ә) егер бұрыштық коэффициенттері бірдей болса, онда жүйенің… ;б) егер бұрыштық коэффициенттер және бос мүшелер бірдей болса, онда жүйенің … ; Графиктерді салмай-ақ шешімдер санын анықтауға бола ма? Жауабыңды түсіндір.

6. 4 және 5 тапсырмалардың нәтижелерін қолданып, кестені толтыр:

Ортақ нүктелері Жүйе шешімі Жүйе туралы ол ... деп айтады

бір ортақ нүктесі бар үйлесімді және анықталған

шешімі жоқ үйлесімсіз

үйлесімді және анықталмаған

7. Сәйкестікті орнат:

Геометриялық бейнесі

Алгебралық шарттар

Геометриялық қорытынды

Мысалдар

I A ,a c b d≠ = 1 параллель а 2 3y x= − және 2 4y x= +

II Ә ,a c b d= ≠ 2 қиылысады ә 3 1y x= + және 2 6 2y x= +

III Б ,a c b d= = 3анықтау

мүмкін емесб

2 53

y x= − + және 3 12

y x= − +

IV В ,a c b d≠ ≠ 4 беттеседі в 2y x= + және 2y x= − +

V Г 5 г 5y x= − және 2y x= −

textbo

oks n

is ed

u kz

130

Шексіз көп шешімі бар

4.8 Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шығару. Есептер шығару

1. Теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шеш:

а) 3 2,3 1;x yx y

+ = + =

ә) 6,

3 7;x yy x

+ = + =

б)3 9 3 ,5 15 5 .

y xy x

− = − =


y=2x

-2

1 2

1 2

k kb b

=≠

1 2

1 2

k kb b

==

3 3,3 2.

y xy x

= + = − Жауабы: шешімі жоқ.

2 2,2 2.3

y x

y x

= −

= +

Жауабы:(3; 4).

Шексіз көп шешімі бар

Шешімі жоқ

Бір шешім

1 3,31 3.3

y x

y x

= + = + Жауабы:

1; 3 ,3

t t +

.t R∈

1 2k k≠

2. Берілген сандар жұбы жүйенің шешімі болатындай етіп, екі айны- малысы бар теңдеулер жүйесін құ- растыр:

а) ( )0;5 ; ә) ( )2; 1− − ; б) ( )1; 2− .

3. Берілген теңдеудің әрқайсысына шығатын жүйенің бір ғана шешімі болатындай етіп, екінші теңдеу таң- дап ал:

а) 2 3 6x y− = ; ә) 4 5 2x y− = ;

б) 6 5 8x y+ = .

4. Берілген теңдеудің әрқайсысына шығатын жүйенің шешімі болмай- тындай етіп, екінші теңдеу таңдап ал

а) 2 5 4x y+ = ; ә) 6 9 7x y+ = − ;

б) 1 2 93 5

x y− = .

5. Берілген теңдеудің әрқайсысына шығатын жүйенің шексіз көп шешімі болатындай етіп, екінші теңдеу таң- дап ал:

а) 4 6x y+ = ; ә) 3 2 5x y− = ;

б) 3 6x y− = .

textbo

oks n

is ed

u kz

131


6. Төменде көрсетілген графиктерді сипаттайтын теңдеулер жүйесін құрастыр.

а) ә)

б) в)

7. 3 9,2 3 6x ayx y

+ = − =

жүйесінің бірінші теңдеуі 2x = және 3y = болған кезде дұрыс теңдікке айналатыны белгілі болса, теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шығар.

8. p параметрінің қандай мәнінде 3 2 10,

5 15x y

py x+ =

− = теңдеулер жүйесінің бір ғана шешімі бо-

латынын анықта.

9. q параметрінің қандай мәнінде 2 1,3 1,5x yy qx+ =

+ =теңдеулер жүйесінің шексіз көп шешімі

болатынын анықта.textbo

oks n

is ed

u kz

132

4.9 у=ах2 түріндегі функция

Сызықтық функциялардан басқа функциялардың көптеген түрлері бар, олармен

мектептегі математика курсынан таныссың. Қазір біз 2y ax= түріндегі функция туралы сөйлесеміз.

1. Қабырғасы х болатын шаршы берілген S шаршы ауданының х қабырғасы ұзынды- ғынан тәуелділік кестесін толтыр.

х 1 2 3 4 5

S(x)

Шаршы ауданының оның қабырғасына тәуелділік формуласын жаз. Шаршы ауда- нының оның қабырғасының ұзындығына тәуелді өзгеруіне байланысты не айта аласың? Осы тәуелділік фукция бола ма? Неге? Жауабыңды түсіндір.

2. Зерттеуді жоспар бойынша жүргіз.

y айнымалысының x-тен тәуелділігін 2y x= формуласы арқылы өрнектеуге болады.

1. формуласы арқылы өрнектеуге болады:

х –3 –2 –1 0 1 2 3

у

2. Кестені қолданып, координаталық жазықтықта нүктелерді белгіле және оларды бірсарынды сызықпен қос. Берілген тәуелділік функция болады ма? Жауабыңды түсіндір.

Сен салған графиктің арнайы атауы бар — парабола, ал жоғарыда қарастырылған тәуелділіктер квадраттық функцияны береді.

у=ах2 түріндегі функция, мұнда х — тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, у — тәуелді айныма- лы, а — кейбір сан (а≠0), квадраттық функция деп аталады. Оның графигі парабола болады.

3. «Функция паспорты». Бос орындарды толтыр.

2y x=

Анықталу облысы ( ) ...;D y =

Мәндер жиыны E(y) = ... ;

Графиктің координаталар осьтерімен қиылысу нүктесі

: 0, Ox y x= = ;

: 0, Oy x y= = ;

парабола

осі

пара

бола

тар

мағ

ы

парабола төбесі

парабола тармағыtex

tbook

s nis

edu k

z

133


4. 2y x= − функциясының графигін сал. Функцияның анықталу облысы мен мәндер

жиынын, координата осьтерімен қиылысу нүктелерін тап.

5. Салуды орындамай-ақ, берілген нүктелер2y x= функциясына тиісті ме екенін анықта:

а) ( )4; 16A − ; ә) ( )2; 4B − − ; б) 1 ; 0,252

C

; в) ( )3; 8D ?

6. Салуды орындамай-ақ, берілген нүктелер 2y x= функциясына тиісті ме екенін анықта:

а) ( )3; 9K − ; ә) ( )1; 1P − − ; б) 2 4;3 9

L −

; в) ( )3; 6M − − ?

7. Графиктің түспен белгіленген бөлігін қолданып, функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін тап. Жауабыңды түсіндір.

а)

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9y = х2

-5

ә)

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9y = x2

-5

б)

x

y

-1-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9

y = – x2

-5

в)

x

y

-1-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9

y = – x2

-5

textbo

oks n

is ed

u kz

134

8. 2y x= функциясы берілген. Берілген нүктелердегі функцияның мәндерін есептемей-

ақ, y(u) және y(v) салыстыр:

а) 1,5; 1,7;u v= = ә) 0,1; 0,08;u v= = б) 10,13; 10,1;u v= − = − в) 3,4; 3,8.u v= − = −

Жауабыңды түсіндір.

9. 22y x= функциясының графигін сал. Графиктің көмегімен тап.

а) функцияның мәндерін, егер аргументтің мәндері (–2); 0; және 1 болса; ә) аргументтің мәндерін, егер функцияның мәндері 0; 2; 8 болса;

б) функцияның [ ]2; 1− кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін;в) аргументтің мәндерін, егер 2 8y≤ ≤ .

10. 21

2y x= − функциясының графигін сал. Графиктің көмегімен тап:

а) функцияның мәндерін, егер аргументтің мәндері (–2); 0; 4 болса;ә) аргументтің мәндерін, егер функцияның мәндері (–4,5); (–2); 0 болса;

б) функцияның[ ]1; 3− кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін;в) аргументтің мәндерін, егер 4,5 2y− ≤ ≤ − .

11. 9 және 10-тапсырмалардың шешімдерін салыстыр. Қызықты не көрдің? Қорытынды жаса:

Егер а > 0 болса, онда функцияның ең кіші мәні бар, бірақ ең үлкен мәні жоқ. Егер a < 0 болса, онда _______________________________________________________ .Осы қорытынды барлық квадраттық функциялар үшін дұрыс па?

textbo

oks n

is ed

u kz

135

4.10 у=ах3 және y=|x| түріндегі функциялар

Функциялар туралы әңгімені жалғастырып, тағы бір 3 y ax= түріндегі функционалдық

тәуелділікпен танысайық.

1. Қабырғасы х болатын текше берілген. V текше көлемінің х қабырғасы ұзындығынан тәуелділік кестесін толтыр.

х 1 2 3 4 5

V(x)

Текше көлемінің оның қабырғасына тәуелділік формуласын жаз. Текше көлемінің оның қабырғасының ұзындығына тәуелді өзгеруіне байланысты не айта аласың? Осы тәуелділік фукция болады ма? Неге? Жауабыңды түсіндір.

2. Зерттеуді жоспар бойынша жүргіз.

y айнымалысының x-тен тәуелділігін 3y x= формуласы арқылы өрнектеуге болады.

1. Мәндер кестесін толтыр:

х –2 –1 0 1 2

у

2. Кестені қолданып, координаталық жазықтықта нүктелерді белгіле және оларды бірсарынды сызықпен қос. Берілген тәуелділік функция болады ма? Жауабыңды түсіндір.

Сен салған графиктің арнайы атауы бар — кубтық парабола.

у = ах3 түріндегі функция, мұнда х — тәуелсіз айныма- лы немесе аргумент, у — тәуелді айнымалы, а — кейбір сан (а≠0), кубтық функция деп аталады. Оның графигі кубтық парабола болады.


3y x=

Анықталу облысыя ( )( ) ;D y = −∞


Графиктің координаталар осьтерімен қиылысу нүктелері

: 0, Ox y x= = ;

: 0, Oy x y= = .

x

y

-1

-2

-2-1

01 2

1

2

3

0

4

5

-3 3

6

7

8

y =

x3

-3

-4

-5

-6

-7

-8

textbo

oks n

is ed

u kz

136

4. 3y x= функциясының графигін қолданып, тап:

а) функцияның мәндерін, егер аргументтің мәндері (–1); 0; 1,3; 2 болса;ә) аргументтің мәндерін, егер функцияның мәндері (–3,5); (–1); 0,9; 7 болса; б) егер функцияның мәні 1-ден кем; –3-тен артық; 1-ден артық, бірақ 3-тен кем болса, х-тің мәндер жиынын тап.

5. 3y x= − функциясының графигін сал. Функцияның анықталу облысы мен мәндер

жиынын, координата осьтерімен қиылысу нүктелерін тап.

6. Бір координаталық жүйеде (бірлік кесінді бір торкөзді құрайды)2( ) , 3 4f x x y x= − = −

функциялардың графиктерін сал. Олардың қиылысу нүктелерінің абсциссаларын тап.

7. Бір координаталық жүйеде (бірлік кесінді бір торкөзді құрайды) 3( ) , 2 3f x x y x= = − +

функциялардың графиктерін сал. Олардың қиылысу нүктелерінің абсциссаларын тап.

8. 32y x= − функциясының графигін сал. Графиктің көмегімен тап:

а) [ ]1; 1− кесіндісіндегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін;ә) аргументтің мәндерін, егер 0 2y≤ ≤ .

9. 31

2y x= функциясының графигін сал. Графиктің көмегімен тап:

а) [ ]1; 2− кесіндісіндегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін;ә) аргументтің мәндерін, егер 4 0y− ≤ ≤ .

10. у = f(x) функциясы берілген, мұнда

2 , 2 0;( ) 3 , 0 2;

6, 2 5.

x xf x x x

x

− ≤ ≤= < ≤ < <

а) Есепте ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , 1 , 0 , 1,5 , 3 , 4f f f f f f− − ;ә) у = f(x) функциясының графигін сал;б) Функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын, координата осьтерімен

қиылысу нүктелерін тап.

11. y x= функциясының графигін сал. Функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын, координата осьтерімен қиылысу нүктелерін тап.

егер

егер

егер

textbo

oks n

is ed

u kz

137

4.11 kyx

= түріндегі функция

1. Ойлан және сұрақтарға жауап бер:а) Қандай шамаларды тура пропорционал, кері пропорционал деп атайды?ә) Тура және кері пропорционал шамалардың бірнеше мысалдарын келтір.б) Тура және кері пропорционал шамалар өзара қандай формуламен байланысты?

2. Көрсетілген тәуелділіктер арасынан тура және кері пропорционал тәуелділіктерді көрсет. Жауабыңды түсіндір.

а) 2y x= ; ә) 2y x= − ; б) 22y x= ; в)

32y x= − ; г) 2yx

= ;

ғ) 2xy = ; д)

2yx

= − ; е) 2

2xy = ; ж)

2xy = − ; з)

3

2xy = − .

3. Есептің шартын математикалық тілге аудар және берілген шамалар арасындағы тәуелділікті формуламен жаз.

а) Темірлан t мин ішінде велосипедпен 60 м жүрді. Оның жылдамдығы нешеге тең?

ә) Қабырғасы а м тіктөртбұрыштың ауданы 50 м2-қа тең. Тіктөртбұрыштың ені нешеге тең?

Берілген тәуелділіктер функционалды бола ма? Неге? Жауабыңды негізде. Ұқсас тәуелділіктердің мысалдарын келтір.

4. Жоспар бойынша зерттеу жаса.

y айнымалысының x-тен тәуелділігін 6yx

= формуласы арқылы өрнектеуге болады.

1. Мәндер кестесін толтыр:

х –6 –3 –2 –1 1 2 3 6

у

2. Кестені қолданып, координаталық жазықтықта нүктелерді белгіле және оларды бірса- рынды сызықпен қос. Берілген тәуелділік функция болады ма? Жауабыңды түсіндір.

kyx

= түріндегі функция, мұнда х — тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, у —

тәуелді айнымалы, k — кез келген сан ( 0k ≠ ), кері пропорционалдық функ- циясы деп аталады. Оның графигі гипербола болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

138


1yx

=

Анықталу облысы ( ) ...D y = ;


Графиктің координаталар осьтерімен қиылысу нүктелері

6. Кері пропорционал тәуелділікті формуламен бер, егер оның графигі келесі нүкте арқылы өтсе:

а) (2;3,5)A ; ә) 3 2( ; 6 )4 3

N − .

Берілген графикке тиісті болатын тағы төрт нүктені көрсет.

7. 4yx

= және 4yx

= − функцияларының графиктерін бір координаталық жүйеде сал.

Функциялардың анықталу облысы мен мәндер жиынын тап. Осы функциялардың ұқсастығы мен айырмашылығы неде? Функция графигінің орналасуы k коэффициентіне қалай тәуелді?

8. Функцияның графигін салмай-ақ, ол қандай координаталық ширектерде орналаса- тынын анықта:

а) 5yx

= ; ә) 10yx

= − ;

б) 1

6y

x= ; в)

0,5yx

= − .

9. Сен қалай ойлайсың, егер k = 0 болса, kyx

= функциясының графигі қандай болады?

10. y mx l= + және kyx

= түріндегі функция-

лардың графиктерін сұлбалық түрде бейнеле,

олардың ... болсын:

а) бір қиылысу нүктесі;ә) екі қиылысу нүктесі;б) үш қиылысу нүктесі.

Алынған функция графиктерінің теңдеулерін жаз.

kyx

= функциясының графигі, егер: • 0k > болса, I және III коорди- наталық ширектерде орнала- сады;• 0k < болса, II және IV коорди- наталық ширектерде орналасады.


x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

4

-3 3

-3

y = 1x

textbo

oks n

is ed

u kz

139


Ойды аяқтап, сен функция және оның графигі туралы не білгеніңді қайталайсың.

Функция және функцияның графигіФункция — бұл ... .

х айнымалысын … деп атайды.

y айнымалысы — ... .

Функцию ... түрде беруге болады.

Функцияның графигі деп ... нүктелер жиынын айтады.

Аргументтің мәндер жиыны … құрайды.

Функцияның мәндер жиыны — …. .

Сызықтық функция және оның графигі

Сызықтық функция деп ... түрдегі функция аталады.

k коэффициенті ... деп аталады.

Егер k > 0, онда y = kx + b түзуі Ох осінің оң бағытымен … құрайды, ал егер

k < 0 — … .

y = kx түріндегі функция, мұнда х — … , k — … деп аталады.

Сызықтық функциялардың графиктерінің өзара орналасуы

1 1y k x b= + және 2 2y k x b= + түзулері параллель, егер … .

1 1y k x b= + және 2 2y k x b= + түзулері қиылысады, егер … .

1 1y k x b= + және 2 2y k x b= + түзулері беттеседі, егер … .

у = ах2, у = ах3 (а≠0) түріндегі функцияларКвадраттық функция деп ... түріндегі функция аталады, мұнда … .Квадраттық функцияның графигі … болады

ny ax= түріндегі функция, мұнда …, … деп аталады.3y ax= функциясының графигі … деп аталады.

( )0ky kx

= ≠ түріндегі функциялар

kyx

= түріндегі функция, мұнда … , … деп аталады.

kyx

= функциясының графигі … болады.

Өткенді қайталауға көмектесетін сұрақтарКелесі сөздерді кем дегенде бір рет қолданып, сөйлемдер құрастыр:

• функция;• функцияның графигі;

Фун

кция

. Фун

кция

ның

граф

игі

textbo

oks n

is ed

u kz

140

• функцияның анықталу облысы және мәндер жиыны;• сызықтық функция;• екі түзудің өзара орналасуы;• квадраттық функция;• дәрежелі функция;• кері пропорционал функциясы.

1. Функция 4 5y x= − формуласымен берілген. Кестені толтыр:

Заполни таблицу:

х –2 –1,5 0у 3 11

а) ( –2) ге не сәйкес келеді?ә) 2–ге не сәйкес келеді??б) Аргументтің мәні (–1,5) болса, функцияның мәні неге тең?в) Функцияның мәні (–5) болса, аргументтің мәні неге тең?

2. Функцияны аналитикалық түрде бер, егер:

а) функцияның мәні аргумент мәнінен 5–ке артық болса;ә) функцияның мәні аргументтің екі еселенген мәніне тең болса;б) функцияның мәні аргументтің квадратының үш еселенген мәніне тең болса.

3. Арман функциялардың графиктерін салды, бірақ координаталар осьтері өшіріліп қалды.

а) Сызбаны координаталар өстерімен толықтыр, белгіленген сызық жазылған функцияның графигі болып қалсын.

ә) Басқа екі сызықтың формулаларын жаз.

б) А, В және С нүктелерінің координаталарын көрсет. (Бірлік кесінді — бір торкөз).

в) l түзуі f(x) параболасын қиып өтеді ме? Егер қиып өтсе, қиылысу нүктесінің координаталарын көрсетіп жаз.

4. 2 30y x= − + функциясымен жұмыс жаса.

а) Берілген функцияның графигі … болып табылады.ә) Функцияның графигі Ох осінің оң бағытымен ... бұрыш жасайды, өйткені ... .б) График ординат осін (... ; ...) нүктесінде қиып өтеді.в) Берілген функцияның графигін сұлба түрінде бейнеле.г) Берілген функцияға параллель болатын (0; 0) нүктесі арқылы өтетін функцияны

формула арқылы бер.

5. Теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шығар:

2 3,3 2 6.

x yx y

− = + = −

6. 2 5,3 2 6

x byx y

− = + =

теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ болатын- дай етіп, b параметрінің барлық мәндерін тап.

textbo

oks n

is ed

u kz

141


1. Төменде көрсетілген сызықтардың қайсысы функция графигінің бейнесі болады? Неге? Жауабыңды түсіндір.

а) ә) б)

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

-3 3

-3

-4 4 5

-4

5

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

-3 3

-3

-4 4 5

-4

5

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

-3 3

-3

-4 4 5

-4

5

2. Функциямен жұмыс жаса.

а) 1 23

y x= + функциясының графигін сал.

ә) Бос орындарды толтыр:

1. 1 23

y x= + функциясының график ордината осін ( );A ,

нүктесінде, ал абсцисса осін — ( );B нүктесінде қиып өтеді.

2. Берілген 1 23

y x= + функциясы үшін аргументтің мәні белгілі болса, функцияның

мәнін есептеп табуға болады, және, керісінше, функцияның мәні белгілі болса, аргументтің мәнін есептеуге болады.

( )3f − = ... ; ( )60f = ... ;

( ) 1f x = − , егер x = ... ; ( ) 23f x = , егер x = ... .

3. ( )8;M және 1; 13

N −

нүктелері берілген функцияның графигіне тиісті.

Түрлі-түсті қарындашпен графиктің абсциссалары оң мән қабылдайтын, ал ординаталары теріс мән қабылдайтын бөлігін белгіле.tex

tbook

s nis

edu k

z

142

3. Шартты қанағаттандыратын функцияларды белгіле.

ТүзуШарт 4x y+ = 3 2y x= − 4x y= − 2 3 1 0x y+ + = 1 2( 2)y x− = +

Функцияның графигі

( )2; 1− нүктесі арқылы өтеді

Функцияның графигі y x= − түзуіне

параллель

Функцияның графигі координаталар осінде бірдей кесінділер бөліп алады

Функцияның графигі абсцисса осімен сүйір бұрыш жасайды

4. k параметрінің қандай мәнінде y = (k+3) х–1 және y = (2k–1) х+3 функцияларының графиктері параллель болады? Осы графиктерді сал.


22 , 0,4 , 0.

x xy

xx

− ≤= >

Берілген функцияның анықталу облысын тап.

егер

егерtextbo

oks n

is ed

u kz

143

5 Шеңбер. Салу есептері

Мен осы тарауды меңгере отырып: қандай геометриялық фигура шеңбер

деп, ал қандай фигура дөңгелек деп

аталатынын, олардың ұқсастықтары мен

айырмашылықтарын;

жазықтықта шеңбер мен түзу екі шеңбер

қалай өзара орналасуы мүмкін екенін;

іштей сызылған шеңбер және сырттай

сызылған шеңбер ұғымдарын;

циркуль мен сызғыштың көмегімен қандай

есептерді шығаруға болатынын білемін.

түзу мен шеңбердің өзара орналасуын

анықтауды;

екі шеңбердің өзара орналасуын анықтауды;

циркуль мен сызғыштың көмегімен

салуларды орындауға үйренемін.

textbo

oks n

is ed

u kz

144

5.1 Шеңбер және дөңгелек

Сен қағаз бетінде жүргізе алатын көптеген сызықтардың ішінен шеңбер деген тамаша сызықты ерекше атауға болады. Шеңбер жайында толығырақ әңгіме-лейік.

Шеңбер Шеңбер Шеңбер

Шеңбер — жазықтықтың берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан барлық нүктелерінен тұратын геоме-триялық фигура. Берілген нүкте шеңбердің центрі деп аталады.

Дөңгелек — жазық- тықтың шеңбермен шек- телетін барлық нүкте-лерінен тұратын геоме-триялық фигура.

Шеңбердің радиусы — шеңбер нүктесін оның цен-трімен қосатын кез келген кесінді. Шеңбердің радиусы R деп белгіленеді. Центрі О және радиусы R берілген шеңберді былай белгілей-ді: ω(О; R=ОА). Шеңбер жа-зықтықты ішкі және сыртқы облыстарға бөледі.

Хорда — шеңбердің екі нүктесін қосатын кесінді.

Диаметр — центр арқылы өтетін хорда. Белгіленуі — D.

Шеңбер доғасы — шең-бердің екі нүктесі арасын-дағы бөлігі. Доға белгісі — «∪».

Дөңгелек Дөңгелек центрі — дөңгелекті шектейтін шеңбердің центрі.

Дөңгелектің радиу-сы — шектейтін шең-бердің радиусы. Дөң-гелек радиусының бел-гіленуі — R.

textbo

oks n

is ed

u kz

145


1. Суретпен жұмыс істеп, бос орындарды толтыр. Шеңбер мен дөңгелектің анықтамаларын пайдалан.

а) Сызбада центрі … нүктесінде және R радиусы … кесіндісіне тең шеңбер салынған.ә) Егер … кесінділерін жүргізсек, олар берілген шеңбердің радиустері болады.б) Шеңбердің бойында …. нүктелері жатыр. в) Шеңберге тиісті емес нүктелер — … . г) Шеңбердің ішкі облысында … нүктелері жатыр, ал сыртқы облысында — … нүктелері. ғ) Егер шеңбердің центрі … нүктесін … нүктелерімен қосса, онда … кесінділерінің ұзындықтары R–ден кіші болады. д) Егер шеңбердің центрі … нүктесін … нүктелерімен қосса, онда … кесінділерінің ұзындықтары R–ден үлкен болады.е) Е нүктесінен … хордаларын жүргізуге болады.

а) Сызбада центрі … нүктесінде және R радиусы … бола-тын дөңгелек салынған.ә) Егер … нүктелерін қосса, онда салынған кесінділер бұл дөңгелектің радиустері болады.б) Дөңгелекке тиісті емес нүктелер — … . в) А нүктесінен … хордаларын жүргізуге болады.

2. Анықтамаларға сәйкес келетін сызбаларды көрсет.

Сектор — дөңгелектің екі радиусы арасындағы бөлігі.

Сегмент — доғамен және оның хордасымен шектелген дөңгелектің бөлігі.

А Ә Б

ВГ

3. Төменде келтірілген тұжырым дәлелдемесіне түсініктемелер жаса. Дәлелдеме дұрыс па? Жауабыңды түсіндір.

Теорема: Егер шеңбердің диаметрі хорданың ортасынан өтетін болса, онда диа-метр хордаға перпендикуляр болады.

Берілгені: ω(О; R), АВ — хорда, С — АВ хордасының ортасы, MN—диаметр.Дәлелдеу керек: MN⊥АВ.Дәлелдеме:

ОА және ОВ кесінділерін саламыз.

О мен А және О мен В нүктелерін қосамыз.

textbo

oks n

is ed

u kz

146

AOB∆ — табаны АВ болатын теңбүйірлі үшбырыш.

Үшбұрыштың ОА және ОВ қабырғалары тең, себебі екеуіде шеңбердің радиусы.

ОС үшбұрыштың медианасы. AOB∆ теңбүйірлі болғандықтан.

ОС⊥АВТеңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген медиананың қасиеті бойынша ОС кесіндісі биіктік болады.

MN⊥АВMN және ОС кесінділері бір түзудің бойында жатқандықтан, егер ОС⊥АВ болса, онда MN⊥АВ болады.


Кері теорема құруға бола ма? Егер болса, оны құрып көр және дәлелде.

4. Ұзындығы шеңбердің радиусына тең болатын АВ хордасы шеңбердің О центрі арқылы жүргізілген МК диаметріне перпендикуляр. АОМ бұрышын тап.

5. Шеңбердің О центрі арқылы өтетін ТС диаметрі МК хорданың ортасы Р нүктесінде қиып өтеді. Бұрыш МОК=1200. Егер хордамен шеңбер центрінің арақашықтығы 11 см болса, онда Т мен Р нүктелерінің арақашықтығын тап.

textbo

oks n

is ed

u kz

147

5.2 Түзу мен шеңбердің өзара орналасуы1. Суретпен жұмыс істе. Түзу мен шеңбердің өзара орналасуын сипаттап бер.

Егер a түзуі мен шеңбердің екі ортақ нүктесі бар болса, онда а түзуі қиюшы деп аталады.

( ; ) ,( ; ) .O r a AO r a B

ωω

∩ =∩ =

Егер a түзуі мен шеңбердің бір ортақ нүктесі бар болса, онда а түзуі жанама деп аталады.

( ; )O r a Cω ∩ =

2. Суретпен жұмыс істе және сөйлемдердегі бос орындарды толықтыр:

а) Берілген шеңбердің центрі…нүктесі болады, радиусы —… кесіндісі.ә) Шеңбермен ортақ нүктесі жоқ түзу — … түзуі.ә) d түзуі шеңбер үшін ... болады және В нүктесі…деп аталады.б) Щеңбер үшін … түзулері қиюшы болады, олар шеңбермен … нүктелерінде қиылысады.

3. Зерттеу жүргіз.

1. Шеңбердің радиусын өлше.2. Шеңбердің центрінен a, c

және m түзулеріне дейінгі арақашықтықтарды тап.

3. Шеңбердің центрінен әр түзудің ара қашықтығын шеңбердің радиусымен салыстыр.

Шеңберге жанама түзу оның жанасу нүктесіне жүргізілген радиусына

перпендикуляр болады.


textbo

oks n

is ed

u kz

148

Кестені толтырып, қорытынды жаса:

ТүзуШеңбер

радиусы r

Шеңбердің центрінен

түзуге дейінгі арақашықтық d

Шеңбердің радиусы мен

арақашықтықты салыстыру

Түзу мен шеңбердің

өзара орналасуы

a OP = … OP =… r = d жанасады

m

c

4. ω(О; R=40 мм) шеңбер берілген. Кестеде берілгендерді қолдана отырып, түзу мен шеңбердің өзара орналасуын анықта.

ТүзуШеңбердің центрінен

түзуге дейінгі арақашықтық

Түзу мен шеңбердің орналасуы

Ортақ нүктелер саны

m 3 см

n 0,4 дм

p 0,4 м

k 0,07 м

f 125

м

5. Жоспар бойынша салуды орында. Салуды орындау үшін циркульді, сызғышты және бұрыштықты қолдан.

1. Шеңбер сыз.2. Үш параллель түзу жүргіз, олардың біреуі мынандай болатындай:

• шеңберге жанама;• шеңберге қиюшы;• шеңберді қиып өтпейтіндей.

3. Түзулерді, шеңбердің центрін, түзулер мен шеңбердің қиылысу нүктелерін белгіле.

4. Математика тілін пайдалана отырып, әр түзудің шеңберге қатысты орналасуын жаз.

6. Марат шеңбер сызды. Осы шеңбердің сыртында жатқан М нүктесінен шеңберге екі жанама жүргізді. Ол М нүктесінен жанасу нүктелеріне дейінгі арақашықтықтар тең деп есептейді. Мараттың бұл тұжырымы дұрыс па?tex

tbook

s nis

edu k

z

149

5.3 Екі шеңбердің өзара орналасуы1. Әлия екі шеңбер салды және олардың өзара орналасуларының бірнеше нұсқаларын ұсынды. Оның салған суреті туралы түсініктемелер бер. Ол екі шеңбердің өзара орналасуының барлық нұсқаларын қарастырды ма?

а) ә)

б) в)

• Бір ортақ нүктелері бар шеңберлерді жанасатын шеңберлер деп айтады.• Егер бір шеңбердің центрі екінші шеңбердің сыртқы облысында жатса,

онда шеңберлер сыртай жанасады деп айтады.• Егер бір шеңбердің центрі екінші шеңбердің ішкі облысында жатса, онда

шеңберлер іштей жанасады деп айтады. • Центрлері ортақ шеңберлер центрлес шеңберлер деп аталады.


2. Кестені толтыр. Өз жауабыңды тұжырымда.

Сызба R1

R2

Салыстыру(R

1+R

2) немесе

(R1–R

2) және

O1O

2

Қорытынды

3 2 O1O

2 >R

1+R

2

Егер екі шеңбердің цен-трлерінің арақашықтығы олардың радиустарының қосындысынан үлкен бол-са, онда екі шеңбердің ор-тақ нүктесі болмайды.

textbo

oks n

is ed

u kz

150

Егер екі шеңбердің цен-трлерінің арақашықтығы олардың радиустарының айырмасынан кіші болса, онда екі шеңбердің ортақ нүктесі болмайды.

11 22 RO RO > −

Шеңберлер сырттай жа-насады, егер олардың цен-трлерінің арақашықтығы радиустарының қосынды-сына тең болса.

3. Сызбамен жұмыс істеп, сұрақтарға жауап бер:

textbo

oks n

is ed

u kz

151


а) Берілген шеңберлердің қайсылары жанасады? Қалай?ә) Берілген шеңберлердің қайсылары қиылыспайды?б) Берілген шеңберлердің қайсылары қиылысады?в) Берілген түзулердің қайсысы жанама болады және қай шеңберге?г) Қандай түзу қиюшы болады және қай шеңберге? ғ) Түзулердің және шеңберлердің қайсылары қиылыспайды?д) Берілген түзулердің қайсысының үш шеңбермен де ортақ нүктелері бар?

4. Дайын сызбаларды қолданып, есепті шығар.

а)

Берілгені: ω(А; 7), ω(В; 5),

1NK = .

Табу керек: AN, MP.

ә)

Берілгені: ω(А; 12), ω(С; 32), ω(E; 12),

AD=FE=3.

Табу керек: DJ, CD, CF, FI, AE.

б)

Берілгені: ОВ=16 см.

Табу керек: RQ, OQ.

5. Марат 5 монетаны әрқайсысы қалған төртеуімен жанасатындай етіп орналастыра аламын дейді. Ол бұны қалай жасай алады? Жауабыңды түсіндір.

6. Жер және Марс радиустары 150 және 228 миллион километр болатын дөңгелек орби-талар бойымен Күнді айналатыны белгілі. Жер мен Марс арасындағы ең үлкен және ең кіші арақашықтықтар неге тең?

textbo

oks n

is ed

u kz

152

5.4 Нүктелердің геометриялық орны

Сен кез келген геометриялық фигура жазықтықта жатқан көптеген нүктелер-ден тұратынын білесің. Бұл нүктелерді еркін түрде немесе белгілі бір тәртіппен белгілеуіңе болады. Геометрияда көбіне өздеріне тән белгілі бір қасиетке ие нүк-телерден тұратын фигуралар қызықтыра-ды. Мұндай жағдайда әр сондай фигураны нүктелердің геометриялық орны (НГО) деп атайды.

Саған ең белгілі нүктелердің геометриялық орны шеңбер болып табылады, өйткені ол жазықтықтың берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелер жиынынан тұрады (қандай нүктеден?).

1. Парақ бетіндегі тордың түйіндерінде орналасқан және келесі шартты қанағаттандыратын нүктелерді белгіле:

а) А нүктесінен 3 торкөз қашықтықта;ә) А нүктесінен 3 торкөзден кем қашықтықта;б) А нүктесінен 5 торкөзден кем, 3 торкөзден артық қашықтықта;в) М нүктесінен 4 торкөзден кем, ал N нүктесінен 3 тор-көзден кем қашықтықта;г) М нүктесінен 3 торкөзден артық, ал N нүктесінен 2 торкөзден кем қашықтықта.

2. Жоспар бойынша салуды орында және сұрақтарға жа-уап бер:

1. Ұзындығы 5 см-ге тең болатын АВ кесіндісін сыз.2. А нүктесінен 4 см қашықтықта орналасқан нүкте-лердің геометриялық орнын көрсет.3. В нүктесінен 2 см қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық орнын көрсет.4. А нүктесінен 4 см, ал В нүктесінен 2 см қашықтықта орналасқан нүктелер жиынын тап.5. А нүктесінен 5 см-ден кем қашықтықта, ал В нүктесінен 4 см-ден артық қашықтықта орналасқан нүктелер жиынын тап.

3. Жазықтықта а түзуінен 3 см қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық орны қандай фигура болады? Жауабыңды негізде.

4. Берілген кесіндісінің ұштарынан бірдей қашық орналасқан нүктелердің геометриялық орны не болып табылады?

Берілгені: AB — кесінді.Табу керек: A және B нүктелерінен бірдей қашық нүктелердің НГО.

Нүктелердің геометриялық орны (НГО) деп жазықтықтың белгілі бір қа-сиетке ие болатын барлық нүктелерінен тұратын фигураны айтады. Жәнеде:

а) егер нүкте фигураға тиіс болса, онда ол нүкте аталған қасиетке ие;ә) егер нүкте аталған қасиетке ие болса, онда ол нүкте фигураға тиіс.

textbo

oks n

is ed

u kz

153


Шешімі:С нүктесі А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта делік.

Онда ABC∆ — теңбүйірлі (неге?) және С нүктесі осы үшбұ- рыштың медианасын, биссектрисасын және биіктігін қамти-тын түзуде жатыр. АВ кесіндісіне қатынасты бұл түзу орта перпендикуляр болып табылады.

Демек, ізделінді НГО бұл АВ кесіндісіне жүргізген орта перпендикуляр.

5. Егер нүкте кесіндіге жүргізілген орта перпендикулярға тиіс болса, онда ол нүкте кесін-дінің ұштарынан бірдей қашық болады деген тұжырым дұрыс па?

6. Берілген бұрыштың ішінде және оның қабырғаларынан бірдей қашық орналасқан нүктелердің геометриялық орны не болып табылады?

Берілгені: ABC — бұрыш.

Табу керек: BA және BC сәулелерінен бірдей қашықтағы нүктелердің НГО–сын.

Шешімі: D нүктесі ABC бұрышының BA және BC қабырғаларынан бірдей қашық болсын делік. ОндаDN = DM (шарт бойынша),BD – ортақ қабырға.

Демек, BD — ABC бұрышының биссектрисасы. Ізделінді НГО берілген бұрыштың биссектрисасы болып табылады.

7. Егер нүкте бұрыштың биссектрисасында жатса, онда ол бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашық болады деген тұжырым дұрыс па? Жауабыңды негізде.

8. Руслан суретте көрсетілгендей етіп MNK үшбырышын сал-ды. N нүктесі қандай геометриялық орындардың қиылысы болып табылады? Жауабыңды негізде.

9. Джо есімді теңіз қарақшысы Қазына аралын- да көмбе жасырды. Көмбе бірі бірінен 15 фут қа- шықтықта орналасқан екі пальманың маңында екені Джоның есінде. Ол пальмаларды картада белгіледі. Көмбе бірінші пальмадан 12 фут, ал екінші пальмадан 10 фут қашықтықта көмілген. Көмбе жасырылуы мүмкін болатын орындарды тап.

BMD BND⇒ ∆ = ∆ гипотенуза және катет бойынша

MBD NBD⇒ ∆ = ∆

textbo

oks n

is ed

u kz

154

5.5 Циркуль және сызғыш көмегімен салуларды орындау

Геометриялық фигураларды салу үшін сызғыш пен циркуль негізгі құралдар болып табылатынын сен білесің. Бұлардың көмегімен қандай да бір берілген қасиеттерге ие фигураны сала аламыз. Бірақ, орындалуы қажет бірқатар ережелер бар. Геометриялық фигураларды салуда барлық салулар тек циркульмен және бірліктері көрсетілмеген сы-зғышпен орындалу керек.

Қандай салуларды сызғыштың көмегімен, ал қандайларын циркульдың көмегімен орындай алатынымызды қарастырайық.

Сызғыштың көмегімен салуға болады:

• кез келген түзудің бөлігін;• берілген нүкте арқылы өтетін

түзудің бөлігін;• берілген екі нүкте арқылы өтетеін

Циркульдың көмегімен салуға болады:

• центрі болатын нүкте және радиусы берілген шеңберді;

• берілген кесіндіні берілген нүктеден бастап өлшеп салуға.

Геометриялық фигураларды салу үшін әдетте циркульді және сызғышты пайдаланады, бірақ кейбір есептерді тек қана циркульдың немесе тек қана сызғыштың көмегімен шығаруға болады.

1. а) Циркульдің;ә) Сызғыштың;

көмегімен қандай геометриялық фигураларды салуға болады?

Берілген қасиеттері бар геометриялық фигураны салуға арналған барлық есептерді салу есептері деп атайды.

Салу есебін шығару — ол фигураны салудың әдісін табу, осы салуды орындау және салынған фигура берілген қасиеттерге ие екенін дәлелдеу.

Салу есебі

1-кезең — талдауБастапқы берілгендерді талдау және салу

жоспарын құру

3-кезең — дәлелдеу

Салынған фигура есептің шартын қанағаттандыратынын дәлелдеу

2-кезең — салуБелгіленген жоспар бойынша салуды

орындау

4-кезең — зерттеуКелесі сұрақтарға жауап беру керек:

Есептің шешімі бар ма?Егер болса, онда қанша шешім бар?

Кейде есеп едәуір қарапайым болса және есептің кейбір кезеңдері айқын болып тұрса, ондай кезеңдерді қарастырмаса да болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

155


2. Салу есебінің шешімін қарастыр және түсініктемелер жаса.

p түзуінде белілген P нүктесінен бастап берілген XY кесіндісіне тең кесіндіні сал.

Шешімі:

Талдау.

Есеп шығарылды және ізделінді PQ кесіндісі құрылған деп есептейік. Онда, PQ = XY болғандықтан, Q нүктесі центрі Р нүктесінде және радиусы XY болатын шеңберде жатады.

Салу.1. ( ; )P XYω шеңберін саламыз;

2. ( ; )P XY p Qω ∩ = , 1( ; )P XY p Qω ∩ = ;

3. PQ , 1PQ — ізделінді кесінділер.Дәлелдеме:

1XY PQ PQ= = , бұл кесінділер бір шеңбердің радиустары болғандықтан және кесінділерді өлшеу аксиомасы бойынша.

Зерттеу. Есептің екі шешімі бар: PQ, PQ

1.

3. M және N нүктелері берілген. Циркульды қолданып, MK= 3MN болатындай етіп, К нүктесін сал.

4. Ұзындықтары x және y см-ге тең кесінділер берілген. Ұзындықтары келесі өрнектің мәніне тең болатын кесінділер сал:

а) x y+ ;ә) x y− ;б) 2x y+ ;в) 2x y− .

Қандай жағдайда есептің шешімі болмайды? Жауабыңды негізде.

5. Шеңбердің бір нүктеден шығатын ұзындықтары бірдей екі хордасын сал.

textbo

oks n

is ed

u kz

156

5.6 Берілген үш қабырғасы бойынша үшбұрышты салу

Сен берілген кесіндіге тең кесіндіні қалай салуға болатынын білгеннен кейін, енді қабырғалары белгілі геометриялық фигураларды салуға болады, мысалы, үшбұрышты.

1. Егер оның a, b және с қабырғалары берілген болса, АВС үшбұрышын сал.

Берілгені: a, b және c — АВС үшбұрышының қабырғалары.

Салу керек: ABC∆ .

Талдау. Есеп шығарылды деп есептейік, ABC үшбұрышы салынған және

, , AB c AC b BC a= = = . Үшбұрыштың C төбесі А және B төбелерінен берілген a және b қашықтықта орналасқандықтан, ол нүктелердің екі геометриялық орнының қиылысуы болып табылады:

1 2 ; ( ; .( ) ) C A R b B R aω ω∩= = =

Салу.

1. Қандай да бір а түзуін жүргізіп, онын бойында А нүктесін белгілейміз.

2. А нүктесінен бастап с кесіндісіне тең болатын AB кесіндісін саламыз

3. Екі шеңбер саламыз.

1 ; ( )A R bω = және 2 ( ; )B R aω = .4. Осы шеңберлердің қиылысқан

нүктелерінің біреуін С, екіншісін С1

деп белгілейміз. 5. AC, BC және A

1C

1, B

1C

1 кесінділерін

саламыз.

1 ABC ABC∆ ∆ ізделінді.

textbo

oks n

is ed

u kz

157


Дәлелдеуі.

AB c= салу бойынша,

1AC AC b= = , себебі АС — 1ω шеңберінің радиусы,

1BC BC a= = , себебі ВС — 2ω шеңберінің радиусы.

Демек, салынған үшбұрыштың қабырғалары берілген кесінділерге тең болады.

Зерттеу.

Есептің шешімі болмайды, егер келесі үшбұрыш теңсіздіктерінің кем дегенде біреуі орындалмаса:

, , a b c b a c c a b< + < + < + .

2. Қабырғалары а және b кесінділеріне тең болатын MNK теңбүйірлі үшбұрышын сал.

3. Қабырғасы m кесіндісіне тең болатын теңқабырғалы үшбұрыш сал.

4. ABC үшбұрышын салуға бола ма, егер:

а) бұл үшбұрыш теңбүйірлі және оның қабырғалары а және b кесінділеріне тең болса:

ә) үшбұрыштың қабырғалары p, q және r кесінділеріне тең болса:

5. Екі AB және AC қабырғалары және CD медианасы бойынша ABC үшбұрышын сал.

textbo

oks n

is ed

u kz

158

5.7 Орта перпендикуляр салу. Берілген түзуге перпендикуляр түзу салу

1. Берілген АВ кесіндісіне орта перпендикуляр сал

1. Суретпен жұмыс істе, берілген AB кесіндісіне орта перпендикуляр салуға талдау жаса.

Берілгені: АВ кесіндісі.

Салу керек: АВ кесіндісіне орта перпендикуляр.

2. Жоспар бойынша салуды орында. Сәйкес математикалық жазбалар жаса.

а) Центрлері А және В нүктелерінде және радиусы AB болатын екі шеңбер сал.ә) Олар P және Q нүктелерінде қиылысады.б) PQ түзуін жүргіз.

Бұл түзу AB кесіндісіне жүргізілген ізделінді орта перпендикуляр болады.

3. Дәлелдеме. Дәлелдеме жүргіз, бос орындарға сөздерді қой.

а) Салу бойынша … нүктелері АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашық, сондықтан олар осы кесіндіге …жатыр, …теореманың негізінде.ә) Сонымен, АВ кесіндісіне …… және …нүктелері арқылы өтеді, яғни … түзумен сәйкес келеді.

4. Зерттеу. Есептің қанша шешімі бар? Жауабыңды түсіндір.

2. Салуға арналған есептің шешімін тұжырымда және толықтыр.Берілген а түзуіне перпендикуляр және берілген О нүктесі арқылы өтетін түзу сал.

Бұл есепті шығаруда екі нұсқа болуы мүмкін, олар О нүктесінің берілген түзуде жату немесе жатпауына байланысты.

1-жағдай.

Берілгені: a — түзу. Салу керек: b түзуін: , b a O b⊥ ∈ .

textbo

oks n

is ed

u kz

159


1. ω(O; r) шеңберін жүргіземіз, мұнда r — кез келген радиус

( ; )O r a Aω ∩ = , ( ; )O r a Bω ∩ =

2. ω(A; AB), ω(B; AB) шеңберін жүргіземіз:

( ; ) ( ; )A AB B AB Cω ω∩ =

1( ; ) ( ; )A AB B AB Cω ω∩ =

3. О және С нүктелері арқылы OC түзуін жүргіземіз. ОС — ізделінді түзу.

2-жағдай.

Берілгені: a — түзу.Салу керек: b түзуін: , b a O b⊥ ∉ .

textbo

oks n

is ed

u kz

160

Сызбалармен жұмыс істе және салу кезеңдерін жаз.

1. 2.

3. 4.

3. Алдыңғы есептердің нәтижелерін қолдана отырып, кесіндіні қақ бөлудің әдісін тап.

4. Циркуль мен сызғышты қолданып, қабырғаларының ұзындықтары a, b және c болатын ABC үшбұрышының барлық медианаларын жүргіз.

textbo

oks n

is ed

u kz

161

5.8 Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер

Шеңбер және үшбұрыш — геометрияда екі негізгі фигуралар. Бұл фигуралар бір-біріне қатысты қалай орналасуы мүмкін екенін қарастырайық.

1. Ортақ нүктелерінің саны 1, 2, 3, 4, 5 және 6 болатындай етіп шеңбер және үшбұрыш сал.

Үшбұрыштың үш төбесі де шеңберде жатқан жағдайды қарастырайық. Мұндай жағдайда шеңберді үшбұрышқа сырттай сызылған деп айтады.

Егер шеңбер үшбұрыштың барлық төбелері ар- қылы өтетін болса, онда шеңбер үшбұрышқа сырт-тай сызылған деп аталады.

2. Берілген шеңберлер үшбұрышқа сырттай сызылған болатындай етіп, сызбаларды то-лықтыр.

а) ә) б)

Бұл үшбұрыштардың түрлері қандай? Үшбұрыштың түріне байланысты шеңбердің центрі қалай орналасқан?

3. Суретпен жұмыс істеп, келесі шартты қанағаттандыратын барлық үшбұрыштарды тап:

а) берілген шеңбер сырттай сызылған болатын;ә) берілген шеңберге іштей сызылған болмайтын.

textbo

oks n

is ed

u kz

162

4. Теореманың дәлелдемесін тұжырымда: Кез келген үшбұрышқа сырттай сызылған шең-бер салуға болады. Үшбұрыш қабырғаларының орта перпендикулярларының қиылысу нүктесі шеңбердің центрі болып табылады.

Берілгені: ABC∆ .

Дәлелдеу керек: О — орта перпендикуляр-лардың қиылысу нүктесі.

Шешім: Нүктелердің геометриялық орнын қолданып, A, B және C нүктелерінен бірдей қашық орналасқан нүктені табамыз.

1. Жүргіземіз D1D⊥ AC D

1D — орта перпендикуляр

2. Жүргіземіз E1E⊥ AC E

1E — орта перпендикуляр

3. Орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады OA OC= , OC OB=

DD1∩EE

1 = O

4. OA OC OB= = 3 пункті бойынша

7. Демек, О нүктесі сырттай сызылған шеңбердің центрі болып табылады, ал OA, OC, OB кесінділері осы шеңбердің радиустары болады. Дәлелденді.

5. Циркуль мен сызғыштың көмегімен салуды орында:

1. Кез келген MNK үшбұрышын сал және осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді сал.2. Бір ортақ қабырғалары болатындай етіп, шеңберге іштей екі үшбұрыш сал.

6. Дәлелде: а) егер сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың биссектрисалары қиылыс-

қан нүктеде болса, онда үшбұрыш теңқабырғалы болады;ә) егер сырттай сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың қабырғасында жатса, онда

үшбұрыш тікбұрышты болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

163

5.9 Берілген бұрышқа тең бұрыш салу. Бұрыштың биссектрисасын салу

Циркуль мен сызғызтың көмегімен салуларды орындау туралы әңгімені жалғастыра отырып, берілген бұрышқа тең бұрыш салуды қарастырайық.

1. Бір қабырғасы берілген сәулеге сәйкес келетіндей етіп, берілген бұрышқа тең бұрыш сал.

Берілгені: CAB∠ .

Салу керек: : 1 1 1C A B CAB∠ = ∠ .

Талдау.

Есеп шығарылды және ізделінді 1 1 1C A B∠ салынды деп ұйғарайық.

Тең үшбұрыштардың тең қабырғаларына қарсы тең бұрыштар жатады.

Бұл есепті шығару үшін, тең қабырғалар- ға қарсы жатқан төбелері 1C және С нүктеле- рінде болатын екі тең үшбұрыш салса жет-кілікті болады.

Жоспар бойынша салуды орында:

1)

2)

3)

Салу.

1. CAB бұрышы және a сәуле, 1A a∈2. ω

(А; АВ): ω

1(А

1; АВ)∩а=В

1

ω2(А

1; АС)

3. 3 1( , )B BCω .

4. 3 1 2 1 1( , ( ,) )B BC A A CCω ω∩ = .

5. 1 1 1 1, A C B C6. 1 1 1ABC A B C∆ = ∆

7. 1 1 1 C B BA CA∠ = ∠

Дәлелдеуді және зерттеуді өз бетіңше орында.

textbo

oks n

is ed

u kz

164

2. Екі A және B ( A B∠ > ∠ ). бұрыштары берілген. Келесі өрнектерге тең болатындай етіп бұрыштар сал:

а) 2 A∠ ; ә) A B∠ + ∠ ; б) 2 A B∠ + ∠ .

3. Берілген бұрыштың биссектрисасын сал. Суретпен жұмыс істеп, салуға талдау жаса:

Берілгені: ∆САВ. Салу керек: AD — ∆САВ биссектрисасы.

Талдау

Есеп шығарылды және биссектриса салынды деп ұйғарайық.

Биссектрисаны салу үшін бұрыштың қабырғала-рынан бірдей қашық А нүктесінен өзге D нүктесін салу қажет (неге?).

Онда бұл есеп берілген үшбұрышқа тең үшбұ- рышты екі бұрыш бойынша салу есебіне айналады.

Төменде келтірілген кезеңдерді қолданып, жоспар бойынша салуды орында.

Салу.

1. ЕАҒ бұрышы берілген болсын. 2. Центрі А нүктесі болатын қандай да бір r радиусты шеңбер саламыз. Оның бұрыш қабырғаларымен қиылысу нүктелерін B және C деп белгілейміз.3. B және C нүктелерін центр етіп алып, радиустары r болатын екі шеңбер саламыз. Олар екі нүктеде қиылысады. Шеңбердің қиылысу нүктелерінің BC түзуіне қарағанда А нүктесіне қарама қарсы жатқанын D әрпімен белгілейміз.4. АD сәулесін жүргіземіз. Бұл осы А бұрышының ізделінді биссектрисасы болып табылады.

Дәлелдемені және зерттеуді өз бетіңше жүргіз.

4. Тік бұрыштың биссектрисасын сал.

5. Берілген бұрышты тең төрт бөлікке бөл.

E

F

textbo

oks n

is ed

u kz

165

5.10 Жанама салу

1. Берілген шеңберге берілген нүкте арқылы өтетін жанама сал.

1-жағдай.

2-жағдай.

Берілгені: ω(О, R), 1-жағдай: A∈ω, 2-жағдай: A∈ω. Салу керек: шеңберге А нүктесі арқылы өтетін а жанамасын.

Талдау.

Берілген шеңберге жанама салу есебі, жанасу нүктесін анықтап, жанасу нүк-тесіне жүргізілген радиусқа перпенди-куляр түзу салу есебіне ұласады.

Салу. Салудың дұрыс ретін анықтап, оған сәйкес жазбалар жаса.

1-жағдай.

а)

ә)

textbo

oks n

is ed

u kz

166

в) г)

2-жағдай.

а) ә)

б)

в)

Дәлелдеуді және зерттеуді өз бетіңше жүргіз.

2. Ортақ нүктелері жоқ шеңбер мен түзу берілген. Шеңберге жанама сал: а) берілген түзуге параллель болатындай етіп, ә) берілген түзуге перпендикуляр болатындай етіп.tex

tbook

s nis

edu k

z

167

Егер шеңбер үшбұ- рыштың барлық қабырғаларын жа-найтын болса, онда ол үшбұрышқа іш- тей сызылған шең-бер деп аталады.

Сонымен, сен үшбұрышқа сырттай шеңбер салуға болатынын білесің. Бірақ үшбұрышқа шеңберді іштей де сызуға болады. Бұл жағдайды толығырақ қара-стырайық.

1. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер қай суретте көрсетілгенін анықта. Жау-абыңды негізде.

а) ә) б) в)

2. Берілген шеңберлер үшбұрышқа іштей сызылған болатындай етіп сызбаларды то-лықтыр.

Бұл үшбұрыштардың түрлері қандай? Үшбұрыштың түріне байланысты шеңбердің цен-трі қалай орналасқан?

3. Суретпен жұмыс істеп, барлық үшбұрыштарды тап: а) берілген шеңбер іштей сызылған болатын;ә) берілген шеңбер іштей сызылған болмайтын.

4. Теореманың дәлелдемесін тұжырымда: Кез келген үшбұ- рышқа шеңберді іштей сызуға болады. Бұл шеңбердің центрі биссектрисалардың қиылысу нүктесі болады.

Берілгені: ABC∆ .

Дәлелдеу керек: О — үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

5.11 Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер

textbo

oks n

is ed

u kz

168

Шешімі: Нүктелердің геометриялық орнын қолдана отырып, үшбұрыштың қабырғала-рынан бірдей қашық нүктені табамыз.

1. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисларын жүргіземіз.

Бұрыш биссектрисаның кез келген нүктесі оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта.

2. OE OD= Сол сияқты

3. OF OE= Сол сияқты

4. OF OD= Сол сияқты

5. OE OD OF= = 2–4 пункттері бойынша

6. Демек, О іштей сызылған шеңбердің центрі, ал , ,OE OF OD кесінділері осы шеңбердің радиустары болып табылады. Дәлелденді.

5. Жоспар бойынша салуды орында:

1. Кез келген үшбұрыш сыз.2. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрін тап.3. Осы шеңбердің үшбұрыштың қабырғаларымен жанасу нүктелерін тап.4. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңберді сал.


а)

Берілгені: ABC∆ ,

1 2( ; ), ( ; )E r F rω ω — іштей сызылған шеңберлер.Табу керек: FDE∠ .

ә)

Берілгені: ABC∆ ,

1 2( ; ), ( ; )E r F rω ω — іштей сызылған шеңберлер, 35FBE∠ = ° .Табу керек: ABC∠ .

7. Дәлелде:

а) егер іштей сызылған және сырттай сызылған шеңберлердің центрлері сәйкес келсе, онда бұл үшбұрыш теңқабырғалы болады;ә) егер іштей сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың биіктігінде жатса, онда бұл үшбұрыш теңбүйірлі болады.

textbo

oks n

is ed

u kz

169

5.12 Тікбұрышты үшбұрыш салу 1. Циркуль мен сызғыштың көмегімен катеттерінің бірі 3 см-ге, ал екіншісі 4 см-ге тең болатын тікбұрышты үшбұрыш сал.

2. Берілген гипотенузасы мен катеті бойынша Арман тік- бұрышты үшбұрыш салды. Ол салудың екі тәсілін қолданды. Оның салуына талдау жаса. Сәйкес жазбалар жаса.

1-тәсіл.

Берілгені: a — катет, c — гипотенуза,

90C∠ = ° .

Салу керек: ABC тікбұрышты үшбұрышын.

Салу:

1. 2.

3. 4.

Дәлелдеу:

Тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі гипотенузаның ортасында жатады.


textbo

oks n

is ed

u kz

170

2-тәсіл.

1.

2.

m M

3. 4.

D

C

m M

m1 = 90o

Зерттеуді және дәлелдеуді өзің орында.

3. Циркуль мен сызғыштың көмегімен тікбұрышты үшбұрыш сал:

а) гипотенузасы мен сүйір бұрышы бойынша;ә) катеті мен оған іргелес сүйір бұрышы бойынша;б) катеті мен оған қарсы жатқан сүйір бұрышы бойынша.

4. Тікбұрышты үшбұрыш салуға бола ма:

а) екі тең кесінді бойынша;ә) бұрыштарының біреуі 30о-қа тең болатындай;б) бұрыштарының біреуі 45о-қа тең болатындай?

Салудың мысалдарын келтір.

Тұжырым Негіздеу

m⊥n салу бойынша, демек С бұрышы — тік;

ВС = b ВС — 1 ( ; )C aω шеңберінің радиусы болғандықтан;

ВА = с ВA — 1 ( ; )C aω шеңберінің радиусы болғандықтан;

Демек, салынған АВС и АВС1 үшбұрыштарының әрқайсысы — ізделінді үшбұрыш.

Зерттеу. АВС және АВС1 үшбұрыштары гипотенуза және катет бойынша тең үшбұрыштар

болғандықтан есептің жалғыз шешімі бар.

textbo

oks n

is ed

u kz

171

5.13 Берілген элементтері бойынша үшбұрыш салу

Сен берілген үш қабырғасы бойынша үшбұрыш сала аласың. Сойдай ақ, сен берілген бұрышқа тең бұрышты қалай салу керек екенін білесің. Осы білгендеріңді үшбұрыш салу үшін қалай пайдалануға болатынын қарастырайық.

1. Берілген элементтері бойынша үшбұрыш салып, бос орындарды толтыр: а) екі b және c қабырғалары мен олардың арасындағы α бұрышы бойынша үшбұрыш сал.

Берілгені: α — үшбұрыштың бұрышы,a, b — үшбұрыштың қабырғалары. Салу керек: берілген элементтері бойынша АВС үшбұрышын.

… түзуінде А нүктесін белгілеп, … тең … кесіндіні өлшеп саламыз.

А нүктесінен … тең болатын бұрышты өлшеп саламыз.

( ); A R bω = шеңберін саламыз. Бұл шең-

бер үшбұрыштың қабырғасын С нүкте- сінде қиып өтеді.

С және В нүктелерін … кесіндісімен жалғастырамыз.

Ізделінді ABC үшбұрышы пайда болды.

textbo

oks n

is ed

u kz

172

ә) с қабырғасы және оған іргелес жатқан α және β бұрыштары бойынша үшбұрыш сал.

Берілгені: , α β — үшбұрыштың бұрышы, с — үшбұрыштың қабырғалары.Салу керек: берілген элементтері бойынша ABC∆ үшбұрышын.

… түзуінде A нүктесін белгілеп, … тең … кесіндіні өлшеп саламыз

Төбесі … болатындай етіп берілген α бұрышына тең … саламыз.

Төбесі В нүктесінде болатындай етіп берілген β бұрышына тең бұрыш саламыз.

АС және ВС сәулелері қиылысатын нүктені С деп белгілейміз

Ізделіндіні ABC… аламыз.

2. Теңбүйірлі үшбұрыш сал:

а) бүйір қабырғасы және төбесіндегі бұрышы бойынша;ә) табаны және табанындағы бұрышы бойынша;б) бүйір қабырғасы және табанына жүргізілген биіктігі бойынша.

textbo

oks n

is ed

u kz

173


1. Сызбамен жұмыс істе және көрсет:

а) шеңбердің центрін; ә) шеңбердің радиустерін;

б) шеңбердің диаметрін; в) шеңберді қиюшы түзуді;

г) шеңберге жанаманы;ғ) шеңбер сырттай сызылған үшбұрышты;

д) шеңберге сырттай сызылған үшбұрышты;

е) шеңберде жатқан нүктелерді;

ж) шеңберге тиіс емес нүктелерді;

з) шеңбермен шектелген дөңгелектің ішінде жатқан нүктелерді.

2. Центрі Q нүктесінде болатын ω шеңбері берілген. Дұрыс тұжырымдарды көрсет. Жауабыңды негізде.

а) AQ+QB>AB; ә) AQ=DQ, BQ=QC;б) DQ+QC>AB; в) DC>AB.

3. Дайын сызбаларды қолданып есептерді шығар.

а) Берілгені: 9 24AB x= − Табу керек: OC.

ә) Берілгені: 1.MK MO= = Табу керек:

, , ,

( )M O K

P OMK∠ ∠ ∠

∆

б) Берілгені: 1.MK MP MO= = = Табу керек:

, , ,

( )M K P

P MKOP∠ ∠ ∠

4. ω1(O, R = 9 см), ω

2(P; R = 18 см), ω

3(S, R = 8 см) үш шеңбер берілген. Шеңберлердің

центрлері екі параллель түзулер арасында жатыр. Түзулердің арақашықтығы 18 см-ге тең. Сен қалай ойлайсың, шеңберлердің қайсысының:

а) екі қиюшы түзуі бар;ә) екі жанамасы бар;б) түзулермен ортақ нүктелері жоқ?

Жауабыңды негізде.

textbo

oks n

is ed

u kz

174

5. Екі 1 2, 9 , ( ) ( , 1 )5O R P Rω ω= = шеңбер берілген. Бұл шеңберлер өзара қалай орналасуы мүмкін, егер олардың центрлерінің арақашықтығы тең болса:

а) 0; ә) 30; б) 24; в) 20;

6. Әлия екі 1 2, 12 ,( ) ( 1 ) 2R PO Rω ω= = шеңбержәне OP = 24 кесіндісін сызды. Сосын ОР

кесіндісіне a орта перпендикулярын жүргізді. а түзуі мен 2ω шеңберінің өзара орналасуы

туралы не айтуға болады? 1ω шеңберінің a түзуімен ортақ нүктесі болмау үшін оның радиусы неге тең болуы керек?

7. Суретпен жұмыс істеп сұрақтарға жауап бер. Жауаптарыңды негізде.

1. ( 90 ), ( = = ),ABC C MHK MH HK MK∆ ∠ = ° ∆

||AB MK , 30A∠ = ° .

а) шеңбердің центрі қайда орналасқан?ә) CB және KH хордалары қалай орналасқан? б) AC және MH хордалары қалай орналасқан?в) HPT үшбұрышының түрі қандай?г) ATE үшбұрышының түрі қандай?

2. ( 90 ),

.ABC C

AC CB∆ ∠ = °

=

а) СОВ бұрышы неге тең?ә) АОВ үшбұрышының түрі қандай?б) ЕОС үшбұрышының бұрыштары неге тең?в) ЕО және СВ түзулері қалай орналасқан?

textbo

oks n

is ed

u kz

175



а) A нүктесінен шеңберге АВ жанама және АС қиюшы жүргізілген. ABO жән ABC үшбұрыштарының бұрыштарын тап, егер АВ=ВО болса.

ә) M нүктесінен ( , 11)P Rω = шеңберіне MC⊥MH болатын MC және MH екі жа-нама жүргізілген. MC және HP кесін-ділерінің ұзындықтарын тап.

2. Теңбүйірлі ABC үшбұрышына іштей шеңбер сызылған. АВС үшбұрышының периме-трін табу керек, егер жанасу нүктесі бүйір қабырғасын 6см-ге және 8 см-ге тең кесінділерге бөлетін болса.

3. Циркуль мен сызғыштың көмегімен салуларды орында.

а) берілген бұрышқа тең болатын бұрыш сал.ә) шеңбердің центрі бұрыштың төбесінен 5 см-ге қашық жататын, бұрыштардың қабырғала-рына жанасатын шеңбер сал.

4. Циркуль мен сызғыштың көмегімен салуларды орында.

Берілген а катеті b катетінен екі есе үлкен болатындай етіп тікбұрышты үшбұрыш сал.

а катеті берілген с гипотенузасынан екі есе кіші болатындай етіп тікбұрышты үшбұрыш сал.

5. Екі параллель түзулер берілген. Осы түзулерден бір-дей қашықтықта орналасқан үшінші түзуді сал.

textbo

oks n

is ed

u kz

176

6. Сызбаны қалпына келтір.Арман суретте көрсетілгендей теңқабырғалы үшбұрыш салды және оның бір бөлігін

өшіріп тастады. Ол енді үшбұрышты қалай қалпына келтіре алады?

7. Сызбаны қалпына келтір.

Арман ABC бұрышын салды және оның BD биссектрисасын жүргізді. .

Сосын BC сәулесін өшіріп тастады.

Сосын BA сәулесін өшіріп тастады.

Әр жағдай үшін бұрышты қалпына келтір.

8. Арман шеңбер салды, бірақ оның центрін байқамай өшіріп тастады. Сен оны қайта қалпына келтіре аласың ба?

textbo

oks n

is ed

u kz

177

Шеңбер, дөңгелек және олардың элементтері

Шеңбер деп..... атайды

Дөңгелек деп........ атайды

Шеңбердің радиусы деп..... атайды

Дөңгелектің радиусы деп..... атайды

Хорда деп....кесіндіні атайды

Шеңбердің доғасы деп...атайды

Дөңгелектің секторы деп....атайды.

Егер диаметр хордаға перпендикуляр болса, онда … .

Түзу мен шеңбердің өзара орналасуы

Шеңбер мен түзу қиылыспайды, егер...

Түзу мен шеңбердің бір ортақ нүктесі бар, егер ...

Түзу мен шеңбердің екі ортақ нүктесі бар, егер ...

Қиюшы деп ... атайды

Жанама деп … атайды.

Екі шеңбердің өзара орналасуы

Екі шеңбер қиылыспайды, егер...

Екі шеңбер жанасады, егер...

Екі шеңбер сырттай жанасады, егер...

Екі шеңбер іштей жанасады, егер...

Екі шеңбер қиылысады, егер … .

Іштей және сырттай сызылған шеңберлер

Шеңбер үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер деп аталады, егер...

Шеңбер үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер деп аталады, егер...

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі ... болып табылады.

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі ... болып табылады.

НГО. Салу есептері.

Нүктелердің геометриялық орны – бұл...

Салу есебі...тұрады.

Шең

бер,

дөң

геле

к, с

алу

есеп

тері

, НГО


Сөйлемдерді аяқтау арқылы сен дөңгелек, шеңбер, салу есептері және нүктелердің геометриялық орны туралы оқып білгеніңді қайталайсың.

textbo

oks n

is ed

u kz

178

Өткендерді қайталауға көмектесетін сұрақтар.

Келесі сөздерді кем дегенде бір рет қолданып, сөйлемдер құрастыр:• циркуль;• сырттай сызылған шеңбер;• іштей сызылған шеңбер;• сектор;• хорда;• сегмент; • радиус;• шеңбер;• дөңгелек.

1. Суреттермен жұмыс жасап, кестені толтыр:

K 1-сурет 2-сурет

радиус диаметр хорда центр сектор сегмент

Шеңбер

Дөңгелек

2. Дамир центрі O нүктесі болатын шеңбер салды және MN және KP диаметрлерін жүргізді. MK=NP екені дұрыс па? Жауабыңды негізде.

3. Дайын сызбаларды қолданып есептерді шығар.

а)

Табу керек: BDO∠ .

ә)

Берілгені: KM=15. Табу керек: FE.

textbo

oks n

is ed

u kz

179


4. Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы іштей сызылған шеңбердің жанасу нүк-тесінде бұрыштың төбесінен санағанда 3:2 қатынасында бөлінеді. Үшбұрыштың бүйір қабырғасын тап, егер оның периметрі 81 см-ге тең екені белгілі болса.

5. Дайын сызбаларады қолданып есептерді шығар.

а) Берілгені: 1 2( ;6), ( ; ),60 .

O O rKMP

ω ω∠ = °

Табу керек: OK.

ә) Берілгені: ( ) 18P MBC = .

Табу керек: MN.

6. Циркуль мен сызғыштың көмегімен салуларды орында:а) гипотензаға жүргізілген биіктігі мен катеті бойынша тікбұрышты үшбұрышты сал;ә) медианасы бойынша теңқабырғалы үшбұрышты сал.

textbo

oks n

is ed

u kz

180


1. Сенің алдыңда шолу дөңгелегінің математикалық моделі. Оны қолдана отырып, ата:

а) шеңбердің центрін;ә) шеңбердің радиусын;б) шеңбердің диаметрін;в) шеңбердің хордасын.

Осы шеңберге іштей сызуға болатын барлық үшбұрыш- тарды тап. Олардың ішінен тікбұрыштыларын көрсет.


а) Берілгені: 56BAD∠ = ° . Табу керек: CDA∠ .

ә) Берілгені: || ,

7.BC DEBC =

Табу керек: DE.

3. Циркуль мен сызғыштың көмегімен салуды орында.

Үшбұрыштың табанына жүргізілген медиана мен бүйір қабырғасы бойынша теңбүйір- лі үшбұрышты сал.

4. Кез келген радиусты шеңбер сыз. Шеңберде берілген түзуден бірдей қашық жатқан нүктелерді белгіле. Сенде қанша шешім шықты? tex

tbook

s nis

edu k

z

181

6 Алгебралық бөлшектер

Мен осы тарауды меңгере отырып: қандай бөлшек алгебралық бөлшек деп

аталатынын; алгебралық бөлшектің мүмкін мәндерінің

облысы дегеніміз не екенін; алгебралық бөлшекті қысқартуды қалай

орындауды білемін.

алгебралық бөлшектің айнымалыларының мүмкін мәндерінің облыстарын табуды;

алгебралық бөлшектерді түрлендіргенде және қысқартқанда алгебралық бөлшектің негізгі қасиетін қолдануды;

алгебралық бөлшектермен қосу, азайту, көбейту және бөлу амалдарын орындауды;

құрамында алгебралық бөлшектер бар өрнектерді ықшамдауды.

алгебралық бөлшектер бар тепе–теңдік- терді дәлелдеуді үйренемін.

Алгебралық өрнектер

С

А

Н

Д

Ы

Ә

Р

І

П

Т

І

Бөлшектердің ортақ бөлімін тап:

8

11 x+

, 4

11 x+

,

2

11 x+

, 1

1 x+,

11 x−

.

ab

тап, егер 3 5a b

b+

= .

х айнымалының барлық мәндерін

тап, егер 2

85x

x−+

= 0.Өрнекті ықшамда

2

2

xxx xx xx

−−

+−

.tex

tbook

s nis

edu k

z

182

Сен өрнектің санды немесе әріпті (кейде оларды айнымалысы бар өрнектер деп атайды) болатынын білесің, ал бұл өрнектертің барлығы алгебралық деп аталады.

Өз кезегінде, алгебралық өрнектер бүтін немесе бөлшек түрінде болады. Бөлшек түріндегі алгебралық өрнектер алгебралық бөлшектер деп аталады.

1. Марат тақтаның сол және оң жақтарына алгебралық өрнектерді жазды:

21 2, , , 2 1.2 5 3

c bx y y+− +

2

2 5 3 1, , , .2 2 1x c b y y+ − +

Бұл өрнектердің ұқсастықтары мен айырмашылықтары неде? Жазылған өрнектердің қайсылары бүтін, қайсылары бөлшек? Сен неге солай ойлайсың? Жауабыңды негізде.

Бүтін алгебралық өрнек деп құрамында тек қана қосу, азайту және көбейту амалдары бар алгебралық өрнекті айтады.

Бөлшек алгебралық өрнек деп құрамында әріпті өрнекке бөлу амалы бар алгебралық өрнекті айтады.

2. Төменде келтірілген өрнектердің қайсылары бүтін алгебралық өрнектер, ал қайсы-лары бөлшек өрнектер? Неліктен?

а) 3 2( 3) ;aa

− − ә) 22 3 ;

7 4a

+ б) 56 ;by в) 2 ;

3 4z − г)

3 ;3

xx

−+

ғ) ;4cz d−

д) 2 32 ;

3a b е)

4 5 ;7

x xy− ж)

3

5

5 ;9

xy

з) 31 ;

6x y и) 2 2

7a b−

; к) 2( ) 4 .x y xy− −

Алымы мен бөлімі көпмүше болатын бөлшек түрінде берілген алгебра-лық өрнекті алгебралық бөлшек деп атайды.

3. Берілген алгебралық өрнектер алгебралық бөлшектер болады ма? Неге? Жауабыңды негізде.

а) 3b

; ә) ;x yz+

б) 2 2

;6

x y+ в) ;

5x y a−

− г) ( ) ;( )

a x yb x y

−+

ғ) 3 2

3

4 ;6

a bc+ −

+ д) 32

m npm

+

; е)

a cb

acb

+

−.

6.1 Алгебралық бөлшектер

textbo

oks n

is ed

u kz

183


4. Алгебралық бөлшекті жаз:

а) алымы х және у айнымалыларының квад- раттарының қосындысына тең, бөлімі — осы ай- нымалылардың қосындысына тең болатын;

б) алымы a және b айнымалыларының кубта- рының айырмасына тең, бөлімі — осы айныма- лылардың кубтарының қосындысына тең бо- латын;

в) алымы m және n айнымалыларының айырма- сының квадратына тең, бөлімі — осы айныма- лылардың екі еселенген көбейтіндісіне тең бо- латын.

5. Айнымалылардың берілген мәндері үшін алгебралық бөлшектің мәнін тап:

а) 9

a b−; 2,5; 6,5;a b= =− 7 5 ; ;

6 6a b= =−

ә) 3 5

2x yx

+−

; 2 3 ; ;3 5

x y= = − 11,2; 5,6;x y= − =

б) 2 3

5m nn m

−−

; 24,5; ;3

m n= = − 1 1; .2 3

m n= =

6. Алгебралық бөлшектің мәнін тап және кестені толтыр. Сен мұны әрқашан орындай аласың ба? Жауабыңды негізде.

4a = − 3a = − 0a = 3a = 4a = 9a =

а)5

3a −

ә)6

4a

a −

б) 2

39

aa

−−

7. Келесі шаманы табу үшін математикалық модель құрастыр:

а) қабырғасы 3х+1 м-ге тең болатын шаршының ауданын;ә) ауданы S дм2, ал екінші қабырғасының ұзындығы х дм-ге тең болатын тіктөрт-

бұрыштың қабырғаларын;б) қабырғалары 2x – 5, 3x + 1 және 4x + 2 болатын үшбұрыштың периметрін.

AB

түріндегі өрнек алгебралық бөлшек деп аталады,

мұнда A мен B — көпмүшелер және 0B ≠

Алгебралық өрнек алгебралық

бөлшекболып табылады

алгебралық бөлшек емес

болып табылады

a ba b

+−

2a c−

2 2

5m n

m+

х+5

7x −

3

2

3yx −

textbo

oks n

is ed

u kz

184

6.2 Алгебралық бөлшектер. Есептер шығару

Алгебралық бөлшектің мағынасы болуы үшін оның бөлімі нөлден өзге болуы қажет. Айнымалының мүмкін мәндері деп алгебралық бөлшектің мағынасы бар болатын айны-малының мәндерін айтады. 1. Алгебралық бөлшектер үшін x айнымалының мүмкін мәндерін тап:

2

2 2

3 ; ;3 62 5; ;

3 12 53 6; ;

4 ( 1)( 5)3 6;

4 25 4 48 7 ; .

2

xx xx xx x

x x xx x

x x x

x x a

− −− +− −

− − +−

− − +

− −

2. Келесі шартты қанағаттандыратын алгебралық бөлшек құрастыр:а) айнымалының мәні 5-ке тең болғанда оның мағынасы болмайды;ә) айнымалының мәні 0-ге немесе – 3-ке тең болғанда оның мағынасы болмайды;б) айнымалының ешқандай мәнінде оның мағынасы болмайды;в) айнымалының кез келген мәнінде оның мағынасы болады.

Алгебралық бөлшектің мағынасы болатындай айнымалының мән- дерінің жиыны, осы бөлшектің мүмкін мәндер облысын құрайды (ММО).

3. Кестені толтыр:

ӨрнекАйнымалының мүмкін

мәндеріАйнымалының мүмкін мәндер

жиынының графикалық кескіні:

а)6

9x − 9x ≠

ә)9

6x −

б) 3x

x +

в)3x

x+

Мысал:

3

( 1)( 5)x x− −

үшінx айнымалының x=1 және x=5 мәндерінен басқа барлық мәндері мүмкін мәндер болып табылады.

Егер x = 1 және x = 5 болса, онда бөлшектің мағынасы болмайды.

а)

б)

г)

д)

ж)

ә)

в)

ғ)

е)

з)

textbo

oks n

is ed

u kz

185


г) 3 6x

x −

ғ)7

( 4)( 5)x x− +

д)4

| | 5x −

4. Берілген –5, –4, 0, 4, 5, 16 сандарының қайсылары 2

4( 16)( 5)

xx x

−− −

алгебралық

бөлшегінің мүмкін мәндер облысына кіреді?

5. Алгебралық өрнектің мүмкін мәндер облысын тап:

а) 2 2 3x x− + ; ә) 2

34x +

; б)

3 2

3xx

−

−;

в) 4

( 4)( 6)x

x x− +; г)

366x −

; ғ) 9

9x +.

6. Айнымалының қандай мәндерінде алгебралық бөлшектің мәні берілген санға тең болады:

а) 3

7x +

мәні 5-ке тең; ә) 7

4p −

мәні –6-ға тең;

б) 6

3y − мәні 4-ке тең; в)

53 z+

мәні –9-ға тең?

7. Айнымалының қандай мәндерінде алгебралық бөлшектің мәні нөлге тең болады?

а) 62

xx −

; ә) 3

7x −; б)

2 253

bb

−−

; в) 2 4

4xx

++

; г) 2 25

5bb

−−

;

ғ) 2

39

xx

−−

; д) 2

44

xx

++

; е) 22

xx

−−

; ж) 2

26

xx x−

.


а) 5 0

64x −

= ; ә) 8 0x

x−

= ; б) 4 9 0

9xx

−=

−;

в) 2 25 0x x

x−

= ; г) 2 4 0xx+

= ; ғ) 2

2 4 04

xx

−=

−.

9. Айнымалының қандай мәндерінде тұжырым дұрыс:

а) 0mn

= ; ә) 1mn

= ; б) 1mn

= − ; в) 0mn

< ; г) 0mn

> .

Егер бөлшектің алымы нөлге тең болса, онда алгебралық бөлшек нөлге тең болады.

0AB

= , егер А=0 және В 0≠ , мұндағы А және В —

көпмүшелер.

textbo

oks n

is ed

u kz

186

6.3 Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті

Сен жай бөлшектермен жұмыс істегендегі тәжірибеңнен білесің — олардың бірқатар қасиеттері бар екенін. Сол қасиеттерді алгебралық бөлшектерге қатысты қолдана ала- мыз ба, қарастырып көрейік.

1. «Жұбын тап». Кестенің бірінші жолында жазылған әр бөлшекке екінші жолдан осы бөлшекке тең болатын бөлшекті тап. Сен бөлшектің қандай қасиетін қолдандың?

318

67

436

27

125325

19

1863

513

7284

16

2bb

cdce

am 2

k 3

2

24cbb

2cb 2a

am( )2( )m n km n+

+de

12

Алгебралық бөлшектер үшін бөлшектің негізгі қасиеті орындалады:

Егер алгебралық бөлшектің алымы мен бө- лімін нөлден өзге қандай да бір көпмүшеге көбейтсе немесе бөлсе, онда осы бөлшекке тең бөлшек шығады.

Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті

,A A C ACB B C BC

⋅= =

⋅

A, B, C — көпмүшелер, B≠0, С≠0

2. Төменде берілген бөлшектер қалай ортақ бөлімге келтірілгенін тұжырымда:

а) 37

xy

= ...

35y=

23...x

; ә) 24xy

=...ax

= 2 2

...4b y

; б) a ba b

−+

= 2 2

...a b−

=2 2

...a b−

.

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтірудің негізінде бөлшектің негізгі қасиеті жатыр. Алгебралық бөлшектерді ортақ бөлімге қалай келтіруге болатынын қарастырайық.

3. Төменде берілген бөлшектер қалай ортақ бөлімге келтірілгенін тұжырымда:

4. Келесі бөлшектерді 2

78

yx

, 5

2xy, 2 2

34x y

, 3

8xy

бөлімі 3 416x y болатын бөлшек түріне келтір .

\2\1 51 ;36 181 10 .

36 36

\2\1 51 ;36 181 10 .

36 36

\\

2 2

2 2 2 2

52 ;

2 5 .

ba

ab a ba b

a b a b

\\

2 2

2 2 2 2

52 ;

2 5 .

ba

ab a ba b

a b a b

\1\

2

2 2

52 ;( )

2( ) 5 .( ) ( )

a b

a b a ba b

a b a b

+

+ ++

+ +

\1\

2

2 2

52 ;( )

2( ) 5 .( ) ( )

a b

a b a ba b

a b a b

+

+ ++

+ +

textbo

oks n

is ed

u kz

187


Алгебралық бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру алгоритмі:1. Бөлшектердің бөлімдерін көбейткіштерге жікте.2. Берілген бөлшектердің ортақ бөлімін тап.3. Әр бөлшек үшін толықтауыш көбейткішті тап.4. Әрбір бөлшектің алымын оның толықтауыш көбейткішіне көбейт.5. Әрбір бөлшекті табылған алымы және ортақ бөлім арқылы жаз.

5. Алгоритмді қолданып, алгебралық бөлшектерді ортақ бөлімге келтір:

а) 35x

және 23y

; ә) 12ab

және 2

163b−

; б) 6

5x;

32xa

және 8

3b−

; в) 23xy

және 2

34xy

;

г) 2

25a b−

; 4

15ac және 2

320ab

−; ғ)

8x y−

және 9

y x−; д)

x yx y x y

−+

− +;

е) 2 3;

5 4 4 5a b

a b b a+ − және 2 2

425 16

aa b−

; ж) 2 2

5a b−

және 2 2

32a ab b+ +

.

6. Алгебралық өрнектерді бөлімдері бірдей бөлшектер түріне келтір:

а) 1 1,

( )( ) ( )( )x y y z y z x z− − − − және

1( )( )z x y x− −

; ә) 2

34 1

xx −

және 2

12

xx x

++

;

б) 2 2

1 , xyx y x y− −

және 2 2

22

xx xy y− +

; в) 2 2

22a ab b− +

және 2 2

4a b−

;

г) 3 3

2 3, xyx y x y− −

және 2 2

5yx xy y+ +

; ғ) 6

x y−, 2 2

3x y−

және 3 3

6x y−

,

д) 2

x yx xy

−+

, 2

xy xy+

және 2

3 2

yx xy−

; е) 2 2

39 24 16

x yx xy y

+− +

, 2 2

29 24 16

xyx xy y+ +

және 2 2

39 16

yx y−

.

7. Қысқаша көбейту формулаларын қолданып, бөлшектерді ортақ бөлімге келтір:

8

11 x+

, 4

11 x+

, 2

11 x+

, 1

1 x+,

11 x−

.

8. Айнымалының мәнін тап немесе a-ны өрнекте:

а) 59 27

a−= ; ә)

713 52

a−= − ; б)

2y ac yc

−= ; в)

2x xb a

− = ; г) 3

xy yx z a−

= − .

9. А және В — көпмүшелер. Келесі теңдіктер дұрыс па? Неліктен? Жауабыңды негізде.

а) A A

B B−

= − ; ә) A A

B B−

= −−

; б) A AB B

−= −

−; в)

A AB B

−= − .

10. Арман алгебралық бөлшектер үшін келесі теңдіктер орындалады деген тұжырым жасады:

A B B AC D D C

− −=

− −=

A B B AD C C D

− −− = −

− −.

Арманның тұжырымы дұрыс па? Жауабыңды негізде.

textbo

oks n

is ed

u kz

188

6.4 Алгебралық бөлшектерді қысқарту

Алгебралық бөлшектердің негізгі қасиетін қолдана отырып, сен бөлшекті ортақ бөлімге келтіріп қана қоймай, сондай-ақ алгебралық бөлшектерді қысқарта да аласың. Бұл үшін алдын ала алым мен бөлімді көбейткіштерге жіктеу қажет (егер ол мүмкін болса) және содан кейін мүмкін болатын қысқартуларды орындау керек.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің қандай тәсілдерін білесің?

1. Алгебралық бөлшектерді қысқартуды орында:

а) 38 ;76

ә) 1664

mn

; б) 6( 1)

54( 1)mm

++

; в) 5( )7( )

a ba b+

− +; г)

6 ( )11( )x y z

y z++

; ғ) 4 ( )

12 ( )( )m x y

m x y x y+

+ −;

д) 3( )a b

b a−

−; е)

20( )15( )

x yy x

−−

; ж)2( )n m

m n−−

; з) 2( )a ba b

−−

; и) 2

3 2

7 ( )35 ( )

x y zx y z

−−

; к) 3 2

2 4 2

27 ( )81 ( )

a b a ba b a b

−−

.

2. Бөлшекті қысқарт:

а) 5 4

3 6

12525

a ba b

; ә) 5 4

3 6

125( )25

a ba b−

; б) 327aba

; в) 34

12yyz

; г) 3 2

763

xyx y

− ; ғ) 4 3

3 2

8127

m nm n

.

3. Ерлан тақтаға бөлшектерді қысқарту мысалдарын жазды. Оның шешімін тұжырымда. Ол бәрін дұрыс орындады ма?

а) mn k n k

mt t− −

= ; ә) 3

2

4 2 27 6 7 6x x x xx x

+ += = +

− −.

4. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарып, бөлшекті қысқарт:

а) 7

14 21x

x y−; ә)

8 1612 32

x aax a

−+

;

б) 3 2

2 3

5a a ba x a y

−+

; в) 2 2 2

1212

x xyx y x y

−−

;


а) 2 164

xx

−−

; ә) 2

2

64( 8)mm

−−

; б) 2 2 1

1x x

x− +

−;

в) 2 2

2 2

10 2525

a ab ba b

+ +−

; г) 3 3x y

cx cy−−

; ғ) 2 2

3 3

x xy yax ay

+ +−

.

Мысал:Өрнекті ықшамда

2 2

2 2

2a ab bb a− +

−.

2 2

2 2

2a ab bb a− +

−=

2( )( )( )

a bb a b a

−− +

=

=2( )

( )( )b a

b a b a−

− +b a b ab a a b

− −= =

+ +.

textbo

oks n

is ed

u kz

189


6. Алгебралық бөлшектің мәні a және b айнымалыларына тәуелді емес екенін дәлелде:

а) ax ay bx by

a b− + −

+; ә)

3 33 3

a ba b ax bx

++ + +

; б) ax ay bx byax ay bx by

− − ++ − −

.

7. Бөлшектерді қысқарт. Көбейткіштерге жіктеудің қандай тәсілдерін қолдандың?

а) 2 2

2

m nm mn

−+

; ә) 2

2

5 208 16

x xx x

−− +

;

б) ax ay bx by

x y− − +

−; в)

2 2

25 2 5 2p q

p p q pq−

− + −.

8. Бөлшекті қысқарт:

а) 2 2

1 12 3

2 323 2

x y

y xy x

+

+ +; ә)

2 2

1 1 1 148 36 48 36

1 116 9

m n m n

m n

− +

−.

9. Арман бес минут ішінде бес келесідей бөлшек жаза аламын дейді:

а) бөлімі а–3, болатын және қысқартылатын бөл- шектерді;

ә) қысқартқаннан кейін 2

2a − бөлшегіне тең болатын

бөлшектерді;

Сен де осыны орындай аласың ба?

10. Бөлшекті қысқарт және оның сандық мәнін тап:

а) 2 14 49

7a a

ab b− +

−, мұнда a = –2, b=3; ә)

2

2

2 156 9

a aa a

− −+ +

, мұнда 152

a = ;

б) 3 2 2

3 3

x x y xyx y

− ++

, мұнда 2 , 0, 25

x y= = .

11. Бөлшектерді қысқарт:

а) 36x

x; ә) 3

3 xx

; б) 55

xx

−−

.

12. р–ның қандай мәндерінде 2 81yy p

−−

бөлшегі қысқартылатын бөлшек болады?

Мысалдар:

2 2

1 13 2

1 1 14 6 3

a b

a ab b

−

− +=

2 2

1 1123 2

1 1 1124 6 3

a b

a ab b

− = =

− +

= 2 2

4 63 2 4

a ba ab b

−− +

.

textbo

oks n

is ed

u kz

190

6.5 Алгебралық бөлшектерге амалдар қолдану

Бөлімдері бірдей жай бөлшектерді қосқанда олардың алымдары қосылатынын, ал бөлім өзгеріссіз қалатынын сен білесің.

Бөлімдері бірдей алгебралық бөлшектерді қосу және азайту амалдары да жай бөлшектерді қосу және азайту ере- желері бойынша орындалады.

1. Марат бірнеше жаттығу тапсырмаларын орындадыды. Олар дұрыс орындалды ма? Жауабыңды негізде.

а) x y x yz z z

++ = ; ә)

2 5 33 3 3

x y x ya a a− + − +

− = ; б) 2 2 2 22m n m n m n m n n

z m z m z m z m+ − − + −

− + =+ + + +

.

2. Амалдарды орында:

а) 5 3a b

c−

− a b

c−

; ә) 6 15 5

b ba a

+ −+

− −; б)

3 412x y

xy−

+ 5 412x y

xy−

; в) 3 3

m nx x

+− −

;

г) 2 16

3 12xx

+−

−

83 12

xx −

; ғ) 2a bx a bx

b b− −

− ; д) 2 2 2 2

x y x yx z z x

+ −−

− − е) 3 3

10 3x y x ya a

− −− .

3. Келесі өрнектерді бөлімдері бірдей алгебралық бөлшектердің қосындысы және айырымы түріне келтір:

а) 4 2

3p q−

; ә) 2 3

5m n

k+

; б) 27 5 2x xy y

x y+ −

−; в)

2 4 8a aa

− +.

4. Айнымалылардың берілген мәндеріне сәйкес өрнектің мәнін тап:

а) 7

2 2x

y y−

− −, мұнда x=9 және y=2,5; ә) 2 2

4 464 64

xx x

++

− −, мұнда 8,1x = ;

б) 2 16 8

4 4x xx x

+−

− −, мұнда 4,5x = ; в)

2 3 63 3

xx x

−−

− −, мұнда 3,5x = − ;

г) 2 2

3 3 3 3

x xy yx y x y

++

− −, мұнда x=–0,25 және y=–0,25.

5. х айнымалының кез келген мәні үшін 2 2

2 2

33 3

x xx x

−−

+ + өрнегінің мәні оң сан болатынын

дәлелде.

A B A BC C C

++ = ;

A B A BC C C

−− = ,

мұндағы А, В, С —көпмүшелер, С 0≠ .

textbo

oks n

is ed

u kz

191


Мысалдар:

2 2

2 2 2 2 2

7 7 71

3 1 3 1 3 11

a aa a a a

a a a aa a a a a a

−= − = −

+ −= + − = + −

6. Берілген бөлшекті бүтін өрнек пен алгебралық бөлшектің қосындысы немесе айырымы түріне келтір:

а) 2

2

z kk+

; ә) 2 2 6m mn

m+ −

; б) 22 8 7a a

a+ −

.

7. 5a ba+

= теңдігі орындалатыны белгілі.

Алгебралық бөлшектің мәнін тап:

а) ba

; ә) ab

; б) a b

b−

; в) a b

a−

.

8. n айнымалының қандай натурал мәндері үшін берілген бөлшектің қабылдайтын мәндері натурал сандар болатынын тап.

а) 16n

n+

; ә) 7 5n

n−

; б) 2 4 6n n

n+ −

.

9. Есепті математикалық тілге аударып, математикалық модель құрастыр:

а) А пунктінен велосипедші шықты. Сол мезгілде оның соңынан А-дан m километрде орналасқан В пунктінен мотоциклші шықты. Велосипедші n км/сағ жылдамдық- пен, ал мотоциклші p км/сағ жылдамдықпен жүрді. Мотоциклші велопесидшіні А пунктінен қандай қашықтықта қуып жетеді?

ә) Шаршының қабырғасы тіктөртбұрыштың бір қабырғасынан m см-ге қысқа және оның басқа қабырғасынан n см-ге ұзын. Шаршының қабырғасын табыңдар, егер шаршының ауданы тіктөртбұрыштың ауданынан p см2-қа кіші екені белгілі болса.

textbo

oks n

is ed

u kz

192

6.6 Алгебралық бөлшектерге амалдар қолдану

Бөлімдері әртүрлі алгебралық бөлшектерді қалай қосуға және азайтуға болатынын қа-растырайық.

1. Төмендегі тақтада жазылған алгебралық бөлшектерді қосу және азайту амалдарының орындалуына түсіндірмелер жаса. Сен қалай ойлайсың, қосудың және азайтудың тағы қандай жағдайларын қарастыру қажет?

2 2 24 4 (2 )4 4 4

n m m n nm m n mm n mn mn+ + + +

+ = =

2 / 2 2 2 2

2 2 2

2 2 24 2 4 4

aa a a a a a aa a a a

− + − −+ = =

− + − −

/ /

2 2

5 5 5 5 5 5 5( ) 5( ) ( ) ( ) ( )

b a b a a ba ab b ab a a b b a b ab a b ab a b ab

− − −+ = − = = = −

− − − − − −

Бөлімдері әртүрлі алгебралық бөлшектерді қосудың және азайтудың алгоритмін тұжы- рымдамала.

а) Бөлімдері әртүрлі екі алгебралық бөлшекті қосу үшін … керек.

ә) Бөлімдері әртүрлі екі алгебралық бөлшектің бірінен бірін азайту үшін … керек.

2. Алгебралық өрнектің қосындысы мен айырмасын тап:

а) 7 38 4

+ ; ә) 1 532 16

− ; б) m nn m

+ ; в) 12

kp

− ;

г) a axy xz

+ ; ғ) 3 4a bmx nx

− ; д) 5 6

18 81a ab b

+ ; е) 3 4 4 3

7 58 6x y x y

+ ;

ж) 3 5

9 814 21

x ya a

− ; з) a b

a b a b−

− +; и)

a ba b a b

+− +

; к) 2

20,5

xx

−−

.

3. Алгебралық бөлшектердің қосындыларын тауып, кестені толтыр:

+2

x y+6x

x y− 2 2

3xyx y−

5xyx y+

2 2

xx y−

3 3

2yx y−

A C AD BCB D BD

++ = ;

A C AD BCB D BD

−− = ,

мұнда А, В, С — көпмүшелер, В 0≠ , D 0≠ .

Егер алгебралық бөлшектердің бөлімдері көпмүшелер болса, онда

ең кіші ортақ бөлімді табу үшін көпмүшені

көбейткіштерге жіктеуді қолданамыз.

ЕСТЕ САҚТА!textbo

oks n

is ed

u kz

193



а) 2 2 2 2( ) ( )

3 12 4a b a b a b− − +

− − ; ә) 2 2 2

5 7 116 8 12

z xx y zy xz

− + ; б) 2

3 4 54 2 2

x x xa a a

+ −− − +

5. Көрсетілмеген жазбаларды қалпына келтір:

а) 8 5... ( 1)x x

−+

= 2

...( 1)x x −

; ә) 2

6 62 ...

yy y

−+

− = 2

...(4 )y y−

; б) ... ... 1 1 1

2 ... 2aab a ab

+ += + + .

6. «Жұбын тап». Өрнектерді ықшамда және мысал мен оның жауабын бірдей түске боя:

2

2

a xax x x a

+− −

xa x+

2

2 2

2x xx a x a

−− −

2 2

3 3

12( )

x yx y x y

+−

+ +

2 2 3 3

1 yx xy y x y

++ + −

2a y a yx a x a

− −−

− −a

x a− 3 3

xx y−

a xx+ x

a x−

2

2 2

6 2 3x x xa x a x a x

− +− − +

2 2

3 32( )x xy y

x y+ +

+

7. Өрнекті ықшамда және оның мәнін тап:

а) 2

2 18 82 2 4a a a

+ ++ − −

, мұндағы 3;a = −

ә) 2

1 13 6 3 2 2

xx x x

−+

+ + +, мұндағы 1 .x =


Ержан ауылда тұратын әжесінің үйінен ата-анасымен бірге қалаға қайтып келе жатты. Олар алдымен автобуспен υ км/сағ жылдамдықпен а километр, содан соң жылдамдығы m есе артық пойызбен b километр жүрді. Ержан ата–анасымен неше сағат жолда жүрді?

9. Торкөздерді толтыр.

Берілген екі өрнектің қосындысын тап, нәтижесін үшінші торкөзге жаз. Содан кейін соңғы екі өрнектің қосындысын тап, нәтижесін келесі торкөзге жаз. 5-торкөзде қандай өрнек тұрады?

11a +

1

1a −

textbo

oks n

is ed

u kz

194

6.7 Алгебралық бөлшектерге амалдар қолдану. Есептер шығару

Алдыңғы тақырыптарды меңгеру барысында сен алгебралық бөлшектер үшін сандық бөлшектерді қосу және азайту ережелері орындалатынына көз жеткіздің. Сен қалай ойлайсың, сандық бөлшектерді көбейту және бөлу ережелері алгебралық бөлшектер үшін де жұмыс істей ме? Бұл туралы толығырақ әңгіме қозғайық.

1. Сөйлемдерді аяқта:

а) Бір сандық бөлшекті екінші сандық бөлшекке көбейту үшін … керек;ә) Берілген бөлшекке кері бөлшек деп … атайды;б) Екі сандық бөлшектердің бөліндісін табу үшін … керек;в) Алгебралық бөлшекті дәрежеге шығару үшін … керек.

2. Әлия алгебралық бөлшектермен көбейту және бөлу амалдарын орындады. Оның шешімін тұжырымда. Бұл тапсырманы басқаша қалай орындауға болады?

а) 3 2 33 2 3 3 2 3 2

2 2 3

901 6 15 1 6 15 92 5 2 2 5 2 20 2

x y zx y z x y z yzxy z x xy z x x yz

⋅ ⋅⋅ ⋅ = = =

⋅ ⋅;

ә) 2 2 24 4 1 6 3 4 4 1 2 1 (2 1) (2 1) 2 1:4 2 2 1 4 2 6 3 2(2 1) 3(2 1) 6

x x x x x x x x xx x x x x x− + − − + + − + +

= ⋅ = =− + − − − ⋅ −

.

Алгебралық бөлшектердің көбейту және бөлу ережелерін тұжырымда.

Алгебралық бөлшектерді көбейту, бөлу және дәрежеге шығару ережелері.

A C A C ACB D B D BD

⋅⋅ = =

⋅; B, D ≠ 0. :A C A D AD

B D B C BC= ⋅ = ; B, C, D ≠ 0.

:A C A D ADB D B C BC

= ⋅ = ; B, C, D ≠ 0.

n

n

A AB B

= ; B ≠ 0, мұндағы А, В, С, D — көпмүшелер.

3. Амалдарды орында:

а) 8 27

15 20⋅ ; ә)

15 25:7 14

; б) 2

3

248x aba x

⋅ ; в) 2 3

4

455

x xa a

⋅ ;

г) 2 2

2 2

4 721 16

pq aba b p q

⋅ ; ғ) 4

2 3

12 16:25 15

x xy y

; д) 215 : 25

64xy yz

; е) 3

22

312 :4mm nn

;

ж) 2 2

2 :125 5x y x y

xy xy− −

; з) 3 2

2

927

a ab aa a b

−⋅

−; и)

3

2 2 2 2

17( ) ( ):4( )

x y x yx y x y

− −+ +

; к) 2 2

2 2 :125 5x y x y

x y xy− −

.

textbo

oks n

is ed

u kz

195

Математика4. Өрнекті ықшамда. Сен алгебралық бөлшектерге амалдарды қолданудың қандай

ережелерін пайдаландың?

а) 2

2 2

3 ( 4)8 16 9

x xx x x

− +⋅

+ + −; ә)

2 2

2

12 36 ( 6):5 25

y y yy y

− + −+ −

;

б) :ax ay bx bybx by cx cy

− −+ +

; в) 3 3

2 2 2 2

x y x yx xy y x y

+ −⋅

+ + −;

г) 2

2

2 1 1:9 1 81 1

a a aa a

+ + ++ −

; ғ) 3 2 2 3 2 2

3

3 3( )

a a b ab b a ba b a b

+ + + −⋅

− +.

5. Әлия тақтаға екі теңдік жазды және ол теңдіктер дұрыс деп есептейді. Әлиянің ойы дұрыс па? Неге? Жауабыңды негізде.

4 4 3 2 2 2

2 2 2 2

( )a b c c d c a bc d a b c d

− − −⋅ =

− + +,

, ;c d c d≠ ≠ −

2 2 2

2 2 4 5 2 2

1:x xy x y xyx y x y y x y

− −=

+ − −,

, .x y x y≠ ≠ −

6. Көрсетілген амалдарды А, В және С алгебралық бөлшектерге қолдан және кестені толтыр:

A B C A+B A–C A+B–C (A–B)⋅C (A+C):B AB:C

а) xyz

2

2

x yz

3 3

3

x yz

ә)x

x y−y

x y+ 2 2

xyx y−

б)3

a ba− 2ab

a b+ 2 2

aba b−

7. Формуладан айнымалыны айқында және кестені толтыр:

а)Тіктөртбұрыштың ауданы S=ab, мұндағы а және b — тік- төртбұрыштың қабырғалары.

Sab

=Sba

=

ә)Бірқалыпты қозғалыстағы дененің жүріп өткен S жолы S=vt формуласымен анықталады, мұндағы v — дененің жылдамдығы, t — қозғалыстың уақыты.

v = t =

б)Тіктөртбұрыштың P периметрі P=2(a+b) формуласы бо- йынша есептеледі, мұндағы а және b — тіктөртбұрыштың қабырғалары.

a = b =

в) Дененің Р салмағы P mg= , формуласымен есептеледі, мұндағы m — дененің массасы, g — еркін түсу үдеуі.

m = g =

8. Әлия тақтаға төрт көпмүше жазды: 2a ay+ ,

2y , a y+ , y . Осылардың әрқайсысын тура бір рет қолданып және көбейтінділері келесі өрнекке тең болатындай етіп, екі бөлшек жаз:

а) ;ay

ә) ;ya

б) .ay

textbo

oks n

is ed

u kz

196

6.8 Алгебралық бөлшектері бар өрнектерді ықшамдау

Сен осыған дейін алгебралық бөлшектердің қосындысын немесе айырымын, көбейтіндісін немесе бөліндісін ықшамдауға арналған тапсырмаларды орындадың. Енді алгебралық бөлшектермен бірнеше амалдарды қамтитын күрделілеу өрнектерді ықшамдауды қарастырайық.

1. Тоғжан мен Марат өрнекті ықшамдау тапсырмасын әртүрлі тәсілдермен орындады. Тоғжан «амалдар бойынша», ал Марат «тізбек» тәсілімен орындады. Олар өз шешімдерін тақтаға жазды. Балалардың шешімдерін қарастыр және тұжырымда. Қай тәсіл саған көбірек ұнайды? Неге? Жауабыңды негізде

«Амалдар бойынша»

3

1 42 4x x x

− + − : 2

22 2 4

x xx x x

− − + + =

2 :2 x−

1) 3

1 42 4x x x

− =+ −

1 42 (2 )(2 )x x x x

− =+ − +

22 4(2 )(2 )

x xx x x

− −=

+ −

2( 2 4) ;(2 )(2 )x x

x x x− − +

+ −

2) 2

22 2 4

x xx x x

−− =

+ +

22 42 (2 )x xx x− −

=+

2( 2 4) ;2 (2 )x xx x

− − ++

3) 2( 2 4) :

(2 )(2 )x x

x x x− − +

+ −

2( 2 4)2 (2 )x xx x

− − +=

+

2

2

( 2 4) 2 (2 )(2 )(2 ) ( 2 4)x x x x

x x x x x− − + +

⋅ =+ − − − +

= 2

2

( 2 4) 2 (2 ) 2 .(2 )(2 )( 2 4) 2

x x x xx x x x x x− − + ⋅ +

=− + − − + −

«Тізбек»

3

1 4 :2 4x x x

− + − 2

22 2 4

x xx x x

− − + + =

1 4 :2 (2 )(2 )x x x x

− + − +

2( 2) 2( 2)x x

x x x −

− = + +

= 2( 2 4) :

(2 )(2 )x x

x x x− − +

+ −

2( 2 4)2 (2 )x xx x

− − +=

+

2

2

( 2 4) 2 (2 ) 2 .(2 )(2 )( 2 4) 2

x x x xx x x x x x− − + ⋅ +

=− + − − + −

2. Амалдарды орындау ретін көрсет және өрнекті ықшамда:

а) 3 2 2 2

23 2 2

4 22 2

a ab a ab baa a b ab a b

− − +− ⋅

− + −; ә)

2 2 3

2 2 2 2:2

a a a aa b b a a b a b ab

+ − + − + + +

;

б)

3 2 2 2

2

27 9: 33 3 3 3

a a a aa a a a a

− −+ − ⋅ + + + −

; в) 2 2 2 2

2 2 2 2:a b a b a b a ba b a b a b a b

+ − + − − − − + − + ;

textbo

oks n

is ed

u kz

197


г) 2

3 2

2 1 1 511 1 1

a a a a aa a a a a

+ + + + − ⋅ + − − + + + ;

ғ) 2 2

2 2

1 4 3:6 4

a a aa a a

− − + + − −

⋅ 2

33 2

aa a

−+ +

;

д)

2

2 2 2

2 4 2: ;4 16 16 2 4 2 8 2

a a aa a a a a a

− +− − + + − − +

е)

22 22 1 1:2

a ab bab a b

+ + +

; ж) 2 2

2 2 8 3 62 6 3 4 2

a a a aa a a a

− + + ⋅ + − − .

3. Алгебралық өрнектің мәнін тап:

а) :x y x y xy xyx y xy x y

+ −− ⋅ − +

, мұнда x= 534

, y=3,75;

ә) 2

3 2

2 1 1 511 1 1

m m m m mm m m m m

+ + + + − ⋅ + − − + + + , мұнда m=2,25;

б) 2

2 3 2

5 5 10 5 1:4 4 4 4

a a aa a a a a

− + −−

+ + + +, мұнда а=

15

.

4. Пропорциядан x айнымалысын өрнекте:

а) 56

a bx

= ; ә) 2( )x a

a b a b=

− −; б)

23 93

a aa ax

+ −=

−;

в) 2 2a b a b

x a− +

= ; г) 2 2 2

x a ba ab a b

−=

− −; ғ)

2 2 2 22a ab b a bx b

− + −= .

5. Арман 1 1

1x x−

+ өрнегін түрлендіру негізінде жаңа «ойша» тез санау тәсілін тапты. Сен

қалай ойлайсың, оның тәсілінің мағынасы неде? Осы тәсілдің көмегімен өрнектердің мәндерін есепте:

а) 1 1 1

12 20 30+ + ; ә)

1 1 1 1 1 1 1 1 112 20 30 42 56 72 90 110 132

+ + + + + + + + .

Осы тәсілді қолдануға қатысты өз мысалдарыңды ұсын.

6. Есепті математикалық тілге аударып, математикалық модель құрастыр:Желкенді регатада қатысқанда Айжан уақытының бір бөлігінде өзеннің ағысымен S

километр жүзіп өтті. Айжан осы уақыт бөлігінде өзен ағысына қарсы қанша қашықтықты жүзіп өтеді, егер ағыстың жылдамдығы υ

1 км/сағ., ал яхтаның жылдамдығы υ км/сағ тең

болса.

7. Теңдік орындалатындай етіп, арифметикалық амалдар таңбаларын және жақшалар- ды қойып шық:

2 3

2 2 2

x x x x yy y y x

+= .

Қателік жібермеу үшін амалдарды орындау ретін сақтау керек.


textbo

oks n

is ed

u kz

198

6.9 Алгебралық бөлшектері бар өрнектерді ықшамдау. Есептер шығару

1. Кеспеқағаздарды басынан бастап соңына дейін ретімен қой.Әр кеспеқағазда орындалатын амалдардың нәтижесіне қара. Бірінші кеспеқағазға

жазылған амалдардың нәтижесін тап, ол екінші кеспеқағазға жазылатын болады.

Басы 15

көбейту керек 2x

Соңы 2 2 2

2 2

( )4

x yx y+ өрнегінің

мәнін табу керек, егер x = 2, y = 1.

1 көбейтіндіге бөлу керек3 3

2 2

x yx xy y

−+ +

және (х + y)

2 2x y+2xy-ке бөліп, квадратқа

шығару керек.

( )( )m nm n

+−

берілген бөлшек үшін кері бөлшекке көбейту

керек.

( ) 10 10( )x x m n

m n−+

бөлу керек

4 4

2 2 2 2

1 1 x yx y x y

− −− −

қосу керек


а)

2 2

2 2 3 2 2

6 1: ;m n n m m m m nn m m n m n n mn n n

+ − −− + + − − + − −

ә) 2 2

2 22 2 3 2 2 3 2 2

2 2 5( ) .5 5

x y x y xy x yx yx y x x y xy y x y

− + +− + ⋅ + + + + −

3. Әмина мен Ержанға алгебралық бөлшекті ықшамдау керек. Балалардың шешімдері төмендегі тақтада келтірілген.

1 1

1 1x y

x y

−

+=

y xy x xy y xxy

y x xy y x y xxy

−− −

= ⋅ =+ + +

Әмина

1 1

1 1x y

x y

−

+=

1 1

1 1

xyx y y x

y xxyx y

⋅ − − =

+ ⋅ +

Ержан

Балалар өрнекті ықшамдау үшін қандай амалдар қолданғанын түсіндір. Олардың қайсысы тапсырманы дұрыс орындады? Сен шешудің қандай жолын таңдар едің? Неге?

textbo

oks n

is ed

u kz

199



а)

3

3

byby

−

+; ә)

2 21 1

21 1

2

a a

a a

−

−; б)

2

2

2

1 1

1

xx xx

x

++

−;

в)

2 5 1

2 1

abab

−−

+; г)

3

1

x yz

x yz

−+

+−

; ғ)

axyx aayx

y a

−−

−−

;

д)

2

1 131 1

1

a aaa

a

+ −− +

+−

; е)

1 11 1

1 11 1

x x

x x

+− +

−− +

; ж)

2

2

kxxxkk

−

−.


Мысал:

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1( 1) 1 11 ( 1)(1 ) ( 1 )1 1 1

x x x x x xx x x x x xx xx x x

+ + + +− = − = − = − = − = − − = −

+ + −− + − + −+ + +

а) 1+1

2

aa

a−

+

; ә) 1– 1

1

xx

x−

+

; б) 1+1

12 13a

++

.

6. Есептің математикалық моделін құрастыр:

Гүлнәр бақшада мөлшері (2x.2x) м2 болатын шаршы түріндегі жер телімін бөліп алып және ол жерде радиусы R м болатын дөңгелек пішінді тоған салып, ал жер телімінің қалған жеріне көгал шөбінің дәнін себуді ұйғарды. Оған бұл үшін қажет болатын дәндердің мөлшері қандай және оны сатып алуға қанша ақша жұмсайды?

Анықтама!1 м2 жерге көгал шөбінің дәнін себу үшін орташа

есеппен 40 г мөлшерде дәндер қажет болады. Дәндердің массасы 10 кг болатын қабының құны

33700 теңгені құрайды.

textbo

oks n

is ed

u kz

200

6.10 Алгебралық бөлшектері бар өрнектерді ықшамдау. Есептер шығару

1. Айнымалылардың берілген мәндерінде өрнектердің мәндерін тап. Теңдік әрқашан орындалады ма? Жауабыңды негізде.

1 1ab a b

=+

1 1 a aab c b c

+ = +

27( 1) 7( 1)1

a aa

+= +

+

a 2 1 –3

b 3 4 2

1ab

1a b+

a 1 –2

b 2 –3

c 3 –4

1 1ab c

+

a ab c

+

a 1 –1 0

27( 1)1

aa

++

7( 1)a +

Тепе-теңдік болып табылады:• арифметикалық амалдар заңдары;• дәрежелермен және көпмүшелермен амалдарды орындау ережелері; • қысқаша көбейту формулалары.

Айнымалылардың кез келген мүмкін мәндерінде ақиқат болатын теңдік тепе-теңдік деп аталады.Тепе-теңдіктің оң жағында және сол жағында жазылған өрнек-терді тепе-тең өрнектер дейді.

Бір тепе-теңдіктен оған тепе-тең болатын басқа тепе-теңдікке көшу тепе-тең түр- лендіру деп аталады.

2. Алдыңғы тапсырмадағы қандай теңдіктер тепе-теңдік болады? Айнымалылардың қандай мәндерінде осы теңдіктер тепе-теңдік болып табылады? Жауабыңды негізде.

3. Берілген теңдіктердің қайсылары тепе-теңдік болады? Неге? Жауабыңды негізде.

а) ( )mn mk m n k+ = + ; ә) ( )m nk mn mk= + ; б) 2 3 5x x x+ = ; в)

2 3 5x x x= ;

г) ( )3 33 3y y= ; ғ) ( )3 33 27y y= ; д) ( )2 22 4 4p p p+ = + + ; е) ( )2 22 4p p− = − ;

ж) 4 2

22 1

a a aa

+=

+; з)

4 22

2 21

a a aa

+=

+; и) | 2 | 2xy xy= ; к)

2 | | 2| |

x xy y

= .

textbo

oks n

is ed

u kz

201


Белгілі тепе-теңдіктерден басқа тепе-теңдіктерді қорытып шыға-руға болады. Берілген теңдік тепе-теңдік екендігін дәлелдеу үшін

келесі тәсілдерді қолдануға болады:

теңдіктің екі жағында орналасқан өрнектерге тепе-тең

түрлендірулер орындау

теңдіктің оң жағы мен сол жағының айырымы нөлге тепе-тең екендігін

дәлелдеу

Тепе-теңдікті дәлелде: 2 2

3 3

4 2 18 2

a ab ba b a b+ +

=− −

.

2 2

3 3

2 2

2 2

4 2 1 ,8 2

4 2 1 1 1, .(2 )(4 2 ) 2 2 2

a ab ba b a b

a ab ba b a ab b a b a b a b

+ +=

− −+ +

= =− + + − − −

2 2

3 3

2 2 2 2

2 2

2 2/4 24 2 18 2

4 2 4 2 0.(2 )(4 2 )

a ab ba ab ba b a b

a ab b a ab ba b a ab b

+ ++ +− =

− −+ + − − −

= =− + +

4. Тепе-теңдікті дәлелде:

а) 2

1 1 1 3( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1

xx x x x x x x

+ + =− + − + −

; ә) 2 2

2 2

2 :x y y x y x yx x y x y x

+ + −− = + −

;

б) 2 2 2

1 1 2: 02 4 4 4 ( 2)

aa a a a a

+ − = + − − + − ; в)

2x yx yy x

x y x yy x

+ ++

=−−

;

г) 2

2

1 41 22 21

xx x x

xx x x

−−

− − =+

−− −

;ғ)

1 1 11x y z

xy xz yz xyz

+ +=

+ +;

д)

1 1 1 1

11 1 1 1 4

y xx y x y x y

x y x y

− + − − ⋅ = − + −

;е)

2 2 2 2

4

2 2 2 2 2

1 1 1 11:1 1 1 1 1

a a b aa

a b a b a b

+ − =

− −

;

ж) 2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( ) 1( )( )( )

b c b c c a c a a b a ba b b c c a

− + + − + + − += −

− − −.

5. Айнымалы a бар болатын екі өрнектің теңдігін жаз. Сонымен қатар, осы теңдіктің сол жағы a-ның 5-тен және 6-дан өзге барлық мәндері үшін, ал оң жағы 5-тен басқа барлық мәндер үшін анықталған болуы керек. Сен жазған теңдік тепе-теңдік болады деп ойлайсың ба?

textbo

oks n

is ed

u kz

202

6.11 Алгебралық бөлшектері бар өрнектерді ықшамдау

Сонымен, сен енді қысқаша көбейту формулаларын, көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуді және алгебралық бөлшектерге амалдар қолдануды білесің. Бұл білімдеріңнің бәрі саған әртүрлі математикалық есептерді шығаруға мүмкіндік береді.

1. 2 9

25y − және 5 3y − көпмүшелерін қолданып, құрастыр:

а) үш бүтін өрнектерді;ә) үш бөлшек өрнектерді.

2. Суретпен жұмыс істе. Белгісіз шаманы тап.

а) ә)

S = a4 + a2 + 1 V = (x2 + 8x + 7)(x + 5)

x + 1

x + 7

?

?


а) 2 6 9

3x xy

x− +

=−

; ә) 225 16

5 4xyx

−=

+;

б) 3

3xy x

x−

= −−

; в) 32

| |xyx

= .

4. Егер a және b берілген 2 6 1a b− = шартын қанағаттандыратын болса, өрнектің мәнін тап:

а) 1

3b a−; ә)

4 129

a b−; б)

9 37 21

b aa b

−−

; в) 2 2

16 9a ab b− +

; г) 2 24 24 362 6 1

a ab ba b

− +− −

. tex

tbook

s nis

edu k

z

203



а) ( ) ( )2 22

2

25 25 525 10

x xx x

− − −

+ −; ә) 2 2 2

5 3 14 9 12 4 6 2 3

x z yx y z xy xz yz x z y

+ −−

+ + − + − + −;

б) ( )

( )( )

( )

4 33 4 5

2

2 2:33

k n m m nm n m nm n

+ + + − − − − .


а) 3 2 3 2

2 2 2 2

2 6 2 3 02 2

x xy y x xy yx y x y

− − + + −+ =

+ +; ә) ( ) ( )

1 1 2( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)( 2)m m m m m m

+ =+ + + + + +

.

7. Тақтада төменде келтірілген есептегі шамаларды сипаттайтын өрнектер жазылған. Әрбір шаманың мағынасын түсіндір. Есепі шешу үшін осы өрнектердің көмегімен теңдеу құрастыр.

Марат пен Мұрат 100 километрлік велосипед жарысына қатысты. Марат Мұраттың жылдамдығынан 5 км/сағ артық жылдамдықпен жүріп, тағайындалған жерге 1 сағат 45 минут бұрын келді. Әр велосипедшінің жылдамдығы қандай?

100 ;5x −

100 ;31

4y +

100 100 ;

5x x−

−

100 100 ;314

y y−

+

3( 5) 1 .4

x y − +

8. a мен b-ның қандай мәндерінде теңдік орындалатын тап:

а) 1

(2 5)( 3) 2 5 3a b

x x x x= +

+ + + +; ә)

5 31( 5)( 2) 5 2

x a bx x x x

+= +

− + − +.

textbo

oks n

is ed

u kz

204


Сөйлемдерді аяқтау арқылы сен алгебралық бөлшектер туралы білгендеріңді қайталай-сың.

Алгебралық бөлшектерАлгебралық бөлшек — бұл … .Бөлшектің мағынасы бар болады, егер … .Бөлшек нөлге тең болады, егер … .Айнымалының мүмкін мәндерінің жиыны деп … атайды.

Алгебралық бөлшектің негізгі қасиетіЕгер алгебралық бөлщектің алымын да, бөлімін де ... көбейтсенемесе ...

Алгебралық бөлшектерге қолданылатын амалдарБөлімдері бірдей екі алгебралық бөлшектерді қосу (азайту) үшін… .Бөлімдері әр түрлі екі алгебралық бөлшектерді қосу (азайту) үшін … .Бір алгебралық бөлшекті басқа алгебралық бөлшекке көбейту үшін ... .Екі алгебралық бөлшектердің бөліндісін табу үшін ... .Алгебралық бөлшекті дәрежеге шығару үшін ... .

Өткен тақырыпты қайталауға көмектесетін сұрақтар.Келесі сөздерді кемінде бір рет қолданып, сөйлемдер құрастыр:• бүтін алгебралық өрнек;• бөлшек алгебралық өрнек;• алгебралық бөлшек;• айнымалының мүмкін мәндерінің жиыны;• бөлшектің негізгі қасиеті;• бөлшектерді қысқарту;• алгебралық бөлшектерді қосу және азайту;• алгебралық бөлшектерді көбейту және бөлу;• алгебралық бөлшекті дәрежеге шығару.

1. х айнымалының мүмкін мәндер жиынын тап және оны координаталық түзуде кескінде:

а) ;5

6−x

ә) 38

xx

−+

; б) 26

xx

+−

; в) 2

129

xx

−−

; г) 7

( 8)( 1)x x− +; ғ)

7 .| | 3x +

2. Қандай шарттар қойылғанда келесі бөлшек жұп мәндер қабылдайды?

а) 2 16

4xx

−+

; ә) 2 2x ax a

−−

; б) 3 3x ax a

−−

.

3. Келесі дұрыс па?

а) алымдары тең емес, бірақ бөлімдері тең болған жағдайда екі алгебралық бөлшектер тең болуы мүмкін;ә) алымдары да, бөлімдері де тең емес болған жағдайда екі алгебралық бөлшектер тең болуы мүмкін;

Алг

ебра

лық

бөлш

екте

р

textbo

oks n

is ed

u kz

205


б) екі алгебралық бөлшектің қосындысы бірмүшелік болуы мүмкін;в) екі алгебралық бөлшектің айырымы алгебралық бөлшек болады;г) екі алгебралық бөлшектің қосындысы 0-ге тең болуы мүмкін.

Жауабыңды негізде.

4. а бүтін сан болғанда, 86

aa

++

бөлшегі бүтін мәндерді қабылдауы мүмкін бе? Жауабыңды негізде.

5. 1xx

+ өрнегі бүтін мәндер қабылдайтыны белгілі. Онда 2

2

1xx

+ және 3

3

1xx

+ бүтін

мәндер қабылдайтыны дұрыс па?

6. Өрнекті ықшамда және оның мәнін тап:

Айнымалының мәні

Өрнек4a = 2a = −

2 2 2

1 2 11 4 3 9a a a a

− +− − + −

2

1 121 1

1

a aaa

a

− ++ −

+−


а)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2:a b a b a b a b a ba b a b a b a b ab

+ − + − + − − = − + − + ;

ә) 3 3

2( )a b ab a ba b

+− = −

+;

б) 2 2

1 1 2 10 1:3 6 3 2 2 2 1 12

m mm m m m m

− + − = − + + + + + ;

в) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )a b b c b c a c c a b a− =

− − − − − −.


а) Арман мен Дамира бірге жұмыс істей отырып, бауырсақ пісіруге берірген тапсырысты a сағатта орындай алады. Арман, жалғыз жұмыс істесе, осы тапсырысты b сағат ішінде орындай алады. Дамира тапсырысты неше сағатта орындай алар еді?

ә) А пунктінен В пунктіне дейін қайық өзен ағысымен a сағат, ал B пунктінен А пункті- не — b сағат жүзеді. Бөрене A-дан B-ға дейін қанша сағатта жүзіп жетеді?

textbo

oks n

is ed

u kz

206


1. Алгебралық бөлшекті жаз:

а) оның алымы x және y сандарының қосындысының квадратына тең, ал бөлімі осы сан-дардың көбейтіндісіне тең;ә) оның алымы а және b сандарының айырымының кубына тең, ал бөлімі осы сандар-дың кубтарының қосындысына тең; б) оның алымы m және n сандарының квадраттарының айырымына тең, ал бөлімі осы сандардың квадраттарының қосындысына тең.

2. х айнымалының қандай мәндерінде алгебралық бөлшектің мағынасы болмайды?

а) 5 ;

5x

x − ә)

3 ;( 2)( 2)

aa a− +

б) 2

39

xx

−−

; в) 2 ;2

xx

−−

г) 2

55 19

xx +

.

3. Теңдік орындалатындай етіп бос орындарды толтыр:

а) 25ab

= ...

25b=

28...a

;

ә) 24xy

=...ax

= 2 2

...4b y

;

б) x yx y

+−

= 2 2

...x y−

=3 3

...x y+

.

4. 23 73 aaa−

− өрнегін алгебралық бөлшегін түріне келтір. Пайда болған бөлшектің ең

кіші натурал мәні нешеге тең?

5. 3 2a b

b−

= екені белгілі. ab

нешеге тең болады?

6. 3 3

ac bx ax bcay bx ax by

+ + ++ + +

бөлшегін қысқарт және оның 3327

a = ; 91611

b = ;

2,5; 7,5; 17,5c x y= = = болғандағы мәнін тап.


а)

2

2

1 1 1 4 42 2 4 2 1

a aa a a a

− + + − ⋅ + − − − ;

ә) 2 2 2 2

7 1 1 :8 18 2 3 4 6 3

a ba b a ab ab b a b a b

− − + − + − − − .

textbo

oks n

is ed

u kz

207



а) Бір сан екінші саннан m есе кіші. Егер олардың арифметикалық орта мәні n болса, үл-кен санды тап.

ә) Спорт кешеніндегі хауыз екі құбыр арқылы толтырылады. Жалғыз бірінші құбыр арқылы ол a сағатта толады, ал екінші құбыр — b сағатта толтырады. Егер екі құбыр да ашық болса, хауыз қанша уақытта толады?

textbo

oks n

is ed

u kz

208

Қорытынды кайталау


а) 3 4 210,63 3

3xy x y⋅ ; ә)

25 22 3 8 2

2

1 2 322 5

a b a y ⋅ ⋅

.


а) 2 2 2 2( 1) ( 1)( 1)x x x x+ + − + − , егер 1x = − ;

ә) 2 2( 1)( 1)( 1) ( 1 )t t t t+ + − − − − , егер 12

t = − .

3. Есепте:

а) ( )30 30 15 20(6 1) 6 1 81 8+ − − ⋅ ; ә) ( )( )( )( )( )64 2 2 4 8 16 325 (5 1) 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1− − + + + + + .

4. 2abc b a+ көпмүше түріне келтір және стандард түрінде жаз.

5. Көбейтінді түрінде жаз:

а) 23 2xy xy− ; ә) 3 3x y xz yz− + − ;

б) 2 24 4 9x x y− + − ; в) 4 44a b+ .


а) 2

2

1 11 2 1

x xx x x+ +

+− + −

; ә) 105

5aa

a+ −

+;

б) 2 2 2

2 2

2 36:6 6 6 6

x xy y xx xy x y x xy x y

+ + −+ + + + − −

; в)

12

2

2 9 3 248 64

t t ttt t t

− − + − ⋅ + + −

.

7. Егер 1x y t+ + = болса, онда 21 0tx x ty y t+ + + + − = болатынын дәлелде.

8. Функциялардың графиктерін сал:

а) 3 28 (2 1)(4 2 1)y x x x x= − + + + ; ә)

2( 5) ( 1)( 4)y x x x= + − + + .textbo

oks n

is ed

u kz

209


9. Графиктері төменде көрсетілген екі айнымалылары бар теңдеулер үшін теңдеулер жүйесін жаз.

а) ә)

б)

21

1

00

-1

-2

-3

-4

2

3

4

5

-1-2-3 34 5

в)

10. 14y px= + және (3 )y p x p= − + функцияларының қиылысу нүктесінің абсциссасы 2 -ге тең болса, оның қиылысу нүктесінің ординатасын тап.

11. k-ның қандай мәнінде 3y kx= + функциясының графигі 22y x= − және

2yx

=функцияларының қиылысу нүктесі арқылы өтеді?

12. р параметрінің қандай мәнінде:

а) 3y x= + және 4 4y x a= − − + функцияларының қиылысу нүктесі 4 ширекте жатады;ә) (2 3) 6y p x p= − + + және (4 1) 5 3y p x p= − + + функцияларының графиктері параллель болады?

13. 2 3 5 ... 16y x x x x x= − + − + − функциясы берілген. Осы функцияның k коэффициенті неге тең?

14. Әлима квадраттарының қосындысы 696-ға тең болатын тізбектес натурал төрт жұп сан жазды. Әлима қандай сандар жазды?

15. Қайық өзен ағысымен 2,4 сағат және өзен ағысына қарсы 3,6 сағат жүзді. Өзен ағысымен жүзген қашықтық өзен ағысына қарсы жүзген қашықтықтан 5,4 км-ге артық. Өзен ағысының жылдамдығы 2,5 км/сағ болса, қайықтың меншікті жылдамдығы қандай?

y y

хх

х

х

y y

textbo

oks n

is ed

u kz

210

Қорытынды кайталау

1. Егер үшбұрыштың бір қабырғасы 4 дм, екіншісі 30 см, ал периметрі 0,11 м болса, онда үшбұрыштың түрін анықта.

2. Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы табанынан 2 см қысқа, ал үшбұрыштың пе-риметрі 30 см. Үшбұрыш табанының ұзындығын тап.

3. АВС тікбұрышты ұшбұрышында ( 90C∠ = ° ) А бұрышы 30° -қа тең. Тік бұрыштың тө-бесінен CD биіктігі жүргізілді, BD = 2 см. AD кесіндісінің ұзындығын тап.

4. Арман АВС үшбұрышын салды. Берілген үшбұрыштың В төбесінен АВС бұрышын үш тең бөлікке бөлетіндей етіп, ол медиана мен биіктік жүргізді. АВС үшбұрышының бұрыштарын тап?

5. Гаухар шеңбер салып, АВ диаметрі мен АС және ВС хордаларын жүргізді, және BC = АС. АОС бұрышының шамасын тап.

6. Берілген нүкте арқылы шеңберде диаметр мен радиуске тең хорда жүргізілді. Диаметр мен хорда арасындағы бұрыш неге тең бола алады? Жауабыңды түсіндір.

7. Гаухар шеңбер салып, АВ диаметріне параллель MN хордасын жүргізді. Оның суреті төменде көрсетілген. Хорда мен диаметр арасындағы қашықтық шеңбер радиусының жартысына тең бо-лып шықты. МА хордасы мен АВ арасындағы бұрышты тап.

8. Циркульдің көмегімен шеңберді 6 тең бөлікке қалай бөлуге бо-лады?

9. Арманда бір бұрышы 25O болатын бұрыштық бар. 125O-қа тең тең болатын бұрышты қалай салуға болады?

10. (Ежелгі есеп) Шөлде үш бақашық жорғалап келе жатыр. Біріншісі айтады: «Менің алдымда ешкім жоқ, ал артымда екі бақашық». Екіншісі айтады: «Менің алдымда да бір және артымда да бір бақашық». Үшіншісі айтады: «Менің алдымда да бір және артымда да бір бақашық». Бұл қалай мүмкін?

11. Радиусы 7 см ω шеңбері және b түзуі берілген. Егер шеңбердің центрінен түзуге дейін-гі қашықтық d-ға тең болса, онда берілген түзу мен шеңбердің өзара орналасуын анықта. Сәйкестікті орнат:

d-ның мәні Шеңберлердің өзара орналасуы

1 0 а) Түзу шеңбердің центрі арқылы өтеді.

2 3 ә) Түзу мен шеңбердің екі ортақ нүктесі бар.

3 7 б) Түзу шеңберді жанайды.

4 10 в) Түзу мен шеңбердің ортақ нүктелері жоқ.

12. Радиустары 3 және 5 см болатын екі шеңбер сыз:

а) ортақ нүктелері жоқ;ә) концентрлі;б) сырттай жанасатын;в) іштей жанасатын.

textbo

oks n

is ed

u kz

211



а)

Берілгені: AD=7, ВD=2, CE=4. Центрлері А, B және С нүктелерінде болатын үш сырттай жанасатын 321 ,, ϖϖϖ шеңберлері.Табу керек: АВС үшбұрышының периметрін.

ә)

Берілгені: AD=7, ВЕ=2, CE=4. Центрлері А, B және С нүктелерінде болатын үш іштей жанасатын

321 ,, ϖϖϖ шеңберлері.Табу керек: АВС үшбұрышының пе- риметрін.

б) Берілгені: МС=3, MB=4, AK=7.Табу керек: АВС үшбұрышының периметрін.

14. Теңбүйірлі үшбұрышқа іштей шеңбер сызылған. Шеңбермен жанасу нүктелері үшбұрыштың бүйір қабырғасын оның төбесінен санағанда 7:5 қатынасында бөледі. Үшбұрыштың периметрі 144 см болса, онда оның қабырғаларының ұзындықтарын тап. 15. Үш үйдің қожайындары хауыз саламыз деп шешті. Үш үй бір түзудің бойында тұр-майды және хауыздан үш үйге де қашықтық бірдей болу керектігі белгілі болса, хауызды қай жерге орналастыру қажет?

textbo

oks n

is ed

u kz

Оқу басылымы

Айтмухамет Даурен АйтмухаметұлыЕгоркина Надежда ВикторовнаЗабара Людмила МихайловнаПаникарская Наталья Юрьевна

Строева Ирина Ивановна

Математика2-бөлім

Назарбаев Зияткерлік мектептерінің 7-сыныбына арналған оқулық

Редакторлары Т.Қ. Досмаилов, Н.Д. ТоктыбаевТехникалық редакторы С.М. Жапарова

Дизайнер-беттеушісі С.К. Аманова

Дизайны Лондон Университет колледжі Білім беру Институтында жасалған.«НЗМ» ДББҰ «Білім беру бағдарламалары орталығы» филиалында

қазақ тіліне аударылған және редакцияланған

[email protected]

ИБ №762-В/1

Басуға 27.09.2019ж. қол қойылды. Пішімі 60х90/8. Офсеттік басылым. «Hypatia Sans Pro» гарнитурасы. Офсеттік қағаз.

Шартты баспа табағы 26,05. Есептік баспа табағы 13,0. Шартты бояулы беттаңбасы 106,0. Таралымы 1173 дана. Тапсырыс №

010000, Нұр-Сұлтан қаласы, Хусейн бен Талал көшесі, 21/1 ғимараты,«Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ

Сатып алу және жеткізу мәселесі бойынша+7 (7172) 235-235; +7 701 0235 235 телефондарына немесе

[email protected] интернет-дүкеніне, @NIS_OQÝLYQ, NISoqýlyq хабарласыңыз.

textbo

oks n

is ed

u kz

Математика 7 textbooks nis edu СЫНЫП kz · 2020-02-20 · СЫНЫП. 2- бөлім...

Documents