ЭКОНОМЕТРИКА - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2017/186.pdf · 2017. 11. 28. · 7.3....

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю. Е. Кувайскова

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

Ульяновск

УлГТУ

2017

2

УДК 519.862.6 (075)

ББК 22я73

К 88

Рецензенты:

кафедра «Телекоммуникационные технологии и сети» Ульяновского

государственного университета (зав. кафедрой, д-р техн. наук, профессор

А. А. Смагин);

Карпунина И. Н., канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры общепро-

фессиональных дисциплин УИ ГА имени Главного маршала авиации

Б. П. Бугаева.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Кувайскова, Юлия Евгеньевна

Эконометрика : учебное пособие / Ю. Е. Кувайскова. –

Ульяновск : УлГТУ, 2017. – 166 с.

ISBN 978-5-9795-1722-3

Учебное пособие посвящено изучению основных разделов эконо-метрики: парная регрессия, множественная регрессия, системы одновре-менных уравнений, модели временных рядов, также приводится раздел, посвященный адаптивному регрессионному моделированию. По каждой теме в пособии представлены теоретические сведения, примеры решения задач, задачи для самостоятельного выполнения, методические рекомен-дации и варианты заданий для выполнения расчетно-графической работы. Пособие предназначено для студентов направления «Прикладная матема-тика», а также студентов других направлений, изучающих курс «Эконо-метрика».

УДК 519.826.6 (075) ББК 22я73

© Кувайскова Ю. Е., 2017 ISBN 978-5-9795-1722-3 © Оформление. УлГТУ, 2017

К 88

3

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................... 7

1. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ..... 9

1.1. Предмет эконометрики .................................................................. 9

1.2. Методы эконометрики ................................................................... 9

1.3. Виды моделей в эконометрике .................................................... 10

1.4. Этапы построения моделей ......................................................... 11

1.5. Контрольные вопросы ................................................................. 12

2. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ ...................................................................... 13

2.1. Постулирование модели .............................................................. 13

2.2. Оценивание параметров модели линейной парной регрессии . 16

2.3. Оценивание параметров нелинейных моделей .......................... 17

2.4. Теорема Гаусса–Маркова ............................................................ 19

2.5. Анализ качества парной регрессии ............................................. 20

2.5.1. Таблица дисперсионного анализа .......................................... 21

2.5.2. Критерий Фишера (F–критерий) ......................................... 23

2.5.3. Коэффициент корреляции и коэффициент

детерминации ................................................................................... 24

2.5.4. Критерий Стьюдента (t – критерий) ................................. 26

2.5.5. Интервальные оценки параметров ...................................... 27

2.5.6. Средняя ошибка аппроксимации ........................................... 28

2.5.7. Коэффициент эластичности ............................................... 28

2.5.8. Точечный и интервальный прогноз ....................................... 29

2.6. Примеры ........................................................................................ 30

2.7. Задачи ............................................................................................ 49


3. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ .................................................. 56

3.1. Постулирование модели .............................................................. 56

3.2. Оценивание параметров множественной регрессии ................. 58

3.3. Теорема Гаусса–Маркова ............................................................ 61

3.4. Анализ качества модели множественной регрессии ................. 62

4

3.4.1. Таблица дисперсионного анализа .......................................... 62

3.4.2. Критерий Фишера (F–критерий) ......................................... 63

3.4.3. Множественный коэффициент корреляции

и коэффициент детерминации ....................................................... 64

3.4.4. Применение частного F–критерия и t–критерия ............... 65

3.4.5. Частные коэффициенты корреляции .................................. 65

3.4.6. Интервальные оценки ............................................................ 66

3.4.7. Средние коэффициенты эластичности .............................. 67

3.4.8. Меры качества прогноза ....................................................... 67

3.5. Примеры ........................................................................................ 68

3.6. Задачи ............................................................................................ 81


4. АДАПТИВНОЕ РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ........... 90

4.1. Проблемы поиска оптимальной регрессии ................................ 90

4.2. Основные предположения регрессионного анализа ................. 91

4.2.1. Предположения о выборке .................................................... 91

4.2.2. Предположения о векторе параметров В ........................... 92

4.2.3. Предположения о матрице Х ............................................... 92

4.2.4. Предположения о векторе ошибок е .................................... 92

4.2.5. Дополнительные предположения о векторе Y .................... 93

4.3. Методология регрессионного моделирования .......................... 93

4.4. Анализ соблюдения предположений регрессионного анализа

и способы адаптации ........................................................................... 94

4.4.1. Остатки ................................................................................. 94

4.4.2. Нарушения предположений о векторе В и способы

адаптации ......................................................................................... 94

4.4.3. Нарушения предположений о матрице X и способы

адаптации ......................................................................................... 95

4.4.4. Нарушения предположений о векторе е и способы

адаптации ......................................................................................... 96

5

4.4.5. Нарушения предположений о векторе Y и способы

адаптации ......................................................................................... 97

4.5. Методы структурной идентификации ........................................ 97

4.5.1. Полный перебор ...................................................................... 97

4.5.2. Метод включения ................................................................... 98

4.5.3. Метод исключения ................................................................. 98

4.5.4. Метод включения с исключением ......................................... 99


5. СИСТЕМА ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ......................... 101

5.1. Структурная и приведенная формы модели ............................ 101

5.2. Проблема идентификации ......................................................... 102

5.3. Оценивание параметров структурной модели ......................... 104

5.4. Примеры ...................................................................................... 105

5.5. Задачи .......................................................................................... 115

5.6. Контрольные вопросы ............................................................... 117

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ................................ 118

6.1. Понятие временного ряда и его составляющих ....................... 118

6.2. Автокорреляция уровней временного ряда .............................. 119

6.3. Моделирование трендовой составляющей временного ряда . 121

6.3.1. Методы определения наличия тренда ............................... 121

6.3.2. Сглаживание временного ряда скользящей средней ......... 123

6.3.3. Метод аналитического выравнивания ............................... 124

6.4. Моделирование периодической компоненты .......................... 125

6.4.1. Метод скользящей средней ................................................. 125

6.4.2. Гармонический анализ временного ряда ............................ 126

6.5. Моделирование случайной составляющей временного ряда . 127

6.6. Примеры ...................................................................................... 128

6.7. Задачи .......................................................................................... 136

6.8. Контрольные вопросы ............................................................... 137

7. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ........................................ 139

6

7.1. Методические указания ............................................................. 139

7.2. Подключение пакета «Анализ данных» MS Excel .................. 140

7.3. Задание ........................................................................................ 143

7.4. Пример выполнения расчетно-графической работы ............... 143

7.5. Варианты заданий ...................................................................... 154

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ................................................................................. 162

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ................................................................................. 163

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................. 165

7

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие посвящено изучению основных разделов эконо-

метрики: парная регрессия, множественная регрессия, системы одно-

временных уравнений, модели временных рядов. А также приводится

раздел, посвященный адаптивному регрессионному моделированию.

Пособие содержит семь разделов: «Этапы построения экономет-

рических моделей», «Парная регрессия», «Множественная регрес-

сия», «Адаптивное регрессионное моделирование», «Системы одно-

временных уравнений», «Моделирование временных рядов» и «Рас-

четно-графическая работа».

Первый раздел содержит понятие дисциплины «Эконометрика»,

задачи эконометрики, описываются основные методы, применяемые

в эконометрических исследованиях, а также виды эконометрических

моделей и этапы их построения.

Во втором разделе описываются основные понятия метода рег-

рессионного анализа, модели линейной и нелинейных парных регрес-

сий, методы оценивания параметров парных регрессий, основные

критерии качества парных регрессионных моделей.

В третьем разделе приводятся основные виды моделей множест-

венной регрессии, описываются методы оценки параметров и крите-

рии качества моделей множественной регрессии.

Четвертый раздел посвящен вопросам адаптивного регрессион-

ного моделирования. Приводятся основные предположения регресси-

онного анализа и методы адаптации, применяемые при нарушениях

данных предположений.

В пятом разделе «Системы одновременных уравнений» содер-

жатся основные понятия систем эконометрических уравнений, проб-

лемы идентификации моделей, описываются методы оценивания

параметров систем одновременных уравнений: косвенный метод наи-

8

меньших квадратов, двухшаговый метод наименьших квадратов,

трехшаговый метод наименьших квадратов.

В разделе «Модели временных рядов» приведены основные поня-

тия временных рядов, структура модели временного ряда, методы

выявления составляющих модели временного ряда, алгоритмы оцени-

вания параметров составляющих модели временного ряда.

Последний раздел содержит методические рекомендации и вари-

анты заданий выполнения расчетно-графической работы, предназна-

ченной для закрепления теоретических сведений и развития навыков

самостоятельных практических расчетов у студентов.

В пособии содержатся необходимые теоретические сведения для

освоения дисциплины, приводятся примеры решения практических

задач, также задания для самостоятельного выполнения.

Учебное пособие по дисциплине «Эконометрика» должно спо-

собствовать формированию у студентов практических навыков по

построению и анализу стохастических моделей различных объектов,

явлений и процессов.

Учебное пособие предназначено для студентов направления

«Прикладная математика», также может быть использовано студен-

тами других направлений, изучающих курс «Эконометрика».

9

1. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

1.1. Предмет эконометрики

Понятие «Эконометрика» является комбинацией двух слов:

«экономика» и «метрика». Таким образом, название описывает дис-

циплину как науку, которая изучает процессы и явления в экономике.

Хотя в настоящее время методы эконометрики используются для

количественного изучения взаимосвязей процессов и явлений не

только в экономике, но и в других областях: технике, астрономии,

медицине и т. д.

Эконометрика – это наука, дающая количественное описание

взаимосвязей различных явлений и процессов с помощью математи-

ческих и статистических методов и моделей.

Задачи эконометрики:

– выявление связей между исследуемыми процессами;

– количественная оценка выявленных закономерностей (форму-

лировка модели и оценивание ее параметров);

– изучение возможности использования выявленных связей

в анализе и прогнозировании.

1.2. Методы эконометрики

Основными методами эконометрики являются методы математи-

ческой статистики: корреляционный и регрессионный анализы.

Корреляционный анализ – метод математической статистики,

позволяющий исследовать наличие и степень линейной зависимости

между количественными переменными.

Регрессионный анализ – это метод математической статистики,

позволяющий описывать математическую зависимость между зави-

10

симой переменной y (откликом) и множеством независимых между

собой переменных xj (регрессоров, факторов) по таблице эмпириче-

ских данных.

Таблица эмпирических (экспериментальных) данных

№ y x1 x2 … x p

1 1y x11 x12 … x p1

2 2y x21 x22 … x p2

… … … … … …

i iy xi1 xi2 … xip

… … … … … …

n ny xn1 xn2 … xnp

1.3. Виды моделей в эконометрике

1. Однооткликовые регрессионные модели. В зависимости от

количества факторов различают парную и множественную регрессии.

Парная регрессия представляет собой зависимость между двумя

переменными откликом y (зависимая переменная) и фактором x

(независимая переменная), т. е. модель вида

)(ˆ xy f . (1.1)

Множественная регрессия представляет собой зависимость

между откликом y и множеством независимых переменных (факто-

ров), т. е. модель вида

),...,,(ˆ 21 pf xxxy . (1.2)

2. Многооткликовые регрессионные модели. Данные модели

представляют собой системы одновременных уравнений, каждое из

которых может включать не только объясняющие переменные, но

и объясняемые из других уравнений системы.

11

3. Модели в виде временных рядов. К таким моделям относят

модели тренда, сезонности, авторегрессии, скользящего среднего

и других функций времени; причем они могут применяться как по

отдельности, так и в различных комбинациях друг с другом.

1.4. Этапы построения моделей

Модели в эконометрике строятся в несколько этапов.

1. Постулирование математической зависимости, т. е. выбор

регрессоров и модели, наиболее подходящей для описания исследуе-

мых процессов.

Одной из задач первого этапа является отбор факторов для вклю-

чения в модель. В большинстве случаев оптимальный набор регрес-

соров определяется на основе знаний в области исследований. Преж-

де всего, в модель включаются факторы, оказывающие значимое

влияние на изменения исследуемого явления. В других случаях целе-

сообразность включения в модель каждого фактора проверяется

с помощью статистических критериев.

После отбора факторов необходимо выбрать вид аналитической

зависимости между зависимой переменной и выбранными факторами.

Для выбора вида математической модели применяются различ-

ные методы:

– графический (для парной зависимости);

– экспериментальный (построение нескольких видов моделей

и выбор наиболее оптимальной из них);

– аналитический (выводы аналитических исследований, теорети-

ческих законов о качественном характере зависимости).

2. Оценка параметров модели, т. е. нахождение числовых значе-

ний параметров модели на основе таблицы эмпирических данных.

12

3. Структурная идентификация оптимальной модели на основе

статистического анализа, т. е. анализ качества построенной модели

и поиск ее наилучшей структуры.

Проверка качества модели проводится на основе применения

различных статистических критериев качества, если модель не удов-

летворяет выдвинутым критериям, то ищется новая структура модели

оптимальная исходным данным.

1.5. Контрольные вопросы

1. Что изучает наука «Эконометрика»?

2. Каковы задачи «Эконометрики»?

3. Назовите основные методы эконометрических исследований.

4. В чем заключается метод регрессионного анализа?

5. Что представляет собой таблица эмпирических данных?

6. Каковы основные виды эконометрических моделей?

7. Какие этапы включает в себя построение эконометрических

моделей?

8. В чем состоит постулирование математической зависимости?

9. Как отбираются факторы для включения в модель?

10. Какие методы применяются для выбора вида математической

модели?

11. Что означает оценка параметров моделей?

12. В чем состоит структурная идентификация оптимальной

модели?

13

2. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

2.1. Постулирование модели

Парной регрессией называется математическая модель, характе-

ризующая зависимость среднего значения исследуемого процесса

(отклика) y от одного фактора (регрессора) х:

)(ˆ xy f , (2.1)

где y – зависимая переменная (исследуемый процесс, отклик);

х – независимая переменная (фактор, регрессор).

Парная регрессия используется, если на изменения исследуемой

переменной y в большей степени оказывает влияние один домини-

рующий фактор х.

Данные, необходимые для определения параметров парной рег-

рессии, записываются в виде таблицы эмпирических данных, содер-

жащей n наблюдений переменных x и y.

Таблица эмпирических данных для парной регрессии

№ y x

1 1y 1x

2 2y 2x

… … …

i iy ix

… … …

n ny nx

Каждая строка таблицы представляет собой результат одного

наблюдения ( ix , iy ), i = 1, 2, …, n.

Совокупность всех точек изображается на графике в виде диа-

граммы рассеяния (корреляционного поля) (рис. 2.1).

14

y

iy

iii yye ˆ

xxy baf )(ˆ

ix x

Рис. 2.1. Диаграмма рассеяния и линия регрессии

Зависимость )(ˆ xy f задается некоторой кривой на диаграмме

рассеяния. Чем ближе кривая )(ˆ xy f подходит ко всем точкам диа-

граммы рассеяния, тем лучше данная модель описывает исходные

наблюдения.

Разности между расчетными (модельными) )(ˆ ii xfy и наблю-

даемыми iy значениями

iii yye ˆ (2.2)

называются остатками.

Наилучшей считается модель, для которой остатки ie имеют

минимальное значение.

Наблюдаемые значения переменной у можно записать:

exy )(f , (2.3)

где )(xf – это та часть значения переменной y, которая объяснена

влиянием фактора x, а второе слагаемое e – это необъясненная часть

значения переменной y (ошибка, случайная величина, отклонение).

Наличие составляющей e обусловлено влиянием на переменную y

других дополнительных факторов, неверным выбором функциональ-

ной зависимости )(xf , ошибками измерений, выборочным характе-

ром исходных данных.

15

Для выбора вида математической модели )(xf используются

следующие методы:

– графический (вид модели определяется на основе визуального

анализа расположения точек на диаграмме рассеяния);

– экспериментальный (построение нескольких конкурирующих

моделей и выбор наилучшей из них по критериям качества);

– аналитический (на основе качественного анализа исследуемой

зависимости).

Зная типичный вид графиков различных элементарных функций,

по визуальному анализу диаграммы рассеяния (рис. 2.1) можно

подобрать математический вид кривой регрессии )(xf .

По виду математической зависимости различаются линейные

и нелинейные модели регрессии.

Линейная парная регрессия описывается моделью:

xy baˆ . (2.4)

Модели нелинейных регрессий: ba xy ˆ – степенная;

xy ba ˆ – показательная;

xy beaˆ – экспоненциальная;

xy

ba ˆ – гиперболическая;

xy

ba

1ˆ – обратная;

221ˆ xxy bba – квадратичная;

xy lnˆ ba – логарифмическая

и другие.

16

2.2. Оценивание параметров модели линейной парной регрессии

Для оценивания параметров моделей регрессии применяется

метод наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов: параметры модели )(xf

должны быть такими, чтобы сумма квадратов отклонений

n

iiеS

1

2

была минимальной.

Требуется найти безусловный экстремум функции S .

Для этого модель парной линейной регрессии (2.4) записывается

в виде iii ebxay .

Далее выражаются остатки iii bxaye .

Тогда функцию S можно записать в виде

n

iii

n

ii bxayеS

1

2

1

2 )( .

Необходимые условия экстремума функции S :

n

iiii

n

iii

bxayxbS

bxaya

S

1

1

0)(2

0)(2

,

n

iiii

n

iii

bxayx

bxay

1

1

0)(

0)(

.

После раскрытия скобок получаются так называемые нормальные

уравнения:

n

iii

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

yxxbxa

yxbna

11

2

1

1 1 . (2.5)

17

Решая полученную систему, получается точка экстремума:

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

xxn

yxyxn

b

1

2

1

2

1 11 ,

n

ii

n

ii x

nby

na

11

11, (2.6)

или

,)( 22 xx

yxxyb

xbya , (2.7)

где n

xx

n

ii

1 – среднее значение переменной x, n

yy

n

ii

1 – среднее

значение переменной y, n

yxxy

n

iii

1

)(,

n

xx

n

ii

1

2

2 .

Коэффициент b при независимой переменной x характеризует,

насколько в среднем изменится величина отклика y при изменении на

единицу величины фактора x. Если фактор x представляет собой вре-

мя, то свободный коэффициент a показывает значение процесса y

в начальный момент времени. В других случаях коэффициент a

может не иметь интерпретации.

2.3. Оценивание параметров нелинейных моделей

Применить обычный метод наименьших квадратов для оценива-

ния параметров нелинейных моделей невозможно. Одним из способов

решения этой проблемы является преобразование нелинейной модели

к линейному виду. Для этого используются процедуры:

1) логарифмирование;

2) замена переменных;

3) потенцирование.

18

После преобразования переменных и формирования новой таб-

лицы эмпирических данных для оценки параметров нелинейных

моделей применяется метод наименьших квадратов.

Рассмотрим на примере степенной зависимости ba xy ˆ проце-

дуру оценивания параметров нелинейных моделей.

Прологарифмируем уравнение ba xy ˆ :

)ln(ˆln ba xy .

Используя свойства логарифмической функции, получим: ba xy lnlnˆln ,

xy lnlnˆln ba .

Сделаем замены переменных:

xxyy ln~,ln~,ˆln~ aa .

Получим линеаризованное уравнение:

xy ~~~ ba .

Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных.

Преобразование данных

Исходная таблица

эмпирических данных

Преобразованная таблица эмпири-

ческих данных

№ y x № yy ˆln~ xx ln~

1 y1 x1 1 11 ln~ yy 11 ln~ xx

2 y2 x2 2 22 ln~ yy 22 ln~ xx

• • • • • •

n yn xn n nn yy ln~ nn xx ln~

Применим к преобразованной модели обычный метод наимень-

ших квадратов, найдем точку экстремума a~ и b :

19

,)~(~

~~~~

22 xx

yxyxb

xbya ~~~ .

Для перехода к степенной модели применим процедуру потенци-

рования по основанию е: xy ~~~ baee .



Получим: xy ln~ˆln ba eee , b

eee a xy ln~ˆln .

Окончательно получается степенная зависимость вида: bA xy ˆ ,

где aeA~

– параметр степенной зависимости.

2.4. Теорема Гаусса–Маркова

Оценки параметров модели регрессии являются случайными

величинами, так как для их определения используются наблюдения

случайных величин x и y.

Поэтому при использовании различных методов оценивания

параметров моделей регрессии желательно, чтобы оценки были

«лучшими» среди всех остальных в некотором смысле. Для этого

оценки должны обладать такими свойствами, как несмещенность,

состоятельность и эффективность.

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математиче-

ское ожидание равно оцениваемому параметру.

Оценка параметра называется состоятельной, если при возраста-

нии количества наблюдений она сходится по вероятности к оцени-

ваемому параметру.

20

Оценка параметра называется эффективной, если она имеет наи-

меньшую дисперсию в классе всех несмещенных оценок, вычислен-

ных по выборкам одного и того же объема n.

При использовании метода наименьших квадратов для оценки

параметров уравнения регрессии ответ на вопрос, являются ли полу-

ченные оценки наилучшими, дает теорема Гаусса–Маркова.

Теорема Гаусса–Маркова. Если будут выполняться предположе-

ния:

1) Модель линейна по оцениваемым параметрам a и b :

iii еbxay , ni ,...,2,1 ;

2) ix – детерминированная величина;

3.1) математическое ожидание случайной величины e равно

нулю в любом наблюдении:

0)( ieM ;

3.2) дисперсия случайной величины e постоянна для всех

наблюдений: 2)( ieD ;

3.3) значения случайной величины e в любых наблюдениях ie

и je не коррелируют между собой:

0)( jieeM при ji ;

то оценки параметров a и b, полученные методом наименьших квад-

ратов, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных

несмещенных оценок, т. е. оценки будут обладать свойствами несме-

щенности и эффективности.

2.5. Анализ качества парной регрессии

Для оценки качества модели и поиска ее оптимальной структуры

используются такие меры качества:

21

1) остаточная дисперсия S2 (стандартная ошибка S);

2) критерий Фишера (F–критерий);

3) коэффициент корреляции R и коэффициент детерминации R2;

4) критерий Стьюдента (t–критерий);

5) ошибка аппроксимации;

6) коэффициент эластичности

7) и другие.

2.5.1. Таблица дисперсионного анализа

Меры качества модели вводятся с помощью метода дисперсион-

ного анализа.

При использовании дисперсионного анализа оценивается влия-

ние регрессора x на отклик y, т. е. степень адекватности регрессии

выборочным наблюдениям.

В результате дисперсионного анализа полная дисперсия наблю-

дений (сумма квадратов отклонений наблюдений от среднего):

n

ii yySS

1

2)( (2.8)

разлагается на две компоненты: факторную дисперсию, обусловлен-

ную регрессией:

n

iiR yySS

1

2)ˆ( , (2.9)

и остаточную дисперсию:

n

ii

n

iiie еyySS

1

2

1

2)ˆ( . (2.10)

Получается основное тождество дисперсионного анализа:

eR SSSSSS . (2.11)

22

Так как в модели парной регрессии присутствует только один

фактор х; следовательно, для факторной дисперсии имеется одна сте-

пень свободы 1R .

Для остаточной суммы квадратов число степеней равно разности

между числом наблюдений п и числом оцениваемых параметров по

выборке. Для парной регрессии число оцениваемых параметров равно

двум (а и b), тогда 2 nνe .

Для полной дисперсии число степеней равно разности между

числом наблюдений п и одной степенью свободы, которая необходи-

ма для расчета среднего значения y по выборке: 1 nν .

Средние квадраты (дисперсии) рассчитываются как отношение

суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы:

R

RR

SSMS

,

e

ee ν

SSMS . (2.12)

Значение статистики Фишера вычисляется как отношение сред-

них квадратов:

e

R

MS

MSF . (2.13)

Все рассчитанные данные сводятся в таблицу дисперсионного

анализа.

Дисперсионный анализ для парной регрессии

Вариация

(дисперсия) y

Степень

свободы

Сумма квадра-

тов

Средний

квадрат F

Факторная 1Rν

n

iiR yySS

1

2)ˆ( R

RR

SSMS

e

R

MS

MSF

Остаточная 2 ne

n

iiie yySS

1

2)ˆ( 2Sν

SSMS

e

ee

Полная 1 n

n

ii yySS

1

2)( –

23

Величина

22

)ˆ(11

2

2

n

e

n

yyS

n

ii

n

iii

(2.14)

называется остаточной дисперсией.

Она используется как для оценки адекватности модели, так и для

сравнения конкурирующих моделей между собой.

2.5.2. Критерий Фишера (F–критерий)

Для оценки значимости и адекватности модели в целом исполь-

зуется F–критерий.

Для модели парной регрессии выдвигается статистическая гипо-

теза:

H0: b = 0,

т. е. гипотеза о том, регрессор x не влияет существенно на изменения

переменной y, модель незначима в целом.

Фактическое значение F–критерия вычисляется, используя таб-

лицу дисперсионного анализа, по формуле

e

Rфакт MS

MSF . (2.15)

Из специальных таблиц квантилей распределения Фишера

(Приложение 2) находится табличное значение статистики Фишера

),,( 21 kkFтабл , где α – уровень значимости, т. е. вероятность отверг-

нуть верную гипотезу (ошибка первого рода); k1 и k2 – степени свобо-

ды, k1 – число независимых переменных (факторов) в уравнении рег-

рессии (для модели парной регрессии k1 = 1Rν ), k2 = 2 nνe . Здесь

n – количество наблюдений, число «2» характеризует количество

оцениваемых параметров в модели (для парной регрессии a и b).

24

Затем табличное и фактическое значения статистики Фишера

сравниваются.

Если FфактFтабл, то гипотеза H0 (гипотеза о незначимости мо-

дели) принимается, если Fфакт > Fтабл, то модель признается значимой

в целом, т. е. регрессор x существенно влияет на исследуемый про-

цесс y.

На практике для оценки адекватности модели используется эмпи-

рическое правило: если

Fфакт > 4Fтабл, (2.16)

то модель считается адекватной и пригодной для прогноза.

2.5.3. Коэффициент корреляции и коэффициент детерминации

Для оценки степени тесноты линейной связи используется линей-

ный коэффициент корреляции xyr , определяемый по формуле

y

xxy br

, (2.17)

где x и y – среднеквадратические отклонения переменных x и y:

n

iix xx

n 1

2)(1 ,

n

iiy yy

n 1

2)(1 .

Линейный коэффициент корреляции принимает значения в ин-

тервале 11 xyr . Чем ближе значение rxy к единице, тем сильнее

степень линейной связи и тем лучше линейная зависимость описыва-

ет исходные наблюдения.

На практике считается, что:

если 2,0xyr , то линейная связь между переменными x и y прак-

тически отсутствует;

если 5,02,0 xyr , то степень линейной связи между x и y

слабая;

25


средняя;


сильная;

если 95,0xyr , то между x и y практически имеет место функ-

циональная связь.

Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, значение

коэффициента корреляции находится по формуле

SS

SSbзнак

SS

SSbзнакR eR 1)()( . (2.18)

Степень тесноты нелинейной связи оценивается индексом

корреляции R, вычисляемым по формуле

SS

SS

SS

SSR eR 1 . (2.19)

Индекс корреляции R принимает значения в интервале 0 ≤ R ≤ 1.

Чем ближе значение R к единице, тем теснее нелинейная связь, тем

лучше расчетные по модели значения согласуются с исходными

наблюдениями.

Для оценки качества подбора регрессионной модели рассчитыва-

ется квадрат коэффициента корреляции – коэффициент детермина-

ции R2 .

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии

(вариации) исследуемого процесса y, объясняемую регрессией (влия-

нием фактора), в общей дисперсии переменной y:

SS

SS

SS

SSRr eR

xy 122 . (2.20)

Соответственно величина ( 21 R ) характеризует долю дисперсии

(вариации) переменной y, вызванную влиянием остальных неучтен-

ных в модели факторов.

26

Чем ближе значение R2 к единице, тем в большей степени модель

регрессии пригодна для прогнозирования исследуемого процесса.

При известной величине R фактическое значение F–критерия для

парной регрессии определяется по формуле

)2(1 2

2

nR

RFфакт . (2.21)

2.5.4. Критерий Стьюдента (t – критерий)

Для оценки значимости каждого параметра построенной модели

используется t–критерий Стьюдента.

Для этого выдвигается гипотеза о статистической незначимости

коэффициента уравнения регрессии:

H0: b = 0 или/и H0: a = 0.

Выборочные значения t–статистики Стьюдента для параметров

b и a уравнения регрессии вычисляются по формулам:

aa

bb S

at

S

bt ; , (2.22)

где bS и aS – стандартные ошибки параметров, вычисляются как

квадратные корни из значений дисперсий параметров b и a:

n

ii

b

xxSSbD

1

2

22

)(

1)( ,

n

ii

n

ii

a

xxn

xSSaD

1

2

1

2

22

)()( . (2.23)

Затем определяется критическое (табличное) значение t–критерия

tтабл(α, n – 2) (Приложение 1), где α – уровень значимости, (n – 2) –

число степеней свободы.

При значении таблb tt ( табла tt ) делается вывод об отличии от

нуля коэффициента b (a) и его статистической значимости.

27

Аналогично можно оценить значимость коэффициента корреля-

ции. Для этого выдвигается гипотеза о незначимости коэффициента

корреляции:

H0: rxy = 0.

Выборочное значение t–статистики вычисляется по формуле

r

xyr S

rt , (2.24)

где 2

1 2

n

rS xy

r – стандартная ошибка коэффициента корреляции.

Затем определяется критическое (табличное) значение t–критерия

tтабл(α, n – 2) (Приложение 1), где α – уровень значимости, (n – 2) –

число степеней свободы.

При значении таблttr делается вывод об отличии от нуля

коэффициента корреляции и его статистической значимости.

2.5.5. Интервальные оценки параметров

Кроме точечных оценок (2.6), (2.7) параметров a и b вводятся

интервальные оценки параметров на основе понятия доверительного

интервала.

Доверительным интервалом называется интервал, в пределах

которого находится точное значение оцениваемого параметра

с заданной доверительной вероятностью (надежностью) p = 1– α.

Для параметров уравнения парной линейной регрессии границы

доверительных интервалов определяются соотношениями:

))2,(;)2,(( aтаблaтаблp SnαtaSnαtaI , (2.25)

))2,(;)2,(( bтаблbтаблp SnαtbSnαtbI , (2.26)

28

где )2,( nαtтабл – это квантиль t –распределения с (n – 2) степенями

свободы (Приложение 1), aS и bS – стандартные ошибки параметров

модели (2.23).

2.5.6. Средняя ошибка аппроксимации

Величина отклонений исходных и расчетных по модели значений

исследуемого процесса )ˆ( ii yy по каждому наблюдению представля-

ет собой ошибку аппроксимации.

Так как величина отклонений )ˆ( ii yy может быть как положи-

тельной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого

наблюдения определяются в процентах по модулю.

Средняя ошибка аппроксимации вычисляется как средняя ариф-

метическая:

%100)ˆ(1

1

n

i i

ii

y

yy

nA . (2.27)

Ошибка аппроксимации, находящаяся в пределах до 10%, свиде-

тельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

2.5.7. Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности характеризует, насколько процен-

тов изменится переменная у при изменении фактора х на 1% от неко-

торого значения xk, и вычисляется по формуле

)(ˆ)('ˆ

k

kk x

xxЭ

yy . (2.28)

Для линейной регрессии (2.4) коэффициент эластичности равен:

k

k

xba

xbЭ

, (2.29)

29

и зависит от xk, поэтому рассчитывается средний коэффициент эла-

стичности:

y

xbЭ . (2.30)

Средний коэффициент эластичности показывает, насколько про-

центов от среднего значения изменится значение переменной у при

изменении значения фактора х на 1% относительно своего среднего

значения.

2.5.8. Точечный и интервальный прогноз

Точечный прогноз отклика у заключается в нахождении прогноз-

ного значения уk, определяемого путем подстановки в уравнение рег-

рессии соответствующего значения фактора xk:

kk xbay . (2.31)

Интервальный прогноз отклика у заключается в нахождении

доверительного интервала, содержащего точную величину для про-

гнозного значения уk с заданной доверительной вероятностью p:

))2,(;)2,((kk yтаблkyтаблkp SnαtySnαtyI , (2.32)

где )2,( nαtтабл – это квантиль t –распределения с )2( n степенями

свободы (Приложение 1),

n

ii

ky

xx

xx

nSS

k

1

2

2

)(

)(11 – (2.33)

стандартная ошибка индивидуального значения прогноза уk.

30

2.6. Примеры Пример 1. Изучается зависимость уровня годовой инфляции y

(млн руб.) от объема депозитных вкладов населения x (%). Эмпириче-

ские данные представлены в таблице.

Статистика депозитных вкладов

№ 1 2 3 4 5

y 5,40 12,90 11,36 6,45 6,58

x 26 18 19 22 28

1) Построить уравнение парной линейной регрессии.

2) Найти остаточную дисперсию S2, оценки дисперсий парамет-

ров модели 2aS и 2

bS .

3) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

4) Вычислить прогноз уровня инфляции, если объем депозитных

вкладов населения увеличится на 3% от среднего значения.

5) Найти доверительный интервал для прогноза с вероятно-

стью 0,95.

Решение.

Вычисления будем проводить с точностью до второго знака

после запятой (до сотых).

1) Для построения парной линейной зависимости проведем сле-

дующие расчеты:

60,22)2822191826(5

11

1

n

iix

nx ,

54,8)58,645,636,1190,1240,5(5

11

1

n

iiy

ny ,

31

,92,182)58,628

45,62236,111990,121840,526(5

11

1

n

iii yx

nxy

80,525)2822191826(5

11

1

2222222

n

iix

nx ,

76,510)60,22()( 22 x .

Оценки параметров линейной регрессии определим методом

наименьших квадратов по формулам (2.7):

67,076,51080,525

54,860,2292,182

)( 22

xx

yxxyb ,

68,2360,22)67,0(54,8 xbya .

Следовательно, уравнение парной линейной регрессии имеет вид

xy 67,068,23ˆ .

2) Для определения остаточной дисперсии найдем вначале значе-

ния остатков ie . Для этого составим таблицу наблюдаемых iy и пред-

сказанных iy значений переменной y и остатков iii yye ˆ .

№ 1 2 3 4 5

iy 5,40 12,90 11,36 6,45 6,58

iy 6,26 11,62 10,95 8,94 4,92

ie –0,86 1,28 0,41 –2,49 1,66

Используя значения таблицы, получим значение остаточной дис-

персии S2 по формуле (2.14):

84,325

66,1)49,2(41,028,1)86,0(

2

2222212

n

eS

n

ii

.

Для определения оценок дисперсий 2aS и 2

bS проведем расчеты:

32

2629)2822191826( 22222

1

2

n

iix ,

.20,75)60,2228()60,2222(

)60,2219()60,2218()60,2226()(

22

222

1

2

n

ii xx

Оценки дисперсий параметров модели 2aS и 2

bS определим по

формулам (2.23):

85,2620,755

262984,3

)(1

2

1

2

22

n

ii

n

ii

a

xxn

xSS ,

05,020,75

184,3

)(

1

1

2

22

n

ii

b

xxSS .

3) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации A по форму-

ле (2.27):

%.80,18%10058,6

66,1

45,6

49,2

36,11

41,0

9,12

28,1

40,5

86,0

5

1%100

)ˆ(1

1

n

i i

ii

y

yy

nA

Ошибка аппроксимации говорит о неудовлетворительном качест-

ве подбора уравнения регрессии, так как принимает значение

выше 10%.

4) Для прогнозирования уровня инфляции вычислим значение

объема депозитных вкладов, увеличенного на 3% от среднего значе-

ния:

28,2303,160,2203,1 xxk (млн руб.).

33

Тогда ожидаемый уровень инфляции найдем по формуле (2.31):

08,828,2367,063,23 kk xbay (%).

5) Найдем доверительный интервал для прогноза.

Вычислим по формуле (2.33) стандартную ошибку индивидуаль-

ного значения прогноза:

15,220,75

)60,2228,23(

5

1184,3

)(

)(11

2

1

2

2

n

ii

ky

xx

xx

nSS

k.

Из таблицы квантилей распределения Стьюдента (Приложение 1)

найдем табличное значение t–статистики:

3,182)3;05,0()25;05,0()2,( таблтаблтабл ttnαt .

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала будут

соответственно равны:

24,115,2182,308,8)2,( kyтаблk Snαty ,

92,1415,2182,308,8)2,( kyтаблk Snαty .

Доверительный интервал для прогноза уровня инфляции с дове-

рительной вероятностью p = 0,95 будет иметь вид

)92,14;24,1(95,0 I , т. е. )92,14;24,1(ky .

Пример 2. Известна зависимость накоплений граждан y

(млн руб.) от годовой заработной платы одного работающего x

(тыс. руб.) за 10 лет в виде уравнения парной линейной регрессии:

xy 12,012,6ˆ .

Известны значения .23,42ˆ,37,647ˆ10

1

210

1

2 i

iii

i yyyy

1) Построить таблицу дисперсионного анализа.

2) Оценить качество модели по критерию Фишера.

34

3) Найти линейный коэффициент корреляции и коэффициент

детерминации.

Решение.

Вычисления будем проводить с точностью до второго знака

после запятой (до сотых).

1) Построим таблицу дисперсионного анализа.

В регрессионной модели присутствует только один фактор х;

следовательно, имеется одна степень свободы: 1Rν .

Для остаточной дисперсии число степеней равно разности между

числом наблюдений п = 10 и числом, оцениваемых параметров по

выборке а и b, получаем ν (п – 2) = 10 – 2 = 8 степеней свободы.

Для полной дисперсии число степеней равно разности между

числом наблюдений п = 10 и одной степенью свободы, которая необ-

ходима для расчета среднего значения y по выборке. Таким образом,

получаем число степеней свободы ν = (п – 1) = 10 – 1 = 9.

По условию задачи:

.23,42ˆ

,37,647ˆ

10

1

2

10

1

2

iiie

iiR

yySS

yySS

Используя основное тождество дисперсионного анализа (2.11),

получим:

60,68923,4237,647 eR SSSSSS .

Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов

к соответствующему числу степеней свободы:

37,6471

37,647

R

RR

SSMS

,

28,5210

23,422

e

ee

SSMSS

.

35

Фактическое значение F–статистики:

61,12228,5

37,647

e

Rфакт MS

MSF .

Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными зна-

чениями.

Таблица дисперсионного анализа

Вариация


Степень

свободы

Сумма квад-

ратов

Средний

квадрат

F

Факторная 1 647,37 647,37

122,61 Остаточная 8 42,23 5,28

Полная 9 689,60 –

2) Оценим качество модели по критерию Фишера.

Проверим гипотезу H0: b = 0, т. е. гипотезу о том, что фактор x

(годовая заработная плата одного работающего) не влияет сущест-

венно на y (накопления граждан).

Фактическое значение F–критерия Фишера возьмем из таблицы

дисперсионного анализа:

61,122фактF .

Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение 2)

найдем табличное значение статистики Фишера ),,( 21 kkFтабл .

Примем уровень значимости α =0,05, из таблицы дисперсионного

анализа степени свободы k1 и k2 соответственно равны k1=1, k2 = 8.

Тогда табличное значение F–статистики Фишера при уровне зна-

чимости = 0,05 (Приложение 2):

32,5)8;1;05,0(),,( 21 таблтабл FkkαF .

При сравнении фактического и табличного значений F–статис-

тики оказалось, что

36

32,561,122 таблфакт FF ,

следовательно, проверяемая гипотеза H0 отвергается, и уравнение

регрессии признается значимым в целом.

Для оценки адекватности модели применим эмпирическое пра-

вило (2.16).

Так как

28,21461,122 таблфакт FF ,

то модель признается адекватной и пригодной для прогноза.

3) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим значе-

ние коэффициента корреляции по формуле (2.18):

97,060,689

37,647)(

SS

SSbзнакR R .

Полученное значение R = 0,97 свидетельствует о сильной степени

линейной зависимости между накоплениями граждан и годовой зара-

ботной платой одного работающего.

Коэффициент детерминации 94,097,0 22 R .

Коэффициент детерминации показывает, что 94% дисперсии

переменной y объясняется влиянием фактора x.

Пример 3. Изучается зависимость отношения среднедушевых

доходов к прожиточному минимуму y от реальных среднедушевых

денежных доходов x (руб.).

Данные по денежным доходам

№ 1 2 3 4 5 6 7

y 2,69 2,36 2,25 2,07 1,84 1,79 1,81

x 271 393 507 538 636 789 915

37

1) Простроить модели зависимости y от x:

1.1) степенную;

1.2) логарифмическую.

2) Для каждой модели:

2.1) построить таблицу дисперсионного анализа;

2.2) проверить значимость и адекватность модели;

2.3) найти индекс корреляции и коэффициент детерминации.

3) Сравнить построенные модели.

Решение.

1) Нанесем точки с координатами (yi, xi), где i =1,2,…,7, на плос-

кость и проанализируем полученную диаграмму рассеяния (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Диаграмма рассеяния

Согласно рис. 2.2 между откликом y и регрессором x существует

нелинейная зависимость.

1.1) Построим степенную модель вида ba xy ˆ .

Прологарифмируем уравнение по основанию е:

38

)ln(ˆln ba xy , ba xy lnlnˆln , xy lnlnˆln ba .

Для вычисления параметров степенной модели сделаем замены

переменных:



xy ~~~ ba .

Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных

с точностью до сотых.


Исходная таблица эм-

пирических данных

Преобразованная таблица эмпи-

рических данных

№ y x № yy ˆln~ xx ln~

1 2,69 271 1 0,99 5,60

2 2,36 393 2 0,86 5,97

3 2,25 507 3 0,81 6,23

4 2,07 538 4 0,73 6,29

5 1,84 636 5 0,61 6,46

6 1,79 789 6 0,58 6,67

7 1,81 915 7 0,59 6,82


ших квадратов, найдем точку экстремума a~ и b .

Проведем расчеты с точностью до сотых, получим:

29,6)82,667,6...97,560,5(7

1~1~1

n

iix

nx ,

74,0)59,058,0...86,099,0(7

1~1~1

n

iiy

ny ,

39

59,4)59,082,6...86,097,599,060,5(7

1~~1~~1

n

iii yx

nyx ,

73,39)82,667,6...97,560,5(7

1~1~1

222222

n

iix

nx .

Точка экстремума:

39,0)29,6(73,39

74,029,659,4

)~(~

~~~~222

xx

yxyxb ,

19,329,6)39,0(74,0~~ xbya .

В результате получим линейное уравнение регрессии:

xy ~39,019,3~ .

Для перехода к степенной модели применим процедуру потенци-

рования по основанию е: xy ~39,019,3~ ee .


xxyy ln~,ˆln~ .

Получим: xy ln39,019,3ˆln eee .

Окончательно получаем степенную зависимость вида 39,029,24ˆ xy .

2.1) Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем

значения отклика и остатки.

№ 1 2 3 4 5 6 7

iy 2,69 2,36 2,25 2,07 1,84 1,79 1,81

iy 2,73 2,36 2,14 2,09 1,96 1,80 1,70

ie –0,04 0 0,11 –0,02 –0,12 –0,01 0,11

40

Вычислим полную сумму квадратов отклонений наблюдений от

среднего значения:

12,27

81,1...36,269,21

1

n

iiy

ny ,

69,0)12,281,1(...)12,269,2( 22

1

2

n

ii yySS .

Вычислим остаточную сумму квадратов:

04,011,0...)04,0(ˆ 22

1

2

1

2

n

ii

n

iiie eyySS .


получим:

65,004,069,0 eR SSSSSS .



65,01

65,0

R

RR ν

SSMS , 008,0

27

04,02

e

e

ν

SSS .

Фактическое значение F–статистики:

25,81008,065,0

e

Rфакт MS

MSF .


чениями.


Вариация


Степень

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат F

Факторная 1 0,65 0,65

81,25 Остаточная 5 0,04 0,008

Полная 8 0,69 –

41

2.2) Для оценки значимости и адекватности модели в целом вос-

пользуемся критерием Фишера.

Фактическое значение F–критерия Фишера возьмем из таблицы


25,81фактF .


найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимо-

сти α = 0,05:

61,6)5;1;05,0(),,( 21 таблтабл FkkαF .




следовательно, построенное степенное уравнение регрессии призна-

ется значимым в целом.

Для оценки адекватности модели применим эмпирическое прави-

ло (2.16).

Так как


то степенная модель признается адекватной и пригодной для прогноза.

2.3) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим зна-

чение индекса корреляции по формуле

97,069,0

65,0

SS

SSR R .

Полученное значение R = 0,97 свидетельствует о тесной степени

зависимости между переменными y и x.




42

Нанесем построенную степенную модель: 39,029,24ˆ xy

на диаграмму рассеяния, получим рис. 2.3.

Рис. 2.3. Диаграмма рассеяния с нанесенной кривой степенной модели

1.2) Построим логарифмическую модель вида

xy lnˆ ba .

Для нахождения параметров логарифмической модели сделаем

замену переменных:

xx ln~ .


xy ~ˆ ba .

Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных

с точностью до сотых.

43


Исходная таблица эм-


Преобразованная таблица эм-


№ y x № y xx ln~

1 2,69 271 1 2,69 5,60 2 2,36 393 2 2,36 5,97 3 2,25 507 3 2,25 6,23 4 2,07 538 4 2,07 6,29 5 1,84 636 5 1,84 6,46 6 1,79 789 6 1,79 6,67 7 1,81 915 7 1,81 6,82


ших квадратов, найдем точку экстремума a и b .

Проведем расчеты с точностью до сотых, получим:

29,6)82,667,6...97,560,5(711~

1

n

iix

nx ,

12,2)81,179,1...36,269,2(711

1

n

iiy

ny ,

19,13)81,182,6...36,297,569,260,5(71~1~

1

n

iii yx

nyx ,

73,39)82,667,6...97,560,5(71~1~

1

222222

n

iix

nx .

Тогда точка экстремума:

87,0)29,6(73,39

12,229,619,13

)~(~

~~222

xx

yxyxb ,

59,729,6)87,0(12,2~ xbya .

В результате получим линейное уравнение регрессии:

xy ~87,059,7ˆ .

44

Для перехода к логарифмической модели сделаем замену пере-

менных:

xx ln~ .

Окончательно получаем логарифмическую зависимость вида

xy ln87,059,7ˆ .

2.1) Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем

значения отклика и остатки.

№ 1 2 3 4 5 6 7

iy 2,69 2,36 2,25 2,07 1,84 1,79 1,81

iy 2,72 2,40 2,17 2,12 1,97 1,79 1,66

ie –0,03 –0,04 0,08 –0,05 –0,13 0 0,15

Вычислим остаточную сумму квадратов:

05,015,0...)03,0(ˆ 22

1

2

1

2

n

ii

n

iiie eyySS .


получим:

64,005,069,0 eR SSSSSS .



64,01

64,0

R

RR ν

SSMS , 01,0

27

05,02

e

e

ν

SSS .

Значение F–статистики:

6401,0

64,0

e

Rфакт MS

MSF .


чениями.

45


Вариация


Степень

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат F

Факторная 1 0,64 0,64

64 Остаточная 5 0,05 0,01

Полная 8 0,69 –

2.2) Для оценки значимости и адекватности модели в целом вос-

пользуемся критерием Фишера.

Фактическое значение F– критерия Фишера возьмем из таблицы


64фактF .



сти α = 0,05:

61,6)5;1;05,0(),,( 21 таблтабл FkkαF .



61,664 таблфакт FF ,

следовательно, построенное логарифмическое уравнение регрессии

признается значимым в целом.


ло (2.16).

Так как

44,26464 таблфакт FF ,

то логарифмическая модель признается адекватной и пригодной для

прогноза.

46

2.3) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим зна-

чение индекса корреляции по формуле

96,069,0

64,0

SS

SSR R .

Полученное значение R = 0,96 свидетельствует о тесной степени

зависимости между переменными y и x.




Нанесем построенную логарифмическую модель:

xy ln87,059,7ˆ

на диаграмму рассеяния, получим рис. 2.4.

Рис. 2.4. Диаграмма рассеяния с нанесенной кривой логарифмической модели

3) Проведем сравнение построенных моделей.

47

В целом логарифмическая модель хуже описывает реальные дан-

ные, так как фактическое значение F–статистики Фишера меньше,

чем для степенной модели:

Fфакт (логарифмическая) = 64 < Fфакт (степенная) = 81,25.

Пример 4. Известна зависимость рентабельности производства y

от числа рабочих в отделе x по 20 предприятиям в виде экспоненци-

ального уравнения регрессии: xy 0066,092,1ˆ e .

Фактическое значение F–статистики: Fфакт= 63,5.

1) Найти коэффициент эластичности, если в среднем на предпри-

ятиях трудится 139 рабочих.

2) Вычислить коэффициенты корреляции и детерминации.

3) Оценить качество модели по критерию Фишера.

Решение.

1) Найдем коэффициент эластичности, применив формулу (2.28):

)(ˆ)('ˆ

k

kk x

xxЭ

yy .

Вычислим первую производную уравнения регрессии xxy 0066,092,1)(ˆ e :

xxxy

0066,092,10066,092,1 0066,0)('ˆ ee .

Тогда коэффициент эластичности:

kxkx

k

kk x

e

xe

x

xxЭ

k

k 0066,00066,0

)(ˆ)('ˆ

0066,092,10066,092,1

yy .

Если среднее значение хk = 139, то коэффициент эластичности

равен:

92,01390066,00066,0 kxЭ .

48

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении числа

рабочих на 1% от 139 человек рентабельность производства возрастет

на 0,92%.

2) Запишем формулу для определения выборочной F–статистики

Фишера через коэффициент детерминации и выразим R2:

)2(1 2

2

nR

RFфакт ,

22 21 RnFR факт ,

факт

факт

Fn

FR

22 .

Подставим в выведенную формулу значение статистики Фишера

и объема выборки, получим коэффициент детерминации:

78,05,81

5,63

5,63220

5,632

R .

Полученное значение коэффициента детерминации свидетельст-

вует о том, что 78% полной дисперсии переменной y обусловлено

влиянием фактора; остальные 22% могут быть объяснены влиянием

на отклик y неучтенных в модели факторов, ошибками измерений,

или, возможно, неправильным выбором вида математической зависи-

мости.

Коэффициент корреляции 88,078,02 RR .

Полученное значение R = 0,88 свидетельствует о сильной степени

зависимости между рентабельностью производства и числом рабочих.

3) Оценим качество модели по критерию Фишера.



сти α = 0,05:

49

41,4)18;1;05,0()2,1,( таблтабл FnαF .




следовательно, экспоненциальная модель признается значимой и при-

годной для прогноза.

2.7. Задачи

1. Изучается зависимость объема продаж некоторого товара y

(шт.) от его цены x (тыс. руб.). Эмпирические данные за пять дней

представлены в таблице:

№ 1 2 3 4 5

y 3 6 5 4 7

x 6 4 3 5 2

Построить уравнение парной линейной регрессии.

2. Изучается зависимость темпа прироста внутреннего валового

продукта страны y (%) от среднегодовой инфляции x (%). Эмпириче-

ские данные за пять лет представлены в таблице:

№ 1 2 3 4 5

y 2,6 4,8 3,2 4,1 5,3

x 11,6 7,5 10,5 8,6 6,8


50

3. Изучается зависимость уровня безработицы y (%) от среднего

возраста безработного x (лет). Эмпирические данные за шесть лет


№ 1 2 3 4 5 6

y 4,9 9,1 7,0 7,2 5,3 8,5

x 56 36 44 38 49 41


4. Изучается зависимость отклика y от фактора x. Эмпирические

данные представлены в таблице:

№ 1 2 3 4 5 6

y 11 7 5 2 3 2

x 2 3 4 7 6 8

Построить уравнение парной степенной регрессии.

5. Изучается зависимость общего выпуска металлоконструкций

y (т) от количества переработанных уголков x (т). Эмпирические дан-

ные представлены в таблице:

№ 1 2 3 4 5 6 7

y 4,68 4,53 3,12 5,21 3,71 3,47 3,28

x 0,61 0,66 1,63 0,45 1,05 1,21 1,39

Построить уравнения линейной и степенной регрессий.

51

6. Изучается зависимость количества больных y (тыс. чел.) от

концентрации угарного газа x (мг / куб. м). Эмпирические данные


№ 1 2 3 4 5 6 7

y 19 20 32 34 51 56 78

x 2 2,5 2,9 3,2 3,6 3,9 4,2

1) Построить уравнения линейной, квадратичной и экспоненци-

альной регрессий.

2) Проверить качество построенных моделей по критерию

Фишера и коэффициенту детерминации.

7. Изучается зависимость доли расходов на покупку промыш-

ленных товаров в семейных расходах y (%) от среднемесячной зара-

ботной платы одного работающего x (тыс. руб.). Эмпирические дан-

ные по пяти районам области представлены в таблице:

№ 1 2 3 4 5

y 14 20 27 21 22

x 25 21 15 18 15


2) Найти оценку остаточной дисперсии S2.


4) Вычислить прогноз доли расходов на покупку промышленных

товаров, если среднемесячная зарплата увеличится на 2% от среднего

значения.


стью 0,95.

52

8. Изучается зависимость страховых премий y (млрд руб.) от

величины выплат x (млрд руб.). Эмпирические данные представлены

в таблице:

№ 1 2 3 4 5 6

y 80,4 37,52 98,73 58,75 51,25 16,97

x 40,43 17,79 46,76 27,91 21,72 5,41


2) Найти оценку остаточной дисперсии S2.


4) Вычислить прогноз страховых премий, если величина выплат

составит 50 млрд руб.


стью 0,95.

9. Известна зависимость объема продаж y (тыс. долларов) от

маркетинговых расходов x (тыс. долларов) по 12 магазинам в виде

уравнения линейной регрессии:

xy 6,06,10ˆ .

Среднеквадратические отклонения переменных x и y соответст-

венно равны 7,4xσ , 4,3yσ .

1) Определить коэффициент корреляции и оценить его значи-

мость.

2) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации.

3) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качест-

во регрессии по критерию Фишера.

4) Оценить значимость коэффициента регрессии b по критерию

Стьюдента.

53

5) Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии

с вероятностью 0,95.

10. Известна зависимость объема производства y (тыс. ед.) от

числа рабочих x (чел.) по 15 предприятиям в виде уравнения квадра-

тичной регрессии: 20404030ˆ xxy ,+,= .

Доля остаточной дисперсии в полной дисперсии равна 20%.

1) Определить индекс корреляции.


3) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию

Фишера.

4) Найти эластичность, если в среднем на предприятиях число

рабочих составит 30 человек.

11. Известна зависимость себестоимости продукции y (тыс. руб.)

от технической оснащенности x (тыс. руб.) по 10 предприятиям в виде

уравнения гиперболической регрессии:

xy

70020ˆ .

Доля остаточной дисперсии в полной дисперсии равна 19%.

1) Определить индекс корреляции.



Фишера.

4) Найти эластичность, если в среднем техническая оснащен-

ность составит 200 тыс. руб.

12. Результат моделирования прибыли фирмы по показательному

уравнению регрессии xy ba ˆ представлен в таблице:

54

№ 1 2 3 4 5 6 7 8

y 10 12 15 17 18 11 13 19

y 11 11 17 15 20 11 14 16

1) Определить ошибку аппроксимации.

2) Найти индекс корреляции между переменными у и х.



Фишера.


1. Какая модель называется парной регрессией?

2. Когда применяется модель парной регрессии?

3. Что представляет собой таблица эмпирических данных парной

регрессии?

4. Как называются разности между расчетными (модельными)

и наблюдаемыми значениями?

5. Чем обусловлено наличие случайной составляющей в модели?

6. Какие методы используются для выбора вида аналитической

зависимости парной регрессии?

7. Перечислите нелинейные парные регрессии.

8. Какой метод используется для оценивания параметров урав-

нения регрессии?

9. Что такое нормальные уравнения системы?

10. Что характеризуют коэффициенты парной линейной регрес-

сии?

11. Какие процедуры используются при оценивании параметров

нелинейных моделей?

12. Каковы основные предположения теоремы Гаусса–Маркова?

55

13. Какие критерии используются для оценки качества модели?

14. Какие столбцы содержит таблица дисперсионного анализа?

15. На какие составляющие разлагается полная дисперсия

наблюдений?

16. Каково основное тождество дисперсионного анализа?

17. Что называется остаточной дисперсией?

18. Какой критерий используется для оценки значимости и адек-

ватности модели?

19. Какое правило используется для оценки адекватности модели

на практике?

20. Что характеризуют коэффициенты корреляции и детермина-

ции?

21. Для чего используется критерий Стьюдента?

22. Как вычисляются интервальные оценки параметров модели

парной регрессии?

23. Как вычисляется точечный и интервальный прогноз по урав-

нению линейной регрессии?

24. Что характеризует ошибка аппроксимации?

25. Что показывает коэффициент эластичности?

56

3. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

3.1. Постулирование модели Множественной регрессией называется модель, описывающая

зависимость среднего значения отклика y от нескольких факторов:

),...,,(ˆ21 pf xxxy , (3.1)

где у – зависимая переменная (исследуемый процесс, отклик);

х1, х2,…, хp – независимые переменные (регрессоры, факторы),

p – число регрессоров в модели.

Модель множественной регрессии используется в случаях, когда

из множества факторов, оказывающих значимое влияние на иссле-

дуемый процесс, нельзя выделить один доминирующий фактор

и целесообразно учитывать влияние нескольких факторов.

Данные, необходимые для определения параметров множествен-

ной регрессии, записываются в виде таблицы эмпирических данных,

содержащей n наблюдений переменных х1, х2,…, хp и y.

Таблица эмпирических данных множественной регрессии

№ y x1 x2 … x p

1 1y x11 x12 … x p1

2 2y x21 x22 … x p2

… … … … … …

i iy xi1 xi2 … xip

… … … … … …

n ny xn1 xn2 … xnp

57

Выбор регрессоров для включения в модель множественной рег-

рессии производится, прежде всего, на основе знаний исследователя

о взаимосвязях зависимой переменной с другими процессами.

При этом включаемые в модель регрессии факторы должны:

1) быть взаимно некоррелированными;

2) существенно влиять на вариацию отклика y.

Соответствие факторов первому требованию осуществляется на

этапе постулирования модели.

Высокая взаимная коррелированность факторов называется

мультиколлинеарностью.

Для обнаружения мультиколлинеарности строится матрица пар-

ных коэффициентов корреляций ji xxr между факторами:

1...

.............

...1

...1

...

.............

...

...

21

212

121

21

22212

12111

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

pp

p

p

pppp

p

p

rr

rr

rr

rrr

rrr

rrr

R . (3.2)

Если в матрице парных коэффициентов корреляции имеются зна-

чения коэффициентов 8,0ji xxr , то мультиколлинеарность считается

обнаруженной, а переменные xi и xj называются коллинеарными.

При этом один из каждой пары коллинеарных факторов должен

быть удален из модели. Исключается тот фактор из пары, который

достаточно сильно связан с другими факторами и в наименьшей сте-

пени связан с откликом y.

Соответствие факторов второму требованию осуществляется на

этапе анализа качества построенной модели. Включение в модель

существенно влияющих на вариацию зависимой переменной y факто-

ров проверяется с помощью критерия Стьюдента, а также методами

включения и исключения.

58

Однако при выборе факторных переменных для включения

в модель множественной регрессии руководствуются принципом

минимизации числа факторов. Для этого пользуются эмпирическим

правилом: число факторов, включаемых в модель, должно быть

в 5-15 раз меньше объема исходных наблюдений.

При выборе вида математической модели исследователь руково-

дствуется принципами простоты модели и возможности интерпрета-

ции ее параметров. Поэтому наиболее часто используемыми моделя-

ми множественной регрессии являются линейная и степенная модели.

Модель линейной множественной регрессии имеет вид

ppbbba xxxy 2211ˆ . (3.3)

Параметры модели bj показывают среднее изменение зависимой

переменной y при изменении соответствующего фактора xj на едини-

цу при неизмененном среднем значении других факторов.

Модель степенной множественной регрессии имеет вид

pbp

bba xxxy 2121

ˆ . (3.4)

Параметры модели bj являются коэффициентами эластичности,

которые показывают, на сколько процентов изменится в среднем зна-

чение переменной y при изменении значения соответствующего фак-

тора xj на 1% при неизменном значении других факторов.

3.2. Оценивание параметров множественной регрессии Для оценки параметров модели линейной множественной регрес-

сии применяется метод наименьших квадратов.

Для линейной множественной регрессии система нормальных

уравнений имеет вид

59

....

...

...

...

22211

112221111

2211

pppppp

pp

pp

bbba

bbba

bbban

xxxxxxyx

xxxxxxyx

xxxy

(3.5)

Введем следующие обозначения:

ny

y

y

...2

1

Y – вектор значений зависимой переменной y,

pnn

p

p

xx

xx

xx

....1

.............

....1

...1

1

212

111

X – матрица значений факторных перемен-

ных х1, х2,…, хp,

pb

b

a

...1

B – вектор параметров модели.

Оценки параметров уравнения множественной регрессии мето-

дом наименьших квадратов находятся по формуле

YXXXB TT 1)( . (3.6)

Другой способ нахождения оценок параметров модели множест-

венной регрессии – метод стандартизованных коэффициентов.

Уравнение множественной регрессии в стандартизованном

масштабе принимает вид

ppβββ xxxy tttt 21 21 , (3.7)

где pxxxy tttt ,...,,,

21 – стандартизованные переменные, вычисляемые

по формулам:

60

yσ

y

yt y ,

jj

x

jj

σ

x

xt x , pj ,...,2,1 . (3.8)

Свойства стандартизованных переменных:

1) средние значения равны нулю 0jxy tt ;

2) среднеквадратические отклонения равны единице

1jxy tt .

Параметры модели в стандартизованном масштабе βj называются

стандартизованными коэффициентами.

Коэффициенты модели множественной регрессии в натуральном

масштабе bj связаны со стандартизованными коэффициентами βj

соотношениями:

jx

yjjb

, y

xjj

jb

, pj ,...,2,1 . (3.9)

Свободный коэффициент множественной регрессии а определя-

ется по формуле

pp xbxbxbya ...2211 . (3.10)

Стандартизованные коэффициенты регрессии βj показывают, на

сколько сигм (среднеквадратических отклонений) изменится в сред-

нем отклик y за счет изменения соответствующего фактора хj на одну

сигму при неизмененном среднем значении других факторов.

Для оценки стандартизованных коэффициентов модели множест-

венной регрессии также можно применить метод наименьших квадра-

тов.

Для множественной регрессии в стандартизованном масштабе

система нормальных уравнений имеет вид

61

....

...

...

...

321

223212

113121

321

321

321

pxxxxxxyx

xxpxxxxyx

xxpxxxxyx

βrβrβrβr

rβrββrβr

rβrβrββr

pppp

p

p

(3.11)

Стандартизованные коэффициенты βj позволяют ранжировать

факторы по силе их влияния на переменную y. Фактор хj, которому

соответствует большее по модулю значение стандартизованного

коэффициента βj, будет оказывать большее относительное воздейст-

вие на изменение отклика y.

Для оценивания параметров нелинейных моделей множественной

регрессии сначала модель преобразуется к линейному виду с помо-

щью процедур логарифмирования и замены переменных. После пре-

образования переменных и формирования новой таблицы эмпириче-

ских данных для оценки параметров нелинейных моделей множест-

венной регрессии применяется метод наименьших квадратов. Если

нелинейную модель невозможно преобразовать в линейную форму, то

для оценки параметров модели используются методы нелинейной

оптимизации.

3.3. Теорема Гаусса–Маркова Теорема Гаусса–Маркова. Если будут выполняться предположе-

ния:

1) Модель линейна по оцениваемым параметрам:

exxxy ppbbba 2211 ;

2) X – детерминированная матрица, имеющая максимальный ранг

(p+1), т. е. векторы х1, х2, …, хp линейно независимы.

3.1) математическое ожидание случайной величины e равно

нулю в любом наблюдении:

0)( ieM ;

62

3.2) дисперсия случайной величины e постоянна для всех

наблюдений: 2)( ieD ;

3.3) ошибки e для разных наблюдений ie и je некоррелированы:

0)( jiijji beeM при ji ;

3.4) ошибки e имеют нормальное распределение:

),0(~ 2Nei для всех ni ,1 ,

то оценка YXXXB TT 1)( , полученная методом наименьших квад-

ратов, является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дис-

персии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

3.4. Анализ качества модели множественной регрессии В основном для анализа качества модели множественной регрес-

сии используются те же меры качества, что и для парной регрессии.

3.4.1. Таблица дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ для множественной регрессии

Вариация


Степень

свободы

Сумма квадра-

тов

Средний

квадрат F

Факторная pνR

n

iiR yySS

1

2)ˆ( R

RR

SSMS

e

R

MS

MSF

Остаточная

1

pn

νe

n

iiie yySS

1

2)ˆ( 2Sν

SSMS

e

ee

Полная 1 n

n

ii yySS

1

2)( –

63

Основное тождество дисперсионного анализа:

eR SSSSSS .

Стандартная ошибка S или остаточная дисперсия S2 применя-

ются как для оценки адекватности модели, так и для сравнения кон-

курирующих моделей.

3.4.2. Критерий Фишера (F–критерий)

Для оценки значимости и адекватности модели в целом применя-

ется критерий Фишера.

Выдвигается статистическая гипотеза:

0H : 0...21 pbbb ,

т. е. гипотеза о том, что в модели факторы pxxx ,...,, 21 не влияют

существенно на отклик y.

Вычисляется фактическое значение F–критерия:

p

pn

R

R

S

MSF Rфакт

1

1 2

2

2

, (3.12)

где n – число наблюдений; p – число факторов в модели;

R2 – коэффициент детерминации.

Затем из таблиц квантилей распределения Фишера (Приложе-

ние 2) находится табличное значение ),,( 21 kkαFтабл при уровне зна-

чимости α и числами степеней свободы pk 1 и )1(2 pnk .

Если фактF таблF , то гипотеза 0H о незначимости модели при-

нимается, в противном случае регрессия признается значимой.

Для оценки адекватности модели на практике применяется пра-

вило: если

таблфакт FF 4 , (3.13)

то модель считается адекватной и пригодной для прогноза.

64

3.4.3. Множественный коэффициент корреляции и коэффициент

детерминации

Множественной коэффициент корреляции характеризует тес-

ноту линейной стохастической связи множества факторов pxxx ,...,, 21

с исследуемым процессом y и оценивает тесноту совместного влияния

факторов pxxx ,...,, 21 на отклик y.

Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, значение множест-

венного коэффициента корреляции вычисляется по формуле

SS

SS

SS

SSR eR 1 . (3.14)

Чем больше значение R )10( R , тем сильнее степень линей-

ной связи между совокупностью факторов pxxx ,...,, 21 и зависимой

переменной y.

Недостаток меры )( 2RR : при увеличении количества регрессоров

в модели значения )( 2RR возрастают. Для устранения этого недос-

татка практически соблюдается условие, чтобы число исходных

наблюдений было больше числа факторов в 5–15 раз.

Кроме того, вместо )( 2RR применяется скорректированный

множественный коэффициент корреляции:

1

1)1(1 2

pn

nRRc (3.15)

или детерминации 2cR .

Используя парные коэффициенты корреляции зависимой пере-

менной с факторами jyxr , множественный коэффициент корреляции R

вычисляется по формуле

jyxj

j rβR , (3.16)

jβ – стандартизованные коэффициенты регрессии.

65

3.4.4. Применение частного F–критерия и t–критерия

Частный F–критерий и t–критерий применяются для анализа

значимости каждого регрессора в отдельности. Это дает возможность

в принципе получить оптимальную структуру модели.

Выдвигается нулевая гипотеза о незначимости параметра jb

и несущественном влиянии фактора хj на зависимую переменную y:

),1(0:0 pjbH j .

Вычисляется значение частного F–критерия: 2

j

jb

S

bF

j (3.17)

или t–критерия:

j

jb S

bt

j . (3.18)

Если

jbF )1,1,( pnFтабл )1,( pntt таблb j

,

то гипотеза 0H принимается, т. е. коэффициент регрессии bj считается

равным 0, а соответствующий фактор хj считается статистически

незначимой переменной, в противном случае регрессор хj признается

значимым.

3.4.5. Частные коэффициенты корреляции

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту

линейной стохастической связи между зависимой переменной y

и фактором хj при устранении влияния других факторов, входящих

в уравнение множественной регрессии.

66

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков

вычисляются через коэффициенты частной корреляции более низких

порядков.

При двух факторах х1 и х2 частные коэффициенты корреляции

вычисляются по формулам:

)1)(1( 22*

212

212121

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

, (3.19)

)1)(1( 22*

211

211212

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

. (3.20)

Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать

факторы по силе их влияния на переменную y. Фактор хj, которому

соответствует большее по модулю значение частного коэффициента

корреляции, будет сильнее связан с переменной y.

3.4.6. Интервальные оценки

Интервальная оценка для параметра bj определится доверитель-

ным интервалом с вероятностью p:

)),1(;),1((jj bтаблjbтаблjp SαpntbSαpntbI , (3.21)

где jbS – стандартная ошибка параметра bj (корень квадратный из

j -го диагонального элемента матрицы ковариаций

12 )()( XXB TSD ).

Остаточная дисперсия вычисляется по формуле

11

)ˆ(1

2

1

2

2

pn

e

pn

yyS

n

ii

n

iii

. (3.22)

67

3.4.7. Средние коэффициенты эластичности

Средние коэффициенты эластичности для линейной множест-

венной регрессии вычисляются по формуле

y

xbЭ j

jyx j (3.23)

и показывают, на сколько процентов от среднего значения изменится

значение отклика у при изменении значения фактора хj на 1% относи-

тельно своего среднего значения при неизменных средних значениях

других факторов.

Средние коэффициенты эластичности можно сравнивать друг

с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их влияния

на зависимую переменную у.

3.4.8. Меры качества прогноза

Для оценки качества прогнозов исходная выборка данных

делится на две части – обучающую (модельную) и контрольную.

Обучающая выборка используется для построения модели, а кон-

трольная дает возможность оценить качество прогноза по мерам,

основанным на разностях )ˆ( ii yy для контрольных точек.

Одной из таких мер является среднеквадратическое отклонение

ошибок на контрольной выборке:

2

1

ˆ1

k

iii yy

k , (3.24)

где k – число элементов контрольной выборки; iy – наблюдаемые

значения отклика y на контрольном интервале; iy – их прогнозы,

вычисляемые по модели.

68

3.5. Примеры

Пример 1. Изучается зависимость стоимости квартиры y

(млн руб.) от общей площади квартиры x1 (м2) и количества комнат

x2 (единиц). Эмпирические данные представлены в таблице:

№ 1 2 3 4 5 6 7 8

y 1,7 1,5 2,2 1,8 1,3 1,1 1,6 1,5

x1 60 45 80 54 35 28 58 42

x2 3 2 3 3 1 1 3 2

1) Построить уравнение множественной линейной регрессии.


во модели по критерию Фишера.

3) Определить множественный коэффициент корреляции и коэф-

фициент детерминации.

4) Найти частные коэффициенты корреляции.

5) Оценить значимость параметров уравнения множественной

регрессии по частному F–критерию и t–критерию.

Решение.

1) Рассчитаем параметры уравнения множественной линейной

регрессии по формуле (3.6), где матрица Х и вектор Y имеют вид

2421

3581

1281

1351

3541

3801

2451

3601

X,

5,1

6,1

1,1

3,1

8,1

2,2

5,1

7,1

Y.

69

Тогда вектор параметров будет иметь вид

0011,0

0196,0

6071,0

)( 1 YXXXB TT.

Следовательно, уравнение множественной линейной регрессии

имеет вид

21 0011,00196,06071,0 xxy .

2) Построим таблицу дисперсионного анализа.

Для этого сначала составим таблицу наблюдаемых iy и предска-

занных iy значений отклика и остатков iii yye ˆ .

№ 1 2 3 4 5 6 7 8

iy 1,7 1,5 2,2 1,8 1,3 1,1 1,6 1,5

iy 1,780 1,487 2,172 1,662 1,292 1,155 1,741 1,428

ie –0,080 0,013 0,028 0,138 0,008 –0,055 –0,141 0,072

Вычислим значение полной суммы квадратов SS , используя

формулу

756,0)588,1(8930,20)()(1 1

2222

n

i

n

iii ynyyySS .

Вычислим значение остаточной суммы квадратов:

n

i

n

iiiie eyySS

1 1

22 054,0)ˆ( .

Из основного тождества дисперсионного анализа вычислим

сумму квадратов, обусловленную регрессией:

702,0054,0756,0 eR SSSSSS .

70

В регрессионной модели присутствуют два фактора х1 и х2, сле-

довательно, степень свободы 2 pR .

Для остаточной суммы квадратов число степеней равно

51281 pnνe .

Для полной дисперсии число степеней равно 7181 nν .



351,02

702,0

R

RR ν

SSMS ,

011,05

054,02 Sν

SSMS

e

ee .

Фактическое значение F–критерия Фишера равно:

909,31011,0

351,02

S

MSF Rфакт .


чениями.


Вариация


Степень

свободы

Сумма

квадратов

Средний

квадрат F

Факторная 2 0,702 0,351

31,909 Остаточная 5 0,054 0,011

Полная 7 0,756 –

Оценим качество модели по критерию Фишера.

Табличное значение F–статистики Фишера при уровне значимо-

сти = 0,05 (Приложение 2):

Fтабл(α, p, n – p – 1) = Fтабл(0,05; 2; 5) = 5,79.



71

Fфакт = 31,909 > Fтабл = 5,79,

следовательно, уравнение регрессии значимо в целом.


ло (3.13).

Так как

96,184909,31 таблфакт FF ,

то модель множественной регрессии считается адекватной и пригод-

ной для прогноза.

3) Рассчитаем множественный коэффициент корреляции по фор-

муле (3.14):

SS

SSR R = 964,0

756,0

702,0 .

Множественный коэффициент корреляции достаточно близок к 1,

следовательно, линейная стохастическая связь между откликом y

и факторами x1 и x2 достаточно тесная.

Коэффициент детерминации:

929,0964,0 22 R .

Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том,

что 92,9% полной дисперсии отклика y обусловлено влиянием факто-

ров x1 и x2; остальные 7,1% могут быть объяснены влиянием на

отклик y неучтенных в модели факторов, ошибками измерений, или,

возможно, неправильным выбором вида математической зависи-

мости.

4) Для расчета частных коэффициентов корреляции необходимо

вычислить парные коэффициенты корреляции по формуле

)()( 2222jj

jjyx

xxyy

xyyxr

j

, 2,1j .

72

Проведем вычисления:

350,8411

n

xyxy ,

797,79250,50588,111

n

x

n

yxy ,

616,22

2 n

yy ,

522,22

2

n

yy ,

750,2759212

1 n

xx ,

063,25252

121

n

xx .

Тогда парный коэффициент корреляции между откликом y и фак-

тором x1:

964,0)()( 2

121

22

111

xxyy

xyyxryx .

Аналогично рассчитываются другие коэффициенты. Составим

матрицу парных коэффициентов корреляции.

Переменные y x1 x2

y 1 – –

x1 0,964 1 –

x2 0,839 0,871 1

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень связи

между зависимой переменной y и соответствующим фактором при

73

устранении влияния других факторов, включенных в уравнение рег-

рессии.

Коэффициенты частной корреляции вычисляются по формулам:

)1()1( 22*

212

212121

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

873,0

)871,01()839,01(

871,0839,0964,022

,

)1()1( 22*

211

211212

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

005,0

)871,01()964,01(

871,0964,0839,022

.

При закреплении фактора x2 после x1 корреляция y и x1 оказыва-

ется более низкой 0,873 против 0,964.

Аналогично, при закреплении фактора x1 после x2 корреляция y

и x2 оказывается менее сильной –0,005 против 0,839.

Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать

факторы по силе их влияния на отклик y и дают конкретную меру

тесноты связи каждого фактора с зависимой переменной.

Проведем ранжировку: 1221 ** xyxxyx rr , т. е. фактор x1 (общая

площадь квартиры) оказывает более сильное влияние на отклик y

(стоимость квартиры) по сравнению с фактором x2 (количеством

комнат).

5) Оценим значимость параметров уравнения множественной

регрессии по частному F–критерию.

Частный F–критерий оценивает целесообразность включения

в модель фактора после других.

Фактические значения частных F–статистик при двухфакторной

модели можно вычислить по формулам:

851,151

128

929,01

839,0929,0

1

1

1

2

2

222

1

pn

R

rRF yx

x ,

74

0003,01

128

9293,01

964,09293,0

1

1

1

2

2

221

2

pn

R

rRF yx

x .

Табличное значение F–статистики Фишера при уровне значимо-

сти = 0,05 (Приложение 2):

Fтабл(α, 1, n – p – 1) = Fтабл(0,05; 1; 5) = 6,61.

Так как

таблx FF 1

, следовательно, фактор x1 целесообразно включать

в модель после фактора x2,

таблx FF 2

, следовательно, фактор x2 нецелесообразно включать

в модель после фактора x1.

Это значит, что парная модель зависимости y от x1 является дос-

таточно статистически значимой, надежной и нет необходимости

улучшать ее, включая дополнительный фактор x2.

Оценим значимость коэффициентов с помощью t–критерия.

Вычислим фактические значения t–статистики:

981,3851,1511

xb Ft ,

016,00003,022

xb Ft .

Табличное значение t–статистики при уровне значимости

= 0,05 (Приложение 1):

tтабл(, n – p – 1) = tтабл(0,05; 5) = 2,571.

Так как

таблb tt 1

, следовательно, коэффициент b1 является статистически

значимым, и фактор x1 оказывает существенное влияние на отклик y,

таблb tt 2

, следовательно, коэффициент b2 равен нулю, и фактор

x2 является статистически незначимой переменной.

То есть на стоимость квартиры основное влияние оказывает

общая площадь квартиры, а количество комнат влияет незначительно.

75

Пример 2. Изучается зависимость потребления электроэнергии y

(тыс. кВт/ч) от производства продукции 1x (тыс. ед.) и уровня меха-

низации труда 2x (%) по 30 предприятиям.

Переменная Среднее зна-

чение

Среднеквадратическое

отклонение

Парный коэф-

фициент кор-

реляции

y 1000 27 77,01yxr

1x 420 45 43,02yxr

2x 41,5 18 38,021xyr

1) Построить уравнение множественной регрессии в стандарти-

зированном и натуральном масштабах.

2) Найти коэффициенты частичной и множественной корреляции.

3) Найти частные коэффициенты эластичности.

4) Рассчитать общий и частный критерий Фишера.

5) Найти интервальные оценки коэффициентов регрессии с веро-

ятностью 0,95.

6) Оценить значимость коэффициентов множественной регрессии

по критерию Стьюдента.

Решение.

1) Построим уравнение множественной регрессии в стандартизи-

рованном масштабе:

21 21 xxy ttt ββ .

Система нормальных уравнений примет вид

21

21

212

211

βrβr

rββr

xxyx

xxyx.

76

Выразим отсюда стандартизованные коэффициенты 1β и 2β :

22

21

21

2112

21

2121

1

1

xx

xxyxyx

xx

xxyxyx

r

rrrβ

r

rrrβ

,

161,038,01

38,077,043,0

709,038,01

38,043,077,0

22

21

β

β

.

Тогда уравнение в стандартизованном масштабе будет иметь вид

21161,0709,0 xxy ttt .

Проранжируем факторы. Так как 161,0709,0 21 ββ , следова-

тельно, фактор 1x оказывает большее влияние на y, чем фактор 2x .

Построим уравнение регрессии в натуральном масштабе.

Коэффициенты модели множественной регрессии в натуральном

масштабе рассчитаем по формулам:

425,04527

709,01

11 x

y

σ

σβb ,

242,01827

161,02

22 x

y

σ

σβb ,

457,8115,41242,0420425,010002211 xbxbya .

Тогда уравнение множественной регрессии в натуральном мас-

штабе имеет вид

21 242,0425,0457,811ˆ xxy .

2) Найдем коэффициенты частичной и множественной корре-

ляции.

77

Коэффициенты частной корреляции характеризуют степень тес-

ноты связи между откликом и соответственным фактором при устра-

нении влияния других факторов.

Частные коэффициенты корреляции определяются по формулам:

)1()1( 22*

212

212121

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

726,0

)38,01()43,01(

38,043,077,022

,

)1()1( 22*

211

211212

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

233,0

)38,01()77,01(

38,077,043,022

.

Частные коэффициенты корреляции позволяют проводить ран-

жировку факторов по их влиянию на отклик и дают конкретную меру

тесноты связи каждого фактора с откликом y.

Так как 1221 ** xyxxyx rr , то фактор 1x оказывает более сильное

влияние на отклик y , чем фактор 2x .

Множественный коэффициент корреляции можно определить из

частных коэффициентов корреляции по формуле

)1)...(1)(1)(1(1 2...

222121213121

pp xxxyxxxyxxyxyx rrrrR .

Получим:

784,0)233,01)(77,01(1 22 R .

Коэффициент множественной корреляции достаточно близок к 1

и означает тесную связь переменной y с факторами x1 и x2.

Коэффициент детерминации:

615,0784,0 22 R .

Коэффициент детерминации показывает, что 61,5% дисперсии

переменной y объясняется влиянием факторов x1 и x2.

3) Частные коэффициенты эластичности вычислим по фор-

муле (3.23):

78

y

xbЭ j

jyx j .

Получим:

18,01000

420425,01

11 y

xbЭ yx ,

01,01000

5,41242,02

22 y

xbЭ yx .

Значения частных коэффициентов эластичности показывают, что

с увеличением среднего значения фактора 1x на 1% значение y воз-

растает на 0,18% от среднего значения, с увеличением фактора 2x на

1% от среднего значения отклик y возрастает на 0,01% от среднего

значения.

4) Рассчитаем общий F–критерий по формуле

565,212

1230

615,01

615,01

1 2

2

p

pn

R

RFфакт .

Найдем табличное значение F–статистики Фишера при уровне

значимости = 0,05 (Приложение 2):

Fтабл(, p, n – p – 1) = Fтабл(0,05; 2; 27) = 3,35.

Так как


то уравнение множественной регрессии значимо в целом.


ло (3.13).

Так как


то модель множественной регрессии считается адекватной и пригод-

ной для прогноза.

79

Частные F–критерии оценивают целесообразность включения

в модель факторов после других.

Вычислим фактические значения частных F–статистик:

880,12330615,01

43,0615,0

1

1

1

2

2

222

1

pn

R

rRF

yxx ,

662,0330615,01

77,0615,0

1

1

1

2

2

221

2

pn

R

rRF

yxx .

Найдем табличное значение F–статистики Фишера при уровне

значимости = 0,05 (Приложение 2):

Fтабл(, 1, n – p – 1) = Fтабл(0,05; 1; 27) = 4,21.

Так как

21,4880,121

таблx FF , то фактор 1x целесообразно включить

в модель после фактора 2x ,

21,4556,02

таблx FF , то фактор 2x нецелесообразно вклю-

чить в модель после фактора 1x .

5) Найдем интервальные оценки коэффициентов регрессии

с доверительной вероятностью p = 0,95 по формуле (3.21):

)),1(;),1((jj bтаблjbтаблjp SαpntbSαpntbI .

Для этого выразим стандартные ошибки параметров из фор-

мулы (3.17): 2

jj

b

jx S

bF .

Получим:

jj

x

jb F

bS

2

.

Тогда стандартные ошибки параметров модели равны:

80

118,0880,12

425,01

bS ,

297,0662,0

242,02

bS .

Табличное значение t–статистики Стьюдента при уровне значи-

мости = 0,05 (Приложение 1):

052,227;05,01, таблтабл tpnαt .

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для пара-

метра 1b будут соответственно равны:

183,0118,0052,2425,01,11 bтабл Spnαtb ,

667,0118,0052,2425,01,11 bтабл Spnαtb .

Тогда доверительный интервал с вероятностью p = 0,95 для пара-

метра регрессии 1b будет иметь вид

)667,0;183,0(95,0 I , т. е. 667,0;183,01 b .

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для пара-

метра 2b будут соответственно равны:

367,0297,0052,2242,01,22 bтабл Spnαtb ,

851,0297,0052,2242,01,22 bтабл Spnαtb .

Получим доверительный интервал с вероятностью p = 0,95 для

параметра регрессии 2b :

)851,0;367,0(95,0 I , т. е. 851,0;367,02 b .

6) Оценим значимость коэффициентов множественной регрессии


Вычислим фактические значения статистик Стьюдента:

589,3880,1211

xb Ft ,

814,0662,022

xb Ft .

81

Табличное значение t–статистики Стьюдента при уровне значи-

мости = 0,05 (Приложение 1):

052,227;05,01, таблтабл tpnαt .

Так как

052,2589,31

таблb tt ,

следовательно, параметр 1b значим, фактор 1x оказывает значимое

влияние на переменную y .

Так как

052,2814,02

таблb tt ,

следовательно, параметр 2b незначим, фактор 2x не оказывает зна-

чимое влияние на y .

То есть на потребление электроэнергии основное значимое

влияние оказывает производство продукции, а уровень механизации

труда – незначительное.

3.6. Задачи

1. По 25 наблюдениям получена матрица парных коэффициентов

корреляции зависимости факторов 1x , 2x и отклика y.

Переменные y 1x 2x

y 1,0 – –

1x 0,6 1,0 –

2x –0,5 –0,9 1,0


зованном масштабе.

2) Определить коэффициент корреляции (скорректированный

и нескорректированный).

82

2. По 20 наблюдениям получена матрица парных коэффициентов

корреляции зависимости факторов 1x , 2x и отклика y:

Переменные y 1x 2x

y 1,0 – –

1x 0,78 1,0 –

2x 0,86 0,96 1,0

1) Построить уравнение регрессии в стандартизованном виде.

2) Определить коэффициент корреляции (скорректированный

и нескорректированный).

3. Известна зависимость производства продукции y (млн руб.) от

количества отработанных за год человеко–часов x1 (тыс. чел.–ч.)

и среднегодовой стоимости производственного оборудования x2

(млн руб.) по 20 предприятиям в виде уравнения множественной

линейной регрессии:

21 5,206,035ˆ xxy .

Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,9.

Остаточная сумма квадратов равна SSe = 3000.

1) Определить коэффициент детерминации.



4. Известна зависимость прибыли y (тыс. руб.) от выработки про-

дукции на одного работника x1 (тыс. руб.) и индекса на продукцию x2

(%) по 25 предприятиям в виде уравнения множественной линейной

регрессии:

21 1007,027ˆ xxy .

83




2) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить каче-

ство модели по критерию Фишера.

5. Известна зависимость потребления материалов y (т) от энерго-

вооруженности труда x1 (кВт–ч на одного рабочего) и объема продук-

ции x2 (тыс. ед.) по 20 предприятиям в виде уравнения множествен-

ной линейной регрессии:

21 32,040ˆ xxy .






6. Известна зависимость среднедневного душевого дохода

y (руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего

x1 (руб.) и среднего возраста безработного x2 (лет) по 30 районам

области в виде уравнения множественной линейной регрессии:

21 25,262,152,73ˆ xxy .


Стандартные ошибки параметров множественной регрессии

соответственно равны 6,3aS , 18,01bS , 5,0

2bS .

1) Оценить значимость параметров множественной регрессии по

критерию Стьюдента.

2) Оценить по частным F–критериям Фишера целесообразность

включения в модель фактора x1 после фактора x2 и фактора x2 после

фактора x1.

84

7. Известна зависимость выработки продукции на одного работ-

ника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x1 (%

от стоимости фондов на конец года) и удельного веса рабочих высо-

кой квалификации в общей численности рабочих x2 (%) по 20 пред-

приятиям области в виде уравнения множественной регрессии:

21 154,0563,1427,2ˆ xxy .


Стандартные ошибки параметров множественной регрессии

соответственно равны 971,0aS , 358,01bS , 084,0

2bS .

1) Оценить значимость параметров множественной регрессии по

критерию Стьюдента.

2) Оценить по частным F–критериям Фишера целесообразность

включения в модель фактора x1 после фактора x2 и фактора x2 после

фактора x1.

8. Известна зависимость отклика y от факторов x1 и x2 по 30

предприятиям в виде уравнения множественной регрессии:

21 2048,0ˆ xxy a .


Параметр регрессии а b1 b2

Стандартные ошибки параметров 2 0,06 ?

t–статистика для параметров 1,5 ? 4

1) Определить параметр а.

2) Найти недостающие значения стандартной ошибки и t–статис-

тики для параметров регрессии.

3) Оценить качество модели по коэффициенту детерминации.

4) Проверить значимость и адекватность уравнения регрессии.

85

5) Построить доверительные интервалы для параметров регрес-

сии с вероятностью 0,95.



21 210ˆ xxy a .



Стандартные ошибки параметров 0,5 2 ?

t–статистика для параметров 3 ? 5

1) Определить параметр а.









2214,03ˆ xxy b .



Стандартные ошибки параметров ? 0,02 0,12

t–статистика для параметров 1,8 ? 5

86

1) Определить параметр b2.







11. Известно уравнение множественной регрессии и доверитель-

ные интервалы параметров регрессии с вероятностью 0,95:

4321 5,10,29,13,06,4ˆ xxxxy .

Граница

Доверительные интервалы для параметров регрессии

при факторе

x1 x2 x3 x4

Нижняя ? 1,2 –3,1 ?

Верхняя 0,6 ? ? 1,9


1) Определить пропущенные границы доверительных интер-

валов.


12. Известно уравнение множественной регрессии и доверитель-

ные интервалы параметров регрессии с вероятностью 0,95:

321 0,27,28,03ˆ xxxy .

Граница

Доверительные интервалы для параметров регрессии при

факторе

x1 x2 x3

Нижняя 0,5 ? –4,1

Верхняя ? 2,8 ?

87


1) Определить пропущенные границы доверительных интерва-

лов.



наблюдениям:

Переменная Среднее

значение

Коэффициент

вариации, % Уравнение регрессии

y 50 9,5 21 26,137,036,66ˆ xxy

x1 14 10 126,075,53ˆ xy

x2 9 8,6 215,126,60ˆ xy

Оценить значимость каждого уравнения регрессии, если изве-

стно, что 16,021

xxr .

14. Изучается зависимость прибыли y (тыс. руб.) от выработки

продукции на одного работника x1 (ед.) и индекса на продукцию x2

(%) по 30 предприятиям.

Переменная Среднее зна-

чение

Среднеквадратическое

отклонение

Парный коэф-

фициент кор-

реляции

y 250 38 68,01yxr

1x 47 12 61,02yxr

2x 112 21 42,021xxr

88


зированном и натуральном масштабах.

2) Найти коэффициенты частичной и множественной корреляции.

3) Найти частные коэффициенты эластичности и сравнить их со

стандартизованными коэффициентами.

4) Рассчитать общий и частный критерии Фишера.

5) Найти интервальные оценки коэффициентов регрессии с веро-

ятностью 0,95.

6) Оценить значимость коэффициентов множественной регрессии



1. Какая модель называется множественной регрессией?

2. Когда применяется модель множественной регрессии?

3. Как производится отбор факторов для модели множественной

регрессии?

4. Каким требованиям должны удовлетворять факторы, вклю-

чаемые в модель множественной регрессии?

5. Что называется мультиколлинеарностью?

6. Как проводится проверка на наличие мультиколлинеарности?

7. Каким правилом нужно руководствоваться при отборе факто-

ров множественной регрессии?

8. Как интерпретируются коэффициенты уравнения множест-

венной регрессии?

9. Какой метод используется для оценивания параметров множе-

ственной регрессии?

10. Как выглядит уравнение множественной регрессии в стан-

дартизованном масштабе?

11. Какими свойствами обладают стандартизованные пере-

менные?

89

12. Что характеризуют стандартизованные коэффициенты?

13. Каковы предпосылки теоремы Гаусса–Маркова для множест-


14. Какие критерии используются для анализа качества множест-


15. Как и для чего применяется критерий Фишера?

16. Что характеризуют коэффициенты множественной корреля-

ции и детерминации?

17. Как вычисляется скорректированный коэффициент множест-

венной корреляции?

18. Как и для чего применяется частный F–критерий?

t–критерий?

19. Что характеризуют частные коэффициенты корреляции?

20. Как вычисляются интервальные оценки коэффициентов

множественной регрессии?

21. Что характеризуют средние коэффициенты эластичности?

22. Как используются меры качества прогноза?

90

4. АДАПТИВНОЕ РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

4.1. Проблемы поиска оптимальной регрессии

В подавляющем числе случаев постулируемая модель:

exxxy ppbbba 2211 ,

или в матричном виде:

eXBY , (4.1)

где

ny

y

y

...2

1

Y – вектор значений отклика y,

pb

b

a

...1

B – вектор оцениваемых параметров модели,

npn

p

p

xx

xx

xx

....1

.............

....1

...1

1

221

111

X – матрица значений регрессоров модели,

ne

e

e

...2

1

e – вектор ошибок (остатков),

не является оптимальной (адекватной наблюдениям).

Если считать линейную зависимость (4.1) подходящей, то основ-

ной проблемой будет размерность модели.

С одной стороны, опасаясь потерять существенные факторы,

исследователь старается включить в правую часть (4.1) их как можно

91

больше. Поэтому, как правило, модель (4.1) является переопределен-

ной, что приводит: а) к экономическим издержкам, б) к включению

неинформативных, малоинформативных и дублирующих перемен-

ных. Последнее приводит к возрастанию дисперсии прогноза y

и к понижению точности оценивания коэффициентов в модели.

С другой стороны, недоопределенная модель, не содержащая зна-

чимых факторов, приводит к систематической ошибке в прогнозе.

Таким образом, выдвигая гипотезу (4.1), исследователь сталкива-

ется с множеством конкурирующих моделей (структур), содержащих

некоторое количество регрессоров. Так как каждая переменная

pxxx ,...,, 21 может либо входить в уравнение, либо нет, то всего

получается p2 моделей. Из этого множества структур необходимо

выбрать по заданному критерию качества одну или несколько конку-

рирующих моделей.

Проблема выбора критерия оптимальности является достаточно

острой даже при однокритериальном подходе. Наиболее подходящи-

ми, естественно, являются меры точности прогноза. Если их затруд-

нительно получить, можно остановиться на общем F–критерии.

Получив при однокритериальном поиске оптимальную модель,

следует тщательно изучить вектор остатков e на предмет соблюдения

условий применения регрессионного анализа.

4.2. Основные предположения регрессионного анализа

4.2.1. Предположения о выборке

<1.1> – объем наблюдений достаточен,

<1.2> – при организации наблюдений обеспечивается случайный

отбор,

<1.3> – ряд наблюдений однороден,

<1.4> – в наблюдениях отсутствуют грубые промахи.

92

4.2.2. Предположения о векторе параметров В

<2.1> – адекватная наблюдениям модель линейна по элементам

вектора В,

<2.2> – на вектор В не наложено ограничений,

<2.3> – вектор В содержит аддитивную постоянную,

<2.4> – элементы вектора В вычислены с пренебрежимо малой

компьютерной ошибкой.

4.2.3. Предположения о матрице Х

<3.1> – элементы матрицы Х (регрессоры pxxx ,...,, 21 ) являются

линейно-независимыми векторами матрицы Х,

<3.2> – элементы матрицы Х (регрессоры pxxx ,...,, 21 ) не явля-

ются случайными величинами.

4.2.4. Предположения о векторе ошибок е

<4.1> – ошибки ie являются случайными величинами, аддитивно

входящими в модель,

<4.2> – ошибки ie распределены по нормальному закону,

<4.3> – ошибки ie не содержат систематического смещения,

<4.4> – ошибки ie имеют постоянную дисперсию,

<4.5> – ошибки ie не коррелированы и при справедливости <4.2>

статистически независимы.

93

4.2.5. Дополнительные предположения о векторе Y

Гипотезы <2> – <4> в совокупности являются одновременно

гипотезами о векторе Y. Дополнительно вводятся следующие два

предположения.

<5.1> – метод поиска оптимального набора регрессоров

pxxx ,...,, 21 для Y является точным; при однокритериальном поиске

оптимальной модели из p2 возможных точным является метод пол-

ного перебора;

<5.2> – для многооткликовой задачи правомерно применение

метода наименьших квадратов к каждой из регрессий в отдельности.

4.3. Методология регрессионного моделирования

Подход адаптивного регрессионного моделирования предусмат-

ривает:

– применение линейной по оцениваемым параметрам модели

и вычислительной схемы метода наименьших квадратов;

– проверку соблюдения предположений регрессионного анализа,

ранжирование нарушений по степени искажения свойств оценок

параметров модели;

– последовательную адаптацию к нарушениям предположений

регрессионного анализа путем применения соответствующих вычис-

лительных процедур;

– повторную проверку соблюдения предположений регрессион-

ного анализа и ранжирование нарушений при необходимости.

94

4.4. Анализ соблюдения предположений регрессионного анализа

и способы адаптации

4.4.1. Остатки

Анализ предположений обычно выполняется по остаткам:

iii yye ˆ ,

где iy – прогноз, получаемый по модели.

Вместо остатков используются шкалированные остатки:

S

ed i

i , (4.2)

где S – стандартная ошибка наблюдений, квадратный корень из оста-

точной дисперсии (3.22).

Предполагая, что )1,0(~ Ndi , строятся графики зависимости

остатков id от отклика y и регрессоров jx , pj ,...,2,1 и вычисля-

ются статистические критерии.

4.4.2. Нарушения предположений о векторе В


Нарушение <2.1>. Адекватная в целом модель может быть улуч-

шена по структуре путем устранения избыточных факторов или (и)

введением значимых регрессоров.

Признаки нарушения: при избыточности: наличие незначимых

факторов в модели со значениями t –статистик таблфакт tt , где таблt –

критическое значение t –статистики; при недоопределенности: нали-

чие трендов на графиках остатков );ˆ,( jxyd , отличающихся от гори-

зонтальной равномерной полосы шириной S2 .

Адаптация: при избыточности: устранение незначимых факторов

и пересчет коэффициентов модели, при одновременном нарушении

предположений <2.1> и <3.1> использование методов пошаговой рег-

95

рессии или других способов; при недоопределенности: поиск пропу-

щенных факторов ( ).,...,, 2 tjk xx

Если модель сразу признается неадекватной, то переходят к дру-

гому классу моделей.

Нарушение <2.2>. Косвенные признаки нарушения: наличие зна-

чимых парных коэффициентов корреляции регрессоров.

Адаптация: учет ограничений на вектор В и решение задачи на

поиск экстремума функции с ограничениями.

Нарушение <2.3>. О необходимости исключения свободного

коэффициента модели судят, исходя из существа процесса или из

результатов сравнения по критериям качества.

4.4.3. Нарушения предположений о матрице X


Нарушение <3.1>. Зависимость регрессоров jx друг от друга

называется мультиколлинеарностью.

Признаки нарушения: наличие парных коэффициентов корреля-

ции ji

r xx между регрессорами значимо отличных от нуля; близость

)det( XX T к нулю.

Адаптация: операция центрирования, смещенное оценивание,

при числе регрессоров p 4020 – пошаговая регрессия. Полностью

избавиться от мультиколлинеарности не всегда представляется воз-

можным. Самый простой способ: вывод из модели несколько корре-

лирующих (дублирующих) регрессоров, имеющих значения парных

коэффициентов корреляции 8,0ji

r xx .

Нарушение <3.2>. Косвенные признаки нарушения: резкое разли-

чие между стандартной ошибкой модели S и точностью прогноза Δσ ,

рассчитанной по контрольной выборке.

96

Адаптация: применение вычислительной схемы условной рег-

рессии со случайными коэффициентами.

4.4.4. Нарушения предположений о векторе е


Нарушение <4.1>. Косвенные признаки нарушения: наличие

гетероскедастичности на графике )ˆ,( yd .

Гетероскедастичностью называется явление непостоянства

дисперсии переменной y или регрессоров jx .

Адаптация: преобразование отклика y и при необходимости

регрессоров jx .

Нарушение <4.2>. Признаки нарушения: наличие на графиках

остатков );ˆ,( jxyd точек за пределами полосы S3 . Также для про-

верки нормальности распределения используются аналитические кри-

терии: критерий 2, Колмогорова – Смирнова )100( n , критерий

Шапиро и Уилка )20( n , метод Айвазяна.

Адаптация: удаление выбросов, применение робастных (устой-

чивых) методов оценивания.

Нарушение <4.3>. При наличии свободного коэффициента

в модели данное предположение не требует особого внимания. Если

величина d отлична от нуля, то это сигнализирует об ошибках в рас-

четах.

Нарушение <4.4>. Признаки нарушения: наличие гетероскеда-

стичности на графиках остатков );ˆ,( jxyd .

Адаптация: описание неоднородности дисперсии аналитическим

соотношениям, взвешенный метод наименьших квадратов.

Нарушение <4.5>. Признаки нарушения: наличие трендов на гра-

фике остатков ),( td , где t – время или номер наблюдения; наличие

97

взаимных корреляций между ie (авторегрессий первого порядка) по

критерию Дарбина–Уотсона.

Адаптация: введение линейного или нелинейного слагаемого по

времени t . Если и после этого остается авторегрессия, то использу-

ется обобщенный метод наименьших квадратов.

4.4.5. Нарушения предположений о векторе Y


Нарушение <5.1>. Признаки нарушения: применение неполного

метода перебора.

Адаптация: при невозможности применить метод полного пере-

бора используются методы ветвей и границ, псевдобулевой оптими-

зации, пошаговой регрессии, генетические алгоритмы.

Нарушение <5.2>. Признаки нарушения: наличие значимых пар-

ных коэффициентов корреляции откликов ji

r yy .

Адаптация: для оценивания параметров модели использование

косвенного метода наименьших квадратов, двухшагового метода

наименьших квадратов; трехшагового метода наименьших квадратов

и других.

4.5. Методы структурной идентификации

4.5.1. Полный перебор

Метод полного перебора предполагает построение всех p2 воз-

можных регрессионных моделей. Модели сравниваются между собой,

и выбирается наилучшая по заданному критерию качества (стандарт-

ная ошибка, критерий Фишера и т. д.).

Основной проблемой при реализации метода полного перебора

являются чрезмерные затраты машинного времени. Вследствие этого

98

вместо полного перебора используются методы поиска, в которых

количество перебираемых моделей порядка р.

Обычно условие <5.1> о корректности метода поиска нарушает-

ся, если присутствует мультиколлинеарность, количество регрессоров

достаточно большое и полный перебор всех структур невозможен.

4.5.2. Метод включения

Начинают с модели, содержащей свободный коэффициент и один

фактор, в наибольшей степени коррелирующий с зависимой перемен-

ной y.

Затем в модель последовательно добавляются факторы в порядке

возрастания их частных коэффициентов корреляции с откликом y.

На каждом шаге для включенного фактора jx вычисляется зна-

чение F–статистики )( 2jj btF x и сравнивается с табличным значени-

ем Fтабл. При выполнении неравенства таблFFjx включение новых

регрессоров прекращается.

4.5.3. Метод исключения

Начинают с полной модели, содержащей все факторы. Для каж-

дого регрессора jx вычисляется значение F–статистики (j

Fx ).

Из набора значений статистики Фишера {j

Fx } выбирается

F–статистика с наименьшим значением и сравнивается с табличным

Fтабл. Если таблFFj

minx , то регрессор, соответствующий

minjFx ,

выводится из модели и производится перерасчет коэффициентов

модели без этого фактора.

Если на каком-то шаге все таблFFjx , то исключение прекраща-

ется.

99

4.5.4. Метод включения с исключением

При использовании методов включения и исключения в случае

сильной мультиколлинеарности факторов в модели могут присутст-

вовать лишние факторы. Так как фактор, введенный в модель на ран-

нем шаге, на более позднем из-за корреляции с другими факторами

в модели может оказаться малоинформативным. Этот недостаток

в некоторой степени устраняется в методе, предусматривающем

использование обеих процедур – как включения, так и исключения.

Для каждой из этих процедур выбирается из таблиц критическое

значение F–статистики: Fтабл1 для включения и Fтабл2 для исключения.

Идея метода: на каждом этапе включения проверяется, не появ-

ляются ли в связи с этим в модели незначимые регрессоры, подлежа-

щие исключению.


1. Какая проблема является основной при поиске оптимальной

регрессии?

2. К каким последствиям приводит включение большого числа

факторов в модель?

3. К чему приводит недоопределенная модель?

4. Какие меры являются наиболее подходящими для поиска

оптимальной модели?

5. Назовите основные предположения регрессионного анализа

о выборке.

6. Каким предположениям должен удовлетворять вектор пара-

метров модели?

7. Каковы предположения о матрице Х?

8. Каковы предположения о векторе ошибок е?

9. Перечислите дополнительные предположения о векторе Y.

100

10. Каковы этапы подхода адаптивного регрессионного модели-

рования?

11. Как обычно выполняется анализ предположений регрессион-

ного анализа?

12. Каковы признаки нарушений предположений о векторе В?

13. Назовите способы адаптации к нарушениям предположений

о векторе В.

14. Каковы признаки нарушений предположений о матрице X?


о матрице X.

16. Каковы признаки нарушений предположений о векторе оши-

бок е?


о векторе ошибок е.

18. Каковы признаки нарушений предположений о векторе Y?


о векторе Y.

20. В чем суть метода полного перебора?

21. В чем состоит метод включения? Исключения?

22. Какова идея метода включения с исключением?

101

5. СИСТЕМА ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Структурная и приведенная формы модели Системой одновременных уравнений называется система взаимо-

зависимых уравнений, характеризующих взаимосвязь исследуемых

процессов.

В системе одновременных уравнений одни и те же зависимые

переменные содержатся в одних уравнениях в левых частях, а в дру-

гих уравнениях – в правых частях системы. Такая форма представле-

ния системы одновременных уравнений называется структурной

формой модели и имеет вид

nmnmnnnnnnnn

mmnn

mmnn

aaabbb

aaabbb

aaabbb

exxxyyyy

exxxyyyy

exxxyyyy

......

...

......

......

2211112211

2222212123231212

1121211113132121

(5.1)

Зависимые переменные системы у1, у2, …, yn называются эндоген-

ными переменными. Их число равно числу уравнений в системе.

Предопределенные переменные х1, х2, …, хm, влияющие на эндо-

генные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными

переменными.

Коэффициенты структурной формы модели ib при эндогенных

переменных и ja при экзогенных переменных называются структур-

ными коэффициентами модели.

В структурной форме модели отсутствует свободный коэффици-

ент, так как все переменные в модели выражены в отклонениях от

среднего значения, т. е. под х подразумевается xx , а под у – соот-

ветственно yy .

Для оценки параметров системы одновременных уравнений

обычный метод наименьших квадратов неприменим, так как все

102

уравнения системы взаимосвязаны и не могут рассматриваться по

отдельности. Поэтому для оценки структурных коэффициентов моде-

ли используются специальные приемы оценивания. Для этого струк-

турная форма модели преобразуется в приведенную форму модели,

представляющую собой систему линейных функций эндогенных

переменных от экзогенных:

mnmnnn

mm

mm

δδδ

δδδ

δδδ

xxxy

xxxy

xxxy

...ˆ

...

...ˆ

...ˆ

2211

22221212

12121111

, (5.2)

где i – коэффициенты приведенной формы модели.

По своей структуре приведенная форма модели представляет

собой систему независимых уравнений, поэтому ее параметры оцени-

ваются с помощью обычного метода наименьших квадратов.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой

нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели.

Приведенная форма модели аналитически уступает структурной

форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между

эндогенными переменными.

5.2. Проблема идентификации При переходе от приведенной формы модели к структурной

исследователь сталкивается с проблемой идентификации.

Идентификацией называется единственность соответствия

между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели разделя-

ются на три вида:

• идентифицируемые модели, в которых число коэффициентов

структурной формы модели равно числу коэффициентов приведенной

103

формы, т. е. все структурные коэффициенты однозначно определя-

ются по коэффициентам приведенной формы модели;

• неидентифицируемые модели, в которых число коэффициентов

структурной формы модели больше числа коэффициентов приведен-

ной формы, т. е. структурные коэффициенты не могут быть опреде-

лены через коэффициенты приведенной формы модели;

• сверхидентифицируемые модели, в которых число коэффици-

ентов структурной формы модели меньше числа коэффициентов

приведенной формы, т. е. структурные коэффициенты могут быть

неоднозначно определены по коэффициентам приведенной формы

модели.

При исследовании структурной модели на идентифицируемость

необходимо проверять каждое уравнение системы. Модель считается

идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифици-

руемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо,

то и вся модель считается неидентифицируемой.

Необходимое условие идентифицируемости уравнения. Пусть

H – число эндогенных переменных, содержащихся в уравнении сис-

темы, D – число экзогенных (предопределенных) переменных, содер-

жащихся в системе, но не входящих в данное уравнение, тогда

– уравнение системы идентифицируемо, если D + 1 = H;

– уравнение неидентифицируемо, если D + 1 < H;

– уравнение сверхидентифицируемо, если D + 1 > H.

Достаточное условие идентификации уравнения: уравнение

идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндо-

генным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других

уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не

равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных пере-

менных в системе без одного.

104

5.3. Оценивание параметров структурной модели Методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов;

• двухшаговый метод наименьших квадратов;

• трехшаговый метод наименьших квадратов;

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной

информации.

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае

точно идентифицируемой структурной модели и содержит следую-

щие этапы:

1) структурная модель преобразуется в приведенную форму

модели;

2) для каждого уравнения приведенной формы модели оценива-

ются приведенные коэффициенты обычным методом наименьших

квадратов;

3) путем алгебраических преобразований коэффициенты приве-

денной формы модели трансформируются в структурные коэффици-

енты модели.

Для сверхидентифицируемой системы используется двухшаговый

метод наименьших квадратов.

Идея двухшагового метода наименьших квадратов: на основе

приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого

уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содер-

жащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фак-

тических значений, применяем обычный метод наименьших квадра-

тов к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется в слу-

чае, когда остатки в различных структурных уравнениях системы

коррелируют друг с другом.

105

По сути, применение трехшагового метода наименьших квадра-

тов обозначает применение обобщенного метода наименьших квадра-

тов к результатам двухшагового метода:

1) коэффициенты системы оцениваются с помощью двухшаго-

вого метода наименьших квадратов;

2) для каждого структурного уравнения вычисляются остатки;

3) определяется матрица ковариаций остатков;

4) коэффициенты системы одновременных уравнений оценива-

ются обобщенным методом наименьших квадратов.

5.4. Примеры Пример 1. Дана структурная форма модели системы одновре-

менных уравнений:

2221212

1112121

xyy

xyy

ab

ab,

Приведенная форма модели имеет вид

2221212

2121111

ˆ

ˆ

xxy

xxy

δδ

δδ.

Выразить приведенные коэффициенты модели через структурные

коэффициенты.

Решение.

Система содержит две эндогенные переменные 21, yy и две экзо-

генные переменные 21, xx .

Выразим из первого уравнения структурной формы модели эндо-

генную переменную у2, получим:

12

11112 b

a xyy

.

106

Подставим это выражение вместо у2 во второе уравнение струк-

турной формы модели, получим:

22212112

1111 xyxy

abb

a

,

22212121121111 xyxy abbba ,

2221211121121 )1( xxy ababb .

Тогда переменную у1 можно представить через экзогенные пере-

менные в виде

22112

22121

2112

11

2112

222121111 111

xxxx

ybb

ab

bb

a

bb

aba

.

Подставим это выражение вместо у1 в выражение для у2, получим:

112

112

211212

22121

211212

11

12

11112 )1()1(

xxxxy

yb

a

bbb

ab

bbb

a

b

a

,

22112

221

211212

211211112 1)1(

)1(xxy

bb

a

bbb

bbaa

,

22112

221

211212

2112112 1)1(

)11(xxy

bb

a

bbb

bba

.

Окончательно для эндогенной переменной у2 получим выра-

жение:

22112

221

2112

21112 11

xxybb

a

bb

ba

.

Следовательно, приведенная форма модели будет иметь вид

22112

221

2112

21112

22112

12221

2112

111

11

11ˆ

xxy

xxy

bb

a

bb

ba

bb

ba

bb

a

.

Приведенные коэффициенты модели через структурные коэффи-

циенты будут равны:

107

2112

2222

2112

211121

2112

122212

2112

1111

1,

1

1,

1

bb

aδ

bb

baδ

bb

baδ

bb

aδ

.

Пример 2. Дана система одновременных уравнений:

2321312321313

4243232221212

2121113132121

ˆ

ˆ

ˆ

xxyyy

xxxyy

xxyyy

aabb

aaab

aabb

.

Проверить систему на идентифицируемость.

Решение.

Система содержит три эндогенные переменные 321 ,, yyy

и четыре экзогенные переменные 4321 ,,, xxxx .

Рассмотрим первое уравнение системы.

Проверим уравнение на выполнение необходимого условия иден-

тификации.

В первое уравнение системы входят три эндогенные переменные

321 ,, yyy , следовательно, H = 3.

В первом уравнении системы отсутствуют две экзогенные пере-

менные 3x и 4x , следовательно, D = 2.

Так как

D + 1 = 2+1= 3 = H,

следовательно, необходимое условие идентификации для первого

уравнения системы выполнено.

Проверим выполнение достаточного условия идентификации.

Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндоген-

ным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях

системы составим матрицу:

108

Номер уравнения Отсутствующие переменные

3x 4x

2 23a 24a

3 0 0

Вычислим определитель полученной матрицы:

000det 2423 aaA ,

следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено,

уравнение неидентифицируемо.

Рассмотрим второе уравнение системы.


тификации.

Во второе уравнение системы входят две эндогенные переменные

1y и 2y , следовательно, H = 2.

Во втором уравнении системы отсутствует одна экзогенная пере-

менная 1x , следовательно, D = 1.

Так как

D + 1 = 1+1= 2 = H,

следовательно, необходимое условие идентификации для второго






Номер уравнения Переменные

3y 1x

1 13b 11a

3 –1 31a

109


01det 113113 aabA ,

ранг матрицы равен 2, что меньше, чем число эндогенных перемен-

ных в системе без одного, следовательно, достаточное условие иден-

тификации не выполнено, и уравнение неидентифицируемо.

Рассмотрим третье уравнение системы.


тификации.

В третье уравнение системы входят три эндогенные переменные


В третьем уравнении системы отсутствуют две экзогенные пере-


Так как

D + 1 = 2+1= 3 = H,

следовательно, необходимое условие идентификации для третьего







3x 4x

1 0 0

2 23a 24a


000det 2324 aaA ,

следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено,

уравнение неидентифицируемо.

110

Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель,

идентифицируема по необходимому условию, но не может считаться

идентифицируемой исходя из достаточного условия.

Пример 3. Дана структурная форма модели:

3331312323

2223231212

2121112121

xxyy

xyyy

xxyy

aab

abb

aab

.


3213

3212

3211

565

1042

263

xxxy

xxxy

xxxy

.

1) Проверить структурную форму модели на идентифицируе-

мость.

2) Определить структурные коэффициенты модели косвенным

методом наименьших квадратов.

Решение.

Модель имеет три эндогенные переменные 32,1 ,, yyy и три экзо-

генные 321 ,, xxx .

1) Проверим каждое уравнение системы на необходимые и доста-

точные условия идентификации.

Рассмотри первое уравнение системы.


тификации.

В первое уравнение системы входят две эндогенные переменные

21, yy , следовательно, H = 2.

В первом уравнении системы отсутствует одна экзогенная пере-


111

Так как

D + 1 = 1+1= 2 = H,

следовательно, необходимое условие идентификации для первого

уравнения системы выполнено, и уравнение идентифицируемо.






3y 3x

2 23b 0

3 –1 33a


001det 33233323 ababA ,

ранг матрицы равен 2, что равно числу эндогенных переменных

в системе без одного, следовательно, достаточное условие идентифи-

кации выполнено, и уравнение идентифицируемо.

Рассмотри второе уравнение системы.


тификации.

Во второе уравнение системы входят три эндогенные переменные


Во втором уравнении системы отсутствуют две экзогенные пере-


Так как

D + 1 = 2+1= 3 = H,

следовательно, необходимое условие идентификации для второго


112






1x 3x

1 11a 0

3 31a 33a


00det 3311313311 aaaaaA ,




Рассмотри третье уравнение системы.


тификации.

В третье уравнение системы входят две эндогенные переменные

23, yy , следовательно, H = 2.

В третьем уравнении системы отсутствует одна экзогенная пере-


Так как

D + 1 = 1+1= 2 = H,

следовательно, необходимое условие идентификации для третьего






113


1y 2x

1 –1 12a

2 21b 22a


0det 122122 abaA ,




Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема,

так как для всех уравнений системы выполнены необходимое и дос-

таточное условия идентификации.

2) Определим структурные коэффициенты модели косвенным


а) Выразим 3x из второго уравнения приведенной формы модели:

10

42 2123

xxyx

.

Подставим его в первое уравнение приведенной формы модели:

.5

345

1351

54

52

563

10

42263

212212

21

212211

xxyxxy

xx

xxyxxy

Первое уравнение структурной формы модели имеет вид

2121 5

34

5

13

5

1xxyy .

б) Выразим 1x из первого уравнения приведенной формы

модели:

114

3

26 3211

xxyx

.

Выразим 3x из третьего уравнения приведенной формы модели:

5

65 2133

xxyx

.

Подставим 3x в уравнение выражения 1x :

,5

4

3

2

15

22

3

5

6

53

22

3

21321

213

21

1

xxyxy

xxy

xy

x

231

1 5

14

15

2

33

5xy

yx ,

2311 25

42

25

2

5

1xyyx .

Теперь подставим 1x в выражение 3x :

22313

3 5

6

25

42

25

2

55xxy

yyx ,

2133 25

12

5

1

25

3xyyx .

Подставим полученные выражения 1x и 3x во второе уравнение

приведенной формы модели:

.25

304

25

26

5

125

242

25

304

25

84

25

4

5

2

2512

51

253

1042542

252

51

2

231

2132231

21322312

xyy

xyyxxyy

xyyxxyyy

Получим второе уравнение структурной формы модели:

2312 25

304

25

26

5

12xyyy .

115

в) Из второго уравнения приведенной формы модели выра-

зим 2x :

4

102 3122

xxyx

.

Подставим 2x в третье уравнение приведенной формы модели:

.1023

8

51532

35

54

10265

321

33121

3312

13

xyx

xxxyx

xxxy

xy

Получим третье уравнение структурной формы модели:

3123 1082

3xxyy .

Структурная форма модели имеет вид

3123

2312

2121

1082

325

304

25

26

5

125

34

5

13

5

1

xxyy

xyyy

xxyy

.

5.5. Задачи 1. Дана система одновременных уравнений:

4343331312323

4243233231212

3132121113131

ˆ

ˆ

ˆ

xxxyy

xxyyy

xxxyy

aaab

aabb

aaab

.


116

2. Дана система одновременных уравнений:

3332322321313

4242221213232

3132123132121

ˆ

ˆ

ˆ

xxyyy

xxxyy

xxyyy

aabb

aaab

aabb

.



4343332321313

3231213231212

4143132123131

ˆ

ˆ

ˆ

хxxyy

xxyyy

xxxyy

аaab

aabb

aaab

.



4343332322323

4243232223232

4141113132121

ˆ

ˆ

ˆ

хxxyy

xxxyy

xxyyy

аaab

aaab

aabb

.


5. Дана структурная форма модели:

3331312323

2223231212

3131113131

xxyy

xyyy

xxyy

aab

abb

aab

.


3213

3212

3211

585

263

1042

xxxy

xxxy

xxxy

.

117

1) Проверить структурную форму модели на идентифицируе-

мость.

2) Определить структурные коэффициенты модели косвенным



1. Что называется системой одновременных уравнений?

2. Что такое структурная форма модели?

3. Какие переменные называются эндогенными?

4. Какие переменные называются экзогенными?

5. Почему в уравнениях системы одновременных уравнений

отсутствует свободный коэффициент?

6. Что такое приведенная форма модели?

7. Что такое идентификация модели?

8. Какие модели называются идентифицируемыми?

9. Какие модели называются неидентифицируемыми?

10. Какие модели называются сверхидентифицируемыми?

11. Каково необходимо условие идентифицируемости уравнения

системы?

12. Каково достаточное условие идентифицируемости уравнения

системы?

13. Какие методы используются для оценивания коэффициентов

структурной модели?

14. В чем состоит косвенный метод наименьших квадратов?

15. Какова идея двухшагового метода наименьших квадратов?

16. Какие этапы включает трехшаговый метод наименьших квад-

ратов?

118

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

6.1. Понятие временного ряда и его составляющих

Временным рядом называется упорядоченная во времени после-

довательность значений какого-либо процесса y: {(yi,ti), i = 1, 2, …, n}.

Величины yi называются уровнями ряда, а ti – временными

моментами. Обычно рассматриваются ряды с равными интервалами

между временными моментами, в качестве значений ti берутся

порядковые номера наблюдений, и временной ряд представляется

в виде последовательности y1, y2 ,..., yn, где n – число наблюдений.

Главной целью анализа временных рядов является выявление

закономерностей в динамике рядов и построение их адекватных

моделей для прогнозирования будущих значений временных рядов.

В общем случае в модели временного ряда содержится несколько

составляющих:

– тренд (T), описывающий долговременную тенденцию изме-

нения процесса y;

– периодические (сезонные, циклические) колебания относи-

тельно тренда (S);

– случайная составляющая (E).

В большинстве случаев модель временного ряда можно предста-

вить как сумму или произведение составляющих T, S и E:

аддитивная модель:

Yt = Tt + St + Et, (6.1)

мультипликативная модель:

Yt = Tt St Et. (6.2)

119

Трендом называется систематическая составляющая долговремен-

ного действия, характеризующая изменение, определяющее общее

направление развития, основную тенденцию временного ряда.

Периодическая составляющая ряда описывает более или менее

регулярные колебания в динамике ряда. Колебания называются сезон-

ными, если период колебаний не превышает одного года, и цикличе-

скими при большем периоде колебаний.

Случайная составляющая ряда формируется под действием боль-

шого числа побочных факторов, влияние каждого из которых незна-

чительно, но ощущается их суммарное воздействие.

6.2. Автокорреляция уровней временного ряда

Если временной ряд содержит тренд и периодические колебания,

то значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыду-

щих значений.

Корреляционная зависимость между последовательными уров-

нями временного ряда называется автокорреляцией уровней ряда.

Автокорреляция количественно измеряется с помощью коэффи-

циента корреляции между уровнями исходного временного ряда

и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов назад во вре-

мени.

Коэффициент автокорреляции первого порядка характеризует

степень связи между соседними уровнями ряда yt и yt–1 и вычисляется

по формуле

n

t

n

ttt

n

ttt

yyyy

yyyyr

2 2

221

21

2211

1

)()(

))((, (6.3)

120

где 1

21

n

yy

n

tt

, 1

21

2

n

yy

n

tt

.

Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует

тесноту зависимости между уровнями yt и yt–2 и определяется по фор-

муле

n

t

n

ttt

n

ttt

yyyy

yyyyr

3 3

242

23

3423

2

)()(

))((, (6.4)

где 2

33

n

yy

n

tt

, 2

32

4

n

yy

n

tt

.

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции более

высоких порядков:

n

τt

n

τtττtτt

n

τtττtτt

τ

yyyy

yyyyr

1 1

22

21

121

)()(

))((, (6.5)

где 2

11

n

yy

n

τtt

τ , 2

12

n

yy

n

τtτt

τ .

Величина сдвига τ называется лагом и определяет порядок

коэффициента автокорреляции.

Коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту линейной

связи текущего и предыдущего уровней ряда. По знаку коэффициента

автокорреляции нельзя сделать вывод о возрастающей или убываю-

щей тенденции в уровнях ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней

ряда называется автокорреляционной функцией временного ряда.

121

График зависимости ее значений от величины лага называется корре-

лограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволя-

ет выявить наличие трендовой и периодической компонент в струк-

туре временного ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции

первого порядка, исследуемый ряд содержит только тренд.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции

порядка τ, ряд содержит колебания с периодом τ.

Если все коэффициенты автокорреляции оказались незначимыми,

то либо ряд не содержит тренда и периодических колебаний, либо ряд

содержит сильную нелинейную тенденцию.

6.3. Моделирование трендовой составляющей временного ряда

6.3.1. Методы определения наличия тренда

Метод сравнения средних применяется для выявления монотон-

ной тенденции. При этом временной ряд разбивается на две примерно

равные части 1

,...,, 21 nyyy и 2111

,...,, 21 nnnnn yyy с количеством

наблюдений n1 и n2. Для каждой части вычисляются средние 21, yy

и выборочные дисперсии 21s , 2

2s соответственно.

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тенденции в дина-

мике процесса (о равенстве средних в обеих частях временного ряда).

Для проверки гипотезы применяется критерий Стьюдента. При

условии равенства дисперсий в обеих частях временного ряда стати-

стика Стьюдента вычисляется по формуле

2

22

1

21

21

n

s

n

s

yytфакт

. (6.6)

122

Если предполагается, что дисперсии 21s и 2

2s различны, то стати-

стика Стьюдента определяется по формуле

21

212

21

nn

nn

S

yytфакт

, (6.7)

где S2 – общая выборочная дисперсия временного ряда.

Из таблицы (Приложение 1) находится критическое значение ста-

тистики Стьюдента )2,( 21 nnatтабл при уровне значимости α

и числе степеней свободы 221 nnk .

Если фактt таблt , то гипотеза об отсутствии тенденции в дина-

мике ряда принимается, в противном случае считается, что в динами-

ке исследуемого процесса имеется тренд.

Метод Фостера–Стюарта является более универсальным

и дает более надежные результаты. Каждому уровню ряда yi, начиная

со второго, ставится в соответствие два значения pi и qi:

pi = 1, если уровень 121 ,...,, ii yyyy ; pi = 0 в противном случае;

qi = 1, если уровень 121 ,...,, ii yyyy ; qi = 0 в противном случае.

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тенденции в дина-

мике процесса. Для проверки гипотезы применяется критерий Стью-

дента.

Вычисляется статистика Стьюдента по формуле

n

i

n

iii

факт

i

qpt

2

2

12

)(. (6.8)

Из таблицы (Приложение 1) находится критическое значение ста-

тистики Стьюдента )1,( natтабл при уровне значимости α и числе

степеней свободы 1 nk .

123

Если фактt таблt , то гипотеза об отсутствии тенденции в дина-

мике ряда принимается, в противном случае считается, что в динами-

ке исследуемого процесса имеется тренд.

6.3.2. Сглаживание временного ряда скользящей средней

Сглаживание временного ряда методами скользящей средней

заключается в замене исходных уровней ряда yt сглаженными значе-

ниями ty . В результате получается временной ряд ty , меньше под-

верженный колебаниям.

Для сглаживания временного ряда выбирается нечетная «длина

усреднения» N = 2m + 1, измеренная в числе подряд идущих членов

анализируемого ряда.

Затем вычисляется сглаженное значение ty временного ряда yt по

значениям yt-m, yt-m+1, …, yt, yt+1, …, yt+m по формуле

mnmmtywym

mkktkt

...,,2,1, , (6.9)

где kw ( mmmk ...,,1, ) – некоторые положительные «весовые»

коэффициенты, в сумме равные единице, т. е. kw > 0 и

m

mkkw 1.

Изменяя величину t от m + 1 до n – m, как бы «скользят» по оси

времени, поэтому методы, основанные на формуле (6.9) называются

методами скользящей средней.

Методы скользящей средней отличаются друг от друга выбором

параметров m и wk.

Определение весовых коэффициентов wk основано на построении

по первым (2m + 1) точкам временного ряда полинома степени p, оце-

нивании его параметров методом наименьших квадратов и определе-

нии по этому полиному сглаженного значения ty временного ряда

в средней (m + 1) точке этого отрезка ряда. Затем «скользят» по оси

124

времени на один такт, аналогично подбирается полином той же сте-

пени p к следующему отрезку временного ряда, и определяется

оценка сглаженного значения временного ряда в средней точке сдви-

нутого на единицу отрезка временного ряда и т. д.

В результате вычисляются оценки для сглаженных значений ty

анализируемого временного ряда при всех t, кроме t = 1, 2, …, m

и t = n, n – 2, …, n – m + 1.

Процедура сглаживания временного ряда, основанная на

построении полинома первой степени, называется простой скользя-

щей средней.

Процедура сглаживания простой скользящей средней имеет вид

m

mkktt y

my

121

, (6.10)

т. е. при линейном характере локальной аппроксимации траектории

временного ряда в качестве его сглаженного значения в точке t

берется среднее арифметическое из окаймляющих его (2m + 1) сосед-

них значений:

yt-m, yt-m+1, …, yt, yt+1, …, yt+m

или в терминах весовых коэффициентов:

w-m = w-m+1 = …= wm= 1/(2m+1).

6.3.3. Метод аналитического выравнивания

Аналитическим выравниванием временного ряда называется

построение аналитической функции (кривой роста) ŷ = f(t), характе-

ризующей зависимость уровней ряда от времени.

В качестве кривой роста применяются следующие функции:

taayt 10 – линейная;

kkt tatataay ...2

21

10 – параболическая;

125

t

aayt

10 – гиперболическая;

taat ey 10 – экспоненциальная;

tt aay 10 – потенциальная;

10

at tay – степенная

и другие.

Параметры кривой роста определяются обычным методом наи-

меньших квадратов, где в качестве независимой переменной высту-

пает время, а в качестве зависимой переменной – уровни временного

ряда.

Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную

процедуру линеаризации.

Для определения типа тренда используются следующие способы:

– визуальный анализ графика временного ряда;

– анализ коэффициентов автокорреляции уровней ряда (если

коэффициент автокорреляции первого порядка уровней ряда высокий,

то временной ряд имеет линейную тенденцию);

– перебор основных моделей тренда и выбор наилучшего уравне-

ния тренда по критериям качества.

6.4. Моделирование периодической компоненты

6.4.1. Метод скользящей средней

Одним из методов моделирования периодических колебаний

является использование сглаживания временного ряда по методу

простой скользящей средней.

На основе анализа графика временного ряда определяется вид

модели временного ряда – аддитивный или мультипликативный. Если

амплитуда периодических колебаний приблизительно постоянна, то

126

выбирается аддитивная модель. Если амплитуда периодических коле-

баний возрастает с ростом уровней ряда, то выбирается мультиплика-

тивная модель временного ряда.

При выборе аддитивной модели периодическая составляющая

ряда выделяется путем нахождения разности между уровнями исход-

ного и сглаженного рядов. В случае мультипликативной модели

периодические колебания выделяются путем нахождения отношения

между уровнями исходного и сглаженного рядов. Затем вычисляются

средние значения, соответствующие наблюдениям внутри одного

периода колебаний.

6.4.2. Гармонический анализ временного ряда

Другим методом выявления периодической компоненты является

гармонический анализ.

Согласно гармоническому анализу, временной ряд представля-

ется как совокупность гармонических колебательных процессов:

2/

1

2sin

2cos)(

n

kkkt n

πktb

n

πktatfy , (t = 1,2,…,n), (6.11)

где уt – фактический уровень ряда в момент времени t; f(t) – вырав-

ненный уровень ряда в тот же момент времени; аk, bk – параметры

гармонических колебаний с номером k, в совокупности оценивающие

размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колеба-

ний относительно начальной точки.

Общее число колебательных процессов, которые можно выделить

для ряда, состоящего из n уровней, равно n/2. Обычно ограничивают-

ся меньшим числом наиболее важных гармоник.

Параметры гармоники с номером k определяются по формулам:

)(tfye tt ,

127

n

ttk n

πkte

na

1

2cos

2; )1/,...,2,1( knk ,

n

ttk n

πkte

nb

1

2sin

2; )1/,...,2,1( knk ,

n

ttn tπe

na

12/ )cos(

1; 02/ nb .

Гармонический анализ применяется для моделирования сезонных

колебаний, имеющих синусоидальную форму.

6.5. Моделирование случайной составляющей временного ряда

Чаще всего для моделирования случайной составляющей времен-

ного ряда используются модели авторегрессии, скользящего среднего,

смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего, которые

позволяют предсказать текущие значения временного ряда по значе-

ниям в предыдущие моменты времени.

Модель авторегрессии порядка p определяется выражением:

tptpttt εyβyβyβy ...2211 , (6.12)

где j (j = 1, …, p) – коэффициенты модели; tε – последовательность

случайных величин, образующих белый шум.

Параметры j (j = 1, …, p) модели обычно оцениваются методом

наименьших квадратов при предположениях, что случайная величина

t распределена нормально и независимо от t, и коэффициенты

модели по абсолютной величине значения меньше единицы.

Модель скользящего среднего порядка q имеет вид

qtqtttt εθεθεθεy ...2211 , (6.13)

где qθθθ ,...,, 21 – коэффициенты модели; tε – последовательность

случайных величин, образующих белый шум.

128

Модель, включающая как члены, описывающие авторегрессию,

так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего,

называется моделью авторегрессии со скользящими средними

в остатках порядка (p, q) и имеет вид

qtqttptptt εθεθεyβyβy ...... 1111 , (6.14)

где pβββ ,...,, 21 и qθθθ ,...,, 21 – коэффициенты смешанной модели.

6.6. Примеры

Пример 1. Имеются данные об уровне безработицы ty (%) за

8 месяцев:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8

ty 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0

1) Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда пер-

вого и второго порядка.

2) Выбрать уравнение тренда и определить его параметры мето-

дом наименьших квадратов.

Решение.

1) Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции

первого порядка.

t ty 1ty

1yyt 21 yyt ))(( 211 yyyy tt 2

1)( yyt 221 )( yyt

1 8,8 – – – – – –

2 8,6 8,8 0,74 0,69 0,5106 0,5476 0,4761

3 8,4 8,6 0,54 0,49 0,2646 0,2916 0,2401

4 8,1 8,4 0,24 0,29 0,0696 0,0576 0,0841

5 7,9 8,1 0,04 –0,01 –0,0004 0,0016 0,0001

6 7,6 7,9 –0,26 –0,21 0,0546 0,0676 0,0441

129

Продолжение табл.

t ty 1ty

1yyt 21 yyt ))(( 211 yyyy tt 2

1)( yyt 221 )( yyt

7 7,4 7,6 –0,46 –0,51 0,2346 0,2116 0,2601

8 7,0 7,4 –0,86 –0,71 0,6106 0,7396 0,5041

63,8 56,8 –0,02 0,03 1,7742 1,9172 1,6087

Средние значения уровней ряда равны:

86,7

18

0,74,76,79,71,84,86,8

12

1

n

yy

n

tt

,

11,8

18

4,76,79,71,84,86,88,8

12

1

2

n

yy

n

tt

.

Определим коэффициент корреляции между уровнями ty и 1ty

по формуле

n

t

n

ttt

n

ttt

yyyy

yyyyr

2 2

22

21

2211

1

1

.

Получим коэффициент автокорреляции первого порядка:

993,06087,19172,1

7442,11

r .

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимо-

сти между уровнем безработицы текущего и непосредственно пред-

шествующего месяца и, следовательно, о наличии во временном ряду

уровней безработицы сильной линейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка.

130

t ty 2ty 3yyt 42 yyt 423 yyyy tt 23yyt 242 yyt

1 8,8 – – – – – –

2 8,6 – – – – – –

3 8,4 8,8 0,67 0,57 0,3819 0,4489 0,3249

4 8,1 8,6 0,37 0,37 0,1369 0,1369 0,1369

5 7,9 8,4 0,17 0,17 0,0289 0,0289 0,0289

6 7,6 8,1 –0,13 –0,13 0,0169 0,0169 0,0169

7 7,4 7,9 –0,33 –0,33 0,1089 0,1089 0,1089

8 7,0 7,6 –0,73 –0,63 0,4599 0,5329 0,3969

63,8 49,4 0,02 0,02 1,1334 1,2734 1,0134

Средние значения уровней ряда равны:

73,7

28

0,74,76,79,71,84,8

23

3

n

yy

n

tt

,

23,8

28

6,79,71,84,86,88,8

23

2

4

n

yy

n

tt

.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:

998,0

0134,12734,1

1334,1

3 3

242

23

3423

12

n

t

n

ttt

n

ttt

yyyy

yyyyr .

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что

ряд уровня безработицы содержит линейную тенденцию.

2) Построим линейный тренд:

tbayt ˆ .

Методом наименьших квадратов найдем оценки параметров

тренда по формулам:

131

22 tt

tytyb

,

tbya .

Проведем следующие расчеты:

,5625,348

5,2768

0,784,776,769,751,844,836,828,8

n

tyty

5,48

87654321

n

tt ,

975,78

8,63

n

yy ,

8875,35 yt ,

5,258

204

8

87654321 2222222222

n

tt ,

25,205,4 22

2

n

tt .

Тогда оценки параметров тренда будут равны:

25,025,205,25

8875,355625,34

b ,

11,95,425,0975,7 a .

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид

tyt 25,011,9 .

Пример 2. Имеются данные об объемах продаж ty за 10 месяцев:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ty 12 14 13 15 16 17 22 21 23 24

132

1) Провести сглаживание временного ряда простой скользящей

средней по трем точкам.

2) Построить линейный тренд временного ряда.

3) Предполагая отсутствие автокорреляции остатков, спрогнози-

ровать ожидаемый объем продаж в 11-м месяце.

Решение.

1) Сглаживание простой скользящей средней проведем по фор-

муле (6.10) при m = 1:

1

131

kktt yy .

При этом для первого и последнего периодов вычислить сгла-

женные значения невозможно. Для остальных месяцев получим:

13)131412(3

12 y ,

14)151314(3

13 y ,

…,

7,22)242321(3

19 y .

Запишем полученные результаты в таблицу.

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ty 12 14 13 15 16 17 22 21 23 24

ty – 13,0 14,0 14,7 16,0 18,3 20,0 22,0 22,7 –

Нанесем полученный сглаженный ряд на график исходного вре-

менного ряда (сплошная линия) в виде штриховой линии (рис. 6.1).

133

Рис. 6.1. График исходного временного ряда (сплошная линия)

и сглаженного ряда (штриховая линия)

2) Построим линейный тренд:

tbayt ˆ .

Методом наименьших квадратов найдем оценки параметров

тренда по формулам:

22 tt

tytyb

,

tbya .

Проведем следующие расчеты:

10910

2410...142121

n

tyty ,

7,1710

177

n

yy ,

5,510

55

n

tt ,

35,97 yt ,

134

5,3810

38522

n

tt ,

25,305,5 22t .

Тогда оценки параметров тренда будут равны:

412,125,305,3835,97109

b ,

933,95,5412,17,17 a .

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид

tyt 412,1933,9 .

Нанесем полученный линейный тренд на график исходного вре-

менного ряда в виде штриховой линии (рис. 6.2).

Рис. 6.2. График исходного временного ряда (сплошная линия) и линейного

тренда (штриховая линия)

3) Найдем прогнозируемый ожидаемый объем продаж в 11-м

месяце.

135

Получим прогнозируемое значение объема продаж в 11-м месяце

в соответствии с полученной моделью тренда:

47,2511412,1933,911 y .

Пример 3. Имеются данные курса акций ty за 11 месяцев:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ty 47 67 54 41 46 23 25 52 47 32 32

1) Построить модель авторегрессии первого порядка.

2) Найти прогноз курса акций за 12-й месяц.

Решение.

1) Построим модель авторегрессии первого порядка по фор-

муле (6.12):

ttt εyβy 11 .

Построение уравнения авторегрессии первого порядка идентично

построению уравнения парной линейной регрессии, где в качестве

регрессора выступают уровни ряда 1ty , а в качестве отклика – ty , при

нулевом значении свободного коэффициента ( 0a ).

Найдем оценку параметра 1β авторегрессионной модели методом

наименьших квадратов по формуле

916,0

2

21

21

1

n

it

n

ttt

y

yy

β .

Следовательно, модель авторегрессии первого порядка будет

иметь вид

ttt εyy 1916,0 .

136

2) Найдем прогноз курса акций за 12-й месяц по модели авторег-

рессии первого порядка.

Учитывая, что 3211 y , то прогнозируемое значение курса акций

за 12-й месяц составит:

30,2932916,012 y .

6.7. Задачи

1. Имеются данные уровня инфляции ty (%) за 9 лет:

Год 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ty 13,28 8,80 8,78 6,10 6,58 6,45 11,36 12,91 5,38

1) Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда пер-

вого и второго порядка.

2) Выбрать уравнение тренда и определить его параметры мето-

дом наименьших квадратов.


ровать ожидаемый уровень инфляции на 10-й год.

2. Имеются данные депозитов физических лиц ty в течение года.

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ty 3 4 5 6 6 8 5 6 8 11 10 9

1) Провести сглаживание временного ряда простой скользящей

средней по трем точкам.


137


ровать ожидаемый объем депозитов в первом месяце следующего

года.

3. Имеются данные об уровне безработицы в регионе за 14 меся-

цев.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

ty 5,2 4,6 4,8 5,3 5,5 5,2 5,3 5,4 4,7 4,5 4,6 4,9 4,6 4,5


2) Построить модель авторегрессии первого порядка.

3) Получить прогноз уровня безработицы в 15-м месяце по

модели тренда и авторегрессионной модели.


1. Что называется временным рядом?

2. Какова цель анализа временных рядов?

3. Какие составляющие содержит временной ряд?

4. Какие бывают модели временных рядов?

5. Что называется трендом?

6. Какие колебания описывает периодическая компонента?

7. Как формируется случайная компонента?

8. Что называется автокорреляцией уровней ряда?

9. Как вычисляется коэффициент автокорреляции уровней перво-

го порядка?

10. Что измеряет коэффициент автокорреляции уровней первого

порядка?

138

11. Что характеризует коэффициент автокорреляции второго п

орядка?

12. Как называется величина сдвига для определения порядка

коэффициента автокорреляции?

13. Как называется последовательность коэффициентов автокор-

реляции уровней ряда?

14. Как называется график зависимости значений автокорреля-

ционной функции от величины лага?

15. Как выявить структуру временного ряда?

16. Какие существуют методы выявления наличия тренда?

17. Что означает сглаживание временного ряда?

18. Какие методы называются методами скользящей средней?

19. Как называется процедура сглаживания временного ряда,

основанная на построении полинома первой степени?

20. Как называется метод построения аналитической функции

тренда?

21. Как называется функция, характеризующая зависимость

уровней ряда от времени?

22. Какие функции применяются в качестве кривой роста?

23. Каким методом можно получить параметры тренда?

24. Каковы способы определения типа тенденции?

25. Какие существуют подходы к моделированию периодических

колебаний?

26. В чем суть гармонического анализа временного ряда?

27. Какие модели используются для моделирования случайной

составляющей временного ряда?

28. Что представляет собой модель авторегрессии? Скользящего

среднего?

139

7. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

7.1. Методические указания

Расчетно-графическая работа является одним из видов самостоя-

тельной работы студентов, предназначенной для закрепления теоре-

тических сведений и развития навыков самостоятельных практиче-

ских расчетов у студентов.

Индивидуальная работа включает одно комплексное задание на

построение и анализ качества модели множественной регрессии.

При выполнении расчетно-графической работы необходимо

использовать возможности надстройки «Анализ данных» табличного

процессора MS Excel. Также возможно использование другого стати-

стического или эконометрического программного пакета.

Изучение компьютерных технологий проводится самостоятельно

на основе навыков, полученных при изучении курса информатики.

К заданию прилагаются варианты исходных данных. Номер

варианта определяется в соответствии с номером обучающегося

в общем списке группы.

Расчетно-графическая работа оформляется в виде пояснительной

записки на бумаге формата А4 с титульным листом. Используется

шрифт Times New Roman размером 14 пт, междустрочный интервал –

полуторный. Формулы набираются с помощью редактора формул.

Законченная расчетно-графическая работа предъявляется руково-

дителю. После проверки работы студенту назначается время защиты.

В случае обнаружения недочетов, неверно решенных задач, а также

в случае наличия в тексте пояснительной записки большого числа

грамматических и орфографических ошибок, работа возвращается на

доработку.

Среднее время самостоятельной работы студента на выполнение

расчетно-графических работ составляет 20 часов.

140

7.2. Подключение пакета «Анализ данных» MS Excel

При выполнении расчетно-графической работы необходимо

использовать возможности пакета «Анализ данных» табличного про-

цессора MS Excel, предназначенного для решения задач обработки

данных, математической статистики и ее приложений.

Подключение пакета «Анализ данных» в различных версиях

MS Excel производится по-разному из-за различий графического

интерфейса программы.

Для подключения пакета в MS Excel 2003 следует выбрать пози-

цию меню «Сервис» / «Надстройки». Появится окно «Надстройки»,

в котором надо установить флажок «Пакет анализа» и нажать кнопку

«ОК» (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Выбор надстройки «Пакет анализа»

Затем в главном меню «Сервис» появится позиция меню «Анализ

данных», при выборе которой открывается окно (рис. 7.2).

141

Рис. 7.2. Окно «Анализ данных»

Если надстройка «Пакет анализа» отсутствует в списке «Дос-

тупные надстройки» (рис. 7.1), то для ее поиска следует нажать

кнопку «Обзор...». В случае появления сообщения о том, что «Пакет

анализа» не установлен на компьютере, и предложения установить

его, следует согласиться и нажать кнопку «Да».

Для подключения пакета в MS Excel 2007 следует нажать в левом

верхнем углу главного окна круглую кнопку «Microsoft Office»,

а затем кнопку «Параметры Excel» (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Выбор меню «Параметры Excel»

142

В появившемся окне «Параметры Excel», в списке команд левой

части окна выбрать команду «Надстройки», в списке «Управление»

выбрать позицию «Надстройки Excel» и нажать кнопку «Перей-

ти...» (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Выбор меню «Надстройки»

После этого появится окно «Надстройки», в котором надо уста-

новить флажок «Пакет анализа» и нажать кнопку «ОК» (рис. 7.1).

В результате подключения надстройки на вкладке «Данные» в группе

«Анализ» станет доступна команда «Анализ данных». При выборе этой

команды будет открываться окно «Анализ данных» (рис. 7.2).

Для подключения пакета в MS Excel 2010 и старше следует на

вкладке «Файл» выбрать команду «Параметры» для открытия окна

«Параметры Excel» (рис. 7.3). Дальнейшие действия по подключе-

нию надстройки аналогичны действиям, описанным для MS Excel

2007.

143

7.3. Задание

1. Проверить факторы на наличие мультиколлинеарности.

Отобрать независимые (неколлинеарные) факторы.

2. По отобранным факторам построить уравнение линейной мно-

жественной регрессии.

3. Проверить качество уравнения регрессии:

3.1 по значениям коэффициентов множественной корреляции

и детерминации;

3.2 по критерию Фишера;

3.3 по критерию Стьюдента.

4. Построить уравнение линейной множественной регрессии

с учетом значимых факторов.

7.4. Пример выполнения расчетно-графической работы

Таблица эмпирических данных

№ y x1 x2 x3 x4 x5

1 943,5 16 1283 1030 39,9 105,5 2 273 23 649 1066 44,6 105,8 3 2792,9 24 680 3239 42,4 105,7 4 5044,8 59 2617 1755 44,5 104,1 5 55,5 6 493 1069 41,5 105,7 6 1533,7 18 1253 1588 49,1 105,5 7 111,5 12 598 2265 50,3 104,7 8 315,6 16 1112 1471 46,2 105,8 9 1109,3 17 825 1076 50,4 105,8

10 918,5 34 1166 2248 57,5 105,5 11 3294,1 28 743 2394 44,2 105,3 12 1715,1 21 899 4898 45,9 105,7 13 4075,1 32 1140 2642 46 106

144

Окончание табл.

№ y x1 x2 x3 x4 x5

14 704,9 19 353 1191 37,9 105,3 15 1704,5 21 470 609 55,3 106,3 16 898,6 33 556 1414 38,4 105,4 17 310,9 18 684 2228 47,1 105,7 18 2077,8 27 462 1557 42,8 106 19 857,1 13 273 1944 45,3 104,9 20 67,4 12 249 1594 39,2 105,6 21 151,6 8 418 128 46,5 106,2 22 612 36 793 591 47,5 105,2 23 3229,7 42 2037 1989 51,1 105,3 24 310,4 5 224 87 33,5 105,1 25 293,1 17 796 19 40,6 105,6 26 2006,5 28 2528 920 49,8 104 27 5413,7 70 3259 6207 51 106,4 28 140,1 8 439 758 60,3 106 29 601,3 16 966 2626 57,2 105,1 30 787,5 30 822 4565 60,8 106,7 31 849,9 18 784 2497 54,4 106,2 32 8245,4 56 1482 4510 59,2 106,7 33 901 23 678 2249 51,1 106,7 34 539,8 18 848 734 58,2 105,7 35 3730,7 26 1080 1134 55,1 105,6 36 2693,2 50 2839 4359 52,8 105,3 37 7830,2 21 1078 1685 46,2 106,7 38 218,7 14 343 835 62,8 107 39 990,9 39 1583 1511 37,2 104,8 40 14581,5 111 4187 2457 41,3 106,2

145

1. Проверка факторов на наличие мультиколлинеарности

Построим корреляционную матрицу, используя функцию таб-

личного процессора MS Excel. Расположим исходные данные в ячей-

ках (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Расположение исходных данных в ячейках MS Excel

146

Вызовем меню «Данные» / «Анализ данных» / «Корреляция»

(рис. 7.6).

Рис. 7.6. Вызов функции «Анализ данных» / «Корреляция»

В окне ввода параметров функции «Анализ данных» / «Корреля-

ция» (рис. 7.7) необходимо указать диапазон ячеек, содержащих

исходные данные («Входной интервал»), и диапазон ячеек, в которых

будет располагаться полученная корреляционная матрица («Выход-

ной интервал»).

Рис. 7.7. Окно ввода параметров функции «Анализ данных» / «Корреляция»

В области ячеек, начиная с указанной ячейки выходного интер-

вала, получим искомую матрицу (рис. 7.8).

147

Рис. 7.8. Корреляционная матрица

Переименуем столбцы в соответствии с исходными дан-

ными (рис. 7.9).

Переменные y x1 x2 x3 x4 x5 y 1 – – – – –

x1 0,827 1 – – – –

x2 0,715 0,870 1 – – –

x3 0,374 0,479 0,429 1 – –

x4 –0,019 0,001 0,032 0,261 1 –

x5 0,214 0,042 –0,149 0,233 0,384 1

Рис. 7.9. Корреляционная матрица

Найдем в корреляционной матрице значения парных коэффици-

ентов корреляции между объясняющими переменными, удовлетво-

ряющие условию 8,0jixxr .

Получим 8,087,021

xxr , следовательно, факторы x1 и x2 явля-

ются дублирующими (коллинеарными), т. е. мультиколлинеарность

обнаружена.

Один из факторов x1 или x2 должен быть исключен из модели.

Предпочтение при этом отдадим тому фактору, который при доста-

148

точно тесной связи с y имеет наименьшую тесноту связи с другими

факторами.

Фактор x1 теснее связан с y, чем фактор x2, так как

715,0827,021 yxyx rr , также он имеет наименьшую тесноту связи

с другими факторами, поэтому исключаем фактор x2.

Таким образом, будем строить множественную регрессию у по

факторам х1, х3, х4 и х5.

2. Уравнение линейной множественной регрессии

Для построения уравнения линейной множественной регрессии

используем функцию «Данные» / «Анализ данных» / «Регрессия»

табличного процессора MS Excel (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Окно ввода параметров регрессии

В окне ввода параметров функции «Анализ данных» / «Регрессия»

(рис. 7.10) необходимо указать диапазон ячеек, содержащих исходные

149

данные («Входной интервал Y» и «Входной интервал X»), и диапазон

ячеек, в которых будет располагаться полученные результаты

(«Выходной интервал»).

После нажатия на кнопку «ОК», получим результаты регрессион-

ного анализа (рис. 7.11)

Рис. 7.11. Результаты регрессионного анализа

Представим результаты регрессионного анализа в виде трех

таблиц.

Результаты корреляционного анализа

Множественный R 0,853

R–квадрат 0,727

Нормированный R–квадрат 0,696

Стандартная ошибка 1574,449

Наблюдения 40

150

Результаты дисперсионного анализа

Вариация

(дисперсия)

y

Степень

свободы

df

Сумма квад-

ратов

SS

Средний

квадрат

MS

Статистика

F

Регрессия 4 231110238,594 57777559,649 23,308

Остаток 35 86761167,281 2478890,494

Итого 39 317871405,875

Результаты регрессионного анализа

Переменные КоэффициентыСтандартная

ошибка t–статистика

Y–пересечение –102088,128 43190,107 –2,364

x1 121,425 14,599 8,317

x3 –0,125 0,220 –0,567

x4 –35,740 38,419 –0,930

x5 973,105 414,747 2,346

Искомые значения коэффициентов линейного уравнения множе-

ственной регрессии берутся из столбца «Коэффициенты» таблицы

результатов регрессионного анализа.

Уравнение множественной регрессии имеет вид

y = –102088,128 + 121,425x1 –0,125x3 –35,740х4 + 973,105х5.

3. Анализ качества модели множественной регрессии

3.1. Проверка качества уравнения регрессии по значениям

коэффициентов множественной корреляции и детерминации

Как следует из результатов корреляционного анализа, коэффици-

ент множественной корреляции R = 0,853; коэффициент детермина-

ции R2 = 0,727.

151

По значению множественного коэффициента корреляции можно

сделать вывод о сильной степени линейной зависимости между

откликом y и регрессорами x1, x3, х4 и х5.

Значение коэффициента детерминации R2 = 0,727 позволяет

утверждать, что 72,7% дисперсии переменной y обусловлено влияни-

ем факторов x1, x3, х4 и х5.

3.2. Проверка значимости и адекватности уравнения

регрессии по критерию Фишера

Из результатов дисперсионного анализа следует, что фактическое

значение F–статистики равно 23,308.

Определим табличное значение критерия Fтабл, используя функ-

цию MS Excel:

«F.ОБР(вероятность; степень_свободы1; степень_свободы2)»:

– вероятность p = 1 – α = 0,95, где α =0,05 – уровень значимости;

– число степеней свободы k1 = p = 4; k2 = n – p –1 = 40 – 4 – 1 = 35;

Fтабл = F.ОБР (0,95; 4; 35) = 2,64.

Так как Fфакт = 23,308 > Fтабл = 2,64, то делаем вывод о значи-

мости построенного уравнения регрессии.

Вычислим 4·Fтабл= 10,56. Так как F = 23,308 > 4·Fтабл= 10,56, то

уравнение регрессии адекватно и пригодно для построения прогноза.

3.3. Проверка значимости факторов в модели по критерию

Стьюдента

Для проверки значимости факторов применим t–критерий Стью-

дента. Из таблицы результатов регрессионного анализа следует, что

расчетные значения t–статистик коэффициентов уравнения регрессии

имеют значения:

1bt = 8,317; 3bt = –0,567;

4bt = –0,930, 5bt = 2,346.

152

Определим табличное значение критерия tтабл t–критерия Стью-

дента, используя функцию MS Excel:

«СТЬЮДЕНТ.ОБР(вероятность; степени_свободы)»:

– вероятность 975,02/1 αp , где α =0,05 – уровень значи-

мости;

– степени_свободы k1 = n – p – 1= 40 – 4– 1 = 35;

tтабл = СТЬЮДЕНТ.ОБР (0,975;35) = 2,030.

Так как

1bt = 8,317 > tтабл = 2,030,

3bt = 0,567 < tтабл = 2,030,

4bt =0,930 < tтабл = 2,030,

5bt = 2,346 > tтабл = 2,030,

то оценки параметров b1 и b5 значимы, а параметры b3 и b4 незначимы

при уровне значимости α = 0,05.

Следовательно, факторы x3 и x4 являются статически незначи-

мыми, исключаем их из модели и построим новую модель с учетом

только значимых факторов x1 и х5.

4. Уравнение линейной множественной регрессии с учетом

значимых факторов

Значимыми факторами являются x1 и х5.

Для построения уравнения линейной регрессии используем

функцию «Анализ данных» / «Регрессия» программы MS Excel

(рис. 7.10).

Задав соответствующие диапазоны данных в окне ввода парамет-

ров регрессии, получим (рис. 7.12).

153

Рис. 7.12. Результаты регрессионного анализа с учетом

значимых факторов

Представим основные результаты регрессионного анализа в виде

таблицы.

Множественный R 0,846

R–квадрат 0,715

Статистика F 46,485

Свободный коэффициент –82199,701

Коэффициент при x1 117,551

Коэффициент при x5 767,336

t–статистика для x1 9,329

t–статистика для x5 2,039

Из результатов регрессионного анализа следует, что уравнение

множественной регрессии с учетом только значимых факторов имеет

вид

y = –82199,701 + 117,551·х1 + 767,336·х5.

154

7.5. Варианты заданий

Варианты

Номер гра-фы для пе-ременной

у (таблица 1)

Номера граф для факторов (таблица 2)

Варианты

Номер гра-фы для пе-ременной

у (таблица 1)

Номера граф для факторов (таблица 2)

1 1 1, 6, 7, 24, 34 41 15 1, 6, 9, 12, 14 2 2 1, 8, 9, 11, 13 42 16 1, 2, 4, 11, 15 3 3 2, 7, 9, 25, 35 43 17 2, 4, 7, 15, 16 4 4 2, 3, 4, 12, 26 44 18 2, 5, 8, 12, 17 5 5 3, 5, 8, 15, 27 45 19 1, 3, 8, 14, 18 6 6 3, 7, 8, 18, 28 46 20 2, 3, 8, 16, 19 7 7 4, 8, 9, 14, 24 47 21 1, 4, 9, 15, 20 8 8 4, 7, 9, 13, 23 48 22 2, 4, 9, 17, 21 9 9 5, 7, 8, 10, 15 49 23 1, 5, 8, 10, 22 10 10 5, 8, 9, 10, 21 50 24 2, 5, 9, 10, 23 11 11 6, 7, 8, 11, 22 51 25 1, 6, 7, 11, 24 12 12 6, 8, 9, 11, 23 52 26 2, 6, 8, 11, 25 13 13 7, 8, 9, 12, 14 53 1 1, 7, 8, 12, 26 14 14 7, 8, 9, 12, 26 54 2 2, 7, 9, 12, 27 15 15 1, 6, 9, 17, 36 55 3 1, 3, 6, 14, 36 16 16 1, 5, 7, 11, 28 56 4 1, 4, 5, 11, 35 17 17 2, 7, 8, 27, 31 57 5 2, 6, 7, 15, 34 18 18 2, 5, 5, 12, 36 58 6 2, 5, 8, 12, 33 19 19 3, 4, 8, 25, 32 59 7 1, 3, 8, 16, 32 20 20 3, 5, 8, 23, 25 60 8 2, 3, 8, 17, 31 21 21 4, 5, 9, 22, 29 61 9 2, 4, 9, 18, 30 22 22 4, 6, 9, 13, 30 62 10 3, 4, 9, 19, 29 23 23 5, 6, 7, 10, 31 63 11 3, 5, 8, 10, 28 24 24 5, 7, 9, 10, 32 64 12 4, 5, 9, 10, 27 25 25 6, 8, 9, 11, 33 65 13 3, 6, 7, 11, 26 26 26 6, 7, 9, 11, 34 66 14 4, 6, 8, 11, 25 27 1 1, 7, 9, 12, 24 67 15 3, 7, 8, 12, 24 28 2 2, 7, 8, 12, 35 68 16 4, 7, 9, 12, 23 29 3 1, 5, 6, 24, 36 69 17 1, 5, 6, 18, 22 30 4 1, 7, 8, 11, 21 70 18 1, 2, 4, 11, 32 31 5 2, 3, 7, 13, 22 71 19 1, 2, 7, 16, 31 32 6 2, 3, 4, 12, 23 72 20 2, 3, 9, 12, 34 33 7 3, 4, 8, 16, 24 73 21 1, 3, 8, 17, 29 34 8 3, 8, 9, 17, 25 74 22 3, 4, 9, 23, 35 35 9 4, 6, 9, 18, 26 75 23 4, 5, 8, 10, 34 36 10 4, 7, 9, 19, 27 76 24 5, 6, 8, 11, 30 37 11 1, 5, 8, 10, 28 77 25 4, 5, 7, 12, 18 38 12 1, 5, 9, 10, 29 78 26 1, 3, 5, 11, 29 39 13 2, 6, 8, 11, 30 79 1 2, 3, 7, 16, 27 40 14 2, 6, 9, 11, 31 80 2 1, 3, 8, 17, 24

155

Таблица 1. Переменная y

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 21,1 15,0 11,6 20,7 23,0 12,7 14,2 52,7 18,73 2 20,6 10,3 43,0 20,5 24,4 45,7 15,3 45,7 13,65 3 20,7 4,5 49,2 20,6 25,7 51,0 18,2 51,0 16,83 4 22,1 –0,5 51,7 21,0 28,5 101,7 19,2 51,8 15,60 5 20,2 –4,5 27,6 19,9 20,3 49,5 20,1 49,5 18,88 6 19,8 2,9 41,7 19,6 19,4 62,4 17,3 62,4 15,97 7 21,3 14,2 26,2 20,8 24,8 34,8 34,2 54,8 14,08 8 20,2 4,6 23,7 20,0 20,4 41,4 36,1 41,4 13,09 9 20,0 13,6 24,2 19,9 20,6 5,9 21,6 45,9 17,61 10 21,4 0,9 36,8 20,6 23,4 80,1 22,9 50,1 13,79 11 20,7 2,4 42,4 20,2 21,1 83,9 25,5 53,9 11,62 12 20,9 11,8 32,0 20,6 22,3 51,6 26,4 51,6 14,52 13 20,3 6,3 36,4 20,2 22,7 38,9 16,2 58,9 18,24 14 21,6 –0,7 17,4 20,7 24,8 42,5 28,3 42,5 10,99 15 20,1 5,6 33,0 19,8 20,2 30,8 26,4 50,8 18,66 16 19,6 7,7 45,1 19,6 20,2 29,7 29,5 69,7 12,80 17 20,3 3,0 31,6 19,8 18,8 38,6 24,5 58,6 17,52 18 18,5 –4,1 70,8 18,4 16,8 94,3 27,6 54,3 14,69 19 20,9 –1,0 26,3 20,6 23,0 44,8 28,1 44,8 16,36 20 19,5 1,6 71,4 19,5 19,4 88,9 15,8 58,9 10,91 21 20,1 11,8 23,8 20,0 20,7 6,2 19,2 56,2 15,53 22 20,0 –3,9 34,6 19,8 19,5 64,1 18,5 64,1 14,26 23 20,1 13,6 4,7 19,9 20,4 3,6 16,7 53,6 18,34 24 20,9 2,7 25,3 20,7 25,8 30,4 34,5 30,4 16,48 25 21,2 1,2 31,1 20,4 22,9 57,3 24,6 57,3 16,74 26 21,0 –7,6 46,4 20,1 21,0 83,4 15,2 83,4 11,44 27 19,5 3,5 19,9 19,4 18,9 23,3 18,9 53,3 12,43 28 20,8 9,2 27,5 20,1 21,2 36,4 29,7 56,4 17,65 29 21,6 6,2 1,0 21,5 24,0 18,0 26,3 58,0 12,48 30 19,9 11,8 19,6 19,8 20,1 24,5 14,5 24,5 11,87 31 21,2 2,2 30,2 20,6 23,9 50,3 17,8 50,3 13,69 32 22,0 12,5 1,4 20,9 26,7 14,7 16,9 54,7 10,09 33 20,6 1,3 40,0 20,3 22,6 49,6 24,5 59,6 14,50 34 20,2 –3,4 54,4 19,6 17,9 81,0 39,5 51,0 17,73 35 20,5 18,4 29,6 20,4 23,8 10,7 19,9 50,7 18,69 36 21,9 10,1 22,8 21,3 29,1 36,9 24,5 56,9 15,34 37 21,2 18,2 2,8 21,0 23,4 4,0 28,3 54,0 19,90 38 20,1 3,8 50,4 19,9 21,5 57,1 41,2 57,1 11,68 39 22,1 0,8 49,5 21,0 28,5 93,8 38,5 63,8 10,97 40 19,6 9,9 37,4 19,6 20,2 12,4 34,5 62,4 10,39

156

Таблица 1. Продолжение

№ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 120,7 71,6 51,8 21,6 31,5 23,0 149,8 12,1 23,8 2 220,5 83,0 40,7 23,5 37,9 47,0 177,7 22,6 21,9 3 120,6 79,2 50,8 29,2 46,5 48,8 144,3 14,6 22,3 4 221,0 71,7 42,7 31,7 20,4 32,2 177,1 18,7 11,1 5 219,9 87,6 50,8 37,6 45,9 24,2 137,2 20,0 13,7 6 319,6 71,7 49,8 41,7 27,4 21,4 112,4 24,5 25,7 7 220,8 86,2 51,5 36,5 21,0 24,9 163,8 22,5 18,2 8 220,0 77,7 50,2 23,7 26,6 20,5 110,5 20,7 11,6 9 219,9 74,2 40,5 24,2 28,6 30,3 155,5 12,5 12,4 10 420,6 86,8 51,6 36,8 36,6 30,7 152,5 24,3 25,9 11 220,2 72,4 40,6 22,4 31,2 30,7 132,0 23,6 10,2 12 220,6 82,0 50,9 32,0 47,3 34,0 130,1 19,9 26,3 13 120,2 76,4 40,5 36,4 32,8 29,1 135,8 17,6 29,9 14 320,7 87,4 51,6 27,4 49,3 44,2 176,6 30,0 22,8 15 119,8 73,0 40,4 13,5 49,7 27,7 135,5 23,3 21,9 16 219,6 85,1 59,6 25,5 48,6 21,6 125,6 25,3 28,7 17 119,8 71,6 40,3 31,5 41,2 44,5 177,4 13,3 18,7 18 218,4 70,8 58,5 20,8 49,2 34,0 199,8 25,6 21,4 19 420,6 76,3 50,9 26,3 29,0 42,5 113,3 16,1 22,6 20 219,5 71,4 49,5 71,4 30,5 43,3 184,4 11,4 29,0 21 120,0 73,8 50,1 23,8 22,2 26,0 182,0 28,3 11,2 22 319,8 88,6 40,0 34,6 21,9 30,8 186,5 17,5 12,0 23 119,9 88,7 50,1 24,7 34,6 35,3 173,2 22,3 16,6 24 220,7 85,3 40,9 25,3 31,2 49,6 135,3 29,8 17,5 25 320,4 91,1 51,2 31,5 21,2 26,9 151,6 15,6 20,1 26 420,1 76,4 41,0 26,4 20,1 47,8 125,4 13,2 14,4 27 119,4 99,9 59,5 19,5 23,0 27,7 169,8 17,4 14,9 28 220,1 77,5 40,8 27,5 43,3 40,4 155,7 15,3 28,3 29 321,5 81,0 51,6 21,0 44,3 41,7 147,5 17,6 21,7 30 419,8 89,6 59,9 19,6 22,6 24,0 168,3 12,6 23,0 31 120,6 70,2 41,2 30,5 42,7 38,8 145,8 14,2 28,9 32 220,9 81,4 52,0 31,4 25,2 32,1 140,1 22,8 27,3 33 420,3 70,0 40,6 40,0 36,6 41,3 113,4 24,8 20,9 34 119,6 84,4 50,2 34,5 36,7 25,4 129,6 11,9 16,0 35 220,4 89,6 40,5 29,6 49,1 40,6 135,5 17,3 27,7 36 121,3 72,8 51,9 22,8 35,9 43,9 132,4 17,7 21,6 37 221,0 82,8 41,2 22,5 44,2 27,9 159,6 26,3 19,2 38 319,9 70,4 40,1 50,4 25,3 46,0 149,5 20,0 26,3 39 121,0 89,5 42,1 49,5 23,4 21,8 130,8 29,9 16,7 40 219,6 77,4 49,6 37,4 42,8 42,2 119,5 18,3 11,8

157

Таблица 1. Окончание

№ 19 20 21 22 23 24 25 26 1 18,2 23,3 135,5 56,5 14,1 14,0 28,4 44,2 2 40,0 12,8 121,0 88,8 13,2 10,5 10,0 26,9 3 8,3 31,4 58,0 81,3 12,7 14,4 41,4 48,6 4 19,3 6,3 100,9 78,9 8,3 11,0 6,2 12,4 5 6,5 24,5 117,5 73,3 10,6 12,1 36,7 45,4 6 27,5 8,3 68,3 121,0 10,1 13,6 13,5 38,7 7 33,9 20,9 74,1 110,4 11,7 13,2 48,8 48,0 8 24,0 37,2 53,4 140,9 12,1 6,3 31,8 15,9 9 6,9 18,7 56,0 140,3 11,5 15,0 48,7 50,6

10 32,7 25,3 118,7 91,8 5,3 14,5 27,5 48,6 11 15,7 24,9 111,6 53,6 5,7 12,8 40,9 14,5 12 21,0 7,5 55,9 70,3 11,9 9,9 41,2 30,7 13 5,1 37,4 66,2 79,3 6,3 11,9 26,5 17,0 14 36,5 16,0 112,3 94,7 7,8 6,7 49,5 37,2 15 13,7 34,0 101,1 55,4 12,4 6,4 36,6 8,4 16 6,9 24,8 55,0 121,7 10,1 7,9 41,2 13,2 17 26,8 36,5 52,6 72,2 5,2 6,4 50,5 34,6 18 31,1 23,0 103,8 64,6 14,5 6,4 16,2 54,8 19 41,0 24,3 128,4 92,1 12,3 14,7 63,1 12,8 20 5,4 39,4 86,9 102,0 8,4 5,3 7,4 20,6 21 35,0 5,4 87,6 93,6 12,6 5,2 56,1 35,6 22 13,5 39,9 68,4 92,8 14,3 10,2 14,6 8,2 23 43,6 19,4 59,1 51,9 5,7 14,7 16,6 52,2 24 43,9 37,1 131,3 94,7 9,7 9,6 9,4 16,2 25 31,9 20,8 137,3 69,3 7,6 8,0 58,3 21,8 26 23,7 16,2 93,3 136,8 8,2 14,4 21,2 24,1 27 44,2 16,4 125,8 64,6 6,3 10,8 9,7 48,0 28 13,3 16,1 71,5 104,6 6,9 15,0 43,0 11,9 29 5,9 5,7 84,0 92,5 9,8 8,6 22,9 29,0 30 28,1 7,6 106,2 73,4 6,2 14,6 7,3 11,1 31 12,4 17,5 100,8 131,8 9,8 6,3 7,7 12,2 32 14,8 30,6 141,4 140,9 7,2 8,4 50,0 9,0 33 43,7 33,1 140,9 131,1 12,2 7,4 46,3 9,2 34 7,5 30,9 91,3 97,7 10,2 7,6 53,4 38,5 35 18,8 6,6 97,6 99,4 10,3 6,5 11,1 38,1 36 29,9 17,9 55,1 75,2 13,4 6,5 5,9 35,1 37 7,5 15,2 138,5 78,2 9,7 14,8 62,1 50,3 38 10,6 24,5 126,4 134,9 12,5 13,8 50,0 32,7 39 34,9 30,0 52,3 71,4 11,8 12,5 6,4 28,6 40 36,5 11,1 142,1 128,7 11,0 13,9 14,8 40,2

158

Таблица 2. Факторы

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0,11 2,40 0,16 14,99 0,80 0,57 12,01 0,81 74,96 2 0,19 5,44 0,24 14,72 4,01 0,96 27,20 1,20 73,61 3 0,20 5,87 0,32 4,55 4,72 1,00 29,33 1,58 22,77 4 0,15 9,65 0,48 11,57 1,29 0,75 48,27 2,39 57,86 5 0,05 8,11 0,13 1,64 1,36 0,23 40,53 0,66 8,18 6 0,05 8,23 0,10 16,75 2,35 0,25 41,17 0,50 83,73 7 0,16 3,89 0,22 17,56 1,71 0,80 19,47 1,12 87,81 8 0,06 7,97 0,13 18,92 1,55 0,28 39,87 0,66 94,60 9 0,12 0,97 0,11 6,11 3,27 0,61 4,83 0,53 30,57

10 0,08 9,05 0,30 14,92 0,31 0,40 45,24 1,48 74,62 11 0,05 9,20 0,18 19,72 0,70 0,25 46,02 0,90 98,58 12 0,09 5,00 0,14 19,90 0,52 0,46 25,01 0,68 99,52 13 0,15 5,69 0,24 9,36 4,04 0,75 28,47 1,18 46,81 14 0,11 7,32 0,36 3,61 0,93 0,53 36,59 1,81 18,07 15 0,05 2,99 0,17 1,02 1,97 0,26 14,93 0,85 5,08 16 0,11 3,05 0,19 3,11 4,55 0,55 15,27 0,94 15,53 17 0,02 4,17 0,48 1,89 3,20 0,11 20,87 2,39 9,45 18 0,01 9,54 0,03 9,53 4,33 0,06 47,72 0,16 47,64 19 0,14 6,88 0,15 0,01 1,64 0,69 34,41 0,76 0,03 20 0,16 8,51 0,04 11,08 4,62 0,78 42,57 0,20 55,39 21 0,11 0,94 0,09 2,98 2,44 0,53 4,69 0,45 14,92 22 0,01 7,51 0,10 1,88 0,83 0,03 37,56 0,52 9,39 23 0,07 0,81 0,17 7,65 2,33 0,35 4,06 0,84 38,25 24 0,15 5,16 0,44 0,02 3,97 0,75 25,80 2,18 0,08 25 0,08 6,21 0,33 4,25 1,08 0,38 31,06 1,66 21,25 26 0,04 9,38 0,47 0,60 1,95 0,21 46,88 2,34 3,01 27 0,04 4,28 0,10 2,30 2,84 0,22 21,38 0,52 11,51 28 0,05 3,42 0,30 10,11 1,20 0,24 17,10 1,52 50,53 29 0,20 3,90 0,06 0,10 0,39 1,00 19,52 0,28 0,48 30 0,08 4,38 0,11 17,98 2,66 0,40 21,90 0,56 89,90 31 0,11 5,30 0,28 1,34 1,19 0,55 26,51 1,41 6,70 32 0,13 1,63 0,39 6,40 0,58 0,65 8,15 1,95 32,01 33 0,09 5,71 0,47 1,86 3,78 0,44 28,53 2,37 9,32 34 0,01 7,65 0,45 3,49 3,07 0,03 38,25 2,24 17,47 35 0,13 0,82 0,41 15,02 4,23 0,63 4,10 2,05 75,10 36 0,20 4,50 0,38 10,15 1,95 0,99 22,50 1,89 50,76 37 0,17 1,17 0,09 14,31 1,17 0,85 5,87 0,47 71,55 38 0,10 5,71 0,28 6,39 3,85 0,51 28,53 1,42 31,96 39 0,15 8,93 0,48 11,19 1,46 0,76 44,64 2,38 55,95 40 0,15 1,63 0,12 0,30 4,97 0,76 8,17 0,59 1,51

159


№ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 3,35 2,39 50,46 66,15 81,95 4,61 53,73 1,97 56,41 2 16,83 4,02 114,26 65,06 65,86 4,60 71,42 4,10 62,84 3 19,80 4,19 123,17 69,59 83,92 2,91 91,47 2,07 70,56 4 5,44 3,13 202,72 64,11 66,37 1,20 59,04 1,93 70,24 5 5,73 0,99 170,22 65,60 76,45 3,47 71,30 3,44 55,78 6 9,87 1,04 172,90 62,81 66,62 4,48 90,52 4,45 60,91 7 7,17 3,35 81,79 60,60 61,77 3,45 92,25 3,21 84,50 8 6,53 1,18 167,45 60,49 80,66 3,18 74,26 2,89 97,52 9 13,74 2,55 20,29 61,61 75,34 2,63 77,16 3,53 67,05

10 1,28 1,66 190,01 69,21 96,74 4,30 56,12 1,97 95,01 11 2,95 1,05 193,29 68,56 56,99 3,91 86,24 2,68 61,19 12 2,20 1,94 105,02 63,86 66,72 2,26 97,73 4,70 88,22 13 16,95 3,14 119,58 63,38 75,81 1,28 69,61 3,51 97,40 14 3,89 2,22 153,66 67,15 54,88 4,02 73,55 1,71 69,87 15 8,26 1,10 62,71 68,22 94,01 2,51 71,07 1,93 95,96 16 19,12 2,32 64,15 64,79 60,18 2,11 79,84 4,51 81,67 17 13,44 0,46 87,66 69,84 73,75 3,60 91,83 4,05 61,88 18 18,17 0,24 200,41 62,95 50,96 1,79 79,51 4,62 99,62 19 6,90 2,92 144,51 66,27 82,58 2,20 95,43 2,53 76,64 20 19,39 3,26 178,80 61,21 92,93 2,41 72,18 1,87 57,64 21 10,24 2,24 19,70 68,26 67,44 2,96 64,30 4,85 67,58 22 3,48 0,14 157,75 66,77 65,03 3,20 86,14 3,76 81,88 23 9,80 1,45 17,06 61,42 76,28 2,14 86,41 4,06 82,84 24 16,67 3,17 108,35 64,40 51,13 1,39 93,76 3,27 94,09 25 4,53 1,60 130,45 67,40 91,45 4,50 87,13 4,70 87,77 26 8,20 0,86 196,90 69,33 73,59 1,10 60,28 1,01 66,13 27 11,94 0,93 89,80 65,44 80,57 3,53 60,10 2,42 85,34 28 5,03 1,00 71,83 62,20 54,43 4,82 55,08 3,03 51,19 29 1,64 4,19 81,98 69,31 50,96 2,33 70,24 2,05 52,47 30 11,18 1,69 91,97 62,83 57,08 1,83 89,62 4,25 61,61 31 5,01 2,29 111,35 61,72 93,51 2,04 85,86 4,64 84,60 32 2,45 2,74 34,25 69,58 82,88 1,54 54,15 4,78 89,39 33 15,87 1,85 119,84 68,78 51,95 3,15 74,30 4,12 57,25 34 12,90 0,12 160,64 68,82 77,90 1,98 62,18 1,09 55,03 35 17,78 2,63 17,24 62,87 86,71 2,67 99,46 4,25 52,52 36 8,17 4,18 94,51 61,99 53,28 1,46 83,61 3,41 54,45 37 4,90 3,58 24,66 64,56 97,44 4,36 69,93 4,43 66,46 38 16,15 2,15 119,82 60,81 92,89 3,66 60,78 1,08 83,57 39 6,13 3,20 187,48 64,03 59,50 1,14 85,50 1,04 66,49 40 20,89 3,19 34,32 61,77 71,26 4,10 62,89 3,51 87,10

160


№ 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 1,81 9,87 34,17 37,53 17,58 78,86 4,85 17,50 18,34 2 6,20 6,14 32,29 49,56 19,34 97,04 2,73 10,42 11,58 3 9,63 2,34 34,70 33,55 12,26 59,85 1,59 17,38 12,64 4 6,70 2,62 48,86 33,35 11,87 77,08 3,38 12,36 11,17 5 6,00 8,60 40,72 49,82 17,47 70,68 2,45 12,27 17,15 6 8,79 3,03 37,79 31,38 10,06 76,79 2,71 10,73 11,99 7 1,89 4,94 38,22 44,63 17,93 61,94 3,33 17,35 13,54 8 6,24 1,60 45,18 32,33 11,20 50,95 4,18 13,98 13,18 9 2,48 8,03 30,03 32,90 12,74 68,22 4,36 16,52 11,11

10 1,09 2,48 46,20 41,10 17,21 63,84 1,70 16,16 11,60 11 5,10 9,99 40,50 34,48 18,82 96,54 4,34 17,20 18,65 12 6,22 4,02 32,56 38,61 17,96 93,81 2,15 12,73 10,64 13 7,11 9,91 48,55 37,52 13,64 98,62 4,10 15,04 16,61 14 1,12 6,68 35,02 36,98 18,49 98,74 4,58 15,05 12,83 15 5,80 6,37 34,68 39,98 12,61 84,28 4,91 17,51 12,62 16 5,28 1,00 31,32 38,15 17,87 62,84 3,48 15,37 11,33 17 4,16 8,23 37,54 42,44 11,37 76,08 2,27 10,46 17,88 18 6,24 4,48 40,26 34,18 12,57 69,94 4,94 18,54 10,87 19 4,74 9,08 45,67 35,29 18,41 51,04 4,85 16,80 17,60 20 5,89 4,88 32,55 37,14 12,03 73,73 3,10 12,33 13,19 21 5,49 9,97 40,08 33,53 18,12 72,06 3,08 11,22 12,91 22 3,01 4,74 39,03 37,04 19,47 93,31 1,76 12,66 17,50 23 6,74 8,48 33,31 42,18 19,91 83,95 1,25 10,14 17,37 24 4,53 6,60 46,92 35,53 15,41 82,85 4,54 15,46 11,19 25 7,21 2,91 40,47 45,46 13,34 94,91 1,35 10,84 15,71 26 9,69 7,81 44,65 33,87 17,15 89,63 2,49 11,67 11,08 27 7,23 1,69 48,10 42,97 14,84 88,16 4,77 18,99 17,67 28 5,47 6,28 46,02 43,03 11,57 55,93 2,37 16,95 10,55 29 6,05 5,60 36,22 45,79 16,28 68,08 4,00 18,43 14,78 30 7,39 5,18 34,17 34,17 14,39 68,17 4,77 12,61 12,88 31 2,43 7,13 39,42 35,88 10,58 96,21 2,38 12,42 12,82 32 4,26 8,88 36,15 37,63 13,61 93,42 3,06 19,50 16,10 33 3,34 1,43 42,47 41,64 14,82 70,83 2,13 10,43 17,84 34 2,80 7,17 48,51 48,43 19,85 98,97 4,49 11,12 19,61 35 5,11 8,16 36,18 32,96 16,10 56,25 2,66 19,39 18,55 36 3,77 3,00 44,72 46,63 11,47 57,88 4,36 17,84 17,99 37 5,62 8,83 48,99 48,82 10,45 80,76 1,47 13,65 12,80 38 6,58 8,83 44,98 30,38 17,42 81,68 2,50 18,52 12,20 39 3,04 5,82 40,09 40,46 10,13 50,93 3,53 12,49 11,12 40 8,90 3,82 38,99 30,13 15,33 73,82 1,22 11,33 13,57

161

Таблица 2. Окончание

№ 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 38,82 41,93 40,58 36,13 154,99 124,51 39,91 47,50 33,91 2 23,96 46,70 11,37 18,59 180,55 158,43 46,68 33,64 33,29 3 25,81 40,62 42,19 43,48 117,40 120,76 23,78 50,82 53,87 4 11,66 49,53 19,72 21,51 145,40 190,74 53,20 26,74 20,47 5 25,22 49,64 32,06 30,16 176,82 162,83 29,37 53,09 28,64 6 10,29 47,10 13,96 26,31 190,56 144,55 27,97 33,55 41,49 7 25,67 41,44 23,90 49,48 137,61 143,63 57,54 48,09 25,34 8 29,19 42,93 11,00 31,83 168,93 116,03 31,95 21,83 48,62 9 30,33 45,93 12,50 42,95 196,50 167,45 42,38 28,48 58,77

10 34,71 46,48 28,44 38,87 134,55 192,58 29,84 27,66 30,54 11 34,53 45,31 14,64 42,80 192,95 161,03 24,63 39,04 51,01 12 22,09 45,09 22,02 42,90 121,62 178,08 53,65 57,78 46,34 13 35,72 48,86 35,87 36,47 145,76 126,41 26,55 22,02 45,82 14 28,84 47,60 37,16 24,36 198,76 192,68 28,09 47,44 49,36 15 13,59 48,08 44,61 49,30 166,44 163,30 48,23 24,22 39,10 16 13,63 41,04 25,95 22,82 114,11 100,01 44,11 25,55 35,43 17 25,82 40,41 14,83 21,63 189,92 139,46 52,22 35,42 46,51 18 11,55 48,07 40,73 41,12 196,86 165,14 46,98 56,83 36,08 19 34,63 41,06 38,38 36,65 113,24 137,01 44,29 44,83 38,56 20 18,13 49,26 15,57 25,95 130,80 196,26 38,59 53,15 30,75 21 33,79 43,03 48,42 35,24 182,98 152,78 58,44 40,79 36,71 22 30,18 42,13 46,93 30,94 165,68 173,30 22,45 37,51 57,10 23 10,32 42,14 35,08 13,87 121,85 181,02 39,17 45,05 47,39 24 28,73 49,48 24,65 48,61 181,76 116,64 51,75 50,58 20,11 25 31,82 42,26 14,66 42,12 135,21 156,29 28,12 30,22 37,56 26 28,32 43,69 44,63 17,38 173,41 198,90 38,57 34,59 25,13 27 34,41 42,65 33,56 15,80 188,06 184,97 50,69 43,61 52,59 28 35,51 43,41 14,37 49,91 167,22 153,06 52,78 59,66 49,99 29 30,53 41,04 28,26 42,07 193,22 143,34 46,06 56,77 27,76 30 16,33 45,02 42,67 29,05 140,32 180,00 45,93 36,42 34,67 31 24,06 47,74 22,54 12,72 101,21 170,30 36,54 23,74 35,57 32 37,36 44,75 24,73 17,53 154,52 108,59 44,26 52,33 45,62 33 17,25 45,65 43,23 21,94 132,54 133,06 33,57 45,41 25,44 34 35,36 49,89 13,81 27,87 171,93 111,37 30,75 22,32 33,93 35 11,41 43,13 35,75 24,81 143,03 193,75 33,69 49,97 56,62 36 25,96 40,28 30,94 38,47 167,55 129,14 23,65 41,16 54,28 37 37,70 48,94 40,58 32,66 162,69 155,09 53,58 52,90 23,75 38 20,98 45,33 23,58 42,39 104,72 107,35 23,40 51,93 51,74 39 16,60 46,03 32,11 41,72 198,97 113,40 32,46 20,68 32,32 40 25,38 48,37 24,84 14,88 188,70 197,60 26,11 25,98 20,63

162

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Квантили распределения Стьюдента

α k

0,1 0,05 0,01

1 6,314 12,706 63,657 2 2,920 4,303 9,925 3 2,353 3,182 5,841 4 2,132 2,776 4,604 5 2,015 2,571 4,032 6 1,943 2,447 3,707 7 1,895 2,365 3,499 8 1,860 2,306 3,355 9 1,833 2,262 3,250

10 1,812 2,228 3,169 11 1,796 2,201 3,106 12 1,782 2,179 3,055 13 1,771 2,160 3,012 14 1,761 2,145 2,977 15 1,753 2,131 2,947 16 1,746 2,120 2,921 17 1,740 2,110 2,898 18 1,734 2,101 2,878 19 1,729 2,093 2,861 20 1,725 2,086 2,845 21 1,721 2,080 2,831 22 1,717 2,074 2,819 23 1,714 2,069 2,807 24 1,711 2,064 2,797 25 1,708 2,060 2,787 26 1,706 2,056 2,779 27 1,703 2,052 2,771 28 1,701 2,048 2,763 29 1,699 2,045 2,756 30 1,697 2,042 2,750 40 1,684 2,021 2,705 60 1,671 2,000 2,660 120 1,658 1,979 2,617 ∞ 1,645 1,960 2,576

163

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Квантили распределения Фишера при уровне значимости

05,0

k1 k2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,92 15,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,403 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,05 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,90 2,90 2,85 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 1,91 ∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83

164

Окончание приложения 2

k1 k2

12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

1 243,9 245,9 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 254,3 2 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,50 3 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53 4 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 5 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36 6 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67 7 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 8 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 9 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71 10 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 3,20 2,58 2,54 11 2,79 2,72, 2,65 2,61 2,57 2,53 3,00 2,45 2,40 12 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,85 2,34 2,30 13 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,72 2,25 2,21 14 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,61 2,18 2,13 15 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07 16 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01 17 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 18 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92 19 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88 20 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84 21 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81 22 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98, 1,94 1,89 1,84 1,78 23 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76 24 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73 25 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71 26 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69 27 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67 28 2,12 2,04 1,96 1,84 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65 29 2,10 2,03 1,94 1,81 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64 30 2,09 2,01 1,93 1,78 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62 40 2,00 1,92 1,84 1,76 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 60 1,92 1,84 1,75 1,88 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 120 1,83 1,75 1,66 1,76 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25 ∞ 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,00

165

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы экономет-

рики / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. – Москва : ЮНИТИ, 1998. –

1022 с.

2. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке

наблюдений / С. Г. Валеев. – Москва : Наука, 1991. – 272 с. (2-е до-

полненное издание: Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при

обработке данных / С. Г. Валеев. – Казань : ФЭН, 2001. – 296 с).

3. Валеев, С. Г. Система поиска оптимальных регрессий /

С. Г. Валеев, Г. Р. Кадырова. – Казань : ФЭН, 2003. – 160 с.

4. Валеев, С. Г. Эконометрика: учебно-практическое пособие /

С. Г. Валеев, С. В. Куркина. – 2-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. –

99 с.

5. Гладилин, А. В. Эконометрика : учебное пособие для вузов /

А. В. Гладилин, А. Н. Герасимов, Е. И. Громов. – 3-е изд., стер. –

Москва : Кнорус, 2011. – 227 с.

6. Елисеева, И. И. Эконометрика : учебник / И. И. Елисеева,

С. В. Курышева, Т. В. Костеева, И. В. Пантина, Б. А. Михайлов; под

ред. И. И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Финансы

и статистика, 2005. – 575 с.

7. Елисеева, И. И. Практикум по эконометрике : учебное посо-

бие для экон. вузов / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Горде-

енко, И. В. Бабаева, Т. В. Костеева; под ред. И. И. Елисеевой. –

Москва : Финансы и статистика, 2005. – 189 с.

8. Клячкин, В. Н. Статистические методы анализа данных :

учебное пособие / В. Н. Клячкин, Ю. Е. Кувайскова, А. В. Алексеева.

– Москва : Финансы и статистика, 2016. – 240 с.

9. Кремер, Н. Ш. Эконометрика : учебник для вузов /

Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко; под ред. Н. Ш. Кремера. – Москва :

Юнити, 2005. – 311 с.

10. Магнус, Я. Р. Эконометрика / Я. Р. Магнус, П. К. Кадышев,

А. А. Пересецкий. – Москва : Дело, 1998. – 248 с.

11. Скляров, Ю. С. Эконометрика. Краткий курс : учебное посо-

бие / Ю. С. Скляров. – 2-е изд., испр. – Санкт–Петербург : ГУАП,

2007. – 140 с.

12. Шанченко, Н. И. Лекции по эконометрике : учебное пособие

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специ-

альности «Прикладная информатика (в экономике)» / Н. И. Шан-

ченко. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 139 с.

13. Шанченко, Н. И. Эконометрика: лабораторный практикум :

учебное пособие / Н. И. Шанченко. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. –

117 с.

Учебное электронное издание

КУВАЙСКОВА Юлия Евгеньевна

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

Редактор Н. А. Евдокимова

ЛР №020640 от 22.10.97

ЭИ № 999. Объем данных 1,5 Мб.

Печатное издание

Подписано в печать 20.11.2017. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 9,77. Тираж 100 экз. Заказ 967.

Ульяновский государственный технический университет

432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32. ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32.

Тел.: (8422) 778-113 E-mail: [email protected]

venec.ulstu.ru

ЭКОНОМЕТРИКА - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2017/186.pdf · 2017. 11. 28. · 7.3....

Documents