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전위와 축전기 * 제 15 장

전하와 전기장 – 전위와 축전기 – 정전류

이 장에서는...

1. 전기 위치 에너지와 전위

2. 전기장과 전위의 관계

3. 전위 계산 연습

- - -

4. 축전기와 전기용량

5. 축전기의 에너지 충전과 연결

6. 유전체의 전기적 특성

1/19 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo


전기 위치 에너지

전기장 속에서 어떤 전하를 A에서 B로 옮기는 동안

전기력이 한 일은 경로에 무관: 전기력은 보존력

WAB = ∫r A

rB F⋅d s

(전기 위치 에너지) = -(전기력이 한 일)

Ur ≡ −W

= −∫∞

r F⋅d s = −∫∞

rQ0

E⋅d s

전기 위치 에너지의 원점; 즉 전기력이 한 일의 기준점은

무한 원점으로 둔다: Why? 전기력이 0 인 곳 이므로!

점전하 Q 로부터 r 만큼 떨어진 곳의 점전하 Q0 의

전기 위치 에너지는;

Ur = −∫∞

r F⋅d s = −∫∞

r 140

QQ0

r2r⋅−d r

= −∫∞

r 140

QQ0

r2dr =

140

QQ0[1r −1∞ ] =

140

QQ0

r



여러 점전하에 의한 전체 전기 위치 에너지는 단순히 대수적인 합(에너지는 스칼라)

U = U1 U2 ⋯ UN = ∑i=1

N

Ui = ∑i=1

N 140

Qi Q0

r i

Q0 는 일정하므로,

U = Q0∑i=1

N 140

Qi

r i

= Q0V

V ≡ ∑i=1

N 140

Qi

r i

V는 N 개의 점전하들이 만들어낸 전위

전위

전위(electric potential; V = V r )란, 주위의 전하 분포에 따라 주어지는, 단위 전하당 전기 위치 에너지

(REMEMBER 전기장은? 단위 전하 당 전기력)

에너지 단위 J, 그리고 전하의 단위 C 으로부터 전위의 단위는 – J/C = Nm/C = V /볼트/

전위 V 인 지점에 놓인 전하 Q0 가 가지는 전기 위치 에너지: U = Q0V

두 지점 사이의 전위차의 의미? 단위 전하를 이동시키기 위해 필요한 일: V rB − V r A = W AB/Q0



등전위선(면)

등전위선(면)(equipotential line/surface)은 전위(potential)를 시각적으로 표현하기 위한 닫힌 곡선들

● 전위의 값이 같은 지점들을 선으로 이었으며 방향성은 없음

● 닫힌 도형이다(등전위선은 폐곡선, 등전위면은 폐곡면). 서로 교차하지 않는다.

● 등전위선의 조밀도는 전위의 경사 정도를 의미

● 전기력선(electric field line)에 항상 수직



전기장과 전위

전기장과 전위의 관계는 보존력과 위치 에너지의 관계와 동일: 공간에 대한 미분 - 적분 관계

두 위치 사이의 전위차는 전기장의 경로 적분 어떤 위치에서의 전기장은 전위의 벡터 미분

V r = −∫A

BE⋅d s

E x = −∂V∂x

, E y = −∂V∂y

, E z = −∂V∂ z

또는 E = −∇V



[보기] 선전하밀도가 인 무한히 긴 도선으로부터 수직거리 r 인 곳의 전기장과 전위

Gauss 법칙에 의해 구한 전기장은 E =

20

1rr .

[1] 전기장으로부터 전위 구하기

두 위치 사이의 전위차는 전기장의 경로 적분이므로

V r = −∫ref

r E⋅ds = −∫ref

r

20

1rr⋅d s (ref 는 임의의 기준점)

d s = d r 이라 하고 적분변수를 r’ 로 두면,

V r = −

20

∫ref

r 1r '

dr ' = −

20

ln r C (C는 상수)

[2] 전위로부터 전기장 구하기

어떤 위치에서의 전기장은 전위의 벡터 미분이므로

E = −∇V = −∇ [−

20

lnr C]이 경우 전기장 성분은 r 방향 뿐이므로 ∇는 r 에 대한 편미분이 되고, 따라서

E = −r ∂

∂ r [−

20

ln r C] =

20

1rr



전위 및 전기장 계산 연습

문제!대칭성이 있다

Gauss 법칙을 쓸 수 있다 전기장 먼저 계산; 경로 적분으로 전위 계산

Gauss 법칙을 쓸 수 없다 전위 먼저 계산; 벡터 미분으로 전기장 계산

대칭성이 없다 전위 먼저 계산; 벡터 미분으로 전기장 계산

점전하 Q 로부터 거리 r 인 곳에서의 전기장과 전위

E =1

40

Q

r2r (공간에 대한 미분-적분 관계 확인!) V =

140

Qr

점전하들: 중첩의 원리에 의해 각 점전하의 전위와 전기장을 합한다.

● 전위는 단순한 대수합: V = ∑i=1

N

V i = ∑i=1

N 140

Qi

r i

● 전기장은 벡터합: (14장 참고)

연속적인 전하 분포

● V =1

40∫

dlr

( 선밀도) V =1

40∫

dsr

( 면밀도) V =1

40∫

dvr

( 밀도)



원형 고리 문제: 전하 Q 로 대전된 반지름 R 원형고리의 중심을 지나고 고리면에 수직한 축에서의 전위

미소전하가 dQ가 만드는 전위 dV

dV =1

40

dQ

r2 R2

여기서 dQ = ds = Rd 이므로 적분은 0 ~ ~ 2

에 대해서 하면 된다;

V = ∫0

2 140

Rd

r2 R2

=R

20r2 R2

전기장은 전위의 공간에 대한(거리 r) 벡터 미분이므로

E = −∇V = −r ∂

∂rR20

r2 R2

−1 /2

= −rR20

−122r r2

R2 −3/2

= rRr20

r2 R2

−3/2

이 결과는 14 장에서의 다음 결과와 동일 !

E∥=∫dE

∥= ⋯ =

140

r Q

r2 R2

3/2

( 2R = Q )



축전기와 전기용량

축전기(capacitor): 같은 크기 반대 부호로 대전되어 서로 마주보고 있는 두 도체

축전기에 전하가 쌓이려면 일을 해줘야 한다 결과적으로 축전기에는 전기 에너지가 저장

도체의 형태에 따라 평행판 / 원통형 / 구형 축전기 등

대전된 전하량( ∣±Q∣= Q )는 두 도체 사이의 전위차(V)에 비례; 비례상수는 전기용량(capacitance) C

Q = CV 또는 C =QV

F (farad) = C / V ... 일반적으로 F ( 10−6 F) 또는 pF ( 10−12 F) 이용

축전기에 대전된 전하량은 전체 전하량( Q − Q = 0 )이 아니라, 각 도체에 대전된 전하량의 절대값인 Q

축전기의 전기용량은 기하학적 요소에 의해 결정

1. 축전기를 구성하는 도체에 전하 Q 대전된( Q 및 −Q ) 상태 가정

2. 두 도체 사이의 전기장 구한 후(대부분 Gauss 법칙 적용 가능; 전기장은 전하 Q의 함수)

3. 도체 사이 거리로부터 전위차 V 구하면

4. 정의식 C = Q/V 로부터 전기용량 계산



평행판(parallel plate) 축전기: 거리 d 만큼 떨어져 있는 면적 A 인 두 도체판

[ 전제 ] 도체판 사이와 주변 공간은 진공이고

모서리 효과(edge effect)는 무시; 거리 d 에 비해 면적 A 가

충분히 넓으므로 도체판 사이에서 전기장 E 일정하다고 근사

+Q 를 포함하는 Gauss 면을 잡고 Gauss 법칙을 적용하면

Q = 0E A

두 도체 사이의 전위차는

V = −∫−

E⋅d s = ∫−

Eds = E∫0

dds = Ed (적분경로 d s는 임의 방향; −Q Q )

전위차를 Q에 대한 함수로 다시 쓰면

V = Ed =Q0 A

d

그러므로 평행판 축전기의 전기용량은

C ≡QV

= 0Ad



원통형(cylindrical) 축전기: 길이 L 이고 반지름이 각각 a 및 b (a < b) 인 두 동축 원통형 도체

[ 전제 ] 도체판 사이와 주변 공간은 진공이고

모서리 효과(edge effect)는 무시; 거리 b − a 에 비해 길이 L 이

충분히 길어서 도체판 사이에서 (Gauss 면 위에서) 전기장 E 의 크기가

일정하다고 근사

Gauss 법칙에 의해 Q = 0E 2 r L (r 은 Gauss 면의 반지름)

두 도체 사이의 전위차는

V = −∫−

E⋅d s = ∫−

Eds = ∫b

a Q20Lr

ds

=Q

20L∫a

b drr

=Q

20Llnba (적분경로 d s는 임의 방향; −Q Q ; d s = −d r )

전기용량의 정의로부터, 원통형 축전기의 전기용량은 다음과 같다.

C ≡QV

= 20L

log b /a



축전기의 충전

축전기의 충전(charging)이란, 축전기의 양 전극이 Q만큼

대전되도록 기전력을 가하는 과정

기전력(electromotive force; emf; )

● 회로 한 바퀴에 걸쳐 있는 전위차; 또는 그 전위차를

유지시키는 힘이나 요인

● 기전력 제공 화학 – 전지, DC/AC 전원, 태양 전지 등

● 축전기는 기전력에 의해 충전,

기전력이 사라지면 방전(discharge; electrostatic – )

● 대부분 문제에서 기전력은 무한한 전기 에너지원; 일정한 전위차를 항상 유지하는 것으로 간주

(REMEMBER 열원(heat reservoir)은 무한한 열저장소!)

그림의 회로에서 스위치를 닫으면

전지의 기전력에 의해 축전기는 전지와 같은 전위차로 대전– ; 기전력의 쪽이 Q , − 쪽이 −Q

축전지의 충전이 완료되면 회로의 전위차가 없으므로 전류가 더이상 흐르지 않는다.

(회로에 전류가 흐르는 이유!)



축전기에 저장되는 에너지

축전기 충전의 의미; 평지에서 구덩이를 파낸 흙으로 언덕 쌓기

– 흙의 양은 일정; 전하량의 총합도 일정

– 파낸 흙을 끌어올리는 동안 일을 하고, 구덩이가 깊어질수록(언덕이 높아질수록) 더 힘이 든다.

미소 전하 dq 를 음극판( −Q로 대전될 극판)에서

떼어내 양극판(Q로 대전될 극판)으로 이동하면;

양 극판 사이의 전위차가 dV 만큼 증가

두 극판이 각각 ±q 만큼 대전되어 전위차가 V 일 때,

미소 전하 dq 를 또 옮기기 위해서는 전위차에 해당하는 일을 해주어야 한다;

이때 필요한 일 dW 는

dW = V dq =qC

dq (by 전위, 전기용량의 정의)

그러므로 충전되지 않았을 때부터

Q 만큼 충전되는 동안 필요한 일 W 는

W = ∫0

Q qC

dq =12

Q2

C=

12

QV =12

C V2 ( Q = CV )



전기장 에너지와 에너지 밀도

축전기를 Q 만큼 충전하는 동안 해준 일은

축전기가 가지게 된 에너지 & 충전된 축전기의

두 극판 사이에는 항상 전기장이 생성

☺

☞전기장 안에 에너지 있다!

축전기에 저장된 내부 에너지 U 는 다음과 같고; 이 에너지는 전기장 형태로 저장된다.

U = W =12

CV 2=

12

QV =12

Q2

C

면적이 A 이고 극판 사이의 거리가 d 인 평행판 축전기를 가정하면 전기용량 C 와 전위 V 는 각각

C = 0Ad

, 그리고 V = Ed

그리고 전기장 에너지와 에너지 밀도(energy density)는 각각 다음과 같다.

U =12

CV 2=

120 AdE2 ( Ad 는 극판 사이의 부피)

u ≡UAd

=120E2 ( u ... 전기장이 가지는 에너지 밀도; 진공 속에도 에너지가 있는 이유)



축전기의 연결과 등가 용량

병렬 연결 직렬 연결

전체 전하량은 각 축전기의 전하량의 합이고,

각 축전기에 인가된 전위는 서로 같다; 그러므로

Q = Q1 Q2 = C1V C2V = CeqV ( Ceq ≡ C1 C2 )

n 개 축전기의 등가 용량: Ceq = ∑i=1

n

C i

전체 전위차는 각 축전기에 걸린 전위차의 합이고,

각 축전기에 대전된 전하량은 서로 같다;

V = V 1 V 2 =QC1

QC2

=Q

Ceq (

1Ceq

≡1C1

1C2

)

n 개 축전기에 대해서는: Ceq−1

= ∑i=1

n

C i−1



유전체의 전기적 특성

전기적 특성에 따른 물질의 분류

도체

conductor

반도체

semiconductor

부도체 / 유전체

insulator / dielectric

전기 전도성 (electrical

conductivity) 좋음

도체와 부도체 사이

(낮은 온도에서는 거의 부도체)전기 전도성 나쁨

대개 금속이며

원자와 원자 사이에 많은 자유전자

약간의 에너지를 얻으면 원자 또는

분자로부터 탈출가능한 외곽전자

* band gap을 극복하면 탈출!

어지간한 에너지로는 원자 또는

분자로부터 탈출 못하는 외곽전자

대전되거나 외부 전기장이 가해졌

을 때 표면에만 전하 분포

(내부에서는 등전위; 전기장 0)

* 전자기적 차폐(shielding)

구조에 따라 극성/비극성;

전기장이 가해지면 –

극성: 쌍극자 모멘트가 정렬

비극성: 분극 현상에 의해 정렬

유전체는 극성/비극성 모두 외부 전기장에 대해 고유한 분극(polarization) 반응을 보인다.



분자의 형태(극성 유무)에 따른 전기 쌍극자 모멘트 비교

극성 분자 비극성 분자

극성 분자는 이미 분극되어 있으며

(쌍극자 모멘트가 있으며) 전기장이

가해지면 한 쪽 방향으로 정렬

대칭적인 구조로 원래는

쌍극자 모멘트가 없는

비극성 분자

분극 현상: 외부 전하 Q 에 의한

전기장이 존재할 때 전자의 확률

분포 변형으로 쌍극자 모멘트 생김;

극성 분자처럼 한 쪽 방향으로 정렬



유전 상수

매질의 분극(polarization of medium) P 는 분자 각각의 분극의 합을 부피로 나눈 값으로 정의

P ≡1V∑i

pi (매질의 분극: 단위 부피 당 분자 분극)

자주 접하는 매질은 대부분 선형(linear) 유전체; 분극이 외부 전기장에 선형적으로 비례

P = 0eE (e : 전기 감수율(electric susceptibility); 무차원 숫자)

Q로 대전된 평행판 축전기의 극판 사이에 유전체가 들어가면?

● Q에서 −Q를 향한 전기장 형성

● 유전체의 분극; 각 전기 쌍극자의 전하는 유전체 내부에서 상쇄

(But! 유전체의 표면에서는 상쇄 안 됨)

● 유전체 양쪽 표면에 남은 분극 전하는 원래의 전기장의

반대 방향으로 분극 전기장 형성

● 유전체가 들어가 있는 축전기 내부의 전기장은 원래의 전하에 의한

전기장 + 분극에 의한 전기장

● Gauss 법칙에서의 전기 선속 적분도 원래 선속 + 분극에 의한 선속



즉, Gauss 법칙에서 Gauss 면에 포함된 전체 전하량은 원래의 Q 와 분극에 의한 전하량 Qp 의 합

0∮SE⋅dA = Q Qp = Q −∮S

P⋅dA

선형 매질에서는 P = 0eE 이므로,

0 1 e ∮SE⋅dA = Q

선형 유전체 매질에서의 Gauss 법칙:

∮SE⋅dA = Q ( ≡ 01 e = K 0 )

은 그 매질의 유전율(permittivity), 그리고 K ≡0

는 유전 상수(dielectric constant)

결국, 유전체 매질이 주어졌다면; Gauss 법칙을 통해 구했던 전기장이나 용량 표현에서 0 (진공의 유전율)

대신 을 쓰면 된다!

[ 보기 ] 평행판 축전기의 전기 용량 변화 (진공일 때와 유전체 매질 있을 때)

C0 = 0Ad

(진공) C = Ad

= K 0Ad

= K C0 (유전체 매질)


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