МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ...
TRANSCRIPT
Тольятти 2007
Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина Л.О., Павлова А.П., Леванова Н.Г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
3й семестр
Модуль 7
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
2
Содержание Занятие №26. Гармонические колебания и их характеристики ....................................................................................3
Основные формулы .....................................................................................................................................................3 Примеры решения задач .............................................................................................................................................4
Занятие №27. Гармонические осцилляторы ...................................................................................................................7 Основные формулы .....................................................................................................................................................7 Примеры решения задач .............................................................................................................................................8
Занятие №28. Затухающие, вынужденные колебания. Сложение колебаний. ..........................................................13 Основные формулы ...................................................................................................................................................13 Примеры решения задач ...........................................................................................................................................15
Занятие №29. Механические и электромагнитные волны ..........................................................................................20 Основные формулы ...................................................................................................................................................20 Примеры решения задач ...........................................................................................................................................22
Примерный вариант автоматизированной контрольной работы – АКР №7 .............................................................27
3
Занятие №26. Гармонические колебания и их характе-ристики
Основные формулы Уравнение гармонических колебаний:
)cos( 0 ϕω += tAx , (1)где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t - время; A - соответственно амплитуда;
0ω - угловая частота,
ϕ - начальная фаза колебаний;
)( 0 ϕω +t - фаза колебаний в момент t.
Угловая частота колебаний: πνω 20 = , (2)или T/20 πω = , (3)
где 0ω и Т - частота и период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
)sin( 00 ϕωω +−==⋅
tAxv . (4)
Ускорение при гармоническом колебании:
)cos( 02
0 ϕωω +−==⋅⋅
tAxa . (5)
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: x′′+ ω2
o x = 0. (6)Кинетическая энергия материальной точки:
Wк = 2
m 2υ = ( )2
tsinmA 022
02 ϕ+ωω . (7)
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы:
2
)t(cosmA2
xmxdxmFdxpW 022
02x
0
2202
0
x
0
ϕ+ωω∫ =
ω=ω−−=∫−= . (8)
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:
20
2
21 ωmAE = . (1)
4
Примеры решения задач Пример №1. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А=4 см
и периодом Т=2 с. Напишите уравнение движения точки, если её движение начинается из по-ложения 2х0 = см.
Дано: Решение: А=4 см= 2104 −⋅ м Т=2 с
2х0 = см= 2102 −⋅ м
х(t)-?
Запишем уравнение гармонических колебаний: )tcos(Ax 0 ϕ+ω= .
В начальный момент времени t=0 положение точки: ϕ= cosAx0 .
Отсюда найдём начальную фазу:
5,0Axcos 0 ==ϕ ,
3π
=ϕ .
Зная период, можем найти угловую частоту колебаний: 1
0 сТ2 −π=π
=ω .
Подставляя значения амплитуды, угловой частоты и начальной фазы в уравнение колеба-ний, получаем:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=3
tcos04,0x , м.
Ответ: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=3
tcos04,0x , м.
Пример №2. Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда
А=15 см, максимальная скорость колеблющейся точки maxυ =30 см/с, начальная фаза ϕ =10º.
Дано: Решение: А=15 см=0,15 м
maxυ =30 см/с=0,3 м/с
ϕ =10º x(t)-?
Запишем уравнение гармонических колебаний: )tcos(Ax 0 ϕ+ω=
Скорость по определению: )tsin(Adtdx
00 ϕ+ωω−==υ .
Таким образом, максимальное значение скорости:
0max Aω=υ .
Из этого выражения найдём циклическую частоту: 1max0 c2
A−=
υ=ω
Ответ: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+=18
t2cos15,0x , м.
Пример №3. Материальная точка массой m=20 г совершает гармонические колебания по за-
кону ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=4
t4cos1,0x , м. Определите полную энергию Е этой точки.
5
Дано: Решение: m=20 г= 2102 −⋅ кг
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=4
t4cos1,0x , м
Е-?
Полная энергия складывается из кинетической Т и потенциальной П энергий:
Е=Т+П. Кинетическая энергия по определению:
)t(sin2
mA2
mT 02
20
22
ϕ+ωω
=υ
= .
Потенциальная энергия по определению:
)t(cos2
mA2
kxП 02
20
22
ϕ+ωω
== .
Таким образом полная энергия:
8,152
mAE20
2
=ω
= мДж, где π=ω 40 1с− .
Ответ: Е=15,8 мДж. Пример №4. Точка массой m=10 г совершает гармонические колебания по закону
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=4
t4cos1,0x , м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинети-
ческой энергии. Дано: Решение: m=10 г= 210− кг
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=4
t4cos1,0x м
1) maxF -?
2) maxT -?
Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде: )tcos(Ax 0 ϕ+ω= .
Уравнение движения в нашей задаче:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=4
t4cos1,0x .
Сравнивая уравнения, находим: А=0,1 м, π=ω 40 1с− .
Скорость по определению:
)tsin(Adtdx
00 ϕ+ωω−==υ .
0max Aω=υ .
Ускорение по определению:
)tcos(Adtda 0
20 ϕ+ωω−=
υ= . 2
0max Aa ω= .
Сила из второго закона Ньютона равна: F=ma.
Максимальное значение силы найдём, подставив в формулу максимальное значение ускоре-ния:
158,0mAmaF 20maxmax =ω== Н.
Кинетическая энергия равна:
2mT
2υ= .
6
Максимальное значение кинетической энергии:
89,72
mA2
mT20
22max
max =ω
=υ
= мДж.
Ответ: 1) 158,0Fmax = Н; 2) 89,7Tmax = мДж.
Пример №5. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=2
tcos02,0x , м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) началь-
ную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчёта точка будет проходить через положение равнове-сия. Дано: Решение:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=2
tcos02,0x , м
1) А-? 2) Т-? 3) ϕ -?
4) maxυ -? 5) maxa -? 6) t-?
Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде: )tcos(Ax 0 ϕ+ω= .
Сравнивая его с нашим уравнением, находим:
А=0,02 м, 2π
=ϕ , 10 с−π=ω .
Зная 0ω , можем найти период колебаний:
22Т0
=ωπ
= с.
Скорость по определению:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ππ−==υ2
tsin02,0dtdx , π=υ 02,0max м/с.
Ускорение по определению:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ππ−=υ
=2
tcos02,0dtda 2 , 2
max 02,0a π= м/с².
Положение равновесия – это нулевое смещение точки. Подставим х=0 в уравнение движе-ния и найдём время:
02
tcos02,0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π , 2
)1m2(2
t π+=
π+π (m=0, 1, 2, 3, …), mmt =
ππ
= .
Ответ: 1) А=2 см; 2) Т=2 с; 3) 2π
=ϕ ; 4) 28,6max =υ см/с; 5) 7,19amax = см/с²; 6) t=m с, где
m=0, 1, 2, 3, … Пример №6. Материальная точка колеблется согласно уравнению tcosAx ω= , где А=5 см и
1с12
−π=ω . Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения –12 мН, потенциаль-
ная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу tω .
7
Дано: Решение: tAx ωcos=
А=5 см= 2105 −⋅ м 1с
12−π
=ω
F= –12 мН= 2102,1 −⋅− Н
П=0,15 мДж= 4105,1 −⋅ Дж 1) t-?
2) tω -?
Возвращающая сила по определению: tcosAkkxF ω−=−= .
Потенциальная энергия при гармонических колебаниях определяет-ся формулой:
tcos2
kA2
kxП 222
ω== .
Возьмём отношение:
tcos2A
FП
ω−= .
Из этой формулы можно определить время:
4AFП2arccos1t =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
ω= с.
И фазу:
3AFП2arccost π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=ω рад.
Ответ: 1) t=4 с; 2) 3
t π=ω рад.
Занятие №27. Гармонические осцилляторы
Основные формулы Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник):
km2T π= , (1)
где m - масса тела; k - жёсткость пружины. Формула (1) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон
Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела). Период колебаний математического маятника:
gl2T π= , (2)
где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника:
mga
J2gL2T π=π= , (3)
где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;
)ma(JL = - приведённая длина физического маятника.
8
Приведённые формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При ко-нечных амплитудах эти формулы дают лишь приближённые результаты. При амплитудах не более 3≈ ошибка в значении периода не превышает 1%.
Период колебаний тела, подвешенного на упругой нити:
kJ2T π= , (4)
где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жёсткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закру-
чивании нити, к углу, на который нить закручивается. Упругая сила:
F = – m A 20ω cos (ωоt + ϕ) = – m 2
0ω x. (5)Амплитуда упругой силы:
Fmax= - m A 20ω . (6)
Примеры решения задач Пример №1. Спиральная пружина обладает жёсткостью k=25 Н/м. Определите, тело какой
массы m должно быть подвешено к пружине, чтобы за t=1 мин совершалось 25 колебаний. Дано: Решение: k=25 Н/м t=1 мин=60 с N=25
m-?
По определению период равен:
NtT = .
Период также может быть выражен через массу тела и жёсткость пружины:
km2T π= .
Объединяя формулы, найдём массу:
65,3N4
kt2Tkm 22
22
=π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛π
= кг.
Ответ: m=3,65 кг. Пример №2. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то
период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза. Дано: Решение:
mΔ =600 г=0,6 кг
12 T2T = m-?
Период колебаний в первом случае:
km2T1 π= .
Во втором:
kmm2T2
Δ+π= .
Если взять отношение периодов, то жёсткость сократится и мы сможем выразить массу че-рез известные величины:
9
2m
mmTT
2
1 =Δ+
= , mmm4 Δ+= , 2003mm =
Δ= г.
Ответ: m=200 г. Пример №3. На горизонтальной пружине жёсткостью k=900 Н/м укреплён шар массой M=4
кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m=10 г, летящая с горизонтальной скоростью 0υ =600 м/с и имеющая в момент удара скорость, на-правленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нём. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара. Дано: Решение: k=900 Н/м M=4 кг m=10 г= 210− кг
0υ =600 м/с
1) А-? 2) Т-?
Воспользуемся законом сохранения импульса: υ+=υ )mM(m 0 .
Выразим скорость υ :
mMm 0
+υ
=υ .
Запишем закон сохранения энергии:
2kA
2)mM( 22
=υ+ .
Выразим из него амплитуду колебания шара:
10k)mM(
mk)mM(
mA 020
2
=+υ
=+υ
= см.
Теперь найдем период колебания шара:
2kA
2A)mM( 222
=ω+ ,
mMk+
=ω , 419,0k
mM22T =+
π=ωπ
= с.
Ответ: 1) А=10 см; 2) Т=0,419 с. Пример №4. На чашку весов массой M,подвешенную на пружине жёсткостью k, с высоты h
падает небольшой груз массой m.Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чаш-ка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определите амплитуду А этих колебаний. Дано: Решение: M k h m
A-?
Запишем закон сохранения энергии для груза:
mgh2
m 21 =υ .
Выразим скорость 1υ (скорость груза в момент удара):
gh21 =υ .
10
Воспользуемся законом сохранения импульса: υ+=υ )Mm(m 1 .
Выразим скорость υ (скорость чашки с грузом после удара):
gh2Mm
m+
=υ .
При ненагруженной чашке имеем: Mg=kl.
kMgl = - начальное растяжение пружины.
∫=−++υ+0x
l0
2 kxdx)lx(g)mM()Mm(21 ,
где 0x - максимальное растяжение пружины.
)lx(k21)lx(g)mM(gh2
)Mm(m)Mm(
21 22
002
2
−=−++⋅+
+ .
Решаем уравнение относительно 0x :
k)Mm(ghm2
kgmg
kMmx
2
2
22
0 ++±
+= .
При нагруженной чашке: (m+M)g=kl´.
gk
)Mm(l +=′ .
Найдём амплитуду:
k)Mm(ghm2
kgmlxA
2
2
22
0 ++=′−= .
Ответ: k)Mm(
ghm2k
gmA2
2
22
++= .
Пример №5. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной
35 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы час-тота колебаний была максимальной. Дано: Решение: l=35 см=0,35 м
maxω=ω
x-?
Период колебаний физического маятника:
mgxJ2T π= .
Найдём частоту колебаний:
11
Jmgx
T2
=π
=ω .
Момент инерции определим по теореме Штейнера:
22
mx12mlJ += .
Подставим в формулу для частоты:
21
222
2 x12lgx12
mx12ml
mgx⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
+=ω .
Искомое расстояние x найдём из равенства нулю производной:
0)x12l(x
)x12l(g3dxd
322
22
=+
−=
ω , 0x12l 22 =− , 32
lx = =10,1 см.
Ответ: x=10,1 см. Пример №6. Маятник состоит из стержня (l=30 см, m=50 г), на верхнем конце которого ук-
реплён маленький шарик (материальная точка массой m′=40 г), на нижнем – шарик (R=5 см, M=100 г). Определите период колебания этого маятника около горизонтальной оси, проходя-щей через точку О в центре стержня. Дано: Решение: l=30 см=0,3 м m=50 г=0,05 кг m′=40 г=0,04 кг R=5 см=0,05 м M=100 г=0,1 кг
T-?
Запишем формулу для периода физического маятника:
gdmJ2T
общ
π= ,
где d – расстояние между центром стержня и центром масс маятника: d=OC.
Используя теорему Штейнера, найдём момент инерции J: 2
222
R2lMMR
52
2lm
12mlJ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛′+= .
Масса маятника: Mmmmобщ +′+= .
Для центра масс имеет место равновесие:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +′+ Rd
2lMd
2lmmd .
Находим d:
12
Mmm2lmR
2lM
d+′+
′−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= .
Подставляя выражения для J, d и общm в формулу для периода, получаем итоговую формулу:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛′+
π=
2lmR
2lMg
R2lMMR
52
2lm
12ml
2T
22
22
.
Подставляя данные величины, находим: Т=1,24 с.
Ответ: Т=1,24 с. Пример №7. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=0,2 мГн и кон-
денсатора площадью пластин S=155 см², расстояние между которыми d=1,5 мм. Зная, что кон-тур резонирует на длину волны λ=630 м, определите диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора. Дано: Решение: L=0,2 мГн= 4102 −⋅ Гн S=155 см²= 21055,1 −⋅ м²
d=1,5 мм= 3105,1 −⋅ м λ=630 м
ε -?
Электрическая ёмкость плоского конденсатора:
dSC 0εε= .
Период колебаний в колебательном контуре:
LC2T π= .
Длина волны определяется формулой:
dSLc2cT 0εεπ==λ .
Выразим ε :
LSd
с2 0
2
ε⎟⎠⎞
⎜⎝⎛πλ
=ε .
Подставляя известные величины из условия задачи, получаем: ε =6,11. Ответ: ε =6,11. Пример №8. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном
контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота коле-баний увеличилась в n=2 раза. Определите работу, совершённую против сил электрического поля.
13
Дано: Решение:
1W =0,2 мДж= 4102 −⋅ Дж n=2
А-?
Частота колебаний:
T1
=ν ,
где Т – период колебаний – определяется по формуле:
LC2T π= . По условию задачи:
n1
2 =νν .
При раздвигании пластин меняется ёмкость конденсатора:
nCC
1
2
2
1 =νν
= ,
Выразим 2C :
2
2
1 nCC
= , 21
2 nCC = .
Заряд не меняется: constCCQ 2211 =ϕ=ϕ= .
Выразим 2ϕ :
12
12
12 n
CC
ϕ=ϕ=ϕ .
Начальная энергия:
2CW
211
1ϕ
= .
Энергия после раздвигания пластин:
12
222
2 Wn2
CW =ϕ
= .
Найдём работу:
12
112
12 W)1n(WWnWWA −=−=−= . Произведя вычисления по этой формуле, получим: А=0,6 мДж. Ответ: А=0,6 мДж.
Занятие №28. Затухающие, вынужденные колебания. Сложение колебаний.
Основные формулы Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
0xx2x 20 =ω+δ+ , (1)
где m2r
=δ - коэффициент затухания колебаний;
14
r - коэффициент сопротивления среды;
0ω - собственная частота колебаний.
Решение уравнения (1):
)tcos()t(Ax 220 δ−ω= , (2)
где 220 δ−ω - частота затухающих колебаний;
t0eA)t(A δ−= - изменяющаяся со временем амплитуда.
τ=δ
1 ,
где τ - время релаксации (промежуток времени, через который амплитуда уменьшается в е раз). Логарифмический декремент затухания колебаний:
TeA
eAln)Tt(A
)t(Aln )Tt(0
t0 δ==
+=Θ +δ−
δ−
. (3)
Добротность:
)Tt(E)t(E)t(E2
)T(E)t(E2Q
+−π=
Δπ= . (4)
Добротность связана с логарифмическим декрементом формулой:
Θπ
=Q . (5)
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
tcosmFxx2x 02
0 ω=ω+δ+ , (6)
где tcosFF 0 ω= - периодическая вынуждающая сила.
Решение уравнения (6): )tcos(Ax ϕ+ω= , (7)
где ( ) 22222
0
0
4m
FAωδ+ω−ω
= - амплитуда вынужденных колебаний;
220
2arctgω−ω
δω=ϕ - начальная фаза вынужденных колебаний.
Частота вынужденных колебаний при резонансе:
220рез 2δ−ω=ω . (8)
Колебание, получающееся при сложении двух одинаково направленных колебаний одинако-вой частоты )tcos(Ax 111 ϕ+ω= и )tcos(Ax 222 ϕ+ω= :
)tcos(Ax ϕ+ω= , (9)
где )cos(AA2AAA 122122
21 ϕ−ϕ++= - амплитуда колебания;
2211
2211
cosAcosAsinAsinAtg
ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ - тангенс начальной фазы колебания.
Уравнение биений:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω+ω
= t2
cos)t(Ax 21 , (10)
15
где ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω−ω
= t2
cosA2)t(A 21 - закон изменения амплитуды.
Период биений:
21
Аб
22ТТ
ω−ωπ
== . (11)
Частота биений: 21б ω−ω=ω . (12)
Уравнение траектории материальной точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты )tcos(Ax 11 ϕ+ω= и )tcos(Ay 22 ϕ+ω= :
)(sin)cos(AA
xy2Ay
Ax
122
1221
22
2
21
2
ϕ−ϕ=ϕ−ϕ−+ . (13)
Собственная частота колебательного контура:
LC1
0 =ω . (14)
Коэффициент затухания колебательного контура:
L2
R=δ . (15)
Примеры решения задач Пример №1. Складываются два гармонических колебания одного направления, описывае-
мых уравнениями t2cos3x1 π= , см и ( )4/t2cos3x2 π+π= , см. Определите для результирующе-го колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колеба-ния и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд. Дано: Решение:
t2cos3x1 π= , см
( )4/t2cos3x2 π+π= , см
1) А-? 2) ϕ -? 3) x(t)-?
Запишем уравнения колебаний в общем виде: ( )111 tcosАx ϕ+ω= , ( )221 tcosАx ϕ+ω= .
Сравнивая с уравнениями из условия, находим:
π=ω 2 , 3АА 21 == см, 1ϕ =0, 42π
=ϕ .
Разность фаз:
412π
=ϕ−ϕ=ϕΔ .
Результирующее колебание: ( )ϕ+ω= tcosАx .
Начальную фазу определим по формуле:
21
21
2211
2211
coscossinsin
cosAcosAsinAsinAtg
ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ .
Формула для амплитуды:
)cos1(2AcosAA2AAA 12122
21 ϕΔ+=ϕΔ++= .
Подставляя значения, находим:
16
414,0
4cos0cos
4sin0sin
tg =π
+
π+
=ϕ , 8π
=ϕ ,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π+⋅=
4cos123A =5,54 см, ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=8
t2cos54,5x , см.
Ответ: 1) А=5,54 см; 2) 8π
=ϕ ; 3) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π=8
t2cos54,5x , см.
Пример №2. Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических
колебаний одного направления, описывается уравнением вида t45costcosAx = (t – в секун-дах). Определите: 1) циклические частоты складываемых колебаний; 2) период биений резуль-тирующего колебания. Дано: Решение:
t45costcosAx = 1) 1ω -? 2ω -?
2) бТ -?
Результирующее колебание:
21 xxx += . Или:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ϕ+
ω+ωω−ω= t
2cost
2cosA2x 2121 .
Сравнивая с уравнением из условия, определяем:
12
21 =ω−ω ; 221 =ω−ω ;
452
21 =ω+ω ; 9021 =ω+ω .
Решая совместно полученные уравнения, находим 1ω и 2ω :
922 1 =ω ; 461 =ω 1с− ; 442 =ω 1с− .
Период биений вычисляем по формуле: 14,3с222Т 1б =π
=ωΔπ
= − с.
Ответ: 1) 461 =ω 1с− , 442 =ω 1с− ; 2) 14,3Тб = с.
Пример №3. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой
частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравне-
ниями ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω=2
tsinAx и tsinBy ω= . Определите уравнение траектории точки и вычертите её
с нанесением масштаба, указав направление её движения по этой траектории.
17
Дано: Решение:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω=2
tsinAx
tsinBy ω= y(x)-?
Преобразуем уравнение для колебания вдоль оси x:
tcosA2
tsinAx ω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω= .
Возведя оба уравнения в квадрат и сложив их, избавимся от параметра t и получим искомое уравнение траектории:
( ) 2222222222 AtsintcosAtsinAtcosAyx =ω+ω=ω+ω=+ .
Уравнение 222 Ayx =+ является уравнением окружности радиуса А. Определим направление движения:
t=0 x=A, y=0; 4Tt = x=0, y=A;
2Tt = x=-A, y=0;
4T3t = x=0, y=-A – против часовой стрелки.
Ответ: 222 Ayx =+ , против часовой стрелки. Пример №4. Период затухающих колебаний Т=1 с, логарифмический декремент затухания
Θ =0,3, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t=2T составляет 5 см. Запишите урав-нение движения этого колебания. Дано: Решение: Т=1 с Θ =0,3 ϕ =0 t=2T
1x =5 см=0,05 м x(t)-?
Запишем уравнение затухающих колебаний: tcoseAx t
0 ω= δ− (учли, что ϕ =0).
Циклическая частота:
T2π
=ω .
Коэффициент затухания δ найдём из соотношения:
Tδ=Θ ; TΘ
=δ .
В момент времени t=2T: Θ−⋅δ− =⋅
π= 2
0T2
01 eAT2T2coseAx .
Отсюда амплитуда в начальный момент времени: Θ
=2
exA 10 .
Таким образом, наше уравнение предстаёт в виде:
tT2coseAx T
0π
=Θ
δ−.
Подставляя численные значения, получаем: t2cose1,9x t3,0 π= − , см.
Ответ: t2cose1,9x t3,0 π= − , см.
18
Пример №5. При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последова-
тельных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период затухающих колебаний Т=0,5 с. Определите: 1) коэффициент затухания δ ; 2) для тех же условий частоту 0ν незатухающих колебаний. Дано: Решение:
12 А4,0А = Т=0,5 с
1) δ -? 2) 0ν -?
Логарифмический декремент колебаний по определению:
2
1
AAln=Θ .
Логарифмический декремент связан с коэффициентом затухания δ соотношением: Tδ=Θ .
Выразим δ :
2
1
AAln
T1
=δ .
Циклическая частота затухающих колебаний:
T2π
=ω .
С другой стороны: 22
0 δ−ω=ω .
Отсюда выражаем циклическую частоту незатухающих колебаний: 22
0 δ+ω=ω
Частота незатухающих колебаний:
( )2
2
122
2
12
00 A
Aln2T2
1AAln
T1
T2
21
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+π
π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
π=
πω
=ν .
Подставляя данные величины в выражения для δ и 0ν , получаем:
δ =1,83 1с− ; 0ν =2,02 Гц.
Ответ: 1) δ =1,83 1с− ; 2) 0ν =2,02 Гц.
Пример №6. За время, в течение которого система совершает N=50 полных колебаний, ам-
плитуда уменьшается в 2 раза. Определите добротность Q системы. Дано: Решение: N=50
2AA
N
0 =
Q-?
Добротность связана с логарифмическим декрементом формулой:
Θπ
=Q .
Логарифмический декремент: Tδ=Θ .
19
Амплитуда через N колебаний: N
0NT
0t
0N eAeAeAA Θ−δ−δ− === .
Выразим Θ :
2eAA N
N
0 == Θ ; 2lnN =Θ ; N
2ln=Θ .
Подставим Θ в формулу для добротности:
2lnNQ π
= .
Произведя расчёт, получим: Q=227. Ответ: Q=227. Пример №7. Определите минимальное активное сопротивление при разрядке лейденской
банки, при котором разряд будет апериодическим. Ёмкость C лейденской банки равна 1,2 нФ, а индуктивность проводов составляет 3 мкГн. Дано: Решение: C=1,2 нФ= 9102,1 −⋅ Ф
L=3 мкГн= 6103 −⋅ Гн R-?
При апериодическом разряде: ∞→T , 0→ω . Циклическая частота затухающих колебаний:
220 δ−ω=ω .
Условие стремления к нулю выполняется при δ=ω0 .
Собственная частота колебательного контура:
LC1
0 =ω .
Коэффициент затухания:
L2R
=δ .
Подставляем формулы для 0ω и δ в равенство δ=ω0 и выражаем R:
L2R
LC1
= ; CL2
LCL2R == .
Подставляя численные значения, получаем: R=100 Ом. Ответ: R=100 Ом. Пример №8. Гиря массой m=0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине жёсткостью k=50
Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=0,5 кг/с. На верх-ний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону tcos1,0F ω= , Н. Определите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания δ ; 2) резонансную амплитуду резA .
Дано: Решение: m=0,5 кг k=50 Н/м r=0,5 кг/с
tcos1,0F ω= , Н
1) δ -? 2) резA -?
Второй закон Ньютона для данной системы:
tcosFxrkxxm 0 ω+−−= .
После преобразования получаем дифференциальное уравнение вынуж-денных колебаний:
20
tcosmFxx2x 02
0 ω=ω+δ+ ,
где m2r
=δ - коэффициент затухания, mk2
0 =ω .
Уравнение вынуждающей силы в общем виде: tcosFF 0 ω= .
Сравнивая с данным уравнением, определяем:
0F =0,1 Н.
Амплитуда вынужденных колебаний находится по формуле:
( ) 222220
0
4m
FAωδ+ω−ω
= .
При резонансе: 22
0рез 2δ−ω=ω=ω .
Подставляя резω в формулу для амплитуды, получаем:
2
20
2
20
220
0рез
m4r
mkr
F
m4r
mkm
m2r2
Fm2
FA−
=
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=δ−ωδ
= .
Подставляя данные величины, находим: δ =0,5 1с− , резA =2 см.
Ответ: 1) δ =0,5 1с− ; 2) резA =2 см.
Занятие №29. Механические и электромагнитные вол-ны
Основные формулы Длина волны:
νυ
=υ=λ T , (1)
где υ - фазовая частота; Т – период колебаний. Уравнение плоской волны:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
υ−ω=ξ
xtcosA)t,x( , (2)
или ( )0kxtcosA)t,x( ϕ+−ω=ξ , (3)где )t,x(ξ - смещение точек среды с координатой x в момент времени t;
А – амплитуда волны; ω - циклическая частота;
υω=υπ=λπ= /)T/(2/2k - волновое число;
21
0ϕ - начальная фаза колебаний в точке с координатой x=0..
Разность фаз колебаний двух любых точек волны:
l2Δ
λπ
=ϕΔ , (4)
где lΔ - расстояние между точками. Фазовая скорость:
kω
=υ . (5)
Групповая скорость:
dkdu ω
= . (6)
Условие максимумов интерференционной картины:
2
m2maxλ
=Δ (m=0, 1, 2, …). (7)
Условие минимумов интерференционной картины:
2
)1m2(minλ
+=Δ (m=0, 1, 2, …). (8)
Уравнение сферической волны:
( )00 kxtcos
rA)t,x( ϕ+−ω=ξ , (9)
где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Уравнение стоячей волны:
tcoskxcosA2)t,x( ω=ξ , (10)
где 2
mx λ±= (m=0, 1, 2, …) – пучности;
221mx λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +±= (m=0, 1, 2, …) – узлы.
Интенсивность волны (плотность потока энергии):
dSdtdWI = . (11)
Уровень интенсивности звука:
0IIlgL = , (12)
где 120 10I −= Вт/м² – интенсивность звука на пороге слышимости.
Скорость звука в газе:
MRTγ
=υ , (13)
где i
2iCC
v
p +==γ .
Эффект Доплера в акустике:
ист
0пр )(υυ
νυ±υ=ν
∓, (14)
22
верхние знаки – сближение, нижние – удаление. Скорость распространения электромагнитных волн в среде:
εμ
==υc
nc . (15)
Уравнение плоской электромагнитной волны: ( )ϕ+−ω= kxtcosEE 0 ; ( )ϕ+−ω= kxtcosHH 0 . (16)
Объёмная плотность энергии электромагнитной волны:
)HE(21 2
02
0 μμ+εε=ω . (17)
Примеры решения задач Пример №1. Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на расстоянии
1x =4 м и 2x =7 м. Период колебаний Т=20 мс и скорость υ распространения волны равна 300 м/с. Определите разность фаз колебаний этих точек. Дано: Решение:
1x =4 м
2x =7 м
Т=20мс= 2102 −⋅ с υ=300 м/с
ϕΔ -?
Запишем формулу для разности фаз колебаний двух точек:
l2Δ
λπ
=ϕΔ ,
где 12 xxl −=Δ - расстояние между точками. Запишем формулу для длины волны:
Tυ=λ . Подставляя выражения для λ и lΔ в формулу для ϕΔ , получаем:
)xx(T
212 −υ
π=ϕΔ .
Произведя вычисления, находим: π=ϕΔ .
Ответ: π=ϕΔ , точки колеблются в противофазе. Пример №2. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с
положительным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью υ=10 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии 1x =7 м и 2x =10 м от источника ко-лебаний, колеблются с разностью фаз 5/3π=ϕΔ . Амплитуда волны А=5 см. Определите: 1) длину волны λ ; 2) уравнение волны; 3) смещение 2ξ второй точки в момент времени 2t =2 с.
23
Дано: Решение: υ=10 м/с
1x =7 м
2x =10 м 5/3π=ϕΔ
А=5 см=0,05 м
2t =2 с 1) λ -?
2) )t,x(ξ -?
3) 2ξ -?
Разность фаз:
)xx(212 −λ
π=ϕΔ .
Отсюда λ :
)xx(212 −ϕΔ
π=λ .
Запишем уравнение плоской синусоидальной волны:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
υ−ω=ξ
xtcosA)t,x( .
В этой формуле неизвестна только циклическая частота ω , найдём её по формуле:
T2π
=ω , υλ
=T , λπυ
=ω2 .
Смещение 2ξ второй точки определим, подставив в уравнение волны значения 2t и 2x :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
υ−ω=ξ 2
22xtcosA .
Подставляя данные величины, находим:
λ=10 м; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−π=ξ x5
t2cos05,0)t,x( , м; 2ξ =5 см.
Ответ: 1) λ=10 м; 2) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−π=ξ x5
t2cos05,0)t,x( , м; 3) 2ξ =5 см.
Пример №3. Определите групповую скорость для частоты ν =800 Гц, если фазовая скорость
задаётся выражением ba0 +ν=υ , где 0a =24 2/3см −⋅ , b=100 Гц.
Дано: Решение: ν =800 Гц
ba0 +ν=υ
0a = 24 2/3см −⋅
b=100 Гц u-?
Групповая скорость по определению:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛λ
ν=
νπ=
ω=
1d
ddkd2
dkdu .
Запишем формулу для длины волны:
ba0
+νν=
νυ
=λ .
Найдём дифференциал:
ν+ν+ν
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛λ
dbab5,11d
0
.
Подставляя это выражение в формулу для групповой скорости, получаем:
b5,1ba
d)b5,1(bad
1d
du 00
+ν+ν
=ν+ν
+νν=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛λ
ν= .
Подставляя численные значения, находим:
24
u=0,55 м/с. Ответ: u=0,55 м/с. Пример №4. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой ν =400
Гц. Скорость распространения колебаний в среде υ=1 км/с. Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю, будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ослабление колебаний. Дано: Решение: ν =400 Гц υ=1 км/с
maxΔ -?
minΔ -?
Длина волны:
νυ
=υ=λ T .
Разность хода при максимальном усилении колебаний:
2m2maxλ
=Δ , m=1, νυ
=Δmax .
Разность хода при максимальном ослаблении колебаний:
2)1m2(minλ
+=Δ , m=0, νυ
=λ
=Δ22min .
Вычисляя, получим: maxΔ =2,5 м; minΔ =1,25 м.
Ответ: maxΔ =2,5 м; minΔ =1,25 м.
Пример №5. Два динамика расположены на расстоянии d=2,5 м друг от друга и воспроизво-
дят один и тот же музыкальный тон на определённой частоте, который регистрируется приём-ником, находящимся на расстоянии l=3,5 м от центра динамиков. Если приёмник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние x=1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум. Скорость звука υ=340 м/с. Определите частоту звука. Дано: Решение: d=2,5 м l=3,5 м x=1,55 м υ=340 м/с
ν -?
Запишем формулу для частоты:
λυ
=ν .
Скорость υ нам известна, остаётся найти длину волны. Воспользуемся условием минимумов для разности хода:
2)1m2(ss 12minλ
+=−=Δ , m=0, 2minλ
=Δ
Из рисунка следует, что: 2
21 2
dxls ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= ,
22
2 2dxls ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= .
Таким образом, расчётная формула для частоты принимает вид:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
υ=
−υ
=λυ
=ν2
22
212
2dxl
2dxl2
)ss(2.
Проведя по ней вычисления, получаем: ν =175 Гц.
25
Ответ: ν =175 Гц. Пример №6. Труба, длина которой l=1 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца.
Принимая скорость звука υ=340 м/с, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Дано: Решение: υ=340 м/с l=1 м
0ν -?
Так как частота минимальна, то длина волны должна быть максимальной. Таким образом:
4l λ= .
Отсюда: l4=λ .
Длина волны:
0
Tνυ
=υ=λ .
Объединяя формулы, получаем:
0
l4νυ
= , l40υ
=ν .
Подставляя данные величины, находим: 0ν =85 Гц.
Ответ: 0ν =85 Гц.
Пример №7. Определите отношение интенсивностей звуков, если они отличаются по уров-
ню громкости на 2 фон. Дано: Решение: ГΔ =2 фон
2
1
II -?
Г=1 фон – единица уровня громкости. Для частоты ν =1000 Гц: Г=1 фон, если L=1 дБ. Г=2 фон, L=2 дБ=0,2 Б.
0
11 I
IlgL = , 0
22 I
IlgL = , 2
1
20
01
0
2
0
121 I
IlgIIIIlg
IIlg
IIlgLLL ==−=−=Δ .
2,0IIlgL
2
1 ==Δ Б, 2,0
2
1 10II= =1,58.
Ответ: 2
1
II =1,58.
26
Пример №8. Средняя квадратичная скорость >υ< кв молекул двухатомного газа при неко-торых условиях составляет 480 м/с.Определите скорость υ распространения звука в газе при тех же условиях. Дано: Решение:
>υ< кв =480 м/с i=5
υ -?
Запишем формулу для средней квадратичной скорости:
MRT3
кв >=υ< .
Скорость распространения звука в газе:
MRTγ
=υ ,
где i
2iCC
v
p +==γ .
Возьмём отношение:
γ=
υ>υ< 3кв .
Выразим υ :
3i2i кв >υ<+
=υ .
Вычисляем и получаем: υ=328 м/с. Ответ: υ=328 м/с. Пример №9. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со
скоростью 1υ =10 м/с, посылается ультразвуковой сигнал частотой 1ν =50 кГц, который распро-страняется в воде. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с часто-той 2ν =52 кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, определите скорость движения второго катера. Дано: Решение:
1υ =10 м/с
1ν =50 кГц= 4105 ⋅ Гц
2ν =52 кГц= 4102,5 ⋅ Гц υ=1,54 км/с=1540 м/с
2υ -?
Частота сигнала при отражении:
11
21 ν
υ−υυ+υ
=′ν .
Частота сигнала, принятого первым катером: ′ν
υ−υυ+υ
=ν 12
12 .
Подставляем ′ν1 :
11
2
2
12 ν
υ−υυ+υ
⋅υ−υυ+υ
=ν .
Преобразуем это выражение:
1
2
1
1
2
2
νν⋅
υ+υυ−υ
=υ−υυ+υ .
Введём обозначение:
b1
2
1
1 =νν⋅
υ+υυ−υ .
27
Итоговая формула:
υ+−
=υ1b1b
2 .
Вычисляем и получаем: 2υ =20,2 м/с.
Ответ: 2υ =20,2 м/с. Пример №10. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отражённый сигнал от ко-
торой дошёл до него за t=36 мкс. Учитывая, что диэлектрическая проницаемость воды ε =81, определите расстояние от локатора до подводной лодки. Дано: Решение: t=36 мкс= 5106,3 −⋅ с ε =81 μ=1
s-?
Расстояние, пройденное сигналом: ts2 υ= .
Скорость электромагнитной волны в воде:
εμ==υ
cnc .
Таким образом, искомое расстояние:
εμ=
2cts .
Вычисляя, находим: s=600 м. Ответ: s=600 м.
Примерный вариант автоматизированной контрольной работы – АКР №7
1. Точка совершает гармонические колебания с периодом Т=6 с и начальной фазой, равной
нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.
2. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А=6
см. Определите полную энергию Е колебаний груза, если жёсткость k пружины составляет 500 Н/м.
3. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во вза-
имно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями tcos3x ω= , см и tcos4y ω= , см. Определите уравнение траектории точки и вычертите её с нанесением масшта-
ба. 4. Определите логарифмический декремент затухания, при котором энергия колебательного
контура за N=5 полных колебаний уменьшается в n=8 раз. 5. Тонкий обруч радиусом R=50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плос-
кости, параллельной стене. Определите период Т колебаний обруча.
28
6. Математический маятник длиной l=50 см подвешен в кабине самолёта. Определите пери-од Т колебаний маятника, если самолёт движется: 1) равномерно; 2) горизонтально с ускорени-ем a=2,5 м/с².