МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И...

Федеральное агентство по образованию

__________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

__________________________________________________________

Кафедра прикладной математики

Д. В. Долгополов

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

Методические указания

Санкт-Петербург

2005

УДК 512.8

Долгополов Д. В. Методы нахождения собственных значений и

собственных векторов матриц: Методические указания.

СПб., СПбГТИ(ТУ), 2005. - 39 с.

Методические указания издаются с целью научить студентов применять

различные численные методы для нахождения собственных значений и

собственных векторов матриц. Рассмотрены методы Данилевского,

Крылова, Леверрье-Фаддеева, вращений, для каждого из этих методов

разобран численный пример.

Методические указания предназначены для студентов 2 курса

факультета информатики и управления специальности САПР № 220300 и

соответствуют рабочей программе учебной дисциплины "Вычислительная

математика".

Ил. 1, библиогр. 4 назв.

Рецензент: В. С. Капитонов, канд. физ.-мат. наук, доц.

кафедры высшей математики СПбГТИ(ТУ).

Утверждены на заседании учебно-методической комиссии физико-

математического отделения 07. 04. 2005.

Рекомендованы к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).

3

ВВЕДЕНИЕ

Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц –

одна из тех сложных вычислительных задач, с которой часто приходится

сталкиваться специалисту, занимающемуся проектированием или

анализом больших технических систем.

В электрических и механических системах собственные числа отвечают

собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют

соответствующие формы колебаний.

В теории динамических систем и связанных с ними системах линейных

дифференциальных уравнений, знание собственных значений позволяет

определить характер поведения системы во времени и решить вопрос об

устойчивости такой системы. Оценка величин критических нагрузок при

расчёте строительных конструкций также основана на информации о

собственных значениях и собственных векторах матриц.

Дальнейшее расширение процесса математического моделирования

ведёт к тому, что владение методами решения проблемы собственных

значений становится обязательным элементом инженерного образования.

1 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ И

СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ МАТРИЦ

Пусть -

21

22221

11211

ааа

ааа

ааа

A

nnnn

n

n

квадратная матрица порядка n

с вещественными элементами Rija , i, j =1, 2, … , n.

Комплексное число λC называется собственным значением матрицы

A , если существует ненулевой вектор n ,x, , xxx

21 с комплексными

компонентами Cix , удовлетворяющий уравнению

xλxA

(1)

и называемый собственным вектором матрицы A , отвечающим

собственному значению λ.

Запишем систему (1) в виде

0 xλEA

, (2)

где Е – единичная матрица порядка n.

4

Эта однородная система линейных алгебраических уравнений имеет

ненулевое решение x

тогда и только тогда, когда определитель матрицы

системы равен нулю, т.е.

0det

21

22221

11211

λaaa

aλaa

aaλa

EAλD

nnnn

n

n

(3)

Развёртывание этого определителя приводит к так называемому

характеристическому уравнению матрицы A :

,01 12

21

1 n

nnnn ppppD (4)

представляющему собой алгебраическое уравнение степени n.

Из курса алгебры известно, что алгебраическое уравнение степени n

имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней n , λ, , λλ 21 с

учётом их кратности. При этом из известной теоремы Виета, дающей связь

корней уравнения с его коэффициентами, следует, что

Ap- λ λλ

aaap λ λλ

nn

n

nnn

det1 121

2211121

(5)

Величина nnaaaSpA 2211 называется следом матрицы A .

Соотношения (5) можно использовать для контроля вычислений

собственных значений матрицы. Таким образом, каждая квадратная

матрица A порядка n обладает набором из n собственных значений

n , λ, , λλ 21 и соответствующих им собственных векторов nx , , x, x

21 .

Если матрица A симметричная, т.е. jiij aa , i, j = 1, 2, ... , n, то все её

собственные значения являются вещественными числами, а собственные

векторы ортогональны между собой,

т.е.

j ., ix

j, ixx

iji 2

0

Если матрица A несимметричная, то возможно наличие комплексных

собственных значений вида iβαλ . В этом случае собственным

значением матрицы обязательно является и комплексно-сопряженное

число iβαλ .

Прежде чем искать собственные значения матрицы, целесообразно

провести их локализацию, т.е. грубую оценку расположения их на

комплексной плоскости.

Решению этой задачи служит теорема Гершгорина: все собственные

значения матрицы A лежат в объединении кругов n , S, , SS 21 , где

5

,rz-aC :zS iiii

n

ij

jiji ar

1

- сумма модулей внедиагональных

элементов i-ой строки матрицы A ; если k кругов образуют замкнутую

область, изолированную от других кругов, то в этой области находится

ровно k собственных значений с учётом их кратности.

Пример 1

Для матрицы

505080

515350

50502

,,,

,,,

,,

A круги Гершгорина имеют вид :

315031508050

2532515053

12150502

3333

2222

1111

,,zC : z S,,,r ,a

,zC : z S,,r,a

zC : zS ,,r a

Рисунок 1 - Круги Гершгорина

Из этого рисунка видно, что в объединении кругов 1S и 2S находится

ровно два собственных значения 1 и 2 , а круг 3S содержит ровно одно

собственное значение 3 .

Если матрица A – симметричная, то теорема Гершгорина позволяет

определить границы вещественных собственных значений, которые будут

находиться в объединении интервалов ,iiiiiii r; ara ,n, , i 21 .

6

Пример 2

Для симметричной матрицы

26112

6150250

12311

250122

,

,,,

,

,,

A указанные

интервалы имеют вид:

66626461122

6463146125050

3572412131

753153250122

4444

3333

2222

1111

, ; ,,,ra

, ; ,,,,r,a

, ; ,r,a

, ; ,,,r,a

Для такой матрицы все собственные значения будут находиться внутри

интервала 66634321 , ; , .

В алгебре для вычисления собственных значений матрицы необходимо

составить характеристическое уравнение (4), развернув определитель (3), и

затем найти его корни n , λ, , λλ 21 , являющиеся собственными

значениями данной матрицы. Для нахождения собственных векторов

нужно для различных собственных значений решить систему линейных

уравнений (2). Получающиеся при этом собственные векторы будут

определены с точностью до постоянного множителя, поэтому в

большинстве случаев их нормируют, поделив каждый на его длину. Тогда

система собственных векторов симметричной матрицы становится

ортонормированной, т.е.

j, i

j, ixx ji

1

0 .

Численные методы решения проблемы собственных значений условно

делятся на две группы:

1) точные методы, основанные на вычислении коэффициентов

характеристического уравнения и его последующем решении (методы

Данилевского, Крылова, Леверрье-Фаддеева и др. );

2) итерационные методы, основанные на вычислении части или всех

собственных значений без использования характеристического

уравнения, как пределов некоторых числовых последовательностей

(степенной метод, QR – алгоритм, метод вращений и др.).

Некоторые из этих методов будут изложены в дальнейшем.

7

2 МЕТОД А.М. ДАНИЛЕВСКОГО

2.1 Вычисление собственных значений

Сущность метода А. М. Данилевского заключается в преобразовании

исходной матрицы

21

22221

11211

ааа

ааа

ааа

A

nnnn

n

n

(6)

в подобную ей матрицу Фробениуса

0100

0001

121

nn pppp

P (7)

по формуле 1 BABP с помощью матрицы подобия B . При этом

BλEABBλEABAB-λBBEP detdetdetdetdetdet 111

EP det , что означает совпадение характеристических уравнений

подобных матриц.

Докажем методом математической индукции, что характеристическое

уравнение матрицы P имеет вид:

-λ

-λ

pppλp

EP

nn

100

001det

121

01 12

21

1

nnnnnn pλp λpλpλ .

Пусть n=2, тогда 21221

1det λ-p-pλ

-λ

pλpEP

.

Предположим, что при n=k kkkk p λpλEP 1

11det

и возьмём n=k+1. Тогда

8

λ

λ

λ

ppppλp

λEP

kkk

1000

0100

0001

det

1121

λ

λ

ppλp

λ

λ

λ

λ

p

k

kk

k

00

011

1000

000

010

001

1

21

221

2

k

kkkk

k pλpλλp 111

2 11

11111 kk

kkk pλpλpλ , что и доказывает наше

утверждение.

Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения

матрицы A определяются первой строкой матрицы P .

Согласно методу А.М. Данилевского, переход от матрицы A к

подобной ей матрице P осуществляется с помощью n-1 преобразований

подобия, последовательно преобразующих строки матрицы A , начиная с

последней, в соответствующие строки матрицы P .

Рассмотрим эти преобразования подробно.

На первом этапе, предполагая, что 01 n,n-a , построим матрицу 1B ,

заменив в единичной матрице порядка n элементы n-1 строки на значения

a

b

;n- ja

ab

n,nnn

n,n

nj,jn

-,

1

11

1

1

11

(8)

1000

0010

0001

1112111

1

,nn,nn,n,n bbbb

B (9)

Умножим справа матрицу A на матрицу 1B

9

0100

1112111

2122221

1111211

1

,nn,nn,n,n

,n,n

,n,n

cccc

cccc

cccc

CBA , (10)

где n .i bac

;n-n, ji baiaic

,nni,ni,n

,jni,njj

1

11

1111

11 (11)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что обратная матрица 11-B

имеет вид

1000

0010

0001

121

11

nnn,nnn aaaa

B (12)

Пусть 11

11 ABBD , следовательно, CBD 111 . Так как, очевидно,

умножение слева матрицы C на матрицу 11B не изменяет последнюю

строку C , то матрица 1D имеет вид

0100

1112111

2122221

1111211

1

,nn,nn,n,n

n,n

n,n

dddd

dddd

dddd

D , (13)

где n . j cad

; n- i cd

n

kkjnk,jn

ijij

11 1

21

(14)

Полученная матрица 1D подобна матрице A и имеет одну

преобразованную строку. Этим заканчивается первый этап процесса.

На втором этапе, предполагая, что 021 ,nnd , построим матрицу 2B ,

заменив в единичной матрице порядка n элементы n-2 строки на значения

10

2122

21

12

1

2

,nn,nn

,nn

,jn,jn

db

;n jd

db

(15)

1000

0100

0010

0001

21222122

,nn,nn,n,n ddddB (16)

Далее, взяв в качестве матрицы A матрицу 1D и проведя вычисления по

формулам (11) и (14), получим матрицу 211

22 BDBD с двумя

преобразованными строками. Над матрицей 2D проделываем те же

операции. Продолжая этот процесс, мы получим матрицу Фробениуса

,BBBBABBBBP nnnn 12211

11

21

211

(17)

если все n-1 промежуточных преобразований возможны.

Из формулы (17) очевидно, что неособенная матрица подобия при

преобразовании A к P может быть записана как

.BBBBB nn 1221 (18)

Процесс А.М. Данилевского происходит без всяких осложнений, если

элементы матриц, на которые производится деление в формулах (8) и (15)

отличны от нуля. Остановимся сейчас на исключительных случаях, когда

это требование нарушается.

Допустим, что при преобразовании матрицы A в матрицу Фробениуса

P после нескольких шагов получена матрица

0100000

0010000

0001000

0 1121

111111111211

knk,nk,kk,kkk

n,n,kk,k

dddddd

ddddddd

D

т.е. оказалось, что 01 k,k-d .

11

Тогда продолжать преобразование по методу А.М. Данилевского

нельзя. Здесь возможны два случая.

1) Пусть 0k,md , где 1 km . Тогда этот элемент выдвигаем на место

нулевого элемента 1k,k-d , т.е. переставляем (k-1)–й и m–й столбцы

матрицы D и, одновременно, переставляем её (k-1)–ю и m–ю строки.

Можно доказать, что полученная новая матрица D будет подобна

прежней. К новой матрице применяем метод А.М. Данилевского.

2) Пусть 0kmd , где 121 , k, , m , тогда D имеет вид

В таком случае для матрицы D , разбитой на четыре клетки

λEDλEDλED detdetdet . При этом матрица D уже

приведена к форме Фробениуса и

1det 11

111

knk,nkn

k,kkn

kkknkn dλdλdλdλλE)D(

. Остаётся применить метод А.М. Данилевского к матрице D .

2.2 Нахождение собственных векторов

Пусть y

- собственный вектор матрицы P (2), отвечающий

собственному значению λ . Тогда yλyP

или в координатном виде

1

32

21

1112211

nn-

nnnn

λy y

λy y

λy y

λyypypypyp

Полагая 1ny , мы получим, используя последовательно эти уравнения с

низу вверх, 1

12

21

nnn λ ,y , λλ , yy .

121 , λ, , , λλy nn

(19)

12

Так как матрицы A (6) и P (7) подобны, то BABP 1 , а матрица

подобия B определяется формулой (18). Тогда yλyABB

1 или

yλByBA

. Это означает, что вектор

1

2

1

λ

λ

λ

ByBx

n

n

(20)

является собственным вектором матрицы A , отвечающим собственному

значению λ .

2.3 Пример 3

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

26,112

6,15,025,0

123,11

25,012,2

A методом А.М. Данилевского.

Вычислим собственные значения матрицы A , используя формулы (8) -

(16).

1-й этап

1000

25162506250251

0010

0001

100061

2

61

1

61

1

61

20010

0001

1,,,,

,,,,

B

1000

26112

0010

0001

11

,B

13

0100

81,2375,4125,445,1

5,125,105,05,1

375,13125,06875,0575,1

11

11 BABD

2-й этап

1000

0100

81237541254451

0001

1000

0100

68120060612424035150

0001

1000

01001254

812

1254

3754

1254

1

1254

4510001

12

2

,,,,B

,,,,

,

,

,

,

,,

,

B

0100

0010

0133,51433,76667,43267,4

9067,04167,01667,03333,1

211

22 BDBD

3-й этап

1000

0100

001032674

01335

32674

14337

32674

66674

32674

1

3

,

,

,

,

,

,

,

B

1000

0100

0010

1587165110786123110 ,-,,,-

14

1000

0100

0010

01335143376667432674

13

,-,,,-

B

0100

0010

0001

7616273512206

321

33

,,,

PBDBD

Первая строка матрицы P определяет коэффициенты

характеристического уравнения матрицы A , которое имеет вид

07616273512206 234 ,λ,λ,λλ . Корни этого уравнения будут

собственными значениями матрицы A . Решая уравнение одним из

численных методов [1] (методом половинного деления, комбинированным,

итераций и др.), находим 142011 ,λ , 222602 ,λ , 545413 ,λ ,

65254 ,λ . При этом для отделения корней можно использовать результат

примера 2.

Найдем собственные векторы матрицы A с помощью формул (18)-(20).

Матрица подобия

1000

36960413202628123810

2739064111367008120

1587165110786123110

321,,,,

,,,,

,,,,

BBBB

1

6525

945531

5568180

1

6525

6525

6525

1

54541

38832

6913

1

54541

54541

54541

1

22260

04960

0110

1

22260

22260

22260

1

42011

01662

86382

1

42011

42011

42011

2

3

4

2

3

3

2

3

2

2

3

1

,

,

,

,

,

,

y ,

,

,

,

,

,

y

,

,

,

,

,

,

y ,

,

,

,

,

,

y

Собственные векторы матрицы A

15

1

690

75310

89750

1

40592

83652

11573

1

21760

64510

74020

1

27232

5481

66630

4433

2211

,

,

,

y Bx ,

,

,

yBx

,

,

,

y Bx ,

,

,

yBx

Если эти векторы нормировать каждый на свою длину, т.е. найти

i

ii

x

xx

4321 , , , i ,то получим ортонормированную систему

собственных векторов матрицы A

59250

40880

44620

53170

20190

48570

57260

62890

70510

15340

45490

52190

33330

75730

51590

2220

4321

,

,

,

,

x

,

,

,

,

x

,

,

,

,

x

,

,

,

,

x

3 МЕТОД А.Н. КРЫЛОВА


Согласно тождеству Гамильтона – Кели [4], матрица A удовлетворяет

своему характеристическому уравнению (4), поэтому

012

21

1 EpApApApA nn

nnn (21)

Возьмём произвольный ненулевой вектор

0

10

0

ny

y

y

и умножим обе

части равенства (21) справа на 0y

000102

201

10

ypyApyApyApyA nnnnn

(22)

Положим

, n,, , kyAy kk

210 (23)

тогда равенство (22) приобретает вид

16

00112211

ypypypypy nnn-n-n (24)

где , n., , k

y

y

y

nk

k

k

10

1

Векторы ky

удобно находить с помощью рекуррентной формулы

, n, , kyAy kk

211 (25)

Следовательно, векторное равенство (24) эквивалентно системе

линейных алгебраических уравнений

, n, , i

yypypypyp ininin-i,ni,n

21

0112211

(26)

из которой можно найти неизвестные значения n , p, , pp 21 ,

определяющие коэффициенты характеристического уравнения (4). Если

векторы ky

110 , n, , k линейно независимы, то система (26)

будет иметь единственное решение, если эти векторы окажутся линейно

зависимы, то можно изменить начальный вектор 0y

.


Для простоты ограничимся случаем, когда характеристический

многочлен

nnn-n-n pλpλpλpλλD 1

22

11 (27)

имеет различные корни n , λ, , λλ 21 , которые будем считать уже

найденными из характеристического уравнения. Разложим вектор 0y

,

использовавшийся при вычислении собственных значений, по

собственным векторам nx , , x , x

21 матрицы A

nnxcx cxcy

22110 (28)

где , n , , ici 210 - некоторые коэффициенты. Отсюда,

учитывая, что

, n, , ixλxA

xλxA

xλxA

inii

n

iii

iii

2111

22

(29)

получим

17

nnnn

nnn

nnn

nnn

xλcx λcxλcy

xλcx λcxλcy

xλcx λcxλcy

12

1221

1111

22

2221

2112

2221111

(30)

Пусть , n, , iqλqλλQ ,inn

in

i 2112

11

(31)

произвольная система многочленов. Составляя линейную комбинацию

векторов 021 y , , y,y nn

с коэффициентами из (31) в силу соотношений

(28) и (30) находим

, n, , i

xλQcxλQcxλQc

y q yqy

nninii

,innin

21222111

01211

(32)

Если положить

, n ,, , iλ-λ

λDλQ

ii 21 (33)

то, очевидно

i, jλD

i, jλQ

iji

0

0

Формула (32) при этом принимает вид

, n, , iyqyqyxλQc ,inniniiii

2101211 (34)

Коэффициенты 121 , n-, , jq ji могут быть легко определены по

схеме Горнера

1211 10 , n-, , jpqλ , qq j,ijijii (35)

Таким образом, формула (34), в которой коэффициенты вычисляются по

формуле (35), определяет собственный вектор ix

, отвечающий

собственному значению iλ , с точностью до числового множителя.

3.3 Пример 4


26112

6150250

12311

250122

,

,,,

,

,,

A методом А.Н. Крылова.

18

Вычислим собственные значения матрицы, используя формулы (25),

(26) и результаты, полученные в примере 3.

Выберем начальный вектор

0

0

0

1

0y

. Тогда

93321

7825220

605239

0006291

5657

6437

8441

37352

210

556

56

0910

2

50

1

22

3423

1201

,

,

,

,

yAy,

,

,

,

,

yAy

,

,

,

,

,

yAy , ,

,

yAy

Таким образом, система для нахождения 4321 , p, p, pp имеет вид

9332122105657

7825220505566437

605239568441

000629122091037352

321

321

321

4321

, p p, p,

, p,p, p,

, pp, p,

,pp,p,p,

Эту систему линейных алгебраических уравнений можно решить по

формулам Крамера или методом Гаусса [1].В результате решения получим

, p 61 202 , ,p 735123 , ,p 761624 , p . Таким образом,

характеристическое уравнение матрицы A имеет вид

07616273512206 234 ,λ,λ,λλ . Его корни, являющиеся

собственными значениями матрицы A , были найдены в примере 3:

420111 ,λ , 222602 ,λ , 545413 ,λ , 65254 ,λ .

Найдем собственные векторы матрицы A с помощью формул (35) и

(34) для всех собственных значений.

19

54942

7935

94663

69861

9447133721042017

944717351233721042011

337210204201742011

420176142011

1

42011

01231

31

21

11

01

1

,

,

,

,

y,y,y,yx

,,,,q

,,,,q

,,q

q

,λ

34164

94490

80092

21383

4041124862177745

404112735124862122260

48621207774522260

777456122260

1

22260

01232

32

22

12

02

2

,

,

,

,

y,y,y,yx

,,,,q

,,,,q

,,q

q

,λ

0451,2

9204,4

801,5

372,6

787,10842,74546,4

787,1)735,12()0842,7(5454,1

0842,72,0)4546,4(5454,1

4546,4615454,1

1

5454,1

01233

33

23

13

03

3

yyyyx

q

q

q

q

20

6773,49

2774,34

4115,37

5838,44

4886,01667,2348,0

4886,0)735,12()1667,2(652,5

1667,22,0)348,0(652,5

348,061652,5

1

652,5

01234

34

24

14

04

4

yyyyx

q

q

q

q

Если каждый из векторов 4321 ,,, xxxx

нормировать на его длину, то мы

придем к ортонормированной системе собственных векторов матрицы А, с

точностью до множителя (-1) совпадающих с полученными в примере 3:

5925,0

4088,0

4462,0

5317,0

2019,0

4857,0

5726,0

6289,0

7051,0

1534,0

4549,0

5219,0

3333,0

7573,0

5159,0

222,0

4321 xxxx

4 МЕТОД ЛЕВЕРРЬЕ-ФАДДЕЕВА


Этот метод получения характеристического уравнения матрицы

основан на формулах Ньютона [4] для сумм степеней корней

алгебраического уравнения.

Пусть

nnnn pppD ...)( 2

21

1 (36)

характеристический многочлен матрицы А и n ,...,, 21 - полная

совокупность его корней, где каждый корень повторяется столько раз,

какова его кратность.

21

Обозначим ,...21

kn

kkkS k=1,2,…,n. Тогда при

nk справедливы формулы Ньютона:

,... 1111 SpSpSpk kkkk k=1,2,…,n (37)

Если числа kS известны, то, решая рекуррентную систему (37), можно

найти нужные коэффициенты kp :

)...(1

..............................

)(2

1

1111

1122

11

SpSpSn

p

SpSp

Sp

nnnn

(38)

Из формул (29) следует, что числа niki ,...2,1, являются

собственными значениями матрицы kА , а из формул (5) вытекает, что k

k SpAS , k=1,2,…,n, (39)

где kSpА - сумма элементов главной диагонали (след) матрицы kА .

Степени AАА kk 1 находятся непосредственным перемножением.

Таким образом, схема развертывания определителя (3) по методу

Леверрье состоит в следующем: сначала вычисляются kА , k=1,2,…,n –

степени данной матрицы А, затем находятся соответствующие kS - суммы

элементов главных диагоналей матриц kА и , наконец, по формулам (38)

определяются искомые коэффициенты kp , k=1,2,…,n.

Д.К.Фаддеев предложил видоизменение метода Леверрье, которое

кроме упрощений при вычислении коэффициентов характеристического

многочлена позволяет определить обратную матрицу и собственные

векторы матрицы.

Будем вместо последовательности nААА ,...,, 2 вычислять

последовательность nAAА ,..., 21 , построенную следующим образом:

22

1

21

12

1

..............

,

,

nn

nn

ABA

ABA

ABA

AА

nn

nn

qn

SpA

qn

SpA

qSpA

qSpA

11

22

11

1

..................

,2

,

,

.....................

111

222

111

ЕqAB

ЕqAB

ЕqAB

ЕqAB

nnn

nnn

(40)

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Докажем, что а) nn pqpqpq ,...,, 2211 ;

б) nB - нулевая матрица;

в) если А – неособенная матрица, то n

n

p

BA 11 .

а) Используем метод математической индукции. Пусть n=1, тогда

11 qSpAp . Предположим, что при n=k kk pqpqpq ,..., , 2211 , и

возьмем n=k+1. Согласно (40)

ApApAAqAqAA kkk

kkk

k ...... 1

11

11 . Следовательно

.......)1( 11111

11 SpSpSSpApSpApSpAqkSpA kkkkkk

kk

Отсюда в силу формул Ньютона 11 )1()1( kk pkqk и,

следовательно, 11 kk pq , что доказывает а).

б) В силу тождества Гамильтона-Кели [4]

0...11 EpApAB n

nnn (41)

в) Из формул (40) и (41) следует, что EpEpBAAB nnnnn 1 ,

поэтому n

n

p

BA 11 .

Таким образом коэффициенты характеристического многочлена

матрицы А определяются с помощью формул (40).

23


Построим матрицу

12121 ...

nnini

nii BBBEQ , (42)

где kB - матрицы, вычисленные по формулам (40), а i - i-е

собственное значение матрицы А.

Можно доказать, в предположении, что все n ,...,, 21 различны, что

матрица iQ ненулевая.

Покажем, что каждый столбец матрицы iQ , состоит из компонент

собственного вектора, отвечающего собственному значению i .

Действительно,

0...

)(

...)()(

......

)...)(()(

12

21

1

121

122

11

12

121

122

22

11

1223

121

EpEpEpEpE

ABABB

ABBABEABAB

ABABBBBE

BBBBEAEQAE

nnini

ni

ni

nnni

ni

ni

ninni

ni

ninini

ni

ni

ni

nnini

ni

niiii

Отсюда следует, что для любого столбца y

построенной матрицы iQ

0)(

yAEi , т.е. y

- собственный вектор матрицы А, отвечающий

собственному значению i .

Вычисляя собственные векторы описанным образом, нет

необходимости находить все столбцы матрицы iQ . Следует ограничиться

вычислением одного (любого) столбца, для чего удобно пользоваться

рекуррентной формулой:

,0 ey

kkik byy

1 k=1,2,…,n-1, (43)

где kb

- одноименный с вычисляемым столбцом матрицы iQ столбец

матрицы kB , а e

- одноименный столбец единичной матрицы.

Тогда собственный вектор ix

матрицы А, отвечающий собственному

значению i , есть 1 ni yx

.

24

4.3 Пример 5


26,112

6,15,025,0

123,11

25,012,2

A методом Леверрье-Фаддеева.

Вычислим собственные значения матрицы А, используя формулы (40) и

результаты, полученные в примере 3.

26,112

6,15,025,0

123,11

25,012,2

1A

1000

0100

0010

0001

Е

625,03,12,21 p

46,112

6,15,525,0

127,41

25,018,3

111 EpAB

44,06,25,28,1

6,206,43,655,3

5,23,611,05,0

8,155,35,011,3

12 ABA

2,0)44,006,411,011,3(2

12 p

64,06,25,28,1

6,286,33,655,3

5,23,631,05,0

8,155,35,031,3

222 EpAB

54,6776,139,404,4

776,1055,1348,076,1

39,448,0003,1064,2

04,476,164,2607,8

23 ABA

25

735,12)54,6055,13003,10607,8(3

13 p

195,6776,139,404,4

776,132,048,076,1

39,448,0732,264,2

04,476,164,2128,4

333 EpAB

7616,2000

07616,200

007616,20

0007616,2

34 ABA

7616,24 p

2433,26431,05897,14629,1

6431,01159,01738,06373,0

5897,11738,09893,0956,0

4629,16373,0956,04948,1

4

31

p

ВA

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы А имеет вид

07616,2735,122,06 234 . Его корни, являющиеся

собственными значениями матрицы А, были найдены в примере 3:

652,5 ,5454,1 ,226,0 ,4201,1 4321 .

Найдем собственные векторы матрицы А с помощью формулы (43) для

всех собственных значений.

Для вычислений по этой формуле выберем первые столбцы единичной

матрицы и найденных выше матриц kB , k=1,2,3 т.е. возьмем

0

0

0

1

0y

2

5,0

1

8,3

1b

8,1

55,3

5,0

31,3

2b

04,4

76,1

64,2

128,4

3b

26

2

5,0

1

2201,5

4201,1

1011

1

byy

6402,4

84,2

9201,0

103,4

2112 byy

5494,2

793,5

9466,3

6986,1

32131 byyx

2

5,0

1

5774,3

2226,0

1021

2

byy

3547,1

6613,3

7226,0

1064,4

2122 byy

3416,4

9449,0

8009,2

2138,3

32232 byyx

2

5,0

1

2546,2

5454,1

1031

3

byy

2908,1

3227,4

0454,2

7943,6

2132 byy

0451,2

9204,4

801,5

372,6

32333 byyx

27

2

5,0

1

852,1

652,5

1041

4

byy

5041,9

376,6

152,6

1577,7

2142 byy

6773,49

2774,34

4115,37

5838,44

32334 byyx

Векторы 4321 ,,, xxxx

в точности совпадают с полученными в примере

4. Если каждый из этих векторов нормировать на его длину, то мы придем

к ортонормированной системе собственных векторов матрицы А:

3333,0

7573,0

5159,0

222,0

1x

7051,0

1534,0

4549,0

5219,0

2x

2019,0

4857,0

5726,0

6289,0

3x

5925,0

4088,0

4462,0

5317,0

4x

5 МЕТОД ВРАЩЕНИЙ


Метод вращений позволяет для симметричных матриц решить задачу

отыскания всех собственных значений и собственных векторов без

использования характеристического уравнения.

Известно [4], что для симметричной матрицы А существует

ортогональная матрица U такая, что

,AUUT (44)

где TU - транспонированная к U матрица, - диагональная матрица.

Так как 1UU T (условие ортогональности), то матрица подобна

матрице А и, на основании доказанного в 2.1, имеет те же собственные

28

значения, что и матрица А. Так как собственными значениями

диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, то зная U, мы

можем найти все собственные значения матрицы А.

В методе вращений матрица U строится как предел последовательности

произведений матриц простых поворотов, при которых все оси координат

кроме двух остаются неподвижными. При этом матрицы простых

поворотов подбираются так, чтобы при преобразовании матрицы с

помощью матрицы простого поворота на каждом шаге уничтожался

максимальный по абсолютной величине недиагональный элемент.

Итерационный процесс осуществляется следующим образом.

На первом этапе в матрице А находится максимальный по абсолютной

величине элемент )( 0000jiа ji . Строится ортогональная матрица

простого поворота вида

00

0

0

00

00

1

1

...

1

cos....sin

.1.

.....

.....

.1.

sin....cos

...

1

ji

j

i

U

(45)

где все невыписанные элементы нулевые. Угол 1

подбирается так,

чтобы у матрицы

)()1(

00)1(

ijT aAUUА i=1,2,…,n j=1,2,…,n (46)

элемент )1(

00 jia обратился бы в нуль. Найдем выражение этого элемента.

При умножении матрицы А на матрицу 0U получим матрицу 0AUB ,

отличающуюся от А только столбцами с номерами 0i и 0j , причем

последние имеют такой вид:

29

00

02022

01011

0

sincos

...

sincos

sincos

000

000

000

njnini

jii

jii

aab

aab

aab

i

00

02022

01011

0

cossin

...

cossin

cossin

000

000

000

njninj

jij

jij

aab

aab

aab

j

Матрица BUА T0

)1( отличается от матрицы В только строками с

номерами 0i и 0j причем эти строки имеют такой вид:

,cossin...,

,...cossin ,cossin :

,sincos...,

,...sincos ,sincos :

00)1(

0202)1(20101

)1(10

00)1(

0202)1(20101

)1(10

000

000000

000

000000

njninj

jijjij

njnini

jiijii

bba

bbabbaj

bba

bbabbai

Таким образом,

00

000000)1(

2cos2sin)(2

1

sin)cossin(cos)cossin(

000000

0000000000

jiiijj

jjijjiiiji

aaa

aaaaa

Из требования, что ,000

)1( jia получаем

)2

(2

1

22

0000

00

0000

00

0

0

jjii

ji

jjii

ji

aa

aarctg

aa

atg

(47)

Матрица )1(A будет симметричной, т.к. из формулы (46) имеем

)1(000000

)1( )()( AUAUUAUAUUА TTTTTT .

Заметим, что при умножении матрицы А слева на ортогональную

матрицу U не изменяются суммы квадратов элементов по столбцам, а при

умножении справа матрицы А на ортогональную матрицу V не изменяются

суммы квадратов элементов по строкам.

Докажем первую часть утверждения. Пусть kа

- вектор-столбец,

элементами которого являются элементы k-го столбца матрицы А. Тогда

30

.)()(22

kkT

kkTT

kkT

kk aaaaUUaaUaUaU

Вторая часть утверждения доказывается аналогично.

Из этого утверждения следует, что при умножении матрицы А справа на

ортогональную матрицу U или (и) слева на ортогональную матрицу V не

изменяется сумма квадратов всех элементов.

Так как матрицы А и )1(A отличаются только элементами строк и

столбцов с номерами 0i и 0j , то

ijij аa )1(

00 , jii 00 , jij (48)

При умножении А справа на 0

U изменяются только столбцы 0i и 0j и

при этом не изменяются суммы квадратов элементов строк, поэтому 2)1(2)1(22

0000 ijiiijiiаaаa 00 , jii (49)

При умножении 0

AU на TU0

слева изменяются лишь строки с номерами

0i и

0j и не изменяются суммы квадратов элементов столбцов, поэтому

2)1(2)1(22

0000 jjjijjjiаaаa 00 , jij (50)

Обозначим через 0S и 1S суммы квадратов элементов, не лежащих на

главной диагонали, для матриц А и )1(A , соответственно. Учитывая

соотношения 0000ijji

аa и 000

00

)1()1( ijji

аa и формулы (48), (49), (50),

имеем

)1(

22

2

022)1(2)1(2)1(2)1(

2222210

0000

000

000

000

0

000

000

000

00000

nn

Saaaaa

aaaaaSS

jijii

ijjii

iijij

jjjij

ji

jiiij

jiiii

jijjj

jijjiji

Следовательно,

001)1(

21 qSS

nnS

,

где .1)1(

21

nnq

Далее процесс повторяется.

Предположим, что уже построена матрица )1( kA . Тогда k-й этап

состоит в следующем. В матрице )1( kA ищется наибольший по

абсолютной величине элемент ).( 11)1(

11

kk

kji

jiakk

Строится

31

ортогональная матрица простого поворота )1( kU вида (45) с заменой

000 ,, ji соответственно на 111 ,, kkk ji . Угол 1k подбирается из

условия, что элемент )1(

11

kji kk

a матрицы

1)1(

1)(

k

kTk

k UAUA (51)

обращается в нуль. Для этого 1k

должно удовлетворять условию

)1()1(

)1(

1

1111

112

2

1

kjj

kii

kji

k

kkkk

kk

aa

aarctg (52)

При этом, так же как и выше, можно показать, что

1 kk qSS ,

где kS и 1kS суммы квадратов элементов, не лежащих на главной

диагонали, для матриц )1( kA и )(kA , соответственно, .)1(

21

nnq

Таким образом, мы построили последовательность симметричных

матриц )(kA k=0,1,2…, где

120021)( ......

kkTT

kTk

k UUAUUUUA (53)

причем

01 ... SqqSS kkk (54)

Из (54) и неравенства 0<q<1 следует, что сумма квадратов элементов

матрицы )(kA , не лежащих на главной диагонали, стремится к нулю при

k . Так как при этом сумма квадратов всех элементов матрицы )(kA

остается неизменной (равной сумме квадратов элементов матрицы А),

последовательность матриц )(kA сходится при k к диагональной

матрице . В матрице в силу соотношений (53) и (44) на главной

диагонали будут находиться собственные значения матрицы А, причем

последовательность матриц

1210)( ... kk

k UUUUU (55)

сходится при k к ортогональной матрице U из (44).

32


Если i - i-й диагональный элемент матрицы , определяемой

формулой (44), то соответствующим ему собственным вектором будет

вектор

0

...

0

1

0

...

0

ie

i-я строка,

т.е. iiiT eeAUU

или в силу ортогональности матрицы U iii eUeAU

.

Это равенство показывает, что вектор ii eUx

есть собственный вектор

матрицы А, отвечающий собственному значению i . Компонентами

вектора ix

являются элементы i-го столбца матрицы U. Таким образом,

последовательность матриц )(kU , определяемых (55), сходится при k

к матрице со столбцами из собственных векторов матрицы А.

Так как сумма квадратов элементов строк и столбцов матрицы простого

поворота kU равна единице, то из доказанного в 5.1 и формулы (55)

следует, что сумма квадратов элементов строк и столбцов матрицы )(kU

будет тоже равна единице. Это означает, что получаемая по методу

вращений система собственных векторов матрицы А будет

ортонормированной.

При приближенном решении задачи задаются малой величиной 0 и

продолжают процесс до тех пор, пока не выполнятся неравенства )(k

ija

при всех ji , и за приближенные значения собственных значений

матрицы А принимают диагональные элементы матрицы )(kA (53), а за

собственные векторы – столбцы матрицы )(kU (55).

33

5.3 Пример 6


26,112

6,15,025,0

123,11

25,012,2

A методом вращений.

Зададим =0,001.

Вычислим собственные значения матрицы А, используя формулы (47),

(45), (46), (52), (51).

1-й этап:

;10 i ;40 j ;7604,022,2

22

2

10

arctg

;7245,0cos 0 ;6892,0sin 0

7245,0006892,0

0100

0010

6892,0007245,0

0U

0975,08147,00353,00

8147,05,02465,1

0353,023,14138,1

0465,14138,11025,4

00)1( AUUA T

2-й этап:

;21 i ;31 j ;6867,05,03,1

22

2

11

arctg

;7733,0cos 1 ;634,0sin 1

1000

07733,0634,00

0634,07733,00

0001

1U

34

0975,06076,05438,00

6076,01396,102367,0

5438,009396,20221,2

02367,00221,21025,4

1)1(

1)2( UAUA T

3-й этап:

;12 i ;22 j ;6454,09396,21025,4

0221,22

2

12

arctg

;7989,0cos 2 ;6015,0sin 2

1000

0100

007989,06015,0

006015,07989,0

2U

0975,06076,04344,03271,0

6076,01396,11424,01891,0

4344,01424,0417,10

3271,01891,006251,5

2)2(

2)3( UAUA T

4-й этап:

;33 i ;43 j ;3882,00975,01396,1

6076,02

2

13

arctg

;9256,0cos 3 ;3786,0sin 3

9256,03786,000

3786,09256,000

0010

0001

3U

346,003482,03743,0

03881,12962,00512,0

3482,02962,0417,10

3743,00512,006251,5

3)3(

3)4( UAUA T

5-й этап:

;14 i ;44 j ;0704,0346,06251,5

3743,02

2

14

arctg

;9975,0cos 4 ;0704,0sin 4

35

9975,0000704,0

0100

0010

0704,0009975,0

4U

3196,00036,03473,00

0036,03881,12962,0051,0

3473,02962,0417,10245,0

0051,00245,06515,5

4)4(

4)5( UAUA T

6-й этап:

;25 i ;45 j ;2883,03196,0417,1

3473,02

2

15

arctg

;9605,0cos 5 ;2784,0sin 5

9605,002784,00

0100

2784,009605,00

0001

5U

2189,0079,000068,0

079,03881,12855,0051,0

02855,05177,10235,0

0068,0051,00235,06515,5

5)5(

5)6( UAUA T

7-й этап:

;26 i ;36 j ;097,0)3881,1(5177,1

)2855,0(2

2

16

arctg

;9953,0cos 6 ;0969,0sin 6

1000

09953,00969,00

00969,09953,00

0001

6U

2189,00787,00077,00068,0

0787,04159,100531,0

0077,005455,10185,0

0068,00531,00185,06515,5

6)6(

6)7( UAUA T

36

8-й этап:

;37 i ;47 j ;048,02189,04159,1

0787,02

2

17

arctg

;9989,0cos 7 ;0479,0sin 7

9989,00479,000

0479,09989,000

0010

0001

7U

2227,000076,00043,0

04197,10004,00533,0

0076,00004,05455,10185,0

0043,00533,00185,06515,5

7)7(

7)8( UAUA T

9-й этап:

;18 i ;38 j ;0075,0)4167,1(6515,5

0533,02

2

18

arctg

;1cos 8 ;0075,0sin 8

1000

0100075,0

0010

00075,001

8U

2227,000076,00043,0

04201,10002,00

0076,00002,05455,10185,0

0043,000185,06519,5

8)8(

8)9( UAUA T

10-й этап:

;19 i ;29 j ;0045,0)5455,16519,5

0185,02

2

19

arctg

;1cos 9 ;0045,0sin 9

1000

0100

0010045,0

000045,01

9U

37

2227,000076,00043,0

04201,10002,00

0076,00002,05454,10

0043,000652,5

9)9(

9)10( UAUA T

11-й этап:

;210 i ;310 j ;0058,0)2227,05454,1

)0076,0(2

2

110

arctg ;1cos 10

;0058,0sin 10

100058,00

0100

0058,0010

0001

10U

2226,0000043,0

04201,10002,00

00002,05454,10

0043,000652,5

10)10(

10)11( UAUA T

12-й этап:

;111 i ;411 j ;0008,0)2226,0652,5

)0043,0(2

2

111

arctg

;1cos 11 ;0008,0sin 11

1000008,0

0100

0010

0008,0001

11U

2226,0000

04201,10002,00

00002,05454,10

000652,5

11)11(

11)12( UAUA T

Все элементы матрицы )12(A , не лежащие на главной диагонали, по

модулю меньше =0,001, а на главной диагонали находятся собственные

значения матрицы А: ;652,51 ;5454,12 ;4201,13 .2226,04

Найдем ортонормированную систему собственных векторов матрицы А,

используя формулу (55).

38

7051,03333,02018,05925,0

1534,07573,04856,04088,0

4549,05159,05726,04462,0

5219,0222,06289,05317,0

11109876543210 UUUUUUUUUUUUU

Столбцы этой матрицы являются собственными векторами матрицы А.

5925,0

4088,0

4462,0

5317,0

1x

,

2018,0

4856,0

5726,0

6289,0

2x

,

3333,0

7573,0

5159,0

222,0

3x

,

7051,0

1534,0

4549,0

5219,0

4x

Эти векторы с точностью до множителя (-1), порядка нумерации и

погрешности, определяемой величиной совпадают с полученными в

примерах 3, 4 и 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.

М.: Наука, 1966.-664 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений т.2. М.: Физматгиз,

1962.-635 с.

3. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной

алгебры. М.: Физматгиз, 1963.-734 с.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.-431 с.

39

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................3

1 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ И

СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ МАТРИЦ .....................................................3

2 МЕТОД А.М. ДАНИЛЕВСКОГО ...................................................................7

2.1 Вычисление собственных значений .............................................................7

2.2 Нахождение собственных векторов ........................................................... 11

2.3 Пример 3 .............................................................................................................. 12

3 МЕТОД А.Н. КРЫЛОВА ................................................................................. 15

3.1 Вычисление собственных значений ........................................................... 15


3.3 Пример 4 ............................................................................................................. 17

4 МЕТОД ЛЕВЕРРЬЕ-ФАДДЕЕВА .................................................................. 20



4.3 Пример 5 ............................................................................................................. 24

5 МЕТОД ВРАЩЕНИЙ ....................................................................................... 27



5.3 Пример 6 ............................................................................................................. 33

Литература ................................................................................................................. 38

Кафедра прикладной математики

Методические указания

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

Дмитрий Владимирович Долгополов

Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60x90 1/16

Печ.л. 2,5 Тираж 100 экз. Заказ № 53 от 19. 04. 2005

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет), ИК «Синтез»

190013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26.

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И...

Documents